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Larson/Farber Ch. 3

Probabilidade

Disciplina: Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Prof. Tarciana Liberal

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA

Departamento de Estatística

Larson/Farber Ch. 3

Existem muitas situações queenvolvem incertezas: fenômenos ouexperimentos aleatórios.

Um modelo matemático ajudará ainvestigar de maneira bastante precisaesse fenômeno.

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Introdução

• Determinísticos: Os resultados são sempre os mesmos edeterminados pelas condições sob as quais o procedimentoseja executado .

• Exemplo: Lançamento de um corpo, velocidade média, leis da física…

• Não-Determinístico (Probabilístico ou Aleatório) :

Aplicados em situações que envolvem incerteza.

Resultados variam de uma observação para outra, mesmoem condições normais de experimentação.

As condições do experimento determinam apenas ocomportamento probabilístico do resultado observável .

• Exemplo: Lançamento de um dado, índices econômicos, tempo de vida de um paciente.

Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos:

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A teoria das probabilidades é o fundamento para a

inferência estatística. O objetivo desta parte é que o

aluno compreenda os conceitos mais importantes da

probabilidade.

• O conceito de probabilidade faz parte do dia-a-dia

dos trabalhadores de todas as áreas, uma vez que seu

conceito é frequentemente utilizado. Por exemplo,

podemos dizer que um aluno tem uma chance de 70%

de ser aprovado em uma determinada disciplina. Um

professor está 90% seguro de que um novo método de

ensino proporcione uma melhor compreensão pelos

alunos. Um engenheiro de produção afirma que uma

nova máquina reduz em 20% o tempo de produção de

um bem.

Introdução

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• Experimentos Aleatórios (E) : Sãoaqueles onde o processo deexperimentação está sujeito a influências defatores casuais que conduzem a resultadosincertos.

Exemplo: Lançar um dado, Lançar uma moeda, Retirar uma carta do Baralho, Preço do Dólar ao final do dia.

Conceitos importantes

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• Características de um experimento aleatório :

Pode ser repetido indefinidamente sob asmesmas condições .

Podemos descrever todos os possíveisresultados.

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• Espaço Amostral (Ω) : É o conjunto de todos ospossíveis resultados de um experimento aleatório.

Exemplo 1: Lançamento de um dado e observação da faceΩ = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Exemplo 2: Jogar uma moeda 3 vezes e observar a sequência de coroas e carasΩ=(k,k,k),(k,k,c),(k,c,k),(c,k,k),(c,c,k),(c,k,c),(k,c,c), (c,c,c)

Exemplo 3: Número de mensagens transmitidas por dia em uma rede de computaçãoΩ = 0,1, 2, 3, 4, …

Exemplo 4: Tempo de duração de um equipamento

0/ tIRt

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O espaço amostral pode ser

• Finito: Número limitado de resultados.

Exemplo 1 e 2.

• Infinito Enumerável: Número infinito de

resultados que podem ser listados.

Exemplo 3.

• Infinito: Intervalo de números reais.

Exemplo 4.

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• Evento: Dado um espaço amostral Ω, associado a umexperimento E qualquer, definimos como evento qualquersubconjunto desse espaço amostral.

• Exemplo 1: Sair um número parA =

• Exemplo 2: Sair duas carasB =

• Exemplo 3: transmitir duas mensagensC =

Diz-se que “ocorre o evento A, B ou C ”, quando oresultado do experimento aleatório for um elemento de A,B ou C.


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Alguns Eventos

• Em particular, o conjunto universo, , e o

conjunto vazio, , são também eventos, onde

é denominado de evento certo e evento

impossível.

• Se A contém apenas um elemento, dizemos

que A é um evento elementar ou simples.

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Diagrama de Venn

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Algumas Operações entre conjuntos

• A B é o evento que ocorrerá se e somente se

A ou B ou ambos ocorrerem.

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• A B é o evento que ocorrerá se e somente se

A e B ocorrerem simultaneamente.

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• ocorrerá se e somente se não ocorrer A

(COMPLEMENTAR).

A

A

A

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• A B ocorrerá se e somente se ocorrer A e não

ocorrer B.

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• LEIS DE MORGAN:

(I) O complementar da ocorrência de pelo menos um dos

eventos é a não ocorrência de todos os eventos.

(II) O complementar da ocorrência de todos os eventos é

a não ocorrência de pelo menos um dos eventos.

