UNIVERSIDADE FEDERALDORIODE JANEIRO

CÁUSTICAS POR REFLEXÃO E TEORIA DAS CATÁSTROFES

MONTAUBAN M. DE OLIVEIRA JÚNIOR

Rio de Janeiro � 2005

Orientador: LUIZ CARLOS GUIMARÃES

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DEDICO ESTE TRABALHO À MINHA NAMORADA VIVIANE.

AGRADECIMENTOS:

Ao professor Luiz Carlos Guimarães, um grande amigo, pela brilhante orientação e pelaamizade ao longo de todos os meus passos neste trabalho.

Ao professor Cássio Neri, por existir, e pela amizade e imensa ajuda ao longo de todo esteperíodo.

Ao professor Ricardo Kubrusly, um patrimônio da universidade, um professor de vida, comquem aprendi a pensar e a viver. A universidade deveria incluir na grade curricular ao menosuma disciplina obrigatória com ele.

Ao professor Ricardo Rosa, por sempre acreditar no meu potencial e no meu sucesso.

À professora Ângela Biazutti, pelos conselhos e por sempre ter me ajudado muito desde oinício da graduação.

Aos meus colegas de curso, pela união nos momentos difíceis e pela alegria nos momentosagradáveis.

À minha mãe Jurema F. de Oliveira, pelo total e in�nito apoio dado nesses anos de estudo ededicação.

Ao meu sobrinho e amigo Frederico, pela grande amizade e por me trazer alegria nos mo-mentos difíceis.

E principalmente à minha namorada Viviane, pelo amor e por tudo o que fez por mim nãosó neste período mas desde que a vi pela primeira vez.

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SUMÁRIO:

PREFÁCIO........................................................................................................1

INTRODUÇÃO.................................................................................................7

CAPÍTULO 1...................................................................................................11

CAPÍTULO 1 � TEOREMAS.........................................................................26

CAPÍTULO 2...................................................................................................46

CAPÍTULO 2 � TEOREMAS.........................................................................48

CAPÍTULO 3...................................................................................................70

CAPÍTULO 3 � TEOREMAS.........................................................................87

BIBLIOGRAFIA............................................................................................125

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RESUMO:

Temos dois grandes objetivos neste estudo. O primeiro é introduzir a Teoria dasCatástrofes num nível elementar, utilizando a Teoria dos Unfoldings e toda a sua elegâncianas demonstrações dos teoremas, fornecendo as noções básicas e necessárias de genericidade eaplicando a roupagem algébrica adequada, culminando com a demonstração do Teorema das 7Catástrofes de René Thom. O segundo objetivo, e é por ele que começamos, é uma aplicaçãoda Teoria dos Unfoldings e da Teoria das Catástrofes a certas curvas luminosas, as cáusticas,formadas pela concentração de luz gerada pelo sistema espelho-fonte, onde um espelho re�eteraios luminosos emitidos por uma fonte.

ABSTRACT:

We have two great objectives in this study. The �rst one is to introduce theCatastrophe Theory in an elementary level, using the Unfoldings Theory and all its elegancein the demonstrations of the theorems, supplying the basic and necessary notions of genericityand applying the algebraic apparel, culminating with the demonstration of the Seven Catastro-phes Theorem of René Thom. The second objective, and with it we start, is an application ofthe Unfoldings Theory and the Catastrophe Theory to certain luminous curves, the caustics,formed by the concentration of light generated by the mirror-source system, where a mirrorre�ects luminous rays emitted by a source.

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CÁUSTICAS POR REFLEXÃOE TEORIA DAS CATÁSTROFESMONTAUBAN - TESE DE MESTRADO

PREFÁCIO

Cáusticas por Re�exão

Quando a luz emitida por uma pequena fonte é re�etida pela superfície circular deuma xícara de café e espalhada pela superfície do café, podemos ver uma curva luminosa nasuperfície. Esta curva poderá ter cúspides e pontos duplos que se movem ou se transformamquando a xícara é perturbada.

A curva luminosa é chamada cáustica, e é causada pela concentração de raios lumi-nosos ao longo da envoltória dos raios re�etidos. Todos os raios re�etidos são sempre tangentesà cáustica, o que intuitiva e acertadamente nos passa a idéia de concentração de luz. O própriovocábulo já signi�ca � do grego � queima.

As cáusticas fornecem alguns dos padrões visuais mais belos que existem na natureza.Além do exemplo da xícara acima, que é um exemplo de cáustica por re�exão, podemos tambémcitar os belos padrões luminosos criados ao fundo de uma piscina num dia ensolarado; e o vento,

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como que um somador de épsilons, quando perturba a água faz com que os padrões luminososdancem como que reproduzindo todos os possíveis unfoldings daquela curva brilhante. Esteé um exemplo de cáustica por refração, bem como o exemplo simples de quando tentamosencontrar o foco de uma lupa num dia ensolarado e vemos uma curva parecida com um círculoluminoso, curva esta que vai diminuindo à medida que aproximamos a lupa, até que se torneum ponto, para a desventura da formiga. Outro bonito exemplo é quando a luz passa por umataça de conhaque e desenha uma cáustica colorida num anteparo.

As cáusticas têm sido estudadas por mais de 300 anos, desde o tempo de Huygens, comseu clássico Traité de la Lumière (1690) e Tschirnhausen (1682) mostrando que as cáusticaspor re�exão são reti�cáveis. Assim como eles, Jacob Bernoulli e seu irmão mais novo Johann,L'Hôpital, Lagrange e Cayley são alguns dos grandes matemáticos que estudaram o tema, alémdaqueles que estudaram bilhares, assunto sempre intimamente ligado com cáusticas.

Teoria das Catástrofes

Desde os primeiros rumores em Bonn em meados dos anos 60 do Stabilité Structurelleet Morphogénèse de Thom, que �nalmente apareceu em 1972, houve um grande aumento nointeresse no tema hoje conhecido como Teoria das Catástrofes. Criou-se uma expectativa comohá muito não se via na história da matemática, e o novo assunto transcendeu as conversas deespecialistas, transcendeu as salas de aula e até mesmo os periódicos especializados ganhandoa rara atenção da mídia e do leigo em todo o mundo. A exemplo do que aconteceu outrasvezes na história da matemática, criava-se uma nova era, e junto com ela a esperança de quese tivesse descoberto a teoria que demonstraria tudo. Mas a realidade foi outra, e a fantásticateoria, embora ainda profunda e importante, foi perdendo o brilho ao longo dos anos, comoveremos a seguir.

A história começa em 1880, quando Poincaré começou a criar a base da abordagemmoderna da questão da determinação das propriedades qualitativas das soluções das equaçõesdiferenciais ordinárias. Ele estava particularmente interessado em estudar como as propriedadesqualitativas de um sistema mudam com a mudança nos parâmetros. E �cou espantado com aspatologias que havia criado.

A Teoria de Singularidades, que consiste principalmente em uma análise de aplicaçõesdiferenciáveis que sejam invariantes por difeomor�smos, a partir de então foi sendo desen-volvida e baseada nas teorias clássicas de Harold Calvin Marston Morse (1925), que trabalhoucom singularidades de Rn em R e foi o primeiro a fazer uma distinção entre pontos críticos de-generados e não-degenerados, e de Hassler Whitney (1935), que trabalhou com singularidadespara aplicações de Rn em Rm (m � 2n � 1) e de R2 em R2.

René Thom, matemático e �lósofo francês nascido emMontbéliard e formado na ÉcoleNormale Supérieure, após ganhar Medalha Fields em 1958 com um trabalho sobre a Teoria do

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Cobordismo, obteve mais liberdade para trabalhar no que ele realmente queria, a embrionáriaTeoria das Catástrofes. Thom percebeu que os resultados que mencionamos de Whitney eMorse poderiam ser incorporados numa única teoria. Ele introduziu o conceito de transversali-dade como mecanismo para discussão sobre estabilidade estrutural, e usou esta ferramenta paradescrever certas singularidades de Rn em R às quais chamou catástrofes.

A idéia informal de catástrofe é relativamente simples. Informalmente uma catástrofeé uma mudança brusca e descontínua após uma variação suave dos parâmetros de controle. Afísica clássica, de Newton até a Relatividade Geral, é essencialmente a teoria de variados tiposde comportamentos suaves. Entretanto existem processos que subitamente �saltam�. A águasubitamente entra em ebulição com umamudança suave na temperatura. O gelo derrete. Prédiosdesabam. Forças se sustentam estáveis até um determinado ponto crítico, a partir do qual há ummovimento abrupto. Uma célula subitamente muda seu ritmo reprodutivo, aumentando cada vezmais cancerosamente. O camelo mantém sua garupa estável ao longo de N passos, mas balançano passo N+1. (Ao leitor que lembrou das mudanças bruscas no comportamento feminino,omitamos este exemplo), as bolsas de valores quebram. Estes são exemplos de mudanças súbitascausadas por alterações suaves. Formalmente uma catástrofe é o conjunto de bifurcação de umasingularidade degenerada de Rn em R, ou seja, o conjunto de bifurcação de uma singularidadecuja derivada segunda (Hessiana) não tem posto máximo. Isto faz com que ela tenha unfoldings(desdobramentos) não triviais, o que implica que após uma perturbação ela pode mudar deforma.

A descrição e a sistematização dos fundamentos da Teoria das Catástrofes somente foipossível usando recursos poderosos da Análise Diferencial (Como o belo Teorema da Preparação,devido a Bernard Malgrange, que facilitou muito a demonstração do Teorema das 7 Catástro-fes), a conceituação da Topologia Diferencial (singularidades de aplicações diferenciáveis) e daTeoria Qualitativa dos Sistemas Dinâmicos (Bifurcações e Estabilidade Estrutural, com grandee decisiva contribuição de John Mather), campos de grande progresso nos anos 60. ChristopherZeeman, na mesma época, também deve ser citado pela grande contribuição no desenvolvi-mento e na divulgação da teoria; aliás, ele foi o criador do termo `Teoria das Catástrofes', e foipioneiro nas aplicações da teoria às ciências biológicas, de comportamento e à física.

Veja agora como os autores de [6] retratam a decadência da Teoria das Catástrofes:"Mas tanto quanto um grande interesse, as idéias de Thom geraram bastante confusão, e maistarde, controvérsia. Alguns clamores pela universalidade da teoria (parcialmente devido a a�r-mações erradas geradas por confusão entre catástrofes elementares e não elementares e tambémao `entusiasmo juvenil' gerado pelo novo tema) se repetiram muito freqüentemente sem a de-vida quali�cação. Em alguns círculos também surgiu a crença de que a Teoria das Catástrofesseria `puramente qualitativa', com uma divisão entre os que acham que isso é uma coisa boae os que acham que não. O grande número de precursores da teoria em muitos campos levoualguns a acreditar que a teoria não continha nada de realmente novo. Extensões especulati-vas da teoria a mundos onde a sua aplicabilidade não era garantida pelo devido formalismo

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matemático foram erradamente interpretadas como aplicações de�nitivas. E disputas por meiodessas áreas contaminaram outros campos onde os problemas eram muito diferentes. Estes mal-entendidos podem ser unidos à linguagem matemática completamente não familiar da teoria, eà tendência inevitável do matemático a enfatizar aspectos da teoria que nem sempre estão emsintonia com os requerimentos práticos do cientista. Quando Turing foi questionado sobre ofato de os computadores só trabalharem deterministicamente, ele respondeu que a ele pediramque projetasse os computadores daquela maneira. O mesmo acontece qualitativamente com ostopólogos e a descrição das catástrofes. Se querem números, os computadores têm números;mas simplesmente muitos topólogos não querem números, e sim qualidades. Os problemasforam exacerbados pela falta de fonte apropriada de material entre os extremos da topologiahardcore e a popularização."

O próprio Thom explica por que a teoria de enorme sucesso popular caiu em decadên-cia: �É um fato que a Teoria das Catástrofes está morta. Mas poderíamos dizer que ela morreuvítima de seu próprio sucesso. Foi afundada pela extensão dos modelos analíticos aos modelossimplesmente suaves. E quando �cou claro que a teoria não permitia uma previsão quantitativa,todas as grandes mentes decidiram que ela não tinha valor.�

Thom ganhou inúmeros prêmios por seus trabalhos, entre eles, como já citamos, aMedalha Fields em 1958, curiosamente devido a seu trabalho antes de `inventar' a Teoria dasCatástrofes, sobre a Teoria do Cobordismo em topologia. Thom faleceu em 25 de outubro de2002, aos 79 anos, em Bures-sur-Yvette, na França.

�Uma vez existiu um homemque aprendeu a matar dragões.E deu tudo o que tinhapara dominar esta arte.Depois de três anosele estava bem preparado mas,ora, ele não teve oportunidadede praticar suas técnicas.�

Dschuang Dsi

�Como resultado elecomeçou a ensinar como matar dragões.�

René Thom

INTRODUÇÃO

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Este trabalho faz parte da teoria local de funções f : Rn; 0 ! R suaves, e em suaessência consiste basicamente numa introdução ao estudo e à classi�cação das f a menos deR-equivalências (difeomor�smos suaves). Classi�car um conjunto grande como o C1(Rn;R)usando um número �nito de classes de equivalência é praticamente impossível; a alternativainteligente é classi�car não todas as funções, mas uma grande parte, ou seja, um conjuntogenérico de funções, de maneira que o conjunto com o qual trabalhamos seja aberto e densono conjunto de todas as funções f : Rn; 0 ! R: Este conjunto ideal é o conjunto das funçõesf : Rn; 0 ! R �nitamente determinadas, que são as funções que determinadas a menos dedifeomor�smos suaves por suas derivadas até uma ordem k �nita. Esse conjunto é aberto edenso no conjunto de todas as funções f : Rn; 0 ! R, resultado que pode ser encontrado em[14]. Um outro aspecto importante é que ser �nitamente determinado é equivalente a ter codi-mensão �nita, conceito que será de�nido mais tarde. E para dar um exemplo prático faremosuma demonstração do teorema de classi�cação para germes com codimensão até 4; com issotemos como resultado que os germes com codimensão até 4, que também formam um conjuntoaberto e denso em C1(Rn;R), são �nitamente classi�cados.

Temos dois grandes objetivos neste estudo. O primeiro é introduzir a Teoria dasCatástrofes num nível elementar, utilizando a Teoria dos Unfoldings e toda a sua elegâncianas demonstrações dos teoremas, fornecendo as noções básicas e necessárias de genericidade eaplicando a roupagem algébrica adequada, culminando com a demonstração do Teorem das 7Catástrofes de René Thom. O segundo objetivo, e é por ele que começamos, é uma aplicaçãoda Teoria dos Unfoldings e da Teoria das Catástrofes a certas curvas luminosas, as cáusticas,formadas pela concentração de luz gerada pelo sistema espelho-fonte, onde um espelho re�eteraios luminosos emitidos por uma fonte.

Agora vamos falar um pouco do que será abordado em cada capítulo:

No Capítulo 1 o objetivo é mostrar que uma cáustica gerada por raios luminosos emi-tidos por uma fonte puntiforme L e re�etidos por um espelho M (que é uma n-variedade com-pacta com curvatura gaussiana KM positiva), sendo que L está no interior de M, é uma cáusticagenérica que pode ser descrita por um número �nito de modelos. Para tal objetivo a estratégiaé primeiro mostrar que qualquer deformação suave na frente de onda pode ser gerada por umadeformação suave no espelho. Em seguida, usar o resultado de Eduard Looijenga, que em suatese "Structural Stability of Smooth Families of C1-functions" diz que a maioria das frentes deonda geram uma cáustica cuja função geradora f é �nitamente determinada. Assim a cáustica,conjunto de bifurcação de f função distância ao quadrado da fonte L à frente de onda W, serádifeomorfa a uma das 7 catástrofes de Thom, conjuntos de bifurcação das 7 funções modelo deThom.

O Capítulo 2 é um bônus; fazemos um estudo do caso particular do sistema espelho-fonte com o espelho como 1-variedade (curva), mas desta vez vamos descrever uma técnicasimples e muito interessante e criativa, baseada em cônicas, para obtermos propriedades locais

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desta cáustica. Explicando resumidamente parte do que fazemos neste capítulo: intuitivamentepara obtermos propriedades locais da cáustica temos que analisar a frente de onda W que aorigina. Com efeito, mostramos que os pontos de singularidade da cáustica correspondem aosvértices de W. Mas seria melhor que obtivéssemos propriedades da cáustica diretamente do es-pelho M, sem utilizarmos a frente de onda W. E conseguimos isso a partir do teorema principal:supondoKM > 0 e L estritamente no interior de M, então existe uma única cônica não singularcom contato de ordem � 3 com M em P, com um dos focos em L. A partir daí mostramos queos pontos de singularidade da cáustica correspondem aos pontos de M em que a (única) cônicacom contato � 3 com M em P na verdade tem contato � 4 com M em P, completando nossoobjetivo.

No Capítulo 3 faremos o trabalho pesado, mas re�nado. Utilizando a Teoria dos Un-foldings e os conceitos de genericidade necessários demonstramos o Teorema das 7 Catástrofespasso a passo, omitindo apenas a complexa demonstração do Teorema da Preparação, que podeser encontrada em [4]. Este capítulo funciona como um apêndice, que de um certo modo explicao capítulo 1, de�nindo ou esclarecendo conceitos, muito embora não mereça ganhar apenas otítulo de apêndice, já que o trabalho feito em cima do Teorema das 7 Catástrofes é rigoroso ecompleto, considerando a Teoria das Catástrofes elementar.

O modelo didático a ser usado neste trabalho será da seguinte maneira: no começode cada capítulo vamos explicar tudo o que será abordado, somente citando os teoremas queutilizamos, sem demonstrações. Em seguida e isoladamente seguem as demonstrações. Algunsteoremas serão demonstrados em sua forma mais ampla e geral, sempre que a di�culdade daprova não ultrapassar a necessidade do leitor de conhecê-la. Este trabalho foi feito com o obje-tivo de auxiliar da melhor maneira possível leigos que queiram se iniciar no assunto. Por issopreferimos algumas vezes exagerar nos detalhes das demonstrações, e ainda citando referências,uma vez que Teoria das Catástrofes não tem uma linguagem tão familiar.

Agora alguns comentários sobre a organização dos teoremas: Os teoremas Ai são doCapítulo 1, que ainda tem dois teoremas auxiliares. Os teoremas Bi são do Capítulo 2. OsTeoremas Cij são os teoremas do Capítulo 3, que é dividido em três partes: Os C1i demonstrama equivalência entre codimensão �nita e determinação �nita. Os C2i demonstram o Teoremadas 7 Catástrofes. Os C3i demonstram o Teorema Principal dos Unfoldings.

Aminha contribuição neste trabalho foi reunir partes dos papers [9] e [10], redemonstrá-los e reexplicá-los numa linguagem mais lenta e acessível, explicitando sempre cada passodas demonstrações e próprias demonstrações inteiras omitidos dos originais, além de apresen-tar aqui a um nível elementar o complemento indispensável destes papers, o Teorema das 7Catástrofes e sua demonstração passo a passo, de maneira que o leitor interessado terá à dis-posição reunidas a teoria e a aplicação num só pacote, resultado de pesquisa em muitos livrosespecializados que se podem encontrar na bibliogra�a. O paper [9] foi publicado no Topologyem 1982, chama-se �On Caustics By Re�ection�, é um trabalho difícil, e da parte inicial dele

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tratamos no Capítulo 1. O paper [10] foi publicado na American Mathematical Monthly em1981, chama-se �On Caustics of Plane Curves�, e dele tratamos no Capítulo 2. Como o próprionome diz, este trabalho trata de curvas planas; sua devida generalização é tratada no paper [9]do Topology, mas dada a di�culdade, está fora do nosso escopo. Espero que este trabalho sejade grande utilidade para o leitor, tanto quanto foi para mim, ou que ao menos cause no leitoralguns pesadelos, tantos quanto me causou, o que é sinal de que o assunto é atraente e fazpensar.

