universidade federal rural do semiárido departamento de ciências

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIÁRIDO

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS

CURSO DE BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA

RUAN MAGNO OLIVEIRA DE FREITAS

DESENVOLVIMENTO DE FERRAMENTA COMPUTACIONAL PARA

CÁLCULO DE PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES TRANSVERSAIS

MOSSORÓ-RN

2012

RUAN MAGNO OLIVEIRAS DE FREITAS

DESENVOLVIMENTO DE FERRAMENTA COMPUTACIONAL PARA

CÁLCULO DE PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES TRANSVERSAIS

Monografia apresentada a Universidade Federal

Rural do Semiárido - UFERSA, Departamento

de Ciências Ambientais e Tecnológicas para a

obtenção do título de bacharel em Ciência e

tecnologia.

Orientador: Prof. M. Sc. Raimundo Gomes de

Amorim Neto – UFERSA

Coorientadora: Profª. M. Sc. Flaviana Moreira

de Souza Amorim – UFERSA

MOSSORÓ-RN

2012

Ficha catalográfica preparada pelo setor de classificação e

catalogação da Biblioteca “Orlando Teixeira” da UFERSA

Bibliotecária: Vanessa de Oliveira Pessoa

CRB15/453

F866d Freitas, Ruan Magno Oliveira de.

Desenvolvimento de ferramenta computacional para

cálculo de propriedades geométricas de seções transversais. /

Ruan Magno Oliveira de Freitas. -- Mossoró, 2012.

73 f.: il.

Monografia (Graduação em Ciência e tecnologia) –

Universidade Federal Rural do Semi-Árido.

Orientador: Prof. M. Sc. Raimundo Gomes de Amorim Neto.

Coorientador: Profª. M. Sc. Flaviana Moreira de Souza Amorim.

1. Modelagem matemática. 2. Propriedades geométricas. 3.

Engenharia civil. I.Título.

CDD: 511.8

Ficha catalográfica preparada pelo setor de classificação e

catalogação da Biblioteca “Orlando Teixeira” da UFERSA

Bibliotecária:

Vanessa de

Oliveira

Pessoa

CRB15/453

F866d Freitas, Ruan Magno Oliveira de.

Desenvolvimento de ferramenta computacional para

cálculo de propriedades geométricas de seções transversais. /

Ruan Magno Oliveira de Freitas. -- Mossoró, 2012.

74 f.: il.

Monografia (Graduação em Ciência e tecnologia) –

Universidade Federal Rural do Semi-Árido.

Orientador: Dr. Raimundo Gomes de Amorim Neto.

Co-orientador: Dr. Flaviana Moreira de Souza Amorim.

1. Modelagem matemática. 2. Propriedades geométricas. 3.

Engenharia civil. I.Título.

CDD: 511.8

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho de conclusão do bacharel

em ciência e tecnologia, àqueles que sempre

acreditaram na minha formação, meus pais,

irmãos, familiares, namorada e amigos que de

muitas formas me incentivaram e ajudaram para

que fosse possível a concretização não apenas

deste trabalho como na conclusão do meu curso

de graduação.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus por permitir que eu pudesse chegar até onde estou hoje, por tantas as

vezes que o procurei para pedir ajuda e muitas às vezes nem agradeci, pelas inúmeras noites

que passei estudando e sem esperança de fazer uma boa prova, o Senhor me concedeu a graça

da sabedoria, as dificuldades que passei, todas elas tinham um propósito, serviu para que eu

desse valor as oportunidades que logo surgiriam.

Aos meus pais que mesmo de longe sempre me apoiam, a minha mãe, Maria de Freitas

Oliveira de Souza, pelas noites que passou em claro zelando o meu sono e cuidando de mim,

ao meu pai, Ademir Freitas de Souza, pessoa que sempre idealizou seus objetivos, ensinou

aos seus filhos irem em busca das realizações dos seus sonhos, agradeço a ambos por

permitirem os meus estudos, acima de tudo. Ao meu irmão, Rômulo Magno, que sempre me

ajudou a escolher as melhores oportunidades e no tempo de cursinho ele foi um dos principais

que contribuiu e acreditou em mim, a minha irmã, Raíssa Maria, que estar no auge da sua

juventude e sem conhecer o mundo acadêmico, me apoia.

A todos os meus parentes em especial minha tia, Gildecina, que me forneceu moradia durante

meus estudos, as demais tias que sempre me ampararam e me ajudaram durante esse percurso,

aos meus avós que sempre incentivaram a formação de seus netos. A minha namorada,

Bárbara Torres, que sempre esteve paciente comigo na hora de dividir minhas angustia da

faculdade e sem reclamar continua apoiando os meus passos.

Agradeço a todos os professores por compartilharem conosco, alunos, seus conhecimentos,

mesmo sem ganhar o prestígio que merecem, se esforçam para dar uma boa aula. Aos meus

colegas que passaram várias tardes estudando comigo, que compartilham as mesmas

dificuldades, alegrias, sem eles para servi de base como amigos seria difícil concluir o

bacharelado.

Ao meu orientador, Prof. Raimundo Gomes de Amorim Neto e a minha coorientadora

Flaviana Moreira de Souza Amorim, que me orientou a desenvolver esse projeto que é tão

importante para a minha formação como Bacharel em Ciência e Tecnologia no Campus da

UFERSA.

“As dificuldades são o aço

estrutural que entra na construção

do caráter.”

(Carlos Drummond de Andrade)

http://pensador.uol.com.br/autor/carlos_drummond_de_andrade/

RESUMO

No âmbito da engenharia civil é fundamental o conhecimento de propriedades

geométricas de seções de peças ou áreas para construção. Este trabalho busca apresentar uma

metodologia simples utilizando modelagem matemática para o desenvolvimento de uma

ferramenta computacional para ser aplicada em problemas de engenharia, especialmente a

aqueles ligados a estruturação de peças como vigas, eixos, lajes e pilares. Fez-se o uso, para

tanto, das potencialidades previamente contidas no MatLab®, optando pela aplicação direta

das fórmulas obtidas por suas definições e em alguns casos através da decomposição das áreas

das seções em regiões elementares conhecidas, em vista que suas propriedades geométricas

podem ser facilmente encontradas tabeladas em diversas literaturas. O programa desenvolvido

apresenta-se na forma de um executável criado na interface gráfica do MATLAB, e este

disponibiliza para o usuário nove tipos de seções de área pré-definidas, sendo essas seções os

tipos mais utilizados em estruturas para problemas de engenharia. Com o uso das ferramentas

desenvolvidas percebe-se o ganho em escala e precisão, uma vez que o programa

desenvolvido se mostrou simples e com resultados similares aos resultados manuais, que

demandariam um grande custo no tocante ao tempo.

Palavras-chave: Modelagem matemática, propriedades geométricas, engenharia civil.

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1- Tipos de cargas distribuídas ................................................................................... 17

Figura 2.2- Estrutura de uma laje apoiada por duas vigas iguais e em diferentes orientações . 19

Figura 2.3- Área de trabalho do MATLAB .............................................................................. 22

Figura 2.4- Janela de edição/depuração do MATLAB ............................................................. 23

Figura 2.5- Janela de Ferramentas guide .................................................................................. 25

Figura 3.1- Área de uma superfície plana................................................................................. 27

Figura 3.2- Determinação da área de uma seção em forma de caixa ....................................... 28

Figura 3.3- Coordenadas centroidais ........................................................................................ 30

Figura 3.4- Centroide de uma superfície composta .................................................................. 31

Figura 3.5- Determinação do centroide de um retângulo ......................................................... 31

Figura 3.6- Determinação do centroide para uma seção em forma de C .................................. 32

Figura 3.7- Determinação do momento estático de uma seção triangular ................................ 34

Figura 3.8- Eixo paralelo que passa pelo centroide da seção ................................................... 38

Figura 3.9- Determinação do momento de inércia para uma seção retangular ........................ 38

Figura 3.10- Determinação do momento de inércia para uma seção em forma de T ............... 39

Figura 3.11- Áreas de simetrias ................................................................................................ 41

Figura 3.12- Determinação do produto de inércia para uma seção em forma de L.................. 42

Figura 3.13- Definição de raio de giração ................................................................................ 44

Figura 3.14- Determinação do raio de giração para uma seção circular .................................. 44

Figura 3.15- Fluxograma .......................................................................................................... 46

Figura 4.1- Solução do FTOOL para uma seção retangular ..................................................... 47

Figura 4.2- Solução do AutoCAD para uma seção retangular ................................................. 48

Figura 4.3- Solução do programa para uma seção retangular .................................................. 48

Figura 4.4- Exemplo para uma seção em forma de caixa ......................................................... 50

Figura 4.5- Solução do FTOOL para uma seção em forma de caixa ....................................... 50

Figura 4.6- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de caixa .................................... 51

Figura 4.7- Solução do Programa para uma seção em forma de caixa ..................................... 51

Figura 4.8- Solução do FTOOL para uma seção circular ......................................................... 52

Figura 4.9- Solução do AutoCAD para uma seção circular ..................................................... 53

Figura 4.10- Solução do programa para uma seção circular .................................................... 53

Figura 4.11- Solução do FTOOL para uma seção em forma de anel ....................................... 54

Figura 4.12- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de anel ................................... 55

Figura 4.13- Solução do programa para uma seção em forma de anel ..................................... 55

Figura 4.14- Exemplo de uma seção triangular ........................................................................ 56

Figura 4.15- Solução do AutoCAD para uma seção triangular ................................................ 57

Figura 4.16- Solução do programa para uma seção triangular ................................................. 57

Figura 4.17- Exemplo de uma seção em forma de I ................................................................. 58

Figura 4.18- Solução do FTOOL para uma seção em forma de I ............................................ 59

