P I D - T O O L B O X :

U M A F E R R A M E N T A P A R A O E N S I N O E

A J U S T E D E C O N T R O L A D O R E S P I D S

Jorge Otvio TrierweilerMaurcio Simes Posser

{Jorge,Posser}@enq.ufrgs.brDepartamento de Engenharia Qumica

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

RESUMOO controlador PID sem dvida o algoritmo de controle mais comum, sendo muito utilizado na

indstria de processos. A maioria das malhas de controle feedback so controladas por estealgoritmo ou variaes secundrias dele. implementado em muitas formas diferentes, como umcontrolador analgico sozinho ou como uma parte de um SDCD (sistema digital de controledistribudo). O ajuste de controladores tipo PID faz parte da vida diria de milhares de engenheirosde instrumentao e controle.

Embora sejam considerados como sendo o "feijo com arroz" entre os diversos tipos decontroladores, praticamente no h nenhum toolbox em MATLAB que automatize o projeto decontroladores PIDs e, mais ainda, permita a fcil e sistemtica comparao entre os diferentesmtodos existentes. Para preencher esta lacuna, foi desenvolvido o PID Controller Design Toolbox(ou simplesmente PID-TB), o qual apresenta diversos mtodos para determinao dos parmetrosde um controlador PID. Os mtodos de projeto diferem com respeito do conhecimento sobre adinmica do processo requerida. Por exemplo, o mtodo de ajuste de Ziegler-Nichols (ZN) baseadoem Ku e Pu est relacionado ao ganho do processo e a sua rapidez. J uma outra verso tambmproposta por ZN baseia-se em parmetros que so simplesmente obtidos da aproximao dadinmica do sistema atravs de uma funo de primeira ordem com tempo morto.

O PID-TB contempla uma srie de mtodos pertencentes a ambas categorias, permitindo umacomparao sistemtica entre eles, bem como a facilidade de documentar os resultados obtidos.Alm disto, a interface grfica desenvolvida para o PID-TB seqencial e auto-explicativa,conduzindo o usurio atravs dos diversos passos necessrios para o desenvolvimento do projeto deum controlador. Adicionalmente, um eficiente sistema de ajuda, o Help On-line, tambm estdisponvel contendo toda a teoria necessria para compreender e interagir melhor com o PIDController Design Toolbox, constituindo-se dessa forma numa valiosa ferramenta de ensino.

PID TOOLBOX 1

1 INTRODUOControladores do tipo PID so sem sombra de dvida os mais usados na indstria de processos.

Embora sejam considerados como sendo o "feijo com arroz" entre os diversos tipos decontroladores praticamente no h nenhum toolbox em MATLAB que automatize o projeto decontroladores PIDs e, mais ainda, que permita a fcil e sistemtica comparao entre os diferentesexistentes.

1.1 Objetivos Visando suprir o ambiente MATLAB com uma ferramenta para o projeto e comparao de

controladores PIDs foi desenvolvido o PID-Toolbox, o qual tem por objetivos:

1. Apresentar diferentes mtodos de ajuste de controladores PIDs geralmente apresentados emcursos de graduao em controle de processos.

2. Permitir atravs de simulaes a visualizao da contribuio dos diversos parmetros deajuste de controladores PIDs.

3. A partir de dados de planta, utilizando tcnicas simples de identificao, tanto contnuaquanto discreta, desenvolver modelos dinmicos capazes de capturar as caractersticasdinmicas fundamentais para um bom projeto de controlador.

4. Atravs de critrios que levam em conta a robustez e o desempenho em malha fechadapermitir a sistemtica comparao entre os diferentes mtodos.

5. Facilitar a documentao dos resultados gerados, permitindo a fcil exportao dos mesmospara planilhas e editores de texto.

1.2 Pblico Alvo Como controladores tipo PID so intensamente utilizados em qualquer curso de graduao em

controle de processos, o pblico alvo natural do PID-TB so os alunos dessa disciplina, os quaisalm de visualizarem as diferenas entre os diversos mtodos aprendem a utilizar uma ferramentaque ir ajud-los na sua vida profissional. Naturalmente o PID-TB pode e deve ser utilizadointensamente por Engenheiros que sejam responsveis pelo ajuste de controladores em plantasindustriais.

2 FUNDAMENTOS TERICOS O controlador tipo PID sem dvida o algoritmo de controle mais comum. A maioria das

malhas de controle feedback so controladas por este algoritmo ou variaes secundrias dele. implementado em muitas formas diferentes, como um controlador analgico sozinho ou como umaparte de um SDCD (sistema digital de controle distribudo). O ajuste de controladores tipo PID fazparte da vida diria de milhares de engenheiros de instrumentao e controle.

O PID-TB apresenta diversos mtodos para determinao dos parmetros de um controladorPID. Os mtodos de projeto diferem com respeito do conhecimento sobre a dinmica do processorequerida. Por exemplo, o mtodo de ajuste de Ziegler-Nichols (ZN) baseado em Ku e Pu

PID TOOLBOX 2

caracterizado por esses dois parmetros (Ku e Pu), sendo um relacionado ao ganho do processo(ganho ultimativo, Ku) e outro que descreve a sua rapidez ( i.e., perodo ultimativo, Pu) . J umaoutra verso tambm proposta por ZN baseia-se em parmetros que so simplesmente obtidos daaproximao da dinmica do sistema atravs de uma funo de primeira ordem com tempo morto.O PID-TB contempla uma srie de mtodos pertencentes a ambas categorias. Mas antes deapresent-los iremos ver como os modelos dinmicos podem ser obtidos a partir de dados de plantautilizando tcnicas de identificao contnua e discretas.

2.1 Mtodos de IdentificaoA dinmica de muitos processos industriais pode ser satisfatoriamente aproximada por funes

de primeira ou segunda ordem com tempo morto. Naturalmente os mtodos apresentadossucintamente no apndice podem ser utilizados para obt-los a partir de um sinal genrico deentrada. Aqui iremos mostrar como esses parmetros podem ser facilmente obtidos a partir daresposta a uma perturbao degrau.

Aproximao atravs de uma funo de primeira ordem com tempo morto:

Uma funo de primeira ordem com tempo morto dada por:

ssKsG

exp1 (1)

para se obter os parmetros que descrevem essa funo (i.e., K, e ) o Mtodo da Tangente e oMtodo de Sundaresan and Krischnaswamy [SK77] podem ser facilmente aplicados.

