UFPB€¦ · Um problema el ptico com expoente cr tico de Sobolev por Cleiton de Lima Ricardo 1...

Universidade Federal da ParaıbaCentro de Ciencias Exatas e da Natureza

Programa de Pos–Graduacao em MatematicaMestrado em Matematica

Um problema elıptico comexpoente crıtico de Sobolev

Cleiton de Lima Ricardo

Joao Pessoa – PBJulho de 2014

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Universidade Federal da ParaıbaCentro de Ciencias Exatas e da Natureza

Programa de Pos–Graduacao em MatematicaMestrado em Matematica


por

Cleiton de Lima Ricardo

sob a orientacao do

Prof. Dr. Bruno Henrique Carvalho Ribeiro

Joao Pessoa – PBJulho de 2014

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Catalogacao na publicacaoUniversidade Federal da Paraıba

Biblioteca Setorial do CCEN

XXXX ultimo nome, Nome sobrenome.Tıtulo da Dissertacao

Continuacao do tıtulo / xxxx xxx xxxxxxx

xxxxxxxxxx.Orientador: Nomexxxxx.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx.

BS/CCEN CDU: xxxx(xxx)


por

Cleiton de Lima Ricardo 1

Dissertacao apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pos–Graduacao emMatematica da Universidade Federal da Paraıba como requisito parcial para a obtencaodo tıtulo de Mestre em Matematica.

Area de Concentracao: Analise

Aprovada em 31 de Julho de 2014.

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Bruno Henrique Carvalho Ribeiro – UFPB

(Orientador)

Prof. Dr. Francisco Siberio Bezerra Albuquerque – UEPB

(Examinador Externo)

Prof. Dr. Marco Aurelio Soares Souto – UFCG

(Examinador Externo)

1O autor foi bolsista da CAPES durante a elaboracao desta dissertacao.


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A Deus, pela dadiva da

capacidade intelectual, ao

meu orientador e amigo

Bruno pelas diretrizes e me

ensinar amar a pesquisa

em matematica pura e a

minha querida Anne, por

todo apoio mesmo sem sa-

ber muita matematica

Agradecimentos

Agradeco primeiramente ao Senhor Criador do ceu e da terra pela provisao de saude,

disposicao e capacidade para o desempenho deste trabalho.

Agradeco tambem a minha querida Anne e minha famılia, que sempre me apoiou.

Ao meu orientador e amigo professor Bruno e sua esposa Elisandra que sempre acredi-

taram em mim desde a graduacao. Aos meus colegas de turma Jarbas, Luan, Renato

e Hudson.

Aos colegas do doutorado Gilson e Iane com os quais tivemos muitos momentos de

discussao em pontos cruciais. Enfim a todos que me apoiaram direta ou indiretamente

fica o meu muito obrigado e que Deus os retribuam com louvor.

Resumo

Nesta dissertacao procuramos abordar a existencia de solucoes positivas para um

problema elıptico com expoente crıtico de Sobolev−∆u = up + f(x, u) em Ω

u = 0 sobre ∂Ω

onde Ω e um domınio limitado do Rn. A nao-linearidade de f(x, u) possui crescimento

subcrıtico. Para isso mostraremos que o nıvel minimax fica abaixo de uma constante

que depende apenas da dimensao do domınio e da melhor constante de Sobolev.

Palavras-chave: solucoes positivas, expoente crıtico de Sobolev, melhor constante de

Sobolev.

Abstract

In this work we studied existence of positive solutions for an elliptic problem with

critical Sobolev exponent −∆u = up + f(x, u) em Ω

u = 0 sobre ∂Ω

that vanishes on the boundary of a bounded domain of Rn. The nonlinearity f(x, u) has

subcritical growth. This is done by showing that the minimax level is below a constant

that depends only on the dimension of the domain and the best Sobolev constant.

Keywords: positive solutions, critical Sobolev exponent, best Sobolev constant.

Sumario

Introducao 1

1 Problema crıtico com pertubacao linear 4

1.1 Caso n ≥ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Melhor constante de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Caso n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Resultados de nao-existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.1 Identidade de Pohozaev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.2 Nao-existencia: caso n ≥ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.3 Nao-existencia: caso n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Problema crıtico com perturbacao nao-linear 34

2.1 Ferramenta geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.1 Problema auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.2 Problema original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2 Estimativa do nıvel minimax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3.1 O caso n ≥ 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3.2 O caso n = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.3.3 O caso n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

A Resultados preliminares principais 60

A.1 Resultados de convergencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

A.2 Multiplicador de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

A.3 Princıpios do maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

A.4 Outros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Referencias Bibliograficas 63

ix

Notacoes

A seguir, listamos algumas notacoes utilizadas neste trabalho.

• R,N denota o conjunto dos numeros Reais e Naturais, respectivamente;

• Br0(x) denota a bola aberta de centro x e raio r0 em Rn;

• Br denota a bola aberta de centro na origem e raio r em Rn;

• Sr denota a esfera de raio r e centro na origem.

• →, denota a convergencia forte e fraca respectivamente;

• |Ω| denota a medida de Lebesgue de um conjunto Ω;

• q.t.p. significa ”em quase todo ponto”;

• ∂u

∂xidenota a derivada parcial de u em relacao a xi;

• ∇u =

(∂u

∂x1

, ...,∂u

∂xn

)o gradiente de u;

• ∆u =n∑i=1

∂2u

∂x2i

, o laplaciano de u;

• Lp(Ω) =

u : Ω→ R mensuravel;

∫Ω

|u|pdx <∞

com 1 ≤ p ≤ ∞;

• ||u||p =

(∫Ω

|u|p) 1

p

norma no espaco Lp(Ω);

• L∞(Ω) = u : Ω→ R mensuravel; |u(x)| ≤ C q.t.p. sobre Ω para algum C > 0;

• Ck(Ω) denota as funcoes k vezes continuamente diferenciaveis sobre Ω, para k ∈ N;

x

• W 1,p(Ω) =

u ∈ Lp(Ω)

∣∣∣∣∣ ∃g1, ...gn ∈ Lp(Ω) tais que∫Ωu ∂ϕ∂xi

= −∫

Ωgiϕ, ∀ϕ ∈ C∞c (Ω),∀i = 1, ..., n

;

• W 1,p0 denota o completamento de C1

c (Ω) em W 1,p(Ω);

• H10 (Ω) = W 1,2

0 (Ω);

• p∗ =np

n− ppara 1 ≥ p < n o expoente crıtico de Sobolev;

• f = o(g) quando x→ x0 se limx→x0

f(x)

g(x)= 0;

• f = O(g) quando x→ x0 se limx→x0

f(x)

g(x)≤ C para algum C > 0;

• H−1 denota o dual de H10 (Ω);

• E∗ denota o dual de E;

• u+ = maxu, 0 e u− = max−u, 0;

xi

Introducao

Seja Ω um domınio limitado de Rn com n ≥ 3. Este trabalho tera por objetivo

mostrar a existencia de solucoes positivas para o problema elıptico nao-linear−∆u = up + f(x, u) em Ω

u = 0 sobre ∂Ω(1)

onde p = 2∗ − 1 = n+2n−2

, f(x, 0) = 0 e f(x, u) e de ordem inferior, ou seja satisfaz

lim|u|→∞

f(x, u)

up= 0.

Um exemplo tıpico e quando f(x, u) = λu onde λ e um parametro real.

Alguns fatores contribuıram muito para motivar a realizacao deste trabalho.

Em primeiro lugar as dificuldades ante aos metodos variacionais padrao que estuda-

mos no curso de topicos. Seguindo estes metodos terıamos que as solucoes do problema

(1) correspondem aos pontos crıticos do funcional

ϕ(u) =1

2

∫Ω

|∇u|2 − 1

2∗

∫Ω

|u|2∗ −∫

Ω

F (x, u)

onde F (x, u) =∫ u

0f(x, t)dt. Como 2∗ e o expoente limite da imersao H1

0 (Ω) ⊂ L2∗(Ω) e

portanto esta imersao nao e compacta e assim nao temos como mostrar que o funcional

ϕ satisfaz a condicao (PS) para algum nıvel c via teorema do passo da montanha.

Alem disso, outra dificuldade que temos e um resultado de nao-existencia exposto por

Pohozaev, o qual garante que se Ω e um domınio estrelado e f(x, u) ≡ 0 entao nao

existe solucao para o problema (1). Sendo assim que condicoes devemos colocar sobre

a pertubacao f para que (1) tenha solucao.

Em segundo lugar a motivacao pelo estudo deste problema cresceu quando parti-

cipei do III WENLU(III Workshop em Equacoes Diferenciais Nao-Lineares da UFPB)

que aconteceu entre os dia 20 e 21 de fevereiro deste ano, quando em tres dos das

cinco primeiras prelecoes foi citado o artigo do Brezis-Nirenberg, [1], que e a principal

referencia deste trabalho.

1

E em ultimo lugar saber que a origem deste problema possui uma ıntima ligacao

com o problema geometrico de Yamabe, o qual pode ser resumido assim, dado uma

variedade riemanniana e uma diferenciavel, queremos encontra uma metrica para a

segunda conforme(multiplo por uma funcao suave) a metrica da primeira que a torne

riemanniana. Apos alguns calculos consiste em encontrar solucoes para o problema−4 (n−1)

(n−2)∆u = R′up +−R(x)u em M

u > 0 em M,

para algum R′ constante, M a variedade riemanniana n-dimensional, e R(x) a curvatura

escalar.

Esta dissertacao estara organizada em dois capıtulos.

No Capıtulo 1, investigaremos a procura de solucoes positivas para o problema−∆u = u2∗−1 + λu em Ω

u = 0 em ∂Ω(2)

com λ um parametro real. Os casos n = 3 e n ≥ 4 serao tratados e tem conclusoes

diferentes.

(a) Quando n ≥ 4 o problema (2) tera solucao para todo λ ∈ (0, λ1), onde λ1 denota

o primeiro autovalor do operador −∆, mas ainda veremos que se λ 6∈ (0, λ1) e Ω e um

domınio estrelado entao (2) nao tem solucao.

(b) Quando n = 3, o problema (2) e mais delicado e assim mostraremos uma

solucao apenas quando Ω e uma bola. E neste caso (2) possui solucao se, somente se,

λ ∈ (14λ1, λ1)

Como faremos isto? Sabemos que as solucoes de (2) correspondem aos pontos

crıticos nao triviais do funcional

ϕ(u) =1

2

∫Ω

|∇u|2 − 1

2∗

∫Ω

|u|2∗ − 1

2λ

∫Ω

u2

Mas analisaremos primeiro os pontos crıticos de∫Ω

|∇u|2 − λ∫

Ω

u2

na esfera ||u||2∗ = 1. Tais pontos crıticos satisfazem o problema

−∆u− λu = µu2∗−1

onde µ e o multiplicador de Lagrange, e daı obtemos uma solucao para (2). Assim

2

mostraremos que para certos λ o ınfimo

Sλ = inf||u||2∗=1, u∈H1

0 (Ω)

∫Ω

|∇u|2 − λ∫

Ω

u2

e atingido. Veremos entao que este ınfimo e atingido para certos λ, aqueles que nos da

a condicao Sλ < S.

No Capıtulo 2 retomaremos o caso mais geral e abordaremos em termos de condicoes

bem gerais mostrando a existencia de solucoes a partir de uma versao do Teorema do

Passo da Montanha sem a condicao (PS).

Mas para tornar mais claro este resultado teremos um lema que garante atraves de

algumas hipoteses, a condicao crucial do teorema: e que o nıvel minimax esteja abaixo

de uma constante ou seja,

c <1

nSn2

onde S novamente e a melhor constante de Sobolev.

Concluindo, analisaremos quais sao as implicacoes do teorema e lema em casos

particulares, para n ≥ 5, n = 4 e n = 3, e novamente destaque para o caso n = 3 por

ser o mais delicado.

Finalmente, o Apendice e dedicado aos resultados basicos utilizados durante a dis-

sertacao.

3

Capıtulo 1

Problema crıtico com pertubacao

linear

Seja Ω ⊂ Rn, com n ≥ 3, um domınio limitado. Nosso objetivo e mostrar a

existencia de solucoes para o problema−∆u = u2∗−1 + λu em Ω

u > 0 em Ω

u = 0 sobre ∂Ω

(1.1)

onde λ e uma constante real. Trataremos primeiro da existencia de solucoes para o

problema (1.1) em duas secoes, analisando o caso n ≥ 4 e o caso n = 3 separadamente,

por motivo das particularidades deste ultimo caso. Finalizaremos este capıtulo trazendo

alguns resultados de nao existencia para este problema.

1.1 Caso n ≥ 4

Nesta secao, mostraremos a existencia de (1.1) para o caso n ≥ 4, que nos dara

um intervalo maior para o parametro λ do problema,sera o intervalo (0, λ1), onde λ1

denota o primeiro autovalor do operador −∆u em Ω, ou seja associado a λ1 esta a

auto-funcao u1 tal que −∆u1 = λ1u1.

Assim nosso principal resultado sera o teorema abaixo:

Teorema 1.1. Se n ≥ 4 entao ∀λ ∈ (0, λ1) entao existe solucao para (1.1)

Para demonstra-lo precisaremos de duas proposicoes mas primeiramente vamos a

algumas definicoes.

Definicao 1.1. Seja E =u ∈ H1

0 (Ω) e ||u||2∗ = 1

4

1. Problema crıtico com pertubacao linear

Sλ = infE

(||∇u||22 − λ||u||22

); (1.2)

com λ ∈ R.

Denotamos

S = S0 = infE

(||∇u||22

)(1.3)

Este ultimo corresponde a melhor constante da Imersao de Sobolev H10 (Ω) → L2∗(Ω)

1.1.1 Melhor constante de Sobolev

Esta ultima definicao sera de extrema importancia para o desenvolvimento deste

trabalho pois ela possui algumas peculiaridades.

1. Primeiro como seu nome ja diz e a melhor constante da Imersao de Sobolev

H10 (Ω) → L2∗(Ω). De fato seja u ∈ H1

0 (Ω) entao

S ≤ ||∇u||22

||u||22∗⇒ S||u||22∗ ≤ ||∇u||22 ⇒ ||u||22∗ ≤

1

S||∇u||22

⇒ ||u||2∗ ≤√

1

S||∇u||2 =

√1

S||u||H1

0 (Ω)

Se o (1.3) for alcancado entao encontramos a constante que torna a imersao

contınua.

2. S e independente de Ω e depende apenas de n. Para isto mostraremos que S(Ω) =

S(Rn).De fato, sendo H10 (Ω) ⊂ H1

0 (Rn) entao S(Ω) ≥ S(Rn)

Reciprocamente, seja (un)n∈N ⊂ H10 (Rn) uma sequencia minimizante para S(Rn).

Como C∞0 (Rn) e denso em H10 (Rn) usando argumentos de densidade podemos

supor que un ∈ C∞0 (Rn). E dada u pertencente a C∞0 (Rn) para qualquer λ > 0

temos que uλ(x) = λ−n−22 u(x

λ) satisfaz que

||∇uλ||2 = ||∇u||2 e ||uλ||2∗ = ||u||2∗ .

Com efeito

||∇uλ||22 =

∫Rn|∇uλ(x)|2dx =

∫Rn|λ−

n−22 λ−1∇u(

x

λ)|2dx = λ−n

∫Rn∇u(

x

λ)dx

fazendo a mudanca de variavel y = xλ

o que implica dx = λndy obtemos

||∇uλ||22 = λ−n∫Rn∇u(

x

λ)dx = λ−n

∫Rn∇u(y)λndy = ||∇u||22

5


De modo analogo mostra-se que ||uλ||2∗ = ||u||2∗ .

Tomando λ suficientemente grande podemos ter que o domınio de uλ e um con-

junto limitado Ω.

Sendo assim tomando uλn associados a cada un da sequencia minimizante temos

que

S(Ω) ≤ lim infn−→∞

||uλn||22 = lim infn−→∞

||un||22 = S(Rn)

Mostrando assim a recıproca.

3. O ınfimo em (1.3) nunca e alcancado em um domınio limitado. Com efeito,

suponhamos que S seja atingido para uma funcao u ∈ H10 (Ω) e Ω limitado.

Podemos assumir que u ≥ 0 em Ω (caso contrario basta reescrever |u| no lugar

de u), entao temos Ω ⊂ B(0, R) = B, uma bola de raio R, centrada na origem.

Assim podemos definir

v =

u em Ω

0 em B/Ω.

Obtemos que S e alcancado tambem em B por v e assim pelo teorema dos mul-

tiplicadores de Lagrange v e solucao de do problema −∇u = µu2∗−1 para algum

µ > 0; isto contradiz o resultado de Pohozaev (sera mostrado na secao de nao-

existencia) com λ = 0, pois B e estrelado.

