Universidade de São Paulo

Instituto de Matemática e Estatística

Caio Y. Muramatsu 9299410

Carolina de Oliveira Tsuda 5898172

Leonardo Seiji Souza Yamamoto 9299188

Livro Didático 9.º. Ano do Ensino Fundamental II

São Paulo

2019

Caio Y. Muramatsu 9299410

Carolina de Olivera Tsuda 5898172

Leonardo Seiji Souza Yamamoto 9299188

Capítulo: Funções

O trabalho apresentado foi

elaborado durante a disciplina de

Análise de textos didáticos, sob

orientação do Prof. Dr. David

Pires Dias.

São Paulo

2019

Índice

1 - Objetivos

No âmbito da disciplina de Análise de textos didáticos, foi proposto, a todos(as)

os(as) alunos(as), a elaboração de um livro didático para o 9.º. ano do ensino fundamental,

seguindo as habilidades previstas pela Base Nacional Comum Curricular (BNCC). Este

trabalho visa a elaboração de um dos capítulos deste livro, que abordará o estudo de funções.

Segundo a BNCC (BRASIL, 2017, p.314-317), está previsto para o 9º. ano a

compreensão das funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas

representações numérica, algébrica e gráfica e utilização desse conceito para analisar

situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis (EF09MA06). Tal

habilidade tem como objeto de conhecimento o estudo de Funções: representações numéricas,

algébrica e gráfica, na unidade temática da Álgebra.

Funções

Brasil perde R$10,5 bilhões em desperdício de água na distribuição,

revela Pacto Global.

Desperdício de água no Brasil e gestão sustentável dos recursos hídricos são preocupação da

Rede Brasil do Pacto Global. Foto: Agência Brasil / Tânia Rêgo.

Volume de água doce jogado fora equivale a 7 mil piscinas olímpicas

por dia. É o que revela um estudo sobre o desperdício na distribuição

em 2016.

Disponível em: https://nacoesunidas.org. Acesso em: out. 2019

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A imagem e a notícia podem ser utilizadas para iniciar uma discussão em sala de

aula sobre desperdício de água potável, podendo-se relacionar o tema à ideia de

vazão de água de torneiras, consumo, etc., resgatando-se ainda conhecimentos

prévios acerca de grandezas e medidas.

É possível, ainda, utilizar o tema como motivador para atividade de investigação.

A água é, provavelmente o único recurso natural que tem a ver com todos os aspectos

da civilização humana, desde o desenvolvimento agrícola e industrial aos valores culturais e

religiosos arraigados na sociedade. É um recurso natural essencial, em diversas dimensões.

Segundo as estatísticas, 70% da superfície do planeta são constituídos de água. Dessa

água toda, de longe o maior volume é de água salgada e somente 2,5% são de água doce e,

desses míseros 2,5%, quase 98% estão “escondidos” na forma de água subterrânea. Isto quer

dizer que a maior parte da água facilmente disponível e própria para consumo é mínima perto

da quantidade total de água existente na Terra. Nas sociedades modernas, a busca do conforto

implica necessariamente em um aumento considerável das necessidades diárias de água.

Além disso, os recursos hídricos têm profunda importância no desenvolvimento de diversas

atividades econômicas.

Observando os dados abaixo, percebemos que precisamos utilizar a água de forma

prudente e racional, evitando o desperdício e combatendo a poluição, pois

❖ cerca de um sexto da população mundial não têm acesso a água potável;

❖ aproximadamente 40% dos habitantes do planeta não têm acesso a serviços de

saneamento básico;

❖ em torno de 6 mil crianças morrem diariamente devido a doenças ligadas à

água insalubre e a saneamento e higiene deficientes;

❖ segundo a ONU, até 2025, se os atuais padrões de consumo se mantiverem,

duas em cada três pessoas no mundo vão sofrer escassez moderada ou grave

de água.

Proposta de Discussão

Há diversas maneiras de se combater o desperdício de água. As indústrias e empresas

do agronegócio do país são responsáveis por mais de 70% do consumo de água. Por exemplo,

na produção da cana-de-açúcar, para cada 1 kg, são necessárias 600 litros de água, e na

produção de carne bovina, para cada 1 kg, são necessários 15.000 litros.