Step Response Approximation

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-2

0

2

4

6

8

10

12

y ( )

y ( 0 )

y = y ( ) - y ( 0 )

y ( ) u ()

K = -----------

y ( t )

Time (sec.)

G(s) = ---------------

K exp(- s) s + 1

Figura 1: Representao esquemtica do mtodo da tangente

A figura 1 mostra esquematicamente como so obtidos os parmetros do modelo aproximadoatravs do mtodo da tangente. Um ponto chave desse mtodo consiste em se passar uma tangenteno ponto de inflexo (i.e., ponto onde a derivada da curva atinge o seu valor mximo, ou seja, oponto de maior inclinao). O tempo morto ser dado pelo ponto correspondente a interseo dareta tangente com a linha correspondente ao valor base , que, no caso da figura, igual a zero(y=0).J a constante de tempo ser dada pela diferena entre o tempo correspondente a interseo da retatangente com a linha y() e o tempo morto, conforme indicado na figura.

PID TOOLBOX 3

Step Response Approximation

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-2

0

2

4

6

8

10

12

y ( )

y ( 0 )

y = y ( ) - y ( 0 )

y ( ) u ()

K = -----------

y ( t )

Time (sec.)

y ( t85.3%)

0.853xy

y ( t35.3%) 0.353xy

t85.3%t35.3%

= 1.3 x t35.3% - 0.29 x t85.3% = 0.67 x (t85.3% - t35.3%)

Figura 2: Representao esquemtica do mtodo proposto em [SK77]

Quando o sinal que est sendo aproximado tiver muito rudo fica extremamente difcil sedeterminar o ponto de inflexo. Uma mtodo simples que evita a utilizao do ponto de inflexo foiproposta por Sundaresan and Krishnaswamy [SK77] e consiste (veja figura 2) na determinao dostempos t35;3% e t85;3% que correspondem respectivamente aos tempos em que a resposta atinge35.3% e 85.3% da sua variao final y (i.e., y = y()-y(0)). De posse desses valores pode-secalcular facilmente o tempo morto do processo e sua constante de tempo atravs das seguintesequaes: )(67,0 e29.03,1 %3,35%3,85%3,85%3.35 tttt . Esses valores de e praticamente minimizam a diferena entre o valor medido e o predito pelo modelo aproximado se ocritrio dos mnimos quadrados for tomado como base da funo de otimizao.

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-2

0

2

4

6

8

10

12From: U(1)

To: Y

(1)

Dados Originais Mtodo da TangenteMtodo SK

Figura 3: Representao esquemtica do mtodo proposto em [SK77]

A figura 3 mostra a comparao entre os dois mtodos de aproximao. Observe que o mtodode SK tende sempre a gerar um tempo morto maior e uma constante de tempo menor que o mtododa tangente. Em termos de controle, as aproximaes geradas pelo mtodo SK devero em geralserem escolhidas. No PID-TB, a resposta do sistema aproximada pelo mtodo SK, mas o usurioatravs de uma interface amigvel poder facilmente alterar os valores inicialmente gerados.

PID TOOLBOX 4

Para muitos processos a aproximao de primeira ordem com tempo no suficientementeacurada. Nesses casos pode-se aproximar a resposta utilizando-se sistemas de segunda ordem comtempo morto. Mtodos similares aos apresentados aqui podem ser encontrados na literatura, vejap.ex. [SEM89, seo 7.3]. Esses mtodos por motivos didticos foram tambm includos no PID-TB. Naturalmente, quando se deseja obter um modelo mais acurado deve-se fazer uso de tcnicasde identificao para sistemas discretos ou contnuos. O PID-TB j possui uma interface quepermite acessar automaticamente as funes disponveis no "System IdentificationToolbox"[SID99]. No apndice A o leitor encontrar uma pequena discusso desses mtodos deidentificao. A mesma interface permite que se acesse as funes disponveis no "CONtinuous-Time System Identification Toolbox" [CONTSID 99].

2.2 Parmetros de ajuste do controlador PID Em um controlador PID a ao de controle gerada atravs da soma de trs termos: ao

proporcional (UP), integral (UI) e derivativa (UD). Embora todos os controladores PID possuamesses trs termos, as implementaes do algoritmo PID podero diferir consideravelmente. O PID-TB implementa a forma padro da ISA (Instrument Society of America), a qual pode ser escrita daseguinte forma:

D

IP

U

setD

D

U

I

set

U

setP sYscYs

N

ss

sYsYsYsbYKsU1

)(

(2)

Para se evitar aes de controle extremamente brusca provocadas pela ao derivativa durantemudanas bruscas de setpoint se utiliza no PID-TB o parmetro c=0 em todas as simulaes.Portanto os parmetros de ajuste desse controlador so os seguintes: b, KP ,I , D e N. O parmetro b responsvel por amenizar a ao de controle inicial para mudanas no setpoint, reduzindo dessaforma consideravelmente o overshoot para esse tipo de perturbao. Atravs do correto ajuste doparmetro b se consegue atingir timos desempenhos tanto para mudanas de setpoint(caractersticas servo), quanto na compensao de distrbios na carga (caractersticas regulatrias).O nico mtodo de ajuste disponvel no PID-TB que faz uso desse parmetro o mtodo de Kappa-Tau. Nos demais mtodos b=1. O parmetro N serve como filtro do rudo, o qual o principal vilode controladores com ao derivativa. No PID-TB, N considerado como sendo igual 10, mas essevalor pode ser alterado pelo usurio. Quanto maior for valor de N mais prximo da ao derivativapura estar o controlador. J quanto menor for N mais filtrado ser o rudo. A tabela abaixo ilustra oefeito dos parmetros KP ,I e D na resposta do sistema.

Tabela: Efeito dos parmetros KP ,I e D

Resposta emmalha fechada

Tempo desubida

Overshoot Tempo deassentamento

Offset Efeito dorudo

KP 1/I,, I D=D

Diminui, Aumenta, Pequenas variaes, Elimina

PID TOOLBOX 5

2.3 Mtodos de Ajuste ImplementadosO PID-TB possu duas categorias de mtodos de ajuste implementasdas: (a) Mtodos de ajuste

baseados em funes de primeira ordem com tempo morto (tambm referidos como mtodosbaseados em K, tau e teta) e (b) Mtodos de ajuste baseados em Ku e Pu.

