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SUMRIO

1. GEOMETRIA DAS MASSAS ............................................................................................................ 2 1.1 MOMENTO ESTTICO E CENTRO DE GRAVIDADE DE UMA REA .................................. 2 1.2 MOMENTO ESTTICO E BARICENTRO DE UMA REA COMPOSTA ................................ 5 1.3 MOMENTO DE INRCIA DE UMA REA; RAIO DE GIRAO ............................................ 8 1.4 TEOREMA DE STEINER OU TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS .................................... 9 1.5 DETERMINAO DO MOMENTO DE INRCIA DE UMA REA COMPOSTA .................... 10

2. SOLICITAES ............................................................................................................................. 12 3. VIGAS ............................................................................................................................................ 14 4. TENSO ........................................................................................................................................ 15 5. FLEXO ......................................................................................................................................... 16

5.1 DIAGRAMA DE TENSES RESULTANTES ....................................................................... 17 5.2 LINHA NEUTRA (LN) .......................................................................................................... 17 5.3 TENSO DE FLEXO ......................................................................................................... 18

6. CISALHAMENTO ........................................................................................................................... 22 6.1. TENSO DE CISALHAMENTO .......................................................................................... 24 6.2. TENSO MXIMA DE CISALHAMENTO ........................................................................... 26

7. PILARES ........................................................................................................................................ 28 7.1 FORA NORMAL ............................................................................................................... 30 7.2 TENSO NORMAL ............................................................................................................. 32

8. DEFORMAES ........................................................................................................................... 33 8.1 DEFORMAO ESPECFICA ............................................................................................. 33 8.2 DIAGRAMA TENSO () X DEFORMAO () .................................................................. 34 8.3 COMPORTAMENTO ELSTICO E PLSTICO DOS MATERIAIS ....................................... 38

9. FLAMBAGEM ................................................................................................................................. 40 9.1 TENSO CRTICA .............................................................................................................. 41 9.2 COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM .................................................................................... 41 9.3 CARGA ADMISSVEL ......................................................................................................... 42

10. EXERCCIOS .............................................................................................................................. 43 10.1 LISTA A ............................................................................................................................ 43 10.2 LISTA B ............................................................................................................................. 45 10.3 LISTA C ............................................................................................................................ 47 10.4 LISTA D ............................................................................................................................ 50

11. REFERNCIAS .......................................................................................................................... 52

CURSO DE ARQUITETURA E URBANISMO DISCIPLINA: ESTRUTURAS II PROFESSORES: LUCIANO ANDREATTA E MARIANA FONYAT ANO: 2015 / 01

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1. GEOMETRIA DAS MASSAS

O Peso de um ponto material a fora definida por:

Sendo esta fora, aplicada no referido ponto.

O peso de um sistema material a resultante dos pesos dos infinitos pontos que compem este sistema. Ao ponto de aplicao desta resultante (G), chamamos de centro de gravidade ou baricentro ou centroide do sistema material.

Quando este sistema material apresentar massa especfica constante (homogneo), o seu baricentro vai depender exclusivamente de sua forma geomtrica, pois isso se fala em centro de gravidade de um volume, de uma superfcie e de uma linha, encarando-os como elementos geomtricos puros.

Trabalharemos com estas grandezas referidas a uma superfcie plana. A analogia que se prope para melhor visualizao fsica das grandezas expostas seria o de considerarmos as nossas superfcies como placas com a forma indicada e de pequenssimas espessuras.

1.1 MOMENTO ESTTICO E CENTRO DE GRAVIDADE DE UMA REA

Consideremos a rea A situada no plano yz (Figura 1). Se y e z forem coordenadas no um elemento de rea dA, definimos o momento esttico de rea A em relao ao eixo y como a integral.

Sy = A z.dA

De maneira anloga, o momento esttico da rea A em relao ao eixo z definida como a integral

Sz = A y.dA

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Figura 01

Os momentos estticos Sy e Sz so usualmente expressos em m3 ou mm3, no Sistema Internacional de Unidades.

O centroide de rea A definido como o ponto C de coordenadas y e z (Figura 2), que satisfazem as relaes:

A y.dA = A . yG A z.dA = A .zG

Figura 02

Comparando as equaes Sy e Sz com as equaes acima, vemos que os momentos estticos da rea A podem ser expressos pelo produto da rea atravs das coordenadas do seu baricentro.

Sz = A.zG Sy = A.yG

Quando uma rea possui um eixo de simetria, o momento esttico da rea em relao a esse eixo zero (Figura 3), seu centride se localiza nesse eixo.

Figura 03

4

Como um retngulo possui dois eixos de simetria (Figura 4a), o baricentro de uma rea retangular coincide com seu centro geomtrico. Da mesma maneira, o centride de uma rea circular coincide com o centro do crculo (Figura 4b).

Figura 04

Quando o Centro de Gravidade (C) de uma rea pode ser localizado por meio de simetria, o seu momento esttico em relao a certo eixo pode ser obtido imediatamente das equaes Sz = A.zG e Sy = A.yG.

Por exemplo, para a rea retangular da Figura 05, temos:

Sy= A.zG = (bh) (h) = bh2 e Sz = A.yG = (bh) (b) = b2h

Figura 05

Mas na maior parte dos casos necessrio realizar- as integrais das equaes para a determinao dos momentos estticos e do centride de uma dada rea. As integrais indicadas nas equaes so, na verdade, integrais duplas. Muitas vezes, porm, se consegue reduzir o problema ao clculo de integrais em uma varivel, tomando-se elementos de rea dA na forma de faixas horizontais ou verticais. Esse procedimento aplicado no EXEMPLO 01, a seguir:

5

Determinar, para a rea triangular da Figura 06: (a) o movimento esttico Sy da rea em relao ao eixo y; (b) a ordenada zG do centride da rea.