Levante questões acerca do desperdício de água, tanto nos domicílios quanto pelas

indústrias. Pesquise e discuta em sala de aula essas questões.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A proposta de discussão tem como propósito pedagógico que os(as) estudantes

encontrem outras relações a partir do tema, as quais poderão ser abordadas

posteriormente em modelagens de funções. Além disso, a escolha do tema se dá no

sentido de se desenvolverem competências como a COMPETÊNCIA 2:

PENSAMENTO CIENTÍFICO, CRÍTICO E CRIATIVO e a COMPETÊNCIA 10:

RESPONSABILIDADE E CIDADANIA da BNCC

1. Noção de Função

Um banho de chuveiro por 15 minutos, com o registro meio aberto, consome cerca de

135 litros de água, com base nessa informação, podemos relacionar num quadro as grandezas

tempo (em que um chuveiro fica ligado) e volume aproximado de água consumido.

Tempo que o chuveiro fica ligado (min)

15 30 45 60 75 90

Volume de Água (L) 135 270 405 540 675 810

Disponível em: http://site.sabesp.com.br. Acesso em: 25 out. 2019

Podemos observar que, para cada duração, está associado um único volume de água,

em litros, correspondente consumido: em 15 minutos de banho está associado 135 L, a 30

minutos, 270 L e assim por diante. Essa relação entre o tempo de banho e o volume de água

consumido é chamada de função.

Atividade 1 1) Nas condições apresentadas, qual o volume de água consumido se o chuveiro ficar

ligado por 60 minutos? De acordo com a tabela, 540 L.

2) E se ficar ligado por 10 minutos? Explique com suas palavras o procedimento

utilizado. 90 L. Resposta aberta.

3) Qual o volume de água consumido por minuto? 9 L.

4) É possível determinar o volume de água consumido se o chuveiro ficar ligado por

uma quantidade não inteira de minutos? Resposta aberta.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A proposta desta seção é introduzir o conceito inicial de Domínio de uma função.

2. Variável Dependente e Independente

Denominando de x o tempo em que o chuveiro ficou ligado e de y o volume médio de

água gasto correspondente, podemos escrever a seguinte sentença, chamada lei de formação

da função.

.xy = 9

Dizemos, nesse caso, que o volume y de água está em função da quantidade x de

tempo, ou seja, o volume de água gasto depende da quantidade de tempo considerada. Assim,

definimos y como variável dependente e x como variável independente da função.

Como o valor de y está relacionado com o de x, substituímos a notação de y para f(x)

na lei de formação. No caso da função anterior temos:

(x) .xf = 9

Identificando assim mais facilmente quem é a variável dependente e a independente.

Com a lei de formação da função, podemos calcular, por exemplo, quantos litros de água são

consumidos em um banho de 20 minutos, considerando x=20 e determinando f(20). Observe:

(20) .20 80 f = 9 = 1

Portanto, em um banho de 20 minutos consome-se aproximadamente 180 L de água.

Pode-se também determinar, por exemplo, quanto tempo é necessário para consumir

aproximadamente 100 L de água, isto é, determinar x tal que :(x) 00 f = 1

00 .x 1 = 9

00/9 .x/9 1 = 9

1, 1 1 1 ≈ x

Assim, consome-se aproximadamente 100 L de água num banho de 11,11 minutos.

 

Atividade 2

Depois de uma semana de conscientização do uso da água, Ana e sua família

decidiram fazer um reservatório sustentável em sua casa. Neste reservatório de 1000 L será

armazenada água da chuva para regar as plantas e lavar o quintal. Após alguns dias de

utilização do reservatório, Ana percebeu que a cada 1 minuto com a torneira do reservatório

aberta, esvaziava-se 20 L de água.

Preencha na tabela a seguir:

Tempo em que a torneira do reservatório ficou aberta ( minutos)

Volume de água no reservatório (L)

0 1000

1 980

2 960

5 900

10 800

15 700

20 600

Assim, Ana conseguiu determinar uma função para expressar a quantidade de (x) q

água no reservatório de acordo com o tempo , em minutos, após o momento em que o x

reservatório completamente cheio começa a ser usado. E ficou assim:

(x) 000 0.x q = 1 − 2

Como Ana e sua família sabiam que gastava-se 10 minutos para lavar o quintal e, logo

em seguida, 2 minutos para regar as plantas, eles conseguiam saber quantos litros de água

havia no reservatório após o uso. Quantos litros de água reaproveitada sobraram no

reservatório após esse procedimento?