4. Quando Ω = Rn, O ınfimo (1.3) e alcancado pela funcao

U(x) = C(1 + |x|2)−n2∗

ou por qualquer das funcoes

Uε(x) = Cε(ε+ |x|2)−n2∗

ε > 0, C e Cε sao constantes normalizadoras. Estas funcoes sao conhecidas como

funcoes de Talenti e podem ser encontradas mais detalhes sobre elas no artigo de

Talenti [9].

Feito estas definicoes vamos as duas proposicoes necessarias a demonstracao do

teorema 1.1.

Proposicao 1.2. Temos Sλ < S, ∀λ > 0.

Sem perda de generalidade assumiremos que 0 ∈ Ω. Desejamos estimar

Qλ(u) =||∇u||22 − λ||u||22

||u||22∗

6


com

u(x) = uε(x) =ϕ(x)

(ε+ |x|2)n2∗

Onde ϕ ∈ C∞0 (Ω) com 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1; ∀x ∈ Ω e

ϕ(x) =

1 se x ∈ B(0, r)

0 se x ∈ Ω/B(0, 2r)

Tal que B(0, 2r) ( Ω

Lema 1.3. Dadas as condicoes acima afirmamos entao que quando ε −→ 0 obtemos

||∇uε||22 =K1

εn2∗

+O(1) (1.4)

||uε||22∗ =K2

εn2∗

+O(1) (1.5)

||uε||22 =

K3

εn−42

+O(1) se n ≥ 5

K3|logε|+O(1) se n = 4(1.6)

Onde K1, K2 e K3 denotada constantes positivas dependente somente de n e tal

que K1

K2= S.

Prova: Verificacao de (1.4):

Observemos que

∂uε∂xi

=ϕxi(x)(ε+ |x|2)

n−22 − n−2

2(ε+ |x|2)

n−42 2xiϕ(x)

(ε+ |x|2)n − 2

=ϕxi(x)

(ε+ |x|2)n−22

− (n− 2)ϕ(x).xi

(ε+ |x|2)n2

Entao obtemos que

∇uε(x) =∇ϕ(x)

(ε+ |x|2)n−22

− (n− 2)ϕ(x).x

(ε+ |x|2)n2

7


Assim usando o fato que fora deB(0, 2r), ϕ(x) = 0 e emB(0, r), ϕ(x) = 1(constante)

entao

||∇uε||22 =

∫Ω

|∇uε(x)|2

=

∫B(0,r)

|∇uε(x)|2 +

∫B(0,2r)/B(0,r)

|∇uε(x)|2 +

∫Ω/B(0,2r)

|∇uε(x)|2

=

∫B(0,r)

(n− 2)2ϕ2(x).|x|2

(ε+ |x|2)n+

∫B(0,2r)/B(0,r)

|∇uε(x)|2

=

∫B(0,r)

(n− 2)2ϕ2(x).|x|2

(ε+ |x|2)n+ I1.

Vejamos a prova que I1 = O(1) quando ε → 0. Usaremos o fato que ϕ e C∞ e

portanto suas derivadas parciais sao limitadas, portanto o gradiente de ϕ(x) e limitado.∫B(0,2r)/B(0,r)

|∇ϕ(x)|2

(ε+ |x|2)n−2≤ C

∫B(0,2r)/B(0,r)

1

(ε+ |x|2)n−2

≤ C

∫B(0,2r)/B(0,r)

1

|x|2n−4= O(1).

∫B(0,2r)/B(0,r)

(n− 2)ϕ(x)∇ϕ(x).x

(ε+ |x|2)n−1≤∫B(0,2r)/B(0,r)

(n− 2)ϕ(x)|∇ϕ(x)|.|x|(ε+ |x|2)n−1

≤ C

∫B(0,2r)/B(0,r)

|x|(ε+ |x|2)n−1

≤∫B(0,2r)/B(0,r)

1

|x|2n−3= O(1).

∫B(0,2r)/B(0,r)

(n− 2)2ϕ2(x).|x|2

(ε+ |x|2)n≤ C

∫B(0,2r)/B(0,r)

|x|2

(ε+ |x|2)n

≤ C

∫B(0,2r)/B(0,r)

1

|x|2n− 2= O(1).

E assim

I1 =

∫B(0,2r)/B(0,r)

|∇ϕ(x)|2

(ε+ |x|2)n−2− 2

∫B(0,2r)/B(0,r)

(n− 2)ϕ(x)∇ϕ(x).x

(ε+ |x|2)n−1

+

∫B(0,2r)/B(0,r)

(n− 2)2ϕ2(x).|x|2

(ε+ |x|2)n= O(1)

8


Visto isso e como em B(0, r) temos ϕ(x) ≡ 1 entao

||∇uε||22 = (n− 2)2

∫B(0,r)

|x|2

(ε+ |x|2)ndx+O(1) = (n− 2)2I2 +O(1)

Observando I2 e fazendo uma mudanca de Variavel sendo y = x√ε

temos dy =1

(√ε)ndx portanto segue que

I1 =

∫B(0,r)

|√εy|2(

√ε)n

(ε+ |√εy|2)n

dy =1

εn−22

∫B(0,r)

|y|2

(1 + |y|2)ndy.

Com os argumentos que usamos acima que a |x| > r podemos ver que∫B(0,r)

|y|2

(1 + |y|2)ndy =

∫Rn

|y|2

(1 + |y|2)ndy−

∫Rn/B(0,r)

|y|2

(1 + |y|2)ndy =

∫Rn

|y|2

(1 + |y|2)ndy+O(1).

E assim chamando K1 = (n− 2)2

∫Rn

|x|2

(1 + |x|2)ndx temos a verificacao de (1.4).

Verificacao de (1.5):

Notemos que:∫Ω

|uε|2∗

=

∫Ω

ϕ(x)2∗

(ε+ |x|2)n=

=

∫B(0,r)

ϕ(x)2∗

(ε+ |x|2)n+

∫B(0,2r)/B(0,r)

ϕ(x)2∗

(ε+ |x|2)n+

∫Ω/B(0,2r)

ϕ(x)2∗

(ε+ |x|2)n,

como ϕ(x) = 0 em Ω/B(0, 2r) segue que∫Ω

|uε|2∗

=

∫B(0,r)

ϕ(x)2∗

(ε+ |x|2)n+

∫B(0,2r)/B(0,r)

ϕ(x)2∗

(ε+ |x|2)n

Usando o fato que ϕ(x) ≤ 1 e que

∫B(0,2r)/B(0,r)

ϕ(x)2∗

(ε+ |x|2)n<∞ pois |x| > r nesta

integral. Temos∫Ω

|uε|2∗

=

∫B(0,r)

1

(ε+ |x|2)n+

∫B(0,2r)/B(0,r)

ϕ(x)2∗

(ε+ |x|2)n=

∫B(0,r)

1

(ε+ |x|2)n+O(1).

Fazendo novamente uma mudanca de variavel sendo y =x√ε

e dy = (√ε)ndx temos

∫B(0,r)

1

(ε+ |x|2)ndx =

1

εn2

∫B(0,r/

√ε)

1

(1 + |y|2)ndy.

9


Por outro lado sabemos que∫B(0,r/ε)

1

(1 + |y|2)ndy =

∫Rn

1

(1 + |y|2)ndy −

∫Rn/B(0,r/

√ε)

1

(1 + |y|2)ndy

=

∫Rn

1

(1 + |y|2)ndy +O(1).

Assim

||uε||2∗

2∗ =1

εn2

∫Rn

1

(1 + |y|2)ndy +O(1),

O que implica

||uε||22∗ =1

εn2∗

(∫Rn

1

(1 + |y|2)ndy

) 22∗

+O(1),

assim temos

||uε||22∗ =K2

εn2∗

+O(1) com K2 =

(∫Rn

1

(1 + |y|2)ndy

) 22∗

Verificacao de (1.6): Notemos que

||uε||22 =

∫Ω

ϕ2(x)

(ε+ |x|2)n−2dx

=

∫B(0,r)

ϕ2(x)

(ε+ |x|2)n−2dx+

∫B(0,2r)/B(0,r)

ϕ2(x)

(ε+ |x|2)n−2dx+ 0,

isto porque ϕ(x) = 0 em Ω/B(0, 2r). Temos que em B(0, 2r)/B(0, r) a ϕ e limitada e

|x| > r, e ainda que em B(0, r) a ϕ e constante igual a 1, portanto segue que

||uε||22 =

∫B(0,r)

1

(ε+ |x|2)n−2dx+O(1).

Analisemos agora para n ≥ 5.

||uε||22 =

∫B(0,r)

1

(ε+ |x|2)n−2dx+O(1)

=

∫Rn

1

(ε+ |x|2)n−2dx−

∫Rn/B(0,r)

1

(ε+ |x|2)n−2dx+O(1)

=

∫Rn

1

(ε+ |x|2)n−2dx+O(1)

Usando o teorema da mudanca de variavel, sendo y =x√ε

e dy = (√ε)ndx temos

||uε||22 =εn2

εn−2

∫Rn

1

(1 + |y|2)n−2dy +O(1) =

1

εn−42

∫Rn

1

(1 + |y|2)n−2dy +O(1)

10


Portanto temos

||uε||22 =K3

εn−42

+O(1), K3 =

∫Rn

1

(1 + |y|2)n−2dy

Vamos analisar o caso n = 4 separado pois como se pode ver acima com o argumento

acima a norma de uε nao dependeria mais de ε. Entao para n = 4 utilizaremos a formula

da Coarea (vide Apendice)

||uε||22 =

∫B(0,r)

1

(ε+ |x|2)2dx+O(1)

=

∫ r

0

∫Sr

1

(ε+ s2)2dtds+O(1)

=

∫ r

0

|Ss|(ε+ s2)2

ds+O(1)

Como em R4 temos que |Ss| = s3|S1| assim temos que∫B(0,r)

1

(ε+ |x|2)2dx = |S1|

∫ r

0

s3

(ε+ s2)2ds.

Fazendo uma mudanca de variavel chamando agora t = ε + s2 e dt = 2sds, o que

implica que s2 = t− ε assim temos

|S1|∫ r

0

s3

(ε+ s2)2ds = |S1|

∫ r2+ε

ε

s2.s

t2.2sdt =

|S1|2

∫ r2+ε

ε

t− εt2

dt

Observemos agora que

∫ r2+ε

ε

t− εt2

dt =

∫ r2+ε

ε

1

tdt−

∫ r2+ε

ε

ε

t2dt =

[(ln(r2 + ε)− ln ε)−

(− ε

r2 + ε+ε

ε

)].

Como a funcao ln(x) so explode no infinito e no zero entao ln(r2 +ε) = O(1) alem disso

claramente

(− ε

r2 + ε+ε

ε

)= O(1). Sendo assim usando o fato que para 0 < ε < 1

temos ln ε < 0 o que implica que (− ln ε) = | ln ε| temos que∫ r2+ε

εt−εt2dt = | ln ε|+O(1).

Portanto

||uε||22 =|S1|2| ln ε|+O(1)

Chame K3 de |S1|2

e temos (1.6).

Notemos agora que a funcao U(x) citada na peculiaridade 4 sobre a melhor cons-

tante de Sobolev, na qual o ınfimo (1.3) e alcancado com constante C = 1 e U(x) =

(1 + |x|2)−n2∗ e assim podemos afirmar que K1 = ||∇U ||22 e K2 = ||U ||22∗ entao podemos

afirmar que S =K1

K2

, provando assim o lema.

11


Prova da proposicao 1.2 Prova:

Queremos agora estimar Qλ usando as afirmacoes (1.4), (1.5) e (1.6). Entao anali-

semos separadamente as razoes||∇uε||22||uε||22∗

e||uε||22||uε||22∗

.

||∇uε||22||uε||22∗

=

K1

εn−22

+O(1)

K2

εn−22

+O(1)=K1 +O(1)ε

n−22

K2 +O(1)εn−22

=K1

K2

+O(εn−22 ).

Nesta ultima igualdade basta mostrar que

K1 +O(1)εn−22

K2 +O(1)εn−22

=K1

K2

− K1

K2

+K1 +O(1)ε

n−22

K2 +O(1)εn−22

.

De fato,

K1 +O(1)εn−22

K2 +O(1)εn−22

− K1

K2

=K1K2 +K2O(1)ε

n−22 −K1K2 −K1O(1)ε

n−22

K22 +K2O(1)ε

n−22

=

=(K2 − k1)O(1)ε

n−22

K22 +K2O(1)ε

n−22

,

dividindo esta expressao por εn−22 temos que quando ε −→ 0 a expressao e limitada,

Logo segue que e O(εn−22 ). Analisando agora a segunda razao para n ≥ 5, de maneira

analoga a que foi feita acima, basta trocar K1 por εK3 e temos

||uε||22||uε||22∗

=

K3

εn−42

+O(1)

K2

εn−22

+O(1)=εK3 +O(1)ε

n−22

K2 +O(1)εn−22

=εK3

K2

− εK3

K2

+εK3 +O(1)ε

n−22

K2 +O(1)εn−22

=εK3

K2

+O(εn−22 )

Com isso ja podemos mostrar que que Sλ < S quando n ≥ 5 pois para n ≥ 5 temos

Qλ(uε) = S − λK3

K2

ε+O(εn−22 )

Logo para ε proximo do zero temos que λK3

K2

ε > Cεn−22 ≥ O(ε

n−22 ) isso pois n ≥ 5.

Assim Qλ(uε) < S e como Sλ ≤ Qλ(uε) entao

Sλ < S

12


Analisemos a segunda razao para n = 4.

||uε||22||uε||22∗

=K3| ln ε|+O(1)

K2

εn−22

+O(1)=εK3| ln ε|+ εO(1)

K2 + εO(1)

=εK3| ln ε|

K2

+

(εK3| ln ε|+ εO(1)

K2 + εO(1)− εK3| ln ε|

K2

)=εK3| ln ε|

K2

+O(ε)

De fato, Basta usar o mesmo argumento que usamos na primeira razao trocando K1

por εK3| ln ε| e usar o fato que εO(1) = O(ε).

Assim

Qλ(uε) = S − λK3

K2

ε| ln ε|+O(ε)

quando n = 4. Portanto pelo fato que ε| ln ε| > εM ≥ O(ε), de fato limε→0| ln ε| = +∞,

ou seja Dado M existe δ > 0 tal que para ε < δ temos | ln ε| > M o que implica

ε| ln ε| > εM . Segue que

Sλ ≤ Qλ(uε) < S

Proposicao 1.4. Se Sλ < S, entao o ınfimo Sλ e alcancado.

Prova:

Prova: Seja (uj) ⊂ H10 (Ω) uma sequencia minimizante para Sλ ou seja

||uj||2∗ =1 ∀j ∈ N (1.7)∫Ω

|∇uj|2 − λ∫

Ω

|uj|2 =Sλ + o(1) quando j →∞. (1.8)

Podemos afirmar que (uj) e limitada em H10 (Ω). Com efeito por (1.8) temos

||∇uj||22 =

∫Ω

|∇uj|2 = Sλ + λ

∫Ω

|uj|2 + o(1)

pela imersao contınua L2∗(Ω) → L2(Ω) obtemos que ||uj||22 ≤ C||uj||22∗ = C por (1.7),

assim

||uj||2H10 (Ω) = ||∇uj||22 ≤ Sλ + λC + o(1).

Sabendo disso, como H10 (Ω) e reflexivo, existe u ∈ H1

0 (Ω) tal que (uj) converge

fraco para u em H10 (Ω) a menos de subsequencia. Segue por imersao compacta de que

(uj) converge forte para u em L2(Ω) e assim a menos de uma subsequencia temos

uj 7−→ u q.t.p. em Ω.

13


Temos tambem que

||u||2∗ ≤ 1.

De fato, temos que a imersao H10 (Ω) → L2∗(Ω) e contınua, portanto uj u em L2∗(Ω)

e como a norma e uma funcao sequencialmente semi-contınua inferiormente temos que

||u||2∗ ≤ lim infj→∞

||uj||2∗ = 1.

Afirmamos que u 6= 0.

De fato sabemos que S = infu∈H1

0 (Ω) ||u||2∗=1

||∇u||22

≤ ||∇uj||22, logo usando (1.8)

obtemos

S − λ||uj||22 ≤ ||∇uj||22 − λ||uj||22 = Sλ + o(1),

assim como Sλ < S segue que 0 < S − Sλ ≤ λ||uj||22 + o(1) −→ λ||u||22 ⇒ u 6= 0

Consideremos agora a sequencia (vj) = (uj − u). Entao pela definicao segue que

vj 0 em H10 (Ω) e portanto vj → 0 em L2(Ω) e segue que vj → 0 q.t.p em Ω.