2.3.1 Mtodos baseados em funes de Primeira ordem com tempo Morto

Dada a sua grande simplicidade aliada a sua grande aplicabilidade e satisfatria qualidade emaproximar sistemas reais compostos por dinmicas de primeira ordem em srie (esse tipo dedinmica geralmente aparece em processos industriais), fez com que uma categoria de mtodosfossem especialmente desenvolvidos para ajustar controladores PIDs a partir do ganho K, tempomorto e constante de tempo de uma funo de primeira ordem com tempo morto. Naturalmenteesses mtodos, que a partir de agora sero denominados de mtodos baseados em K, tau e teta,Cabe salientar que principalmente para sistemas subamortecidos a aplicao desse tipo de mtodode ajuste no recomendvel. Entretanto, para uma imensa classe de problemas essa classe demtodos representa um bom compromisso entre tempo investido no projeto do controlador edesempenho alcanado no projeto. Por isso, podemos entender facilmente porque esses mtodosfazem parte de qualquer curso de graduao em controle de processos. No PID-TB o usurio poderencontrar uma gama enorme desse tipo de mtodos, os quais sero nas prximas subsecessucintamente discutidos.

2.3.1.1 Ziegler-Nichols baseado em K, tau e teta

No seu artigo clssico, Ziegler e Nichols tambm propuseram regras de ajuste visandoalcanar uma razo de decaimento de na resposta em malha fechada para sistemas de primeiraordem com tempo morto. A tabela a seguir sumariza a regra de ajuste por eles proposta. Cabesalientar que controladores ajustados dessa forma so extremamente sensveis a razo /, nosendo recomendado o seu uso fora do intervalo 0,1 < / < 1.

2.3.1.2 Mtodo de Cohen-Coon

Cohen-Coon tambm desenvolveram regras de ajuste de controladores visando se obterrespostas em malha fechada com uma razo de decaimento de (aproximadamente 20% deovershoot). Esse tipo de resposta apresenta melhor desempenho para rejeitar distrbios na carga que o principal objetivo a ser alcanado para processos contnuos que trabalham em um mesmo pontode operao. Para esses sistemas, o principal papel desempenhado pelo controlador a rejeio dedistrbios. Esse mtodo possui um intervalo de aplicao similar ao ZN (K, tau e teta), ou seja, nodever ser utilizado fora do seguinte intervalo: 0,1 < / < 1.

John G. Ziegler e Nathaniel B. Nichols escreveram o seu papel seminal em ajuste de controladores industriais (Optimum Settingsfor Automatic Controllers, ASME Transactions, Nov. 1942, p759), o qual trouxe ordem ao caos. Simplicidade substituiu acomplexidade. Posteriormente, esse artigo foi republicado vrios vezes, o que seguramente o torna um dos artigos mais publicadossobre esse assunto. Desde de ento vrios autores o tomam como base de comparao quando apresentam um novo mtodo de ajuste.Naquele poca, eles no tiveram nenhuma idia sobre a grande contribuio que tinham feito. Ambos morreram em 1997, Nicholsem abril a idade 82 e Ziegler em dezembro com idade 88. Um captulo na vida de controle automtico terminou, mas o livro continuae quem sabe poder contar com a sua valiosa contribuio.

PID TOOLBOX 6

Tabela 1: Mtodos de ZN(K,tau,teta) e Cohen-Coon

ZN (K, tau e teta) Mtodo de Cohen-Coon

P PI PID P PI PID

KP

K1

K9,0

K2,1

K311

K1219,0

K41

34

I 3,33 2,0

209

330

813

632

D 0,5

211

4

2.3.1.3 ITAE ("Integrated Time-Weighted Absolute Error")

A integral do erro absoluto ponderado no tempo (ITAE= T

dttet0

) o critrio desempenho

que melhor concilia propriedades de desempenho e robustez. Smith et al. [OR94] determinaram osparmetros de controladores P, PI e PID que minimizam ITAE para diferentes valores de /. Aforma da funo erro depende tanto do tipo de perturbao quanto da localizao onde ela ocorre namalha de controle. Smith et al. desenvolveram expresses tanto para degrau no setpoint quanto nodistrbio na carga as quais so listadas na Tabela 2.

Tabela 2: Mtodos ITAE para Setpoints e Distrbios na Carga

ITAE-Setpoint ITAE - Distrbio Carga

PI PID P PI PID

KP 916,0586,0

K

855,0965,0

K

084,149,0

K

977,0859,0

K

947,0357,1

K

I

165,003,1

147,0796,0

680,0

674,0

738,0

842,0

D 929,0308,0

995,0381,0

PID TOOLBOX 7

2.3.1.4 IMC e Mtodo da Sntese Direta

Utilizando-se uma funo de primeira ordem com tempo morto como modelo pode-se utilizar aestrutura de controle IMC ("Internal Model Control") para projetar controladores PI e PID. Emadio ao modelo, o usurio tem que selecionar a constante de tempo do filtro de primeira ordem(), a qual pode ser vista como sendo a velocidade que o sistema dever ter em malha fechadaconsistindo dessa forma como sendo um parmetro que estabelece o compromisso entre robustez edesempenho. Quanto menor for mais rpida ser a resposta, portanto maior ser desempenho, masmais sensvel a incertezas (isto , a qualidade da aproximao) ser a resposta. A Tabela 3 apresentaos parmetros do controlador PIDs ajustados por esse mtodo. Observe que nessa Tabelaencontrasse valores recomendados para , os quais representam um bom compromisso entredesempenho e robustez. Outro mtodo de ajuste que leva a resultados semelhantes ao IMC o dasntese direta. Nesse mtodo o controlador calculado de tal forma que uma determinada respostaem malha fechada seja alcanada. Note que os parmetros do controlador gerados por esse mtodoso praticamente os mesmos que os obtidos pelo mtodo IMC.

Tabela 3: Sntese Direta e IMC

Sntese Direta IMC

PI PID PI PI melhorado PID

KP

K

K22

K

K

22

K22

I 2

2

2

D

2

2

Filtro adicional

27,1

7,1

25,0

2.3.1.5 Mtodo de Tau

Uma considervel evoluo dos mtodos simples de ajuste de controladores foi proposta porstrm & Hgglund [AH95], o qual foi denominado pelos autores de mtodo de Kappa-Tau. Onome se deve a parametrizao adicional definida que utilizada para ajustar o resultado do projetodos controladores obtido por mtodos mais sofisticados de ajuste, os quais utilizam a mximasensibilidade como critrio de ajuste. Quando a parametrizao Tau utilizada, as caractersticas daresposta degrau e tomada como base de ajuste dos parmetros do controlador. Nesse caso utiliza-secomo parmetro adicional de ajuste o tempo morto normalizado, chamado pelos autores de Tau, oqual definido por:

Tau (3)

PID TOOLBOX 8

A Tabela 4 apresenta a ttulo de ilustrao os ajuste para o caso de um controlador PID esistemas estveis. Em [AH95], o leitor poder encontrar tabelas similares para controladores PI e PIe PID para sistemas integrantes (sistemas com plo na origem).

