UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO...
If you can't read please download the document
Transcript of UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO...
-
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CINCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENSINO DE CINCIAS
NATURAIS E MATEMTICA
ATRIBUIO DE SIGNIFICADO AO CONCEITO DE PROPORCIONALIDADE:
contribuies da Histria da Matemtica
JOS ROBERTO COSTA JNIOR
NATAL RN
2010
-
JOS ROBERTO COSTA JNIOR
ATRIBUIO DE SIGNIFICADO AO CONCEITO DE PROPORCIONALIDADE:
contribuies da Histria da Matemtica
Dissertao apresentada ao Programa de Ps-
graduao em Ensino de Cincias Naturais e
Matemtica da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte UFRN, como requisito
parcial para a obteno do ttulo de Mestre em
Ensino de Cincias Naturais e Matemtica sob a
orientao do Professor Dr. Paulo Czar de
Faria.
NATAL RN
2010
-
Catalogao da Publicao na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial
Especializada do Centro de Cincias Exatas e da Terra CCET.
Costa Junior, Jos Roberto. Atribuio de significado ao conceito de proporcionalidade:
contribuies da histria da matemtica. Natal, 2010. 237 f. : il.
Orientador: Paulo Czar de Faria.
Dissertao (Mestrado) Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Cincias Exatas e da Terra. Programa de Ps-Graduao em Ensino de Cincias Naturais e Matemtica.
1. Histria da matemtica Dissertao. 2. Proporcionalidade Atribuio de
significado Dissertao. 3. Educao matemtica Dissertao. I. Faria, Paulo Cezar de. II. Ttulo.
RN/UF/BSE-CCET CDU 51(091)
-
JOS ROBERTO COSTA JNIOR
ATRIBUIO DE SIGNIFICADO AO CONCEITO DE
PROPORCIONALIDADE: contribuies da Histria da Matemtica
BANCA EXAMINADORA
______________________________________________________
Prof. Dr. John Andrew Fossa (Presidente)
______________________________________________________
Profa. Dra. Rosa Lucia Sverzut Baroni - Externo
______________________________________________________
Prof. Dr. Iran Abreu Mendes - UFRN
______________________________________________________
Profa. Dra. Giselle Costa de Souza (UFRN) - Suplente
-
Este trabalho dedicado a minha av Josefa e aos meus
pais Jos Roberto e Snia Maria.
-
AGRADECIMENTOS
A Deus por ter sempre iluminado meus passos.
A minha av Josefa, por ter sempre me incentivado a trilhar por bons caminhos, sobretudo por
me fazer acreditar que a educao o caminho para nos tornarmos verdadeiros cidados.
A meu orientador Paulo Czar com quem muito aprendi.
Aos meus pais, por terem me encaminhado at aqui.
A minha irm Roseane e sua famlia, pelo apoio dado na primeira fase do mestrado.
Aos demais irmos, pelo incentivo que sempre me deram.
A meu amigo Jos Roberto com quem posso contar sempre.
Aos amigos Sidney, Edigites e Maroni pelo companheirismo constante e aos demais amigos
do mestrado.
Aos professores Vicente Garnica, Rosa Baroni e Bernadete Morey pelas contribuies no
exame de qualificao.
Aos professores de matemtica que fizeram parte desta pesquisa.
Ao Programa de Ps-Graduao em Educao Matemtica de Rio Claro SP pela valiosa
vivncia oportunizada pelo PROCAD.
-
SUMRIO
LISTA DE TABELAS..............................................................................................................8 LISTA DE FIGURAS...............................................................................................................9 LISTA DE SLIDES.................................................................................................................10 RESUMO.................................................................................................................................12 ABSTRACT.............................................................................................................................13 INTRODUO.......................................................................................................................14 FOCALIZAO DO PROBLEMA.........................................................................................16 PROBLEMA A SER INVESTIGADO.....................................................................................35 QUESTO DE ESTUDO E OBJETIVOS...............................................................................35 JUSTIFICATIVA......................................................................................................................36
1 REFERENCIAL TERICO...............................................................................................39 1.1 A IMPORTNCIA DA COMPREENSO DO DESENVOLVIMENTO HISTRICO DO CONCEITO MATEMTICO..............................................................40 1.2 ASPECTOS HISTRICOS QUE ENVOLVEM O CONCEITO DE DE PROPORCIONALIDADE..........................................................................................42 1.2.1 As propores no contexto da matemtica egpcia...................................................42 1.2.2 As propores no contexto da matemtica babilnica..............................................46 1.2.3 As propores no contexto da matemtica grega......................................................60 1.2.4 As propores no contexto da matemtica hindu.....................................................74 1.2.5 As propores no contexto da matemtica rabe......................................................76 1.2.6 A proporcionalidade na Idade Mdia e no Renascimento........................................78 1.3 A RESOLUO DE PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDADE..............................86 1.4 ATRIBUIO DE SIGNIFICADO..................................................................................95 1.5 A IMPORTNCIA DA HISTRIA DA MATEMTICA...............................................98
2 PROCEDIMENTOS METODOLGICOS....................................................................106 2.1 O TIPO DE ESTUDO.......................................................................................................106 2.2 AS ETAPAS DO ESTUDO..............................................................................................107
-
2.3 OS INSTRUMENTOS DE COLETA DE DADOS.........................................................109 2.4 PROCEDIMENTOS.........................................................................................................113 2.4.1 Para as notas de campo............................................................................................115 2.4.2 Para o questionrio...................................................................................................116 2.4.3 Para as atividades.....................................................................................................120 2.4.4 Para a entrevista.......................................................................................................131 2.5 OS SUJEITOS...................................................................................................................133
3 RESULTADOS.................................................................................................................. 134 3.1 PARA AS NOTAS DE CAMPO......................................................................................134 3.2 PARA O QUESTIONRIO.............................................................................................138 3.3 PARA AS ATIVIDADES.................................................................................................155 3.4 PARA A ENTREVISTA..................................................................................................165
4 DISCUSSO DOS RESULTADOS.................................................................................184 5 CONSIDERAES FINAIS................................... ........................................................196 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS................................................................................200
ANEXOS
ANEXO 1................................................................................................................................208 ANEXO 2................................................................................................................................209 ANEXO 3................................................................................................................................214 ANEXO 4................................................................................................................................215 ANEXO 5................................................................................................................................216 ANEXO 6................................................................................................................................217 ANEXO 7................................................................................................................................223
LISTA DE TABELAS
TABELA 1- Interpretao da tableta babilnica de multiplicao...........................................48
TABELA 2 - Distribuio da freqncia dos sujeitos de acordo com o gnero.....................138
TABELA 3 - Distribuio da freqncia dos sujeitos de acordo com a idade.......................139
TABELA 4 - Distribuio da freqncia dos sujeitos de acordo com o tipo de
instituio onde fizeram o ensino superior.............................................................................139
TABELA 5 - Distribuio da freqncia dos sujeitos de acordo com o perodo em que fizeram
o ensino superior.....................................................................................................................140
TABELA 6 - Distribuio da freqncia dos sujeitos de acordo com o tipo de curso no qual
graduado (ou est se graduando).............................................................................................140
-
TABELA 7 - Distribuio da freqncia dos sujeitos de acordo com o tempo
de docncia..............................................................................................................................141
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1- Fragmento do Papiro de Rhind.............................................................................43
FIGURA 2- Tableta babilnica de multiplicao.....................................................................48
FIGURA 3- Tableta babilnica de recprocos..........................................................................49
FIGURA 4- Tableta babilnica Plimpton 322..........................................................................51
FIGURA 5- Fragmento da tableta babilnica Plimpton 322....................................................52
FIGURA 6- Tabela de interpretao da tableta babilnica Plimpton 322................................53
FIGURA 7- Face pentagonal do dodecaedro............................................................................62
FIGURA 8a - Semi-crculo sobre a diagonal de um quadrado.................................................65
FIGURA 8b - Tringulo Issceles............................................................................................66
FIGURA 8c - Crescente ou lnula de Hipcrates.....................................................................66
FIGURA 9 Segmentos comensurveis..................................................................................67
FIGURA 10- Construo de um segmento em mdia e extrema razo....................................74
FIGURA 11- Fragmento do livro Divina Proporo................................................................81
FIGURA 12- Pintura da Monalisa............................................................................................82
FIGURA 13- Tringulo Issceles ureo..................................................................................83
-
LISTA DE SLIDES
ATIVIDADE 1
SLIDE 1 Contexto Histrico sobre a Civilizao Mesopotmica........................................121
SLIDE 2 - Mapa da antiga Civilizao Mesopotmica..........................................................122
SLIDE 3 Texto sobre o sistema de numerao cuneiforme dos Babilnios........................122
SLIDE 4 Texto sobre o sistema de numerao dos Babilnios...........................................122
SLIDE 5 Apresentao da escrita cuneiforme. Mostra os smbolos utilizados pelos
Babilnios para o registro matemtico, acompanhados de sua representao decimal, tal qual
utilizada atualmente..............................................................................................................123
SLIDE 6 Sistema de numerao cuneiforme.......................................................................124
SLIDE 7 Texto sobre o sistema de numerao Babilnica..................................................124
SLIDE 8 Representao numrica em notao sexagesimal...............................................125
SLIDE 9 Tableta Babilnica de multiplicao....................................................................125
SLIDE 10 Questionamentos direcionados aos professores sobre a tableta de multiplicao
Babilnica...............................................................................................................................126
-
ATIVIDADE 2
SLIDE 1 - Contedo do slide apresentado para abordar o contexto histrico
sobre o Egito...........................................................................................................................126
SLIDE 2 Mapa da antiga Civilizao Egpcia.....................................................................126
SLIDE 3 Questionamentos direcionados aos professores sobre o sistema de numerao
egpcio.....................................................................................................................................127
SLIDE 4 Apresentao dos sistemas de escrita egpcia.......................................................127
SLIDE 5 - Representao numrica egpcia..........................................................................128
SLIDE 6 Sistema de numerao egpcio..............................................................................128
SLIDE 7 - Pontos destacados sobre o sistema de numerao egpcio...................................129
SLIDE 8 Formas de representao numrica egpcia..........................................................129
SLIDE 9 Texto sobre o conhecimento matemtico egpcio................................................130
SLIDE 10 Apresentao de uma equao egpcia...............................................................130
SLIDE 11 Mtodo de resoluo da equao egpcia em notao moderna.........................131
-
RESUMO
Este estudo o resultado de um trabalho que aborda a Histria da Matemtica como fonte de
atribuio de significado ao conceito de proporcionalidade. Adotamos a metodologia de
pesquisa qualitativa e trabalhamos com um grupo de professores da rede pblica de ensino
dos nveis fundamental e mdio da cidade de Pocinhos - PB. Para a coleta de dados utilizamos
as notas de campo, o questionrio, uma sequncia de atividades e a entrevista semi-
estruturada como instrumentos. O estudo teve como objetivo conhecer os significados
atribudos ao conceito de proporcionalidade por meio de atividades mediadas pela Histria da
Matemtica, bem como averiguar se uma abordagem desta natureza possibilita modificao
nesse sentido. Os resultados obtidos atravs da anlise dos dados indicaram que as atividades
trouxeram contribuies no que se refere a alcanar objetivos. Por outro lado mostra, tambm,
que existe um longo percurso a ser trilhado no sentido de tornar Histria da Matemtica
subsdio efetivo na prtica desses professores, tendo em vista a falta de formao nesta rea
de conhecimento bem como a carncia de uma abordagem adequada da Histria da
Matemtica nos livros didticos de matemtica.