Figura 06

(a) Momento esttico Sy. Escolhemos como elemento de rea uma faixa horizontal de comprimento u e espessura dz. Na Figura 07 vemos que todos os pontos no elemento de rea se situam mesma distncia z do eixo y (Fig. 8). Por semelhana de tringulos, temos:

ub =

h-zh u = b

h-zh

dA = u dz = b h-zh dz

Figura 07

O momento esttico da rea em relao ao eixo x :

Sy = A z.dA = dzhzhbz

h

...

0

= bh dzzzh

h

.).(0

2 =

bh [h

z2

2 - z3

3 ]h0

Sy = 1/6 bh2

(b) Ordenadas do centride. Usando a primeira das equaes e observando que A = bh, temos:

Sy = A zG 1/6bh2 = (bh)zG zG = 1/3h

1.2 MOMENTO ESTTICO E BARICENTRO DE UMA REA COMPOSTA

Consideremos uma rea A que possa ser dividida em formas geomtricas simples, como a rea trapezoidal da Figura 08.

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Figura 08

O momento esttico Sy da rea em relao ao eixo y representado pela integral z.dA, estendida a toda a rea A. Se dividirmos A nas partes A1, A2, A3 escrevemos:

Sy = A z.dA = A1 z1.dA + A2 z2.dA + A3 z3.dA

ou usando a segunda a equao A z.dA = A.z,

Sy = A1. zG1 + A2 . zG2 + A3 . zG3

onde zG1, zG2, zG3 so as ordenadas dos centrides de cada rea resultante da diviso da figura. Estendendo esse resultado para uma diviso em um nmero qualquer de partes, escrevemos, para Sy e Sz,

Sy = =

n

i 1Ai zGi Sz =

=

n

i 1Ai yGi

Para determinarmos as coordenadas ZG e YG do centride C da rea composta A, substitumos, nas equaes acima, Sy por A.ZG e Sz por A.YG. Temos:

A.ZG = =

n

i 1Ai.zGi A.YG =

=

n

i 1Ai.yGi

Resolvendo ento para YG e ZG e lembrando que a rea A a soma das reas Ai, escrevemos:

YG =

=

n

i 1 Ai yGi

=

n

i 1 Ai

ZG =

=

n

i 1 Ai zGi

=

n

i 1 Ai

7

EXEMPLO 02:

Determinar o centro de gravidade (C) da rea indicada na Figura 10.

Figura 10

Como indicado na Figura 11, vemos que o centride (C) deve estar localizado sobre o eixo y, pois esse um eixo de simetria.

Figura 11

Dividindo A nas partes A1 e A2, usamos a equao YG = Ai yGi

Ai ; ZG = Ai zGi Ai para

determinarmos a ordenada do centride.

rea, mm2 zi , mm Aiz , mm3 A1 (20) (80) = 1600 70 112 x 103 A2 (40) (60) = 2400

Ai = 4000 30 72 x 103

Ai zGi = 184 x 103

8

1.3 MOMENTO DE INRCIA DE UMA REA; RAIO DE GIRAO

Consideremos novamente a rea A situada no plano xy (Figura 01) e o elemento de rea dA de coordenadas x e y. O momento de inrcia da rea A em relao ao eixo x e o momento de inrcia de A em relao ao eixo y so definidos respectivamente, como

Ix = A y2dA Iy = A x2dA

O raio de girao de uma rea A em relao ao eixo x definida pela grandeza rx, que satisfaz a relao

Ix = r2x A

onde Ix o momento de inrcia de A em relao ao eixo x. Calculando o valor de rx na equao acima, temos

rx = IxA

De maneira anloga, podemos definir o raio de girao em relao ao eixo y

Iy = r2y A rx = IxA

EXEMPLO 03:

Determinar, para a rea retangular da Figura 12: (a) o momento de inrcia Ix da rea em relao ao eixo centroidal x; (b) o raio de girao rx correspondente.

Figura 12

(a) Momento de inrcia Ix. Vamos adotar como elemento de rea a faixa horizontal de largura b e espessura dy (Fig. 17). Todos os pontos dessa faixa esto situados mesma direo y do eixo x, e o momento de inrcia da faixa em relao a x dIx = y2 dA = y2 (bdy)

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Figura 15

Integrando de y = -h/2 a y = + h/2, escrevemos Ix = ydA = y(bdy) = 1/3 b[y] = 1/3b (h38 +

h38 )

(b) Raio de girao rx. Da equao Ix = r2x A, temos: (c) 1/12bh3 = r2x (bh) e, calculando rx,

rx = h/...

1.4 TEOREMA DE STEINER OU TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS

Consideremos o momento de inrcia Ix de uma rea A em relao a um eixo x arbitrrio (Figura 16). Se chamarmos de y a distncia de um elemento de rea dA at esse eixo, sabemos que

Figura 16

Desenhando o eixo centroidal x, quer dizer, o eixo paralelo ao eixo x que passa pelo centride C da rea. A distncia do elemento dA at esse eixo ser chamada de y, e teremos y = y+d, onde d a distncia entre dois eixos. Substituindo esse valor de y na integral que representa Ix, vamos encontrar

Ix = A y2 dA = A (y+d) 2 Da Ix = A y2 dA +2d A ydA + d2 A dA

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A primeira integral da equao acima representa o momento de inrcia Ix, da rea em relao ao eixo centroidal x. A segunda integral representa o momento esttico Sx, da rea em relao ao eixo x. Esse momento esttico nulo, uma vez que o eixo xpassa pelo centride C.

