Um estudo sobre integral de–nida - UFRN: Página inicial · Iniciamos com a de–niçªo de...

Universidade Federal do Rio Grande do NorteCentro de Ensino Superior do SeridóCoordenação do Curso de Matemática

Um estudo sobre integral de�nida

Kaline Araújo da Silva

2016

Universidade Federal do Rio Grande do NorteCentro de Ensino Superior do SeridóCoordenação do Curso de Matemática

Um estudo sobre integral de�nidapor

Kaline Araújo da Silva

sob orientação da

Profa. Ma. Maria Jucimeire dos Santos

Caicó-RNDezembro de 2016

i

Silva, Kaline Araújo da. Um estudo sobre integral definida / Kaline Araújo da Silva. -Caicó: UFRN, 2016. 48f.: il.

Orientador: Ma. Maria Jucimeire dos Santos. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ensino Superior do Seridó - Campus Caicó. Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas. Curso de Matemática. Monografia - Licenciatura em Matemática.

1. Áreas. 2. Riemann. 3. Integral definida. I. Santos, MariaJucimeire dos. II. Título.

RN/UF/BS-CAICÓ CDU 51

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRNSistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial do Centro de Ensino Superior do Seridó - CERESCaicó

"Por que nos torna tão pouco felizes esta maravilhosa ciência aplicada, que

economiza trabalho e torna a vida mais fácil? A resposta é simples: porque ainda não

aprendemos a nos servir dela com bom senso."(Albert Einstein).

iii

Agradecimentos

Agradeço, primeiramente a Deus, aquele que tudo pode, que me dá sabedoria, saúde

e força que preciso para seguir na minha caminhada.

A minha família, em especial a minha mãe, Josenilda, pela con�ança nas minhas

escolhas e por ter me dado uma boa criação e educação, mesmo com as di�culdades

enfrentadas diariamente. Por me apoiar em todos os momentos e por todo amor e

carinho.

Ao meu pai, Darci (in memoriam), que não pode compartilhar comigo esses

momentos, mas com certeza está lá no céu torcendo por mim.

Aos meus professores, por todos os ensinamentos e dedicação, sempre com

motivações que me ajudaram à crescer e por compartilhar as experiências vividas.

A minha professora orientadora, Maria Jucimeire, por toda paciência e dedicação,

por todos os dias e horas dedicados a esse trabalho.

Aos meus colegas e amigos, em especial Lidiane, Denise, Maria, Kamila, Fernanda,

Brunno e Luana, por toda a cumplicidade e união, por sempre estarem comigo em todos

os momentos.

Aos meus amigos, por todo o apoio e incentivo, por estarem sempre ao meu lado.

En�m, a todos que de alguma maneira contribuiram para minha formação.

iv

ResumoO presente trabalho exibe alguns conceitos básicos para o estudo da integral de�nida,

como também noções de áreas, integral de�nida e alguns resultados. Inicialmente será

apresentado limite de uma função e suas propriedades, e posteriormente, a de�nição de

função contínua. No segundo momento, explicaremos somatório e suas particularidades,

que serão utilizados em seguida no estudo das áreas de regiões irregulares. E, por �m,

será exposto o conceito da soma de Riemann e da integral de�nida, um breve resumo

sobre Bernhard Riemann, exemplos utilizando a integral de�nida e suas propriedades.

Palavras-chave: Áreas. Riemann. Integral de�nida.

v

AbstractThis paper shows some basic concepts for the study of the de�nite integral, as

well as notions of areas, de�nite integral and some results. For starters it will be

presented the limitation of a function and its properties, and then, the de�nition of

continuous function. In the second moment, the sum and its peculiarities will be

explained, which will next be used in the study of irregular regions. Finally, the concept

of the Riemann sum and the de�nite integral will be exposed, a brief summary about

Bernhard Riemann, examples using the de�nite integral and its properties.

Keywords: Areas. Riemann. De�nite integral.

vi

Sumário

1 Introdução 1

2 Conceitos básicos para o estudo da integral de�nida 22.1 Limite de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.1 Propriedades dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Função contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Áreas 113.1 Notação sigma para somas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.1 Propriedades básicas do somatório . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Integral de�nida e alguns resultados 244.1 Integral de�nida ou de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.1 Breve história sobre Bernhard Riemann . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.2 Exemplos da integral de�nida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1.3 Propriedades da integral de�nida . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

vii

Capítulo 1

Introdução

A integral de�nida serve para calcular áreas, volumes, comprimentos de linhas

curvas, entre outros. Assim, traremos o conceito de soma de Riemann, que é calcular

áreas dividindo-as em partes pequenas, especi�camente em retângulos, e em seguida,

somar as áreas dessas partes. Para se obter a integral de�nida tomamos o limite dessa

soma.

