CAp/UERJ – Álgebra – 1ª Série do Ensino Médio – Prof. Ilydio Sá 1

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA

REVISÃO: INTERVALOS REAIS – PROF. ILYDIO SÁ

I) DEFINIÇÃO

Denominamos de intervalo real a qualquer subconjunto dos números reais, definido através de uma DESIGUALDADE.

II) TIPOS DE INTERVALOS

1) Intervalo aberto de extremos a e b.

2) Intervalo fechado de extremos a e b.

3) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, de extremos a e b.

4) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita, de extremos a e b.

5) INTERVALOS INFINITOS

5.1. Intervalo de menos infinito até n, fechado em n.

5.2. Intervalo de menos infinito até n, aberto em n.

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5.3. Intervalo de n até mais infinito, fechado em n.

5.4. Intervalo de n até mais infinito, aberto em n.

OBSERVAÇÃO: Na representação geométrica de um intervalo (reta real), a bolinha vazia indica que o intervalo é aberto e que aquele elemento não pertence ao conjunto. Já a bolinha cheia indica que o elemento pertence ao conjunto e que o intervalo é fechado. Exercícios: 1. Represente através da notação de intervalo e através de desigualdades o

intervalo abaixo:

2. Quantos elementos possui o intervalo do exercício 1?

3. Quantos elementos inteiros possui o intervalo do exercício 1?

4. Qual o valor máximo do intervalo do exercício 1?

5. Qual o valor mínimo do intervalo do exercício 1?

6. Sabemos que os resultados de inequações, normalmente, são intervalos reais.

Resolva a inequação: 8532 +<+ xx , dando a resposta em forma de notação de intervalo e também através da representação geométrica.

7. Perguntas que as pessoas sempre fazem.... Para que servem inequações? Para que servem intervalos? O exemplo a seguir mostrará que a solução de muitos problemas cotidianos recaem em inequações. Vejamos um desses problemas: “Para produzir um CD, uma gravadora gasta $ 1,20 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$ 4 000,00, independente da quantidade produzida. O preço de venda é de R$ 2,00. Qual é o número mínimo de unidades, a partir do qual a gravadora começa a ter lucro?”

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8. Em uma fábrica de roupas, o custo para a produção de um determinado tipo de camisa é calculado a partir de um valor fixo de R$ 480,00 e mais R$ 30,00 por unidade produzida. Nessa fábrica são produzidos lotes de, no máximo, 1000 camisas, sendo que cada lote é vendido com um lucro de 30% sobre valor do custo.

a) Qual o custo para a produção de um lote com 600 camisas? Por quanto será vendido esse lote?

b) Considere x (x ≤ 1000) a quantidade de camisas produzidas. A partir da venda de quantas unidades que a empresa começa a ter lucro?

9. Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: plano “Morte Lenta” e plano “Seu dia chegará”. O plano “Morte Lenta” cobra um valor fixo mensal de R$ 150,00 e mais R$ 22,00 por consulta num certo período. O plano “Seu dia chegará” cobra um valor fixo mensal de R$ 128,00 e m ais R$ 27,00 por consulta no mesmo período. Observamos que o gasto total de cada plano é calculado em função do número de consultas dentro do período combinado. A partir de quantas consultas o plano B ser tornará mais econômico para o cliente?

10. Um produto é vendido por R$ 20,00 a unidade. Para a produção desse artigo há um curto fixo de R$ 6000,00, mais R$ 15,00 por unidade. A partir da venda de quantas unidades a empresa produtora começará a ter lucro?

III) OPERAÇÕES COM INTERVALOS

As operações de União, Interseção e Diferença de intervalos obedecem às mesmas definições dadas para operações com conjuntos, sendo que, preferencialmente, devem ser feitas através da representação geométrica desses intervalos.

A. UNIÃO DE INTERVALOS – É o intervalo formado por todos os elementos

que pertençam a um dos intervalos ou ao outro intervalo. Vejamos um exemplo: Sejam os intervalos A = [1, 3]; B = [2, 5). A união desses intervalos será representada graficamente:

Logo, A ∪∪∪∪ B = [1, 5)

B. INTERSEÇÃO DE INTERVALOS – É o intervalo formado pelos elementos comuns aos dois intervalos.

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Vejamos um exemplo: Sejam os intervalos A = [2, 5) e B = [3,. 6). A interseção desses intervalos será representada graficamente:

Logo, A ∩∩∩∩ B = [3, 5)

C. INTERSEÇÃO DE INTERVALOS (A – B) – É o intervalo formado pelos elementos que pertencem ao intervalo A mas que não pertencem ao intervalo B.

Vejamos um exemplo: Sejam os intervalos A = [0, 3] e B = [1,5]. A diferença A – B será o intervalo [0, 1). Observe que a extremidade 1 ficou aberta na resposta por pertencer ao intervalo B e, pela definição, a diferença A – B deve ser formada apenas pelos elementos que estão no intervalo A mas NÃO ESTÃO no intervalo B.

Para você resolver: Dados os intervalos: A = [-1, 6]; B = [0, 8) e C = (- ∞, 10]. Obtenha: a) A ∪ B =

b) A ∩ B =

c) A ∩ C =

d) A – B =

e) B – A =

f) A – C =

g) C – A =

h) (A ∪ C) ∩ (B ∩ C) =