(12) 000 20.12) q = 1 − (

(12) 000 40 60 q = 1 − 2 = 7

Assim, após o uso do reservatório cheio, restaram 760 L de água reaproveitada para

serem utilizados nas próximas limpezas de quintal e regar as plantas.

3. Definição de Função

Define-se uma função f como uma relação que associa cada elemento x pertencente a

um conjunto D a um único elemento , pertencente a um conjunto E. O conjunto D é (x) f

chamado domínio da função, e o conjunto C é chamado contradomínio da função. O

elemento é o valor da função f em x. A imagem da função f é o conjunto I de todos os (x) f

valores possíveis de quando x varia por todo o domínio.(x) f

Nosso interesse será estudar funções tais que a imagem de um elemento x do domínio,

isto é, possa ser expressa por uma lei de formação matemática e funções em que D e C (x), f

são conjuntos de números reais.

Um outro exemplo além dos apresentados até agora é a lei que expressa a medida da

área de um quadrado, cuja medida de comprimento do lado é igual a x, , ou ainda, y = x2

. Como a medida do comprimento de um segmento de reta é sempre não negativo,(x) f = x2

temos que o domínio dessa função são os números reais não negativos, . Temos D = ℜ0+

ainda

● A imagem de é x = 2 (2) .2 f = 2 = 4

● A imagem de é x = √3 ( ) .f √3 = √3 √3 = 3

● A imagem de é x = 0 (0) .0 f = 0 = 0

E é possível provar que todas as imagens serão números reais não negativos, assim

temos também . E = ℜ0+

Alguns outros exemplos de funções:

1. o crescimento da população de uma determinada localidade pode ser modelada em

função do tempo.

2. a altura média de um ser humano pode ser modelado em função de sua idade.

Em que outros tipos relação você consegue pensar?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pode-se discutir com os(as) estudantes numa roda ou pedir que discutam em

pequenos grupos. Se possível, sugira relações que envolva diferentes tipos de

grandezas como temperatura, etc. A partir das relações apresentadas, pode-se

discutir se se tratam realmente de funções, quais são seus respectivos domínios,

contradomínions e imagens.

Atividade 3 1) Para cada valor de x a seguir, determine sua imagem pela função (x) − x f = 2

a) R: x = 0 (0) − f = 2 · 0 = 0

b) R: x = 2 (2) − − f = 2 · 2 = 4

c) R: − x = 7 (− ) − − ) 4 f 7 = 2 · ( 7 = 1

d) R: x = 31 ( ) − −f 3

1 = 2 · 31 = 3

2

2) Para cada valor de x a seguir, determine sua imagem pela função (x) 0f = x 2 + 1

a) R: x = 0 (0) 10 0f = 02 + = 1

b) R: − 0 x = 1 (− 0) − 0) 10 00 10 10f 1 = ( 1 2 + = 1 + = 1

c) R: , x = 0 2 (0, ) 0, ) 10 0, 4 0 0, 4f 2 = ( 2 2 + = 0 + 1 = 1 0

d) R: x = √2 ( ) ) 10 2 0 12f √2 = (√2 2 + = + 1 =

3) Para cada valor de x a seguir, determine sua imagem pela função (x)f = xx+1

a) R: x = 1 (1)f = 11+1 = 2

b) R: − x = 1 (− )f 1 = −1−1+1 = 0

c) R: , x = 0 5 (0, )f 5 = 0,50,5+1 = 3

d) R: x = (− ) f 27 = − 2

7− +12

7

= 75

4) Considerando-se a função do exercício anterior, é possível que o valor (x)f = xx+1

pertença ao Domínio da função? Justifique. R: Não. Resposta Aberta. x = 0

4.Gráfico de uma Função Todas as funções citadas anteriormente podem ser representadas por um gráfico, tanto

a função do consumo de água de um chuveiro ligado, , quanto a função do (x) x f = 9

reservatório da casa de Ana, .(x) 1000 20x q = −

Uma das possibilidades para desenhar o gráfico de uma função é começar por uma

tabela de valores, relacionando alguns dos possíveis valores de x com sua respectiva imagem

pela função f. Usando o exemplo de um banho de ducha, que é expressa pela função

, na coluna dos valores de x completamos com alguns números do domínio da(x) x f = 9

função, nesse caso com números positivos, e depois na coluna f(x) calculamos o valor da sua

imagem correspondente, nesse caso, multiplicamos os números da coluna x por 9.

