Um pouco de história Matemático escocês John Napier (1550-

1617) e pelo matemático suiço Jost Bürgi (1552-1632) em princípios do século XVII.

Um pequeno desafio!Alguém sabe como simplificar ?

Outro pequeno desafio!Qual é o valor de 128 x 256 ?

Algoritmo da multiplicação Ideias de Napier e Bürgi

11 22 33 ...... 77 88 99 1010 ...... 1414 1515

22 44 88 ...... 128128 256256 512512 10241024 ...... 1638416384 3276832768

Os logaritmos, portanto, surgiram para realizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração.

Tábuas de logaritmos Posteriormente, Napier, juntamente com Briggs, elaboraram tábuas de logaritmos mais úteis de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma potência conveniente de 10, nascendo assim os logaritmos briggsianos ou comuns, ou seja, os logaritmos dos dias de hoje.

Recentemente, no século XX, com o desenvolvimento da Teoria da Informação, Shannon descobriu que a velocidade máxima Cmáx - em bits por segundo - com que sinais de potência S watts podem passar por um canal de comunicação, que permite a passagem, sem distorção, dos sinais de freqüência até B hertz, produzindo um ruído de potência máxima N watts, é dada por:

Dessa forma, os logaritmos claramente assumem um papel fundamental, pois constituem uma ferramenta essencial no contexto da moderna tecnologia.

Aplicações! A escala de acidez e os logaritmos. O pH é uma escala em Química para

expressar o grau de acidez ou basicidade de uma solução aquosa. Os valores do pH variam de 0 a 14.

Para o cálculo do pH usa-se a expressão: pH = - log[H+] Quando 0 ≤ pH < 7 ( solução ácida ) Quando pH = 7 ( solução neutra ) Quando 7 ≤ pH < 14 ( solução básica )

Aplicações! A escala de Richter foi desenvolvida em 1935 pelos sismólogos Charles Francis Richter e Beno Gutenberg, ambos membros do California Institute of Technology (Caltech), que estudavam sismos no sul da Califórnia, utilizando um equipamento específico - o sismógrafo Wood-Anderson. Após recolher dados de inúmeras ondas sísmicas liberadas por terremotos, criaram um sistema para calcular as magnitudes dessas ondas. A história não conservou o nome de Beno Gutenberg. No princípio, esta escala estava destinada a medir unicamente os tremores que se produziram na Califórnia (oeste dos Estados Unidos). Apesar do surgimento de vários outros tipos de escalas para medir terremotos, a escala Richter continua sendo largamente utilizada.A fórmula utilizada é ML = logA - logA0.

Aplicações! Um pouco de diversão!

Só LOG, Só LOG...

Definição: Sendo a e b números reais e positivos, com a≠1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente x ao qual se deve elevar a base a de modo que a potência ax seja igual a b.

Logab = x ax = b

1. Logc(A.B) = logcA + logcB

2. Logc(A/B) = log c A – log c B

3. Logc An = n. (log c A)

4. LogcA = (LogxA)/(LogxC)

5. CologcA = Logc(1/A) = - LogcA

Tudo o que foi visto continua válido A base deixa de ser 10 e passa a ser e (Euler)

Pode-se simplificar a escrita utilizando-se a

nomenclatura: ln = log e

(Puccamp - Sp) A invenção dos logaritmos teve como resultado imediato o aparecimento de tabelas, cujas cálculos eram feitos um a um. O projeto do Inglês Charles Babbage (séc. XIX), “pai dos computadores modernos”, era construir uma máquina para a montagem dessas tabelas, como por exemplo:

Usando a tabela, determine o valor que se obtém para log 450

x Log x

2 0,30

3 0,47

4 0,60

5 0,70

6 0,78

... ...

(PUC MG) As indicações R1 e R2 de dois terremotos, na escala Richter, estão relacionadas pela fórmula

, em que E1 e E2 medem as respectivas energias, liberadas pelos

terremotos em forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre.

Nessas condições, se R1 = 8,5 e R2 = 7,0, é CORRETO afirmar que a

razão entre E1 e E2, nessa ordem, é igual a:

a) 0,5

b) 1,5

c) 100,5

d) 101,5

(UFRRJ) O pH de uma solução é definido por , sendo H+ a concentração de hidrogênio em íons-grama por litro de solução. Calcule o pH de uma solução que tem íons-grama por litro.

(UFG GO) Um capital aplicado é acrescido de 25% ao final de cada mês. Quantos meses são necessários para que o montante atinja, no mínimo, cinco vezes o capital inicial?(Use a aproximação de 0,3010 para log10 2)

(UFOP MG) Resolva a equação 3x + 3x + 1 = 8, sabendo que

log2 = 0,3010 e log3 = 0,4771.

(UEPB) Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma

tendência natural de se desintegrarem, diminuindo, portanto, sua quantidade original com o passar do tempo. Suponha que certa quantidade de um elemento radioativo, com massa inicial m0 (gramas), com m0 ≠ 0, decomponha-se conforme o modelo matemático

,em que m(t) é a quantidade de massa radioativa restante no tempo t(anos). Usando a aproximação log102=0,3, a quantidade de anos para que esse elemento se decomponha até atingir 1/8 da massa inicial será:

a) 60

b) 62

c) 64

d) 63

e) 70

Prof. Paulo Murillo

Site: www.acheiox.com.br