Figura 4.19- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de I ......................................... 59

Figura 4.20- Solução do programa para uma seção em forma de I .......................................... 60

Figura 4.21- Exemplo para uma seção em forma de T ............................................................. 61

Figura 4.22- Solução do FTOOL para uma seção em forma de T ........................................... 61

Figura 4.23- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de T ........................................ 62

Figura 4.24- Solução do programa para uma seção em forma de T ......................................... 62

Figura 4.25- Exemplo para uma seção em forma de L ............................................................. 63

Figura 4.26- Solução do FTOOL para uma seção em forma de L ........................................... 64

Figura 4.27- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de L ........................................ 64

Figura 4.28- Solução do programa para uma seção em forma de L ......................................... 65

Figura 4.29- Exemplo para uma seção em forma de C ............................................................ 66

Figura 4.30- Solução do FTOOL para uma seção em forma de C ........................................... 66

Figura 4.31- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de C ....................................... 67

Figura 4.32- Solução do programa para uma seção em forma de C ......................................... 67

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1- Comandos básicos para o MATLAB .................................................................... 24

Tabela 4.1- Comparação dos resultados da seção retangular ................................................... 49

Tabela 4.2- Comparação dos resultados da seção em forma de caixa ...................................... 52

Tabela 4.3- Comparação dos resultados da seção circular ....................................................... 54

Tabela 4.4- Comparação dos resultados da seção em forma de anel ....................................... 56

Tabela 4.5- Comparação dos resultados da seção triangular .................................................... 58

Tabela 4.6- Comparação dos resultados da seção em forma de I ............................................. 60

Tabela 4.7- Comparação dos resultados da seção em forma de T ............................................ 63

Tabela 4.8- Comparação dos resultados da seção em forma de L ............................................ 65

Tabela 4.9- Comparação dos resultados da seção em forma de C ........................................... 68

LISTA DE QUADROS

Quadro 3.1- Formulação e estratégia de programação para área ............................................. 29

Quadro 3.2- Formulação e estratégia de programação para o centroide .................................. 33

Quadro 3.3- Formulação e estratégia de programação para o momento estático ..................... 36

Quadro 3.4- Formulação e estratégia de programação para o momento de inércia ................. 40

Quadro 3.5- Formulação e estratégia de programação para o produto de inércia .................... 43

Quadro 3.6- Formulação e estratégia de programação para o raio de giração ......................... 45

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

CAD Computer Aided Design

DCAT Departamento de Ciências Ambientais e Tecnológicas

Eq. Equação

FTOOL Two - Dimensional Frame Analysis Tool

GUI Graphical User Interface

GUIDE Graphical User Interface Developmentenvironment

MATLAB MATrix LABoratory

PG Propriedade Geométrica

PGST Propriedade Geométrica de uma Seção Transversal

UFERSA Universidade Federal Rural do Semiárido

LISTA DE SÍMBOLOS

A Área de uma seção transversal

Momento de inércia em relação ao eixo x

Produto de inércia

Momento de inércia em relação ao eixo y

Raio de giração em relação ao eixo x

Raio de giração em relação ao eixo y

Momento estático em relação ao eixo x

Momento estático em relação ao eixo y

Centroide em relação ao eixo x

Centroide em relação ao eixo y

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 13

1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ....................................................................................... 13

1.2 JUSTIFICATIVA DO TRABALHO .............................................................................. 13

1.3 OBJETIVOS ................................................................................................................... 14

1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO .................................................................................... 15

2 REVISÃO DE LITERATURA .................................................................................... 16

2.1 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA ................................................. 16

2.1.1 Área ................................................................................................................................ 16

2.1.2 Centroide ........................................................................................................................ 17

2.1.3 Momento estático .......................................................................................................... 18

2.1.4 Momento de inércia....................................................................................................... 18

2.1.5 Produto de inércia ......................................................................................................... 20

2.1.6 Raio de Giração ............................................................................................................. 20

2.2 MATLAB ........................................................................................................................ 21

2.2.1 Introdução ...................................................................................................................... 21

2.2.2 Área de aplicação .......................................................................................................... 21

2.2.3 Vantagens ....................................................................................................................... 21

2.2.4 Desvantagens ................................................................................................................. 22

2.2.5 A área de trabalho do MATLAB ................................................................................. 22

2.2.6 Interfaces gráficas com o usuário no MATLAB ........................................................ 24

3 METODOLOGIA ......................................................................................................... 27

3.1 ÁREA .............................................................................................................................. 27

3.1.1 Exemplificação da metodologia adotada para a programação da área de uma seção

em forma de caixa ................................................................................................................... 27

3.1.2 Estratégia de programação .......................................................................................... 28

3.2 CENTROIDE .................................................................................................................. 29


em forma de C ......................................................................................................................... 31


3.3 MOMENTO ESTÁTICO ................................................................................................ 33


triangular ................................................................................................................................. 34


3.4 MOMENTO DE INÉRCIA ............................................................................................ 37


em forma de T ......................................................................................................................... 38


3.5 PRODUTO DE INÉRCIA .............................................................................................. 40


em forma de L ......................................................................................................................... 42


3.6 RAIO DE GIRAÇÃO ..................................................................................................... 43


circular ..................................................................................................................................... 44


3.7 FLUXOGRAMA ............................................................................................................ 46

4 APLICAÇÃO NUMÉRICA ......................................................................................... 47

4.1 EXEMPLO 01- SEÇÃO RETANGULAR ..................................................................... 47

4.2 EXEMPLO 02- SEÇÃO EM FORMA DE CAIXA ....................................................... 49

4.3 EXEMPLO 03- SEÇÃO CIRCULAR ............................................................................ 52

4.4 EXEMPLO 04- SEÇÃO EM FORMA DE ANEL ......................................................... 54

4.5 EXEMPLO 05- SEÇÃO TRIANGULAR ...................................................................... 56

4.6 EXEMPLO 06- SEÇÃO EM FORMA DE I................................................................... 58

4.7 EXEMPLO 07- SEÇÃO EM FORMA DE T ................................................................. 60

4.8 EXEMPLO 08- SEÇÃO EM FORMA DE L ................................................................. 63

4.9 EXEMPLO 09- SEÇÃO EM FORMA DE C ................................................................. 66

5 CONCLUSÕES ............................................................................................................. 69

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ 71

13

1 INTRODUÇÃO

1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

O conceito das propriedades geométricas de uma seção de área (PGST) está

englobado em todo o ramo da engenharia estrutural, pois ela está introduzida e dispersa no

campo de trabalho da mecânica para engenharia, desde a mecânica geral, passando pelas

resistências dos materiais, até as mecânicas estruturais entre outras disciplinas aplicadas. Com

o passar dos anos e com o avanço tecnológico das últimas décadas, todos os cálculos não só

os que envolvam esses conceitos estruturais como os demais, cada vez mais eles vem sendo

dominados por software e o programa para cálculos das PGST é uma deles.

A determinação das propriedades geométricas de uma área com um auxílio de

programas computacionais é de extrema importância, pois estas são muito utilizadas nos

cálculos ligados à análise de estruturas. Uma consequência imediata ao uso de programação

está no tocante à obtenção de resultados rápidos e precisos nos cálculos que irão servir de

base para o estudo estrutural, como são os casos para os cálculos de tensões em vigas ou

demais peças estruturais, além de deflexão em vigas e eixos.

As propriedades geométricas (PG) abordadas neste trabalho são a área, o centroide,

momento de primeira ordem ou momento estático, momento de segunda ordem ou momento

de inércia, produto de inércia e raio de giração. A razão da escolha destas propriedades se

deve ao fato das mesmas encontrarem um vasto número de aplicações ligadas a estruturas.

Em face disso, estão sendo desenvolvidos outros dois trabalhos, em paralelo, que

juntos farão parte de um único programa estrutural, com o objetivo de continuar o projeto e ir

além do trabalho de conclusão de curso. A finalidade dessa união é criar um programa de

estrutura capaz se solucionar as propriedades geométricas, calcular as reações de apoio e os

esforços internos de uma treliça e/ou viga.

1.2 JUSTIFICATIVA DO TRABALHO

Com o avanço da tecnologia, grande parte dos cálculos tanto da análise estrutural

como qualquer outro que envolva dificuldade ou um vasto tempo para se determinar á mão,

hoje estão sendo resolvidos por software, com resultados rápidos e com certo grau de

precisão, sendo satisfatórios para os cálculos das propriedades geométricas.

14

Na literatura são vistas diversas aplicações das propriedades geométricas de uma

seção transversal. E como na instituição não há conhecimento da existência de alguma

ferramenta computacional para o cálculo destas propriedades, este projeto se mostra relevante.

Tanto na elaboração de uma revisão bibliográfica, como no desenvolvimento de uma

ferramenta computacional para calcular as propriedades geométricas de uma seção

transversal. A contribuição científica deste trabalho, estar na criação de uma ferramenta

computacional, específica para o cálculo das propriedades geométricas de uma seção

transversal, implementada no MATLAB (MATrix LABoratory).

1.3 OBJETIVOS

Geral

Busca-se contribuir no entendimento das propriedades geométricas, difundindo e

promovendo uma alternativa de estudo, tendo em vista que seus conhecimentos são

indispensáveis na mecânica para engenharia, no qual está incluso as disciplinas de mecânica

geral, resistência dos matérias e até mesmo mecânica das estruturas, sabendo que o conteúdo

dessas matérias são imprescindíveis nas analises estruturais.

