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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

INSTITUTO DE SISTEMAS ELÉTRICOS E ENERGIA

Validação de modelos analíticos para solução de faltas simultâneas

Antônio Valente Figueiredo Torres

Diego Gomes de Almeida

Itajubá, setembro de 2018

UNIFEI – ISEE Trabalho Final de Graduação

ii

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

INSTITUTO DE SISTEMAS ELÉTRICOS E ENERGIA

Antônio Valente Figueiredo Torres

Diego Gomes de Almeida

Validação de modelos analíticos para solução de faltas simultâneas

Monografia apresentada ao Instituto de

Sistemas Elétricos e Energia, da

Universidade Federal de Itajubá, como parte

dos requisitos para obtenção do título de

Engenheiro Eletricista.

Orientador: Prof. Gustavo Paiva Lopes

Coorientador: Prof. Antônio E. Hermeto

Itajubá, setembro de 2018


iii

Resumo

As faltas nos sitemas elétricos de potência são perturbações inerentes ao funcionamento do

sistema e devem ser estudadas com detalhe para que todo o desenho, projeto, proteção, controle

e expansão do mesmo seja feito de forma eficiente e previnida para que os consumidores finais

não sejam prejudicados. O presente trabalho visa validar e desenvolver um modelo para a

análise de tais perturbações. O foco principal desta monografia é estudar as faltas simultâneas,

que apesar de apresentarem menor probabilidade de ocorrência podem ser muito mais

catastróficas que as faltas simples. Para formulação do modelo utiliza-se como base a teoria de

circuitos elétricos lineares e a teoria das componentes simétricas. A sua validação se dá ao

comparar os resultados dos cálculos utilizando o modelo proposto com os resultados de

programas computacionais como o ATPDraw.

Palavras chave: Faltas simultâneas, Análise de faltas, Sistemas elétricos de potência.


iv

Abstract

Faults in electrical power systems are inherent disturbances to the operation of the system and

must be studied in detail so that all the design, project, protection, control and expansion of the

system is done in an efficient and prevented way, so that the final consumers are not harmed .

The present work aims to validate and develop a model for the analysis of such perturbations.

The main focus of this monograph is to study the simultaneous faults, which although they are

less likely to occur can be much more catastrophic than simple faults. For the formulation of

the model, the theory of linear electric circuits and the theory of symmetrical components are

used. Its validation is given by comparing the results of the calculations using the proposed

model with the results of well-established computer programs such as ATPDraw.

Key words: Simultaneous faults,Fault analysis, eletric power systems.


v

Lista de Figuras

Figura 1: Diagrama unifilar do tronco de 765 kV. ................................................................... 24

Figura 2: Sequência de eventos que causou o blacaute de 10/11/2009. ................................... 25

Figura 3: Oscilografia da ocorrência. ....................................................................................... 26

Figura 4: Modelo do gerador síncrono ..................................................................................... 28

Figura 5: Modelo de impedância constante. ............................................................................. 29

Figura 6: Sistema com N barras sob estudo. ............................................................................ 31

Figura 7: Cálculo das variações de tensão em cada barra. ....................................................... 32

Figura 8: Defeito fase-terra na rede .......................................................................................... 36

Figura 9: Conexão das redes de sequência em série para a falta fase-terra .............................. 37

Figura 10: Defeito bifásico à terra na rede. .............................................................................. 38

Figura 11: Conexão das redes de sequência em paralelo para a falta bifásica à terra .............. 38

Figura 12: Conexão das redes de sequência em paralelo para a falta bifásica. ........................ 39

Figura 13: Rede linear de N barras com destaque para a barra de interesse (i). ....................... 40

Figura 14: Representação geral de uma falta shunt na barra (i). .............................................. 41

Figura 15: Circuito elétrico equivalente da fase “a”. ................................................................ 43

Figura 16: Circuito equivalente completo da fase “a”. ............................................................. 43

Figura 17: Circuito equivalente completo (a) da fase “b” e (b) da fase “c” ............................. 44

Figura 18: Circuito Trifásico representativo da falta shunt geral. ............................................ 45

Figura 19: Representação geral de uma falta série entre as barras (i) e (j)............................... 46

Figura 20: Representação do ramo (i) e (j) aberto devido a falta série. ................................... 46

Figura 21: Circuito trifásico representativo da falta série geral.. ............................................. 50

Figura 22: Redes de sequência para análise de uma falta série. ............................................... 51

Figura 23: Rede linear de N barras com destaque para as barras (i) e (j) do sistema. .............. 52


vi

Figura 24: Representação geral de duas falta shunt simultâneas: (a) falta na barra (i); (b) falta

na barra (j). ............................................................................................................................... 53

Figura 25: Circuito elétrico equivalente da fase “a” para a falta analisada. ............................. 56

Figura 26: Circuito trifásico equivalente para a barra (i). ........................................................ 57

Figura 27: Circuito trifásico equivalente para a barra (j). ........................................................ 58

Figura 28: Malha da fase “a” do circuito trifásico em termos da barra (i). .............................. 59

Figura 29: Inclusão das tensões induzidas pelas correntes de falta correspondentes da outra

barra. ......................................................................................................................................... 59

Figura 30: Malha resultante da fase “a” para a barra (i). .......................................................... 60

Figura 31: Redes de sequência para (a) barra (i); (b) barra (j). ................................................ 61

Figura 32: Conexão entre as redes para (a) falta monofásica na fase “a” da barra (i); (b) falta

bifásica entre as fases “b” e “c” da barra (j). ............................................................................ 61

Figura 33: Representação geral de uma falta shunt e outra série simultâneas: (a) falta shunt na

barra (i); (b) falta série entre as barras (j) e (j’) ........................................................................ 62

Figura 34: Representação geral do circuito equivalente para a falta shunt na barra (i)

influenciada pela falta série entre as barras (j) e (j’).. .............................................................. 65

Figura 35: Representação geral do circuito equivalente para a falta série entre as barras (j) e (j’)

influenciada pela falta shunt na barra (i). ................................................................................. 65

Figura 36: Redes de sequência para (a) barra (i); (b) barras (j)-(j’). ........................................ 66

Figura 37: Conexão entre as redes de sequência devido (a) à falta monofásica na fase “a” da

barra (i); (b) falta série na fase “a” entre as barras (j) e (j’). .................................................... 67

Figura 38: Representação geral de duas faltas série simultâneas: (a) falta série entre as barras

(i) e (i’); (b) falta série entre as barras (j) e (j’). ....................................................................... 68

Figura 39: Representação geral do circuito equivalente em termos das barras (i) e (i’) para o

caso de duas faltas série. ........................................................................................................... 71


vii

Figura 40: Representação geral do circuito equivalente em termos das barras (j) e (j’) para o

caso de duas faltas série. ........................................................................................................... 71

Figura 41: Redes de sequência em termos das (a) barras (i) - (i’); (b) barras (j) - (j’).. ........... 72

Figura 42: Conexão entre as redes de sequência devido (a) à falta série na fase “a” entre as

barras (i) e (i’); (b) falta série nas fases “b” e “c” entre as barras (j) e (j’)............................... 73

Figura 43: Circuito em componentes simétricas em relação à barra (i) ................................... 74

Figura 44: Malha da fase “a” do circuito resultante, em coordenadas de fase, em relação à barra

(i) .............................................................................................................................................. 74

Figura 45: Malha da fase “a” do circuito trifásico resultante, em coordenadas de fase, em relação

à barra (i). ................................................................................................................................. 76

Figura 46: Malha da fase “a” do circuito trifásico resultante, em coordenadas de fase, em relação

às barras (k) e (k’).. ................................................................................................................... 76

Figura 47: Sistema teste utilizado para validação. ................................................................... 78

Figura 48: Sistema teste com a barra fictícia 3 inserida para a análise do problema. .............. 79

Figura 49: Circuito elétrico equivalente em coordenadas de fase para a barra 1. .................... 81

Figura 50: Circuito elétrico equivalente em coordenadas de fase para a barra 3. .................... 81

Figura 51: Circuitos elétricos equivalentes em componentes simétricas para (a) barra 1; (b)

barra 2. .................................................................................................................................. 5982

Figura 52: Circuito equivalente para falta monofásica na fase “a” da barra 1 ......................... 83

Figura 53: Circuito equivalente para falta bifásica entre as fases “b” e “c” na barra 3 ............ 84

Figura 54: Conexão das redes de sequência para as barras 1 e 3 ............................................. 85

Figura 55: Circuito equivalente para falta monofásica na fase “a” da barra 1 ......................... 86

Figura 56: Circuito equivalente para falta monofásica na fase “c” da barra 3 ......................... 86

Figura 57: Circuitos equivalentes para as barras 1 e 3 ............................................................. 87


viii

Figura 58: Circuitos equivalentes com as devidas transformações .......................................... 88

Figura 59: Circuito equivalente para falta monofásica na barra 1. ........................................... 90

Figura 60: Circuito equivalente para falta trifásica à terra na barra 3. ..................................... 90

Figura 61: Circuitos equivalentes para as barras 1 e 3. ............................................................ 91

Figura 62: Circuito equivalente para falta monofásica na barra 1. ........................................... 93

Figura 63: Circuito equivalente para falta trifásica sem contato com a terra na barra 3. ......... 94

Figura 64: Circuitos equivalentes paras as barras 1 e 3. ........................................................... 95

Figura 65: Local da falta série no sistema teste. ....................................................................... 96

Figura 66: Forma geral do circuito em coordenadas de fase entre as barras 3 e 4. .................. 98

Figura 67: Forma geral do circuito em coordenadas de fase da barra 4. .................................. 98

Figura 68: Forma geral dos circuitos em componentes simétricas para (a) barras 3-4; (b) barra

4. ............................................................................................................................................... 99

Figura 69: Circuito elétrico equivalente para abertura da fase “a” entre as barras 3 e 4 . ........ 99

Figura 70: Circuito elétrico equivalente para falta shunt na fase “a” da barra 4. ................... 100

Figura 71: Circuitos equivalentes em componentes simétricas .............................................. 101

Figura 72: Sistema teste com a adição das barras fictícias para simulação da falta série-série

................................................................................................................................................ 103

Figura 73: Forma geral do circuito em coordenadas de fase entre as barras 3 e 5 ................. 105

Figura 74: Forma geral do circuito em coordenadas de fase entre as barras 4 e 6 ................. 105

Figura 75: Forma geral dos circuitos em componentes simétricas para (a) barras 3-5; (b) barras

4-6 ........................................................................................................................................... 106

Figura 76: Circuito elétrico equivalente entre as barras 3 e 5 ................................................ 106

Figura 77: Circuito elétrico equivalente entre as barras 4 e 6 ................................................ 107

Figura 78: Circuitos equivalentes em componentes simétricas .............................................. 108

Figura 79: Simulação de três faltas shunt em fases diferentes no sistema teste ..................... 110


ix

Figura 80: Malha da fase “a” para a barra 1 ........................................................................... 112

Figura 81: Malha da fase “b” para a barra 2 ........................................................................... 112

Figura 82: Malha da fase “c” para a barra 3 ........................................................................... 112

Figura 83: Circuito resultante em componentes simétricas “visto” pela barra 1.................... 115




x

Lista de Tabelas

Tabela 1: Dados do sistema teste. ............................................................................................. 78

Tabela 2: Falta monofásica na fase “a” da barra 1 e Falta bifásica entre as fases “b” e “c” da

barra 3. .................................................................................................................................... 117

Tabela 3: Falta monofásica na fase “a” da barra 1 e Falta monofásica na fase “c” da barra 3.

................................................................................................................................................ 117

Tabela 4: Falta monofásica na fase “a” da barra 1 e Falta trifásica à terra. ........................... 117

Tabela 5: Falta monofásica na fase “a” da barra 1 e Falta trifásica sem contato com a terra na

barra 3 ..................................................................................................................................... 118

Tabela 6: Abertura da fase “a” entre as barras 3 e 4, e Falta monofásica na fase “a” da barra 4

................................................................................................................................................ 118

Tabela 7: Abertura da fase “a” entre as barras 3 e 5, e Abertura das fases “b” e “c” entre as

barras 4 e 6. ............................................................................................................................. 118

Tabela 8: Falta monofásica nas fases “a”, “b” e “c” das barras 1,2 e 3, respectivamente. ..... 119

Tabela 9: Falta monofásica na fase “a” da barra 1 e Falta bifásica entre as fases “b” e “c” da

barra 3. .................................................................................................................................... 119


................................................................................................................................................ 119

Tabela 11: Falta monofásica na fase “a” da barra 1 e Falta trifásica à terra na barra 3. ........ 120

Tabela 12: Falta monofásica na fase “a” da barra 1 e Falta trifásica sem contato com a terra na

barra 3. .................................................................................................................................... 120

Tabela 13: Abertura da fase “a” entre as barras 3 e 4, e Falta monofásica na fase “a” da barra4.

................................................................................................................................................ 120

Tabela 14: Abertura da fase “a” entre as barras 3 e5, e Abertura das fases “b” e c” entre as barras

4 e 6 ........................................................................................................................................ 121


xi

Tabela 15: Falta monofásica nas fases “a”, “b” e “c” das barras 1,2 e3, respectivamente. .... 121


xii

Lista de Abreviaturas e Siglas SEP's Sistemas elétricos de potência

SIN Sistema Interligado Nacional ONS Operador Nacional do Sistema

CCF's Cross country faults

CFE Comisíon Federal de Electricidad

LI Linearmente Independentes

PS Princípio da Superposição


xiii

Lista de Símbolos

Pi Injeção de potência ativa na barra (i).

Qi Injeção de potência reativa na barra (i).

Ii Injeção de corrente na barra (i).

Vi Tensão da barra (i) com relação a referência.

Yii Admitância própria da barra (i).

Zii Impedância própria da barra (i).

Yij Admitância de transferência entre a barra (i) e a barra (j).

Zij Impedância de transferência entre a barra (i) e a barra (j).

[Z] Matriz de impedância nodal.

[Y] Matriz de adimitância nodal.

[I] Vetor de injeção de correntes nas barras.

[V] Vetor de tensões das barras em relação a referência.

[V 0] Vetor de tensão das barras antes da ocorrência da falta.

[V f] Vetor de tensão das barras depois da ocorrência da falta.

[∆V] Vetor de variação de tensão nas barras.

Vq f

Tensão pós-falta na barra (q).

Icc Corrente de curto circuito.

Zf Impedância de falta.

VA Tensão da fase A do sistema em relação ao neutro.

VB Tensão da fase B do sistema em relação ao neutro.

VC Tensão da fase C do sistema em relação ao neutro.


xiv

IA Corrente da fase A do sistema.

IB Corrente da fase B do sistema.

IC Corrente da fase C do sistema

VA0 Tensão da fase A do sistema de sequência zero.

VB0 Tensão da fase B do sistema de sequência zero.

VC0 Tensão da fase C do sistema de sequência zero.

VA1 Tensão da fase A do sistema de sequência positiva.

VB1 Tensão da fase B do sistema de sequência positiva.

VC1 Tensão da fase C do sistema de sequência positiva.

VA2 Tensão da fase A do sistema de sequência negativa.

VB2 Tensão da fase B do sistema de sequência negativa.

VC2 Tensão da fase C do sistema de sequência negativa.

a Operador fasorial.

Z00 Impedância equivalente do circuito de sequência zero.

Z11 Impedância equivalente do circuito de sequência positiva.

Z22 Impedância equivalente do circuito de sequência negativa.

VTh Tensão de Thévenin (ou tensão pré-falta) no terminal da falta em relação ao neutro.

Zii0 Impedância própria (ou de Thévenin) de sequência zero da barra (i).

Zii1 Impedância própria (ou de Thévenin) de sequência positiva da barra (i).

Zii2 Impedância própria (ou de Thévenin) de sequência negativa da barra (i).

Zaf Impedância de falta da fase "a".


xv

Zbf Impedância de falta da fase "b".

Zcf Impedância de falta da fase "c".

Zgf Impedância de falta do neutro.

Va0 Tensão pós-falta da fase "a" de sequência zero no terminal da falta.

Va1 Tensão pós-falta da fase "a" de sequência positiva no terminal da falta.

Va2 Tensão pós-falta da fase "a" de sequência negativa no terminal da falta.

Ia0 Corrente pós-falta da fase "a" de sequência zero.

Ia1 Corrente pós-falta da fase "a" de sequência zero.

Ia2 Corrente pós-falta da fase "a" de sequência negativa.

In Corrente do neutro.

Ziin Impedância equivalente do neutro .

Ia Corrente pós-falta da fase "a".

Ib Corrente pós-falta da fase "b".

Ic Corrente pós-falta da fase "c".

In Corrente do neutro.

Va Tensão pós-falta da fase "a" no terminal da falta.

Vb Tensão pós-falta da fase 'b" no terminal da falta.

Vc Tensão pós-falta da fase "c" no terminal da falta.

Vb0 Tensão pós-falta da fase "b" de sequência zero no terminal da falta.

Vb1 Tensão pós-falta da fase "b" de sequência positiva no terminal da falta.

Vb2 Tensão pós-falta da fase "b" de sequência negativa no terminal da falta.

Ib0 Corrente pós-falta da fase "b" de sequência zero.


xvi

Ib1 Corrente pós-falta da fase "b" de sequência positiva.

Ib2 Corrente pós-falta da fase "b" de sequência negativa.

∆Ii Variação de corrente na barra (i) devido à falta.

∆Ij Variação de corrente na barra (j) devido à falta.

∆Vi Variação de tensão na barra (i) devido à falta.

∆Vj Variação de tensão na barra (j) devido à falta.

Zii Impedância própria (ou de Thévenin) da barra (i).

Zjj Impedância própria (ou de Thévenin) da barra (j).

Zij Impedância mútua entre as barras (i) e (j)

Zij Impedância mútua entre as barras (i) e (j).

Zji Impedância mútua entre as barras (j) e (i).

Vij Tensão pós-falta entre as barras (i) e (j).

Vij0 Tensão pré-falta entre as barras (i) e (j).

∆Vij Variação de tensão devido à falta entre as barras (i) e (j).

Vij0 Tensão pós-falta de sequência zero entre as barras (i) e (j).

Vij1 Tensão pós-falta de sequência positiva entre as barras (i) e (j).

Vij2 Tensão pós-falta de sequência negativa entre as barras (i) e (j).

∆Ii0 Variação de corrente de sequência zero na barra (i) devido à falta.

∆Ii1 Variação de corrente de sequência positiva na barra (i) devido à falta.

∆Ii2 Variação de corrente de sequência negativa na barra (i) devido à falta.

Zij0Th

Impedância de Thévenin de sequência zero entre as barras (i) e (j).

Zij1Th

Impedância de Thévenin de sequência positiva entre as barras (i) e (j).


xvii

ZijTh

Impedância de Thévenin entre as barras (i) e (j).

∆Iin Variação da corrente do neutro devido à falta.

ZijnTh

Impedância equivalente do neutro entre as barras (i) e (j).

Vi0 Tensão pré-falta na barra (i).

Vj0 Tensão pré-falta na barra (j).

Vi Tensão pós-falta na barra (i).

Vj Tensão pós-falta na barra (j).

Vi0 Tensão pós-falta de sequência zero da barra (i).

Vi00

Tensão pré-falta de sequência zero da barra (i).

Vi10

Tensão pré-falta de sequência positiva da barra (i).

Vi20

Tensão pré-falta de sequência negativa da barra (i).

∆Ij0 Variação de corrente de sequência zero na barra (j) devido à falta.

∆Ij1 Variação de corrente de sequência positiva na barra (j) devido à falta.

∆Ij2 Variação de corrente de sequência negativa na barra (j) devido à falta.

Zii0 Impedância própria (ou de Thévenin) de sequência zero própria da barra (i).

Zii1 Impedância própria (ou de Thévenin) de sequência positiva própria da barra (i).

Zii2 Impedância própria (ou de Thévenin) de sequência negativa própria da barra (i)..

Zij0 Impedância mútua de sequência zero entre as barras (i) e (j).

Zij1 Impedância mútua de sequência positiva entre as barras (i) e (j).

Zij2 Impedância mútua de sequência negativa entre as barras (i) e (j).

Vj0 Tensão pós-falta de sequência zero da barra (j) devido à falta.

Vj1 Tensão pós-falta de sequência positiva da barra (j) devido à falta.


xviii

Vj2 Tensão pós-falta de sequência negativa da barra (j) devido à falta.

Vj00

Tensão pré-falta de sequência zero da barra (j) devido à falta.

Vj10

Tensão pré-falta de sequência positiva da barra (j) devido à falta.

Vj20

Tensão pré-falta de sequência negativa da barra (j) devido à falta.

Zijm

Impedância mútua resultante da falta shunt-série entre as barras (i), (j) e (j').

ZijM

Impedância mútua resultante da falta série-série entre as barras (i), (i'), (j) e (j').

VThi Tensão pré-falta da barra (i).

Za(i)

f Impedância de falta da fase "a" da barra (i).

Zg(i)

f Impedância de falta do neutro da barra (i).

Va(i) Tensão pós-falta da fase "a" na barra (i).

VTha(i) Tensão pré-falta da fase "a" na barra (i).

Ia(i) Corrente pós-falta da fase "a" na barra (i).

In(i) Corrente pós-falta da fase "a" na barra (i).

Za(jj')

f Impedância de falta da fase "a" entre as barras (j) e (j').


xix

Sumário

1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 21

1.1 Objetivo e Visão Geral ........................................................................................... 21

1.2 Motivação e relevância do tema ............................................................................ 22

1.3 Estrutura ................................................................................................................. 26

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ................................................................................. 28

2.1 Equação nodal e matriz de impedância nodal. .................................................... 28

2.2 Análise de faltas trifásicas pelo método da matriz de impedância nodal. ......... 30

2.3 Componentes simétricas e análise de faltas desequilibradas .............................. 34

2.3.1 Estudo da falta fase-terra .......................................................................................... 36

2.3.2 Estudo da falta bifásica à terra e bifásica ................................................................. 37

3 DEDUÇÃO DO MODELO PROPOSTO ..................................................................... 40

3.1 Faltas Simples ......................................................................................................... 40

3.1.1 Falta Shunt ................................................................................................................ 40

3.1.2 Falta Série ................................................................................................................. 45

3.2 Duas faltas simultâneas .......................................................................................... 51

3.2.1 Faltas shunt-shunt ..................................................................................................... 52

3.2.2 Falta shunt-série ........................................................................................................ 62

3.2.3 Falta série-série ......................................................................................................... 67

3.3 N faltas simultâneas ................................................................................................ 73

4 VALIDAÇÃO DOS MODELOS ................................................................................... 78

4.1 Aplicação dos modelos para faltas simultâneas shunt-shunt. ............................ 78

4.1.1 CASO 1: Falta monofásica na fase “a” ocorrendo na barra 1 e falta bifásica entre as

fases “b” e “c” da barra 3...................................................................................................... 82

4.1.1.1 Circuito em coordenadas de fase ...................................................................... 82

4.1.1.2 Circuito em componentes simétricas ................................................................ 84

4.1.2 CASO 2: Falta monofásica na fase “a” ocorrendo na barra 1 e falta monofásica na

fase “c” ocorrendo na barra 3. .............................................................................................. 85



4.1.3 CASO 3: Falta monofásica na fase “a” ocorrendo na barra 1 e falta trifásica à terra

na barra 3 .............................................................................................................................. 90

4.1.3.1 Circuito em coordendas de fase ........................................................................ 90



xx

4.1.4 CASO 4: Falta monofásica na fase “a” ocorrendo na barra 1 e falta trifásica sem

contato com a terra na barra 3 .............................................................................................. 93



4.2 Aplicação dos modelos para análise de faltas simultâneas shunt-série. ............ 96

4.2.1 CASO 5: Abertura da fase “a” entre as barras 3 e 4 e falta shunt monofásica na fase

“a” ocorrendo na barra 4. ...................................................................................................... 99


4.2.1.2 Circuito em componentes simétricas .............................................................. 101

4.3 Aplicação dos modelos para análise de faltas simultâneas série-série. ............ 103

4.3.1 CASO 6: Abertura da fase “a” entre as barras 3 e 5, e abertura das fases “b” e “c”

entre as barras 4 e 6. ........................................................................................................... 106

4.3.1.1 Circuito em coordenadas de fase .................................................................... 106


4.4 Aplicação dos modelos para análise de 3 faltas simultâneas ............................ 109

4.4.1 CASO 7: Faltas shunts nas fases “a”, “b” e “c” das barras 1,2 e 3, respectivamente

109

4.4.1.1 Circuito em coordenadas de fase .................................................................... 111


4.5 Comparação dos resultados ................................................................................. 116

5 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 122

REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 123


21

1 Introdução

1.1 Objetivo e Visão Geral

Eventos num sistema elétrico de potência (SEP) como curto-circuito e abertura de fase

são conhecidos como faltas. O curto-circuito, também conhecido como falta shunt, consiste em

um contato direto ou indireto entre condutores sob potenciais diferentes. Problemas de isolação,

ações do vento, descargas atmosféricas e sobretensão no sistema são alguns dos motivos que

causam esses defeitos [1]. Enquanto a abertura de fase, também denominada falta série, é

caracterizada por qualquer problema que interrompa a corrente em uma ou mais fases da rede

elétrica. Pode ocorrer, por exemplo, devido ao rompimento do condutor, abertura de fusíveis

ou qualquer outro dispositivo que não abra as três fases simultaneamente [2].

Atualmente, os modelos de circuito elétrico utilizados para a análise desses eventos

dependem do fato deles ocorrerem de forma isolada ou simultânea. Quando o problema ocorre

de forma isolada, o modelo é o mais simples possível e sua solução é fácil de ser obtida. Além

disso, várias referências abordam essa questão como [1,2,3,4,5]. Porém, quando ocorre de

forma simultânea, o problema se torna mais complexo, sendo conhecidas poucas referências

que tratam de tal assunto [3,4,5].

O presente trabalho tem como objetivo validar dois novos modelos para a análise de

faltas simultâneas, apresentando-os como uma forma alternativa para encarar o problema. O

desenvolvimento desses modelos tem como base a teoria de análise de circuitos elétricos e o

método das componentes simétricas.

