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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

MODELO PROBABILÍSTICO DE DISTRIBUIÇÃO TRIDIMENSIONAL DE DESCONTINUIDADES EM

MACIÇOS ROCHOSOS FRATURADOS

CARLOS ALBERTO LAURO VARGAS

ORIENTADOR: ANDRÉ PACHECO DE ASSIS

TESE DE DOUTORADO EM GEOTECNIA

PUBLICAÇÃO: G.TD-008A/01

BRASÍLIA / DF: DEZEMBRO / 2001

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

MODELO PROBABILÍSTICO DE DISTRIBUIÇÃO TRIDIMENSIONAL DE DESCONTINUIDADES EM

MACIÇOS ROCHOSOS FRATURADOS

CARLOS ALBERTO LAURO VARGAS

TESE DE DOUTORADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR. APROVADA POR: _________________________________________ Prof. ANDRÉ PACHECO DE ASSIS, PhD (UnB) (ORIENTADOR) _________________________________________ Prof. MÁRCIO MUNIZ DE FARIAS, PhD (UnB) (EXAMINADOR INTERNO) _________________________________________ Prof. ERALDO LUPORINI PASTORE, DSc (UnB) (EXAMINADOR INTERNO) _________________________________________ Prof. AUGUSTO CÉSAR BITTENCOURT PIRES, PhD (UnB) (EXAMINADOR EXTERNO) _________________________________________ Prof. TARCÍSIO BARRETO CELESTINO, PhD (USP-SC) (EXAMINADOR EXTERNO) DATA: BRASÍLIA/DF, 18 DE DEZEMBRO DE 2001. FICHA CATALOGRÁFICA

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LAURO VARGAS, CARLOS ALBERTO Modelo Probabilístico de Distribuição Tridimensional de Descontinuidades em

Maciços Rochosos Fraturados (2001). xxv, 253 p., 297 mm (ENC/FT/UnB, Doutor, Geotecnia, 2001) Tese de Doutorado - Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental 1. Descontinuidades 2. Mecânica das Rochas 3. Probabilidade Geométrica 4. Métodos Estatísticos I. ENC/FT/UnB II. Título (série) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA LAURO, C.A. (2001). Modelo Probabilístico de Distribuição Tridimensional de Descontinuidades em Maciços Rochosos Fraturados. Tese de Doutorado, Publicação G.TD-008A/01, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 253 p. CESSÃO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Carlos Alberto Lauro Vargas TÍTULO DA TESE DE DOUTORADO: Modelo Probabilístico de Distribuição Tridimensional de Descontinuidades em Maciços Rochosos Fraturados GRAU / ANO: Doutor / 2001 É concedida à Universidade de Brasília a permissão para reproduzir cópias desta tese de Doutorado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta tese de doutorado pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do autor. _____________________________ Carlos Alberto Lauro Vargas Calle Peral # 206 Cercado, Arequipa Arequipa - Perú

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DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho com muito carinho aos meus pais Juan Lauro e Nancy Vargas de Lauro, que sempre me apoiaram e acreditaram em mim.

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AGRADECIMENTOS Agradeço a ajuda financeira com a bolsa de doutorado, fornecida pelo Concelho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) do Brasil. Aos professores da Geotecnia (UnB) pelo apoio constante antes e durante a execução do trabalho. Em especial agradeço ao meu orientador o professor André Pacheco de Assis, pelas sugestões, orientação e motivação, ao Professor Johannes C. J. M. Derks do departamento de Mecânica da UFPA, pelo apoio no desenvolvimento do programa gráfico em AutoLISP e ao colega Aldo Durand Farfan pela disponibilidade dos arquivos de dados necessários para esta tese, muito obrigado. Aos colegas da geotecnia, Evaldo, Ana Cristina, Marisaides, Lílian, Patrícia, Cláudia, Manoel, Silvrano, Silvana, André Fahel, César, Luis Abel, Luis Guilherme, Ircílio, Luís Fernando, Maurício, Terezinha, Janaina, Luciana, Suzana, André Brasil, Ana Karina, Maruska, Paula, Márcia, Marta, Hector e Íris é possível ter esquecido de alguém, mas estará sempre presente nos meus pensamentos, valeu galera!!! Aos colegas peruanos que compartilharam comigo momentos de lembranças peruanas e de alegria, assim como trabalho e apoio mútuo nos momentos difíceis, Nestor, Julio, Aldo, Reneé, Carlos Carrión, Cira, Armando, Carlos Rendon, Mónica, Érika, Karen, José, Eduardo, Henry, Oscar, Kurt, e outros mais, obrigado. Ao povo brasileiro que me ensinou uma forma de viver mais alegre e animada, cheia de companheirismo e amizade que levo comigo, aos meus amigos Ruanito, Rodrigo, Julio, Rafael, Sonia, Anamelia, Gracieli, Benoit, e outros que sempre estarão presentes em mim, em especial a Renata. A minha família, meus pais Juan e Nancy, minhas irmãs Nilde e Paola, que sempre me apoiaram e alentaram para chegar até onde estou. Minha vida e sucessos são produto de seu carinho, obrigado por tudo. Por último e mais importante a Deus, porque sem ele nada do que vivi e fiz teria acontecido e por esta razão continuo trabalhando, obrigado.

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RESUMO

O comportamento mecânico de maciços rochosos é muito influenciado pela presença

das descontinuidades, De acordo com sua densidade, tamanho e orientação, as

descontinuidades podem definir o tipo de ruptura do maciço, o tamanho dos blocos, fluxo de

água etc. Nos maciços rochosos, pode-se ter dois tipos de descontinuidades, as principais

(falhas, diques etc.) e as secundárias (fissuras, contatos, juntas etc.), tendo sempre presente a

escala do projeto. A variabilidade geométrica das descontinuidades secundárias, pode ser

analisada com métodos estatísticos para descrever sua distribuição no domínio de sua

amostragem e posteriormente, com a probabilidade geométrica, pode-se modelar a possível

distribuição das descontinuidades no espaço 3D. A análise estatística das descontinuidades

secundárias apresenta muitas incertezas pelos erros de tendência ou bias, dependendo do tipo

de amostragem (por scanline ou superficial), estes erros ou bias podem ser corrigidos com

aplicação da probabilidade geométrica. Neste trabalho o maciço fraturado é considerando

homogêneo e isotrópico e desta forma as descontinuidades podem ser consideradas como

discos circulares planos, com diâmetro, orientação, espaçamento e centro determinados.

A correta inferência dos parâmetros em 3D das descontinuidades garante uma correta

simulação da distribuição das descontinuidades no espaço, assim também uma ampliação da

modelagem do tamanho médio do traço (ou interseção das descontinuidades com a superfície

de amostragem) é implementada ao modelo possibilitado o cálculo de traços da

descontinuidade a partir de amostragens em superfícies com qualquer inclinação. Esta

formulação implementada é uma generalização e satisfaz o próprio caso particular.

Uma vez definido o modelo probabilístico de cada parâmetro da descontinuidade, são

gerados os parâmetros das descontinuidades aplicando o método de Monte Carlo.

Posteriormente aplicando a ferramenta gráfica AutoCAD (AutoLISP), foram construídos os

modelos em 3 dimensões para o caso estudo da Mina de Timbopeba, os dois taludes e as 3

galerias. O maior aporte deste modelo probabilístico é que mostra a provável estrutura no

volume do maciço rochoso e assim a inferência da distribuição das descontinuidades em

futuras escavações ou cortes no próprio maciço, como verificado no caso estudo. Este modelo

se apresenta como uma ferramenta de auxílio ao projetista na determinação de situações

críticas onde a densidade de descontinuidades pode ser mais alta do que a média, o que

normalmente não é considerado em projetos tradicionais determinísticos, onde unicamente

são utilizados valores médios de tamanho, orientação e espaçamento das descontinuidades.

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ABSTRACT The mechanical behavior of rock masses is very influenced by the presence of joints,

and together with its density, size and orientation, they can define, the type of rupture for the

rock mass, the size of blocks, the water flow path etc. The rock masses had two joint types,

the main ones (faults, dikes etc.) and the secondary ones (fissures, contacts, little fractures

etc.), but always considering the scale project.

The geometric variability of secondary joints can be analyzed with statistical methods

to describe its distribution on it’s sampling domain and later model the possible distribution

of the joints in the 3D space, with the geometric probability. The statistical analysis of the

secondary joints presents many uncertainties for the tendency mistakes or bias, depending on

the sampling type (scanline or surface), which can be corrected with application of the

geometric probability. In this work the fractured rock mass is considered homogeneous and

isotropic hence the joints are represented as circular plane disks, with diameter, orientation,

spacing and center determined,.

The correct inference of the parameters in 3D of the joints guarantees a correct

simulation of the joint distribution in space, for this I purpose an ampliation of mean trace

size model (trace or intersection of the joint with the sampling surface) is implemented for the

model that allows the calculation of joint traces starting from samplings in surfaces with

variable inclination, not just only for samplings in vertical surfaces. This implemented

formulation is a generalization of the particular case and it satisfies the own particular case

too.

Once defined the probabilistic model of each parameter of the joint each parameter is

generated applying Monte Carlo's Method. Later on applying the programing graphic tool

AutoCAD (AutoLISP), the models were built in 3 dimensions for the case-study of the

Timbopeba mine, two slopes and 3 galleries.

This probabilistic model shows the verification possibility of the structure inside the

rock volume and the inference of joints distribution in future excavations or rock cuts in the

same rock mass, as verified in the case-study, also this model is presented as an aid tool for

the designer for the determination of critical situations where the joints density can be higher

than the average, what is not usually considered in traditional deterministic projects where

only mean values of size, orientation and spacing of the joints are used.

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ÍNDICE Capítulo Página 1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 1 1.1 MOTIVAÇÃO DA PESQUISA..................................................................................... 2 1.2 OBJETIVO DA PESQUISA .......................................................................................... 3 1.3 METODOLOGIA DA PESQUISA................................................................................ 3 1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ............................................................................. 4 2 MODELOS PROBABILÍSTICOS DE DESCONTINUIDADES EM 2D E

3D ................................................................................................................................... 5 2.1 ANÁLISE ESTATÍSTICA DAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ................................... 5 2.2 ANÁLISE PROBABILÍSTICA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS .............................. 8 2.3 PARÂMETROS DESCRITIVOS DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE..... 12 2.4 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL .......................................................................... 18 2.5 TESTES DE POPULAÇÕES NORMAIS ................................................................... 19 2.6 TESTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV K-S........................................................... 21 2.7 ANÁLISE DE DADOS DIRECIONAIS CIRCULARES............................................ 24 2.8 ANÁLISES DE DADOS ESFÉRICOS........................................................................ 27 2.8.1 REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE VETORES.................................................... 31 2.8.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DADOS ESFÉRICOS....................................... 37 2.8.3 DISTRIBUIÇÃO DE FISHER..................................................................................... 38 2.8.4 TESTE DE HIPÓTESE DE UNIFORMIDADE DE DADOS ESFÉRICOS............... 40 2.9 MODELOS PROBABILÍSTICOS DAS DESCONTINUIDADES............................. 41 2.9.1 CORREÇÃO DE BIAS................................................................................................ 44 2.9.2 MODELO DE BAECHER ........................................................................................... 45 2.9.3 MODELO DE VENEZIANO....................................................................................... 47 2.9.4 MODELO DE DERSHOWITZ.................................................................................... 49 2.9.5 MODELO DE KULATILAKE .................................................................................... 51 2.9.6 COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS.................................................................. 52 3 FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE GEOMÉTRICA ................................ 53 3.1 INTRODUÇÃO............................................................................................................ 54 3.2 NOÇÃO DE MEDIDA GEOMÉTRICA ..................................................................... 55 3.3 ESCOLHA DE UMA MEDIDA DE PROBABILIDADE........................................... 61 3.4 PONTOS NO ESPAÇO EUCLIDIANO DE N DIMENSÕES.................................... 62 3.5 DENSIDADE E MEDIDA PARA O CONJUNTO DE PONTOS .............................. 63 3.5.1 OBSERVAÇÕES DA DENSIDADE........................................................................... 65 3.5.2 EQUAÇÃO INTEGRAL.............................................................................................. 66 3.6 DENSIDADE E MEDIDA DE LINHAS RETAS ....................................................... 69 3.7 LINHAS RETAS QUE INTERCEPTAM UMA CURVA .......................................... 71 3.8 PLANOS ALEATÓRIOS ............................................................................................ 72 3.9 PLANOS QUE INTERCEPTAM UMA CURVA ....................................................... 74 3.10 DISTRIBUIÇÃO DO TAMANHO DAS PARTÍCULAS ........................................... 75 3.11 FIGURAS NUM ESPAÇO DE TRÊS DIMENSÕES ................................................. 80 4 TALUDE DA MINA DE TIMBOPEBA................................................................... 83 4.1 GEOMETRIA LOCAL E GEOMETRIA DOS TALUDES DA MINA DE

TIMBOPEBA............................................................................................................... 83

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4.2 CARACTERÍSTICAS DAS DESCONTINUIDADES DOS TALUDES SUL E SUDESTE..................................................................................................................... 90

4.3 DESCRIÇÃO E CARACTERÍSTICAS GEOMECÂNICAS DOS TALUDES.......... 90 5 MODELAGEM DO COMPRIMENTO DO TRAÇO MÉDIO ............................. 98 5.1 MODELO MATEMÁTICO PARA O COMPRIMENTO DE TRAÇO MÉDIO........ 99 5.2 RELAÇÃO ENTRE O ÂNGULO DE MERGULHO APARENTE (qA) E A

ORIENTAÇÃO ENTRE O PLANO DA DESCONTINUIDADE E O PLANO DE AMOSTRAGEM ................................................................................................. 103

5.3 DERIVAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO TRAÇO MÉDIO.......................................... 109 5.4 APLICAÇÃO DO MODELO DO TRAÇO MÉDIO AOS DADOS DO CASO

ESTUDADO............................................................................................................... 113 5.5 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA DUPLA...................................................................... 114 6 MODELAGEM PROBABILÍSTICA DAS DESCONTINUIDADES EM 3D.... 118 6.1 AMOSTRAGEM DOS DADOS................................................................................ 119 6.2 REGIÃO ESTATISTICAMENTE HOMOGÊNEA .................................................. 119 6.3 DETERMINAÇÃO DAS FAMÍLIAS DE DESCONTINUIDADES DE CADA

REGIÃO..................................................................................................................... 122 6.4 ORIENTAÇÃO DAS DESCONTINUIDADES........................................................ 128 6.4.1 CORREÇÃO DOS ERROS DE TENDÊNCIA POR ORIENTAÇÃO...................... 129 6.4.2 MODELAGEM DA ORIENTAÇÃO DAS DESCONTINUIDADES ...................... 135 6.5 TAMANHO DAS DESCONTINUIDADES.............................................................. 138 6.5.1 CORREÇÃO DE ERROS DE TENDÊNCIA DO COMPRIMENTO DO

TRAÇO....................................................................................................................... 141 6.5.2 DIÂMETRO DA DESCONTINUIDADE ................................................................. 144 6.6 ESPAÇAMENTO DAS DESCONTINUIDADES .................................................... 146 6.6.1 CORREÇÃO DOS ERROS DE TENDÊNCIA E DENSIDADE LINEAR DAS

DESCONTINUIDADES............................................................................................ 147 6.6.2 DENSIDADE VOLUMÉTRICA DAS DESCONTINUIDADES ............................. 151 6.6.3 NÚMERO DE DESCONTINUIDADES ................................................................... 152 6.7 MODELAGEM PROBABILÍSTICA DA DESCONTINUIDADE EM 3D.............. 153 6.8 MODELAGEM DO NÚMERO DE DESCONTINUIDADES.................................. 154 6.9 MODELAGEM DA LOCALIZAÇÃO DOS CENTROS DAS

DESCONTINUIDADES............................................................................................ 155 6.10 MODELAGEM DA ORIENTAÇÃO DAS DESCONTINUIDADES ...................... 156 6.11 MODELAGEM DO DIÂMETRO DAS DESCONTINUIDADES ........................... 159 7 VERIFICAÇÃO DO MODELO DAS DESCONTINUIDADES.......................... 160 7.1 GERAÇÃO VISUAL DOS MODELOS EM 3D....................................................... 160 7.2 MODELOS 3D DAS CINCO REGIÕES ANALISADAS ........................................ 162 7.3 VERIFICAÇÃO DA PREVISÃO DO MODELO 3D ............................................... 167 8 CONCLUSÕES......................................................................................................... 175 8.1 MODELO PROBABILÍSTICO DAS DESCONTINUIDADES EM 3D .................. 175 8.2 GENERALIZAÇÃO DO MODELO DO TAMANHO DO TRAÇO ........................ 177 8.3 PREVISÃO DO MODELO 3D.................................................................................. 177 8.4 SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS ........................................................ 178 REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 179

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A ORIENTAÇÃO DAS DESCONTINUIDADES..................................................... 183 B TAMANHO DAS DESCONTINUIDADES ........................................................... 209 C DENSIDADE DAS DESCONTINUIDADES......................................................... 224 D MODELAGEM DAS DESCONTINUIDADES..................................................... 227 E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA DUPLA .................................................................. 247

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LISTA DE TABELAS Tabela Página 2.1 Distribuições de probabilidade mais comuns (modificado - Ang & Tang, 1975).......... 17 2.2 Colocação das hipóteses ................................................................................................. 19 2.3 Testes estatísticos mais comuns, sua funções e condições de aplicação. ....................... 21 2.4 Valores críticos do teste estatístico de K-S, para distribuição de uma e duas

caudas (modificado - Davis, 1986) ................................................................................. 23 2.5 Valores críticos de R para o teste de uniformidade de uma distribuição esférica.

(modificado - Davis, 1986)............................................................................................. 42 2.6 Características das descontinuidades de alguns modelos ............................................... 52 4.1 Coluna estratigráfica do Pré-Cambriano no Quadrilatero Ferrífero (modificado –

Durand, 1995) ................................................................................................................. 84 4.2 Geometria e distribuição dos maciços setorizados do talude sul.................................... 86 4.3 Geometria e distribuição dos maciços setorizados do talude sudeste............................. 87 4.4 Descrição individual das descontinuidades presentes no maciço do talude sul

(modificado - Durand, 1995). ......................................................................................... 92 4.5 Descrição individual das descontinuidades presentes no maciço do talude sudeste

(modificado - Durand, 1995). ......................................................................................... 93 5.1 Resultados dos coeficientes A e B calculados numericamente. ................................... 117 5.2 Traço médio µ considerando amostragem por superfície. ............................................ 117 6.1 Quantidade de descontinuidades secundárias mapeadas por região............................. 120 6.2 Componentes dos eixos cartesianos dos dados direcionais da Galeria G13................. 121 6.3 Cálculo do teste de uniformidade das cinco regiões analisadas ................................... 121 6.4 Quantidade de famílias por região e quantidade de dados por família......................... 128 6.5 Valores estatísticos dos dados de orientação das famílias de descontinuidades .......... 136 6.6 Teste de ajuste c2 dos dados de orientação com a distribuição de Fisher .................... 138 6.7 Resultados dos teste de ajuste não paramétricos (c2 e K-S) dos dados de

comprimento do traço. .................................................................................................. 140 6.8 Freqüência e traço médio das famílias de descontinuidades considerando

amostragem por scanline. ............................................................................................. 143 6.9 Traço médio para um plano infinito considerando amostragem por superfície. .......... 144 6.10 Espaçamento médio e densidade linear corrigidos para cada família de

descontinuidades........................................................................................................... 148 6.11 Resultado dos teste de ajuste de curva para as distribuições do espaçamento das

descontinuidades de cada família. ................................................................................ 149 6.12 Densidade 3D das famílias de descontinuidades (scanline e superficial)..................... 152 6.13 Número médio de descontinuidades para amostragem por scanline e por superfície

...................................................................................................................................... 153 7.1 Arquivo de dados do modelo e das descontinuidades da galeria 12 e família 10 ........ 162 7.2 Quantidade de descontinuidades gerada pelo modelo por região e por família de

descontinuidades........................................................................................................... 163

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LISTA DE FIGURAS Figura Página 2.1 Distribuição de freqüência da variável aleatória de resistência última de ensaio de

cisalhamento (modificado - Ang & Tang, 1975).............................................................. 6 2.2 Distribuição de freqüência e de probabilidade normal da variável aleatória de

dados de densidade máxima (modificado - Ang & Tang, 1975). ..................................... 8 2.3 Distribuições de probabilidade para variáveis discretas e contínuas (modificado –

Ang &Tang, 1975)............................................................................................................ 9 2.4 Aplicação do nível de significância da hipótese nula (H0) para um caso bilateral ........ 20 2.5 Procedimento de Kolmogorov-Smirnov para teste ajuste de curva, linha tracejada

é a amostra e linha contínua é modelo hipotético (modificado - Davis, 1986) .............. 23 2.6 Direções das estratificações glaciais: (a) Direções em vetores unitários; (b)

Direções em diagrama de rosetas (modificado - Davis, 1986). ...................................... 25 2.7 Uso do comprimento da resultante para representar o grau de dispersão do grupo

de vetores unitários (modificado - Davis, 1986). ........................................................... 26 2.8 Efeito de duplicar a direção angular para calcular a direção média. (modificado -

Davis, 1986).................................................................................................................... 28 2.9 Sistema de notação de vetores no espaço de três dimensões: (a) vetor no espaço

cartesianos X, Y e Z; (b) Vetor no espaço esférico f e q (modificado - Davis, 1986). .............................................................................................................................. 29

2.10 Notação de direção de mergulho (dip direction) e mergulho (dip) para vetores em três dimensões (modificado - Davis, 1986). ................................................................... 30

2.11 Projeção do vetor (a, b) no vetor (u, v) (modificado - Davis, 1986). ............................. 32 2.12 Projeção de dois vetores opostos diametralmente no vetor próprio [b2]. As

distâncias d1 e d2 são idênticas e atuam no mesmo sentido rotacional (modificado - Davis 1986). ................................................................................................................. 35

2.13 Padrões de distribuição de vetores na esfera unitária. (a) parcialmente regular; (b) unimodal; (c) bimodal; (d) completamente regular e (e) uniforme (modificado - Davis, 1986).................................................................................................................... 36

2.14 Classificação dos padrões de vetores na esfera unitária com relação a K = ln (λ1/λ2) / ln (λ2/λ3) (modificado - Davis, 1986). ........................................................... 36

2.15 Vetores dentro do hemisfério superior da esfera unitária e suas projeções num diagrama polar de igual área (modificado - Davis, 1986). ............................................. 37

2.16 Desenhos dos pólos do plano: (a) Plano com seus pólos na esfera unitária. (b) Pólos de um plano projetado no estereograma (modificado - Davis, 1986)................... 38

2.17 Distribuição acumulada de dados de direção e a distribuição de Fisher acumulada. ..... 40 2.18 Orientação das descontinuidades, direção e mergulho (strike / dip), direção de

mergulho e mergulho (dip direction / dip)...................................................................... 43 2.19 Comparação das distribuições adotadas com dados observados: (a) distribuição

acumulada lognormal e gamma com dados de comprimento do traço; (b) distribuição acumulada exponencial com dados de espaçamento (modificado - Baecher, et al., 1977). ..................................................................................................... 46

2.20 Modelo de Beacher, com descontinuidades em forma de discos com extremos em rocha intacta ou na interseção com outras descontinuidades. (Dershowitz e Einstein, 1988). ............................................................................................................... 47

2.21 Modelo de Veneziano: (a) Traços gerados pelo processo de Poisson; (b) Processo de geração das descontinuidades não persistentes (modificado - Dershowitz &

xii

Einstein, 1988). ............................................................................................................... 48 2.22 Modelo de Veneziano bidimensional ............................................................................. 49 2.23 Geração das descontinuidades do modelo de Dershowitz (modificado -

Dershowitz & Einstein, 1988). ....................................................................................... 50 3.1 Rearranjo da distribuição das agulhas numa circunferência........................................... 55 3.2 Representação geométrica do problema de Buffon: (a) localização da agulha entre

as linhas LA e LB; (b) domínio (q, x) das agulhas que estão entre as linhas LA e LB. .................................................................................................................................. 56

3.3 Representação geométrica do problema de Bertrand: (a) PRIMEIRO, probabilidade de 1/3; (b) SEGUNDO, probabilidade de ½; (c) TERCEIRO, probabilidade de ¼ (modificado - Langevin, 1997) ....................................................... 57

3.4 Plano convexo K e densidade dos pontos P externos a K .............................................. 66 4.1 Planta do talude (SE-NW) contendo os taludes sul e sudeste (modificado -

Durand, 1995). ................................................................................................................ 85 4.2 Plano do talude sul setorizado mostrando as galerias de exploração e as duas

descontinuidades notáveis de cisalhamento no maciço 06 (modificado - Durand, 1995) ............................................................................................................................... 88

4.3 Plano do talude sudeste setorizado mostrando as 9 bermas (modificado - Durand, 1995) ............................................................................................................................... 89

5.1 Intersecção da descontinuidade com a janela de amostragem retangular

(modificado - Kulatilake & Wu, 1984)......................................................................... 102 5.1 Intersecção da descontinuidade com a janela de amostragem retangular

(modificado - Kulatilake & Wu, 1984)......................................................................... 100 5.2 Componentes cartesianas do vetor normal a qualquer plano no espaço....................... 103 5.3 Relação geométrica entre os planos da descontinuidade, da janela de amostragem

e do plano horizontal de referencia............................................................................... 104 5.4 Ângulo d, definido entre a direção da descontinuidade e a direção de mergulho da

janela de amostragem.................................................................................................... 107 5.5 Descontinuidade com ambos extremidades censurados, h/senθA ≤ x ≤ ∞, e

θA ≥ tg-1(h/w) (modificado - Kulatilake & Wu, 1984) ................................................. 109 5.6 Descontinuidade com ambas extremidades censuradas, 0 ≤ x ≤ h/senθA, e

θA ≥ tg-1(h/w) (modificado - Kulatilake & Wu, 1984). ................................................ 111 5.7 Descontinuidade com ambas extremidades visíveis, 0 ≤ x < h/senθA, e

θA ≥ tg-1 (h/w) (modificado - Kulatilake & Wu, 1984). ............................................... 112 6.1 Projeção estereográfica de igual área das descontinuidades do Talude Sudeste .......... 123 6.2 Projeção estereográfica de igual área das famílias de descontinuidades do Talude

Sudeste .......................................................................................................................... 123 6.3 Projeção estereográfica de igual área das descontinuidades da Galeria 11.................. 124 6.4 Projeção estereográfica de igual área das famílias de descontinuidades da Galeria

11 .................................................................................................................................. 124 6.5 Projeção estereográfica de igual área das descontinuidades da Galeria 12.................. 125 6.6 Projeção estereográfica de igual área da família de descontinuidades da Galeria 12 .. 125 6.7 Projeção estereográfica de igual área das descontinuidades da Galeria 13.................. 126 6.8 Projeção estereográfica de igual área da família de descontinuidades da Galeria 13 .. 126 6.9 Projeção estereográfica de igual área das descontinuidades do Talude Sul ................. 127

xiii

6.10 Projeção estereográfica de igual área da família de descontinuidades do Talude Sul ................................................................................................................................. 127

6.11 Histograma bivariacional dos dados de orientação da família 1 do Talude Sudeste.... 128 6.12 Família de descontinuidades intersectada pela linha de amostragem ou scanline

(modificado - Priest, 1985) ........................................................................................... 130 6.13 Posição da descontinuidade e a janela de amostragem quando o canto P toca um

ponto do perímetro da descontinuidade (modificado – Wathugala et al., 1990). ......... 132 6.14 Distribuição da freqüência original e corrigida de orientação da família 1 do

Talude Sudeste.............................................................................................................. 134 6.15 Histograma bivariacional dos dados de orientação corrigidos da família 1 do

Talude Sudeste.............................................................................................................. 135 6.16 Teste de ajuste não paramétrico c2 da distribuição de Fisher para os dados de

orientação corrigidos da família 1 do Talude Sudeste.................................................. 137 6.17 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 do Talude Sudeste....... 139 6.18 Comprimento de traço médio para a família 1 do Talude Sudeste: (a) Freqüência

média; (b) Comprimento médio.................................................................................... 142 6.19 Distribuição de probabilidade discretizada do diâmetro P(D), a função de

probabilidade do diâmetro g(D) e média , da família 1 do Talude Sudeste. ............... 146 6.20 Histograma do espaçamento, família 1 do Talude Sul, ajustada à função

Lognormal..................................................................................................................... 149 6.21 Modelo do número de descontinuidades da família 10 da Galeria 11.......................... 155 6.22 Modelo de localização em x da família 1 do Taludes Sudeste. .................................... 156 6.23 Histograma bivariacional de orientação dos dados observado e modelados do

Talude Sudeste.............................................................................................................. 157 6.24 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados do Talude Sudeste ........ 158 6.25 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados do Talude Sudeste......... 158 6.26 Histograma do diâmetro modelado da família 1 do Talude Sudeste. ........................... 159 7.1 Esquema de geração do volume do modelo com orientação definida da superfície

ou janela de amostragem............................................................................................... 163 7.1 Esquema de geração do volume do modelo com orientação definida da superfície

ou janela de amostragem............................................................................................... 161 7.2 Disco da descontinuidade intersectando o volume do modelo. .................................... 161 7.3 Modelo probabilístico das descontinuidades do maciço do Talude Sudeste da

Mina de Timbopeba (dimensões em metros)................................................................ 165 7.4 Modelo probabilístico das descontinuidades do maciço da Galeria 11 da Mina de

Timbopeba (dimensões em metros). ............................................................................. 165 7.5 Modelo probabilístico das descontinuidades do maciço da Galeria 12 da Mina de

Timbopeba (dimensões em metros). ............................................................................. 166 7.6 Modelo probabilístico das descontinuidades do maciço da Galeria 13 da Mina de

Timbopeba (dimensões em metros). ............................................................................. 166 7.7 Modelo probabilístico das descontinuidades do maciço do Talude Sul da Mina de

Timbopeba (dimensões em metros). ............................................................................. 167 7.8 Modelo do Talude Sul com a escavação das 3 galerias e da galeria transversal de

ligação........................................................................................................................... 168 7.9 Modelo do Talude Sul com as Galerias 11, 12 e 13. .................................................... 168 7.10 Corte do modelo do Talude Sul com vista da parede da Galeria 11 (as linhas

tracejadas indicam a real dimensão da parede da Galeria 11). ..................................... 169 7.11 Corte do modelo do Talude Sul com vista da parede da Galeria 12 (as linhas

tracejadas indicam a real dimensão da parede da Galeria 12). ..................................... 169

xiv

7.12 Corte do modelo do Talude Sul com vista da parede da Galeria 13 (as linhas tracejadas indicam a real dimensão da parede da Galeria 13). ..................................... 170

7.13 Verificação do Modelo com a Galeria 11: (a) Galeria 11 tirada do Modelo do Talude Sul; (b) Mapeamento em campo da Galeria 11; e (c) Modelo da Galeria 11. ................................................................................................................................. 171



8.1 Modelo determinístico e probabilístico da distribuição das descontinuidades

mostrando a diferencia nas densidades para regiões próximas no mesmo modelo. ..... 176 A.1 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 1 do

Talude Sudeste.............................................................................................................. 184 A.2 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 2 do



Talude Sudeste.............................................................................................................. 185 A.5 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 1 da

Galeria 11...................................................................................................................... 186 A.6 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 2 da





Galeria 13...................................................................................................................... 188 A.11 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 1 do

Talude Sul ..................................................................................................................... 189 A.12 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 1 do Talude Sudeste...... 190 A.13 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 2 do Talude Sudeste...... 190 A.14 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 3 do Talude Sudeste...... 190 A.15 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 10 do Talude Sudeste.... 191 A.16 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 1 da Galeria 11.............. 191 A.17 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 2 da Galeria 11.............. 191 A.18 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 10 da Galeria 11............ 192 A.19 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 1 da Galeria 12.............. 192 A.20 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 10 da Galeria 12............ 192 A.21 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 1 da Galeria 13.............. 193 A.22 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 1 do Talude Sul............. 193 A.23 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 1 do

Talude Sudeste.............................................................................................................. 193

xv

A.24 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 2 do Talude Sudeste.............................................................................................................. 194



A.27 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 1 da Galeria 11...................................................................................................................... 195






A.33 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 1 do Talude Sul ..................................................................................................................... 197

A.34 Teste de ajuste χ2 para a família 1 do Talude Sudeste ................................................. 198 A.35 Teste de ajuste χ2 para a família 2 do Talude Sudeste ................................................. 199 A.36 Teste de ajuste χ2 para a família 3 do Talude Sudeste ................................................. 200 A.37 Teste de ajuste χ2 para a família 10 do Talude Sudeste ............................................... 201 A.38 Teste de ajuste χ2 para a família 1 da Galeria 11 ......................................................... 202 A.39 Teste de ajuste χ2 para a família 2 da Galeria 11 ......................................................... 203 A.40 Teste de ajuste χ2 para a família 10 da Galeria 11 ....................................................... 204 A.41 Teste de ajuste χ2 para a família 1 da Galeria 12 ......................................................... 205 A.42 Teste de ajuste χ2 para a família 10 da Galeria 12 ....................................................... 206 A.43 Teste de ajuste χ2 para a família 1 da Galeria 13 ......................................................... 207 A.44 Teste de ajuste χ2 para a família 1 do Talude Sul ........................................................ 208 B.1 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 do Talude Sudeste....... 210 B.2 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 2 do Talude Sudeste....... 210 B.3 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 3 do Talude Sudeste....... 211 B.4 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 10 do Talude Sudeste..... 211 B.5 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 da Galeria 11............... 212 B.6 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 2 da Galeria 11............... 212 B.7 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 10 da Galeria 11............. 213 B.8 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 da Galeria 12............... 213 B.9 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 10 da Galeria 12............. 214 B.10 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 da Galeria 13............... 214 B.11 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 do Talude Sul.............. 215 B.12 Comprimento de traço médio da família 1 do Talude Sudeste..................................... 216 B.13 Comprimento de traço médio da família 2 do Talude Sudeste..................................... 216 B.14 Comprimento de traço médio da família 3 do Talude Sudeste..................................... 216 B.15 Comprimento de traço médio da família 10 do Talude Sudeste................................... 217 B.16 Comprimento de traço médio da família 1 da Galeria 11............................................. 217 B.17 Comprimento de traço médio da família 2 da Galeria 11............................................. 217 B.18 Comprimento de traço médio da família 10 da Galeria 11........................................... 218

xvi

B.19 Comprimento de traço médio da família 1 da Galeria 12............................................. 218 B.20 Comprimento de traço médio da família 10 da Galeria 12........................................... 218 B.21 Comprimento de traço médio da família 1 da Galeria 13............................................. 219 B.22 Comprimento de traço médio da família 1 do Talude Sul ............................................ 219 B.23 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 1 do Talude

Sudeste .......................................................................................................................... 219 B.24 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 2 do Talude



Sudeste .......................................................................................................................... 220 B.27 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 1 da Galeria

11 .................................................................................................................................. 221 B.28 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 2 da Galeria

11 .................................................................................................................................. 221 B.29 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 10 da

Galeria 11...................................................................................................................... 221 B.30 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 1 da Galeria

12 .................................................................................................................................. 222 B.31 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 10 da

Galeria 12...................................................................................................................... 222 B.32 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 1 da Galeria

13 .................................................................................................................................. 222 B.33 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 1 do Talude

Sul ................................................................................................................................. 223 C.1 Histograma do espaçamento da família 1 da Galeria 11 .............................................. 225 C.2 Histograma do espaçamento da família 1 da Galeria 12 .............................................. 225 C.3 Histograma do espaçamento da família 10 da Galeria 12 ............................................ 225 C.4 Histograma do espaçamento da família 1 da Galeria 13 .............................................. 226 C.5 Histograma do espaçamento da família 1 do Talude Sul.............................................. 226 D.1 Modelo do número de descontinuidades da família 1 do Talude Sudeste.................... 228 D.2 Modelo do número de descontinuidades da família 2 do Talude Sudeste.................... 228 D.3 Modelo do número de descontinuidades da família 3 do Talude Sudeste.................... 228 D.4 Modelo do número de descontinuidades da família 10 do Talude Sudeste.................. 229 D.5 Modelo do número de descontinuidades da família 1 da Galeria 11............................ 229 D.6 Modelo do número de descontinuidades da família 2 da Galeria 11............................ 229 D.7 Modelo do número de descontinuidades da família 10 da Galeria 11.......................... 230 D.8 Modelo do número de descontinuidades da família 1 da Galeria 12............................ 230 D.9 Modelo do número de descontinuidades da família 10 da Galeria 12.......................... 230 D.10 Modelo do número de descontinuidades da família 1 da Galeria 13............................ 231 D.11 Modelo do número de descontinuidades da família 1 do Talude Sul........................... 231 D.12 Modelo de localização em x da família 1 do Taludes Sudeste ..................................... 231 D.13 Modelo de localização em y da família 1 do Taludes Sudeste ..................................... 232 D.14 Modelo de localização em z da família 1 do Taludes Sudeste ..................................... 232 D.15 Modelo de localização em x da família 2 do Taludes Sudeste ..................................... 232 D.16 Modelo de localização em y da família 2 do Taludes Sudeste ..................................... 233 D.17 Modelo de localização em z da família 2 do Taludes Sudeste ..................................... 233

xvii

D.18 Modelo de localização em x da família 3 do Taludes Sudeste ..................................... 233 D.19 Modelo de localização em y da família 3 do Taludes Sudeste ..................................... 234 D.20 Modelo de localização em z da família 3 do Taludes Sudeste ..................................... 234 D.21 Modelo de localização em x da família 10 do Taludes Sudeste ................................... 234 D.22 Modelo de localização em y da família 10 do Taludes Sudeste ................................... 235 D.23 Modelo de localização em z da família 10 do Taludes Sudeste ................................... 235 D.24 Histograma bivariacional de orientação dos dados observados e modelados do

Talude Sudeste.............................................................................................................. 235 D.25 Histograma bivariacional de orientação dos dados observados e modelados da

Galeria 11...................................................................................................................... 236 D.26 Histograma bivariacional de orientação dos dados observados e modelados da

Galeria 12...................................................................................................................... 236 D.27 Histograma bivariacional de orientação dos dados observados e modelados da

Galeria 13...................................................................................................................... 237 D.28 Histograma bivariacional de orientação dos dados observados e modelados do

Talude Sul ..................................................................................................................... 237 D.29 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados do Talude Sudeste ........ 238 D.30 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados do Talude Sudeste......... 238 D.31 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados da Galeria 11................ 239 D.32 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados da Galeria 11................. 239 D.33 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados da Galeria 12................ 240 D.34 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados da Galeria 12................. 240 D.35 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados da Galeria 13................ 241 D.36 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados da Galeria 13................. 241 D.37 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados do Talude Sul ............... 242 D.38 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados do Talude Sul................ 242 D.39 Histograma do diâmetro modelado da família 1 do Talude Sudeste ............................ 243 D.40 Histograma do diâmetro modelado da família 2 do Talude Sudeste ............................ 243 D.41 Histograma do diâmetro modelado da família 3 do Talude Sudeste ............................ 243 D.42 Histograma do diâmetro modelado da família 10 do Talude Sudeste .......................... 244 D.43 Histograma do diâmetro modelado da família 1 da Galeria 11 .................................... 244 D.44 Histograma do diâmetro modelado da família 2 da Galeria 11 .................................... 244 D.45 Histograma do diâmetro modelado da família 10 da Galeria 11 .................................. 245 D.46 Histograma do diâmetro modelado da família 1 da Galeria 12 .................................... 245 D.47 Histograma do diâmetro modelado da família 10 da Galeria 12 .................................. 245 D.48 Histograma do diâmetro modelado da família 1 da Galeria 13 .................................... 246 D.49 Histograma do diâmetro modelado da família 1 do Talude Sul ................................... 246

xviii

LISTA DE ABREVIAÇÕES, NOMENCLATURAS E SIMBOLOGIA

(ξ1, η1) coordenadas do ponto de tangência A1.

(λi)j densidade ou freqüência linear da família de descontinuidades j na linha de

amostragem i.

[dx dy] multiplicação exterior ou derivada de vetores.

1/λ espaçamento médio das descontinuidades observadas.

1D espaço de uma dimensão.

2D espaço de duas dimensões.

3D espaço de três dimensões.

A valor esperado do cosseno aparente da descontinuidade com o plano de

amostragem.

A, D ângulos de direção de mergulho e de mergulho do plano da descontinuidade.

ABGE Associação Brasileira de Geologia de Engenharia e Ambiental.

Aj área da descontinuidade.

As área do plano de amostragem.

B valor esperado do seno aparente da descontinuidade com o plano de amostragem.

b1, b2 e b3 vetores próprios do conjunto de dados de direção, ortogonais entre si.

bias erro de amostragem ou erro por tendência.

c altura máxima da janela de amostragem para a análise do comprimento do traço.

C curva plana.

C ponto médio do traço da descontinuidade.

Ca comprimento da corda que atravessa o centro da descontinuidade elíptica

orientada a um certo ângulo α.

CBMR Comitê Brasileiro de Mecânica das Rochas.

CDF Distribuição de probabilidade acumulada.

Cmax comprimento da corda máxima de uma descontinuidade elíptica

Cmin comprimento da corda mínima de uma descontinuidade elíptica

Cov(X) Covariância esperada da variável X.

CVRD Companhia Vale do Rio Doce.

d extremidade do traço da descontinuidade terminando em outra descontinuidade.

d diferença máxima do teste de ajuste de Kolmogorov-Smirnof.

xix

d vetor de máximo mergulho do plano da descontinuidade.

df graus de liberdade do teste de ajuste qui quadrado.

dj comprimento de influência da descontinuidade.

ds comprimento de influência do plano de amostragem.

D diâmetro médio da descontinuidade.

D matriz de covariâncias.

D diâmetro da descontinuidade.

Dj diâmetro da descontinuidade discretizado em faixas de valores.

DNPM Departamento Nacional de Produção Mineral.

ea espaçamento aparente das descontinuidades.

er espaçamento real das descontinuidades.

E Este.

E’(x) espaçamento médio corrigido em base ao comprimento L de scanline.

E(X) Média esperada da variável X.

E(Y|X=x) valor esperado da direção de mergulho da distribuição bivariacional.

E(λv) densidade média das descontinuidades em 3D.

f(x) distribuição de probabilidade do traço das descontinuidades.

f(x, I) distribuição de probabilidade do comprimento do traço quando acontece a

interseção com o plano de amostragem.

f(x|D,I) distribuição de probabilidade condicional do comprimento x quando ocorre o

diâmetro D e a interseção I.

f(θ) distribuição de probabilidade de Fisher.

f(θ, α) distribuição bivariacional de θ e α.

fa(θ, α) distribuição bivariacional do mergulho θ e da direção de mergulho α.

fX(x) Distribuição de probabilidade da variável X contínua.

fuzzy lógica não bouleana ou nebulosa.

F teste estatístico F das variâncias.

F(a) distribuição de probabilidade de área a de uma figura plana.

F(r) distribuição de probabilidade acumulada de diâmetros r.

FX(x) função da distribuição de probabilidade acumulada da variável X para o valor x.

g(D) distribuição de probabilidade do diâmetro da descontinuidade inferido pela

probabilidade geométrica.

g(X) função da variável X.

xx

G linha reta.

h comprimento da altura da janela de amostragem.

h vetor unitário paralelo à direção do plano da descontinuidade.

H altura do plano ou janela de amostragem retangular.

H0 hipótese estatística nula.

H1 hipótese estatística alternativa.

I interseção da descontinuidade com o plano de amostragem.

ISMR Associação Internacional de Mecânica das Rochas.

K-S teste de ajuste estatístico não paramétrico de Kolmogorov-Smirnov.

l segmentos lineares.

l comprimento do traço médio numa superfície infinita.

l número de traços com ambos extremos visíveis.

L comprimento da linha de amostragem scanline.

L comprimento do círculo.

l1, l2 comprimento médio do semitraço pelo método de Priest &Hudson (1981) e

Cruden (1977), respectivamente.

li comprimento médio dos semitraços.

m número de traços com um extremo visível.

m vetor unitário de mergulho aparente do plano da descontinuidade.

m(C, L) medida da curva plana C sobre a linha L.

m(R) medida de probabilidade ou de Lebesgue de uma região limitada em R.

M(E) medida de probabilidade do conjunto E para um número aleatório de elementos.

MG Minas Gerais.

Mm momento da distribuição de probabilidade F(r).

mm momento da distribuição de probabilidade φ(x).

n número de dados.

nd vetor unitário normal ao plano da descontinuidade.

ne vetor unitário na direção de medida do espaçamento aparente ea.

ni vetor resultante do produto escalar entre os vetores unitários n (normal ao plano

da descontinuidade) e o vetor i paralelo à linha de amostragem.

nj vetor unitário normal ao plano de amostragem.

N Norte.

N número total de traços observados no plano de amostragem.

xxi

N0 número total de traços observados com ambas extremidades censuradas.

N1 número total de traços observados com uma extremidade censurada.

N2 número total de traços observados com ambas extremidades visíveis.

p1 vetor unitário perpendicular ao plano da descontinuidade.

p2 vetor unitário perpendicular ao plano ou janela de amostragem.

pX(x) Distribuição de probabilidade da variável X discreta.

P(Dj) distribuição de probabilidade discretizada do diâmetro da descontinuidade Dj.

P(E) medida de probabilidade E para um número fixo de elementos.

P(I|D) distribuição de probabilidade condicional de interseção quando ocorre o diâmetro

D.

P(X ≤ x) Probabilidade da variável aleatória X de ser menor que o valor x.