CAPÍTULO 1

Este capítulo é destinado ao estudo do sistema compreendendo um espelho M (n-variedade imersa no Rn+1) e uma fonte de luz puntiforme (um ponto no Rn+1) no interior de M.Os raios luminosos emitidos pela fonte L se re�etem no espelho M e originam uma cáustica porre�exão, a envoltória da família dos raios re�etidos (onde se concentram os raios re�etidos).Aqui consideramos apenas as primeiras re�exões de luz por M. Para ilustrarmos, veja na �guraabaixo uma cáustica (a curva luminosa) gerada por um anel de metal iluminado:

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E as questões tratadas neste capítulo são as seguintes:

Será que a cáustica gerada pelos raios oriundos da fonte L e re�etidos pelo espelho Mé genérica? Ela pode ser descrita localmente por um número �nito de modelos?

Podemos dizer que uma cáustica gerada por uma frente de onda W é genérica quandoW é genérica, ou seja, pertence a um conjunto residual (interseção enumerável de abertos den-sos) no conjunto de todas as possíveis frentes de onda. E dizemos que uma cáustica pode serdescrita por um número �nito de modelos quando a função distância ao quadrado fd (funçãogeradora da cáustica, associada à frente de onda W e à fonte luminosa L, mais adiante vamosde�nir melhor) é equivalente a alguma função modelo, via difeomor�smo suave, sendo que onúmero de funções modelo é �nito. Falaremos mais sobre genericidade e classi�cação maisadiante neste capítulo e no capítulo 3. A resposta para as perguntas acima é alcançada quandomostramos que para um conjunto genérico de frentes de onda W (que conseqüentemente geramuma cáustica genérica) a função fd associada a W pertence ao conjunto das funções �nitamentedeterminadas (com codimensão � 4, conceito que de�niremos mais adiante), que é o conjuntodas funções f : Rn; 0 ! R que são determinadas a menos de difeomor�smos suaves por suasderivadas até uma ordem k �nita. Os elementos deste conjunto pertencem a um número �nitode classes de equivalência, resultado devido ao Teorema das 7 Catástrofes (que veremos maisadiante), o que vai implicar que a cáustica pode ser descrita por um número �nito de mode-los. Antes de tratar a questão acima e entrar em detalhes vamos inserir algumas notações e umdiagrama que devemos ter em mente ao longo deste trabalho.

NOTAÇÕES - SISTEMA ESPELHO-FONTE:

Diagrama (supondo o espelho um círculo):

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� Condições iniciais do sistema: Curvatura GaussianaKM > 0 em todo ponto de M e fonteL estritamente dentro de M, M compacto.

Obs.: Podemos falar em interior de M, pois KM > 0 em todo ponto implica que M élocalmente convexa em todo ponto. Embora isso ainda não garanta que M tem interior (tomepor contraexemplo o parabolóide) a compacidade de M garante.

Obs.: Podemos falar em curvatura como número real sem problema, pois aqui sempre tere-mos o espelho M com codimensão 1.

� M = Mn = (espelho) n-variedade em Rn+1parametrizada como y(t) por y : S n �!Rn+1: Lembre que M é compacto.

� L = (fonte) origem em Rn+1 :

� Ly = simétrico de L em relação ao plano tangente em y.

� W = W n = (ortotômica ou frente de onda) n-variedade em Rn+1 parametrizada porx :Mn ! Rn+1; se satisfeitas as condições iniciais sobre M.

Lembrando que o espelho M é parametrizado por y, a expressão de W em função de M é:x(t) = 2(y(t) � n(t))n(t) onde n(t) é vetor normal unitário exterior a M em y(t): Geometri-camente é o locus dos pontos Ly simétricos a L em relação ao plano tangente a M em y sevariamos y. A importância desta variedade se dá pelo fato de que ela pode ser tratada como

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frente de onda que originaria a cáustica diretamente, sem re�exão, já que a cáustica é formadapela envoltória de suas retas normais (ver Teorema Auxiliar 1 e o diagrama acima). Note quese M é localmente convexo em todos os seus pontos, a ortotômica W nunca cortará M, poisW sempre estará, por construção, do lado oposto ao lado em que está M em relação ao planotangente.

� Lyy = Normal a W passando por Ly (reta suporte do raio re�etido em y oriundo de L(ver Teorema Auxiliar 1)) .

� Cáustica = É a envoltória da família dos raios re�etidos por M oriundos de L (onde seconcentram os raios de luz). Pelo Teorema Auxiliar 1 vemos que esta cáustica é a envoltóriadas normais a W, e assim podemos dizer que W pode ser encarada como frente de onda; epelo Teorema Auxiliar 2 vemos que ela também é o locus dos centros de curvatura de W.E �nalmente, pelo Teorema Auxiliar 3, vemos que ela é o conjunto de bifurcação da funçãodistância ao quadrado de alguma variedade, conceitos que de�niremos adiante.

NOTAÇÕES - ENVOLTÓRIAS:

Uma de�nição informal e espontânea de envoltória poderia ser "contorno aparente".Outras de�nições intuitivas, mas um pouco mais formais, poderiam ser "o limite das interseçõesdas curvas da família próximas" , ou "a fronteira da região preenchida pelas curvas da família"ou ainda "a curva tangente às curvas da família" .

Veja alguns exemplos de envoltórias de curvas de uma família:

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Agora vamos introduzir conceitos e uma de�nição formal de envoltória:

� Suponha Un e Nm variedades.

� Seja F : U � N �! R função suave, também pensada como família de funções Fx :N �! R ; parametrizada por U, sendo xi as coordenadas de U, parâmetros de F.

� A envoltória da família F é a imagem E(F) do conjunto:

D(F ) =

�(x; y) j F (x; y) = @F (x; y)

@x1= ::: =

@F (x; y)

@xn= 0

�sob a projeção

� : U �N �! N:

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� Observe um exemplo:Seja F : R� R2 ! R de�nida por F (x; y1; y2) = (y1 � x)2 + y22 � 1:Note que F é família de funções Fx : R2 ! R; e F�1(0) são círculos.Veja os grá�cos:

E observe no grá�co abaixo D(F), que são as duas retas diagonais, (exatamente os pontosonde o plano tangente a F�1(0) é vertical) e aenvoltória E(F), projeção de D(F), as duas retas paralelas no plano y1y2:

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NOTAÇÕES - UNFOLDINGS E DETERMINAÇÃO FINITA:

� De�nição: R-Equivalência.

Supondo f; g : Rn; 0 ! R, f é R-equivalente a g (representado por f s g) se existeh : Rn; 0 �! Rn; 0 no grupo dos difeomor�smos suaves tal que f � h = g.

� De�nição e Propriedades: Unfoldings.

Um unfolding ou deformação de f é qualquer família de funções contendo f. Umexemplo de unfolding F de f com r parâmetros ui: F (x; u) = F (x1; :::; xn; u1; :::; ur) =f(x)+ b1(x)u1+ :::+ br(x)ur: Note que F (x; 0) = f . Um unfolding de f é versal quando ele écapaz de gerar qualquer outro unfolding de f através de certa mudança de variável (na verdadeprecisamos de�nir mor�smos, e faremos isso no capítulo 3). Um resultado que é provado noCapítulo 3 e que será utilizado aqui neste capítulo é que uma função f tem unfolding versal se,e somente se é �nitamente determinada. A codimensão de uma função f é o número mínimo deparâmetros ui que um unfolding de f precisa para ser versal (é importante frisar que a codimen-são de uma função não tem nada a ver com a codimensão de uma variedade). Falaremos maissobre codimensão no capítulo 3.

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E uma propriedade de unfoldings que será usada aqui é a seguinte: se duas funções sãoR-equivalentes, então seus unfoldings versais são isomorfos, e seus conjuntos de bifurcaçãosão difeomorfos.

� De�nição: Determinação Finita

Uma função f : Rn; 0 ! R é dita k-determinada se para toda função g : Rn; 0 ! Rcom gi(0) = f i(0), i = 0:::k; temos fs g. Ou seja, quando f é k-determinada, então f e g estãona mesma classe de R-equivalência se as derivadas de f e g coincidem até a ordem k. Ou ainda,quando f é k-determinada, temos que se f e g tem derivadas iguais até a ordem k então existeum difeomor�smo suave h tal que f � h = g.

Obs.: De agora em diante, sempre que falarmos em funções �nitamente determinadasestaremos assumindo automaticamente codimensão � 4. Faremos isto para podermos usar oTeorema das 7 Catástrofes, que somente vale para funções com codimensão � 4. Esta hipótesepode ser feita tranquilamente, pois o conjunto das f �nitamente determinadas com codimensão� 4 é aberto e denso em C1(Rn;R):

� De�nição: Conjunto de Bifurcação.

Se F(x,u) é um unfolding de f(x) (onde os ui são os parâmetros do unfolding, u 2 Rr),

então o conjunto dos u em Rr tais que@F

@x=

@2F

@x2= 0 é chamado conjunto de bifurcação

de f. Se f é a função distância ao quadrado da fonte L a uma variedade W, o conjunto debifurcação será a cáustica gerada por W (Teorema Auxiliar 3). Um resultado que usaremosmuito neste capítulo é o seguinte: se duas funções são R-equivalentes, então seus unfoldingsversais são isomorfos, e seus conjuntos de bifurcação são difeomorfos. Isto porque a estratégiadeste capítulo é mostrar que a cáustica é difeomorfa a uma das 7 catástrofes de Thom, ou seja,o conjunto de bifurcação da função distância ao quadrado (cáustica) é difeomorfo ao conjuntode bifurcação de uma das funções modelo (catástrofes).

� De�nição: Função Distância ao Quadrado.

Se u é um ponto de Rn+1 , a função distância ao quadrado de u à imagem de umaimersão : M ! Rn+1 é a função fd : Rn; 0 ! R de�nida por fd(t) = k (t)� uk =( (t)� u) � ( (t)� u) : O conjunto de bifurcação da função ao quadrado de u sobre é acáustica gerada por (Teorema Auxiliar 3).

� Enunciado: Teorema das 7 Catástrofes:

Se uma função f : Rn; 0! R (que no nosso caso será a função distância ao quadradoda origem à frente de onda W) é �nitamente determinada com codimensão menor ou igual

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a 4, onde (x1; :::; xn) 2 Rn; então se sua derivada segunda não tem posto máximo ela é R-equivalente a uma das 7 funções modelo de Thom (entre parênteses estão os respectivos con-juntos de bifurcação): x31 (dobra) , x41 (cúspide) , x51 (rabo de andorinha) , x61 (borboleta) , x31+x32(umbílico hiperbólico) , x31 � x1x

22 (umbílico elíptico) ou x21x2 + x42 (umbílico parabólico), a

menos de multiplicação por �1 e a menos de adição de forma quadrática nas outras variáveis.Se sua derivada segunda tem posto máximo não existe cáustica, pois seu conjunto de bifurcaçãoserá vazio.

Pronto, agora voltemos às questões que serão estudadas:

Será que a cáustica gerada pelos raios oriundos da fonte L e re�etidos pelo espelho Mé genérica? Ela pode ser descrita localmente por um número �nito de modelos?

O resultado da tese de doutorado de E. Looijenga [11] diz que o conjunto das imer-sões de n-variedades em Rn+1 que produzem uma função distância ao quadrado �nitamentedeterminada é aberto e denso em I(Rn;Rn+1). Ou seja, a maioria das frentes de onda (ima-gens de imersões) geram funções distância ao quadrado �nitamente determinadas. Isso implicaque neste caso a função distância ao quadrado é R-equivalente a uma das 7 funções modelode Thom (Teorema das 7 Catástrofes); e quando duas funções �nitamente determinadas são R-equivalentes, temos que seus unfoldings versais são isomorfos, e seus conjuntos de bifurcaçãosão difeomorfos. Então o conjunto de bifurcação da função distância ao quadrado da fonte Là frente de onda W (que é a cáustica gerada pela frente de onda W, veja o Teorema Auxiliar3) é difeomorfo a um dos conjuntos de bifurcação das funções modelo de Thom (uma das 7catástrofes). Isso completa o nosso resultado, pois teremos mostrado que a cáustica pode serdescrita por um número �nito de modelos e é genérica, já que a frente de onda W que a originaestá num conjunto aberto e denso no conjunto de todas as frentes de onda.

O único problema dessa demonstração é que o resultado vale para "quase todas asfrentes de onda". Será que a nossa frente de onda é uma dessas? A solução é perturbar umpouco a nossa frente de onda; assim certamente cairemos no conjunto grande (aberto e denso)que valida nossa solução. Mas nosso sistema original consiste apenas na fonte L e do espelhoM.Então tenho que mostrar na verdade que toda deformação suave da frente de onda W pode serreproduzida por uma deformação suave no espelho M. Dessa forma posso perturbar o espelhoM de maneira a gerar a perturbação de W que produz nosso resultado.

Então para chegarmos às respostas das perguntas acima é su�ciente garantirmosque toda deformação suave da frente de onda W pode ser reproduzida por uma defor-mação suave no espelho M.

O plano é mostrar que, satisfeitas determinadas condições iniciais, teremos M e Wvariedades (queremos evitar que a cáustica herde de início sigularidades), e a seguir mostrarque qualquer deformação de W pode ser realizada através de uma deformação em M.

19

Então neste primeiro capítulo da tese faremos assim:

� Sejam KM > 0 e L estritamente dentro de M (M compacto), de agora em diante, ascondições iniciais sobre M.

� Primeiramente mostramos que dadas as condições iniciais temos que a ortotômica W évariedade.(Teorema A1)

� Agora temos que garantir que dadas as condições iniciais temos M variedade; para issovamos construir o espelho M a partir de W, usando o fato de M ser a envoltória da família dosplanos perpendiculares ao segmento LyL passando pelo seu ponto médio (dúvidas, ver de�niçãode ortotômica e olhar o diagrama), ou seja, M é a envoltória de seus planos tangentes. Isto é aomesmo tempo uma idéia trivial e intuitiva, mas crucial para o Teorema A5, onde precisamos deuma dependência forte entre M e W. Assim sendo:

De�nimos uma família de hiperplanos por:

F : W � Rn+1 ! R ,

(x; y) 7! F (x; y) =

�y � 1

2x

�� x;

com (x1; :::; xn) 2 W (variedade pelo Teorema A1) e com (y1; :::; yn+1) 2 Rn+1;

de maneira que para cada x0 �xo de W temos que F�1x0 (0) = (x0; y) é um (hiper)planoortogonal à reta ligando L e Ly, passando pelo seu ponto médio. A partir de agora vamos

20

enxergar M como envoltória da família F. Note que o posto de Fx só não é máximo se x = 0, oque é impossível, pois x pertence a W, ortotômica de M, que está no exterior de M, ao contrárioda origem, que está no interior de M.

� Então para mostrar que M é variedade fazemos:

Enunciamos as condições para uma envoltória ser variedade.(Teorema A2)

Precisamos mostrar que dadas as condições iniciais KM > 0 e L estritamente dentro de M(M compacto) então temos as condições para uma envoltória ser variedade satisfeitas. Antesdisso vamos usar um passo intermediário, vamos mostrar que se para todo (x; y) em D(F )temos que x 6= 0 e y não é centro de curvatura de W em x então as condições para a envoltóriaser variedade estão satisfeitas:(Teorema A3)

Agora, completando o resultado, mostramos que dadas as condições iniciais KM > 0 e Lestritamente dentro de M (M compacto), então para todo (x; y) em D(F ) temos que x 6= 0 e ynão é centro de curvatura de W em x.(Teorema A4)

� Uma vez provado que M e W são variedades dadas as condições iniciais, basta mostrarque uma deformação de M gera qualquer deformação de W. (Teorema A5)Desta maneira, temos o resultado.

Assim, concluímos os objetivos Capítulo 1.

CAPÍTULO 1 - TEOREMAS:

Teorema A1

A ortotômica (frente de onda) W é variedade ( ou seja, x é imersão, ondex(t) = (y(t) � n(t))n(t), e y parametriza o espelho), KM > 0 em todoponto de M e L está estritamente dentro de M (compacto).

DEMONSTRAÇÃO :

Vou dividir a demonstração em duas partes a e b:

a) x é uma imersão, KM 6= 0 em todo ponto e y(t) � n(t) 6= 0:

21

(() Suponha KM 6= 0 em todo ponto e y(t) � n(t) 6= 0:

� A curvatura KM 6= 0 em todo ponto é equivalente a @n(t)@ti

linearmente

independentes; 1 � i � n:(lembre que KM é um determinante) (�)

� Como n(t) é unitário, então: n(t) � n(t) = 1) @

@ti(n(t) � n(t)) = 0)

@n(t)

@ti� n(t) + n(t) � @n(t)

@ti= 0) 2:

�@n(t)

@ti� n(t)

�= 0;

então@n(t)

@ti� n(t) = 0; 1 � i � n: (��)

� Note que provar que x é uma imersão é provar que

@x(t)

@ti= 2

��y(t) � @n(t)

@ti

�n(t) + (y(t) � n(t))@n(t)

@ti

�1 � i � n;

são linearmente independentes.

Mas :

Como n(t) e y(t) 6= 0 por hipótese e @n(t)@ti

6= 0 por (�) ; então�y(t) � @n(t)

@ti

�n(t) é uma direção �xa não nula; 1 � i � n:

E como y(t) � n(t) 6= 0 por hipótese e @n(t)@ti

são linearmente

independentes por (�), então (y(t) � n(t))@n(t)@ti

; 1 � i � n são vetoreslinearmente independentes.

Assim, as somas�y(t) � @n(t)

@ti

�n(t) + (y(t) � n(t))@n(t)

@ti; 1 � i � n

são linearmente independentes, pois são somas de uma direção�xa com vetores linearmente independentes.

(Note que a soma acima não pode ser nula, pois caso contrário n(t)

22

e@n(t)

@titeriam mesma direção, absurdo já que são perpendiculares

por (��) ):

� Então os @x(t)@ti

; 1 � i � n são linearmente independentes, ou seja,x é imersão.( E assim W, que é imagem de x , é variedade) .

(() Suponha x imersão.

� Se x é imersão temos que os @x(t)@ti

; 1 � i � n são linearmente independentes.

Logo implica@x(t)

@ti=

�y(t) � @n(t)

@ti

�n(t) + (y(t) � n(t))@n(t)

@ti; 1 � i � n

linearmente independentes.

� Note que:

y(t) � n(t) 6= 0; pois caso contrário @x(t)@ti

=

�y(t) � @n(t)

@ti

�n(t); 1 � i � n;

ou seja, todos os vetores teriam uma direção �xa (a direção de n(t)), absurdopois são linearmente independentes.

KM 6= 0; pois caso contrário teríamos @n(t)@ti

; 1 � i � n linearmente dependentes,

ou seja, teríamos (y(t) � n(t))@n(t)@ti

linearmente dependentes, que somados a uma

direção �xa�y(t) � @n(t)

@ti

�n(t) continuariam linearmente dependentes, absurdo

pois@x(t)

@ti; 1 � i � n são linearmente independentes por hipótese.

� Logo temos que y(t) � n(t) 6= 0 e KM 6= 0:

� Deste modo, a está demonstrado. �

b)KM 6= 0 em todo ponto e y(t):n(t) 6= 0, KM > 0 em todo pontoe L está estritamente dentro de M.