Palavras-chave: Proporcionalidade, Atribuio de significados, Histria da Matemtica e
Educao Matemtica.
-
ABSTRACT
This study is the result of a work which approaches the Mathematics History how source of
the meanings attribution in the proportionality concept. We adopt the methodology of the
source qualitative and we work with a group of teachers from instructions public system of
the fundamental and medium level from Pocinhos City Paraba. For the data collection, we
use the field notes, the questionnaire, a sequence of activities and the interview semi-
structured like instruments. The study had how objective to know the significates attributeds
to proportionality concept through of the activity mediate from Mathematics History, besides
to investigate if a approach of the nature enables modification according to this sense. The
results obtaineds though the data analysis indicate that the activities bring contributions which
refer to achieve objectives. On the other hand they also showed that we have a long trajectory
to be trailed in the meaning of to turn the Mathematics History a subsidy effective in the
teachers practice, in view of the formation absence in the knowledge area, besides the
necessity of the approach adequated of the Mathematics History in the didatics books of
Mathematic.
KEY WORDS: Proportionality, Significates attributeds, Mathematics History and Education
Mathematics.
-
14
INTRODUO
A partir dos ltimos semestres do curso de licenciatura em matemtica, interessei-me
por conhecer mais sobre Educao Matemtica. Ao iniciar um curso de especializao em
ensino de matemtica, essa busca aos poucos foi se concretizando, pois neste curso a nfase
dada s questes do ensino de matemtica era bem mais acentuada do que na graduao.
Ainda neste curso desenvolvemos um estudo monogrfico fundamentado em resoluo de
problemas, o que nos acrescentou conhecimento oriundo da rea de Educao Matemtica.
Na ocasio adquirimos o livro organizado por Bicudo (1999) e, desde ento, passamos
a nos dedicar mais aos assuntos relacionados pesquisa acerca do ensino de matemtica. A
partir deste contato inicial com os estudos realizados na rea de Educao Matemtica, aos
poucos nosso interesse se direcionou para a rea da Histria da Matemtica. Apesar de no
conhecermos profundamente esse tema, acreditava que o mesmo era bastante fecundo e
oferecia possibilidade de suporte terico e prtico ao professor de matemtica.
O mestrado foi a grande oportunidade de por em prtica um estudo mais focado na
Histria da Matemtica. Neste estudo buscamos uma correlao entre Histria da Matemtica
e a sua importncia na prtica pedaggica de professores de matemtica. A Histria da
Matemtica como rea de pesquisa apresenta uma variedade de caminhos a serem percorridos.
Entre esses tantos caminhos escolhemos um deles, inclusive, apontado pelo Prof. Hans
Wussing (1997 apud BARONI e NOBRE, 1999, p. 130) como um dos mais investigados no
panorama internacional: A histria de problemas e conceitos. J que parte do nosso estudo
traa um histrico sobre o conceito de proporcionalidade.
Em nossa pesquisa traamos um breve histrico sobre o conceito de proporcionalidade
com a finalidade de conhecer sua origem, verificar de que maneira esse conceito era
empregado pelos povos antigos, bem como conhecer alguns dos problemas onde esse conceito
-
15
estava presente, alm de identific-lo no procedimento de resoluo de problemas; seja como
um conceito inato da situao matemtica em questo ou como um mtodo de resoluo.
Por outro lado, investigamos junto a um grupo de nove professores de matemtica os
significados que estes apresentariam acerca do conceito de proporcionalidade por ocasio da
apresentao de atividades histricas que envolvem o referido conceito. Tais significados
podero surgir a partir da interpretao dos registros numricos presentes em uma tableta
matemtica babilnica e num mtodo de resoluo de equao adotado pelos egpcios.
Assim, este estudo teve o intuito de estimular a reflexo sobre a maneira pela qual a
Histria da Matemtica pode subsidiar a prtica pedaggica do professor de matemtica, a
partir de seu envolvimento com situaes histricas que envolvem a formalizao de um
conceito.
No primeiro captulo, uma consulta a determinadas obras que tratam do conceito de
proporcionalidade permitiu focalizar o problema a ser investigado, bem como identificar a
questo de estudo, os objetivos e a justificativa do presente trabalho.
No segundo captulo, apresentado um estudo histrico sobre o conceito de
proporcionalidade. Expomos nesse captulo alguns aspectos histricos relativos ao
desenvolvimento do conceito de proporcionalidade presente em diferentes civilizaes, em
diferentes pocas. Esta abordagem nos forneceu a ideia do desenvolvimento do conceito em
questo e, consequentemente, embasou o referencial terico do presente estudo.
No terceiro captulo, mostramos o mtodo de investigao adotado neste estudo. Trata-
se de uma pesquisa de cunho qualitativo. Neste captulo descrevemos as etapas do estudo, os
instrumentos de coleta de dados, os procedimentos e os sujeitos participantes do estudo.
No quarto captulo, exibimos os resultados obtidos. No que se refere aos dados
quantitativos, apresentamos a maneira que os dados foram analisados. Com relao aos dados
-
16
qualitativos, descrevemos os resultados obtidos por meio da anlise de contedo expresso
pelos sujeitos, por meio de diferentes instrumentos de coleta de dados utilizados.
No quinto captulo, discutimos os resultados obtidos luz do referencial terico para
atender as questes desse estudo.
Por fim, tecemos algumas consideraes sobre o estudo realizado, bem como certas
implicaes que os resultados obtidos podero originar.
Focalizao do problema
Muitos trabalhos em Educao Matemtica, Educao em Cincias e Psicologia
Cognitiva tratam de propores ou proporcionalidade, a saber: Costa (2005), Pontes, (1996),
Bernal (2004), vila (1985), Schliemann e Carraher (1997), Spinillo (1997, 2002), Aguiar
(1980), Magalhes (1990), Oliveira (2000), entre outros.
Costa (2005) apresenta a anlise e a comparao dos contedos razes e propores
entre trs livros didticos e de cada um deles com a proposta curricular correspondente
dcada de sua publicao, no intuito de verificar se os contedos razes e propores nos trs
livros didticos esto em sintonia com os documentos oficiais relativos s reformas do ensino.
Os trs livros didticos de matemtica analisados pelo autor so referentes ao Ensino
Bsico, especificamente, livros do 7 ano do Ensino Fundamental. Dessa forma, o primeiro
livro didtico foi comparado com o projeto de um guia curricular do Estado de So Paulo de
1972, o segundo comparado com a proposta curricular do Estado de So Paulo de 1986,
enquanto o terceiro foi comparado com os Parmetros Curriculares Nacionais, Brasil (1998).
As comparaes realizadas entre esses livros e as comparaes destes com os
documentos oficiais visam conhecer se tais livros so adequados s sugestes contidas nos
referidos documentos, que fundamentaram as trs ltimas reformas curriculares no Estado de
So Paulo.
-
17
O interesse de Costa (2005) por esse assunto surge de sua prpria prtica docente, a
qual permitiu a ele identificar duas importantes questes: o fato de os professores terem o
livro didtico como nica fonte de pesquisa para a elaborao das aulas e por observar as
dificuldades dos alunos em interpretar problemas, principalmente aqueles que envolviam
grandezas inversamente proporcionais.
Em suas concluses Costa (2005) afirma que os trs livros didticos analisados do
subsdios parciais aos professores, pois no esto plenamente elaborados de acordo com os
documentos oficiais dos rgos governamentais, a exemplo dos Parmetros Curriculares
Nacionais, Brasil (1998), do Projeto de Guia Curricular de 1972 e da Proposta Curricular do
Estado de So Paulo vigente no ano de 1986.
A partir do exposto por Costa (2005), podemos dizer que os referidos documentos se
apresentam como ponto de apoio ao trabalho docente. Contudo, estes documentos (tanto os
livros quanto as propostas curriculares) deixam clara a responsabilidade do professor no xito
do ensino da Matemtica. Em geral os livros didticos apresentam uma sequncia lgica e
quando o professor deseja fazer alguma modificao ou desconsiderar uma noo ou outra,
cabe a ele fazer escolhas e adaptaes nas aes de ensino para que ocorra mudana em sua
prtica docente.