Sx = AzG = A(0) = 0

Por ltimo, vemos que a terceira integral igual rea total Temos, dessa forma,

Ix = Ix + Ad2

1.5 DETERMINAO DO MOMENTO DE INRCIA DE UMA REA COMPOSTA

Consideremos uma rea composta A constituda de vrias partes A1, A2, etc. A integral que calcula o momento de inrcia de A pode ser subdividida em integrais estendidas s reas A1, A2, etc. de modo que o momento de inrcia de A em relao a um certo eixo ser obtido pela soma dos momentos de inrcia de A1, A2 e outras, em relao ao mesmo eixo. Assim, se a rea formada de vrias formas geomtricas comuns, seu momento de inrcia pode ser calculado atravs das frmulas dadas, para o momento de inrcia de cada parte componente. No entanto, antes de se somar simplesmente os valores dos momentos de inrcia das partes componentes, devemos usar o teorema dos eixos paralelos para transferir cada momento de inrcia para o eixo desejado. Este procedimento usado no EXEMPLO 04.

EXEMPLO 04:

Determinar o momento de inrcia Ix da rea indicada em relao ao eixo centroidal x (Figura 15).

Figura 15

Devemos inicialmente localizar o centride (C) da rea. Esse clculo j foi feito no EXEMPLO 02, onde se viu que C fica a 46mm acima da base da figura.

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Determinao do momento de inrcia: Dividimos a rea A em duas reas retangulares A1 e A2 (Fig. 22), e calculamos os momentos de inrcia de cada parte em relao ao eixo x.

Figura 16

rea retangular A1: Para obtermos o momento de inrcia (Ix)1 de A1 em relao ao eixo x, calculamos inicialmente o momento de inrcia de A1 em relao do seu prprio peso centroidal x. Usando a frmula do momento de inrcia centroidal do retngulo deduzido no exemplo 4, temos

(Ix)1 = 1/12 bh3 = 1/12 (80mm)(20mm) 3 = 53,3 . 103 mm4

Usando o teorema dos eixos paralelos, transferimos o momento de inrcia de A1 do seu eixo centroidal xpara o eixo x:

(Ix)1 = (Ix)1 + A1d12 = 53,3 . 103 + (80 . 20)(24)2 = 975 . 103 mm4

rea retangular A2: Calculando o momento de inrcia de A2 em relao ao seu eixo centroidal x, e usando o teorema dos eixos paralelos para transferi-lo para o eixo x, encontramos

(Ix)2 = 1/12 bh3 = 1/12 (40)(60)3 = 720 . 103 mm4

(Ix)2 = (Ix)2 + A2d22 = 720 . 103 + (40 . 60)(16)2 = 1334 . 103 mm4

rea total A: O momento de inrcia Ix da rea total obtida somando-se os valores dos momentos de inrcia de A1 e A2 em relao ao eixo x:

Ix = (Ix)1 + (Ix)2 = 975 . 103 + 1334 . 103

Ix = 2,31 . 106 mm4

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2. SOLICITAES

Os carregamentos sobre as estruturas geram solicitaes nos elementos estruturais. Tais solicitaes podem ser esforo normal N (perpendicular seo tranversal), momento fletor M, momento torsor Mt e esforo cortante V. Essas solicitaes geram estados de tenses nos elementos, que podem ser normais (geradas pelas solicitaes N e M) ou tangenciais (geradas por V ou Mt).

Trao (N) Ocorre quando h duas foras, na mesma direo, puxando em sentidos opostos.

Ex: Corda no cabo de guerra.

Compresso (N) Ocorre quando h duas foras, na mesma direo, empurrando em sentidos opostos.

Ex: Pisando no balo.

CARREGAMENTO

SOLICITAES: esforo normal, momento fletor e esforo cortante

ESTADO DE TENSO: trao, compresso, flexo, toro e cisalhamento

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Flexo (M) Ocorre quando h carregamento transversal entre os apoios.

Ex: O que acontece quando algumas pessoas pisam bem no meio de um banco de madeira bem fininho? (antes do banco quebrar).

Toro (Mt) Ocorre quando h o giro das extremidades em direes opostas.

Ex: O que deve ser feito com uma roupa molhada para deix-la mais enxuta?

Cisalhamento (V) Ocorre quando h o escorregamento entre sees paralelas devido a foras paralelas.

Ex: O que acontece quando uma tesoura corta um pedao de papel?

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3. VIGAS

Estrutura linear que trabalha em posio horizontal ou inclinada, assentada em um ou mais apoios e que tem a funo de suportar os carregamentos normais sua direo (se a direo da viga horizontal, os carregamentos so verticais).

Vigas de madeira

Vigas de ao

Vigas de concreto

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4. TENSO

Resposta dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares, fundaes), aos esforos internos aplicados - fora normal (N) que d origem trao ou compresso, momento fletor (M) que d origem flexo, momento toror (Mt) que d origem toro e fora cortante (V) que d origem ao cisalhamento.

Frmula A frmula geral para qualquer que seja a tenso (normal, flexo, toro ou cisalhamento) a seguinte:

Tenso = Solicitao aplicada

caracterstica geomtrica da seo transversal

Solicitao aplicada: N ou M ou Mt ou V

Caracterstica geomtrica da seo transversal: rea (A), momento de inrcia (I), momento esttico (Q), base (b), altura (h), entre outras

Tenso de flexo em uma viga:

As fibras superiores tendem a se aproximar (compresso) e as fibras inferiores tendem a se afastar (trao).

Resposta da viga: para responder compresso, as fibras superiores comprimem e para responder trao, as fibras inferiores tracionam

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5. FLEXO

Para o estudo da flexo, imaginemos uma viga com seo transversal retangular.

Viga de espuma

Apliquemos no meio do vo desta viga uma fora concentrada de cima para baixo.

Viga de espuma com fora concentrada

A imagem acima pode ser representada da seguinte maneira:

Para melhor entender esta figura, pode-se fazer trs perguntas (lembrando que estamos no meio do vo):

1) Pergunta: O que acontece nas fibras superiores?

Resposta: Fibras se aproximam > COMPRESSO!

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2) Pergunta: O que acontece na fibra central?

Resposta: Nada!

3) Pergunta: O que acontece nas fibras inferiores?

Resposta: Fibras se afastam > TRAO!