O trabalho tem como objetivo mostrar como é calculada a área sob a curva de

uma região irregular, evidenciando como se dá esse procedimento através da soma de

Riemann. Bem como esclarecer a sua importância no cálculo de áreas.

Ao estudar a disciplina cálculo de uma variável II, me identi�quei com o conteúdo

sobre a integral de�nida e o método que era utilizado para ser formulada. Daí surgiu à

vontade de estudar mais sobre o assunto e conhecer mais sobre esse método.

O presente trabalho mostra-se da seguinte forma: 1. Introdução, 2. Conceitos

básicos para o estudo da integral, 3. Áreas, 4. Integral de�nida e alguns resultados. A

pesquisa deu-se através de estudos com materiais bibliográ�cos, com livros impressos

que estão disponíveis na biblioteca e também com dissertações encontradas no site do

PROFMAT, nas quais apresentam o uso do GeoGebra na construção de grá�cos.

1

Capítulo 2

Conceitos básicos para o estudo daintegral de�nida

Neste capítulo apresentamos alguns resultados sobre limites e funções contínuas

que são necessários para o estudo da integral de�nida. Para isso, utilizamos apenas

funções com domínio e contra domínio de�nidos no conjunto dos reais, escrevemos f :

X � R! R: Nas de�nições e resultados a seguir utilizamos as contantes a; L; �; " 2 R:

2.1 Limite de uma função

Iniciamos com a de�nição de limite de uma função, que pode ser encontrada no livro

de Stewart (2012, p. 98).

De�nição 2.1.1 Seja f uma função de�nida sobre algum intervalo aberto que contém

o número a, exceto possivelmente no próprio a. Então dizemos que o limite de f quando

x tende para a é L, e escrevemos

limx!a

f(x) = L:

Se para todo número " > 0 houver um número � > 0; tal que, para todo x no domínio

de f satisfazendo

se 0 < jx� aj < �; ent~ao jf(x)� Lj < ": (2.1)

A seguir apresentamos um exemplo para esclarecer a de�nição anterior.

2

Exemplo 2.1.2 Considere a função f : X � R! R de�nida por f(x) = 2x�5:Utilizea De�nição 2.1.1 para mostrar que lim

x!4(2x� 5) = 3.

Seja " > 0. Devemos encontrar � > 0; tal que

0 < jx� 4j < � então j(2x� 5)� 3j < ":Portanto, temos que dado " > 0 e tomando � = "

2, se 0 < jx� 4j < �, temos:

j(2x� 5)� 3j = j2x� 8j = j2 (x� 4)j = 2 jx� 4j < 2� = 2�"2

�= ":

Concluímos, pela De�nição 2.1.1, que

limx!4

(2x� 5) = 3:

Na próxima seção, apresentamos algumas propriedades do limite que facilitam o

desenvolvimento dos cálculos.

2.1.1 Propriedades dos limites

Sejam c; a; L;M 2 R constantes quaisquer e considere as funções f : X � R! R eg : X � R! R: Suponha que existam os limites lim

x!af(x) = L e lim

x!ag(x) =M , então:

Propriedade 2.1.3 Propriedade da soma

limx!a

[f(x) + g(x)] = limx!a

f(x) + limx!a

g(x) = L+M: (2.2)

Demonstração: Queremos mostrar que limx!a


f(x) + limx!a

g(x); isto

é, para todo " > 0, devemos encontrar � > 0, tal que, para todo x no domínio de f

satisfazendo

0 < jx� aj < �, então j[f(x) + g(x)]� [L+M ]j < ":Seja " > 0 dado. Observe que

j[f(x) + g(x)]� [L+M ]j = j[f(x)� L] + [g(x)�M ]j :

Pela desigualdade triangular (ver Elon (2010, p. 14)), temos:

j[f(x)� L] + [g(x)�M ]j � jf(x)� Lj+ jg(x)�M j :

3

Sabemos que limx!a

f(x) = L e limx!a

g(x) = M: Tomando "1 = "2 = "2; pela De�nição

2.1.1, existem �1; �2 > 0 tais que, para todo x no domínio de f satisfazendo

0 < jx� aj < �1, então jf(x)� Lj < "2

e 0 < jx� aj < �2, então jg(x)�M j < "2.