(() Suponha que KM > 0 e que L está estritamente dentro de M.

� Note que KM > 0 implica que M é localmente convexo em todo ponto,

23

ou seja, M tem interior (lembre que M é compacto) e é convexo: Aindamais, os planos tangentes a M nunca passam por seu interior, devido àconvexidade global.

� É claro que KM 6= 0 em todo ponto, por hipótese.

� Note que a condição y(t) � n(t) 6= 0 é equivalente à de que nenhum planotangente passa pela fonte L. Mas por hipótese L está no interior de M, logonenhum plano tangente passa por L, completando o resultado.

()) Suponha KM 6= 0 em todo ponto e x(t):n(t) 6= 0:

� Note que dizer que KM 6= 0 em todo ponto é equivalente a dizer queKM > 0 em todo ponto.

� E como a envoltória de todos os planos tangentes a M preenchem todoo espaço exceto o interior de M, se temos que y(t) � n(t) 6= 0 então L deveestar no interior de M.

� Assim, b está demonstrado. �

Então, por a e b, temos o resultado: �

Teorema Auxiliar 1

A envoltória dos raios re�etidos por M é igual à envoltória das normais a W.

DEMONSTRAÇÃO :

� Na verdade basta mostrar que os raios re�etidos estão contidos nasnormais a W. Ou seja, vou mostrar que Lyy é perpendicular a W.

� Como se trata de um resultado auxiliar, ilustrativo, vou demonstrar oteorema para 1-variedades apenas.

� Observe que a partir do Teorema A1 , sabemos que W é 1-variedade, entãovamos assumir parametrizada pelo comprimento de arco.

� Se L é a origem e y(t) é ponto de M, então x(t) = 2(y(t) � n(t))n(t) é pontode W. Daqui em diante assuma n(t) normal a M unitário exterior e T(t) tangentea M unitário.

24

� Provar que Lyy é normal a W é provar que (y(t)� x(t)) � TW (t) = 0 , ondeTW (t) é a tangente unitária a W em Ly.

� Então TW (t) = (2(y �N)N)0 = 2(y0 �N)N + 2(y �N 0)N + 2(y �N)N 0

= 2(T �N)N + 2(y � (�KT ))N + 2(y �N)(�KT )= 0 + 2(y � (�KT ))N + 2(y �N)(�KT )= �2K(y � T )N � 2K(y �N)T= �2K(y � T )N � 2K(y �N)T= �2K [ (y � T )N + (y �N)T ]

� Assim:(y � x) � TW = �2K(y � x) � [ (y � T )N + (y �N)T ]= �2K [ (y � T )(N � y) + (y �N)(y � T )� (y � T )(x �N)� (y �N)(x � T )]= �2K [ (y � T )(N � y) + (y �N)(y � T )� (y � T ) [2(y �N)(N �N)]� (y �N) [2(y �N)(N � T )]]= �2K [ (y � T )(N � y) + (y �N)(y � T )� (y � T ) [2(y �N) � 1]� (y �N) [2(y �N) � 0]]= �2K [ (y � T )(N � y) + (y �N)(y � T )� 2(y � T )(y �N)] = 0

� Então Lyy é normal a W, como queríamos. �

Teorema Auxiliar 2

A envoltória das normais a W é igual ao locus dos centros decurvatura de W.

DEMONSTRAÇÃO :

� Como se trata de um resultado auxiliar, ilustrativo, vou demonstraro teorema para 1-variedades apenas.

� Observe que a partir do Teorema A1 , sabemos que W é 1-variedade,então vamos assumir parametrizada pelo comprimento de arco.

� Note que a normal a W em x(t) �e fz j (z � x(t)) � TW (t) = 0g :

� Para F : R� Rn �! R suave, F (t; z) = (z � x(t)) � TW (t) ; fam�{liadas normais a W, a envoltória é o conjunto dos z tais que 9 t comF (t; z) =

@F (t; z)

@t= 0 por de�nição.

� Então:

F (t; z) = 0 �! (z � x(t)) � TW (t) = 0 , logo z está na normal a W.

25

@F (t; z)

@t= 0 �! z � T 0

W � x0 � TW � x � T 0W = 0

z � (KWNW )� TW � TW � x � (KWNW ) = 0z � (KWNW )� 1� x � (KWNW ) = 0KWNW (z � x) = 1KWN

2W (z � x) = NW

KW (z � x) = NW

z = x+NWKW

; z está sobre a normal e a uma distância de1

KW

de x(t) :

� Como z está na normal a x(t) e à distância de 1

KW

, então z é centrode curvatura de W. �

Teorema Auxiliar 3

O conjunto de bifurcação da função distância ao quadrado da fonte L(origem) à frente de onda W é a cáustica gerada por W.

DEMONSTRAÇÃO :

� Como se trata de um resultado auxiliar, ilustrativo, vou demonstraro teorema para 1-variedades apenas.

� Observe que a partir do Teorema A1 , sabemos que W é 1-variedade,então vamos assumir parametrizada pelo comprimento de arco.

� Note que a normal a W em x(t) é fu j (x(t)� u) � TW (t) = 0g :

� Para F : R� Rn �! R suave, F (t; u) = (x(t)� u)� (x(t)� u)unfolding versal da função distância ao quadrado (ver [1], pg 161)da fonte L à frente de onda W fd(t) = (x(t)� 0) � (x(t)� 0) , o conjuntode bifurcação é o conjunto dos u tais que 9 t com@F (t; u)

@t=@2F (t; u)

@t2= 0 por de�nição.

�Mas note que @F (t; u)@t

= (u� x(t)) � TW (t) = 0 implica que

estamos na normal a W em x(t), e@2F (t; u)

@t2= 0 , analogamente

ao Teorema Auxiliar 2, implica que estamo sobre o centro decurvatura de W em x(t).

26

� Assim, o conjunto de bifurcação da função distância ao quadrado de L a Wé o locus dos centros de curvatura de W, ou seja, a cáustica de W.

Teorema A2

Uma envoltória E(F) de uma família de funções F : U �N ! R , ondeU é o espaço dos parâmetros xi , é variedade se as seguintes condiçõessão satisfeitas:

a) A matriz

266664@F@x1

::: @F@xn

@F@y1

::: @F@yn+1

@2F@x21

::: @2F@x1@xn

@2F@x1@y1

::: @2F@x1@yn+1

... . . . ...... . . . ...

@2F@xn@x1

::: @2F@x2n

@2F@xn@y1

::: @2F@xn@yn+1

377775 tem posto máximo.

b) A matriz

2664@2F@x21

::: @2F@x1@xn

... . . . ...@2F

@xn@x1::: @2F

@x2n

3775 tem posto máximo.DEMONSTRAÇÃO :

� Antes lembre que a envoltória da família F é a imagem E(F) do conjunto:

D(F ) =

�(x; y) j F (x; y) = @F (x; y)

@x1= ::: =

@F (x; y)

@xn= 0

�sob a projeção

� : U �N �! N:

a) Grad F, Grad@F (x; y)

@x1; :::; Grad

@F (x; y)

@xnsão linearmente independentes

(equivalente à primeira condição).

� Suponha Grad F, Grad @F (x; y)@x1

; :::; Grad@F (x; y)

@xnlinearmente

independentes.

� Quero que D(F ) seja variedade, pois caso contrário a projeção�(D(F )) = E(F ) poderia herdar pontos não regulares.

� Seja G : U �N �! Rn+1; onde G(x; y) =�F (x; y);

@F (x; y)

@x1; :::;

@F (x; y)

@xn

�:

Então D(F ) = G�1(0) , pois é exatamente:

D(F ) =

�(x; y) j F (x; y) = @F (x; y)

@x1= ::: =

@F (x; y)

@xn= 0

�:

27

� O jacobiano de G é :

266664@F@x1

::: @F@xn

@F@y1

::: @F@yn+1

@2F@x21

::: @2F@x1@xn

@2F@x1@y1

::: @2F@x1@yn+1

... :::...

... . . . ...@2F

@xn@x1::: @2F

@x2n

@2F@xn@y1

::: @2F@xn@yn+1

377775

=

26664GradF

Grad@F (x;y)@x1...

Grad@F (x;y)@xn

37775 :

Sabemos que G é submersão se Grad F, Grad@F (x; y)

@x1; :::; Grad

@F (x; y)

@xnlinearmente independentes. Mas esta é a hipótese.Assim concluímos que G é submersão, e com isso queG�1(0; 0) = D(F ) é (n+ n+ 1)� (n+ 1) = n-variedade: �

b) A matriz

2664@2F@x21

::: @2F@x1@xn

... . . . ...@2F

@xn@x1::: @2F

@x2n

3775 tem posto máximo.� Suponha que a matriz acima tem posto máximo.

� Como D(F ) é uma variedade (foi provado em a), então seja : Rn �! U �N uma parametrização de D(F ).

� Temos que mostrar que a projeção � : U �N �! N restrita a D(F ) �e imersão.

Temos então que saber se � � �e imersão, ou seja, se D(� � ) tem posto máximo.

� Pela regra da cadeia temos D(� � )(p) = D(�( (p))) �D( (p)); p no domínio de .

� Como J(�( (p))) =

264264...0...

3752641 0

. . .0 1

375375(n+1)�(n+n+1)

E como J( (p)) =

266664�F F FF F F

�24 A

35377775(n+n+1)�(n)

então J((� � )(p)) = A(n+1)�(n):

28

Assim nosso problema se resume a provar que A tem posto máximo(posto n), ou seja, provar que dentre as n+ 1 linhas de A existem nlinearmente independentes.

� Agora tenha em mente o seguinte passo importante:A imagem de D é igual ao núcleo de DG localmente.

� A�rmo que A tem posto máximo se e somente se

26666666664

q1...qnT0...0

37777777775(n+1+n)�(1)

não está na imagem

de D ;onde os qi e T podem ser qualquer coisa e o T pode estar em qualquer uma das n+1 últimas

entradas.Vamos supor sem perda que T está na posição como acima.

Então isso não pode acontecer:(se isso acontece, então A não tem posto máximo)

266664�F F FF F F

�24 A

35377775(n+n+1)�(n)

264�1...�n

375 =

26666666664

q1...qnT0...0

37777777775(n+1+n)�(1)

ou seja, isso não pode acontecer:2664 A

3775(n+1)�(n)

264�1...�n

375 =26664T0...0

37775(n+1)�(1)

ou seja, isso não pode ocorrer :(T = 0 pois a primeira linha da matriz acima certamenteé combinação linear das demais)

29

2664 A

3775(n+1)�(n)

264�1...�n

375 =2666400...0

37775(n+1)�(1)

�Mas a imagem de D é igual ao núcleo de DG localmente. Então isso não pode ocorrer:

266664@F@x1

::: @F@xn

@F@y1

::: @F@yn+1

@2F@x21

::: @2F@x1@xn

@2F@x1@y1

::: @2F@x1@yn+1

... :::...

... . . . ...@2F

@xn@x1::: @2F

@x2n

@2F@xn@y1

::: @2F@xn@yn+1

377775

26666666664

q1...qn00...0

37777777775(n+n+1)�(1)

= 0:

�Mas se o bloco

2664@2F@x21

::: @2F@x1@xn

... . . . ...@2F

@xn@x1::: @2F

@x2n

3775 tem posto máximo; então issonão pode acontecer, a não ser que qi = 0; que é absurdo por hipótese. �

� Então, por a e b, temos o resultado. �

Teorema A3

Se para todo (x; y) em D(F ) temos x 6= 0 e y não é centro de curvaturade W em x, então a envoltória E(F ) é variedade. Lembre que no contexto de envoltórias,

D(F ) =

�(x; y) j F (x; y) = @F (x; y)

@x1= ::: =

@F (x; y)

@xn= 0

�DEMONSTRAÇÃO :

� Como W é variedade por hipótese, então seja parametrizaçãox : U �! Rn+1; subconjunto U aberto de Rn contendo a origem.

� Como F (x(t); y) =�y � 1

2x(t)

�� x(t); então:

� Xi(t) =@F (t; y)

@ti= �1

2

@x(t)

@ti� x(t) +

�y � 1

2x(t)

�� @x(t)@ti

= (y � x(t)) � @x(t)@ti

30

� Xij(t) =@F (t; y)

@ti@tj= (y � x(t)) � @

2x(t)

@ti@tj� @x(t)

@ti� @x(t)@tj

� Grad (F (t; y)) = (X1(t); :::; Xn(t); x1(t); :::; xn+1(t))

� Grad (@F (t; y)

@ti) = (X1i(t); :::; Xni(t);

@x1(t)

@ti; :::;

@xn+1(t)

@ti)

� J =

26664GradF

Grad@F (x;y)@x1...

Grad@F (x;y)@xn

37775 =

"Xi(t) xi(t)

Xij(t)@xi(t)@tj

#(1+n+1)�(n+n+1)

� Agora vamos veri�car as condições a e b do Teorema A2:

a) A matriz

266664@F@x1

::: @F@xn

@F@y1

::: @F@yn+1

@2F@x21

::: @2F@x1@xn

@2F@x1@y1

::: @2F@x1@yn+1

... . . . ...... . . . ...

@2F@xn@x1

::: @2F@x2n

@2F@xn@y1

::: @2F@xn@yn+1

377775 ="Xi(t) xi(t)

Xij(t)@xi(t)@tj

#

tem posto máximo, ou seja, Grad F, Grad@F (x; y)

@x1; :::; Grad

@F (x; y)

@xnsão linearmente independentes.

� Vamos provar que J tem posto máximo, ou seja, posto n+1.

� Com certeza o bloco @xi(t)@tj

tem posto n (pois x é parametrização da

variedade W), então se ao menos algum Xi é6= 0 então J tem poston+1, e temos o resultado.

�Mas suponha que todos os Xi são iguais a 0. Desse modo provaremosnossa proposição mostrando que x(t) é linearmente independente das

linhas@x(t)

@tjdo bloco

@xi(t)

@tj: Isto implicaria que o bloco

"xi(t)@xi(t)@tj

#tem posto

máximo (n+ 1), que por sua vez implicaria que a matriz da hipótese temposto máximo. Assim assuma por absurdo que x(t) é

combinação linear de@x(t)

@tj: Então as condições 0 = Xi(t) = (y � x(t)) � @x(t)

@ti

implicam que 0 = Xi(t) = (y � x(t)) � x(t) que com�y � 1

2x

�� x = 0

31

permite que x(t) = 0; contradição pois por hipótese x(t) 6= 0: �

b) A matriz

2664@2F@x21

::: @2F@x1@xn

... . . . ...@2F

@xn@x1::: @2F

@x2n

3775 = Xij(t) tem posto máximo.

� Por uma mudança apropriada de coordenadas, podemos supor que @x@ti

� @x@ti

= �ij (delta

de kronecker). Assim y�x(t) é ortogonal a W, e a matriz (y�x(t)) � @2x

@ti@tjé a segunda forma

fundamental de W em x(t) na direção de y � x(t) (veja [12] pg. 33). Seus autovalores são ascurvaturas principais de M em x(t), na direção de y � x(t). Então Xij é singular se, e somentese 1 é curvatura principal, ou seja, se y é centro de curvatura de W em x(t). Mas pela hipóteseeste não é o caso. �

� Assim, por a e b, temos o resultado. �

Teorema A4

Se W é a ortotômica de um espelho M com KM > 0 em todo ponto e com afonte L estritamente dentro de M, temos que x(t) 6= 0 e y não é centro decurvatura de W em x.

DEMONSTRAÇÃO :

a) x(t) 6= 0:

� Como KM > 0 em todo ponto , então a ortotômica W está sempre forade M, pois W está sempre do lado do plano tangente oposto ao lado deM, e M é localmente convexa em todo ponto (ver de�nição de ortotômica).E como a fonte L, que é a origem 0, está estritamente dentro de M, éimpossível que W contenha L, ou seja, que a origem 0 seja igual a x. �

b) y não é centro de curvatura de W em x.

� Suponha (x; y) em D(F ):

� Então @F (t; y)@ti

= (y � x(t)) � @x(t)@ti

= 0; 1 � i � n; ou seja, y está nanormal a W em x.

� E também: F (x; y) =�y � 1

2x

�� x = 0; ou seja, y está no plano bissetor

32

à reta ligando L e x.

� Este plano e esta reta se interceptam em um único ponto. Isto é claro,pois caso contrário x(t) estaria no plano, o que implicaria x = L (veja ade�nição de ortotômica e lembre que o x é simétrico de L em relação aoplano), ou seja, implicaria x = 0, que é impossível por a.

� Então para cada x em W existe um único y com (x; y) em D(F ), e o locusdestes pontos y é exatamente o espelho M.

� Agora se y fosse o centro de curvatura de W em x, então y estaria nacáustica (veja o Teorema Auxiliar 2). Vou mostrar que isso é um absurdo.

� Suponha por absurdo que y é centro de curvatura de W em x.

� Sem perda de generalidade, suponha que y corresponde ao valor t = 0 doparâmetro do espelho.

� A função distância ao quadrado sobre W a y(0) deve ter coposto positivo,ou seja, sua derivada segunda não pode ter posto máximo (veja propriedadesda função distância ao quadrado em [1], pg. 22).

� Como W é dada parametricamente por 2(y(t) � n(t))n(t) , então a funçãoem questão é �(t) = k2(y(t) � n(t))n(t) � y(0)k2:

� Uma pequena conta mostra que em t = 0:@2�

@ti@tj= 4

�@y

@tj� @n@ti

�(y � n) = �4

�@2y

@ti@tj� n�(y � n) :

� Como curvatura gaussiana é positiva, por [12] pg.36, a matriz com

entradas�@2y

@ti@tj� n�é não singular, e como y � n 6= 0, isto contradiz

nossa hipótese de que � tem coposto positivo. �

� Assim, por a e b, temos o resultado: �

Teorema A5

Qualquer deformação suave na frente de onda W pode ser realizada por umadeformação suave no espelho M.

DEMONSTRAÇÃO :

� Suponha que W é como no Teorema A4.

33

� Considere uma deformação suave G : W � U �! Rn+1 da ortotômica W,com U aberto em Rm , 0 2 U e G0 a inclusão trivial, onde Gu : W �! Rn+1é de�nida por Gu(x) = G(x; u):

� Encolhendo U se necessário, podemos assumir que cada Gu é uma imersão,e que Gu satisfaz as hipóteses do Teorema A3.

� Assim temos uma envoltória Eu, para cada u em U, o que geometricamentesigni�ca o espelho Eu originando a ortotômicaWu = Gu(W ) .

� Agora o que temos que mostrar é que Eu depende suavemente de u.

� Seja p 2 W , e seja V � Rn aberto, com x : V � U �! Rn+1parametrizando suavemente os Wu , u 2 W , em alguma vizinhança de p.

� Considere D(V) = { (t; u; y) 2 V � U � Rn+1 j

F (x; y) =

�y � 1

2xu(t)

�� x = 0; @F (t; u; y)

@ti= 0; 1 � i � n g:

� A�rmo que D(V ) pode ser parametrizado por t e u. De fato, comox(t) = (x1(t); :::; xn(t)) 6= 0 por hip�otese e

@F

@yi= xui (t) ;então

@F

@yi6= 0 e pelo Teorema da Função Implícita, como @F

@yi6= 0 (da parte a

do Teorema A3); podemos escrever D(V ) como f(t; u; y(t; u))g ;e oscorrespondentes subconjuntos das envoltórias Eu são suavementeparametrizados por (t; u) �! y(t; u) :

� Assim mostramos que Eu depende suavemente de u, e que dada umadeformação Wu temos sembre uma Eu. Com isso mostramos que qualquerdeformação suave na frente de onda W pode ser realizada por umadeformação suave no espelho M. �

CAPÍTULO 2

Neste segundo capítulo trataremos o caso particular do espelho M como curva imersano R2, que re�ete os raios luminosos emitidos por uma fonte L e, de forma análoga ao capítuloanterior, a envoltória dos raios re�etidos é a cáustica. Desta vez vamos descrever uma técnicasimples, baseada em cônicas, para obtermos propriedades locais desta cáustica.