Encontramos em Pontes (1996) um estudo sobre Medidas e Proporcionalidade na
escola e no mundo do trabalho. A autora apresenta uma anlise da relao existente entre a
matemtica escolar e a que permeia as atividades cotidianas dos trabalhadores de diferentes
profisses que no dependem de escolarizao formal. A referida autora explora em seu
trabalho os conceitos de Medida e Proporcionalidade por se tratarem daqueles que
normalmente mais usamos no nosso dia-a-dia.
Para tal finalidade, Pontes (1996) elabora e analisa uma sequncia didtica aplicada
em classes de 7 e 8 anos. Paralelamente a esta atividade e com o mesmo objetivo, foram
-
18
observados uma costureira, um comerciante, uma cozinheira, um marceneiro, um mestre de
obras e um oleiro em suas jornadas de trabalho, procurando perceber que itens eram
abordados e como eram usados os conceitos de Medida e Proporcionalidade por estes
profissionais.
O estudo realizado por Pontes (1996) confronta os dois tipos de abordagens (a
matemtica escolar e a matemtica que permeia as atividades cotidianas dos trabalhadores) e
constata que os itens e as estratgias mais utilizadas pelos trabalhadores no so levadas em
considerao nas aulas de matemtica, o que caracteriza, segundo a autora, um divrcio entre
o o qu e como se ensina matemtica na escola e o qu e como se usa essa disciplina
na prtica cotidiana do trabalhador comum.
Para finalizar, Pontes (1996) lana algumas sugestes para aqueles que fazem o ensino
de matemtica na perspectiva de abordagens cotidianas. As sugestes lanam mo de
metodologias que valorizam a resoluo de problemas e se inserem na Etnomatemtica, na
Modelagem Matemtica, entre outras. Essas metodologias possibilitam o envolvimento do
aluno como sujeito ativo no processo de ensino e aprendizagem.
Em Bernal (2004) encontramos um estudo sobre como identificar a proporo no que
diz respeito ao saber a ensinar e, ao saber ensinado em turmas de 7 ano do Ensino
Fundamental. Para tanto, a autora busca evidenciar questes relativas ao surgimento do
conceito de proporo e o seu tratamento como objeto matemtico. Esta autora busca tais
evidncias por meio de um breve estudo histrico e de um estudo sobre as publicaes
produzidas por instituies de formao de professores. A autora realiza tambm um estudo
em livros didticos de matemtica do 7o ano do Ensino Fundamental, alm de uma observao
em classe do mesmo ano deste nvel de ensino.
Alm destes livros, a autora analisou o livro didtico de Quintella de 1958. Segundo
Bernal (2004), a escolha deste ltimo justifica-se pelo seu uso no Brasil durante dcadas, o
-
19
que pode ter influenciado escritores dos livros didticos posteriores. O estudo realizado pela
autora busca identificar o objeto proporo como saber a ensinar e quanto saber ensinado em
turmas do 7o ano do Ensino Fundamental.
Para a primeira tarefa, ou seja, para identificar o objeto proporo como saber a
ensinar, Bernal (2004) evidenciou questes relativas ao surgimento do saber proporo e ao
seu tratamento como objeto matemtico, por meio de um breve estudo histrico e em um
estudo de publicaes dirigidas formao de professores. Estas publicaes remetem a
artigos produzidos por vila (1986) e Lima (1986, 1988, 1991, 1999) e ao livro Aritmtica
Progressiva de Antonio Trajano (1927); sendo este ltimo considerado pela referida autora
como um tratado.
Feito estes estudos a autora identificou duas abordagens das questes relativas
proporo. Na primeira, proporo tratada como objeto matemtico, enquanto que na
segunda, h o estudo da noo de proporcionalidade e de grandezas proporcionais, e o objeto
matemtico proporo explorado de maneira formal.
A primeira abordagem identificada no estudo histrico e no tratado de Trajano,
pois desde os tempos mais remotos a proporo j era tratada como objeto matemtico, a
exemplo da Teoria das Propores de Eudoxo (408-355 a.C.), que evidenciada no volume V
da obra Elementos de Euclides (cerca de 300 a.C.). Tal teoria permitiu superar a crise causada
pela descoberta dos incomensurveis e tendo sido estudada ao longo do tempo, d origem, no
sculo XIX, o sistema de nmeros reais.
A segunda abordagem identificada pela referida autora, tem origem mais recente e
encontrada nas publicaes de vila (1986) e Lima (1986, 1988, 1991, 1999). Nestas
publicaes as questes relativas proporo so tratadas no estudo de proporcionalidade e de
grandezas ou variaes proporcionais. Estas questes se inserem no contexto dos nmeros
-
20
reais, das igualdades e das equaes. Este tipo de abordagem segundo Bernal (2004) permite
identificar o objeto matemtico proporo como saber a ensinar.
Para identificar o objeto matemtico proporo como saber ensinado, Bernal (2004)
utilizou como subsdio o estudo de livros didticos e a observao em classe. Estes estudos
revelaram semelhana com o primeiro tipo de abordagem descrita anteriormente, j que
alguns livros didticos analisados oferecem tratamento formal ao objeto matemtico
proporo, com a definio: proporo a igualdade entre duas razes. Neste mesmo sentido,
a observao em sala mostrou tratamento semelhante ao objeto matemticos proporo, dado
pelo professor da turma.
Uma das contribuies do estudo realizado por Bernal (2004) que o estudo do objeto
proporo permite a identificao de abordagens distintas sobre as questes relativas a este
saber.
vila (1985) descreve sobre o modo como Eudoxo, j na antiguidade, descobriu um
procedimento muito engenhoso para resolver a primeira crise de fundamentos a ocorrer na
Matemtica, ocasionada pela descoberta dos incomensurveis. Para isso, vila inicia sua
exposio apresentando a definio de igualdade de fraes, em seguida define razo entre
grandezas comensurveis. A partir da apresenta a teoria das propores de Eudoxo, cujo foco
principal era resolver o problema da incomensurabilidade.
Na Antiguidade havia uma classe de filsofos conhecida por pitagricos que lidava
com a matemtica e acreditava que o universo era governado pelos nmeros inteiros. Tudo o
que existia podia ser expresso por uma medida numrica inteira, ou seja, todas as grandezas
(comprimento, rea, volume, etc.) podiam ser associadas a um nmero inteiro ou a uma razo
entre dois nmeros inteiros. A descoberta dos incomensurveis, isto , daquelas grandezas que
no podem ser expressas por meio de nmeros inteiros, acabou por gerar no seio da escola
pitagrica uma sria crise.
-
21
Para Wussing (1998) a incomensurabilidade pode ser definida a partir da medida de
segmentos. Os segmentos so chamados de incomensurveis, quando a medida de cada um
deles no um mltiplo inteiro de um terceiro que se escolha como unidade.
A descoberta dos incomensurveis causou uma grande crise na matemtica da poca
porque os nmeros inteiros se revelaram insuficientes para definir razes entre duas
grandezas, alm de destituir a generalidade da teoria das propores dos pitagricos, pois
todas as demonstraes eram baseadas no nmero como coleo de unidades. O segmento j
no podia mais ser considerado como indivisvel, mas infinitamente divisvel.
Os pitagricos no levaram adiante o estudo dos incomensurveis, pois caso o
fizessem, teriam que negar suas prprias bases filosficas. O teorema de Tales passou a ser
visto como incompleto pelos pitagricos, assim como muitos outros assuntos matemticos
conhecidos. Surgia, ento, a necessidade de se criar uma teoria sobre razes, envolvendo
grandezas comensurveis e incomensurveis.
Decorridos mais de dois milnios, foi somente no sculo XIX que os nmeros
voltaram a exercer um papel mais confivel nos fundamentos da matemtica, sobretudo
quando Dedekind (1831-1916) elaborou uma teoria dos nmeros reais, baseando-se na
definio 5 de Eudoxo (cerca de 408-355a.C), revivendo a antiga crena pitagrica de que os
nmeros so o fundamento de tudo.
Segundo Boyer (1974), Dedekind se voltou para a questo do preenchimento dos
buracos da reta quando dava aulas de clculo. Aps refletir sobre a questo, Dedekind
passa a investigar sobre o que h na grandeza geomtrica contnua que a distingue dos
nmeros racionais? E foi buscar inspirao na teoria das propores de Eudoxo.
De acordo com Boyer (1974), na definio de Eudoxo separa-se a frao nm em trs
casos: na > mb ou na = mb ou na < mb. Assim, Dedekind pensou em separar as fraes em
duas classes: aquelas com na > mb e as com na mb. A este par de classes ele deu o nome de
-
22
corte. Ele afirmou que o princpio da completude ou da continuidade est no fato de que toda
vez que cortamos a reta em dois segmentos A e B existe um ponto P que produz tal corte da
reta e a separa em duas partes.
A construo dos nmeros reais, feita por Dedekind, tomou como ponto de partida o
domnio dos nmeros racionais. Ao invs de identificar o nmero real como uma sequncia
convergente de racionais como era comum em alguns de seus antecessores, ele encarava o
nmero real como se fosse gerado pelo poder da mente em classificar os nmeros racionais.
Ainda segundo Boyer (1974) esse esquema de classificao, chamado de corte,
partio, separao, ou seo de Dedekind se refere a que se todos os pontos de uma reta esto
em duas classes tal que todo ponto da primeira classe encontra-se esquerda de todo ponto da
segunda classe, ento existe um e somente um ponto que produz esta diviso. Dedekind
chegou concluso que a essncia da continuidade de um segmento de reta estava na
separao dos nmeros racionais em duas classes.
vila (1985) conclui apontando algumas implicaes para o ensino da matemtica,
destacando que o ensino da geometria acompanhou essa evoluo das ideias que restituiu aos
nmeros lugar de destaque nos fundamentos da matemtica. Acrescenta ainda, que quando
ensinamos geometria admitimos os nmeros reais e a possibilidade de sempre atribuirmos um
nmero razo de dois segmentos, mesmo que ele seja irracional.