Tabela 4: Frmulas para o ajuste de controladores PID baseadas no mtodo Kappa-Tau utilizando-se a parametrizao Tau. A Tabela apresenta os parmetros da funo: 2210 exp TauaTauaa .

Tau MS = 1.4 (Projeto p/ Robustez) MS = 2.0 (Projeto p/ Perform.) 221

0TauaTauaea a0 a1 a2 a0 a1 a2

KKP 3.8 -8.4 7.3 8.4 -9.6 9.8 I 5.2 -2.5 -1.4 3.2 -1.5 -0.93 D 0.48 2.8 -2.1 0.28 3.8 -1.6 D 0.89 -0.37 -4.1 0.86 -1.9 -0.44 D 0.077 5.0 -4.8 0.076 3.4 -1.1

b 0.40 0.18 2.8 0.22 0.65 0.051

2.3.2 Mtodos baseados em Ku e Pu

Por darem informaes sobre as caractersticas dinmicas justamente na regio onde a maioriados controladores feedback normalmente trabalham, ou seja, a regio de corte, o ganho ultimativo(Ku) e o perodo ultimativo (Pu) so informaes extremamente importantes sobre a dinmica dossistemas. Esses valores podem ser facilmente calculados para qualquer funo de transferncia epodero ser ento aplicados para projetar controladores para sistemas com uma dinmica de elevadaordem, no necessitando que se faa nenhum aproximao como feita nos mtodos anteriores. OPID-TB possui implementados dois mtodos baseados em Ku e Pu: Mtodo de Ziegler-Nichols e oMtodo de Kappa-Tau (com a parametrizao Kappa).

2.3.2.1 Ziegler-Nichols baseado em Ku e Pu

O ganho ultimativo o maior valor que um controlador puramente proporcional poder ter antesde instabilizar a malha de controle, ou seja, o ganho que leva os plos em malha fechada dosistema at a fronteira de estabilidade transformando o sistema em marginalmente estvel. ZieglerNichols em seu famoso artigo tiveram a viso de utilizar esse valor de ganho (Ku), juntamente como perodo a ele associado (Pu), como base para um mtodo de ajuste de controlador querevolucionou a sua poca. ZieglerNichols relacionaram o ganho do controlador com uma fraode Ku e as constantes I e D com uma frao de Pu. A frao foi determinada de tal forma que aresposta em malha fechada tivesse uma razo de decaimente de . A Tabela 5 apresenta o mtodode ZN.

2.3.2.2 Mtodo de Kappa

strm & Hgglund [AH95] propuseram uma melhoria no mtodo originalmente proposto porZiegler-Nichols, o qual, como j mencionamos, foi denominado pelos autores de mtodo de Kappa-Tau. Na seo 2.3.1.5 vimos a verso desse mtodo segundo a parametrizao Tau. A versobaseada em Ku e Pu foi parametrizada pelos autores atravs do parmetro Kappa definido por:

KKu1

(4)

PID TOOLBOX 9

A Tabela 5 apresenta a ttulo de ilustrao os ajuste para o caso de um controlador PID esistemas estveis. Em [AH95], o leitor poder encontrar a tabela equivalente para controladores PI.

Tabela 5: Frmulas para o ajuste de controladores PID para os mtodos de Ziegler-Nichols eKappa-Tau utilizando-se a parametrizao Kappa. Para o mtodo de Kappa-Taua tabela apresenta os parmetros da funo: 2210 exp aaa onde )(1 KKu .

Ziegler- Nichols (Ku,Pu) Kappa PID p/ MS=1.4 Kappa PID p/ MS=2.0P PI PID a0 a1 a2 a0 a1 a2

KP/Ku 0,5 0,45 0,6 0.33 -0.31 -1.0 0.72 -1.6 1.2PuI 1/1,2 1/2 0.76 -1.6 -0.36 0.59 -1.3 -0.38PuD 1/8 0.17 -0.46 -2.1 0.15 -1.4 0.56

b 1 1 1 0.58 -1.3 3.5 0.25 0.56 -0.12

2.4 Critrios de Anlise de Robustez e Desempenho

2.4.1 Critrios de Robustez

Os processos industriais so no lineares e dinmicas rpidas so normalmente desconsideradasdurante o projeto do controlador. Esses e outros fatores fazem com que os modelos linearesinvariantes no tempo (LTI) sejam apenas, como qualquer outro modelo, uma aproximao darealidade. Essa aproximao normalmente suficiente para o projeto do controlador, se uma certamargem de segurana for garantida durante o projeto. A margem de ganho, a reserva de fase e amxima sensibilidade so tpicas medidas dessa margem de segurana. A figura 4 mostraesquematicamente em um diagrama de Nyquist como essas grandezas podem ser determinadas.

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-1.5 -1 -0.5 0 0.5-1

-0.5

0

0.5

1From: U(1)

To: Y

(1)

A

GM=1/A

RF

RS

MS=1/RS

Figura 4: Representao da reserva de fase (RF), margem de ganho (GM) e mxima sensibilidade (MS)

PID TOOLBOX 10

Normalmente reserva de fase (RF) e margem de ganho (GM) inferiores a 30 e 1,7 soindicadores de projetos muito sensveis a incertezas, ou seja, a qualidade do modelo utilizado, e, porisso, so chamados de pouco robustos. A margem de ganho uma medida de quanto o sistema(controlador+planta) suportaria uma variao no ganho esttico, enquanto que a reserva de fasepode ser interpretada como tempo morto suportvel pela malha antes de instabilizar. Esse tempomorto pode ser interpretado em termos prticos como sendo uma medida das implicaes emtermos de estabilidade em se desconsiderar dinmicas rpidas, tais como: dinmica das vlvulas edos medidores, durante o projeto do controlador. Embora RF e GM sejam boas medidas da robustezdo projeto, no so suficientes para uma completa anlise, uma vez que valores de RF e GM dentroda faixa recomendvel no garantem que o diagrama de Nyquist do controlador+planta no passemuito perto do ponto 1. Pontos prximos a 1 indicam uma elevada tendncia a instabilizao.Portanto, a medida mais conclusiva da robustez a Mxima Sensibilidade (MS) a qual definidacomo sendo o inverso da menor das distncias do ponto 1, ou seja, o ponto mais sensvel e fcil deser instabilizado. O mtodo de Kappa-Tau faz uso de MS como critrio de projeto. Duas so asverses disponveis: MS=1,4 recomendado para projetos mais robustos e MS=2 para projetos commaior desempenho. Um bom projeto de controlador ter que ter os valores de MS no seguinteintervalo:

1,2 (muito robusto, menor desempenho) < MS < 2,2 (pouco robusto, maior desempenho)

O PID-TB j calcula automaticamente os valores de GM, RF e MS para todos os controladoresprojetados.