34

Uma vez que a cáustica é gerada pela frente de onda W, é muito esperado que suaspropriedades devam ser analisadas através de W. Neste capítulo primeiramente estudaremos acáustica através de W, descrevendo seus pontos e suas singularidades via W. Paralela e sabia-mente, e é aqui que está a novidade, faremos também o estudo da cáustica via M diretamente,eliminando a ortotômica intermediária W, atentando para o grande resultado deste capítulo, ofato de que existe sempre, para cada ponto P do espelho M, uma única cônica não singular comcontato � 3 com M em P, com um dos focos na fonte L, e usando este fato para descrever ospontos da cáustica e suas singularidades via M.

Então neste segundo capítulo da tese faremos assim:

� Sejam KM > 0 e L estritamente dentro de M (M compacto) as condições iniciais sobreM.

� Já mostramos no Capítulo 1 que dadas estas condições iniciais as curvas M e W sãovariedades. E que a cáustica é genérica. Mas este é um resultado independente do que veremosneste capítulo.

� Os Teoremas B1, B2, B3 são resultados que vão auxiliar na demonstração do importanteTeorema B4, que relaciona (iguala) a ordem de contato de duas curvas com a ordem de con-tato de suas respectivas ortotômicas. Isso vai ser de vital importância para caracterizarmos assingularidades da cáustica no Teorema B8.

� O Teorema B5 é o principal e garante que para cada ponto P de M, supondo ascondições iniciais, existe uma única cônica não singular com contato de ordem� 3 comMem P, com um dos focos em L.

�O Teorema Auxiliar 2 já dizia que o ponto da cáustica correspondente a P emM é o centrodo círculo osculador a W em Q.

Agora via M, as construções do Teorema B6 dizem que o ponto da cáustica correspon-dente a P em M é o outro foco da única cônica com contato de ordem � 3 com M emP.

� O Teorema B6 garante que seKW (Q) 6= 0 e L está dentro (fora) do círculo osculador a Wem Q a cônica associada é uma elipse (hipérbole). E se temos KW (Q) = 0 a cônica associadaé a parábola.

Agora via M, o Teorema B7 garante que se L está dentro, fora ou sobre o círculodiscriminante a M em P a cônica associada é uma elipse, hipérbole ou parábola, respecti-vamente.

� O Teorema B8 garante que um vértice em Q ponto de W corresponde a uma cúspide noponto correspondente da cáustica.

35

Agora via M, ainda o Teorema B8 na segunda parte diz que quando a (única) cônicacom contato de ordem � 3 com M em P tem na verdade contato de ordem � 4 com M emP, o ponto P corresponde na cáustica a uma cúspide.

Assim, concluímos os objetivos do Capítulo 2.

CAPÍTULO 2 - TEOREMAS:

Teorema B1

Suponha que duas curvas planas têm tangente em comum num ponto comum.Seja (0; 0) este ponto e seja y = 0 a tangente.Parametrizando as curvas localmente por x e fazendo localmente y = f(x)e y = g(x), f e g suaves, suponha também f(0) = f 0(0) = g(0) = g0(0) = 0:

As duas curvas têm:

a) Contato de ordem � 3 em P () tem a mesma K(x) em P:

b) Contato de ordem � 4 em P () tem a mesma K(x) e@K(x)

@sem P ,

s comprimento de arco.

DEMONSTRAÇÃO :

a) Contato de ordem � 3 em P () tem a mesma K(x) em P:

� Como para (x(t); y(t)) temos k(t) = x0y00 � x00y0

((x0)2 + (y0)2)32

;

ent~ao para (x; f(x)), vem: k(x) =1 � f 00(x) � 0 � f 0(x)

(1 + f 0(x)2)32

; ou seja:

k(x) =f 00(x)

(1 + f 0(x)2)32

.

� Logo k(0) = f 00(0) , o que prova a. �

b) Contato de ordem � 4 em P () tem a mesma K(x) e@K(x)

@sem P ,

36

s comprimento de arco.

� Note que

K 0(x) =f 000(x) � [1 + f 0(x)2]

32 � f 00(x) � 3

2� [1 + f 0(x)2]

12 � 2 � f 0(x) � f 00(x)

(1 + f 0(x)2)3:

� Então :

K 0(0) =f 000(0) � [1 + f 0(0)2]

32 � f 00(0) � 3

2� [1 + f 0(0)2]

12 � 2 � f 0(0) � f 00(0)

(1 + f 0(0)2)3

=f 000(0) � 1 � 0

(1 + 0)3= f 000(0) :

� E como @K(x)@s

= K 0(x) � @x@s= K 0(x) � 1

jj (x ; f(x)) jj= K 0(x) � 1

(1 + f 0(x)2)12

f Pois se s =R x0jj(x ; f(x))jj dx; ent~ao @s

@x= jj(x ; f(x))jj ; e assim

@x

@s=

1

jj(x ; f(x))jj =1

(1 + f 0(x)2)12

g :

� Logo @K(0)@s

= K 0(0) ; o que prova b: �

Teorema B2

Suponha KM(P ) 6= 0: Seja p a distância de L à tangente a M em P.Seja r = LP 6= 0: Seja P = (x; y) . Então:

KW (Q) =2 � r2 �KM(P ) � p

2 � r3 �KM(P )

DEMONSTRAÇÃO :

� Observação:

Tomando L = (0; 0), e s comprimento de arco, podemos usar r como

parâmetro local se@r(s)

@s6= 0; ou seja, se tivermos: @(x; y)

@s6= 0; o

37

que implica�@x

@s;@y

@s

�� (x; y) 6= 0 (supondo L 6= P ): Isto implica

que L não está na normal a M em P.

� Tome o resultado conhecido KM(P ) =1

r

@p

@r.

� Sejam p0 e r0 as coordenadas pedais de W em Q. Note (olhe a

�gura) que r0 = 2p e p0 =2p2

r; devido à semelhança

4PLU � 4LTQ :

� Observação:

Como L não pode estar na normal a W em Q (pois coincidiria coma normal a M em P, que pela hipótese não passa em L), então r0pode ser usado como parâmetro local.

� Então usando as fórmulas: KW (Q) =1

r0

@p0@r0

e

38

KM(P ) =1

r

@p

@r=1

2p�@p0@r@r0@r

=1

2p�

@

@r

�2p2

r

�@

@r(2p)

=4p@p

@r� 2p2

r2� 1

2p � 2@p@r

=4prKM(P ) � r � 2p2

2pr2 � 2rKM(P )

e KW (Q) =2pr2KM(P )� p2

2pr3 �KM(P ), como queríamos.

� E como as funções envolvidas são contínuas, as fórmulas devemse manter válidas quando L está na normal a P (mas não L = P ). �

Teorema B3

Se s é o comprimento de arco de M e t o comprimento de arco de W, então,

com a orientação apropriada, temos:@t(s)

@s= 2KMr :

DEMONSTRAÇÃO :

� Se L = (0; 0) e P = (x; y) , temos:

r2 = x2 + y2 ; ent~ao r@r

@s= x

@x

@s+ y

@y

@s

e então�@r

@s

�2=x@x

@s+ y

@y

@sr2

=r2 � p2

r2(�)

� Note que r2 � p2 =

�x@x

@s+ y

@y

@s

�2(��) ; pois :

p = (x; y) � (normal) = (x; y) ��@y

@s;�@x

@s

�= x

@y

@s� y

@x

@s

39

e como�@x

@s

�2+

�@y

@s

�2= 1

(pois jj T jj = 1 quando parametrizamos pelo comprimento de arco), então:

x2@x

@s

2

+ 2xy@x

@s

@y

@s+ y2

@y

@s

2

= r2 � p2 = x2 + y2 � x2@y

@s

2

+ 2xy@x

@s

@y

@s� y2

@x

@s

2

= x2@x

@s

2

+ x2@y

@s

2

+ y2@y

@s

2

+ y2@x

@s

2

= x2 + y2; e voltando temos o resultado.

� Então, por (�) e (��) , temos que:�@r

@s

�2=r2 � p2

r2e similarmente

�@r0@t

�2=r20 � p20

r20=

(2p)2 ��2p2

r

�2(2p)2

=4p2 � 4p4

r2

4p2=4p2r2 � 4p4

4p2

=r2 � p2

r2

� Logo

�@t

@s

�2=

�@t

@r0

�2��@r0@r

�2��@r

@s

�2=

=

0B@ 1

r2 � p2

r2

1CA2

��@r0@r

�2��r2 � p2

r2

�2=

�@r0@r

�2(� � �)

E como r0 = 2p; temos@r0@r

= 2@p

@r= 2KMr ;

Logo@t

@s= 2KMr :

� Note que r 6= p ; pois p é oposto a um ângulo agudo e r oposto a umângulo reto (olhe a �gura). Se isso não ocorresse, não valeria (� � �) : �

Teorema B4

Duas curvas M1 e M2 têm contato de ordem � 3 em P() As respectivasortotômicas W1 e W2 com respeito a L têm contato de ordem � 3 em Q.

40

(o mesmo para contato de ordem 4).

DEMONSTRAÇÃO :

a) Primeiro caso: contato de ordem 3:

� Como (pelo teorema B2) KW1 =2r2KM1 � p

2r3KM1

; se M1 tem contato de

ordem � 3 comM2 então KM1 = KM2 (pelo Teorema B1) . E como sódependem de KW1 e KW2 só dependem de KM1 e KM2 ;temos assimKW1 = KW2 : A volta é análoga. �

b) Segundo caso: contato de ordem 4:

� Derivando KW com respeito a s, vem:

@KW

@s=

=

�2 � 2r � @r

@s�KM + 2r

2@KM

@s� @p

@s

�� 2r3KM � (2r2KM � p) �

�2 � 3r2@r

@sKM + 2r

3@KM

@s

�4r6K2

M

=8r4K2

M

@r

@s+ 4r5KM

@KM

@s� 2r3KM

@p

@s� 12r4K2

M

@r

@s� 4r5KM

@KM

@s+ 6pr2KM

@r

@s+ 2r3p

@KM

@s4r6K2

M

=

�4r4K2M

@r

@s-2r3KM

@p

@s+ 6pr2KM

@r

@s+ 2r3p

@KM

@s

4r6K2M

� � �Observação: -2r3KM@p

@s= -2r3KM

@p

@r

@r

@s= -2r4K2M

@r

@s;

pois@p

@r= rKM :

Continuando:

=�4r4K2

M

@r

@s� 2r3KM

@p

@s+ 6pr2KM

@r

@s+ 2r3p

@KM

@s4r6K2

M

=�6r4K2

M

@r

@s+ 6pr2KM

@r

@s+ 2r3p

@KM

@s4r6K2

M

41

=�3r2K2

M

@r

@s+ 3pKM

@r

@s+ rp

@KM

@s2r4K2

M

:

�Mas (pelo Teorema B3) temos que@t

@s= 2KMr : Logo :

@KW

@t

@t

@s=@KW

@s) @KW

@t=

1

2KMr

@KW

@s:

Assim:@KW

@t=�3r2K2

M

@r

@s+ 3pKM

@r

@s+ rp

@KM

@s2r4K2

M

� Então se M1 tem contato � 4 com M2 , temos (pelo Teorema B1) que

KM1 =KM2 e@KM1

@s=@KM2

@s:

� Então como KW1 e KW2 s�o dependem de KM1 e KM2 ; e como@KW1

@se@KW2

@ss�o dependem de

@KM1

@se@KM2

@s; que são iguais,

de@r

@s=r2 � p2

r2fixo, e KM1 e KM2 que s~ao iguais, então temos

KM1 =KM2 e@KM1

@t=@KM2

@t; o que implica que W1 tem

contato � 4 com W2. �

Teorema B5

Supondo KM > 0 e L estritamente no interior de M,Então existe uma única cônica não singular com contato de ordem � 3com M em P, com um dos focos em L.

DEMONSTRAÇÃO :

� Seja L = (u; v) e P = (0; 0) , com tangente y = 0. Suponha v > 0.Suponha que a cônica tem contato � 3 com M em P. temos que provarque a cônica existe e é única. ( Basta mostrar que, dadas as hipóteses,L existe e é unicamente determinado ).

42

� Uma cônica geral tem equação ax2 + 2hxy + by2 + cx+ dy + e = 0 .A cônica da �gura tem y(0) = 0 e y 0(0) = 0 ( fazendo localmente(x; y(x)) ).

� Então para (0; 0) temos:a � 0 + 2h � 0 + b � 0 + c � 0 + d � 0 + e = 0 =) e = 0 :

� E para y 0(0) = 0 e (0; 0) , derivando em x, vem:2ax+ 2hy + 2hxy0 + 2byy0 + c+ dy0j0 = 02a � 0 + 2h � 0 + 2h � 0 + 2b � 0 + c+ d � 0 = 0 =) c = 0 :

� Logo a equação é: ax2 + 2hxy + by2 + dy = 0 .E como d 6= 0 ; pois a cônica não é singular, vem:ax2 + 2hxy + by2 + y = 0 .

� A curvatura da cônica em (0,0) , como vimos no Teorema B1, é

K =y0(x)

1 + y0(x)2; e em (0; 0) temos K(0; 0) = y00(0) .

Mas y00(0) = �2a, veja: ((derivando de novo em x) :2a+ 2hy0 + 2hy0 + 2hxy00 + 2by02 + 2by0y00 + y00j0 = 02a+ 2h � 0 + 2h � 0 + 2h � 0 + 2b � 0 + 2b � 0 + y00 = 0 =) y00(0) = �2a :

� Como a cônica tem contato � 3 com M, então �2a = KM , logo a =�KM

2

43

é �xo e 6= 0:

� Existe um resultado que diz que, para a cônica da �gura, temos:4(h2 � ab)(v2 � u2) = 4av + 4hu+ 1 (1)2(h2 � ab)uv = au� hv (2)

� Vamos determinar h : (1) � 12uv � (2) � (v2 � u2) :

2uv(h2 � ab)(v2 � u2)� 2(h2 � ab)(v2 � u2)uv =

= 2auv2 + 2hu2v +1

2uv � (v2 � u2)(au� hv)

0 = 2auv2 + 2hu2v +1

2uv � auv2 + hv3 + au3 � hvu2

0 = auv2 +1

2uv + hu2v + hv3 + au3

0 = 2auv2 + uv + 2hu2v + 2hv3 + 2au3

h =�2av2u� uv � 2au3

2u2v + 2v3=) h =

�(2av2u+ uv + 2au3)

2v(u2 + v2)

E como v 6= 0 ; 2v(u2 + v2) 6= 0 ; e assim h está determinado.

� Vamos determinar b :Como (v2 � u2) e uv não podem ser ambos zero ( pois v = �u e u ou v = 0 )v = 0; absurdo ); então:

a) se (v2 � u2) 6= 0 ; por (1) vem : (h2 � ab) =4av + 4hu+ 1

4(v2 � u2))

b =�(4av + 4hu+ 1)4(v2 � u2)a

+h2

a; e assim b está determinado.

b) se uv = 0 , por (2) vem : (h2 � ab) =au� hv

2uv)

b =�(au� hv)

2uva+h2

a; e assim b está determinado.

� Desta forma achamos a; h; b únicos, como queríamos. �

Teorema B6

Se KW = 0 , a ortotômica da (única) cônica (elipse ou hipérbole) que temcontato � 3 com M em P é o círculo osculador a W em Q. Se KW 6= 0 o

44

círculo osculador a W em Q se transforma na tangente a W em Q, e acônica é a parábola.

DEMONSTRAÇÃO :

a) ELIPSE :

� Note que no caso da elipse, existe a propriedade a+ b = k constante.E quando construímos a ortotômica, achamos o simétrico a L pelatangente, o ponto Q. Veja que PQ = a . Então a ortotômica está semprea uma distância a+ b de F, mas a+ b é constante igual a k. Logo aortotômica é um círculo.

� Se a elipse tem contato de ordem � 3 com M, então o círculo temcontato de ordem � 3 com W ( por D ), logo é o círculo osculador aW em Q. �

b) HIPÉRBOLE:

� No caso da hipérbole, temos a propriedade a� b = c , com cconstante, e analogamente ao caso da elipse, a ortotômica é umcírculo.

45

� Se a hipérbole tem contato de ordem � 3 com M em P, o círculo temcontato de ordem � 3 com W em Q, logo é o círculo osculador a Wem Q. �

c) PARÁBOLA:

� No caso da parábola, temos a propriedade de que, para um ponto Pqualquer da parábola, a distância LP é igual à distância PQ, onde Qestá na reta geratriz, e L é o foco �nito. Então, quando construímos aortotômica à parábola é claro que ela coincide com a reta geratriz daparábola.

46

� Assim, se a parábola tem contato � 3 com M, então a reta temcontato � 3 com W. �

Observações �nais:

i)KW (Q) = 0 () a cônica (única e não singular) é uma parábola:

(=)) Suponha KW (Q) = 0 :

� Como sabemos que existe a cônica, e que ele é única e não singular,ela só pode ser uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.�Mas como KW (Q) = 0 ; então não temos círculo osculador a W em Q.� Logo pelos resultados anteriores a cônica não pode ser nem a elipsenem a hipérbole. Mas o teorema principal garante que ela existe e é nãosingular. Só pode ser a parábola.

((=) Suponha que a cônica é a parábola.

� Então pelo resultado anterior a sua ortotômica é uma reta.� Assim; como a reta tem contato � 3 com W, então KW (Q) = 0 : �

ii) KW (Q) 6= 0 ; L dentro do círculo osculador a W em Q() A cônica(única e não singular) é uma elipse:

(=)) Suponha KW (Q) 6= 0 e L dentro do círculo osculador a W em Q:

� Como KW (Q) 6= 0 ; j�a sabemos que a cônica não é uma parábola.� Utilize as �guras anteriores do caso da elipse e da hipérbole.� Vou mostrar que, quando L est�a dentro do c�{rculo osculador; a mediatrizde QL intercepta o raio FQ.� Vamos trabalhar com o triângulo4FLQ, onde F é o centro , Q é pontodo círculo osculador e L é interior.� Um ponto da cônica é a interseção da mediatriz de LQ com a reta suportedo segmento FQ, por construção.� V ou mostrar que a mediatriz intercepta o o interior do segmento FQ,raio do círculo, ou seja, a cônica está totalmente no interior do círculo, oque implica que ela é limitada e só pode ser a elipse.� Note que a mediatriz não intercepta nenhum dos vértices F,L,Q dotriângulo, pois : se intercepta L ou Q coincide com LQ, absurdo, pois éperpendicular a LQ. Se intercepta F, que é o centro do círculo, então LQ écorda, e L pertence ao círculo, absurdo.� Suponha por absurdo que a mediatriz não intercepta o interior de FQ.Logo, pelas propriedades de triângulos, ela tem que interceptar o interior de

47

FL. Mas assim PQ = a é maior que o raio, e como PL = PQ = a está nodiâmetro do círculo, então L está fora do círculo, absurdo.� Assim temos o resultado:

(() Suponha que a cônica é uma elipse.