Mudando o foco para o mbito da Psicologia Cognitiva, estudos sobre aprendizagem e
desenvolvimento da noo de proporcionalidade oferecem contribuies para a Educao
Matemtica. No Brasil, encontramos estes estudos em Schliemann e Carraher (1997), Spinillo
(1997, 2002), Aguiar (1980), Magalhes (1990), Oliveira (2000), entre outros.
Schliemann e Carraher (1997) desenvolveram um estudo que possibilitou a descrio
de um corpo de conhecimentos sobre razo e proporo. As autoras procuraram caracterizar o
que razo e proporo, alm de realizar uma resenha de pesquisas sobre a aprendizagem de
-
23
razo e proporo fora da sala de aula. O trabalho desenvolvido por estas autoras objetiva
comparar as estratgias de resoluo de problemas de proporcionalidade utilizadas por
crianas que aprendem sobre este conceito tanto na escola quanto em situaes cotidianas.
Em suas concluses, Schliemann e Carraher (1997) afirmam que crianas e adultos
com pouca ou nenhuma escolarizao possuem a noo de proporcionalidade. Estes sujeitos
resolvem problemas que envolvem este conceito utilizando estratgias outras, a exemplo da
estratgia escalar. Esta estratgia consiste em encontrar a soluo de um problema a partir da
anlise das relaes numricas no interior de uma mesma varivel. Nesta abordagem, cada
varivel permanece independente da outra e transformaes paralelas so realizadas em cada
uma delas mantendo-se a relao proporcional.
A aplicao da estratgia escalar exemplificada, pelas autoras, atravs do seguinte
problema:
Se trs laranjas custam 15 cruzeiros, qual o preo de 9 laranjas?. Aplicando a estratgia escalar para a resoluo do problema tem-se a seguinte soluo: 9 laranjas so trs vezes mais que 3 laranjas, ento preciso pagar trs vezes mais, isto , 15 vezes 3, o que d 45. Observamos que as transformaes ocorrem em cada varivel, porm mantendo-se a relao proporcional existente entre elas. (SCHLIEMANN e CARRAHER, 1997, p. 18)
Essas autoras afirmam tambm que este tipo de estratgia, apesar de apresentar
limitaes, deveria servir como ponto de partida para a aprendizagem formal do conceito de
proporcionalidade.
Spinillo (2002) examina a possibilidade de crianas aprenderem propores, usando o
referencial de metade, que uma estratgia tomada como referncia, para auxiliar a criana
a lidar com as quantidades e as relaes em tarefas de proporo, de maneira sistemtica,
transferindo sua aplicao para outras tarefas de proporo consideradas difceis. Para atingir
tal objetivo, adota um planejamento experimental envolvendo as etapas pr-teste, ps-teste e
uma interveno.
-
24
A interveno utilizada foi definida como de natureza tutorada, j que a autora
mantinha dilogo com a criana, lanava desafios, fornecia e solicitava explicaes no
momento da resoluo de tarefas de proporo. Esta parte do estudo foi apresentada em uma
nica sesso, com durao de 40 minutos e tinha por objetivo levar a criana a usar
sistematicamente o referencial de metade, discriminar e explicitar as relaes de primeira e de
segunda ordem envolvidas na soluo da tarefa.
A tarefa de proporo utilizada na interveno foi uma verso da tarefa de Bruner &
Kenney de 1966 que consta de retngulos de papel em variados tamanhos, sendo que cada um
deles tem o seu interior com uma parte preta e outra branca. Alguns desses cartes apresentam
a parte preta maior que a branca, outros a parte preta menor que a branca e por fim, uns
possuem a parte preta igual parte branca.
Nesta tarefa apresentavam-se aos alunos alguns retngulos que serviriam de modelos
enquanto os outros seriam as alternativas. Para resolver esta tarefa, era necessrio comparar as
relaes internas branco/preto em cada alternativa (relaes de primeira ordem) e depois
decidir qual delas tinha a mesma relao branco/preto que o modelo (relao de segunda
ordem).
Para esclarecer mais sobre os estudos realizados acerca do conceito de
proporcionalidade, a autora explica que as atividades utilizadas para a investigao da
compreenso relativa a este conceito so, em geral, agrupadas em duas classes de problemas:
tarefas de incgnita e tarefas de comparao.
As tarefas classificadas como tarefas de incgnita so aquelas em que trs valores so
dados, sendo necessrio determinar o valor da incgnita, mantendo-se no segundo par de
valores a mesma relao proporcional verificada no primeiro par (relao de primeira ordem).
As tarefas de comparao so aquelas em que os quatro valores so dados e o sujeito precisa
determinar se existe ou no uma equivalncia (relao de segunda ordem) entre o primeiro e o
-
25
segundo par de valores (relaes de primeira ordem). As tarefas utilizadas variam de acordo
com as dimenses envolvidas, que podem ser classificadas em: complementares e no-
complementares. As dimenses complementares envolvidas em uma tarefa de proporo se
referem s quantidades (contnuas ou discretas) que so partes que, juntas, formam um mesmo
todo; enquanto que as dimenses no-complementares so quantidades que no constituem o
mesmo todo.
A autora refere-se a outros trabalhos dessa mesma natureza nos quais j ressaltava a
importncia da distino entre dimenses complementares e no complementares para se
compreender a natureza das dificuldades experimentadas por crianas ao resolver tarefas de
proporo. Conclui que crianas podem ser ensinadas a fazer julgamentos proporcionais,
sendo a estratgia metade um referencial importante que auxilia a lidar com as quantidades e
as relaes cruciais ao raciocnio proporcional.
Aguiar (1980) estuda a formao do conceito de frao idntica e de
proporcionalidade bem como as operaes concretas e formais. Esta autora toma como ponto
de partida as concluses de Piaget sobre o desenvolvimento dos conceitos de fraes idnticas
uma aquisio do estgio das operaes concretas e de proporcionalidade que s se
completa na fase das operaes formais. No que se refere ao conceito de proporcionalidade
especificamente o estudo analisou o relacionamento entre a formao dos conceitos de frao
e a formao do conceito de proporcionalidade na quantificao de probabilidades.
O estudo realizado pela autora buscou tambm analisar a natureza dos processos
envolvidos na construo dos conceitos de fraes equivalentes e de fraes de fraes,
quando da medio ou avaliao de reas de figuras geomtricas; outro foco do estudo
consistiu em analisar o relacionamento entre as evolues desses conceitos e a formao do
conceito de proporcionalidade na quantificao de probabilidades. A investigao da autora
partiu das concluses sobre a gnese do conceito de frao e de proporcionalidade.
-
26
O autor, em suas consideraes finais, sugere, a partir dos resultados obtidos, que
existe uma evoluo sincrnica entre as conceituaes de fraes idnticas, fraes
equivalentes e fraes de fraes, at que se completam na fase das operaes concretas; alm
disso, as relaes parte-todo e parte-parte, indicadas por Piaget, entram no desenvolvimento
do conceito de fraes e tambm no de proporcionalidade.
Um estudo sobre a transferncia de estratgias na resoluo de problemas de
proporcionalidade entre diferentes contedos feito por Magalhes (1990). Em seu trabalho,
ele apresenta as estratgias utilizadas na resoluo de problemas de propores simples, por
sujeitos sem instruo formal sobre proporcionalidade.
Uma das concluses deste estudo que houve transferncia do conhecimento entre
problemas de contedos conhecidos para estes sujeitos, como por exemplo, os que envolvem
receitas culinrias bem como entre problemas de contedo conhecido e desconhecido;
entretanto, no houve generalizao das estratgias e procedimentos utilizados, de forma
espontnea.
Para investigar que tipos de estratgias so utilizados por alunos do 6o ao 9o anos
Oliveira (2000) realiza uma pesquisa abordando a resoluo de problemas envolvendo
proporo simples, direta e inversa, com o objetivo de observar se essas estratgias se
modificam ou no ao longo do ensino fundamental. Alm disso, a autora busca perceber
possveis relaes entre o contrato didtico vigente em cada uma das escolas participantes de
seu estudo e as estratgias utilizadas pelos alunos.
Na concluso da sua pesquisa a autora afirma ter verificado que, quando os alunos no
conhecem o algoritmo formal para resolver problemas de proporo, no caso a regra de trs,
eles buscam estratgias prprias para chegarem resposta. Foi observado, tambm, que existe
uma diferena quanto ao ndice de apropriao do significado do problema em relao s
series e as escolas participantes.
-
27
Alm disso, a referida autora nos esclarece que o chamado ndice de apropriao do
significado do problema refere-se ao total de acertos dos alunos na resoluo dos problemas
de proporo, sendo constitudo por uma medida numrica percentual, apresentado no
captulo referente aos resultados da pesquisa. Tambm confirmado que a relao
estabelecida entre o ndice de apropriao do significado do problema e a escola est
intimamente relacionada com o contrato didtico estabelecido, em cada uma das escolas.
O estudo apontou que o fato dos alunos antes do 7o ano conseguirem se apropriar do
significado dos problemas de proporo simples e construrem ferramentas, diferentes da
regra de trs, que possibilitam a resoluo de tais problemas, leva a refletir sobre como a
escola aborda o estudo da proporcionalidade muitas vezes explorado apenas como o estudo do
algoritmo da regra de trs.
Em alguns de seus estudos Schliemann e Carraher (1997) indicam que na escola uma
caracterstica relacionada ao ensino de propores a utilizao da regra de trs; embora no
se utilize este conceito em outros contextos. Para estes autores o aluno no compreender
proporo se no tiver muitas oportunidades para discutir relaes proporcionais em diversos
contextos.
Spinillo (1997), em um estudo sobre propores, nas sries iniciais do Ensino
Fundamental, afirma que os educadores precisam desenvolver uma compreenso conceitual
da proporo para evitar a viso simplista e errnea de que o ensino do algoritmo, a exemplo
da regra de trs, o cerne do processo de aprendizagem.