A análise de tais distúrbios deve ser efetuada, por exemplo, com um estudo de curto

circuito em um SEP, que tem a finalidade de obter o dimensionamento adequado dos sistemas

de proteção para evitar que tais eventos gerem danos ao sistema.

Sobre a metodologia utilizada para validar os modelos, essa será baseada em simulações

computacionais que guiam os autores para comparar os resultados obtidos através do modelo

proposto com aqueles obtidos através de simulação computacional.

A ideia geral de um dos modelos é preservar o sentido físico das grandezas elétricas do

SEP, enquanto a do outro é de expandir os modelos já utilizados tradicionalmente para resolver

faltas simples, isto é, uma única falta. Ao longo do trabalho, ficará evidente para o leitor as

semelhanças entre os modelos utilizados para analisar faltas simples e faltas simultâneas, o que

mostrará que os circuitos analíticos usados para estudar as faltas simultâneas são na verdade

uma expansão dos modelos já conhecidos.


22

1.2 Motivação e relevância do tema

A proteção e projeto dos SEP’s é um tópico muito importante para os Engenheiros

Eletricistas que atuam de forma direta ou indireta no sistema interligado nacional (SIN), nos

sistemas elétricos industrias etc. O projeto destes sistemas deve ser feito com muito critério e

cuidado a fim de garantir a segurança dos próprios elementos componentes como os:

transformadores, geradores, linhas de transmissão, barramentos, disjuntores, bancos de

capacitor, reatores etc.

Todos esses elementos apresentam alto custo de investimento e geralmente demoram

para serem fabricados, inviabilizando sua substituição de forma rápida. Além dos elementos

que compõe o sistema. a segurança das pessoas que trabalham diretamente com esses

equipamentos também deve ser planejada para evitar danos à equipe de operadores, técnicos

etc. Para isso, deve-se estudar como a operação do sistema elétrico é afetada frente às diversas

perturbações inerentes ao seu funcionamento.

Nesse contexto, uma das perturbações mais amplamente estudadas são conhecidas

como: faltas. curtos circuitos ou ainda, defeitos. Esses eventos são classificados em dois grandes

tipos, faltas shunt e faltas série. As faltas shunt são eventos caracterizados pelo contato entre

fases energizadas, ou o contato das fases energizadas com estruturas aterradas. Essas faltas

podem ser causadas por diversos motivos sendo os principais: falhas na isolação, material

empregado de má qualidade, envelhecimento dos isoladores, problemas na fabricação,

problemas mecânicos, isto é, a ação dos ventos, neve, árvores etc; problemas de natureza

eletromagnética, que são as descargas atmosféricas diretas ou indiretas, surtos de manobra, e

sobretensões no sistema.

Nas manutenções aplicadas ao sistema também podem surgir situações que causam o

aparecimento de faltas como por exemplo: pessoal não treinado ou qualificado, peças de

reposição inadequadas etc. De acordo com [1], a parte do sistema que está mais exposta às faltas

shunt são as linhas de transmissão aéreas que absorvem cerca de 90% de ocorrência dessas

perturbações.

As faltas série são entendidas como a adição não intencional de uma impedância em

série com o circuito. Um caso particular, porém de muita importância é a abertura de uma ou

duas fases do sistema. A causa desses eventos pode ser a aplicação de acionamento monopolar

nos disjuntores, podendo haver a falha do mecanismo de abertura de uma das fases, ficando

dessa forma apenas uma fase fechada e as outras duas abertas, ou ainda, o desligamento


23

monopolar utilizado em linhas de transmissão para melhorar questões relacionadas a

estabilidade dos sistemas elétricos.

De uma forma geral os estudos de curto circuito visam a definição das correntes de curto

em diferentes pontos nos sistemas elétricos. Isso é necessário para que se especifique

disjuntores, ou seja, definir as capacidades de interrupção dos mesmos, efetuar a coordenação

da proteção, dimensionar as suportabilidades de elevação de temperatura dos diversos

componentes como os condutores das linhas de transmissão, transformadores, barramentos e

ainda dimensionar os transformadores de corrente que serão usados para levar os sinais de

corrente dos sistemas de potência para os equipamentos de proteção.

A principal causa das faltas simultâneas são sobretensões produzidas por descargas

atmosféricas. Por exemplo, quando uma descarga atmosférica atinge o sistema de transmissão,

a solicitação de tensão sobre a cadeia de isoladores pode se tornar grande o suficiente para

romper o dielétrico do ar, causando o aparecimento de um arco elétrico, que estabelece contato

elétrico entre um condutor energizado e a torre de transmissão, o que caracteriza um curto-

circuito.

Nessa situação, a falta que surge, em um primeiro momento, tem a tendência de se

apresentar em apenas uma das fases. Um curto-circuito desse tipo eleva o potencial das fases

sãs, o que contribui para a evolução do curto-circuito em um outro isolador. E nesse cenário,

uma falta monofásica causada pela descarga atmosférica, por exemplo, evolui para faltas

simultâneas no sistema, que é foco de estudo deste trabalho [6].

Além disso, o crescimento dos SEP’s, que exigiu uma expansão tecnicamente e

economicamente viável, contribuiu para o aumento da ocorrência de faltas simultâneas. Linhas

de transmissão com circuito duplo passaram a ser largamente construídas a fim de se

economizar com a compra de terreno para construção de torres e aumentar a sua capacidade de

transmissão. Porém, com a aplicação dessas novas estruturas, surgiram novos problemas.

Linhas desse tipo apresentam maior incidência de faltas simultâneas, faltas entre circuitos ou

ainda faltas no mesmo circuito.

De acordo com [7], quando essas faltas simultâneas são defeitos tipo shunt e que

ocorrem em diferentes localidades são chamadas faltas cross-country ou simplesmente pela

abreviatura do inglês CCF’s (cross-country faults). São defeitos específicos, mas que devem

ser estudados com cuidado para que os sistemas de proteção não atuem de forma indevida ou

deixem de atuar [8,9].


24

Um exemplo típico, a fim de motivar os estudos dessas faltas, é na proteção de

alimentadores radiais, que tipicamente aplicam em seus esquemas de coordenação e

seletividade elementos de sobrecorrente instantâneos e temporizados. Esse tipo de problema foi

relatado pela CFE (Comisíon Federal de Electricidad), uma empresa pública mexicana

responsável pela geração, transmissão e venda de energia elétrica no país [10].

O problema apresentado é que o disjuntor da média tensão do transformador de força

das subestações de distribuição pode abrir de forma indevida para faltas simultâneas nos

alimentadores a jusante, devido aos altos níveis de corrente causados no enrolamento de média

tensão do transformador, a ponto de causar descoordenação da proteção, e expor alimentadores

sadios a desligamentos indevidos [10].

Um outro exemplo da ocorrência de faltas simultâneas, que foi extremamente danoso

ao Sistema Interligado Nacional (SIN), foi no tronco de 765 kV de Itaipu. Para explicar essa

ocorrência, considere o diagrama unifilar do sistema na Figura 1, que representa o sistema de

transmissão em corrente alternada da usina de Itaipu para a região sudeste do Brasil – Itaipu é

maior usina hidrelétrica do Brasil com capacidade instalada de 14.000 MW.

Figura 1: Diagrama unifilar do tronco de 765 kV. Fonte: Relatório de análise de perturbação, ONS.

No dia 10 de novembro de 2009, às 22h13min as condições climáticas eram adversas, e

as intensas descargas atmosféricas causaram falha de isoladores na linha no trecho de Ivaiporã

(PR) e Itaberá (SP). Os registros presentes em oscilógrafos mostram que houve um curto

circuito no trecho citado, e logo em seguida ocorreram outros dois curtos circuitos monofásicos.

Este fato levou o sistema a operar durante aproximadamente 31 ms, com três faltas monofásicas

simultâneas. A Figura 2 ilustra um sumário dos eventos registrados durante esta ocorrência.


25

Figura 2: Sequência de eventos que causou o blacaute de 10/11/2009. Fonte: Relatório de análise de perturbação,

ONS.

Conforme indicado na Figura 2, a abertura do primeiro circuito só aconteceu após 31

ms depois do sistema ter sido acometido pela terceira falta, indicando que durante este intervalo

os dispositivos que efetuavam a proteção nas barras enxergaram tensões típicas de defeitos

trifásicos. Através da Figura 3, pode-se observar as oscilografias registradas e perceber a

abertura disjuntor do Circuito 1 (C1, conforme indicado na Figura 1), bem como a abertura do

disjuntor do Circuito 2 (C2, também indicado na Figura 1), seguido da abertura de todos os

disjuntores da barra de Ivaiporã.

Perceba na oscilografia, trecho assinalado em verde, que no começo do evento os perfis

de tensão são característicos de faltas monofásicas, isto é, aproximação das ondas de tensão e,

no caso das linhas de transmissão de extra alta tensão, que são alimentadas por transformadores

estrela com neutro solidamente aterrado, um pequeno aumento nas tensões sadias é esperado.

No trecho assinalado em laranja as três faltas já estão estabelecidas e o perfil de tensão é

característico de uma falta trifásica. As setas em vermelho apontam para as correntes de falta

nas fases B,A e C respectivamente.

Esse evento teve duração de cerca de 105 ms, conforme Figura 2, e foi responsável por

um blecaute que durou 222 minutos em alguns estados e 40 minutos em outros, provocou

abertura de outros diversos circuitos interrompendo o suprimento de 62% de energia nas regiões

Sudeste e Centro-Oeste, totalizando 23.335 MW de perda de carga [11].


26

Figura 3: Oscilografia da ocorrência. Fonte: Relatório de análise de perturbação, ONS.

É inevitável para os Engenheiros de Proteção analisarem as tensões e correntes em todos

pontos do sistema a ser protegido no instante de ocorrência de uma falta, por isso as faltas

simultâneas são preocupações especiais devido à dificuldade encontrada no seu cálculo

analítico. O modelo apresentando neste trabalho resolve essa questão, apresentando um circuito

elétrico equivalente, cuja solução é fácil de ser obtida.

1.3 Estrutura

O presente trabalho se apresenta dividido em cincos capítulos principais, de modo que

o primeiro capítulo busca descrever o objetivo, a motivação e a relevância do tema proposto,

trazendo exemplos de casos reais.

O capítulo 2 se trata de uma fundamentação teórica, essa fundamentação teórica sustenta

toda a dedução do modelo, bem como expõe para os leitores quais disciplinas e assuntos se

fazem necessários conhecer para compreender a monografia. Nesse capítulo são lembrados

temas que podem não aparecer de forma direta no modelo, mas são de suma importância para

compreendê-lo.

O capítulo 3 expõe uma dedução matemática detalhada do modelo, analisando cada

passo da formulação e apresentando diversas imagens ilustrativas dos circuitos que serão

propostos para análise de faltas simultâneas.


27

O capítulo 4 visa validar o modelo proposto através da comparação direta dos resultados

obtidos via simulação computacional utilizando o software ATPDraw, com os resultados

obtidos utilizando-se da metodologia de solução proposta.

O capítulo 5 apresenta a conclusão e sugestões para trabalhos futuros.

Por fim, o último capítulo consiste nas referências bibliográficas utilizadas para

subsidiar este trabalho.


28

2 Fundamentação teórica

2.1 Equação nodal e matriz de impedância nodal.

A rede que representa os sistemas elétricos de potência é composta por diversos

elementos componentes que são modelados matematicamente por um conjunto de equações

lineares. Os principais elementos componentes a serem considerados na análise de sistemas

elétricos de potência são os seguintes:

• Geradores síncronos;

• Transformadores;

• Linhas de transmissão;

• Reatores;

• Bancos de capacitores.

• Cargas

Os componentes ativos do sistema, aqueles que injetam potência na rede são os

geradores, que em regime permanente podem ser representados por uma injeção de potência

ativa e reativa em uma barra de tensão ��𝑖 medida em relação a referência, conforme Figura 4

onde 𝑃𝑖 e 𝑄𝑖 são as potências injetadas.

Figura 4: Modelo do gerador síncrono.

Os transformadores, linhas de transmissão, reatores, bancos de capacitores podem ser

representados por elementos passivos de impedância constante conforme imagem, onde ��𝑖𝑗

representa a impedância do elemento entre as barras i e j.

O modelo do componente pode apresentar uma única impedância entre duas barras de

potenciais diferentes conforme a Figura 5 ou pode ser formado por um conjunto de

impedâncias, como por exemplo as linhas de transmissão, que para os estudos de fluxo de carga


29

apresentam uma impedância conectada ao potencial de referência para modelar as capacitâncias

da linha.

Conectando vários elementos a um mesmo ponto, sempre pode-se reduzir esse conjunto

de elementos a uma injeção de corrente equivalente de todos os geradores na barra, uma retirada

de corrente das cargas e um conjunto de impedâncias que interligam essa barra as demais, essas

impedâncias que representam as linhas de transmissão, os transformadores etc. Dessa forma

sem perda de generalidade, pode-se equacionar, para uma barra i qualquer

Figura 5: Modelo de impedância constante.

∑𝐼 = 0 (1)

−𝐼�� +��𝑖 − ��𝑗

��𝑖𝑗

+��𝑖 − ��𝑘

��𝑖𝑘

+ ⋯+��𝑖 − ��𝑁

��𝑖𝑁

= 0 (2)

A equação 2, pode ser rearranjada da seguinte forma

𝐼�� = (1

��𝑖𝑗

+1

��𝑖𝑘

+ ⋯+1

��𝑖𝑁

) ∙ ��𝑖 + (−1

��𝑖𝑗

) ∙ ��𝑗 + (−1

��𝑖𝑘

) ∙ ��𝑘 + ⋯+ (−1

��𝑖𝑁

) ∙ ��𝑁 (3)

Definindo a admitância própria da barra i como

��𝑖𝑖 = (1

��𝑖𝑗

+1

��𝑖𝑘

+ ⋯+1

��𝑖𝑁

) (4)

e as admitâncias mútuas entre a barra i e a barra j como

��𝑖𝑗 = −1

��𝑖𝑗

(5)

pode-se expresser a injeção de corrente na barra i de forma genérica como

𝐼�� = ∑ ��𝑘𝑛

𝑁

𝑛=1

∙ ��𝑛 (6)

Calculando-se a injeção de corrente para cada barra do sistema, tem-se

𝐼1 = ∑ ��𝑘𝑛

𝑁

𝑛=1

∙ ��𝑛 (7)


30

𝐼2 = ∑ ��𝑘𝑛

𝑁

𝑛=1

∙ ��𝑛 (8)

⋮

𝐼�� = ∑ ��𝑘𝑛

𝑁

𝑛=1

∙ ��𝑛 (9)

Que pode ser escrito na forma matricial como

[ 𝐼1𝐼2⋮𝐼��]

=

[ ��11 ��12 ⋯ ��1𝑁

��21 ��22 ⋯ ��2𝑁

⋮ ⋮ ⋱ ⋮��𝑁1 ��𝑁2 ⋯ ��𝑁𝑁]

∙

[ ��1

��2

⋮��𝑁]

(10)

De forma mais sucinta vem

[𝐼] = [��] ∙ [��] (11)

Sendo que [𝐼] representa o vetor de injeção de corrente nas barras, [��] representa o vetor

de tensões, todas elas medidas em relação a barra de referência. Daí obtemos a matriz de

admitância nodal, que é uma matriz de ordem NxN, sendo N o número de barras do sistema.

Essa matriz caracteriza o sistema em uma dada configuração de operação da rede. Através da

inversão completa da matriz de admitância nodal pode-se obter a matriz [��], que é dada por

[��] = [��]−1 =

[ ��11 ��12 ⋯ ��1𝑁

��22 ��22 ⋯ ��2𝑁

⋮ ⋮ ⋱ ⋮��𝑁1 ��𝑁2 ⋯ ��𝑁𝑁]

(12)

Sendo que as impedâncias que compõe essa matriz são chamadas da mesma forma que

as da matriz admitância, isto é, as impedâncias próprias são aquelas que estão na diagonal

principal e fora da diagonal principal estão as impedâncias mútuas ou de transferência [2].

2.2 Análise de faltas trifásicas pelo método da matriz de impedância nodal.

Para a análise de faltas utilizando o método da matriz [��], deve-se fazer algumas

simplificações iniciais, que são elas:

• Inicialmente o sistema está operando de forma equilibrada.

• Os geradores no momento pós-falta são modelados através do chamado modelo

clássico, isto é, fonte de tensão atrás de impedância.

• Anteriormente à análise do defeito, um estudo de fluxo de carga deve ter sido

executado, ou seja, deve-se conhecer as tensões em todos os barramentos do


31

sistema antes da falta. Ou ainda, pode-se desconsiderar as condições pré-falta

colocando todas as barras em uma mesma tensão.

• As cargas podem ser incorporadas na matriz aplicando-se o modelo de

impedância constante.

A formulação do problema que será resolvido pode ser exposta como segue: O sistema

sob estudo tem N barras. Devido à ocorrência de uma falta trifásica na barra “q”, pretende-se

determinar a corrente de curto circuito devido a essa falta. Como o sistema opera equilibrado e

a falta também é equilibrada uma representação monofásica basta para analisar tal sistema,

como ilustra a Figura 6.

Figura 6: Sistema com N barras sob estudo.

Agora usando o teorema da superposição as tensões pós falta do sistema [�� 𝑓], podem

ser calculadas por

[�� 𝑓] = [��

0] + [∆��] (13)

Sendo [�� 0] o vetor de tensões em todas as barras do Sistema antes da ocorrência da falta

e [∆��] o vetor de variação de tensão devido a falta, que pode ser escrito matricialmente como

[∆��] =

[ ∆𝑉1

∆��2

⋮∆��𝑞

⋮∆��𝑁]

(14)


32

Considerando a rede linear, pode-se calcular as variações de tensão aplicando-se o

princípio da superposição, o que permite colocar todas as outras fontes do sistema em repouso

e aplicar uma fonte de tensão que injeta uma corrente (corrente de defeito) para a barra de

referência, conforme ilustra Figura 7.

Figura 7: Cálculo das variações de tensão em cada barra.

Nessa condição a equação nodal introduzida no capítulo anterior continua valendo e

pode-se escrever

[∆��] = [��] ∙ [∆𝐼] (15)

Portanto, para o defeito em questão pode-se calcular o vetor de tensões pós falta

substituindo a equação 15 na equação 13, assim obtem-se

[�� 𝑓] = [��

0] + [��] ∙ [∆𝐼] (16)

O vetor [∆𝐼], representa as injeções de corrente que acontecem em todas as barras na

condição descrita na Figura 6. Porém para obtenção do circuito da Figura 7, utilizando o

teorema da superposição, assumiu-se que todas as demais fontes do sistema foram colocadas

em repouso e aplicou-se uma fonte de tensão com valor igual, mas de polaridade oposta, à

tensão pré-falta na barra “q”, cujo valor era ��𝑞 0. Para essa rede pode-se escrever o vetor de

injeção de correntes como segue

[∆𝐼] =

[

00⋮

−𝐼��𝑐⋮0 ]

(17)


33

Note que a corrente de curto circuito entra com sinal negativo no vetor de injeções, pois

na verdade a corrente de curto não está sendo injetada na rede e sim retirada da rede para a barra

de referência.

Portanto, a equação (15) pode ser reescrita na sua forma matricial para o cálculo

individual de cada variação de tensão nas barras do sistema como

[ ∆𝑉1

⋮∆��𝑞

⋮∆��𝑁]

=

[ ��11 ⋯ ��1𝑞 ⋯ ��1𝑁

⋮ ⋱ ⋯ ⋯ ⋮��𝑞1 ⋯ ��𝑞𝑞 ⋯ ��𝑞𝑛

⋮ ⋯ ⋯ ⋱ ⋮��𝑁1 ⋯ ��𝑁𝑞 ⋯ ��𝑁𝑁]

∙

[

0⋮

−𝐼��𝑐⋮0 ]

(18)

Através da equação (18) pode-se notar que as variações de tensões em todas as barras

calculadas pela matriz [��], só terão um termo não nulo, e pode-se escrever o vetor de variações

de tensão como segue

[ ∆𝑉1

⋮∆��𝑞⋮

∆��𝑁]

=

[ −��1𝑞 ∙ 𝐼��𝑐

⋮−��𝑞𝑞 ∙ 𝐼��𝑐

⋮−��𝑁𝑞 ∙ 𝐼��𝑐]

(19)

Note que apenas os elementos da coluna “q” influenciam nas variações de tensão devido

à falta. E para o cálculo da tensão pós-falta na barra “q”, analisando a Figura 5 pode-se escrever

��𝑞 𝑓

= 𝐼��𝑐 ∙ ��𝑓 (20)

Mas sabe-se como calcular a tensão pós-falta na barra “q” através da equação (16),

portanto,

��𝑞 0−��𝑞𝑞 ∙ 𝐼��𝑐 = 𝐼��𝑐 ∙ ��𝑓 (21)

Isolando 𝐼��𝑐 na equação (21), determina-se a corrente de curto-circuito, pois assumiu-se

que ��𝑞 0 é conhecida, a matriz [��] é conhecida e ��𝑓 também deve ser conhecido. Portanto. obtem-

se para a corrente de defeito

𝐼��𝑐 =��𝑞

0

(��𝑓 + ��𝑞𝑞) (22)

Para o caso especial onde a impedância de falta é nula, tem-se

𝐼��𝑐 =��𝑞

0

��𝑞𝑞

(23)

Finalmente, conhecendo-se a corrente de curto circuito o vetor de variações de tensão

escrito na equação (19) pode ser facilmente obtido, ou seja, todas as tensões nas barras do sitema

podem ser determinadas resolvendo-se a rede por completo.


34

2.3 Componentes simétricas e análise de faltas desequilibradas

O método das componentes simétricas foi desenvolvido por C.L. Fortescue [12] e

consiste de uma ferramenta matemática que auxilia na análise de circuitos polifásicos

desequilibrados. Sua teoria deve ser abordada no presente trabalho, pois a análise de faltas em

sistemas elétricos demanda, muitas vezes, analisar um sistema operando em condições

desbalanceadas. No caso dos sistemas de potência trifásicos, essa teoria pode ser aplicada para

extrair de um sistema com três fasores desequilibrados, três outros sistemas de fasores

equilibrados.

Sabe-se da teoria de circuitos polifásicos que sistemas equilibrados podem ser

analisados através de um circuito monofásico equivalente, dessa forma aplicando a teoria de

Fortescue, um sistema trifásico operando desequilibrado pode ser analisado em componentes

simétricas por meio da resolução de três circuitos monofásicos. Esses sistemas são chamados

de sequência zero, sequência positiva e sequência negativa.Tensões e correntes desses sistemas

serão denotados pelos índices 0,1 e 2, respectivamente.

A teoria diz que o sistema de sequência positiva se trata de um sistema trifásico

equilibrado que tem a rotação dos fasores no mesmo sentido que a rotação do sistema sob

análise, e que o sistema de sequência negativa também é um sistema trifásico equilibrado que

tem a rotação dos fasores no sentido contrário ao do sistema sob análise. O sistema de sequência

zero é um sistema que possui todos os três fasores girando com o mesmo ângulo de fase,

indicando um somatório de correntes no ponto neutro dos sistemas trifásicos.

A formulação da teoria pode ser efetuada decompondo as tensões do sistema como

segue

��𝐴 = ��𝐴0+ ��𝐴1

+ ��𝐴2 (24)

��𝐵 = ��𝐵0+ ��𝐵1

+ ��𝐵2 (25)

��𝑐 = ��𝑐0+ ��𝑐1

+ ��𝑐2 (26)

Definindo o operador fasorial

e sabendo que os sistemas de sequência são equilibrados, pode-se afirmar

��𝐵1= 𝑎2 ∙ ��𝐴1

(28)

��𝐵2= 𝑎 ∙ ��𝐴2

(29)

��𝑐1= 𝑎 ∙ ��𝐴1

(30)

��𝑐2= 𝑎2 ∙ ��𝐴2

(31)

𝑎 = 1∠120º (27)


35

Substituindo as equações (28), (29), (30) e (31) nas equações (24), (25) e (26), e

colocando-as na forma matricial, obtém-se

[

��𝐴

��𝐵

��𝐶

] = [1 1 11 𝑎2 𝑎1 𝑎 𝑎2

] ∙ [

��𝐴0

��𝐴1

��𝐴2

] (32)

Dessa forma pode-se definir a matriz 𝐴, chamada de matriz de síntese, como sendo

𝐴 = [1 1 11 𝑎2 𝑎1 𝑎 𝑎2

] (33)

e reescrever a equação (32) na forma

��𝐴𝐵𝐶 = 𝐴 ∙ ��𝐴012 (34)

A equação (34) é conhecida como equação de síntese e pode-se obter a equação de

análise através da inversão da matriz 𝐴 como segue

��𝐴012 = 𝐴−1 ∙ ��𝐴𝐵𝐶 (35)

sendo a matriz 𝐴−1 dada por

𝐴−1 =1

3[1 1 11 �� 2

1 ��2 ��] (36)

De forma análoga, pode-se decompor as correntes das três fases do sistema e obter

𝐼��𝐵𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐼��012 (37)

𝐼��012= 𝐴−1 ∙ 𝐼��𝐵𝐶 (38)

Portanto, os defeitos desequilibrados podem ser resolvidos aplicando o método das

componentes simétricas através do seguinte algoritmo:

• Reduzir as redes de sequência para o arranjo mais simples de impedâncias entre

a fonte ou fontes e a localização do desequilíbrio.

• Aplicar as condições de contorno no ponto de desequilíbrio e conectar as redes

de sequência de acordo com as restrições impostas por essas condições.

• Resolução dos circuitos obtidos, ou seja, cálculo de ��𝐴012, 𝐼��012

.

• Aplicação da matriz de síntese para cálculo das grandezas de fase 𝐼��𝐵𝐶 , ��𝐴𝐵𝐶 .

Para análise de curto circuito, nos instantes pré-defeito é usual fazer a consideração que

os sistemas elétricos de potência operam em condições perfeitamente equilibradas. Devido a

esse fato a modelagem da rede até o ponto de desequilíbrio pode ser feita simplesmente por

uma tensão de Thevenin equivalente de sequência postiva ��𝑡ℎ1, e os três paramêtros de

impedância sequencial equivalente vistos do ponto de desequilíbrio que aqui serão chamados


36

de ��00, ��11, ��22. Com isso, o primeiro item do algortimo se resume a obter esses parâmetros.