� Então é claro que L, que é um foco da elipse, está dentro da elipse. Ecomo a elipse é convexa, note que a sua ortotômica está completamenteem seu exterior, e ela é o círculo osculador. Logo L está dentro da elipse,que está dentro do círculo osculador, o que implica que L está dentro docírculo osculador. �

iii) KW (Q) 6= 0 ; L fora do círculo osculador a W em Q() A cônica(única e não singular) é uma hipérbole:

� Isto é claro já que a cônica não pode ser nem uma parábola nem umaelipse, e tem que ser não singular. �

iv) Observação: L não pode estar sobre o círculo osculador a W em Q, poiscaso contrário QL é corda e a mediatriz passa por F foco da cônica, absurdopois as cônicas são convexas e suas tangentes não passam por seus focos.

Assim o resultado está completo. �

Teorema B7

A cônica :� L está dentro do círculo discriminante a M em P : ELIPSE.� L está fora do círculo discriminante a M em P : HIPÉRBOLE.� L está sobre o círculo discriminante a M em P : PARÁBOLA.

DEMONSTRAÇÃO :

� Lembre da figura :

48

� Existe um resultado que diz que, para a cônica da �gura, temos:4(h2 � ab)(v2 � u2) = 4av + 4hu+ 1 (1)2(h2 � ab)uv = au� hv (2)

� Faça (h2 � ab) = x ; assim:4x(v2 � u2) = 4av + 4hu+ 1 (1)2xuv = au� hv (2)

� Agora isole x em (1) e isole h em (2) , assim:

x =4av + 4hu+ 1

4(v2 � u2)h =

au

v� 2ux

Então, fazendo substituindo h na primeira, vem:

x =4av + 4

�auv� 2ux

�u+ 1

4(v2 � u2)=4av2 + 4au2 � 8u2xv + v

4v(v2 � u2)

x =4av2 + 4au2 + v

4v(v2 � u2)� 8u2xv

4v(v2 � u2)=4av2 + 4au2 + v

4v(v2 � u2)� 2u2x

(v2 � u2)

x+2u2x

(v2 � u2)=4av2 + 4au2 + v

4v(v2 � u2)

49

x =

4av2 + 4au2 + v

4v(v2 � u2)

2u2x

(v2 � u2)

=4a(v2 + u2) + v

4v(v2 + u2)

� Logo, temos que (h2 � ab) =4a(v2 + u2) + v

4v(v2 + u2):

� Note que (h2 � ab) é o discriminante das cônicas, ou seja, se (h2 � ab) < 0 acônica é uma elipse, se (h2 � ab) = 0 ela �e uma par�abola e se (h2 � ab) > 0 elaé uma hipérbole.

� Como a < 0 ( vimos no Teorema G que a = �KM

2) , então v >0, assim

(u; v) está no mesmo lado da cônica que o centro de curvatura, logo nointerior de M, como pede a hipótese.

� V eja que o locus dos pontos (u; v) tais que (h2 � ab) = 0 é um círculo :4a(v2 + u2) + v

4v(v2 + u2)= 0 =) 4a(v2 + u2) + v = 0 =) u2 +

�v +

1

8a

�2=

1

64a2;

com centro�0;� 1

8a

�e raio

1

8a:

� Como o centro de curvatura tem é�0;� 1

2a

�( Lembre que vimos no

Teorema B6 que y00(0) = �2a ) ;então se o círculo discriminante é o círculoque toca M e cujo centro está na metade do caminho de P até o centro decurvatura, então temos o resultado. �

Teorema B8

Um vértice em W corresponde a uma cúspide da cáustica.

Quando a (única) cônica com contato de ordem � 3 com M em P tem naverdade contato de ordem � 4 com M em P, o ponto P corresponde nacáustica a uma cúspide.

DEMONSTRAÇÃO :

� Observe que a partir das hipóteses, sabemos que W é 1-variedade, entãovamos assumir parametrizada pelo comprimento de arco.

� Note que a normal a W em �(t) �e fx j (x� �(t)) � TW (t) = 0g :

50

� Para F : R� R2 �! R suave, F (t; x) = (x� �(t)) � TW (t) ; fam�{liadas normais a W, a envoltória é o conjunto dos x tais que 9 t comF (t; x) =

@F (t; x)

@t= 0 por de�nição.

� Lembre que as singularidades nas envoltórias estão sempre nos pontos de

regressão, a saber, os pontos onde@2F (t; x)

@t2= 0 (ver Teorema A2)

� Então:

F (t; x) = 0 �! (x� �(t)) � TW (t) = 0 , logo x está na normal a W.

@F (t; x)

@t= 0 �! x � T 0

W � �0 � TW � � � T 0W = 0

x � (KWNW )� TW � TW � � � (KWNW ) = 0x � (KWNW )� 1� � � (KWNW ) = 0KWNW (x� �) = 1KWN

2W (x� �) = NW

KW (x� �) = NW

x = � +NWKW

; x está a uma distância de1

KW

de �(t) :

@2F (t; x)

@t2= 0 �! (KWNW (x� �)� 1 )0 = 0

K 0WNW (x� �) +KWN

0W (x� �) +KWNW (x� �)0 = 0

K 0WNW (x� �) +KWKWTW (x� �) +KWNW � TW = 0

K 0WNW (x� �) +K2

WTW (x� �) = 0 ; mas (x� �(t)) � TW (t) = 0 ;então : K 0

WNW (x� �) = 0 ;logo K 0

W = 0, e então em �(t) temos um vértice.

� Como x está na normal a �(t) e à distância de1

KW

, então x é centro de

curvatura de W. E como K 0W = 0 ; então as singularidades estão em pontos

da cáustica que correspondem a vértices em W. �

� Como as singularidades na cáustica correspondem a vértices em W, entãoo círculo osculador a W neste ponto tem contato de ordem � 4, e peloTeorema B4, isto implica que a (única) cônica tem contato de ordem � 4com M. �

Resumo dos Resultados:

51

1) Teorema Principal:

Supondo KM > 0 e L estritamente no interior de M, então existeuma única cônica não singular com contato de ordem � 3 com Mem P, com um dos focos em L.( Teorema B5 )

2) Corolários Finais - Propriedades da Cáustica via M e via W :

a1) Ponto da Cáustica ( via W ) :O ponto da cáustica correspondente a P em M é o centro do círculoosculador a W em Q.( Teorema Auxiliar 2 )

a2) Ponto da Cáustica ( via M ) :O ponto da cáustica correspondente a P em M é o outro foco da únicacônica com contato de ordem � 3 com M em P.( Teorema B6 )

b1) A cônica ( via W ) :� Se KW (Q) 6= 0 e L está dentro do círculo osculador a W em Q : ELIPSE.� Se KW (Q) 6= 0 e L está fora do círculo osculador a W em Q : HIPÉRBOLE.� Se KW (Q) = 0 : PARÁBOLA.( Teorema B6 )

b2) A cônica ( via M ) :� L está dentro do círculo discriminante a M em P : ELIPSE.� L está fora do círculo discriminante a M em P : HIPÉRBOLE.� L está sobre o círculo discriminante a M em P : PARÁBOLA.( Teorema B7 )

c1) Singularidades ( via W ) :Um vértice em Q ponto de W corresponde a uma cúspide no pontocorrespondente da cáustica.( Teorema B8 )

c2) Singularidades ( via M ) :Quando a (única) cônica com contato de ordem � 3 com M em P temna verdade contato de ordem � 4 com M em P, o ponto P correspondena cáustica a uma cúspide.( Teorema B8 )

52

CAPÍTULO 3

O objetivo maior deste trabalho é mostrar que uma cáustica por re�exão é genérica epode ser descrita localmente por um número �nito de modelos, obedecidas algumas condiçõesiniciais sobre o sistema espelho-fonte. No capítulo 1 demostramos isso parcialmente, citando eutilizando alguns resultados complexos nas demonstrações. Mas o que vem a ser genericidade?O que signi�ca uma cáustica ser descrita por um número �nito de modelos? O que há portrás dessas demonstrações? Vamos agora introduzir algumas notações e de�nições que vão nosauxiliar mais adiante:

Germes e Jatos:

� De�nição: Função Suave.

Suponha A � Rn subconjunto arbitrário. Uma função f : A ! Rk é chamada suavese existe U � Rn aberto e uma função F : U ! Rk tal que A � U e F jA = f; e tal queas derivadas parciais de todas as ordens existem e são contínuas. C1(n) �e o anel das funçõessuaves f : Rn; 0! R: Neste estudo só trabalharemos com funções f : Rn; 0! R:

� De�nição: Germe.

Duas funções f, g suaves de�nidas numa vizinhança de p são equivalentes perto de pse f = g em alguma vizinhança de p. Seja f : U � Rn ! R suave, onde U é vizinhançade p. Então [f ]p = germe de f em p é a classe de equivalência de f na relação de equivalên-cia de�nida anteriormente. Informalmente um germe é uma função de�nida numa vizinhançain�nitesimalmente pequena de um ponto. Muitas vezes não faremos distinção entre funções eseus germes.

� Alguns Anéis Importantes:

"(n) = anel dos germes suaves f : Rn; 0! R:"(n;m) = anel dos germes suaves f : Rn; 0! Rm:m(n) = ideal de "(n) dos germes suaves f : Rn; 0! R com f(0) = 0:m(n;m) = ideal de "(n;m) dos germes suaves f : Rn; 0! Rm com f(0) = 0:

Podemos ainda eventualmente falar dem(k) ideal de "(n+k) como ideal dos germes suavesf : Rn � Rk; 0! R com f(x; 0) = 0:

� De�nição: S-Jato.

Um s-jato de uma função f : Rn; 0! R em 0 é o polinômio de Taylor P de f truncadoaté a ordem s. Ou ainda, jsf(0) = P mod m(n)s+1. O espaço de todos os s-jatos é o Js(n).

53

Tomando as derivadas parciais como as coordenadas do jato, Js(n) é um espaço Euclideano,ou seja, tem dimensão �nita (dim Js(n) = Css+n), ao contrário do espaço das funções que ooriginam C1(n):

Por exemplo, para f : R2; 0! R; temos j2f(0; 0) =

= f(0; 0) +@f(0; 0)

@y1

y11!+@f(0; 0)

@y2

y21!+@2f(0; 0)

@y21

y212!+@2f(0; 0)

@y22

y222!+@2f(0; 0)

@y1@y2

y1y21!1!

Ou para f : R; 0! R; temos j3f(0) = f(0) + f 0(0)y

1!+ f 00(0)

y2

2!+ f 000(0)

y3

3!

� Notação básica:

Seja: � = (�1; :::; �n) ( analogamente (�; �) = (�1; :::; �n; �1; :::; �k) ) com �i e �j emN [ f0g : Então:

�! = �1! � ::: � �n!:j�j = �1 + :::+ �n:

D�f =@j�jf

@x�11 :::@x�n1

; j�j ordem de D�:

D�;�f =@j�j+j�jf

@x�11 :::@x�n1 @y

�11 :::@y

�kk

:

(x; y)�;� = x�11 � ::: � x�n1 y�11 � ::: � y�kk

hf1; :::; fniA = ideal de "(n) gerado por f1; :::; fn , com coe�cientes em A.

h@�i = h@�i"(n) =�@�

@x1; :::;

@�

@xn

�"(n)

� Propriedades dem(n):

m(n) é ideal maximal único de "(n); gerado pelas funções coordenadas x1; :::; xn comcoe�cientes em "(n); ou seja,m(n) = hx1; :::; xni"(n) : m(n) é ideal maximal único de "(n+k);gerado pelas funções coordenadas x1; :::; xn com coe�cientes em "(n + k); ou seja, m(n) =hx1; :::; xni"(n+k) :

� Propriedades dem(n)s+1:

m(n)s+1�e o ideal de "(n) dos germes suaves f : Rn; 0 ! R com f(0) = 0 sendo quef = f1 �f2 �:::�fs+1, com fi 2 m(n): Em(n)s+1 é gerado sobre "(n) pelos monômios x�11 �:::�x

�n1

com j�j = s; onde as coordenadas deRn são (x1; :::; xn):Note queD�f(0) = 0 8 j�j � s:Comisso temos que os s primeiros termos de seus jatos são nulos. Mais tarde veremos que m(n)2é o conjunto das singularidades (f(0) = Df(0) = 0), e os elementos de m(n)2 com D2f(0)

54

com posto não máximo formam o conjunto das singularidades degeneradas. As singularidadesnão degeneradas são chamadas funções de Morse. Observe que m(n)1 =

1Ts=1

m(n)s , cujos

membros têm polinômio de Taylor nulo. E observe uma outra propriedade importante também:m(n) � m(n)2 � m(n)3 � ::: � m(n)k � ::: � m(n)1:

Exemplos sobre "(2) e "(3) :

m(2) = hx1; x2i"(2)m(2)2 = hx21; x22; x1x2i"(2)m(2)3 = hx31; x32; x21x2; x1x22i"(2)m(3)2 = hx21; x22; x23; x1x2; x1x3; x2x3i"(3)

� Anéis-Quociente Importantes (não vou demonstrar) :

"(n)

m(n)s+1=

^"s(k) = anel-quociente dos s-jatos com coe�cientes reais.

"(n+ k)

m(k)s+1= anel-quociente dos s-jatos com em "(n).

"(k)

m(k)1= R [[y1; :::; yk]] =

^"(k) = anel-quociente dos polinômios de Taylor.

R-Equivalência e K-Determinação:

� De�nição: Grupo (B(n); �)

O par (B(n); �) é o grupo dos difeomor�smos locais suaves h : Rn; 0 �! Rn; 0 queatua sobre "(n;m) por composição. Se f 2 "(n;m) e h 2 B(n) então f � h 2 "(n;m): De�naanalogamente (

^Bk(n); �) o grupo dos k-jatos dos germes em B(n).

� De�nição: R-Equivalência.

Supondo f, g 2 "(n;m) , f é R-equivalente a g (representado por f s g) se existeh : Rn; 0 �! Rn; 0 no grupo (B(n); �) dos difeomor�smos suaves tal que f � h = g.

� De�nição: Órbita da ação de B(n).

^"k(n; n) é um espaço euclideano de dimensão n�Ckn+k . Como

^Bk(n) é subconjunto de

^"k(n; n) de�nido por det

�@f(0)

@xj

�6= 0 e f(0) = 0 , então

^Bk(n) é uma variedade suave.

E a estrutura de grupo é suave, observe:

55

A transformação:^Bk(n)�

^Bk(n)!

^Bk(n)

(^f(x);

^g(x)) 7�!

^f(^g(x)) modulo hx1; :::; xnik+1

é suave.

A transformação:^Bk(n)!

^Bk(n)

^f (x) 7�!

^f �1(x) modulo hx1; :::; xnik+1

é suave.

Qualquer variedade suave com estrutura de grupo suave é chamada de Grupo de Lie.

As classes de R-Equivalência em "(n;m) são as órbitas da ação de B(n). Em resumo,a órbita de f contém f e todas as f � h, h difeomor�smo suave. As classes de equivalência deseus k-jatos são as órbitas da ação de

^Bk(n) em

^"k(n): Assim se f, g de "(n) são R-Equivalentes

temos que^f e ^g estão na mesma órbita da ação de

^Bk(n) em

^"k(n) .

� De�nição: Determinação Finita

Um germe f 2 "(n) é dito k-determinado se para todo g 2 "(n) com jkg = jkftemos f R-equivalente a g. Ou seja, f e g estão na mesma classe de R-equivalência (na mesmaórbita) se as derivadas de f e g coincidem até a ordem k. O teorema C12 oferece uma condiçãosu�ciente para k-determinação:

m(n)k � m(n)h@�i+m(n)k+1 =) � k-determinado.

Note a partir desta condição que na órbita de f estão, entre outros, o k-jato de f e os(k + p)-jatos de f. Para ver isto basta lembrar que só precisamos olhar para as k primeirasderivadas.

Exemplos:f(x; y) = x2 não é 1-determinado, pois hx; yi � hx; yi hxi não é verdade.f(x; y) = x3 � xy2 é 3-determinado, pois hx3; x2y; xy2; y3i � hx; yi hx2; y2; xyi :f(x; y) = x4 + y4 não é 4-determinado pois hx4; x3y; x2y2; xy3; y4i � hx; yi hx3; y3i não é

verdade.

Obs.: De agora em diante, sempre que falarmos em funções �nitamente determinadasestaremos assumindo automaticamente codimensão � 4. Faremos isto para podermos usar oTeorema das 7 Catástrofes, que somente vale para funções com codimensão � 4. Esta hipótesepode ser feita tranquilamente, pois o conjunto das f �nitamente determinadas com codimensão� 4 é aberto e denso em C1(Rn;R):

56

Unfoldings e Codimensão:

� De�nição: Singularidade.

Um germe � 2 "(n) com �(0) = D�(0) = 0 é chamado singularidade. Note que� 2 m(n)2: Um germe � 2 "(n) com �(0) = D�(0) = 0 e com D2�(0) não possuindo postomáximo é chamado singularidade degenerada. As chamadas singularidades não degeneradas(chamadas funções de Morse), onde D2�(0) tem posto máximo, são R-equivalentes à formaquadrática �x21 � :::� x2n (veja o teorema C22).

� De�nição e Propriedades: Unfoldings.

Um unfolding ou deformação de � 2 m(n) é qualquer família de funções contendo �.Um exemplo de unfolding com r parâmetros:

f(x; u) = �(x) + b1(x)u1 + :::+ br(x)ur , com bi(x) 2 m(n):

Note que f 2 m(n+r)2 e f jRn = �. O unfolding será denotado por (r; f):Muitas vezesescrevemos f(x; u) = fu(x) e pensamos no unfolding f como uma família com r parâmetrosde germes. O número de parâmetros r mínimo para que o unfolding seja versal é também acodimensão do unfolding (conceito que não tem nada a ver com codimensão espacial).

� De�nição: Conjunto de Bifurcação.

Se F(x,u) é um unfolding de �(x) (onde os ui são os parâmetros do unfolding, u 2 Rr),

então o conjunto dos u em Rr tais que@F

@x=@2F

@x2= 0 é chamado conjunto de bifurcação de �.

Se � é a função distância ao quadrado da fonte L a uma variedade W, o conjunto de bifurcaçãoserá a cáustica gerada por W (Teorema Auxiliar 3). Um resultado importante neste capítulo éo seguinte: se duas funções são R-equivalentes, então seus unfoldings versais são isomorfos, eseus conjuntos de bifurcação são difeomorfos. Isto porque a estratégia deste trabalho é mostrarque a cáustica é difeomorfa a uma das 7 catástrofes de Thom, ou seja, o conjunto de bifurcaçãoda função distância ao quadrado (cáustica) é difeomorfo ao conjunto de bifurcação de uma dasfunções modelo (catástrofes).

� De�nição e Propriedades: Mor�smos.

É possível de�nir transformações entre unfoldings e assim construir uma categoria cu-jos objetos são os unfoldings de uma singularidade. Não vamos muito longe nisso, perderíamostempo; para o leitor interessado, basta consultar [4]. Sejam (r; f) e (s; g) unfoldings de �.

Um mor�smo de (r; f) em (s; g),(�; �) : (r; f)! (s; g)

57

consiste em:(I)Um germe � 2 "(n+ r; n+ s) com �jRn�f0g = id:(II)Um germe � 2 "(r; s), tal que �s� = ��r:(III)Um germe � 2 m(r); tal que f = g � �+ � � �r:

Um mor�smo invertível é um isomor�smo. O conceito de isomor�smo nos unfoldingsé semelhante ao de R-equivalência nos germes. O unfolding (r; f) dado pela equação (III) é ditounfolding de � induzido por (�; �) de (s; g): Um unfolding (r; f) de � é dito versal se qualquerunfolding de � é induzido de (r; f) por um mor�smo apropriado. Um unfolding versal com rmínimo é chamado universal.

