Derivadas

Prof. Msc. Jeferson G. Moriel Jr.

jeferson.moriel@svc.ifmt.edu.br

Tema

INSTITUTO FEDERAL DE

EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA

Mato Grosso / Campus São Vicente

Primeiro dia de aula…

Até meados do século XVII

• Não houve muitas mudanças na evolução da matemática, até que...

• Newton e Leibniz (um na Inglaterra e outro na Alemanha) “inventam” simultaneamente o que conhecemos hoje como Cálculo diferencial e integral.

• Novo mundo de possibilidades para os cientistas: permitiu o estudo do movimento e da mudança, já que a matemática até então era “rígida e estática”. Noção de LIMITE.

• Estudo do movimento dos planetas, da expansão dos gases, do fluxo dos líquidos, da queda dos corpos, das forças físicas, do magnetismo, da eletricidade, do crescimento das plantas, etc

Redimensionamento de embalagens (derivadas)

• Encontrando a inclinação de f(x) = x2 no ponto (1, 1)

• Resolução:

– Geogebra

– (LARSON, p. 109)

Faça uma estimativa da inclinação do gráfico abaixo noponto indicado e dê uma interpretação física do resultado.

40

30

20

10

Mês (1 equivale à Janeiro)

Temperatura em Mirassol/SP

(em º Celsius)

• É possível observar que a reta tangente noponto dado descresce aproximadamente 20graus Celsius para cada 3 unidades de x.Portanto, é possível estimar a inclinação dareta: - 6,66 graus por mês.

• Isso significa que a temperatura média deMirassol em outubro foi cerca de 6,66 grausmais baixo do que a temperatura média emsetembro.

x

xfxxfmmxf

xx

)()()(' limlim

0sec

0

Formas de expressar a derivada

y ’ [y] ’ f ’(x)dx

dy)(xf

dx

d

Limites

Rapidez

Regras de derivação

Regras de Derivação

Considere c e n dois números reais.

1) [ c +’ = 0

2) [ xn +’ = n.xn – 1

3) [ c.xn +’ = c.[ xn +’ = c.n.xn – 1

4) [ f(x) + g(x) +’ = f’(x) + g’(x)

5) * f(x).g(x) +’ = f’(x).g(x) + g’(x).f(x) Regra do produto

6) * f(x)/g(x) +’ = f’(x).g(x) – g’(x).f(x) Regra do quociente

g2 (x)

Exercícios resolvidos

Calcule a derivada de cada função abaixo:

a. f(x) =

b. f(x) =

c. f(x) =

d. f(x) =

e. f(x) =

f. f(x) =

g. f(x) =

Exercícios resolvidos

Calcule a derivada de cada função abaixo:

a. f(x) =

b. f(x) =

c. f(x) =

d. f(x) =

e. f(x) =

f. f(x) =

Exercícios propostos

Calcule a derivada de cada função abaixo:

a. f(x) =

b. f(x) =

c. f(x) =

d. f(x) =

Qual é a derivada da função f(x) = x2 em x = 1?

Invente um contexto “real” para esta situação e interprete a derivada encontrada.

Qual é a derivada da função f(x) = 2x2 em x = 3?

Invente um contexto “real” para esta situação e interprete a derivada encontrada.