Depois disso, para cada defeito possível, pode-se obter uma relação entre as redes, demandando

que as condições de contorno sejam satisfeitas. A partir dessas condições, pode-se efetuar as

conexões das redes, o que permite o cálculo das correntes de defeito. A seguir serão

desenvolvidas as conexões das redes para alguns defeitos, como os defeitos fase-terra, bifásico

à terra e bifásico.

2.3.1 Estudo da falta fase-terra

Para o estudo da falta fase-terra, considera-se o seguinte sistema equivalentado

alimentando o desequíbrio, conforme Figura 8.

Figura 8: Defeito fase-terra na rede.

As condições de contorno para o defeito apresentado são

��𝐴 = 0 (39)

𝐼�� = 0 (40)

𝐼�� = 0 (41)

Substituindo as equações (40) e (41) na equação 38, vem

[

𝐼��0

𝐼��1

𝐼��2

] =1

3[1 1 11 �� 2

1 ��2 ��] ∙ [

𝐼��𝐶

00

] (42)

Resolvendo em termos das das correntes sequenciais, tem-se


37

𝐼��0= 𝐼��1

= 𝐼��2=

𝐼��𝐶

3 (43) (43)

o que indica que as redes de sequência, no ponto do defeito, devem ser conectadas em série

para defeitos do tipo fase-terra, pois as correntes 𝐼��0, 𝐼��1

, 𝐼��2 são iguais. A ilustração dessa

conexão pode ser observeda na Figura 9.

Figura 9: Conexão das redes de sequência em série para a falta fase-terra.

2.3.2 Estudo da falta bifásica à terra e bifásica

Da mesma forma que se fez para a falta fase-terra pode-se fazer para falta bifásica à

terra definindo as condições de contorno e observando a Figura 10.

As condições de contorno para o defeito apresentado são

��𝐶 = ��𝐵 = 0 (44)

𝐼�� = 0 (45)

Substituindo a equação (44) na equação (35), vem

[

��𝐴0

��𝐴1

��𝐴2

] =1

3[1 1 11 �� 2

1 ��2 ��] ∙ [

��𝐴

00

] (46)


38

Figura 10: Defeito bifásica à terra na rede

Calculando as tensões nas redes sequenciais, obtém-se

��𝐴0= ��𝐴1

= ��𝐴2=

��𝐴

3 (47)

Ainda pode-se substituir a equação (45) na equação (38) e selecionar a primeira linha

da equação como segue

𝐼��0+ 𝐼��1

+ 𝐼��2=

𝐼��3

= 0 (48)

Portanto, as equações indicam que as três redes de sequencia estão conectadas em

paralelo para o defeito em questão, conforme Figura 11.

Figura 11: Conexão das redes de sequência em paralelo para a falta bifásica à terra.

O estudo da falta bifásica pode ser derivado do estudo da falta bifàsica à terra, a partir

da constatação que se o curto-circuito não apresenta contato com a terra, a corrente de sequência

zero deve ser zero. De fato, se o curto fosse bifásico poderia dizer que as condições de contorno

são

𝐼�� = −𝐼�� (49)


39

��𝐶 = ��𝐵 (50)

E como sabe-se que

3 ∙ 𝐼��0= 𝐼�� + 𝐼�� + 𝐼�� (51)

Substituindo a equação (49) e (45) na equação (51), conclui-se que

𝐼��0= 0 (52)

Então

𝐼��1+ 𝐼��2

=𝐼��3

= 0 (53)

Além disso, pode-se calcular as tensões de sequência utilizando a equação de análise e

a equação (50), isto é,

[

��𝐴0

��𝐴1

��𝐴2

] =1

3[1 1 11 �� 2

1 ��2 ��] ∙ [

��𝐴

��𝐵

��𝐵

] (54)

Calculando ��𝐴1, vem

��𝐴1=

1

3∙ [��𝐴 + (�� + ��2) ∙ ��𝐵] (55) (55)

Calculando ��𝐴2, vem

��𝐴2=

1

3∙ [��𝐴 + (��2 + ��) ∙ ��𝐵] (56) (56)

E, portanto

��𝐴1= ��𝐴2

(57)

As equações (53) e (57) definem as conexões das redes conforme Figura 12.

Figura 12: Conexão das redes de sequência em paralelo para a falta bifásica.


40

3 Dedução do modelo proposto

3.1 Faltas Simples

As correntes de falta também podem ser calculadas por meio de um circuito trifásico o

qual será desenvolvido e discutido nessa seção. Porém, antes de discutí-lo, é importante

ressaltar que o circuito proposto na seção a seguir que trata de uma única falta shunt foi

desenvolvido pelo professor Antônio Eduardo Hermeto da Universidade Federal de Itajubá

[13]. Portanto, o circuito a ser desenvolvido não se encontra na literatura técnica.

Inicialmente, será desenvolvido o circuito para resolver faltas shunt (ou curtos-

circuitos) e, em seguida, um circuito semelhante para resolver faltas série (ou aberturas de fase).

A configuração de ambos os circuitos é semelhante, porém existe uma diferença no que diz

respeito aos parâmetros de impedância em cada circuito como será mostrado.

Para o desenvolvimento de tais circuitos, é necessário considerar inicialmente as

equações que definem as tensões nos terminais da falta e desenvolvê-las a fim de se obter uma

equação de malha. Sendo assim, considere um SEP trifásico e equilibrado, composto apenas

por elementos lineares. Essa condição é importante, pois para desenvolver os circuitos, é

necessário aplicar os teoremas de circuitos elétricos lineares como, por exemplo, o Princípio da

Superposição (PS) e o Teorema de Thévenin. A Figura 13 ilustra uma rede linear abstrata com

N barras e uma barra (i) qualquer dessa rede, sendo a barra (i) uma barra real do sistema ou

uma barra fictícia criada para simular uma falta no ponto considerado.

Figura 13: Rede linear de N barras com destaque para a barra de interesse (i).

3.1.1 Falta Shunt

Para o caso de uma falta shunt (ou curto-circuito) no local indicado da Figura 13, pode-

se utilizar a Figura 14 através da qual representa-se todos os tipos de faltas shunt, sendo ��𝑇ℎ,


41

��𝑖𝑖0, ��𝑖𝑖1 e ��𝑖𝑖2 os parâmetros do sistema equivalente “vistos” pela barra (i) (ponto no qual

ocorreu a falta); ��𝑎𝑓, ��𝑏

𝑓 e ��𝑐

𝑓 as impedâncias de falta em cada fase “a”, “b” e “c”,

respectivamente; e ��𝑔𝑓 a impedância de falta do neutro, isto é, a impedância entre o neutro 𝑛′ e

a terra n.

Figura 14: Representação geral de uma falta shunt na barra (i).

Utilizando o equivalente de Thévenin em cada uma das redes de sequência (zero,

positiva e negativa), pode-se escrever as tensões nos terminais da falta na fase “a”, em

componentes simétricas, como

𝑉��0= −��𝑖𝑖0𝐼��0

𝑉��1= ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑖1𝐼��1

𝑉��2= −��𝑖𝑖2𝐼��2

onde ��𝑇ℎ é a tensão de Thévenin “vista” do ponto da falta na fase “a” (ou a tensão pré-falta da

fase “a” na barra onde ocorreu a falta); 𝑉��0, 𝑉��1

e 𝑉��2 são as tensões terminais, tomando como

referência a fase “a”, das respectivas redes de sequência zero, positiva e negativa; 𝐼��0, 𝐼��1

e 𝐼��2

são as correntes pertencentes às respectivas redes de sequência zero, positiva e negativa,

também dadas em função da fase “a”; ��𝑖𝑖0, ��𝑖𝑖1 e ��𝑖𝑖2 são as impedâncias próprias (ou

impedâncias de Thévenin) sequenciais “vistas” do ponto da falta, isto é, da barra (i).

Somando as equações acima, obtém-se

𝑉��0+ 𝑉��1

+ 𝑉��2= ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑖𝑜𝐼��0

− ��𝑖𝑖1𝐼��1− ��𝑖𝑖2𝐼��2

(58)

e lembrando que

��𝑎 = 𝑉��0+ 𝑉��1

+ 𝑉��2

pode-se reescrever (58) como


42

��𝑎 = ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑖0𝐼��0− ��𝑖𝑖1𝐼��1

− ��𝑖𝑖2𝐼��2

Considerando ��𝑖𝑖1 = ��𝑖𝑖2, o que é aceitável, uma vez que os erros resultantes dessa

aproximação são pequenos quando se leva em conta que as faltas ocorreram longe de elementos

rotativos do SEP [14], a última equação se torna

��𝑎 = ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑖0𝐼��0− ��𝑖𝑖1(𝐼��1

+ 𝐼��2) (59)

Mas,

𝐼�� = 𝐼��0+ 𝐼��1

+ 𝐼��2

e, portanto,

𝐼��1+ 𝐼��2

= 𝐼�� − 𝐼��0 (60)

Usando (60) em (59), vem

��𝑎 = ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑖0 𝐼��0− ��𝑖𝑖1(𝐼�� − 𝐼��0

)

��𝑎 = ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑖0𝐼��0− ��𝑖𝑖1𝐼�� + ��𝑖𝑖1𝐼��0

��𝑎 = ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑖1 𝐼�� − (��𝑖𝑖0 − ��𝑖𝑖1)𝐼��0

��𝑎 = ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑖1𝐼�� −1

3(��𝑖𝑖0 − ��𝑖𝑖1)3𝐼��0

(61)

Como a impedância 1

3(��𝑖𝑖0 − ��𝑖𝑖1) está associada à corrente 3𝐼��0

, que é a corrente do

neutro, define-se

𝐼�� = 3𝐼��0

e

��𝑖𝑖𝑛 =1

3(��𝑖𝑖0 − ��𝑖𝑖1)

sendo 𝐼�� a corrente do neutro e ��𝑖𝑖𝑛 a impedância equivalente do neutro. Com isso, a equação

(61) toma a forma mais compacta

��𝑎 = ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑖1𝐼�� − ��𝑖𝑖𝑛𝐼�� (62)

que representa o circuito exposto na Figura 15.

Da Figura 14, utilizando a condição de contorno da fase “a”

��𝑎 = ��𝑎𝑓𝐼�� + ��𝑔

𝑓𝐼�� (63)

na equação (62), vem

��𝑎𝑓𝐼�� + ��𝑔

𝑓𝐼�� = ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑖1𝐼�� − ��𝑖𝑖𝑛𝐼��

Desenvolvendo essa última expressão, obtém-se

��𝑇ℎ = (��𝑖𝑖1 + ��𝑎𝑓)𝐼�� + (��𝑖𝑖𝑛 + ��𝑔

𝑓)𝐼�� (64)


43

A equação (64) também poderia ser obtida diretamente do circuito elétrico ilustrado na

Figura 15, bastando para isso apenas utilizar a condição de contorno (63) diretamente no

circuito obtido, isto é, substituindo a tensão ��𝑎 nesse circuito por ��𝑎𝑓𝐼�� + ��𝑔

𝑓𝐼��. Com isso, resulta

o circuito elétrico equivalente da fase “a” mostrado na Figura 16, para o caso da falta

considerada.

Figura 15: Circuito elétrico equivalente da fase “a”.

Figura 16: Circuito equivalente completo da fase “a”.

Lembrando que a corrente do neutro 𝐼�� também pode ser escrita como

𝐼�� = 𝐼�� + 𝐼�� + 𝐼��

percebe-se que o ramo por onde a corrente do neutro 𝐼�� circula é comum a outros dois circuitos

correspondentes às fases “b” e “c”. Esses circuitos são obtidos através do mesmo raciocínio

utilizado anteriormente para encontrar o circuito elétrico equivalente para a fase “a”. Por

exemplo, para a fase “b”, as tensões terminais da falta, em componentes simétricas, são

𝑉��0= −��𝑖𝑖0𝐼��0

𝑉��1= 𝑎2��𝑇ℎ − ��𝑖𝑖1𝐼��1

𝑉��2= −��𝑖𝑖2𝐼��2


44

onde 𝑎2��𝑇ℎ é a tensão de Thévenin “vista” do ponto da falta na fase “b” (ou a tensão pré-falta

da fase “b” na barra onde ocorreu a falta); 𝑉��0, 𝑉��1

e 𝑉��2 são as tensões terminais, tomando

como referência a fase “b”, das respectivas redes de sequência zero, positiva e negativa; 𝐼��0,

𝐼��1e 𝐼��2

são as correntes pertencentes às respectivas redes de sequência zero, positiva e negativa

dadas em função da fase “b”.

Após algumas manipulações realizadas de forma análoga à dedução do circuito para a

fase “a”, resulta a equação

𝑎2��𝑇ℎ = (��𝑖𝑖1 + ��𝑏𝑓)𝐼�� + (��𝑖𝑖𝑛 + ��𝑔

𝑓)𝐼�� (65)

De modo análogo obtém-se o circuito elétrico equivalente para a fase “c”

𝑎��𝑇ℎ = (��𝑖𝑖1 + ��𝑐𝑓)𝐼�� + (��𝑖𝑖𝑛 + ��𝑔

𝑓)𝐼�� (66)

A partir dessas equações, percebe-se que os circuitos elétricos equivalentes para as fases

“b” e “c” são, portanto, semelhantes aqueles da fase “a”. A Figura 17 mostra os circuitos

equivalentes obtidos para cada fase.

Figura 17: Circuito equivalente completo (a) da fase “b” e (b) da fase “c”.

Com isso, pode-se montar um circuito trifásico por meio das equações (64), (65) e (66)

para calcular as correntes de falta devido a uma falta shunt qualquer no sistema de potência

considerado. O circuito trifásico resultante é mostrado na Figura 18.

Note que, as correntes de falta 𝐼��, 𝐼��, 𝐼�� e 𝐼�� são todas desconhecidas, totalizando quatro

incógnitas. Enquanto a tensão ��𝑇ℎ e as impedâncias ��𝑖𝑖1, ��𝑖𝑖𝑛, ��𝑎𝑓, ��𝑏

𝑓, ��𝑐

𝑓 e ��𝑔

𝑓 são conhecidas.

Mas, é possível extrair do circuito quatro equações linearmente independentes (LI)

através da lei das malhas

��𝑇ℎ = (��𝑖𝑖1 + ��𝑎𝑓)𝐼�� + (��𝑖𝑖𝑛 + ��𝑔

𝑓)𝐼��

𝑎2��𝑇ℎ = (��𝑖𝑖1 + ��𝑏𝑓)𝐼�� + (��𝑖𝑖𝑛 + ��𝑔

𝑓)𝐼��

𝑎��𝑇ℎ = (��𝑖𝑖1 + ��𝑐𝑓)𝐼�� + (��𝑖𝑖𝑛 + ��𝑔

𝑓)𝐼��

e da lei dos nós


45

𝐼�� = 𝐼�� + 𝐼�� + 𝐼��

Com isso, obtém-se um número de equações igual ao número de incógnitas, o que

permite a determinação das correntes de falta para qualquer falta shunt desejada utilizando o

circuito trifásico obtido.

Tomando como base esse circuito proposto pelo professor Hermeto para o caso geral de

uma falta shunt [13], os autores desenvolveram o circuito equivalente para o caso geral de uma

falta série. E como comentado no início, o circuito equivalente a ser obtido é semelhante ao

circuito anterior. Seu desenvolvimento será apresentado no item 3.1.2.

Figura 18: Circuito Trifásico representativo da falta shunt geral.

3.1.2 Falta Série

No caso de uma falta série (ou abertura de fase) no local indicado da Figura 14, pode-se

utilizar a Figura 19 através da qual representa-se todos os tipos da falta considerada, sendo ��𝑎𝑓,

��𝑏𝑓 e ��𝑐

𝑓 as impedâncias de falta em cada fase “a”, “b” e “c”.

O sistema da Figura 19 pode ser interpretado como dois sistemas complexos interligados

através das impedâncias de falta. Quando ocorre uma falta série numa dada fase desse sistema,

este é desconectado, ou seja, o sistema original é separado em dois sistemas. Logo, o circuito

deve ser aberto no local da falta, o que causa o surgimento das barras (i) e (j) naquela região.

Dessa forma, a análise deve ser feita no trecho entre as barras (i) e (j). A Figura 20 mostra o


46

ramo considerado aberto e as variações de corrente ∆𝐼�� e ∆𝐼�� na fase “a” das respectivas barras

(i) e (j) devido à falta série.

Para o cálculo das corrente pós-falta devido à falta série, também pode-se utilizar o

Princípio da Superposição de forma similar ao caso da falta shunt. Porém, deve-se observar que

nesse caso, as barras (i) e (j) devem ser desconectadas. Com essa desconexão, a abertura pode

ser simulada através da inserção de uma fonte de corrente no trecho considerado. Essas fontes

têm a função de anular a corrente que existia antes nesse trecho. Sendo assim, considerando as

correntes “lançadas” para fora do sistema pelas novas fontes nas barras (i) e (j) como variações

de corrente ∆𝐼�� e ∆𝐼��, respectivamente, a corrente pós-falta, então, pode ser calculada como

𝐼�� = 𝐼��0 + ∆𝐼��

𝐼�� = 𝐼��0 + ∆𝐼��

onde 𝐼��0 e 𝐼��

0 são as correntes injetadas em cada barra (i) e (j), considerando apenas o efeito das

fontes originais do sistema, isto é, desconsiderando a nova fonte inserida pelo defeito.

Figura 19: Representação geral de uma falta série entre as barras (i) e (j).

Figura 20: Representação do ramo (i)-(j) aberto devido à falta série.

Portanto, considerando todas as fontes do sistema em repouso, exceto as fontes do

defeito que provocam as variações de corrente ∆𝐼𝑖 e ∆𝐼𝑗, pode-se escrever a equação (15) como


47

[ ∆��1

⋮∆��𝑖

∆��𝑗

⋮∆��𝑁]

=

[ ��11 ∙∙∙ ��1𝑖 ��1𝑗 ∙∙∙ ��1𝑛

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮��𝑖1 ∙∙∙ ��𝑖𝑖 ��𝑖𝑗 ∙∙∙ ��𝑖𝑛

��𝑗1 ∙∙∙ ��𝑗𝑖 ��𝑗𝑗 ∙∙∙ ��𝑗𝑛

⋮ ∙∙∙ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮��𝑛1 ∙∙∙ ��𝑛𝑖 ��𝑛𝑗 ∙∙∙ ��𝑛𝑛]

[

0⋮0

−∆𝐼��−∆𝐼��

0⋮0 ]

É importante notar que essa equação deve ser utilizada para cada rede de sequência

(zero, positiva e negativa) e para cada fase (“a”, “b” e “c”). Porém, para efeito de simplificar a

nomenclatura, nessa e nas equações seguintes, em que o índice que denota a sequência utilizada

não aparece, fica subtendido que devem ser consideradas as três sequências no equacionamento.

Além disso, o índice “a” que denota a fase “a”, que está sendo utilizada na demonstração,

também está sendo omitido com o mesmo propósito de deixar menos carregado os símbolos

envolvidos.

Com isso em mente, para as barras (i) e (j), obtém-se

∆��𝑖 = −��𝑖𝑖∆𝐼�� − ��𝑖𝑗 ∆𝐼��

∆��𝑗 = −��𝑗𝑖∆𝐼�� − ��𝑗𝑗 ∆𝐼��

Mas, como ∆𝐼�� = −∆𝐼��, vem

∆��𝑖 = −��𝑖𝑖∆𝐼�� + ��𝑖𝑗 ∆𝐼�� = −(��𝑖𝑖 − ��𝑖𝑗)∆𝐼�� (67)

∆��𝑗 = −��𝑗𝑖∆𝐼�� + ��𝑗𝑗 ∆𝐼�� = −(��𝑗𝑖 − ��𝑗𝑗)∆𝐼�� (68)

Subtraindo (68) de (67), resulta

∆��𝑖 − ∆��𝑗 = −(��𝑖𝑖 − ��𝑖𝑗)∆𝐼�� + (��𝑗𝑖 − ��𝑗𝑗)∆𝐼��

Fazendo ∆��𝑖 − ∆��𝑗 = ∆��𝑖𝑗, obtém-se

∆��𝑖𝑗 = −(��𝑖𝑖 + ��𝑗𝑗 − ��𝑖𝑗 − ��𝑗𝑖)∆𝐼�� (69)

e considerando o sistema simétrico, isto é, ��𝑖𝑗 = ��𝑗𝑖 , vem

∆��𝑖𝑗 = −(��𝑖𝑖 + ��𝑗𝑗 − 2��𝑖𝑗)∆𝐼�� (70)

Como o sistema é linear, pode-se calcular as tensões causadas apenas pelas fontes

originais do sistema utilizando a mesma matriz de impedância nodal, ou seja,


48

[ ��1

0

⋮��𝑖

0

��𝑗0

⋮��𝑁

0]

=

[ ��11 ∙∙∙ ��1𝑖 ��1𝑗 ∙∙∙ ��1𝑛

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮��𝑖1 ∙∙∙ ��𝑖𝑖 ��𝑖𝑗 ∙∙∙ ��𝑖𝑛

��𝑗1 ∙∙∙ ��𝑗𝑖 ��𝑗𝑗 ∙∙∙ ��𝑗𝑛

⋮ ∙∙∙ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮��𝑛1 ∙∙∙ ��𝑛𝑖 ��𝑛𝑗 ∙∙∙ ��𝑛𝑛]

[

𝐼10

⋮𝐼𝑖−10

𝐼𝑖0

𝐼𝑗0

𝐼𝑗+10

⋮𝐼𝑁0 ]

onde ��10, ..., ��𝑖

0, ��𝑗0, ..., ��𝑁

0 são as tensões das barras devido somente às fontes originais do

sistema, e 𝐼10, ...,𝐼𝑖−1

0 , 𝐼𝑖0, 𝐼𝑗

0, 𝐼𝑗+10 , ..., 𝐼𝑁

0 são as correntes pré-falta injetadas nas barras do sistema.

Fazendo

��𝑖𝑗 = ��𝑖 − ��𝑗

��𝑖𝑗0 = ��𝑖

0 − ��𝑗0

obtém-se

∆��𝑖𝑗 = ��𝑖𝑗 − ��𝑖𝑗0

Utilizando o PS

��𝑖𝑗 = ��𝑖𝑗0 + ∆��𝑖𝑗 (71)

e substituindo (70) em (71), além de fazer ��𝑖𝑗0 = ��𝑇ℎ, vem

��𝑖𝑗 = ��𝑇ℎ − (��𝑖𝑖 + ��𝑗𝑗 − 2��𝑖𝑗)∆𝐼�� (72)

Agora considerando cada uma das redes de sequência, a equação (72) se torna

��𝑖𝑗0 = −(��𝑖𝑖0 + ��𝑗𝑗0 − 2��𝑖𝑗0) ∆𝐼��0

��𝑖𝑗1 = ��𝑇ℎ − (��𝑖𝑖1 + ��𝑗𝑗1 − 2��𝑖𝑗1) ∆𝐼��1 (73)

��𝑖𝑗2 = −(��𝑖𝑖2 + ��𝑗𝑗2 − 2��𝑖𝑗2) ∆𝐼��2

lembrando que as tensões de Thévenin ��𝑇ℎ de sequência zero e negativa são nulas, uma vez que

o sistema é equilibrado antes da falta.

Definindo

��𝑖𝑗0𝑇ℎ = ��𝑖𝑖0 + ��𝑗𝑗0 − 2��𝑖𝑗0

(74)

��𝑖𝑗1𝑇ℎ = ��𝑖𝑖1 + ��𝑗𝑗1 − 2��𝑖𝑗1

(75)

��𝑖𝑗2𝑇ℎ = ��𝑖𝑖2 + ��𝑗𝑗2 − 2��𝑖𝑗2 (76)

como a impedância de Thévenin entre as barras (i) e (j) das respectivas redes de sequência, o

conjunto de equações (73) se transforma em

��𝑖𝑗0 = −��𝑖𝑗0𝑇ℎ∆𝐼��0


49

��𝑖𝑗1 = ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑗1𝑇ℎ∆𝐼��1 (77)

��𝑖𝑗2 = −��𝑖𝑗2𝑇ℎ∆𝐼��2

Considerando novamente as impedâncias de sequência positiva iguais às de sequência

negativa, isto é, ��𝑖𝑗1𝑇ℎ = ��𝑖𝑗2

𝑇ℎ, tem-se

��𝑖𝑗0 = −��𝑖𝑗0𝑇ℎ∆𝐼��0

��𝑖𝑗1 = ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑗1𝑇ℎ∆𝐼��1

��𝑖𝑗2 = −��𝑖𝑗1𝑇ℎ∆𝐼��2

Somando essas três equações, obtém-se

��𝑖𝑗 = ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑗1𝑇ℎ(∆𝐼��1 + ∆𝐼��2) − ��𝑖𝑗0

𝑇ℎ∆𝐼��0

Lembrando que

∆𝐼��1 + ∆𝐼��2 = ∆𝐼�� − ∆𝐼��0

vem

��𝑖𝑗 = ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑗1𝑇ℎ(∆𝐼�� − ∆𝐼��0) − ��𝑖𝑗0

𝑇ℎ∆𝐼��0

��𝑖𝑗 = ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑗1𝑇ℎ∆𝐼�� + ��𝑖𝑗1

𝑇ℎ∆𝐼��0 − ��𝑖𝑗0𝑇ℎ∆𝐼��0

��𝑖𝑗 = ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑗1𝑇ℎ∆𝐼�� − (��𝑖𝑗0

𝑇ℎ − ��𝑖𝑗1𝑇ℎ)∆𝐼��0

Logo,

��𝑖𝑗 = ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑗1𝑆 ∆𝐼�� −

1

3(��𝑖𝑗0

𝑇ℎ − ��𝑖𝑗1𝑇ℎ )3∆𝐼��0 (78)

Procedendo da mesma maneira como na falta shunt, isto é, fazendo

∆𝐼��𝑛 = 3∆𝐼��0

(79) ��𝑖𝑗𝑛

𝑇ℎ =1

3(��𝑖𝑗0

𝑇ℎ − ��𝑖𝑗1𝑇ℎ )

a equação (78) torna-se

��𝑖𝑗 = ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑗1𝑇ℎ ∆𝐼�� − ��𝑖𝑗𝑛

𝑇ℎ∆𝐼��𝑛 (80)

Considerando

∆𝐼�� = 𝐼��

∆𝐼��𝑛 = 𝐼��

para evidenciar que a fase “a” foi usada, a equação (80) toma a forma

��𝑖𝑗 = ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑗1𝑇ℎ 𝐼�� − ��𝑖𝑗𝑛

𝑇ℎ𝐼�� (81)

que é semelhante à equação (62). Por conta disso, os circuitos elétricos equivalentes de cada

fase para a falta série são os mesmos obtidos para a falta shunt, porém com uma diferença entre

os parâmetros de impedâncias envolvidos. E assim como no caso anterior, pode-se obter quatro


50

equações LI, o que permite permite resolver o circuito resultante. A Figura 21 mostra o circuito

trifásico equivalente para a falta série geral.