Dois germes R-equivalentes possuem unfoldings universais isomorfos (pois têmmesmacodimensão, veja [4] pg. 126) e conjuntos de bifurcação difeomorfos (devido à de�nição demor�smos, o fato de dois unfoldings serem isomorfos implica � difeomor�smo).

� De�nição: Codimensão.

Para uma singularidade �; a partir de agora de�nimos codimensão por: codim � = dimm(n)

h@�i : Veremos no Teorema Principal dos Unfoldings que se fb1(x); :::; br(x)g é base dem(n)

h@�ientão f(x; u) = �(x) + b1(x)u1 + ::: + br(x)ur é unfolding universal de �: E note que assim�x21 � :::� x2p é seu próprio unfolding universal.

Exemplos:

codim (x3 + y3) =m(2)

h@�i =hx; yihx2; y2i =

hx; y; xy; x2; y2; x3; y3; :::ihx2; y2; x3; y3; :::i = 3:

E a base dem(2)

h@�i é: fx; y; xyg :

Unfolding universal: F (x; y; u) = x3 + y3 + u1x+ u2y + u3xy:Dimensão do espaço de controle (número de parâmetros) : 3Dimensão do conjunto de bifurcação: 2 (umbílico elíptico)

58

codim (x4) =m(1)

h@�i =hxihx3i =

hx; x2; x3; x4; x5; x6; :::ihx3; x4; x5; x6; :::i = 2:

E a base dem(1)

h@�i é: fx; x2g :

Unfolding universal: F (x; u) = x4 + u1x+ u2x2:

Dimensão do espaço de controle (número de parâmetros) : 2Dimensão do conjunto de bifurcação: 1 (cúspide)

codim (x2) =m(1)

h@�i =hxihxi = 0:

Unfolding universal: F (x) = x2:Dimensão do espaço de controle (número de parâmetros) : 0Dimensão do conjunto de bifurcação: 0 (vazio)

Obs.: Note que o conceito de codimensão de uma função não tem nenhuma relação com oconceito de codimensão espacial, ou codimensão de uma variedade.

� De�nição: Coposto.

O coposto de uma singularidade � é o coposto da Hessiana de �.

� Perturbando uma função:

Como dissemos anteriormente, um unfolding de f é uma família de funções contendof. E quando fazemos variar os parâmetros desse unfolding (perturbamos a função) obtemos asfunções dessa família. Se um unfolding é versal, se perturbado ele pode gerar "todas" as funçõesperto de f. Tomemos como exemplo a função f(x) = x4, cujo grá�co numa vizinhança de zeroconhecemos, com unfolding universal F (x; u; v) = x4 � ux2 + vx.

O grá�co do conjunto de bifurcação de f (que é a catástrofe chamada cúspide) está nodiagrama abaixo, no espaço de controle uv. A partir do conjunto de bifurcação de f no espaçouv, podemos observar quais funções estão na vizinhança de f quando perturbamos os parâmetrosu e v.

59

E abaixo observamos como são as �guras locais de algumas funções da família, quandof é perturbada (observe que quando os parâmetros u e v são zero, o unfolding fornece obvia-mente a função original x4).

60

� De�nição: Transversalidade.

Sejam X e Y variedades e f : X ! Y função suave. Sejam W subvariedade deY e x ponto de X. Então f intercepta W transversalmente em x se uma das duas alternativasacontecem:(A) f(x) =2 W:(B) f(x) 2 W e Tf(x)Y = Tf(x)W + ImDf(x):

E o Teorema Fundamental de Transversalidade diz que se f é transverso a W entãof�1(W ) é variedade. E ainda codim W = codim f�1(W ):

Exemplos � olhe em cada caso o espaço tangente a cada variedade nos pontos e interseção,e suponha variedades imersas no R3; quando as bases dos espaços tangentes geram o R3 digoque as superfícies são transversais:

61

� De�nição: K-Transversalidade (Opcional; apenas para entender a demonstração do Teo-rema Principal dos Unfoldings).

62

Seja � uma singularidade e F um unfolding de � com r parâmetros. Se Jk0 (n; 1) éo espaço dos k-jatos cujo termo constante é nulo, de�nimos um germe jk1F : (Rn+r; 0) !Jk0 (n; 1) da seguinte maneira: um representante de jk1F é a transformação (x; u) !k-jato de(y 7�! F (x + y; u) � F (x; u)): Embora a de�nição seja complicada, de maneira informal jk1Fé apenas o k-jato de um unfolding, com respeito às n primeiras variáveis. Um unfolding de � é

dito k-transversal se jk1F é transversal na origem à órbita^�^Bk(n) de

^� k-jato de �. Obviamente

jk1F (0) = jk�(0) =^�:

A K-transversalidade é um conceito importante pois F k-transversal () F versal(� k-determinado) é a equivalência que vai reger a demonstração do Teorema Principal dosUnfoldings. Vamos observar a k-transversalidade e o Teorema C36 através de dois exemplosinteressantes:

a) Considere o germe f(x) = x3:Vamos mostrar que ele não é 3-transversal, ou seja, j31f(x)não é transversal à órbita do 3-jato de f, e com isso não é um unfolding versal.

A transformação j31f(x) leva t 2 R em:

j3f(t) = xf 0(t) +x2

2!f 00(t) +

x3

3!f 000(t) = x3 + 3tx2 + 3t2x

correspondendo a (3t2; 3t; 1) no espaço dos 3-jatos J3(1; 1):Fazendo a = 3t2; b = 3t e c = 1 temos no espaço abc uma parábola:

Note que a parábola não é transversal à órbita do 3-jato de f na origem t = 0, que éo eixo c, pois pois seu espaço tangente em (0; 0; 1) somado ao espaço tangente do eixo c no

63

mesmo ponto não geram o espaço abc. Então x3 não é 3-transversal, e pelo Teorema C36; não éversal.

b) Considere agora o germe F (x; u) = x3 + ux: Vamos mostrar que ele é 3-transversal, ouseja, j31F (x) é transversal à órbita do 3-jato de F, e com isso é um unfolding versal.

A transformação j31F (x; u) leva (t; u) 2 R2 em:

j3F (t; u) = xF 0(t; u) +x2

2!F 00(t; u) +

x3

3!F 000(t; u) = x3 + 3tx2 + (3t2 + u)x

correspondendo a (3t2 + u; 3t; 1) no espaço dos 3-jatos J3(2; 1):Fazendo a = 3t2 + u; b = 3t e c = 1 temos no espaço abc um plano(união de todas as parábolas da família):

Note que o plano é transversal à órbita do 3-jato de F na origem t = 0, que é o eixoc, pois pois seu espaço tangente em (0; 0; 1) somado ao espaço tangente do eixo c no mesmoponto geram o espaço abc. Então x3 é 3-transversal, e pelo Teorema C36; é versal.

Notações - Genericidade:

De�nição: Genericidade.

Dizemos que um subconjunto B � A é genérico em A se B é residual em A, ou seja,se B contém uma interseção enumerável de abertos densos de A.

Podemos dizer que uma cáustica, conjunto de bifurcação da função distância ao quadradofd : Rn; 0 �! R da fonte L (origem) à frente de onda W, é genérica quando W é genérica, ou

64

seja, pertence a um conjunto residual (interseção enumerável de abertos densos) no conjuntode todas as possíveis frentes de onda. E dizemos que uma cáustica pode ser descrita por umnúmero �nito de modelos quando a função fd que a origina é equivalente a alguma funçãomodelo, via difeomor�smo suave, sendo que o número de funções modelo é �nito. Isto porquese fd é R-equivalente a alguma função modelo, o unfolding universal da fd é isomorfo ao un-folding universal da função modelo, e o conjunto de bifurcação da fd (cáustica) é difeomorfoao conjunto de bifurcação da função modelo (catástrofe). Vimos no Capítulo 1 que a funçãofd que origina a cáustica na maioria das vezes pertence ao conjunto das funções �nitamentedeterminadas (com codimensão � 4). Os elementos deste conjunto pertencem a um número�nito de classes de equivalência, resultado devido ao Teorema das 7 Catástrofes. O que nós va-mos fazer nas próximas linhas é aprofundar o estudo de como podemos classi�car as aplicaçõesf : Rn ! R com codimensão � 4, demonstrando e explicando o Teorema das 7 Catástrofes deRené Thom.

Então neste capítulo fazemos assim:

Os Teoremas C1i

� Os teoremas C1i são dedicados à demonstração da equivalência:� Finitamente Determinado () � tem Codimensão Finita.

� Observe que o diagrama acima se explica automaticamente. Assim temosque determinação �nita e codimensão �nita são propriedades equivalentes.Este resultado é útil pois Determinação Finita é um conceito fácil de entendermas difícil de trabalhar, e por outro lado Codimensão é um conceito pouco

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familiar, mas bem fácil de conduzir nas demonstrações.

Os Teoremas C2i

� Os teoremas C2i são destinados a provar o objetivo principal destetrabalho: O Teorema das 7 Catástrofes.

� O teorema C21 é o Teorema Principal dos Unfoldings, a espinha dorsaldeste capítulo. Por isso e pela sua complexidade dedicamos a seção dosteoremas C3i exclusivamente à sua demonstração.

� Os teoremas C22 ("Splitting Lemma") e C23 (relação coposto-codimensão)são teoremas auxiliares, muito utilizados na demonstração dos teoremasseguintes.

� Para os teoremas C24, C25 e C26 observe o diagrama abaixo:

� O resultado �nal deste trabalho é o seguinte:

Seja � : Rn; 0! R germe com codimensão � 4. Sejam x1; :::; xn ascoordenadas de Rn.

� Se D� tem posto máximo (6= 0), então:

�(x1; :::; xn) s x1:(C26)

� Se D� não tem posto máximo, mas D2� tem então:

�(x1; :::; xn) s �x21 � :::� x2n:(C25)

� Se D� e D2� não têm posto máximo, então,a menos de multiplicação por �1 um dos 7 casos vale:

66

(C24; Teorema das 7 catástrofes)

�(x1; :::; xn) s x31 � x22 � :::� x2p

�(x1; :::; xn) s x41 � x22 � :::� x2p

�(x1; :::; xn) s x51 � x22 � :::� x2p

�(x1; :::; xn) s x61 � x22 � :::� x2p

�(x1; :::; xn) s x31 + x32 � x23 � :::� x2p

�(x1; :::; xn) s x31 � x1x22 � x23 � :::� x2p

�(x1; :::; xn) s x21x2 + x42 � x23 � :::� x2p

Com esse teorema temos que se f é �nitamente determinada com codimensão � 4 �o que pelo resultado de Looijenga quase sempre ocorre com as funções distância ao quadradofd da fonte L (origem) à frente de onda W � então f singularidade degenerada é R-equivalentea uma das 7 funções modelo, e seu conjunto de bifurcação (que no caso da fd é a cáustica donosso sistema) é difeomorfo ao conjunto de bifurcação de uma das funções modelo acima (queé uma das 7 catástrofes). No caso de singularidades não degeneradas o conjunto de bifurcaçãoé vazio, e conseqüentemente, a cáustica não existe.

Os Teoremas C3i

� Os teoremas C3i demonstram o Teorema Principal dos Unfoldings C21 :

(1) � tem unfolding versal () codimensão de � é �nita.(2) Dois unfoldings versais com r parâmetros são isomorfos.(3) Todo unfolding versal é isomorfo a (r; f) + constante, (r; f) universal.

(4) fb1(x); :::; br(x)g base dem(n)

h@�i =)

=) f(x; u) = �(x) + b1(x)u1 + :::+ br(x)ur é universal.

� Observe que o diagrama abaixo é auto-explicativo e termina ademonstração do Teorema.

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Assim, concluímos os objetivos Capítulo 3.

CAPÍTULO 3 - TEOREMAS

TEOREMAS C1i:

� Existe um lema que vai nos auxiliar na demonstrações de alguns teoremas que dependemda álgebra: o Lema de Nakayama. O que precisamos saber dele é que: se R é um anel comuta-tivo com unidade 1, que tem ideal maximal único m, e se A é um R-módulo �nitamente gerado,então A � B +mA) A � B:

Teorema C11

� �nitamente determinado =) 9k jm(n)k+1 � m(n) h@�i

Vamos demonstrar primeiramente dois teoremas:

Teorema 1:O espaço tangente à órbita

^f^Bk(n) sobre a ação de

^"k(n)�

^Bk(n)!

^"k(n)

68

em^f é : T ^

f

^f^Bk(n) = m(n)

�@f

@xi

�modm(n)k+1

DEMONSTRAÇÃO :

� Considere um germe � : (Rn+1; 0)! (Rn; 0) , (x; t) 7�! �(x; t) = �t(x)com �0 = id : (Rn; 0)! (Rn; 0):

� Este é o germe de uma família diferenciável com 1 parâmetro detransformações em B(n) que começa com a identidade. Este germe induz

um germe: (R; 0)! (^"k(n);

^f) , t 7�!

^f �

^�t: Os vetores velocidade destes

"caminhos" no tempo 0 formam o espaço tangente T ^f

^f^Bk(n):

� Se �(x; t) é escrito da forma x+ �(t; x) então o germe � 2 "(n+ 1; n) érestrito apenas pelas condições �(0; x) = 0 e �(t; 0) = 0:

� Os vetores seguintes, quando reduzidos ao módulom(n)k+1, então sãotodos os vetores tangentes:

@

@t(f(x+ �(t; x)))jt=0 =

nPi=1

@f

@xi� @�i@tjt=0

� Como � tem que satisfazer apenas as condições descritas acima, então aderivada

@�i@tjt=0 pode ser qualquer elemento dem(n). Isto implica que o

espaço tangente é exatamentem(n)�@f

@xi

�modm(n)k+1 . �

Teorema 2:jk+1�(0) k-determinado () jk�(0) k-determinado () � k-determinado

DEMONSTRAÇÃO :

� Observe que jk+1�(0) , jk�(0) e � têm as mesmas derivadas da ordemzero até a ordem k.

� Supondo um destes acima k-determinado temos que o outro tambémé k-determinado (e concluímos a demonstração) se demonstrarmos oseguinte resultado:

f k-determinada e f � g =) g k-determinada.

� Suponha f k-determinada.� Seja g � f:

69

� Vou provar que g também é k-determinada.� Para isso suponha jkg(0) = jkh(0). Temos que provar que h � g:� Como g � f , então 9 ' invertível tal que g = f � ':� Então jkg(0) = jkh(0) =) jk(f � ')(0) = jkh(0): (�)�Mas jk(f � ')(0) = jkf(0) � jk'(0) (propriedades de jatos e '(0)=0).� E ' invertível =) jk'(0) invertível (propriedades de jatos).� Assim, voltando a (�), vem:

jkg(0) = jkh(0) =) jk(f � ')(0) = jkh(0)=) jkf(0) � jk'(0) = jkh(0)=) jkf(0) = jkh(0) � ('(0))�1=) jkf(0) = jkh(0) � '�1(0)=) jkf(0) = jkh � '�1(0)=) f � h � '�1 =) f = h � '�1 � =) f = g � '�1 = h � '�1 � =) g = h � '�1 � � ' =) g � h , completando o resultado. �

Agora vamos chegar ao nosso resultado:

� �nitamente determinado =) 9k jm(n)k+1 � m(n) h@�i+m(n)k+1

DEMONSTRAÇÃO :

� Seja � K-determinado.

� Vamos de�nir os conjuntos U = f^g 2 ^"kj �k+1k

^g = jk

^fg , e V = jk+1(f)

^Bk+1(n)

onde V é a órbita de jk+1(f) sobre R-equivalência.

� Se jk+1(f) é k-determinado (pelo teorema 2), então o conjunto dos(k+1)-jatos com mesmo k-jato que f está contido na órbita de jk+1(f),ou seja, U � V .

� Então T^fU = T^

fV .

� Entretanto T^fU = mk+1(n) modulomk+2(n) uma vez que qualquer g 2 U

difere de f somente por um termo de grau k+1.

� Por C11 temos quem(n)k+1 � m(n)

�@f

@xi

�modm(n)k+2; de maneira

que f é um germe k+1-determinado.

� Então o nosso k procurado é o k � 1, pois assim temos

70

m(n)k+1 � m(n) h@�i+m(n)k+1. �

Teorema C12

� 2 "(n) em(n)k � m(n)h@�i"(n) + m(n)k+1 =) � k-determinado.

DEMONSTRAÇÃO :

� Sejam f e g 2 "(n) j jkf(0) = jkg(0).

� Temos que mostrar que existe h 2 B(n) com f � h = g:( h : Rn ! R invertível j h(0) = 0 ):

� Para fazer isto seja: F (t; x) = (1� t)f(x) + tg(x) , t 2 R , x 2 Rn .Note que F (x; 0) = F0(x) = f(x) ,e que F (x; 1) = F1(x) = g(x) .

� Quero mostrar que 8t0 2 R 9 " > 0 j jt� t0j < " =) Ft(x) s Ft0(x).Isto vai implicar F0(x) s F1(x), pois R é conexo.

� Para obter este resultado sobre F : Rn � R; (0; t)! R eF : Rn � R; (0; t0)! R , procuramos um germe H : Rn � R; (0; t0)! Rtal que:

(I) H(x; t0) = Ht0(x) = x (identidade):(II) H(0; t) = 0:(III) Ft(Ht(x)) = Ft0(x); ou seja; F (H(t; x); t) = F (x; t0):

� A condição (I) vai implicar Ht(x) invertível (um dos requisitos de B(n)),pois Ht0(x) é identidade (invertível), e t está perto de t0 , então DHt(0)(que depende continuamente de t) é 6= 0:

� A condição (II) é um dos requisitos de B(n).

� A condição (III) é a de Ft(x) s Ft0(x):Mas como esta condição ésatisfeita se t = t0, então ela é equivalente a dizer F (H(t; x); t)independe de t, ou melhor, a derivada em t é zero. É o que faremosa seguir.

� Então o que temos que fazer é achar H : Rn � R; (0; t0)! R tal que:

(I) H(x; t0) = Ht0(x) = x (identidade):(II) H(0; t) = Ht(0) = 0:

71

(III 0)Pi

@F (H(x; t); t)

@xi� @Hi(x; t)

@t+@F (H(x; t); t)

@t= 0:

� Para resolver (I), (II) e (III 0), vamos demonstrar e usar o seguinteresultado:

Se 9 � : Rn � R; (0; t0)! R germe com as propriedades:

a)Pi

@F (x; t)

@xi� �i(x; t) +

@F (x; t)

@t= 0

b) �i(0; t) = 0; 8i:

Então 9 H germe satisfazendo (I), (II) e (III 0):

Demonstrando:

� Suponha � nas condições acima.� Consideremos a equação diferencial @H(x; t)

@t= �(H(x; t); t)

com a condição inicial H(x; t0) = Ht0(x) = x (identidade).� A existência de tal H decorre da teoria de equações diferenciaisordinárias.� Agora vamos provar (I), (II) e (III 0) :

(I) É a condição inicial.

(II) Se substituímos x = 0, então@H(0; t)

@t= �(H(0; t); t) tem como

solução (única) H(0; t) = 0, usando (b).(basta veri�car que H(0; t) = 0 é solução).(III 0) Basta substituir H(t; x) no lugar de x em (a).

Logo 9 H germe satisfazendo (I), (II) e (III 0): �

�Mas, para usar este resultado, que vai garantir o que queremos, temosque mostrar que 9 � com (a) e (b).