Seja � = min(�1; �2) > 0:

Logo,

j[f(x)� L] + [g(x)�M ]j � jf(x)� Lj+ jg(x)�M j < "

2+"

2= ";

sempre que 0 < jx� aj < �.Ou seja,

limx!a


f(x) + limx!a

g(x) = L+M:

�

Propriedade 2.1.4 Propriedade da diferença

limx!a

[f(x)� g(x)] = limx!a

f(x)� limx!a

g(x) = L�M (2.3)

Demonstração: Análoga à anterior. �

Propriedade 2.1.5 Propriedade do produto

limx!a

[f(x)g(x)] = limx!a

f(x) � limx!a

g(x) = L �M: (2.4)

Demonstração: Dado " > 0; devemos mostrar que existe � > 0 tal que

jf(x)g(x)� LM j < " sempre que 0 < jx� aj < � e x 2 X:Note que

jf(x)g(x)� LM j = jf(x)g(x) + [�f(x)M + f(x)M ]� LM j

jf(x)g(x)� LM j = jf(x)g(x)� f(x)M + f(x)M � LM j

jf(x)g(x)� LM j = jf(x) [g(x)�M ] +M [f(x)� L]j :

Pela desigualdade triangular e sabendo que o módulo de um produto é igual ao

produto dos módulos, obtemos:

jf(x)g(x)� LM j � jf(x)j jg(x)�M j+ jM j jf(x)� Lj :

4

Consequentemente, para garantir que jf(x)g(x)� LM j < "; é su�ciente que

(i) jf(x)j jg(x)�M j < 12" e

(ii) jf(x)� Lj jM j < 12":

Como o limx!a

f(x) existe, pelo Teorema da Limitação (ver Munem (2011, p. 83)),

podemos garantir que existem números reais positivosN e �1; tal que jf(x)j < N sempre

que 0 < jx� aj < �1 e x 2 X:Além disso, lim

x!ag(x) =M: Então, tomando "2 = 1

2N" > 0; existe �2 > 0 tal que

jg(x)�M j < "2Nsempre que 0 < jx� aj < �2; x 2 X:

Portanto, se x 2 X; 0 < jx� aj < �1 e 0 < jx� aj < �2; então ambas as

desigualdades jf(x)j < N e jg(x)�M j < "2Nsão válidas, segue que

jf(x)j jg(x)�M j < N� "

2N

�=1

2";

para todo x 2 X satisfazendo 0 < jx� aj < �1 e 0 < jx� aj < �2:Vamos provar que (ii) vale:

� SeM = 0; então a desigualdade jf(x)� Lj jM j < "2é válida, para qualquer x 2 X:

� Se M 6= 0, então "2jM j > 0 e como limx!a

f(x) = L; concluimos que existe �3 > 0 tal

que

jf(x)� Lj < "2jM j sempre que 0 < jx� aj < �3; x 2 X:

Portanto, a condição (ii) é válida se 0 < jx� aj < �3:Finalmente, o � procurado é dado por � = min(�1; �2; �3);

segue que

jf(x)g(x)� LM j < " é válido sempre que x 2 X e 0 < jx� aj < �:Portanto,

limx!a

[f(x)g(x)] = limx!a

f(x) � limx!a

g(x) = L �M:

�

Propriedade 2.1.6 Propriedade do quociente

limx!a

f(x)

g(x)=limx!a

f(x)

limx!a

g(x)=L

Mse lim

x!ag(x) =M 6= 0: (2.5)

Demonstração: Inicialmente devemos mostrar que limx!a

1g(x)

= 1M; M 6= 0, ou seja,

para " > 0 dado, devemos encontrar � > 0 tal que, para todo x 2 X com

5

0 < jx� aj < �; obtemos�� 1g(x)

� 1M

�� < ":Note que �� 1g(x) � 1

M

�� = jM � g(x)jjMg(x)j

Como limx!a

g(x) =M , existe �1 > 0 tal que, se 0 < jx� aj < �1 e x 2 X, temos:

jg(x)�M j < jM j2:

Assim, para x 2 X e 0 < jx� aj < �;

jM j = jM � g(x) + g(x)j � jM � g(x)j+ jg(x)j < jM j2+ jg(x)j

isto é,

jM j < jM j2+ jg(x)j :

Isso mostra que

se 0 < jx� aj < �1 e x 2 X então jg(x)j > jM j2:

Assim, para esses valores de x, temos:

1

jMg(x)j =1

jM j jg(x)j <1

jM j �2

jM j =2

jM j2:

Além disso, existe �2 > 0 tal que

se 0 < jx� aj < �2 e x 2 X então jg(x)�M j < M2�"2:

Seja � = min(�1; �2): Então, para 0 < jx� aj < � e x 2 X; temos�� 1g(x) � 1

M

�� = jg(x)�M jjMg(x)j <

2

M2� M

2

2� ":

Logo, limx!a

1g(x)

= 1M: Assim, utilizando a Propriedade 2.1.5, temos que:

limx!a

f(x)

g(x)= lim

x!af(x) � lim

x!a

1

g(x)= L � 1

M=L

M:

�

Propriedade 2.1.7 Propriedade da potência

limx!a

[f(x)]n =hlimx!a

f(x)in= Ln: (2.6)

6

onde n é um inteiro positivo.

Demonstração: Vamos usar o princípio da indução sobre n para mostrar a igualdade.O princípio da indução e sua demonstração pode ser encontrado no livro de Milies (2003,

p. 25-31).

1. Base da indução.

Para n = 1, temos que a igualdade limx!a

f(x) = L é válida por hipótese.

2. Hipótese da indução.

Suponha que a proposição é verdadeira para algum k 2 N, isto é,

limx!a

[f(x)]k = Lk:

3. Tese da indução.

Queremos mostrar que a proposição vale para k + 1, ou seja,

limx!a

[f(x)]k+1 = Lk+1:

Temos que:

limx!a

[f(x)]k+1 = limx!a

�f(x)k � f(x)

�:

Pela Propriedade 2.1.5,

limx!a

[f(x)]k+1 = limx!a

f(x)k � limx!a

f(x):

Por hipótese da indução,

limx!a

[f(x)]k+1 = Lk � L:

Logo,

limx!a

[f(x)]k+1 = Lk+1:

Portanto, o princípio da indução garante que limx!a

[f(x)]n = Ln é verdadeira, para

todo n 2 N:

�

7

Propriedade 2.1.8 Propriedade da constante

Seja f : X � R! R de�nida por f(x) = c; para todo x 2 X:

limx!a

c = c: (2.7)

Demonstração: Tem-se que dado " > 0 qualquer e um número � > 0 :

se 0 < jx� aj < �; então jc� cj = 0 < ":Logo, lim

x!ac = c: �

Propriedade 2.1.9 Seja f : X � R! R de�nida por f(x) = x; para todo x 2 X:

limx!a

x = a: (2.8)

Demonstração: Dado " > 0; tome � = " > 0:

Assim se 0 < jx� aj < �; então jx� aj < ":Logo, lim

x!ax = a: �

Todos os resultados descritos anteriormente são para limites, onde a variável x tende

a um número real a. A seguir, apresentamos a de�nição de limite no in�nito.

De�nição 2.1.10 Seja f uma função de�nida em algum intervalo (a;1). Então

limx!1

f(x) = L

signi�ca que para todo " > 0 existe um número real N > 0 tal que

se x > N então jf(x)� Lj < ":

Exemplo 2.1.11 Seja f(x) = 1xde�nida em algum intervalo (a;1). Use a De�nição

2.1.10 para demonstrar que limx!1

1x= 0:

Dado " > 0; encontraremos um número N tal que, para todo x > N; possamos obter��1x � 0�� < ":

Note que, 1x< " se, e somente se, 1

"< x:

Tomando N = 1"; se x > N = 1

"temos

�� 1x� 0�� = 1

x< ":

Portanto, pela De�nição 2.1.10,

limx!1

1

x= 0:

8

2.2 Função contínua

A de�nição a seguir pode ser vista no livro de Munem (2011, p. 61).

De�nição 2.2.1 Dizemos que a função f : R ! R é contínua em um número a 2 Rse, e somente se, as seguintes condições forem válidas:

(i) f(a) é de�nido;

(ii) limx!a

f(x) existe, e

(iii) limx!a

f(x) = f(a).