Figura 21: Circuito trifásico representativo da falta série geral.

O sistema de equações (77)

��𝑖𝑗0 = −��𝑖𝑗0𝑇ℎ∆𝐼��0

��𝑖𝑗1 = ��𝑇ℎ − ��𝑖𝑗1𝑇ℎ∆𝐼��1

��𝑖𝑗2 = −��𝑖𝑗2𝑇ℎ∆𝐼��2

desenvolvido anteriormente também pode ser utilizado para construir as redes de sequência e

resolver o problema em termos de componentes simétricas.

Com isso, é fácil ver que o circuito obtido em termos de componentes simétricas é

semelhante ao obtido para representar uma falta shunt. O circuito resultante é mostrado na

Figura 22. Caso o sistema seja assimétrico, isto é, as impendâncias mútuas sejam diferentes, as

impedâncias de Thévenin ��𝑖𝑗𝑇ℎ são transformadas na forma geral como ��𝑖𝑖 + ��𝑗𝑗 − ��𝑖𝑗 − ��𝑗𝑖

dada pela equação (69).


51

Figura 22: Redes de sequência para análise de uma falta série.

3.2 Duas faltas simultâneas

Os circuitos a serem demonstrados também foram desenvolvidos tomando como base o

circuito proposto pelo professor Hermeto para um caso particular de uma falta monofásica num

ponto do sistema e outra bifásica num outro ponto. Esses circuitos não só resolvem esse caso

particular como também resolvem todos os outros casos, isto é, ele é uma generalização do

circuito original desenvolvido.

Para o desenvolvimento dos circuitos, as faltas simultâneas serão divididas em três

grupos: faltas shunt-shunt, shunt-série e série-série. A partir dessa classificação será possível

obter os circuitos equivalentes para representar todos os casos de duas faltas simultâneas. O

método a ser descrito utiliza a matriz de impedância nodal [��], uma vez que esse método se

mostra mais conveniente para SEP’s mais complexos. Além disso, serão desenvolvidos dois

tipos de circuitos: um em termos das componentes em coordenadas de fase e outro em termos

das componentes simétricas. O primeiro circuito requer que as impedâncias de sequência

positiva e negativa sejam iguais, enquanto o segundo não requer essa condição, que se mostra

um circuito mais geral. Porém, essa condição de igualdade entre as impedâncias não influencia,

praticamente, na resposta quando se considera faltas distantes de elementos não estáticos do

SEP.[14]


52

Sendo assim, considere novamente um SEP qualquer, composto apenas por elementos

lineares. A Figura 23 ilustra uma rede linear com N barras e uma falta qualquer na barra (i) e

outra qualquer na barra (j).

Figura 23: Rede linear de N barras com destaque para as barras (i) e (j) do sistema.

3.2.1 Faltas shunt-shunt

A) Circuito em Coordenadas de Fase

Para o caso de duas faltas shunt simultâneas nos locais indicados da Figura 23, pode-se

utilizar a Figura 24 que representa todos os tipos da falta considerada. Nessa figura ��𝑎(𝑖)

𝑓, ��𝑏(𝑖)

𝑓

e ��𝑐(𝑖)

𝑓 são, respectivamente, as impedâncias de falta em cada fase “a”, “b” e “c” na barra (i);

��𝑎(𝑗)

𝑓, ��𝑏(𝑗)

𝑓 e ��𝑐(𝑗)

𝑓são, respectivamente, as impedâncias de falta em cada fase “a”, “b” e “c” na

barra (j); ��𝑔(𝑖)

𝑓 a impedância de falta entre o neutro 𝑛(𝑖)

′ e a terra 𝑛(𝑖) na barra (i); e ��𝑔(𝑗)

𝑓 a

impedância de falta entre o neutro 𝑛(𝑗)′ e a terra 𝑛(𝑗) na barra (j).

Utilizando a matriz de impedância nodal, pode-se calcular as variações de tensão devido

à falta em cada barra do SEP. Dessa forma, para a fase “a”, por exemplo, tem-se

[ ∆��1

⋮∆��𝑖

∆��𝑗

⋮∆��𝑁]

=

[ ��11 ∙∙∙ ��1𝑖 ��1𝑗 ∙∙∙ ��1𝑛

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮��𝑖1 ∙∙∙ ��𝑖𝑖 ��𝑖𝑗 ∙∙∙ ��𝑖𝑛

��𝑗1 ∙∙∙ ��𝑗𝑖 ��𝑗𝑗 ∙∙∙ ��𝑗𝑛

⋮ ∙∙∙ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮��𝑛1 ∙∙∙ ��𝑛𝑖 ��𝑛𝑗 ∙∙∙ ��𝑛𝑛]

[

0⋮

−∆𝐼��−∆𝐼��

⋮0 ]

sendo omitidos novamente nessa equação os índices denotando a fase envolvida na

demonstração e aqueles referentes à cada rede de sequência para efeitos de maior clareza. Para


53

evitar essa repetição tediosa de considerações, adotaremos estas como gerais para toda

discussão a partir de agora, a menos que se especifique em contrário. Além disso, também

adotaremos que o sistema é sempre simétrico, isto é, ��𝑖𝑗 = ��𝑗𝑖.

Figura 24: Representação geral de duas faltas shunt simultâneas: (a) falta na barra (i); (b) falta na barra (j).

Sendo assim, para as barras que sofreram a falta, isto é, para as barras (i) e (j), tem-se

∆��𝑖 = −��𝑖𝑖∆𝐼�� − ��𝑖𝑗∆𝐼��

∆��𝑗 = −��𝑗𝑖∆𝐼�� − ��𝑗𝑗∆𝐼��

Como ��𝑖𝑗 = ��𝑗𝑖, então

∆��𝑖 = −��𝑖𝑖∆𝐼�� − ��𝑖𝑗∆𝐼�� (82)

∆��𝑗 = −��𝑖𝑗∆𝐼�� − ��𝑗𝑗∆𝐼�� (83)

E pelo PS,

��𝑖 = ��𝑖0 + ∆��𝑖 (84)

��𝑗 = ��𝑗0 + ∆��𝑗 (85)

Substituindo (82) em (84) e (83) em (85), vem

��𝑖 = ��𝑖0 − ��𝑖𝑖∆𝐼�� − ��𝑖𝑗∆𝐼�� (86)

��𝑗 = ��𝑗0 − ��𝑖𝑗∆𝐼�� − ��𝑗𝑗∆𝐼�� (87)

Agora, considerando cada uma das redes de sequência, a equação (86), escrita em termos

de componentes simétricas, torna-se

��𝑖0 = ��𝑖00 − ��𝑖𝑖0∆𝐼��0 − ��𝑖𝑗0∆𝐼��0

��𝑖1 = ��𝑖10 − ��𝑖𝑖1∆𝐼��1 − ��𝑖𝑗1∆𝐼��1 (88)

��𝑖2 = ��𝑖20 − ��𝑖𝑖2∆𝐼��2 − ��𝑖𝑗2∆𝐼��2

enquanto a equação (87) se torna


54

��𝑗0 = ��𝑗00 − ��𝑗𝑗0∆𝐼��0 − ��𝑖𝑗0∆𝐼��0

��𝑗1 = ��𝑗10 − ��𝑗𝑗1∆𝐼��1 − ��𝑖𝑗1∆𝐼��1 (89)

��𝑗2 = ��𝑗20 − ��𝑗𝑗2∆𝐼��2 − ��𝑖𝑗2∆𝐼��2

As equações acima também podem ser reescritas na seguinte forma matricial

[ ��𝑖0

��𝑖1

��𝑖2− −��𝑗0

��𝑗1

��𝑗2 ]

=

[ ��𝑖0

0

��𝑖10

��𝑖20

− −��𝑗0

0

��𝑗10

��𝑗2 ]

−

[ ��𝑖𝑖0

0 0 | ��𝑖𝑗0 0 0

0 ��𝑖𝑖10 | 0 ��𝑖𝑗1 0

0 0 ��𝑖𝑖2| 0 0 ��𝑖𝑗2

− − − − − − −��𝑗𝑖0

0 0 | ��𝑗𝑗0 0 0

0 ��𝑗𝑖10 | 0 ��𝑗𝑗1 0

0 0 ��𝑗𝑖2| 0 0 ��𝑗𝑗2]

[ ∆𝐼��0∆𝐼��1∆𝐼��2− −∆𝐼��0∆𝐼��1∆𝐼��2 ]

(90)

Sabendo que as tensões pré-falta de sequência zero e negativa são nulas, uma vez que o

sistema se encontra em equilíbrio antes da falta, tem-se ��𝑖00 = ��𝑖2

0 = 0. Fazendo ��𝑖10 = ��𝑇ℎ𝑖

, e

substituindo esses valores em (88), vem

��𝑖0 = −��𝑖𝑖0∆𝐼��0 − ��𝑖𝑗0∆𝐼��0

��𝑖1 = ��𝑇ℎ𝑖− ��𝑖𝑖1∆𝐼��1 − ��𝑖𝑗1∆𝐼��1

��𝑖2 = −��𝑖𝑖2∆𝐼��2 − ��𝑖𝑗2∆𝐼��2

Agora, considerando as impedâncias de sequência negativa iguais às de sequência

positiva, vem

��𝑖0 = −��𝑖𝑖0∆𝐼��0 − ��𝑖𝑗0∆𝐼��0

��𝑖1 = ��𝑇ℎ𝑖− ��𝑖𝑖1∆𝐼��1 − ��𝑖𝑗1∆𝐼��1 (91)

��𝑖2 = −��𝑖𝑖1∆𝐼��2 − ��𝑖𝑗1∆𝐼��2

De forma análoga, a equação (89) se torna

��𝑗0 = −��𝑖𝑗0∆𝐼��0 − ��𝑗𝑗0∆𝐼��0

��𝑗1 = ��𝑇ℎ𝑗− ��𝑖𝑗1∆𝐼��1 − ��𝑗𝑗1∆𝐼��1 (92)

��𝑗2 = −��𝑖𝑗1∆𝐼��2 − ��𝑗𝑗1∆𝐼��2

Reescrevendo matricialmente os sistemas (91) e (92), obtém-se


55

[ ��𝑖0

��𝑖1

��𝑖2− −��𝑗0

��𝑗1

��𝑗2 ]

=

[

0��𝑇ℎ𝑖

0− −0

��𝑇ℎ𝑗

0 ]

−

[ ��𝑖𝑖0

0 0 | ��𝑖𝑗0 0 0

0 ��𝑖𝑖10 | 0 ��𝑖𝑗1 0

0 0 ��𝑖𝑖1| 0 0 ��𝑖𝑗1

− − − − − − −��𝑗𝑖0

0 0 | ��𝑗𝑗0 0 0

0 ��𝑗𝑖10 | 0 ��𝑗𝑗1 0

0 0 ��𝑗𝑖1| 0 0 ��𝑗𝑗1]

[ ∆𝐼��0∆𝐼��1∆𝐼��2− −∆𝐼��0∆𝐼��1∆𝐼��2 ]

(93)

Inicialmente, será desenvolvido o circuito em termos da barra (i). Para isso, soma-se as

equações do sistema (91) membro a membro, obtendo-se

��𝑖0 + ��𝑖1 + ��𝑖2 = ��𝑇ℎ𝑖− ��𝑖𝑖1(∆𝐼��1 + ∆𝐼��2) − ��𝑖𝑗1(∆𝐼��1 + ∆𝐼��2) − ��𝑖𝑖0∆𝐼��0 − ��𝑖𝑗0∆𝐼��0 (94)

Sabendo que

��𝑖 = ��𝑖0 + ��𝑖1 + ��𝑖2

e que

∆𝐼��1 + ∆𝐼��2 = ∆𝐼�� − ∆𝐼��0

∆𝐼��1 + ∆𝐼��2 = ∆𝐼�� − ∆𝐼��0

a equação (94) pode ser reescrita como

��𝑖 = ��𝑇ℎ𝑖− ��𝑖𝑖1(∆𝐼�� − ∆𝐼��0) − ��𝑖𝑗1(∆𝐼�� − ∆𝐼��0) − ��𝑖𝑖0∆𝐼��0 − ��𝑖𝑗0∆𝐼��0

o que resulta

��𝑖 = ��𝑇ℎ𝑖− ��𝑖𝑖1∆𝐼�� − ��𝑖𝑗1∆𝐼�� − (��𝑖𝑖0 − ��𝑖𝑖1)∆𝐼��0 − (��𝑖𝑗0 − ��𝑖𝑗1)∆𝐼��0

��𝑖 = ��𝑇ℎ𝑖− ��𝑖𝑖1∆𝐼�� − ��𝑖𝑗1∆𝐼�� −

1

3(��𝑖𝑖0 − ��𝑖𝑖1)3∆𝐼��0 −

1

3(��𝑖𝑗0 − ��𝑖𝑗1)3∆𝐼��0

Fazendo

𝑍𝑖𝑖𝑛=

1

3(��𝑖𝑖0 − ��𝑖𝑖1)

𝐼��𝑛 = 3∆𝐼��0

e

𝑍𝑖𝑗𝑛=

1

3(��𝑖𝑗0 − ��𝑖𝑗1)

𝐼��𝑛= 3∆𝐼��0

obtém-se

��𝑖 = ��𝑇ℎ𝑖− ��𝑖𝑖1∆𝐼�� − ��𝑖𝑗1∆𝐼�� − ��𝑖𝑖𝑛

𝐼��𝑛 − ��𝑖𝑗𝑛𝐼��𝑛

(95)

E como

𝐼�� = ∆𝐼��

𝐼�� = ∆𝐼��


56

uma vez que a corrente pré-falta é nula no local da falta, segue da equação (95)

��𝑖 = ��𝑇ℎ𝑖− ��𝑖𝑖1𝐼�� − ��𝑖𝑗1𝐼�� − ��𝑖𝑖𝑛

𝐼��𝑛 − ��𝑖𝑗𝑛𝐼��𝑛

(96)

Essa última equação representa o circuito elétrico equivalente da fase ”a” para a barra

(i). A Figura 25 mostra o circuito obtido com uma mudança na nomenclatura das varíaveis

envolvidas na equação (96), que será utilizada a partir desse momento, para evidenciar que

fase “a” e a barra (i) estão sendo consideradas. O circuito equivalente da fase “a” para a barra

(j) é obtido de forma análoga somando-se as equações membro a membro do conjunto de

equações (92).

Figura 25: Circuito elétrico equivalente da fase “a” para a falta analisada.

Para obter os circuitos da fase “b” e da fase “c”, basta trocar na equação (96) o índice

referente às respectivas fases. Dessa forma, as equações que representam os circuitos das outras

fases são semelhantes e podem ser obtidas facilmente. Por exemplo, para a fase “b”, na equação

(96) o termo ��𝑇ℎ𝑖 é substituído por 𝑎2��𝑇ℎ𝑖

e as correntes 𝐼�� e 𝐼�� são correspondentes agora à

fase “b”. A seguir, são apresentadas as equações que representam todas as fases envolvidas na

falta para a barra (i) com a mudança da nomenclatura comentada anteriormente.

��𝑎(𝑖)= ��𝑇ℎ𝑎(𝑖)

− ��𝑖𝑖1𝐼��(𝑖)− ��𝑖𝑗1𝐼��(𝑗)

− ��𝑖𝑖𝑛𝐼��(𝑖)

− ��𝑖𝑗𝑛𝐼��(𝑗)

��𝑏(𝑖)= 𝑎2 ∙ ��𝑇ℎ𝑎(𝑖)

− ��𝑖𝑖1𝐼��(𝑖)− ��𝑖𝑗1𝐼��(𝑗)

− ��𝑖𝑖𝑛𝐼��(𝑖)

− ��𝑖𝑗𝑛𝐼��(𝑗)

(97)

��𝑐(𝑖)= 𝑎 ∙ ��𝑇ℎ𝑎(𝑖)

− ��𝑖𝑖1𝐼��(𝑖)− ��𝑖𝑗1𝐼��(𝑗)

− ��𝑖𝑖𝑛𝐼��(𝑖)

− ��𝑖𝑗𝑛𝐼��(𝑗)

Formalmente, essas equações podem ser obtidas de forma análoga ao procedimento

explicado na seção 3.2 (Falta shunt). De maneira sucinta, para obtê-las, reescreve-se as

equações (91) em termos das fases “b” e “c”, manipulando-as da forma como foi feita para a

fase “a”, chegando ao resultado anterior. As equações representativas para a barra (j) são obtidas

da mesma maneira, mas, agora, reescrevendo-se as equações do sistema (92).


57

Das condições de contorno, tem-se que

��𝑎(𝑖)= ��𝑎(𝑖)

𝑓𝐼��(𝑖)

+ ��𝑔(𝑖)


��𝑏(𝑖)= ��𝑏(𝑖)


+ ��𝑔(𝑖)


��𝑐(𝑖)= ��𝑐(𝑖)


+ ��𝑔(𝑖)


Substituindo-as em (97), vem

��𝑎(𝑖)


+ ��𝑔(𝑖)


= ��𝑇ℎ𝑎(𝑖)− ��𝑖𝑖1𝐼��(𝑖)

− ��𝑖𝑗1𝐼��(𝑗)− ��𝑖𝑖𝑛

𝐼��(𝑖)− ��𝑖𝑗𝑛

𝐼��(𝑗)

��𝑏(𝑖)


+ ��𝑔(𝑖)


= 𝑎2 ∙ ��𝑇ℎ𝑎(𝑖)− ��𝑖𝑖1𝐼��(𝑖)

− ��𝑖𝑗1𝐼��(𝑗)− ��𝑖𝑖𝑛

𝐼��(𝑖)− ��𝑖𝑗𝑛

𝐼��(𝑗)

��𝑐(𝑖)


+ ��𝑔(𝑖)


= 𝑎 ∙ ��𝑇ℎ𝑎(𝑖)− ��𝑖𝑖1𝐼��(𝑖)

− ��𝑖𝑗1𝐼��(𝑗)− ��𝑖𝑖𝑛

𝐼��(𝑖)− ��𝑛𝑖𝑗

𝐼��(𝑗)

que podem ser escritas na forma

��𝑇ℎ𝑎(𝑖)= ��𝑖𝑖1𝐼��(𝑖)

+ ��𝑖𝑗1𝐼��(𝑗)+ ��𝑖𝑖𝑛

𝐼��(𝑖)+ ��𝑖𝑗𝑛

𝐼��(𝑗)+ ��𝑎(𝑖)


+ ��𝑔(𝑖)


𝑎2 ∙ ��𝑇ℎ𝑎(𝑖)= ��𝑖𝑖1𝐼��(𝑖)

+ ��𝑖𝑗1𝐼��(𝑗)+ ��𝑖𝑖𝑛

𝐼��(𝑖)+ ��𝑖𝑗𝑛

𝐼��(𝑗)+ ��𝑏(𝑖)


+ ��𝑔(𝑖)


(98)

𝑎 ∙ ��𝑇ℎ𝑎(𝑖)= ��𝑖𝑖1𝐼��(𝑖)

+ ��𝑖𝑗1𝐼��(𝑗)+ ��𝑖𝑖𝑛

𝐼��(𝑖)+ ��𝑖𝑗𝑛

𝐼��(𝑗)+ ��𝑐(𝑖)


+ ��𝑔(𝑖)


O sistema de equações (98) representa o circuito trifásico equivalente em termos da

barra (i) e é ilustrado na Figura 26.

Figura 26: Circuito trifásico equivalente para a barra (i).

De forma análoga, obtém-se o seguinte conjunto de equações em termos da barra (j)

��𝑇ℎ𝑎(𝑗)= ��𝑗𝑗1𝐼��(𝑗)

+ ��𝑖𝑗1𝐼��(𝑖)+ ��𝑗𝑗𝑛

𝐼��(𝑗)+ ��𝑖𝑗𝑛

𝐼��(𝑖)+ ��𝑓(𝑗)

𝑎 𝐼��(𝑗)+ ��𝑓(𝑗)

𝑔𝐼��(𝑗)

𝑎2 ∙ ��𝑇ℎ𝑎(𝑖)= ��𝑗𝑗1𝐼��(𝑗)

+ ��𝑖𝑗1𝐼��(𝑖)+ ��𝑗𝑗𝑛

𝐼��(𝑗)+ ��𝑖𝑗𝑛

𝐼��(𝑖)+ ��𝑓𝑗

𝑏 𝐼��(𝑗)+ ��𝑓(𝑗)


(99)


58

𝑎 ∙ ��𝑇ℎ𝑎(𝑖)= ��𝑗𝑗1𝐼��(𝑗)

+ ��𝑖𝑗1𝐼��(𝑖)+ ��𝑗𝑗𝑛

𝐼��(𝑗)+ ��𝑖𝑗𝑛

𝐼��(𝑖)+ ��𝑓𝑗

𝑐 𝐼��(𝑗)+ ��𝑓(𝑗)


que são representadas através do circuito trifásico para a barra (j) mostrado na Figura 27.

Figura 27: Circuito trifásico equivalente para a barra (j).

Note que há oito incógnitas envolvidas no conjunto de equações (98) e (99), porém,

assim como nos casos anteriores, cada circuito possui quatro equações LI, totalizando oito

equações LI, o que permite resolver os circuitos equivalentes.

Além disso, é possível observar também que mesmo não havendo conexão elétrica entre

os circuitos obtidos, há um acoplamento entre eles através de tensões induzidas representadas,

por exemplo, por ��𝑖𝑗1𝐼��(𝑗) e ��𝑖𝑗𝑛

𝐼��(𝑗)na fase “a” do circuito trifásico obtido em termos da barra

(i). Perceba que essas tensões induzidas foram representada por fontes de tensão controladas

pelas correntes da outra barra e que o ganho de tensão é igual à impedância mútua entre as

barras que sofreram a falta. Em outras palavras, cada corrente de falta de uma dada fase (ou do

neutro) numa barra induz uma tensão na fase correspondente (ou no neutro) da outra barra. Para

ficar mais claro, reescreve-se o conjunto de equações (98) na forma

��𝑇ℎ𝑎(𝑖)= (��𝑖𝑖1 + ��𝑎(𝑖)

𝑓) 𝐼��(𝑖)

+ (��𝑖𝑖𝑛+ ��𝑔(𝑖)

𝑓)𝐼��(𝑖)

+ ��𝑖𝑗1𝐼��(𝑗)+ ��𝑖𝑗𝑛

𝐼��(𝑗)

𝑎2 ∙ ��𝑇ℎ𝑎(𝑖)= (��𝑖𝑖1 + ��𝑏(𝑖)

𝑓) 𝐼��(𝑖)

+ (��𝑖𝑖𝑛+ ��𝑔(𝑖)

𝑓) 𝐼��(𝑖)

+ ��𝑖𝑗1𝐼��(𝑗)+ ��𝑖𝑗𝑛

𝐼��(𝑗) (100)

𝑎 ∙ ��𝑇ℎ𝑎(𝑖)= (��𝑖𝑖1 + ��𝑐(𝑖)

𝑓) 𝐼��(𝑖)

+ (��𝑖𝑖𝑛+ ��𝑔(𝑖)

𝑓)𝐼��(𝑖)

+ ��𝑖𝑗1𝐼��(𝑗)+ ��𝑖𝑗𝑛

𝐼��(𝑗)

Reescrevendo também o sistema (99), vem

��𝑇ℎ𝑎(𝑗)= (��𝑗𝑗1 + ��𝑎(𝑗)

𝑓) 𝐼��(𝑗)

+ (��𝑗𝑗𝑛+ ��𝑔(𝑗)

𝑓) 𝐼��(𝑗)

+ ��𝑖𝑗1𝐼��(𝑖)+ ��𝑖𝑗𝑛

𝐼��(𝑖)


59

𝑎2 ∙ ��𝑇ℎ𝑎(𝑗)= (��𝑗𝑗1 + ��𝑏(𝑗)

𝑓) 𝐼��(𝑗)

+ (��𝑗𝑗𝑛+ ��𝑔(𝑗)

𝑓) 𝐼��(𝑗)

+ ��𝑖𝑗1𝐼��(𝑖)+ ��𝑖𝑗𝑛

𝐼��(𝑖) (101)

𝑎 ∙ ��𝑇ℎ𝑎(𝑗)= (��𝑗𝑗1 + ��𝑐(𝑗)

𝑓) 𝐼��(𝑗)

+ (��𝑗𝑗𝑛+ ��𝑔(𝑗)

𝑓) 𝐼��(𝑗)

+ ��𝑖𝑗1𝐼��(𝑖)+ ��𝑖𝑗𝑛

𝐼��(𝑖)

Perceba a semelhança das equações dos sistemas (100) e (101) com as equações (64),

(65) e (66) deduzidas para o caso de uma única falta shunt. Basicamente, a diferença entre elas

são os termos referentes às tensões induzidas que não existiam para aquele caso. Dessa forma,

pode-se deduzir os circuitos demonstrados de uma forma intuitiva, adotando-se o seguinte

raciocínio:

1. Construa os circuitos equivalentes para resolver cada falta separadamente, isto é,

construa o circuito para a falta numa barra desconsiderando a falta na outra barra. A

Figura 28 mostra como exemplo a malha da fase “a” para a barra (i).

Figura 28: Malha da fase “a” do circuito trifásico em termos da barra (i).

2. Agora, insira as tensões induzidas em cada malha por cada corrente na fase

correspondente (ou no neutro) da outra barra, conforme Figura 29, que toma como

base a mesma malha anterior.