Como se pde observar, os estudos realizados no mbito da Psicologia Cognitiva,
acerca do conceito de proporcionalidade, preocupam-se com a aquisio deste conceito e a
forma como ele tratado no contexto da sala de aula. Tal aquisio caracteriza a passagem do
perodo das operaes concretas para as operaes formais. Alm disso, estes estudos
-
28
fornecem indcios sobre a aquisio do conceito de proporcionalidade como uma
possibilidade para a resoluo de diversos problemas matemticos.
A literatura consultada nos permitiu observar que, no que diz respeito ao conceito de
proporcionalidade, parece existir uma lacuna no que se refere ao seu desenvolvimento
histrico. Observamos, tambm, evidncias de que, na formao inicial de professores, a
Histria da Matemtica ainda no abordada de maneira efetiva para a construo do
conhecimento matemtico. Tal aspecto pode contribuir para o no uso da Histria da
Matemtica na prtica pedaggica destes professores.
Embora a Histria da Matemtica, como campo de investigao cientfica, no Brasil
tenha apresentado significativo crescimento, ela ainda pouco explorada na formao inicial
do professor de matemtica, como afirmam Baroni e Nobre (1999):
ainda h pouco empenho em se introduzir a disciplina Histria da Matemtica nos cursos de graduao. Naqueles cursos nos quais h esta disciplina ela , com raras e honrosas excees, considerada de segunda classe. (BARONI e NOBRE, 1999, p. 130)
Em consonncia com os autores citados, est a minha experincia vivenciada enquanto
estudante de curso de graduao (licenciatura em Matemtica), cuja grade curricular
apresentava a disciplina Histria da Matemtica acoplada Lgica Matemtica, ou seja,
tnhamos a disciplina Lgica e Histria da Matemtica. Alm do mais, era dada maior nfase
em Lgica do que em Histria, tratando de maneira bastante superficial temas relativos
Histria da Matemtica, atendo-se somente a referncias de algumas civilizaes que deram
contribuies ao desenvolvimento da matemtica, com destaque a cronologias e biografias.
A nossa experiencia enquanto profissional da Educao Matemtica aliada aos estudos
no campo da Histria da Matemtica: MENDES (2001), FAUVEL e MAANEN (2000),
MOREY e MENDES (2005) nos leva a pressupor que parte da dificuldade enfrentada por
professores em inserir a Histria da Matemtica em suas aulas, pode est aliada a dois fatores:
-
29
uma formao inicial deficiente neste campo e uma abordagem inadequada por parte dos
livros didticos de matemtica.
Neste sentido, Fauvel e Maanen (2000) abriram uma discusso sobre a importncia da
presena da Histria da Matemtica como ferramenta pedaggica e as dificuldades
encontradas neste tipo de opo, os argumentos contra e a favor desta incluso, as formas em
que a Histria da Matemtica aparece no material didtico e sobre as fontes utilizadas. Fatores
como estes mostram que h, na atualidade, um intenso debate em torno da utilizao da
Histria da Matemtica como ferramenta pedaggica na prtica docente.
Cabe tambm ressaltar a maneira pela qual a Histria da Matemtica vem inserida nos
livros didticos atuais e cuja questo tem servido de base para estudos e pesquisas nos ltimos
anos no campo da Educao Matemtica.
A Secretaria de Educao Bsica (SEB) analisa os livros didticos e o Programa
Nacional do Livro Didtico (PNLD) elabora o Guia de Livros Didticos que contm as
resenhas dos tais livros. Neste guia esto inseridos os critrios de avaliao propostos aos
professores. No que se refere aos aspectos terico-metodolgicos, no item contextualizao, o
guia determina que os conhecimentos matemticos tero que ser contextualizados de maneira
significativa no que diz respeito Histria da Matemtica. Esta determinao nos induz a
pensar que a Histria da Matemtica deve se fazer presente nos livros didticos de forma tal
que os alunos possam construir um determinado conhecimento matemtico de maneira
significativa.
Alguns autores de livros didticos, na tentativa de acatar as diretrizes traadas pela
Secretaria de Educao Fundamental, incluem retalhos histricos no desenvolvimento de
seus textos, de maneira imprpria. Baseados em nossa experincia como educadores
matemticos, percebemos que muitas vezes esta insero se resume na apresentao de
biografias de alguns matemticos, de datas ou curiosidades histricas, sem a devida
-
30
compreenso ou adequao desta abordagem. Isto traz como consequncia uma abordagem
relacionada ao conceito a ser ministrado, utilizando-se de anedotas histricas para o
entendimento do contedo.
H razes para supor que a questo da insero da Histria da Matemtica nos livros
didticos ainda no feita de forma adequada, tendo em vista que no se observa nestes livros
a proposta de ensino de um conceito matemtico que contemple aspectos histricos do seu
desenvolvimento.
Nesse sentido, h um problema a ser resolvido no que se refere utilizao da Histria
da Matemtica como recurso pedaggico. Os autores de livros didticos podem incorporar a
Histria da Matemtica em suas obras por saber que estas sero avaliadas pela Secretaria de
Educao Bsica (SEB) e no porque realmente desejam e sabem introduzi-la de forma
adequada.
Ao lado disso, pode-se refletir tambm sobre a seguinte questo: os Parmetros
Curriculares Nacionais BRASIL (1998) indicam a Histria da Matemtica como um dos
possveis caminhos para o ensino de matemtica em turmas do ensino fundamental e mdio.
O conhecimento de diversas possibilidades para o trabalho em sala de aula auxiliar o docente
na construo da sua prtica.
A Histria da Matemtica aparece nos Parmetros Curriculares Nacionais BRASIL
(1998) como uma indicao de um recurso didtico alternativo prtica pedaggica do
professor de matemtica e ressalta que esta pode contribuir de maneira significativa para o
ensino e aprendizagem dessa rea do conhecimento:
ao revelar a matemtica como uma criao humana, ao mostrar necessidades e preocupaes de diferentes culturas, em diferentes momentos histricos, ao estabelecer comparaes entre os conceitos e processos matemticos do passado e do presente, o professor cria condies para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favorveis diante desse conhecimento. (BRASIL, 1998, p. 42)
-
31
Alguns estudos j apontam esta questo como um fator relevante e se contrapem
ausncia do tratamento da Histria da Matemtica na sala de aula. Em um dos trabalhos de
pesquisa realizados nesta perspectiva, Morey e Mendes (2005) perceberam que os professores
de matemtica atuantes, principalmente, no ensino fundamental e mdio, evidenciam a
necessidade de um aprofundamento acerca do desenvolvimento histrico de vrios tpicos da
matemtica abordada nestes dois nveis de ensino.
A Histria da Matemtica como recurso pedaggico pode revelar a matemtica como
um valioso instrumento da humanidade na busca do conhecimento. Esse anseio humano de
conhecimento muitas vezes nos leva histria e, no caso da matemtica, Histria da
Matemtica. Para Mendes (2001) a Matemtica, como qualquer outra rea do conhecimento
humano, tem seu desenrolar evolutivo capaz de caracteriz-la como uma cincia que tambm
se desenvolve a partir da sua prpria histria.
Porm, tal pressuposto parece no ser levado em considerao na prtica pedaggica
desenvolvida em nossas salas de aula. Se tomarmos por base os resultados dos estudos
realizados na rea da Educao Matemtica, observaremos que o ensino-aprendizagem da
matemtica encontra-se desvinculado do seu contexto histrico, alm de no considerar
tambm os aspectos scio-culturais que permeiam essa rea do conhecimento.
Tal fato pode ser um indicativo da pouca efetividade da Histria da Matemtica como
recurso pedaggico nas aulas de matemtica. Segundo Mendes (2001), torna-se cada vez mais
difcil para os professores buscarem a Histria da Matemtica como recurso de ensino,
principalmente porque a maneira como as referncias histricas aparecem nos livros didticos
ou como so abordadas durante a formao acadmica dos professores, no os leva a uma
compreenso significativa do assunto para que possam utiliz-los em suas aes docentes.
A Histria da Matemtica constitui um dos captulos mais interessantes do
conhecimento humano. Possibilita a compreenso da origem dos conceitos que constituem a
-
32
matemtica conhecida hoje e nos faz refletir sobre o quanto existe de humano no seu
desenvolvimento, pois permite conhecer os homens que desenvolveram esses conceitos e as
circunstncias que os originaram.
A literatura consultada evidenciou que a necessidade da explorao da Histria da
Matemtica na formao de professores no algo recente. Porm, a sua utilizao na prtica
docente ainda limitada e, s vezes, no chega a ser abordada. Esta questo conduz muitos
estudiosos da Educao Matemtica e da Histria da Matemtica a realizarem suas pesquisas
neste foco, a fim de dar subsdios tericos e pedaggicos aos professores.
Essa mesma literatura tambm nos forneceu indcios de que o conceito de
proporcionalidade geralmente no abordado por meio de estratgias que priorizem a sua
compreenso e, muito menos, que explorem o seu desenvolvimento histrico.
Por outro lado, a nossa experincia enquanto professor de Matemtica na Educao
Bsica indica que no ensino dos contedos no dada oportunidades para que os alunos
conheam os aspectos histricos relacionados a eles. Simplesmente, aplicam os
procedimentos indicados pelo professor em sala de aula.
Nesta perspectiva, os alunos resolvem os problemas retirando os dados numricos
necessrios busca da soluo. No entanto, dificilmente percebem as relaes de
proporcionalidade envolvidas nas grandezas que compem o problema dado. Alm do mais,
trabalhando nesta perspectiva, no se abre espao para explorar o conceito de
proporcionalidade em outras reas do conhecimento, bem como no se relaciona este conceito
a outros conceitos matemticos. Mais uma vez, a nossa experincia profissional permite
afirmar que a maioria dos alunos no consegue estabelecer relaes deste conceito com
outros, tais como funes, geometria, porcentagens, entre outros.