Exemplo 2.2.2 A função f : R ! R de�nida por f(x) = (x+ 2x3)4 é contínua em

�1?Temos que f(�1) =

��1 + 2 (�1)3

�4= (�1� 2)4 = (�3)4 = 81, logo f(�1) é

de�nida.

Ainda,

limx!�1

f(x) = limx!�1

�x+ 2x3

�4:


limx!�1

f(x) =

�limx!�1

�x+ 2x3

��4:


limx!�1

f(x) =

�limx!�1

x+ limx!�1

2x3�4:

Pelas Propriedades 2.1.7, 2.1.5 e 2.1.8, obtemos:

limx!�1

f(x) =

"limx!�1

x+ 2

�limx!�1

x

�3#4limx!�1

f(x) =��1 + 2 � (�1)3

�4limx!�1

f(x) = (�1� 2)4 = (�3)4 = 81:

Assim,

limx!�1

f(x) = 81 = f(�1):

9

Como satisfaz as condições da De�nição 2.2.1, concluímos que a função f(x) =

(x+ 2x3)4 é contínua no ponto x = �1.

10

Capítulo 3

Áreas

Neste capítulo, inicialmente mostramos alguns resultados sobre somatórios que são

utilizados no cálculo de áreas. Posteriormente, de�nimos áreas de acordo com Munem

(2011, p. 297) e faremos alguns exemplos para esclarecer o conceito.

3.1 Notação sigma para somas

Na notação matemática, empregamos a letra maiúscula grega sigmaP

para

somar termos escritos da mesma forma. Como por exemplo, invés de escrevermos

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8, simplesmente podemos escrever8Pk=1

k, onde k = 1, que

está na parte inferior do sigma, signi�ca o início do intervalo e o número 8, que está na

parte superior do sigma, representa o �nal do intervalo e o k corresponde aos valores

inteiros de 1 até 8.

Podemos usar também outra notação, comoP

1�k�8k, na qual o intervalo desejado

está todo expresso na parte inferior do sigma.

Assim,8Pk=1

k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8, signi�ca "a soma de todos os termos

da forma k compreendidos entre os valores inteiros de 1 até 8".

Portanto, temos a seguinte de�nição que pode ser vista no livro de Stewart (2012,

p. A. 32).

De�nição 3.1.1 Se am; am+1; :::; an forem números reais e m e n, inteiros positivos tal

que m � n; entãonXi=m

ai = am + am+1 + am+2 + :::+ an:

11

3.1.1 Propriedades básicas do somatório

Agora, mostramos as propriedades básicas do somatório, que podem ser encontradas

no livro de Munem (2011, p. 299).

Sejam a0, a1, a2,..., an e b0, b1, b2,..., bn números reais e considere as contantes A,

B, C 2 R. Então:

Propriedade 3.1.2 Propriedade da constante

nXk=1

C = nC: (3.1)

Demonstração: De fato,

nXk=1

C = C + C + :::+ C| {z }nXk=1

C = nC:

�

Propriedade 3.1.3 Propriedade da homogeneidade

nXk=1

Cak = CnXk=1

ak: (3.2)

Demonstração:nXk=1

Cak = Ca1 + Ca2 + :::+ Can:

Pela distributividade dos números reais, tem-se

nXk=1

Cak = C(a1 + a2 + :::+ an):

Pela De�nição 3.1.1, tem-se

nXk=1

Cak = CnXk=1

ak:

12

�

Propriedade 3.1.4 Propriedade aditiva

nXk=1

(ak + bk) =nXk=1

ak +nXk=1

bk: (3.3)

Demonstração:

nXk=1

(ak + bk) = (a1 + b1) + (a2 + b2) + :::+ (an + bn):

Pela comutatividade e associatividade dos números reais, obtemos:

nXk=1

(ak + bk) = (a1 + a2 + :::+ an) + (b1 + b2 + :::+ bn)

nXk=1

(ak + bk) =nXk=1

ak +nXk=1

bk:

�

Propriedade 3.1.5 Soma de inteiros sucessivos

nXk=1

k =n(n+ 1)

2: (3.4)

Demonstração: Vamos usar o princípio da indução sobre n para mostrar a igualdade.