2.4.2 Critrios de desempenho

Um bom projeto de controlador deve conciliar boas caractersticas de robustez com bomdesempenho. Na seo anterior vimos como podemos quantificar facilmente a robustez do projetoatravs de ndices de robustez, tais como: GM, RF e MS. Naturalmente, o desempenho pode serinferido atravs da simples visualizao grfica das simulaes geradas para distrbios especficos,dos quais se destacam: a mudana de setpoint (caractersticas servo) e distrbios na carga(caractersticas regulatrias). Embora de fcil e intuitivo entendimento, a comparao de simulaesalm de ser um tanto quanto subjetiva, so de difcil documentao, uma vez que requerem umconsidervel espao para o seu armazenamento. Portanto, se faz mister que se defina ndices quepermitam o fcil acompanhamento do desempenho do sistema.

O PID-TB atravs da Integral do Erro Quadrtico (Integrated Square Error, ISE) e da Integraldo Erro Absoluto (Integrated Absolute Error, IAE) permite o fcil acompanhamento dodesempenho do sistema. Esses ndices de desempenho so definidos pelas seguintes expresses:

Integral do Erro Quadrtico T

dtteISE0

2 (5)

Integral do Erro Absoluto T

dtteIAE0

(6)

O limite T das integrais corresponde ao tempo de simulao selecionado pelo usurio.Naturalmente, quanto menores forem os valores ISE e IAE maior ser o desempenho do sistema. AISE, pelo fato de elevar ao quadrado o erro, tem o seu valor mais penalizados pelo maiores valoresde erro, enquanto que IAE no faz nenhuma diferenciao no tamanho relativo dos erros.

PID TOOLBOX 11

3 IMPLEMENTAO A implementao do PID Controller Design Toolbox fundamentou-se em alguns preceitos

bsicos, os quais surgiram da observao prtica de outros toolboxes disponveis no Matlab. Algunsaspectos considerados positivos foram mantidos ou ento aprimorados, porm os demais foramreformulados, o que implicou em um desafio maior em termos do algoritmo e da programao,resultando em um produto final de excelente qualidade.

A seguir sero listados alguns dos conceitos que nortearam a programao:

Interface grfica com disposio seqencial e auto-explicativa:Uma interface grfica seqencial significa uma interface com os objetos dispostos de maneiratal a seguir a seqncia lgica na elaborao de um projeto de controlador; enquanto que o fatode ser auto-explicativa, auxilia o usurio na tomada de decises.

Opes desabilitadas enquanto no se dispe de informaes suficientes:Quando no se dispe de informaes suficientes, as opes se encontram desabilitadas, destaforma o usurio obrigado a seguir a seqncia lgica de um projeto. Tambm pode ocorrer ocaso de no haver opes especficas para uma determinada ao, neste caso, no havendo anecessidade da mesma, ela desabilitada, fazendo com que o usurio no precise ficar pensandose deve ou no inform-la.

Flexibilidade de insero de modelos definidos pelo usurio:O PID Controller Design Toolbox no uma ferramenta rgida, permitindo que o usurioadicione modelos prprios, tanto para a simulao (modelos no lineares), quanto para aestrutura do controlador que ser utilizado na simulao.

Help On-line:O Help On-line serve para esclarecer dvidas sobre a utilizao do PID Controller DesignToolbox, atuando tambm como elemento didtico, de tal maneira que o usurio vai ampliandoe consolidando seus conhecimentos a medida que o projeto do controlador vai avanando.

Visualizao e manipulao dos resultados:O PID Controller Design Toolbox permite a elaborao de diversos projetos de controladoresdo tipo P (Proporcional), PI (Proporcional Integral) e PID (Proporcional Integral Derivativo)ao mesmo tempo, utilizando os diversos mtodos de ajuste disponveis. Assim, tem-se comoresultado final, um conjunto de controladores que podem ser comparados entre si para a seleodo melhor para uma posterior implementao. Para facilitar a comparao dos diversoscontroladores projetados, existe a opo Show Table que gera uma tabela com os controladoresprojetados para um dado modelo. Nesta tabela existem ndices que permitem avaliar a qualidadedos controladores e desta forma orden-los segundo um dos ndices escolhidos.

Documentao atravs do programa MS Excel:Depois da ordenao dos controladores realizada na tabela, os resultados podem ser exportadosdiretamente para o programa MS Excel para sua documentao.A documentao dos resultados um dos aspectos que muitos dos toolboxes disponveis noMatlab no possuem, ficando apenas limitados a etapa de clculo e no mximo apresentaodos resultados, mas em ambiente Matlab; enquanto que muitas vezes, o trabalho no se limita aesta etapa, obrigando o usurio a desenvolver programas que faam a comunicao comprogramas capazes de documentar os resultados obtidos, ou ento utilizar a velha prtica (masmuito til) Ctrl+C e Ctrl+V.

A no utilizao do Workspace para armazenamento de variveis globais:Este outro aspecto que muitos toolboxes disponveis no Matlab no possuem, fazendo comque o Workspace fique repleto de informaes desnecessrias. A no utilizao do Workspace

PID TOOLBOX 12

para armazenamento de variveis globais implica na sua manuteno apenas com asinformaes que o usurio deseja que estejam disponveis nele. Dessa forma, o Workspace nofica "poludo", o que muitas vezes acaba dificultando anlises posteriores que se deseja realizarna linha de comando do Matlab.