Figura 29: Inclusão das tensões induzidas pelas correntes de falta correspondentes da outra barra.


60

3. Adicione as impedâncias de falta em cada malha, resultando no circuito final de

acordo com a Figura 30 que representa a malha da fase “a”.

Figura 30: Malha resultante da fase “a” para a barra (i).

B) Circuito em Componentes Simétricas

Para deduzir o circuito representativo da falta em questão, em componentes simétricas,

basta considerar as equações (88) e (89) ou somente a equação matricial (90) deduzidas

anteriormente. A partir dessas equações, monta-se o circuito elétrico de cada rede de sequência

para uma dada barra, como foi feito nas deduções anteriores, e utiliza-se as condições de

contorno para conectá-las da mesma forma como é feito a conexão das redes para uma única

falta, ou seja, para o caso da falta simples. Note que, nessas equações, não foi suposto que as

impedâncias de sequência positiva e negativa fossem iguais, ou seja, não haverá necessidade

dessa condição para o desenvolvimento a ser apresentado.

Como exemplo, tem-se a Figura 31 que ilustra as redes a serem conectadas em cada

circuito equivalente, um para a barra (i) e outro para a barra (j). A Figura 32 mostra a conexão

entre as redes para o caso de uma falta monofásica na fase “a” da barra (i) e uma falta bifásica

nas fases “b” e “c” da barra (j). Assim como no caso do circuito obtido em coordenadas de fase,

esses circuitos estão relacionados com os circuitos utilizados para resolver uma única falta shunt

em componentes simétricas.

Observe que a diferença entre eles é novamente a tensão induzida por cada corrente

sequencial de uma barra nas respectivas redes da outra barra. Com isso, pode-se utilizar o

mesmo raciocínio da seção anterior para construir de maneira lógica os circuitos equivalentes

da falta considerada, com a exceção de que agora não são as correntes de fase ou do neutro que


61

induzem tensões, mas sim as correntes sequenciais, isto é, as correntes de sequência zero,

positiva e negativa induzem tensões das respectivas sequências em cada uma das outras redes.

Figura 31: Redes de sequência para (a) barra (i); (b) barra (j).

Figura 32: Conexão entre as redes para (a) falta monofásica na fase “a” da barra (i); (b) falta bifásica entre as

fases “b” e “c” da barra (j).


62

3.2.2 Falta shunt-série


Para o caso de uma falta shunt e outra série simultâneas nos locais indicados da Figura

23, pode-se utilizar a Figura 33 que representa todos os tipos do caso considerado. Note que é

necessário adicionar uma barra na Figura 23 no ponto da falta série. Considerando a falta shunt

na barra (i) e a falta série na região da barra (j), incluiremos uma barra (j’) nessa região para

simular a falta série.

Figura 33: Representação geral de uma falta shunt e outra série simultâneas: (a) falta shunt na barra (i); (b) falta

série entre as barras (j) e (j’).

Na figura 33, ��𝑎(𝑖)

𝑓, ��𝑏(𝑖)

𝑓 e ��𝑐(𝑖)

𝑓 são, respectivamente, as impedâncias da falta shunt em

cada fase “a”, “b” e “c” na barra (i); ��𝑎(𝑗𝑗′)

𝑓, ��𝑏

(𝑗𝑗′)

𝑓e ��𝑐

(𝑗𝑗′)

𝑓 são, respectivamente, as impedâncias

da falta série em cada fase “a”, “b” e “c” entre as barras (j) e (j’); e ��𝑔(𝑖)

𝑓 a impedância de falta

entre o neutro 𝑛(𝑖)′ e a terra 𝑛(𝑖) na barra (i).

De forma similar, utiliza-se a matriz de impedância nodal para calcular as variações de

tensão devido a cada falta no SEP. Sendo assim, tem-se

[ ∆��1

⋮∆��𝑖

⋮∆��𝑗

∆��𝑗′

⋮∆��𝑁 ]

= [��]

[

0⋮

−∆𝐼��⋮

−∆𝐼��

−∆𝐼��′⋮0 ]


63

Portanto, a variação de tensão da barra (i) é dada por

∆��𝑖 = −��𝑖𝑖∆𝐼�� − ��𝑖𝑗∆𝐼�� − ��𝑖𝑗′∆𝐼��′

enquanto da barra (j) é

∆��𝑗 = −��𝑗𝑖∆𝐼�� − ��𝑗𝑗∆𝐼�� − ��𝑗𝑗′∆𝐼��′

∆��𝑗′ = −��𝑗′𝑖∆𝐼�� − ��𝑗′𝑗∆𝐼�� − ��𝑗′𝑗′∆𝐼��′

Mas ∆𝐼��′ = −∆𝐼�� e, com isso, obtém-se

∆��𝑖 = −��𝑖𝑖∆𝐼�� − ��𝑖𝑗∆𝐼�� + ��𝑖𝑗′∆𝐼�� = −��𝑖𝑖∆𝐼�� − (��𝑖𝑗 − ��𝑖𝑗′)∆𝐼�� (102)

∆��𝑗 = −��𝑗𝑖∆𝐼�� − ��𝑗𝑗∆𝐼�� + ��𝑗𝑗′∆𝐼�� = −��𝑗𝑖∆𝐼�� − (��𝑗𝑗 − ��𝑗𝑗′)∆𝐼�� (103)

∆��𝑗′ = −��𝑗′𝑖∆𝐼�� − ��𝑗′𝑗∆𝐼�� + ��𝑗′𝑗′∆𝐼�� = −��𝑗′𝑖∆𝐼�� − (��𝑗′𝑗 − ��𝑗′𝑗′)∆𝐼�� (104)

De maneira similar como feito para uma falta série, subtrai-se (104) de (103), obtendo-

se

∆��𝑗𝑗′ = −(��𝑗𝑖 − ��𝑗′𝑖)∆𝐼�� − (��𝑗𝑗 + ��𝑗′𝑗′ − ��𝑗𝑗′ − ��𝑗′𝑗)∆𝐼��

Lembrando que num sistema simétrico, pode-se afirmar que ��𝑗𝑖 = ��𝑖𝑗 e ��𝑗′𝑖 = ��𝑖𝑗′.

Logo,

∆��𝑗𝑗′ = −(��𝑖𝑗 − ��𝑖𝑗′)∆𝐼�� − (��𝑗𝑗 + ��𝑗′𝑗′ − 2��𝑗𝑗′)∆𝐼�� (105)

Antes de continuar o desenvolvimento, é interessante definir um novo termo que surgiu

nessas últimas equações. O termo ��𝑖𝑗 − ��𝑖𝑗′ que aparece na equação (102) e na (105) é uma

impedância associada à corrente de outra barra e, por isso, definiremos esta como uma

impedância mútua resultante entre todas as barras envolvidas nas faltas, isto é, as barras (i), (j)

e (j’). Ou ainda, esse termo pode ser definido como impedância mútua resultante da falta shunt-

série entre essas barras. Sendo assim, denotaremos-a por ��𝑖𝑗𝑚, onde o índice “m” indica que a

impedância em questão é uma espécie de impedância mútua, porém com a diferença que, nesse

caso, a verdadeira impedância mútua ��𝑖𝑗 sofreu uma alteração devido à influência da corrente

de uma barra adicional, a barra (j’), em relação ao caso da falta shunt-shunt.

Por exemplo, no caso da falta shunt-shunt, as barras (i) e (j) interagiam entre si

produzindo a impedância mútua ��𝑖𝑗 (deve ficar claro que quando se fala aqui em interação entre

as barras, significa que as correntes de falta dessas barras induzem tensões, que estão associadas

com a impedãncia mútua, nas demais barras do sistema). Mas no caso da falta shunt-série, há

três barras: (i), (j) e (j’). Nesse caso, a barra (i) interage mutuamente com a barra (j) produzindo

a impedância mútua ��𝑖𝑗 e, ao mesmo tempo, também interage mutuamente com a barra (j’)

produzindo ��𝑖𝑗′, porém com sinal contrário.


64

Dessa forma, a impedância mútua resultante nesse caso é

��𝑖𝑗𝑚 = ��𝑖𝑗 − ��𝑖𝑗′

onde o sinal positivo ou negativo das impedâncias componentes da mútua resultante vem do

fato da corrente da barra (j) ter sido definida com o sentido positivo.

Com isso, pode-se reescrever a equação (102) como

∆��𝑖 = −��𝑖𝑖∆𝐼�� − ��𝑖𝑗𝑚∆𝐼�� (106)

Pode-se notar também que o termo ��𝑗𝑗 + ��𝑗′𝑗′ − 2��𝑗𝑗′ que aparece na equação (102) é

a impedância de Thévenin ��𝑗𝑗′𝑇ℎ entre as barras (j) e (j’). Desse modo, pode-se reescrever a

equação (105) como

∆��𝑗𝑗′ = −��𝑗𝑖𝑚∆𝐼�� − ��𝑗𝑗′

𝑇ℎ∆𝐼�� (107)

Fazendo ∆𝐼�� = 𝐼�� e ∆𝐼�� = 𝐼��, as equações (106) e (107) se transformam nas seguintes

equações

∆��𝑖 = −��𝑖𝑖𝐼�� − ��𝑖𝑗𝑚𝐼�� (108)

∆��𝑗𝑗′ = −��𝑗𝑖𝑚𝐼�� − ��𝑗𝑗′

𝑇ℎ𝐼�� (109)

Agora, usando o PS, isto é,

��𝑖 = ��𝑖0 + ∆��𝑖

��𝑗𝑗′ = ��𝑗𝑗′0 + ∆��𝑗𝑗′

e usando as equações (108) e (109) nas últimas duas, vem

��𝑖 = ��𝑖0 − ��𝑖𝑖𝐼�� − ��𝑖𝑗

𝑚𝐼�� (110)

��𝑗𝑗′ = ��𝑗𝑗′0 − ��𝑗𝑖

𝑚𝐼�� − ��𝑗𝑗′𝑇ℎ𝐼�� (111)

Note que essas equações possuem a mesma forma das equações representativas do caso

anterior (falta shunt-shunt) e, por isso, obtém-se de modo similar os circuitos elétricos

equivalentes para esse tipo de falta. A Figura 34 apresenta o circuito equivalente “visto” pela

barra (i) que sofreu a falta shunt e a Figura 35 apresenta o circuito “visto” pelas barras (j) e (j’)

que estão envolvidas na falta série.

Perceba que para obter os circuitos nesse caso, pode-se partir dos circuitos trifásicos

representativos das faltas simples: shunt e série. Para isso, é necessário acrescentar o efeito da

tensão induzida em cada circuito representativo daquela falta. Nesse caso, a tensão induzida

está associada à impedância mútua resultante ��𝑖𝑗𝑚 da falta shunt-série.

Pode-se perceber também que esse circuito pode ser obtido do circuito equivalente para

representar a falta shunt-shunt trocando-se a impedância própria da barra que sofreu a falta série


65

pela impedância de Thévenin entre as barras envolvidas nessa falta. Além de trocar as

verdadeiras impedâncias mútuas ��𝑖𝑗 dos dois circuitos pelas impedâncias mútuas resultantes

��𝑖𝑗𝑚 da falta shunt-série.

Figura 34: Representação geral do circuito equivalente para a falta shunt na barra (i) inflenciada pela

falta série entre as barras (j) e (j’).

Figura 35: Representação geral do circuito equivalente para a falta série entre as barras (j) e (j’)

influenciada pela falta shunt na barra (i).


Para desenvolver o circuito em componentes simétricas, basta considerar as equações

(110) e (111) em termos de cada sequência: positiva, negativa e zero. A partir dessas equações,

monta-se o circuito elétrico de cada rede de sequência para uma dada falta, como foi feito nas

deduções anteriores, e utiliza-se as condições de contorno para conectá-las da mesma forma


66

como é feito a conexão das redes para uma única falta. Como exemplo, tem-se a Figura 36 que

ilustra as redes a serem conectadas para cada falta, enquanto a Figura 37 mostra a conexão entre

as redes para o caso de uma falta monofásica na fase “a” da barra (i) e uma falta série na fase

“a” entre as barras (j) e (j’).

Assim como comentado na seção anterior e como pode ser observado, esses circuitos

podem ser obtidos pela expansão dos circuitos em componentes simétricas que representam

cada falta simples.

Por exemplo, para o circuito equivalente da barra (i), que sofreu a falta shunt, mantém-

se a impedância ��𝑖𝑖 de uma dada rede e acrescenta-se a fonte de tensão induzida pela

correspondente corrente sequencial da outra barra, sendo o ganho de tensão agora igual à

impedância mútua resultante ��𝑖𝑗𝑚 da rede considerada.

Figura 36: Redes de sequência para (a) barra (i); (b) barras (j)-(j’).


67

Figura 37: Conexão entre as redes de sequência devido (a) à falta monofásica na fase “a” da barra (i); (b) falta

série na fase “a” entre as barras (j) e (j’).

3.2.3 Falta série-série


Para o caso de duas faltas série simultâneas nos locais indicados da Figura 23, pode-se

utilizar a Figura 38 que representa todos os tipos do caso considerado. Note que devem ser

incluídas duas barras adicionais, uma para cada barra da Figura 23. Dessa forma, serão incluídas

as barras (i’) próxima à barra (i) e a barra (j’) próxima à barra (j) para simular esse caso.

Na figura 38, ��𝑎(𝑖𝑖′)

𝑓, ��𝑏

(𝑖𝑖′)

𝑓 e ��𝑐

(𝑖𝑖′)

𝑓 são, respectivamente, as impedâncias de falta em

cada fase “a”, “b” e “c” entre as barras (i) e (i’); ��𝑎(𝑗𝑗′)

𝑓, ��𝑏

(𝑖𝑖′)

𝑓 e ��𝑐

(𝑖𝑖′)

𝑓 são, respectivamente, as

impedâncias da falta série em cada fase “a”, “b” e “c” entre as barras (j) e (j’).

De forma similar, utiliza-se a matriz de impedância nodal para calcular as variações de

tensão devido a cada falta no SEP. Sendo assim, tem-se

[ ∆��1

⋮∆��𝑖

∆��𝑖′

⋮∆��𝑗

∆��𝑗′

⋮∆��𝑁 ]

= [��]

[

0⋮

−∆𝐼��−∆𝐼��′

⋮−∆𝐼��

−∆𝐼��′⋮0 ]


68

Figura 38: Representação geral de duas faltas série simultâneas: (a) falta série entre as barras (i) e (i’);

(b) falta série entre as barras (j) e (j’).

Portanto, a variação de tensão das barras que sofreram as faltas são dadas por

∆��𝑖 = −��𝑖𝑖∆𝐼�� − ��𝑖𝑖′∆𝐼��′ − ��𝑖𝑗∆𝐼�� − ��𝑖𝑗′∆𝐼��′

∆��𝑖′ = −��𝑖′𝑖∆𝐼�� − ��𝑖′𝑖′∆𝐼��′ − ��𝑖′𝑗∆𝐼�� − ��𝑖′𝑗′∆𝐼��′

∆��𝑗 = −��𝑗𝑖∆𝐼�� − ��𝑗𝑖′∆𝐼��′ − ��𝑗𝑗∆𝐼�� − ��𝑗𝑗′∆𝐼��′

∆��𝑗′ = −��𝑗′𝑖∆𝐼�� − ��𝑗′𝑖′∆𝐼��′ − ��𝑗′𝑗∆𝐼�� − ��𝑗′𝑗′∆𝐼��′

Mas ∆𝐼��′ = −∆𝐼�� e ∆𝐼��′ = −∆𝐼��, e com isso, obtém-se

∆��𝑖 = −(��𝑖𝑖 − ��𝑖𝑖′)∆𝐼�� − (��𝑖𝑗 − ��𝑖𝑗′)∆𝐼�� (112)

∆��𝑖′ = −(��𝑖′𝑖 − ��𝑖′𝑖′)∆𝐼�� − (��𝑖′𝑗 − ��𝑖′𝑗′)∆𝐼�� (113)

∆��𝑗 = −(��𝑗𝑖 − ��𝑗𝑖′)∆𝐼�� − (��𝑗𝑗 − ��𝑗𝑗′)∆𝐼�� (114)

∆��𝑗′ = −(��𝑗′𝑖 − ��𝑗′𝑖′)∆𝐼�� − (��𝑗′𝑗 − ��𝑗′𝑗′)∆𝐼�� (115)

De maneira similar como feito para uma falta série, subtrai-se (113) de (112), obtendo-

se

∆��𝑖𝑖′ = −(��𝑖𝑖 + ��𝑖′𝑖′ − ��𝑖𝑖′ − ��𝑖′𝑖)∆𝐼�� − (��𝑖𝑗 + ��𝑖′𝑗′ − ��𝑖𝑗′ − ��𝑖′𝑗)∆𝐼��

e também (115) de (114), resultando

∆��𝑗𝑗′ = −(��𝑗𝑖 + ��𝑗′𝑖′ − ��𝑗𝑖′ − ��𝑗′𝑖)∆𝐼�� − (��𝑗𝑗 + ��𝑗′𝑗′ − ��𝑗𝑗′ − ��𝑗′𝑗)∆𝐼��

Lembrando que os sistemas considerados são simétricos, pode-se afirmar que ��𝑖𝑖′ = ��𝑖′𝑖

e ��𝑗𝑗′ = ��𝑗′𝑗.

Logo,

∆��𝑖𝑖′ = −(��𝑖𝑖 + ��𝑖′𝑖′ − 2��𝑖𝑖′)∆𝐼�� − (��𝑖𝑗 + ��𝑖′𝑗′ − ��𝑖𝑗′ − ��𝑖′𝑗)∆𝐼��

∆��𝑗𝑗′ = −(��𝑗𝑖 + ��𝑗′𝑖′ − ��𝑗𝑖′ − ��𝑗′𝑖)∆𝐼�� − (��𝑗𝑗 + ��𝑗′𝑗′ − 2��𝑗𝑗′)∆𝐼��

Reescrevendo as equações anteriores, vem


69

∆��𝑖𝑖′ = −(��𝑖𝑖 + ��𝑖′𝑖′ − 2��𝑖𝑖′)∆𝐼�� − [(��𝑖𝑗 − ��𝑖𝑗′) + (��𝑖′𝑗′ − ��𝑖′𝑗)]∆𝐼�� (116)

∆��𝑗𝑗′ = −[(��𝑗𝑖 − ��𝑗𝑖′) + (��𝑗′𝑖′ − ��𝑗′𝑖)]∆𝐼�� − (��𝑗𝑗 + ��𝑗′𝑗′ − 2��𝑗𝑗′)∆𝐼�� (117)

Note que, trabalhando com as definições de ��𝑖𝑗𝑇ℎ e de ��𝑖𝑗

𝑚 feitas nas seções anteriores,

pode-se reconhecer os termos de (116) e (117) como

��𝑖𝑖′𝑇ℎ = ��𝑖𝑖 + ��𝑖′𝑖′ − 2��𝑖𝑖′

��𝑗𝑗′𝑇ℎ = ��𝑗𝑗 + ��𝑗′𝑗′ − 2��𝑗𝑗′

��𝑖𝑗𝑚 = ��𝑖𝑗 − ��𝑖𝑗′

��𝑖′𝑗′𝑚 = ��𝑖′𝑗′ − ��𝑖′𝑗

��𝑗𝑖𝑚 = ��𝑗𝑖 − ��𝑗𝑖′

��𝑗′𝑖′𝑚 = ��𝑗′𝑖′ − ��𝑗′𝑖

Reescrevendo as equações (116) e (117), tem-se

∆��𝑖𝑖′ = −��𝑖𝑖′𝑇ℎ∆𝐼�� − (��𝑖𝑗

𝑚 + ��𝑖′𝑗′𝑚 )∆𝐼�� (118)

∆��𝑗𝑗′ = −(��𝑗𝑖𝑚 + ��𝑗′𝑖′

𝑚 )∆𝐼�� − ��𝑗𝑗′𝑇ℎ∆𝐼�� (119)

A soma das impedâncias “mútuas” que aparecem nessas útltimas equações podem ser

definidas como uma impedância mútua resultante entre todas as barras que sofreram a falta, ou

seja, entre as barras (i), (i’), (j) e (j’). Ou ainda, esse termo pode ser definido como impedância

mútua resultante da falta série-série entre essas barras. Assim como no caso da falta shunt-série,

pode-se interpretar, por exemplo, que a impedância mútua resultante que aparece na equação

(118) é resultado da interação mútua entre a barra (i) com as barras (j) e (j’) produzindo ��𝑖𝑗𝑚 e

da interação mútua entre a barra (i’) com as barras (j) e (j’) produzindo ��𝑖′𝑗′𝑚 , com a observação

de que o sentido da corrente nas barras (i) e (j) foram definidas com o sentido positivo.

Sendo assim, a impedância mútua total é dada pela soma das duas componentes ��𝑖𝑗𝑚 e

��𝑖′𝑗′𝑚 . Com isso, define-se

��𝑖𝑗𝑀 = ��𝑖𝑗

𝑚 + ��𝑖′𝑗′𝑚

��𝑗𝑖𝑀 = ��𝑗𝑖

𝑚 + ��𝑗′𝑖′𝑚

como as impedâncias mútuas resultantes da falta série-série entre as respectivas barras. Dessa

forma, as equações (118) e (119) se tornam

∆��𝑖𝑖′ = −��𝑖𝑖′𝑇ℎ∆𝐼�� − ��𝑖𝑗

𝑀∆𝐼�� (120)

∆��𝑗𝑗′ = −��𝑗𝑖𝑀∆𝐼�� − ��𝑗𝑗′

𝑇ℎ∆𝐼�� (121)


70

Agora, considerando o sistema simétrico, conclui-se que as impedâncias ��𝑖𝑗𝑀 e ��𝑗𝑖

𝑀 são

iguais, apesar das impedâncias componentes de qualquer uma delas, por exemplo, ��𝑖𝑗𝑚 e ��𝑗𝑖

𝑚

serem diferentes entre si. De fato, pela definição de ��𝑖𝑗𝑀 e de ��𝑗𝑖

𝑀, vem

��𝑖𝑗𝑀 = ��𝑖𝑗

𝑚 + ��𝑖′𝑗′𝑚 = (��𝑖𝑗 − ��𝑖𝑗′) + (��𝑖′𝑗′ − ��𝑖′𝑗) (122)

��𝑗𝑖𝑀 = ��𝑗𝑖

𝑚 + ��𝑗′𝑖′𝑚 = (��𝑗𝑖 − ��𝑗𝑖′) + (��𝑗′𝑖′ − ��𝑗′𝑖) (123)

mas, pela hipótese do sistema ser simétrico, pode-se reescrever essa última equação como

��𝑗𝑖𝑀 = (��𝑖𝑗 − ��𝑖′𝑗) + (��𝑖′𝑗′ − ��𝑖𝑗′) = (��𝑖𝑗 − ��𝑖𝑗′) + (��𝑖′𝑗′ − ��𝑖′𝑗) (124)

Comparando (122) e (124), confirma-se a igualdade entre as impedâncias mútuas

resultantes ��𝑖𝑗𝑀 e ��𝑗𝑖

𝑀. Portanto, pode-se reescrever as equações (120) e (121) da seguinte

maneira

∆��𝑖𝑖′ = −��𝑖𝑖′𝑇ℎ∆𝐼�� − ��𝑖𝑗

𝑀∆𝐼�� (125)

∆��𝑗𝑗′ = −��𝑖𝑗𝑀∆𝐼�� − ��𝑗𝑗′

𝑇ℎ ∆𝐼�� (126)

Fazendo ∆𝐼�� = 𝐼�� e ∆𝐼�� = 𝐼��, as equações (125) e (126) se tornam

∆��𝑖𝑖′ = −��𝑖𝑖′𝑇ℎ𝐼�� − ��𝑖𝑗

𝑀𝐼�� (127)

∆��𝑗𝑗′ = −��𝑖𝑗𝑀𝐼�� − ��𝑗𝑗′

𝑇ℎ𝐼�� (128)

Agora, usando o PS, isto é,

��𝑖𝑖′ = ��𝑖𝑖′0 + ∆��𝑖𝑖′

��𝑗𝑗′ = ��𝑗𝑗′0 + ∆��𝑗𝑗′

e usando as equações (127) e (128) nas últimas duas, vem

��𝑖𝑖′ = ��𝑖𝑖′0 − ��𝑖𝑖′

𝑇ℎ𝐼�� − ��𝑖𝑗𝑀𝐼�� (129)

��𝑗𝑗′ = ��𝑗𝑗′0 − ��𝑖𝑗

𝑀𝐼�� − ��𝑗𝑗′𝑇ℎ𝐼�� (130)

Novamente, nota-se que essas equações resultantes possuem a mesma forma que as

equações obtidas dos casos anteriores e, por isso, o circuito elétrico equivalente é semelhante

aqueles. Além disso, os circuitos resultantes estão representados nas figuras 39 e 40.

Perceba que para obter os circuitos nesse caso, pode-se partir do circuito trifásico

representativo de uma única falta série, sendo somente necessário acrescentar o efeito da tensão

induzida em cada circuito que representa as barras envolvidas na falta. Nesse caso, a tensão

induzida está associada à impedância mútua resultante ��𝑖𝑗𝑀 da falta série-série. Pode-se perceber

também que esse circuito pode ser obtido do circuito equivalente para representar a falta shunt-

shunt trocando-se as impedâncias de Thévenin entre uma dada barra e a referência pela


71

impedância de Thévenin entre as barras da falta série, além de trocar as verdadeiras impedâncias

mútuas ��𝑖𝑗 pelas impedâncias mútuas resultantes ��𝑖𝑗𝑀.

Figura 39: Representação geral do circuito equivalente em termos das barras (i) e (i’) para o caso de duas faltas

série.

Figura 40: Representação geral do circuito equivalente em termos das barras (j) e (j’) para o caso de duas faltas

série.


Para desenvolver o circuito em componentes simétricas, basta considerar as equações

(129) e (130) em termos de cada sequência: positiva, negativa e zero. A partir dessas equações,

monta-se o circuito elétrico de cada rede de sequência para uma dada falta, como foi feito nas

deduções anteriores, e utiliza-se as condições de contorno para conectá-las da mesma forma


72

como é feito a conexão das redes para uma única falta. Como exemplo, tem-se a Figura 41 que

ilustra as redes a serem conectadas em cada barra, enquanto a Figura 42 mostra a conexão entre

as redes para o caso de uma falta série na fase “a” entre as barras (i) e (i’), e uma falta série nas

fases “b” e “c” entre as barras (j) e (j’).