P0(W) probabilidade da descontinuidade intercepte a janela de amostragem e que ao

mesmo tempo não apresente nenhum extremo visível.

P1(W) probabilidade da descontinuidade intercepte a janela de amostragem e que ao

mesmo tempo apresente um extremo visível.

PDF Distribuição de probabilidade dos dados contínuos.

PMF Distribuição de probabilidade dos dados discretos.

r0 diâmetro médio de uma esfera.

r extremidade de descontinuidade terminando em rocha intacta.

r vetor unitário paralelo ao comprimento horizontal do plano ou janela de

amostragem.

r número total de descontinuidades com semitraços menores que c.

R resultante dos vetores direção.

R0 relação entre o número de traços censurados (ambas extremidades não visíveis) e

o número total de traços.

R1 resultante do conjunto de amostras 1.

R2 resultante do conjunto de amostras 2.

R2 relação entre o número de traços não censurados (ambas extremidades visíveis) e

o número total de traços.

RMR Classificação de Beniawski.

Rp resultante do conjunto de amostras 1 e 2.

RU valor gerado aleatoriamente entre 0 e 1.

R resultante média dos vetores direção.

xxii

s desvio padrão das observações ou amostras.

s vetor unitário paralelo à altura do plano ou janela de amostragem.

s2 variância dos dados observados ou amostrados.

s20 variância circular dos vetores de direção.

scanline linha de amostragem na superfície do maciço rochoso.

se erro padrão.

S Sul.

S* variância dos dados direcionais.

t teste estatístico de Student.

t1, t2 comprimento das tangentes PA1 e PA2 respectivamente.

v ângulo entre o plano da descontinuidade e o plano de amostragem.

V volume total de influencia, V1 + V2.

V(X) coeficiente de variação da variável X.

V1 volume de influencia da descontinuidade.

V2 volume de influencia do plano de amostragem.

Var(X) Variância esperada da variável X.

Var(Y|X=x) variância esperada da direção de mergulho da distribuição bivariacional.

w comprimento da base da janela de amostragem.

w fator de correção de freqüência dos dados de direção.

w' fator de correção de freqüência global dos dados de direção.

W comprimento horizontal do plano ou janela de amostragem retangular.

W Oeste.

x’, y’, z’ coordenadas cartesianas da transformada das coordenadas x, y, z.

x extremidade de descontinuidade externa ou não visível.

x comprimento do traço.

xi medida observado ou amostrada.

xm mediana das observações ou amostras x

x média das observações ou amostras x.

Xi, Yi, Zi coordenadas cartesianas do vetor direção.

Xr, Yr, Zr coordenadas cartesianas do vetor resultante.

Z valor normalizado da variável X e teste estatístico Z.

Zα valor da probabilidade Z para um certo nível de significância α.

α nível de significância do teste estatístico.

xxiii

α erro relativo do espaçamento médio estimado.

α direção de mergulho do plano de descontinuidade.

αd direção de mergulho do plano da descontinuidade.

αj direção de mergulho do plano de amostragem.

αn direção do vetor normal ao plano da descontinuidade.

αs direção da linha de amostragem (scanline).

βs mergulho da linha de amostragem (scanline).

βn mergulho do vetor normal ao plano da descontinuidade.

δ ângulo agudo entre a direção do scanline e o vetor normal à família de

descontinuidades

δ ângulo entre os planos da descontinuidade média e o plano de amostragem.

δ ângulo entre a direção da descontinuidade e a direção de mergulho do plano de

amostragem.

δX coeficiente de variação esperado da variável X.

θA ângulo de mergulho aparente da descontinuidade.

θ ângulo de mergulho da descontinuidade.

θ, φ coordenadas esféricas.

θj mergulho do plano do plano de amostragem.

θ ângulo da direção média no espaço horizontal.

κ coeficiente de concentração dos vetores direção.

λ freqüência real dos dados de direção.

λ1, λ2 e λ3 valores próprios do conjunto de dados de direção.

λa número médio corrigido de traços por unidade de área.

λs freqüência observada dos dados de direção que interceptam uma linha de s.

λv densidade volumétrica das descontinuidades.

λVT densidade volumétrica total ou de todas as descontinuidades do modelo.

µX, σX média e desvio padrão do mergulho

µY, σY média e desvio padrão da direção de mergulho

µ média da distribuição ou da população de uma variável qualquer.

µ freqüência média do comprimento do traço l.

µ comprimento de traço médio para uma superfície de amostragem infinita.

xxiv

µ1, µ2 freqüência média do traço l1 e l2 respectivamente.

µi freqüência média do comprimento do semitraço li.

ν graus de liberdade da variável analisada estatisticamente.

π constante pi.

ρ coeficiente de correlação de duas variáveis.

ρ raio de curvatura.

σ desvio padrão da distribuição ou da população

σ2 variância da distribuição ou da população de qualquer variável.

σc resistência à compressão uniaxial simples da rocha intacta.

φ mergulho do plano de descontinuidade.

φ(α) distribuição de probabilidade acumulada da área α da projeção da área a sobre um

plano fixo.

φ(x), F(x) distribuição de probabilidade acumulada do diâmetro dos círculos ou do

comprimento x.

ϕ ângulo da direção perpendicular à tangente.

χ2 teste de ajuste estatístico não paramétrico qui quadrado.

ω ângulo entre A1PA2.

xxv

Capítulo 1

1 INTRODUÇÃO

Com freqüência os engenheiros geotécnicos enfrentam decisões com certo nível de

incerteza. O solo e a rocha de forma natural apresentam uma variabilidade inerente, pelo que

uma das mais difíceis tarefas é a escolha razoável de parâmetros representativos do material.

Tradicionalmente têm sido utilizadas aproximações determinísticas para análises simples, já

que o conhecimento de ferramentas estatísticas e probabilísticas não é abrangente a ponto de

modelar adequadamente a variabilidade das propriedades do solo e/ou rocha (Lee, 1993).

O solo e a rocha são materiais formados pela natureza e suas propriedades físicas

variam de ponto a ponto (também com o tempo) como resposta à alteração de agentes

externos, como os processos tectônicos, condições ambientais durante e após a sua formação,

carregamentos, entre outros.

Para uma análise estatística em Geotecnia se deverá ter presente as seguintes

características:

• Dispersão dos dados - é a dispersão dos valores sobre uma média devido à variação das

medidas num mesmo ponto (não repetibilidade) e à variação das propriedades de um ponto

para outro (variabilidade espacial).

• Erros sistemáticos ou de tendência (bias) - originados de uma má amostragem ou

tratamento das observações, resultando numa medida observada diferente da medida

esperada (ou real). Na estrutura das rochas, este erro pode ocorrer na medida da orientação,

espaçamento ou tamanho das descontinuidades.

• Erro humano – ocorre quando é feita uma escolha errada do modelo mecânico ou

probabilístico que descreve o fenômeno.

O elemento estrutural mais importante do maciço rochoso é a descontinuidade, que

determina o tamanho dos blocos e o grau de fraturamento do maciço rochoso, tendo assim um

material não contínuo. Entre as descontinuidades, são formados os blocos de rocha que terão

um comportamento mecânico e hidráulico muito influenciado pelas características

geométricas e mecânicas das descontinuidades. Considerando, no maciço rochoso, dois tipos

de descontinuidades, as principais (falhas, diques etc.) e as secundárias (fissura, contatos entre

camadas, juntas etc.) e tendo presente a escala do projeto, as descontinuidades principais

1

podem ser tratadas de forma determinística, como uma única descontinuidade, enquanto que

as descontinuidades secundárias devem ser tratadas de forma estatística. Para muitos projetos

de engenharia civil, de minas e de petróleo, em níveis superficiais, o maciço contém só

algumas descontinuidades principais com características únicas e de tratamento

determinístico. Por outro lado a maior parte será de descontinuidades secundárias, que pelo

seu caráter inerente de variabilidade espacial e mecânica, devem ser tratadas de forma

estatística (Kulatilake, 1993). Para uma análise estatística das descontinuidades secundárias,

várias incertezas podem ocorrer no processo de amostragem, sendo que para a medida do

comprimento das descontinuidades as seguintes são as principais:

• Erro de truncamento - Ao escolher um comprimento mínimo a ser medido, para registrar o

comprimento (geralmente um metro).

• Erro de comprimento - Ocorre quando é adotado o método de scanline para o

levantamento das medidas de comprimento, sendo que as descontinuidades de maior

comprimento terão maior chance de interceptar uma linha de amostragem e por

conseguinte de ser amostrada. Sugere-se uma distribuição exponencial para a análise deste

erro (Mostyn & Li, 1993).

1.1 MOTIVAÇÃO DA PESQUISA

Considerando o maciço rochoso fraturado e descontínuo, a caracterização

probabilística de suas propriedades geométricas e estruturais é muito mais complexa do que

para os maciços de solo, em geral. Considerando ainda a limitação da medida das

descontinuidades no maciço rochoso, no caso de observações em afloramentos rochosos,

superfícies de escavações ou testemunhos de sondagem, se faz importante a modelagem

probabilística para definir a distribuição geométrica das descontinuidades no volume do

maciço rochoso não acessível. Com este modelo probabilístico da estrutura do maciço

rochoso será possível aperfeiçoar a capacidade de previsões de estabilidade, fluxo ou tensão-

deformação de projetos em maciços rochosos fraturado.

1.2 OBJETIVO DA PESQUISA

O objetivo desta tese de doutorado é desenvolver um modelo probabilístico para a

representação da distribuição tridimensional de descontinuidades, com base em vários

procedimentos estatísticos e probabilísticos apresentados por vários autores, além disso a

2

implementação da formulação geral para o cálculo do tamanho das descontinuidades que são

consideradas como discos circulares planos, por tratar-se de maciços rochosos isotrópicos e

homogêneos, e que possuem como parâmetros a orientação, o diâmetro e a localização do

centro do disco (ou densidade). Também é objetivo apresentar uma aplicação prática do

modelo na inferência da estrutura do maciço rochoso para futuras escavações de túneis ou

taludes.

1.3 METODOLOGIA DA PESQUISA

Primeiramente realizou-se uma revisão bibliográfica dos modelos probabilísticos

existentes na atualidade. Também foi feita uma revisão dos diferentes métodos de modelagem

das descontinuidades e feita a comparação entre eles. Foi revisado mais profundamente o

modelo probabilístico de Kulatilake (1993) para ser usado como base para o desenvolvimento

deste trabalho e a contribuição nas formulações de seus parâmetros. A seguir foi feita uma

revisão de Probabilidade Geométrica, como sendo um assunto de importância para a criação

do modelo 3D.

Foi adotado como caso estudo a Mina de Timbopeba, onde já foram feitos

levantamentos estruturais dos taludes e das galerias do maciço rochoso por Durand (1995).

Neste caso estudo adotado, foi aplicado passo a passo o procedimento do modelo de

Kulatilake (1993), sendo necessária a implementação de uma formulação mais geral para o

cálculo do comprimento médio do traço das descontinuidades.

Feita a implementação da formulação geral do traço médio, seguiu-se com a geração

dos demais parâmetros das descontinuidades utilizando o método de Monte Carlo. Com os

parâmetros de localização, diâmetro e orientação das descontinuidades (ou discos circulares

planos), foi gerado o modelo 3D com ajuda do programa AutoLISP, para poder visualizar a

estrutura do modelo interno do maciço, no caso de futuras escavações de túneis e taludes.

Com a implementação visual dos modelos se fez uma comparação do modelo do

Talude Sul com as Galerias, onde foi verificada a capacidade de inferência do modelo, ao

simular as escavações das galerias existentes neste talude e compará-las com os modelos das

próprias galerias, confirmando assim a boa capacidade de previsão do modelo e sua aplicação

no auxílio de projetos.

3

1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

Este trabalho está dividido em oito capítulos resumidamente descritos a seguir:

O Capítulo 1 (INTRODUÇÃO) expõe a importância e motivação para o estudo do

tema proposto, os principais objetivos que foram atingidos e a metodologia adotada para

alcançar a meta proposta. No Capítulo 2 (MODELOS PROBABILÍSTICOS DE

DESCONTINUIDADES EM 2D E 3D) se faz uma abordagem dos diferentes modelos

existentes para a modelagem das descontinuidades, assim como uma revisão das principais

ferramentas estatísticas que são utilizadas nos modelos.

O Capítulo 3 (FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE GEOMÉTRICA) apresenta

um dos assuntos chave para o entendimento dos modelos. No Capítulo 4 (TALUDE DA

MINA DE TIMBOPEBA) se faz uma descrição geológica e geotécnica da mina de

Timbopeba apresentando alguns dados de interesse para a aplicação do modelo das

descontinuidades proposto para este caso estudo.

O Capítulo 5 (MODELAGEM DO COMPRIMENTO DO TRAÇO MÉDIO) é um

aporte ao modelo de Kulatilake (1993) na generalização do cálculo do traço médio das

descontinuidades, onde com ajuda da análise vetorial é explicada a derivação das fórmulas

assim como também é verificada a formulação final com o caso particular de Kulatilake &

Wu (1984a).

O Capítulo 6 (MODELAGEM PROBABILÍSTICA DAS DESCONTINUIDADES

EM 3D) apresenta o modelo de Kulatilake (1993), explicando passo a passo o cálculo de cada

um dos parâmetros necessários para sua implementação no caso estudo da Mina de

Timbopeba, junto com a generalização desenvolvida no capítulo anterior.

No Capítulo 7 (VERIFICAÇÃO DO MODELO DAS DESCONTINUIDADES) é feita

a apresentação dos modelos em 3D com ajuda do programa AutoLISP, assim como também é

testada a capacidade de inferência do modelo, simulando a escavação das galerias no modelo

do talude Sul e comparando-a com o mapeamento em campo. No Capítulo 8

(CONCLUSÕES) são apresentadas as principais conclusões e recomendações, às quais se

chegou na análise do modelo gerado e as sugestões para futuras pesquisas.

4

Capítulo 2

2 MODELOS PROBABILÍSTICOS DE

DESCONTINUIDADES EM 2D E 3D

A estatística é uma ciência que tem por objetivo a coleção, análise e interpretação de

dados numéricos a respeito de fenômenos coletivos ou de massa assim como sua

representação numérica e comparativa dos resultados das análises desses fenômenos, em

tabelas ou gráficos. Na maioria das áreas das geociências, os estudos enfocam a parte externa

do globo terrestre, baseando suas análises em observações da superfície e a certa

profundidade da crosta terrestre. Como estas observações têm muitas incertezas devido à

própria formação heterogênea da Terra, a análise estatística é uma importante ferramenta de

pesquisa nesta área. Na geotecnia os parâmetros estudados se enquadram dentro de uma

variabilidade tal que a análise estatística constitui-se numa maneira lógica e sistemática de

considerar esta variabilidade de cada parâmetro, que deve refletir nos resultados finais os

parâmetros geotécnicos ou parâmetros geométricos de descontinuidades.

Por outro lado, a probabilidade é o grau com que se pode esperar ou prever

justificadamente a ocorrência de um evento ou resultado aparentemente casual. A

probabilidade é determinada a partir da freqüência relativa dos sucessos do mesmo gênero,

antes fornecida pela análise estatística. Em outras palavras, a análise probabilística permite

modelar o possível comportamento de um determinado fenômeno que se enquadra dentro de

uma variabilidade previamente descrita e nesta tese modela a ocorrência variável de

descontinuidades em 3D.

Para coletar, descrever e modelar parâmetros geotécnicos, são úteis as seguintes

ferramentas estatísticas.

2.1 ANÁLISE ESTATÍSTICA DAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

As medidas de uma variável aleatória são agrupadas em classes que geralmente são

selecionadas em ordem crescente. O número de vezes que um valor aparece no domínio de

uma classe é denominado de freqüência da variável e a representação gráfica destas

5

freqüências é conhecida como distribuição de freqüência da variável aleatória, que oferece

uma melhor visualização e compreensão dos dados. Existem vários tipos de distribuição de

freqüência e uma das mais conhecidas é a distribuição normal (Figura 2.1).

0 350 420 490

30

20

10

0

n = 41x = 396,5s = 6,2

Resistência última cisalhante, MPa

Freq

üênc

ia (%

)

Figura 2.1 Distribuição de freqüência da variável aleatória de resistência última de ensaio de

cisalhamento (modificado - Ang & Tang, 1975).

As variáveis aleatórias podem ser também descritas aproximadamente em termos de

quantidades principais, sendo as mais importantes destas as medidas de tendência central e as

medidas de dispersão da variável aleatória. Além disso, ainda quando a distribuição de

freqüência não é conhecida, as quantidades principais continuam sendo úteis, já que elas

fornecem informações das propriedades da variável aleatória que são importantes em

aplicações práticas. Também os parâmetros da distribuição podem ser derivados em função

destas quantidades, ou elas próprias podem representar parâmetros de distribuição. As

medidas de tendência central são:

A Média que é a média aritmética das observações amostradas, representada por x .

n

xx

n

ii∑

== 1 (2.1)

Onde:

x - média aritmética da variável.

xi - medida das observações amostradas

n - número de dados observados

6

A Moda é o valor da variável aleatória com máxima freqüência ou valor mais medido,

a Mediana é o valor da variável para a qual valores acima e abaixo dela têm igual valor de

freqüência acumulada. Em geral, a Média, Moda e Mediana de uma variável aleatória são

diferentes, especialmente se a distribuição de freqüência não for simétrica, mas no caso de

uma distribuição simétrica, estas três medidas de tendência central serão as mesmas.

As outras quantidades principais são as medidas de dispersão (ou desvio). Estas são as

quantidades que medem quão distantes estão os valores da distribuição de freqüência em

relação aos valores de tendência central. Se o desvio é calculado com relação à Média, então

uma medida razoável e apropriada da dispersão será a variância s2, calculada como:

( )

11

2

2

−

−=

∑=

n

xxs

n

ii

(2.2)

Onde: s2 – é a variância das observações.

De forma dimensional uma medida mais conveniente da dispersão é a raiz quadrada

da variância que é o desvio padrão (s). Existem outras medidas de caracterização da

distribuição das observações como o valor máximo e mínimo, o coeficiente de skewness ou de

assimetria, que mede a assimetria da distribuição, a curtose ou coeficiente de achatamento que

revela quão plano ou aguda é a distribuição.

A população é o conjunto total do universo de medidas e possui os valores reais da

distribuição, como a média (µ), variância (σ2) e o desvio padrão (σ), sendo que estas serão

apresentadas geralmente com as letras gregas correspondentes. No entanto as amostras

coletadas que representam unicamente um subconjunto da população possuem quantidades

principais aproximadas as quais são apresentadas com letras minúsculas como média ( x ),

variância (s2) e desvio padrão (s).

Dificilmente pode-se afirmar com base na variância ou no desvio padrão, se a

dispersão dos dados é grande ou pequena. Para este propósito, a medida de dispersão relativa

a uma medida central é mais útil. Em outras palavras, se a dispersão é grande ou pequena tem

significado somente quando relacionada ao valor central e por esta razão, define-se o

coeficiente de variação V(X), que é dado por:

( )X

XXVµσ

= (2.3)

7

Onde:

V(X) – é o coeficiente de variação da população da variável X

µX e σX – são a média e o desvio padrão da população da variável X respectivamente.

Freqüentemente o coeficiente de variação é preferido como a conveniente medida

adimensional da dispersão ou variabilidade.

2.2 ANÁLISE PROBABILÍSTICA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

A estatística calcula as quantidades principais que descrevem e visualizam melhor o

comportamento de dados amostrais de uma variável aleatória. Com base na análise estatística

pode-se definir qual seria o comportamento mais provável da respectiva população ou

universo desta variável aleatória. Então o primeiro passo é definir qual é a distribuição de

probabilidade que melhor se ajusta à distribuição de freqüência observada e a seguir testada

com os testes estatísticos, assumindo que a distribuição de freqüência é representativa do

universo.

Considerando que cada valor da variável aleatória está relacionado com um valor de

freqüência ou freqüência relativa ou medida de probabilidade, então a regra para descrever as

medidas de probabilidade relacionadas a todos os valores de uma variável aleatória é a

distribuição de probabilidade ou lei de probabilidade. Esta distribuição de probabilidade pode

ter muitas formas matemáticas, como ilustrado na Figura 2.2.

80 90 100 1100

5

10

15

20

25

30

Densidade máxima em laboratorio (%)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

211 Observações

Normalµ = 94,5%σ = 5,7%

Figura 2.2 Distribuição de freqüência e de probabilidade normal da variável aleatória de

dados de densidade máxima (modificado - Ang & Tang, 1975).

8

Se X é uma variável aleatória, sua distribuição de probabilidade pode ser descrita pela

sua função de distribuição acumulada (CDF, cumulative distribution function), a qual é:

( ) ( )xXPxFX ≤≡ para todo x (2.4)

Onde:

FX (x) - função de distribuição acumulada da variável aleatória X, para um valor x

P(X ≤ x) - probabilidade da variável aleatória X de ser menor o igual que o valor x

X será uma variável aleatória discreta se somente certos valores de x apresentam

probabilidade. Por outro lado X será uma variável aleatória contínua se para qualquer valor de

x existe um valor de probabilidade. Uma variável aleatória pode ter ambos tipos de valor,

discreto ou contínuo. Um exemplo disso é a mistura destas variáveis aleatórias como

amostrado a Figura 2.3 onde, pX(x) e fX(x) são as distribuições de probabilidade para uma

variável discreta e uma variável contínua respectivamente. FX(x) é distribuição acumulada

para dados discretos (PMF) e dados contínuos (PDF).

x 5x 4x 3x 2

P (x )X i

x0

PMF

F (x)X1.0

x0 x 1

f (x)X

x0

F (x)X1.0

x

CDF

PDF

1.0

f (x)XP (x )X i or

Discreta X Contínua X(a) (b)

Distribução Mixta(c)

x 1 x 2 x 3

PArea = 1 - P

x 1 x 2 x 3

CDF

F (x)X

Figura 2.3 Distribuições de probabilidade para variáveis discretas e contínuas (modificado –

Ang &Tang, 1975).

A notação padrão define uma variável aleatória com letras maiúsculas, e o valor da

variável aleatória com sua correspondente letra minúscula (Ang &Tang, 1975).

Para uma variável aleatória discreta X, sua distribuição de probabilidade pode ser

descrita também em termos da função de probabilidade de massa (PMF, probability mass

9

function), a qual é simplesmente uma função que expressa a probabilidade da variável X ser

igual a x, P(X = x) para todo x. Por conseguinte, se X é uma variável aleatória discreta com

PMF pX(xi) ≡ P(X = xi) , sua distribuição de probabilidade acumulada será.

( ) ( ) ( ) ( )∑∑≤≤

===≤=xx

iXxx

iXii

xpxXPxXPxF (2.5)

Onde:

FX(x) – é a distribuição acumulada da variável discreta X para um valor x.

P(X ≤ x) – é a probabilidade da variável X ser menor ou igual a x

Se X é contínua, a probabilidade estará relacionada unicamente a intervalos na linha

real, desde que os eventos estejam definidos em intervalos na linha real e, conseqüentemente,

para um valor específico de X, como X = x, somente será definida uma densidade de

probabilidade. Então, para uma variável aleatória contínua, a lei de probabilidade poderá ser

descrita em termos da função da densidade de probabilidade (PDF, probability density

function), então se fX (x) é a PDF de X, então a probabilidade da variável contínua X no

intervalo (a, b], P(a < X ≤ b), será:

(2.6) ( ) (∫=≤<b

aX dxxfbXaP )

Onde:

fX (x) - é a distribuição de probabilidade da variável contínua X e

P(a < X ≤ b) – é a probabilidade da variável contínua X estar no intervalo entre a e b

Seguindo estas definições as seguintes funções de distribuição serão validas:

(2.7) ( ) ( ) ( )∫∞−

=≤=x

XX dfxXPxF ξξ

Onde ξ é uma variável qualquer com distribuição de probabilidade igual a fX (ξ)

10

Se FX (x) tem uma primeira derivada, da Equação 2.7, então:

( ) ( )dx

xdFxf XX = (2.8)

Deve-se reiterar que fX (x) não é a probabilidade, e sim, fX(x)dx = P(x < X ≤ x+dx) que

é a probabilidade de que a variável X esteja entre os valores de (x, x+dx]. Deve ser enfatizado

que qualquer função usada para representar a distribuição de probabilidade de uma variável

aleatória deve necessariamente satisfazer os axiomas das leis de probabilidade (Ang & Tang,

1975). Por esta razão, a função tem que ser não negativa e a somatória das probabilidades

relacionadas com todos os possíveis valores da variável aleatória deve alcançar a soma de 1,0.

Em outras palavras, se FX (x) é a função de distribuição acumulada de X, então deve ter as

seguintes propriedades:

• FX ( - ∞) = 0; FX ( + ∞) = 1,0

• FX (x) ≥ 0, e não decresce com x

• FX (x) é contínua com x.

Reciprocamente, qualquer função que possua estas propriedades será uma verdadeira

função de distribuição acumulada. Em virtude destas propriedades e das Equações 2.4 a 2.6,

PMF e PDF são funções não negativas de x, onde a probabilidade de CDF atingirá um valor

máximo de 1,0, e a área total baixo da PDF será também igual a 1,0. A Figura 2.3 apresenta

exemplos gráficos de distribuições de probabilidade legítimas. A Figura 2.3 também ilustra

as características gráficas da distribuição de probabilidade de variáveis aleatórias discretas,

contínuas e misturadas.

Pode-se observar que a Equação 2.6 também pode ser escrita como:

(2.9) ( ) ( ) ( )∫∫∞−∞−

−=≤<a

X

b

X dxxfdxxfbXaP

Similarmente, para valores de X discretos, tem-se que:

( ) ( ) ( )∑∑≤≤

−=≤<ax

iXbx

iXii

xpxpbXaP (2.10)

11

Onde: pX(xi) – distribuição de probabilidade da variável discreta X para o valor xi.

Então pelas Equações 2.4 e 2.6:

( ) ( ) ( )aFbFbXaP XX −=≤< (2.11)

Onde:

FX(a), FX(b) – probabilidade acumulada da variável X para os valores a e b respectivamente.

2.3 PARÂMETROS DESCRITIVOS DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

Destacam-se alguns valores centrais, como a média. Em particular, devido a que os

diferentes valores da variável aleatória estão relacionados a diferentes distribuições de

probabilidade ou densidades de probabilidade, a média ponderada (weighted average) será de

especial interesse, conhecido como valor médio ou valor esperado (expected value) da

variável aleatória, neste caso uma variável aleatória X pode ser a orientação, o tamanho ou o

espaçamento da descontinuidade. Então, para uma variável aleatória discreta X, com PMF =

pX (xi), o seu valor da média esperada, E(X) (expected) será dado por:

( ) ( )∑=ix

iXi xpxXE (2.12a)

Onde: E(X) – valor médio esperado da variável discreta X.

De maneira similar, para uma variável aleatória contínua X, com PDF = fX (x), o seu

valor médio ou esperado será.

(2.12b) ( ) ( )∫∞

∞

=-

dxxxfXE X

Onde: E(X) – valor médio esperado da variável contínua X.

12

A notação da média esperada pode ser generalizada para uma função de X. Dada uma

função g(X), seu valor esperado E[g(X)], obtém-se como uma generalização da Equação 2.12

(Se X é discreta):

( )[ ] ( ) ( )∑=ix

iXi xpxgXgE (2.13a)

Onde:

g(X) – função qualquer da variável X.

E[g(X)] – valor médio esperado da função g(X).

Por outro lado, se X é contínua tem-se que:

(2.13b) ( )[ ] ( ) ( )∫∞

∞

=-

dxxfxgXgE X

Em ambos os casos, E[g(X)] é conhecido como valor esperado matemático

(mathematical expectation) de g(X). Outras quantidades que também são utilizadas para

designar o valor central de uma variável aleatória incluem a moda e mediana, similares às

medidas centrais da estatística, com a diferença que estas são calculadas com base na

distribuição de probabilidade.

A moda é o valor mais provável de uma variável aleatória, isto é, é o valor da variável

aleatória com a maior probabilidade ou o máximo valor de densidade de probabilidade. A

mediana é o valor da variável aleatória para o qual os valores abaixo e acima dela são

igualmente prováveis, isto é, se xm é a mediana de X, então:

( ) 50,0=mX xF (2.14)

Onde: xm – mediana da variável X

Em geral, a média, mediana e moda da variável aleatória são diferentes, especialmente

se a função de densidade não é simétrica. Embora, se a PDF é simétrica e unimodal (único

13

valor central), estas três quantidades coincidem com aquelas na distribuição de freqüências da

estatística.

Aqui também tem-se as medidas de dispersão da distribuição de probabilidade que são

as quantidades que fazem uma medida de quão dispersos estão os valores da distribuição de

probabilidade, com relação ao valor central. Se o desvio é calculado com relação ao valor

médio esperado, a medida apropriada da dispersão é a variância. Para uma variável aleatória

discreta X com PMF = pX(xi), a variância de X, Var(X), será:

( ) ( ) ( )∑ −=ix

iXXi xpxXVar todo

2µ (2.15)

Onde: µX ≡ E(X) - valor esperado da variável X.

Observa-se na Equação 2.15 que esta é simplesmente a média ponderada do desvio ao

quadrado, ou em concordância com a Equação 2.13, é o valor esperado matemático de g(X) =

(X - µX)2. Por conseguinte, de acordo com a Equação 2.13, se X é continuo com PDF = fX (x), a

variância será:

(2.16) ( ) ( ) ( )∫∞

∞

−=-

2 dxxfxXVar XXµ

Onde: Var(X) – variância da variável X contínua.

Expandindo a integral da Equação 2.16, tem-se que:

(2.17a) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 22

-

22

2

2

XX

XXX

XEXE

dxxfxxXVar

µµ

µµ

+−=

+−= ∫∞

∞

Então uma relação útil para a variância é:

( ) ( ) 22XXEXVar µ−= (2.17b)

14

Na Equação 2.17b, o termo E(X2) é conhecido como valor da média quadrada de X.

Uma medida mais conveniente da dispersão será a raiz quadrada da variância, ou o desvio

padrão σ que é.

( )XVarX =σ (2.18)

Para saber se a medida da dispersão é grande ou pequena faze-se uma relação da

dispersão com o valor esperado, Assim tem-se o coeficiente de variação para a distribuição de

probabilidade (δX).

( )( )XE

XVarX =δ (2.19)

Onde: δX – é o coeficiente de variação da variável X

Caso seja de interesse investigar, não uma, mas várias variáveis aleatórias, então se

terá X1, X2, ... Xm, e portanto o vetor de variáveis aleatórias X,= (X1, X2, ... Xm), em vez do

escalar X. Neste caso, a distribuição unidimensional (na linha ou eixo real de X) é substituída

por uma distribuição de probabilidade multidimensional, no espaço de m variáveis. A

distribuição multidimensional fornece a probabilidade de cada uma das quantidades: X1, X2, ...

Xm. Adequadamente, o centro de massa no caso multidimensional será dado pelo vetor

matemático da expectância E(X).

O grau de dispersão das variáveis estudadas agora será caracterizado não por um único

número de Var(X), se não pela matriz de variância ou covariância. A construção desta matriz

procede como segue: nos elementos da diagonal principal se encontram as variâncias de cada

variável enquanto que nos demais elementos estão as respectivas covariâncias Cov(X1,X2),

esta matriz é dada por:

( ) ( ) ( )( ) ( ) (

( ) ( ) ( )

=

mmm

m

m

XVarXXCovXXCov

XXCovXVarXXCovXXCovXXCovXVar

D

...,,............

,...,,...,

21

2221

1211

) (2.20)

15

Onde:

D – é a matriz de covariâncias

Cov(X1,X2), - é a covariância das variáveis X1 e X2

A covariância entre as variáveis Xp e Xk é a expectância matemática do produto de

seus desvios com seus respectivos centros de massa, como o expresso por:

( ) ( ) ( )( ) ( )∑ −−=i

, kXXikpXXipkp xpxxpxXXCovkkpp

µµ (2.21)

A covariância fornece uma descrição clara da conexão linear entre as variáveis

aleatórias Xp e Xk. Se a covariância é dividida pela multiplicação dos respectivos desvios

padrão, então será obtido o coeficiente de correlação ρ, dado por:

( )

kp XX

kp XXCovσσ

ρ,

= (2.22)

O coeficiente de correlação é a medida da relação linear entre as variáveis aleatórias

Xp e Xk. Na análise probabilística existe muitas outras ferramentas que nos permitem

comparar grupos de dados e testar o ajuste de curva da distribuição de probabilidade com os

dados reais, através de testes paramétricos e não paramétricos (Davis, 1986). Dependendo do

tipo de variável, independente ou dependente, seqüencial, de superfície ou 3D, tem-se uma

ferramenta determinada para avaliar e testar a adequabilidade e confiabilidade do modelo

probabilístico selecionado com o tipo de variável modelada. Algumas das distribuições de

probabilidade mais comuns e seus parâmetros (média esperada e variância) são apresentados

na Tabela 2.1 .

Para fazer comparações de amostras com dados populacionais utilizando uma

distribuição de probabilidade normal é comum utilizar uma padronização da variável

aleatória. Isto é realizado utilizando a seguinte relação:

s

xxZ i −= (2.23)

Onde:

Z – é o valor normalizado da variável X,

16

xi – é a observação original,

x – é a média da amostra e

s – é o desvio padrão da amostra.

Assim este valor pode ser comparado com uma distribuição de probabilidade normal

com média µ igual a zero e desvio padrão σ igual a um. A seguir são apresentados alguns

teoremas, testes e ferramentas que serão utilizados nos capítulos seguintes.

Tabela 2.1 Distribuições de probabilidade mais comuns (modificado - Ang & Tang, 1975)

Distribuição

Equação pX(x) – PMF; fX(x) – PDF

Valor Esperado E(X)

Variância Var(X)

Binomial ( ) ( ) ( ) xxnX pp

xnxnxp −−−

= 1! !

! np ( )pnp −1

Geométrica ( ) ( ) 11 −−= xX ppxp 1/p ( )

2

1p

p−

Poisson ( ) µµ −= ex

xpx

X !

µ µ

Exponencial ( ) 0 ≥= − xexf xX

λλ λ1 21 λ Gamma ( ) ( )

( ) 0 1

≥Γ

=−−

xk

exxfxk

X

ννν k/ν k/ν2

Normal ( ) ( )

∞<<∞−

−−=

x

xxf X

2

exp2

12

2

σµ

πσ µ σ2

Lognormal ( ) ( )

0

ln2

1exp2

1 2

2

≥

−−=

x

xx

xf X µσπσ

+ 2

21exp σµ ( )1

222 −+ σσ ee u

Uniforme ( ) bxaab

xf X <<−

= 1

σµ

σµµ

3

3 ;2

+=

−=+

=

b

aba

( )12

2ab −

Beta ( ) ( )( ) ( )

( )bxa

abxbax

rqBxf rq

rq

X

≤≤−

−−= −+

−−

,

11

11

( )ab

rqqa −+

+ ( ) ( )

( )2

2 1ab

rqrqqr

−+++

2.4 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL

Se amostras aleatórias são obtidas de qualquer população de distribuição não normal e

as médias das amostras forem calculadas, observa-se que a distribuição das médias das

amostras tenderão a uma distribuição normal. Esta tendência será tanto maior quanto maior o

17

numero de amostras. Com este teorema se podem formular testes baseados nas características

da distribuição normal mesmo que a população amostrada tenha distribuição diferente da

normal. Estudos teóricos revelam as seguintes propriedades:

e 2

2 nσsx xx == µ (2.24)

Onde:

µ, σ2 – média e variância da população

xx , 2xs – média e variância das médias das amostras

n – tamanho da amostra

Deste teorema define-se a variável erro padrão se como:

n

se

2σ= (2.25)

Onde: se – é o erro padrão.

A comparação entre as médias da amostra e da população, considerada como uma

distribuição normal, pode ser feita da seguinte maneira:

n

xs

xZe 1σ

µµ −=

−= (2.26)

2.5 TESTES DE POPULAÇÕES NORMAIS

Para fazer os testes de populações se considera que as amostras cumprem o teorema

do limite central e já estejam padronizadas. Estes pré-requisitos permitem formular testes

baseados nas características de curvas normais e aplicar esses testes mesmo em circunstancias

nas quais a população amostrada não possui distribuição normal. O teste estatístico consta de

duas fases:

18

i. Formulação das Hipóteses – formular uma hipótese apropriada com relação à variável em

análise. Tradicionalmente isto é feito com a hipótese nula ou da não diferença (H0). Se,

por exemplo, quer-se comparar a média das amostras com a da população, a hipótese nula

seria H0: µ1 = µ0, que significa que a média das amostras é igual a média da população.

Tendo formulado a hipótese nula, a hipótese alternativa ou oposta será H1: µ1 ≠ µ0, que

significa que a média da amostra é diferente da média da população. Depois de

especificar as hipóteses pode-se escolher a estatística do teste (comparar amostra com

população, ou amostra com amostra etc.).

ii. Nível de Significância do teste – junto com as hipóteses formuladas pode-se tomar

decisões de aceitá-las ou rejeitá-las com base no teste estatístico. Como existem duas

hipóteses (H0 e H1) e duas respostas podem ocorrer do teste (correto ou incorreto), então

tem-se quatro possíveis respostas que estão representadas na Tabela 2.2 .

Quando a hipótese nula é rejeitada e a hipótese alternativa é correta um erro tipo I ou

α terá acontecido. Na estatística padrão, a probabilidade de ocorrer o erro tipo I é chamado de

nível de significância (α), o qual deve ser fixado antes de realizar o teste. A Figura 2.4 mostra

o conceito da aplicação do nível de significância e a localização da hipótese nula dentro da

distribuição de probabilidade normal.

Tabela 2.2 Colocação das hipóteses

Hipótese correta Hipótese incorreta Hipótese nula (H0) é aceita Decisão correta Erro tipo II, β

Hipótese nula (H0) é rejeitada Erro tipo I α Decisão correta

0

α/2α/2

Área de aceitação de H

Área de rejeição de H

Área de rejeição de H

0

00

Figura 2.4 Aplicação do nível de significância da hipótese nula (H0) para um caso bilateral

Um dos testes mais usados é o teste estatístico Z que é calculado da seguinte maneira:

19

n

xZ o

1σµ−

= (2.27)

Onde:

µo, σ - são a média e o desvio padrão da população respectivamente e

x , n - são a média da amostra e o número de dados respectivamente.

Este teste apresenta as seguintes características: (1) Compara a média da amostra com

da população; (2) E necessário conhecer os parâmetros da população (média e desvio padrão);

e (3) A área da rejeição é dividida em duas porções simétricas. Para um determinado nível de

significância α e um desvio padrão σ, da população, encontra-se o valor padronizado do teste

Zcrit que define o limite da área de aceitação e rejeição da hipótese nula (Figura 2.4 ). O teste

Z calculado com a fórmula anterior poderá cair dentro da área de aceitação de H0 ou fora da

área de aceitação de H0, e assim aceita-se ou rejeita-se a hipótese nula, respectivamente.

Como este teste, existem outros que tem certas funções e condições diferentes, como os

apresentados na Tabela 2.3 .

Tabela 2.3 Testes estatísticos mais comuns, sua funções e condições de aplicação.

TESTE FUNÇÃO EQUAÇÃO CONDIÇÃO GRAUS DE LIBERDADE

Z Compara a x com a µ n

xZ o

1σµ−

= Assume µ e σ conhecidos Nenhum

"t" de Student Mede o tamanho da amostra ns

xt o

1µ−

= Média µ hipotética 1−= nν

F Compara s2 de duas amostras 2

2

21

ssF =

0

22

21

≥>

Fss

11

22

11

−=−=

nn

νν

2χ Compara o valor da amostra com o

valor esperado

( )∑ =

−=

k

jj

jj

EEO

1

22χ

Testa dados nominais, teste não paramétrico

3−= kν

20

2.6 TESTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV K-S

Um teste de extrema utilidade dentro do grupo dos não paramétricos, é o teste de

Kolmogorov-Smirnov (K-S). Dentro de suas tantas aplicações, pode ser usado para ajuste de

curva ou seja uma outra alternativa do χ2. Embora o teste de ajuste de curva χ2 seja não

paramétrico no sentido que pode ser aplicado a observações que sigam qualquer classe de

distribuição, o teste de K-S é superior em certas circunstâncias. A maior vantagem é que não

precisa agrupar as observações em categorias arbitrárias e por esta razão é mais sensível que o

teste de χ2, para as análises nas caudas da distribuição, onde as freqüências são baixas.

A Figura 2.5 ilustra como funciona o procedimento de K-S. Primeiro seleciona-se

uma amostra de uma população e então deseja-se testar o seu ajuste de curva a um modelo

hipotético. Ambos a amostra e o modelo hipotético são apresentados juntos de forma

acumulada e escalada para uma somatória de 1,0 (normalizados). Pode-se observar uma

máxima diferença entre os dois o que é conhecido como a estatística de Kolmogorov-

Smirnov, K-S. A Tabela 2.4 apresenta os valores críticos para a estatística de K-S, e pode ser

utilizada para hipóteses de uma calda ou duas caudas.

A hipótese nula para duas caudas estabelece que as classes da distribuição que são

obtidas das amostras são iguais a aquelas do modelo hipotético para todos os valores de x. Na

maioria dos casos, usa-se a hipótese nula e alternativa para distribuição de duas caudas. Em

geral, o teste de K-S é mais recomendado quando o modelo hipotético pode ser totalmente

especificado. Isto é, os parâmetros da distribuição são conhecidos (ou assumidos) de outras

informações que as contidas na amostra propriamente dita. Uma variação feita por Lilliefors

(1967), permite utilizar o processo de K-S para testar o ajuste da amostra à distribuição

normal com uma média e variância, não determinadas. No processo de Lilliefors, deve-se

primeiro converter os dados observados a uma forma normalizada, pela transformação de Z,

tal como:

s

xxZ i

i−

= (2.28)

A média e variância da amostra são calculadas da maneira usual. A distribuição

normalizada e os valores de Zi deverão ser plotados em forma acumulada como se vê na

Figura 2.5 . No teste K-S a máxima diferença entre a distribuição acumulada dos dados

21

observados e da função teórica, sobre a extensão da variável, é a medida de discrepância entre

o modelo teórico e os dados observados. Seja esta diferença máxima d tem-se:

( ) ( )xSxFd −= max (2.29)

Onde: F(x), S(x) : distribuição acumulada da função teórica sugerida e da distribuição

acumulada dos dados observados normalizados, respectivamente.

Teoricamente d é uma variável aleatória cuja distribuição depende do tamanho da

amostra n. Para um certo nível de significância α o teste K-S compara a diferencia máxima

observada da Equação 2.29 com o valor crítico dα da seguinte relação de probabilidade:

( ) αα −=≤ 1ddP (2.30)

Valores críticos de dα para vários níveis de significância e valores de n estão

apresentados na Tabela 2.4 . Embora a tabela chegue só até n = 40, valores aproximados para

valores mais altos de n poderão ser calculados pelas formulas apresentadas na Tabela 2.4. Se

o valor observado d é menor que o valor crítico dα, a distribuição testada é aceitável no nível

de significância α especificado, caso contrario, a distribuição testada será rejeitada. Por

exemplo para n = 48 e nível de significância de α = 0,10, o valor crítico de K-S na Tabela 2.4

será 0,17. Então o cálculo de K-S da Figura 2.5 deverá ser menor que 0,17, para que o teste

da amostra, de distribuição normal, não caia na região crítica ou seja rejeitada. Desta forma,

não pode-se rejeitar a hipótese nula que a amostra foi colhida de uma população com

distribuição normal.

K-S

x

1

22

Figura 2.5 Procedimento de Kolmogorov-Smirnov para teste ajuste de curva, linha tracejada é

a amostra e linha contínua é modelo hipotético (modificado - Davis, 1986)

Tabela 2.4 Valores críticos do teste estatístico de K-S, para distribuição de uma e duas caudas

(modificado - Davis, 1986)

Teste para uma calda α = 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 α = 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005

Teste para duas caudas α = 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 α = 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01

n = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0,900 0,684 0,565 0,493 0,447 0,410 0,381 0,358 0,339 0,323 0,308 0,296 0,285 0,275 0,266 0,258 0,250 0,244 0,237 0,232

0,9500,7760,6360,5650,5090,4680,4360,4100,3870,3690,3520,3380,3250,3140,3040,2950,2860,2790,2710,265

0,975 0,842 0,708 0,624 0,563 0,519 0,483 0,454 0,430 0,409 0,391 0,375 0,361 0,349 0,338 0,327 0,318 0,309 0,301 0,294

0,9900,9000,7850,6890,6270,5770,5380,5070,4800,4570,4370,4190,4040,3900,3770,3660,3550,3460,3370,329

0,9950,9290,8290,7340,6690,6170,5760,5420,5130,4890,4680,4490,4320,4180,4040,3920,3810,3710,3610,352

n = 2122232425262728293031323334353637383940

0,2260,2210,2160,2120,2080,2040,2000,1970,1930,1900,1870,1840,1820,1790,1770,1740,1720,1700,1680,165

0,2590,2530,2470,2420,2380,2330,2290,2250,2210,2180,2140,2110,2080,2050,2020,1990,1960,1940,1910,189

0,287 0,281 0,275 0,269 0,264 0,259 0,254 0,250 0,246 0,242 0,238 0,234 0,231 0,227 0,224 0,221 0,218 0,215 0,213 0,210

0,321 0,314 0,307 0,301 0,295 0,290 0,284 0,279 0,275 0,270 0,266 0,262 0,258 0,254 0,251 0,247 0,244 0,241 0,238 0,235

0,3440,3370,3300,3230,3170,3110,3050,3000,2950,2900,2850,2810,2770,2730,2690,2650,2620,2580,2550,252

Aproximaçãopara n > 40

n07,1

n22,1

n36,1

n

52,1

n63,1

2.7 ANÁLISE DE DADOS DIRECIONAIS CIRCULARES

Os dados direcionais são muito importantes em geociências, como as orientações das

estruturas geológicas ou de descontinuidades (diques, fraturas etc.). Seguindo a prática dos

geógrafos, deve-se diferenciar orientação de direção, onde direção pode ser o movimento de

um carro na direção norte e a estrada onde está o carro tem orientação norte – sul.