3.1 Funes utilizadas para o Projeto de ControladoresTodos os mtodos apresentados nesse trabalho esto implementados no PID-Toolbox. O usurio

poder utilizar as funes tanto atravs de comandos de linha quanto atravs de uma GUIespecialmente desenvolvida para facilitar a documentao do trabalho realizado. A lista dasprincipais funes disponveis no PID-TB podem ser obtidas atravs do comando help contents noMATLAB.

help contents

Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) RS Brasil MATLAB PID Controller Design Toolbox Version 5.3.1 (R11.1) Jul-2000 Main Command Pid_gui - Open the PID Controller Design Toolbox. PID Tuning Methods ZN_PID - Ziegler-Nichols Tuning Method. CC_PID - Cohen-Coon Tuning Method. IMC_PID - IMC-PID Tuning Method. ITAE_PID - ITAE-PID Tuning Method. KT_PID - Kappa-Tau PID Tuning Method. General Purpose Functions Bodedt - Bode frequency response for continuous-time linear

systems. Lnyquist - Nyquist frequency response for continuous-time linear

systems. Export2xls - Export table to MS-Excel. Overdamp - Determine an overdamped TF using the [RK94] method. Raiz - Calculates the systems roots. Met_tan - Tangent method aproach. Set_Time - Calculates the settling time. Trapezio - Find the area under the curve y = f(x) using the

trapezoidal rule. W_U - Calculate the ultimate frequency of the second order

with dead time transfer function. W_U_Zn - Calculate the ultimate frequency of the first order with

dead time transfer function.

SisoIdent - Open the SISO identification interface.

As funes utilizadas para o ajuste dos controladores so genericamente denominadasXXX_pid, onde XXX corresponde ao nome do mtodo utilizado, o qual poder ser IMC, ITAE,ZN (Ziegler-Nichols), CC (Cohen-Coon) e KT (Kappa-Tau). A ttulo de ilustrao vamos mostrar a

PID TOOLBOX 13

seguir o help da funo ITAE_PID. Todas as demais funes de ajuste foram construdas e soacionadas de forma similar.

help ITAE_pid

[Kp,Ti,Td]=ITAE_PID(num,den,teta,d_s) [Kp,Ti,Td]=ITAE_PID(K,tau,teta,d_s) [Kp,Ti,Td]=ITAE_PID(t,y,d_s) ITAE PID Tuning Method Output Parameters: ------------------ Kp -> proportional constant Ti -> Integration Time (Reset Time) Td -> Derivative Time PI or PID-tuning method is automatically selected based on the number of output parameters. Use [Kp,Ti]=ITAE_pid(...) for PI-Tuning Settings [OR94,Tab.15.4] [Kp,Ti,Td]=ITAE_pid(...) for PID-Tuning Settings [OR94,Tab.15.4] Input Parameters: ----------------- num-> numerator, k, or t den-> denominator, tau, or y teta-> pure time delay d_s -> 'd'-> setting for disturbance (default) 's'-> setting for set point Examples: [Kp,Ti,Td]=ITAE_pid(t,y,'s') t-> time y-> system's step response [Kp,Ti,Td]=ITAE_pid(num,den,teta) G(s)=num(s)/den(s)*exp(-teta*s) [Kp,Ti,Td]=ITAE_pid(k,tau,teta) G(s)=k/(tau*s+1)*exp(-teta*s) SEE: [OR94, Tables 15.4]

3.2 Interface Grfica com o usurioA interface grfica com o usurio a responsvel pela fcil utilizao do PID-TB. Com ela

possvel gerenciar uma srie de aes conjuntas de maneira simples e direta, poupando um enormetempo no projeto de controladores do tipo P, PI, e PID. Alm disto, ainda existe o apelo didtico, oqual induz o usurio a seguir as etapas lgicas de um projeto de controlador, recebendo auxlio dediversas maneiras, como no caso do Help On-line, por exemplo.

Existe uma srie de janelas que compem o PID-TB, todas gerenciadas a partir da janelaprincipal. A seguir ser apresentado um exemplo prtico que permitir percorrer as diversas etapasde um projeto de controlador auxiliada pela interface grfica com o usurio.

3.2.1 Janela principal

A interface grfica com usurio do PID-TB acionado pelo comando pid_gui na linha decomando do MATLAB. A figura 5 mostra a janela principal do Toolbox. O primeiro passo paracomear o ajuste do controlador a importao dos modelos LTI, com os quais se deseja trabalhar.Tais modelos devem ser gerados no Workspace do MATLAB para que seja possvel import-los.

PID TOOLBOX 14

Figura 5: Janela principal do PID-TB

3.2.2 Importao e identificao de modelos

A importao feita pressionando-se o boto Import Model dentro do frame Linearized PlantModel da janela principal. Neste momento abre-se a janela mostrada na figura 6 onde o usurio solicitado a escolher dentre os modelos LTI disponveis no Workspace quais ele deseja trabalhar.Existe ainda a possibilidade de se utilizar um conjunto de dados provenientes de um processoqualquer para a identificao do respectivo modelo. Para tanto, seleciona-se o radio-button Data toIdentification, como mostrado na figura 7.

Os modelos LTIs disponveis no Workspace do MATLAB so apresentados no campoAvailable data, os quais so selecionados atravs dos botes com setas indicativas para o campoSelected data. Ao se pressionar OK os modelos selecionados so automaticamente importados paraa janela principal.

Figura 6: Janela para importar modelos LTI do Workspace do MATLAB.

No caso de se dispor de um conjunto de dados de um processo, eles sero importados paraidentificao selecionando o radio button correspondente. Ao ser pressionado o boto OK, a janelade importao de dados para identificao automaticamente aberta j com os valores padressugeridos nos campos de entrada de dados.

PID TOOLBOX 15

Figura 7: Janelas para importar dados do Workspace do MATLAB para identificao.

A figura 8 a seguir apresenta a janela para identificao de um ou mais modelos querepresentem de forma satisfatria o conjunto de dados provenientes do processo que se desejaprojetar um controlador.

(a) (b)Figura 8: Janela para identificao dos modelos pertinentes ao conjunto de dados importado.

Para se proceder com a identificao, basta selecionar o conjunto de dados a ser utilizado e umdos diversos tipos de modelos disponveis (figura 8(a)), escolhendo a ordem que se deseja para omesmo e depois pressionar o boto Estimate. Os modelos estimados vo sendo armazenados emuma lista na forma de popup-menu, como visto na figura 8(b). Algumas anlise sobre os modelosestimados podem ser feitas, como por exemplo Model Output. Para tanto, deve-se selecionar umconjunto de dados de validao no campo Select Validation Data. Com os resultados obtidos destasanlises, pode-se selecionar os modelos a serem utilizados, exportando-os para a janela principal doPID_TB atravs do boto Accpet.