5.1 DIAGRAMA DE TENSES RESULTANTES

Colocando-se os esforos de compresso nas fibras superiores, trao nas fibras inferiores e ainda nenhum esforo na fibra central, pode-se obter os seguintes grficos (lembrando que estamos no meio do vo):

fibra central

Pergunta:

Qual dos grficos seria o correto? Pelo sentimento, qual das linhas seria a correta para unir a compresso das fibras superiores trao das fibras inferiores passando por nenhum esforo na fibra central?

a)

b)

c)

d)

5.2 LINHA NEUTRA (LN)

- Na LN, no h esforo, nem de trao, nem de compresso. - Para materiais homogneos (ao, madeira, concreto (no concreto armado)), a LN passa no centro de gravidade (CG) da seo transversal.

Observao: Na verdade, a Linha Neutra no uma linha e sim um "plano neutro", pois est presente ao longo da viga e ao longo de toda a seo transversal.

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5.3 TENSO DE FLEXO

Definio: Resposta da seo transversal ao esforo externo (momento fletor). - Estudo da tenso de flexo no meio do vo de uma viga sujeita a momento fletor (M) positivo:

O desenho acima mostra as tenses de flexo com a seguinte conveno: - tenso de flexo/compresso: positiva; - tenso de flexo/trao: negativa.

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Frmula Geral da Tenso de flexo

Onde:

: tenso de flexo.

M : momento fletor na seo considerada

y : distncia da LN fibra considerada

ILN : momento de inrcia em relao Linha Neutra

EXEMPLO:

Determinao das tenses de flexo Determinao das tenses de flexo nas fibras 1e 2, superior e inferior dos pontos D e B da viga abaixo:

Ponto D: Fibra superior:

Pergunta : Responda, pelo sentimento se, na fibra 1 e na fibra superior, no ponto D (meio do vo) a tenso de flexo ser de compresso ou de trao?

Confirme sua resposta fazendo o clculo e verificando o sinal de acordo com a conveno.

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Resposta : Fibra 1 - f = M . y / ILN = 30 . 100 . 12.5 / 104167 = 0,36 kN/cm Fibra sup - f = M . y / ILN = 30 . 100 . 25 / 104167 = 0,72 kN/cm

Obs.: o valor 100 na frmula acima serve para transformar o momento fletor de kNm para kNcm. O resultado foi positivo, logo a tenso de flexo na fibra superior no ponto D (meio do vo) de compresso.

Fibra inferior:

Pergunta : Responda, pelo sentimento se, na fibra 2 e na fibra inferior, no ponto D (meio do vo) a tenso de flexo ser de compresso ou de trao?.

Confirme sua resposta fazendo o clculo e verificando o sinal de acordo com a conveno.

Resposta : Fibra 2 - f = M . y / ILN = 30 . 100 . (-12,5) / 104167 = - 0,36 kN/cm Fibra inf - f = M . y / ILN = 30 . 100 . (-25) / 104167 = - 0,72 kN/cm

O resultado foi negativo, logo a tenso de flexo na fibra inferior no ponto D (meio do vo) de trao.

Diagrama das tenses de flexo no ponto D:

Ponto B: Fibra superior:

Pergunta : Responda, pelo sentimento se, na fibra 1 e na fibra superior, no ponto B (apoio) a tenso de flexo ser de compresso ou de trao?

Confirme sua resposta fazendo o clculo e verificando o sinal de acordo com a conveno.

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Resposta: Fibra 1 - f = M . y / ILN = (-20) . 100 . 12,5 / 104167 = - 0,24 kN/cm Fibra sup - f = M . y / ILN = (-20) . 100 . 25 / 104167 = - 0,48 kN/cm

Obs.: o valor 100 na frmula acima serve para transformar o momento fletor de kNm para kNcm. O resultado foi negativo, logo a tenso de flexo na fibra superior no ponto B (apoio) de trao.

Fibra inferior:

Pergunta : Responda, pelo sentimento se, na fibra 2 e na fibra inferior, no ponto B (apoio) a tenso de flexo ser de compresso ou de trao?

Confirme sua resposta fazendo o clculo e verificando o sinal de acordo com a conveno.

Resposta : Fibra 2 - f = M . y / ILN = (-20) . 100 . (-12,5) / 104167 = 0,24 kN/cm Fibra inf - f = M . y / ILN = (-20) . 100 . (-25) / 104167 = 0,48 kN/cm

O resultado foi positivo, logo a tenso de flexo na fibra inferior no ponto B (apoio) de compresso.

Diagrama das tenses de flexo no ponto B:

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6. CISALHAMENTO

Da mesma forma que no caso da flexo, onde o momento fletor M gera um estado de tenso de flexo (trao e compresso simultaneamente), abordaremos o caso do cisalhamento, onde o esforo cortante V gera um estado de tenso de corte.

Para o estudo do cisalhamento, imaginemos uma viga com seo transversal quadrangular.

Viga de toquinhos

Apliquemos em dois prismas adjacentes desta viga duas foras na mesma direo e em sentidos opostos

Viga de toquinhos com foras opostas

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As imagens acima podem ser representadas da seguinte maneira:

Imaginemos agora que estamos vivendo o mais frio dos invernos jamais visto em nossa regio. Qual seria uma possvel soluo para se esquentar as mos, alm daquelas bvias de se colocar um par de luvas ou coloc-las dentro de um aquecedor? Uma das possveis solues ento seria friccionar as mos uma na outra, aplicando duas foras na mesma direo e em sentidos contrrios, exercendo um esforo de cisalhamento. A observao deste fenmeno, nos leva a duas perguntas:

1) Pergunta: Em qual parte a mo esquenta mais ou, fazendo-se uma analogia, em qual fibra a tenso maior?

Resposta: No meio da mo ou, fazendo-se uma analogia, na fibra da LN.

2) Pergunta: Em qual parte a mo esquenta menos ou, fazendo-se uma analogia, em qual fibra a tenso nula?