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Eventos mutuamente excludentes

Dois eventos, A e B, serão mutuamente excludentes se

não puderem ocorrer simultaneamente, isto é, a

ocorrência do evento A impede a ocorrência de B. Na

teoria dos conjuntos representamos que dois eventos são

mutuamente exclusivos por AB = .

Exemplo: A = sair PAR = 2, 4, 6

B = sair IMPAR = 1, 3, 5

A BExclusão mútua

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Eventos não mutuamente excludentes

Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa,

eles não são mutuamente excludentes, ou seja,

AB .

Exemplo: A = sair PAR = 2, 4, 6

B = sair nº maior que 4 = 5, 6

A BSem exclusão mútua

A B

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•REGRA DA ADIÇÃO: Se existirem k procedimentose o i-ésimo procedimento puder ser realizado de ni

maneiras, então o número de maneiras pelas quaispoderemos realizar ou o procedimento 1 ou oprocedimento 2,..., ou o procedimento k, supondoque dois deles não possam ser realizadosconjuntamente, é:

Alguns Conceitos Básicos de Contagem

•REGRA DA MULTIPLICAÇÃO: O procedimentoformado por 1, seguido por 2,..., seguido peloprocedimento k poderá ser executado de :

•PERMUTAÇÃO SIMPLES: O número de maneiras dese permutar n objetos distintos é:

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•ARRANJO SIMPLES: São todas as maneiras deescolher r objetos dentre n (r<n) objetos distintos(ordenados) que diferem pela natureza e pelaORDEM.

Alguns Conceitos Básicos de Contagem

•COMBINAÇÃO SIMPLES: São todas as maneiras deescolher r objetos dentre n (r<n) objetos distintossem considerar a ordem.

•Algumas oservações:

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•EXEMPLO 1: Luciano, José, Bruno, Leiliane eAntônio vão fazer uma entrevista para um estágio.De quantas formas os candidatos podem serchamados para fazer a entrevista?

EXEMPLOS

•EXEMPLO 2: Os alunos de E. Mecânica, Física,Química Industrial , E. de Produção e E. Alimentosdisputam um campeonato em que apenas três timesserão classificados. De quantas formas pode seressa classificação?

•EXEMPLO 3: De uma produção de 10 peças, dasquais 3 são defeituosas, de quantas formaspoderemos escolher 4 peças das quais metade édefeituosa?

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EXEMPLOS

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•Definição: é uma medida com a qual podemosesperar a chance de ocorrência de umdeterminado evento, atribuindo um número(valor) entre 0 e 1. Assim, se temos a certeza deque um evento ocorrerá, diremos que suaprobabilidade é 1 (ou 100%), caso contráriodiremos que sua probabilidade é 0 (ou 0%).

Se, por exemplo, a probabilidade é ¼ diremos queexiste uma chance de 25% de ocorrência de talevento

Probabilidade

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Probabilidade

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Clássica

Probabilidade

número de resultados do evento A

número total de resultados no espaço amostralP(A)

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Exemplo 4

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Probabilidade

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Exemplo 5

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Probabilidade

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Espaços amostrais finitos e equiprováveis

• Um espaço amostral é dito finito se =

a1,a2,...,an. Considere o evento Ai = ai

formado por um resultado simples. A cada

evento simples ai associaremos um número

pi, denominado de probabilidade de ai,

satisfazendo às seguintes condições:

i) pi 0, i = 1, 2, ..., n.

ii) p1 + p2 + ... + pn =1.

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Exemplo 6

• Três cavalos, A, B e C, estão numa corrida; A é duas vezes

mais provável de ganhar que B e B é duas vezes mais do

que C. Quais são as probabilidades de vitória de cada um,

isto é, P(A), P(B) e P(C)? Qual é a probabilidade de que B ou

C ganhe?

Seja P(C) = p; como B é duas vezes mais provável de ganhar do

que C, P(B)=2p; e como A é duas vezes mais provável do que B,

P(A) = 2P(B) = 2(2p) = 4p. Como a soma das probabilidades tem

que ser 1; então

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Exemplo 7

Larson/Farber Ch. 3

Exemplo 8

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1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

4,1

4,2

4,3

4,4

4,5

4,6

5,1

5,2

5,3

5,4

5,5

5,6

6,1

6,2

6,3

6,4

6,5

6,6

Detemine a probabilidade de que: A =a soma seja 4.

Determine a probabilidade de que: B = (a soma seja 11.

Exeperimento: Dois dados são jogados

P(A) =

P(B) =

Espaço Amostral ()

Exemplo 9

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Tabela de contingência

Revela a existência de eventos combinados, e

facilita o tratamento probabilístico de tais

eventos.