Para n = 1, temos:nXk=1

k = 1 =1 (1 + 1)

2:


Suponha que a proposição é verdadeira para algum n 2 N, isto é,

nXk=1

k =n (n+ 1)

2:

13


Queremos mostrar que a proposição vale para n+ 1, ou seja,

nXk=1

k = 1 + 2 + :::+ n+ (n+ 1) =(n+ 1)(n+ 2)

2:

Pela hipótese de indução,

nXk=1

k = 1 + 2 + :::+ n+ (n+ 1) =n (n+ 1)

2+ (n+ 1):

Logo,nXk=1

k = 1 + 2 + :::+ n+ (n+ 1) =n (n+ 1) + 2(n+ 1)

2

nXk=1

k = 1 + 2 + :::+ n+ (n+ 1) =(n+ 1) (n+ 2)

2:

Portanto, o princípio da indução garante quenPk=1

k = n(n+1)2

é verdadeira.

�

Propriedade 3.1.6 Soma de quadrados sucessivos

nXk=1

k2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6: (3.5)




k2 = 1 =1(1 + 1)(2 � 1 + 1)

6:


Suponha que a proposição é verdadeira para algum n 2 N, isto é,

nXk=1

k2 = 1 + 4 + :::+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6:

14


Queremos mostrar que a proposição vale para n+ 1, ou seja,

nXk=1

k2 = 1 + 4 + :::+ n2 + (n+ 1)2 =(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)

6:


nXk=1

k2 = 1 + 4 + :::+ n2 + (n+ 1)2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6+ (n+ 1)2:

Logo,

nXk=1

k2 = 1 + 4 + :::+ n2 + (n+ 1)2 =n(n+ 1)(2n+ 1) + 6(n+ 1)2

6

nXk=1

k2 = 1 + 4 + :::+ n2 + (n+ 1)2 =(n+ 1) [n(2n+ 1) + 6(n+ 1)]

6

nXk=1

k2 = 1 + 4 + :::+ n2 + (n+ 1)2 =(n+ 1) (2n2 + 7n+ 6)

6

nXk=1

k2 = 1 + 4 + :::+ n2 + (n+ 1)2 =(n+ 1) (n+ 2)(2n+ 3)

6:

Portanto, pelo princípio da indução podemos a�rmar quenPk=1

k2 = n(n+1)(2n+1)6

é

verdadeira.

�

Propriedade 3.1.7 Soma de cubos sucessivos

nXk=1

k3 =n2(n+ 1)2

4(3.6)



15


k3 = 1 =12(1 + 1)2

4:


Suponha que a proposição é verdadeira para algum n 2 N, ou seja,

nXk=1

k3 = 1 + 8 + :::+ n3 =n2(n+ 1)2

4:


Queremos mostrar que a proposição vale para n+ 1, isto é,

nXk=1

k3 = 1 + 8 + :::+ n3 + (n+ 1)3 =(n+ 1)2(n+ 2)2

4:


nXk=1

k3 = 1 + 8 + :::+ n3 + (n+ 1)3 =n2(n+ 1)2

4+ (n+ 1)3:

Logo,

nXk=1

k3 = 1 + 8 + :::+ n3 + (n+ 1)3 =n2(n+ 1)2 + 4(n+ 1)3

4

nXk=1

k3 = 1 + 8 + :::+ n3 + (n+ 1)3 =(n+ 1)2 [n2 + 4(n+ 1)]

4

nXk=1

k3 = 1 + 8 + :::+ n3 + (n+ 1)3 =(n+ 1)2 (n2 + 4n+ 4)

4

nXk=1

k3 = 1 + 8 + :::+ n3 + (n+ 1)3 =(n+ 1)2 (n+ 2)2

4:

Com isso, o princípio da indução nos garante quenPk=1

k3 = n2(n+1)2

4é verdadeira.

�

16

Propriedade 3.1.8 Propriedade telescópica

nXk=1

(bk � bk�1) = bn � b0: (3.7)

Demonstração:

nXk=1

(bk � bk�1) = (b1 � b0) + (b2 � b1) + (b3 � b2) + :::+ (bn � bn�1):

Daí,nXk=1

(bk � bk�1) = bn � b0:

�

3.2 Áreas

Na matemática, conseguimos calcular as áreas de várias �guras planas, como o

quadrado, o retângulo, o triângulo, entre outros. Para isso recorremos à fórmulas já

de�nidas para cada área. Vejamos algumas delas:

Área do quadrado:

Aq = l2, onde l é o lado e Aq é a área do quadrado.

Área do retângulo:

An = b:h, onde b é a base, h é a altura e An é a área do retângulo.