Os dados direcionais podem ser plotados como vetores unitários num mapa horizontal

ou dentro de um círculo de raio unitário. Este círculo pode ser dividido em segmentos e

calculado o número de vetores em cada segmento. Este resultado pode ser representado com o

diagrama de rosetas ou histograma circular como mostra a Figura 2.6 , mas para o cálculo

23

estatístico, que permita descrever as características do conjunto total de vetores, deve-se

trabalhar diretamente com a medida dos mesmos.

Considerando a medida do ângulo positiva a partir do norte magnético no sentido

horário, a direção dominante num conjunto de vetores pode ser achada com o cálculo do vetor

resultante. Primeiramente serão calculadas as coordenadas X e Y do ponto extremo do vetor

unitário com direção dada pelo ângulo θ, como:

ii

ii

YX

θθ

sencos

==

(2.31)

Onde:

Xi, Yi – são as coordenadas cartesianas x e y do vetor de direção

θi – é o ângulo de direção do vetor

Então as componentes do vetor resultante serão a soma dos senos e cossenos dos

vetores unitários:

(2.32) ∑

∑

=

=

=

=

n

iir

n

iir

Y

X

1

1

sen

cos

θ

θ

Onde:

Xr, Yr – são as coordenadas cartesianas x e y do vetor resultante

n – número de vetores

Da resultante pode-se obter a direção média θ , como:

( )

== ∑∑

==

−−n

ii

n

iirr XY

11

11 cossentg tg θθθ (2.33)

Onde: θ - é o ângulo da direção média

24

360

90

180

270

(a)

(b)

0

360

90

180

270

0

12 10 8 6 4 2

Figura 2.6 Direções das estratificações glaciais: (a) Direções em vetores unitários; (b)

Direções em diagrama de rosetas (modificado - Davis, 1986).

A magnitude do comprimento da resultante depende da quantidade de vetores e assim

para comparar amostras de tamanhos diferentes é necessário fazer uma padronização destas

componentes, conforme dado pelas expressões abaixo:

∑

∑

=

=

==

==

n

iir

n

iir

nnYS

nnXC

1

1

sen1

cos1

θ

θ (2.34)

Onde: S ,C - são as coordenadas cartesianas x e y do vetor resultante unitário

Estas coordenadas representam o centro de gravidade de todos os vetores unitários

considerados. A resultante média não somente representa a direção média do conjunto mas

também pelo seu comprimento representa o grau de dispersão dos vetores ao redor da média.

A Figura 2.7 a mostra três vetores (a, b e c) que estão pouco desviados da direção média. A

resultante R é quase igual ao comprimento da soma dos comprimentos dos três vetores. Por

outro lado, outros três vetores na Figura 2.7 b estão muito dispersos com relação à direção

média e o comprimento de sua resultante R é muito pequeno.

25

R

a

bc

R

a

b

c

(a) (b)

Figura 2.7 Uso do comprimento da resultante para representar o grau de dispersão do grupo

de vetores unitários (modificado - Davis, 1986).

O comprimento da resultante R, dado pelo teorema de Pitágoras, é:

2n

1i

2n

1i

22 sencos

+

=+= ∑∑

== iirr YXR θθ (2.35)

O comprimento da resultante também pode ser padronizado com a divisão pelo

número de observações ou também pode ser calculada em termos de coordenadas

padronizadas.

22 SCnRR +== (2.36)

A quantidade R é chamada de comprimento da resultante média e varia de zero a 1.

Para observações pouco dispersas o valore de R será alto o que significa pouca variância,

enquanto que para uma dispersão de dados alta o valore de R estará próximo de zero que

significa variância alta. Com o objetivo de ter uma medida de dispersão ou variância que deva

aumentar com o aumento da dispersão dos dados, a dispersão ou variância circular será

representada pelo complemento de R , como:

( ) nRnRs −=−= 120 (2.37)

Onde: - é a variância circular dos dados de direção. 20s

26

Para o caso de medidas unicamente de orientação, duas representações com sentidos

opostos são capazes de identificar esta orientação. Para eliminar este inconveniente,

Krumbein (1939) deu uma solução a este problema. Se as duas possíveis direções de uma

orientação foram duplicadas, o mesmo ângulo seria obtido. Trabalhando com estas medidas

duplicadas pode-se calcular a direção média, o comprimento da resultante média e a variância

circular, sendo que para recuperar a direção média verdadeira basta dividir o resultado achado

por dois. A Figura 2.8 a mostra medidas de orientação plotadas como vetores direcionais. A

direção da resultante média é 285o e o comprimento é próximo de zero ( R = 0,08). A Figura

2.8b mostra medidas de orientação plotadas como vetores direcionais depois dos ângulos

serem duplicados. A distribuição não é mais bimodal. A resultante reflete a tendência correta

dos ângulos duplicados e o comprimento é próximo da unidade (a direção média é 162o; R =

0,97). Na Figura 2.8c mostra orientações plotadas nos ângulos originais e na direção da

resultante verdadeira (81o) encontrada tendo a resultante na Figura 2.8b.

2.8 ANÁLISES DE DADOS ESFÉRICOS

Exemplos de dados direcionais em três dimensões em geociências incluem medidas de

direções e mergulhos tirados de análises estruturais, medidas vetoriais de campos magnéticos;

medidas da direção de permeabilidade em amostras de reservatórios de petróleo e, para

descontinuidades, podemos usar a direção de máximo mergulho de sua superfície, ou a

direção do vetor normal ao plano da descontinuidade.

(a) (b)

(c) 27

Figura 2.8 Efeito de duplicar a direção angular para calcular a direção média. (modificado -

Davis, 1986).

Do mesmo modo que para dados em duas dimensões, primeiramente deve-se

estabelecer um método de notação padrão. Pode-se relacionar observações direcionais em três

dimensões como sendo vetores. Como o maior interesse são as relações angulares, estes

vetores podem ser considerados de comprimento unitário. Se todas as medidas de direção de

uma área são coletadas juntas, na mesma origem, as extremidades dos vetores unitários

estarão na superfície de uma esfera, por conseguinte tem-se o termo de distribuição esférica.

Algumas características de dados de orientação não têm uma representação de direção

e serão denominados de eixos. Exemplos incluem as linhas de interseção entre duas famílias

de descontinuidades, eixos de revolução e eixos perpendiculares a planos de

descontinuidades. Alem disso algumas vezes é vantajoso não relacionar a direção com os

vetores e trata-os como eixos (Davis, 1986).

A notação matemática padrão utiliza três coordenadas cartesianas para descrever um

vetor no espaço. (Figura 2.9a). A direção do vetor OP está especificada pelos cossenos dos

ângulos entre o vetor e cada eixo das coordenadas (ângulo a, b e c). As coordenadas do ponto

P são iguais a:

cZbYaX cos , cos , cos === (2.38)

Como o vetor tem comprimento unitário, se cumpre que:

1222 =++ ZYX (2.39)

Usando os ângulos esféricos, pode-se definir a direção do vetor OP com o ângulo φ

entre o eixo X e a projeção do vetor OP no plano X-Y mais o ângulo θ da inclinação do vetor

OP com o eixo Z (Figura 2.9b). A relação entre as coordenadas polares esféricas e as

coordenadas cartesianas é:

θφθφθ cos ,sensen , cossen === ZYX (2.40)

28

Se o extremo positivo do eixo X é relacionado com o norte, o extremo positivo do eixo

Y corresponderá ao Leste e o extremo positivo do eixo Z à vertical descendente. Assim

define-se um sistema cartesiano no qual o mergulho está já representado como um ângulo

positivo.

Esta notação está ilustrada na Figura 2.10, para um vetor OP definido pela direção

(strike) e mergulho de seu plano incluso. A linha ON é o azimute ou projeção de OP no plano

horizontal X-Y e é perpendicular à linha de direção (strike), a linha ON também é conhecida

como direção de mergulho (dip direction). O ângulo A é o ângulo da direção de mergulho (dip

direction), medido a partir do norte magnético no sentido horário e D é o mergulho (dip),

medido como ângulo positivo a partir de ON para baixo. As coordenadas X, Y e Z de P serão:

DZDAYDAX sen ,cossen , coscos === (2.41)

a b

c

O Y

X

Z

N

P

(a) θ

O Y

X

Z

N

P

φ

(b)

Figura 2.9 Sistema de notação de vetores no espaço de três dimensões: (a) vetor no espaço

cartesianos X, Y e Z; (b) Vetor no espaço esférico φ e θ (modificado - Davis, 1986).

X = Norte

Y = Leste

A

NO

D

P

Z = Vertical descendo

plano da descontinuidade

vetor de máximo mergulho

linha horizontal de direção(strike)

29

Figura 2.10 Notação de direção de mergulho (dip direction) e mergulho (dip) para vetores em

três dimensões (modificado - Davis, 1986).

Após ter as medidas esféricas em termos das coordenadas X, Y e Z das extremidades

dos vetores, será simples calcular a direção média e a variância esférica. Isto é feito de

maneira análoga ao cálculo da média e variância circular. A direção média é dada pela

resultante R, dos vetores unitários, como:

( ) ( ) ( )222 ∑∑∑ ++= iii ZYXR (2.42)

Em forma normalizada, esta será nRR = . A direção da resultante, com relação aos

três eixos de coordenadas, está dada pelos cossenos dos ângulos entre a resultante e estes

eixos, que são:

∑∑∑ === RZZRYYRXX iii cos ,cos , cos (2.43)

Se as observações estão agrupadas de forma compacta ao redor de uma direção

comum, a resultante R terá um número grande, aproximando-se a n. Se as observações estão

dispersas, R será pequeno. Como no caso de distribuições circulares, R pode ser usado como

medida de concentração e pode ser expressa como a variância esférica, como:

( ) ( )RnRnss −=−= 1 2 (2.44)

Estes métodos para determinar a direção média e a variância esférica funcionam bem

se os vetores não estão muito dispersos. Porém, para certas condições, a direção média pode

resultar desorientada. Suponha que são medidos mergulhos de camadas quase horizontais, um

pequeno mergulho suave para o oeste, outros, com poucos graus para o leste. Como o

mergulho é considerado um vetor direcional apontando ao hemisfério inferior, o vetor

resultante dos mergulhos do leste e oeste será verticalmente descendente, e o comprimento da

resultante será próximo de zero, então a variância esférica será grande, indicando uma

dispersão extremamente alta entre os vetores.

30

Se estes mergulhos são considerados como eixos não direcionais ao invés de vetores,

seus dois extremos se projetarão em ambos hemisférios, superior e inferior, e então ficará

aparente que as linhas representando os mergulhos leste e oeste são muito relacionadas.

2.8.1 REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE VETORES

Pode-se assumir que as colunas de uma matriz podem ser representadas graficamente

por vetores, bem como, medidas da direção de vetores podem ser expressas em forma

matricial. Os valores próprios e os vetores próprios destas matrizes fornecerão informações

sobre o arranjo dos vetores no espaço. Embora, para poder expressar um conjunto de vetores

na forma matricial apropriada, deva-se primeiramente revisar alguns pontos de geometria,

começando no espaço de duas dimensões.

A relação geométrica que fornece a projeção de um vetor em outro é o produto escalar

dos dois vetores (Figura 2.11). Se os vetores (a, b) e (u, v) são assumidos como vetores

unitários, as coordenadas cartesianas de suas extremidades são as mesmas que seus cossenos

diretores com relação aos eixos X e Y e a projeção do vetor (a, b) em (u, v) será:

bvaul += (2.45)

Onde: l é o comprimento da projeção do vetor (a, b) no vetor (u, v), ou o comprimento da

projeção de (u, v) em (a, b).

a, ba, b

u, v

d

lX

Y

Figura 2.11 Projeção do vetor (a, b) no vetor (u, v) (modificado - Davis, 1986).

31

Como observado na Figura 2.11, o vetor (a, b) é a hipotenusa do triângulo reto cujos

lados são a projeção l no vetor (u, v) e a distância perpendicular d. Aplicando o teorema de

Pitágoras tem-se que:

( )222 1 1 bvauld +−=−= (2.46)

Onde:

(a, b) (u, v) - vetores no plano XY,

l - comprimento da projeção de (a, b) em (u, v)

d - distância da ponta do vetor (a, b) ao vetor (u, v)

Qualquer número de vetores pode ser projetado no vetor (u, v) com a Equação 2.45 e

determinar suas distâncias quadradas à linha (u, v) com a Equação 2.46. Considerando a soma

destas distâncias quadradas como M, então:

(2.47) (∑∑==

+−==n

iii

n

ii vbuandM

1

2

1

2 )

)

M pode ser relacionado como o momento de inércia das extremidades dos vetores ao

redor da linha (u, v). Esta equação pode ser generalizada para três dimensões introduzindo a

terceira coordenada espacial. Assim tem-se que:

(2.48) (∑∑==

++−==n

iiii

n

ii wcvbuandM

1

2

1

2

É possível expressar a Equação 2.48 de forma matricial. Primeiro, as coordenadas da

linha são dadas como vetores coluna [U], tal como:

(2.49) [ ]

=

wvu

U

Também define-se uma matriz [B], como:

32

[ ] [ ] [ ]TInB −= (2.50)

A matriz [T] é uma matriz 3 X 3 da soma dos quadrados e produtos cruzados dos

cossenos diretores dos vetores, a qual é dada por:

[ ]

=

∑∑∑∑∑∑∑∑∑

2

2

2

iiiii

iiiii

iiiii

cbcbccbbabcabaa

T (2.51)

A matriz [B] por conseguinte tem a seguinte forma.

[ ]

−−

−=

∑∑∑∑∑∑∑∑∑

2

2

2

iiiii

iiiii

iiiii

cnbcbccbbnabcabaan

B (2.52)

O momento de inércia dos vetores sobre a direção [U] é dado por:

[ ] [ ][ ]UBUM 1−= (2.53)

Em lugar de determinar o momento sob uma linha arbitrária [U], pode-se achar uma

única linha ao redor da qual o momento de inércia será o máximo ou mínimo possível. As

coordenadas desta linha estarão dadas pelo primeiro vetor próprio da matriz [B]. Se λ1 é o

primeiro valor próprio de [B] e [bi] é o seu vetor próprio associado, então pode-se calcular λ1

como:

[ ] [ ][ ]11

11 bBb −=λ (2.54)

Isto é, λ1 é o momento de inércia dos vetores sobre o primeiro vetor próprio. Isto

significa que a soma das distâncias quadradas das extremidades dos vetores ao primeiro vetor

próprio é a máxima ou mínima possível, ou ao mesmo tempo, o vetor próprio é quase

perpendicular a todos os vetores tanto quanto possível.

33

O momento de inércia sobre o segundo vetor próprio é o maior possível para qualquer

linha que seja ortogonal ao primeiro vetor próprio. O terceiro vetor próprio deve ser ortogonal

aos outros dois, e deve considerar todas as distâncias quadradas das extremidades dos vetores

restantes. Como os três vetores próprios definem uma estrutura ortogonal completamente

equivalente ao conjunto original de eixos cartesianos. O terceiro vetor próprio deve definir

uma linha ao longo da qual o momento de inércia é mínimo, isto é, será orientado a ser

simultaneamente tão próximo quanto possível a todos os vetores.

Se dois vetores são diametralmente opostos, como na Figura 2.12, ambos terão a

mesma distância perpendicular ao vetor próprio [b2] (distâncias d1 e d2 na Figura 2.12) e terão

exatamente a mesma influência na localização do vetor próprio. Isto significa que o sentido de

direção dos vetores está perdido; e portanto são definitivamente eixos. Por esta razão, o

método de vetores próprios é de preferência aplicado para o exame de dados de distribuição

esférica, para casos onde resulte ambigüidade da distância arbitrária entre vetores nos

hemisférios, superior e inferior.

Os valores próprios fornecem informação direta sobre a distribuição dos vetores.

Mardia (1972) identificou quatro casos:

• λ1 é grande, enquanto que λ2 e λ3 são ambos pequenos. Isto significa que a soma dos

quadrados das perpendiculares entre as extremidades dos vetores e os eixos

correspondentes ao primeiro vetor próprio é muito grande. Muitas das observações devem

estar no plano contendo os vetores próprios 2 e 3, formando uma distribuição de formato

regular (Figura 2.13a).

• λ1 e λ2 são ambos grandes, enquanto que λ3 é pequeno. A distância perpendicular das

extremidades aos primeiro e segundo vetores próprios deve ser muito grande, mas as

distâncias ao terceiro vetor próprio devem ser pequenas. As observações estão agrupadas

ao redor da extremidade do terceiro vetor próprio (Figura 2.13b,c). Qualquer distribuição,

modal ou bi modal, fornecerá o mesmo resultado. Elas podem ser diferenciadas pelo valor

de R , que será grande para o caso uni modal.

• Dois vetores próprios são idênticos. Este é uma variação do caso 1. As observações

formam uma malha simétrica ao redor do eixo correspondente ao único valor próprio

(Figura 2.13d).

• Todos os três valores próprios são idênticos. A distribuição é uniforme, assim como as

direções perpendiculares das extremidades são as mesmas para todos os três eixos

34

ortogonais. Não existe um arranjo preferencial das extremidades na esfera unitária (Figura

2.13e). b1

b2d1

d2

Figura 2.12 Projeção de dois vetores opostos diametralmente no vetor próprio [b2]. As

distâncias d1 e d2 são idênticas e atuam no mesmo sentido rotacional (modificado - Davis

1986).

Woodcock (1977) generalizou esta classificação no gráfico de logaritmos dos índices

dos valores próprios (ln (λ1/λ2) versus ln (λ2/λ3)). No seu gráfico, todos os possíveis padrões

de extremidades na esfera caem numa região específica. A Figura 2.14 mostra um dos

gráficos de Woodcock.

1

2

3

(a)

1

2

3

(b)1

2

3

(c)

1

2

3

(d)

1

2

3

(e)

35

Figura 2.13 Padrões de distribuição de vetores na esfera unitária. (a) parcialmente regular; (b)

unimodal; (c) bimodal; (d) completamente regular e (e) uniforme (modificado - Davis, 1986).

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

7

2

4

6

K = 1

K = 0.5

K = 0.2

K = 2K = 5K = 0ln

( /

)

λ 1λ 2

K = 0

ln( / )λ2 λ3

Figura 2.14 Classificação dos padrões de vetores na esfera unitária com relação a K = ln

(λ1/λ2) / ln (λ2/λ3) (modificado - Davis, 1986).

2.8.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DADOS ESFÉRICOS

Convencionalmente, vetores em três dimensões são representados pela projeção das

suas extremidades num plano. Como as extremidades estão sobre a superfície da esfera,

representa-las em duas dimensões requer o uso de uma equação de projeção. Geólogos têm

usado tradicionalmente a projeção estereográfica polar de igual área de Lambert, a qual será

referida como o Estereograma de Schmidt, outras aplicações preferem a projeção

estereográfica polar de igual ângulo ou o Estereograma de Wulff.

A Figura 2.15 mostra um conjunto de vetores dentro do hemisfério superior da esfera

unitária e sua projeção no estereograma de igual área. É necessário diferenciar entre vetores

que vão para o hemisfério superior e aqueles que vão para o hemisfério inferior. Devido a que

36

os geólogos freqüentemente descrevem vetores em termos do seu mergulho (plunge), uma

palavra com conotação de descida.

Figura 2.15 Vetores dentro do hemisfério superior da esfera unitária e suas projeções num

diagrama polar de igual área (modificado - Davis, 1986).

Estes vetores podem ser usados para representar a orientação em três dimensões de

planos como descontinuidades. Se um plano é colocado através do centro de uma esfera

unitária, sua interseção como a esfera formará um círculo grande (Figura 2.16a). Embora isto

seja facilmente representando através do pólo, que é a interseção entre o vetor perpendicular

ao plano, que passe pela origem e a superfície da esfera. Convencionalmente, os geólogos

desenham a interseção de um pólo no hemisfério inferior o que foi adotado neste trabalho.

Então, por exemplo, a projeção do pólo de um plano que mergulha para o oeste será plotado

para o leste como mostra o pólo b na Figura 2.16b.

Uma quantidade grande de dados em três dimensões, pode fornecer diagramas com

muitos pontos onde não pode ser observado um padrão geral. Nestes casos a distribuição da

densidade local de pontos pode ser representada, contando o número de pontos que estão

dentro de uma área pequena do diagrama estereográfico. Isto pode ser feito convenientemente

se uma projeção estereográfica de igual área é usada.

37

a

b

a

b

(b)(a)

N

SO

L

N

S

LO

Figura 2.16 Desenhos dos pólos do plano: (a) Plano com seus pólos na esfera unitária. (b)

Pólos de um plano projetado no estereograma (modificado - Davis, 1986).

2.8.3 DISTRIBUIÇÃO DE FISHER

A ampliação da distribuição normal para o caso de dados direcionais, que variam de 0o

a 360o com relação ao norte, deu origem à distribuição de Von Mises. Posteriormente dados

de direção esférica, identificados por uma direção de mergulho (de 0o a 360o) e o mergulho

(de 0o a 90o), foram representados, com a ampliação da distribuição de Von Mises, para dados

bi-variacionais, gerando assim uma nova distribuição conhecida como a distribuição de Fisher

(Mardia 1972).

Fisher (1953) definiu um fator κ que é uma medida da dispersão das direções e que

pode ser estimado para uma amostra a partir da resultante dos vetores direcionais R e da

quantidade de dados n da amostra, utilizando a seguinte relação:

( ) ( )Rnn −−= 1κ (2.55)

Se todos os dados direcionais são quase paralelos, então a resultante R se aproximará a

n e em conseqüência κ se aproximará ao infinito. Se as direções estão distribuídas de forma

aleatória então R e κ serão pequenos. Na teoria o valor mínimo de κ é próximo da unidade e

na prática raramente este valor é menor que 5 (Priest 1985).

Fisher (1953) assume que a população de vetores direcionais está distribuída

aleatoriamente ao redor de uma direção verdadeira. Fisher também assume que a

38

probabilidade P(θ) que um vetor, selecionado aleatoriamente da população, faça um ângulo

sólido, entre θ e θ + dθ com a orientação verdadeira, seja definido pela seguinte distribuição

de probabilidade:

( ) θθκθ θκκκ de

eeP sen cos

−−= (2.56)

Onde:

κ - fator de dispersão de Fisher

θ - ângulo sólido formado entre a variável direcional e a direção média verdadeira

Quando κ tem valores altos a distribuição de probabilidade da Equação 2.56 tende a

formar uma distribuição Gausiana isotrópica bidimensional com variância 1/κ e para valores

altos de n podemos utilizar a seguinte distribuição de probabilidade acumulada para fazer

alguns testes estatísticos.

( ) ( ) θθ θκ deP 1 cos1−−−=< (2.57)

A inversa da Equação 2.57 será:

( )[ ]κ

θθ <−+=

P1ln1cos (2.58)

As Equações 2.57 e 2.58 podem ser usadas para testar o ajuste de curva de uma

amostra com a distribuição de Fisher assumindo que a resultante média da amostra representa

a direção média verdadeira da população e desenhando a distribuição dos dados amostrados

com a distribuição de Fisher correspondente como se vê na Figura 2.17.

39

G11-F1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25 30

θ (o)

P (

<)

Dados Originais

Fisher

Figura 2.17 Distribuição acumulada de dados de direção e a distribuição de Fisher acumulada.

2.8.4 TESTE DE HIPÓTESE DE UNIFORMIDADE DE DADOS ESFÉRICOS

Os mais simples testes de orientação de dados em três dimensões, são extensão

daqueles usados com dados circulares. Como nesses casos, aqui também precisa-se de um

modelo de probabilidade de características conhecidas com o qual possa-se fazer um teste.

Um modelo muito usado é a distribuição de Fisher, como uma extensão da distribuição de von

Mises ou uma equivalência esférica da curva normal. A distribuição de Fisher está

caracterizada por dois parâmetros: um vetor de direção média θ e uma dispersão κ. Como

está-se trabalhando com três dimensões, o vetor médio tem três elementos ou cossenos

diretores com relação aos três eixos de coordenadas.

O vetor médio é estimado pelo cosseno diretor da resultante das amostras (Equação

2.42). A dispersão pode ser aproximada com a seguinte relação:

( ) ( )Rnn −−= 2κ (2.59)

A estimativa de κ considera os possíveis erros por tendência, consistência, eficiência

e suficiência (Ang & Tang 1975) a que toda amostra está sujeita. Lembrando que os dados

direcionais são representados por duas variáveis (mergulho e direção de mergulho) a

dispersão κ será afetada por (n – 2) na Equação 2.59 e não por (n – 1) como na Equação 2.55,

40

segundo Mardia (1972), esta relação é suficientemente exata, se κ é grande, ou maior que 10.

Mardia (1972) apresenta uma tabela de estimativas mais exatas baseadas no tamanho da

resultante normalizada R .

Para testar a aleatoriedade, como no caso circular, a hipótese simples que pode ser

testada é, que os dados estão distribuídos uniformemente em todas as direções o que é

equivalente a dizer que o parâmetro de concentração κ é zero. As hipóteses, nula e alternativa

são:

0:0:

1

0

>=

κκ

HH

(2.60)

O teste estatístico é calculado da mesma maneira que com os dados circulares e

consiste no calculo da resultante normalizada R . Esta estatística é depois comparada a um

valor crítico de R para o nível de significância desejado. A tabela de valores críticos é a

Tabela 2.5. Se o valor calculado de R excede o valor da tabela, a hipótese que as observações

estão uniformemente distribuídas é rejeitada ao nível de significância especificado.

Também é possível testar hipóteses sobre uma direção específica do vetor médio, e de

construir um cone de confiança ao redor do vetor. Estes testes, contudo, requerem tabelas

extensas como aquelas publicadas por Stephens (1967) e Mardia (1972). Testes de duas

amostras para a equivalência da direção média dos dois conjuntos de observações também

podem ser realizados.

2.9 MODELOS PROBABILÍSTICOS DAS DESCONTINUIDADES

Para este trabalho foram consideradas unicamente as descontinuidades secundárias ou

menores, como juntas, planos de contato, foliação e fissuras, que apresentam um

comportamento estatístico na sua distribuição espacial, porém denominadas aqui

simplesmente descontinuidades. As descontinuidades principais ou maiores, como falhas ou

diques, são tratadas por análise determinística já que seus parâmetros de distribuição

geométrica são determinados especificamente para cada uma.

41

Tabela 2.5 Valores críticos de R para o teste de uniformidade de uma distribuição esférica.

(modificado - Davis, 1986).

Nível de Significância, α (%) Número de Observações, n 10 5 2 1

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 35 40 45 50

100

0,637 0,583 0,541 0,506 0,478 0,454 0,433 0,415 0,398 0,384 0,371 0,359 0,349 0,339 0,330 0,322 0,314 0,307 0,300 0,294 0,288 0,260 0,240 0,230 0,220 0,200 0,140

0,700 0,642 0,597 0,560 0,529 0,503 0,480 0,460 0,442 0,427 0,413 0,400 0,388 0,377 0,367 0,358 0,350 0,342 0,334 0,328 0,321 0,290 0,270 0,260 0,240 0,230 0,160

0,765 0,707 0,659 0,619 0,586 0,558 0,533 0,512 0,492 0,475 0,460 0,446 0,443 0,421 0,410 0,399 0,390 0,382 0,374 0,366 0,359 0,330 0,310 0,290 0,270 0,260 0,180

0,805 0,747 0,698 0,658 0,624 0,594 0,568 0,546 0,526 0,507 0,491 0,476 0,463 0,450 0,438 0,428 0,418 0,408 0,400 0,392 0,384 0,360 0,330 0,310 0,290 0,280 0,190

Para o tratamento estatístico das descontinuidades, primeiramente se determina a

maior região de amostragem onde a distribuição estatística das variáveis aleatórias

geométricas analisadas, tenha um comportamento homogêneo com relação à região total de

estudo, ou seja, que esta região apresente comportamento homogêneo e representativo da

população. Este processo é a determinação de regiões estatisticamente homogêneas. Por

conseguinte cada uma destas regiões deverá ser representada por um modelo de distribuição

geométrico das descontinuidades.

Para cada região estatisticamente homogênea, deve-se conhecer o número de famílias

de descontinuidades presentes e para cada família de descontinuidades deve-se conhecer sua

densidade ou espaçamento, orientação ou atitude, tamanho e localização. Estes parâmetros

das descontinuidades apresentam muita variabilidade e são considerados inerentemente

estatísticos assim sua quantificação demandará ser feita com a aplicação de processos

estocásticos.

42

A densidade - é a medida do número de descontinuidades por unidade de volume. Para

fazer esta medida pode-se considerar um volume unitário e contar o número das

descontinuidades (ou a soma dos traços das descontinuidades) presentes e dividir pelo volume

unitário selecionado.

A orientação - considerando à descontinuidade como uma superfície perfeitamente

plana, seja um polígono ou disco, a orientação representa a direção, em 3D, do vetor unitário

normal ao plano da descontinuidade, expressa pelos cossenos diretores do vetor. Também é

usada a direção e mergulho da descontinuidade (strike, dip), ou também direção de mergulho

e mergulho da descontinuidade (dip direction, dip) que é mais usado na geologia estrutural,

como mostra a Figura 2.18.

direção de mergulho(dip direction)

mergulho(dip)

direção

(strike)

α

φ

(strike / dip) = (α − 90 / φ )(dip direction / dip) = (α / φ )

Figura 2.18 Orientação das descontinuidades, direção e mergulho (strike / dip), direção de

mergulho e mergulho (dip direction / dip).

O tamanho - determina a extensão da descontinuidade, pode ser a maior dimensão da

mesma como o diâmetro, no caso de descontinuidade circular. Numa amostragem superficial

mede-se o traço da descontinuidade para depois fazer a transformação para o diâmetro ou a

maior dimensão da descontinuidade.

A localização - é a posição espacial (x, y, z) do centro de gravidade do plano da

descontinuidade com relação a um ponto de observação. A partir do espaçamento pode-se

inferir a densidade e a locação das descontinuidades.

Geralmente os dados coletados em campo das descontinuidades estão sujeitos a erros

de medida, sistemáticos ou tendenciosos, representando unicamente propriedades uni e bi

43

dimensionais. Por esta razão antes de fazer qualquer análise estatística dos dados crus de

campo, estes deverão passar por um processo de correção dos erros de medição em campo.

Em adição os parâmetros das famílias de descontinuidades em 3D, deverão ser inferidos a

partir de parâmetros em 1D e 2D, com ajuda de procedimentos da probabilidade geométrica.

2.9.1 CORREÇÃO DE BIAS

A medida dos parâmetros geométricos das descontinuidades é afetada por erros de

medição ou amostragem também conhecidos como erros sistemáticos, que neste trabalho

serão denominados de bias. O motivo principal de ocorrência dos bias é a interpretação e

transformação incorreta dos parâmetros 2D para parâmetros 3D e a dificuldade de

amostragem dos dados 3D de forma direta.

A densidade é muito afetada por não se conhecer o tamanho real da descontinuidade e

se basear unicamente na medida do espaçamento e do traço, que é o comprimento da

interseção da descontinuidade com a superfície de amostragem, a qual não necessariamente

representa o comprimento máximo da descontinuidade nem o espaçamento verdadeiro da

família de descontinuidades. Então a densidade nos permite ter uma medida relativa do

espaçamento, medido na direção do vetor de orientação médio normal ao plano da família de

descontinuidades. Os bias possíveis são ocasionados pela medida incorreta do espaçamento

unicamente no plano de amostragem que, na verdade, não é o plano do vetor de orientação

médio normal à descontinuidade e para evitar este tipo de bias é necessário fazer uma

correção do verdadeiro espaçamento na direção deste vetor de orientação médio.

A orientação da descontinuidade é o parâmetro que depende muito da posição relativa

entre o plano da descontinuidade e o plano de amostragem e para sua correta medida, será

necessário fazer várias medições de orientação da mesma família de descontinuidades em

planos de amostragem com diferente orientação, de preferência planos de amostragem

perpendiculares. Considerando também que a superfície das descontinuidades não é

perfeitamente plana, mas sim uma superfície ondulada, então, a medição deste parâmetro tem

que ser calculada da medida de orientação de várias descontinuidades da mesma família (o

que define a orientação como uma medida que varia em torno a um valor médio).

O tamanho é muito influenciado pela limitação da amostragem em campo, geralmente

em planos de amostragem em 2D, e por não poder assumir diretamente o traço como o valor

da dimensão máxima da descontinuidade. Para este parâmetro serão aplicadas algumas

44

condições de contorno probabilísticas para poder inferir valores 3D a partir do traço 2D. Os

bias possíveis são:

• Truncamento - que é a dimensão mínima de traço de descontinuidade a ser registrada, ou

seja os traços com dimensões iguais ou menores a esta dimensão de truncamento serão

desprezados, por assumir que não tem influência na análise global do maciço ou da área de

estudo.

• Censura - gerada pelas limitações do plano de amostragem, que não permite a medida total

do comprimento do traço, como é o caso das dimensões reduzidas das paredes e piso de

uma galeria de exploração ou a altura pequena do talude ou o tamanho reduzido do

afloramento que em resumo não permitem visualizar um ou ambas extremidades do traço.

A localização é um valor pouco utilizado em seu verdadeiro valor e para fins

geomecânicos é usado um valor de localização relativo, expressado através do espaçamento

das descontinuidades ou da densidade.

Com estes parâmetros geométricos das descontinuidades corretamente medidos e

corrigidos por bias ainda tem-se a própria variabilidade deles que terá que ser tratada

estatisticamente para ter uma melhor visualização das variáveis e conhecer seus verdadeiros

parâmetros estatísticos. Posteriormente se aplicarão métodos de probabilidade geométrica

para poder definir qual o modelo probabilístico mais apropriado que represente estes

parâmetros geométricos. Na literatura se tem desenvolvido alguns modelos probabilísticos

como os que são apresentados a seguir.

2.9.2 MODELO DE BAECHER

Baecher & Lanney (1978) desenvolveram um modelo probabilístico que foi usado por

Warburton (1980), ele se baseia na forma plana circular ou elíptica da descontinuidade. Como

os raios ou as cordas de uma elipse não são medidas diretamente em campo, a escolha da

distribuição de probabilidade, para o tamanho das descontinuidades, foi pura conveniência,

que para uma distribuição exponencial ou log-normal do raio, corresponde uma distribuição

log-normal do traço. Para o espaçamento escolheu a distribuição exponencial com melhor

ajuste para a grande quantidade de dados analisados como mostra a Figura 2.19. Desta forma,

os centros das descontinuidades apresentam uma distribuição aleatória e independente no

espaço, seguindo assim um processo de Poisson. Este modelo assume que o raio e o mergulho

das descontinuidades não estão correlacionados e que o raio e a distribuição espacial também

45

não apresentam correlação (são estatisticamente independentes). Embora estas condições

estejam ainda abertas a questionamentos foram assumidas como ponto de partida para o

desenvolvimento do modelo (Baecher et al., 1977).

O tamanho da descontinuidade elíptica é definido com dois parâmetros, o

comprimento da corda máxima e mínima, Cmax e Cmin, para cordas que atravessam o centro da

descontinuidade. O comprimento da corda, Ca, que atravessa o centro da descontinuidade

orientada a um certo ângulo α da corda máxima, será:

( )5,0

22max

2min

2

tg1 tg1

+

+=

α

α

C

CCa (2.61)

0 20 40 600

20

40

60

80

100

Distribuição GammaDistribuição Log-normalFrequência Observada

COMPRIMENTO DA DESCONTINUIDADES (ft.)

PRO

BA

BIL

IDA

DE

AC

UM

ULA

DA

(%)

(a)

0 1 2 30

20

40

60

80

100

Média = 0,5969Desvio Padrão = 0,683Tamanho da amostra = 484

ESPAÇAMENTO (ft.)

PRO

BA

BIL

IDA

DE

AC

UM

ULA

DA

(%)

(b)

1 - e-(1,68)s

Figura 2.19 Comparação das distribuições adotadas com dados observados: (a) distribuição

acumulada lognormal e gamma com dados de comprimento do traço; (b) distribuição

acumulada exponencial com dados de espaçamento (modificado - Baecher, et al., 1977).

Como resultado da localização das descontinuidades, pelo processo de Poisson e

considerando o modelo de Baecher com o tamanho e forma de círculo ou elipse adotados, foi

assumido que as descontinuidades podem terminar em rocha intacta ou nas intercessões com

outras descontinuidades como mostra a Figura 2.20. A aplicação deste modelo depende da

existência de descontinuidades com formas circulares ou elípticas, fato que segundo

Dershowitz & Einstein (1988) foi verificado em vários documentos, e que também tem

explicação na mecânica da fratura.

46

Descontinuidades com forma de disco somente poderão formar blocos no caso de

terem o tamanho necessário para cortar toda a região cúbica considerada. Para alguns casos o

tamanho do disco terá que ser igual ou maior à maior diagonal do volume cúbico considerado,

o que no ocorre na Figura 2.20. Neste sentido para maciços que apresentam uma clara

formação de blocos será evidente que o tamanho das descontinuidades circulares ou elípticas

tenham dimensões consideráveis para poder cortar toda a região considerada. Uma

desvantagem deste modelo é que não se pode afirmar categoricamente que as

descontinuidades que apresentam traços com extremidades finais em rocha intacta possuam

forma circular ou elíptica. Outra desvantagem é que este modelo considera as

descontinuidades perfeitamente planas eliminando assim vários possíveis comportamentos

mecânicos de formação de blocos.

Figura 2.20 Modelo de Beacher, com descontinuidades em forma de discos com extremos em

rocha intacta ou na interseção com outras descontinuidades. (Dershowitz e Einstein, 1988).

2.9.3 MODELO DE VENEZIANO

Este modelo foi desenvolvido por Veneziano (1978) e foi aplicado para problemas de

estabilidade de taludes e de hidrologia unicamente para o caso 2D. Priest & Hudson (1976)

foram os primeiros a relacionar a geometria da distribuição das descontinuidades com a

geometria dos planos e linhas gerados pela distribuição de Poisson estudadas pela matemática

no campo da probabilidade geométrica. As soluções analíticas disponíveis para a geometria

47

estocástica, especialmente aquelas de Miles (1971) e Santaló (1976), fazem da distribuição de

linhas (Figura 2.21a) ou de planos pelo processo de Poisson convenientes para sua utilização.

Como se mostra na Figura 2.21a, o tamanho das descontinuidades é considerado infinito e

para poder considerar as terminações das descontinuidades em rocha intacta, Veneziano

(1978) introduz um método para adaptar o conceito de geração de planos das

descontinuidades com a distribuição de Poisson para descontinuidades com terminações em

rocha intacta. A Figura 2.21b mostra a geração do modelo para o sistema de descontinuidades

de Veneziano. Este modelo requer 3 processos estocásticos consecutivos. Primeiramente, os

planos das descontinuidades serão gerados com a distribuição de Poisson. Estas

descontinuidades são localizadas no espaço por meio de uma distribuição uniforme mas

poderão ter qualquer distribuição de orientação desejada. Como segundo passo pelo processo

de Poisson são geradas linhas em cada plano de descontinuidade, que dividiram o plano da

descontinuidade em regiões poligonais. Finalmente, alguns polígonos de cada plano da

descontinuidade são aleatoriamente marcados como PA ou descontinuidades, enquanto que os

polígonos restantes são definidos como rocha intacta, desta maneira PA corresponde à

persistência.

48

Figura 2.21 Modelo de Veneziano: (a) Traços gerados pelo processo de Poisson; (b) Processo

de geração das descontinuidades não persistentes (modificado - Dershowitz & Einstein,

1988).

No plano 2D onde é registrado o traço das descontinuidades, o modelo de Veneziano

reconstrói o modelo de Baecher, com a exceção de que as descontinuidades são representadas

por segmentos de linhas co-planares (Figura 2.22), ao contrário de unicamente uma linha.

Alem disso Veneziano (1978) demonstrou que este modelo está muito relacionado com a

distribuição exponencial para o comprimento do traço das descontinuidades, que está em

contrapartida com a distribuição lognormal achada no modelo de Baecher. Com relação às

terminações das descontinuidades, no modelo de Veneziano, as descontinuidades em cada

plano são definidas por um processo independente das linhas de Poisson. Então, a definição

de descontinuidades em cada plano é independente das interseções das descontinuidades.

Figura 2.22 Modelo de Veneziano bidimensional

Blocos de rocha podem ser gerados com este modelo de Veneziano, se as

descontinuidades são 100% persistentes e sem terminações em rocha intacta. Nesse caso as

descontinuidades vão cruzar-se entre elas e não terminarão. No caso de não persistentes, o

modelo de Veneziano, com terminações, poderá ser simulado, mas usualmente não produzirá

blocos.

49

2.9.4 MODELO DE DERSHOWITZ

Dershowitz (1984), corrigiu o problema do modelo de Veneziano, onde as interseções

das descontinuidades e os cantos das mesmas não coincidem. Como o modelo de Veneziano,

o modelo de Dershowitz é baseado num sistema de geração de planos pelo processo de

Poisson que melhor representam os planos das descontinuidades. Em lugar de precisar de três

processos separados, o modelo de Dershowitz precisa só de dois processos (Figura 2.23). O

primeiro é a definição dos planos das descontinuidades com o processo de planos de Poisson

com localização uniformemente distribuída, e de orientações que seguem uma distribuição

específica. As interseções entre estes planos definem um processo de linhas em cada plano de

descontinuidades, as quais dividem cada plano em polígonos. O segundo processo é a seleção

e marcação dos polígonos de descontinuidades em cada plano, e os polígonos restantes serão

considerados como rocha intacta. Da mesma forma que no modelo de Veneziano, isto é

realizado com um processo estocástico no qual cada descontinuidade potencial tem uma

probabilidade igual de ser marcada como uma descontinuidade aberta.

Os cantos das descontinuidades são definidos pelas interseções dos planos das

descontinuidades e como resultado todas as interseções das descontinuidades acontecem nos

cantos das descontinuidades. Também, as descontinuidades correspondem diretamente às

faces ou aos lados dos poliedros que a sua vez são definidos pelos próprios planos das

descontinuidades. Como resultado os lados dos poliedros são completamente intactos ou

completamente fraturados (descontínuos) e os blocos de rocha poderão ser relativamente

modelados com facilidade.

50

Figura 2.23 Geração das descontinuidades do modelo de Dershowitz (modificado -

Dershowitz & Einstein, 1988).

A vantagem do modelo de Dershowitz é de poder definir blocos de qualquer tamanho

e adicionalmente a isso, permite uma distribuição da orientação muito flexível. Então uma

variedade de formas poligonais de descontinuidades e formas de blocos poderão ser

modelados. Pode-se dizer que este modelo de Dershowitz apresenta-se com maiores

vantagens que os anteriores para representar blocos diferenciados, descontinuidades

poligonais e uma orientação dispersa. O modelo de Dershowitz também poderá ser utilizado

para modelar um sistema de descontinuidades que não apresenta formação de blocos, com as

terminações das descontinuidades em rocha intacta, (Dershowitz & Einstein 1988).

Como no modelo de Veneziano, as descontinuidades no modelo de Dershowitz são

co-planares e o modelo não é acurado para modelos de descontinuidades com terminações em

rocha intacta não co-planares. Em resumo este modelo apresenta as mesmas vantagens e

desvantagens que o modelo de Baecher.

Existem ainda outros modelos menos utilizados como o modelo de mosaicos que

trabalha com formas regulares e que não permite simular de forma mais abrangente a

variabilidade da geometria das descontinuidades na maioria de casos.

51

2.9.5 MODELO DE KULATILAKE

Kulatilake (1993) identifica primeiramente a região estatisticamente homogênea, ou

seja, a maior região de amostragem do maciço total que seja representativa e a seguir

determina o número de famílias ou grupos de famílias presentes nesta região. Para cada

família analisa separadamente cada parâmetro geométrico das descontinuidades e para cada

parâmetro se acha uma distribuição de probabilidade que melhor se ajuste aos dados

amostrados considerando uma prévia correção de bias. A forma da descontinuidade é circular

plana como a do modelo de Baecher e a distribuição da localização das descontinuidades é

feita com relação à localização do centro do círculo. A intensidade das descontinuidades é

gerada pela distribuição de Poisson e a orientação é gerada por uma distribuição

bivariacional.

Este modelo tanto como os anteriores carece de um processo mais confiável na

determinação da região estatisticamente homogênea e na determinação do número de

famílias de descontinuidades.

2.9.6 COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS

O mais importante ou de maior interesse para o usuário é a correta seleção do modelo

apropriado para cada caso em particular. Os modelos agregados apresentados anteriormente

permitem caracterizar melhor o maciço devido ao fato de que eles capturam a

interdependência dos parâmetros geométricos das descontinuidades e descrevem a geometria

do maciço como uma entidade, um sistema, o que está mais próximo da realidade

(Dershowitz & Einstein, 1988). Estes modelos foram desenvolvidos para resolver problemas

de mecânica do maciço rochoso como, estabilidade, interação entre blocos etc. Existem outros

modelos para ser aplicados a problemas de fluxo nas fraturas e que apresentam um conceito

de idealização diferente.