Em procura de atender as necessidades impostas, essa pesquisa tem por finalidade

desenvolver uma aplicação computacional, capaz de calcular as propriedades geométricas de

uma seção transversal. Como subsidio para futuros programas de cálculo estrutural

desenvolvidos em projetos seguintes, com a finalidade do uso para cálculos estruturais com

vigas, eixos e colunas. Além disso, o trabalho busca servir como auxílio de revisão

bibliográfica para as propriedades geométricas de uma área.

Específicos

Pesquisar e conhecer as principais propriedades geométricas de uma área e

consequentemente aprofundar o conhecimento das mesmas;

Estudar o campo de atuação e as finalidades das aplicações das propriedades

geométricas de uma área;

Catalogar todas as informações obtidas, de modo a obter em um único trabalho,

informações úteis para o desenvolvimento do programa;

Pesquisar sobre as potencialidades e limitações de outros programas;

15

Auxiliar nos estudos de exercícios que envolva cálculos das propriedades

geométricas;

Capacitar o programa para acoplagem a outras aplicações;

Servir de incentivo no desenvolvimento de novas pesquisas na UFERSA, ligadas à

mecânica computacional.

1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO

O trabalho encontra-se organizado em cinco capítulos. Como pode ser observado, o

presente capítulo 1, mostra a introdução do trabalho, citando a importância do estudo das

propriedades geométricas, além disso, expões os objetivos e a estruturação do trabalho. O

capítulo 2 aborda uma revisão das propriedades geométricas baseadas nas literaturas de

mecânica para engenharia, argumentando suas diversas aplicações e ainda uma breve revisão

do MATLAB mostrando os seus campos de atuações e suas diversas aplicações.

No capítulo 3, a metodologia do trabalho, mostra as definições, as formulações e as

estratégias de programação no MATLAB utilizadas para cada uma das propriedades

geométricas. O capítulo 4, as aplicações numéricas, compara os resultados do programa

desenvolvido neste trabalho com o de outros softwares e com cálculos manuais;

Por fim, o capítulo 5 discute os principais resultados obtidos neste trabalho e suas

conclusões. E o Capítulo 6 apresenta a bibliografia utilizada como suporte na revisão de

literatura e que reforçaram o conhecimento das propriedades geométricas e do MATLAB para

criação do programa.

16

2 REVISÃO DE LITERATURA

Este capítulo se destina a uma breve apresentação de conceitos intimamente ligados

ao estudo da mecânica aplicada, bem como a descrição do pacote (ambiente) utilizado na

programação.

2.1 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA

As propriedades geométricas de uma área representam a forma e a disposição da

superfície plana em relação a um sistema de referência, sendo os seus conceitos utilizados em

diversas aplicações em resistências dos materiais e na mecânica das estruturas. Alguns

exemplos de aplicações dos conceitos das PG‟s são: no estudo das propriedades mecânicas

dos materiais, no cálculo de tensões de flexão, tensões normais, tensão cisalhante provocada

por momento torçor e força de cisalhamento de uma viga ou demais peças estruturais. Além

disso, para o cálculo/estudo de deflexão em vigas e eixos, inclinação e deslocamento pelo

método dos momentos de área, cálculos de carga críticas em colunas as quais se pretende

evitar a flambagem. Os conceitos inerentes a propriedades geométricas de seções planas são

fundamentais e amplamente aplicados. Portanto, percebe-se que o estudo detalhado das

propriedades de uma área é um conceito elementar e imprescindível para a maioria dos

cálculos da análise estrutural.

Segundo Shames (2002), existe um grande número de propriedades que representam

a forma e a disposição de uma superfície plana em relação a um sistema de referencial. Essas

propriedades são de usos corriqueiros na engenharia, em que uma variedade de descrições

quantitativas de superfícies são necessárias para o estudo da mesma. Em geral, o estudo das

propriedades de superfícies é restrito a superfícies planas.

2.1.1 Área

Em meio as propriedades geométricas encontramos a área, cujo conceito utilizado

nos dimensionamentos em projetos de mecânica estrutural é de medida de espaço de uma

superfície plana bidimensional do objeto de estudo, ou seja, para nosso estudo de estruturas

usaremos a definição da área de uma seção de peça com caráter estrutural. O cálculo da área

17

de uma superfície plana é diretamente ligado à determinação do centroide de uma superfície,

pois o conceito de centroide está relacionado a uma determinada posição dentro de uma área.

2.1.2 Centroide

O centroide representa o ponto onde se encontra o centro geométrico de uma área,

que é formado pelas coordenadas deste e sua localização independem dos seus eixos de

referência adotados. Esse conceito é utilizado para diversos problemas de Engenharia, tais

como na análise de cargas distribuídas no cálculo das forças exercidas numa superfície plana,

como, por exemplo, pressão hidrostática imposta pela água em uma placa assinalando-se um

carregamento distribuído triangular (Figura 2.1a) ou o peso de uma laje sobre uma viga

analisando um carregamento distribuído retangular (Figura 2.1b), ou até mesmo por ações dos

ventos nas laterais de um edifício neste caso caracterizando um carregamento distribuído não

uniforme (Figura 2.1c).

Segundo Beer e Johntson (2006), desse modo essas cargas distribuídas podem ser

trocadas por uma única carga concentrada, no qual o módulo delas é numericamente igual a

área sob a curva de carga, cuja aplicação localiza-se no centroide dessa superfície. Ainda, de

acordo com Boresi e Schmidt (2003), no estudo de flexão da viga, o centroide da área de

seção transversal de uma viga tem um papel importante na determinação de tensões na viga.

Para esse e outros problemas de engenharia, são necessários o conhecimento das propriedades

de placas, discos ou áreas planas delgadas.

Figura 2.1- Tipos de cargas distribuídas

Fonte: Autoria própria (2012).

18

Quando o carregamento é do tipo triangular ou retangular, tipos comumente usados

na prática, sabe-se que a integral da carga é a força resultante, e esta se concentra no centro de

gravidade da carga. Sendo assim, o centroide do triângulo é localizado em 1/3 de sua base ou

2/3 dependendo da referência/orientação adotada, enquanto que o centroide do retângulo em

1/2 de sua base.

Para uma dada área de forma arbitrária, as coordenadas de x e y do centroide são

dadas pela integral da distância até o centroide pelo elemento de área dA, sobre a integral da

área, sendo o centroide em relação ao eixo x e y, respectivamente, dada por dAxdA e

dAydA . Ou seja, para encontrar o centroide de uma área de forma arbitrária, ela deve ser

dividida em n partes, onde o seu centroide será o somatório das distâncias dos seus centros

geométricos até o eixo de referência adotado, vezes suas respectivas áreas, dividido pelo

somatório de todas as áreas.

2.1.3 Momento estático

Momento de Primeira ordem ou momento estático são as integrais do centroide em x

ou y em primeiro grau pelo elemento de área dA, no qual é correspondente ao numerador do

conceito de centroide. Sendo o momento de primeira ordem em relação ao eixo x é dado pela

∫ydA e é representada por Qx e o momento de primeira ordem em relação ao eixo y é dado por

∫xdA e representado por Qy.Esses dois conceitos, momento de primeira ordem de uma área e

centroide, são utilizado em vários problemas de engenharia porque fornecem uma ideia de sua

forma, tamanho e a orientação da área.

Vale salientar que todos os eixos xy que tenha origem no centroide de uma área, os

chamados eixos centroidais, o momento de primeira ordem em relação a qualquer um dos

seus eixos será zero. Isso se deve ao fato de que a distância é nula entre o centroide e a própria

posição dos eixos.

2.1.4 Momento de inércia

O momento de segunda ordem ou momento de inércia é uma propriedade geométrica

de uma área que expressa dificuldade de se promover o giro desta seção em relação a um

determinado eixo contido no plano dela. Uma forma simplória de se definir esta propriedade é

como a rigidez que um corpo formado por um tipo de seção definida tem a um movimento

19

imposto a ele. Os momentos de inércia são representados por Ix e Iy dos seus respectivos

eixos. A Figura 2.2 mostra uma exemplificação do conceito de momento de inércia,

mostrando duas vigas iguais, porém de posições diferentes no qual está apoiando uma laje

retangular. Entre as duas vigas observa-se que a viga na posição P1 se encontra numa melhor

posição, pois é nessa posição que o perfil tem maior rigidez à flexão em torno do eixo x,

podendo ser verificado pela expressão do momento de inércia para uma seção retangular.

Figura 2.2- Estrutura de uma laje apoiada por duas vigas iguais e em diferentes orientações


A inércia Ix significa a resistência do corpo ao girar em torno do eixo x, e Iy a

resistência do corpo ao girar em torno do eixo y.

O Momento de Inércia de Área ou Momento de Segunda Ordem de Área, ressaltado

por Silva (2010), é uma propriedade de uma seção plana de um corpo, que tem relação com a

rigidez à deformação por flexão.

Conforme apontado por Meriam e Kraige (2011), frequentemente a intensidade da

força é proporcional à distância das linhas de ações delas ao eixo do momento. A força

elementar atuante em um elemento de área é então proporcional à distância vezes a área

diferencial, e o momento elementar é proporcional à distância ao quadrado vezes a área

diferencial. Assim, o momento total envolve uma integral da forma ∫(distância)²d(área). Essa

integral é denominada de momento de inércia ou momento de segunda ordem.

Segundo Shames (2002), ao contrário de momento de primeira ordem, o momento de

inércia de uma área não pode ser negativo, e como a distância ao quadrado até o eixo é

empregado, os elementos de área mais distantes do eixo contribuem em maior peso para o

momento de inércia de uma área.

20

2.1.5 Produto de inércia

O produto de inércia é uma propriedade geométrica que ajuda identificar se o eixo

inicialmente arbitrário tem o maior ou o menor valor de momentos de inércia de uma área ou

se existe outros eixos com esses valores. Sabendo que o momento de inércia é diferente para

cada eixo em torno do qual é calculado. Logo deve primeiramente calcular o produto de

inércia para uma área, bem como seus momentos de inércia para os eixos x,y dados.