No que se refere ao ensino do conceito de proporcionalidade, nossa experincia
profissional permitiu observar nveis elevados de dificuldades dos alunos para perceber a
-
33
presena deste conceito em outros conceitos matemticos, bem como uma dificuldade ainda
maior quando eles so submetidos resoluo de problemas que envolvam a
proporcionalidade. Por exemplo, na geometria, existem dificuldades por parte dos alunos no
estudo da semelhana de tringulos, do Teorema de Tales, etc., justamente por no
apresentarem domnio com relao proporcionalidade. Estas dificuldades se mostram ainda
maiores quando se trata de proporcionalidade inversa.
Apesar dos diversos trabalhos realizados no mbito da Educao Matemtica e da
Psicologia Cognitiva, indicar formas adequadas de tratar o tema proporcionalidade nas
escolas, existem indcios que na prtica que este conceito limita-se apenas ao emprego da
regra de trs, estudado de maneira pontual, geralmente no 7o ano do ensino fundamental, alm
de no ser abordado a partir de uma perspectiva histrica. Mendes (2006) considera que a
perspectiva histrica da matemtica como suporte pedaggico tem como um dos seus
objetivos, promover um ensino-aprendizagem da matemtica que possibilite uma
ressignificao do conhecimento matemtico elaborado ao longo dos sculos pela sociedade.
Dessa forma, a atribuio de significados relativos aos problemas matemticos da
Antiguidade apresentar a matemtica como produto da sociedade, em termos de construo
do conhecimento. Esse fato torna-se relevante para a Educao Matemtica porque
desmistifica a matemtica como algo pronto e acabado.
Schliemann e Carraher (1997) esclarecem que a escola apenas utiliza a estratgia
regra de trs para o estudo da proporcionalidade, baseando-se nas propriedades de razes
equivalentes, ou seja, dadas duas razes equivalentes xce
ba , as igualdades
xc
ba e a.x = b.c
so verdadeiras e, portanto, acbx . .
Em sntese, a reviso da literatura apresentada no presente trabalho nos permite
afirmar que h indcios de que o conceito de proporcionalidade no explorado a partir do
-
34
seu desenvolvimento histrico, sendo tratado de forma pontual, sem o estabelecimento de
relaes deste conceito com outros conceitos matemticos. Assim, a Histria da Matemtica
como suporte para este tipo de abordagem se apresenta como um tema que merece ser
estudado de forma mais minuciosa.
-
35
Problema a ser investigado
De acordo com a nossa experincia profissional e com os resultados indicados pela
literatura consultada, possvel inferir que o conceito de proporcionalidade no explorado
de maneira compreensvel e, tampouco, explorado numa perspectiva histrica. H razes
para supor que este conceito ensinado em momentos pontuais e sem a preocupao com o
estabelecimento de relaes com nenhum outro conceito matemtico. Tambm possvel
supor que a formao inicial no subsidia adequadamente o professor para o ensino do
conceito de proporcionalidade numa perspectiva histrica. Diante disso, levantamos a
seguinte indagao: que significado o professor de matemtica atribui ao conceito de
proporcionalidade? Consideramos este um problema que merece ser investigado.
Questo de estudos e objetivos
Em decorrncia do problema apresentado, foi possvel formular uma questo
norteadora para esse estudo: A utilizao de atividades envolvendo o conceito de
proporcionalidade mediadas pela Histria da Matemtica, interfere na atribuio de
significado desse conceito por parte de professores de Matemtica?
Tendo em vista a inteno de investigar tal questo, foram definidos os seguintes
objetivos:
identificar quais os significados que o professor de matemtica atribui ao conceito de
proporcionalidade, a partir do uso de atividades mediadas pela Historia da Matemtica.
verificar em que medida a explorao do conceito de proporcionalidade, via Histria da
Matemtica, pode interferir na atribuio de significado que os professores do a este
conceito.
-
36
Justificativa
Entre os vrios conceitos matemticos, selecionamos a proporcionalidade devido s
vrias aplicaes deste conceito no cotidiano e sua destacada importncia tanto no ensino
quanto na aprendizagem da matemtica. Os estudos sobre Educao Matemtica tm
proporcionado embasamento terico aos profissionais desta rea trazendo-lhes indicaes
para um ensino de matemtica de melhor qualidade. Consonante a isto realizam-se estudos,
bem como seminrios, congressos, simpsios, encontros onde so discutidos os resultados das
pesquisas e so apresentadas novas propostas com finalidade de proporcionar um ensino de
matemtica de qualidade.
A Educao Matemtica, como rea de estudos e pesquisas, apresenta as seguintes
finalidades, como explica Mendes (2006, p.15): desenvolver, testar e divulgar mtodos
inovadores de ensino; elaborar e implementar mudanas curriculares, alm de desenvolver e
testar materiais de apoio para o ensino da matemtica.
Atualmente a Educao Matemtica apresenta algumas tendncias metodolgicas para
o ensino da Matemtica tais como: a Resoluo de Problemas, a Etnomatemtica, a
Modelagem Matemtica, o uso de novas tecnologias, a utilizao de jogos e materiais
manipulveis e a Histria da Matemtica.
Cada uma dessas tendncias apresenta estratgias e metodologias especficas para o
ensino da matemtica. No caso da Histria da Matemtica a estratgia mais utilizada a
investigao da construo do conhecimento matemtico. Este carter investigatrio, segundo
Mendes (2006), pode levar os estudiosos dessa rea de pesquisa elaborao, testagem e
avaliao de atividades de ensino centradas na utilizao de informaes histricas
relacionadas aos tpicos que pretendem ensinar.
A Histria da Matemtica considerada por muitos estudiosos da rea como uma
poderosa ferramenta no processo de ensino-aprendizagem da matemtica. Mas, para que este
-
37
fato possa vir a ser uma prtica efetiva, assumida pelos docentes, necessria a integrao da
mesma na formao de professores.
A literatura que trata de estudos relacionados formao de professores ampla.
Encontramos alguns estudos que se preocupam em investigar a importncia da Histria da
Matemtica na formao do professor, a exemplo de Mendes (2001), Fossa (2001), Ferreira
(2005), Morey e Mendes (2005), entre outros.
A Histria da Matemtica abrange um vasto campo de conhecimento, e se apresenta
como fonte de informaes para o professor. Contudo, vale destacar a necessidade de sua
integrao nos cursos de formao de professores.
Contudo, a literatura consultada indica a necessidade de encontrar meios adequados
para abordar a Histria da Matemtica na formao de professores. Como bem destacou
Valente (2002), que Histria da Matemtica importante para a formao do educador
matemtico?.
Outro aspecto que merece destaque que, em nossa experincia com turmas de 7 ano
do Ensino Fundamental, observamos dificuldades apresentadas pelos alunos na compreenso
de conceitos relativos a razes e propores. Essa dificuldade estava relacionada com a
interpretao de problemas que envolviam a proporcionalidade, sobretudo, quando se tratava
de proporcionalidade inversa. Fato semelhante acontece tambm em outros nveis do ensino, a
exemplo do 1 ano do Ensino Mdio, no estudo das funes, onde no se faz relao deste
contedo com o conceito de proporcionalidade.
Com a finalidade de apontar possveis caminhos para superar tais dificuldades,
procuramos nos balizar pela Histria da Matemtica por ver nesta a possibilidade de explorar
um determinado contedo matemtico a partir de contextos diferenciados como o social, o
cultural e o histrico.
-
38
Acreditamos que os aspectos expostos justificam a importncia deste estudo, pois
investigar o significado que os professores de matemtica atribuem ao conceito de
proporcionalidade de suma importncia para a Educao Matemtica, tendo em vista que
esta rea do conhecimento busca, por meio de estudos e pesquisas, indicar possibilidades para
um ensino de matemtica com significado.
Alm disso, a realizao deste estudo poder contribuir para a construo do
conhecimento a respeito do tema em estudo e, consequentemente, poder fornecer subsdios
prtica docente no tratamento do conceito de proporcionalidade, quando se busca a aquisio
deste por meio do seu desenvolvimento histrico.
-
39
1 REFERENCIAL TERICO
Apresentamos os principais elementos do quadro terico adotados neste estudo, os
quais nos conduzem a precisar o foco da presente pesquisa. Situamos nossa reflexo numa
perspectiva histrica, na medida em que nos interessamos sobre a proporcionalidade na
condio de um conceito amplo, to antigo quanto prpria matemtica e que, envolvendo
relaes entre grandezas, relaciona-se a outros conceitos matemticos, alm de estar presente
em vrias situaes cotidianas.
A nossa concepo acerca do conceito de proporcionalidade se aproxima do que
Spinillo (1997, p. 41) define como sendo pensamento proporcional: o pensamento
proporcional refere-se basicamente habilidade de estabelecer relaes, e ainda
concordamos com Nunes (2003), quando afirma que o conceito de proporcionalidade, em sua
origem bastante simples, nada mais do que a relao entre duas variveis.
Esta concepo do conceito de proporcionalidade como algo simples em suas origens
nos remete a estudar os aspectos histricos que esto relacionados matemtica de povos da
Antiguidade, a exemplo dos egpcios, babilnios, gregos, entre outros.
Neste estudo o conceito de proporcionalidade est fundamentado, basicamente, na
perspectiva da Histria da Matemtica, ou seja, por meio dela estudaremos a origem deste
conceito, bem como o seu desenvolvimento. Esta escolha toma como base o fato de que a
Histria da Matemtica investiga a Matemtica enquanto cincia em construo, levando em
considerao aspectos sociais e culturais, os quais exercem forte influncia na construo
desse conhecimento.
Nessa perspectiva, Brolezzi (1991) enfatiza que a ordem lgica mais adequada para o
ensino da matemtica no a do conhecimento matemtico sistematizado, mas sim aquela
que revela a matemtica enquanto cincia em construo. Nesse sentido, identificar fatos
-
40
histricos que envolveram a proporcionalidade poder ser til para a compreenso deste
conceito e, consequentemente, para o seu ensino.