É uma tabela que disponibiliza informações

diretamente nas linhas e colunas, e que além

dessas informações é possível visualizar

também o número de casos comuns às

interseções de eventos.

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Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades

se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão

a seguir.

J. Pessoa Recife C. Grande Total

Sim 100 150 150 400

Não 125 130 95 350

Não sabe 75 170 5 250

Total 300 450 250 1.000

Determine a probabilidade de sortear um adulto de C. Grande

ou que tenha respondido SIM

P(C. Grande SIM) = 250/1.000 + 400/1.000 – 150/1.000

= 500/1.000 = 0,5

Exemplo 10

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Perguntou-se a uma amostra de adultos formados em

engenharia, em três capitais, se eles atuavam na área. Os

resultados estão a seguir.

1. P(Natal U Sim)

2. P(Recife ∩ Não)

3. P(João Pessoa)

João Pessoa Recife Natal Total

Sim 160 220 180 560

Não 135 80 95 310

Total 295 300 275 870

Um adulto é selecionada ao acaso. Determine:

Exemplo 10

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Probabilidade condicional

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Um lote é formado pelos seguintes artigos: 80 não defeituosos

e 20 defeituosos. Dois artigos são retirados do lote. Sejam

A=o 1 artigo é defeituoso e B=o 2 artigo é defeituoso.

Calcule P(A) e P(B)

a) com reposição; b) sem reposição.

a) Se extrairmos com reposição, , pois cada vez que

estivermos extraindo do lote, existirão 20 peças defeituosas no total de

100.

b) Se estivermos extraindo sem reposição, é ainda verdade que .

Mas e sobre P(B) ? É evidente que, a fim de calcularmos P(B) é

necessário conhecer a composição do lote no momento de se extrair a

segunda peça. Isto é, devemos saber se A ocorreu ou não.

Este exemplo mostra a necessidade de se introduzir o seguinte

conceito

P A P B( ) ( ) 20100

15

P A( ) 15

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Larson/Farber Ch. 3

Definição: A probabilidade de um evento A ocorrer,

dado (ou na condição de) que outro evento B já

ocorreu.

Sempre que calcularmos P(A|B) , estaremos

essencialmente calculando P(A) em relação ao

espaço amostral reduzido B, em lugar de fazê-lo

em relação ao espaço original .


0)( para,)(

)()|(

BP

BP

BAPBAP

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• Observações importantes:

1) Se P(B) = 0, nada podemos afirmar a respeito

da probabilidade condicional.

2) Se A e B forem mutuamente excludentes,

então


P A BP

P B( / )

( )

( )

0

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P A BP

P B( / )

( )

( )

0

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Exemplo 11

Dois dados são lançados ao acaso. Qual a

probabilidade da soma ser igual a 6, dado que o

primeiro dado saiu um número menor que 3

A = soma igual a 6 = (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)

B = 1º dado com nº < 3 = (1,1), (1,2), (1,3), (1,4),

(1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)

A B = (1,5), (2,4)

Logo P(A | B) =

Larson/Farber Ch. 3

100 150 150

125 130 95 350

75 170 5 250

J. Pessoa Recife C. Grande Total

Sim

Não

Não sabe

Total 300 450 250

400

1.000

Exemplo 12

1. P(Não | C. Grande)

2. P(João Pessoa | Sim)

3. Qual a probabilidade do adulto ter respondido não, sabendo que

ele não é de Recife?

= 95/250 = 0,38

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Estudos realizados pela SDS da Paraíba, em relação a situação do status de

promoção de oficiais masculinos e femininos, são apresentados na tabela

abaixo (dados fictícios):

Depois de rever o registro de promoções, um comitê feminino de oficiais

levantou um caso de discriminação com base em que 288 oficiais masculinos

receberam promoções mas somente 36 oficiais femininas foram promovidas. A

administração da polícia argumentou que o número relativamente baixo de

promoções para as oficias femininas foi devido não à discriminação, mas ao

fato de que há relativamente poucas oficias mulheres na força policial. E agora,

como as mulheres podem analisar os dados para defender o seu

questionamento da acusação de discriminação?

Exemplo 13

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Exemplo 14

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Teorema da Multiplicação

A mais importante consequência da definição de

probabilidade condicional é o seguinte teorema:

Sejam A e B dois eventos quaisquer de um mesmo

espaço amostral , então:

)/()()( BAPBPBAP

)/()()( ABPAPBAP

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Teorema da Multiplicação

O teorema da multiplicação de probabilidades pode

ser generalizado para mais de dois eventos.