Assim temos que de (1.8)

||∇uj||22 − λ||uj||22 = Sλ + 0(1)⇒ ||∇vj +∇u||22 − λ||vj + u||22 = Sλ + 0(1)

⇒ ||∇vj||22 + 2

∫Ω

∇vj∇u+ ||∇u||22 − λ||vj||22 − 2λ

∫Ω

vju− λ||u||22 = Sλ + 0(1)

Usando o fato que quando j →∞ temos que∫Ω

∇vj∇u ≤ ||∇vj||2||∇u||2 → ||∇0||2||∇u||2 = 0

e ||vj||2 → 0 e ainda

∫Ω

vju ≤ ||vj||2||u||2 → 0

Portanto temos

||∇vj||22 + ||∇u||22 − λ||u||22 = Sλ + 0(1) (1.9)

Agora notemos por outro lado que pelo lema de Brezis-Lieb(vide Apendice) temos

||uj||2∗

2∗ − ||uj − u||2∗

2∗ = ||u||2∗2∗ + o(1)

⇒||vj + u||2∗2∗ − ||vj||2∗

2∗ = ||u||2∗2∗ + o(1)

⇒1 = ||uj||2∗

2∗ = ||vj + u||2∗2∗ = ||u||2∗2∗ + ||vj||2∗

2∗ + o(1).

Como2

2∗≤ 1 entao temos que

(||vj||2

∗2∗ + ||u||2∗2∗ + o(1)

) 22∗ ≤ ||vj||22∗+||u||22∗+o(1) assim

1 ≤ ||vj||22∗ + ||u||22∗ + o(1).

14


Alem disso temos que por definicao S ≤ ||∇vj||22

||vj||22∗⇒ ||vj||22∗ ≤

1

S||∇vj||22 Portanto

unindo isto a desigualdade anterior obtemos

1 ≤ ||u||22∗ +1

S||∇vj||22 + o(1). (1.10)

Para mostrar que Sλ e alcancado, ja temos que

Sλ ≤||∇u||22 − λ||u||22

||u||22∗.

De fato, basta observar que∥∥∥ u||u||2∗

∥∥∥2∗

= 1 e como Sλ e o ınfimo definido em (1.2),

temos Sλ ≤∥∥∥∇ u

||u||2∗

∥∥∥2

2− λ

∥∥∥ u||u||2∗

∥∥∥2

2de onde segue a desigualdade. Basta mostra a

desigualdade inversa agora. Faremos isso em dois casos.

Caso 1: Se Sλ > 0 entao tomando (1.10) e multiplicando por Sλ temos

Sλ ≤ Sλ||u||22∗ +SλS||∇vj||22 + o(1).

Unindo isto a (1.9) chegamos a

||∇vj||22 + ||∇u||22 − λ||u||22 ≤ Sλ||u||22∗ +SλS||∇vj||22 + o(1)

⇒(

1− SλS

)||∇vj||22 + ||∇u||22 − λ||u||22 ≤ Sλ||u||22∗ + o(1).

Como Sλ < S entao(1− Sλ

S

)> 0 portanto chegamos a desigualdade que querıamos

||∇u||22 − λ||u||22 ≤ Sλ||u||22∗ + o(1).

Caso 2: Se Sλ ≤ 0 entao obtemos de (1.9) e do fato que Sλ ≤ Sλ||u||22∗ pois

||u||2∗ ≤ 1 e o fato que ||∇vj||22 ≥ 0 assim temos a desigualdade que querıamos

||∇u|| − λ||u||22 ≤ Sλ||u||22∗ + o(1).

Assim concluımos a prova da proposicao 1.4.

Prova: Prova do teorema 1.1: Seja u ∈ H10 (Ω) dada pelo lema acima, ou seja

||u||2∗ = 1 e ||∇u||22 − λ||u||22 = Sλ

Podemos sem perda de generalidade assumir que u ≥ 0 em Ω (caso contrario to-

memos |u| no lugar de u). Assim pelo teorema do multiplicador de Lagrange tomando

15


F,G : H10 (Ω)→ R tais que

F (v) =1

2

∫Ω

|∇v|2 − λ

2

∫Ω

|v|2 e G(v) =1

2∗

(∫Ω

|v|2∗dx− 1

)e definindo M = v ∈ H1

0 (Ω); ||v||2∗ = 1 , temos que existe um µ ∈ R tal que

F ′(u)w = µG′(u)w; ∀w ∈ H10 (Ω)

Em particular

F ′(u)u = µG′(u)u ⇒∫

Ω

|∇u|2 − λ∫

Ω

|u|2 = µ

∫Ω

|u|2∗

Assim vemos claramente que µ = Sλ e Sλ > 0 pois λ ∈ (0, λ1). Assim u e solucao de

−∆u− λu = µu2∗−1

Mostremos que w0 = (S1

2∗−2

λ )u e solucao de (1.1). Observe que dado w ∈ H10 (Ω) temos∫

Ω

∇w0∇w − λ∫

Ω

w0 · w = (S1

2∗−2

λ )

∫Ω

∇u∇w − (S1

2∗−2

λ )λ

∫Ω

u · w

= S1

2∗−2

λ (

∫Ω

∇u∇w − λ∫

Ω

u · w)

= S1

2∗−2

λ (Sλ

∫Ω

u2∗−1 · w)

=

∫Ω

S2∗−12∗−2

λ u2∗−1 · w

=

∫Ω

(S1

2∗−2

λ u)2∗−1 · w

=

∫Ω

w2∗−10 · w.

Fazendo w = w0 temos que w0 e solucao de (1.1) pois∫Ω

|∇w0|2 − λ∫

Ω

|w0|2 =

∫Ω

|w0|2∗

Alem disso w0 ≥ 0, pois u ≥ 0, suponha que w0(x) = 0 para algum x ∈ Ω entao

w0 atinge o ınfimo no interior de Ω, logo pelo Princıpio do Maximo Forte (com c = 0)

(Vide em no apendice) w0 seria constante ou seja w0 ≡ 0 o que uma contradicao.

Portanto wo > 0 e assim e uma solucao para (1.1).

Para a utilizacao do princıpio do maximo forte e necessario que w0 ∈ C2(Ω,R) e

isto de fato ocorre, basta usar argumentos de regularidades padroes Brezis-Kato(vide

16


em Apendice), Agmom-Douglas-Niremberg, Morrey e Schauder(vide [8]). O que nao e

nosso objetivo neste trabalho.

1.2 Caso n = 3

Na secao anterior vimos o caso n ≥ 4 nesta veremos o caso n = 3 e na proxima

secao veremos os resultados de nao-existencia para ambos os casos.

Seja Ω ⊂ R3 um domınio limitado. Desejamos encontrar solucoes positivas para o

problema: −∆u = u5 + λu em Ω

u = 0 sobre ∂Ω,(1.11)

onde λ e um parametro real positivo.

Assumiremos que Ω e uma bola para termos claro o parametro do λ. O nosso

resultado principal e:

Teorema 1.5. Assumindo que Ω e uma bola; entao existe solucao para (1.11) se,

somente se λ ∈ (14λ1, λ1).

Para Simplificar tomaremos

Ω =x ∈ R3; |x| = 1

.

Assim, λ1 = π2(que corresponde a auto-funcao |x|−1sen(π|x|)) e faremos algo seme-

lhante, provaremos primeiro que Sλ < S para λ > 14λ1, pois nos resultados de nao

existencia provaremos que para 0 < λ ≤ 14λ1 nao existe solucao para (1.11).

Proposicao 1.6. Temos Sλ < S para todo λ > 14λ1

De forma semelhante ao caso anterior desejaremos estimar a razao

Qλ(u) =||∇u||22 − λ||u||22

||u||26

por

uε(x) =ϕ(|x|)

(ε+ |x|2)12

fazendo r = |x| temos uε(r) =ϕ(r)

(ε+ r2)12

(1.12)

onde ϕ e uma funcao suave e fixa tal que ϕ(0) = 1, ϕ′(0) = 0, ϕ(1) = 0. Para isto

provemos um lema semelhante ao da secao anterior.

17


Lema 1.7. Afirmamos que quando ε→ 0 temos

||∇uε||22 =K1

ε12

+ ω

∫ 1

0

|ϕ′(r)|2dr +O(ε12 ) (1.13)

||uε||26 =K2

ε12

+O(ε12 ) (1.14)

||uε||22 = ω

∫ 1

0

ϕ2(r)dr +O(ε12 ), (1.15)

onde K1 e K2 sao constantes positivas tal queK1

K2

= S e ω e a medida da esfera unitaria

de R3.

Verificacao de (1.13): Partindo do fato que uε(x) =ϕ(|x|)

(ε+ |x|2)12

temos

∂uε∂xi

=

ϕ′(|x|).xi|x| .(ε+ |x|2)

12 − ϕ(|x|).1

2(ε+ |x|2)−

12 .2|x|. xi|x|

(ε+ |x|2)

=ϕ′(|x|).xi|x|(ε+ |x|2)

12

− ϕ(|x|).xi(ε+ |x|2)

32

,

deste modo temos que

∇uε =

(ϕ′(|x|)

|x|(ε+ |x|2)12

− ϕ(|x|)(ε+ |x|2)

32

).x,

ortanto temos

||∇uε||22 =

∫B(0,1)

(ϕ′(|x|)

|x|(ε+ |x|2)12

− ϕ(|x|)(ε+ |x|2)

32

)2

.|x|2dx.

Usando a formula da Coarea e usando o fato |Sr| = 4πr2 = ω.r2 temos

||∇uε||22 =

∫ 1

0

∫Sr

(ϕ′(r)

r(ε+ r2)12

− ϕ(r)

(ε+ r2)32

)2

.r2ds

dr

=

∫ 1

0

|Sr|

(ϕ′(r)

r(ε+ r2)12

− ϕ(r)

(ε+ r2)32

)2

.r2dr

=ω

∫ 1

0

(ϕ′(r)

r(ε+ r2)12

− ϕ(r)

(ε+ r2)32

)2

.r4dr

=ω

∫ 1

0

(ϕ′(r)2

r2(ε+ r2)− 2ϕ(r)ϕ′(r)

r(ε+ r2)2+

ϕ2(r)

(ε+ r2)3

).r4dr

=ω

∫ 1

0

ϕ′(r)2r2

(ε+ r2)dr − ω

∫ 1

0

2ϕ(r)ϕ′(r)r3

(ε+ r2)2dr + ω

∫ 1

0

ϕ2(r)r4

(ε+ r2)3dr (1.16)

18


Usando integracao por partes com u =r3

(ε+ r2)2e v = ϕ2(r) e o fato que ϕ(1) = 0

temos que

−∫ 1

0

2ϕ(r)ϕ′(r)r3

(ε+ r2)2dr =

∫ 1

0

3ϕ2(r)r2

(ε+ r2)2dr −

∫ 1

0

4ϕ2(r)r4

(ε+ r2)3dr (1.17)

substituindo (1.17) em (1.16), obtemos

||∇uε||22ω

=

∫ 1

0

ϕ′(r)2r2

(ε+ r2)dr +

∫ 1

0

3ϕ2(r)r2

(ε+ r2)2dr −

∫ 1

0

4ϕ2(r)r4

(ε+ r2)3dr +

∫ 1

0

ϕ2(r)r4

(ε+ r2)3dr

=

∫ 1

0

ϕ′(r)2r2

(ε+ r2)dr +

∫ 1

0

3ϕ2(r)r2

(ε+ r2)2dr −

∫ 1

0

3ϕ2(r)r4

(ε+ r2)3dr

=

∫ 1

0

ϕ′(r)2r2

(ε+ r2)dr +

∫ 1

0

3ϕ2(r)r2(ε+ r2)

(ε+ r2)3dr −

∫ 1

0

3ϕ2(r)r4

(ε+ r2)3dr

=

∫ 1

0

ϕ′(r)2r2

(ε+ r2)dr + 3ε

∫ 1

0

ϕ2(r)r2

(ε+ r2)3dr (1.18)

Usando o fato que ϕ ∈ C∞([0, 1]) consequentemente ϕ′ e limitada afirmamos que∫ 1

0

ϕ′(r)2r2

(ε+ r2)dr =

∫ 1

0

ϕ′(r)2dr +

∫ 1

0

ϕ′(r)2r2

(ε+ r2)dr −

∫ 1

0

ϕ′(r)2dr

=

∫ 1

0

ϕ′(r)2dr +O(ε12 ), (1.19)

de fato, ∫ 1

0

ϕ′(r)2r2

(ε+ r2)dr −

∫ 1

0

ϕ′(r)2dr =ε

∫ 1

0

ϕ′(r)2

(ε+ r2)dr

≤εC∫ 1

0

1

ε+ r2dr

=εC · 1√ε

arctan(1√ε

)

≤Kε12

Agora chamando de I5 =

∫ 1

0

ϕ2(r)r2

(ε+ r2)3dr e escrevendo

I5 =

∫ 1

0

r2

(ε+ r2)3dr +

∫ 1

0

(ϕ2(r)− 1)r2

(ε+ r2)3dr

afirmamos que

I5 =

∫ 1

0

r2

(ε+ r2)3dr +O(ε−

12 ), (1.20)

19


isto acontece pois ϕ2(r)− 1 ≤ Cr onde C e uma constante, consequencia de ϕ′(0) = 0

e ainda fazendo uma mudanca de variavel s = r/√ε temos

∫ 1

0

(ϕ2(r)− 1)r2

(ε+ r2)3dr ≤ C

∫ 1

0

r3

(ε+ r2)3dr =

Cε2

ε3

∫ ε−12

0

s3

(1 + s2)3ds ≤ Kε−

12

Substituindo (1.20) e (1.19) em (1.18) temos

||∇uε||22 = ω

∫ 1

0

|ϕ′(r)2dr + ωO(ε12 ) + 3ωε

∫ 1

0

r2dr

(ε+ r2)3+ 3ωεO(ε−

12 )

Mas por outro lado fazendo a mudanca de variavel s = r/√ε o que implica ds = dr/

√ε

temos que

∫ 1

0

r2dr

(ε+ r2)3= ε−3

∫ 1

0

r2dr(1 +

(r√ε

)2)3 = ε−3

∫ 1√ε

0

(s√ε)2√εds

(1 + s2)3 = ε−32

∫ 1√ε

0

s2ds

(1 + s2)3

Temos ainda que

∫ 1√ε

0

s2ds

(1 + s2)3=

∫ ∞0

s2ds

(1 + s2)3−∫ ∞

1√ε

s2ds

(1 + s2)3︸︷︷︸O(ε

32 )

De fato, comos2ds

(1 + s2)3<

1

s4e a como

∫ ∞1√ε

1

s4=ε

32

3. Portanto multiplicando por ε−

32

a igualdade acima obtemos que

ε−32

∫ 1√ε

0

s2ds

(1 + s2)3= ε−

32

∫ ∞0

s2ds

(1 + s2)3+ ε−

32O(ε

32 ) =

∫∞0

s2ds(1+s2)3

ε32

+O(1)

Com isso a expressao

3ωε

∫ 1

0

r2dr

(ε+ r2)3=

3ω∫∞

0s2ds

(1+s2)3

ε12

+ 3ωO(1)

Portanto, tomando K1 = 3ω

∫ ∞0

s2ds

(1 + s2)3= ||∇U ||22, onde U e a funcao de Talenti

20


com contante igual a 1, onde o ınfimo (1.3) e alcancado, temos que:

||∇uε||22 =ω

∫ 1

0

|ϕ′(r)|2dr + ωO(ε12 ) +

K1

ε12

+ 3ωO(1) + 3ωO(ε12 )

=K1

ε12

+ ω

∫ 1

0

|ϕ′(r)|2dr +O(ε12 ),

o que verifica (1.13)

Verificacao de (1.14) Usando a formula da coarea temos que

||uε||66 =

∫B(0,1)

|uε(x)|dx =

∫B(0,1)

ϕ6(|x|)(ε+ |x|2)3

dx

=

∫ 1

0

(∫Sr

ϕ6(r)

(ε+ r2)3ds

)dr

=

∫ 1

0

ϕ6(r)|Sr|(ε+ r2)3

dr = ω

∫ 1

0

ϕ6(r)r2

(ε+ r2)3dr

=ω

∫ 1

0

(ϕ6(r)− 1)r2

(ε+ r2)3dr + ω

∫ 1

0

r2

(ε+ r2)3dr = I6 + I7

Afirmacao 1.1. |ϕ6(r)− 1| ≤ Cr2 para todo r ∈ [0, 1].