Resposta: Nas extremidades da mo ou, fazendo-se uma analogia, nas fibras superiores e inferiores.

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Colocando-se a tenso mxima da LN e as tenses nulas das fibras superior e inferior, obtem-se a seguinte figura:

Pergunta: Qual dos grficos seria o correto? Pelo sentimento, qual das linhas seria a correta para unir a tenso nula nas fibras superior e inferior tenso mxima na fibra da LN?

a)

b)

c)

d)

Resposta:

A variao desde a tenso nula nas fibras superiores at a tenso nula nas fibras inferiores passando pela tenso mxima na fibra da LN, ocorre segundo uma parbola do 2 grau.

6.1. TENSO DE CISALHAMENTO

Definio: Resposta da seo transversal ao esforo externo (fora cortante). A tenso de cisalhamento paralela ao plano da seo transversal, ao contrrio da tenso de flexo que normal ao plano da seo transversal.

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Frmula Geral da Tenso de Cisalhamento

Onde: t: tenso de cisalhamento.

V: fora cortante na seo considerada.

Q: momento esttico da rea, definida pela fibra considerada, em relao a linha neutra.

z : largura da seo transversal na fibra considerada.

ILN: momento de inrcia em relao Linha Neutra..

E exemplo Determinao da tenso de cisalhamento Nas fibras 1 e 2 e na fibra da LN na seo A da viga abaixo:

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Seo A:

Fibra 1: Clculo t1= VA . Q1 / z / ILN = 25 . (10.12,5.18,75) / 10 / (10.503/12) = 0,056 kN/cm Fibra da LN:

Clculo tLN= VA . QLN / z / ILN = 25 . (10.25.12,5) / 10 / (10.503/12) = 0,075 kN/cm Fibra 2:

Clculo t2= VA . Q2 / z / ILN = 25 . (10.37,5.6,25) / 10 / (10.503/12) = 0,056 kN/cm Diagrama das tenses de cisalhamento no ponto A: Obs.: nas fibras superior e inferior a tenso de cisalhamento nula.

6.2. TENSO MXIMA DE CISALHAMENTO

Frmula

Imaginemos uma viga com uma determinada seo transversal. Esta seo transversal tem um centro de gravidade (CG). Por este centro de gravidade passa a LN que define o momento de inrcia em relao LN (ILN).

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A partir da LN, define-se a largura da seo transversal em relao LN (LN) e o momento esttico em relao LN (QLN).

Esta viga tem o seguinte diagrama de foras cortantes:

Mas a pergunta ainda persiste: onde esto as tenses mximas de cisalhamento? Para descobrir onde esto estas tenses mximas, vamos analisar a frmula da tenso de cisalhamento:

Frmula

A tenso mxima se consegue com os mximos valores no numerador, e os mnimos valores no denominador.

Mximos valores no numerador: V: fora cortante mxima - em mdulo (funo do diagrama). Q: momento esttico mximo - fibra da LN (QLN).

Mnimos valores no denominador: O valor do momento da inrcia em relao LN constante, pois a seo transversal em uma determinada seo da viga nica. O valor da largura da seo na LN tambm nica, pois a seo transversal em uma determinada seo da viga nica. Diagrama da tenso de cisalhamento A partir das consideraes acima, pode-se construir o diagrama da tenso de cisalhamento no ponto de fora cortante mxima.

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Concluso:

Ento, respondendo pergunta, a tenso mxima de cisalhamento est no ponto de fora cortante mxima (em mdulo), na fibra da LN. Frmula da tenso de cisalhamento mxima:

Frmula

7. PILARES

O pilar define e estabiliza planos horizontais, elevados em relao ao plano do solo. Com isto, ele colabora na definio do espao arquitetnico, principal meio de desenvolvimento dos projetos de arquitetura.

Disse o poeta Louis Kahn: "Ah que dia maravilhoso em que a parede se foi e nasceu o pilar."

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ESQUEMA DE CARREGAMENTOS, FORAS E ESFOROS PARA UM PILAR:

Esforo externo (P) Funo das reaes de apoio das vigas que chegam ao pilar. Funo do peso-prprio do pilar. Esforo interno (N) Fora normal - normal ao plano da seo transversal do pilar.

Esforo Trao ou Compresso.

Tenso () Tenso normal de trao (sT) ou tenso n

Esforos nos pilares causados por uma viga sem balano.

Esforos nos pilares que podem ser causados por uma viga com balano.

Curiosidade:

Do ponto de vista estrutural, a funo do pilar mais simples que a funo da viga:

Na viga o carregamento normal direo do eixo da pea, portanto, para chegar at o solo, a carga "percorre" um caminho mais longo, primeiro na horizontal e depois na vertical.

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No pilar o carregamento est na mesma direo do eixo da pea, portanto, para chegar at o solo, a carga "percorre" um caminho mais curto do que nas vigas, diretamente na vertical.

Observao:

No est sendo levado em conta o efeito do vento que deve ser considerado somente para pilares de edifcios muito altos. Neste caso, teriamos uma combinao de carregamento horizontal (vento), com carregamento vertical.

7.1 FORA NORMAL

Frmulas da fora normal (N) nas diversas sees do pilar:

Onde:

peso especfico do material A: rea da seo transversal Em qual das sees do esquema acima ocorre a fora normal mxima de compresso?

Observao:

Para um edifcio alto, o clculo da fora normal mxima feito por bloco de pavimentos (2, 3, 4 ou mais pavimentos, dependendo do caso), sendo considerada como fora normal as reaes de apoio de apoio de todas as vigas que chegam ao pilar neste bloco mais o peso-prprio do pilar neste bloco.

31

Reaes de apoio das vigas que chegam no bloco de pilares em cada pavimento

Peso-prprio do bloco de pilares

N = Reaes de apoio das vigas que chegam no bloco de pilares em cada pavimento + Peso-prprio do bloco de pilares

32

7.2 TENSO NORMAL

A tenso normal a resposta da seo transversal da pea ao esforo normal, permitindo que se faa a medio do quanto ela suporta.