De modo similar às discussões anteriores, esses circuitos podem ser obtidos pela

expansão dos circuitos em componentes simétricas que representam cada falta série simples.

Por exemplo, para o circuito equivalente entre as barras “i” e i’, mantém-se a impedância ��𝑖𝑖′𝑇ℎ

de uma dada rede e acrescenta-se a fonte de tensão induzida pela correspondente corrente

sequencial da outra barra, sendo o ganho de tensão agora igual à impedância mútua resultante

��𝑖𝑗𝑀 da rede considerada.

Figura 41: Redes de sequência em termos das (a) barras (i) - (i’); (b) barras (j) - (j’).


73

Figura 42: Conexão entre as redes de sequência devido (a) à falta série na fase “a” entre as barras (i) e (i´); (b)

falta série nas fases “b” e “c” entre as barras (j) e (j´).

3.3 N faltas simultâneas

Baseado nas ideias anteriores, pode-se desenvolver os circuitos equivalentes para um

número qualquer de faltas. Por exemplo, na seção 3.2.1, foi visto que, por meio do cálculo das

variações de tensão usando a matriz de impedância nodal e do PS, as seguintes equações

��𝑖 = ��𝑖0 − ��𝑖𝑖∆𝐼�� − ��𝑖𝑗∆𝐼��

��𝑗 = ��𝑗0 − ��𝑖𝑗∆𝐼�� − ��𝑗𝑗∆𝐼��

surgiam para o caso de duas faltas shunt. Escrevendo essas equações em termos de cada

sequência, chegava-se aos circuitos resultantes.

Considerando agora três faltas shunt, uma na barra (i), uma na (j) e outra em (k), obtém-

se as seguintes equações

��𝑖 = ��𝑖0 − ��𝑖𝑖∆𝐼�� − ��𝑖𝑗∆𝐼�� − ��𝑖𝑘∆𝐼��

��𝑗 = ��𝑗0 − ��𝑗𝑖∆𝐼�� − ��𝑗𝑗∆𝐼�� − ��𝑗𝑘∆𝐼��

��𝑘 = ��𝑘0 − ��𝑘𝑖∆𝐼�� − ��𝑘𝑗∆𝐼�� − ��𝑘𝑘∆𝐼��

Escrevendo-as em termos das sequências positiva, negativa e zero, obtém-se as redes de

sequência resultantes para uma dada barra. As redes em termos da barra (i), por exemplo, são

aquelas mostradas na Figura 43. Com isso, são obtidos três conjuntos de circuitos, um em

relação à cada barra onde ocorreu a falta. E para resolver o problema, basta utilizar as condições

de contorno para determinar a conexão das redes de sequência e analisar os circuitos resultantes

simultaneamente.


74

Figura 43: Circuito em componentes simétricas em relação à barra (i).

Para obter o circuito equivalente em coordenadas de fase, basta proceder da mesma

maneira como foi feito na seção 3.2.1, isto é, escrever as equações anteriores em componentes

simétricas, somá-las membro a membro e desenvolvê-las até obter as correntes e tensões em

coordenadas de fase. Note também que, assim como nos casos anteriores, será obtido um

circuito trifásico para cada barra que sofreu a falta, que analisados simultaneamente permite a

solução do problema. A Figura 44 apresenta a malha da fase “a” do circuito trifásico resultante,

em coodenadas de fase, em termos da barra (i).

Figura 44: Malha da fase “a” do circuito resultante, em coordenadas de fase, em relação à barra (i).

Perceba que para obter qualquer um desses circuitos, basta utilizar os modelos de

circuitos desenvolvidos para uma única falta shunt numa dada barra, acrescentando as tensões


75

induzidas (ou fontes de tensão controladas) pelas correntes de falta de uma dada fase (ou de

sequência) das outras barras. Com isso, deve-se adicionar uma fonte dependente em cada

circuito para cada barra que sofreu a falta, com exceção da barra que está representando o

circuito.

Por exemplo, para o circuito em termos da barra (i), deve-se adicionar as fontes de

tensão controladas pelas correntes de falta da barra (j) e da barra (k), sendo o ganho de tensão

de cada fonte igual à impedância mútua entre as respectivas barras.

Além disso, como são três faltas, devem ser analisados três conjuntos de circuitos, um

para cada barra afetada diretamente pela falta. Todas essas propriedades continuam sendo

válidas para um número qualquer de faltas shunt.

Para faltas envolvendo faltas série, pode-se mostrar também (usando a mesma

metodologia utilizada durante todo o tempo, isto é, obter as variações de tensão usando a matriz

de impedância nodal e o PS) que essas propriedades continuam sendo válidas. Mas, devem ser

consideradas algumas observações.

Considere, por exemplo, duas faltas shunt nas barras (i) e (j), e duas faltas série nas

barras (k)-(k’) e (l)-(l’). Ao montar o circuito em termos de uma barra que sofreu uma falta

shunt, a barra (i) por exemplo, deve-se adicionar as fontes controladas pelas correntes da barra

(j), (k) e (l) no circuito considerado. O ganho de tensão em relação à barra (j), que sofreu a falta

shunt, é a impedância mútua entre as barras (i) e (j), uma vez que se trata da interação entre

duas faltas shunt, isto é, falta do tipo shunt-shunt. No entanto, o ganho em relação às outras

barras que sofreram a falta série, a barra (k) por exemplo, é a impedância mútua resultante ��𝑖𝑘𝑚

da falta shunt-série definida na seção 3.2.2 como

��𝑖𝑘𝑚 = ��𝑖𝑘 − ��𝑖𝑘′.

resultado da interação entre uma falta shunt e outra série.

Agora, ao montar o circuito em termos de uma barra que sofreu a falta série, a barra (k)

por exemplo, deve-se inserir as fontes dependentes das correntes de falta das barras (i), (j) e (l).

As fontes controladas pelas correntes das barras (i) e (j), que sofreram a falta shunt, estão

associadas às impedâncias mútuas resultantes ��𝑘𝑖𝑚 e ��𝑘𝑗

𝑚 da falta tipo shunt-série. Enquanto a

fonte controlada pela corrente da barra (l), que sofreu a falta série, está associada à impedância

mútua resultante ��𝑖𝑘𝑀 da falta série-série definida na seção 3.2.3 como

��𝑘𝑙𝑀 = ��𝑘𝑙

𝑚 + ��𝑘′𝑙′𝑚

uma vez que é o resultado de uma interação entre faltas série. A Figura 45 mostra a malha da

fase “a” do circuito elétrico equivalente em termos da barra (i) e a Figura 46 mostra também a


76

malha da fase “a” do circuito equivalente em termos das barras (k) e (k’), em coordenadas de

fase. Os demais circuitos são semelhantes aos apresentados.

Figura 45: Malha da fase “a” do circuito trifásico resultante, em coordenadas de fase, em relação à barra (i).

Figura 46: Malha da fase “a” do circuito trifásico resultante, em coordenadas de fase, em relação às barras (k) e

(k’).

Para mostrar que isso é verdade, considere as barras (i), (k) e (k’) do caso comentado

anteriormente. As variações de tensão nessas barras são dadas por

��𝑖 = ��𝑖0 − ��𝑖𝑖∆𝐼�� − ��𝑖𝑗∆𝐼�� − ��𝑖𝑘∆𝐼�� − ��𝑖𝑘′∆𝐼��′ − ��𝑖𝑙∆𝐼�� − ��𝑖𝑙′∆𝐼��′

��𝑘 = ��𝑘0 − ��𝑘𝑖∆𝐼�� − ��𝑘𝑗∆𝐼�� − ��𝑘𝑘∆𝐼�� − ��𝑘𝑘′∆𝐼��′ − ��𝑘𝑙∆𝐼�� − ��𝑘𝑙′∆𝐼��′

��𝑘′ = ��𝑘′0 − ��𝑘′𝑖∆𝐼�� − ��𝑘′𝑗∆𝐼�� − ��𝑘′𝑘∆𝐼�� − ��𝑘′𝑘′∆𝐼��′ − ��𝑘′𝑙∆𝐼�� − ��𝑘′𝑙′∆𝐼��′

Mas, ∆𝐼��′ = −∆𝐼�� e ∆𝐼��′ = −∆𝐼��. Logo,

��𝑖 = ��𝑖0 − ��𝑖𝑖∆𝐼�� − ��𝑖𝑗∆𝐼�� − (��𝑖𝑘 − ��𝑖𝑘′)∆𝐼�� − (��𝑖𝑙 − ��𝑖𝑙′)∆𝐼�� (131)

��𝑘 = ��𝑘0 − ��𝑘𝑖∆𝐼�� − ��𝑘𝑗∆𝐼�� − (��𝑘𝑘 − ��𝑘𝑘′)∆𝐼�� − (��𝑘𝑙 − ��𝑘𝑙′)∆𝐼�� (132)

��𝑘′ = ��𝑘′0 − ��𝑘′𝑖∆𝐼�� − ��𝑘′𝑗∆𝐼�� − (��𝑘′𝑘 − ��𝑘′𝑘′)∆𝐼�� − (��𝑘′𝑙 − ��𝑘′𝑙′)∆𝐼�� (133)

Subtraindo (133) de (132), considerando o sistema simétrico e fazendo ∆𝐼 = 𝐼, vem

��𝑖 = ��𝑖0 − ��𝑖𝑖𝐼�� − ��𝑖𝑗𝐼�� − ��𝑖𝑘

𝑚𝐼�� − ��𝑖𝑙𝑚𝐼�� (131)

��𝑘𝑘′ = ��𝑘𝑘′0 − ��𝑘𝑖

𝑚𝐼�� − ��𝑘𝑗𝑚𝐼�� − ��𝑘𝑘′

𝑇ℎ 𝐼�� − ��𝑘𝑙𝑀𝐼�� (132)


77

Escevendo essas equações em termos de componentes simétricas, obtém-se os circuitos

resultantes nesse domínio. E para obter no domínio de coordenadas de fase, basta somar as

equações, por exemplo, de (131) escritas em componentes simétricas e desenvolvê-las até obter

as correntes e tensões em componentes de fase, resultando no circuito em relação à barra (i).

Fazendo o mesmo com as equações de (132), obtém-se o circuito em coordenadas de fase em

relação às barras (k)-(k’).


78

4 Validação dos modelos

Para validação do circuito utilizou-se um sistema teste que apresenta as seguintes

características:

• Sistema elétrico de potência interligado, com duas barras.

• A interligação das duas barras é realizada através de uma linha de circuito

duplo sem acoplamento mútuo.

A Figura 47 ilustra o sistema teste utilizado para a validação dos modelos. Os dados de

impedância e condição pré-falta para o sistema sob estudo estão expostos na Tabela 1, onde

todos os dados estão em pu.

Figura 47: Sistema teste utilizado para validação.

Tabela 1: Dados do sistema teste.

Equivalente 1 (G1) Equivalente 2 (G2) Linha de transmissão (LT)

𝐸𝐺1 1,2 pu 𝐸𝐺1 1,0 pu -------------------- --------------------

𝑋1 = 𝑋2 0,3 pu 𝑋1 = 𝑋2 0,6 pu 𝑋1 = 𝑋2 0,4 pu

𝑋0 0,5 pu 𝑋0 ∞ 𝑋0 0,6 pu

A seguir serão estudados vários casos a fim de validar os modelos apresentados ao

longo do trabalho. Sendo que, em cada um dos casos, será desenvolvido os circuitos

equivalentes em termos de coordenadas de fase e em componentes simétricas. E com isso, os

resultados obtidos a partir dessa análise serão comparados com os resultados gerados através

de simulações por meio do programa ATPDraw.

4.1 Aplicação dos modelos para faltas simultâneas shunt-shunt.

Inicialmente, obtém-se a matriz [Y0], [Y1] e [Y2] do sistema apresentado na Figura 48,

que já contempla a barra fictícia inserida para a análise das faltas ocorrendo nas barras 1 e 3.

Essa barra foi incluída no sistema a fim de simular uma falta shunt no meio da linha de

transmissão.


79

Figura 48: Sistema teste com a barra fictícia 3 inserida para análise do problema.

Utilizando as equações deduzidas anteriormente para o cálculo das matrizes de

admitância, tem-se

[Y1] = [Y2] = −𝑗 [10,8333 −2,5 −5

−2,5 9,1667 −5−5 −5 10

] [𝑝𝑢]

[Y0] = −𝑗 [7,0000 −1,6667 −3,3333

−1,6667 6,6667 −3,3333−3,3333 −3,3333 6,6667

] [𝑝𝑢]

onde os índices 0,1 e 2 denotam as sequências zero, positiva e negativa.

A matriz de impedância nodal, conforme exposto na fundamentação teórica, pode ser

calculada pela inversa da matriz de admitância nodal. Com isso,

[��1] = [��2] = 𝑗 [0,2182 0,1636 0,19090,1636 0,2727 0,21820,1909 0,2182 0,3045

] [𝑝𝑢]

[��0] = 𝑗 [0,5 0,5 0,50,5 0,8 0,650,5 0,65 0,725

] [𝑝𝑢]

Lembrando que as barras afetadas são as barras 1 e 3, será necessário encontrar as

impedâncias ��111, ��131

, ��13n, ��11𝑛

, ��331, ��311

, ��31n , ��33𝑛

. Porém, o sistema teste é simétrico

e, portanto, todas as impedâncias mútuas são iguais.

As impedâncias que não possuem índice “n” podem ser retiradas diretamente da matriz.

Sendo assim,

��111= 𝑗0,2182 [𝑝𝑢]

��331= 𝑗0,3045 [𝑝𝑢]

��131= ��311

= 𝑗0,1909 [𝑝𝑢]

��110= 𝑗0,5 [𝑝𝑢]


80

��330= 𝑗0,725 [𝑝𝑢]

��130= ��310

= 𝑗0,5 [𝑝𝑢]

Por outro lado, as impedâncias que possuem indíce “n” devem ser obtidas utilizando as

equações

��11𝑛=

1

3(��110

− ��111) = 𝑗

1

3(0,5 − 0,2182) = 𝑗0, 0939 [𝑝𝑢]

��13𝑛= ��33𝑛

=1

3(��130

− ��131) = 𝑗

1

3(0,5 − 0,1909) = 𝑗0,1030 [𝑝𝑢]

��33𝑛=

1

3(��330

− ��331) = 𝑗

1

3(0,725 − 0,3045) = 𝑗0,1402 [𝑝𝑢]

Os outros dois valores que precisam ser determinados antes de calcular as correntes de

falta por meio dos circuitos equivalentes são as tensões pré-falta nas barras 1 e 3. Isso pode ser

feito através da aplicação da equação nodal utilizando o vetor de injeção de correntes pré-falta

que é conhecido e pode ser facilmente obtido por inspeção da Figura 48.

Portanto,

[

��𝑡ℎ1

��𝑡ℎ2

��𝑡ℎ3

] = 𝑗 [0,2182 0,1636 0,19090,1636 0,2727 0,21820,1909 0,2182 0,3045

] ∙

[ 1,2000

𝑗0,31,0000

𝑗0,60 ]

= [1,14551,10911,1273

] [𝑝𝑢]

A forma geral dos circuitos equivalentes em coordenadas de fase está exposta nas

Figuras 49 e 50, enquanto a dos circuitos em componentes simétricas está mostrada na Figura

51. Veja que para os circuitos em componentes simétricas pode-se selecionar diretamente os

termos nas matrizes de impedância nodal para a construção do circuito.

A partir desse ponto, serão analisados alguns casos da falta em questão nas barras 1 e 3,

onde as grandezas que deseja-se determinar são as correntes de falta em cada barra.


81

Figura 49: Circuito elétrico equivalente em coordenadas de fase para a barra 1.

Figura 50: Circuito elétrico equivalente em coordenadas de fase para a barra 3.


82

Figura 51: Circuitos elétricos equivalentes em componentes simétricas para (a) barra 1; (b) barra 2.

4.1.1 CASO 1: Falta monofásica na fase “a” ocorrendo na barra 1 e falta bifásica entre

as fases “b” e “c” da barra 3.

4.1.1.1 Circuito em coordenadas de fase

Para analisar este caso, pode-se definir as impedâncias de falta de acordo com as

imposições da falta analisada como

��𝑎(1)

𝑓= ��𝑔(1)

𝑓= ��𝑏(3)

𝑓= ��𝑐(3)

𝑓= 0

��𝑏(1)

𝑓= ��𝑐(1)

𝑓= ��𝑎(3)

𝑓= ��𝑔(3)

𝑓= ∞

Deve ficar claro que as impedâncias de falta poderiam assumir qualquer valor, porém,

foram definidas dessa maneira apenas para facilitar a análise do problema.

Além disso, pelas condições do problema, tem-se

𝐼��(1)= 𝐼��(1)

𝐼��(3)

= −𝐼��(3)

𝐼��(1)= 𝐼��(1)

= 𝐼��(3)= 𝐼��(3)

= 0

Sendo assim, os circuitos resultantes para a análise desse caso são apresentados nas

figuras 52 e 53, onde vê-se claramente que as malhas a serem utilizadas para o cálculo das


83

correntes de falta estão desacopladas, isto é, não há tensão induzida em qualquer uma delas, o

que facilita a análise.

Através da lei das malhas, pode-se equacionar

1,1455 = 𝑗(0,2182 + 0,0939)𝐼��(1)= 𝑗0,3121𝐼��(1)

𝑎2 ∙ 1,1273 = 2 ∙ 𝑗0,3045𝐼��(3)+ 𝑎 ∙ 1,1273 = 𝑗0,6090𝐼��(3)

+ 𝑎 ∙ 1,1273

Então,

𝐼��(1)= 𝐼��(1)

=1,1455

𝑗0,3121= −𝑗3,6715 [𝑝𝑢]

𝐼��(3)=

𝑎21,1273 − 𝑎1,1273

𝑗0,6090= −3,2061 [𝑝𝑢]

Além disso, pela lei dos nós

𝐼��(3)= −𝐼��(3)

= 3,2061 [𝑝𝑢]

Figura 52: Circuito equivalente para falta monofásica na fase “a” da barra 1.


84

Figura 53: Circuito equivalente para falta bifásica entre as fases “b” e “c” na barra 3.

4.1.1.2 Circuito em componentes simétricas

O mesmo pode ser feito utilizando o outro circuito apresentado nesse trabalho, que é o

circuito em componentes simétricas. Mas para a análise dessa falta deve-se fazer as devidas

conexões entre as redes de sequência conforme Fundamentação Teórica. Dessa forma, pelas

condições de contorno da falta na barra 1

𝐼��1(1)= 𝐼��2(1)

= 𝐼��0(1)

e pelas condições na barra 3

𝑉𝑎1(3)= 𝑉𝑎2(3)

= 0

𝐼��1(3)= −𝐼��2(3)

Com efeito, as redes da barra 1 estão em série, enquanto as da barra 3 estão em paralelo

com a ausência da rede de sequência zero. O resultado dos circuitos obtidos estão expostos na

Figura 54.

Novamente, utilizando a lei das malhas em cada circuito obtido, percebe-se claramente

o desacoplamento para o cálculo das correntes sequenciais, uma vez que, em cada malha, a

tensão induzida de uma rede é anulada por outra. De fato,

𝐼��0(1)= 𝐼��1(1)

= 𝐼��2(1)=

1,1455

𝑗(2 ∙ 0,2182 + 0,5000)= −𝑗1,2233 [𝑝𝑢]

𝐼��1(3)=

1,1273

2 ∙ 𝑗0,3045= −𝑗1,8511 [𝑝𝑢]


85

𝐼��2(3)= −𝐼��1(3)

= 𝑗1,8511 [𝑝𝑢]

Figura 54: Conexão das redes de sequência para as barras 1 e 3.

Finalmente, pode-se utilizar a matriz de síntese para obter as correntes de falta em

coordenadas de fase em cada barra

[

𝐼��(1)

𝐼��(1)

𝐼��(1)

] = [1 1 11 𝑎2 𝑎1 𝑎 𝑎2

] ∙ [

−𝑗1,2233−𝑗1,2233−𝑗1,2233

] = [−𝑗3,6699

00

] [𝑝𝑢]

[

𝐼��(3)

𝐼��(3)

𝐼��(3)

] = [1 1 11 𝑎2 𝑎1 𝑎 𝑎2

] ∙ [

0−𝑗1,8511𝑗1,8511

] = [0

−3,20623,2062

] [𝑝𝑢]

4.1.2 CASO 2: Falta monofásica na fase “a” ocorrendo na barra 1 e falta monofásica

na fase “c” ocorrendo na barra 3.


De acordo com as imposições da falta analisada,

��𝑎(1)

𝑓= ��𝑔(1)

𝑓= ��𝑐(3)

𝑓= ��𝑔(3)

𝑓= 0

��𝑏(1)

𝑓= ��𝑐(1)

𝑓= ��𝑎(3)

𝑓= ��𝑏(3)

𝑓= ∞

Neste caso, o circuito equivalente da barra 1 resulta no circuito da Figura 55, enquanto

o circuito da barra 2 está representado na Figura 56.


86

Figura 55: Circuito equivalente para falta monofásica na fase “a” da barra 1.

Figura 56: Circuito equivalente para falta monofásica na fase “c” da barra 3.

Veja que por imposição da falta estudada, a corrente 𝐼��(1) que passa pelo neutro do

circuito equivalente da barra 1 é a própria corrente de fase 𝐼��(1) assim como a corrente 𝐼��(3)

que

passa pelo neutro do circuito equivalente da barra 3 é a propria corrente de fase 𝐼��(3).

Portanto, por inspeção dos circuitos das figuras 55 e 56, pode-se equacionar

1,1455 = (𝑗0,2182 + 𝑗0,0939)𝐼��(1)

+ 0,1030𝐼��(3)

𝑎 ∙ 1,1273 = 𝑗0,103𝐼��(1)+ (𝑗0,3045 + 0,1402)𝐼��(3)

Na forma matricial


87

[1,1455∠0°

1,1273∠120°] = 𝑗 [

0,3121 0,10300,1030 0,4447

] [𝐼��(1)

𝐼��(3)

]

Resolvendo, vem

[𝐼��(1)

𝐼��(3)

] = (𝑗 [0,3121 0,10300,1030 0,4447

])−1

[1,1455

1,1273∠120°]

[𝐼��(1)

𝐼��(3)

] = [4,4960∠ − 100.05°

3,3026∠43,97°] [𝑝𝑢]


Pelas condições do caso considerado, as redes da barra 1 estão em série, enquanto as

redes da barra 2 também podem ser colocadas em série. Porém, fazendo dessa maneira, deve-

se trocar a referência da fase “a” pela fase “c” ao analisar as redes da barra 3. Fazendo isso,

mantém-se a mesma lógica das conexões entre as redes de sequência. A troca de referência é

possível de ser realizada, uma vez que (91), (92) ou (93) podem ser escritas em termos de

qualquer fase.

Logo, usando a referência da fase “a” para a barra 1 e da fase “c” para a barra 2, obtém-

se os circuitos equivalentes apresentados na Figura 57. Perceba que as correntes e tensões

sequenciais da barra 3 são dadas agora em função da fase “c”.

Figura 57: Circuitos equivalentes para as barras 1 e 3.

Por meio dessa figura, verifica-se também que há muitas incógnitas e somente duas

equações de malha. No entanto, pode-se reduzir o número de incógnitas escrevendo, por


88

exemplo, as correntes das fontes induzidas em função das correntes 𝐼𝑎0(1) e 𝐼𝑐0(3)

que estão

circulando pelas redes nas figuras. Isso reduz o número de incógnitas para dois e possibilita a

solução do problema. De fato, para as fontes controladas da barra 1,

𝐼𝑎0(3)= 𝐼𝑐0(3)

𝐼𝑎1(3)= 𝑎2 ∙ 𝐼𝑐1(3)

𝐼𝑎2(3)= 𝑎 ∙ 𝐼𝑐2(3)

Mas, como as redes estão ligadas em série, isto é, 𝐼𝑐0(3)= 𝐼𝑐1(3)

= 𝐼𝑐2(3), então

𝐼𝑎0(3)= 𝐼𝑐0(3)

𝐼𝑎1(3)= 𝑎2 ∙ 𝐼𝑐0(3)

𝐼𝑎2(3)= 𝑎 ∙ 𝐼𝑐0(3)

De forma similar, para as fontes da barra 2, vem

𝐼𝑐0(1)= 𝐼𝑎0(1)

𝐼𝑐1(1)= 𝑎 ∙ 𝐼𝑎1(1)

= 𝑎 ∙ 𝐼𝑎0(1)

𝐼𝑐2(1)= 𝑎2 ∙ 𝐼𝑎1(1)

= 𝑎2 ∙ 𝐼𝑎0(1)

Dessa forma, obtém-se os circuitos equivalentes apresentados na Figura 58 onde estão

presentes apenas duas incógnitas.

Figura 58: Circuitos equivalentes com as devidas transformações.