De fato,consideremos o limite abaixo e usemos Regra de L’Hospital e o fato que

ϕ(0) = 1 e ϕ′(0) = 0

limr→0

ϕ6(r)− 1

r2= lim

r→0

6ϕ5(r)ϕ′(r)

2r= lim

r→0

30ϕ4(r)ϕ′(r)2 + ϕ′′(r).6ϕ5(r)

2= 3ϕ′′(r),

logo dado ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo 0 < r < δ temos∣∣∣∣ϕ6(r)− 1

r2− 3ϕ′′(r)

∣∣∣∣ < ε ⇒∣∣∣∣ϕ6(r)− 1

r2

∣∣∣∣ < C1

Por outro lado se δ ≤ r ≤ 1 temos que∣∣∣∣ϕ6(r)− 1

r2

∣∣∣∣ < C2

Portanto, tomando C = max C1, C2 segue a afirmacao.

21


Diante dessa afirmacao e da mudanca de variavel temos

|I6| =ω∫ 1

0

(ϕ6(r)− 1)r2

(ε+ r2)3dr ≤ ω

∫ 1

0

Cr4

(ε+ r2)3dr

=Cε−3

∫ 1√ε

0

(s√ε)4.√ε

(1 + s2)3ds ≤ Cε−

12

∫ ∞0

s4

(1 + s2)3

=C.ε−12 .

3

16π = O(ε−

12 )

Portando I6 = O(−ε 12 )

Por outro lado basta usar argumentos da mudanca de variavel, para ver que

I7 = ωε−32

∫ 1√ε

0

s2

(1 + s2)3ds = ωε−

32

(∫ ∞0

s2

(1 + s2)3ds−

∫ ∞1√ε

s2

(1 + s2)3ds

)

Com efeito

∫ ∞1√ε

s2

(1 + s2)3ds = O(ε), pois

s2

(1 + s2)3≤ 1

s3e como

∫ ∞1√ε

1

s3ds = 2ε.

Portanto usando o fato que O(ε−12 ) = ε−

32O(ε) chegamos que

||uε||66 = ωε−32

(∫ ∞0

s2

(1 + s2)3ds+O(ε)

)Elevando ambos os membros a 1/3 temos

||uε||26 =ω13 ε−

12

(∫ ∞0

s2

(1 + s2)3ds+O(ε)

) 13

=ω13 ε−

12

(∫ ∞0

s2

(1 + s2)3ds

) 13

+ ω13 ε−

12O(ε)

Com efeito esta ultima igualdade sai do fato que

(k +O(ε))13 − k

13 = O(ε), ∀k > 0

De fato basta observar que

O(ε) ≤ Cε⇒ O(ε) ≤ 3CεK2 ⇒ O(ε) ≤ 3CεK2 + 3C2ε2K + C3ε3 ⇒

⇒ O(ε) +K3 ≤ 3CεK2 + 3C2ε2K + C3ε3 +K3 = (Cε+K)3

⇒ (O(ε) +K3)13 ≤ Cε+K ⇒ (O(ε) +K3)

13 −K ≤ Cε = O(ε)

22


Chamemos K3 = K e temos a igualdade acima. Concluımos entao a verificacao, onde

K2 =

(ω

∫ ∞0

s2

(1 + s2)3ds

) 13

= ||U ||26 e U aquela funcao na qual o ınfimo (1.3) e

atingido.

Verificacao de (1.15)

Da definicao de uε(x) e usando a formula da coarea como fizemos acima temos

||uε||22 = ω

∫ 1

0

ϕ2(x)r2

ε+ r2dr =ω

(∫ 1

0

ϕ2(x)r2

ε+ r2dr +

∫ 1

0

ϕ2(x)ε

ε+ r2dr −

∫ 1

0

ϕ2(x)ε

ε+ r2dr

)=

∫ 1

0

ϕ2(x)dr −∫ 1

0

ϕ2(x)ε

ε+ r2dr

Por outro lado usando o fato que ϕ(x) ≤ 1 temos que∫ 1

0

ϕ2(x)ε

ε+ r2dr ≤

∫ 1

0

ε

ε+ r2dr =

∫ 1

0

1

1 + ( r√ε)2dr

Fazendo mudanca de variavel s = r/√ε segue

∫ 1

0

1

1 + ( r√ε)2dr =

∫ 1√ε

0

√ε

1 + s2ds ≤

∫ ∞0

√ε

1 + s2ds = C

√ε

Portanto concluımos que

||uε||22 = ω

∫ 1

0

ϕ2(r)dr +O(ε12 )

Antes de concluir a prova da proposicao provemos mais um lema.

Lema 1.8. Se A,B, α ∈ R entao

A

B +O(εα)=A

B+O(εα)

Prova: De fato, basta ver queA

B +O(εα)− A

B=AB − AB − AO(εα)

B2 +BO(εα)= O(εα), pois

A e B sao constantes e o denominador nao e nulo quando ε→ 0.

Prova da proposicao 1.6: Vamos estimar Qλ(uε).

Qλ(uε) =

K1

ε12

+ ω∫ 1

0ϕ′(r)2dr +O(ε

12 )− λω

∫ 1

0ϕ2(r)dr −O(ε

12 )

K2

ε12

+O(ε12 )

Assim temos

23


Qλ(uε) =K1

K2 +O(ε)+ωε

12

∫ 1

0ϕ′(r)2dr

K2 +O(ε)+

O(ε)

K2 +O(ε)−λωε

12

∫ 1

0ϕ2(r)dr

K2 +O(ε)

=I8 + I9 + I10 − I11

Do lema 1.8 e dos fatos queK1

K2

= S, ε12O(ε) = O(ε

32 ) = O(ε) e tomando por fim

ϕ(r) = cos(πr2

) segue-se

I8 =K1

K2

+O(ε) = S +O(ε) (1.21)

I10 =O(ε) (1.22)

I9 − I11 =ε12ω

(∫ 1

0

ϕ′(r)2dr − λ∫ 1

0

ϕ2(r)dr

)(1

K2 +O(ε)

)(1.23)

I9 − I11 =ε

12ω

K2

(∫ 1

0

ϕ′(r)2dr − λ∫ 1

0

ϕ2(r)dr

)+O(ε) (1.24)

I9 − I11 =ε

12ω

K2

(π2

8− λ

2

)+O(ε) (1.25)

Logo segue por (1.21), (1.22) e (1.25) que

Qλ(uε) =S +O(ε) +ε

12ω

K2

(π2

8− λ

2

)+O(ε) +O(ε)

=S +ε

12ω

K2

(π2

4− λ)C +O(ε),

como λ1 = π2 e λ > 14λ1, temos para ε suficientemente pequeno que Qλ(uε) < S como

Sλ e o ınfimo dos Qλ(u) para todo u ∈ H10 (Ω) assim

Sλ < S

Prova do teorema 1.5

Com a proposicao provaremos somente a volta do teorema 1.5 pois a volta contara

com o resultado de nao-existencia que a princıpio vamos apenas enunciar e provaremos

na proxima secao

”Nao existe Solucao de (1.11) para λ ≤ 14λ1”

Assim se λ ∈ (14λ1, λ1) temos pela proposicao 1.6 que Sλ < S e de forma analoga

ao mostrado no primeiro teorema temos que o ınfimo Sλ e atingido e (1.11) possui

solucao. A ida do teorema e mostrada pela contra-positiva usando o resultado acima,

se λ /∈ (14λ1, λ1) entao nao ha solucao.

24


1.3 Resultados de nao-existencia

Nesta secao abordaremos alguns resultados de nao existencia para o problema (1.1)

sob a variacao do parametro real λ comecaremos com a identidade de Pohozaev para

este problema e seguiremos com os casos n ≥ 4 e n = 3 com suas peculiaridades.

1.3.1 Identidade de Pohozaev

A identidade de Pohozaev, pode ser encontrada em sua forma mais geral em [6] e

no apendice. Aqui apresentaremos um resultado relacionado direto ao problema (1.1)

seguindo as diretrizes de [7].

Teorema 1.9. Sejam n ≥ 3 e u ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) solucao de (1.1). Entao, a funcao

u satisfaz a igualdade1

2

∫∂Ω

|∇u|2x.ν(x)dx = λ

∫Ω

u2dx

onde ν(x) o vetor normal a ∂Ω em x

Prova:

Como u satisfaz (1.1), multiplicando tal igualdade por ∇u.x e integrando, obtemos

−∫

Ω

∆u∇u.xdx =

∫Ω

u2∗−1∇u.xdx+ λ

∫Ω

u∇u.xdx (1.26)

Sabemos por outro lado que div(∇u.x∇u) = ∇(∇u.x)∇u + (∇u.x)∆u, pois o

produto interno e bilinear e div(∇u) = ∆u. Assim pelo teorema do Divergente segue

que∫∂Ω

(∇u.x∇u).ν(x)dx =

∫Ω

div(∇u.x∇u)dx =

∫Ω

∇(∇u.x)∇udx+

∫Ω

(∇u.x)∆udx

O que implica que∫Ω

(∇u.x)∆udx =

∫∂Ω

(∇u.x∇u).ν(x)dx−∫

Ω

∇(∇u.x)∇udx (1.27)

Igualando (1.26) e (1.27) obtemos∫Ω

∇(∇u.x)∇udx−∫∂Ω


∫Ω


∫Ω

u∇u.xdx (1.28)

Note que ∫∂Ω


∫∂Ω

|∇u(x)|2(ν(x).x)dx (1.29)

Observemos tambem que

25


∇(∇u.x)∇u = ∇

(n∑i=1

xi∂u

∂xi

)∇u

=

(n∑i=1

[δ1,i

∂u

∂xi+ xi

∂2u

∂x1∂xi

], ...,

n∑i=1

[δn,i

∂u

∂xi+ xi

∂2u

∂xn∂xi

]).∇u

= |∇u|2 + x1

(n∑i=1

∂u

∂xi

∂2u

∂x1∂xi

)+ ...+ xn

(n∑i=1

∂u

∂xi

∂2u

∂xn∂xi

)

= |∇u|2 + x1

(|∇|2

2

)x1

+ ...+ xn

(|∇|2

2

)xn

= |∇u|2 +n∑j=1

xj

(|∇|2

2

)xj

= |∇u|2 +1

2∇(|∇u|2).x (1.30)

Integrando tal igualdade temos∫Ω

∇(∇u.x)∇udx =

∫Ω

(|∇u|2 +

1

2∇(|∇u|2).x

)dx (1.31)

Mas como div(|∇u|2.x) = ∇(|∇u|2).x+ |∇u|2n entao pelo teorema do divergente∫∂Ω

|∇u|2.x.ν(x)dx =

∫Ω

∇(|∇u|2).xdx+

∫Ω

|∇u|2ndx,

e assim por (1.31) obtemos∫Ω

∇(∇u.x)∇udx =

∫Ω

|∇u|2dx+1

2

∫∂Ω

|∇u|2.x.ν(x)dx− 1

2

∫Ω

|∇u|2ndx

que implica∫Ω

∇(∇u.x)∇udx =(

1− n

2

)∫Ω

|∇u|2dx+1

2

∫∂Ω

|∇u|2.x.ν(x)dx (1.32)

Combinando (1.28),(1.29) e (1.32) temos entao

(1− n

2

)∫Ω

|∇u|2dx+1

2

∫∂Ω

|∇u|2.x.ν(x)dx−∫∂Ω

|∇u(x)|2(ν(x).x)dx =

=

∫Ω


∫Ω

u∇u.xdx

Mas como pela regra da cadeia temos que ∇u.u2∗−1 = ∇(u2∗

2∗

)e ∇u.u = ∇

(u2

2

)entao

26


temos a igualdade(1− n

2

)∫Ω

|∇u|2dx− 1

2

∫∂Ω

|∇u|2.x.ν(x)dx =1

2∗

∫Ω

∇(u2∗).xdx+λ

2

∫Ω

∇(u2).xdx

(1.33)

Observemos tambem que div(u2∗ .x) = ∇(u2∗ .x) + u2∗n e assim pelo teorema do

divergente ∫∂Ω

u2∗ .x.ν(x)dx =

∫Ω

∇(u2∗ .x)dx+

∫Ω

u2∗ndx

notemos que o primeiro membro e nulo pois u se anula na fronteira, e portanto∫Ω

∇(u2∗ .x)dx = −∫

Ω

u2∗ndx

De modo semelhante e usando que div(u2.x) = ∇(u2).x + u2n concluımos que∫Ω

∇(u2).xdx = −∫

Ω

u2ndx.

Substituindo em (1.33) obtemos

(1− n

2

)∫Ω

|∇u|2dx− 1

2

∫∂Ω

|∇u|2.x.ν(x)dx = − n2∗

∫Ω

u2∗dx− λn

2

∫Ω

u2dx (1.34)

Veja agora que como u satisfaz o problema (1.1), multiplicando por u e integrando

temos

−∫

Ω

∆u.udx =

∫Ω

(u2∗ + λu2)dx

Porem div(∇u.u) = ∆u.u+∇u∇u e como u se anula na fronteira concluımos que

−∫

Ω

∆u.udx =

∫Ω

|∇u|2dx =

∫Ω

(u2∗ + λu2)dx

Substituindo em (1.34) temos

(1− n

2

)[∫Ω

u2∗dx+ λ

∫Ω

u2dx

]− 1

2

∫∂Ω

|∇u|2.x.ν(x)dx = − n2∗

∫Ω

u2∗dx− λn2

∫Ω

u2dx

Mas comon

2∗=(n

2− 1)

temos

1

2

∫∂Ω

|∇u|2x.ν(x)dx = λ

∫Ω

u2dx

1.3.2 Nao-existencia: caso n ≥ 3

Aqui exibiremos resultados de nao existencia para o problema (1.1) no caso em que

n ≥ 3, em particular servira para o caso da primeira secao, n ≥ 4. Mostraremos que se

27


λ /∈ (0, λ1) nao existe solucao para (1.1) para todo n ≥ 3. Aqui λ1 denota o primeiro

autovalor do operador −∆u em Ω, ou seja associado a λ1 esta a auto funcao u1 tal que

−∆u1 = λ1u1.

Proposicao 1.10. Nao existe solucao para (1.1) com λ ≥ λ1.

Prova: De fato, seja u solucao de (1.1) entao∫Ω

∇u∇v = λ

∫Ω

u.v +

∫Ω

u2∗−1v ∀v ∈ H10 (Ω)

e por outro lado se u1 e tal que −∆u1 = λ1u1 entao∫Ω

∇u1∇v = λ1

∫Ω

u1.v ∀v ∈ H10 (Ω)

Substituindo v por u1 na primeira igualdade e por u na segunda obtemos que:

λ

∫Ω

u.u1 +

∫Ω

u2∗−1u1 = λ1

∫Ω

u1.u

⇒ λ

∫Ω

u.u1 < λ1

∫Ω

u1.u⇒ λ < λ1

Sendo assim para λ ≥ λ1 nao existe solucao para (1.1).

Para proxima proposicao precisaremos de uma definicao.

Definicao 1.2. Dizemos que um conjunto aberto Ω e estrelado em relacao a origem

se para cada x ∈ Ω, o segmento de reta λx; 0 ≤ λ ≤ 1 esta contido em Ω.

Proposicao 1.11. Nao existe solucao para (1.1) com λ ≤ 0 e Ω uma domınio estrelado

suave.

Prova: De fato pela Identidade de Pohozaev, se u e solucao de (1.1) entao:

1

2

∫∂Ω

|∇u|2x.v(x)dx = λ

∫Ω

u2dx

Por outro lado como Ω e estrelado, sem perda de generalidade, podemos considerar

em relacao a origem(a menos de uma translacao), entao a menos de um conjunto de

medida nula em ∂Ω, x · v(x) > 0.

Sendo assim λ < 0 temos um absurdo, pois o primeiro lado da desigualdade teria

que ser negativo e no caso de λ = 0 terıamos |∇u|2 = 0 o que implicaria ∆u = 0 e por

(1.1) terıamos u ≡ 0. Portanto para λ ≤ 0 nao existe solucao para (1.1).

28


Vale a pena salientar que a situacao pode ser bem diferente se Ω nao for estrelado,

por exemplo, se Ω e um anel, existe solucao radial de (1.1) para todo λ ∈ (−∞, λ1).

Este fato foi apontado por Kazdam e Warner (Vide em[2]).

1.3.3 Nao-existencia: caso n = 3

Ja vimos na subsecao anterior que nao temos solucao para o problema (1.1) com

λ ≥ λ1 e λ ≤ 0, nesta subsecao mostraremos que para 0 < λ ≤ 14λ1 nao existe solucao

para (1.11), problema (1.1) quando n = 3. Neste caso tomaremos as condicao da

segunda secao deste capıtulo e assim basta mostrar a seguinte proposicao.

Proposicao 1.12. Nao existe solucao de (1.11) para λ ≤ 14λ1

Prova: Suponhamos, por absurdo que exista u ∈ H10 (Ω) tal que u e solucao de (1.11)

com λ ≤ 14λ1.