O modelo de Beacher é restrito a existência de descontinuidades circulares, as quais

unicamente formarão blocos se forem maiores que a região considerada. Em alguns casos a

dimensão do disco terá que ser igual ou maior que a região cúbica gerada. O modelo de

Veneziano, por não trabalhar com descontinuidades circulares mas sim com planos infinitos,

tem maior facilidade para gerar blocos, tendo presente que as descontinuidades sejam 100%

persistentes e co-planares. O modelo de Dershowitz considera também uma superfície infinita

como o modelo de Veneziano mais acrescenta ao modelo a possibilidade de representar

52

diferentes valores de persistência da descontinuidade, apresentando assim maior flexibilidade

também na orientação das descontinuidades. O modelo de Kulatilake apresenta a mesma

dificuldade para gerar blocos que o modelo de Beacher, mas também apresenta uma ampla

correção dos erros de bias como também uma seleção da região estatisticamente homogênea

mais criteriosa. Na Tabela 2.6 são apresentadas algumas características dos modelos

apresentados anteriormente.

Tabela 2.6 Características das descontinuidades de alguns modelos

CARACTERÍSTICAS DA DESCONTINUIDADE MODELO

forma tamanho Terminação na Rocha intacta Co-planaridade Orientação

Baecher Circular ou elíptica Finito Não Não Variável

Veneziano Poligonal Finito Na interseção Sim Variável

Dershowitz Poligonal Finito Sim Sim Variável

Kulatilake Circular Finito Não não Variável

53

Capítulo 3

3 FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE

GEOMÉTRICA

A probabilidade geométrica procura a probabilidade de ocorrência de figuras

geométricas dentro de um domínio determinado, tendo como limite às condições de contorno

para cada problema, como é o caso das descontinuidades que podem ser representadas como

polígonos planos no espaço. Uma das primeiras publicações sobre o assunto de probabilidade

geométrica foi feita na França por Deltheil em 1926, citado em Langevin (1997),

posteriormente até os anos 60, a maioria dos livros de probabilidade ignoraram

completamente esse assunto. Alguns autores como Kendal & Moran (1963) atribuem este fato

aos resultados obtidos por volta de 1900 por Morgan Crofton, os quais foram considerados

como suficientes para cobrir este assunto. Na realidade numerosos problemas têm surgido

precisando de soluções baseadas em tudo aquilo que foi desenvolvido no passado sobre

probabilidade geométrica assim como provocando um maior desafio na busca de novas

soluções, ou seja, o assunto renasceu. O livro de Kendal & Moran (1963) mostra exemplos

que ilustram o amplo campo de aplicação da probabilidade geométrica na década dos 60

como astronomia, física atômica, biologia, crystalografía, petrografia, teoria da amostragem

etc. Neste capítulo da tese procura-se apresentar as ferramentas de probabilidade geométrica

aplicadas à distribuição de probabilidade de descontinuidades ou figuras geométricas planas

no espaço 3D.

Dentro da probabilidade geométrica o termo geometria integral é muito importante, (o

qual foi introduzido por Blaschke no século XVIII; citado em Langevin, 1997). De fato, pelo

uso de conceitos de probabilidade, Morgan Crofton foi o primeiro a obter algumas equações

integrais importantes para figuras planas convexas, de características puramente geométricas,

onde a teoria de probabilidade virou um acidente. Alem disso a teoria de Probabilidade

Geométrica fez ressurgir o problema de achar a medida do conjunto de objetos geométricos

(pontos, linhas retas, cônicas, pares de pontos etc.) com propriedades invariáveis, sob um

conjunto de transformações, o que representa o problema central da Geometria Integral

(Santaló, 1953).

53

Uma vez achada as medidas invariáveis, a Geometria Integral tenta deduzir

conseqüências geométricas para a figura (em particular no domínio convexo) no espaço, no

qual o conjunto opera. Na caracterização estrutural do maciço rochoso, a geometria das

descontinuidades pode ser considerada como figuras circulares planas ou discos planos

aleatoriamente distribuídos no espaço. O mapeamento das descontinuidades é feito através da

medida das características geométricas das linhas ou traços, no plano de amostragem. Tais

traços são gerados pela interseção das descontinuidades com o plano de amostragem. O plano

de amostragem pode ser a face de um talude, a parede e piso de uma galeria, um afloramento

rochoso etc. A probabilidade geométrica permite analisar a distribuição aleatória dos planos

das descontinuidades no espaço de três dimensões assim como a probabilidade da interseção

entre elas ou como outro volume.

Primeiramente apresenta-se os conceitos de probabilidade geométrica e a seguir a

análise de probabilidade geométrica para pontos, retas e planos no espaço 2D e 3D.

3.1 INTRODUÇÃO

Em 1777 Buffon publicou seu Essai d’aritmétique morale (Teste de moral de

aritmética), onde descreveu o experimento das agulhas "A medida de incerteza está neste

objeto: Eu vou jogar ele e dar algumas regras para registrar o cálculo da veracidade, o grau de

probabilidade, o peso das tentativas, a influência da sorte, a inconveniência de riscos e julgar

o real valor dos nossos medos e nossas expectativas ao mesmo tempo". Buffon provou que,

quando uma agulha é lançada aleatoriamente nas tábuas de um assoalho, a probabilidade que

esta caia entre duas tábuas é de 2/π, isto se o comprimento da agulha é igual à largura da

tábua. Admite-se sem a menor dúvida que a medida da probabilidade correta, no espaço da

posição da agulha, é a medida de ( ) [ ]θπ ddx 2 1− , onde a presença da constante π esconde um

círculo. O Físico Paul Langevin em 1908, citado em Langevin (1997), apresentou um

procedimento para visualizar a demonstração de Buffon. Após o lançamento de milhares de

agulhas e se elas são movidas unicamente por translação paralela ou perpendicular às tábuas

por uma distância igual a um inteiro múltiplo da largura da tábua. Como todas as posições

relativas são possíveis de ocorrer (ângulo de orientação, distância da agulha às linhas do

contorno da tábua), podem-se rearranjar as agulhas ao longo de um círculo grande como se

mostra na Figura 3.1. Tendo essencialmente o mesmo número N de agulhas sobre qualquer

54

ponto do círculo, o número total de agulhas é próximo a NL, onde L é o comprimento do

círculo. Então o número de agulhas que cruzam a linha entre duas tábuas está próximo a:

N . (número de pontos de interseção das linhas com o círculo) (3.1)

Isto é 2ND, onde D é o diâmetro do círculo. Então a probabilidade apropriada será

2ND/(NL) = 2ND/(NDπ) = 2/π.

D

1

1

Figura 3.1 Rearranjo da distribuição das agulhas numa circunferência.

Cem anos seriam necessários para esclarecer o critério de probabilidade envolvido

nesta demonstração da física (Langevin, 1997). Antes de chegar a isso, observe-se uma

demonstração convencional confirmando o problema de Buffon. Localize a posição da agulha

no piso pela posição de uma de suas pontas e o ângulo que faz a agulha com a direção

horizontal. Aplicando uma translação paralela aos contornos das tábuas, ou múltiplos da

largura das tábuas, pode-se supor que a agulha tem sua ponta no segmento vertical AB (Figura

3.2a). Assumindo que AB tem comprimento 1 e chamando de x a distância entre a ponta da

agulha e o ponto A, tem-se que o conjunto das posições possíveis das agulhas está entra AB

considerando sua inclinação, assim a agulha cortará a linha LB se (x + sen θ) ≥ 1 e a linha LA

se (x + sen θ) ≤ 0. A relação entre a área sombreada e a área do retângulo entre 0, 1 e 0, π

como mostra a Figura 3.2b será de 2/π (Langevin, 1997).

3.2 NOÇÃO DE MEDIDA GEOMÉTRICA

Crofton em 1868, citado em Langevin (1997), esclareceu a noção de medida no

conjunto de linhas afins, citando Crofton: A expressão "ao acaso (aleatório)" numa linguagem

comum tem um significado muito claro e definido; que não pode ser mais bem transmitido

como a expressão "de acordo com nenhuma lei ..." Sempre há uma referência direta entre o

conjunto de figuras ou objetos geométricos que pertencem a um mesmo grupo, do qual mede-

55

se todos eles e pode-se proceder a resumir e analisar os casos favoráveis. Mas existe

variedade de classes ou questões em que a totalidade de casos não é meramente infinita, mas

de uma natureza inconcebível. Pode-se assim supor, continuamente variações da experiência e

para cada variação resulta uma infinidade nova de casos. Então Crofton justifica a escolha da

medida no plano que significa: “para uma infinidade de linhas posicionadas ao acaso num

plano, qual é a natureza deste grupo, ao acaso?. Primeiro, desde que qualquer direção é tão

provável quanto às outras, muitas das linhas são paralelas a qualquer direção das outras

linhas. Como este sistema infinito de paralelas são posicionadas ao acaso, elas são dispostas

densamente ao longo de qualquer parte da perpendicular ou ao longo de qualquer outra

direção”. Crofton fundou a resposta correta. Não obstante, na passagem do século a escolha

de uma medida não é óbvia, porque havia muitas possibilidades (Langevin, 1997).

0 θ

1

x

2ππ

(b)

θ

1

x

B

A

LB

LA

(a)

1

Figura 3.2 Representação geométrica do problema de Buffon: (a) localização da agulha entre

as linhas LA e LB; (b) domínio (θ, x) das agulhas que estão entre as linhas LA e LB.

Em 1907, quando a geometria integral estava próxima a desaparecer, o probabilista J.

Bertrand deu três respostas diferentes, a um mesmo problema de geometria elementar. A

questão foi: Qual é a probabilidade para que a corda de um círculo de raio 1, tomada

aleatoriamente, seja maior que o comprimento do lado do triângulo eqüilátero inscrito, ou seja

maior a 3 ?, as três respostas diferentes propostas por Bertrand são de três formas diferentes

de escolha da corda (Figura 3.3):

• PRIMEIRO: Qualquer corda intercepta um círculo em dois pontos, assim pode-se supor

com uma distribuição de probabilidade uniforme sobre a circunferência ou perímetro do

círculo. Sem perder generalidade pode-se supor que um dos pontos está fixo no vértice do

triângulo eqüilátero inscrito e que o outro ponto estará no comprimento de arco entre os

lados do triângulo eqüilátero, como mostrado a Figura 3.3a. Há então 1/3 da circunferência

56

ou 1/3 do perímetro do círculo no qual o outro ponto pode se localizar, para que a corda

resultante tenha comprimento maior a 3 , isto gera uma probabilidade de 1/3.

• SEGUNDO: O comprimento da corda depende da distância da corda com relação ao centro

do círculo, mas não da sua direção. Pode-se então supor que este tem uma direção fixa

perpendicular a um diâmetro determinado do círculo e seu ponto de interseção com este

diâmetro tem uma distribuição uniforme. Para que a corda tenha um comprimento maior a

3 , a distância do ponto de interseção ao centro do círculo deve ser menor a 1/2, e isto

gera uma probabilidade de 1/2 com relação ao comprimento do diâmetro (Figura 3.3b).

• TERCEIRO: Qualquer corda é unicamente definida pela sua distância perpendicular ao

centro do círculo. A interseção da distância do centro do círculo perpendicular à corda com

a própria corda, é um ponto uniformemente distribuído sobre o círculo. A probabilidade da

corda cair em qualquer região de área A é Aπ-1 (considerando que a área total do círculo é

π). Para que a corda tenha um comprimento maior que 3 , o ponto de interseção da corda

terá que estar dentro de um círculo de raio 1/2, por conseguinte a probabilidade será de 1/4

com relação à área total do círculo (Figura 3.3c).

A

B

0

1/2

-1/2

0

(a) (b) (c)

Figura 3.3 Representação geométrica do problema de Bertrand: (a) PRIMEIRO,

probabilidade de 1/3; (b) SEGUNDO, probabilidade de ½; (c) TERCEIRO, probabilidade de

¼ (modificado - Langevin, 1997)

Todas as três soluções estão corretas, mas verdadeiramente se referem a problemas

diferentes. Em todas as questões que envolvem probabilidade geométrica primeiramente se

tem que definir o significado o termo aleatório. Se a corda é considerada como sendo

determinada pelo ângulo θ que ela faz com uma direção fixa e pela sua distância p do centro

do círculo à corda (distância perpendicular), a determinação do significado do termo aleatório

57

é equivalente a determinar uma densidade de probabilidade conjunta para θ e p na sua faixa

de variações que são de πθ 20 <≤ e 0 1≤≤ p . Na primeira solução do exemplo de Bertrand

considere-se a α e β como as coordenadas angulares dos extremos da corda, assim tem-se que

πβα 2,0 ≤≤ e a distribuição de probabilidade em conjunto será ( ) βαπ dd 2 2− . Também

obtém-se que:

p (3.2) 1cos, −±=θβα

Fazendo a troca de variáveis vê-se que a distribuição de probabilidade em conjunto de

θ e p deve ser dada por:

212

p

ddp−πθ (3.3)

Similarmente para o segundo caso, a distribuição de p e θ será dada por:

( ) θπ ddp 2 1− (3.4)

E para o terceiro caso por:

( ) θπ ddpp 1− (3.5)

Em geral para definir a distribuição de um objeto geométrico deve-se primeiramente

determinar o sistema de coordenadas que definem de forma única o objeto e depois definir a

distribuição de probabilidade na faixa destas coordenadas. Como exemplo de tais sistemas de

coordenadas pode-se considerar os seguintes:

• Pontos no espaço euclidiano de um, dois, três ou mais dimensões poderão ser definidos

pelas suas coordenadas cartesianas. Aqui os parâmetros do espaço coincidem com os do

espaço dos elementos.

• Linhas em espaços de duas dimensões podem ser definidas pela sua interseção com um dos

eixos e o ângulo que elas fazem com este eixo, ou pelo ângulo e a mínima distância da

linha à origem. Similarmente, linhas em três dimensões podem ser definidas pelas

58

coordenadas de sua interseção com um plano e pela sua direção. Elas então precisam de

quatro coordenadas para sua completa determinação. Isto faz com que a determinação da

medida de probabilidade para cada caso, de maior dimensão, seja mais difícil e é quase

sempre desejável representar um objeto geométrico nas coordenadas no espaço de tal

forma a não ter unicamente uma correspondência um a um, mas que a dimensionalidade

correspondente a todos os possíveis objetos tenham a mesma dimensionalidade das

coordenadas do espaço.

• Um plano em três dimensões pode ser determinado pelos coeficientes (u, v, w) de sua

representação como uma equação linear em coordenadas cartesianas, 01 =+++ wzvyux ,

ou o que é mais conveniente, pela sua distância p da origem e suas coordenadas polares θ e

φ da perpendicular traçada desde a origem ao plano. Em qualquer caso o espaço das

coordenadas deve ser de três dimensões.

• Uma translação em três dimensões pode ser representada pelas três coordenadas, (a, b, c),

do ponto que é tomado como a nova origem de coordenadas.

• Uma rotação em três dimensões pode também ser representada por três coordenadas. Estas

podem ser tomadas como as coordenadas polares θ, φ do eixo de rotação, junto com o

ângulo, ψ, de rotação. Alternativamente, desde que qualquer rotação em três dimensões

pode ser representada por uma matriz ortogonal, pode-se tomar qualquer grupo de três

elementos desta matriz, que sejam independentes, para representar esta rotação (desde que

esta matriz seja determinada por qualquer destes três elementos).

Nota-se que em todos os exemplos acima, com exceção da rotação, o conjunto de

possíveis coordenadas tem uma medida ou volume infinito. Por outro lado, se mais restrições

são colocadas nos objetos geométricos, pode-se obter conjuntos limitados nas coordenadas do

espaço em que se está trabalhando. Então, por exemplo, as coordenadas correspondentes a

todos os planos em três dimensões que interceptam uma figura formam um contorno entre

elas mesmas, formando assim um conjunto limitado.

Se tivermos um número fixo de objetos geométricos, pode-se definir sua distribuição

de probabilidade conjunta, no espaço de coordenadas escolhidas. Supondo que as

coordenadas que definem o elemento geométrico sejam (z1..., zk) no espaço Ω, que pode ou

não ser limitado e representando as coordenadas pelo vetor z, considerando que tem-se uma

medida não negativa P(E), definida numa classe aditiva de conjuntos E no espaço Ω, tal que:

( ) 1==Ω ∫ΩdPP (3.6)

59

Na maioria dos casos, P(E) será a integral de Lebesgue de uma função continua sobre

os conjuntos E e a classe aditiva pode ser tomada como todos esses conjuntos que são

mensuráveis no critério de Lebesgue (Kendal & Moran, 1963).

A distribuição de probabilidade de um número fixo de elementos geométricos que são

independentes pode ser tomada como o produto de tais distribuições. Embora, também se

deva considerar casos onde o número de elementos seja por si só uma variável aleatória. A

suposição mais freqüente é que o número de elementos em qualquer subconjunto específico E

de Ω obedece à distribuição de Poisson independente do número de variáveis em qualquer

outro conjunto separado. Então o número N de elementos em E tem probabilidade e-λ λN (N!)-

1, onde λ depende de E. Isto é uma definição consistente desde que a soma de duas variáveis

independentes que seguem a distribuição de Poisson é por si própria uma variável de Poisson.

Por conseguinte define-se uma medida M(E) que está no espaço Ω de todos os

possíveis pontos. Esta medida usualmente não está limitada, isto é M(Ω) pode ser infinito,

mas σ-infinito, quer dizer que Ω pode ser decomposto num finito ou infinito número contável

de conjuntos E1, E2,... como este (Kendal & Moran, 1963):

...21 ++=Ω EE (3.7)

M(Ei) é finito para cada i. Considerando, por exemplo, pontos aleatórios numa linha e

supondo que o número de ocorrências em qualquer intervalo de comprimento igual a 1 é uma

variável de Poisson com média 1, sendo esta média independente do que aconteça fora deste

intervalo. Então M(E) será igual a medida de Lebesgue para qualquer conjunto E mensurável

de Lebesgue na linha, embora M(Ω) é o comprimento de toda a linha no infinito, Ω pode ser

representada como a soma de um número contável de intervalos de comprimento finito.

Seja N o número de elementos geométricos com parâmetros correspondentes ao

conjunto de parâmetros de E no espaço. N será uma variável de Poisson com média igual a:

( ) ∫==EdMEMλ (3.8)

E por conseguinte tem uma função de origem (forma exponencial):

60

( ) ∫=−EdMz λ1exp (3.9)

Com a condição, que de fato existem exatamente N destes elementos. A distribuição

em conjunto das coordenadas z1,...,zN será:

( ) ( )( ) N

E

N

zdM

zdMzdM

∫...1 (3.10)

Assim para N = 1 tem-se uma relação entre a medida M(E) e a correspondente integral

induzida de Lebesgue P(E). Quando M(E) não seja a integral de sua derivada, a Equação 3.10

poderá ser interpretada, de forma similar, quando integrada sobre qualquer subconjunto G, de

E. Então a probabilidade de ocorrência de um único elemento com coordenadas em G, se se

conhece que está em E, será (Kendal & Moran, 1963):

( )( )( )∫

∫=E

GE

zdM

zdMEGp (3.11)

Onde GE é o conjunto comum a E e G. Observe que a probabilidade p(G|E) é um

conjunto de funções composto de dois conjuntos E e G.

Por conseguinte, um problema de probabilidade geométrica, não estará definido

enquanto não for escolhida a medida de probabilidade, P(E) no caso de um número fixo de

elementos distribuídos independentemente, ou uma medida de probabilidade M(E) no caso de

um número aleatório. Em geral, esta escolha é um pouco arbitraria e o erro no

reconhecimento deste fato nos leva aos paradoxos (controvérsias). Embora, algumas medidas

escolhidas são mais úteis e mais intuitivamente sensíveis que outras, precisa-se considerar

alguns critérios de escolha.

3.3 ESCOLHA DE UMA MEDIDA DE PROBABILIDADE

Muitos dos problemas de probabilidade geométrica estão definidos para elementos

geométricos no espaço Euclidiano, com propriedades invariáveis para um conjunto de

transformações, o que é apropriado para um espaço Euclidiano, isto para as translações,

61

rotações e reflexões. Então considerando um conjunto A de objetos geométricos no espaço

Euclidiano, obtém-se todas as translações pela transformação de coordenadas adicionando as

constantes de translação e para todas as rotações e reflexões aplicando uma transformação

ortogonal. Por exemplo, num espaço de três dimensões, as coordenadas, x, y, z, serão

transformadas em novas coordenadas x', y', z' com as seguintes relações.

,,

,

3332310

2322210

1312110

zayaxazzzayaxayy

zayaxaxx

+++=′+++=′

+++=′

(3.12)

Onde aij é uma matriz ortogonal e o conjunto A será transformado num novo conjunto A'.

Se o conjunto de parâmetros dos pontos correspondentes a A estão nos parâmetros do

espaço E, então os conjuntos correspondentes a A' estarão em E'. A transformação do

conjunto E induzida pela transformação no espaço Euclidiano mais a escolha de P(E) ou

M(E), permite impor naturalmente a condição de P(E') = P(E), ou M(E') = M(E). Desta forma

a escolha destas medidas depende das propriedades preservadas das medidas de tais conjuntos

de transformações.

3.4 PONTOS NO ESPAÇO EUCLIDIANO DE N DIMENSÕES

Para este caso o parâmetro do espaço é o mesmo que o espaço do elemento e se a

medida do conjunto é invariável para a aplicação de translações e rotações, a medida natural a

ser utilizada será a medida de Lebesgue. Se a distribuição de um único ponto, ou um número

finito de pontos for considerado, não se pode assumir que o ponto esteja distribuído sobre a

totalidade de qualquer conjunto com medida infinita, mas deverá confina-lo a uma região do

espaço com medida limitada dentro do espaço limitado (por exemplo, o interior de um cubo

ou uma esfera). Caso esta região seja R e sua medida de Lebesgue seja m(R), então se pode

considerar P(E), a probabilidade que o ponto esteja dentro do conjunto E, contido em R, o que

é dado por:

( ) ( )( )RmEmEP = (3.13)

62

Considerando um número de pontos arbitrários (aleatório), pode-se supor que o

número de tais pontos no conjunto E com medida de Lebesgue finita, é uma variável de

Poisson com média igual a λm(E) = M(E), onde λ é uma constante. Se o número de tais

pontos é n, a distribuição condicional para que estes pontos estejam nos conjuntos E1,...,En,

contidos em E, dado o número n, será dada por:

( ) ( )( )

,...1n

n

EmEmEm (3.14)

Fornecendo um sufixo para cada um deles para que possam ser identificados.

3.5 DENSIDADE E MEDIDA PARA O CONJUNTO DE PONTOS

Seja x e y as coordenadas cartesianas ortogonais do ponto P. O conjunto de giro e

translação M no plano está representado pelas equações:

αααα

cos*sen*sen*cos*

yxbyyxax

++=−+=

(3.15)

Sendo que esta transformação é ortogonal pode-se considerar x* = J x onde ∂x/∂x* =

|J| = 1 aqui J também é conhecido como o Jacobiano da transformada.

Deseja-se definir a medida dos conjuntos X dos pontos P invariáveis sobre a

transformação de M e considerando que as medidas podem ser expressas por integrais

múltiplas da seguinte forma:

( ) ( )∫=X

dxdyyxfXm , (3.16)

Ou em outras palavras, tem-se que determinar a função f(x,y) com a condição que

m(X) seja invariável com relação às transformações M. Conseqüentemente deve ser verdade

que:

( ) ( ) ** **, ,*

dydxyxfdydxyxfXX∫∫ = (3.17)

63

Por outro lado, pelas regras de troca de variáveis em integrais múltiplas, tem-se que:

( ) ( ) ** , ,*


Como na Equação 3.15 tem-se que ( )( ) 1

**

****,

,==

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂ J

yy

xy

yx

xx

yxyx (determinante do

Jacobiano), então com as Equações 3.17 e 3.18 obtém-se:

( ) ( ) ** **,** ,**


Considerando que esta igualdade é valida para qualquer conjunto X* deverá ser

verdade que:

( ) ( )**,, yxfyxf = (3.20)

Como os pontos x, y podem ser transformados por uma translação a qualquer outro

ponto x*, y*, a Equação 3.20 significa que f(x,y) tomará o mesmo valor para todos os pontos

no plano. Isto é:

( ) constante, =yxf (3.21)

Fazendo esta constante igual a 1, tem-se que a medida de um conjunto X de pontos

P(x,y) será definida por:

( ) ∫=X

dxdyXm (3.22)

64

Até um fator constante, esta medida é única e invariável sob um conjunto de

transformações no plano. A forma integral dentro do símbolo de integração é chamada de

densidade para o conjunto de pontos e será representada por dP.

3.5.1 OBSERVAÇÕES DA DENSIDADE

A densidade dP foi definida como a forma diferencial dentro do símbolo de integração

na Equação 3.22. Em conseqüência pode-se expressa-la em função de outras variáveis, u e v,

definidas como:

( ) ( )vuy yvuxx , , , == (3.23)

Assim obtém-se:

( )( ) dvduJdvdu

vuyxdydxdP

,, =

∂∂

== (3.24)

Onde |J| é o determinante do jacobiano da transformada de x, y em u, v.

Então, no lugar da multiplicação ordinária das diferenciais dx = xu du + xv dv, dy = yu

du + yv dv, pode-se aplicar a Equação 3.24. Neste caso pode-se dizer que a multiplicação de

dx vezes dy é exterior. Para esclarecer melhor esta diferença, alguns autores utilizam os

parênteses [dx dy], e outros autores utilizam o seguinte símbolo dx ∧ dy. Neste trabalho são

utilizados os parênteses para indicar multiplicação exterior;. Assim escreve-se:

[ ]dydxdP = (3.25)

As regras para a multiplicação exterior de formas diferenciais, que são úteis para

muitas aplicações importantes quando comparadas com o cálculo da determinante do

jacobiano (Equação 3.24), são:

• O produto é igual a zero se qualquer par de fatores for igual

• O produto não muda se for realizada uma permutação par dos fatores, e muda para

negativo se uma permutação ímpar for feita.

65

Por exemplo, no caso da Equação 3.24 tem-se que:

dvyduydydvxduxdx vuvu +=+= , (3.26)

Realizando a multiplicação exterior tem-se que: [du du] = 0, [dv dv] = 0, [du dv] = -

[dv du], então obtém-se:

[ ] ( )[ ] [ ]dvduJdvduyxyxdydx uvuu =−= (3.27)

Esta observação sobre a densidade, para o conjunto de pontos, é apropriada para todas

as densidades que se apresentam neste trabalho que serão sempre formas diferenciais

exteriores. Ainda mais, como densidades negativas são excluídas, sempre toma-se as

densidades como valor absoluto.

3.5.2 EQUAÇÃO INTEGRAL

Como aplicação dos conceitos anteriores, considere a curva convexa plana K com

tangente em todos seus pontos, sendo O um ponto interior a K, como mostra a Figura 3.4 .

Para cada ponto P exterior a K, podem ser traçadas duas tangentes a K, PA1 e PA2.

Para cada uma destas tangentes correspondem os ângulos φ1 e φ2 formados pelas

perpendiculares OH1 e OH2 com a direção fixa Ox. Em consequência, os dois ângulos φ1 e φ2

determinam o ponto P. Busca-se expressar a densidade dP em termos das coordenadas φ1, φ2.

P (x, y)ω

O x

y

ϕ1

ϕ2 H1

H2

A1

A2

(ξ , η )1 1

(ξ , η )2 2

K

Figura 3.4 Plano convexo K e densidade dos pontos P externos a K

66

Seja (ξ1, η1) as coordenadas do ponto de tangência A1 e (x, y) as coordenadas de P,

então a equação da linha reta PA1 é dada por:

( ) ( ) 0sencos 1111 =−+− ϕηϕξ yx (3.28)

Similarmente para a segunda tangente PA2 a equação da linha reta é:

( ) ( ) 0sencos 2222 =−+− ϕηϕξ yx (3.29)

Pela diferenciação da Equação 3.28 obtém-se:

( ) ( )( ) 11111111111 cossensencossencos ϕϕηϕξηϕξϕϕϕ dyxdddydx −−−=−−+ (3.30)

Como PA1 é tangente a K e seu coeficiente angular tem o valor de –cotφ1, tem-se que

dη1/dξ1 = -cotφ1; isto é, cosφ1dξ1 + senφ1dη1=0. Além disso, se t1 representa o comprimento

da tangente PA1, observa-se a seguinte relação:

( ) ( ) 111111 cossen tPAyx −=−=−−− ϕηϕξ (3.31)

Em conseqüência a Equação 3.30 e a Equação 3.31 podem ser escritas como:

1111 sencos ϕϕϕ dtdydx −=+ (3.32)

2222 sencos ϕϕϕ dtdydx −=+ (3.33)

Por multiplicação exterior obtém-se das duas últimas equações a seguinte relação:

( )[ ] [ ]212112 sen ϕϕϕϕ ddttdydx =− (3.34)

Além disso, φ2 – φ1 = π – ω, onde ω é o ângulo A1PA2 formado pelas tangentes que

passam pelo ponto P. Então obtém-se:

67

[ ] [ 2121

sen ϕϕω

ddttdydxdP == ] (3.35)

Pode-se escrever a equação diferencial da seguinte forma:

[ 2121

sen ϕϕ ]ω dddPtt

= (3.36)

Integrando ambos lados desta relação para todos os possíveis valores diferentes das

variáveis, observa-se que P pode variar sob todos os pontos exteriores a K e φ1, φ2 podem

variar de 0 a 2π. Porém, se em cada posição permuta-se φ1 e φ2, obtém-se o mesmo ponto P;

em conseqüência, para contar cada ponto P uma única vez, deve-se dividir o resultado por 2.

Portanto obtém-se (Santaló, 1953):

2

21

2

sen πω=∫ ∉KP

dPtt

(3.37)

Esta equação integral devida a Crofton é muito notável por sua ampla generalidade, já

que seu membro direito não depende da curva convexa K. Para a Equação 3.37 muitas outras

equações integrais podem ser obtidas. Por exemplo, se K tem um raio de curvatura contínuo ρ,

pode-se definir:

222111 , dsddsd == ϕρϕρ (3.38)

Onde ds1, ds2 são os comprimentos de arco de K em A1 e A2.

Então a Equação 3.36 pode ser escrita como:

[ 212121

sen dsdsdPtt

=ρρ ]ω (3.39)

Realizando a integração em ambos lados sob todos os possíveis valores diferentes das

variáveis, obtém-se (Santaló, 1953):

68

221

21 21

sen LdP

ttKP

=∫∉

ρρω (3.40)

Onde L é o comprimento de K.

3.6 DENSIDADE E MEDIDA DE LINHAS RETAS

Uma linha reta G no plano pode ser determinada pelas suas coordenadas normais p e

φ, onde a equação de G será:

0sencos =−+ pyx ϕϕ (3.41)

Pela medida do conjunto X de linhas retas G, deve-se entender uma integral da

seguinte forma:

( ) ( )∫=X

ddppfXm ϕϕ , (3.42)

Esta integral deve ser invariável sob as transformações do grupo de translações M

(Equação 3.15). Pelas translações da Equação 3.15 a Equação 3.41 transforma-se em uma das

seguintes equações:

( ) ( ) 0sencos*sen*cossen*cos* =−+++−+ pyxbyxa ϕααϕαα (3.43)

( ) ( ) ( ) 0sencossen*cos* =−−−−+− ϕϕαϕαϕ bapyx (3.44)

Comparando esta equação com a Equação 3.31, vê-se que sob uma translação (a, b, α)

as coordenadas p, φ da linha reta G se transformam em:

αϕϕϕϕ −=−−= * ,sencos* bapp (3.45)

Se m(X) é invariável, deve-se obter:

( ) ( ) ϕϕϕϕ ddppfddppfXX

,* * **,*

∫∫ = (3.46)

69

Por outro lado:

( )( ) 1

10cossen1

,**,

=−

=∂

∂ ϕϕϕϕ ba

pp (3.47)

E da Equação 3.45 obtém-se:


**,* * **,*

∫∫ = (3.48)

Das Equações (3.46) e (3.48), obtém-se:


**, , ∫∫ = (3.49)

Se esta igualdade é valida para qualquer conjunto X, deverá ser verdade que f(p,φ) =

f(p*,φ*). Como qualquer linha reta G(p,φ) pode ser transformada em outra qualquer G(p*,φ*)

por uma translação, então da última equação resulta que f(p, φ) deve ter o mesmo valor para

qualquer linha reta do plano; isto é, f(p, φ) = constante. Tomando esta constante igual a 1,

tem-se que na medida m(X) do conjunto X de linhas retas G(p, φ) está definida pela seguinte

equação:

( ) ∫=X

ddpXm ϕ (3.50)

Até um fator constante, esta medida é a única invariável sob um conjunto de

transformações no plano. A forma diferencial dentro do símbolo de integração é chamada de

densidade para linhas retas e será representada por dG:

[ ]ϕddpdG = (3.51)

Os colchetes indicam que é uma multiplicação exterior e de acordo com as

observações no Item 3.5.1 dG será tomada sempre como valor absoluto.

70

3.7 LINHAS RETAS QUE INTERCEPTAM UMA CURVA

Seja C é uma curva fixa composta de um número finito de arcos com tangente em

todos os pontos. Assumindo que C tem um comprimento finito L, pode-se escrever sua

equação da seguinte maneira:

( ) ( )syysxx == , (3.52)

Onde o parâmetro s é o comprimento de arco. Considerando uma linha reta G que

intersecta C, no ponto x, y, que forma com a tangente neste ponto um ângulo θ, o

comprimento s correspondente ao ponto x, y e o ângulo θ determinam a linha reta G.

Expressando a densidade dG em termos das coordenadas s, θ em lugar de p, φ, tem-se que:

2πτθϕ −+= (3.53)

Onde τ é o ângulo entre a tangente a C e o eixo x. Como (x, y) é um ponto de G, tem-

se:

ϕϕ sencos yxp += (3.54)

Portanto:

( ) ϕϕϕϕϕ dyxdydxdp cossen sen cos +−++= (3.55)

Considerando o fato que dx = cos τ ds e dy = sen τ ds, obtém-se:

( ) ( ) ϕϕϕτϕ dyxdsdp cossen cos +−+−= (3.56)

Aplicando a multiplicação exterior [dp dφ] obtém-se:

[ ] ( )[ ]ϕτϕϕ ddsddp cos −= (3.57)

71

Com relação à Equação 3.53 dφ = dθ + τ' ds, porque τ é função única de s. Em

conseqüência tem-se:

[ ] [ ]ϕϕϕ ddsddpdG sen == (3.58)

Onde |sen ϕ | está em valor absoluto porque está sendo assumido que toda densidade é

positiva. Integrando ambos lados da Equação 3.58 sob todas as linhas retas G que interceptam

C obtêm-se para o lado direito a seguinte expressão:

LddsL

2sen00

=∫∫π

θθ (3.59)

Para o lado esquerdo, cada linha reta G é contada tantas vezes quantos pontos de

interseções tenham com C. Chamando a este número de n obtém-se:

LdGn 2 =∫ (3.60)

Onde a integral estende-se sob todas as linhas retas do plano e n será nula (0) para as

linhas G que não interceptam C.

3.8 PLANOS ALEATÓRIOS

A medida de planos mais apropriada está definida para um sistema de coordenadas

polares, como x senθ cos φ + y senθ senφ + z cosθ = p, e a medida do plano será:

dpdd sen φθθ (3.61)

Utilizando a representação de ux + vy + wz + 1 = 0, o correspondente elemento de

medida será:

( )2222

wvu

dwdvdu++

(3.62)

72

Destes resultados pode-se obter a medida do conjunto de planos que atendam qualquer

condição específica. Então considerando o conjunto de todos os planos que interceptam um

segmento linear de comprimento L. Tomando este segmento ao longo do eixo z e usando

coordenadas polares, então p será uniformemente distribuído entre 0 e Lcosθ, e a medida do

conjunto de planos será:

(3.63) LddpdL

sencos

0

2

0

2

0

πθθφθππ

=∫∫∫

Isto pode ser generalizado para uma curva de comprimento L. Seja N(θ, φ, p) o

número de interseções de um plano de coordenadas (θ, φ, p) com uma curva, então quebrando

a curva num conjunto de elementos aproximadamente lineares e somando-os, tem-se que:

( ) LdpddpN ,, πφθφθ =∫ ∫ ∫ (3.64)

Esta equação pode receber outra interpretação. Considere a projeção da curva no plano

perpendicular ao vetor direção n e suponha que este tem um comprimento L(n), e sendo L a

média de ( )nL sobre todas as direções, então:

( )∫ ∫= dwnLL 41π

(3.65)

Onde dw é o elemento de ângulo sólido. Então dividindo a curva em pequenas partes

que são aproximadamente lineares obtém-se:

LL 12 −= π (3.66)

Este resultado pode ser obtido do anterior, considerando a curva projetada no plano

perpendicular a n. Este resultado tem comprimento L(n) igual a π/2 vezes o número médio de

interseções da curva torcida com os planos aleatórios perpendiculares ao plano de projeção.

Integrando agora sobre todas as direções de n, tem-se que:

73

( ) ( ) ( ) LdwnLL 11 2 4 −− == ∫ ππ (3.67)

Integrando em todas as direções de n, cada plano no espaço foi contido duas vezes,

gerando então um fator de 2π. Este resultado é similar ao resultado obtido por Steinhaus

(Kendall & Moran, 1963).

3.9 PLANOS QUE INTERCEPTAM UMA CURVA

Considere agora a medida do conjunto de todos os planos que interceptam uma curva

convexa fechada C que se encontra num plano fixo. Como cada plano que intercepta esta

curva deve faze-lo em dois pontos, a partir da Equação 3.64 nota-se que a medida de todos

aqueles planos é ½ πL, onde L é o perímetro de C.

Antes de ampliar isto à medida de planos interceptando figuras convexas em geral, é

interessante descrever outro resultado devido a Barnier (1860), que generaliza de forma mais

simples. Em vez de obter a medida de todos os planos que interceptam o plano da figura

convexa, obtém-se a integral, sobre o conjunto de todos aqueles planos, do comprimento da

interseção. Tal plano é dado por:

pzyx =++ θφθφθ cossensencossen (3.68)

Com um plano fixo em z = 0, a linha de interseção é dada por:

θ

φφsen

sencos ,0 pxz =+= (3.69)

Seja C o comprimento da corda formada por esta linha, então seja S a área da figura

convexa tem-se que:

∫ = SdpCθsen

, (3.70)

Então a integral total sobre todos os planos de intersecção é:

74

S dSdpCdddddpC 22

0

22

0

22

0 21 sen 2

sen sen sen πθθπ

θθθφφθθ

πππ

=== ∫∫∫∫∫ ∫ ∫ (3.71)

Esta abordagem atribui a cada plano um peso igual ao comprimento de sua interseção

com a figura convexa plana. Para qualquer superfície regular razoável no espaço com área

finita, e sendo L(θ, φ, p) o comprimento da curva de interseção com qualquer plano, então a

integral de L sobre o conjunto de todos os planos de interseção será igual à área de superfície

multiplicada por ½ π2.

3.10 DISTRIBUIÇÃO DO TAMANHO DAS PARTÍCULAS

Considerando o problema de determinar a distribuição do tamanho das partículas

embutidas num meio obscuro a partir da medida das figuras formadas por suas interseções

com uma linha aleatória. Este problema tem aplicação em vários campos da ciência, e tem

sido estudado por vários autores como Kendall & Moran (1963) e outros.

Primeiro assumindo que as partículas são todas esféricas e distribuídas de tal forma

que o número médio de centros por unidade de volume é λ, pode-se tratar os centros como

sendo distribuídos num campo de Poisson, embora as esferas não se sobreponham como os

planos de interseção e são, por conseguinte, escolhidas aleatoriamente. Tendo a distribuição

de probabilidade de diâmetros, uma densidade F(r), tal que (r sendo usada como diâmetro):

(3.72) ( )∫a

drrF0

A Equação 3.72 é a probabilidade que uma esfera escolhida ao acaso, tenha diâmetro

menor que a. O número esperado de esferas com diâmetros na faixa de (r, r + dr) e que

interceptam um plano arbitrário por área unitária, será λrF(r)dr, e portanto a densidade de

probabilidade da distribuição de diâmetros das esferas que interceptam o plano será:

( ) ( )

( )

( )0

0

rrrF

drrrF

rrFrf ==

∫∞ (3.73)

75

Onde r0 é o diâmetro médio de uma esfera escolhida aleatoriamente. Se uma esfera de

diâmetro r intersecta o plano, a probabilidade que seu centro esteja a uma distância y do

plano, é 2r-1dy (0 ≤ y ≤ ½ r), e o diâmetro x do círculo de interseção é (r2 – 4y2). Por

conseguinte o número esperado de esferas com diâmetros na faixa de (r, r + dr) que

interceptam o plano num círculo de diâmetro x, com centro na área unitária, será:

( ) ( ) drdxxrxFr 21

2210

−− −×λ (3.74)

A distribuição de probabilidade, φ(r)dr, dos diâmetros dos círculos de interseção,

quando é conhecida que a esfera intersecta o plano, será:

( ) ( )( )∫

∞

−=

x

dxdrxr

rFrxdxx

220

φ (3.75)

Como φ(x) pode ser encontrado por observação, pode-se determinar F(r) pela seguinte

integral:

( ) ( )( )∫

∞

−=

x

drxr

rFrxx

220

φ (3.76)

Escrevendo F(r) = r F1(r2) obtém-se:

( ) ( )( )∫

∞

−=

22

1

0

2 x xz

dzzFrxxφ (3.77)

Esta é uma integral do tipo de Abel, com a seguinte solução:

( ) ( ) ( )( )∫∞

−−−−=

x

dxxxxdxdrzxzF 2 1

02

121

φπ (3.78)

Logo obtém-se a seguinte equação:

76

( ) ( ) ( )( )∫∞

−−−−=

2

21

2 1220

x

dxxxdxdrxrrrF φ

π (3.79)

Com dados observados de diâmetros de círculos, pode-se estimar a distribuição φ(x) e

em conseqüência calcular F(x) da Equação 3.79. Integrando por partes e aplicando métodos

numéricos é provavelmente a melhor opção para o cálculo da Equação 3.79.

F(r) e φ(x) são ambas distribuições de densidade de probabilidade. É interessante

expressar os momentos de uma distribuição em termos dos momentos da outra distribuição.

Sejam Mn e mn estes momentos, então resultam em:

(3.80) ( ) ( )dxxxmdrrFrM nn

nn ∫∫

∞∞

==00

, φ

Usando a Equação 3.75 obtém-se:

( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞ ∞

+−∞

−==0

22110

0

21

x

-nnn dx drrFxrxrdxxxm φ (3.81)

Invertendo a ordem de integração obtém-se:

( ) ( )∫∫−+

∞+− −=

1

0

21

0

110

21

1 dwwwdrrFrrm nnn (3.82)

A segunda integral será da seguinte forma:

par é se ,2....4.2

1....5.3.1

impar é se ,....5.3

1....6.4.2 sen21

0

n

n

J

nn

n

nnnd

=

⋅−

=

−=∫

π

θθπ

(3.83)

Então:

77

(3.84) 11

1111

0 +−

+++− == nnnnn MMJMJrm

Como r0 = M1. isto fornece outro método para determinar a distribuição de densidade,

desde que seja possível estimar m1, m2,... de dados observados e assim calcular M2M1-1, M3M1

-

1,... então restará unicamente o problema de achar M1 = r0. Uma forma de fazer isto é usando

o fato que r0, a média do diâmetro das esferas, é igual a ½ π vezes a média harmônica dos

diâmetros observados. Para demonstrar isto tem-se r0 (média harmônica dos diâmetros

observados) como:

( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞ ∞

−∞

− −==0

22

0

10 2

1

x

drdxrFxrdxxxr φ (3.85)

( ) ( ) ( ) ππ 21

021

0 0

22 21

==−= ∫∫ ∫∞∞

− drrFdxxrrFdrr

(3.86)

É interessante notar que é possível que coincida φ(x) = F(x) de uma distribuição

verdadeira e de diâmetros observados. Isto ocorre quando:

( ) 2

2

2 2exp

σσxxxF −= (3.87)

21

0 21

= πσr (3.88)

Aplicando o teorema de Minkowski obtém-se:

( )

( )( )

2

2

2

2

222

221

2exp

2exp2

1

21

σσ

σσπσφ

xx

drrxrxxxx

−=

−−= ∫∞

−

(3.89)

A Equação 3.76 também aparece na teoria do problema globular de grupos em

Astronomia. Um grupo globular é uma coleção de estrelas, distribuídas ao redor de um centro

comum, de camadas de esferas de igual densidade. A relação de densidade das camadas como

78

função da distância radial e a densidade de um anel circular na projeção sobre um plano, será

novamente dada pela equação integral da forma da Equação 3.76.

Wicksell em 1926, citado em Langevin (1997), tem considerado o caso de partículas

elípticas. Supondo que estas sejam todas do mesmo tamanho, forma e que uma delas esteja

cortada por algum plano, a interseção é uma elipse e como diâmetro desta elipse considerou

( )21ξξ=x , onde ξ1 e ξ2 são os eixos maior e menor da elipse. Se os eixos, maior e menor,

da seção elíptica através do centro do corpo são σ1 e σ2 define-se similarmente ( )21σσρ =

como o diâmetro desta seção. Então se y é duas vezes a distância do plano da seção ao centro

do corpo, e h é a distância entre os dois planos tangentes paralelos a seção, obtém-se:

( )

ρρ 22 x

hy −

= (3.90)

Então pode-se escrever:

( ) ( )( )∫

∞

−=

022 x

dfxxρρ

ρρϕ (3.91)

Onde φ(x) é a distribuição de probabilidade dos diâmetros das seções observadas e f(ρ)

é a distribuição de probabilidade dos diâmetros ρ das seções centrais de aquelas partículas

que interceptam o plano, sendo os valores de ρ medidos no plano paralelo à seção que passa

através do centro da partícula. O principal problema é relacionar f(ρ) com distribuição de

tamanho e forma das partículas. Considerando que ρ somente será o diâmetro de uma elipse,

formada por um plano aleatório que corta uma partícula, quando a partícula seja uma esfera,

assim tem-se como resultado análises bastante complicadas.