A tenso normal funo de:

N: fora normal de trao ou de compresso

A: rea da seo transversal

Frmula = N / A

Qual a tenso normal para um pilar com as seguintes caractersticas: seo transversal (A): 10 x 50 cm

= N / A = 100 / (10 . 50)

= 0,20 kN/cm2

Tenso normal mxima (smax) Frmula

max = Nmax / A Onde:

Nmax: fora normal mxima a que a pea est sujeita. A: rea da seo transversal na seo de mxima fora normal.

O que seria mais importante: a fora normal ou a tenso normal?

Esta dvida pode ser esclarecida atravs de um exemplo hipottico:

Imagine uma mulher que pesa aproximadamente 700 N.

A rea sob o sapato de salto baixo de aproximadamente 100 cm2.

max = Nmax / A max = 700 / 100 max = 7 N/cm2

33

Depois a mulher pisar sobre a superfcie usando um sapato alto:

A rea sob o sapato de salto alto de aproximadamente 60 cm.

max = Nmax / A max = 700 / 60

max = 11,67 N/cm2

Concluso:

O peso da mulher o mesmo nos dois casos (700 N) mas as tenses so diferentes (salto baixo = 7 N/cm2; salto alto =11,67 N/cm2). Logo, o que interessa so as tenses que variam de um caso para outro.

8. DEFORMAES

O estudo das deformaes nos elementos estruturais muito importante na anlise de uma estrutura, pois, atravs delas, pode-se determinar as tenses verificando-se assim a estabilidade da estrutura.

Consequentemente, chega-se a concluso de que as deformaes no podem ser muito grandes de maneira que desestabilizem o equilbrio de uma estrutura.

Para que possa ser realizado o estudo das deformaes, alguns conceitos devem ser introduzidos: deformao especfica, diagrama tenso x deformao, comportamento dos materiais, Lei de Hooke, entre outros.

8.1 DEFORMAO ESPECFICA

A deformao especfica de um elemento sujeito a uma variao de comprimento, igual a relao entre esta variao e o comprimento deste elemento.

34

= N/A = P/A

= N/2A = 2P/2A

= P/A

= N/A = P/A

= LP/L

= LP/L

= LP/L = 2 LP/2L

= LP/L

Aplicao: Supondo:

L = 0,60m

LP= 150x10-6m

= LP/L

ou seja = 150x10-6m/0,60m = 250x10-6 A deformao especfica () uma grandeza adimensional.

8.2 DIAGRAMA TENSO () X DEFORMAO ()

O diagrama x mostra uma relao entre estas duas grandezas atravs de uma linha definida em um grfico x/y onde o eixo x representa as deformaes e o eixo y representa as tenses.

A obteno do diagrama tenso x deformao deve ser realizada para os diferentes tipos de material podendo ser feita atravs de um ensaio de trao.

35

Realizao do ensaio de trao:

1. Toma-se uma barra circular de material homogneo, com uma determinada seo transversal A0. Sobre esta barra, marca-se dois pontos distantes L0 um do outro.

Ensaio de Trao antes da Aplicao da Carga

2. Submete-se esta barra a uma fora normal N que aumenta gradativamente. 3. Para cada valor de N, calcula-se um LP = L - L0 4. Para cada valor de N, mede-se as modificaes no dimetro

Ensaio de Trao aps da Aplicao da Carga

5. Para cada valor de N, calcula-se a tenso = N / A0, ou seja, a medida que altera-se o valor da carga aplicada, altera-se o valor da tenso. 6. Para cada valor de N, calcula-se a deformao especfica = LP/L0 7. Marca-se em grfico os valores de s x e obtendo-se ento o diagrama tenso x deformao.

36

Observao O diagrama x varia de material para material e para um mesmo material, com diferentes composies.

A partir da relao entre tenso e deformao obtida com o ensaio anterior, pode-se definir dois tipos de materiais:

Materiais dcteis Materiais frgeis Materiais dteis (ao estrutural e outros metais)

Diagrama tenso x deformao

u: tenso ltima (mxima tenso que se atinge) R: tenso de ruptura (tenso que, se atingida, provoca a ruptura do material) e: tenso de escoamento R: deformao de ruptura (deformao que, se atingida, provoca a ruptura do material)

Fases de evoluo do diagrama

1. Aumento lento do comprimento (pequena deformao), diretamente proporcional a uma grande carga aplicada (trecho reto da origem at a tenso de escoamento - e), com grande coeficiente angular (reta "quase" na vertical). 2. Longa deformao com pouco aumento da carga aplicada, ou seja, pequena variao da tenso (escoamento). 3. Aumento da deformao proporcional ao aumento da carga aplicada, ou seja, da tenso. Este aumento ocorre at que a carga aplicada atinja um valor mximo, ou, uma tenso ltima - u (recuperao).

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4. Diminuio do dimetro do corpo (estrico). Uma diminuio da carga aplicada suficiente para manter a deformao at a ruptura. (R: tenso de ruptura; R: deformao de ruptura). Materiais frgeis (ferro fundido, vidro, pedra...)

Diagrama tenso x deformao

u: tenso ltima (mxima tenso que se atinge) R: tenso de ruptura (tenso que, se atingida, provoca a ruptura do material) R: deformao de ruptura (deformao que, se atingida, provoca a ruptura do material)

Fases da evoluo do diagrama Aumento da deformao proporcional ao aumento da carga aplicada at que se atinja a deformao de ruptura (R) que corresponde tenso de ruptura (R) que igual tenso

ltima (u).

Observao A deformao at a ruptura (R) nos materiais frgeis menor do que nos materiais rgidos, ou, para uma mesma tenso os materiais frgeis rompem antes que os dteis. O ensaio de compresso

Pergunta: Ser que o diagrama x obtido com ensaio de compresso, ao invs do ensaio de trao como foi visto at agora, seria o mesmo?