Entao pelo resultado de Gidas-Nirenberg(Teorema 2, pg.521 de [12]) temos que u

e esfericamente simetrica. Assim escrevendo u(x) = u(r), onde r = |x|, temos que u

satisfaz

− u′′ − 2

ru′ = u5 + λu em (0, 1) (1.35)

u′(0) = u(1) = 0 (1.36)

De fato, como∂u

∂xi= u′(|x|). xi

|x|,

temos

∂

∂xi

(∂u

∂xi

)=

∂

∂xi

(u′(|x|). xi

|x|

)=u′′(|x|) xi

|x|.xi|x|

+ u′(|x|).

(1.|x| − xi.xi

|x|

|x|2

)

=u′′(|x|)(xi|x|

)2

+u′(|x|)|x|

− u′(|x|)x2i

|x|3

=

(u′′(|x|)− u′(|x|)

|x|

)(xi|x|

)2

+u′(|x|)|x|

.

Daı

∆u =3∑i=1

∂

∂xi

(∂u

∂xi

)=

3u′(|x|)|x|

+

(u′′(|x|)− u′(|x|)

|x|

)(1

|x|2

)(x2

1 + x22 + x2

3)

=u′′(r) +2u′(r)

r

29


mostrando assim (1.35), para mostrar (1.36) basta usar o fato de que u=0 em ∂Ω e

que u′(0) = 0, pois Ω = B(0, 1).

Mostraremos a seguir um lema que ajudara na demonstracao da proposicao.

Lema 1.13. Para toda funcao ψ ∈ C∞(R) com ψ(0) = 0 vale a seguinte identidade∫ 1

0

u2(λψ′ +1

4ψ′′′)r2dr =

2

3

∫ 1

0

u6(rψ − r2ψ′)dr +1

2|u′(1)|2ψ(1). (1.37)

Prova: De fato, multiplicando (1.35) por r2ψu′ e integrando, obtemos

−∫ 1

0

u′′u′r2ψ − 2

∫ 1

0

(u′)2rψ =

∫ 1

0

u5u′r2ψ + λ

∫ 1

0

uu′r2ψ, (1.38)

usando o teorema de integracao por partes em I1 com

w = r2ψ dv = u′u′′dr e dw = 2rψ + r2ψ′dr v =(u′)2

2

temos ∫ 1

0

u′′u′r2ψ =

[r2ψ

(u′)2

2

]1

0

−∫ 1

0

(u′)2

2(2rψ + r2ψ′)

=ψ(1)(u′(1)2)

2−∫ 1

0

(u′)2rψ − 1

2

∫ 1

0

(u′)2r2ψ′, (1.39)

de modo semelhante com

w = r2ψ dv = u5u′dr e dw = 2rψ + r2ψ′dr v =1

6u6

temos ∫ 1

0

u5u′r2ψ = −∫ 1

0

1

6u6(2rψ + r2ψ′)dr, (1.40)

e ainda em com

w = r2ψ dv = uu′dr e dw = 2rψ + r2ψ′dr v =1

2u2

temos ∫ 1

0

uu′r2ψ = −∫ 1

0

1

2u2(2rψ + r2ψ′)dr. (1.41)

30


Portanto substituindo (1.39), (1.40) e (1.41) em 1.38, obtemos

− 1

2ψ(1)(u′(1))2 +

∫ 1

0

(u′)2rψdr +1

2

∫ 1

0

(u′)2rψ′dr − 2

∫ 1

0

rψ(u′)2dr

=−∫ 1

0

1

6u6(2rψ + r2ψ′)dr − λ

∫ 1

0

1

2u2(2rψ + r2ψ′)dr,

ou seja, ∫ 1

0

(u′)2(1

2r2ψ′ − ψr)dr − 1

2ψ(1)(u′(u))2

=−∫ 1

0

1

6u6(2rψ + r2ψ′)dr − λ

∫ 1

0

1

2u2(2rψ + r2ψ′). (1.42)

Por outro lado multiplicando (1.35) por (12r2ψ′ − rψ)u e integrando obtemos

−∫ 1

0

u′′u(1

2r2ψ′ − rψ)dr −

∫ 1

0

r

2u′u(

1

2r2ψ′ − rψ)dr

=

∫ 1

0

u6(1

2r2ψ′ − rψ)dr + λ

∫ 1

0

u2(1

2r2ψ′ − rψ)dr. (1.43)

Usando o teorema de integracao por partes em I5 com

w =1

2rψ′ − ψ dv = 2uu′dr e dw =

1

2(rψ′′ − ψ′)dr v = u2,

obtemos ∫ 1

0

r

2u′u(

1

2r2ψ′ − rψ)dr = −1

2

∫ 1

0

u2(rψ′′ − ψ′)dr. (1.44)

De modo semelhante com

w = (1

2r2ψ′−rψ)u dv = u′′dr e dw = (

1

2r2ψ′′−ψ′)u+(

1

2r2ψ′−rψ)u′dr v = u′,

obtemos∫ 1

0

u′′u(1

2r2ψ′ − rψ)dr =−

∫ 1

0

u′[(1

2r2ψ′′ − ψ′)u+ (

1

2r2ψ′ − rψ)u′

]dr

=−∫ 1

0

(1

2r2ψ′′ − ψ′)uu′dr −

∫ 1

0

(1

2r2ψ′ − rψ)(u′)2dr,

mas, usando integracao por partes mais uma vez com

w = (1

2r2ψ′′ − ψ) dv = uu′dr e dw = (rψ′′ +

ψ′′′r2

2− ψ′)dr v =

u2

2,

31


temos que ∫ 1

0

(1

2r2ψ′′ − ψ′)uu′dr = −

∫ 1

0

u2(rψ′′ +ψ′′′r2

2− ψ′)dr,

portanto∫ 1

0

u′′u(1

2r2ψ′− rψ)dr =

∫ 1

0

u2(rψ′′+ψ′′′r2

2−ψ′)dr−

∫ 1

0

(1

2r2ψ′− rψ)(u′)2dr. (1.45)

Substituindo (1.44) e (1.45) em (1.43) obtemos∫ 1

0

(1

2r2ψ′−rψ)(u′)2dr− 1

4

∫ 1

0

ψ′′′r2dr =

∫ 1

0

u6(1

2r2ψ′−rψ)dr+λ

∫ 1

0

u2(1

2r2ψ′−rψ)dr.

(1.46)

Combinando (1.42) e (1.46) obtemos (1.37). De fato, Basta isolar no primeiro mem-

bro o termo em comum

(∫ 1

0

(1

2r2ψ′ − rψ)(u′)2dr

), e igualando os segundos membros

teremos ∫ 1

0

u6(1

2r2ψ′ − rψ)dr + λ

∫ 1

0

u2(1

2r2ψ′ − rψ)dr +

1

4

∫ 1

0

ψ′′′r2dr =

=1

2ψ(1)(u′(u))2 −

∫ 1

0

1

6u6(2rψ + r2ψ′)dr − λ

∫ 1

0

1

2u2(2rψ + r2ψ′).

O que implica que∫ 1

0

[u6(

1

2r2ψ′ +

1

6r2ψ′ − rψ +

1

3rψ) + λu2(

1

2r2ψ′ +

1

2r2ψ′ − rψ + rψ) +

1

4u2r2ψ′′′

]dr

=1

2|u′(1)|2ψ(1).

Assim ∫ 1

0

[u6(

2

3r2ψ′ − 2

3rψ) + λu2r2ψ′ +

1

4u2r2ψ′′′

]dr =

1

2|u′(1)|2ψ(1).

E assim segue (1.37).

Conclusao da proposicao 1.12

Como ja sabemos que para λ ≤ 0 nao existe solucao para (1.11) tomemos 0 < λ ≤14λ1, ou seja, 0 < λ ≤ 1

4π2. Escolhendo ψ(r) = sen((4λ)

12 r) pois ψ e suave alem de

ψ(0) = 0 como em (1.37) entao temos que

ψ′(r) = cos(2λ12 r).2λ

12 , ψ′′(r) = −2λ

12 sen(2λ

12 r).2λ

12

e ψ′′′(r) = −4λcos(2λ12 r).2λ

12 .

32


Assim

λψ′ +1

4ψ′′′ = 2λλ

12 cos(2λ

12 r) +

1

4(−8λλ

12 cos(2λ

12 r)) = 0,

ou seja, um lado da identidade (1.37) e nulo.

Por outro lado note que sen(θ) − θcos(θ) > 0 ∀θ ∈ (0, π). Com efeito a funcao

g(θ) = senθ − θcosθ e crescente em (0, π) pois g′(θ) = cosθ − cosθ + θsenθ > 0 assim

como g(0) = 0 entao g(θ) > 0 ∀θ ∈ (0, π), com isso temos que

rψ − r2ψ′ = r.sen(2λ12 r)− r22λ

12 cos(2λ

12 r) = r(sen(2λ

12 r)− 2λ

12 rcos(2λ

12 r) > 0.

como u e solucao positiva e ψ(1) ≥ 0 entao temos o outro lado da identidade (1.37)

estritamente positivo, o que nos leva a uma contradicao, portanto nao existe solucao

para (1.11) com λ ∈ (0, 14λ1] provando assim o lema.

33

Capıtulo 2

Problema crıtico com perturbacao

nao-linear

Neste capıtulo, estudaremos um problema mais geral, ou seja encontrar solucoes

para o problema −∆u = u2∗−1 + f(x, u) em Ω,

u > 0 em Ω,

u = 0 sobre ∂Ω,

(2.1)

com f(x, u) uma perturbacao de ordem inferior, n ≥ 3 e Ω ⊂ Rn um domınio limitado.

Assumiremos que:

1)f : Ω× [0,+∞)→ R

(x, t) 7−→ f(x, t)e mensuravel em x e contınua em t.

2) sup

x ∈ Ω

0 ≤ t ≤M

|f(x, t)| <∞ para todo M > 0.

Alem disso dizer que f e uma perturbacao de ordem inferior a s2∗−1 significa que

lims→∞

f(x, s)

s2∗−1= 0.

2.1 Ferramenta geral

Nesta secao, apresentaremos condicoes ou ferramentas gerais para o estudo do pro-

blema (2.1) baseando-se em uma variacao do teorema do passo da montanha. Assumi-

remos que f(x, u) pode ser escrita:

f(x, u) = a(x)u+ g(x, u), (2.2)

34

2. Problema crıtico com perturbacao nao-linear

com

a(x) ∈L∞(Ω) (2.3)

g(x, u) =o(u) quando u→ 0+, uniformemente em Ω (2.4)

g(x, u) =o(u2∗−1) quando u→ +∞, uniformemente em Ω. (2.5)

Alem disso ainda assumiremos que o operador−∆−a(x) possui um menor autovalor

positivo, ou seja, ∫ |∇ϕ|2 − aϕ2

≥ α

∫|∇ϕ|2, ∀ϕ ∈ H1

0 (Ω), (2.6)

o que implica ∫ |∇ϕ|2 − aϕ2

≥ α′

∫ϕ2, ∀ϕ ∈ H1

0 (Ω),

para algum α′ > 0.

Como f(x, 0) = 0, para todo x ∈ Ω, e estamos interessados em solucoes positivas

para o problema (2.1), podemos assumir sem perda de generalidade que f(x, u) = 0,

para todo x ∈ Ω e toda u ≤ 0.

Sejam ainda F (x, u) =

∫ u

0

f(x, t)dt para x ∈ Ω e u ∈ R e

Ψ(u) =

∫Ω

1

2|∇u|2 − 1

2∗|u|2∗ − F (x, u)

dx, ∀u ∈ H1

0 (Ω), (2.7)

o funcional associado ao problema (2.1).

O principal resultado desta secao e o seguinte:

Teorema 2.1. Suponhamos de (2.2)-(2.6) valem. Se existe v0 ∈ H10 (Ω),positiva nao

nula tal que

supt≥0

Ψ(tv0) <1

nSn2 (2.8)

entao o problema (2.1) possui solucao.

Diante deste teorema podemos fazer duas observacoes:

Observacao 2.1. No caso de f(x, u) = λu, assumir (2.6) corresponde a λ < λ1.

De fato, temos de (2.6) que

∫ |∇ϕ|2 − aϕ2

≥ α′

∫ϕ2 o que implica que

∫|∇ϕ|2 ≥ (α′ + λ)

∫ϕ2 ⇒ λ1

∫ϕ2 ≥ (α′ + λ)

∫ϕ2 ⇒ λ1 ≥ (α′ + λ)⇒ λ ≤ λ1 + α′

⇒ λ < λ1

35


Observacao 2.2. Ainda no casso f(x, u) = λu, se assumirmos (2.8), equivale a

Sλ < S

.

Com efeito por (2.7) temos

Ψ(tv0) =

∫ 1

2|∇(tv0)|2 − 1

2∗|tv0|2

∗ − λ1

2|tv0|2

=

∫ t2

2|∇v0|2 −

t2∗

2∗|v0|2

∗ − λt2

2|v0|2

=

1

2t2(||∇v0||22 − λ||v0||22

)− t2

∗

2∗||v0||2

∗

2∗

=1

2t2A− t2

∗

2∗B.

Assim derivando Ψ em relacao a t temos

∂Ψ

∂t= tA− t2∗−1B

Como 2∗ > 2 segue que 2∗−1 > 1 entao tA− t2∗−1B = 0 implica que t(A− t2∗−2B) = 0

segue entao que os possıveis pontos crıticos de Ψ e t = 0 ou t =

(A

B

) 12∗−2

. Mas

como Ψ(tv0)→ −∞ quando t→ +∞ assim Ψ(0) ≤ Ψ((

AB

) 12∗−2

), portanto segue que

t =(AB

) 12∗−2 e o ponto maximo de Ψ. Segue entao

supt≥0

Ψ(tv0) =1

2

(A

B

) 22∗−2

A− 1

2∗

(A

B

) 2∗2∗−2

B

=

[1

2

A2∗

2∗−2

B2

2∗−2

− 1

2∗A

2∗2∗−2

B2

2∗−2

]

=

(1

2− 1

2∗

)A

2∗2∗−2

B2

2∗−2

=1

n

(A

B22∗

)n2

.

Observando da definicao de Sλ

(A

B22∗

)≥ Sλ, segue de (2.8) que

1

n

(A

B22∗

)n2

= supt≥0

Ψ(tv0) <1

nSn2 ,

36


donde Sλ < S.

Diante das observacoes (2.1) e (2.2) concluımos que o teorema 2.1 e uma genera-

lizacao do teorema 1.1 do capıtulo 1

Para provar o teorema utilizaremos uma variante do teorema do passo da monta-

nha de Ambrosetti-Rabinowitz sem a condicao (PS) e um problema auxiliar, depois

voltaremos a problema original e concluiremos a prova.

Enunciaremos, apenas para facilitar a verificacao das condicoes, a variante do teo-

rema do passo da montanha.

Teorema 2.2. Seja φ uma funcao de classe C1 em um espaco de Banach E.(φ ∈C1(E,R))

Suponha que existe uma vizinhanca U de zero e uma constante ρ tal que

φ(u) ≥ ρ ∀u ∈ ∂U (2.9)

φ(0) < ρ e φ(v) < ρ para algum v /∈ U (2.10)

definimos

c = infP∈P

maxw∈P

φ(w) ≥ ρ (2.11)

Onde P denota a classe de todos os caminhos contınuos de 0 a v.

Entao existe (uj) ∈ E tal que

φ(uj)→ c e φ′(uj)→ 0 em E∗ (2.12)

A prova desse teorema e exatamente analogo a prova do teorema do passo da

montanha sem a condicao (PS)c e pode ser encontrado em Willem [11].

Vejamos agora o problema auxiliar.

2.1.1 Problema auxiliar

Mostraremos primeiro a existencia de solucoes para o problema

−∆u+ µu = (u+)2∗−1 + f(x, u+) + µu+ em H10 (Ω)∗. (2.13)

Seu funcional associado e

φ(u) =

∫ 1

2|∇u|2 +

1

2µu2 − 1

2∗(u+)2∗ − F (x, u+)− 1

2µ(u+)2

dx.

Portanto mostremos que primeiro que φ satisfaz as hipoteses do teorema acima.

37


Notemos antes que usando (2.2) a (2.5), podemos fixar uma constante µ ≥ 0 sufi-

cientemente grande tal que

− f(x, u) ≤ µu+ u2∗−1 q.t.p. em Ω ∀u ≥ 0 (2.14)

(no caso f(x, u) ≥ 0 isso ∀u ≥ 0, tomemos µ = 0) De fato, de (2.2) temos que

|f(x, u)| = |a(x)u+ g(x, u)| ≤ |a(x)||u|+ |g(x, u)|

Por (2.3) temos que |a(x)| ≤ C e por (2.4) temos que limu→0+

g(x, u)

u= 0 isto quer dizer

que dado ε > 0 existe δ > 0 tal que

|u| < δ ⇒∣∣∣∣g(x, u)

u

∣∣∣∣ < ε⇒ |g(x, u)| < ε|u|

Por outro lado temos de (2.5) temos que dado ε > 0 existe um M > 0 tal que

|u| > M ⇒∣∣∣∣g(x, u)

u2∗−1

∣∣∣∣ < ε⇒ |g(x, u)| < ε|u|2∗−1.