Usando a lei das malhas, vem

1,1455∠0° = 𝑗(2 ∙ 0,2182 + 0,5)𝐼��0(1)+ 𝑗(𝑎2 ∙ 0,1909 + 𝑎 ∙ 0,1909 + 0,5)𝐼��0(3)


89

1,1273∠120° = 𝑗(𝑎 ∙ 0,1909 + 𝑎2 ∙ 0,1909 + 0,5)𝐼��0(1)+ 𝑗(2 ∙ 𝑗0,3045 + 𝑗0,7250)𝐼��0(3)

[1,1455

1,1273∠120°] = 𝑗 [

0,9364 0,30910,3091 1,334

] [𝐼��0(1)

𝐼��0(3)

]

cuja solução é

[𝐼��0(1)

𝐼��0(3)

] = (𝑗 [0,9364 0,30910,3091 1,334

])−1

[1,1455

1,1273∠120°]

[𝐼��0(1)

𝐼��0(3)

] = [1,4986∠ − 100,05°1,1011∠43,970°

] [𝑝𝑢]

Usando a matriz de síntese 𝐴 para recuperar os valores em coordenadas de fase das

correntes de falta da barra 1, vem

[

𝐼��(1)

𝐼��(1)

𝐼��(1)

] = 𝐴 ∙

[ 𝐼��0(1)

𝐼��1(1)

𝐼��2(1)]

= 𝐴 ∙ [1,4986∠ − 100,05°1,4986∠ − 110,05°1,4986∠ − 100,05°

] = [4,4958∠ − 100,05°

00

] [𝑝𝑢]

Para calcular as correntes de falta na barra 3, pode-se utilizar uma matriz semelhante à

matriz de síntese 𝐴, denotada aqui por 𝐶, onde a referência agora é a fase “c”. Essa matriz é

obtida escrevendo os fasores 𝐼��, 𝐼�� e 𝐼�� em função de 𝐼��0, 𝐼��1

e 𝐼��2. Dessa forma, obtém-se

𝐶 = [1 𝑎2 𝑎1 𝑎 𝑎2

1 1 1

]

Com isso,

[

𝐼��(3)

𝐼��(3)

𝐼��(3)

] = 𝐶 ∙

[ 𝐼��0(1)

𝐼��1(1)

𝐼��2(1)]

= 𝐶 ∙ [1,1011∠ − 43,970°1,1011∠ − 43,970°1,1011∠ − 43,970°

] = [00

3,3033∠ − 43,970°] [𝑝𝑢]

Outra forma de obter as correntes de falta é usar o fato de que

𝐼��(1)= 3𝐼��0(1)

= 3 ∙ 1,4986∠ − 100,05° = 4,4958∠ − 100,05° [𝑝𝑢]

𝐼��(3)= 3𝐼��0(3)

= 3 ∙ 1,1011∠43,970° = 3,3033∠43,970° [𝑝𝑢]

Para mostrar que as redes da barra 2 estão em série, basta utilizar as condições de

contorno desse caso na equação [𝐼��012] = 𝐶−1[𝐼��𝑏𝑐]. Além disso, pode-se perceber também

que a resolução desse problema utilizando o circuito em componentes simétricas exige um

número maior de equações do que o circuito em coordenadas de fase.


90

4.1.3 CASO 3: Falta monofásica na fase “a” ocorrendo na barra 1 e falta trifásica à

terra na barra 3


Para este caso, as impedâncias de falta são

��𝑏(1)

𝑓= ��𝑐(1)

𝑓= ∞

��𝑎(1)

𝑓= ��𝑔(1)

𝑓= ��𝑎(2)

𝑓= ��𝑏(3)

𝑓= ��𝑐(3)

𝑓= ��𝑔(3)

𝑓= 0

Os circuitos equivalentes das barras 1 e 3 são mostrados nas figuras 59 e 60,

respectivamente.

Figura 59: Circuito equivalente para falta monofásica na barra 1.

Figura 60: Circuito equivalente para falta trifásica à terra na barra 3.


91

Utilizando o método das malhas, vem

[

1,14551,1273

1,1273∠ − 120°1,1273∠120°

] = 𝑗 [

0,3121 0,2939 0,1030 0,10300,2939 0,4447 0,1402 0,14020,1030 0,1402 0,4447 0,14020,1030 0,1402 0,1402 0,4447

]

[ 𝐼��(1)

𝐼��(3)

𝐼��(3)

𝐼��(3) ]

resultando

[ 𝐼��(1)

𝐼��(3)

𝐼��(3)

𝐼��(3) ]

= [

3,7363∠ − 90,00°1,2819∠ − 90,00°3,7417∠148,97°3,7417∠31,03°

] [𝑝𝑢]


Novamente, as redes de sequência da barra 1 devem ser conectadas em série, conforme

Figura 61 à esquerda. No entanto, pelas condições da falta trifásica na barra 3, isto é,

𝑉𝑎(3)= 𝑉𝑏(3)

= 𝑉𝑐(3)= 0

que implica em

𝑉𝑎0(3)= 𝑉𝑎1(3)

= 𝑉𝑎2(3)= 0

obriga as redes de sequência dessa barra a serem curto-circuitadas da forma mostrada na Figura

61 à direita.



92

Uma observação importante a ser tomada é a comparação desse caso com o da

ocorrência de uma única falta trifásica equilibrada. Por exemplo, no caso de uma única falta, as

redes de sequência negativa e zero também seriam curto-circuitadas. E não exisitindo uma fonte

em qualquer uma dessas redes, a única rede que alimentaria o curto seria a de sequência

positiva.

Já no caso presente, as redes do ponto de vista da barra que sofreu a falta trifásica

equilibrada, contém fontes para alimentar suas respectivas redes e, por isso, elas contribuem

para o cálculo da corrente de falta.

Usando o método das malhas em cada circuito equivalente, vem

[

1,14550

1,12730

] = 𝑗 [

0,9364 0,5 0,1909 0,19090,5 0,7250 0 0

0,1909 0 0,3045 00,1909 0 0 0,3045

]

[ 𝐼��0(1)

𝐼��0(3)

𝐼��1(3)

𝐼��2(3)]

resultando

[ 𝐼��0(1)

𝐼��0(3)

𝐼��1(3)

𝐼��2(3)]

= [

−𝑗1,2457𝑗0,8591

−𝑗2,9211𝑗0,7810

] [𝑝𝑢]

A corrente de falta na barra 1 é dada por

𝐼��(1)= 3𝐼��0(1)

= 3 ∙ (−𝑗1,2457) = −𝑗3,7372 [𝑝𝑢]

enquanto na barra 2, converte-se as correntes sequenciais para valores em coordenadas de fase

por meio da equação de síntese, isto é,

[

𝐼��(3)

𝐼��(3)

𝐼��(3)

] = 𝐴 ∙ [−𝑗𝑗0,85912,9211𝑗0,7810

] = [1,2810∠ − 90°3,7418∠148,96°3,7418∠31,036°

] [𝑝𝑢]


93

4.1.4 CASO 4: Falta monofásica na fase “a” ocorrendo na barra 1 e falta trifásica sem

contato com a terra na barra 3


Este caso é bem similar ao caso anterior, porém, é interessante fazê-lo para que perceba-

se a diferença entre esse caso, onde a falta trifásica não possui contato com a terra, e o caso

anterior, que apresentava contato.

Essa diferença, que no caso de uma única falta trifásica equilibrada era indiferente, agora

produz resultados totalmente diferentes. De fato, quando ocorria uma única falta desse tipo, a

presença do neutro no circuito em coordenadas de fase era irrelevante, uma vez que o circuito

era equilibrado e, portanto, apresentava a corrente do neutro nula tanto na presença quanto na

ausência do contato à terra. Porém, agora os circuitos equivalentes são desequilibrados, o que

permite a existência da corrente do neutro no caso anterior, enquanto no caso presente a corrente

do neutro é nula, pois não há contato com a terra.

Para este caso, as impedâncias de falta são

��𝑎(1)

𝑓= ��𝑔(1)

𝑓= ��𝑎(3)

𝑓= ��𝑏(3)

𝑓= ��𝑐(3)

𝑓= 0

��𝑏(1)

𝑓= ��𝑐(1)

𝑓= ��𝑔(3)

𝑓= ∞

Desse modo, o circuito resultante da barra 1 fica conforme a Figura 62, enquanto o da

barra 2 é mostrado na Figura 63.

Figura 62: Circuito equivalente para falta monofásica na barra 1.


94

Figura 63: Circuito equivalente para falta trifásica sem contato com a terra na barra 3.

Usando lei das malhas nos circuitos equivalentes das barras 1 e 3, tem-se

Agora, usando a lei dos nós no neutro do circuito da barra 3, vem

0 = 𝐼��(3)+ 𝐼��(3)

+ 𝐼��(3)

Escrevendo essas 4 equações na forma matricial, tem-se

[

1,1455∠0°1,9525∠30°

1,9525∠ − 90°0

] = 𝑗 [

0,3121 0,1909 0 00,1909 0,3045 −0,3045 0

0 0 0,3045 −0,30450 1 1 1

]

[ 𝐼��(1)

𝐼��(3)

𝐼��(3)

𝐼��(3) ]

Finalmente, resolvendo o sistema para o cálculo das correntes de falta, vem

[ 𝐼��(1)

𝐼��(3)

𝐼��(3)

𝐼��(3) ]

= [

1,8887∠ − 90,00°2,9127∠ − 90,00°3,5213∠155,57°3,5213∠24,429°

] [𝑝𝑢]

1,1455 = 𝑗(0,2182 + 0,0939)𝐼��(1)+ 𝑗0,1909𝐼��(3)

1,1273 − 𝑎2 ∙ 1,1273 = 𝑗0,3045𝐼��(3)+ 𝑗0,1909𝐼��(1)

− 𝑗0,3045𝐼��(3)

𝑎2 ∙ 1,1273 − 𝑎 ∙ 1,1273 = 𝑗0,3045𝐼��(3)− 𝑗0,3045𝐼��(3)


95


Pelo fato de não haver contato da falta trifásica com a terra, seu circuito equivalente não

apresenta a rede de sequência zero. Com isso, os circuitos resultantes são semelhantes ao da

Figura 61, porém sem a presença dessa rede. A Figura 64 apresenta os circuitos resultantes em

componentes simétricas.

Usando o método das malhas, vem

[1,14551,1273

0] = 𝑗 [

0,9364 0,1909 0,19090,1909 0,3045 00,1909 0 0,3045

]

[ 𝐼��0(1)

𝐼��1(3)

𝐼��2(3)]

[ 𝐼��0(1)

𝐼��1(3)

𝐼��2(3)]

= [

−𝑗0,62947−𝑗3,3075𝑗0,39463

] [𝑝𝑢]


A corrente de falta na barra 1 é igual a

𝐼��(1)= 3𝐼��0(1)

= 3 ∙ (−𝑗0,62947) = −𝑗1,8884 [𝑝𝑢]

enquanto as correntes de falta na barra 3 podem ser calculadas por meio da equação de síntese

[ 𝐼��(3)

𝐼��(3)

𝐼��(3)]

= 𝐴 ∙

[ 𝐼��0(3)

𝐼��1(3)

𝐼��2(3)]

= 𝐴 ∙ [0

−𝑗3,3075𝑗0,39463

] = [2,9129∠ − 90°3,5214∠155,57°3,5214∠24,431°

] [𝑝𝑢]


96

4.2 Aplicação dos modelos para análise de faltas simultâneas shunt-série.

Para análise das faltas simultâneas tipo shunt-série utilizou-se o mesmo sistema teste da

Figura 47. A Figura 65 ilustra o ponto onde ocorreu a falta série. Conforme exemplos anteriores,

primeiramente montou-se a matriz de admitância nodal de cada rede de sequência do sistema,

adicionando-se as barras fictícias no local da falta, além de considerar a desconexão entre as

barras que sofreram a falta série.

[Y1] = [Y2] = −𝑗 [

10,8333 −2,5 −5 0−2,5 9,1667 0 −5−5 0 5 00 −5 0 5

] [𝑝𝑢]

[Y0] = −𝑗 [

7 −1,6667 −3,3333 0−1,6667 5 0 −3,3333−3,3333 0 3,3333 0

0 −3,3333 0 3,3333

] [𝑝𝑢]

Figura 65: Local da falta série no sistema teste.

Invertendo ambas as matrizes

[��1] = [��2] = 𝑗 [

0,2308 0,1385 0,2308 0,13850,1385 0,3231 0,1385 0,32310,2308 0,1385 0,4308 0,13850,1385 0,3231 0,1385 0,5231

] [𝑝𝑢]

[��0] = 𝑗 [

0,5 0,5 0,5 0,50,5 1,1 0,5 1,10,5 0,5 0,8 0,50,5 1,1 0,5 1,4

] [𝑝𝑢]

obtém-se as matrizes de impedância nodal de sequência positiva, negativa e zero.

Considerando que a falta série ocorreu entre as barras 3 e 4, e a falta shunt ocorreu na

barra 4, calcula-se os parâmetros a seguir

��341

𝑇ℎ = ��331+ ��441

− 2��341= 𝑗0,4308 + 𝑗0,5231 − 2(𝑗0,1385) = 𝑗0,6769 [𝑝𝑢]


97

��340

𝑇ℎ = ��330+ ��440

− 2��340= 𝑗0,8000 + 𝑗1,4000 − 2(𝑗0,5000) = 𝑗1, 2000[𝑝𝑢]

��34n

𝑇ℎ =1

3(��340

𝑆 − ��341

𝑆 ) =1

3𝑗(1,2000 − 0,6769) = 𝑗0, 1744[𝑝𝑢]

��341

𝑚 = ��341− ��441

= 𝑗0,1385 − 𝑗0,5231 = −𝑗0,3846 [𝑝𝑢]

��340

𝑚 = ��340− ��440

= 𝑗0,5000 − 𝑗1.4000 = −𝑗0,9 [𝑝𝑢]

��34𝑛

𝑚 =1

3(��340

𝑚 − ��341

𝑚 ) =1

3𝑗(−0,9000 + 0,3846) = −𝑗0,1718 [𝑝𝑢]

��441= 𝑗0,5231 [𝑝𝑢]

��440= 1,4000 [𝑝𝑢]

��44n=

1

3(��440

− ��441) =

1

3𝑗(1,4000 − 0,5231) = 𝑗0,2923[𝑝𝑢]

para a construção dos circuitos.

Além disso, ainda será necessário calcular a tensão pré-falta entre as barras 3 e 4, que

pode ser feito utilizando a equação nodal como segue

[ ��𝑡ℎ1

��𝑡ℎ2

��𝑡ℎ3

��𝑡ℎ4]

= 𝑗 [

0,2308 0,2308 0,2308 0,13850,1385 0,3231 0,1385 0,32310,2308 0,3085 0,4308 0,13850,1385 0,3231 0,1385 0,5231

]

[ 1,2000

𝑗0,31,0000

𝑗0,600 ]

= [

1,15381,09231,15381,0923

] [𝑝𝑢]

Portanto, a tensão pré-falta entre as barras 3 e 4 é

��𝑡ℎ34= 1,1538 − 1,0923 = 0,0615 [𝑝𝑢]

A partir disso, pode-se construir os circuitos equivalentes de forma geral como mostrado

nas figuras 66, 67 e 68.


98

Figura 66: Forma geral do circuito em coordenadas de fase entre as barras 3 e 4.

Figura 67: Forma geral do circuito em coordenadas de fase da barra 4.


99

Figura 68: Forma geral dos circuitos em componentes simétricas para (a) barras 3-4; (b) barra 4.

4.2.1 CASO 5: Abertura da fase “a” entre as barras 3 e 4 e falta shunt monofásica na

fase “a” ocorrendo na barra 4.


Aplicando as imposições de impedância de falta para esse caso, obtém-se os circuitos

da Figura 69 e 70.

Figura 69: Circuito elétrico equivalente para abertura da fase “a” entre as barras 3 e 4.


100

Figura 70: Circuito elétrico equivalente para falta shunt na fase “a” da barra 4.

O equacionamento destes circuitos pode ser escrito como

𝑎2 ∙ 0,0615 = 𝑗0,6769𝐼��(3)− 𝑗0,1718𝐼��(4)

+ 𝑗0,1744𝐼��(3)

𝑎 ∙ 0,0615 = 𝑗0,6769𝐼��(3)− 𝑗0,1718𝐼��(4)

+ 𝑗0,1743𝐼��(3)

1,0923 = 𝑗(0,5231 + 0,2923)𝐼��(4)− 𝑗0,1718𝐼��(3)

Mas,

𝐼��(3)= 𝐼��(3)

+ 𝐼��(3)

então pode-se escrever o sistema na seguinte forma matricial

[𝑎2 ∙ 0,0615𝑎 ∙ 0,06151,0923

] = 𝑗 [0,8513 0,1744 −0,17180,1744 0,8513 −0,1718

−0,1718 −0,1718 0,8154] [

𝐼��(3)

𝐼��(3)

𝐼��(4)

]

resultando

[

𝐼��(3)

𝐼��(3)

𝐼��(4)

] = [0,22347∠ − 110,62°0,22347∠ − 69,384°1,4277∠ − 90,000°

] [𝑝𝑢]

A tensão entre os terminais da falta série na fase “a”, pode ser calculada usando o

circuito equivalente entre as barras 3 e 4. De fato, usando lei das malhas no laço que contém a

fase “a” e o neutro desse circuito, tem-se


101

��𝑎(34)= 0,0615 + 𝑗0,3846𝐼��(4)

+ 𝑗0,1718𝐼��(4)− 𝑗0,1744𝐼��(3)

Mas,

𝐼𝑛(3)= 𝐼��(3)

+ 𝐼��(3)

logo,

��𝑎(34) = 0,0615 + 𝑗0,5564𝐼��(4)− 𝑗0,1744(𝐼��(3)

+ 𝐼��(3))

Substituindo pelas correntes de falta 𝐼��(4), 𝐼��(3)

e 𝐼��(3),resulta

��𝑎(34) = 0,78306∠ (9,3204 ∙ 10−5)°[pu]


A partir dos parâmetros já determinados, pode-se construir os circuitos equivalentes em

componentes simétricas. E, usando as condições de contorno em cada falta, conclui-se que as

redes de sequência para o circuito equivalente entre as barras 3 e 4 são ligadas em paralelo e as

redes para o circuito da barra 4 estão ligadas em série. A Figura 71 apresenta os circuitos

resultantes.

Figura 71: Circuitos equivalentes em componentes simétricas.

Usando lei das malhas, vem

0,0615 = 𝑗0,6769𝐼a1(3)− 𝑗0,3846𝐼a1(4)

+ j0,3846𝐼a1(4)− j0,6769𝐼a2(3)

0 = 𝑗0,6769𝐼a2(3)− 𝑗0,3846𝐼a1(4)

+ 𝑗0,9𝐼a1(4)− 𝑗1,2𝐼a0(3)


102

1,0923 = 𝑗(2 ∙ 0,5231 + 1,4)𝐼a1(4)− 𝑗0,3846𝐼a1(3)

− 𝑗0,3846𝐼a2(3)− 𝑗0,9𝐼a0(3)

Mas, pela lei dos nós

𝐼a2(3)= −(𝐼a1(3)

+ 𝐼a0(3))

Substituindo essa condição nas equações anteriores, vem

0,0615 = j1,3538𝐼a1(3)+ j0,6769𝐼a0(3)

0 = −𝑗0,6769𝐼a1(3)− 𝑗1,8769𝐼a0(3)

+ 𝑗0,5154𝐼a1(4)

1,0923 = 𝑗2,4462𝐼a1(4)− 𝑗0,5154𝐼a0(3)

Escrevendo na forma matricial

[0,0615

01,0923

] = 𝑗 [0,6769 1,3538 0

−1,8769 −0,6769 0,5154−0,5154 0 2,4462

]

[ 𝐼a0(3)

𝐼a1(3)

𝐼a1(4)]

cuja solução é

[ 𝐼a0(3)

𝐼a1(3)

𝐼a1(4)]

= [

−𝑗0,13945𝑗0,02430

−𝑗0,47591] [𝑝𝑢]

Lembrando que

𝐼��0(4)= 𝐼��1(4)

= 𝐼��2(4)

e

𝐼��(4)= 𝐼��0(4)

+ 𝐼��1(4)+ 𝐼��2(4)

obtém-se

𝐼��(4)= 3 ∙ 𝐼��1(4)

Portanto,

𝐼��(4)= 3 ∙ (−𝑗0,47591) = −𝑗1,4277 [𝑝𝑢]


103

Para achar as correntes de falta entre as barras 3 e 4 em valores de fase, pode-se utilizar

a equação de síntese. Porém, é necessário encontrar primeiro a corrente de sequência negativa

a qual pode ser calculada por

𝐼��2(3)= −(𝐼��0(3)

+ 𝐼��1(3)) = −(−𝑗0,13945 + 𝑗0,02430) = 𝑗0,11515 [𝑝𝑢]

Convertendo em componentes de fase, vem

[

𝐼𝑎(3)

𝐼𝑏(3)

𝐼𝑐(3)

] = 𝐴 ∙

[ 𝐼a0(3)

𝐼a1(3)

𝐼a2(3)]

= 𝐴 ∙ [

−𝑗0,13945𝑗0,02430𝑗0,11515

] = [0

0,22348∠ − 110,61°0,22348∠ − 69,387°

] [𝑝𝑢]

4.3 Aplicação dos modelos para análise de faltas simultâneas série-série.

Novamente, utilizou-se o mesmo sistema teste da Figura 47 para análise das faltas

simultâneas tipo série-série. A Figura 72 ilustra os locais onde ocorreram as faltas série.

Conforme exemplos anteriores, primeiramente montou-se a matriz de admitância nodal de cada

rede de sequência do sistema, adicionando-se as barras fictícias no local da falta, e considerando

também a desconexão entre as barras que sofreram a falta série.

Figura 72: Sistema teste com a adição das barras fictícias para simulação da falta série-série.

Considerando a deconexão entre as barras 3-5 e 4-6, calcula-se as matrizes de

admitância nodal

[Y1] = [Y2] = −𝑗

[ 13,3333 0 −5 −5 0 0

0 11,6667 0 0 −5 −5−5 0 5 0 0 0−5 0 0 5 0 00 −5 0 0 5 00 −5 0 0 0 5 ]

[𝑝𝑢]


104

[Y0] = −𝑗

[

8,6667 0 −3,3333 −3,3333 0 00 6,6677 0 0 −3,3333 −3,3333

−3,3333 0 3,3333 0 0 0−3,3333 0 0 3,3333 0 0

0 −3,3333 0 0 3,3333 00 −3,3333 0 0 0 3,3333 ]

[𝑝𝑢]

Para o cálculo de [Y0] foi necessário considerar a impedância 𝑋0 do sistema à direita

com um valor finito muito grande em relação às outras do sistema, como j1000 [pu]. Através

da inversão das mesmas, obtém-se as matrizes de impedância nodal dos sistemas,

[Z1] = [Z2] = 𝑗

[ 0,3 0 0,3 0,3 0 00 0,6 0 0 0,6 0,6

0,3 0,0 0,5 0,3 0 00,3 0 0,3 0,5 0 00 0,6 0 0 0,8 0,60 0,6 0 0 0,6 0,8]

[𝑝𝑢]

[Z0] = 𝑗1000

[ 0,0005 0 0,0005 0,0005 0 0

0 1 0 0 1 10,0005 0 0,0008 0,0005 0 00,0005 0 0,0005 0,0008 0 0

0 1 0 0 1,0003 10 1 0 0 1 1,0003]

[𝑝𝑢]

Para esta falta, as tensões das barras causadas somente pelas fontes originais do sitema

podem ser obtidas usando

[��0] = [��][𝐼0]

Porém, pode-se obter as tensões em todas as barras do sistema facilmente, uma vez que

os sistemas 1 e 2 se encontram desconectados nessa situação. Com isso, a tensão que aparece

em cada barra é a tensão da fonte a qual está conectada. Sendo assim, a tensão entre os pontos

de abertura é

��350 = ��46

0 = 1,2 − 1 = 0,2 [𝑝𝑢]

As impedâncias do circuito equivalente são calculadas usando os valores encontrados

anteriormente da matriz de impedância nodal. Utilizando as definições, vem

��351

𝑇ℎ = ��46𝑇ℎ

1= ��331

+ ��551− 2��351

= 𝑗1,3 [𝑝𝑢]

��35𝑇ℎ

0= ��46

𝑇ℎ0

= ��440+ ��660

− 2��460= 𝑗1001,1 [𝑝𝑢]

��35𝑇ℎ

𝑛= ��46

𝑇ℎ𝑛

=1

3(��35

𝑇ℎ0− ��351

𝑇ℎ ) = 𝑗333,27 [𝑝𝑢]


105

��34𝑀

1= (��341

− ��361) + (��561

− ��541) = 𝑗0,9 [𝑝𝑢]

��34𝑀

0= (��340

− ��360) + (��560

− ��540) = 𝑗1000,5 [𝑝𝑢]

��34𝑀

𝑛=

1

3(��34

𝑀0− ��34

𝑀1) = 𝑗333,2 [𝑝𝑢]

A partir disso, pode-se construir os circuitos equivalentes em suas formas gerais

apresentados nas fiiguras 73, 74 e 75.




106

Figura 75: Forma geral dos circuitos em componentes simétricas para (a) barras 3-5; (b) barras 4-6.

4.3.1 CASO 6: Abertura da fase “a” entre as barras 3 e 5, e abertura das fases “b” e

“c” entre as barras 4 e 6.


Das condições da falta em questão, resulta os circuitos equivalentes mostrados nas

figuras 76 e 77.

Figura 76: Circuito elétrico equivalente entre as barras 3 e 5.


107

Figura 77: Circuito elétrico equivalente entre as barras 4 e 6.

Pelo método das malhas, vem

[𝑎2 ∙ 0,2𝑎 ∙ 0,20,2

] = j [334,57 333,27 333,2333,27 334,57 333,2333,2 333,2 334,57

]

[ 𝐼��(3)

𝐼��(3)

𝐼��(4)]

[ 𝐼��(3)

𝐼��(3)

𝐼��(4)]

= [0,15133∠151,69°0,15133∠28,309°0,14354∠ − 90°

] [𝑝𝑢]

A tensão entre os terminais da fase “a” entre as barras 3 e 5 pode ser calculada usando

lei das malhas no circuito correspondente. Usando a malha contendo a fase “a” e o neutro desse

circuito, vem

��𝑎(35)= 0,2 − 0,9𝐼��(4)

− 𝑗333,2𝐼��(4)− 𝑗333,27𝐼��(3)

Mas, pela lei dos nós,

𝐼��(3)= 𝐼��(3)

+ 𝐼��(3)

Logo,

��𝑎(35)= 0,2 − j334,1𝐼��(4)

− 𝑗333,27(𝐼��(3)+ 𝐼��(3)

)

Substituindo pelas correntes de falta determindas anteriormente, chega-se a

��𝑎(35)= 0,078104∠ − 0,30622° [𝑝𝑢]


108

Já para achar as tensões nas fases “b” e “c” entre as barras 4 e 6, basta utilizar as malhas

contendo essas do outro circuito. Com efeito,

��𝑏(46)= 𝑎2 ∙ 0,2 − 𝑗334,1𝐼��(3)

− 𝑗333,2𝐼��(3)− 𝑗333,27𝐼��(4)

= 0,072181∠ − 131,91°[𝑝𝑢]

��𝑐(46)= 𝑎 ∙ 0,2 − 𝑗333,2𝐼��(3)

− 𝑗334,1𝐼��(3)− 𝑗333,27𝐼��(4)

= 0,071563∠132,36° [𝑝𝑢]


Pelas condições de contorno, as redes do circuito “visto” pelas barras 3 e 5 devem ser

ligadas em paralelo, enquanto as redes do outro circuito devem ser ligadas em série. A Figura

78 apresenta os circuitos resultantes para a resolução do problema.