� Agora então temos que mostrar que 9 um germe � : Rn � R; (0; t0)! Rtal que:

a)Pi

@F (x; t)

@xi� �i(x; t) +

@F (x; t)

@t= 0

b) �i(0; t) = 0; 8i:

� Se chamamos "(n+ 1) o anel dos germes Rn � R; (0; t0)! R e"(n) � "(n+ 1) o anel dos germes acima que não dependem de t. e

72

m(n) � "(n) ideal maximal (dos germes que levam x = 0 em 0), então:

�i 2 "(n) � "(n+ 1); 8i , devido a (b).

� Então a existência de �i satisfazendo (a) e (b) é equivalente a:

@F

@t2 m(n)

�@f

@xi

�"(n+1)

(Basta em (a) passar@F

@tpara o outro lado da igualdade).

� Entretanto @F@t

=@

@t((1� t) � f + t � g) = g � f 2 m(n)k+1

(considerando f e g com o mesmo k-jato).

� então basta provar quem(n)k+1 � m(n)

�@F

@xi

�"(n+1)

, pois assim

@F

@xi2 m(n)k+1 =) @F

@xi2 m(n)

�@F

@xi

�"(n+1)

e acabou.

� Então vamos demonstrar. Note que a hipótese do teorema diz que:m(n)k � m(n)

�@f

@xi

�"(n)

+m(n)k+1 (note que é f e não F).

Multiplicando tudo por "(n+ 1) (note que "(n) � "(n+ 1) = "(n+ 1)):

m(n)k � "(n+ 1) � m(n)

�@f

@xi

�"(n+1)

+m(n)k+1 � "(n+ 1)

Mas@F

@xi� @f

@xi= t � @

@xi(g � f) 2 m(n)k

Logo@F

@xi=@f

@xi+m(n)k =)

=) m(n)

�@f

@xi

�"(n+1)

= m(n)

�@F

@xi

�"(n+1)

+m(n)k+1 � "(n+ 1)

Logom(n)k � "(n+ 1) � m(n)

�@F

@xi

�"(n+1)

+m(n)k+1 � "(n+ 1)

� Continuando:m(n)k � "(n+ 1) � m(n)

�@F

@xi

�"(n+1)

+m(n)k+1 � "(n+ 1)

e comom(n) � m(n+ 1); temos:

m(n)k � "(n+ 1) � m(n)

�@F

@xi

�"(n+1)

+m(n+ 1)m(n)k � "(n+ 1)

73

E comom(n)k � "(n+ 1) é um "(n+ 1)-módulo �nitamente gerado,gerado pelos monômios nos xi de grau k, então podemos aplicar oresultado seguinte decorrente do Lema de Nakayama:

A � B +m � A =) A � B:

Então

m(n)k � "(n+ 1) � m(n)

�@F

@xi

�"(n+1)

+m(n+ 1)m(n)k � "(n+ 1) =)

=) m(n)k � "(n+ 1) � m(n)

�@F

@xi

�"(n+1)

e comom(n) � "(n+ 1); então:

m(n)k+1 � m(n)

�@F

@xi

�"(n+1)

, como queríamos. �

Teorema C13

9k jm(n)k � mh@�i =) � tem codimensão �nita.

DEMONSTRAÇÃO :

� Suponha que 9k jm(n)k � mh@�i:

� Assim,m(n)k � mh@�i � h@�i , logom(n)k � h@�i:

� Sabemos que dim "

mk= p �nito (espaço dos jatos até a ordem k � 1).

� Como m(n)k � h@�i , então dim "

h@�i �"

mk= p:

� Logo � tem codimensão �nita. �

Teorema C14

� tem codimensão finita =) � �nitamente determinado.

DEMONSTRAÇÃO :

� Suponha � com codimensão finita:

74

� Observe agora que:

c = dim"

h@�i � dim"

h@�i � ... � dim"

h@�i+mk�

� dim"

h@�i+mk+1� ... � dim

"

h@�i+m.

pois h@�i � ... � h@�i+mk � h@�i+mk+1 � ... � h@�i+m .

� Assim, como a seqüência é in�nita e c = codim � é �nito, então9k j dim "

h@�i+mk= dim

"

h@�i+mk+1.

� Para esse k, h@�i+mk = h@�i+mk+1 e com issomk � h@�i .

�Mas semk � h@�i , entãomk+1 � mh@�i:

� Logo � é �nitamente determinado. �

TEOREMAS C2i:

Teorema C21

Teorema Principal dos Unfoldings:

� singularidade,

(1) � tem unfolding versal () codimensão de � é �nita.(2) Dois unfoldings versais com r parâmetros são isomorfos.(3) Todo unfolding versal é isomorfo a (r; f)+ constante, (r; f) universal.

(4) fb1(x); :::; br(x)g base dem(n)

h@�i =)

=) f(x; u) = �(x) + b1(x)u1 + :::+ br(x)ur é universal.

DEMONSTRAÇÃO :

� Esta demonstração consiste em alguns resultados difíceis, e por isso foiseparada em uma só seção, a seção dos teoremas C3i: Sua demonstraçãoé complatada noTeorema C37 . �

Teorema C22

75

� singularidade, coposto � = n� r =) � s �x21 � :::� x2r + �(xr+1; :::; xn)j2�(0) = 0. (Splitting Lemma)

DEMONSTRAÇÃO :

� Suponha coposto � = n� r (posto da Hessiana é r).

� Como � é singularidade ( �(0) = 0 e D�(0) = 0 ) então j2�(0) é umpolinômio homogêneo de grau 2. O mesmo podemos fazer para �jRr , comoveremos a seguir.

� Como o posto da Hessiana é r, então:Depois de uma transformação linear (R-equivalência) então o j2�(0)jRrpode ser escrito na forma (resultado conhecido) : �x21 � :::� x2r .

� Como �x21 � :::� x2r é 2-determinado, então j2�(0)jRr também é2-determinado (pois são R-equivalentes) , e então �jRr s �x21 � :::� x2r .

� E como �jRr e �x21 � :::� x2r são ambos 2-determinados, então ambos têmcodimensão 0, o que implica que ambos são seus próprios unfoldingsuniversais (Teorema Principal dos Unfoldings). E como �jRr � �então � é unfolding universal também de �jRr :

� Então existe um isomor�smo entre (n� r; �) e (n� r;�x21 � :::� x2r); poisambos têm n� r parâmetros (Teorema Principal dos Unfoldings).

� Então, como existe isomor�smo, temos que existe � : Rn; 0! Rn; 0inversível tal que : �x21 � :::� x2r + �(xr+1; :::; xn) = � � �(x1; :::; xn);onde � tem derivada com posto zero, já que � tem coposto n� r e�x21 � :::� x2r tem posto r.

Isto completa o resultado. �

Teorema C23

Coposto � = r =) Codim � � C2r+1 .

DEMONSTRAÇÃO :

� Suponha coposto � = r .

� Então, pelo "spliiting lemma" (Teorema C22), existem coordenadasapropriadas tais que:

76

�(x) = �(x1; :::; xr) + q(xr+1; :::; xn) com j2� = 0:

� Considere o quociente m(n)h@�i restrito às primeiras r coordenadas:m(r)

h@�i :

Agora tome os 2-jatos :j2m(r)

j2 h@�i :

� É claro que dim j2m(r)

j2 h@�i � codim � =m(n)

h@�i :

� E note que dim j2m(r) = r + C2r+1 (fácil de ver olhando para os 2-jatos)

e dim j2 h@�i � r (os@�

@xigeram o espaço vetorial real j2m(r) pois cada

@�

@xipertence am(r)2 ).

� Então temos codim � � dimj2m(r)

j2 h@�i � C2r+1: �

Teorema C24

A menos de adição de forma quadrática não degenerada em outras variáveis,e a menos de multiplicação por �1; uma singularidade degenerada � comcodimensão � 4 é R-equivalente a uma das 7 catástrofes de Thom:

� s x3 (DOBRA)� s x4 (CÚSPIDE)� s x5 (RABO DE ANDORINHA)� s x6 (BORBOLETA)� s x3 + y3 (UMBÍLICO HIPERBÓLICO)� s x3 � xy2 (UMBÍLICO ELÍPTICO)� s x2y + y4 (UMBÍLICO PARABÓLICO)

DEMONSTRAÇÃO :

� Nosso objetivo é classi�car germes que são singularidades degeneradas decodimensão � 4 por R-equivalência. Mas sabemos que codim � � C2r+1 peloTeorema C23; onde r é o coposto de �: Como:

Coposto 0 =) � singularidade não degenerada (não interessa).Coposto 1 =) codim � � 1:Coposto 2 =) codim � � 3:

77

Coposto 3 =) codim � � 6 (não interessa).Coposto � 3 =) codim � � 6 (não interessa).

Então basta estudarmos os casos em que o coposto é 1 ou 2.

COPOSTO � = 1

� Se coposto � = 1 , então pelo "Splitting Lemma" (Teorema C22) vem que:

� s �x21 � :::� x2k + �(y) , onde j2�(0) = 0 , � : R! R:

� Note que, como � é R! R, então pelo teorema decorrente do Lema deHadamard temos que �(0) = � 0(0) = � 00(0) = 0 =) � s yp; com p � 3:

�Mas p � 6; pois p = 7 =) codim y7 = dimm(1)

hy6i = 5 > 4:

� Logo p é 3, 4, 5, ou 6, ou seja � s y3; y4, y5, ou y6 �x21 � :::� x2k:

� Obs.: Lembre que a mudança de variáveis que �z quando transformei�(y) +�x21 � :::� x2k em yp �x21 � :::� x2k não altera a forma quadrática,pois como foi dido no Teorema C22 a forma quadrática é função de variáveisdiferentes das variáveis de �: �

COPOSTO � = 2

� Analogamente ao caso anterior, usando o Teorema C22:

� s �x21 � :::� x2k + �(x; y) , onde j2�(0; 0) = 0 , � : R2 ! R:

(Lembrando de novo que � é função de x e y, variáveis diferentes de x1,...,xk)

� Então como j2�(0) = 0 (ou seja �(0) = � 0(0) = � 00(0) = 0), então temosque j3�(0) é polinômio homogêneo P de grau 3, logo pode ser reduzido sobreC (mas o polinômio P é real!) em:

P (x; y) = (a1x+ b1y)(a2x+ b2y)(a3x+ b3y)

Existem 4 possibilidades para P, que vamos discutir a seguir:

(A) Os três vetores (ai; bi) 2 C2 são linearmente independentes.

(A1) Todos (ai; bi) reais. ( =) P real):

(A2) (a1; b1) real, (a2; b2) e (_a2;

_b2) complexos conjugados. ( =) P real):

78

(B) Dois vetores linearmente independentes.

Aqui temos que ter (ai; bi) reais 8i, pois só assim teremos P real.

(C) Os três vetores linearmente dependentes.

Aqui também temos que ter (a; b) real para que P seja real.

(D) P = 0:

Assim cobrimos todas as possibilidades.

CASO A1 : Os três (ai; bi) reais e linearmente independentes.

� Seja P (x; y) = (a1x+ b1y)(a2x+ b2y)(a3x+ b3y) = j3�(0)�Mudo as variáveis de (a1x+ b1y) para x e de (a2x+ b2y) para y.� Então P s xy(ax+ by):

�Mudo (x,y) para�xa;y

b

�obtendo

xy

ab(x+ y):

�Mudo (x,y) para ((ab) 13x; (ab) 13y) obtendo xy(x+ y):

�Mudo (x,y) para (2� 13 (x+ y); 2�

13 (x+ y)) obtendo x(x2 � y2):

� Então P s x3 � xy2:�Mas é x3 � xy2 3-determinado:m3 � m h@fihx3; x2y; xy2; y3i � m hx2; xy; y2i = hx3; x2y; xy2; y3i� Logo, como x3 � xy2 é 3-determinado, e x3 � xy2 s P; entãoP é 3-determinado. Isto implica P s �, logo:

� s �x21 � :::� x2k + x3 � xy2: �

CASO A2 : (a1; b1) real, (a2; b2) e (_a2;

_b2) complexos conjugados.

� Seja P (x; y) = (a1x+ b1y)(a2x+ b2y)(_a2x+

_b2y) = j3�(0)

� Note que P é real.� O produto (a2x+ b2y)(

_a2x+

_b2y) é uma forma quadrática positiva de�nida,

logo, depois de uma mudança de coordenadas (R-equivalência), �ca (x2 + y2).� Logo temos: P s (ax+ by)(x2 + y2):� Rotacionando as coordenadas (pondo x na direção do (a; b)) temos que(ax+bx) é levado em cx e (x2 + y2) não se altera.� Logo P s cx(x2 + y2):

�Mudo (x,y) para�x

c13

;y

c13

�obtendo x(x2 + y2):

79

� E ainda x(x2 + y2) = x3 + xy2 s x3 + y3; pois:(x+ y)3 + (x� y)3 = 2x3 + 6xy2 s x3 + xy2:�Mas x3 + y3 é 3-determinado:m3 � m h@fihx3; x2y; xy2; y3i � m hx2; y2i = hx3; x2y; xy2; y3i� Logo, como x3 + y3 é 3-determinado, e x3 + y3 s P; entãoP é 3-determinado. Isto implica P s �, logo:

� s �x21 � :::� x2k + x3 + y3: �

CASO B: Dois vetores linearmente independentes.

� Seja P (x; y) = (a1x+ b1y)(a2x+ b2y)2 = j3�(0):

�Mudo as variáveis de (a1x+ b1y) para x e de (a2x+ b2y) para y.� Então P s x2y:� Note que x2y não é �nitamente determinado:hxy; x2i não contém nenhuma potência de y.� Entretanto � é �nitamente determinado, então deve existir um jato quenão é R-equivalente a x2y:� Suponha k o maior número para que jk� s x2y:� Sem perda (�), jk� = x2y e jk+1� = x2y + h(x; y); onde h é polinômiohomogêneo de grau k + 1, k � 3:� Transformamos � com um difeomor�smo da forma:� : (x; y)! (x+ �; y + )onde � e são homogêneos de grau k � 1 � 2: O jacobiano de � na origemé a identidade. Obtemos:jk+1� � � = x2y + x2 + 2xy�+ h(x; y):� Por uma escolha apropriada de � e , podemos eliminar todos os termosem h que são divisíveis por xy e x2. Isto dá:jk+1� � � = x2y + ayk+1; a 6= 0:� Podemos facilmente checar que x2y + ayk+1 é (k+1)-determinado econseqüentemente � s x2y + ayk+1 s x2y � yk+1: Se k � 4 entãocodim � � 5:� Então k = 3 e x2y + y4 s x2y � y4 (multiplicando por �1 e substituindoy por �y).� Logo:

� s �x21 � :::� x2k + x2y � y4: �

CASO C: Os três vetores linearmente dependentes.

80

� Seja P (x; y) = (ax+ by)3 = j3�(0):�Mudo as variáveis de (ax+ by) para x.� Então j3�(0) s x3:� Sem perda (�), P = x3: Então j4�(0) = x3 + h; onde h tem grau 4.� Podemos checar que:dim j3m(2) = 9dim j3 h@�i = dim j3 hx2 + h1; h2i � 4:(grau h1,grau h2 � 3)Então dim j3

m(2)

h@�i � 5 > 4:� Este caso não satisfaz codim n � 4: �

CASO D: P = 0:

� P = 0 implica � 2 m(2)4: Conseqüentemente h@�i � m(2)3 e

dimm(2)

m(2)3= 5; e este caso está excluído. �

� Assim completamos a demonstração. �

Teorema C25

Posto D2� máximo, � singularidade =) � s �x21 � :::� x2n .

DEMONSTRAÇÃO :

� Aplicação direta do Splitting Lemma (Teorema C22), usandocoposto = 0. �

Teorema C26

D�(0) com posto máximo ( D�(0) 6= 0 ) =) � s x1:

DEMONSTRAÇÃO :

� Suponha D�(0) com posto máximo.

� Então existe pelo menos um i tal que @�(0)@xi

6= 0:

Sejam i = 1; :::; k os i tais que@�(0)

@xi6= 0:

81

� Note que o j1�(0) = x1@�(0)

@x1+ ... +xk

@�(0)

@xk= a1x1+ ... +akxk

� E j1�(0) é 1-determinado: m � m hj1�(0)i ) m � m h1i .

� Como j1�(0) é 1-determinado então � s a1x1+ ... +akxk = j1�(0):

� Fazendo a mudança (x1; :::; xk; xk+1; :::; xn)! (x1a1; :::;

xkak; xk+1; :::; xn)

temos � s x1+ ... +xk:

� E fazendo a mudança (x1; :::; xk; xk+1; :::; xn)! (x1 � x2 � :::� xk; x2; :::; xn)vem que � s x1: �

Teorema C27

Teorema Final

Os resultados anteriores levam a:

Se temos � : Rn; 0! R e codim � � 4 então:

� Ou D� tem posto máximo e �(x1; :::; xn) s x1:

� Ou D� não tem posto máximo e D2� tem posto máximo e�(x1; :::; xn) s �x1 � :::� xn:(Função de Morse).

� Ou nem D� nem D2� têm posto máximo ( � é singularidade degenerada )e temos � R-equivalente a uma das 7 catástrofes de Thom:

�(x1; :::; xn) s x31 � x22 � :::� x2n�(x1; :::; xn) s x41 � x22 � :::� x2n�(x1; :::; xn) s x51 � x22 � :::� x2n�(x1; :::; xn) s x61 � x22 � :::� x2n�(x1; :::; xn) s x31 + x32 � x23 � :::� x2n�(x1; :::; xn) s x31 � x1x

22 � x23 � :::� x2n

�(x1; :::; xn) s x21x2 + x42 � x23 � :::� x2n

( a menos de multiplicação por �1).

TEOREMAS C3i:

82

Teorema C31

f K-transversal () m(n) = h@�i+ Vf +m(n)k+1:

DEMONSTRAÇÃO :

� Como f K-transversal signi�ca j1f transversal à órbita^�^Bk(n) de

^� na

origem, então f K-transversal é equivalente a:

Im D(j1f) + Esp:Tg(�orbita) = m(n):

� Sabemos que Im D(j1f) é gerado por@

@xi(j1f) e por

@

@ui(j1f) , e sabemos

que o espaço tangente à órbita ém(n) h@�i+m(n)k+1:Então temos que ter:�

@

@xi(j1f)

�R+

�@

@ui(j1f)

�R+m(n) h@�i+m(n)k+1 = m(n) (�)

� Ao somarmos as duas igualdades abaixo temos o resultado:

m(n) h@�i+m(n)k+1 +

�jk1@�(0)

@xi

�R= h@�i+m(n)k+1 (I)

Poism(n) h@�i+ h@�iR = h@�i

E jk1@�(0)

@xi=@f(x; 0)

@xi� @f(0; 0)

@xi=@f(x; 0)

@xi=@�(x)

@xi

Logo�jk1@�(0)

@xi

�R=

�@�

@xi

�R= h@�iR :

E note que@

@xi(jk1f) = jk1

�@f

@xi

�; pois posso mudar a ordem das derivadas. �

�jk1@f(0)

@uj

�R+m(n)k+1 =

�@f(x; 0)

@uj� @f(0; 0)

@uj

�R+m(n)k+1 (II)

Pois decorre da de�nição de jk1 : �

Assim (I) + (II) = (�). �

83

Teorema C32

b1(x); :::; br(x) base dem(n)

h@�i+m(n)k+1=) �(x) + b1(x)u1 + :::+ br(x)ur

é K-transversal.

DEMONSTRAÇÃO :

� Suponha b1(x); :::; br(x) base dem(n)

h@�i+m(n)k+1.