Conforme Hibbeler (2011), o conceito de produto de inércia é utilizado para determinar os

momentos de inércia máxima e mínima para uma área. Onde esses valores de máximo e

mínimo são necessários para aplicações de projetos de mecânica e estrutural como viga,

colunas e eixos.

Ao contrário do momento de inércia, o produto de inércia pode ser positivo, negativo

ou nulo, sinais esses que dependem do quadrante onde a área está localizada. Quando nulo,

significa que o momento de inércia nessa orientação tem valores máximo e mínimo e

nenhuma outra orientação terá momento maior ou menor do que nela, e ainda implica dizer

que a peça é simétrica.

2.1.6 Raio de Giração

Outra propriedade de uma área é o raio de giração. Representado por k, tem a

unidade em comprimento e seu conceito é usado frequentemente na mecânica estrutural em

projetos de colunas. Conforme o seu conceito, toda a área pode ser concentrada em um único

ponto (kx,ky) para obter o segundo momento de inércia em relação à posição de referência

adotada (Ak²x= Ix ,Ak²y= Iy). “O raio de giração é, então, uma medida da distribuição da área

em relação ao eixo em questão. Um momento de inércia retangular ou polar pode ser expresso

especificando o raio de giração e a área” (MERIAM; KRAIGE, 2011, p. 320-321). Assim, ao

contrário do que acontece no centroide que sua localização não depende da referência

adotada, dependendo apenas de sua área, o raio de giração além de depender da forma da área,

depende também da posição de sua referência.

21

2.2 MATLAB

2.2.1 Introdução

O MATLAB como sua própria sigla já diz, (Matrix Laboratory - Laboratório de

Matrizes), seu desenvolvimento foi voltado pra cálculos com matrizes, mas que hoje passou a

ser um programa computacional amplo para diversa área devido suas transformações ao longo

dos anos, sendo capaz de resolver diversos problemas técnicos de engenharia.

Conforme Chapman (2006) o MATLAB é um programa de computador otimizado

para resolver cálculos científicos e problema de engenharia. Ele implementa a linguagem

MATLAB e oferece uma ampla biblioteca de funções predefinidas para que a programação

técnica torne-se mais rápida, eficiente e de fácil utilização. Tornando-se assim muito mais

fácil resolver programas técnicos nele do que em outras linguagens como o Fortran ou C.

Sua criação se deu no final do ano de 1970, por Cleve Moler, um dos fundadores da

Mathworks, e então presidente do departamento de ciências da computação da Universidade

do Novo México, onde ele foi professor de matemática por quase 20 anos. Devido ao seu

grande potencial, seu uso rapidamente se espalhou para diversos campos de atuação. Hoje ele

é muito utilizado no ensino de álgebra linear e análises numéricas, além de ser usado por

engenheiros e cientistas para estudos e elaboração de projetos.

2.2.2 Área de aplicação

O MATLAB pode ser utilizado para uma vasta gama de problemas na engenharia,

estatística, economia, física, entre outras, sendo capaz de solucionar inúmeros problemas além

de fazer análise, simulações e conversão de dados. Ele ainda pode ser aplicado para cálculos

matemáticos, gráficos científicos, desenvolvimento de algoritmos, simulações, modelagens e

confecções de protótipos, além de desenvolver interfase gráfica com o usuário.

2.2.3 Vantagens

Algumas das principais vantagens do MATLAB são baseadas no fato de ele ser de

fácil programação, onde uma pessoa com pouco conhecimento em programação pode

desenvolver programas sofisticados de alto grau de dificuldade, tornando-se ideal para uso

22

educacional e para desenvolver rapidamente protótipos de novos programas. Além disso, vem

com uma biblioteca de funções predefinida (“Toolboxes”) otimizando o tempo gasto nas

realizações de tarefas, evitando a necessidade da „refabricação‟ de procedimentos de

programação já amplamente difundidos no seu escopo.

2.2.4 Desvantagens

Por outro lado o MATLAB tem suas desvantagens, uma delas é por ser uma

linguagem interpretada, ou seja, o programa é traduzido na medida em que vai sendo

executado num processo de tradução de trechos seguidos de sua execução imediata, sendo por

isso mais lento que a compilada, que por sua vez é uma linguagem onde o código fonte é

executável diretamente pelo processador após ser traduzido.

2.2.5 A área de trabalho do MATLAB

Ao iniciar o MATLAB aparece a tela inicial do programa denominada de área de

trabalho (Figura 2.3), nela apresenta diversas ferramentas que serão especificadas a seguir.

Figura 2.3- Área de trabalho do MATLAB


23

Principais ferramentas apresentadas na área de trabalho:

Janela de comandos (Command Window): Permite que o usuário insiram comandos

interativos pelo marcador de comandos (>>) que serão executados de imediato;

Navegador da Área de Trabalho (Workspace): Exibe as variáveis definidas na área de

trabalho;

Janela de Histórico de Comandos (Command History): Janela que exibem uma lista de

comandos já realizados, caso queria reexecutar um comando, basta clicar duas vezes

sobre ele;

Navegador do Diretório Corrente (CurrentDirectory): Exibe os arquivos do diretório

correntes;

Janela de Figuras (Figures): Representa gráficos no MATLAB;

Janela de Edição/Depuração (Editor): Permite ao usuário criar ou modificar arquivos

no MATLAB.

Ao em vez de digitar os comandos diretamente na janela de comando, pode-se criar

um único arquivo que executem uma série de comandos de uma só vez, esse arquivo são

chamados arquivos de scripts ou arquivos M devido a sua extensão de arquivo.m.

Cria-se um arquivo M por meio da janela de edição/Depuração, digitando “edit” na

janela de comando ou pelo ícone destacado na Figura 2.4.

Figura 2.4- Janela de edição/depuração do MATLAB


Para inserir um comentário na janela de edição deve-se utilizar o símbolo “%”

seguido do comentário, observa-se que o comentário fica escrito na cor verde. Fora da linha

do comentário, números e variáveis ficam na cor preta e palavras-chaves da linguagem em

azul.

24

Comandos básicos

Os comandos básicos no MATLAB, como somas, subtração, multiplicação, etc., são

os convencionais, como mostrado na Tabela 2.1.

Tabela 2.1- Comandos básicos para o MATLAB

Operações Símbolos Exemplos

Adição + 15+3 = 18

Subtração - 16-4 = 12

Multiplicação * 1.5*3 = 4.5

Divisão / ou \ 15/3 = 5 ou15\3 = 5

Potência ^ 7^3 = 343

Raiz quadrada sqrt (x) sqrt(64) = 8

Constante (π) Pi Pi = 3.1415926


Antes de qualquer operação, é preciso definir sua variável, para isso usa-se o

comando “syms” seguido da letra ou expressão que deseja ser chamado de variável. Exemplo:

syms x, dessa forma estará indicando que qualquer x da função vai ser uma variável e não um

número. Observa ainda que os números fracionários são separados por pontos ao em vez de

vírgula.

2.2.6 Interfaces gráficas com o usuário no MATLAB

A interface gráfica de usuário – GUI (do inglês Graphical User Interface) é uma

interface feita para ser um ambiente simples e agradável para o usuário do programa. Um bom

GUI com controles intuitivos com botões, menus, caixas de listas, caixa de diálogos, entre

outras, pode facilitar as operações de um usuário na execução de um programa tornando-se

um ambiente familiar para o operador.

Por outro lado as GUIs são mais difíceis para o programador, pois o programa no

GUI tem que ser preparado para possíveis entradas a qualquer momento, tanto pelo clique do

mouse nos botões criado na interface gráfica, quanto pelo teclado.

Existem duas maneiras de criar uma GUI no MATLAB, uma delas é criar funções

diretamente na janela de comando, que não é nada fácil e muito demorado, ou usar a função

guide do MATLAB que simplifica bastante a tarefa. Para iniciar a construção de uma

25

interface gráfica basta digitar guide (graphical user interface developmentenvironment -

ambiente de desenvolvimento de interface gráfica com o usuário) na linha de comando e de

imediato abre uma janela de edição do aspecto que irá ter a interface que deseja construir,

como mostra na Figura 2.5.

Figura 2.5- Janela de Ferramentas guide

Fonte: Autoria própria (2012), baseado em Chapman (2006).

Principais ferramentas do Guide:

Área de projeto: Área designada à construção da interface gráfica.

Componentes de GUI:cada item contido no GUI é um componente gráfico. Dentre

os tipos temos:

Controles gráficos: Lista, réguas e botões;

Elementos estáticos: Quadros e cadeia de caracteres de texto;

Menus e Eixos.

Editor de arquivos M:Após ter adicionados os componentes na área de projetos e

salvá-los ele se encarrega de criar um arquivo M. Este arquivo fornece todos códigos para

iniciar a GUI e tem toda estrutura para as rotinas que são executadas quando o usuário

interage com um componente da interface gráfica de usuário. Para que essa interação ocorra

de maneira satisfatória é necessário programar as ações de todos os componentes criados na

área de projeto fazendo suas devidas alterações no arquivo M criado.

26

Inspetor de propriedades: Tem a finalidade de modificar cor de fundo da janela, o

tipo de fonte de um rótulo de texto, títulos, entre outros aspectos da interface. Basta executar

um clique duplo sobre qualquer um dos componentes durante a criação do GUI.

Editor de menu: Criar menu e submenu nas interfaces gráficas criado pelo Guide.

Funções importantes:

Get – Recebe as entradas de dados, seja ele um número ou um nome.

Set – Exibir os dados obtidos ou gerados no programa em qualquer

elemento GUI programado.