x(minutos)  f(x)(litros) 

0  0 

1  9 

2  18 

2,5  22,5 

3  27 

4  36 

5  45 

Agora, com essa tabela e auxílio de um plano cartesiano, iremos marcar um ponto no

plano para cada par ordenado formado por no plano, ligando os pontos obteremos x; f (x)) (

uma reta, que representará o gráfico da função f:

Pelo gráfico, observa-se que o domínio da função é o conjunto de todos os (x) x f = 9

números reais positivos e a sua imagem também é o conjunto de todos os números reais

positivos. Observe que como falamos sobre a medida de tempo, os valores possíveis de x

(minutos) são todos positivos e não faz sentido trabalhar com valores negativos de medida de

tempo.

Observação: Durante a construção da tabela, não precisamos listar todos os números

possíveis do domínio da função, até porque seria impossível, entretanto, você pode escolher

seus candidatos para a tabela e o número de pares ordenados que achar necessário para traçar

a curva que representará seu gráfico. Por exemplo, o par pode ser mais difícil de 2, ; 2, ) ( 5 2 5

se representar do que o par se estiver fazendo o gráfico apenas com régua e 2; 8) ( 1

compasso. (Para se traçar o gráfico de uma função polinomial do 1º grau, serão necessários

determinar no plano, no mínimo, quantos pontos?).

Olhando mais uma vez para o gráfico da função , observamos que ao (x) x f = 9

aumentar o valor da medida do tempo, o valor de x, aumenta-se também o valor da medida de

litros consumidos, o valor de f(x), por isso dizemos que f é uma função crescente.

Se ao aumentar o valor de x, o valor de f(x) diminuísse, a função f seria uma função

decrescente.

Se ao aumentar o valor de x, o valor de f(x) continuasse fixo, a função f seria uma

função constante.

Podemos fazer o mesmo estudo para a função do reservatório da casa de Ana, na qual a

função é a que o modela. Primeiramente, construímos nossa tabela, com (x) 1000 20x q = −

uma coluna com os possíveis valores do tempo, em minutos, e depois calculamos suas

respectivas imagens por q, que representa a quantidade do volume de água no reservatório

depois de aberto pelo determinado tempo.

x( minutos) q(x)(litros)

0 1000

5 900

10 800

15 700

20 600

Assim, com o auxílio do plano cartesiano, obtemos a seguinte representação gráfica:

Pelo gráfico, observa-se que o domínio da função é o conjunto de (x) 1000 0x q = − 2

todos os números reais positivos e a sua imagem também é o conjunto de todos os números

positivos menores ou igual a 1000. Observe, novamente, que falamos sobre a medida de

tempo e a medida de volume, logo não trabalhamos com os números negativos. Também

podemos concluir que a função é uma função decrescente, dado que ao aumentar o valor de x,

o valor da sua imagem f(x) diminui.

Por fim, para observarmos o gráfico de uma função constante, precisamos que o valor

da imagem f(x) não dependa do valor de x, ou seja, quando f(x) é igual a um número real

fixado, ou seja, , sendo c qualquer número real, por exemplo:(x) f = c

f(x) = 0

Pelo gráfico, observa-se que o domínio da função é o conjunto todos os (x) f = 0

números reais e a sua imagem é o conjunto formado apenas pelo número 0, que pode ser

representado por .0}{

(Observer que a reta x=0 não representa o gráfico de uma função, pois para um

mesmo elemento do domínio teríamos mais de um elemento correspondente de imagem, e

isso não pode acontecer numa função.)

Atividade 4 1) Construa a tabela de valores e faça os gráficos das funções abaixo:

a) f(x) = - 2x

b) f(x)= x + 10

c) f(x) = 7

d) f(x) = -5x - 4

e) f(x) = 9x - 3

2) Classifique os gráficos construídos ,no exercício anterior, em ou crescente ou decrescente

ou constante.

Proposta de Reflexão 

De que forma as tabelas e os gráficos podem auxiliar na visualização da situação? Quais

aspectos relacionados à Funções podem ser observados a partir de um gráfico?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A proposta de reflexão tem como objetivo sistematizar os conceitos abordados.

Para este momento, pode-se associar a construção de tabelas e gráficos com a

determinação de Domínio, Contradomínio e Imagem, análise de crescimento e a

própria definição de função como relação unívoca entre duas variáveis.