� Queremos provar que �(x) + b1(x)u1 + :::+ br(x)ur é K-transversal, ouseja, por C31 , queremos:

m(n) = h@�i+ Vf +m(n)k+1

� Note que no caso de f(x; u) = �(x) + b1(x)u1 + :::+ br(x)ur , queremos:

m(n) = h@�i+ hb1(x); :::; br(x)i+m(n)k+1 pois Vf = hb1(x); :::; br(x)i :

Mas b1(x); :::; br(x) geram(n)

h@�i+m(n)k+1. Então pela álgebra o resultado é

imediato. �

Teorema C33

(r; f) unfolding versal de � =) f é K-transversal 8k:

DEMONSTRAÇÃO :

� Suponha (r; f) unfolding versal de �:

� Seja (s,g) um unfolding K-transversal de � (fácil de construir, use C32).

� Como (r; f) é versal, então existe um mor�smo (�; �) tal queg = f � �+ � .

� Como � independe de x, então Vg = Vf�� . Veja:

g = f � �+ �(u)

�@g(x; 0)

@ui� @g(0; 0)

@ui

�R=

�@f � �(x; 0)

@ui� @f � �(0; 0)

@ui

�R+

�@�(0)

@ui� @�(0)

@ui

�R

84

=

�@f � �(x; 0)

@ui� @f � �(0; 0)

@ui

�R

� Agora a�rmo: Vf�� � h@�i+ Vf . (Depois demonstro).Usando isso, vem:

m(n) � h@�i+ Vg +m(n)k+1 (hipótese)m(n) � h@�i+ Vf�� +m(n)k+1 (pois Vg = Vf�� )� h@�i+ Vf +m(n)k+1 (pela a�rmação)

Logom(n) � h@�i+ Vf +m(n)k+1 .Masm(n) � h@�i+ Vf +m(n)k+1 pois h@�i, Vf ,m(n)k+1 � m(n):

Entãom(n) = h@�i+ Vf +m(n)k+1 e acabou. �

� Demonstrando a a�rmação:

� Vou provar que Vf�� � h@�i+ Vf .

� Pela regra da cadeia: @f � �@uj

=nPi=1

@f

@xi

�i@uj

+rPl=p

@f

@vp

�p@uj

� E então restringindo a Rn � f0g = (x; 0) , vem:

@f � �@uj

=nPi=1

@�

@xi

�i@uj

+rPl=p

@f

@vp

�p(0)

@uj

ondenPi=1

@�

@xi

�i@uj

2 h@�i

erPl=p

@f

@vp

�p(0)

@uj2 Vf =

�@f(x; 0)

@vp� @f(0; 0)

@vp

�R. �

Teorema C34

(r; f) unfolding versal de � =) codim � � r .

DEMONSTRAÇÃO :

� Como (r; f) é unfolding versal de n, (por C33) (r; f) é unfoldingK-transversal de �.

Entãom(n) = h@�i+ Vf +m(n)k+1:

Assim:

85

dimm(n) = dim h@�i+ Vf +m(n)k+1

dimm(n) � dim Vf+ dim h@�i+m(n)k+1

dimm(n)� dim h@�i+m(n)k+1 � dim Vf

dimm(n)

h@�i+m(n)k+1� dim Vf

� Conseqüentemente dim m(n)

h@�i+m(n)k+1� dim Vf � r: Isto é satisfeito

para todo k; pelo Lema de Nakayamam(n)k � h@�i+m(n)k+1 para k > r:

� Aplicando o Lema de Nakayama de novo temosm(n)k � h@�i :entãom(n)k+1 � m(n)k � h@�i e:

codim � = dimm(n)

h@�i = dimm(n)

h@�i+m(n)k+1� dim Vf � r: �

Teorema C35

Seja � K-determinado.(r; f) e (r; g) K-transversais =) (r; f) isomorfo a (r; g) .(Esta demonstração é muito difícil. Só a colocamos aqui para que oleitor não precise consultar outra fonte.)

DEMONSTRAÇÃO :

� Suponha � K-determinado e (r; f) e (r; g) K-transversais.

� Temos que encontrar um isomor�smo (r; f)! (r; g):

� Sabemos que (r,f) é K-transversal sem(n) = h@�i+ Vf +m(n)k+1; onde

Vf é gerado sobre R pelos termos�@f

@uijRn�f0g �

@f(0)

@ui

�:

� De agora em diante vamos procurar uma homotopia Ft de unfoldingstransversais começando em F0 = f e terminando em F1 = g (depoismostramos que Ft é localmente constante como transformação de [0; 1]sobre os tipos de isomor�smos de unfoldings).

� Os unfoldings de � com r parâmetros são germes em� +m(r) � "(n+ r) � m(n+ r); ondem(r) é gerado por u1; :::; ur.Então eles podem ser escritos � + � onde � 2 m(r) � "(n+ r) e é claro queV�+� = V�:

� No espaço Jk0 (n) dos k-jatos com termo constante nulo, existe um

86

subespaço

�@�

@xi

�m(n)k+1

; e nós estamos interessados naqueles � para os quais

V� é transversal a este subespaço.

� Introduzimos a transformação:

m(r) � "(n+ r)! Hom(Rr; Jk0 (n))

� 7�!�ei 7�! jk

�@�

@uijRn�f0g �

@�(0)

@ui

��onde os ei são elementos base de Rr. Esta transformação é claramentesobrejetiva, já que polinômios apropriados podem ser escolhidos para �.

� Considere o conjunto excepcional A em Hom que consiste naqueleshomomor�smos para os quais a imagem de Rr não é transversal a�@�

@xi

�m(n)k+1: É claro que A é algébrico.

� Se codim � = s = codim�@�

@xi

�em Jk0 (n) , então sabemos que s � r

pelo Teorema C34, que foi provado na versade para unfoldingsK-transversais.

� Caso 1: r > s.

� Podemos ver facilmente que codim A > 1 e então Hom� A é conexo.

� Caso 2: r = s.

� Então Hom� A se separa em duas componentes de acordo com a

orientação da imagem de Rr com respeito a�@�

@xi

�m(n)k+1:

Entretanto se � 2 B(r) é uma transformação que reverte orientação,então � + � e (� + �)� fornecem pontos que estão em diferentescomponentes de Hom� A: Então podemos assumir que f e g sãolevadas na mesma componente de Hom� A:

� Segue então que as imagens de f e g podem ser unidas por um caminhopolinomial em Hom� A: É óbvio que um caminho linear em Hom� A

pode ser levada em um caminho linear emm(r)"(n+ r)

m(n+ r)k+1(isto leva

sobrejetivamente em Hom).este caminho leva em um caminho linear em� +m(r)"(n+ r): Então f e g podem ser ligadas PIECEWISE linearmente

87

por unfoldings K-transversais e sem perda de generalidade podemosassumir que:

Ft = (1� t) � f + t � g é K-transversal para 0 � t � 1:

� Temos que mostrar agora que o tipo de isomor�smo de Ft como unfoldingé localmente constante.

� Sem perda de generalidade, f jf0g�Rr = gjf0g�Rr = 0 já que fazendo�t(u) = (1� t)f(0; u) + tg(0; u) temos um isomor�smo (Id; �t) entre Ft e�t(u) = (1� t)(f(x; u)� f(0; u)) + t(g(x; u)� g(0; u)):

� Nossa proposta signi�ca que temos que ter condições de achar� 2 "(n+ r + 1; n+ r) como germe no ponto (0; 0; t0) e � 2 "(r + 1) no ponto(0; t0) tal que �(x; u; t) = �t(x; u) tem a forma (�t(x; u); t(u) 2 Rn � Rr eainda, se �t(u) = �(u; t); então:

(a) �t0 = id 2 B(n+ r); �t0 = 0:(b) �tjRn�f0g = id 2 B(n); �t(0) = 0:(c) Ft � �t + �t = Ft0 :

� Essas condições a�rmam que (�t; �t) é um mor�smo entre (r; Ft0) e (r; Ft)que é um isomor�smo por (a).

� Devido a (a) podemos substituir (c) pela condição diferencial@

@t(Ft � �t + �t) = 0; que pode ser expandida a:

(d)nPi=1

@F (�; t)

@xi� @�i(x; u; t)

@t+

rPj=1

@F (�; t)

@uj�@ j(u; t)

@t

+@F (�; t)

@t+@�(u; t)

@t= 0

Note que (�; t) deveria realmente ser escrito (�(x; u; t); t)

� Então, agora substituímos (c) por (d) e temos que tentar resolver ascondições para

@�

@t;@

@t; e

@�

@t: estamos procurando germes:

�i 2 "(n+ r + 1); i = 1; :::; n :�j 2 "(r + 1); i = j; :::; r + 1 :

que satisfazem:

88

(e)nPi=1

@F (�; t)

@xi�i +

rPj=1

@F (�; t)

@uj�j + �r+1 = �

@F

@t2 "(n+ r + 1)

�ijRn�f0g�R = 0; isto é, �i 2 m(r)"(n+ r + 1)

�jjf0g�R; isto é, �j 2 m(r)"(r + 1)

� Para ver que isto é exatamente o que queremos, suponha que �i e �j foramencontrados. Então se � e � são soluções das equações diferenciais

@�i@t

= �i(�; ; t)

@ j@t

= �j( ; t); j � r

@�

@t= �r+1( ; t)

com condições iniciais �t0 = id; �t0 = 0; então � e � satisfazem(a), (b) e (d).

� Agora devido a @F@t

= g � f 2 m(r)"(n+ r + 1), é su�ciente para ademonstração de mostrar que:

m(r)"(n+ r + 1) ��@F

@xi

�m(r)"(n+r+1)

+

�@F

@uj; 1

�m(r)"(r+1)

onde hb1; :::bkiA é de�nido por fPi

aibi j ai 2 A g como sempre.

� Para esta inclusão temos que mostrar que:

(�) "(n+ r + 1) ��@F

@xi

�"(n+r+1)

+

�@F

@uj

�"(n+r+1)

+ "(r + 1):

� O fato que queremos usar é que Ft é um unfolding K-transversal de n.Pelo Teorema C31 temos:

m(n) =

�@�

@xi

�"(n)

+

�@Ft@uj

jRn�f0g�R+m(n)k+1

O termo do meio é simpli�cado porque podemos assumir que Ftjf0g�Rr = 0:

Como � é K-determinado, isto é,m(n)k+1 ��@�

@xi

�, podemos omitir o

89

último termo. Substituindo@�

@xi=@Ft@xi

jRn�f0g temos:

m(n) =

�@Ft@xi

jRn�f0g�"(n)

+

�@Ft@uj

jRn�f0g�R.

� Para provar (�) examinamos a equação:

"(n+ r + 1) = m(n)"(n+ r + 1) + "(r + 1)

� Se g 2 m(n)"(n+ r + 1) então nós acabamos de provar que existe um

elemento em�@F

@xi

�"(n+r+1)

+

�@F

@uj

�"(r+1)

que está de acordo com g em

Rn � f0g � ft0g; pelo menos. Os elementos de "(n+ r + 1) que se anulamem Rn � f0g � ft0g estão emm(r + 1)"(n+ r + 1):

� Juntando as coisas, temos:�@F

@xi

�"(n+r+1)

+

�@F

@uj

�"(r+1)

+ "(r + 1) +m(r + 1)"(n+ r + 1) = "(n+ r + 1):

(��)

� Sejam C = "(n+ r + 1) , pensado como "(n+ r + 1)�m�odulo �nitamente

gerado, A =�@F

@xi

�"(n+r+1)

submódulo de C e B =�@F

@uj

�"(r+1)

+ "(r + 1):

Como submódulos, B � C, onde C é "(r + 1)�m�odulo via a inclusão"(r + 1) � "(n+ r + 1): Note que B é �nitamente gerado sobre "(r + 1):

� Sabemos que:

(��) A+B +m(r + 1)C = C

e queremos (�) A+B = C:

� Para deduzir da informação dada sobre A, B, e C primeiramente fazemosA = 0 (computamos módulo A). Então consideramos a transformação"(r + 1)! "(n+ r + 1) que é induzida pela projeção e que transforma cada"(n+ r + 1)�m�odulo em um "(r + 1)�m�odulo:Para os nossos módulossabemos que:

B é �nitamente gerado sobre "(r + 1):C é �nitamente gerado sobre "(n+ r + 1):

90

B +m(r + 1)C = C:

� Os geradores b1; :::; bs de B geram o espaço vetorialC

m(r + 1)C: Então

pelo Teorema da Preparação eles também geram C como "(r + 1)�m�odulo:Assim B = C.

� Então cada passo da demonstração está completo, e temos o resultado.

Obs.: Teorema da Preparação - Enunciado:

Seja f : Rn; 0! Rm; 0 germe diferenciável. Ele induz o homomor�smo de anéisf � : "(p)! "(n) e o homomor�smo de séries de potências

^f � :

^"(p)! ^

"(n):

As seguintes a�rmações são equivalentes:

a) �1; :::; �k 2 "(n) geram "(n) como "(p)�m�odulo via f �.

b)^�1; :::;

^�k 2 "(n) geram

^"(n) como ^"(p)�m�odulo via

^f �.

c) �1; :::; �k representam os geradores do espaço vetorial real"(n)

f �m(p) � "(n) :

d)^�1; :::;

^�k representam os geradores do espaço vetorial real

^"(n)

^f � ^m(n) � ^"(n)

:

�

Teorema C36

� K-determinado.Unfolding (�) versal () Unfolding (�) K-transversal.

DEMONSTRAÇÃO :

( =) ) Suponha � K-determinado e unfolding (�) versal.

� Unfolding (�) é K-transversal pelo teorema C33:

((= ) Suponha � K-determinado e (r; f) unfolding de � K-transversal.

� Suponha (s; g) unfolding arbitrário. Temos que encontrar um mor�smo

91

(s; g)! (r; f). Basta construí-lo assim:

(s; g)���!�obvio (s; g) + (r; f)

(s; g) + (r; f)���������!Teorema C35 constante + (r; f)

constante + (r; f)���!�obvio (r; f): �

Teorema C21

� singularidade,

(1) � tem unfolding versal () codimensão de � é �nita.(2) Dois unfoldings versais com r parâmetros são isomorfos.(3) Todo unfolding versal é isomorfo a (r; f) + constante, (r; f) universal.

(4) fb1(x); :::; br(x)g base dem(n)

h@�i =)

=) f(x; u) = �(x) + b1(x)u1 + :::+ br(x)ur é universal.

DEMONSTRAÇÃO :

(1) � tem unfolding versal () codimensão de � é �nita.

( =) ) Suponha que n tem unfolding versal.� De C34 temos que codim n � r .

((= ) Suponha codim � �nita.� Então por (4) (logo abaixo) temos o resultado. �

(2) Dois unfoldings versais com r parâmetros são isomorfos.

� � tem unfolding versal () codim n é �nita (() � é �nitamentedeterminado) por C31 .� Com � �nitamente determinado, usando C35 temos o resultado. �

(3) Todo unfolding versal é isomorfo a (r; f) + constante, (r; f) universal.

� Seja (r + p; g) unfolding versal qualquer, sabemos que

�(x) + b1u1 + :::+ brur é universal (por C34) onde bi é base dem(n)

h@�i .Então se acrescentarmos k parâmetros constantes, temos�(x) + b1u1 + :::+ brur + c1v1 + :::+ cpvp com c1v1 + :::+ cpvp constante.E como ambos são K-transversais (pois são versais, use C36) então são

92

isomorfos. �

(4) fb1(x); :::; br(x)g base dem(n)

h@�i =)

=) f(x; u) = �(x) + b1(x)u1 + :::+ br(x)ur é universal.

� Por C34 já vimos que temos codim � = dimm(n)

h@�i = dimm(n)

h@�i+m(n)k+1:

Assim por C34 temos o resultado. �

Bibliogra�a:

Livro fundamental:

[01] J.W. Bruce, P.J. Giblin, C.G. Gibson: On Caustics by Re�ection, Topology Vol.21No.2 pp. 179-199, 1982. (Antes de começar qualquer estudo sobre o assunto desta tese, deve-seler este livro do início ao �m. Ou pelo menos até o Capítulo 8, que trata de Transversalidade.Trata de coisas básicas, como variedades e espaços tangentes, e de envoltórias e unfoldings numnível bem simples).

Livros base para este estudo:

[02] J.W. Bruce, P.J. Giblin, C.G. Gibson: On Caustics of Plane Curves, The AmericanMathematical Monthly Vol.88 No.9 pp. 651-667, Nov/1981. (Paper que utilizei como base paraesta tese, especi�camente para o Capítulo 2).

[03] J.W. Bruce, P.J. Giblin: Curves and Singularities, Cambridge University Press.(Paper que utilizei como base para esta tese, especi�camente para o Capítulo 1).

[04] Theodor Bröcker: Differentiable Germs and Catastrophes, London MathematicalSociety Lecture Note Series, Cambridge University Press. (Este livro deve ser lido da primeiraaté a última página, é o melhor de todos, é bem completo e trata diretamente do Teorema das 7Catástrofes).

Livro auxiliares, mas obrigatórios:

[05] Yung-Chen Lu: Singularity Theory and na Introduction to Catastrophe Theory,Springer-Verlag. (Nada melhor para entender o espaço dos jatos e as órbitas do que o livro doYung. Mas leia desde o início! Quando chegar à página 74 já vai ter uma boa idéia do tema).

[06] C.G. Gibson: Singular Points of Smooth Mappings, Pitman Publishing. (Bomlivro para quem gosta de uma boa conversa antes dos teoremas. Este cobre bem o Teorema das7 Catástrofes, mas não é meu favorito).

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[07] Jorge Sotomayor: Singularidades de Aplicações Diferenciáveis, III Escola LatinoAmericana de Matemática, IMPA. (O único livro desta bibliogra�a em português; é um livroexcelente, muito bem escrito, e cobre muito bem todos os passos da demonstração).

[08] Martin Golubitsky, Victor Guillemin: Stable Mappings and their Singularities,Springer-Verlag. (Ótimo livro para o estudo de Genericidade. Simplesmente obrigatório. Tenhaele para consultas paralelas).

Outros livros:

[09] Robert Gilmore: Catastrophe Theory for Scientists and Engineers, Wiley-Interscience.(Livro para engenheiros, bom para termos uma outra visão das catástrofes).

[10] Tim Poston, Ian Stewart: Catastrophe Theory and its Applications, Pitman Pub-lishing. (Livro para engenheiros, analogamente ao caso anterior, bom para termos uma outravisão das catástrofes).

[11] E.J.N. Looijenga: Structural Stability of Smooth Families of C1 Functions, Thesis,University of Amsterdam, 1974. (Esta é a Tese de Doutorado de E. Looijenga, que eu adquiricom o próprio. É muito interessante, mas é de difícil leitura e não é nada fácil encontrar noBrasil. Não há nem sequer na biblioteca do IMPA. Como disse, consegui um exemplar com opróprio Looijenga, que é holandês, via air mail.)

[12] J.W. Milnor: Morse Theory, Annals of Mathematics Studies, Vol.51, PrincetonUniversity Press, 1963. (Uma outra fonte bem completa e bem escrita).

[13] V.I. Arnold: Catastrophe Theory, Springer-Verlag, 1984. (Para relaxar, leia estelivro como que lê um romance, apenas para enriquecer a cultura sobre singularidades e conhecerum pouco da história).

[14] J.C. Tougeron: Idéaux de Fonctions Différentiables I, Ann. Inst. Fourier, 18(1968).(Neste livro encontramos a demonstração de que o conjunto dos germes �nitamente determina-dos é residual em C1(Rn:R)).

Para quem quiser entrar em contato comigo: montauban10@gmail.com oumontauban10@bol.com.brou ainda montauban@ufrj.br. Ou procure por montauban num site de busca, certamente nãohaverá outro hehehe...

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