3.2.3 Pr-anlise, projeto dos controladores

Aps importar os modelos que se deseja utilizar, pode-se ter uma idia do seu comportamentoatravs de uma pr-anlise do modelo, ou seja, do modelo quando no existe nenhum controlador

PID TOOLBOX 16

atuando sobre ele. Para se proceder com uma anlise do modelo, basta selecionar o tipo de estudodesejado clicando nos respectivos check-boxes. A figura 9 apresenta a resposta do modeloselecionado g3 a uma perturbao do tipo degrau unitrio, juntamente com a resposta ao mesmosinal para um modelo aproximado de g3, o qual ser utilizado por alguns dos mtodos de ajuste decontroladores.

Figura 9: Seleo do modelo, pr-anlise atravs de uma resposta do tipo degrau unitrio, seleo doscontroladores que sero projetados e os respectivos mtodos a serem utilizados.

Aps selecionado o modelo a ser utilizado, os tipos de controladores a serem projetados e osseus mtodos, pressiona-se o boto Calculate do frame Controller Parameters da janela principal.Desta forma, sero calculados todos os parmetros para todos os tipos de controladores utilizandoos mtodos selecionados. Estes resultados so armazenados em uma lista do tipo popup-menu e osparmetros correspondentes ao elemento selecionado desta lista apresentado ao lado. A figura 10a seguir mostra o que os resultados aps o clculo dos parmetros dos controladores.

Figura 10: Resultados obtidos atravs do clculo dos parmetros dos controladores.

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Os parmetros dos controladores calculados podem ser alterados manualmente e salvos comoparmetros definidos pelo usurio para testes posteriores.

3.2.4 Simulao e anlise dos controladores em malha fechada

Para a simulao dos controladores projetados, deve-se selecionar um modelo no campo Plantfor Simulation, que no precisa necessariamente ser o modelo utilizado no projeto do controlador,podendo inclusive ser um modelo no linear do processo feito no Simulink. Depois de selecionada aplanta, deve-se ainda escolher qual tipo de modelo de controlador ser utilizado. Existem quatromodelos do Simulink j propostos, permitindo ainda que o usurio adicione seus prprios modelospersonalizados. Os modelos propostos so os seguintes:

SIM_PID_1: PID implementado apenas com anti-Windup.

SIM_PID_2: PID implementado com anti-Windup, limites de saturao e na variao das aesde controle.

SIM_PID_3: PID implementado com anti-Windup, limites de saturao e na variao das aesde controle e com distrbios.

SIM_PID_4: Anlogo ao anterior, porm ainda com filtros nos distrbios e nas aes decontrole.

Nestes modelos, a planta submetida a uma variao no setpoint e um distrbio na carga. Destaforma pode-se analisar o a efetividade do controlador para estes dois casos tpicos de variaes. Afigura 11, a seguir, apresenta o esquema do controlador SIM_PID_3 implementado no Simulink,enquanto que a figura 12 a implementao do anti-Windup nos controladores PIDs utilizados.

PID TOOLBOX 18

yout

Valor no Processo

y_medido

Valor Medido

TempoMorto

Sum3

Sum2

Sum1

Step Fcn1

Step Fcn PID

Set point PID with Anti-Windup

y_ref

Set Point

Satu-ration

RateLimiter

num(s)

den(s)

Funo deTransferncia

erro

Erro

Band-LimitedWhite Noise

u_antes

Ao de Controle1

u_depois

Ao de Controle

Figura 11: Modelo SIM_PID_3 implementado no Simulink.

PID TOOLBOX 19

PID controller with set point weighting and anti-windup.

y

ysp

1

Input to system

b

set point weighting

error

Sum

Saturation

K

ProportionalP+I+D

1

Ti.sIntegrator

-Tds

Td/N.s+1

Derivative

1/Tt

Anti Windup Gain

2

System Output

1

Set point

Figura 12: Implementao do anti-Windup no PID.

Os resultados das simulaes podem ser observados nas figuras 13 e 14 a seguir.

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Figura 13: Simulao do modelo g3 com os controladoresprojetados.

Figura 14: Simulao do modelo g3 com os controladoresprojetados.

Os resultados das simulaes compem-se das respostas do sistema (Varivel Controlada) naporo superior da figura enquanto que na poro inferior pode-se observar as aes de controle(Ao de Controle). Para facilitar a visualizao e tornar mais rpida a interpretao dos resultados,ao ser selecionada uma das linhas com o boto esquerdo so mostradas informaes pertinentes mesma, como por exemplo o tipo de mtodo de ajuste utilizado para projetar aquele controlador (cf.figura 13). No caso de se utilizar o boto direito, informaes dos parmetros do controladorutilizado so mostradas ao mesmo tempo em que a linha selecionada destacada das demais (cf.figura 14).

3.2.5 Tabela de resultados e exportao para o EXCEL

Para proporcionar uma comparao sistemtica entre os diversos mtodos de ajuste decontroladores, pode-se utilizar o recurso Show Table, o qual monta uma tabela com os parmetrosdos controladores projetados bem como ndices que permitem avaliar a qualidade dos mesmos. Afigura 15 a seguir apresenta uma tabela gerada para os controladores projetados anteriormente.

Figura 15: Tabela com os parmetros dos controladores projetados seus respectivos ndices de anlise.

Nesta tabela os dados podem ser reordenados segundo algum dos ndices disponveis apenasclicando sobre a respectiva coluna. Aps a disposio a contento do usurio, os dados podem serexportados para uma planilha do MS Excel como mostrado na figura 16.

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Figura 16: Exportando dados da tabela (ambiente MATLAB) para o MS Excel.

A figura 17 mostra os dados j exportados para uma planilha do programa MS Excel.

Figura 17: Planilha do MS Excel com os dados calculados pelo PID Controller Design Toolbox.

3.2.6 Helps on-line

Para auxiliar o usurio na utilizao do PID Controller Design Toolbox esto disponveis o HelpOn-line como comando de linha no prprio MATLAB e o Help On-line na verso em html. Osegundo pode ser executado atravs de comando de linha no MATLAB ou na janela principal doPID Controller Design Toolbox clicando com o boto direito sobre um dos mtodos de ajuste, porexemplo. A verso em html do Help On-line mais completa, trazendo informaes no apenassobre a utilizao do PID Controller Design Toolbox como tambm a teoria envolvida por trsdesta implementao.

A figura 18 mostra o resultado de se clicar com o boto direito sobre o mtodo IMC de ajuste decontroladores.

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4 CONCLUSES E FUTURAS VERSESEsse trabalho mostrou as principais potencialidades do PID-TB. Na verso em que o Toolbox se

encontra j tem sido intensamente utilizado com sucesso no curso de graduao em Controle deProcessos do Departamento de Engenharia Qumica (UFRGS). Os estudantes tem aprovado a suautilizao nessa disciplina.