Str2num – Transforma o valor string em um valor numérico.

Num2str – Transforma o valor numérico em uma string.

27

3 METODOLOGIA

3.1 ÁREA

A área de uma superfície plana qualquer pode ser definida como a integral de dA ao

longo do seu domínio, de acordo se ilustra na Figura 3.1. Matematicamente, conforme,

A= ∫

(3.1)

Porém em muitos casos a área pode se subdividida em várias partes, segmentando

em áreas sejam previamente conhecidas. Assim a área total pode ser calculada pelo somatório

de cada área, conforme a expressão 3.2,

A Total =∑A (3.2)

Figura 3.1- Área de uma superfície plana


3.1.1 Exemplificação da metodologia adotada para a programação da área de uma

seção em forma de caixa

Nesse caso a área da seção é formada por um conjunto de áreas elementares

conhecidas (retângulos), nas quais se pode decompor a área da seção em forma de caixa.

Assim o vazio retangular entrará com sinal negativo, devendo ser subtraído da área total.

Sabendo que o conjunto de área é formado por dois retângulos e que a área deste tipo de

figura é dada pelo produto de sua base pela altura. A área da seção em forma de caixa é

determinada pela subtração da área total da área vazia como mostra a Figura 3.2 e as Eq. 3.3 a

Eq. 3.6.

28

Figura 3.2- Determinação da área de uma seção em forma de caixa


Sabendo que d1= d e b1= b. Sendo assim, a base, altura e a área do furo são dadas

por,

(3.3)

(3.4)

Logo a área da seção em forma de caixa é formulada por,

A = A1 – A2 (3.5)

(3.6)

3.1.2 Estratégia de programação

A programação no MATLAB da área da seção em forma de caixa foi conduzida pela

aplicação das fórmulas obtidas por meio da decomposição da figura, como demonstrada na

seção anterior. Os valores das variáveis, por sua vez, são determinados pelos dados de entrada

fornecidos pelo usuário do programa, sendo elas: a base, a altura e a espessura da seção. Por

meio das funções „get‟ recebem-se as entradas das variáveis e através da função „set‟ exibem-

se os resultados obtidos do programa. Para as aplicações nas fórmulas são necessárias às

conversões dos valores „string‟ (das entradas do programa) em valores numéricos, usa-se para

tanto, a função „str2num‟, e as transformações dos valores numéricos em valores „string‟ para

a exibição dos resultados na interface gráfica do programa, se dá através da função „num2str‟.

Para as demais seções encontra-se tabelada suas formulações e estratégias de

programação estão apresentadas no Quadro 3.1.

29

Quadro 3.1- Formulação e estratégia de programação para área

Seção Fórmulas Estratégia de

programação

Retangular A = b.d Aplicação direta

Em forma

de Caixa

Decomposição da

figura

Circular

Aplicação direta

Em forma

de Anel

Decomposição da

figura

Triangular

Aplicação direta

Em forma

de I

Decomposição da

figura

Em forma

de T

Decomposição da

figura

Em forma

de C

Decomposição da

figura

Em forma

de L

Decomposição da

figura


3.2 CENTROIDE

Para um corpo homogêneo, um ponto ( , ) que coincide com o centro de gravidade

do corpo, este ponto ( , ) é chamado de centroide do corpo. Para áreas de forma arbitrárias

como mostrado na Figura 3.3, as coordenadas x e y que definem o centroide c são dada pelas

fórmulas,

∫

∫

∫

∫

30

Figura 3.3- Coordenadas centroidais


Observando ainda que o centroide de algumas áreas pode ser definido parcialmente

ou completamente pelas condições de simetria, se uma área tem um eixo de simetria, o

centroide estará localizado ao longo desse eixo.

Para o caso de áreas compostas, permite-se decompô-la em regiões elementares

conhecidas como um retângulo, um triângulo, um círculo e etc. Assim as suas propriedades

geométricas podem ser facilmente encontradas tabeladas em diversas literaturas, deve-se

lembrar de registrar a área de cada superfície com o sinal apropriado, que podem ser positivos

ou negativos, dados como exemplo à superfície de um furo será considerada uma parte

composta adicional com área negativa. Essa observação também é valida para o momento

estático que além do furo, uma superfície cujo centroide está localizado à esquerda do eixo y

também terá um momento estático negativo, assim como para tais problemas podemos

escrever:

∑

∑

Onde e , são dados com sinal apropriados, sendo elas as coordenadas do

centroide para a área e A é a área total para a área composta. A Figura 3.4 é um exemplo de

corpo composto.

31

Figura 3.4- Centroide de uma superfície composta


Aplicando os sinais apropriados para cada área da Figura 3.4 nas equações para o

centroide de área compostas como apresentadas anteriormente nas Equações 3.9 e 3.10,

teremos:


seção em forma de C

Sabendo que uma seção em forma de C é um corpo composto formado por três

retângulos, para analisarmos o centroide dessa seção é necessário conhecer primeiramente o

centroide de um retângulo, que pode ser dado apenas pelas condições de simetria, mas iremos

usar a definição aplicando as Equações 3.7 e 3.8, para veracidade da análise.

Considerando a área de um retângulo como mostrado na Figura 3.5, onde suas faixas

diferencias são dadas por,

(3.13)

Figura 3.5- Determinação do centroide de um retângulo


32

Aplicando nas Equações 3.7 e 3.8, encontra-se o centroide em relação ao eixo x e y

que são equivalentes aos seus pontos de simetria.

∫

∫

∫

∫

[ ]|

[ ]|

( )

⇒

∫

∫

∫

∫

[ ]|

[ ]|

( )

⇒

Assim para o centroide da seção em forma de C mostrado na Figura 3.6, é

determinada pelas Equações 3.16 e 3.17. Sabendo que o centroide para cada retângulo é dada

pelas Equações 3.14 e3.15 calculadas anteriormente.

Figura 3.6- Determinação do centroide para uma seção em forma de C


⁄

⁄

Outra maneira de encontrar o centroide dessa seção seria considerar a seção

composta por duas áreas, uma formada por um retângulo que se estende por toda sua seção e

outra formada pela área do furo. Com os sinais apropriados aplicando nas Equações 3.9 e 3.10

encontraremos resultados equivalentes aos das Equações 3.16 e 3 17, lembrando que a

superfície do furo será considerando uma parte composta adicional com área negativa.

33


A estratégia de programação para o centroide é análoga a da área, ou seja, aplicação

direta da fórmula ou em alguns casos através da decomposição da figura como é o caso da

seção em forma de C, no Quadro 3.2 mostra a estratégia para essa e outras seções.

Quadro 3.2- Formulação e estratégia de programação para o centroide


programação

Retangular

⁄ ⁄

Aplicação

direta

Em forma

de Caixa

Decomposição

da figura

Circular

⁄ ⁄

Aplicação

direta

Em forma

de Anel

Decomposição

da figura

Triangular

Aplicação

direta

Em forma

de I

Decomposição

da figura

Em forma

de T

Decomposição

da figura

Em forma

de C

Decomposição

da figura

Em forma

de L

Decomposição

da figura


3.3 MOMENTO ESTÁTICO

Analisando uma superfície plana de área A e dois eixos ortogonais x e y de seu plano

(Figura 3.1), seja dA um elemento diferencial de área da superfície genericamente

34

posicionado, define-se momento estático de um área em relação ao eixo x e y pelas

respectivas integrais denotadas por e .como,

=∫

(3.18)

=∫

(3.19)

Pelas Equações 3.7 e 3.8, as coordenadas do centroide de uma área plana A são

determinadas pelas equações.

A = , A =

Ou

(3.20)

A unidade para momento estático envolve o comprimento elevado à terceira

potência, como m³, mm³ ou ft³, in³.


seção triangular

Para a determinação do momento estático de um triangulo qualquer subdivide-se em

dois triângulos retângulos como ilustrado na Figura 3.7a e Figura 3.7b, seu momento estático

de uma área em relação ao eixo x e y é apontado a partir de sua definição através das

Equações 3.18 e 3.19 como mostra a seguir.

Figura 3.7- Determinação do momento estático de uma seção triangular


Para o momento estático em relação ao eixo x, um elemento diferencial de espessura

dy (Figura 3.7a) divididas em duas áreas, . Por semelhança de

triângulos temos,

35

Aplicando na integral para o momento estático de uma área em relação ao eixo x no

intervalo de 0 á h produz:

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

*

+|

*

+|

(

)

(

)

Semelhante é usado para o eixo y, onde um elemento diferencial de espessura e

(Figura 3.7b) tem suas áreas , observando pela figura que

. Por semelhança de triângulos obtemos,

Aplicando na equação do momento estático de uma área em relação ao eixo y no

intervalo de 0 á b adquire,

∫ ∫

∫ [

]

∫

∫

∫

∫

[

]

*

+

*

+

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

36

[ ]


A estratégia de programação para uma seção triangular se dá pela aplicação direta

das Equações 3.22 e 3.23 deduzidas no capítulo anterior. O Quadro 3.3 mostra a estratégia de

programação para essa e as demais seções.

Quadro 3.3- Formulação e estratégia de programação para o momento estático


programação

Retangular

Aplicação direta

Em forma de

Caixa

Decomposição

da figura

Circular

Aplicação direta

Em forma de

Anel

Decomposição

da figura

Triangular

Aplicação direta

Em forma de

I

Decomposição

da figura

Em forma de

T

Decomposição

da figura

Em forma de

C

Decomposição

da figura

Em forma de

L

Decomposição

da figura


37

3.4 MOMENTO DE INÉRCIA

Considerando uma área que se encontre no plano x-y (Figura 3.1), os momentos de

inércia do elemento diferencial dA em torno dos eixos x e y são d = dA e d = dA,

respectivamente. Para uma área inteira o memento de inércia é dado pela integral:

= ∫

(3.24)

= ∫

(3.25)

Sua unidade é dada pelo seu comprimento elevada a quarta potência, por exemplo,

m4, mm

4, ft

4 ou in

4.