O conhecimento da Histria da Matemtica essencial no s na formao dos alunos,
mas tambm na formao de professores, no sentido de desmistificar a matemtica,
mostrando que ela uma obra humana, feita por homens em tempos historicamente datados,
em constante evoluo mesmo nos dias atuais e no como se supe uma obra do esprito
humano repleta de misticismo. Alm do mais ter conhecimento da Histria da disciplina que
ministra importante para que o professor possa responder aos muitos porqus colocados
pelos alunos nas aulas de matemtica.
Abordaremos a seguir alguns pressupostos tericos acerca da utilizao da Histria da
Matemtica para a compreenso de conceitos matemticos.
1.1 A importncia da compreenso do desenvolvimento histrico do conceito
matemtico.
A Histria da Matemtica possibilita caminhos para a pesquisa em Educao
Matemtica, sobretudo por aqueles que supomos ainda no claramente esclarecidos, ou
melhor, investigados:
[...] o estudo da histria matemtica se apresenta como uma oportunidade para entender tanto problemas que possam motivar a construo de novos conceitos matemticos quanto a seqncia de esquemas desenvolvidos pelos indivduos ao procurar uma soluo significativa para um problema. (DAMBROSIO, 2007, p. 402)
Ao fazer pesquisa na rea da Histria da Matemtica necessrio que o pesquisador se
atenha com bastante cautela s fontes histricas de que ir fazer uso, j que nem sempre
possvel o trabalho em fontes primrias e, mesmo nestas, corre-se o risco de obter uma
informao distorcida da realidade, sobretudo, porque a veracidade dos fatos pode ser
manipulada por questes de interesses prprios.
-
41
Conforme Nobre (2004), existem muitos casos relatados na histria, que envolvem a
nomeao de determinados conceitos matemticos por parte de alguns estudiosos da
matemtica, mas, na verdade, tais conceitos j existiam, a exemplo do Tringulo de Pascal
que no de Pascal, do Teorema de L`Hospital que no pertence ao Marqus de L`Hospital, o
que conhecemos por Binmio de Newton no pode ser atribudo a Isaac Newton, o Princpio
de Cauchy no de Cauchy, as coordenadas Cartesianas no foram introduzidas por Ren
Descartes, entres outras histrias.
A Histria da Matemtica nos possibilita o conhecimento de grande parte do que foi
produzido, desenvolvido e disseminado no campo da matemtica em diversas civilizaes.
So vrios os estudiosos que se dedicam a esta rea do conhecimento no sentido de descobrir
e explorar fatos da matemtica no passado, esclarecer questes duvidosas e tambm promover
a Histria da Matemtica como uma proposta pedaggica inovadora para os currculos
escolares, inclusive na formao de professores de matemtica.
No contexto internacional podemos citar pesquisadores como Heath (1993), Wussing
(1998), Damerow (2007), Furinghetti (2007), Gerdes (2007), Radford & Empey (2007), entre
outros. Em nosso pas se destacam no estudo da Histria da Matemtica pesquisadores tais
como DAmbrosio (1996), Nobre (2004), Fossa (2001), Mendes (2006), Bicudo (2007),
Valente (2007), Abdounur (2007), Sad (2007), entre outros.
Nesse panorama de investigao, tendo a Histria da Matemtica como suporte,
diversos trabalhos so desenvolvidos no Brasil e no exterior, muitos deles envolvendo
contedos matemticos especficos. A nossa inteno reside justamente neste contexto
investigativo, j que procuraremos conhecer como se deu o desenvolvimento histrico do
conceito de proporcionalidade.
Com esse intuito faremos meno a algumas manifestaes desse conceito, em
algumas civilizaes, em perodos distintos.
-
42
1.2 Aspectos histricos que envolvem o conceito de proporcionalidade
1.2.1 As propores no contexto da matemtica egpcia
A civilizao egpcia se forma por volta do ano 4000 a.C. Ela se estabeleceu s
margens do Rio Nilo e possua caractersticas de uma sociedade mais evoluda, quando
comparada com as comunidades neolticas. Esta nova forma de sociedade se caracterizou pelo
uso da agricultura, do comrcio e tambm por questes ligadas posse de terra, irrigao,
construo de monumentos, entre outros fatores.
O Rio Nilo contribua para o desenvolvimento dessa sociedade atravs das
denominadas Ddivas do Nilo, favorecendo a agricultura, a pesca e a irrigao. Por outro
lado, traziam-lhes alguns problemas em virtude das enchentes que ocorriam durante um
determinado perodo do ano.
Todos estes fatores aliados ao objetivo de facilitar o clculo do calendrio, da
organizao e administrao da colheita, das obras pblicas e da cobrana de impostos,
fizeram surgir as matemticas orientais como uma cincia prtica.
O conhecimento matemtico advindo da civilizao egpcia deve-se aos papiros que
eram usados para registrar a matemtica por eles utilizada. Estes documentos resistiram ao
tempo, graas ao clima seco daquela regio. O mais conhecido e talvez mais importante seja o
Papiro de Rhind, descoberto por H. Rhind em 1858 e que foi compilado pelo escriba Ahmes,
por volta do ano 1650 a.C. composto por uma srie de tabelas e apresenta 85 problemas,
entre os quais, problemas de quantidades, envolvendo equaes, atualmente denominadas de
equao do 1o grau, resolvidas pelo mtodo da falsa posio. Segundo Boyer (1974) alguns
destes problemas podem ser descritos como aritmticos e outros como algbricos.
-
43
FIGURA 1 FRAGMENTO DO PAPIRO DE RHIND
O problema 72 do papiro de Rhind, conforme Boyer (1974, p. 12), um exemplo de
problema aritmtico e descrito da seguinte forma: qual o nmero de pes de fora 45 que
so equivalentes a 100 de fora 10. J o problema de nmero 63 pede que sejam repartidos
700 pes entre quatro pessoas, em partes proporcionais a 41
31,
21,
32 e . Para Boyer (1974)
muitos dos problemas compilados por Ahmes mostram conhecimento de manipulaes
equivalentes regra de trs. Por exemplo, para o problema 72 apresentada a seguinte
soluo: 4510
100 ou 450 pes.
Conforme Boyer (1974), com relao ao problema de nmero de 63, a soluo
obtida calculando o quociente de 700 pela soma das fraes na proporo, que resulta em 400,
e calculando 41
31,
21,
32 e deste valor. Dessa forma, a soma das fraes na proporo,
47
1221
123468
41
31
21
32
corresponde a 400410074700
47
700 , ento,
um inteiro corresponde a 400.
Assim, 32 de 400 = ...66,266
32266266
3800
34002
32
-
44
21 de 400 = 200
31 de 400 = ...33,133
31133133
3400
31
41 de 400 = 100
Temos que 700100133200266 31
32
Os antigos egpcios j utilizavam, embora de forma implcita, o conceito de
proporcionalidade na resoluo de problemas prticos, dos quais, alguns aparecem registrados
no papiro de Rhind. Este conceito aparece no chamado mtodo da falsa posio, que se
caracteriza como uma abordagem algbrica de resoluo de problemas. Neste tipo de
problema no se faz referncia a objetos concretos e tambm no exige operaes entre
nmeros conhecidos. O que percebemos que os problemas foram elaborados de forma que
as suas solues correspondem a equaes lineares do tipo x + ax = b ou x + ax + bx = c, onde
a, b e c so conhecidos e x desconhecido.
O mtodo da falsa posio, em sua essncia, consiste em um procedimento de
tentativas e erros. Como exemplo vamos nos ater ao problema de nmero 24 do Papiro de
Rhind, que possui o seguinte enunciado: Sabendo que aha (nome dado ao valor
desconhecido) mais um stimo de aha d 24, encontre o valor aha.
Obviamente, a soluo dada por Ahmes no aquela presente nos atuais livros
utilizados nos meios escolares, mas caracterstica do processo do mtodo da falsa posio.
Um valor especfico, provavelmente falso, era assumido para aha, e as operaes indicadas
eram efetuadas sobre esse nmero suposto. O resultado era ento comparado com o resultado
que se pretendia obter, e usando propores eles chegavam resposta correta.
A soluo do problema apresentado anteriormente descrita por Eves (2004, p.73), da
seguinte maneira: o escriba egpcio escolhia um valor para a quantidade desconhecida (aha)
-
45
que evitasse a frao 71 . Uma boa escolha seria o prprio nmero 7. Aqui importante
observar que este valor 7 atribudo inicialmente quantidade desconhecida no tinha a
pretenso de ser um palpite verdadeiro; era, realmente, uma tentativa que logo em seguida
seria apropriadamente corrigida.
Aplicando a esta posio inicial as condies do enunciado do problema, o escriba
raciocinava da seguinte forma: se a resposta fosse 7, ento 7 + 71 de 7 = 8. Como o resultado
esperado era igual a 24, a posio inicial assumida para incgnita (7) era claramente falsa.
Entretanto, tendo em vista que o resultado obtido (8) precisava ser multiplicado por (3)
para se chegar ao valor da soma correta (24), na mesma proporo deveria ser multiplicada a
falsa posio inicial (7) para se obter o valor correto da incgnita. Assim, o mtodo da falsa
posio apontava para um valor de aha igual a 7 x 3 = 21.
Para esclarecer um pouco mais o mtodo da falsa posio, decidimos representar os
procedimentos utilizados por meio de uma linguagem simblica atual e da retrica utilizada
pelos egpcios. Atribuindo a letra d ao valor desconhecido, teremos:
247
dd aha mais um stimo de aha igual a 24
Supondo d =
7
Eles supunham que esse valor fosse 7, com o intuito de evitar a frao
8777 Utilizavam o seguinte raciocnio: 7
717 de igual a 8
2438 Como o resultado esperado era 24 eles multiplicavam o resultado por 3
2137 Multiplicavam na mesma proporo a posio inicial 7, obtendo assim o valor
correto de aha
-
46
Como se pode observar, o raciocnio proporcional j era usado naquele tempo.