Resposta: Para materiais dteis: o ensaio de compresso poderia ser utilizado at a tenso ltima, mas a partir da no, pois na compresso no ocorre a estrico (diminuio) do dimetro da barra. Para materiais frgeis: o ensaio de compresso no poderia ser utilizado pois a tenso ltima de compresso muito maior do que a tenso ltima de trao (os materiais so mais resistentes ao esforo de compresso do que de trao), o que, provavelmente, causaria imperfeies nos resultados.

38

8.3 COMPORTAMENTO ELSTICO E PLSTICO DOS MATERIAIS

! Importante O material no constitudo de matria elstica ou plstico, ele tem comportamento elstico ou plstico.

Material com comportamento elstico: Neste tipo de material, a tenso aumenta, proporcionalmente deformao at uma tenso denominada tenso de escoamento (e - ponto B). Quando se retira o carregamento e a tenso diminui, o material volta para a mesma condio inicial sem nenhuma deformao residual.

Comportamento elstico - As deformaes desaparecem.

u: tenso ltima R: tenso de ruptura e: tenso de escoamento

antes da aplicao da carga aplicao da carga aps aplicao da carga

Material com comportamento plstico: Neste tipo de material, o carregamento aumenta, at uma tenso maior que a tenso de ruptura (antes de atingir a tenso ltima - vide grfico abaixo - ponto C).

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Quando se retira o carregamento e a tenso diminui, o material volta a condio inicial, paralelamente a condio de carregamento (at o ponto D), ficando porm uma deformao residual (e).

Comportamento Plstico - as deformaes se mantm

su: tenso ltima sR: tenso de ruptura se: tenso de escoamento e: deformao residual

antes da aplicao da carga aplicao da carga aps aplicao da carga

40

9. FLAMBAGEM

Uma coluna qualquer de comprimento L que vai suportar uma carga qualquer P estar bem dimensionada se a rea A da seo transversal for escolhida de modo que a tenso normal em qualquer ponto da seo transversal fique abaixo da tenso admissvel trao ou compresso do material usado; e se a deformao se mantiver dentro de especificaes recomendadas. No entanto, pode ocorrer o fenmeno da flambagem quando a carga P aplicada; em vez de permanecer com seu eixo retilneo, a coluna se torna encurvada. A coluna que flamba sob o carregamento especificado no clculo no est dimensionada corretamente.

Se a condio de equilbrio perturbada, o sistema retornar sua posio original de equilbrio desde que a carga P no exceda a um certo valor Pcr, denominado carga crtica. Se P < Pcr ento o sistema estvel.

A carga crtica determinada atravs da Frmula de Euler (Leonhard Euler, matemtico suo, 1707-1783), dada abaixo:

onde: Pcr = carga crtica; E = mdulo de elasticidade; I = momento de inrcia; Lf = comprimento de flambagem.

No caso de colunas com seo transversal quadrada ou circular, o momento de inrcia da seo transversal em relao a qualquer eixo baricntrico o mesmo, de modo que a coluna pode flambar em qualquer plano. Para sees transversais de outras formas, a carga crtica

41

deve ser calculada para I = Imin. Se a flambagem ocorrer, ela acontecer em um plano perpendicular ao eixo principal de inrcia correspondente.

9.1 TENSO CRTICA

A tenso crtica dada por:

Do estudo de propriedades geomtricas de superfcies planas, temos que I = r2

A, onde r o raio de girao e A, a rea da seo transversal. Logo:

Esta equao pode ser reescrita na forma:

A parcela Lf / r chamada de ndice de esbeltez e representada pela letra . Assim, teremos:

Observao: o raio de girao deve ser aquele correspondente ao momento de inrcia mnimo.

9.2 COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM

O comprimento de flambagem dado pela seguinte frmula:

Lf = k L

Onde: Lf = comprimento de flambagem; k = coeficiente que depende dos tipos de vnculo da coluna; L = comprimento real da coluna.

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O coeficiente k dado abaixo para quatro diferentes situaes:

9.3 CARGA ADMISSVEL

Para garantir que no ocorra flambagem, adota-se um coeficiente de segurana e calcula-se a carga admissvel, da seguinte forma:

onde:

Padm = carga admissvel; Pcr = carga crtica; S = coeficiente de segurana.

43

10. EXERCCIOS

10.1 LISTA A

Para as figuras abaixo determine as coordenadas do centro de gravidade (baricentro) das figuras planas representadas (medidas em cm):

1) Respostas: Yg = 6,18cm, Zg = 23,5cm

2) Respostas: Yg = 17,5cm, Zg = 24,98cm

3) Respostas: Yg = 2,0cm, Zg = 1,5cm

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Para as figuras abaixo determine os momentos principais de inrcia.

1) Respostas: J1 = 3983, 88cm4, J2 = 589, 75cm4

2) Respostas: J1 = 25392, 72cm4, J2 = 7453, 34cm4

3) Respostas: J1 = 2438, 13cm4, J2 = 1393, 89cm4

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10.2 LISTA B

1) Associe cada desenho a um tipo de solicitao.

a) Compresso b) Corte c) Trao d) Flexo e) Toro

2) Complete as lacunas

a) As estruturas _____________________ (isostticas/hiperestticas/hipostticas) apresentam menos de 3 incgnitas e so instveis

b) Uma viga com um apoio fixo e um apoio mvel uma estrutura ___________________ (isosttica/hiperesttica/hiposttica)

c) A ________________ (tenso/solicitao/reao) a resposta dos elementos estruturais aos esforos internos aplicados. Tem como unidade fora dividido por rea, como KN/m2, por exemplo.