3.11 FIGURAS NUM ESPAÇO DE TRÊS DIMENSÕES

Figuras planas e segmentos de linha finitos distribuídos aleatoriamente no espaço, e

também as projeções de segmentos lineares num plano fixo são considerados. Supondo

primeiramente que discos circulares de diâmetro r estão distribuídos de forma aleatória no

espaço e que estão cortados por um plano aleatório em interseções de comprimento x. Seja

79

F(r) a densidade de probabilidade da distribuição de diâmetros, e similarmente φ(x) a

densidade de probabilidade da distribuição dos comprimentos de x. A probabilidade que um

dado disco seja cortado pelo plano é claramente proporcional a r, e portanto se f(r) é a

densidade de probabilidade da distribuição de diâmetros dos discos que interceptam o plano,

tem-se que:

( ) ( )

( )

( )0

0

rrrF

drrrF

rrFxf ==

∫∞ (3.92)

Onde r0 é o diâmetro médio dos discos escolhidos aleatoriamente. Se o plano corta o

disco de diâmetro r a uma distância y do seu centro, a distribuição de y é 2r-1dy (0 ≤ y ≤ ½ r),

e a distribuição do comprimento da interseção x, será então:

( )( )22

xrr

dxxxf−

= (3.93)

Então se obtém:

( ) ( )( )∫

∞−

−=

x xrrxFrx

22

10φ (3.94)

Esta é a mesma Equação 3.75 e pode ser tratada pelos mesmos métodos.

Agora considere as projeções de segmentos e figuras planas. Supondo que segmentos

lineares de comprimento l estão distribuídos no espaço com direções aleatórias e são tais que

cada comprimento l tem uma distribuição de probabilidade com densidade F(l). Seja x o

comprimento da projeção do segmento num plano aleatório, θ o ângulo entre o segmento e a

normal ao plano, assim obtém-se uma distribuição ½ senθ dθ (0 ≤ θ ≤ π). Conhecendo l, a

distribuição de probabilidade da projeção x = l senθ será então:

( ) ( lxdxxlxl ≤≤−−− 0 ,2

1221 ) (3.95)

80

A densidade de probabilidade da distribuição das projeções de x, φ(x), será dada pela

seguinte relação:

( ) ( )( )∫

∞−

−=

x xll

dllFxx21

22

1φ (3.96)

Esta equação tem a mesma forma que a Equação 3.91, que é a equação usada por

Krumbein na sua aproximação. A Equação 3.96 pode ser reduzida a uma equação integral do

tipo de Abel e sua solução será:

( ) ( )( )∫

∞

−

−=

21

22

22

xl

dxxx

dxdllF φ

π (3.97)

Para figuras planas de áreas a distribuídas com orientação aleatória no espaço, e que a

área a tenha uma densidade de probabilidade F(a), considerando as áreas α, como projeções

sobre um plano fixo e supondo que as áreas α têm uma distribuição com densidade de

probabilidade φ(α), obtém-se que α = a |cosθ|, e |cosθ| é uniformemente distribuído na faixa

de 0 ≤ |cosθ| ≤ 1, de tal forma que:

( ) ( )∫∞

=α

αφ daaaF (3.98)

A solução da Equação 3.98 é:

( ) ( )αφα ′= aF (3.99)

Aqui se trabalha com discos circulares de diâmetro r (que podem representar uma

descontinuidade plana), que são cortados aleatoriamente por outros planos (que podem

representar taludes ou superfícies de afloramento rochoso), gerando então interseções de

comprimento x (ou traços observados nos afloramentos rochosos). Como mostrado até aqui

está teoria será aplicada nos capítulos seguintes, para, a partir de traços ou interseções

81

observadas em campo determinar a distribuição das descontinuidades ou superfícies planas,

consideradas aqui discos planos.

82

Capítulo 4

4 TALUDE DA MINA DE TIMBOPEBA

Como caso estudo desta pesquisa serão utilizados os taludes em rocha da mina de

Timbopeba. A mina de ferro de Timbopeba é propriedade da Companhia Vale do Rio Doce

(CVRD) e se situa no Distrito de Antônio Pereira, Município de Ouro Preto, Minas Gerais

(MG). O acesso à mina é por rodovia asfaltada a partir da cidade de Mariana (MG), com 40

km de extensão. O minério de ferro extraído é transportado pela estrada de ferro Vitória-

Minas, com uma extensão de 651 km até o Porto de Tubarão em Vitória, Espírito Santo.

A lavra a céu aberto segue a direção NW-SE com geometria de cone invertido,

chegando o desnível de lavra aproximadamente, entre 400 a 500 m da cota de superfície

natural mais alta. No extremo NW o talude segue aproximadamente a atitude da foliação

(037/55), e no extremo SE a atitude do talude varia de (035/45) a (065/45).

A estabilidade dos taludes da mina de Timbopeba vem sendo estudada desde 1987 e o

talude está formado basicamente por dois tipos de maciços: itabirito e quartzito. O presente

capítulo apresenta alguns aspectos gerais do maciço da mina de Timbopeba, assim como as

características gerais da distribuição das descontinuidades do maciço como um todo. Um

estado detalhado destas descontinuidades é descrito no trabalho de Durand (1995). Como

primeiro passo o maciço será divido em dois taludes sul e sudeste, sendo cada uma destas

regiões estatisticamente homogêneas.

4.1 GEOMETRIA LOCAL E GEOMETRIA DOS TALUDES DA MINA DE

TIMBOPEBA

O local da escavação é formado por camadas de quartzito (inferior) do grupo Maquiné

e camadas ferríferas (superior) do Grupo Itabira (Formação Cauê) cobertas por canga (Tabela

4.1), conformando um relevo topográfico acidentado com desníveis bruscos de até 300 m. A

drenagem é feita principalmente pelo córrego da Serragem (DNPM, 1986).

83

Tabela 4.1 Coluna estratigráfica do Pré-Cambriano no Quadrilatero Ferrífero (modificado –

Durand, 1995)

Grupo Itacolomi

Grupo Piracicaba Formação Sabará

Formação Barreiro

Formação Tabões

Formação Fecho de Funil

Formação Cercadinho

Grupo Itabira Formação Garandela

Formação Cauê

Grupo Caraça Formação Batatal

Formação Moeda

P R O T E O Z Ó I C O

SUPER GRUPO

MINAS

Grupo Tamanduá Formação Cambotas

Grupo Maquiné Formação Casa Forte

Formação Palmital

SUPER GRUPO RIO

DAS VELHAS Grupo Nova Lima Unidade Metasedimentar Clástica

Unidade Metasedimentar Química

Unidade Metavulcânica

A R Q U E A N O

Embasamento Cristalino

A geologia local dos taludes formados pela escavação da jazida, é constituída

basicamente por quartzitos e xistos do grupo Maquiné do Super Grupo Rio das Velhas,

composto por quartzo, sericita, cianita e outros minerais (Figueiredo Ferraz, 1990). A sericita

se encontra orientada segundo a xistozidade e a cianita aparece raramente com seus cristais

orientados segundo a xistozidade, além de estar constituídos por xistos e filitos do Grupo

Nova Lima completamente intemperizados.

O talude SE-NW está dividido em duas partes para uma melhor descrição: talude sul

(extremo NW) e talude sudeste (extremo SE). O taludes sul e sudeste foram divididos em

setores (Figura 4.1) em função dos aspectos geomecânicos visuais constatados em campo e

das revisões de estudos geológico-geotécnicos anteriores (Durand, 1995).

84

Figura 4.1 Planta do talude (SE-NW) contendo os taludes sul e sudeste (modificado - Durand,

1995).

85

Segundo Durand (1995), na epoca do desenvolvimento do seu mestrado, o talude

apresentava a seguinte conformação. O talude sul era constituído por quatro bancadas com

orientação global aproximada de 030o/52o e altura total aproximada de 245 m, distribuídas

conforme mostra a Tabela 4.2, com bermas que variavam de 3 a 20 m de altura. A estrutura

destas bancadas era dominada principalmente pela foliação com mergulho em direção ao

corte. O talude sudeste era constituído por nove bancadas, com altura de bancada aproximada

de 17 m e berma de 5 m somando um total de 142 m . A geometria e descrição dos taludes sul

e sudeste estão na Tabela 4.2 e Tabela 4.3, respectivamente. Hoje estes taludes já se

aproximam dos 500 m de altura.

Tabela 4.2 Geometria e distribuição dos maciços setorizados do talude sul

GEOMETRIA E DESCRIÇÃO DOS MACIÇOS TALUDE BANCADA COTA BASE MACIÇO

No H (m) Média

ATITUDE (o) LITOLOGIA

01 1280 31 30

27,4 29,0

039/53 070/46

Quartzo/filito Quartzo/filito

02 1264 31a 30a

10,4 3,6

030/43 054/30


03 1242

31b 30b 12 12a

26,1 26,1 24

15,2

044/49 044/49 025/41 031/44


Quartzito Quartzito

S

U

L

04 1070 30b 06 05

Variável Variável

200,0

039/48 039/48 039/48

Quartzo/filito Quartzito Quartzito

No mapeamento superficial dos taludes sul e sudeste os maciços foram setorizados por

inspeção visual, segundo padrões geológicos e estruturais predominantes e similares (Figura

4.2 e Figura 4.3), resultando no talude sul 10 setores e no talude sudeste 36 setores conforme

as Tabela 4.2 e 4.3. Cada um destes setores foi mapeado objetivamente descrevendo as

descontinuidades presentes numa área representativa do maciço ou no mínimo de 5m x 5m,

para condições de difícil acesso. A descrição das descontinuidades foi feita segundo os

parâmetros sugeridos pela ISRM (orientação, espaçamento, persistência, rugosidade,

resistência das paredes, abertura preenchimento, percolação, número de famílias e tamanho

dos blocos), conforme ABGE/CBMR (1983).

86

Tabela 4.3 Geometria e distribuição dos maciços setorizados do talude sudeste.

GEOMETRIA E DESCRIÇÃO DOS MACIÇOS TALUDE BANCADA COTA BASE MACIÇO

No H (m) Média

ATITUDE (o) LITOLOGIA

01 1259 08 07

13,7 13,7

053/56 053/56

Quartzito Filito

02 1243 08a 07a

16,7 17,4

043/50 053/51

Quartzito Filito

03 1224 08b 09

07b

20,0 16,4 16,4

042/53 056/50 056/50

Quartzito Quartzito

Filito 04 1207 10

08c 07c 11

~15 17,0 14,9 14,9

~036/50 043/48 060/43 060/43

~Quartzito Quartzito

Filito Quartzito

05 1191 19 08d 15

07d 14 13

15,5 15,5 17,8 14,9 15,0 15,0

036/50 036/45 044/50 050/49 060/47 060/47

Quartzito Quartzito Quartzito

Filito Quartzito Quartzito

06 1174 20 21 22 07e 23 42

13,0 16,9 16,8 17,3 17,2 17,2

060/47 042/48 035/45 052/51 059/50 059/50

Quartzito Quartzito Quartzito

Filito Quartzito Quartzito

07 1154 24a 24 26 25

10,0 20,4 19,6 18,0

051/50 051/50 035/59 053/56

Solo Quartzito Quartzito Quartzito

08 1135 27 28 29 40 41

12,0 17,5 16,0 17,0 14,8

055/49 045/48 050/47 032/45 053/49

Quartzito Quartzito Quartzito Quartzito Quartzito

S

U

D

E

S

T

E

09 1120 43 44 45 46

6,8 15,7 15,7 14,8

070/54 050/47 032/45 053/49

Quartzo/xisto Quartzo/xisto

Quartzito Quartzito

87

Figura 4.2 Plano do talude sul setorizado mostrando as galerias de exploração e as duas

descontinuidades notáveis de cisalhamento no maciço 06 (modificado - Durand, 1995)

88

Figura 4.3 Plano do talude sudeste setorizado mostrando as 9 bermas (modificado - Durand,

1995)

89

4.2 CARACTERÍSTICAS DAS DESCONTINUIDADES DOS TALUDES SUL E

SUDESTE

Foram descritos quantitativamente os parâmetros de orientação, espaçamento,

persistência, abertura, preenchimento e percolação para cada um dos maciços, sul e sudeste.

Os resultados da avaliação de cada um destes parâmetros dos maciços setorizados estão

apresentados nas Tabela 4.4 e 4.5 respectivamente.

A obtenção da orientação das descontinuidades foi obtida da média de pelo menos 5

leituras para cada família de descontinuidades e nas Tabela 4.4 e 4.5 são apresentados os

valores médios das mesmas.

4.3 DESCRIÇÃO E CARACTERÍSTICAS GEOMECÂNICAS DOS TALUDES

O maciço do talude Sul é constituído principalmente por quartzito, com blocos de

tamanho médio, com a presença de uma família de descontinuidades de foliação persistente e

fechada, mais descontinuidades ocasionais. A foliação contida no maciço apresenta dobras

acilíndricas e paredes com ondulação irregular com preenchimento localizado não sistemático

das descontinuidades. O quartzito intacto é uma rocha muito dura (σc = 182 MPa). Resultados

de classificação geomecânica deram valores de RMR entre 55 e 75. É de fato confirmado que

o comportamento mecânico do maciço de quartzito está dominado por uma única família de

descontinuidades que é a foliação (Durand, 1995).

Os modos de ruptura de taludes em rocha são bem mais complexos do que aqueles

observados em taludes em solos. Isto porque boa parte das rupturas em rochas é condicionada

por certas descontinuidades, em função do posicionamento das descontinuidades em relação à

face do talude, os modos de ruptura de taludes em rochas mais importantes são: Ruptura

planar ou escorregamento plano (bloco simples), quando a descontinuidade é paralela e com

mergulho inferior à face do talude. Ruptura de cunha quando a superfície de ruptura é bi-

planar, sendo a inclinação das superfícies de deslizamento definida pela geometria da cunha e

Ruptura por Tombamento de blocos, que ocorre quando as direções da face do talude e da

descontinuidade são paralelas e o mergulho da descontinuidade é contrário ao mergulho da

face do talude e o vetor peso cai fora da base do bloco ou da coluna considerada.

No talude sul não existe condições básicas para ocorrer um escorregamento plano

devido à ausência de descontinuidades que se prolonguem até a crista do talude ou

inexistência de blocos não confinados. No caso de escorregamento por cunha é improvável

90

devido à inexistência de duas famílias de descontinuidades que se cortem obliquamente na

face do talude. Estes modos de ruptura não foram identificados de forma global no talude,

porém ocorrem de forma localizada em áreas fraturadas devido ao efeito de lavra e às

detonações.

O talude sudeste é constituído por um conjunto variado de qualidades de maciço

variando desde muito ruim a bons segundo o estudo de classificação geomecânica realizada

por Durand (1995). Este talude apresenta também o padrão de foliação do talude sul e nos

setores 14, 25, 41 e 46 apresentam rupturas localizadas do tipo circular, eminente para regiões

compostas de solo. As paredes das descontinuidades de foliação apresentam alteração e têm a

presença de descontinuidades localizadas importantes. Analises de estabilidade de taludes

com parâmetros preliminares do maciço forneceram fatores de segurança menores que 1,1.

Segundo Durand (1995) este fato sugere campanhas de amostragem em campo para obter

parâmetros reais deste maciço.

Os dados apresentados neste capítulo são importantes na geração do modelo. Mais

especificamente a partir dos dados de orientação são identificadas as famílias de

descontinuidades e a distribuição de probabilidade de orientação de cada família. Dos dados

de comprimento de traço é modelado o tamanho da descontinuidade e do espaçamento a

densidade e locação das descontinuidades. Todo este procedimento é realizado com a

aplicação de vários processos estatísticos que estão espalhados na literatura e que nesta tese

foram juntados de forma lógica. O detalhamento destes processos está no seguinte capítulo.

91

Tabela 4.4 Descrição individual das descontinuidades presentes no maciço do talude sul (modificado - Durand, 1995).

PREENCHIMENTO TA- LU- DE

MA-CI- ÇO No

ORIENTAÇÃO DAS

DESCONT.

ESPAÇA- MENTO

(m)

PERSIS- TÊNCIA

(m)

ABER- TU- RA

(mm)

ESPES- SURA (mm)

TIPO DE MATERIAL

PER- CO- LA- ÇÃO

OBSERVAÇÕES

S U L

30 30a 30b 31 31a 31b 12 12a 5 6

S1: 037/64 S1: 044/60 S1: 038/62 --- --- S1: 027/62 S1: 040/50 S1: 13/45 S1: 025/47 J1: 280/53 S1: 028/44 J1: 017/35 J2: 045/42 J3: 160/70 S1: 040/50 J1: 006/80 J2: 285/72 J3: 375/80 J4: 344/80

0,01 0,01 0,20 --- --- --- 0,04 0,04 8,00 0,15 0,20 0,20 2,00 0,15 4,00 4,00 único único

x x x x x x x x 5(r) 5(r) 5(r) x 3 1(r) 85(r) 90(r)

--- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- 25 25

--- --- --- --- --- --- --- --- --- --- <1,0 --- --- --- <1,0 --- ---

--- --- --- --- --- --- --- --- --- --- Sericita (S1) --- --- --- Sericita (S1) --- --- --- ---

--- --- --- --- --- --- W1 W1 W1 W3 W1 W1 W1 W3 W1 W1 W1 W1

Foliação alterada Foliação fechada Foliação fechada Foliação fechada Foliação fechada Foliação fechada Foliação ondulada Juntas fechadas Juntas fechadas Juntas fechadas Foliação ondulada Juntas fechadas Juntas fechadas Cisalhamento Cisalhamento

PERSISTÊNCIA ou tipo de terminação: r: em rocha intacta, d: em outra descontinuidade, x: não visível. PERCOLAÇÃO no material de preenchimento: W1: seco, W2: úmido, W3: úmido e gotejando, W4: fluxo contínuo de água, W5: fluxo considerável com pressão.

92

Tabela 4.5 Descrição individual das descontinuidades presentes no maciço do talude sudeste (modificado - Durand, 1995).


MA-CI- ÇO No

ORIENTAÇÃO DAS

DESCONT.

ESPAÇA-MENTO

(m)

PERSIS- TÊNCIA

(m)

ABER- TU- RA

(mm)

ESPES- SURA (mm)

TIPO DE MATERIAL

PER- CO- LA- ÇÃO

OBSERVAÇÕES

S U D E S T E

7 7a 7b 7c 7d 7e 8 8a 8b 8c

--- --- --- --- --- --- S1: 070/27 J1: 020/50 J3: 295/45 S1: 050/55 J1: 300/30 J2: 160/65 S1: 058/40 J1: 176/70 J2: 285/55 S1: 040/45 J1: 185/70 J2: 000/60

--- --- --- --- --- --- 0,15 0,15 única 0,03 4,00 0,45 0,03 0,35 7,00 0,06 1,50 8,00

x x x x 7(r) 4 x x x x x x

--- --- --- --- --- --- --- --- 10 --- --- --- --- --- --- --- --- ---

--- --- --- --- --- --- < 1 --- --- < 1 60 --- < 5 < 5 120 < 5 < 5 500

--- --- --- --- --- --- Sericita (S2) --- --- Sericita (S2) Sericita (S2) --- Sericita (S2) Sericita (S2) Argila/silte Sericita (S2) Sericita (S2) Argila/silte

--- --- --- --- --- --- W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1

Foliação ondulada Junta fechada Foliação ondulada Foliação ondulada Foliação ondulada


93

Tabela 4.5 Descrição individual das descontinuidades presentes no maciço do talude sudeste (modificado - Durand, 1995) (continuação).


MA-CI- ÇO No

ORIENTAÇÃO DAS

DESCONT.

ESPAÇA-MENTO

(m)

PERSIS- TÊNCIA

(m)

ABER- TU- RA

(mm)

ESPES- SURA (mm)

TIPO DE MATERIAL

PER- CO- LA- ÇÃO

OBSERVAÇÕES

S U D E S T E

8d 9 10 11 13 14 15

S1: 040/40 J1: 310/55 --- J1: 345/70 J2: 200/70 S1: 052/45 S1: 035/55 J1: 160/65 S1: 025/35 J1: 048/56 J2: 150/60 S1: 055/48

0,08 8,00 --- 0,50 1,50 0,04 0,01 0,04 0,14 0,04 0,14 0,04

x x 1,5 1 x x x x x 2(r) x

--- --- --- --- --- --- --- < 10 --- 20 ---

< 1 80 --- --- < 5 < 1 < 60 --- --- --- < 5

Sericita (S2) Sericita --- --- Sericita Sericita Argila/silte --- --- --- Sericita

W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 --- --- --- W1

Foliação ondulada


94



MA-CI- ÇO No

ORIENTAÇÃO DAS

DESCONT.

ESPAÇA-MENTO

(m)

PERSIS- TÊNCIA

(m)

ABER- TU- RA

(mm)

ESPES- SURA (mm)

TIPO DE MATERIAL

PER- CO- LA- ÇÃO

OBSERVAÇÕES

S U D E S T E

19 20 21 22 23 24 24a

S1: 040/55 J1: 285/55 J1: 165/55 --- S1: 038/60 J1: 160/55 J2: 295/53 J3: 145/28 J4: 134/56 S1: 035/60 J1: 320/83 J2: 145/45 J3: 300/55 J4: 148/53 S1: --- J1: 310/65 ---

única 4,00 1,50 --- 1,50 8,00 2,50 único único 0,14 2,50 2,50 7,00 único --- único ---

x x x x x 30 x x x 5 10 x x x ---

250 40 5,0 --- 120,0 20,0

--- --- --- --- < 5 --- 40 --- 2600 < 1 --- --- < 5 900 --- 800 ---

--- Silte arenoso --- --- Sericita (S2) --- Quartzo --- Mica/silte Sericita (S2) --- --- Sericita (S2) Mica/silte --- Quartzo ---

W1 W1 --- --- W1 --- W1 --- W1 W1 --- --- W1 W1 W1 W1 ---

Bloco instável Foliação plana Selada Foliação concava Junta fechada Junta fechada Foliação ondulada Selada Solo


95



MA-CI- ÇO No

ORIENTAÇÃO DAS

DESCONT.

ESPAÇA-MENTO

(m)

PERSIS- TÊNCIA

(m)

ABER- TU- RA

(mm)

ESPES- SURA (mm)

TIPO DE MATERIAL

PER- CO- LA- ÇÃO

OBSERVAÇÕES

S U D E S T E

25 26 27 28 29 40

S1: 045/55 J1: 305/55 J2: 185/65 S1: 025/55 S1: 070/35 J1: 195/75 J2: 295/50 J3: 100/40 S1: 055/5 J1: 100/85 --- S1: 045/45 J1: 285/65 J2: 330/38 J3: 300/54 J4: 305/50 J5: 290/45 J6: 303/53

0,30 12,00 37,00 0,20 1,00 1,50 único único 0,04 único --- 0,04 único único único único único único

x x x x 5 8 x x x 8 x 20(d) 15(d) r 15 x r

--- --- --- --- --- 100 --- --- --- --- --- --- --- ---

< 1 --- 1500 < 5 < 1 < 1 10 150 < 5 --- --- --- 30 80 --- --- --- 50

Sericita (S2) --- Argila (S2) Sericita Sericita (S2) Sericita (S2) Argila Argila Sericita (S2) --- --- --- Argila Argila --- --- --- Quartzo

W1 --- W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 W1 W2 W2 W1 W1 W1 W1

Foliação ondulada Junta fechada Foliação ondulada Foliação Junta fechada Junta fechada Junta fechada Junta selada


96



MA-CI- ÇO No

ORIENTAÇÃO DAS

DESCONT.

ESPAÇA-MENTO

(m)

PERSIS- TÊNCIA

(m)

ABER- TU- RA

(mm)

ESPES- SURA (mm)

TIPO DE MATERIAL

PER- CO- LA- ÇÃO

OBSERVAÇÕES

S U D E S T E

41 42 43 44 45 46

S1: 030/43 S1: 043/58 J1: 185/27 J2: 155/50 J3: 290/48 J4: 160/65 J5: 286/60 S1: 033/58 J1: 123/58 --- S1: 054/52 S1: --- J1: 295/54 J2: 300/54 S1: 045/60 J1: 028/48

0,14 0,14 único único único único 0,40 0,40 único --- 0,14 0,14 único único 0,14 0,14

x x 20(d) x x 15(d) 10 3(d) x x x x x x x

--- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---

< 1 < 1 30 --- --- --- 20 --- 2000 --- < 1 < 1 10 --- < 1 < 1

Argila Argila Quartzo --- --- --- Quartzo --- Mica/silte --- Sericita Sericita Quartzo --- Sericita Sericita

W2 W2 W1 W1 W1 W1 W1 --- W1 --- W1 W1 W1 W1 W1 W1

Junta selada Junta fechada Junta fechada Junta fechada Junta selada Foliação fechada Foliação ondulada Junta fechada


97

Capítulo 5

5 MODELAGEM DO COMPRIMENTO

DO TRAÇO MÉDIO

Segundo Kulatilake & Wu (1984), o tamanho do traço das descontinuidades

observadas em afloramentos rochosos delimitados, está sujeita a erros de tendência, os quais

deverão ser corrigidos para a estimativa do comprimento do traço médio. Kulatilake & Wu

(1984) apresentam uma técnica que corrige os erros de tendência com o objetivo de estimar o

comprimento do traço médio em superfícies de amostragem verticais e retangulares

claramente delimitadas. Esta técnica é ampliada nesta tese para superfícies de amostragem

com qualquer orientação ou mergulho e direção de mergulho próprios.

O método de Kulatilake & Wu (1984) é aplicado a descontinuidades cuja orientação é

descrita por uma função de distribuição de probabilidade onde é conhecida a quantidade de

descontinuidades, com as duas extremidades visíveis, com uma extremidade visível e com as

duas extremidades censuradas. Este mesmo método assume que os centros das

descontinuidades estão distribuídos uniformemente dentro da superfície vertical amostrada.

Este método é agora generalizado para superfícies de amostragem com qualquer inclinação. É

assumida também uma independência estatística entre os parâmetros de comprimento do traço

e orientação das descontinuidades.

Considerando que as descontinuidades podem ser caracterizadas pela localização,

orientação, espaçamento e persistência, de modo geral, estes parâmetros são medidos em

afloramentos rochosos ou seja exposições bidimensionais. Já o traço das descontinuidades

está relacionado com a persistência das descontinuidades, a qual depende da forma, tamanho

e orientação da descontinuidade, do ângulo entre o plano da descontinuidade e o plano de

amostragem ou afloramento rochoso e das dimensões do afloramento. Robertson (1970)

encontrou que os comprimentos das descontinuidades na direção de máximo mergulho e na

direção do strike são aproximadamente iguais, para o caso de maciços homogêneos e

isotrópicos, assim discos circulares planos têm sido propostos para modelar as

descontinuidades.

98

A amostragem do tamanho do traço apresenta os seguintes erros devido as seguintes

causas: (1) Erro por tamanho, onde grandes descontinuidades têm maior probabilidade de

serem amostradas do que descontinuidades pequenas; (2) Erro por truncamento onde os

comprimentos menores a um certo valor limite previamente definido não serão registrados;

(3) Erro por censura onde descontinuidades cujos extremidades não são visíveis e fornecem

estimativas limitadas do seu comprimento verdadeiro.

O segundo erro de truncamento pode ser eliminado considerando um comprimento de

truncamento pequeno com relação ao comprimento médio das descontinuidades e ao interesse

da análise em questão, tal como fluxo nas descontinuidades, estabilidade de blocos etc. Os

outros erros são considerados a seguir.

5.1 MODELO MATEMÁTICO PARA O COMPRIMENTO DE TRAÇO MÉDIO

Considerando uma descontinuidade com orientação descrita pela função de

probabilidade ( )αθ ,f com ul θθθ ≤≤ e ul ααα ≤≤ , onde θ e α são o ângulo de mergulho e

o ângulo de direção de mergulho, respectivamente e os sub-índices l e u referem-se aos

limites inferior e superior, respectivamente. Também é assumida a independência estatística

entre o comprimento do traço e a orientação da descontinuidade. Considerando o problema da

descontinuidade com comprimento de traço x e ângulo de mergulho aparente θA,

interceptando uma janela de amostragem de comprimento w e altura h (Figura 5.1a). Pode-se

definir três tipos de interseção ou traço dependendo da posição da descontinuidade: (1)

quando ambas extremidades estão censuradas, (2) quando uma extremidade censurada, e (3)

quando ambas extremidades são visíveis na janela de amostragem. Os pontos A, B, C, D, E e

F são os pontos médios dos traços das descontinuidades representadas por círculos sólidos

que tocam somente com uma extremidade o contorno da janela de amostragem. Para que um

traço intercepte a janela, o ponto médio do traço deverá estar dentro da região definida pelas

linhas tracejadas ABCDEFA, como mostra a Figura 5.1a. Então o cálculo desta área será:

( ) ( ) ( ) αθαθθθλ dddxfxfhxwxwhn AA ,cossen ++= (5.1)

Onde: x é o comprimento do traço e n é o número esperado de descontinuidades que

interceptam a janela de amostragem.

99

Para todos os valores possíveis de θ, α e x o número total de descontinuidades que

interceptam a janela de amostragem é achado pela integração da equação anterior:

(5.2) ( ) ( ) (∫ ∫ ∫∞

++=u

l

u

l

dddxfxfhxwxwhN AA

α

α

θ

θ

αθαθθθλ0

,cossen )

Como e = comprimento médio do traço, então a equação

anterior pode ser reduzida para:

( ) 1 0

=∫∞

dxxf ( )dxxxf 0∫∞

=µ

11 AhBwwhN µλµλλ ++= (5.2a)

Onde:

(5.2b) ( ) [∫ ∫ ==u

l

u

l

AA EddfAα

α

θ

θ

θαθαθθ cos,cos1 ]

] (5.2c) ( ) [∫ ∫ ==u

l

u

l

AA EddfBα

α

θ

θ

θαθαθθ sen,sen1

A B

C

DE

F

θA

x

h

w

(a)

w

h

θAtg (h/w)

−1x = h

/ sen

θA

(b)

Figura 5.1 Intersecção da descontinuidade com a janela de amostragem retangular

(modificado - Kulatilake & Wu, 1984)

Sejam N0 e N2 os números de descontinuidades que interceptam a janela de

amostragem com ambas extremidades censuradas e com ambas extremidades visíveis,

100

respectivamente, é necessário considerar separadamente dois casos: (a) θA ≥ tg-1(h/w) e (b) θA

< tg-1(h/w) como apresentado na Figura 5.1b. Para o caso (a) as derivadas apresentadas por

Kulatilake & Wu (1984), resultam nas seguintes equações:

whBwAhNN λµλµλ −+=− 2220 (5.3a)

Onde:

(5.3b) ( ) ( )∫ ∫=ua

la

ua

la

ddfA aA

α

α

θ

θ

αθαθθ ,cos2

(5.3c) ( ) ( )∫ ∫=ua

la

ua

la

ddfB aA

α

α

θ

θ

αθαθθ ,sen2

O sub-índice a indica que os limites de α, θ e a distribuição f(θ,α) estão na faixa de

variação de θA para o caso (a). Se defini-se que R0 = N0/N; R1 = (N - N0 - N2)/N e R2 = N2/N

determinam a quantidade de descontinuidades com ambas extremidades censuradas, uma

extremidade censurada e ambos extremidades visíveis, respectivamente e utilizando as

Equações 5.3a e 5.2b obtém-se:

11

2220

AhBwwhwhBwAh

NNN

µλµλλλµλµλ

++−+

=− (5.4)

( )( )( )110222

201hAwBRRwBhA

RRwh+−++

−+=µ (5.5)

Se f(θ,α) = fa(θ,α), θl = θla, θu = θua, αl = αla e αu = αua então A1 = A2 = A e B1 = B2 =

B, a Equação 5.5 se reduz a:

( )( )( )hAwBRR

RRwh++−

−+=

20

20

11µ (5.6a)

Onde:

101

(5.6b) ( )∫ ∫=u

l

u

l

ddfA A

α

α

θ

θ

αθαθθ ,cos

(5.6c) ( )∫ ∫=u

l

u

l

ddfB A

α

α

θ

θ

αθαθθ ,sen

Para o caso (b), aplicando o mesmo procedimento anterior, se obtem:

whBwAhNN λµλµλ −+=− 3320 (5.7a)

Onde:

(5.7b) ( )∫ ∫=ub

lb

ub

lb

ddfA bA

α

α

θ

θ

αθαθθ ,cos3

(5.7c) ( )∫ ∫=ub

lb

ub

lb

ddfB bA

α

α

θ

θ

αθαθθ ,sen3

11

3320

AhBwwhwhBwAh

NNN

µλµλλλµλµλ

++−+

=− (5.8)

( )( )( )110233

201hAwBRRwBhA

RRwh+−++

−+=µ (5.9)

O sub-índice b indica que os limites de α, θ e a distribuição f(θ,α) estão na faixa de

variação de θA para o caso (b).

Se f(θ,α) = fb(θ,α), θl = θlb, θu = θub, αl = αlb e αu = αub então A1 = A3 = A e B1 = B3 =

B, a Equação 5.9 se reduz à Equação 5.6. Então não é necessário considerar o caso (a) e (b)

separados, desde que µ seja calculado pela Equação 5.6.

Deve-se ressaltar que o cálculo de µ com a Equação 5.6 está baseado nos valores de

R0 e R2 e a medida do comprimento dos traços não é necessária. Por conseguinte µ não

contém erros devidos a censura das extremidades dos traços. Para calcular A e B na Equação

5.6, θA deve-se expressar em termos de θ e α. O cálculo de A e B deve ser feito

numericamente e a demonstração do cálculo de θA em termos da orientação da

descontinuidade e da orientação da janela de amostragem é apresentada a seguir.

102

5.2 RELAÇÃO ENTRE O ÂNGULO DE MERGULHO APARENTE (θA) E A

ORIENTAÇÃO ENTRE O PLANO DA DESCONTINUIDADE E O PLANO DE

AMOSTRAGEM

Utilizou-se um sistema de coordenadas cartesianas, com o eixo x orientado ao Norte e

o eixo y ao Leste e adotando a regra da mão direita, o eixo z resulta no sentido vertical

descendente, como pode-se observar na Figura 5.2. Considerando um plano qualquer pode-se

definir suas componentes cartesianas do vetor normal deste plano com ajuda do ângulo de

direção de mergulho (α) e o ângulo de mergulho (θ). Com estas componentes pode-se definir

a orientação de qualquer plano (Figura 5.2), como um disco circular ou plano da

descontinuidade ou uma janela de amostragem retangular.

Nortex

y

z

α

θn: vetor normal ao planod: vetor de maximo mergulhoθ: mergulhoα: direção de mergulhonx, ny e nz: componentes cartesianas do vetor normalh: vetor horizontal paralelo à direção do plano

plano

n

d

nx

ny

nz

Leste

h90 − θ

Figura 5.2 Componentes cartesianas do vetor normal a qualquer plano no espaço

Assim pode-se definir ndx, ndy e ndz como as componentes do vetor normal da

descontinuidade e θd e αd como direção de mergulho e mergulho da descontinuidade. Por

outro lado njx, njy e njz são as componentes do vetor normal da janela de amostragem e θj e αj

as direções de mergulho e mergulho da janela de amostragem. Todas estas componentes

cartesianas são calculadas com as seguintes relações:

103

ddz

dddy

dddx

n

nn

θ

αθαθ

cos

sensencossen

−=

==

(5.10)

jjz

jjjy

jjjx

n

n

n

θ

αθ

αθ

cos

sensen

cossen

−=

=

=

(5.11)

Com as componentes cartesianas define-se ou vetor normal ao plano da

descontinuidade (nd), da janela de amostragem (nj) e do plano horizontal de referência como

mostra a Figura 5.3. Nesta distribuição geométrica (Figura 5.3) identifica-se o ângulo de

mergulho aparente (θA), o vetor de mergulho aparente (m) e o vetor paralelo à direção

horizontal da janela de amostragem (h), este último vetor h tem as seguinte componentes

cartesianas:

( )( )

0

cos90sen

sen90cos

=

−=−=

=−=

z

jjy

jjx

h

h

h

αα

αα

(5.12)

A'

θAnd

nj

m

ndnj

h nd: vetor normal ao plano da descontinuidadenj: vetor normal ao plano da janela de amostragemh: vetor paralelo à direção horizontal da janela de amostragemm: vetor de mergulho aparenteθA: mergulho aparenteABCD: plano da janela de amostragemPQRS: plano da descontinuidadeAA'B'B: plano horizontal de referência

D'

DC

C'

B'BA

P

Q

R

S

Figura 5.3 Relação geométrica entre os planos da descontinuidade, da janela de amostragem e

do plano horizontal de referencia.

O vetor m é calculado utilizando o produto vetorial entre os vetores nd e nj onde se

obtém a seguinte relação:

104

(5.13) ( ) ( ) (kmjmimm

knnnnjnnnninnnnm

nnm

zyx

jxdyjydxjzdxjxdzjydzjzdy

jd

++=

−+−+−=

×=

)

Substituindo as Equações 5.10 e 5.11 na Equação 5.13 se obtém:

( )(

( )( ) k

j

im

jddjjd

jjdjdd

) cossen-sencossensen

cossencossencoscos

sensencoscossensen

jdjdjd ααααθθ

θθαθαθ

θαθθθα

++−

++−=

(5.14)

Para obter o cosseno do ângulo de mergulho aparente (θA) aplicou-se as propriedades

do produto escalar entre dois vetores neste caso o vetor de mergulho aparente (m) e o vetor

horizontal paralelo à direção da janela de amostragem (h). Como o vetor h é unitário seu

modulo será igual à unidade ( 1=h ), assim chega-se à seguinte equação.

mhm

hmhm

hmhmhmhmhmhm

A

zzyyxx

A

⋅=

⋅=

++=⋅

=⋅

θ

θ

cos

cos (5.15)

O seno do ângulo de mergulho aparente é calculado usando as propriedades do

produto vetorial entre os mesmos vetores m e h, resultando assim a seguinte equação.

m

hmhmhm

hmhm

A

A

×=

×=

=×

θ

θ

sen

sen (5.16)

Para o cálculo das equações anteriores é preciso ter o modulo de m que será calculado

com a seguinte relação:

105

( )( )

(( ))( )( )[ ] 212

21

2jdjdjd

2

2

cossensencoscos1

cossen-sencossensen

cossencossencoscos

sensencoscossensen

jdjdjd

jddjjd

jjdjdd

m

m

ααθθθθ

ααααθθ

θθαθαθ

θαθθθα

−+−=

++−

++−

= (5.17)

Substituindo as Equações 5.12, 5.14 e 5.17 nas Equações 5.15 e 5.16 e fazendo as

respectivas simplificações obtém-se:

( )( )( )[ ] 212cossensencoscos1

coscossensencos cos

jdjdjd

jdjdjdA

ααθθθθ

ααθθθθθ

−+−

−−= (5.18)

( )

( )( )[ ] 212cossensencoscos1

sensen sen

jdjdjd

jddA

ααθθθθ

ααθθ

−+−

−= (5.19)

As Equações 5.18 e 5.19 representam o cálculo do mergulho aparente, θA, para

qualquer orientação de descontinuidade e para qualquer orientação da janela de amostragem,

este resultado é uma generalização do caso particular apresentado por Kulatilake & Wu

(1984), Sendo este uma equação geral, demonstra-se a seguir, como a partir desta formulação

geral chegamos ao caso particular de amostragem numa janela vertical. Considerando então

um plano de amostragem com um ângulo de mergulho igual a 90 (θj = 90, parede vertical) e

substituindo na Equação 5.18, obtém-se:

( )( )( )[ ] 212cos90sensen90coscos1

cos90cossen90sencos cos

jddd

jdddA

ααθθ

ααθθθ

−°+°−

−°−°= (5.20)

( )( )[ ] 212cossen1

cos cosjdd

dA

ααθ

θθ−−

= (5.21)

Kulatilake & Wu (1984) definem o ângulo δ como sendo o ângulo formado entre a

direção do plano da descontinuidade e a direção de mergulho do plano da janela de

amostragem, como mostra a Figura 5.4.

106

αd

αj

δ

Norte

ndnj

A

A'

B

B'

C

C'D

D'

P

Q

R

S

nd: vetor normal da descontinuidadenj: vetor normal da janela de amostragemABCD: plano da janela de amostragemPQRS: plano da descontinuidadeαd: direção de megulho da descontinuidadeαj: direção de mergulho da janela de amostragemδ: ângulo entre a direção da descontinuidade e a direção de mergulho da janela de amostragem

Figura 5.4 Ângulo δ, definido entre a direção da descontinuidade e a direção de mergulho da

janela de amostragem.

A seguinte equação relaciona o ângulo δ com as direções de mergulho da

descontinuidade e a janela de amostragem como:

°−=−

°=+−

90

90

δαα

δαα

jd

dj (5.22)

Substituindo o valor de δ na Equação 5.21 obtém-se:

( )( )[ ] 21290cossen1

cos cos°−−

=δθ

θθd

dA (5.23)

Desenvolvendo o cosseno da diferença de dois ângulos e simplificando a expressão

obtém-se o seguinte:

[ ] 2122 sensen1cos cos

δθθθ

d

dA

−= (5.24)

( )21

222 cos1tg

cos1

1 cos

−−

=

δθθ

θ

dd

A (5.25)

107

2122

2

2

2 costgcossen

cos1

1 cos

+−

=

δθθθ

θ

θ

dd

d

d

A (5.26)

[ ] 2122 costg11 cos

δθθ

d

A+

= (5.27)

Que é o mesmo resultado obtido por Kulatilake &Wu (1984) para o cosθA. Da mesma

maneira substituindo o mergulho de 90o (θj = 90o) para a janela de amostragem vertical na

equação do seno do ângulo de mergulho aparente (Equação 5.19) se obtém:

( )( )[ ] 2122 90cossen1

90sensen sen°−−

°−=

δθ

δθθd

dA (5.28)

Expandindo o seno da diferencia de dois ângulos e simplificando a equação se obtém:

[ ] 2122 sensen1cossen sen

δθδθθ

d

dA

−= (5.29)

( ) 21

22

22

cossencos1sen1

1 sen

−−=

δθδθ

θ

d

d

A (5.30)

21

22

222

cossencossensen1

1 sen

+−=

δθδθθ

θ

d

dd

A (5.31)

21

22

2

cossencos1

1 sen

+

=

δθθ

θ

d

d

A (5.32)

[ ] 2122 seccot11 sen

δθθ

dA

+= (5.33)

Que é o mesmo resultado obtido por Kulatilake & Wu (1984) para o senθA.

108

5.3 DERIVAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO TRAÇO MÉDIO

Voltando para a Equação 5.3, mostra-se como Kulatilake & Wu (1984) chegaram a

esses resultados. Considerando primeiramente o caso (a) θA ≥ tg-1(h/w), temos duas

possibilidades (1) h/senθA ≤ x ≤ ∞, e (2) 0 ≤ x ≤ h/senθA. Para a primeira possibilidade (Figura

5.5) considere-se os traços E e F com pontos médios e e f respectivamente (Figura 5.5a).

Qualquer traço com comprimento x, mergulho aparente θA e com ponto médio entre os pontos

e e f terá ambas extremidades censuradas.

f

e

x

θA

F

E

h

g

x senθA - h

h

w

(a) (b)

(c)

d

hf

c e g

h

w

h

d

D

b

zθA

f

eac

AC

Z se

cθA

x - Z

sec

θA

x / 2

w

B

Figura 5.5 Descontinuidade com ambos extremidades censurados, h/senθA ≤ x ≤ ∞, e

θA ≥ tg-1(h/w) (modificado - Kulatilake & Wu, 1984)

109

Similarmente têm-se os traços G e H que para ter ambas extremidades censuradas seus

pontos médios devem estar dentro da zona efgh. A área desta zona é (w - h cot θA) (x senθA –

h). A seguir, considerou-se os traços A e B, com pontos médios a e b (Figura 5.5b) e com

ambas extremidades censuradas. Qualquer traço com comprimento x, mergulho aparente θA e

com seu ponto médio entre os pontos a e b terá ambas extremidades censuradas. Então,

qualquer traço à esquerda de e, f, terá ambas extremidades censuradas se seus pontos médios

estão dentro da zona cdfe. Esta área pode ser calcula com a seguinte relação:

(5.34) ( ) dzzx A

h

A

A

senseccot

0

θθθ

∫ −

A área sombreada na Figura 5.5c determina a zona que contem os pontos médios dos

traços com ambos extremidades censurados. Assim, o valor esperado (n01) de

descontinuidades com x ≤ x ≤ x+dx, θ ≤ θ ≤ θ+dθ, α ≤ α ≤ α+dα que interceptem a janela de

amostragem com ambas extremidades censuradas, será:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) αθαθθθλ

αθαθθθλθ

dddxfxfdzzx

dddxfxfhxhwn

a

h

AA

aAA

A

,sensec2

,sencotcot

0

01

−+

−−=

∫ (5.35)

Para a segunda possibilidade (2) 0 ≤ x ≤ h/senθA, esta apresentada na Figura 5.6. Os

traços A e B com pontos médios a e b, têm ambas extremidades censuradas. Qualquer outro

traço com comprimento x, mergulho aparente θA e com seu ponto médio entre a e b terá

ambas extremidades censuradas. Então os traços com os pontos médios dentro de cde e c’d’e’

terão ambas extremidades censuradas. A área de cde ou c’d’e’ será calculada como:

(5.36) ( ) dzzxnAx

AA senseccos

002 ∫ −=

θ

θθ

110

z

x - z

secθ

A

x / 2

e

b

cad

θA

h

w

c' d'

e'

Figura 5.6 Descontinuidade com ambas extremidades censuradas, 0 ≤ x ≤ h/senθA, e

θA ≥ tg-1(h/w) (modificado - Kulatilake & Wu, 1984).