As prximas verses dessa ferramenta incluiro tcnicas de ajuste baseadas em critrios deotimizao, assim como o mtodo da aproximao no domnio da freqncia. Alm disso, seroimplementadas algumas animaes em SIMULINK que facilitar a visualizao da teoria decontrole. Tambm ser includa a converso dos parmetros do controlador PID para os formatosmais encontrados nos SDCDs comerciais.

Figura 18: Help On-line em html sobre o mtodo IMC de ajuste de controladores.

REFERNCIAS

[AH95] K.J. strm, T. Hgglund "PID Controllers: Theory, Design, and Tuning, secondedition, Instrument Society of America, (1995)

[CONTSID 99] CONTSID toolbox (for CONtinuous-Time System IDentification) for Matlab

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[OR94] B.A. Ogunnaike, W. H. Ray, Process Dynamics, Modeling, and Control, OxfordUniversity Press, New York, Oxford, (1994).

[SEM89] D.E. Seborg, T.F. Edgar, D.A. Mellichamp, "Process Dynamics and Control", JohnWiley & Sons, (1989).

[SID99] Ljung, System Identification Toolbox, Mathworks, (1999)

[SK77] Sundaresan, K. R. and P. R. Hrishnaswamy, "Estimation of time delay time constantparameters in time, frequency, and Laplace domains", Can. J. Chem. Eng., 56, pp. 257,(1977)

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APNDICE: IDENTIFICAO DE SISTEMAS DISCRETOS

Atravs de uma simples interface especialmente desenvolvida para o PID-TB possvel seutilizar todas as funes de identificao disponveis no "System Identification Toolbox", as quaisassumem que o sistema a ser identificado linear e invariante no tempo e pode ser descrito atravsda seguinte funo de transferncia

teqHtuqGty (7)

onde y(t) a sada do sistema, u(t) as variveis manipuladas e/ou distrbios medidos, e(t) representauma seqncia aleatria com uma funo de densidade de probabilidade especfica, H(q) a funode transferncia dos distrbios do processo e G(q) a funo de transferncia da dinmica doprocesso. Dessa forma, o objetivo passa a ser a identificao dos parmetros da equao (7) bemcomo a sua forma (McFarlane e Rivera, 1992).

As tcnicas paramtricas que visam minimizar o erro predito so as mais utilizadas, eapresentam a seguinte forma geral:

teqDqCntu

qFqBtyqA k (8)

onde A, B, C, D e F so polinmios em q--1 (para q-k x(t) = x(t-k)), nk o tempo morto do sistema e:

ff

d

d

c

c

b

b

a

a

nn

nn

nn

nn

nn

qfqfqFeqdqdqD

qcqcqCqbqbbqBqaqaqA

...1...1

,...1,...,...11

11

1

11

110

11

O polinmio A corresponde ao termo auto-regressivo; o termo B/F corresponde a funo detransferncias para as entradas do sistema, enquanto que C/D corresponde a funo de transfernciapara os distrbios. Existem vrias outras formas mais simples que derivam da apresentada naequao (8) que geralmente so utilizadas conforme o caso, uma delas a FIR (Finite ImpulseResponse) que apresenta a seguinte forma:

tentuqBty k . (9)

Neste modelo as informaes das sadas em tempos passados no so utilizadas. Um outromodelo, muito usado, que utiliza estas informaes o ARX (Auto Regressive with eXtra input) quepossui a seguinte forma:

tentuqBtyqA k . (10)

Esta forma muito utilizada devido a sua simplicidade e possibilidade de um estudo rpidodo sistema que se pretende identificar. A figura A1 mostra a sua representao em diagrama deblocos

Figura A1: Esquema em diagrama de blocos da estrutura ARX.

PID TOOLBOX 25

Como pode ser observado, esta representao possui um erro com a mesma dinmica dosistema, ou seja, ele incorporado mesma. No caso do sistema apresentar apenas rudos nosinstrumentos de medida, isto , no acrescenta erros dinmica do sistema, mas sim diretamentenas sadas do mesmo, uma estrutura do tipo OE (output error),

tentuqFqBty k (11)

deve ser utilizada. Essa forma possui a seguinte representao em diagrama de blocos:

Figura A2: Esquema em diagrama de blocos da estrutura OE

A estrutura ARMAX (Auto Regressive with Moving Average and eXogenous Variables),

teqCntuqBtyqA k (12)

uma forma mais sofisticada que as anteriores para representar o erro. A sua representao naforma de diagrama de blocos :

Figura A3: Esquema em diagrama de blocos da estrutura ARMAX.

Uma outra de forma de modelo muito usada o de Box-Jenkins, e o que melhor lida comos erros devido a sua estrutura, a qual geralmente representada por:

teqDqCntu

qFqBty k . (13)

A figura A4 mostra o modelo de Box-Jenkins na forma de diagrama de blocos.

Figura A4: Esquema em diagrama de blocos da estrutura Box-Jenkins

Os parmetros de um modelo podem ser determinados via mtodos de otimizao, sendo umdos mais populares o Mtodo dos Mnimos Quadrados (MMQ). Os parmetros envolvidos nestesmodelos so estimados usando mtodos de otimizao iterativos, com exceo da estrutura ARX,

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que possui uma forma direta para o clculo dos seus parmetros, sendo este um dos motivos de suaintensa utilizao, principalmente para uma anlise prvia da ordem do sistema e do seu tempomorto.

RESUMOIntroduoObjetivosPblico Alvo

Fundamentos TericosMtodos de IdentificaoParmetros de ajuste do controlador PIDMtodos de Ajuste ImplementadosMtodos baseados em funes de Primeira ordem cZiegler-Nichols baseado em K, tau e tetaMtodo de Cohen-CoonITAE ("Integrated Time-Weighted Absolute Error")IMC e Mtodo da Sntese DiretaMtodo de Tau

Mtodos baseados em Ku e PuZiegler-Nichols baseado em Ku e PuMtodo de Kappa

Critrios de Anlise de Robustez e DesempenhoCritrios de RobustezCritrios de desempenho

ImplementaoFunes utilizadas para o Projeto de ControladorInterface Grfica com o usurioJanela principalImportao e identificao de modelosPr-anlise, projeto dos controladoresSimulao e anlise dos controladores em malha Tabela de resultados e exportao para o EXCELHelps on-line

Concluses e Futuras Verses