2) Construa os diagramas de momento fletor e esforo cortante para as vigas abaixo de determine os momentos fletores mximos:

a) 15 KN 20 KN

c)

1 m 2 m 2 m

Vo: 5 m Carga distribuda: 15 KN/m

b)

10 KN

3 m 2 m

46

3) Verifique a estabilidade flexo nas vigas do exerccio 2, considerando que as mesmas possuem uma seo retangular medindo 15 cm de base e 40 cm de altura e que = 1,5 kN/cm ; = 1,4 kN/cm

3) Verifique a estabilidade ao cisalhamento da vigas com as caractersticas abaixo:

= 0,35 kN/cm Esforo cortante mximo: 30 KN Caractersticas geomtricas da seo transversal:

LN = 10 cm ILN=100000 cm4 QLN = 5000 cm

4) Qual o esforo cortante mximo que a viga do exerccio 3 pode suportar ?

5) Construa os diagramas de momento fletor e esforo cortante para as vigas abaixo de determine os momentos fletores mximos:

a) 30 KN

6) Verifique a estabilidade flexo nas vigas do exerccio 5, considerando que as mesmas possuem uma seo retangular medindo 15 cm de base e 30 cm de altura e que = 1,7 kN/cm ; = 1,6 kN/cm

7) Verifique a estabilidade ao cisalhamento da vigas com as caractersticas abaixo:

= 0,25 kN/cm Esforo cortante mximo: 20 KN Caractersticas geomtricas da seo transversal:

LN = 10 cm ILN=100000 cm4 QLN = 4500 cm

8) Qual o esforo cortante mximo que a viga do exerccio 5 pode suportar ?

5 m 1 m

Vo: 5 m Carga distribuda: 10 KN/m

b)

47

10.3 LISTA C

1) Determine a tenso a qual fica submetido os pilar 2 junto fundao:

Peso especfico de toda estrutura: 30 KN/m3

Seo da V1 e da V2 : 30 X 50 cm Comprimento da V1 e da V2: 5 m

Seo da V3 e da V4: 30 X 40 cm Comprimento da V3 e da V4: 4m

Seo do P2: 30 X 30 cm Altura da estrutura: 6 metros

2) Qual a deformao especfica de uma barra com comprimento inicial de 5 m que deforma 20 cm ?

3) Qual a diferena bsica entre um material com comportamento plstico e outro com comportamento elstico ?

4) Determine as tenses em 1, 2 para o pilar abaixo, submetido flexo composta:

Distncia ao eixo horizontal : 5 cm Distncia ao eixo vertical (em perspectiva): 8 cm

2 1

V4

V3

V2

V1

P2

40 KN

CG 30 cm

40 cm

48

5) Verifique a estabilidade do pilar abaixo: :

Dados Seo 30 X 40 cm E = 21000 KN/cm2 lim = 100 rmin = 8, 66 cm

6) Verifique a estabilidade do pilar abaixo:

Dados: Seo 30 X 40 cm E = 20000 KN/cm2 lim = 100 rmin = 8, 66 cm Tenso normal admissvel compresso: 1 KN/cm2

7) Verifique a estabilidade ao cisalhamento da vigas com as caractersticas abaixo:

= 0,30 kN/cm Esforo cortante mximo: 15 KN Caractersticas geomtricas da seo transversal:

LN = 10 cm ILN=100000 cm4 QLN = 5000 cm

10 m

50 KN

8 m

70 KN

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RESPOSTAS

1) 53,1 KN/m2 2) 0,04 3) O material plstico apresenta deforma residual, ou seja, no volta ao estado inicial. 4) 1: -0,0033 KN/cm2

2: +0,303 KN/cm2 5) Tenso normal crtica admissvel : 1,943 KN/cm2

Tenso de compresso mxima: 0,04166 KN/cm2

6) No sofre flambagem, pois o ndice de esbeltez (comprimento de flambagem dividido pelo raio de girao mnimo) igual a 400/8,66 = 46,19, ou seja, menor que o ndice de esbeltez limite que 100. Assim, s necessria a verificao compresso.

7)

!VERIFICA 04166,04,1943,14,1

cmxcr

!VERIFICA 081666,010583,04,11

4030701,41

4,11

4,1

max

AP

cmx

50

10.4 LISTA D

1) Verifique a estabilidade ao cisalhamento da vigas com as caractersticas abaixo:

= 0,250 kN/cm Esforo cortante mximo: 20 KN Caractersticas geomtricas da seo transversal:

LN = 10 cm ILN=80000 cm4 QLN = 4000 cm

2) Verifique a estabilidade do pilar abaixo:

Dados: Seo 30 X 40 cm E = 20000 KN/cm2 lim = 100 rmin = 8, 66 cm

3) Verifique a estabilidade ao cisalhamento da vigas com as caractersticas abaixo:

= 0,40 kN/cm Esforo cortante mximo: 50 KN Caractersticas geomtricas da seo transversal:

LN = 10 cm ILN=50000 cm4 QLN = 5000 cm

8 m

50 KN

2/3,0 cmKn=

51

4) Verifique a estabilidade do pilar abaixo:

Dados: Seo 30 X 40 cm E = 21000 KN/cm2 lim = 100 rmin = 8, 66 cm

RESPOSTAS:

1) 0,1*1,4 = 0,14 kN/cm < 0,250 kN/cm - VERIFICA ! 2) O pilar curto. 50/(30*40) = 0,17 * 1,4 = 0,238 > 0,30 - VERIFICA ! 3) 0,5*1,4 = 0,7 kN/cm < 0,250 kN/cm - NO VERIFICA ! 4) O pilar longo.

10 m

500 KN

!VERIFICA - )4,140*30

500(94,1 2 >=cm

Kncr

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11. REFERNCIAS

SISTEMAS ESTRUTURAIS RESISTNCIA DOS MATERIAIS E DAS ESTRUTURAS. http://www.lami.puc pr.br/cursos/estruturas/Index.html, extrado em 26 de agosto de 2001. Programa em Aprendizagem Colaborativa com Tecnologias Interativas- PUCPR

Estruturas II - GEOMETRIA DAS MASSAS - Notas de Aula - Prof. Andr Kraemer Souto