Então o número esperado (n02) de descontinuidades com x ≤ x ≤ x+dx, θ ≤ θ ≤ θ+dθ, α

≤ α ≤ α+dα que interceptam a janela de amostragem com ambas extremidades censuradas, é:

(5.37) ( ) ( ) ( ) αθαθθθλθ

dddxfxfdzzxn a

x

AA

A

, sensec2cos

002

−= ∫

Integrando as Equações 5.35 e 5.37 para todos os possíveis θ, α e x se obtém o

número esperado (N0) de descontinuidades que interceptam a janela com ambas extremidades

censuradas como:

(5.38)

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) αθαθθθλ

αθαθθθλ

αθαθθθλ

α

α

θ

θ

θ θ

α

α

θ

θ θ

θ

α

α

θ

θ θ

dddz dxfxfzx

dddz dxfxfzx

dddxfxfhxhwN

a

h x

AA

ah

h

AA

ah

AA

ua

la

ua

la

A A

ua

la

ua

la A

A

ua

la

ua

la A

,sensec2

,sensec2

,sencot

sen

0

cos

0

sen

cot

0

sen0

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

−+

−+

−−=

∞

∞

111

Para um traço com 0 ≤ x ≤ h/senθA, é possível ter ambas extremidades visíveis (Figura

5.7). A e B são dois traços com ambas extremidades visíveis. Um traço com comprimento x,

mergulho aparente θA e com pontos médios entre a e b terá ambas extremidades visíveis.

Similarmente, traços com pontos médios dentro de cde terão ambas extremidades visíveis.

h cotθA

z

z secθA - x

DA

EC

BθA

h

w

h - x senθA

e' c'

d'

xe

abc

d

Figura 5.7 Descontinuidade com ambas extremidades visíveis, 0 ≤ x < h/senθA, e θA ≥ tg-

1(h/w) (modificado - Kulatilake & Wu, 1984).

Então, para intersectar a janela de amostragem com ambas extremidades visíveis, o

ponto médio do comprimento do traço da descontinuidade deverá estar em dcd’c’. A área

ed’e’d é (w - h cotθA)(h - x senθA) e a área ecd é:

(5.39) ( )∫ −=A

A

h

xAAecd dzxzA

θ

θ

θθcot

cos

sensec

O número esperado (n2) de descontinuidades intersectando a janela de amostragem

com ambas extremidades visíveis, será:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) αθαθθθλ

αθαθθθλθ

θ

dddxfxfdzxz

dddxfxfAxhhwn

a

h

AA

aA

A

, sensec2

,sencotcot

xcos

2

A

−+

−−=

∫ (5.40)

112

Onde x ≤ x ≤ x+dx, θ ≤ θ ≤ θ+dθ e α ≤ α ≤ α+dα.

Para todas os possíveis valores de θ, α e x, o número esperado de (N2)

descontinuidades interceptando a janela de amostragem com ambas extremidades visíveis,

será:

(5.41)

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

−+

−−=

ua

la

ua

la

A A

A

ua

la

ua

la

A

h h

xaAA

a

h

AA

dddxdzfxfxz

dddxfxfhwxhN

α

α

θ

θ

θ θ

θ

α

α

θ

θ

θ

αθαθθθλ

αθαθθθλ

sen/

0

cot

cos

sen/

02

,sensec2

,cotsen

A partir das Equações 5.38 e 5.41 obtém-se:

(5.42)

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

−+

−+

−−=−

∞

∞

ua

la

ua

la

A A

ua

la

ua

la A

A

ua

la

ua

la

h h

aAA

h

h

aAA

aAA

dddxdzfxfzx

dddxdzfxfzx

dddxfxfhxhwNN

α

α

θ

θ

θ θ

α

α

θ

θ θ

θ

α

α

θ

θ

αθαθθθλ

αθαθθθλ

αθαθθθλ

sen/

0

cot

0

sen/

cot

0

020

,sensec2

,sensec2

,sencot

Esta última equação pode ser reduzida à Equação 5.3. Para o caso (b) com θA < tg-

1(h/w). Segue-se o mesmo procedimento, como se observa no trabalho de Kulatilake & Wu

(1984), para chegar na Equação 5.7.

5.4 APLICAÇÃO DO MODELO DO TRAÇO MÉDIO AOS DADOS DO CASO

ESTUDADO

O cálculo do comprimento médio com a Equação 5.6 precisa da função de orientação

da família de descontinuidades para obter os valores de A e B, Neste trabalho foi usada a

distribuição bi-variacional normal. Estes valores são calculados aplicando uma integração

numérica dupla, como será apresentado a seguir. Considerando a distribuição bi-variacional

normal apresentada em Ang & Tang (1975), tem-se que:

113

( )

−+

−

−−

−−−

×

−=

22

2

2

212

1exp

121),(

α

α

α

α

θ

θ

θ

θ

αθ

σµα

σµα

σµθρ

σµθ

ρ

ρσπσαθaf

(5.43)

Onde: as duas variáveis são θ e α que representam o mergulho e a direção de

mergulho da descontinuidade, respectivamente e µ, σ e ρ representam a média o desvio

padrão e o coeficiente de correlação das duas variáveis.

Com esta distribuição de probabilidade, mais a Equação 5.6 e mais a integração

numérica de variável dupla, pode-se calcular os traços médios das famílias de

descontinuidades do caso-estudo.

5.5 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA DUPLA

Considerando uma integral dupla da seguinte forma:

( )∫∫R

dAyxf , , (5.44)

Define-se R como uma região retangular no plano, ou seja:

( ) dycbxayxR ≤≤≤≤= ,|, (5.45)

Para ilustrar a técnica de integração numérica utilizou-se a regra de Simpson, sendo

que outras poderiam ser usadas, mas esta se apresenta mais simples e de fácil entendimento e

cumpre o objetivo aqui proposto. Escolhendo os inteiros m e n para determinar os tamanhos

dos passos h = (b–a)/2n e k = (d–c)/2m. Escrevendo a integral dupla como uma integral por

etapas se tem:

(5.46) ( ) ( ) dxdyyxfdAyxfb

a

d

cR

,, ∫ ∫∫∫

=

114

Considerando x como constante. Tomando yj = c+j·k para cada j = 0, 1, ..., 2m, se

obtém:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )4

44

21

12

1

120

,180

,,4,2,3

,

yxfkcd

yxfyxfyxfyxfkdyyxf m

m

jj

m

jj

d

c

∂∂−

−

+++= ∑∑∫

=−

−

=

µ (5.47)

Expandindo para qualquer valor de µ em (c, d) tem-se que:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )∫

∫∑∫

∑∫∫∫ ∫

∂∂−

−

++

++=

=−

−

=

b

a

b

am

m

j

b

aj

m

j

b

aj

b

a

dxyxfkcd

dxyxfkyxfk

dxyxfkdxyxfkdxdyyxf

4

44

21

12

1

120

b

a

d

c

,180

,3

,3

4

,3

2 ,3

,

µ

(5.48)

A regra composta de Simpson se emprega agora em cada integral da Equação 5.48.

Tomando xi = a + i·h para cada i = 0, 1, ..., 2n se obtém para cada j = 0, 1, ..., 2m a seguinte

equação:

( ) ( ) ( ) ( ) (

( )

)

( )jj

jn

n

i

n

ijijijj

yxfhab

yxfyxfyxfyxfhdxyxf

,180

,,4,2,3

,

4

44

2

1

1 11220

b

a

ξ∂∂−

−

+++= ∑ ∑∫

−

= =−

(5.49)

Para qualquer ξj em (a, b), a aproximação resultante terá a seguinte forma:

115

( )

( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

+

+++

++

++

++

+++

+++

≈

∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑ ∑

∫∫

=−

−

=

=−

= =−−

=

−

=−

=−

−

=

−

= =−

−

=

−

=

−

=

−

= =−

mn

n

imi

n

imim

m

jjn

m

j

n

iji

m

j

n

iji

m

jj

m

jjn

m

j

n

iji

m

j

n

iji

m

jjn

n

n

i

n

iii

d

c

yxf

yxfyxfyxf

yxfyxf

yxfyxf

yxfyxf

yxfyxfyxf

yxfyxfyxfyxf

hkdxdyyxf

22

1212

1

12220

1122

1 11212

1

1

1122

1120

1

122

1

1 1212

1

1

1

122

1

12002

02

1

1 10120200

b

a

,

,4,2,

,4,16

,8,4

,2,8

,4,2,

,,4,2,

9 ,

)

(5.50)

O termo de erro, E, é dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∫

∑∑

∂∂−

−

∂∂

+∂

∂+

∂

∂+

∂∂−−

==

−−−

=

b

a

mmm

j

jjm

j

jj

dxyxfkcd

xyf

xyf

xyf

xyfhabkE

,180

,,4

,2,

540

4

44

422

4

14

121241

14

224

400

44

µ

ξξξξ

(5.51)

Se ∂4f/∂x4 e ∂4f/∂y4 são contínuas em R, o termo de erro pode ser representado pela

seguinte equação:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

∂∂

+∂∂−−−

=

∂∂−−

−

∂∂−−

=

µηµη

µηµη

ˆ,ˆ,180

ˆ,ˆ180

,6540

4

44

4

44

4

44

4

44

yfk

xfhabcd

yfkabcd

xfmhabkE

(5.52)

Para aplicar o cálculo da Equação 5.50 foi implementado um programa em

FORTRAN (Apêndice E) que possui de forma implícita a Equação 5.43 da distribuição

bivariacional normal e unicamente precisa mudar internamente os parâmetros de αj, θj, µθd, σθd

, µαd, σαd e ρ das Equações 5.18 e 5.19, no momento de rodar o programa perguntará os limites

de integração a, b, c e d da Equação 5.50 e como saída se terá o resultado das Equações 5.18 e

116

5.19 ou os valores de A e B, respectivamente para as diferentes famílias de descontinuidades

(Tabela 5.1), finalmente o traço médio µ é calculado com a Equação 5.6 (Tabela 5.2). Os

valores do comprimento do traço médio (µ) estão em metros e os valores variam entre 65 a

9200 m. Estes valores são conseqüência do tamanho da janela de amostragem considerada no

caso-estudo, onde os taludes Sul e Sudeste têm janelas de amostragem de 250 x 150 m a 400

x 210 m. No entanto, as janelas de amostragem das galerias têm dimensões menores da ordem

de 70 x 3 m. O comprimento do traço é um valor geométrico que não pode ser negativo e

portanto para o caso dos valores calculados assumiu-se todos os valores como positivos.

Tabela 5.1 Resultados dos coeficientes A e B calculados numericamente.

Região Família αj θj µθd σθd µαd σαd ρ A B 1 49,14 49,75 49,13 6,48 49,33 11,60 -0,20 0,107 0,00092 41,1 48,60 52,04 5,89 297,28 8,36 0,007 0,607 -0,787 3 45,99 48,46 55,88 7,58 154,51 11,47 0,567 0,610 0,7856

T. Sudeste

10 46,96 49,32 47,84 23,03 80,10 108,81 0,2105 0,3408 0,20291 300,0 90,0 41,64 9,28 41,55 12,14 -0,009 0,7507 0,63992 300,0 90,0 71,75 7,60 159,93 10,99 0,0049 0,4605 -0,855 G11

10 300,0 90,0 68,28 17,17 81,20 96,80 0,2978 0,3826 0,11131 300,0 90,0 42,86 8,36 56,97 22,27 -0,085 0,7806 0,5912G12

10 300,0 90,0 65,74 15,98 118,49 93,57 -0,011 0,4964 -0,028 G13 1 300,0 90,0 47,49 8,97 42,01 13,29 0,428 0,6848 0,7122

T. Sul 1 41,32 45,34 42,44 8,86 38,56 12,87 0,180 0,2576 -0,108

Tabela 5.2 Traço médio µ considerando amostragem por superfície.

Região Família R0 R2 w h A B µ (m) 1 0,85 0,15 112,5 26,63 0,107 0,0009 5820 2 0,83 0,17 105 26,63 0,607 -0,787 -210 3 0,82 0,18 82,5 25,04 0,610 0,7856 116

T. Sudeste

10 0,8 0,2 107,5 24,04 0,3408 0,2029 345 1 0,99 0,01 70 2,5 0,7507 0,6399 500 2 0,98 0,02 70 2,5 0,4605 -0,855 -144 G11

10 0,96 0,04 70 2,5 0,3826 0,1113 540 1 0,98 0,02 70 2,5 0,7806 0,5912 192 G12

10 0,9 0,1 70 2,5 0,4964 -0,028 -4014 G13 1 0,94 0,06 70 2,5 0,6848 0,7122 65

T. Sul 1 0,89 0,11 375 269,13 0,2576 -0,108 29758

117

Capítulo 6

6 MODELAGEM PROBABILÍSTICA

DAS DESCONTINUIDADES EM 3D

Para a implementação deste modelo probabilístico das descontinuidades foram

utilizados os dados do mapeamento realizado por Durand (1995) da mina de Timbopeba. O

mapeamento da mina foi realizado nos taludes sul e sudeste e nas três galerias G11, G12 e

G13, onde cada dado de descontinuidade contém as seguintes medidas: espaçamento, traço e

orientação (mergulho e direção de mergulho) da descontinuidade, orientação do plano de

amostragem, tipo de material e tipo de descontinuidade (falha, dique, foliação, fissura etc.).

Neste mapeamento foram identificadas duas falhas (descontinuidades primárias, J3 e J4), no

maciço do Talude Sul, as quais tem que ser tratadas de forma determinística o que está fora do

objetivo desta tese. Os passos seguintes são aplicados para o tratamento estatístico das

descontinuidades secundárias (foliações, fraturas, contatos etc):

i. Determinação das regiões estatisticamente homogêneas, com relação à orientação das

descontinuidades, usando análise de dados direcionais e determinando assim o número

de famílias de descontinuidades.

ii. Correção dos erros de tendência por orientação para cada família de descontinuidades.

iii. Modelagem da distribuição de orientação verdadeira, para cada família de

descontinuidades.

iv. Estimativa da distribuição do comprimento do traço (dado 2D) para cada família de

descontinuidades, levando em conta a correção por erros de tendência.

v. Inferir a distribuição do tamanho das descontinuidades (dado 3D) para cada família de

descontinuidades, considerando a correção por tendência, assumindo as

descontinuidades como discos circulares planos e assim determinando o diâmetro das

mesmas.

vi. Determinar a distribuição do espaçamento das descontinuidades ao longo dos scanlines

ou em superfície (dado 2D), levando em conta a correção por erros de tendência.

118

vii. Inferir a distribuição do espaçamento ao longo da direção do vetor de pólo médio

(espaçamento verdadeiro) ou densidade linear (dado 3D) para cada família de

descontinuidades.

viii. Estimar a média da densidade volumétrica dos centros das descontinuidades em 3D

(número de centros de descontinuidades/volume) para cada família de

descontinuidades.

ix. Obter a distribuição da variável aleatória referente ao número de centros das

descontinuidades por volume determinado (dado 3D).

x. Sugerir o modelo geométrico estocástico das descontinuidades em 3D pela descrição

dos parâmetros geométricos para cada família de descontinuidades;

Os parâmetros geométricos das descontinuidades a serem descritos são:

• Número de famílias de descontinuidades;

• Distribuição da localização dos centros das descontinuidades para cada densidade e cada

família de descontinuidades;

• Distribuição da orientação para cada família de descontinuidades;

• Distribuição do tamanho (diâmetro dos discos circulares planos) para cada família de

descontinuidades.

6.1 AMOSTRAGEM DOS DADOS

Considerando a pouca variação da geologia dos taludes e as características de

localização dos mesmos, foram consideradas as seguintes regiões: Talude Sul, Talude Sudeste

e três galerias G11, G12 e G13, tendo assim cinco regiões a serem modeladas. Neste

mapeamento foram registradas as descontinuidades principais J3 e J4 de duas falhas no

Talude Sul especificamente no maciço 06, as quais são separadas do estudo das

descontinuidades secundárias. A Tabela 6.1 mostra a quantidade de descontinuidades

secundárias mapeadas em cada região.

6.2 REGIÃO ESTATISTICAMENTE HOMOGÊNEA

Nesta primeira parte foram utilizados os dados de orientação ou dados direcionais, que

são o mergulho e a direção de mergulho. Como passo preliminar estes dados foram

submetidos ao teste de uniformidade, visto no Item 2.8.4, para determinar a existência de

119

concentração de direções. Posteriormente a este teste de uniformidade foram definidas as

regiões estatisticamente homogêneas.

Tabela 6.1 Quantidade de descontinuidades secundárias mapeadas por região

Região Quantidade de dados Talude Sudeste

Galeria G11 Galeria G12

Galeria G13 Talude Sul

103 178 51 17 20

Total 369

O teste de uniformidade requer o cálculo do coeficiente de concentração κ da

distribuição de Fisher e a resultante media R . Para isto primeiramente foram calculados os

valores das componentes cartesianas dos dados de orientação (mergulho e direção de

mergulho) aplicando a Equação 2.40, fazendo a somatória para cada eixo cartesiano calculou-

se a resultante R com a Equação 2.42 e finalmente com a resultante e o numero de dados foi

calculado o coeficiente de concentração κ e a resultante media R , aplicando as Equações

2.55 e 2.42, como mostra o exemplo da Tabela 6.2 para os dados direcionais da Galeria G13.

Este mesmo procedimento foi aplicado para os dados direcionais das outras 4 regiões

analisadas.

Dos dados da Tabela 6.3 a resultante para a Galeria 13 é R = 16,613, a resultante

média R = 0,977, os cossenos diretores da resultante média são x0 = 0,49, y0 = 0,436 e z0 =

0,755, a variância dos dados direcionais é S* = 0,0227 e o coeficiente de concentração é κ =

38,799.

O teste de uniformidade consiste em determinar para cada numero de dados, n e com

um certo nível de confiança (α = 5 %, adotado) o valor da resultante media R crítica, a qual é

obtida da Tabela 2.7. Então com esses dois dados (n e α) foram obtidos os valores das

resultantes medias R críticas para cada uma das regiões analisadas na Tabela 2.5. Os

resultados para cada região estão apresentados na Tabela 6.3.

A Tabela 6.3 apresenta valores de R entre 0,83 e 0,97, que indicam concentração de

dados ou existência de uma ou mais direções preferenciais. Valores altos do parâmetro de

dispersão κ indicam, maior concentração dos dados ou a presença de uma direção

preferencial. Já para valores pequenos de κ ou próximos de zero indicam que a concentração

dos dados é menor (dados distribuídos uniformemente). Esta estatística compara R com um

120

valor de R crítico para o nível de significância de 5 %. Se o valor de R excede o valor de R

crítico, a hipótese que as observações estão uniformemente distribuídas é rejeitada, como

acontece com todas as amostras e leva a afirmar a existência de uma ou mais direções

preferenciais dos dados.

Tabela 6.2 Componentes dos eixos cartesianos dos dados direcionais da Galeria G13.

N Mergulho Dir. Mergulho xi yi zi 1 55 050 0,369 0,439 0,819 2 45 040 0,542 0,455 0,707 3 50 040 0,492 0,413 0,766 4 33 045 0,593 0,593 0,545 5 48 073 0,196 0,640 0,743 6 40 030 0,663 0,383 0,643 7 65 050 0,272 0,324 0,906 8 40 015 0,740 0,198 0,643 9 35 045 0,579 0,579 0,574

10 55 055 0,329 0,470 0,819 11 55 044 0,413 0,398 0,819 12 40 030 0,663 0,383 0,643 13 50 045 0,455 0,455 0,766 14 59 048 0,345 0,383 0,857 15 43 030 0,633 0,366 0,682 16 50 030 0,557 0,321 0,766 17 58 056 0,296 0,439 0,848 Σ 8,136 7,239 12,546

Tabela 6.3 Cálculo do teste de uniformidade das cinco regiões analisadas

Região n R R Mergulho Dir. Mergulho S* κ R

crítico T. Sudeste 103 85,58 0,8309 68 040 0,1691 5,798 < 0,16 G11 178 157,50 0,8849 60 051 0,1151 8,587 < 0,16 G12 51 46,12 0,9043 54 056 0,0957 10,044 0,22 G13 17 16,61 0,9773 49 042 0,0227 38,799 0,388 T. Sul 20 19,02 0,9512 51 035 0,0488 18,461 0,358

Para a determinação das regiões estatisticamente homogêneas é importante ter uma

grande quantidade de dados para poder aplicar o método de Mahtab & Yegulalp (1984). Este

método não foi aplicado e a determinação das regiões estatisticamente homogêneas foi feita

com base nas características geológicas e geotécnicas da inspeção visual em campo, ficando

121

assim separadas nas cinco regiões antes definidas (Talude Sudeste, Talude Sul, Galeria 11, 12

e 13).

6.3 DETERMINAÇÃO DAS FAMÍLIAS DE DESCONTINUIDADES DE CADA

REGIÃO

A identificação dos grupos de descontinuidades com direção preferencial, ou famílias

de descontinuidades, pode ser feita de várias formas. Kulatilake et al. (1990a) apresenta uma

versão modificada do método de Miller (1983), que procura grupos de descontinuidades com

intensidade de distribuição de orientação, similares. Muitos destes métodos estatísticos

precisam ainda de uma interpretação visual da distribuição das orientações, para a

determinação final dos grupos homogêneos. Por tal motivo uma distribuição de pólos de

descontinuidades numa projeção estereográfica de igual área (Item 2.8.2), permite uma

observação mais real da distribuição de pólos (Mardia, 1972), a qual será adotada neste

trabalho como apoio à distribuição de densidade de pólos ou concentração de pólos pelo

Programa DIPS (Hoek & Diederichs, 1989). Ainda existe outro método baseado na

classificação de dados com a utilização da lógica fuzzy (Hammah & Curran, 1998).

Para cada região foram plotadas projeções estereográficas de igual área dos pólos das

descontinuidades assim como dos contornos de densidade dos pólos, como mostram as Figura

6.1, 6.3, 6.5, 6.7 e 6.9. Estes contornos de densidade de pólos mostram grupos de

concentração de dados os quais são separados e identificados com suas direções médias, como

mostram as Figura 6.2, 6.4, 6.6, 6.8 e 6.10. Desta maneira foram selecionadas as famílias de

descontinuidades para cada uma das cinco regiões antes definidas, os pólos das

descontinuidades que não fazem parte de nenhuma família e se encontram de forma espalhada

no estereograma foram agrupados na família 10 como sendo a família de descontinuidades

com pouca consistência ou representatividade, assim a Tabela 6.4 mostra a quantidade de

famílias por região e a quantidade de dados, n, por família.

122

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES

CONTOUR LEGENDFISHER POLE

CONCENTRATIONS% of total per

1.0 % areaMinimum Contour = 4Contour Interval = 4Max.Concentration = 25.5

EQUAL AREALOWER HEMISPHERE

103 Poles Plotted103 Data Entries

STEREONET: TALUDE SUDESTE (TIMBOPEBA)

DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO

Figura 6.1 Projeção estereográfica de igual área das descontinuidades do Talude Sudeste

1m

1m

2m

2m

3m

3m

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES

MAJOR PLANESORIENTATIONS

# DIP/DIR. 1 m 49/046 2 m 53/296 3 m 58/157





1

2

3

Figura 6.2 Projeção estereográfica de igual área das famílias de descontinuidades do Talude

Sudeste

123

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES



1.0 % areaMinimum Contour = 3.5Contour Interval = 3.5Max.Concentration = 23.5



STEREONET: GALERIA 11 (TIMBOPEBA)


Figura 6.3 Projeção estereográfica de igual área das descontinuidades da Galeria 11

1m

1m

2m

2m

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES


# DIP/DIR. 1 m 42/041 2 m 73/162





1

2

Figura 6.4 Projeção estereográfica de igual área das famílias de descontinuidades da Galeria

11

124

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES









1m

1m

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES


# DIP/DIR. 1 m 41/055





1

Figura 6.6 Projeção estereográfica de igual área da família de descontinuidades da Galeria 12

125

N

E

S

W



POLE LEGEND

POLES







1m

1m

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES


# DIP/DIR. 1 m 48/043





1

Figura 6.8 Projeção estereográfica de igual área da família de descontinuidades da Galeria 13

126

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES






STEREONET: TALUDE SUL (TIMBOPEBA)


Figura 6.9 Projeção estereográfica de igual área das descontinuidades do Talude Sul

1m

1m

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES


# DIP/DIR. 1 m 48/038





1

Figura 6.10 Projeção estereográfica de igual área da família de descontinuidades do Talude

Sul

127

Tabela 6.4 Quantidade de famílias por região e quantidade de dados por família

Região Família n 1 59 2 18 3 11 Talude Sudeste

10 15 1 113 2 41 Galeria 11

10 24 1 41 Galeria 12 10 10

Galeria 13 1 17 Talude Sul 1 19

As famílias de descontinuidades assim definidas serão analisadas separadamente com

relação aos parâmetros geométricos antes especificados e como auxílio a esta análise foi

plotado o histograma bivariacional dos dados de orientação como mostra a Figura 6.11 para a

família 1 do Talude Sudeste, os histogramas bivariacionais das demais famílias estão no

Apêndice A nas Figuras A.12 a A.22. Posteriormente a orientação de cada família será

corrigida dos erros de tendência como é detalhado a seguir.

Talude Sudeste família 1

Figura 6.11 Histograma bivariacional dos dados de orientação da família 1 do Talude Sudeste.

6.4 ORIENTAÇÃO DAS DESCONTINUIDADES

Dependendo do domínio de amostragem os dados de orientação geralmente são

medidos em uma dimensão (1D) ou em duas dimensões (2D), como testemunhos de

128

sondagem, superfícies de túneis ou afloramentos rochosos. As chances para que uma

descontinuidade intercepte um dos domínios de amostragem depende de 3 fatores: (1)

orientação relativa da descontinuidade com relação ao domínio de amostragem, (2) tamanho e

forma da descontinuidade e (2) tamanho e forma do domínio de amostragem. Num maciço

rochoso os primeiros dois fatores podem mudar bastante e sua medida em campo é pouco

exata e até impossível como é o caso da orientação relativa entre a descontinuidade e o plano

de amostragem. Considerando ainda que, na prática, mais de um domínio de amostragem

pode ser utilizado, então as freqüências dos dados das descontinuidades, medidas em campo,

não representam as freqüências verdadeiras em 3D. Isto é chamado de erros por tendência de

orientação. Nesta tese é considerado o domínio de amostragem em 2D, como as superfícies de

taludes ou as paredes de um túnel.

6.4.1 CORREÇÃO DOS ERROS DE TENDÊNCIA POR ORIENTAÇÃO

Geralmente é desejável um grande número de medidas de orientação de um certo local

para, dessa forma, permitir o uso da análise estatística. Em vista disso é importante que o

processo de amostragem seja o mais objetivo possível. Num afloramento rochoso é comum o

uso de uma amostragem linear com a medida de orientação das descontinuidades que

interceptam uma linha de amostragem ou scanline, desenhada no afloramento. Geralmente

esta scanline é uma linha horizontal ou vertical desenhada na superfície do afloramento

rochoso, ou num caso mais geral uma linha inclinada, com direção e mergulho medidos.

Numa scanline se pode calcular a freqüência de descontinuidades λs, a qual será menor que a

freqüência real de descontinuidades λ do maciço, como pode ser mostrado na Figura 6.12

(Priest, 1985). Nesta figura se apresenta uma família de descontinuidades num afloramento

rochoso intersectada por uma linha normal ao traço das descontinuidades e a linha de

amostragem ou scanline, com orientação arbitraria.

O ângulo agudo formado entre o vetor normal à descontinuidade e o vetor paralelo a

direção do sanline é δ. A linha de comprimento l paralela ao vetor normal à descontinuidade,

intersecta um número total N de descontinuidades, então a freqüência real será:

lN λ= ou lN

=λ (6.1)

129

δl

linha de amostragem" scanline"

linha normal à descontinuidade

λs

λ

Figura 6.12 Família de descontinuidades intersectada pela linha de amostragem ou scanline

(modificado - Priest, 1985)

Para uma linha de amostragem, que faz ângulo δ com o vetor normal à

descontinuidade, tem-se uma freqüência observada menor que a freqüência real, devido ao

maior comprimento necessário para conter o mesmo número de descontinuidades (ls = l/cosδ).

Assim a freqüência observada λs será:

l

Ns

δλ cos= ou δλλ cos=s (6.2)

Uma linha de amostragem em geral, com um ângulo δ com o vetor normal à

descontinuidade terá um comprimento maior e por conseguinte uma freqüência menor. Para

corrigir isto, Priest (1985) propôs o seguinte procedimento. Na prática comum, as

descontinuidades nunca estão orientadas em grupos perfeitamente paralelos, então será

necessário tratar cada descontinuidade separadamente. Cada descontinuidade é considerada

com uma freqüência unitária como se a família de descontinuidades tivesse uma única

descontinuidade. Depois esta freqüência é corrigida por um peso (w) igual a 1/cosδ quando

aplicado a uma descontinuidade, assim:

δcos

1=w (6.3)

130

Este fator de correção w pode ser calculado analiticamente como segue, para cada

orientação da linha de amostragem e para cada orientação da descontinuidade:

( ) snsnsn

wββββαα sensencoscoscos

1+−

= ou ( )ns

snw

⋅=

1 (6.4)

Onde αs e βs são a direção e o mergulho da linha de amostragem (scanline) e αn e βn

são a direção e o mergulho do vetor normal ao plano da descontinuidade que podem ser

calculados do mergulho e direção de mergulho da descontinuidade.

Outra forma de calcular o fator de correção w é com ajuda do produto escalar do vetor

normal á descontinuidade n e do vetor paralelo a linha de amostragem . Para ângulos de δ

próximos de 90

so, o valor de w será muito alto produzindo uma concentração de normais,

levando as vezes a interpretações erradas, como também é mencionado em Terzaghi (1965).

Isto pode ser corrigido utilizando mais duas linhas de amostragem em dois planos de

amostragem ortogonais do mesmo maciço rochoso, ou colocando um valor máximo para δ,

segundo a observação em campo.

Assim são calculados os valores de w para cada descontinuidade, ou seja, para cada

descontinuidade tem-se um wj, onde j = 1, 2, 3, ...N. Então a somatória de wj deverá ser igual a

N, número total de descontinuidades consideradas. Assim:

onde, ∑=

′=N

jjwN

1 w

jj N

Nww =′ (6.5)

Onde Nw é a somatória dos wj. Aplicando este procedimento, pode-se multiplicar este

fator de correção w’j a cada componente, das coordenadas cartesianas, do vetor normal ao

plano das descontinuidades, para depois fazer uma análise estatística e probabilística dos

dados de orientação corrigidos.

Para o caso de amostragem da orientação em superfície (amostragem numa janela ou

afloramento rochoso), Kulatilake (1984) e Wathugala et al. (1990) apresentam uma correção

de erros de tendência por orientação, considerando o volume de amostragem envolvido por

cada uma das descontinuidades e o tamanho da superfície de amostragem ou janela de

amostragem, geralmente retangular.

131

Wathugala et al. (1990) apresentou um método para a correção dos erros de tendência

da orientação para amostragem superficial, em planos com qualquer orientação. A freqüência

corrigida é calculada atribuindo um peso para cada valor de descontinuidade, através de uma

função de ponderação inversamente proporcional à probabilidade de intersecção entre a

descontinuidade e o plano de amostragem. A probabilidade de interseção é proporcional ao

volume no qual o centro do domínio de amostragem estaria intersecionando a

descontinuidade.

Considerando uma descontinuidade com forma de pentágono que intercepta um plano

de amostragem retangular no ponto P (Figura 6.13), o volume total de influência será

separado em dois. O primeiro volume V1 é gerado pelo deslocamento do plano de amostragem

retangular ao longo do perímetro da descontinuidade, que corresponde ao movimento horário

dos quatro cantos do plano de amostragem ao longo do perímetro da descontinuidade. O

segundo volume V2 é gerado pelo deslocamento da descontinuidade ao longo do perímetro do

plano de amostragem retangular. Então o volume total será V = V1 + V2 no qual o centro do

plano de amostragem retangular ou janela O está presente, isto pode-se visualizar melhor na

Figura 6.13, onde a forma da descontinuidade é representada por um pentágono embora a

forma da descontinuidade não é considerada no cálculo geral do volume V.

O

R I

S

J

H

Q

GP

D

E

F

C

P2

P1

descont.

janela

ds

dj

vetor unitario normal ao plano da janela

vetor unitario normal ao plano da descontinuidade

A

B

Figura 6.13 Posição da descontinuidade e a janela de amostragem quando o canto P toca um

ponto do perímetro da descontinuidade (modificado – Wathugala et al., 1990).

Aplicando uma formulação vetorial, Wathugala et al. (1990), chegou a seguinte

relação para o cálculo dos volumes V1 e V2, assumindo como Aj a área da descontinuidade e As

a área do plano de amostragem, então V1 e V2 são:

132

µsen41 j

s dAV

= µsen

22

= s

jdAV (6.6)

Onde dj e ds são comprimentos de influência da janela de amostragem e da

descontinuidade como podem ser observados na Figura 6.13 e µ é o ângulo diedro formado

entre o plano da janela de amostragem e o plano da descontinuidade. Conseqüentemente o

volume V será:

( ) µsensjjs dAdAV += (6.7)

Para uma superfície de amostragem retangular de comprimento W e largura H e

adotando uma descontinuidade de forma circular com diâmetro d tem-se as seguintes relações

para o cálculo de V:

WHAs = [ spHrpWd j ]⋅+⋅= 11sen1

µ (6.8)

4 2dAj

π= dds = (6.9)

Onde é o vetor unitário perpendicular ao plano da descontinuidade (Figura 6.13), 1p

r e são os vetores unitários paralelos às direções de W e H da janela de amostragem

respectivamente.

s

Assumindo que a probabilidade de interseção do plano de amostragem com a

descontinuidade é inversamente proporcional ao volume antes calculado, então pode-se

definir o fator de correção wi, como o inverso deste volume. Assim:

V

wi1

= (6.10)

Como o fator de correção wi afeta a freqüência de cada descontinuidade, a somatória

das freqüências corrigidas tem que ser igual a N ou ao total de descontinuidades, então o fator

definitivo de correção w’i será:

133

iN

ii

i ww

Nw∑

=

=′

1

sendo que (6.11) ∑=

′=N

iiwN

1

Considerando cada dado de descontinuidade com freqüência original igual a 1/N, a

freqüência corrigida para cada descontinuidade será calculada multiplicando a freqüência

original vezes o fator de correção w’i. Multiplicando com este fator de correção w’i cada

componente das coordenadas cartesianas do vetor normal ao plano das descontinuidades,

pode-se fazer uma análise estatística e probabilística dos dados de orientação corrigidos.

A Figura 6.14 apresenta a distribuição de freqüência original e corrigida da família de

descontinuidades 1 do Talude Sudeste da mina de Timbopeba, onde pode-se observar a

influência da correção dos erros de tendência com os dois métodos aqui descritos. O método

de Watugala et al., 1990, para amostragem em superfície (aplicado nesta tese) e o método de

Priest 1985 para amostragem por scanline, apresentado só com fins ilustrativos. Os gráficos

de correção por orientação, das demais famílias de descontinuidades, estão no Apêndice A

(Figuras A.1 a A.11).

Talude Sudeste

familia 1

Priest, 1985 Wathugala et al., 1990

Figura 6.14 Distribuição da freqüência original e corrigida de orientação da família 1 do

Talude Sudeste.

134

6.4.2 MODELAGEM DA ORIENTAÇÃO DAS DESCONTINUIDADES

Fazendo uma análise estatística dos valores de orientação corrigidos, foram

calculados, para cada família de descontinuidades, os parâmetros de; orientação média, S* e

κ, segundo Mardia (1972) e como mostra a Figura 6.15 no histograma bivariacional dos dados

de orientação, corrigidos pelo método de superfície (Wathugala et al., 1990) da família 1 do

Talude Sudeste, existe uma concentração de dados numa região bem definida, justificando

assim adotar a distribuição de Fisher. Os demais histogramas bivariacionais das outras

famílias estão no Apêndice A (Figuras A.23 a A.33). A Tabela 6.5 mostra os parâmetros da

distribuição de Fisher obtidos para cada família.

Talude Sudeste familia1

Figura 6.15 Histograma bivariacional dos dados de orientação corrigidos da família 1 do

Talude Sudeste

A seguir foi realizado o teste de ajuste não paramétrico χ2, para a distribuição de

Fisher com os dados de orientação corrigidos. A Figura 6.16 mostra o ajuste para a família 1

do Talude Sudeste, os demais ajustes para as demais famílias de descontinuidades estão no

Apêndice A (Figuras A.34 a A.44). Estes resultados permitem adotar a distribuição de Fisher

(ou Normal Esférica) para a modelagem probabilística da orientação das descontinuidades.

135

Tabela 6.5 Valores estatísticos dos dados de orientação das famílias de descontinuidades

Região Família N Método Mergulho Dir Mergulho. S* κ

MÉDIA 50 47 0,015 63,87 P 50 47 0,009 102,07 1 59

W 49 49 0,012 80,99 MÉDIA 54 296 0,008 108,25

P 53 296 0,008 110,80 2 18

W 52 297 0,007 133,86 MÉDIA 59 155 0,013 64,96

P 58 155 0,013 62,43 3 11

W 56 155 0,014 59,91 MÉDIA 88 154 0,248 3,50

P 86 10 0,339 2,55

TSUD

10 15

W 48 80 0,239 3,62 MÉDIA 43 41 0,024 40,75

P 41 42 0,025 39,79 1 113

W 42 42 0,025 39,90 MÉDIA 73 162 0,010 95,52

P 73 159 0,011 83,79 2 41

W 72 160 0,010 92,23 MÉDIA 78 79 0,064 14,26

P 71 82 0,126 7,28

G11

10 24

W 68 81 0,056 16,40 MÉDIA 46 55 0,048 19,97

P 44 59 0,050 18,99 1 41

W 43 57 0,048 19,85 MÉDIA 86 139 0,079 10,18

P 75 113 0,078 10,31

G12

10 10

W 66 118 0,082 9,78 MÉDIA 49 42 0,023 38,80

P 48 42 0,024 36,29 G13 1 17

W 47 42 0,023 37,87 MÉDIA 49 37 0,022 40,40

P 47 42 0,022 41,13 TSUL 1 19

W 42 39 0,023 38,39 MÉDIA: dados originais; P: correção de Priest, 1985; W: correção de Wathugala et al., 1990

Para o teste de ajuste χ2 foi utilizada a distribuição de Fisher representada pela

seguinte relação:

( ) θκκκ

θκθ cossen eee

f −−= (6.12)

Onde:

κ - coeficiente de concentração e

136

θ - ângulo sólido entre a direção media e outra medida de direção esférica.

Para o teste se utilizou a distribuição acumulada de Fisher que define qual é a

probabilidade de ocorrer alguma descontinuidade dentro de um determinado ângulo sólido θ

para o parâmetro κ determinado, esta distribuição está representada por:

( ) ( )θκθ cos11 −−−=< eP (6.13)

Portanto com a distribuição acumulada dos dados de orientação observados e a

distribuição acumulada de Fisher se obtém a Figura 6.16, onde pode-se apreciar o bom ajuste

dos dados com a distribuição de Fisher.

TSUD-F1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25 30

θ (o)

P(<

)

Wathugala et al., 1990Fisher

Figura 6.16 Teste de ajuste não paramétrico χ2 da distribuição de Fisher para os dados de

orientação corrigidos da família 1 do Talude Sudeste.

Os resultados do teste de ajuste com cada uma das famílias de descontinuidades está

apresentado na Tabela 6.6, onde se pode apreciar que muitas das famílias se ajustam à

distribuição de Fisher. Para este teste foi adotada a hipótese nula H0: χ2 < χ2crítico onde χ2 é a

probabilidade acumulada dos dados observados (Tabela 2.3) e χ2crítico é a probabilidade

teórica da distribuição acumulada de χ2 para um nível de significância de α = 5% e graus de

liberdade ν = 7, assim o valor de χ2crítico é 14,07.

137

Tabela 6.6 Teste de ajuste χ2 dos dados de orientação com a distribuição de Fisher

Região Família N Método ν Χ2 χ2crítico

Aceita H0

MÉDIA 7 23,01 14,07 não P 7 9,80 14,07 sim 1 59

W 7 12,56 14,07 sim MÉDIA 7 9,74 14,07 sim

P 7 19,51 14,07 não 2 18

W 7 18,44 14,07 não MÉDIA 7 11,93 14,07 sim

P 7 13,77 14,07 sim 3 11

W 7 6,29 14,07 sim MÉDIA 7 11,78 14,07 sim

P 7 14,55 14,07 não

TSUD

10 15

W 7 15,53 14,07 não MÉDIA 7 20,14 14,07 não

P 7 10,41 14,07 sim 1 113

W 7 17,01 14,07 não MÉDIA 7 36,34 14,07 não

P 7 33,23 14,07 não 2 41

W 7 24,64 14,07 não MÉDIA 7 173,66 14,07 não

P 7 41,45 14,07 não

G11

10 24

W 7 45,49 14,07 não MÉDIA 7 16,08 14,07 não

P 7 9,12 14,07 sim 1 41

W 7 19,99 14,07 não MÉDIA 7 28,47 14,07 não

P 7 12,84 14,07 sim

G12

10 10

W 7 22,94 14,07 não MÉDIA 7 6,81 14,07 sim

P 7 8,98 14,07 sim G13 1 17

W 7 10,76 14,07 sim MÉDIA 7 12,06 14,07 sim

P 7 40,79 14,07 não TSUL 1 19

W 7 25,19 14,07 não MÉDIA: dados originais; P: correção de Priest, 1985; W: correção de Wathugala et al., 1990; ν: graus de liberdade

6.5 TAMANHO DAS DESCONTINUIDADES

A medida do comprimento dos traços das descontinuidades foi realizada por Durand,

(1995), para cada bancada e para cada sub-região. Nesse levantamento algumas

descontinuidades apresentam a descrição do traço padronizada pela Associação Internacional

para Mecânica das Rochas (ISRM, 1978). Onde, por exemplo, o valor de 8dx significa um

138

traço com comprimento de 8 m, com um extremo não visível ou fora do limite da janela de

amostragem (altura ou comprimento da bancada) e o outro extremo terminando na interseção

com outra descontinuidade.

Para traços com ambos extremos não visíveis, o comprimento foi calculado

indiretamente com aplicação da análise vetorial, considerando o tamanho de cada bancada

(altura H e comprimento W), a orientação da descontinuidade e a orientação do plano de

amostragem, obtendo assim dados aproximados de traço. Histogramas, dos dados de

comprimento do traço (Figura 6.17) foram ajustados para as distribuições: Normal,

Lognormal, Exponencial Negativa e Gamma, os histogramas com seus respectivos ajustes de

curva para cada família de descontinuidades estão no Apêndice B (Figuras B.1 a B.11). A

Tabela 6.7 mostra os resultados do ajuste de curva, com os testes K-S e χ2, para cada família

de descontinuidades e a distribuição que melhor se ajustou ressaltada em negrito, a qual

posteriormente será adotada para a análise probabilística. Para o teste K-S foi calculada a

diferença máxima d com a Equação 2.29 e a Probabilidade P com a Equação 2.30. O teste χ2

calcula a Probabilidade P para o valor de χ2 observado (Tabela 2.3). A distribuição de

probabilidade com maior probabilidade de teste P, ou menor valor de d ou χ2 foi escolhida

como a distribuição de probabilidade que melhor se ajusta aos dados observados.

Expected

Variable TSUD_1 ; distribution: GammaKolmogorov-Smirnov d = ,0728350, p = n.s.

Chi-Square: 5,309008, df = 4, p = ,2570605 (df adjusted)

Traço (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42

Figura 6.17 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 do Talude Sudeste

139

Tabela 6.7 Resultados dos teste de ajuste não paramétricos (χ2 e K-S) dos dados de

comprimento do traço.

Kolmogorov-Smirnov χ2 Região Família Distribuição d P χ2 df P

Normal 0,102 n.s. 7,065 5 0,2158896 Lognormal 0,075 n.s. 5,719 4 0,2211863 Exponential 0,459 < 0,01 146,507 5 0

1

Gamma 0,073 n.s. 5,309 4 0,2570606 Normal 0,121 n.s. ------ 0 1 Lognormal 0,105 n.s. ------ 0 1 Exponential 0,538 < 0,01 ------ 0 1

2

Gamma 0,106 n.s. ------ 0 1 Normal 0,239 n.s. ------ 0 1 Lognormal 0,236 n.s. ------ 0 1 Exponential 0,586 < 0,01 ------ 0 1

3


TSUD

10

Gamma 0,099 n.s. ------ 0 1 Normal 0,152 < 0,05 63,283 10 0 Lognormal 0,132 < 0,05 56,015 10 0 Exponential 0,566 < 0,01 689,186 3 0

1

Gamma 0,139 < 0,05 59,698 10 0 Normal 0,182 < 0,15 6,609 1 0,0101484 Lognormal 0,168 < 0,20 5,366 1 0,0205428 Exponential 0,612 < 0,01 ------ 0 1

2

Gamma 0,171 < 0,20 5,581 1 0,0181634 Normal 0,157 n.s. ------ 0 1 Lognormal 0,154 n.s. ------ 0 1 Exponential 0,621 < 0,01 ------ 0 1

G11

10

Gamma 0,151 n.s. ------ 0 1 Normal 0,200 < 0,10 19,181 3 0,0002515 Lognormal 0,181 < 0,15 20,977 2 0,000028 Exponential 0,576 < 0,01 248,852 1 0

1

Gamma 0,188 < 0,15 22,089 2 0,000016 Normal 0,219 n.s. ------ 0 1 Lognormal 0,230 n.s. ------ 0 1 Exponential 0,581 < 0,01 ------ 0 1

G12

10


G13 1


TSUL 1

Gamma 0,175 n.s. ------ 0 1 d: diferença máxima; P: probabilidade; df: graus de liberdade

140

6.5.1 CORREÇÃO DE ERROS DE TENDÊNCIA DO COMPRIMENTO DO TRAÇO

O cálculo do traço médio considerando uma superfície de amostragem infinita e

levando em conta a correção dos erros de tendência (truncamento e censura), foi dividido em

dois tipos, para comprimentos de traços amostrados, usando linhas de amostragem ou

scanlines (Cruden, 1977 e Priest & Hudson, 1981) e para comprimentos de traço amostrados

em superfície (Kulatilake & Wu, 1984).