No caso de δ ≤ |u| ≤ M temos que g e contınua em u e assim leva compacto em

compacto, logo |g(x, u)| ≤ K. Portanto para 1 ≤ |u| ≤ M temos |g(x, u)| ≤ K|u| e

para δ ≤ |u| < 1 temos que |g(x, u)| ≤ Kδ|u| assim tomando µ = max(K

δ, K) + C e

tomando ε = 1 temos

|f(x, u)| ≤ µ|u|+ |u|2∗−1.

Como u ≥ 0 entao |u| = u assim −Cu − εu2∗−1 − K ≤ f(x, u) o que implica que

−µu− u2∗−1 ≤ f(x, u) o que implica que

−f(x, u) ≤ µu+ u2∗−1.

Primeiro com argumentos padroes temos que φ esta bem definida e alem disso e de

classe C1. Verifiquemos agora a geometria do passo da montanha, ou seja as condicoes

(2.9) e (2.10) do teorema 2.2.

Verificacao de (2.9)

De (2.4) temos que dado ε > 0, existe δ > 0 tal que g(x, u) ≤ εu q.t.p. em Ω para

todo 0 ≤ u ≤ δ. Por (2.5) temos que dado ε > 0 existe M tal que g(x, u) ≤ εu2∗−1 para

u > M e para δ ≤ u ≤M temos que g e contınua entao g(x, u) ≤ K e assim de modo

analogo ao que fizemos acima basta tomar C = max(K,k

δ2∗−1) e temos que

g(x, u) ≤ εu+ Cu2∗−1 q.t.p. em Ω,

38


para u ≥ 0 e C depende de ε pois e funcao de δ que depende de ε.

Assim f(x, u) ≤ a(x)u+ εu+ Cu2∗−1 que integrando temos

F (x, u) ≤∫ u

0

[a(x)t+ εt+ Ct2

∗−1]dt =

a(x)u2

2+εu2

2+Cu2∗

2∗.

Portanto com isso obtemos

φ(u) ≥∫ 1

2|∇u|2 +

1

2µu2 − 1

2∗(u+)2∗ − a(x)(u+)2

2− ε(u+)2

2− C(u+)2∗

2∗− 1

2µ(u+)2

dx

=

∫ 1

2|∇u|2 − a(x)(u+)2

2− ε(u+)2

2− (C + 1)(u+)2∗

2∗− 1

2µ(u+)2 +

1

2µu2

dx.

Usando o fato que∫|∇u|2 =

∫(|∇u+|2 + |∇u−|2) temos que a integral acima sera

∫ 1

2|∇u+|2 − a(x)(u+)2

2︸︷︷︸I1

− ε(u+)2

2− (C + 1)(u+)2∗

2∗+

+1

2|∇u−|2 − 1

2µ(u+)2 +

1

2µu2︸︷︷︸

I2

dx

Note que I1 ≥α

2

∫|∇u+|2 por (2.6).

Note tambem que usando o fato∫u2 =

∫(u+)2 + (u−)2 temos

I2 =

∫ [1

2|∇u−|2 − 1

2µ(u−)2 +

1

2µ(u−)2 − 1

2µ(u+)2 +

1

2µu2

](2.15)

≥∫ 1

2|∇u−|2 − 1

2µ(u−)2−1

2µ(u−)2 − 1

2µ(u+)2 +

1

2µu2︸︷︷︸

zero

(2.16)

=

∫ [1

2|∇u−|2 − 1

2µ(u−)2

]. (2.17)

Assim por (2.6) com uma constante β temos I2 ≥β

2

∫|∇u−|2.

Segue entao que tomando m = min(β

2,α

2) temos

I1 + I2 ≥ m

∫|∇u|2.

39


Portanto φ(u) ≥∫m|∇u|2−

∫ε(u+)2

2−∫

(C + 1)

2∗(u+)2∗ . Usando agora as imersoes

contınuas de Sobolev temos que ||u||2 ≤ K1||u||H10

e ||u||2∗ ≤ K2||u||H10, assim

φ(u) ≥ m||u||2H10− K1ε

2||u||2H1

0− K2(C + 1)

2∗||u||2∗H1

0

Assim para ε suficientemente pequeno e ||u||H10

= r suficientemente pequeno tambem

temos φ(u) ≥ ρ > 0 verificando portanto (2.9) com U = B(0, r) ⊂ H10 (Ω).

Verificacao de (2.10) Para qualquer u ∈ H10 (Ω), u ≥ 0 e u 6= 0 temos que

limt→∞

φ(tu) = −∞

Com efeito, ja vimos que de (2.5) temos existem constantes R e M tal que |g(x, u)| ≤εu2∗−1 quando |u| > R e |g(x, u)| ≤ M quando |u| ≤ R assim temos que |g(x, u)| ≤εu2∗−1 +M e como |a(x)| ≤ C entao temos que

|f(x, u)| ≤ Cu+ εu2∗−1 +M

portanto −F (x, u) ≤ Cu2

2+εu2∗

2∗+Mu e dai segue

φ(tu) ≤∫ [1

2|∇u|2 +

t2µu2

2− t2

∗(u+)2∗

2∗+t2∗ε(u+)2∗

2∗+t2C(u+)2

2+ tM(u+)− t2µ(u+)2

2

]Tomando ε < 1 temos que φ(tu)→ −∞ quando t→∞

Assim existem muitos v′s satisfazendo (2.10). Contudo, sera importante para a

proxima proposicao do teorema um certo v especial, a saber v = t0v0 onde v0 e dado

por (2.8) ou seja tal que supt≥0

φ(tv0) <1

nSn2 e t0 > 0, suficientemente grande para que

v /∈ U e φ(v) ≤ 0.

Definamos agora o nıvel minimax, ou seja a condicao (2.11) Basta utilizar a hipotese

(2.8) e temos que

supt≥0

φ(tv) <1

nSn2

e portanto

c <1

nSn2 (2.18)

para

c = infP∈P

maxw∈P

φ(w)

onde P e o conjunto de todos os caminhos que ligam 0 a v.

40


Assim aplicando o teorema, obtemos uma sequencia (uj) ∈ H1o (Ω) tal que φ(uj)→ c

e φ′(uj)→ 0 em (H10 (Ω))∗. Ou seja∫

1

2|∇uj|2 +

1

2µu2

j −1

2∗(u+

j )2∗ − F (x, u+j )− 1

2µ(u+

j )2

= c+ o(1) (2.19)

e

−∆uj + µuj − (u+j )2∗−1 − f(x, u+

j )− µu+j = ζj, (2.20)

com ζj → 0 em (H10 (Ω))∗.Definamos que 〈ζj, ϕ〉 e o operador ζj aplicado na funcao ϕ

para todo ϕ ∈ H10 (Ω). Com base nestas informacoes provemos os lemas a seguir

Lema 2.3. A sequencia uj obtida e limitada em H10 (Ω), ou seja,

||uj||H10≤ C (2.21)

Prova: Para provar este lema basta observar que por um lado se multiplicarmos (2.20)

por uj obtemos∫ |∇uj|2 + µu2

j − (u+j )2∗ − f(x, u+

j )− µ(u+j )2

= 〈ζj, uj〉 (2.22)

Fazendo agora diferenca entre (2.19) e 12〈ζj, uj〉 de (2.22) temos∫ (

1

2− 1

2∗

)(u+

j )2∗ − F (x, u+j ) +

1

2f(x, u+

j )u+j

= c+ o(1)− 1

2〈ζj, uj〉

O que implica que∫ 1

n(u+

j )2∗ − F (x, u+j ) +

1

2f(x, u+

j )u+j

≤ c+ o(1) + ||ζj||(H1

0 )∗ ||uj||H10

portanto temos

1

n

∫(u+

j )2∗ ≤∫

F (x, u+j )− 1

2f(x, u+

j )u+j

+ c+ o(1) + ||ζj||(H1

0 )∗||uj||H10

(2.23)

Por outro lado ja vimos que (2.5) temos dado ε > 0 existe M tal que |g(x, u)| ≤εu2∗−1 + M sabendo agora que f e uma funcao de ordem inferior, ou seja possui a

mesma propriedade (2.5), temos que ∀ε > 0, ∃C Tal que

|f(x, u)| ≤ εu2∗−1 + C q.t.p. em Ω ∀u ≥ 0 (2.24)

De modo analogo e sabendo que F e uma ordem acima de f entao temos que existe D

41


tal que

|F (x, u)| ≤ εu2∗

2∗+D q.t.p. em Ω ∀u ≥ 0 (2.25)

Portanto unindo (2.23) com (2.24) e (2.25) temos

1

n

∫(u+

j )2∗ ≤∫

ε(u+j )2∗

2∗− 1

2ε(u+

j )2∗

+ c+ o(1) + ||ζj||(H1

0 )∗||uj||H10

+ C2

Usando o fato que o ζj e convergente, logo limitada, entao ||ζj||(H10 )∗ ≤ C1 e daı chega-

mos (1

n− ε

n

)∫(u+

j )2∗ ≤ C3 + C1||uj||H10

+ o(1)

Tomando ε suficientemente pequeno e uma contante K adequada temos∫(u+

j )2∗ ≤ K +K||uj||H10

+ o(1) (2.26)

Combinando (2.19) com (2.26) obtemos (2.21). De fato de (2.19) temos

1

2

∫|∇uj|2 +

1

2µ

∫u2j −

1

2µ

∫(u+

j )2 = c+ o(1) +1

2∗

∫(u+

j )2∗ +

∫F (x, u)

Usando (2.25) e (2.26) temos que

1

2||uj||2H1

0≤ 1

2||uj||2H1

0+

1

2µ

∫(u2

j− (u+j )2) ≤ c+o(1)+

1

2∗

∫(u+

j )2∗+

∫ ε(u+

j )2∗

2∗+D

≤ C4 + C5

∫(u+

j )2∗ + o(1) ≤ K1 +K||uj||H10⇒ 1

2||uj||2H1

0≤ K1 +K||uj||H1

0.

Desigualdade que mostra (2.21), ou seja (uj) e limitada em H10 (Ω)

Lema 2.4. Dada a sequencia uj obtida temos que

(u+j )2∗−1 (u+)2∗−1, converge fraco em (L2∗(Ω))∗,

f(x, u+j ) f(x, u+), converge fraco em (L2∗(Ω))∗.

Prova: Como H10 (Ω) e um espaco reflexivo entao podemos extrair um subsequencia

(uj) tal que

uj u em H10 (Ω)

O que implica pelas imersoes compacta de Rellich-Kondrachov (vide teorema 9.16,

42


pg.285 de [4] ) que

uj → u em Lq(Ω), ∀q < 2∗

o que nos diz que

uj → u q.t.p. em Ω

Sendo assim definimos a sequencia de aplicacoes hj : Ω→ R tais que

hj(x) = (u+j )2∗−1(x)ϕ(x)

alem disso seja h tal que h(x) = (u+)2∗−1(x)ϕ(x). Mostremos que

∫hj →

∫h. Para

isso utilizaremos o teorema de Vitali (vide Apendice), logo basta mostrar que as hj sao

integraveis, que hj converge q.t.p. para h e que

(∫hj

)e uma sequencia de integrais

uniformemente absolutamente contınua. Entao pelo teorema de Vitali temos o que

desejamos.

De fato como (uj)→ u q.t.p. entao (u+j )2∗−1 → (u+)2∗−1 q.t.p. assim seja qual for

ϕ temos que

(u+j )2∗−1ϕ→ (u+)2∗−1ϕ q.t.p. em Ω

Temos tambem que as hj sao integraveis pois pela desigualdade de Holder com p =2∗

2∗ − 1e p′ = 2∗ assim

∣∣∣∣∫ hj

∣∣∣∣ ≤ ∫ |(u+j )|2∗−1|ϕ| ≤

(∫(u+

j )2∗) 2∗−1

2∗(∫

ϕ2∗) 1

2∗

<∞ (2.27)

pois uj ∈ L2∗ . E por fim mostraremos que as

(∫hj

)sao absolutamente uniforme-

mente contınuas. Observemos que por (2.27) temos dado ε > 0 existe γ > 0 entao

∣∣∣∣∫ω

hj

∣∣∣∣ ≤ ||u+j ||2

∗−12∗

(∫ω

ϕ2∗) 1

2∗

≤ C

(∫ω

ϕ2∗) 1

2∗

.

E como ϕ e absolutamente contınua, dado ε > 0, tome γ¿0 tal que

∣∣∣∣∣(∫

ω

ϕ2∗) 1

2∗∣∣∣∣∣ <

ε

C. Assim, temos que

(∫hj

)sao uniformemente absolutamente contınuas, logo pelo

teorema de Vitali ∫Ω

hj →∫

Ω

h

43


que significa que

(u+j )2∗−1 (u+)2∗−1 converge fraco em (L2∗(Ω))∗

De modo analogo mostramos que∫Ω

f(x, u+j )ϕ→

∫Ω

f(x, u+)ϕ ∀ϕ ∈ (L2∗(Ω)),

ou seja

f(x, u+j ) f(x, u+) converge fraco em (L2∗(Ω))∗.

2.1.2 Problema original

Agora usando o problema auxiliar vamos a prova do problema original.

Prova do teorema 2.1:

Passando o limite em (2.20) obtemos

−∆u+ µu = (u+)2∗−1 + f(x, u+) + µu+ em H10 (Ω). (2.28)

Mas claramente por (2.14) temos que

−∆u+ µu ≥ (u+)2∗−1 − (u+)2∗−1 − µu+ + µu+ = 0.

Portanto pelo princıpio maximo fraco u ≥ 0 em Ω e assim u satisfaz

−∆u = u2∗−1 + f(x, u).

Para finalizar a prova basta mostrar que u 6≡ 0 e consequentemente u > 0 em Ω

pelo princıpio maximo Forte. De fato suponha que u = 0, assim terıamos∫f(x, u+

j )u+j → 0 (2.29)

∫F (x, u+

j )→ 0 (2.30)

pois de (2.24) e (2.25) deduzimos que∣∣∣∣∫ f(x, u+j )u+

j

∣∣∣∣ ≤ ∫ (u+j )2∗ + C

∫u+j

44


∣∣∣∣∫ F (x, u+j )

∣∣∣∣ ≤ ε

2∗

∫(u+

j )2∗ +D

∫u+j .

Assim como uj → 0 em L2 e uj e limitada em L2∗ obtemos (2.29) e (2.30).

Extraindo ainda uma subsequencia podemos assumir que∫|∇uj|2 → l (2.31)

para algum l ≥ 0. Passando o limite em (2.22) e em (2.19) obtemos∫(u+

j )2∗ → l (2.32)

sendo assiml

2− 1

2∗l = c e como

1

2− 1

2∗=

1

ntemos

1

nl = c. (2.33)

Por outro lado, temos

||∇uj||22 ≥ S||uj||22∗ ≥ S||u+j ||22∗ = S

(∫(u+

j )2∗) 2

2∗

e usando (2.32) e (2.31) encontramos o limite

l ≥ Sl22∗ . (2.34)

Segue entao de (2.33) e (2.34) que

l ≥ Sl22∗ ⇒ 1 ≥ Sl

22∗−1 = Sl

−2n ⇒ l

2n ≥ S ⇒ l ≥ S

n2 ⇒ n.c ≥ S

n2

O que implica em

c ≥ 1

nSn2

que contradiz (2.18), portanto u 6≡ 0

Finalizaremos esta secao com uma observacao interessante.

Observacao 2.3. A solucao u do problema (2.1) que obtemos tem uma propriedade

adicional. Temos que ou

φ(u) = c (2.35)

ou

φ(u) ≤ c− 1

nSn2 < 0 (2.36)

45


Em alguns casos (2.36) nao e satisfeita, quando por exemplo assumimos que

F (x, u) ≤ 1

2f(x, u)u+

1

nu2∗ . (2.37)

De fato, se u e solucao de (2.1) entao∫|∇u|2 =

∫ (u2∗ + f(x, u)u

), (2.38)

e entao

ψ(u) =

∫ (1

2|∇u|2 − 1

2∗u2∗ − F (x, u)

)=

∫ (1

2u2∗ +

1

2f(x, u)u− 1

2∗u2∗ − F (x, u)

)e agora por (2.37) temos

φ(u) ≥∫

1

nu2∗ +

1

2f(x, u)u− 1

2f(x, u)u− 1

nu2∗ = 0,

excluindo assim a possibilidade de ocorrer (2.36).