Figura 78: Circuitos equivalentes em componentes simétricas.

Combinando a lei do nós

𝐼a2(3)= −(𝐼a0(3)

+ 𝐼a1(3))

com o método das malhas, vem

[0,20

0,2] = 𝑗 [

1,3 2,6 0−1002,4 −1,3 −999,6999,6 0 1003,7

]

[ 𝐼a0(3)

𝐼a1(3)

𝐼a1(4)]

[ 𝐼a0(3)

𝐼a1(3)

𝐼a1(4)]

= [

𝑗0,047998−𝑗0,10092−𝑗0,048001

] [𝑝𝑢]


109

Mas,

𝐼��(4)= 3𝐼a1(4)

= 3 ∙ (−𝑗0,048001) = −𝑗0,14400 [𝑝𝑢]

Determinando a corrente 𝐼��2(3), que é dada por

𝐼��2(3)= −(𝐼��0(3)

+ 𝐼��1(3)) = −(𝑗0,047998 − 𝑗0,10092) = 𝑗0,052922 [𝑝𝑢]

pode-se calcular as correntes de falta entre as barras 3 e 5 usando a equação de síntese, isto é,

[

𝐼𝑎(3)

𝐼𝑏(3)

𝐼𝑐(3)

] = 𝐴 ∙

[ 𝐼a0(3)

𝐼a1(3)

𝐼a2(3)]

= 𝐴 ∙ [

𝑗0,047998−𝑗0,10092𝑗0,052922

] = [0

0,15144∠151,61°0,15144∠28,386°

] [𝑝𝑢]

4.4 Aplicação dos modelos para análise de 3 faltas simultâneas

O mesmo sistema teste da Figura 47 foi novamente utilizado para análise das três faltas

simultâneas. A seguir será estudado um caso semelhante ao evento que originou o blecaute em

2009 citado na introdução.

4.4.1 CASO 7: Faltas shunts nas fases “a”, “b” e “c” das barras 1,2 e 3,

respectivamente

Considerando uma falta na fase “a” da barra 1, uma na fase “b” da barra 2 e outra na

fase “c” no meio da linha de transmissão, será necessário criar uma barra fictícia no meio da

linha, denominada barra 3. A Figura 78 ilustra essa situação .

Nesse caso, as matrizes de impedância nodal já foram determinadas na seção 4.1 e são

dadas por

[��1] = [��2] = 𝑗 [0,2182 0,1636 0,19090,1636 0,2727 0,21820,1909 0,2182 0,3045

] [𝑝𝑢] [��1] = [��2] = 𝑗[ ] [𝑝𝑢]

[��0] = 𝑗 [0,5 0,5 0,50,5 0,8 0,650,5 0,65 0,725

] [𝑝𝑢]


110

Figura 79: Simulação de três faltas shunt em fases diferentes no sistema teste.

A partir dessas matrizes, pode-se determinar os parâmetros necessários para a

construção dos circuitos equivalentes em coordenadas de fase e em componentes simétricas.

Alguns deles podem ser obtidos diretamente das matrizes como

��111= 𝑗0,2182 [𝑝𝑢]

��221= 𝑗0,2727 [𝑝𝑢]

��331= 𝑗0,3045 [𝑝𝑢]

��121= ��211

= 𝑗0,1636 [𝑝𝑢]

��131= ��311

= 𝑗0,1909 [𝑝𝑢]

��231= ��321

= 𝑗0,2182 [𝑝𝑢]

��110= 𝑗0,5 [𝑝𝑢]

��220= 𝑗0,8 [𝑝𝑢]

��330= 𝑗0,725 [𝑝𝑢]

��120= ��210

= 𝑗0,5 [𝑝𝑢]

��130= ��310

= 𝑗0,5 [𝑝𝑢]

��230= ��320

= 𝑗0,65 [𝑝𝑢]

Os outros são obtidos através das seguintes equações

��11𝑛=

1

3(��110

− ��111) = 𝑗

1

3(0,5 − 0,2182) = 𝑗0,0939 [𝑝𝑢]

��22𝑛=

1

3(��220

− ��221) = 𝑗

1

3(0,8 − 0,2727) = 𝑗0,1758 [𝑝𝑢]

��33𝑛=

1

3(��330

− ��331) = 𝑗

1

3(0,725 − 0,3045) = 𝑗0,1402 [𝑝𝑢]


111

��12𝑛= ��21𝑛

=1

3(��120

− ��121) = 𝑗

1

3(0,5 − 0,1636) = 𝑗0,1121 [𝑝𝑢]

��13𝑛= ��31𝑛

=1

3(��130

− ��131) = 𝑗

1

3(0,5 − 0,1909) = 𝑗0,1030 [𝑝𝑢]

��23𝑛= ��32𝑛

=1

3(��230

− ��231) = 𝑗

1

3(0,65 − 0,2182) = 𝑗0,1439 [𝑝𝑢]

As tensões pré-falta também já foram calculadas na seção 4.1 e são iguais a

𝑉10 = 1,1455 [𝑝𝑢]

𝑉20 = 1,1091 [𝑝𝑢]

𝑉30 = 1,1273 [𝑝𝑢]

A partir dos parâmetros determinados, pode-se construir os circuitos equivalentes em

suas formas gerais que permitem a análise de qualquer caso para as três faltas shunt nas barras

em questão. A seguir, o caso considerado será resolvido pelos dois métodos apresentados ao

longo do trabalho: em coordenadas de fase e em componentes simétricas.


Assim como em todos os casos, a impedância de falta foi considerada nula para análise

desse problema. As figuras 80, 81 e 82 apresentam apenas as malhas necessárias para a solução

do problema em coordenadas de fase.

Das condições de contorno

𝐼��(1)= 𝐼��(1)

= 𝐼��(2)= 𝐼�� (2)

= 𝐼��(3)= 𝐼��(3)

= 0

e lembrando que a corrente do neutro 𝐼�� em cada circuito é dada por

𝐼�� = 𝐼�� + 𝐼�� + 𝐼��

pode-se utilizar o método das malhas diretamente para analisar os circuitos.

Dessa forma,

[1,1455∠0°

1,1091∠240°1,1273∠120°

] = 𝑗 [0,3121 0,1121 0,10300,1121 0,4485 0,14390,1030 0,1439 0,4447

]

[ 𝐼��(1)

𝐼��(2)

𝐼��(3)]


112

[ 𝐼��(1)

𝐼��(2)

𝐼��(3)]

= [4,9456∠ − 88,980°3,7129∠149,31°3,6784∠29,290°

] [𝑝𝑢]

Figura 80: Malha da fase “a” para a barra 1.

Figura 81: Malha da fase “b” para a barra 2.

Figura 82: Malha da fase “c” para a barra 3.


113


Como todas as barras envolvidas na falta sofreram curtos monofásicos, as redes de

sequência devem ser ligadas em série, com a observação de que os circuitos das barras 2 e 3

devem alterar a referência da fase “a” pelas fases “b” e “c”, respectivamente, da mesma forma

como foi feito no caso 2. As figuras 83, 84 e 85 apresentam os circuitos resultantes do ponto de

vista de cada barra para a análise em componentes simétricas.

Escrevendo as correntes das fontes dependentes de cada circuito pelas respectivas

correntes 𝐼��1(1), 𝐼��1(2)

e 𝐼��1(3)que estão circulando pelas redes nas figuras e usando o fato de

que

𝐼��0(1)= 𝐼��1(1)

= 𝐼��2(1)

𝐼��0(2)= 𝐼��1(2)

= 𝐼��2(2)

𝐼��0(3)= 𝐼��1(3)

= 𝐼��2(3)

obtém-se para as fontes do circuito “visto” pela barra 1

𝐼��1(2)= 𝑎 ∙ 𝐼��1(2)

𝐼��2(2)= 𝑎2 ∙ 𝐼��2(2)

= 𝑎2 ∙ 𝐼��1(2)

𝐼��0(2)= 𝐼��0(2)

= 𝐼��1(2)

𝐼��1(3)= 𝑎2 ∙ 𝐼��1(3)

𝐼��2(3)= 𝑎 ∙ 𝐼��2(3)

= 𝑎 ∙ 𝐼��1(3)

𝐼��0(3)= 𝐼��0(3)

= 𝐼��1(3)

Já para as correntes das fontes dependentes do circuito “visto” pela barra 2

𝐼��1(1)= 𝑎2 ∙ 𝐼��1(1)

𝐼��2(1)= 𝑎 ∙ 𝐼��2(1)

= 𝑎 ∙ 𝐼��1(1)

𝐼��0(1)= 𝐼��0(1)

= 𝐼��1(1)

𝐼��1(3)= 𝑎 ∙ 𝐼��1(3)


114

𝐼��2(3)= 𝑎2 ∙ 𝐼��2(3)

= 𝑎2 ∙ 𝐼��1(3)

𝐼��0(3)= 𝐼��0(3)

= 𝐼��1(3)

e pelo circuito “visto” pela barra 3

𝐼��1(1)= 𝑎 ∙ 𝐼��1(1)

𝐼��2(1)= 𝑎2 ∙ 𝐼��2(1)

= 𝑎2 ∙ 𝐼��1(1)

𝐼��0(1)= 𝐼��0(1)

= 𝐼��1(1)

𝐼��1(2)= 𝑎2 ∙ 𝐼��1(2)

𝐼��2(2)= 𝑎 ∙ 𝐼��2(2)

= 𝑎 ∙ 𝐼��1(2)

𝐼��0(2)= 𝐼��0(2)

= 𝐼��1(2)

Usando essas transformações, pode-se resolver o problema usando o método das

malhas. De fato, para o circuito da barra 1, usando lei das malhas junto com as transformações

anteriores, vem

1,1455 = 𝑗(2 ∙ 0,2182 + 0,5)𝐼��1(1)+ 𝑎 ∙ 𝑗0,1636𝐼��1(2)

+ 𝑎2 ∙ 𝑗0,1909𝐼��1(3)+ 𝑗0,5𝐼��1(2)

+ 𝑗0,5𝐼��1(3)+ 𝑎2 ∙ 𝑗0,1636𝐼��1(2)

+ 𝑎 ∙ 𝑗0,1909𝐼��1(3)

Simplificando, encontra-se a seguinte equação

1,1455 = 𝑗0,9364𝐼��1(1)+ 𝑗0,3364𝐼��1(2)

+ 𝑗0,3091𝐼��1(3)

Fazendo o mesmo para os outros dois circuitos, chega-se a

[1,1455∠0°

1,1091∠240°1,1273∠120°

] = 𝑗 [0,9364 0,3364 0,30910,3364 1,3454 0,43180,3091 0,4318 1,3340

]

[ 𝐼��1(1)

𝐼��1(2)

𝐼��1(3)]

resultando

[ 𝐼��1(1)

𝐼��1(2)

𝐼��1(3)]

= [1,6486∠ − 88,979°1,2379∠149,31°1,2264∠29,289°

] [𝑝𝑢]


115

Convertendo os valores sequenciais para valores de fase, vem

[ 𝐼��(1)

𝐼��(2)

𝐼��(3)] = 3 ∙ [

1,6486∠ − 88,979°1,2379∠149,31°1,2264∠29,289°

] = [4,9458∠ − 88,979°3,7137∠149,31°3,6792∠29,289°

] [𝑝𝑢]

Figura 83: Circuito resultante em componentes simétricas “visto” pela barra 1.



116


Novamente, pode-se perceber que nesse caso, o número de equações utilizadas via

circuito em componentes simétricas é maior.

4.5 Comparação dos resultados

Para validar os modelos, foi feita uma comparação dos resultados obtidos através dos

cálculos utilizando os circuitos desenvolvidos com os resultados gerados pela simulação das

mesmas faltas utilizando o software ATPDraw. Os resultados de ambos foram organizados em

uma mesma tabela para cada caso mostrado anteriormente. Além disso, cada tabela apresenta

os resultados da comparação entre um método utilizado (circuito em coordenadas de fase ou

em componentes simétricas) e a simulação. As tabelas de 1 a 7 apresentam os resultados via

circuito em coordenadas de fase, enquanto as tabelas de 8 a 14 apresentam os resultados via

circuito em componentes simétricas.

Como pode ser visto nas tabelas a seguir, os resultados são bem próximos daqueles

calculados com o software. A última coluna de cada tabela apresenta o erro relativo tomando

como base os resultados da simulação. Nesse caso, o erro relativo foi calculado como

𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 (%) = 100|𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑇𝑃𝐷𝑟𝑎𝑤|

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑇𝑃𝐷𝑟𝑎𝑤

Percebe-se também por meio das tabelas que, apesar dos circuitos serem equivalentes,

os resultados apresentam uma ligeira diferença que é causada por erros de arredondamento e

não pelo método em si.


117

Tabela 2: Falta monofásica na fase “a” da barra 1 e Falta bifásica entre as fases “b” e “c” da barra 3.

Circuito em Coordenadas de Fase

Valor calculado através

do modelo

Valor calculado pelo

ATPraw

Erro relativo

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(%)

Ângulo

(%)

CASO 1

Barra 1

FASE A 3,6715 -90,000 3,6699 -90,000 0,0436 0,0000

FASE B - - - - - -

FASE C - - - - - -

Barra 3

FASE A - - - - - -

FASE B 3,2061 180,00 3,2059 180,00 - 0,0000

FASE C 3,2061 0,000 3,2059 0,000 0,0062 0,0000




do modelo


ATPraw

Erro relativo

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(%)

Ângulo

(%)

CASO 2

Barra 1

FASE A 4,4960 -100,05 4,4961 -100,05 0,0022 0,0000

FASE B - - - - - -

FASE C - - - - - -

Barra 3

FASE A - - - - - -

FASE B - - - - - -

FASE C 3,3026 43,970 3,3032 43,970 0,0182 0,0000

Tabela 4: Falta monofásica na fase “a” da barra 1 e Falta trifásica à terra na barra 3.



do modelo


ATPraw

Erro relativo

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(%)

Ângulo

(%)

CASO 3

Barra 1

FASE A 3,7363 -90,000 3,7379 -90,000 0,0428 0,0000

FASE B - - - - - -

FASE C - - - - - -

Barra 3

FASE A 1,2819 -90,000 1,2803 -90,000 0,1250 0,0000

FASE B 3,7417 148,97 3,7414 148,96 0,0080 0,0067

FASE C 3,7417 31,030 3,7416 31,040 0,0027 0,0322


118

Tabela 5: Falta monofásica na fase “a” da barra 1 e Falta trifácisa sem contato com a terra na barra 3.



do modelo


ATPraw

Erro relativo

Módulo

(pu)

Ângulo

(°)

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(%)

Ângulo

(%)

CASO 4

Barra 1

FASE A 1,8887 -90,000 1,8887 -90,000 0,0159 0,0000

FASE B - - - - - -

FASE C - - - - - -

Barra 3

FASE A 2,9128 -90,000 2,9122 -90,000 0,0206 0,0000

FASE B 3,5214 155,57 3,5208 155,57 0,0170 0,0000

FASE C 3,5214 24,430 3,5208 24,430 0,0170 0,0000

Tabela 6: Abertura da fase “a” entre as barras 3 e 4, e Falta monofásica na fase “a” da barra 4.



do modelo


ATPraw

Erro relativo

Módulo

(pu)

Ângulo

(°)

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(%)

Ângulo

(%)

CASO 5

Barras

3-4

FASE A - - - - - -

FASE B 0,22347 -110,62 0,22318 -110,66 0,1299 0,0361

FASE C 0,22347 -69,384 0,22318 -69,343 0,1299 0,0591

Barra 4

FASE A 1,4277 -90,000 1,4288 -90,000 0,0767 0,0000

FASE B - - - - - -

FASE C - - - - - -

Tabela 7: Abertura da fase “a” entre as barras 3 e 5, e Abertura das fases “b” e “c” entre as barras 4 e 6.



do modelo


ATPraw

Erro relativo

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(%)

Ângulo

(%)

CASO 6

Barras

3-5

FASE A - - - - - -

FASE B 0,15133 151,69 0,15145 151,61 0,0792 0,0528

FASE C 0,15133 28,309 0,15145 28,387 0,0792 0,2748

Barras

4-6

FASE A 0,14354 -90,000 0,14400 -90,00 0,4149 0,0000

FASE B - - - - - -

FASE C - - - - - -


119

Tabela 8: Falta monofásica nas fases “a”, “b” e “c” das barras 1, 2 e 3, respectivamente.



do modelo


ATPraw

Erro relativo

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(%)

Ângulo

(%)

CASO 7

Barra 1 FASE A 4,9456 -88,980 4,9454 -88,980 0,0040 0,0000

Barra 2 FASE B 3,7129 149,31 3,7134 149,31 0,0135 0,0000

Barra 3 FASE C 3,6784 29,290 3,6789 29,289 0,0136 0,0034

Tabela 9: Falta monofásica na fase “a” da barra 1 e Falta bifásica entre as fases “b” e “c” da barra 3.

Circuito em Componentes

Simétricas


do modelo


ATPraw

Erro relativo

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(%)

Ângulo

(°)

CASO 1

Barra 1

FASE A 3,6699 -90,000 3,6699 -90,00 0,0000 0,0000

FASE B - - - - - -

FASE C - - - - - -

Barra 3

FASE A - - - - - -

FASE B 3,2062 180,00 3,2059 180,00 0,0094 0,0000

FASE C 3,2062 - 3,2059 0,00 0,0094 0,0000



Simétricas


do modelo


ATPraw

Erro relativo

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(%)

Ângulo

(%)

CASO 2

Barra 1

FASE A 4,4958 -100,05 4,4961 -100,05 0,0067 0,0000

FASE B - - - - - -

FASE C - - - - - -

Barra 3

FASE A - - - - - -

FASE B - - - - - -

FASE C 3,3033 43,970 3,3032 43,970 0,0030 0,0000


120

Tabela 11: Falta monofásica na fase “a” da barra 1 e Falta trifásica à terra na barra 3.


Simétricas


do modelo


ATPraw

Erro relativo

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(%)

Ângulo

(%)

CASO 3

Barra 1

FASE A 3,7372 -90,000 3,7379 -90,000 0,0187 0,0000

FASE B - - - - - -

FASE C - - - - - -

Barra 3

FASE A 1,2810 -90,000 1,2803 -90,000 0,0547 0,0000

FASE B 3,7418 148,96 3,7414 148,96 0,0107 0,0000

FASE C 3,7418 31,036 3,7416 31,040 0,0053 0,0129

Tabela 12: Falta monofásica na fase “a” da barra 1 e Falta trifácisa sem contato com a terra na barra 3.


Simétricas


do modelo


ATPraw

Erro relativo

Módulo

(pu)

Ângulo

(°)

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(%)

Ângulo

(%)

CASO 4

Barra 1

FASE A 1,8884 -90,000 1,8887 -90,000 0,0159 0,0000

FASE B - - - - - -

FASE C - - - - - -

Barra 3

FASE A 2,9129 -90,000 2,9122 -90,000 0,0230 0,0000

FASE B 3,5214 155,57 3,5208 155,57 0,0170 0,0000

FASE C 3,5214 24,431 3,5208 24,430 0,0170 0,0041

Tabela 13: Abertura da fase “a” entre as barras 3 e 4, e Falta monofásica na fase “a” da barra 4.


Simétricas


do modelo


ATPraw

Erro relativo

Módulo

(pu)

Ângulo

(°)

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(%)

Ângulo

(%)

CASO 5

Barras

3-4

FASE A - - - - - -

FASE B 0,22348 -110,61 0,22318 -110,66 0,1344 0,0452

FASE C 0,22348 -69,387 0,22318 -69,343 0,1344 0,0635

Barra 4

FASE A 1,4277 -90,000 1,4288 -90,000 0,0770 0,0000

FASE B - - - - - -

FASE C - - - - - -


121

Tabela 14: Abertura da fase “a” entre as barras 3 e 5, e Abertura das fases “b” e “c” entre as barras 4 e 6.


Simétricas


do modelo


ATPraw

Erro relativo

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(%)

Ângulo

(%)

CASO 6

Barras

3-5

FASE A - - - - - -

FASE B 0,15144 151,61 0,15145 151,61 0,0066 0,0000

FASE C 0,15144 28,386 0,15145 28,387 0,0066 0,0035

Barras

4-6

FASE A 0,14400 -90,000 0,14400 -90,00 0,0000 0,0000

FASE B - - - - - -

FASE C - - - - - -

Tabela 15: Falta monofásica nas fases “a”, “b” e “c” das barras 1, 2 e 3, respectivamente.


Simétricas


do modelo


ATPraw

Erro relativo

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(pu) Ângulo (°)

Módulo

(%)

Ângulo

(%)

CASO 7

Barra 1 FASE A 4,9458 -88,979 4,9454 -88,980 0,0081 0,0011

Barra 2 FASE B 3,7137 149,31 3,7134 149,31 0,0081 0,0000

Barra 3 FASE C 3,6792 29,289 3,6789 29,289 0,0082 0,0000


122

5 Conclusão

O presente trabalho apresentou um novo circuito capaz de calcular as correntes de falta

e tensões terminais nos pontos da falta para situações de uma única ocorrência de falta ou de

faltas simultâneas. A resolução desse circuito fornece diretamente os resultados em

coordenadas de fase, embora o circuito utilize parâmetros de impedância das redes de

sequência. Uma limitação apresentada por este circuito é a necessidade de considerar as

impedâncias de sequência positiva e negativa iguais em toda a extensão do sistema sob análise,

o que pode não ser verdade. Porém ao analisar grandes redes, como aquelas que formam os

sistemas elétricos de potência, essa aproximação não apresenta grandes erros.

Além desse circuito, também foi apresentado um outro para a análise de faltas

simultâneas, que não apresenta a limitação do circuito em coordenadas de fase, isto é, as

impedâncias de sequência negativa e positiva podem ser diferentes. Porém, como foi visto, em

alguns casos o método via coordenadas de fase é mais conveniente no sentido de utilizar menos

equações para a resolução do problema.

Para validar os circuitos, foi utilizado o software ATPDraw que permite diversos tipos

de estudos para sistemas elétricos, como estudos de curto-circuito. E, por meio da simulação de

diversos casos utilizando o ATPDraw, foi feita uma comparação dos resultados encontrados

pelo programa com os valores determinados pela resolução dos circuitos apresentados nesta

monografia.

A partir dos resultados obtidos, pode-se considerar que o circuito é válido, pois os erros

encontrados são relativamente pequenos, sendo o maior deles igual 0,4%, que pode ser

constatado nas tabelas apresentadas na seção 4.5. Porém, como comentado, esses erros se

devem a erros de aproximação e não ao método em si.

Efetuada com sucesso essa validação inicial, propõe-se para futuros trabalhos utilizar os

circuitos apresentados para analisar faltas simultâneas em sistemas elétricos com dados reais e

maiores dimensões.


123

Referências

[1] KINDERMANN, Geraldo. Curto-circuito. 2. ed. Porto Alegre: Sagra Luzzato, 1997.

[2] STEVENSON JUNIOR, William. Elementos de análise de sistemas de potência. 2. ed.

São Paulo: Mcgraw-hill, 1986.

[3] ANDERSON, P. M. Analysis of Faulted Power Systems. New York: Yowa State

University Press, 1973. 513 p. [4] GUPTA, Anubha; CHANDRAN, Sunil V.; BHAT, S. S. Simultaneous Fault

Analysis. IEEE, Amravati, India, p. 33-38, maio. 2014.

[5] LAUGHTON, M. A. Analysis of unbalanced polyphase networks by the method of

phase co-ordinates: Part 2. Fault analysis. IET Journals & Magazines, [S.l.], v. 116, n. 5, p.

857-865, maio. 1969.

[6] FURNAS. Transitórios Elétricos e Coordenação de Isolamento - Aplicação em

Sistemas Elétricos de Alta Tensão. Rio de Janeiro: Furnas - Centrais Elétricas S.a., 1985.

[7] ZIN, A.a. Mohd et al. Effect of 132kV Cross-Country Fault on Distance Protection

System. 2012 Sixth Asia Modelling Symposium, [s.l.], p.167-171, maio 2012. IEEE.

http://dx.doi.org/10.1109/ams.2012.17.

[8] CODINO, Asia et al. Detection of cross-country faults in medium voltage distribution

ring lines. 2017 Aeit International Annual Conference, [s.l.], p.1-6, set. 2017. IEEE.

http://dx.doi.org/10.23919/aeit.2017.8240493.

[9] CODINO, A. et al. Cross-country fault protection in ENEL Distribuzione's

experimental MV loop lines. 2016 Power Systems Computation Conference (pscc), [s.l.], p.1-

6, jun. 2016. IEEE. http://dx.doi.org/10.1109/pscc.2016.7540979.

[10] MANUEL, Jorge Betanzos et al. Protecting Distribution Feeders for Simultaneous

Faults. 37th Annual Western Protective Relay Conference, Spokane, Washington, p.1-10, mar.

2010.

[11] RIO DE JANEIRO. Operador Nacional Do Sistema Elétrico. Análise da perturbação do

dia 10/11/2009 às 22h13min envolvendo o desligamento dos três circuitos da LT 765 kV

Itaberá-Ivaiporã. Rio de Janeiro: Ons, 2009. 135 p. (ONS-RE-3-252/2009)

[12] C.L.Fortescue. Method of Symmetrical Coordinates Applied to the Solution of

Polyphase Networks – Transactions AIEE, vol 37/1928, p. 1027-1140.

[13] HERMETO, A. E. Análise de sistemas elétricos. Itajubá. (Apostila).

[14] FERREIRA, C. Análise de sistemas elétricos de potência. Itajubá. (Apostila).

http://dx.doi.org/10.1109/ams.2012.17

http://dx.doi.org/10.1109/pscc.2016.7540979

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