Segundo Cruden (1977) e Priest & Hudson (1981), o cálculo do traço médio,

considerando a medida do comprimento dos traços utilizando linhas de amostragem e a

correção dos erros de tendência (truncamento e censura), podem ser calculados para

comprimentos de traços semicensurados ou seja traços com uma extremidade visível e a outra

não visível. Defini-se assim a proporção numérica da interseção de descontinuidades com

traços semicensurados menores que o limite de amostragem c (altura máxima da janela de

amostragem) como r/n, onde r é o número total de descontinuidades com semitraços menores

que c e n o número total de medidas, considerando que os dados de traço não corrigidos,

seguem uma distribuição exponencial negativa, pode-se definir que:

cenr µ−−=1 ou cen

rn µ−=− (6.14)

Onde µ é a freqüência média do traço ( l1=µ , l é o traço médio) e em conseqüência

se obtém a seguinte relação para uma distribuição exponencial negativa:

c

nrn

−

−=

lnµ (6.15)

Outra aproximação para o comprimento médio do traço semicensurado, considerando

também uma distribuição exponencial negativa, assume que a média dos traços

semicensurados tem a seguinte relação:

( )( )c

c

i ece

µ

µ

µµ −

−

−−=

111 (6.16)

141

Onde µi é a freqüência média do semitraço (µi = 1/li, li é o semitraço médio),

substituindo a Equação 6.14 na Equação 6.16 chegamos à seguinte relação para o traço médio.

−

+=

nrncli

1µ (6.17)

As Equações 6.15 e 6.17 foram desenvolvidas considerando que o comprimento dos

traços tem uma distribuição exponencial negativa mas de duas perspectivas diferentes. Para

obter o valor do traço médio l bastará calcular a inversa de µ das Equações 6.15 e 6.17 aqui

denominadas de l1 = 1/µ1 e l2 = 1/µ2, respectivamente. A Figura 6.18 mostra o cálculo de µ1 e

µ2 (freqüência média para uma distribuição do traço exponencial negativa) l1 e l2 com a

variação do limite de amostragem c, para a família 1 do Talude Sudeste, o cálculo de µ1, µ2, l1, e l2 para as demais famílias de descontinuidades estão no Apêndice B (Figuras B.12 a

B.22). A Tabela 6.8 mostra os comprimentos de traço médio obtido para cada família de

descontinuidades.

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0 20 40 60 80 100

c (m)

m-1

)

µ1

µ2

0

100

200

300

400

500

600

0 20 40 60 80 100

c (m)

l (m

)

l1l2

(a) (b)

Figura 6.18 Comprimento de traço médio para a família 1 do Talude Sudeste: (a) Freqüência

média; (b) Comprimento médio.

Os dados obtidos na Tabela 6.8 para os Taludes Sudeste e Sul tem que ser

multiplicados por um fator de proporção que represente sua altura verdadeira e não as das

bancadas separadamente.

142

Tabela 6.8 Freqüência e traço médio das famílias de descontinuidades considerando

amostragem por scanline.

Região Família c (m) r li µ1 µ2 l1 (m) l2 (m) 1 84,5 59 24,47 0,05 0,04 19,74 24,47 2 36 18 27,73 0,09 0,04 11,76 27,73 3 36,25 11 28,30 0,05 0,04 20,38 28,30

TSUD

10 55,4 15 26,76 0,05 0,04 19,65 26,76 1 6,08 113 3,99 0,57 0,25 1,77 3,99 2 4,925 41 2,87 0,77 0,35 1,29 2,87 G11

10 4,011 22 2,89 0,62 0,31 1,61 3,26 1 6,852 41 4,30 0,45 0,23 2,20 4,30 G12

10 10,1 10 3,88 0,24 0,26 4,21 3,88 G13 1 4,89 17 3,54 0,61 0,28 1,65 3,54

TSUL 1 482,3 19 114,96 0,01 0,01 155,31 114,96

Segundo Kulatilake & Wu (1984) o cálculo do traço médio de dados amostrados numa

superfície vertical infinita, pode-se obter com a seguinte relação:

( )

( )( )hAwBRRRRwh

l++−

−+=

20

20

11

(6.18)

( ) 2122 costan1

1cosδθ

θ+

== AA ; ( ) 2122 seccot1

1senδθ

θ+

== AB (6.19)

Onde w e h são as dimensões da janela retangular de amostragem (w é a base e h a

altura), R0 e R2 são a quantidade relativa de dados de traço censurados (sem nenhuma

extremidade visível) e não censurados (com ambas extremidades visíveis) respectivamente, θ

e δ são os ângulos de mergulho da descontinuidade e o ângulo entre os planos da

descontinuidade média e o plano de amostragem respectivamente.

Este cálculo depende, principalmente, do tamanho da janela (w e h) e da quantidade de

dados censurados e não censurados, não considerando assim nenhuma medida de

comprimento do traço. Neste trabalho o tamanho da maioria das janelas de amostragem

(bancadas) é menor que o comprimento médio dos traços, sendo assim o valor de R2 é muito

baixo, fornecendo assim valores muito grandes para a média do traço.

Por outro lado a Equação 6.18 permite calcular o comprimento do traço médio numa

superfície infinita para o caso de janelas de amostragem unicamente verticais, fato que limita

para uma aproximação os resultados do caso de estudo. A Tabela 6.9 mostra os resultados

obtidos de traço médio aproximado para as diferentes famílias de descontinuidades e as

143

Tabelas 5.1 e 5.2 apresentam os resultados do traço médio num plano infinito para qualquer

inclinação da superfície de amostragem desenvolvido no capítulo 5 superando assim as

limitações do modelo original de Kulatilake & Wu (1984).

Tabela 6.9 Traço médio para um plano infinito considerando amostragem por superfície.

Região Família R0 R2 w h δ Cós(θA) sen(θA) l (m) 1 0,85 0,15 112,5 26,63 89,81 1 0 614,96 2 0,83 0,17 105 26,63 13,82 0,63 0,78 141,88 3 0,82 0,18 82,5 25,04 18,52 0,58 0,81 113,82

TSUD

10 0,8 0,2 107,5 24,04 56,86 0,86 0,52 135,76 1 0,99 0,01 70 2,5 11,55 0,75 0,66 409,48 2 0,98 0,02 70 2,5 50,07 0,46 0,89 110,4 G11

10 0,96 0,04 70 2,5 51,2 0,54 0,84 66,63 1 0,98 0,02 70 2,5 26,97 0,77 0,64 150,42 G12

10 0,9 0,1 70 2,5 88,49 1 0,06 239,72 G13 1 0,94 0,06 70 2,5 12,01 0,68 0,73 53,04

TSUL 1 0,89 0,11 375 269,13 87,25 1 0,04 3006,49

6.5.2 DIÂMETRO DA DESCONTINUIDADE

Para inferir o diâmetro da descontinuidade (ou tamanho da descontinuidade), utilizam-

se os conceitos de probabilidade geométrica (Kendall & Moran, 1963; Santoló, 1976 e

Langevin, 1997) onde é definida a relação entre a distribuição de probabilidade do

comprimento do traço da descontinuidade e a distribuição de probabilidade do diâmetro da

descontinuidade, ou seja a inferência de um parâmetro bidimensional a partir de um

unidimensional. Como o modelo utilizado é para um disco circular bastará representar a

distribuição de probabilidade de seu diâmetro.

Para o cálculo do diâmetro a partir do comprimento do traço corrigido, são

apresentadas formulações por Beacher et al. (1977) e Kulatilake & Wu (1986). Estes últimos

apresentaram a seguinte formulação matemática. Considerando a função de probabilidade

para os dados corrigidos de comprimento do traço f(x,I), antes calculada, para um plano

vertical infinito, onde I é o evento de interseção da descontinuidade com o plano de

amostragem e x é o comprimento do traço resultante, então para o modelo do disco circular, a

função de probabilidade para o diâmetro será g(D). Onde g(D) está relacionada com f(x,I)

através da seguinte função:

144

(6.20) ( ) ( ) ( ) ( )dDDgDIPIDxfIxfx

| ,|, ∫∞

=

Onde P(I|D) é a probabilidade condicional de que a descontinuidade intercepte o plano

vertical de amostragem quando seu diâmetro seja D. Esta probabilidade pode ser representada

por uma constante de proporcionalidade C como demonstra Kulatilake & Wu (1986).

Segundo Kendall & Moran (1963) f(x|D,I) é a densidade de probabilidade do comprimento do

traço x, quando seu diâmetro é D e tem interseção I. Ela será dada pela Equação 3.93 aqui

reproduzida novamente como:

( )( ) 2122

,|xDD

xIDxf−

= (6.21)

Substituindo na primeira equação e aplicando as condições de contorno respectivas

para cada uma, se obtém a seguinte equação:

( )( )

dDDgxD

xC

Ixfx

)( 1, 2122∫∞

−= (6.22)

Onde C é a constante de proporcionalidade da probabilidade de interseção do disco de

diâmetro D com o plano de amostragem vertical. Integrando a equação e resolvendo

numericamente, a probabilidade para que o traço x esteja entre xj-1 e xj, j = 1, 2, 3, ... n, será

obtida pela seguinte equação:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dDDgdxxD

xC

dDDgdxxD

xC

dxIxf j

j jj

j

j

j

j

x

x

D

xx

x

x

x

x 1 1 ,

1 11121222122 ∫ ∫∫ ∫∫

− −−−

−+

−=

∞

(6.23)

Escrevendo a equação anterior de forma discretizada se obtém:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] (∑+=

−−− −+−−−=

+ n

jijjjijiji

jj DPxDC

DPxDxDC

Ixx

P1

2121

221222121

21 1 1,2

) (6.24)

145

njxx

D jjj ... ,3 ,2 ,1 e

21 =

+= − (6.25)

Desta forma tem-se um sistema de equações simultâneas que pode ser resolvido

numericamente para obter os valores de P(D1), P(D2), ... P(Dn) que constituem a

representação discretizada de g(D). Diferentes valores da constante C devem ser testados,

para resolver o sistema de equações, até que o correto valor de C resulte em:

(6.26) ( ) 11

=∑=

n

iiDP

A Figura 6.19 mostra a probabilidade discretizada P(Dj), a função de densidade de

probabilidade do diâmetro g(D) e também o valor do diâmetro médio D para a família 1 do

Talude Sudeste, as demais famílias estão apresentadas no Apêndice B (Figuras B.23 a B.33).

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 20 40 60 80 100

D (m)

P(D

) P(Dj)

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0 20 40 60 80 100

D (m)

g(D

) g(Dj)

D

Figura 6.19 Distribuição de probabilidade discretizada do diâmetro P(D), a função de

probabilidade do diâmetro g(D) e média D , da família 1 do Talude Sudeste.

6.6 ESPAÇAMENTO DAS DESCONTINUIDADES

O espaçamento das descontinuidades é a distância perpendicular aos planos de duas

descontinuidades consecutivas pertencentes, da mesma família. Este valor não é diretamente

obtido em campo já que o plano de amostragem não é sempre perpendicular aos planos das

descontinuidades. Por tal motivo é necessário obter o espaçamento real antes de realizar

qualquer análise.

O espaçamento real er pode ser calculado com ajuda da análise vetorial onde o

espaçamento aparente ea é projetado num plano perpendicular à família da descontinuidade,

146

este processo é realizado com o produto escalar de dois vetores, considerando então nd o vetor

unitário normal ao plano da descontinuidade e ne o vetor unitário na direção de medida do

espaçamento aparente ea e θ o ângulo entre os dois vetores, então temos que o ângulo θ será

tirado da seguinte relação: nd . ne = cosθ e por tanto a projeção de ea no plano perpendicular a

descontinuidade será: θcosar e=e . Este procedimento foi aplicado a todos os dados de

espaçamento medidos.

6.6.1 CORREÇÃO DOS ERROS DE TENDÊNCIA E DENSIDADE LINEAR DAS

DESCONTINUIDADES

A estimativa do espaçamento médio ou a freqüência linear média (inversa do

espaçamento médio) são baseadas em medidas realizadas em linhas de amostragem finitas,

mesmo que medidas de espaçamento não tendencioso devam ser tomadas de linhas de

amostragem infinitas. Sen & Kazi (1984) e Kulatilake (1988 e 1993) trataram este problema e

apresentaram um procedimento para corrigir este erro de tendência para o espaçamento médio

que segue uma distribuição exponencial negativa, onde E’(x) é o espaçamento médio baseado

no comprimento finito da linha de amostragem L e o espaçamento médio 1/λ, é baseado num

comprimento infinito da linha de amostragem. Portanto, o espaçamento médio E’(x) e a

percentagem de erro relativo α do espaçamento médio estimado, estão definidos como:

( ) ( )( )

+−

−=′ −

−L

L eLe

xE λλ λ

λ11

111 ,

( )

′−=

λ

λα1

1

100xE

(6.27)

Aplicando esta correção por tendência para espaçamentos medidos na faixa de 0,12 m

a 0,20 m e comprimentos de linha de amostragem maior ou igual a 5,0 m (dimensão da janela

mínima adotada por Durand, 1995), o erro é praticamente desprezível, considerando assim a

não existência de erros por tendência nos dados utilizados. Os resultados de espaçamento

médio são apresentados na Tabela 6.10 de amostragem por scanline.

147

Tabela 6.10 Espaçamento médio e densidade linear corrigidos para cada família de

descontinuidades

Amostragem por scanline Amostragem superficial

Região Família N-esp µ E’(x) N-traço l m n ΣP0 ΣP1 λa

1 ---- 0,14 0,14 59 1 1 57 0,938 57,878 1,0138

2 ---- 0,14 0,14 18 3 1 14 1 14,05 1,003

3 ---- 0,14 0,14 11 2 2 7 1,999 7,003 1,000 TSUD

10 ---- 0,14 0,14 15 7 1 7 0,947 7,149 1,006

1 110 0,16 0,16 113 0 0 113 0 113,283 1,003

2 ---- 0,14 0,14 41 0 0 41 0 41,001 1,000 G11

10 ---- 0,14 0,14 22 0 0 22 0 26,505 1,104

1 34 0,08 0,08 41 0 0 41 0 41,345 1,008 G12

10 6 0,08 0,08 10 0 0 10 0 10,385 1,038

G13 1 13 0,05 0,05 17 0 0 17 0 17,002 1,000

TSUL 1 8 0,16 0,16 19 0 1 19 0,820 25,414 1,381

Com os dados disponíveis de espaçamento foi obtido o histograma para a

família 1 da Galeria 11, como mostra a Figura 6.20, juntamente foi desenhada a função de

probabilidade que mais se ajusta à distribuição dos dados. Os histogramas de espaçamento

para as demais famílias estão no Apêndice C nas Figuras C.1 a C.5 onde as famílias 1, 2, 3 e

10 do Talude Sudeste e as famílias 2 e 10 da Galeria 11 não têm registros de medidas de

espaçamento, motivo pelo qual foi adotado um espaçamento médio de 0,14 m que está

registrado nos documentos das visitas em campo destas regiões. A Tabela 6.11 mostra os

resultados do teste de ajuste de curva K-S e χ2 para o espaçamento corrigido com as funções

Normal, Lognormal, Exponencial negativa e Gamma. Para o teste K-S foi calculada a

diferença máxima d com a Equação 2.29 e a Probabilidade P com a Equação 2.30. O teste χ2

calcula a Probabilidade P para o valor de χ2 observado (Tabela 2.3). A distribuição de

probabilidade com maior probabilidade de teste P, ou menor valor de d ou χ2 foi escolhida

como a distribuição de probabilidade que melhor se ajuste aos dados observados.

148

Expected

Variable G11_1 ; distribution: LognormalKolmogorov-Smirnov d = ,2593353, p < ,01

Chi-Square: 270,6567, df = 7, p = 0,000000 (df adjusted)

Espaçamento (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0,0800,102

0,1230,145

0,1660,188

0,2090,231

0,2520,274

0,2950,317

0,3380,360

Figura 6.20 Histograma do espaçamento, família 1 do Talude Sul, ajustada à função

Lognormal.

Tabela 6.11 Resultado dos teste de ajuste de curva para as distribuições do espaçamento das

descontinuidades de cada família.

Kolmogorov-Smirnov Chi-Square: Região Fam. Distribuição d P χ2 df P

Normal 0,302 < 0,01 277,1229 7 0 Lognormal 0,259 < 0,01 270,6567 7 0 Exponential 0,436 < 0,01 432,1913 6 0

G11 1

Gamma 0,276 < 0,01 263,0852 7 0 Normal 0,366 < 0,01 52,49634 2 0 Lognormal 0,343 < 0,01 12,6721 2 0,0017735 Exponential 0,410 < 0,01 72,41378 2 0

G12 1

Gamma 0,356 < 0,01 12,94788 2 0,0015452 Normal 0,296 n.s. ------ 0 --- Lognormal 0,304 n.s. ------ 0 --- Exponential 0,230 n.s. ------ 0 ---

10

Gamma 0,323 n.s. ------ 0 --- Normal 0,293 < 0,20 ------ 0 --- Lognormal 0,231 n.s. ------ 0 --- Exponential 0,214 n.s. ------ 0 ---

G13 1

Gamma 0,260 n.s. ------ 0 --- Normal 0,391 < 0,15 ------ 0 --- Lognormal 0,391 < 0,15 ------ 0 --- Exponential 0,292 n.s. ------ 0 ---

TSUL 1

Gamma 0,406 < 0,15 ------ 0 ---

Para o caso de amostragem de espaçamento em superfície, Kulatilake & Wu (1984),

apresentam uma correção por erros de tendência, este método considera a densidade que é

149

definida como o número de pontos médios dos traços por unidade de área da superfície de

amostragem. É calculada a probabilidade que o ponto médio C, do traço, esteja dentro da

janela de amostragem e depois esta é usada como fator de correção (ou peso) para calcular a

densidade do traço.

A probabilidade que o ponto médio C, de um traço, intersecte a janela de amostragem

e ao mesmo tempo apresente só uma extremidade visível será P1(W) definida por:

( )( )

( )∫∫

∞=

a

a

a

dxxf

dxxfWP

2

1 (6.28)

Onde f(x) é a densidade de probabilidade do traço e a é o comprimento da interseção.

A probabilidade que o ponto médio C esteja dentro da janela de amostragem,

considerando traços sem nenhuma extremidade visível será P0(W) e aplicando a probabilidade

geométrica, se obtém a seguinte relação:

( )( )

( )( )

( )∫∫

∫∫

∞

∞

∞+

−=

a

a

a

a

a

dxxfdxxf

dxxfax

a

dxxfWP

2

20

1

1 (6.29)

Onde as integrais podem ser calculadas numericamente. Finalmente o número médio

corrigido de traços por unidade de área será λa e pode ser calculado com a seguinte relação:

( )[ ] ( )[ ]

nml

CPCPln

jj

n

ii

a ++

++=

∑∑== 1

01

1

λ (6.30)

Onde l é o número de traços com ambos extremos visíveis, m o número de traços com

um extremo visível e n o número de traços sem nenhum extremo visível.

Esta densidade corrigida de amostragem em superfície foi calculada para cada família

de descontinuidades, aplicando a integração numérica para as funções de probabilidade

correspondentes, os resultados obtidos de amostragem em superfície são apresentados na

Tabela 6.10.

150

6.6.2 DENSIDADE VOLUMÉTRICA DAS DESCONTINUIDADES

Oda (1982) tem expressado o número de descontinuidades circulares que interceptam

um comprimento unitário da linha de amostragem i (scanline), quando a orientação da

descontinuidade n (vetor unitário normal ao plano da descontinuidade), é independente da sua

dimensão r (raio do círculo). Levando em conta uma família de descontinuidades j na direção

normal ao plano médio da família, pode-se determinar a densidade volumétrica desta família

(λv)j, com a seguinte relação:

( )( )

( ) ( )i

jijv nEDE 2

4π

λλ = (6.31)

Onde (λi)j é a densidade ou freqüência linear da família j na direção da linha de

amostragem i, E(.) é o valor esperado da função entre parênteses, D é o diâmetro da

descontinuidade e ni é o produto escalar do vetor n com o vetor unitário na direção da linha de

amostragem i (ni = n · i).

Então para amostragem linear com scanline, a densidade de descontinuidades em 3D

do maciço será a somatória das densidades volumétricas de todas as famílias de

descontinuidades presentes no maciço, como:

(6.32) ( )∑=

=n

jjvVT

1λλ

Para amostragem do espaçamento em superfície, existe outro procedimento descrito

por Kulatilake (1993), que relaciona a densidade de descontinuidades média em 2D (número

médio de centros de descontinuidades por unidade de área) e a intensidade média da família

de descontinuidades em 3D. Assim para estimativa da densidade em 3D de cada família de

descontinuidades é usada a seguinte equação:

( ) ( )( ) vEDE

EE av sen

λλ = (6.33)

Onde λa é a densidade de descontinuidades em 2D, D é o diâmetro da descontinuidade

e v é o ângulo entre o plano da descontinuidade e o plano de amostragem.

151

Os resultados destes dois procedimentos, tanto para amostragem por scanline como

para superfície estão na Tabela 6.12, onde pode-se apreciar uma grande diferença nos

resultados, mostrando assim uma pouca consistência no cálculo deste parâmetro.

Com a caracterização deste último parâmetro, a geometria da descontinuidade está

quase completa, incluindo a caracterização da orientação, o diâmetro e a densidade

volumétrica.

Tabela 6.12 Densidade 3D das famílias de descontinuidades (scanline e superficial).

Amostragem por scanline Amostragem por superfície

Região Família N-esp µ λl E(D2) E(|n.i|) λv λ VT N-traço E(λα) E|senv| E(λν) λVT

1 ---- 0,14 6,67 595,38 0,075 0,190 59 1,014 0,756 0,055

2 ---- 0,14 6,67 807,99 0,751 0,014 18 1,003 0,788 0,045

3 ---- 0,14 6,67 839,84 0,761 0,013 11 1 0,828 0,042 TSUD

10 ---- 0,14 6,67 654,00 0,562 0,023 0,240 15 1,006 0,741 0,053 0,194

1 110 0,16 6,25 16,77 0,635 0,770 113 1,003 0,664 0,368

2 16 0,14 7,14 8,83 0,621 1,659 41 1 0,95 0,354 G11

10 15 0,14 7,14 11,12 0,589 1,389 3,819 22 1,104 0,929 0,357 1,079

1 34 0,08 12,50 18,53 0,576 1,528 41 1,008 0,68 0,344 G12 10 6 0,08 12,50 11,55 0,703 1,998 3,526 10 1,038 0,912 0,335 0,680

G13 1 13 0,05 20,00 13,20 0,7 2,654 2,654 17 1 0,737 0,373 0,373 TSUL 1 8 0,16 6,25 2948,34 0,086 0,032 0,032 19 1,381 0,975 0,038 0,038

6.6.3 NÚMERO DE DESCONTINUIDADES

O número médio de descontinuidades representa à densidade volumétrica da

descontinuidade, antes calculada, então o número médio de descontinuidades é obtido

multiplicando a densidade volumétrica de cada família de descontinuidades pelo volume

correspondente ao maciço analisado. Este volume é calculado com relação às dimensões da

janela de amostragem (W, H) e do diâmetro máximo (Dmax) presente no maciço (Tabela 6.13):

( )( )2maxmax 33 DHDWVolume ++= (6.34)

O fato de acrescentar em 3 vezes Dmax as dimensões da janela é para garantir prováveis

descontinuidades com centros de disco fora da janela de amostragem. Nesta tese foram

considerados volumes menores considerando somente as dimensões da janela de amostragem,

152

assim como também densidades mínimas das descontinuidades, com objetivo de diminuir o

número de descontinuidades a ser geradas nos arquivos de representação visualização gráfica.

Tabela 6.13 Número médio de descontinuidades para amostragem por scanline e por

superfície

Scanline Superfície

Região Família W H Dmax Volume λv N (desc.) E(λn) N (desc.)

1 112,50 26,63 24,40 1850769 0,190 488183 0,055 141340

2 105,00 26,63 28,43 2382797 0,014 35963 0,045 115130

3 82,50 25,04 28,98 2124795 0,013 34157 0,042 107236 TSUD

10 107,50 24,04 25,57 1870370 0,023 59373 0,053 136564

1 70,00 2,50 4,10 17988 0,770 13859 0,368 6627

2 70,00 2,50 2,97 10279 1,659 29845 0,354 6375 G11

10 70,00 2,50 3,33 12506 1,389 24986 0,357 6414

1 70,00 2,50 4,30 19695 1,528 30087 0,344 6784 G12 10 70,00 2,50 3,40 12927 1,998 39352 0,335 6601

G13 1 70,00 2,50 3,63 14530 2,654 38555 0,373 5425

TSUL 1 156,58 79,63 54,30 18790808 0,032 594888 0,038 708071

6.7 MODELAGEM PROBABILÍSTICA DA DESCONTINUIDADE EM 3D

A geração do modelo será feita com base no volume que representa a janela de

amostragem utilizada em campo, a profundidade deste volume é determinada em função da

menor dimensão da janela de amostragem e o diâmetro máximo calculado das famílias de

descontinuidades correspondentes. Posteriormente, são modelados para cada família de

descontinuidades os seguintes parâmetros: (a) Número de descontinuidades, considerando

uma distribuição de probabilidade de Poisson e uma média da densidade volumétrica antes

calculada; (b) Localização dos centros (x, y, z) das descontinuidades consideradas como

discos planos, utilizando uma distribuição de probabilidade uniforme, o número de

descontinuidades e as dimensões do volume do modelo; (c) Orientação das descontinuidades

em função da distribuição bi-variacional normal do mergulho e direção de mergulho com os

parâmetros de média e desvio antes calculados e (d) Diâmetro das descontinuidades em

função da distribuição de probabilidade correspondente para cada família. Todos estes

parâmetros foram modelados aplicando o método de Monte Carlo onde foram rodadas entre

50 a 60 iterações, monitorando o resultado das diferenças entre os parâmetros de média,

153

desvio padrão e coeficiente de correlação de cada rodada do modelo com os parâmetros

adotados.

O método de Monte Carlo é a técnica mais utilizada para a geração de valores

aleatórios X de uma determinada distribuição de probabilidade, este método utiliza a

distribuição de probabilidade acumulada, que por definição varia entre 0 e 1, para qualquer

variável contínua uniformemente distribuída. Por conseguinte, se for gerado um valor

aleatório, RU, de 0 a 1, o valor da variável X pode ser calculado da inversa da distribuição de

probabilidade acumulada, desde que se suponha que o valor de RU gerado seja igual à

distribuição de probabilidade acumulada. Este procedimento é repetido a maior quantidade de

vezes possíveis para assim gerar a quantidade de valores X necessários que representem a

distribuição de probabilidade selecionada. Resumindo em alguns passos: (1) geração do valor

aleatório RU entre 0 e 1, (2) supor que o valor RU é da distribuição de probabilidade

acumulada escolhida e (3) calcular o valor inverso da distribuição de probabilidade ou seja o

valor da variável X simulada, que corresponde ao valor da distribuição de probabilidade

acumulada adotada.

6.8 MODELAGEM DO NÚMERO DE DESCONTINUIDADES

Foi adotada a distribuição de Poisson, como a distribuição que modela o

comportamento do número de descontinuidades, por causa de ser unimodal e trabalhar com

dados discretos, Para esta distribuição foi adotada a média igual a média do número das

descontinuidades, antes calculada e o desvio padrão igual a raiz quadrada da média, tendo

assim definida a distribuição de probabilidade. Posteriormente aplicou-se o método de Monte

Carlo para modelar o número de descontinuidades, considerando 50 valores de número de

descontinuidades e variando o conjunto de valores de 50 a 60 vezes até achar o conjunto de

valores com média e desvio padrão mais próximos dos parâmetros da distribuição adotada. A

Figura 6.21 mostra o histograma obtido com o modelo para o número de descontinuidades da

família 10 da Galeria 11, os histogramas das demais famílias de descontinuidades estão no

Apêndice D nas Figuras D.1 a D.11. As médias das distribuições modeladas são quase as

mesmas das médias das distribuições adotadas para o modelo, finalmente foram escolhidas as

médias iniciais.

154

Expected

Variable G11_10 ; distribution: Poisson l = 197,16Kolmogorov-Smirnov d = ,0292927, p = n.s.Chi-Square: 1,812538, df = 5, p = ,8744235

Número de descontinuidades

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240

Figura 6.21 Modelo do número de descontinuidades da família 10 da Galeria 11.

6.9 MODELAGEM DA LOCALIZAÇÃO DOS CENTROS DAS

DESCONTINUIDADES

Para a modelagem dos centros das descontinuidades foram consideradas as dimensões

do volume (comprimento em x, largura em y e altura em z) e a distribuição de probabilidade

Uniforme devido a que na determinação do número já está entendido o espaçamento das

descontinuidades e a distribuição uniforme permitirá colocar as descontinuidades de forma a

manter este espaçamento. Para esta modelagem foram gerados pontos de localização (x, y, z)

dos centros das descontinuidades aplicando o método de Monte Carlo com uma distribuição

de probabilidade Uniforme, uma quantidade de valores, igual ao número de descontinuidades

antes definido para cada família. Novamente foram testados vários conjuntos de valores

gerados aleatoriamente até achar o conjunto que melhor se ajuste a distribuição adotada. A

Figura 6.22 mostra o modelo gerado para a localização em x da família 1 do Talude Sudeste

ajustada com a Distribuição Uniforme, alguns modelos de localização dos centros das

descontinuidades estão no Apêndice D nas Figuras D.12 até D.23.

155

Expected

Variable TSD_1_X ; distribution: RectangularKolmogorov-Smirnov d = ,1052632, p < ,10

Chi-Square: 55,60811, df = 17, p = ,0000055

Posição em x

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Figura 6.22 Modelo de localização em x da família 1 do Taludes Sudeste.

6.10 MODELAGEM DA ORIENTAÇÃO DAS DESCONTINUIDADES

A orientação das descontinuidades foi caracterizada estatisticamente com a

distribuição de Fisher ou distribuição Normal Esférica. Esta distribuição pode ser também

representada por uma distribuição bi-variacional normal ou seja as duas distribuições de

probabilidade normais para cada parâmetro de orientação (mergulho e direção de mergulho).

Para cada uma das variáveis foi calculado, o parâmetro de média e desvio padrão da

distribuição normal assim como também a covariância e o coeficiente de correlação das duas

variáveis.

A simulação começa com a variável X (mergulho), onde primeiramente é gerado um

valor aleatório RU entre 0 e 1, este valor é assumido como a probabilidade normal acumulada

para a variável X (com parâmetros µX, σX ), finalmente com o cálculo da inversa da

distribuição de probabilidade normal é obtido o valor de mergulho x. Para a simulação da

variável Y (direção de mergulho) primeiramente é gerado outro valor aleatório RU entre 0 e 1

o qual também é assumido como a probabilidade normal acumulada da variável Y com a

diferença de que esta distribuição de probabilidade normal tem novos parâmetros de media

E(Y|X=x) e variância Var(Y|X=x) calculados em função do valor x, com as Equações 6.35 e

6.36, finalmente com o cálculo da inversa desta nova distribuição de probabilidade normal é

obtido o valor y de direção de mergulho. Desta forma foram gerados tantos pares de dados x, y

quanto o número de descontinuidades para cada família e ao mesmo tempo foram gerados

vários conjuntos de dados diferentes até achar o que melhor se ajuste à distribuição adotada.

156

( ) ( )( )XXYY xxXYE µσσρµ −−==| (6.35)

( ) ( )22 1| ρσ −== YxXYVar (6.36)

Onde:

µX, σX – são a média e desvio padrão do mergulho

µY, σY – são a média e desvio padrão da direção de mergulho

ρ - é o coeficiente de correlação,

A Figura 6.23 mostra a distribuição bi-variacional dos dados medidos e modelados do

Talude Sudeste para uma quantidade de dados igual a quantidade dos dados observados, com

o objetivo de poder fazer uma comparação visual dos dados observados com os modelados, os

histogramas bivariacionais das demais regiões estão no Apêndice D, Figuras D.23 a D.28.

Assim mesmo a Figura 6.24 e a Figura 6.25 mostram as projeções estereográficas de igual

área dos dados de orientação observados e modelados do Talude Sudeste respectivamente, os

estereogramas das demais regiões estão no Apêndice D, Figuras D.29 a D.38.

Talude Sudeste (dados observados) Talude Sudeste (dados modelados)

Figura 6.23 Histograma bivariacional de orientação dos dados observado e modelados do

Talude Sudeste

157

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES








Figura 6.24 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados do Talude Sudeste

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES






STEREONET: TALUDE SUDESTE MODELO (TIMBOPEBA)

DESCONT.: FAMILIAS DE DESCONTINUIDADES

Figura 6.25 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados do Talude Sudeste

158

6.11 MODELAGEM DO DIÂMETRO DAS DESCONTINUIDADES

Os diâmetros para cada família das descontinuidades foram modelados com base em

sua respectiva distribuição de probabilidade antes definida (Normal, Lognormal, Exponencial

negativa ou Gamma), aplicando o método de Monte Carlo. Este procedimento, ao igual que os

anteriores, consistiu em primeiramente gerar um valor aleatório RU entre 0 e 1, este valor foi

assumido como a probabilidade acumulada da variável, posteriormente com o cálculo da

inversa da distribuição de probabilidade acumulada, para o valor de probabilidade adotado,

foi obtido o valor de diâmetro para a família de descontinuidades correspondente. Estes dados

de diâmetro foram gerados tantas vezes como o número de dados para cada família de

descontinuidades. Nesta modelagem foi encontrado um bom ajuste dos dados modelados com

a distribuição correspondente como pode ser observado na Figura 6.26.

Expected

Variable TSUD_1_D; distribution: LognormalKolmogorov-Smirnov d = ,0388238, p = n.s.


Diâmetro (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

2 4 6 8 10121416182022242628303234363840424446485052545658

Figura 6.26 Histograma do diâmetro modelado da família 1 do Talude Sudeste.

159

Capítulo 7

7 VERIFICAÇÃO DO MODELO DAS

DESCONTINUIDADES

Com os dados gerados do modelo das descontinuidades passou-se a representação

visual do maciço rochoso. Para isto foi desenvolvido um programa gráfico em AutoCAD,

utilizando a sua linguagem de programação interna, AutoLISP. Este programa permite

desenhar discos no espaço 3D com diâmetro e orientação determinada, também como

volumes que determinem a tamanho do maciço analisado.

Neste capítulo são apresentados os volumes modelados das cinco regiões analisadas e

é efetuada a comparação com os dados amostrados em campo no levantamento de Durand

(1995). Serão apresentadas também algumas deduções práticas do modelo para serem

utilizadas no projeto de estabilidades de taludes e escavações subterrâneas.

7.1 GERAÇÃO VISUAL DOS MODELOS EM 3D

Para a representação visual das famílias de descontinuidades foi preciso a utilização

de um programa gráfico que permita a leitura de um arquivo de dados com os parâmetros da

janela de amostragem e os parâmetros das descontinuidades. Com este fim foi desenvolvido

um programa de desenho gráfico, na linguagem de programação AutoLISP, que faz parte do

programa AutoCAD.

Com a definição do volume do modelo (comprimento, largura e altura), explicada no

Capitulo 6, gerou-se o volume do maciço (ou paralelepípedo). Tendo em conta a

generalização do modelo pode-se considerar a orientação da superfície ou janela de

amostragem. Para isto utilizou-se o comprimento, largura e altura do volume do modelo e a

orientação da superfície de amostragem. A orientação da superfície de amostragem é

fundamental para dar a correta posição do volume com relação ao Norte, bem como a

inclinação do talude ou da parede de amostragem que representa a generalização do modelo

desenvolvida neste trabalho (Figura 7.1)

160

Cada família de descontinuidades de cada região analisada foi colocada em seu

volume de modelo correspondente e com a orientação da superfície de amostragem foi

corrigida a posição do ponto central dos discos das descontinuidades, com relação a direção

do volume do modelo, como se mostra na Figura 7.2.

B

A

C

D

A'

B'

C'

D'

ABCD: superfície ou janela de amostragemαj: direção de mergulho da janela de amostragemθj: mergulho da janela de amostragem

αj

θj

Figura 7.1 Esquema de geração do volume do modelo com orientação definida da superfície

ou janela de amostragem.

disco da descontinuidade

interseção da descontinuidadecom o volume do modelo

Figura 7.2 Disco da descontinuidade intersectando o volume do modelo.

161

Em resumo são necessários os parâmetros de comprimento, largura e altura do volume

do modelo, também a direção de mergulho e o mergulho da superfície de amostragem. Para as

descontinuidades representadas como discos são necessárias as posições do centro do disco

(x, y, z) no espaço 3D, o diâmetro do disco e a direção de mergulho e o mergulho, todos estes

valores já foram calculados nos items 6.7 a 6.11. Com todos estes parâmetros (Tabela 7.1) e o

procedimento antes mencionado são gerados os modelos em 3D para cada região analisada

como se mostra a seguir.

7.2 MODELOS 3D DAS CINCO REGIÕES ANALISADAS

Para a geração dos volumes analisados são necessários arquivos de dados com os

parâmetros antes definidos. Estes arquivos de dados foram gerados em Excel e posteriormente

convertidos em arquivos de texto (*.txt) como mostra a Tabela 7.1. A quantidade de dados

por família de descontinuidades e por região analisada está na Tabela 7.2. Para as regiões

analisadas gerou-se a visualização 3D das diferentes famílias de descontinuidades

consideradas (Figura 7.3 a 7.7.), aplicando o programa em AutoLISP, disco.lsp (Apêndice E).

Tabela 7.1 Arquivo de dados do modelo e das descontinuidades da galeria 12 e família 10

região / família G12_10

numero de descont. 15

direção janela de amostragem 300

Volume

LADO X LADO Y LADO Z DIAM. MÁX. DIP DIP. DIR. 80 12 12 1620 90 300

Descontinuidade

X Y Z Diâmetro DIP DIP. DIR. 21,95 11,19 6,14 731,85 64,75 132,66

47,21 1,72 7,68 647,06 71,01 203,33

62,32 4,03 9,80 435,06 44,36 147,63

13,25 5,27 9,93 1553,23 66,57 99,01

23,40 4,27 11,47 730,48 71,43 262,40

51,43 5,66 3,88 655,99 86,70 296,85

21,48 9,41 5,92 815,09 63,38 172,57

70,34 9,60 3,73 786,54 49,25 18,71

16,91 2,07 10,60 365,98 46,03 73,95

14,35 5,44 8,28 334,45 16,32 219,97

50,72 0,27 2,36 1169,27 77,32 295,04

17,37 8,87 3,16 745,50 71,76 321,59

59,58 8,99 11,54 1419,52 69,14 24,02

42,51 8,03 1,59 1167,92 75,01 289,71

48,74 8,51 1,66 1623,88 74,55 2,51

162

Tabela 7.2 Quantidade de descontinuidades gerada pelo modelo por região e por família de

descontinuidades.

Região Família n 1 691 2 1451 3 2340 T. Sudeste

10 846 1 33 2 82 Galeria 11

10 25 1 86 Galeria 12 10 15

Galeria 13 1 237 T. Sul 1 1001

O Talude Sudeste modelado na Figura 7.3 apresenta uma altura máxima de 57,52 m

que é menor aos 142 m do talude real, por causa do pouco espaço de fundo do volume do

modelo (50 m) e o valor do mergulho da superfície de amostragem (de 45o a 50o). Para uma

altura real do talude ter-se-ia precisado de quase 150 m de fundo, implicando isto num maior

volume do modelo, um maior número de descontinuidades e uma maior quantidade de

memória do computador não disponível no momento. Desta forma está-se considerando

somente 57,52 m de altura do Talude Sudeste a partir da base do talude real. No Talude

Sudeste modelado na Figura 7.3 pode-se observar a distribuição das 4 famílias de

descontinuidades onde a orientação da maioria das descontinuidades é quase ortogonal à

superfície ou janela de amostragem do Talude Sudeste. Os demais traços das

descontinuidades apresentam uma distribuição também ortogonal ao plano de amostragem

mas com menor densidade. Existem outros traços de descontinuidades com distribuição

aleatória que podem representar a família 10 ou família de traços com orientação dispersa. O

tamanho das descontinuidades é muito maior às dimensões do volume do modelo gerando

assim descontinuidades que cortam o volume de extremo a extremo, por conseguinte existe

grande formação de blocos. O espaçamento das descontinuidades é muito pequeno, sobre todo

comparado com as dimensões do volume do modelo, gerando assim blocos de pequenas

dimensões.

A Galeria 11 modelada na Figura 7.4 foi gerada com uma seção transversal de 12m x

12m, seção maior à seção real da Galeria 11 (3m x 3m). Isto foi feito com o objetivo de ter-se

uma superfície de observação maior das paredes da galeria. Na Galeria 11 observa-se a

distribuição de duas famílias principais, uma paralela ao mergulho do talude sudeste e a outra

com mergulho oposto ao mergulho do talude sudeste, o restante das descontinuidades

163

apresentam uma orientação aleatória e em menor quantidade, novamente para este modelo o

tamanho das descontinuidades supera a extensão máxima do volume do modelo o que é

coerente com o observado em campo e a densidade das descontinuidades é muito similar com

a do Talude Sudeste mas pela dimensão menor do volume do modelo da Galeria parece menor

a densidade de descontinuidades na Galeria 11 que no Talude Sudeste.

Da mesma maneira a Galeria 12 foi modelada na Figura 7.5 com uma seção

transversal de 12m x 12m. Na Galeria 12 observa-se uma distribuição de descontinuidades

principal com mergulho um pouco menor ao mergulho da descontinuidade principal da

Galeria 11. Novamente o tamanho das descontinuidades supera a extensão máxima do volume

do modelo o que esta coerente com o observado em campo e a densidade das

descontinuidades é similar à Galeria 11.

A Galeria 13 foi modelada na Figura 7.6 também com uma seção transversal de 12m x

12m, onde observa-se uma distribuição da descontinuidade principal com mergulho mais

íngreme que as descontinuidades da Galeria 11 e ao mesmo tempo paralela com a face do

Talude Sul. O tamanho das descontinuidades também supera a extensão do volume do modelo

e a densidade da família principal é alta, mostrando claramente a presença de foliação.

O Talude Sul modelado (Figura 7.7) apresenta uma altura máxima de 60 m que é

menor aos 245 m do talude real. Para uma altura real do talude ter-se-ia precisado de quase

250 m de altura, implicando isto num maior volume do modelo e novamente uma maior

quantidade de memória do computador não disponível no momento. Portanto está-se

considerando somente 60 m de altura do Talude Sul a partir da base do talude real. No Talude

Sul modelado na Figura 7.7 pode-se observar a distribuição da descontinuidade principal com

orientação paralela à orientação do plano de amostragem mostrando assim a presença do

plano de foliação do maciço rochoso. Devido às dimensões do Talude Sul e o espaçamento

médio das descontinuidades de 14 cm a visibilidade das descontinuidades na parede lateral

está muito densa. A quantidade de descontinuidades presentes neste maciço é muito maior do

que no Talude Sudeste mostrando uma maior densidade de descontinuidades ou um maciço

mais fraturado. É importante observar que mesmo com a alta densidade se observam regiões

nos volumes dos modelos, onde se tem maior densidade de descontinuidades e regiões onde o

maciço tem menor densidade de descontinuidades ou um maciço de melhor qualidade. Esta

foliação presente no Talude Sul está também presente no modelo das Galerias 11, 12 e 13

respectivamente.

164

Figura 7.3 Modelo probabilístico das descontinuidades do maciço do Talude Sudeste da Mina

de Timbopeba (dimensões em metros).

Figura 7.4 Modelo probabilístico das descontinuidades do maciço da Galeria 11 da Mina de

Timbopeba (dimensões em metros).

165





166

Figura 7.7 Modelo probabilístico das descontinuidades do maciço do Talude Sul da Mina de


7.3 VERIFICAÇÃO DA PREVISÃO DO MODELO 3D

Para verificar a previsão do modelo foram feitas comparações entre o modelo do

talude Sul, os modelos das Galerias 11, 12 e 13, e o mapeamento em campo realizado por

Durand (1995). No modelo 3D do Talude Sul foi feita a escavação das Galerias 11, 12 e 13,

simulando a escavação de 3 volumes de paralelepípedos com base quadrada de 12m x 12 m e

comprimento de 80 m na horizontal com direção de 210o com relação ao Norte . Estas três

galerias estão interligadas no final por uma galeria transversal a todas elas, como se mostra na

Figura 7.8. A Figura 7.9 mostra o resultado final do modelo com as três galerias.

167

G - 11

G - 12

G - 13

Galeria transversal

Figura 7.8 Modelo do Talude Sul com a escavação das 3 galerias e da galeria transversal de

ligação.

G - 11

G - 12

G - 13

Figura 7.9 Modelo do Talude Sul com as Galerias 11, 12 e 13.