Teorema dos eixos paralelos para o momento de inércia de uma área

Esse teorema é muito utilizado para cálculos de área que se pode dividir em partes

mais simples, ou seja, áreas compostas. Através desse teorema podemos determinar um

momento de inércia em torno de qualquer eixo, sendo esse paralelo a um momento de inércia

com centroide conhecido. Dado um eixo x da área mostrado na Figura 3.8, paralelo ao eixo x’

localizado a uma distância d que passa pelo centroide da seção. Logo o momento de inércia é

expresso como:

Ix= ∫

= ∫

(3.26)

Ix=∫

∫

(3.27)

A primeira integral representa o momento de inércia da área em relação ao eixo que

passa pelo centroide, denotada de .

A segunda integral é zero, uma vez que x’ passa através do centroide C da área.

Assim temos:

∫

∫

.: = 0

Logo,

Ix= + (3.28)

Análoga a essa expressão podemos dizer que Iy é igual a,

Iy= + (3.29)

38

Figura 3.8- Eixo paralelo que passa pelo centroide da seção



seção em forma de T

Sabendo que uma seção em forma de T é formada por uma área composta de dois

retângulos, necessitamos primeiramente conhecer o momento de inércia para um retângulo e

depois aplicamos o teorema dos eixos paralelos.

Para o calculo do momento de inércia para um retângulo em relação ao eixo x,

utiliza-se um elemento diferencial de área horizontal bdy localizada a uma distancia y do eixo

do centroide x’, como mostra a Figura 3.9. Assim,

∫

∫ *

+|

(

)

Fazendo analogia para o calculo do momento de inércia em relação ao eixo y’ do

centroide, obtemos:

∫

∫ *

+|

(

)

Figura 3.9- Determinação do momento de inércia para uma seção retangular


39

Como a seção em forma de T não é simétrica em relação ao eixo vertical, o seu

momento de inércia em relação ao eixo x não pode ser determinado apenas com o somatório

dos momentos de inércias em relação ao centroide de cada uma das figuras. Enquanto que

para momento de inércia em relação ao eixo y seja possível, por a seção ser simétrica no eixo

horizontal.

O momento de inércia em relação ao eixo x é determinado através do teorema dos

eixos paralelos, tornando-se o seu conhecimento crucial para sua solução.

Aplicando o teorema dos eixos paralelos usando as Equações 3.28 e 3.29, para a

seção em forma de T da Figura 3.10, temos,

∑ [

] [

]

(3.32)

∑

(3.33)

Observa-se que no momento de inércia em relação ao eixo y é definida apenas pela

soma dos momentos de inércia de cada figura em relação ao seu eixo, pois não existe

distância entre o eixo do centroide C e o da seção de área, ou seja, o centroide está

localizado no ponto de simetria em relação ao eixo x.

Figura 3.10- Determinação do momento de inércia para uma seção em forma de T



No Quadro 3.4 segue as estratégias e as formulações usadas nas programações do

momento de inércia de cada seção disponível no programa, utilizando quando necessário o

teorema dos eixos paralelos.

40

Quadro 3.4- Formulação e estratégia de programação para o momento de inércia


programação

Retangular

Aplicação

direta

Em forma

de Caixa

Decomposição

da figura

Circular

Aplicação

direta

Em forma

de Anel

Decomposição

da figura

Triangular

Aplicação

direta

Em forma

de I

Decomposição

da figura

Em forma

de T

[

] [

]

Decomposição

da figura

Em forma

de C

[

] [

]

Decomposição

da figura

Em forma

de L

[

] [

] [

]

[

]

Decomposição

da figura


3.5 PRODUTO DE INÉRCIA

O produto de inércia de um elemento diferencial dA que está localizado nas

coordenadas x e y, é definida por d = xy dA. Logo para a área inteira A, o produto de

inércia é dada pela integral:

41

= ∫

(3.34)

O produto de inércia tem a unidade de comprimento elevado à quarta potência assim

como o momento de inércia, porém o seu valor pode ser negativo, positivo ou zero. Quando a

área em consideração tiver em um eixo de simetria, o produto de inércia de área em relação a

esse eixo será zero, esse evento é exemplificado na Figura 3.11a, cuja área é simétrica em

relação ao eixo x, observa-se que o centroide está em algum ponto ao longo desse eixo de

simetria. Nessa mesma figura verifica-se ainda que existem dois elementos de áreas que são

imagem refletidas um do outro em relação ao eixo x. Sabendo que os produtos de inércia para

esses elementos são, respectivamente, xydA e –xydA, como os sinais são diferentes , eles irão

se anular mutuamente, de modo que seu resultado final seja zero. Além disso, o sinal do

produto de inércia depende do quadrante onde a área está localizada, como mostra a Figura

3.11b.

Figura 3.11- Áreas de simetrias


Teorema dos eixos paralelos para o produto de inércia

Analisando a área mostrada na Figura 3.8, onde x’ e y’ são os eixos do centroide x e

y são os eixo correspondentes paralelos posicionados arbitrariamente. Sendo e as

coordenadas em relação ao eixo x e y, respectivamente. O produto de inércia relacionada ao

eixo xy podem ser dado como:

∫

∫ ( )

(3.35)

Realizando a multiplicação dos termos, temos:

= ∫ ∫ ∫

(3.36)

O primeiro termo da expressão representa Ix’y’, enquanto o segundo termo é igual a

zero, pois x’ e y’ são eixos do centroide. Logo podemos concluir que,

= + (3.37)

42


seção em forma de L

A metodologia empregada para programação de uma área de uma seção em forma de

L, assim como as demais superfícies é baseada pela formulação de sua própria seção usando

variáveis com dimensões que serão definidas pelo usuário do programa. A Figura 3.12 mostra

uma exemplificação para a formulação para a seção em forma de L, observando que para sua

determinação exige a aplicação do teorema dos eixos paralelos para o produto de inércia, para

isso aplica-se a Equação 3.37 sabendo que a superfície é formada por uma área composta por

dois retângulos. Assim temos,

∑ ∑

(3.38)

Por simetria,

, como demonstrado a seguir,

∫ ∫ (∫

)

∫ (

|

)

∫ ∫ (∫

)

∫ (

|

)

Logo o produto de inércia para essa seção será,

(3.39)

Figura 3.12- Determinação do produto de inércia para uma seção em forma de L



Como a maioria das seções fornecidas pelo programa tem seus eixos centroidais

localizados nos pontos de simetria da figura os produtos de inércia serão zero como mostra o

43

Quadro 3.5. Nesses casos foram aplicadas na programação diretamente o seu valor. Na seção

em forma de C o valor aplicado foi zero, pois o seu centroide está localizado no eixo x’ em

uma das figuras e as outras duas serão anulados por está localizado a uma mesma distância

dos quadrantes opostos.

Quadro 3.5- Formulação e estratégia de programação para o produto de inércia


programação

Retangular

Aplicação

direta

Em forma

de Caixa

Aplicação

direta

Circular

Aplicação

direta

Em forma

de Anel

Aplicação

direta

Triangular

Aplicação

direta

Em forma

de I

Aplicação

direta

Em forma

de T

Aplicação

direta

Em forma

de C

Aplicação

direta

Em forma

de L

Decomposição

da figura


3.6 RAIO DE GIRAÇÃO

Uma determinada área tem o momento de inércia em relação ao eixo x e y (Figura

3.13a). Concentrado esta área em duas faixas estreitas, uma paralela ao eixo x, com o mesmo

momento de inércia (Figura 3.13b) e outra paralela a y, com o mesmo momento de inércia

44

(Figura 3.13c). A distância dessas faixas aos seus respectivos eixos x e y são denominados

raios de giração. Definida pela relação,

√

(3.40)

√

(3.41)

Figura 3.13- Definição de raio de giração



seção circular

A metodologia adotada para uma área de seção circular parte da formulação de uma

equação para um circulo de diâmetro qualquer com raio r ilustrado na Figura 3.14, nela

mostra uma faixa diferencial com espessura dy e base 2x, sendo assim sua área é dada por dA

= 2xdy para raio de giração em relação ao eixo x.

Figura 3.14- Determinação do raio de giração para uma seção circular


Aplicando a definição de raio de giração podemos definir que,

∫

∫

∫ ( √ )

45

√

(3.42)

Análogo ao eixo x, o raio de giração será igual .

(3.43)


A estratégia de programação para o raio de giração é feita através de aplicação

diretas em caso de superfícies simples, como é a situação do retângulo, circulo e triangulo, as

demais foram utilizadas as decomposições das figuras como mostra o Quadro 3.6.

Quadro 3.6- Formulação e estratégia de programação para o raio de giração


programação

Retangular

√

√ Aplicação direta

Em forma de

Caixa √

√

Decomposição

da figura

Circular

Aplicação direta

Em forma de

Anel √

√

Decomposição

da figura

Triangular

√ √

Aplicação direta

Em forma de

I √

√

Decomposição

da figura

Em forma de

T √

√

Decomposição

da figura

Em forma de

C √

√

Decomposição

da figura

Em forma de

L √

√

Decomposição

da figura


46

3.7 FLUXOGRAMA

Na Figura 3.15, apresenta o fluxograma do software desenvolvido no trabalho, tem

como finalidade representar os processos e fluxo de operações do programa, melhorando a

visualização dos processos e verificando como os vários passos deles estão relacionados entre

si.