Contudo, nossa experincia profissional indica que a regra da falsa posio no explorada
nos meios escolares. esse respeito DAmbrosio (2007) explica que alunos que utilizam de
tcnicas mais modernas para a soluo de problemas, apresentam dificuldades em utilizarem
ideias mais simples. Dessa forma, ao analisarem a soluo egpcia para equaes lineares os
alunos tm dificuldade em identificarem o uso de propores no mtodo da falsa posio.
A soluo deste problema em termos algbricos modernos, presentes nos meios
escolares nos quais se enfatiza a simbologia matemtica na resoluo de equaes costuma ser
apresentada de maneira formal, simples e direta. Isso pode ser ilustrado da seguinte maneira:
dada a equao d + 7d =24, calcule o valor de d.
218
16816887
1687
7247
dddddd
1.2.2 As propores no contexto da matemtica dos Babilnios
Por volta do ano 3000 a.C. outra civilizao floresce s margens dos rios Tigres e
Eufrates. Nessa regio, conhecida como Mesopotmia, tem origem a civilizao babilnica.
Segundo Eves (2004), em algum momento entre 3000 e 2000 a.C os babilnios
desenvolveram um sistema sexagesimal que utilizava o princpio posicional. Tal sistema
apresentava caracterstica dupla, ou seja, podia ser considerado um sistema misto, tendo em
vista que os 60 primeiros nmeros, isto , os nmeros do grupo bsico eram escritos nos
moldes de um sistema de agrupamento simples decimal, enquanto que os nmeros superiores
a 60 eram escritos de acordo com o princpio posicional.
Todo o conhecimento matemtico babilnico provm das tabletas de barro, que eram
cozidas ao forno ou secadas sob o sol e, assim, tornavam-se quase indestrutveis. Segundo
Struik (1989), o nosso conhecimento sobre a matemtica babilnica foi muito alargado pelas
-
47
notveis descobertas de O. Neugebaeur e F. Thureau-Dangin, que decifraram um grande
nmero de placas de argila.
O conhecimento da matemtica babilnica deu-se graas a esses achados e sua
consequente decifrao. O sistema numrico babilnio ficou conhecido em virtude da
decifrao dessas tabletas; grande parte delas est guardada em museus e colees de vrios
pases. A escrita chamada cuneiforme, isto , em forma de cunha, estes smbolos eram
marcados por estilete quando a tableta ainda encontrava-se mida.
O sistema numrico babilnio era de base sexagesimal e, de acordo com Aaboe
(2002), este sistema teve uma influncia generalizada sobre a natureza da matemtica
babilnica. Com relao s representaes simblicas utilizadas, h indcios de que,
quando os acadianos adotaram a escrita sumria, lxicos foram compilados dando equivalentes nas duas lnguas, e as formas das palavras e numerais se tornaram menos variadas. [...] O sistema decimal, comum maioria das civilizaes tanto antigas quanto modernas, tinha sido submerso da Mesopotmia sob uma notao que dava a base sessenta como fundamental. (BOYER, 1974 p. 19)
A descoberta deste sistema somente foi possvel a partir das descobertas e das decifraes das
tabletas de argilas que continham contedo matemtico. Em uma destas tabletas encontra-se uma
tbua de multiplicao, constituda de duas colunas, onde aparecem os smbolos em forma de
cunhas verticais ( ) e cunhas angulares ( ).
Como podemos observar na figura 2 abaixo, na primeira linha da primeira coluna h
uma cunha vertical, na segunda duas, na terceira trs; naturalmente interpretada como sendo
1, 2, 3; e assim por diante at a 9a linha. Na dcima linha aparece um smbolo novo, uma
cunha angular, em posio horizontal. Esta cunha interpretada como sendo 10, na linha
seguinte v-se uma cunha angular e uma vertical, na dcima segunda linha, uma cunha
angular e duas verticais e assim por diante, podendo, sem dificuldade, ser interpretado por 11,
12 e assim sucessivamente.
-
48
FIGURA 2 TABLETA BABILNICA DE MULTIPLICAO
Na segunda coluna desta mesma tableta encontram-se na primeira linha nove cunhas
verticais; na segunda, uma cunha angular e oito cunhas verticais; na terceira, duas cunhas
angulares e sete verticais, constituindo-se numa tbua de multiplicao por nove. Com isto v-
se que os babilnios utilizavam o raciocnio multiplicativo que um tipo de raciocnio
proporcional e este fato evidencia que esta civilizao j usava o conceito de
proporcionalidade a aproximadamente 4000 anos atrs. A relao entre a primeira e a segunda
coluna evidencia indcios de conhecimento do conceito de proporcionalidade contidos no
raciocnio multiplicativo exposto no pargrafo acima, o que, em representao moderna,
temos:
COL I 1 2 3 4 5 6 ...
COL II 9 18 27 36 45 54 ...
TABELA 1
INTERPRETAO DA TABLETA BABILNICA DE MULTIPLICAO
Ao calcularmos as razes entre a segunda e a primeira coluna, verificamos que:
...6
54545
436
327
218
19
9
-
49
Na stima linha da segunda coluna vem-se uma cunha vertical, um espao e trs
cunhas verticais, enquanto que na oitava linha v-se uma cunha vertical, seguida de uma
angular e mais duas verticais. Certamente no podemos interpretar essa primeira cunha como
sendo 1 (uma unidade) e, neste contexto, o que faz sentido supor que representa 60.
Portanto, estas linhas foram transcritas como sendo 1,3 e 1,12, supondo que o primeiro 1
equivalente a 60. Assim:
1,3 = 63603601 0 (7a linha)
1,12 = 726012601 0 (8a linha)
Em Aaboe (2002) encontramos um estudo bastante pormenorizado da chamada tableta
de recprocos. Segundo ele, os nmeros da segunda coluna so os recprocos da primeira, isto
, so seus respectivos inversos.
FIGURA 3 TABLETA BABILNICA DE RECPROCOS
Dessa forma, os clculos implcitos na tbua de recprocos envolvendo o 2 e o 3 so da
seguinte forma:
30 corresponde a 0; 30 = 21
60300 (que no caso o recproco de 2)
31
6020020;020 aecorrespond (que no caso o recproco de 3).
-
50
O mesmo clculo aplicado para as linhas seguintes de cada coluna. Alm disso,
observa-se que o produto dos nmeros que aparecem nas duas colunas uma potncia de 60.
Na 6a linha desta tableta o nmero 7,30 no ser interpretado como na tableta de
multiplicao, isto , 760 + 30, mas sim como 26030
607 que representa
81 e corresponde ao
recproco de 8.
Cabe ressaltar que o uso de vrgulas ou de ponto e vrgula no existiam na notao
babilnica original. Na notao atual, normalmente usada para representar os nmeros na
notao sexagesimal dos babilnios, que se faz uso da vrgula para separar as posies,
enquanto o ponto e vrgula separam a parte inteira da fracionria. Segundo Aaboe (2002), os
pontos e vrgulas foram introduzidos na traduo do contedo das tabletas; mas, como se
pode ver, no h nenhuma dvida quanto a suas posies.
Nos demais clculos dos nmeros da tbua de recprocos constatamos que a relao
existente entre uma coluna e outra expressa (atravs do raciocnio multiplicativo) o conceito
de proporcionalidade na sua construo, evidenciando-se, mais uma vez, o quanto este
conceito antigo, isto , apresentando-se como algo inerente a determinados tpicos
matemticos.
Outro fato que merece destaque que no sistema de numerao babilnico no existia
um smbolo que representasse o zero. Em alguns momentos o que definia o valor de um
determinado nmero era o contexto. Muitas vezes a falta de uma representao para o zero
acabava por gerar confuso em determinadas interpretaes. Por este motivo foi introduzido,
embora tardiamente, um smbolo, constitudo por duas cunhas pequenas, inclinadas, algo
parecido com . Mas esse smbolo s era usado para indicar uma potncia ausente de
60 no interior de um nmero.
-
51
Um exemplo de potncia ausente de 60 pode ser representado pela escrita dos
nmeros 122 e 7202, neste caso, a representao sexagesimal era muito parecida, pois
podia significar .26022602 2 ou
O fato de o sistema numrico sexagesimal ser um sistema posicional mais uma
caracterstica da utilizao do conceito de proporcionalidade pelos babilnios, que, por mais
implcito que esteja, este conceito que permite ao sistema o acrscimo ou decrscimo de
valores para cada posio. Os nmeros representados aps ponto e vrgula esto divididos por
potncias de 60. Esta representao por ponto e vrgula indica separao entre a parte inteira e
a fracionria, assim:
6030602560130;25,1 0 e
20
6030
602560130,25;1
A tableta Plimpton 322 (figura 4) umas das mais conhecidas e nela tambm
encontram-se indcios da proporcionalidade. Segundo Eves (2004, p. 61), os babilnios
tinham conhecimento de que os lados correspondentes de dois tringulos retngulos
semelhantes so proporcionais [...].
FIGURA 4 TABLETA BABILNICA PLIMPTON 322
-
52
A tableta Plimpton 322 consta de quatro colunas de nmeros, representados na escrita
cuneiforme e data de aproximadamente 1900 a 1600 a.C. Segundo Boyer (1974), as tabelas
contidas na tableta podiam ser facilmente tomadas por um registro de negcios. No entanto,
uma anlise minuciosa mostra que h profundo significado matemtico na teoria dos nmeros.
Tal anlise tambm evidencia que provvel que esse aspecto fosse apenas um auxiliar para o
problema de medir reas de quadrados sobre os lados de um tringulo retngulo.
A figura 5 apresenta os valores em notao moderna da tableta Plimpton 322 que
representam medidas de lados d