Um exemplo de situacao que cumpre (2.37) e quando f(x, u) = a(x)u + µuq com

a ∈ L∞, µ ≥ 0 e 1 ≤ q < 2∗ − 1.

Sendo assim claramente temos que quando assumimos (2.37) obtemos a condicao

(PS)c para todo c tal que c <1

nSn2 .

Verifiquemos entao esta observacao.

Considerando novamente a sequencia uj da prova do teorema temos∫f(x, u+

j )u+j →

∫f(x, u+)u+ e

∫F (x, u+

j )→∫F (x, u) (2.39)

De fato, pela continuidade de f na segunda variavel temos que f(x, u+j ) → f(x, u+)

alem disso uj → u q.t.p em Ω e por fim basta observar que como f e de ordem inferior

entao

f(x, u+j )u+

j ≤ ε|u+j |2

∗+ C

e como uj e limitada em L2∗ temo a existencia de uma funcao h(x) tal que f(x, u+j )u+

j ≤h(x) q.t.p. em Ω, portanto pelo teorema da convergencia dominada temos (2.39).

Definimos agora vj = uj − u e assim∫|∇uj|2 =

∫|∇u|2 +

∫|∇vj|2 + o(1) (2.40)

46


e ainda do teorema de Brezis-Lieb (Vide Apendice) deduzimos que∫(u+

j )2∗ =

∫(u)2∗ +

∫(v+j )2∗ + o(1) (2.41)

Combinando (2.19) com (2.39),(2.40) e (2.41) temos∫ 1

2|∇u|2 − 1

2∗u2∗ − F (x, u) +

1

2|∇vj|2 −

1

2∗(v+j )2∗

= c+ o(1). (2.42)

E ainda combinando (2.22) com (2.39),(2.40) e (2.41) temos∫ |∇u|2 − u2∗ − f(x, u)u+ |∇vj|2 − (v+

j )2∗

= o(1) (2.43)

reduzindo ainda mais com ajuda de (2.38) ficamos com∫|∇vj|2 =

∫(v+j )2∗ + o(1) (2.44)

unindo agora (2.44) com (2.42) obtemos∫ 1

2|∇u|2 − 1

2∗u2∗ − F (x, u)

+

∫1

n|∇vj|2 = c+ o(1) (2.45)

e finalmente assumindo que para uma subsequencia que∫1

n|∇vj|2 → k e

∫(v+j )2∗ → k k ≥ 0

entao ou k = 0 ou k > 0, no segundo caso pela definicao de S temos que

||∇vj||22 ≥ S||v+j ||22∗ ⇒ k ≥ Sk

22∗ ⇒ k(1− 2

2∗) ≥ S ⇒ k

2n ≥ S

o que nos da

k ≥ Sn2

Portanto com k = 0 por (2.45) obtemos (2.35) e se k ≥ Sn2 , tambem por (2.45) obtemos

(2.36). Isso conclui a verificacao da observacao.

2.2 Estimativa do nıvel minimax

Com o teorema (2.1) temos como resolver nosso problema, mas e necessario ter a

condicao crucial, (2.8). Sendo assim mostraremos nesta secao uma proposicao que nos

fornecera algumas hipoteses para que esta condicao seja satisfeita.

47


Proposicao 2.5. Suponhamos que f(x, u) satisfaca (2.2)-(2.5).Se alem disso, existe

alguma funcao h(u) tal que

f(x, u) ≥ h(u) ≥ 0 q.t.p. x ∈ Ω ∀u ≥ 0 (2.46)

onde Ω e algum subconjunto aberto nao vazio de Ω e H(u) =

∫ u

0

h(t)dt cumpre

limε→0

ε

∫ ε−12

0

H

( ε−12

1 + s2

)n−22

sn−1ds =∞, (2.47)

entao a condicao (2.8) e satisfeita.

Prova: Primeiro lembremos que se f(x, u) = λu, entao da observacao 2.2 a condicao

(2.8) significa que atinge o ınfimo Sλ em v0 e

||∇v0||22 − λ||v0||22||v0||22∗

< S.

Assim, e natural que se use para v0 o mesmo tipo de funcao que usamos na proposicao

1.2. Assumindo que 0 ∈ Ω e fixando uma funcao ϕ ∈ C∞(Ω) tal que ϕ(x) ≡ 1 ∀x tal

que |x| < R, com R > 0. Sejam

uε(x) =ϕ(x)

(ε+ |x|2)n−22

ε > 0 (2.48)

e

vε(x) =uε(x)

||uε||2∗(2.49)

Mostraremos que vε satisfaz a condicao (2.8), para ε > 0 suficientemente pequeno.

Para isto obteremos algumas estimacoes das provas da proposicoes 1.2 e proposicao 1.6

do capıtulo 1 que nos mostra de (1.5) e (1.14) que

||uε||2∗ =K

εn−24

+O(1), n ≥ 3 (2.50)

onde K depende apenas de n. Temos assim que ||∇vε||22 =||∇uε||22||uε||22∗

e usando as

estimativas encontrada na prova destes lemas segue que

||∇vε||22 = S +O(εn−22 ), n ≥ 3 (2.51)

e ainda de modo analogo obtemos

48


||vε||22 =

O(ε) se n ≥ 5

O(ε| ln ε|) se n = 4

O(ε12 ) se n = 3

. (2.52)

Definimos agora Xε = ||∇vε||22 e assim temos que

Ψ(tvε) =1

2t2Xε −

t2∗

2∗−∫

Ω

F (x, tvε).

Como por hipotese f(x, tvε) ≥ 0 entao F (x, tvε) ≥ 0 e portanto

Ψ(tvε) ≤1

2t2Xε −

t2∗

2∗

e assim limt→∞

Ψ(tvε) = −∞. Portanto supt≥0

Ψ(tvε) e alcancado em algum tε ≥ 0. Caso

tε = 0, temos supt≥0

Ψ(tvε) = 0 e nao ha o que provar. Vejamos quando tε > 0. Observe

que derivando a funcao t 7→ Ψ(tvε) em t = tε temos

tεXε − t2∗−1ε −

∫f(x, tεVε)vε = 0. (2.53)

O que implica que tεXε − t2∗−1ε ≥ 0⇒ Xε ≥ t2

∗−2ε , consequentemente

X1

2∗−2ε ≥ tε. (2.54)

Portanto a funcao t 7→ (1

2t2Xε −

t2∗

2∗) e crescente no intervalo [0, X

12∗−2ε ]. Seja

Yε = supt≥0

Ψ(tvε) = Ψ(tεvε).

Assim segue por (2.54)

Yε =1

2t2εXε −

t2∗ε

2∗−∫

Ω

F (x, tεvε)

≤1

2

(X

12∗−2ε

)2

Xε −

(X

12∗−2ε

)2∗

2∗−∫

Ω

F (x, tεvε)

=1

2X

22∗−2

+1ε − 1

2∗X

2∗2∗−2 −

∫Ω

F (x, tεvε)

=

(1

2− 1

2∗

)X

2∗2∗−2 −

∫Ω

F (x, tεvε)

=1

nX

n2 −

∫Ω

F (x, tεvε).

49


Substituindo (2.51) temos que

Yε ≤1

nSn2 +O(ε

n−22 )−

∫F (x, tεvε). (2.55)

Agora afirmamos que

tε → S1

2∗−2 quando ε→ 0. (2.56)

De fato de (2.53) segue-se que

Xε − t2∗−2ε −

∫f(x, tεvε)vε

tε= 0.

Assim e suficiente mostrar∫f(x, tεvε)vε

tε→ 0 quando ε→ 0. (2.57)

Usando de (2.2) a (2.5) vemos que ∀δ > 0, ∃C > 0 tal que

|f(x, u)| ≤ δu2∗−1 + Cu q.t.p. em Ω ∀u ≥ 0.

Logo, ∣∣∣∣∫ f(x, tεvε)vεtε

∣∣∣∣ ≤ δt2∗−1ε ||vε||2

∗

2∗ + C||vε||22 = δt2∗−1ε + C||vε||22.

De (2.52) temos que ||vε||22 → 0 quando ε → 0 basta tomar δ =γ

t2∗−1ε

para qualquer

γ > 0 e temos

∣∣∣∣∫ f(x, tεvε)vεtε

∣∣∣∣ < γ o que mostra (2.57) e assim (2.56).

Segue agora de (2.46) e de (2.48)-(2.50) que

tεvε =tε

||uε||2∗.

tεϕ(x)

(ε+ |x|2)n−22

=tεϕ(x)

K

εn−22

+O(1).

1

(ε+ |x|2)n−22

=tεϕ(x)ε

n−24

K +O(εn−24 )

.1

(ε+ |x|2)n−22

.

Chamando A =tεϕ(x)

K +O(εn−24 )

temos tεvε =Aε

n−24

(ε+ |x|2)n−22

assim

∫F (x, tεvε) ≥

∫|x|<R

H

(Aε

n−24

(ε+ |x|2)n−22

). (2.58)

50


Segue entao de (2.55) e (2.58) que

Yε ≤1

nSn2 +O(ε

n−22 )−

∫|x|<R

H

(Aε

n−24

(ε+ |x|2)n−22

). (2.59)

E finalmente para concluirmos que Yε <1

nSn2 e assim provar o lema, basta mostrar

que para ε proximo do zero temos O(εn−22 ) <

∫|x|<R

H(tεvε). Para isso, e suficiente que

limε→0

1

εn−22

∫|x|<R

H

(Aε

n−24

(ε+ |x|2)n−22

)dx =∞. (2.60)

Chamando I1 =1

εn−22

∫|x|<R

H

(Aε

n−24

(ε+ |x|2)n−22

)dx segue da regra da coarea que

I1 =|Sn1 |εn−22

∫ R

0

H

(Aε

n−24

(ε+ r2)n−22

)rn−1dr.

Pelo teorema da mudanca de variavel com r = ε12 s e ds = ε−

12dr e assim

I1 =|Sn1 |εn−22

∫ R

0

H

Aεn−24

εn−22

(1 +

(r

ε12

)2)n−2

2

rn−1dr

=|Sn1 |εn−22

∫ Rε−12

0

H

(Aε−

n−24

(1 + s2)n−22

)εn2 sn−1ds

=εn2 |Sn1 |εn−22

∫ Rε−12

0

H

A( ε−12

(1 + s2)

)n−22

sn−1ds

=|Sn1 |ε∫ Rε−

12

0

H

A( ε−12

(1 + s2)

)n−22

sn−1ds

Agora reescalando ε atraves de constantes apropriadas vemos que limε→0 I1 =∞ e

equivalente a

limε→0

ε

∫ R′ε−12

0

H

( ε−12

1 + s2

)n−22

sn−1ds =∞ (2.61)

para alguma constante R′ > 0. No caso onde R′ ≥ 1 temos que (2.61) e cumprido por

51


(2.47), e isto porque o limite de (2.61) pode ser expresso

limε→0

ε

∫ ε−12

0

H

( ε−12

1 + s2

)n−22

sn−1ds+ limε→0

ε

∫ R′ε−12

ε−12

H

( ε−12

1 + s2

)n−22

sn−1ds =∞

Por outro lado seR′ < 1, basta mostrar que Zε := ε

∫ ε−12

R′ε−12

H

( ε−12

1 + s2

)n−22

sn−1ds

e limitada quando ε → 0 pois assim pelo mesmo argumento temos o cumprimento de

(2.61).

Usando integracao por partes, temos

Zεε

=H

( ε−12

1 + s2

)n−22

sn

n

∣∣∣∣∣∣ε−

12

R′ε−12︸︷︷︸

I4

+n− 2

nε−

n−24

∫ ε−12

R′ε−12

(1 + s2)−n2 sn+1.h

( ε−12

1 + s2

)n−22

ds

︸︷︷︸I5

.

Segue que

I4 = H

( ε−12

1 + ε−1

)n−22

ε−n2

n−H

( ε−12

1 +R′2ε−1

)n−22

R′nε−

n2

n

fazendo C1 =

(1

ε+R′2

)n−24

≥(

1

ε+ 1

)n−24

temos I4 ≤ε−

n2

n2H(C1ε

n−24 )

e ainda

I5 =

∫ ε−12

R′ε−12

(s2

1 + s2

)n2

s.h

( ε−12

1 + s2

)n−22

≥ ∫ ε−12

R′ε−12

kε−12h

( ε−12

1 + s2

)n−22

assim de integrando e raciocinando de modo semelhante ao I4 temos que I5 ≤

Kε−12 2H(C1ε

n−24 ). Segue com isso que

Zεε≤ ε−

n2

n2H(C1ε

n−24 ) +

n− 2

nε−

n−24 kε−

12 2H(C1ε

n−24 ) ≤ CH(Cε

n−24 )ε−

n2

e portanto

Zε ≤ εCH(Cεn−24 )ε−

n2

52


mostrando assim que Zε e limitada quando ε → 0. Assim, concluımos a prova da

proposicao.

2.3 Aplicacoes

Nesta secao abordaremos algumas aplicacoes da ferramenta geral e da proposicao

de estimativa do nıvel minimax em algumas situacoes especıficas.

2.3.1 O caso n ≥ 5

Neste momento assumiremos n ≥ 5 e alem disso contaremos com mais duas hipoteses

adicionais:

f(x, u) ≥ 0 q.t.p. em Ω ∀u ≥ 0 (2.62)

e

f(x, u) ≥ µ > 0 q.t.p. em Ω ∀u ∈ I (2.63)

onde Ω e algum subconjunto aberto de Ω, I ⊂ (0,+∞) um intervalo aberto e µ > 0

alguma constante real.

Nosso objetivo e mostrar o corolario abaixo.

Corolario 2.6. Assumindo que (2.2) a (2.6), (2.62) e (2.63) se cumprem entao o

problema (2.1) possui solucao.

Prova: Usaremos o teorema 2.1 com a proposicao 2.5. Aplicando (2.62) e (2.63) nos

vemos que

f(x, u) ≥ µχI(u) =: h(u) em Ω ∀u ≥ 0

onde χI e a funcao caracterıstica de I. Assim,

H(u) =

∫ u

0

h(t)dt ≥ µ

∫ u

0

dt = µu ≥ β ∀u ≥ B

com β e B constantes positivas. Verifiquemos agora a condicao (2.47).Temos que

H

( ε−12

1 + s2

)n−22

≥ β para todo s tal que ε−12

1+s2≥ B

2n−2 ou seja s ≤ Cε−

14 , portanto

para ε pequeno obtemos

limε→0

ε

∫ ε−12

0

H

( ε−12

1 + s2

)n−22

sn−1ds ≥ βε

∫ Cε−14

0

sn−1ds =βε

n(Cε−

14 )n =

βCn

nε1−

n4

53


que vai para +∞ quando ε → 0, pois n ≥ 5. Portanto pela proposicao 2.5, temos a

condicao (2.8) e assim pelo teorema 2.1 temos a demonstracao do corolario.

Vejamos um exemplo em que podemos aplicar este corolario.

Exemplo 2.1. O caso em que f(x, u) = f(u), onde f(u) ∈ C1 em [0,+∞] tal que

f(0) = 0, f(u) ≥ 0 para todo u ≥ 0, f 6= 0

f ′(0) < λ1 e limu→+∞

f(u)

u2∗−1= 0.

Neste exemplo se encaixa os casos quando temos f(u) = λu com 0 < λ < λ1 e

f(u) = µuq com µ > 0 e 1 < q < 2∗ − 1.

2.3.2 O caso n = 4

Nos assumiremos agora que n = 4 e alem disso as hipoteses

f(x, u) ≥ 0 q.t.p. em Ω ∀u ≥ 0 (2.64)

e uma das hipoteses abaixo

f(x, u) ≥ µu q.t.p. em Ω ∀u ∈ [0, A] (2.65)

ou

f(x, u) ≥ µu q.t.p. em Ω ∀u ∈ [A,+∞) (2.66)

onde Ω e algum subconjunto aberto de Ω e µ > 0 e A > 0 sao constantes.

Nosso objetivo e mostrar o corolario abaixo.

Corolario 2.7. Assumindo que (2.2) a (2.6), (2.64) e uma das hipoteses entre (2.65)

ou (2.66) sao cumpridas entao (2.1) possui solucao.

Prova: Novamente usaremos o teorema 2.1 e a proposicao 2.5. Temos por hipotese

que

f(x, u) ≥ µuχI(u) = h(u) q.t.p. em Ω ∀u ≥ 0

onde I e ou [0, A] ou A,+∞. Portanto obtemos pelo teorema fundamental do calculo

que ou

H(u) =

∫ u

0

h(t)dt =1

2µu2, 0 ≤ u ≤ A (2.67)

ou

H(u) =

∫ u

A

h(t)dt =1

2µ(u2 − A2), u ≥ A. (2.68)

54


Verifiquemos agora a condicao (2.47). Observemos que no caso em que (2.67) se cumpre

temos para ε pequeno que

I = ε

∫ ε−12

0

H

(ε−

12

1 + s2

)s3ds ≥ 1

2µε

∫ ε−12

(Aε−12−1)

12

(ε−

12

1 + s2

)2

s3ds.