Figura 3.15- Fluxograma


47

4 APLICAÇÃO NUMÉRICA

Neste capítulo apresenta-se a aplicação do código desenvolvido e sua validação por

meio de exemplo de seções para cada um dos tipos implementados no programa.

4.1 EXEMPLO 01- SEÇÃO RETANGULAR

Cálculo das propriedades geométricas para um retângulo com 0,20 m de base e 0,25

m de altura. Para a averiguação dos resultados obtidos pelo programa, vamos verificar a área e

seus centroides a partir de cada uma de suas fórmulas, e depois essas e as demais propriedades

geométricas serão comparadas com a de outros programas que são neste caso o FTOOL (Two

- Dimensional Frame Analysis Tool) e o AutoCAD.

As soluções exatas para a área e o centroide pelas suas respectivas equações são:

O FTOOL por sua vez também habilita a observação destes resultados conforme se

apresenta na Figura 4.1. Observa porém que as únicas propriedades geométricas fornecidas

pelo FTOOL são a área, o centroide em relação ao eixo y e o momento de inércia em relação

ao eixo x que são os dados necessários para os estudos de análises de estruturas como vigas,

treliças e pórticos.

Figura 4.1- Solução do FTOOL para uma seção retangular


48

Por sua vez o AutoCAD, também permite a obtenção dos referidos dados além de

outras grandezas conforme se observa na Figura 4.2. Notando que as soluções pra o

AutoCAD são todos em relação ao eixo de origem xy, diferente do programa desenvolvido

nesse trabalho e ao do FTOOL que o centroide e o momento estático são em relação ao eixo

de origem e o momento de inércia, produto de inércia e raio de giração em relação ao eixo do

centroide x’y’.

Figura 4.2- Solução do AutoCAD para uma seção retangular


A Solução do programa desenvolvido neste trabalho para a seção retangular pode ser

observada na Figura 4.3.

Figura 4.3- Solução do programa para uma seção retangular


49

Comparação dos resultados obtidos:

Na Tabela 4.1 mostra a comparação dos resultados obtidos pelo programa

desenvolvido, com os resultados calculados manualmente e os fornecidos pelo AutoCAD,

para uma melhor comparação foram usados os valores do AutoCAD dos centroides e

momento estático em relação ao eixo xy e o momento de inércia, produto de inércia e raio de

giração em relação ao eixo do centroide. Ficando assim de acordo com os resultados do

programa desenvolvido e dos calculados manualmente. Observa-se ainda que nas tabelas não

há os resultados do FTOOL, pelo motivo deste fornecer apenas três das dez propriedades

geométricas fornecidas pelos demais programas, não sendo utilizadas para comparação.

Tabela 4.1- Comparação dos resultados da seção retangular

Propriedades

geométricas

Programa

Desenvolvido

Calculado

Manualmente

Valores do

AutoCAD

(m) 0,0500 0,0500 0,0500

(m) 0,1000 0,1000 0,1000

(m) 0,1250 0,1250 0,1250

(m) 6,2500 6,2500 6,2500

(m) 5,0000 5,0000 5,0000

(m) 2,6042 2,6042 3,0000

(m) 1,6667 1,6667 2,0000

(m) 0,0000 0,0000 0,0000

(m) 0,0722 0,0722 0,0722

(m) 0,0577 0,0577 0,0577


Observação: Percebe-se que os resultados do AutoCAD para o momento de inércia

em relação aos eixos x e y não foram tão precisos quanto os resultados calculados

manualmente e os obtidos pelo programa desenvolvido neste trabalho, tendo em vista, eles

serem os únicos a possuírem valores diferentes às demais fontes de comparações para as

mesmas propriedades geométricas, sendo apenas uma aproximação deles.

4.2 EXEMPLO 02- SEÇÃO EM FORMA DE CAIXA

Para uma seção transversal em forma de caixa com espessura de 3 cm, com base de

21 cm e 25 cm de altura, como mostra a Figura 4.4, vamos determinar as propriedades

geométricas para essa seção.

50

Figura 4.4- Exemplo para uma seção em forma de caixa


As soluções exatas para a área e o centroide calculadas a partir de suas respectivas

equações são:

A solução do FTOOL para estes mesmos dados é observada na Figura 4.5.

Figura 4.5- Solução do FTOOL para uma seção em forma de caixa


A solução do AutoCAD, ainda para o exemplo 02, uma seção em forma de caixa, é

ilustrada na Figura 4.6.

51

Figura 4.6- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de caixa


Solução do programa desenvolvido neste trabalho para este mesmo exemplo é

apresentada na Figura 4.7.

Figura 4.7- Solução do Programa para uma seção em forma de caixa



A Tabela 4.2 mostra a comparação dos resultados da seção em forma de caixa para

programa desenvolvido, os calculados manualmente e os do AutoCAD.

52

Tabela 4.2- Comparação dos resultados da seção em forma de caixa

Propriedades

geométricas

Programa

Desenvolvido

Calculado

Manualmente

Valores do

AutoCAD

(cm) 240,0000 240,0000 240,0000

(cm) 10,5000 10,5000 10,5000

(cm) 12,5000 12,5000 12,5000

(cm) 3.000,0000 3.000,0000 3.000,0000

(cm) 2.520,0000 2.520,0000 2.520,0000

(cm) 18.770,0000 18.770,0000 18.770,0000

(cm) 13.950,0000 13.950,0000 13.950,0000

(cm) 0,0000 0,0000 0,0000

(cm) 8,8435 8,8435 8,8435

(cm) 7,6240 7,6240 7,6240


4.3 EXEMPLO 03- SEÇÃO CIRCULAR

Determinar as propriedades geometricas para uma seção transversal circular com 60

mm de diâmetro.

As soluções exatas para a área e o centroide pelas suas respectivas equações são

dadas por,

A solução do FTOOL para este exemplo é mostrada na Figura 4.8.

Figura 4.8- Solução do FTOOL para uma seção circular


53

Os resultados do programa AutoCAD para este exemplo é apresentado na Figura 4.9.

Figura 4.9- Solução do AutoCAD para uma seção circular


Solução do programa desenvolvido neste trabalho para a seção circular é ilustrada na

Figura 4.10.

Figura 4.10- Solução do programa para uma seção circular



A comparação dos resultados do programa desenvolvido, dos calculados

manualmente e do AutoCAD são apresentados na Tabela 4.3.

54

Tabela 4.3- Comparação dos resultados da seção circular

Propriedades

geométricas

Programa

Desenvolvido

Calculado

Manualmente

Valores do

AutoCAD

(mm) 2.827,4334 2.827,4334 2.827,4334

(mm) 30,0000 30,0000 30,0000

(mm) 30,0000 30,0000 30,0000

(mm) 84.823,0016 84.823,0016 84.823,0016

(mm) 84.823,0016 84.823,0016 84.823,0016

(mm) 636.172,5124 636.172,5124 636.172,5124

(mm) 636.172,5124 636.172,5124 636.172,5124

(mm) 0,0000 0,0000 0,0000

(mm) 15,0000 15,0000 15,0000

(mm) 15,0000 15,0000 15,0000


4.4 EXEMPLO 04- SEÇÃO EM FORMA DE ANEL

Determinar as propriedades geométricas para uma seção em forma de anel que tem

15 cm de diâmetro e 0,5 cm de espessura.


A Figura 4.11 apresenta a soluções do FTOOL para a seção em forma de anel pelos

dados fornecidos neste exemplo.

Figura 4.11- Solução do FTOOL para uma seção em forma de anel


55

A solução do AutoCAD para a seção em forma de anel deste é observada na Figura

4.12.

Figura 4.12- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de anel


A Figura 4.13 mostra a solução do programa desenvolvido neste trabalho para a

seção em forma de anel deste exemplo.

Figura 4.13- Solução do programa para uma seção em forma de anel



A comparação dos resultados da seção em forma de anel para este exemplo é

apresentado na Tabela 4.4.

56

Tabela 4.4- Comparação dos resultados da seção em forma de anel

Propriedades

geométricas

Programa

Desenvolvido

Calculado

Manualmente

Valores do

AutoCAD

(cm) 22,7765 22,7765 22,7765

(cm) 7,5000 7,5000 7,5000

(cm) 7,5000 7,5000 7,5000

(cm) 170,8241 170,8241 170,8241

(cm) 170,8241 170,8241 170,8241

(cm) 599,3079 599,3079 599,3079

(cm) 599,3079 599,3079 599,3079

(cm) 0,0000 0,0000 0,0000

(cm) 5,1296 5,1296 5,1296

(cm) 5,1296 5,1296 5,1296


4.5 EXEMPLO 05- SEÇÃO TRIANGULAR

Definir as propriedades geométricas para uma seção triangular oblíquo com as

dimensões mostradas na Figura 4.14.

Figura 4.14- Exemplo de uma seção triangular


Os resultados obtidos da área e do centroide pelas suas respectivas equações são:

57

No programa FTOOL não fornece a opção para determinar as propriedades

geométricas para uma seção triangular não tendo solução para esse exemplo.

Soluções do AutoCAD para a seção triangular existe e é apresentada na Figura 4.15.

Figura 4.15- Solução do AutoCAD para uma seção triangular


Solução do programa desenvolvido neste trabalho para a seção triangular pode ser

observada na Figura 4.16.

Figura 4.16- Solução do programa para uma seção triangular



A Tabela 4.5 apresenta a comparação dos resultados entre os programas e os valores

obtidos diretamente pelas equações.