Sejam A1, A2,..., An eventos quaisquer de um mesmo

espaço amostral , a probabilidade da ocorrência

simultânea de A1, A2,..., An é dada por:

P(A1 A2 ... An) = P(A1)*P(A2/A1)*...*P(An/A1 A2 ... An-1)

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Exemplo 15

Uma caixa contém 4 lâmpadas boas e 2 queimadas.

Retira-se ao acaso 3 lâmpadas, sem reposição.

Calcule a probabilidade dessas 3 lâmpadas serem

boas.

Seja Ai: a i-ésima lâmpada é boa, então

P(A1 A2 A3) = P(A1)xP(A2/A1)xP(A3/A1 A2) = .5

1

4

2

5

3

6

4

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Dois carros são selecionados em uma linha

de produção com 12 unidades, 5 delas

defeituosas. Determine a probabilidade de

ambos os carros serem defeituosos.

A = o 1o carro é defeituoso.

B = o 2o carro é defeituoso.

P(A) = P(B|A) =

P(A B) =

Exemplo 16

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Teorema da probabilidade Total

Sejam A um evento qualquer do espaço amostral

e B1, B2,..., Bk uma partição do mesmo espaço

amostral , então:

P(A) = P(A/ B1)P(B1) + P(A/ B2)P(B2) + ... + P(A/ Bk)P(Bk) = P A B P Bi i

i

k

( / ) ( )

1

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Exemplo 17

Voltando ao exemplo 5.1, calcule a P(B) se as

retiradas dos artigos são feitas sem reposição.

Como já vimos . Assim, temos que .

Agora, , porque se A tiver ocorrido,

então na segunda extração restarão somente 99

peças, das quais 19 delas serão defeituosas. De

modo similar, temos que . Pelo teorema

da probabilidade total, temos

P A( ) 1

5P A( )

4

5

P B A( / ) 19

99

P B A( / ) 20

99

Larson/Farber Ch. 3

Dois eventos A e B são independentes se a

probabilidade de ocorrência do evento B não é afetada

pela ocorrência (ou não-ocorrência) do evento A.

A = tomar uma aspirina por dia.

B = ter um ataque do coração.

A = ser mulher.

B = ter menos de 1,62 m.

Dois eventos que não são independentes são

dependentes.

A = ser mulher.

B = ter sangue tipo O.

A = 1o filho ser menino.

B = 2o filho ser menino.

Eventos independentes

Larson/Farber Ch. 3

Se os eventos A e B são independentes, P(B|A) = P(B)

Entre os 12 carros de uma linha de produção, 5 têm defeito e 2

são selecionados ao acaso.

A = o primeiro carro é defeituoso.

B = o segundo carro é defeituoso.

A probabilidade de o segundo carro ser defeituoso depende de o

primeiro ter ou não defeito. Os eventos são dependentes.

Eventos independentes

Probabilidade condicional Probabilidade

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Dois dados são lançados. Determine a probabilidade

de sair 4 em ambos.

A = sair 4 no primeiro dado e B = sair 4 no segundo dado.

P(A) = 1/6 P(B|A) = 1/6

P(A B) = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 0,028

Quando dois eventos A e B são independentes,

P(A B) = P(A) x P(B)

Exemplo 18

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Teorema de Bayes

Sejam B1, B2, ..., Bk uma partição do espaço amostral , ou

seja, eventos mutuamente exclusivos. Seja A um evento

qualquer associado a S, então:

)().|()().|(

)().|(

)(

)()|(

11 kk

iiii

BPBAPBPBAP

BPBAP

Ap

ABPABP

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Teorema de Bayes

Exemplo 16: Em uma turma 60% dos estudantes são

homens e 40% mulheres. Além disso, sabe-se que 1% dos

homens e 4% das mulheres tem menos de 1,60m. Dado

que um estudante com menos de 1,60m foi sorteado

aleatoriamente, qual a probabilidade de ser mulher ?

Solução: H=Homem, M = Mulher, A = menos de 1,60m

)()(

)(

)(

)()|(

AHPAMP

AMP

Ap

AMPAMP

)60,001,0()40,004,0(

40,004,0

)().|()().|(

)().|(

HPHAPMPMAP

MPMAP

727,0

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Exemplo 19

Um Produto é escolhido ao acaso e é verificado ser defeituoso. Qual

a probabilidade dele ter vindo da fábrica 3? e

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Exemplo 19

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Exemplo 20

Larson/Farber Ch. 3

Exemplo 18

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