O limite inferior a integral do lado direito sai do fato que para

(ε−

12

1 + s2

)≤ A temos

que tomar s ≥ (Aε−12 − 1)

12 .

Usando integracao por partes, com a mudanca v = 1 + s2, obtemos

I ≥1

4µεε−1

∫ 1+ε−1

Aε−12

(1

v

)2

(v − 1)dv

=1

4µ

∫ 1+ε−1

Aε−12

(1

v− 1

v2

)dv

=1

4µ

(ln |1 + ε−1|+ 1

1 + ε−1− ln |Aε−

12 | − 1

Aε−12

)−→ +∞

quando ε→ 0 e assim I → +∞ mostrando assim a condicao (2.47).

Ja no caso em que se cumpre (2.68), vemos que para

(ε−

12

1 + s2

)≥ A, ou seja,

s ≤ A12 ε−

14 , e assim

I =ε

∫ ε−12

0

H

(ε−

12

1 + s2

)s3ds

≥ε12µ

∫ A12 ε−

14

0

( ε−12

1 + s2

)2

− A2

s3ds

≥ε12µ

∫ A12 ε−

14

0

(ε−

12

1 + s2

)2

s3ds− ε12µ

∫ A12 ε−

14

0

A2s3ds

=ε1

2µ

∫ A12 ε−

14

0

(ε−

12

1 + s2

)2

s3ds− A4µ

8

Usando a mesma mudanca de variavel do primeiro caso temos

I ≥µ4

∫ Aε−12 +1

1

(1

v− 1

v2

)dv − A4µ

8

= ln |Aε−12 + 1|+ 1− 1

Aε−12 + 1

−→ +∞

quando ε → 0, concluindo assim a prova do corolario pois, temos a condicao (2.47)

55


cumprida e pela proposicao 2.5 cumpre-se a condicao (2.8), logo pelo teorema 2.1

temos que o problema (2.1) possui solucao.

Vejamos agora um exemplo no qual utilizaremos o corolario.

Exemplo 2.2. O caso quando f(x, u) = f(u), onde f(u) e uma funcao de classe C1

em [0,+∞) tal que

f(0) = 0, f(u) ≥ 0 ∀u ≥ 0, f ′(0) < λ1, limu→+∞

f(u)

u3= 0

e

ou f ′(0) > 0 ou lim infu→+∞

f(u)

u> 0

Neste exemplo se encaixa os casos quando temos f(u) = λu com 0 < λ < λ1 e

f(u) = µuq com µ > 0 e 1 < q < 3

2.3.3 O caso n = 3

Assumiremos o caso n = 3, que e bem mais delicado, sendo assim apresentaremos

em dois resultados diferentes, dependendo das condicoes de f(x, u) no infinito.

Para o primeiro resultado assumiremos que

f(x, u) ≥ 0 q.t.p. em Ω ∀u ≥ 0 (2.69)

e

limu→+∞

f(x, u)

u3= +∞ uniformimente em Ω (2.70)

onde Ω e algum subconjunto nao vazio e aberto de Ω. O resultado e o corolario que

segue.

Corolario 2.8. Assumindo que (2.2) a (2.6),(2.69) e (2.70) sao cumpridas. Entao o

problema (2.1) possui solucao

Prova: Mais uma vez aplicaremos o teorema 2.1 juntamente com a proposicao 2.5.

Seja h(u) = infx∈ω f(x, u), tal que limu→+∞h(u)u3

= +∞. Assim nosso objetivo e mostrar

que H(u) =∫ u

0h(t)dt satisfaz (2.47). Assim temos primeiro que para todo µ > 0 existe

um A > 0, tal que

H(u) ≥ µu4 ∀u ≥ A.

56


Com efeito como

(ε−

12

1 + s2

) 12

≥ A implica s ≤ A−1ε12 temos que

ε

∫ ε−12

0

H

( ε−12

1 + s2

) 12

s2ds ≥ µε

∫ A−1ε12

0

( ε−12

1 + s2

) 12

4

s2ds = µ

∫ A−1ε12

0

s2ds

(1 + s2)2.

Passando o lim inf quando ε→ 0 e logo apos usando integracao por partes, obtemos

lim infε→0

ε

∫ ε−12

0

H

( ε−12

1 + s2

) 12

s2ds ≥ lim infε→0

µ

∫ A−1ε12

0

s2ds

(1 + s2)2

=µ

∫ ∞0

s2ds

(1 + s2)2

=s3

3(1 + s2)2

∣∣∣∣∞0

+4

3

∫ ∞0

s4

1 + s2ds

≥4

3

∫ ∞0

s4 − 1

1 + s2ds

=4

3

∫ ∞0

(s2 − 1)ds = +∞

Mostrando assim que H satisfaz a condicao (2.47) e portanto cumpre 2.8. Portanto,

pelo teorema 2.1 o problema (2.1) possui solucao.

Exemplo 2.3. Um exemplo de problema que satisfaz as hipoteses do corolario e quando

f(x, u) = f(u), onde f(u) e uma funcao de classe C1 em [0,+∞) tal que

f(0) = 0, f(u) ≥ 0 ∀u ≥ 0, f ′(0) < λ1, limu→+∞

f(u)

u3= 0

e

limu→+∞

f(u)

u5= 0

Um exemplo de funcao que satisfaz as condicoes acima e f(u) = µuq com µ > 0 e

3 < q < 5.

Discutiremos agora o segundo resultado. E conveniente introduzirmos o parametro

µ > 0 e considerar o problema−∆u = u5 + a(x)u+ µg(x, u) em Ω

u > 0 em Ω

u = 0 sobre ∂Ω

. (2.71)

57


Assumiremos que

g(x, u) ≥ 0 q.t.p. em Ω ∀u ≥ 0

g(x, u) > 0 q.t.p. em Ω ∀u ∈ I(2.72)

onde Ω e algum aberto nao vazio de Ω e I e um intervalo aberto de (0,+∞). Desejamos

entao provar o corolario abaixo.

Corolario 2.9. Suponhamos que (2.3) a (2.6) e (2.72) sejam satisfeitas. Entao existe

um µ0 ≥ 0 tal que o problema (2.71) possui solucao para cada µ ≥ µ0.

Prova: Agora usaremos o teorema 2.1 diretamente. Verificaremos a condicao (2.8) sem

invocar o lema 2.5. Fixemos v0(x) = φ(x)|x|−k e suponhamos 0 ∈ ω com 0 < k < 12,

φ ∈ C∞(ω), φ(0) = 1 e ||v0||6 = 1 Assim temos que dado um µ > 0 segue que

Ψµ(u) =

∫Ω

1

2|∇u|2 − 1

6u6 − a(x)

2u2 − µG(x, u)

dx,

onde G(x, u) =

∫ u

0

g(x, t)dt, e o funcional energia associado ao problema (2.71). Sendo

assim temos para t ≥ 0 que

Ψµ(tv0) =

∫Ω

1

2|∇tv0|2 −

1

6(tv0)6 − a(x)

2(tv0)2 − µG(x, tv0)

dx

=1

2t2∫

Ω

(|∇v0|2 − a(x)v20)dx− 1

6t6∫

Ω

|v0|6 − µ∫

Ω

G(x, tv0)dx

=1

2t2A− 1

6t6 − µ

∫Ω

G(x, tv0)dx

Afirmamos que

limµ→+∞

supt≥0

Ψ(tv0) = 0. (2.73)

Se (2.73) ocorre, entao a condicao (2.8) e satisfeita para um µ suficientemente grande,

e o resultado segue do teorema (2.1).

Verifiquemos (2.73). Primeiramente, note que

limt→+∞

Ψµ(tv0) = −∞.

Por hipotese, µ

∫Ω

G(x, tv0)dx ≥ 0 e assim supt≥0

Ψu(tv0) e alcancado para algum tµ tal

que∂Ψµ

∂t(tµ) = tµA− t5µ − µ

∫Ω

g(x, tµv0)v0 = 0 (2.74)

Assim,

tµA− t5µ ≥ 0⇒ tµA ≥ t5µ ⇒ A ≥ t4µ ⇒ tµ ≤ A14

58


Logo tµ e limitado e nao vai para +∞ ainda que µ→ +∞, donde

limµ→+∞

tµ = 0 (2.75)

pois caso contrario existiria uma sequencia (µj) tal que tµj → l > 0 quando µj → +∞e por (2.74) terıamos

∫Ωg(x, v0)v0 = 0 o que contradiz (2.72) e a escolha do v0.

Finalmente observemos que

supt≥0

Ψµ(tv0) ≤ 1

2At2µ −

1

6t6µ

Passando o limite com µ→ +∞ temos por (2.75) que

limµ→+∞

supt≥0

Ψ(tv0) ≤ 0,

mostramos (2.73).

Exemplo 2.4. Este corolario pode ser aplicado para o problema

−∆u = u5 + µuq em Ω com 1 < q ≤ 3

u > 0 em Ω,

u = 0 em ∂Ω.

(2.76)

E assim pelo corolario existe µ0 que depende apenas de q e Ω tal que o problema e

solucionavel para cada µ ≥ µ0.

Conclusao

59

Apendice A

Resultados preliminares principais

A.1 Resultados de convergencias

Teorema A.1. (Teorema da convergencia de Vitali) Seja Ω um conjunto de medida

finita e seja (fn) uma sequencia de funcoes integraveis, tais que fn → f q.t.p., entao

f e integravel e∫

Ωfn →

∫Ωf se, somente se (

∫fn) sao uniformemente absolutamente

contınuas, ou seja dado ε > 0, existe δ > 0, tal que se m(A) < δ entao

∣∣∣∣∫A

fn

∣∣∣∣ < ε,

para todo n ∈ N.

Este resultado e apresentado e demonstrado de forma completa em [3].

Teorema A.2. (Teorema da convergencia dominada de Lebesgue) Seja (fn) uma se-

quencia de funcoes (fn : Ω→ R) tais que fn → f q.t.p..Se existir uma funcao integravel

g : Ω→ [0,+∞] tal que |fn| ≤ g q.t.p., entao as funcoes fn e f sao integraveis e∫Ω

fn →∫

Ω

f

Este resultado que pode ser encontrado sua demonstracao em [3] ou em [4]

A.2 Multiplicador de Lagrange

Teorema A.3. (Teorema do multiplicador de Lagrange) Sejam X um espaco de Ba-

nach, F e G funcoes de classe C1(X,R), e x0 ∈ X um ponto crıtico de F restrito ao

conjunto

M = x ∈ X;G(x) = 0 .

Se G′(x0) 6≡ 0 entao existe µ ∈ R, tal que

F ′(x0) = µG′(x0).

60

A. Resultados preliminares principais

Isto e

F ′(x0)w = µG′(x0)w; ∀w ∈ X

Este resultado e ate de forma mais geral pode ser encontrado em [5].

A.3 Princıpios do maximo

As demonstracoes de ambos os princıpios podem ser encontradas em [8].

Teorema A.4. (princıpio do maximo fraco) Seja Ω ⊂ R e u ∈ H10 (Ω) satisfazendo

−∆u ≥ 0 ou (−∆u ≤ 0) em Ω. Entao

supΩu ≤ sup

∂Ωu+ ou (inf

Ωu ≥ inf

∂Ωu−)

respectivamente.

Teorema A.5. (princıpio do maximo forte) Seja Ω ⊂ R um aberto. Seja L um ope-

rador estritamente elıptico tal que c = 0. Suponha que u satisfaz Lu ≥ 0 [Lu ≤ 0] em

Ω. Se u atinge o seu maximo [mınimo] no interior de Ω, entao u e constante.

Se c ≤ 0 e u atinge um maximo nao-negativo [mınimo nao-positivo] no interior de

Ω, entao u e constante.

Independentemente do sinal de c, se u atinge um maximo igual a 0 [mınimo igual

a 0] no interior de Ω, entao u e constante.

A.4 Outros resultados

Teorema A.6. Se E e um espaco de Banach Reflexivo e (xn) e uma sequencia limitada

em E. Entao existe uma subsequencia (xnk) que converge fracamente para algum x ∈ E.

A demonstracao do teorema pode ser encontrada em [4]

Lema A.7. Lema de Brezis-Lieb: Seja (uk) ⊂ Lp(Ω) limitada, com ≤ p ≤ ∞ tal

que uk → u q.t.p. em Ω entao:

i)u ∈ Lp(Ω) b) limk→∞

(||uk||pp − ||uk − u||pp) = ||u||pp.

Este lema pode ser encontrado em [10].

Teorema A.8. (Formula da Coarea) Suponha que f : Rn → R seja contınua e in-

tegravel entao ∫Rnf(x)dx =

∫ +∞

0

(∫Sr

f(r)ds

)dr

onde Sr e a esfera em Rn de raio r.

61

A. Resultados preliminares principais

A demonstracao deste teorema bem como mais informacoes sobre casos mais gerais

pode ser encontradas em [12]

Teorema A.9. (integracao por partes) Sejam w, v : [a, b] → R funcoes de classe C1

entao ∫ b

a

w.dv = (u.v)(b)− (u.v)(a)−∫ b

a

v.dw

Este teorema e facilmente demonstrado como uma aplicacao direta do Teorema

Fundamental do Calculo e a utilizacao da derivada do produto e pode ser encontrado

em alguns livros de Calculo diferencia e integral, assim como o teorema da mudancas

de variavel que omitimos aqui por se tratar de um resultado bem conhecido.

Teorema A.10. (Rellich-Kondrachov) Suponhamos que Ω e limitado e de classe

C1. Entao temos as seguintes imersoes compactas.

W 1,p(Ω) ⊂Lq(Ω) ∀q ∈ [1, p∗); onde1

p∗=

1

p− 1

Nse p < N

W 1,p(Ω) ⊂Lq(Ω) ∀q ∈ [p,+∞); se p = N

W 1,p(Ω) ⊂C(Ω). se p > N

Em particular, W 1,p(Ω) ⊂ Lp(Ω) com imersao compacta para todo p e todo N

A demonstracao deste teorema pode ser vista em detalhes em [4] (teorema 9.16,

pg.285)

Teorema A.11. (Identidade de Pohozaev) Seja g : R→ R contınua com primitiva

G(u) =∫ u

0g(v)dv e seja u ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) a solucao do problema

−∆u =g(u) em Ω (A.1)

u =0 sobre ∂Ω (A.2)

e o domınio Ω ⊂⊂ Rn, entao vale a identidade

n− 2

2

∫Ω

|∇u|2dx− n∫

Ω

G(u)dx+1

2

∫∂Ω

∣∣∣∣∂u∂ν∣∣∣∣2 x · νdo = 0

onde ν denota o vetor normal unitario exterior.

A demonstracao deste teorema e encontra em[6](Lema 1.4, Pg.171)

62

Referencias Bibliograficas

[1] BREZIS, H. e NIRENBERG, L., Positive solutions of nonlinear elliptic

equations involving critical sobolev exponents, Communications on Pure

and AppliedMathematics 36 (1983), no. 4, 437-477.

[2] KAZDAN, J. e WARNER, F., Remarks on some quasilinear elliptic equa-

tions, Comm. Pure Appl.Math. 28, 1975, pp. 567-597.

[3] ISNARD, C., Introducao a medida e integracao, 2.ed.Rio de Ja-

neiro:IMPA,2009

[4] BREZIS, H.,Functional Analysis,Sobolev Spaces and Partial Differential

Equations, New York:Springer, 2011.

[5] COSTA D.G.,An Invitation to Variational Methods In Differential Equa-

tions, Boston:Birkhauser, 2007

[6] STRUWE, M., Variational Methods - Applications to Nonlinear Partial

Differential Equations and Hamiltonian Systems, Springer, 4th Edition,

2008.

[7] SAMUAYS M.A.,O Problema de Brezis-Nirenberg, Curitiba: UFPR, 2011

Dissertacao (mestrado em matematica Aplicada)

[8] GILBARG, D. e TRUDINGER, N. S., Elliptic partial differential equations

of second order, vol. 224, Springer Verlag, 2001.

[9] TALENTI, G., Best constants in Soboleu inequality. Annali di Mat. 110,

1976, pp. 353-372.

[10] BREZIS, H. e LIEB E. H.,A relation between pointwise convergence of

functions and convergence of functionals, Proc. Amer. Math. Soc. 88 (1983),

pp. 486-490.

[11] WILLEM M., Minimax theorems, Boston:Birkhauser, 1997.

63

Referencias Bibliograficas

[12] EVANS L. C.. Partial differential equations (graduate studies in mathematics,

vol. 19), American Mathematical Society, 2009.

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