58

Tabela 4.5- Comparação dos resultados da seção triangular

Propriedades

geométricas

Programa

Desenvolvido

Calculado

Manualmente

Valores do

AutoCAD

(mm) 25.000,0000 25.000,0000 25.000,0000

(mm) 108,3333 108,3333 108,3333

(mm) 83,3333 83,3333 83,3333

(mm) 20,8333 20,8333 20,8333

(mm) 27,0833 27,0833 27,0833

(mm) 86,8056 86,8056 86,8056

(mm) 42,5347 42,5347 42,5347

(mm) 86,8056 86,8056 86,8056

(mm) 58,9256 58,9256 58,9256

(mm) 41,2479 41,2479 41,2479


4.6 EXEMPLO 06- SEÇÃO EM FORMA DE I

Calcular as propriedades geométricas para uma seção transversal de forma de I com

as dimensões apresentada na Figura 4.17.

Figura 4.17- Exemplo de uma seção em forma de I


As soluções para a área e o centroide, determinadas pelas suas respectivas equações

são:

A solução para o FTOOL com base neste é mostrada na Figura 4.18.

59

Figura 4.18- Solução do FTOOL para uma seção em forma de I


Os resultados do AutoCAD para a seção em forma de I é apresentada na Figura 4.19.

Figura 4.19- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de I


O resultado do programa desenvolvido neste trabalho para a seção em forma de I está

ilustrado na Figura 4.20.

60

Figura 4.20- Solução do programa para uma seção em forma de I



A Tabela 4.6 mostra a comparação dos resultados da seção em forma de I.

Tabela 4.6- Comparação dos resultados da seção em forma de I

Propriedades

geométricas

Programa

Desenvolvido

Calculado

Manualmente

Valores do

AutoCAD

(in) 11,0000 11,0000 11,0000

(in) 4,0000 4,0000 4,0000

(in) 3,5000 3,5000 3,5000

(in) 38,5000 38,5000 38,5000

(in) 44,0000 44,0000 44,0000

(in) 93,6667 93,6667 93,6667

(in) 42,7292 42,7292 42,7292

(in) 0,0000 0,0000 0,0000

(in) 2,9181 2,9181 2,9181

(in) 1,9709 1,9709 1,9709


4.7 EXEMPLO 07- SEÇÃO EM FORMA DE T

Resolver as propriedades geométricas para uma seção transversal em forma de T

com as dimensões especificadas na Figura 4.21.

61

Figura 4.21- Exemplo para uma seção em forma de T


As soluções calculadas da área e o centroide pelas suas respectivas equações são

dados por,

A Figura 4.22 ilustra a solução do FTOOL para uma seção em forma de T de acordo

com os dados apresentados neste exemplo.

Figura 4.22- Solução do FTOOL para uma seção em forma de T


A solução do AutoCAD para uma seção em forma de T é indicada na Figura 4.23.

62

Figura 4.23- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de T


A solução do programa desenvolvido neste trabalho pode ser observada na Figura

4.24.

Figura 4.24- Solução do programa para uma seção em forma de T



A Tabela 4.7 aponta a comparação dos resultados para uma seção de forma de T.

63

Tabela 4.7- Comparação dos resultados da seção em forma de T

Propriedades

geométricas

Programa

Desenvolvido

Calculado

Manualmente

Valores do

AutoCAD

(m) 0,0120 0,0120 0,0120

(m) 0,1000 0,1000 0,1000

(m) 0,1575 0,1575 0,1575

(m) 0,0019 0,0019 0,0019

(m) 0,0012 0,0012 0,0012

(m) 60,1250 60,1250 0,0001

(m) 20,4500 20,4500 0,0000

(m) 0,0000 0,0000 0,0000

(m) 0,0708 0,0708 0,0708

(m) 0,0413 0,0413 0,0413


4.8 EXEMPLO 08- SEÇÃO EM FORMA DE L

Determinar as propriedades geométricas para uma seção transversal em forma de L

com 4 in de base, 5 in de altura e 1 in de espessura, como mostra a Figura 4.25.

Figura 4.25- Exemplo para uma seção em forma de L



64

A solução do FTOOL para os dados apresentados neste exemplo é mostrada na

Figura 4.26.

Figura 4.26- Solução do FTOOL para uma seção em forma de L


A Solução do AutoCAD para uma seção em forma de L pode ser observada na

Figura 4.27.

Figura 4.27- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de L


A Figura 4.28 apresenta a solução do programa desenvolvido neste trabalho para a

seção em forma de L.

65

Figura 4.28- Solução do programa para uma seção em forma de L



A Tabela 4.8 apresenta a comparação dos resultados entre os programas (o

desenvolvido neste trabalho e o AutoCAD) e os valores obtidos diretamente pelas equações.

Tabela 4.8- Comparação dos resultados da seção em forma de L

Propriedades

geométricas

Programa

Desenvolvido

Calculado

Manualmente

Valores do

AutoCAD

(in) 8,0000 8,0000 8,0000

(in) 1,2500 1,2500 1,2500

(in) 1,7500 1,7500 1,7500

(in) 14,0000 14,0000 14,0000

(in) 10,0000 10,0000 10,0000

(in) 18,1667 18,1667 18,1667

(in) 10,1667 10,1667 10,1667

(in) -7,5000 -7,5000 -7,5000

(in) 1,5069 1,5069 1,5069

(in) 1,1273 1,1273 1,1273


66

4.9 EXEMPLO 09- SEÇÃO EM FORMA DE C

Desenvolver as propriedades geométricas para uma seção transversal em forma de C

com os dados da Figura 4.29.

Figura 4.29- Exemplo para uma seção em forma de C


Os resultados obtidos para a área e o centroide pelas suas respectivas equações são:

A solução do FTOOL para a seção em forma de C está apresentada na Figura 4.30.

Figura 4.30- Solução do FTOOL para uma seção em forma de C


Os resultados do AutoCAD para este exemplo de seção em forma de C está ilustrada

na Figura 4.31.

67

Figura 4.31- Solução do AutoCAD para uma seção em forma de C


A Figura 4.32mostra a solução do programa desenvolvido neste trabalho para este

exemplo.

Figura 4.32- Solução do programa para uma seção em forma de C



A comparação dos resultados entre os dois programas (o desenvolvido neste trabalho

e o AutoCAD) e os valores obtidos diretamente pelas equações estão exposta na Tabela 4.9.

68

Tabela 4.9- Comparação dos resultados da seção em forma de C

Propriedades

geométricas

Programa

Desenvolvido

Calculado

Manualmente

Valores do

AutoCAD

(ft) 0,2600 0,2600 0,2600

(ft) 0,2375 0,2375 0,2375

(ft) 0,6500 0,6500 0,6500

(ft) 0,1690 0,1690 0,1690

(ft) 0,0618 0,0618 0,0618

(ft) 0,0652 0,0652 0,0652

(ft) 0,0138 0,0138 0,0138

(ft) 0,0000 0,0000 0,0000

(ft) 0,5008 0,5008 0,5008

(ft) 0,2306 0,2306 0,2306


69

5 CONCLUSÕES

O desenvolvimento de software que vem se alastrando nessas últimas décadas, está

vindo para contribuir nas resoluções de diversos problemas, não só os de engenharia, mais em

qualquer estudo de problemáticas que envolvam soluções complexas, a engenharia estrutural

é uma delas. Um dos principais intuitos de criações de software é justamente tornar fácil,

prático e acessível o que antes era complicado, demorado e confuso.

O objetivo desse trabalho foi, justamente, aprofundar os conhecimentos sobre o tema e

desenvolver um programa específico para os cálculos deste, em vista que quando estudados as

propriedades geométricas se viu que existe uma carência de programa e de pesquisas sobre o

mesmo, daí a necessidade do desenvolvimento deste trabalho que além da informatização para

os cálculos das PG‟s, houve um aprofundamento em sua revisão bibliográfica.

Em meio às vantagens que o programa desenvolvido neste trabalho oferece em

relação aos demais programas, há possibilidade de resolver um triângulo qualquer e fornecer

todas suas propriedades geométricas, é uma delas em relação ao FTOOL que não

disponibiliza uma seção pré-definida para um triângulo e que, além disso, suas únicas

propriedades fornecidas para as demais seções existentes no programa são a área, o centroide

em relação ao eixo y e o momento de inércia em relação ao eixo x por se tratar de um

programa específico apenas para cálculos de análises estruturais.

Em relação ao AutoCAD o programa desenvolvido neste trabalho mostra uma

vantagem no que diz respeito ao tempo e praticidade, já que no programa não há necessidade

de desenhar de forma precisa e nem de adaptar o eixo de origem para os cálculos de algumas

propriedades geométricas em relação ao centroide.

Outra vantagem é a precisão dos resultados. Tanto em relação ao AutoCAD, quanto

ao FTOOL, o programa desenvolvido mostrou uma superioridade no que diz respeito à

precisão dos valores, tendo em vista que eles são similares ao dos valores dos cálculos

manuais em praticamente todos os exemplos estudados, ao contrário dos demais.

Atendendo as expectativas, o trabalho mostrou satisfatório ao que era esperado, tanto

no ponto de vista da parte de revisão bibliográfica das propriedades geométricas, como na

criação do software, que o mesmo se mostrou de grande eficiência na determinação das PG‟s

e com uma boa interface gráfica, possibilitando ao usuário uma fácil compreensão. O

resultado final do programa para este trabalho apresenta-se na versão atual na forma de um

executável criado na interface gráfica do Matlab que tem disponível para o usuário nove tipos

de seções de área pré-definidas, baseadas nas áreas transversais das estruturas mais utilizadas

70

na engenharia. O programa apresenta ainda opções de unidades no qual o usuário deseja

trabalhar.

As propriedades geométricas são utilizadas em quase todos os cálculos estruturais,

portanto, devida sua importância é fundamental a contínua busca por pesquisa nesse ramo

para aperfeiçoar cada vez mais as qualidades dos cálculos estruturais e reduzir os possíveis

problemas e erros que possam existir.

71

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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