168

Para fazer a comparação com os dados reais medidos em campo por Durand (1995) se

fizeram cortes verticais no modelo 3D do Talude Sul seguindo os eixos das Galerias 11, 12 e

13 como mostram as Figura 7.10, 7.11 e 7.12. As linhas tracejadas indicam a real dimensão

das paredes das Galerias 11, 12 e 13, de 3,0 m.

101,2

100

100

12

Figura 7.10 Corte do modelo do Talude Sul com vista da parede da Galeria 11 (as linhas

tracejadas indicam a real dimensão da parede da Galeria 11).

101,2

100

200 12



169

101,2

100

30012



Na Figura 7.13 se mostram os resultados da Galeria 11 tirada do modelado do Talude

Sul, com o mapeamento em campo da mesma Galeria 11 (Durand, 1995) e com o modelo da

própria Galeria 11, onde as linhas tracejadas nas Figura 7.13a e 7.13c, representam a

verdadeira altura da parede da Galeria 11 a qual foi modela com altura maior com fins de

visibilidade maior. Pode-se observar que na Figura 7.13a identifica-se uma família de

descontinuidades principal com orientação paralela a face do talude o que está concordando

com a Figura 7.13b do mapeamento em campo, com a diferença que no mapeamento em

campo unicamente são registradas as descontinuidades principais de 5 m em 5 m sem mostrar

a densidade real de descontinuidades na parede da Galeria. Além disso tem-se algumas

descontinuidades menos íngremes no final da Figura 7.13a que também concordam com a

Figura 7.13b. A Figura 7.13c apresenta duas famílias principais de descontinuidades uma

paralela a face do Talude Sul e a outra com mergulho oposto que pode ser uma segunda

família de descontinuidade não muito representativa pelo que não foi registrada no

mapeamento em campo na Figura 7.13b.

170

80

12

(a)

(b)

80

12

(c)

Figura 7.13 Verificação do Modelo com a Galeria 11: (a) Galeria 11 tirada do Modelo do

Talude Sul; (b) Mapeamento em campo da Galeria 11; e (c) Modelo da Galeria 11.

171

Na Figura 7.14 se mostram os resultados da Galeria 12 tirada do modelado do Talude

Sul, com o mapeamento em campo da mesma Galeria 12 (Durand, 1995) e com o modelo da

própria Galeria 12. A Galeria 12 (Figura 7.14a) apresenta uma família de descontinuidades

principal com orientação também paralela a face do talude, concordando com a parte inicial

da Figura 7.14b do mapeamento em campo. A Figura 7.14a também apresenta algumas

descontinuidades menos íngremes que estão mais presentes no mapeamento na Figura 7.14b,

No entanto, o modelo da própria Galeria 12 (Figura 7.14c) apresenta claramente as famílias

de descontinuidades menos íngremes que são registradas no mapeamento em campo na Figura

7.14b. Este modelo da galeria 12 está mais concordante com o mapeamento em campo mas

possivelmente com maior densidade que a do mapeamento em campo.

A Figura 7.15 apresenta os resultados da Galeria 13 tirada do modelo do Talude Sul,

com o mapeamento em campo da mesma Galeria 13 (Durand, 1995) e com o modelo da

própria Galeria 13. A Galeria 13 tirada a partir do modelo do Talude Sul (Figura 7.15a)

apresenta uma família de descontinuidades principal com orientação também paralela a face

do talude, concordando com parte do mapeamento em campo da Figura 7.15b. A Figura 7.15a

também apresenta uma segunda família de descontinuidades menos íngreme que representa à

mapeada em campo (Figura 7.15b). No caso do modelo da Galeria 13 (Figura 7.15c) as duas

famílias de descontinuidades do mapeamento (Figura 7.15b) estão presentes no modelo com

maior densidade mostrando inclusive uma concentração na parte final da Galeria 13 (Figura

7.15c).

Como pode ser observado nestas três comparações, dos modelos previstos com o

mapeamento em campo, existe sempre a correta representação da família principal de

descontinuidades. Por outro lado, as famílias secundárias não estão presentes no mapeamento

em campo, o que não permitiu uma completa comparação do modelo com o real, sendo que

no mapeamento em campo somente foram registradas as famílias de descontinuidades mais

importantes com objetivo de análise de estabilidade e não para um modelo de distribuição de

descontinuidades probabilístico.

172

80

12

(a)

(b)

80

12

(c)



173

80

12

(a)

(b)

80

12

(c)



174

Capítulo 8

8 CONCLUSÕES

A presente tese foi desenvolvida com o objetivo de produzir uma ferramenta útil para

determinar a provável estrutura geomecânica do maciço rochoso que permita definir o

tamanho de blocos, planos de fraqueza possíveis, direções de fluxo etc. Para o cumprimento

deste objetivo se fez estudo das ferramentas estatísticas e probabilísticas necessárias para esta

análise, ferramentas pouco usuais na engenharia, mas que com o tempo cada vez mais

demonstram sua utilidade, sobretudo no campo das geociências. Sendo uma ferramenta pouco

explorada na engenharia civil, em especial a probabilidade geométrica, demanda tempo seu

correto estudo e compreensão para então fazer uma correta aplicação desta. As principais

conclusões que se pode tirar deste trabalho estão divididas em assuntos separados e

explicados a seguir.

8.1 MODELO PROBABILÍSTICO DAS DESCONTINUIDADES EM 3D

O modelo apresentado e melhorado neste trabalho está baseado principalmente nas

pesquisas de Kulatilake. O mesmo apresenta grandes vantagens para quando se têm dados

mapeados em campo através de amostragem por scanlines como para dados mapeados através

de amostragem em superfície (ou janela de amostragem). A determinação da região

estatisticamente homogênea é talvez a parte mais importante para o sucesso do modelo, desde

que este modelo trabalhe com uma discretização da geologia estrutural, ou seja ele é valido

unicamente em regiões com a mesma geologia estrutural e para uma região com diferente

geologia estrutural se terá definir um modelo novo. A identificação das famílias de

descontinuidades dentro de cada região estatisticamente homogênea é muito importante para

determinar uma concentração representativa de cada família de descontinuidades e simular

satisfatoriamente a distribuição da orientação com o uso da distribuição bi-variacional

normal. A probabilidade Geométrica ou integração geométrica é uma ferramenta essencial

para realizar a correção dos erros de tendência (bias) e para transformar dados lineares ou em

1D, que são geralmente coletados em campo, para dados em dois até três dimensões do

modelo.

175

Os cálculos de densidade neste modelo apresentam valores altos gerando assim

modelos em 3D muito densos e difíceis de analisar, isto é devido a que as dimensões do

modelo, em especial do Talude Sul (400 x 250 x 100 m), o que dificulta uma observação de

espaçamentos de 14 cm em média.

O modelo do Talude Sul das Figuras 7.13a, 7.14a e 7.15a descrevem de forma

satisfatória a família principal das descontinuidades das paredes das galerias mas não as

famílias secundárias, que podem estar ocultas no modelo. Também isto pode ser devido à

falta de mapeamentos mais rigorosos quanto à identificação das descontinuidades com

extremos visíveis ou não.

É muito importante observar que o modelo probabilístico gera uma distribuição

tridimensional de descontinuidades onde ocorrem zonas com alta densidade de

descontinuidades e zonas com baixa densidade de descontinuidades, isto é produto da

interação probabilística dos diferentes parâmetros das descontinuidades (orientação, tamanho

e densidade), assim como também das dimensões do projeto. Em campo está demonstrado

claramente que não é comum encontrar condições médias de distribuição das

descontinuidades ou seja considerando unicamente dados médios de orientação e

espaçamento, mas sim condições onde o maciço apresente zonas críticas ou com alta

concentração de descontinuidades como as geradas pelo modelo probabilístico e

exemplificadas na Figura 8.1.

Modelo probabilístico(distribuição não uniforme)

densidade baixadensidade alta

Modelo determinístico(distribuição uniforme)

regiões com igual densidade

176

Figura 8.1 Modelo determinístico e probabilístico da distribuição das descontinuidades

mostrando a diferencia nas densidades para regiões próximas no mesmo modelo.

8.2 GENERALIZAÇÃO DO MODELO DO TAMANHO DO TRAÇO

A principal contribuição deste trabalho está na generalização da formulação para o

cálculo do comprimento do traço médio das descontinuidades a partir de uma janela de

amostragem inclinada (ou com orientação variável), o que nos permite ampliar a aplicação

deste modelo a superfícies de amostragem de taludes ou qualquer outra superfície que não

seja inclinada.

A partir da generalização, a verificação da formulação, foi satisfatória ao chegar as

equações particulares, para amostragem numa parede vertical, a partir desta generalização,

coincidindo com as formulações apresentadas por Kulatilake & Wu (1984).

8.3 PREVISÃO DO MODELO 3D

Nas Figuras 7.13 a 7.15 se pode observar que tanto o modelo das galerias e da

previsão das galerias tirado do modelo do Talude Sul apresenta concordância com o

mapeamento em campo. Este resultado é satisfatório na determinação das famílias de

descontinuidades principais presentes no maciço.

O modelo de previsão das galerias a partir do modelo do Talude Sul tem restrições no

reconhecimento das famílias de descontinuidades secundárias. Isto pode ser devido à falta de

observação de algumas descontinuidades quando somente trabalha-se com um único plano de

amostragem, o que leva a considerar que para uma melhor modelagem do volume é

recomendável realizar a medida das descontinuidades de dois planos de amostragem de

preferência perpendiculares entre eles.

O modelo desenvolvido considera o maciço rochoso como homogêneo e isotrópico,

desta forma as descontinuidades assumem um formato circular, já para maciços não

homogêneos e anisotrópicos, a aplicação deste modelo estará restrita.

A geologia estrutural da região deverá ser analisada previamente, para assim poder,

dentro de uma mesma geologia estrutural, identificar as regiões estatisticamente homogêneas.

Numa mesma região estrutural pode-se encontrar varias regiões estatisticamente homogêneas

e a união de todos estes modelos, deverá reproduzir a geologia estrutural da região.

177

8.4 SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS

No modelo probabilístico tridimensional das descontinuidades foram modelados

basicamente três parâmetros; orientação, tamanho e densidade. O primeiro parâmetro

apresentou uma capacidade satisfatória em reproduzir as condições em campo, por outro lado

o tamanho e a densidade ainda não apresentaram total coerência com o esperado.

Nesse sentido é necessário desenvolver formulações para o tamanho das

descontinuidades que considerem outras distribuições de probabilidade como log-normal e

normal, para posteriormente serem aplicadas aos métodos de probabilidade geométrica para

poder modelar o diâmetro dos discos em 3D.

Para o caso da densidade é necessário realizar uma investigação da influencia dos

dados de comprimento do tamanho (ou persistência) nos dados de espaçamento, que

posteriormente influenciaram o cálculo da densidade linear e volumétrica. Isto porque é

possível a existência de uma relação de dependência entre estes dados (espaçamento e traço).

Por fim vale sugerir acoplar seções típicas previstas pelo modelo probabilístico a

análises de comportamento de taludes e túneis, verificando o impacto na previsão do sistema

de suporte.

Trabalhar com diferentes geometrias do plano da descontinuidade, como a elíptica,

para poder simular o comportamento de maciços rochosos não homogêneos e anisotrópicos,

ampliando assim a faixa de aplicação do modelo.

Desenvolver ferramentas gráficas para uma melhor visualização virtual do

comportamento do maciço fraturado desenvolvido pelo modelo.

178

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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180

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182

A APÊNDICE A

ORIENTAÇÃO DAS

DESCONTINUIDADES

Neste apêndice são apresentadas, as distribuições de freqüência corrigidas das famílias

de descontinuidades de cada região analisada (Figura A.1 a Figura A.11), os histogramas

bivariacinais dos dados de orientação originais (Figura A.12 a Figura A.22) e dos dados de

orientação corrigidos (Figura A.23 a Figura A.33) e os testes de ajuste χ2 com a distribuição

de Fisher de todas as famílias de descontinuidades (Figura A.34 aFigura A.44).

183

Talude Sudestefamilia 1

Priest, 1985 Wathugala et al., 1990

Figura A.1 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 1 do

Talude Sudeste


Talude Sudeste

184


Talude Sudeste


Talude Sudeste

185

Figura A.5 Distribuição de freqüência original e corrigida de orientação da família 1 da

Galeria 11


Galeria 11

186


Galeria 11


Galeria 12

187


Galeria 12


Galeria 13

188


Talude Sul

189


Figura A.12 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 1 do Talude Sudeste





190



Galeria 11 família 1

Figura A.16 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 1 da Galeria 11



191







192



Talude Sul família 1

Figura A.22 Histograma bivariacional de dados de orientação da família 1 do Talude Sul


Figura A.23 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 1 do

Talude Sudeste

193



Talude Sudeste Talude Sudeste família 3


Talude Sudeste Talude Sudeste família 10


Talude Sudeste

194


Figura A.27 Histograma bivariacional de dados de orientação corrigidos da família 1 da

Galeria 11 Galeria 11 família 2




Galeria 11

195







Galeria 13

196

Talude Sul família 1


Talude Sul

197

TSUD-F1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40

θ (ο)

P(<

)

Dados OriginaisFisher

TSUD-F1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40

θ (o)

P(<

)

Priest , 1985Fisher

TSUD-F1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25 30

θ (o)

P(<

)

Wathugala et al., 1990Fisher

Figura A.34 Teste de ajuste χ2 para a família 1 do Talude Sudeste

198

TSUD-F2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15

θ (o)

P(<

)


TSUD-F2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15θ (o)

P(<

)

Priest , 1985Fisher

TSUD-F2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20

θ (o)

P(<

)

Wathugala et al, 1990Fisher


199

TSUD-F3

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20

θ (o)

P(<

)


TSUD-F3

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20

θ (o)

P(<

)

Priest, 1985Fisher

TSUD-F3

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20

θ (o)

P(<

)



200

TSUD-F10

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80 100

θ (o)

P(<

)


TSUD-F10

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80

θ (o)

P(<

)

Priest, 1985Fisher

TSUD-F10

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80 100

θ (o)

P(<

)



201

G11-F1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25 30q (o)

P (q

<)

Dados Originais

Fisher

G11-F1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25 30

q (o)

P (q

<)

Priest, 1985

Fisher

G11-F1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25 30

q (o)

P (q

<)

Wathugala et al., 1990

Fisher

Figura A.38 Teste de ajuste χ2 para a família 1 da Galeria 11

202

G11-F2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25 30

q (o)

P (q

<)

Dados Originais

Fisher

G11-F2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25

q (o)

P (q

<)

Priest, 1985

Fisher

G11-F2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25

q (o)

P (q

<)

Wathugala et al.,1990

Fisher


203

G11-F10

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80

q (o)

P (q

<)

Dados Originais

Fisher

G11-F10

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80

q (o)

P (q

<)

Priest, 1985

Fisher

G11-F10

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80

q (o)

P (q

<)


Fisher


204

G12-F1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40

q (o)

P (q

<)

Dados Originais

Fisher

G12-F1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40q (o)

P (q

<)

Priest, 1985

Fisher

G12-F1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40

q (o)

P (q

<)


Fisher


205

G12-F10

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40 50

q (o)

P (q

<)

Dados Originais

Fisher

G12-F10

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40 50 60

q (o)

P (q

<)

Priest, 1985

Fisher

G12-F10

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40 50 60

q (o)

P (q

<)


Fisher


206

G13-F1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25

q (o)

P (q

<)

Dados Originais

Fisher

G13-F1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25

q (o)

P (q

<)

Priest, 1985

Fisher

G13-F1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25

q (o)

P (q

<)


Fisher


207

TSUL-F1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25

q (o)

P (q

<)

Dados Originais

Fisher

TSUL-F1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25

q (o)

P (q

<)

Priest, 1985

Fisher

TSUL-F1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25

q (o)

P (q

<)


Fisher

Figura A.44 Teste de ajuste χ2 para a família 1 do Talude Sul

208

B APÊNDICE B

TAMANHO DAS DESCONTINUIDADES

Neste apêndice são apresentados os histogramas do comprimento de traço de todas as

famílias de descontinuidades (Figura B.1 a Figura B.11), o comprimento de traço médio para

amostragem por scanlines de todas as famílias de descontinuidades (Figura B.12 a Figura

B.22) e a distribuição de probabilidade do diâmetro também de todas as famílias de

descontinuidades (Figura B.23 a Figura B.33).

209

Expected



Traço (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42

Figura B.1 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 do Talude Sudeste

Expected

Variable TSUD_2 ; distribution: LognormalKolmogorov-Smirnov d = ,1048542, p = n.s.

Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---

Traço (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

4

5

6

7

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34


210

Expected


Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---

Traço (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

4

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33


Expected


Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---

Traço (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42


211

Expected



Traço (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2

Figura B.5 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 da Galeria 11

Expected



Traço (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3,00 3,11 3,22 3,33 3,44 3,55 3,66 3,77 3,88 3,99 4,10


212

Expected

Variable G11_10 ; distribution: GammaKolmogorov-Smirnov d = ,1509423, p = n.s.

Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---

Traço (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

3,050 3,106 3,161 3,217 3,272 3,328 3,383 3,439 3,494 3,550


Expected

Variable G12_1 ; distribution: NormalKolmogorov-Smirnov d = ,1998170, p < ,10


Traço (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8


213

Expected

Variable G12_10 ; distribution: NormalKolmogorov-Smirnov d = ,2187463, p = n.s.

Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---

Traço (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

2,6502,703

2,7552,808

2,8602,913

2,9653,018

3,0703,123

3,1753,227

3,2803,332

3,3853,438

3,4903,543

3,5953,648

3,700


Expected

Variable G13_1 ; distribution: LognormalKolmogorov-Smirnov d = ,1770004, p = n.s.

Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---

Traço (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

4

5

6

7

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3


214

Expected

Variable TSUL_1 ; distribution: NormalKolmogorov-Smirnov d = ,1805694, p = n.s.

Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---

Traço (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

4

5

6

7

0,0005,454

10,90716,361

21,81527,268

32,72238,175

43,62949,083

54,53660,000

Figura B.11 Histograma e ajuste de curva dos dados de traço da família 1 do Talude Sul

215

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

c (m)

(m-1)

µ1µ2

0

100

200

300

400

500

600

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

c (m)

l (m

)

l1

l2

Figura B.12 Comprimento de traço médio da família 1 do Talude Sudeste

0

0,01

0,020,03

0,04

0,05

0,06

0,070,08

0,09

0,1

20 22 24 26 28 30 32 34 36 38c (m)

(-1)

µ1µ2

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

20 25 30 35 40

c (m)

l (m

)

l1

l2


0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

23 25 27 29 31 33 35 37c (m)

(m-1)

µ1µ2

0

50

100

150

200

250

300

22 24 26 28 30 32 34 36 38c (m)

l (m

)

l1

l2


216

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0 10 20 30 40 50 60

c (m)

(m-1)

µ1µ2

0

50

100

150

200

250

10 20 30 40 50 60

c (m)

l (m

)

l1

l2


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6

c (m)

,5

(m-1)

µ1µ2

0

50

100

150

200

250

300

350

3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5

c (m)

l (m

)

l1

l2

Figura B.16 Comprimento de traço médio da família 1 da Galeria 11

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

3 3,5 4 4,5 5 5,5

c (m)

(m-1)

µ1µ2

0

5

10

15

20

25

3 3,5 4 4,5 5 5,5

c (m)

l (m

)

l1

l2


217

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

3,1 3,3 3,5 3,7 3,9 4,1

c (m)

(m-1)

µ1µ2

0

10

20

30

40

50

60

70

3,1 3,3 3,5 3,7 3,9 4,1

c (m)

l (m

)

l1

l2


0

0,05

0,10,15

0,2

0,25

0,3

0,350,4

0,45

0,5

3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5

c (m)

(m-1)

µ1µ2

0

10

20

30

40

50

60

70

3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5

c (m)

l (m

)

l1

l2


00,050,1

0,150,2

0,250,3

0,350,4

0,450,5

2,7 3,7 4,7 5,7 6,7 7,7 8,7 9,7 10,7

c (m)

(m-1)

µ1µ2

0

2

4

6

8

10

12

14

2,7 3,7 4,7 5,7 6,7 7,7 8,7 9,7 10,7

c (m)

l (m

)

l1

l2


218

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5

c (m)

(m-1)

µ1µ2

0

10

20

30

40

50

60

3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5

c (m)

l (m

)

l1

l2


0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0 100 200 300 400 500 600

c (m)

(m-1)

µ1µ2

0

50

100

150

200

250

0 100 200 300 400 500 600

c (m)

l (m

)

l1

l2

Figura B.22 Comprimento de traço médio da família 1 do Talude Sul

P(Dj)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Dj (m)

P(D

j)

P(Dj)

g(Dj)

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Dj (m)

g(D

j) g(Dj)

D

Figura B.23 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 1 do Talude

Sudeste

219

P(Dj)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Dj (m)

P(D

j) P(Dj)

g(Dj)

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Dj (m)

g(D

j) g(Dj)

µ


Sudeste

P(Dj)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Dj (m)

P(D

j)

P(Dj)

g(Dj)

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Dj (m)

g(D

j) g(Dj)

µ


Sudeste

P(Dj)

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

0,2

0 10 20 30 40 50 60

Dj (m)

P(D

j)

P(Dj)

g(Dj)

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0 10 20 30 40 50 60

Dj (m)

g(D

j) g(Dj)

µ

Figura B.26 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 10 do

Talude Sudeste

220

P(Dj)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 1 2 3 4 5 6 7

Dj (m)

P(D

j)

P(Dj)

g(Dj)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 1 2 3 4 5 6 7

Dj (m)

g(D

j) g(Dj)

µ

Figura B.27 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 1 da Galeria

11

P(Dj)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 1 2 3 4 5 6

Dj (m)

P(D

j)

P(Dj)

g(Dj)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6

Dj (m)

g(D

j) g(Dj)

µ


11

P(Dj)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Dj (m)

P(D

j)

P(Dj)

g(Dj)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Dj (m)

g(D

j) g(Dj)

µ

Figura B.29 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 10 da

Galeria 11

221

P(Dj)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 1 2 3 4 5 6 7

Dj (m)

P(D

j) P(Dj)

g(Dj)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0 1 2 3 4 5 6 7

Dj (m)

g(D

j) g(Dj)

µ


12

P(Dj)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 2 4 6 8 10 12

Dj (m)

P(D

j)

P(Dj)

g(Dj)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 2 4 6 8 10 12

Dj (m)

g(D

j) g(Dj)

µ

Figura B.31 Distribuição de probabilidade discretizada do Diâmetro D da família 10 da

Galeria 12

P(Dj)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 1 2 3 4 5 6

Dj (m)

P(D

j) P(Dj)

g(Dj)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 1 2 3 4 5 6

Dj (m)

g(D

j) g(Dj)

µ


13

222

P(Dj)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

P(Dj)

g(Dj)

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,014

0,016

0,018

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

g(Dj)

µ


Sul

223

C APÊNDICE C

DENSIDADE DAS DESCONTINUIDADES

Neste apêndice são apresentados os histogramas do espaçamento de algumas famílias

de descontinuidades, juntamente com a distribuição que melhor se ajusta (Figura C.1 a Figura

C.5).

224

Expected



Espaçamento (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0,0800,102

0,1230,145

0,1660,188

0,2090,231

0,2520,274

0,2950,317

0,3380,360

Figura C.1 Histograma do espaçamento da família 1 da Galeria 11

Expected



Espaçamento (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0,040,05

0,060,07

0,080,09

0,100,11

0,120,13

0,140,15

0,160,17

0,180,19

0,200,21

0,22


Expected

Variable G12_10 ; distribution: ExponentialKolmogorov-Smirnov d = ,2295354, p = n.s.

Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---

Espaçamento (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14


225

Expected

Variable G13_1 ; distribution: ExponentialKolmogorov-Smirnov d = ,2141271, p = n.s.

Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---

Espaçamento (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

4

0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12


Expected

Variable TSUL_1 ; distribution: ExponentialKolmogorov-Smirnov d = ,2920678, p = n.s.

Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---

Espaçamento (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21

Figura C.5 Histograma do espaçamento da família 1 do Talude Sul

226

D APÊNDICE D

MODELAGEM DAS

DESCONTINUIDADES

Neste apêndice é apresentada a modelagem de cada um dos parâmetros das

descontinuidades, primeiro temos os histogramas de número de descontinuidade dos dados

modelados de todas as famílias de descontinuidades (Figura D.1 a Figura D.11), depois está a

modelagem da localização dos centros das descontinuidades em x, y e z para algumas famílias

de descontinuidades (Figura D.12 a Figura D.23), a seguir apresenta-se os histogramas

bivariacionais dos dados de orientação originais e modelados para todas as famílias de

descontinuidades (Figura D.24 a Figura D.28), depois estão os estereogramas dos dados de

orientação originais e modelados para todas as famílias de descontinuidades (Figura D.29 a

Figura D.38) e por último são apresentados os dados de diâmetro modelados de todas as

famílias de descontinuidades (Figura D.39 a Figura D.49).

227

Expected

Variable TSUD_1 ; distribution: Poisson l = 2068,5Kolmogorov-Smirnov d = ,2872061, p < ,01Chi-Square: 18,33379, df = 1, p = ,0000186


Num

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

16721716

17601804

18481892

19361980

20242068

21122156

22002244

22882332

2376

Figura D.1 Modelo do número de descontinuidades da família 1 do Talude Sudeste

Expected



Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

1408 1452 1496 1540 1584 1628 1672 1716 1760 1804 1848 1892


Expected



Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

12321276

13201364

14081452

14961540

15841628

16721716

17601804

1848


228

Expected



Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

14401485

15301575

16201665

17101755

18001845

18901935

19802025

20702115

21602205

22502295


Expected



Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

176 180 184 188 192 196 200 204 208 212 216 220 224 228

Figura D.5 Modelo do número de descontinuidades da família 1 da Galeria 11

Expected



Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

172 176 180 184 188 192 196 200 204 208 212 216 220 224 228 232


229

Expected



Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240


Expected



Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

4

5

6

7

8

160 164 168 172 176 180 184 188 192 196 200 204 208 212 216 220


Expected



Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

4

5

6

7

8

152156

160164

168172

176180

184188

192196

200204

208212

216220

224228

232


230

Expected



Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

168 172 176 180 184 188 192 196 200 204 208 212 216 220 224 228 232 236


Expected

Variable TSUL_1 ; distribution: Poisson l = 7771,9Kolmogorov-Smirnov d = ,3435246, p < ,01

Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---


Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

62286401

65746747

69207093

72667439

76127785

79588131

83048477

86508823

8996

Figura D.11 Modelo do número de descontinuidades da família 1 do Talude Sul

Expected


Chi-Square: 55,60811, df = 17, p = ,0000055

Posição em x

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Figura D.12 Modelo de localização em x da família 1 do Taludes Sudeste

231

Expected

Variable TSD_1_Y ; distribution: RectangularKolmogorov-Smirnov d = ,1280228, p < ,05

Chi-Square: 56,37838, df = 17, p = ,0000042

Posição em y

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Figura D.13 Modelo de localização em y da família 1 do Taludes Sudeste

Expected

Variable TSD_1_Z ; distribution: RectangularKolmogorov-Smirnov d = ,1105975, p < ,10

Chi-Square: 54,58108, df = 17, p = ,0000081

Posição em z

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Figura D.14 Modelo de localização em z da família 1 do Taludes Sudeste

Expected


Chi-Square: 40,57851, df = 17, p = ,0010775

Posição em x

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34


232

Expected


Chi-Square: 62,24793, df = 17, p = ,0000005

Posição em y

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34


Expected


Chi-Square: 37,12397, df = 17, p = ,0032504

Posição em z

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0123456789

1011121314

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34


Expected


Chi-Square: 51,53572, df = 17, p = ,0000246

Posição em x

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34


233

Expected


Chi-Square: 70,19643, df = 17, p = ,0000000

Posição em y

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34


Expected


Chi-Square: 52,89286, df = 17, p = ,0000150

Posição em z

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0123456789

1011121314

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34


Expected

Variable TSD_10_X; distribution: RectangularKolmogorov-Smirnov d = ,0952381, p < ,05

Chi-Square: 75,50000, df = 19, p = ,0000000

Posição em x

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

02468

10121416182022242628

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38


234

Expected

Variable TSD_10_Y; distribution: RectangularKolmogorov-Smirnov d = ,0952381, p < ,05

Chi-Square: 54,29808, df = 19, p = ,0000301

Posição em y

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38


Expected

Variable TSD_10_Z; distribution: RectangularKolmogorov-Smirnov d = ,1221154, p < ,01

Chi-Square: 88,92307, df = 38, p = ,0000059

Posição em z

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-3-2

-10

12

34

56

78

910

1112

1314

1516

1718

1920

2122

2324

2526

2728

2930

3132

3334

3536

37


Talude Sudeste (dados observados) Talude Sudeste (dados modelados)

Figura D.24 Histograma bivariacional de orientação dos dados observados e modelados do

Talude Sudeste

235

Galeria 11 (dados observados) Galeria 11 (dados modelados)

Figura D.25 Histograma bivariacional de orientação dos dados observados e modelados da

Galeria 11



Galeria 12

236



Galeria 13

Talude Sul (dados observados) Talude Sul (dados modelados)

Figura D.28 Histograma bivariacional de orientação dos dados observados e modelados do

Talude Sul

237

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES







DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO Figura D.29 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados do Talude Sudeste

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES






STEREONET: TALUDE SUDESTE MODELO (TIMBOPEBA)

DESCONT.: FAMILIAS DE DESCONTINUIDADES Figura D.30 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados do Talude Sudeste

238

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES







DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO Figura D.31 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados da Galeria 11

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES






STEREONET: GALERIA 11 TALUDE SUL MODELO (TIMBOPEBA)

DESCONT.: FAMILIAS DE DESCONTINUIDADES Figura D.32 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados da Galeria 11

239

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES







DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO Figura D.33 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados da Galeria 12

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES








240

N

E

S

W



POLE LEGEND

POLES






Figura D.35 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados da Galeria 13

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES








241

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES







DESCONT.: FOLIACAO QUARTZITO Figura D.37 Projeção estereográfica dos dados de orientação observados do Talude Sul

N

E

S

W

POLE LEGEND

POLES






STEREONET: TALUDE SUL MODELO (TIMBOPEBA)

DESCONT.: FAMILIAS DE DESCONTINUIDADES Figura D.38 Projeção estereográfica dos dados de orientação modelados do Talude Sul

242

Expected

Variable TSUD_1_D; distribution: GammaKolmogorov-Smirnov d = ,0383537, p = n.s.


Diâmetro (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

2 4 6 8 10121416182022242628303234363840424446485052545658

Figura D.39 Histograma do diâmetro modelado da família 1 do Talude Sudeste

Expected

Variable TSUD_2_D; distribution: LognormalKolmogorov-Smirnov d = ,0610942, p = n.s.


Diâmetro (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40


Expected

Variable TSUD_3_D; distribution: GammaKolmogorov-Smirnov d = ,0496009, p = n.s.


Diâmetro (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40


243

Expected

Variable TSUD_10D; distribution: GammaKolmogorov-Smirnov d = ,0433965, p = n.s.


Diâmetro (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

5

10

15

20

25

30

46

810

1214

1618

2022

2426

2830

3234

3638

4042

4446

4850

5254

5658

6062

6466

68


Expected

Variable G11_1_D ; distribution: LognormalKolmogorov-Smirnov d = ,4326567, p = n.s.

Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---

Diâmetro (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

4

3,600 3,818 4,036 4,255 4,473 4,691 4,909 5,127 5,345 5,564 5,782 6,000

Figura D.43 Histograma do diâmetro modelado da família 1 da Galeria 11

Expected


Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---

Diâmetro (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6


244

Expected

Variable G11_10_D; distribution: GammaKolmogorov-Smirnov d = ,2250656, p = n.s.

Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---

Diâmetro (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9


Expected

Variable G12_1_D ; distribution: NormalKolmogorov-Smirnov d = ,3233638, p = n.s.

Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---

Diâmertro (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

3

3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8


Expected

Variable G12_10_D; distribution: NormalKolmogorov-Smirnov d = ,2130626, p = n.s.

Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---

Diâmetro (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0


245

Expected


Chi-Square: ------ , df = 0 , p = ---

Diâmetro (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

1

2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2


Expected

Variable TSUL_1_D; distribution: NormalKolmogorov-Smirnov d = ,1686884, p < ,01


Diâmetro (m)

Núm

ero

de o

bser

vaçõ

es

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

021

4162

83103

124145

165186

206227

248268

289310

330351

372392

413434

454475

495516

537557

578599

619640

Figura D.49 Histograma do diâmetro modelado da família 1 do Talude Sul

246

E APÊNDICE E

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA DUPLA

Neste apêndice é apresentada a listagem do programa de integração dupla utilizado para

obter os parâmetros A e B do cálculo do diâmetro das descontinuidades numa superfície de

amostragem infinita. Este programa considera de forma implícita a distribuição bivariacional

para o parâmetro de orientação e as formulações para o calculo de cosθA e senθA, apresentadas

no Capítulo 6, este programa foi desenvolvido para a linguajem de programação FORTRAN.

Também é apresentada a listagem do programa disco.lsp desenvolvido em AtuoLISP para a

geração visual dos modelos em 3D das regiões analisadas e a seguir é apresentado um

exemplo de arquivo de dados, *.txt, este arquivo de dados segui a mesma ordem dos dados da

Tabela 7.1.

247

PROGRAMA PARA INTEGRAÇÃO DUPLA

MODULE NumUtils IMPLICIT NONE CONTAINS FUNCTION SIMP( A, B, C, D, H, K, Fung ) REAL, INTENT(IN) :: A, B, C, D, H, K REAL SIMP INTEGER I, J, N, M INTERFACE FUNCTION Fung(X, Y) REAL Fung REAL, INTENT(IN) :: X, Y END FUNCTION Fung END INTERFACE SIMP = 0 N = NINT( (B-A) / (2 * H) ) ! 2N panels now M = NINT( (D-C) / (2 * K) ) ! 2M panels now ! using notation defined in text DO I = 1, N-1 SIMP=SIMP+2*Fung(A+2*I*H,C)+2*Fung(A+2*I*H,D) END DO DO I = 1, N SIMP=SIMP+4*Fung(A+(2*I-1)*H,C)+4*Fung(A+(2*I-1)*H,D) END DO DO J = 1, M-1 SIMP=SIMP+2*Fung(A,C+2*J*K)+2*Fung(B,C+2*I*K) END DO DO J = 1, M SIMP=SIMP+4*Fung(A,C+(2*J-1)*K)+4*Fung(B,C+(2*J-1)*K) END DO DO J = 1, M-1 DO I = 1, N-1 SIMP=SIMP+4*Fung(A+2*I*H,C+2*J*K) END DO END DO DO J = 1, M-1 DO I = 1, N SIMP=SIMP+8*Fung(A+(2*I-1)*H,C+2*J*K) END DO END DO DO J = 1, M DO I = 1, N-1 SIMP=SIMP+8*Fung(A+2*I*H,C+(2*J-1)*K) END DO END DO DO J = 1, M DO I = 1, N SIMP=SIMP+16*Fung(A+(2*I-1)*H,C+(2*J-1)*K) END DO END DO SIMP=((H*K)/9)*(Fung(A,C)+Fung(B,C)+Fung(A,D)+Fung(B,D)+SIMP)

248

END FUNCTION SIMP END MODULE NumUtils FUNCTION F(X, Y) REAL F, PI, CC, DD, UX, SX, UY, SY, RR REAL, INTENT(IN) :: X, Y PI = 3.141592654 CC = 31.0 * PI/180 !(DIP DIR) PLANO DD = 88.40 * PI/180 !(DIP) PLANO UX = 69.21 * PI/180 !MEDIA (DIP) SX = 17.47 * PI/180 !DESVIO. (DIP) UY = 90.06 * PI/180 !MEDIA (DIP DIR) SY = 105.40 * PI/180 !DESVIO. (DIP DIR) RR = 0.0422 !COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO ENTRE DIP E DIPDIR F = (COS(X)*SIN(DD)-SIN(X)*COS(DD)*COS(Y-CC))/ * (SQRT(1-(COS(X)*COS(DD)+SIN(X)*SIN(DD)*COS(Y-CC))**2))* * 1/(2*PI*SX*SY*SQRT(1-RR**2))*EXP(-1/(2*(1-RR**2))* * (((X-UX)/SX)**2-2*RR*((X-UX)/SX)*((Y-UY)/SY)+((Y-UY)/SY)**2)) END FUNCTION F FUNCTION G(X, Y) REAL G, PI, CC, DD, UX, SX, UY, SY, RR REAL, INTENT(IN) :: X, Y PI = 3.141592654 CC = 31.0 * PI/180 !(DIP DIR) PLANO DD = 88.40 * PI/180 !(DIP) PLANO UX = 69.21 * PI/180 !MEDIA (DIP) SX = 17.47 * PI/180 !DESVIO. (DIP) UY = 90.06 * PI/180 !MEDIA (DIP DIR) SY = 105.40 * PI/180 !DESVIO. (DIP DIR) RR = 0.0422 !COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO ENTRE DIP E DIPDIR G = (SIN(X)*SIN(Y-CC))/ * (SQRT(1-(COS(X)*COS(DD)+SIN(X)*SIN(DD)*COS(Y-CC))**2))* * 1/(2*PI*SX*SY*SQRT(1-RR**2))*EXP(-1/(2*(1-RR**2))* * (((X-UX)/SX)**2-2*RR*((X-UX)/SX)*((Y-UY)/SY)+((Y-UY)/SY)**2)) END FUNCTION G !A main program to put this all together is then: PROGRAM INTEE USE NumUtils IMPLICIT NONE REAL A, B, C, D, H, K, X, Y REAL PI, CC, DD, UX, SX, UY, SY, RR INTEGER PRE

249

INTEGER I, J, N, M INTERFACE FUNCTION F(X, Y) REAL F REAL, INTENT(IN) :: X, Y END FUNCTION F END INTERFACE INTERFACE FUNCTION G(X, Y) REAL G REAL, INTENT(IN) :: X, Y END FUNCTION G END INTERFACE PRINT*, "Enter A, B, C, D, H, K:" READ*, A, B, C, D, H, K PRINT "(' Integral:', F12.8)", SIMP( A, B, C, D, H, K, F ) PRINT "(' Integral:', F12.8)", SIMP( A, B, C, D, H, K, G ) END PROGRAM INTEE PROGRAMA disco.lsp EM AutoLISP PARA A GERAÇÃO VISUAL DOS MODELOS EM

3D

(defun g:dtr(ang) (* pi (/ ang 180.0))) (defun g:cx (pti ptf) (command "BOX" pti ptf)) (defun g:cilin (ptc diam esp) (command "CYLINDER" ptc "d" diam esp)) (defun g:rot (ult eje ptb ang) (if (= eje "x") (progn (command "UCS" "X" 90) (command "UCS" "Y" 90) ) ) (if (= eje "y") (progn (command "UCS" "Z" 180) (command "UCS" "X" 90) ) ) (command "ROTATE" ult "" ptb ang) (command "UCS" "") ) ; (command "ROTATE3D" ult "" eje ptb ang "")) (defun g:move (ult pti ptf) (command "MOVE" ult "" pti ptf)) (defun g:view (ww ) (command "ZOOM" "C" '(0 0 0) (* 2.0 ww)) (command "VPOINT" '(0.6124 -0.6124 0.50)) (command "UCSICON" "NO") (command "BOX" '(0 0 0) '(40 20 20))

250

(setq g:giro 45)) ;::::::::::::::::::::::::::::::::: DEFUN (VOLUME) :::::::::::::::::::::::: (defun VOLUME (w_x w_y w_z w_dia w_d w_dd); / pt_i pt_f) (command "ZOOM" "C" '(0 0 0) (* 2.0 w_dia)) (command "VPOINT" '(0.6124 -0.6124 0.50)) (command "UCSICON" "NO") ;:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::; (setq pt_f (list w_x (- 0 (+ w_x w_y w_z)) (+ w_z w_y w_z)));;caixa inclinada (g:cx '(0 0 0) pt_f) ;;caixa inclinada (setq ult1 (entlast) ; pt_i (list 0 w_y) x_ang (- w_d 90) z_ang (- 90 w_dd) ; g:giro z_ang ) ; (g:move ult1 pt_i '(0 0 0)) ;;mover caixa inclinada (if (/= x_ang 0) ;;girar caixa inclinada em x (dip-janela) (g:rot ult1 "x" '(0 0 0) x_ang) ) (if (/= z_ang 0) ;;girar caixa inclinada em z (dipdir-janela) (g:rot ult1 "z" '(0 0 0) z_ang) ) ;::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::; (setq pt_f (list w_x w_y w_z)) ;;caixa modelo (g:cx '(0 0 0) pt_f) ;;caixa modelo (setq ult2 (entlast) ) (if (/= z_ang 0) ;;girar caixa modelo em z (dipdir-janela) (g:rot ult2 "z" '(0 0 0) z_ang) ) ;::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::; (command "SUBTRACT" ult2 "" ult1 "") ;;volume do talude (command "COPY" ult2 "" '(0 0 0) '(0 0 0)) ;;duplica. volume do talude ;:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::; (setq f_p (* 2.0 w_dia) ;;caixa externa f_n (- 0 f_p) pt_i (list (- f_n (/ w_x 2)) (- f_n (/ w_y 2)) (- f_n (/ w_z 2))) pt_f (list (+ f_p (/ w_x 2)) (+ f_p (/ w_x 2)) (+ f_p (/ w_x 2))) ) (g:cx pt_i pt_f) ;;caixa externa (setq ult3 (entlast) ) (command "SUBTRACT" ult3 "" ult2 "") ;;volume do talude ; (setq ult4 (entlast) ; ) ) ;::::::::::::::::::::::::::::::::: DEFUN (JOINTS) :::::::::::::::::::::::: (defun JOINTS (j_x j_y j_z j_dia j_d j_dd );/ pt_c pt_f) (setq pt_c (list j_x j_y j_z) pt_x (list j_y j_z j_x) ; giro (- 90 w_dd) ) (if (/= g:giro 0) (setq cosg (cos (g:dtr g:giro)) seng (sin (g:dtr g:giro)) m_x (- (* j_x cosg) (* j_y seng)) m_y (+ (* j_x seng) (* j_y cosg)) m_z j_z

251

pt_c (list m_x m_y m_z) pt_x (list m_y m_z m_x) ) ) (g:cilin pt_c j_dia 0.01) (setq x_ang j_d z_ang (- 90 j_dd) ) (if (/= x_ang 0) ;;girar joint em x (dip-joint) (g:rot (entlast) "x" pt_x x_ang) ) (if (/= z_ang 0) ;;girar joint em z (dipdir-joint) (g:rot (entlast) "z" pt_c z_ang) ) (setq ultj (ssadd (entlast) ultj)) ) ;::::::::::::::::::::::::::::::::: DEFUN (TRAÇOS) ::::::::::::::::::::: (defun TRACO ( ) (command "COPY" ult3 "" '(0 0 0) '(0 0 0) "SUBTRACT" ultj "" (entlast) "") ) ;::::::::::::::::::::::::::::::::: DEFUN (DADOS) ::::::::::::::::::::: (defun G:DDIR ( ) (setq dfil (getfiled "Directory Listing" "C:\\carlos\\D4\\PhD-2\\01-01(b)\\" "txt" 2)) (princ (strcat "\nVariable 'dfil' set to selected file " dfil )) (princ) ) (defun C:CARPER( ) (g:ddir) (setq arq (open dfil "r") line (read-line arq) nn (atoi line) line (read-line arq) g:giro (- 90 (atof line)) conta 1 rep 5 ;; ff (* 5 (/ (1+ nn) 5)) ;; res (- (1+ nn) ff) ) ;; (while (<= conta (1+ nn)) (while (< conta (1+ nn)) (if (>= conta ff) (setq rep res)) (setq ultj nil ultj (ssadd) ) (repeat rep (setq line (read-line arq) data1 (atof line) line (g:str line) data2 (atof line) line (g:str line) data3 (atof line) line (g:str line) data4 (atof line) line (g:str line) data5 (atof line) line (g:str line) data6 (atof line) )

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(if (= conta 1) (VOLUME data1 data2 data3 data4 data5 data6) (JOINTS data1 data2 data3 data4 data5 data6) ) (setq conta (1+ conta) ) ) (TRACO ) ) (command "erase" ult3 "") (close arq) ) (defun g:str (lin ) (setq poss (vl-string-search " " lin) anula 0 ) (while (and (= poss 0) (/= (strlen lin) 0)) (setq anula (1+ anula) lin (substr lin anula (strlen lin)) poss (vl-string-search " " lin) ) ) (substr lin (1+ poss) (strlen lin)) ) EXEMPLO DE ARQUIVO DE DADOS (*.txt) PARA O PROGRAMA disco.lsp

15.00 300.00 80.00 12.00 12.00 1620.00 90.00 300.00 21.95 11.19 6.14 731.85 64.75 132.66 47.21 1.72 7.68 647.06 71.01 203.33 62.32 4.03 9.80 435.06 44.36 147.63 13.25 5.27 9.93 1553.23 66.57 99.01 23.40 4.27 11.47 730.48 71.43 262.40 51.43 5.66 3.88 655.99 86.70 296.85 21.48 9.41 5.92 815.09 63.38 172.57 70.34 9.60 3.73 786.54 49.25 18.71 16.91 2.07 10.60 365.98 46.03 73.95 14.35 5.44 8.28 334.45 16.32 219.97 50.72 0.27 2.36 1169.27 77.32 295.04 17.37 8.87 3.16 745.50 71.76 321.59 59.58 8.99 11.54 1419.52 69.14 24.02 42.51 8.03 1.59 1167.92 75.01 289.71 48.74 8.51 1.66 1623.88 74.55 2.51

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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA - geotecnia.unb.br · tese de doutorado submetida ao departamento de...

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