Área do triângulo:

At =b:h

2, onde b é a base, h é a altura e At é a área do triângulo.

No entanto, para calcular outras áreas irregulares, não é tão simples assim. Então,

vamos ver uma forma de calcular a área de uma região S que está sob a curva y = f(x)

de a até b.

17

Figura 1: Grá�co da função y = f(x) no intervalo x = a e x = b:

Fonte: Stewart (2012)

O primeiro passo é preencher a região S com retângulos, aumentando cada vez mais

a quantidade de retângulos. Depois somamos as áreas de todos eles. Por �m, tomamos

o limite, no qual o resultado será a área exata da região S.

Vejamos a de�nição de partição, que pode ser vista no livro de Guidorizzi (2001, p.

299).

De�nição 3.2.1 Uma partição P de um intervalo [a; b] é um conjunto �nito P =

fx0; x1; x2; :::; xng onde a = x0 < x1 < x2 < ::: < xn = b:Uma partição P divide [a; b] em n intervalos [xi�1; xi] ; i = 1; 2; :::; n:

Figura 2: Partição P em [a; b]

Guidorizzi (2001)

A amplitude do intervalo [xi�1; xi] será indicada por �xi = xi � xi�1: Assim:

�x1 = x1 � x0;�x2 = x2 � x1 etc.

Exemplo 3.2.2 Calcule a área A sob a parábola y = x2 entre o intervalo x = 0 e

x = 1.

Inicialmente indicamos uma subdivisão do intervalo [0; 1] em n subintervalos iguais:�0; 1

n

�;�1n; 2n

�;�2n; 3n

�; :::;

�n�1n; nn

�:

18

Figura 3: Grá�co da função y = x2 com retângulos circunscritos.

Fonte: Elaborado pela autora

Assim, acima de cada subintervalo construímos um retângulo circunscrito

correspondente. Portanto, a altura do k-ésimo retângulo é�kn

�2, dada pelo lado direito

do retângulo, e a base é 1n, que é a largura dos subintervalos. Usando a fórmula de

calcular a área de um retângulo, temos:

An = b � h:

Lembrando que b é a base, h é a altura e An é a área do retângulo.

An =1

n

�k

n

�2

An =k2

n3:

Portanto, a área de cada retângulo é An = k2

n3: Assim, concluímos que a região

formada pelos n retângulos é A �nPk=1

k2

n3; onde A representa a área da região.

Note que:

19

nXk=1

k2

n3=

nXk=1

1

n3k2:

Pela Propriedade 3.1.3, tem-se

nXk=1

k2

n3=1

n3

nXk=1

k2:

Utilizando a Propriedade 3.1.6, obtemos:

nXk=1

k2

n3=1

n3

�n(n+ 1)(2n+ 1)

6

�nXk=1

k2

n3=1

n2

�2n2 + 3n+ 1

6

�nXk=1

k2

n3=2n2 + 3n+ 1

6n2

nXk=1

k2

n3=1

3+1

2n+

1

6n2:

Como os retângulos são circunscritos, signi�ca que:

A � 1

3+1

2n+

1

6n2:

Agora, fazendo o mesmo processo com retângulos inscritos.

Novamente indicamos uma subdivisão do intervalo [0; 1] em n subintervalos iguais:�0; 1

n

�;�1n; 2n

�;�2n; 3n

�; :::;

�n�1n; nn

�:

20

Figura 4: Grá�co da função y = x2 com retângulos inscritos.


Em cada subintervalo construimos um retângulo inscrito correspondente. Portanto,

a altura do k-ésimo retângulo é�k�1n

�2, dada pelo lado esquerdo do retângulo, e a base

é 1n, que é a largura de cada subintervalo. Daí usando a fórmula de calcular a área de

um retângulo, temos:

An = b � h:

Lembrando que b é a base, h é a altura e An é a área do retângulo.

An =1

n

�k � 1n

�2

An =1

n

�k2 � 2k + 1

n2

�

An =k2 � 2k + 1

n3:

21

Ou seja, a área de cada retângulo é An = k2�2k+1n3

; assim a região constituída pelos

n retângulos é A �nPk=1

k2�2k+1n3

; onde A representa a área da região.

Além disso,

nXk=1

k2 � 2k + 1n3

=nXk=1

1

n3�k2 � 2k + 1

�:

Pela Propriedade 3.1.3, tem-se

nXk=1

k2 � 2k + 1n3

=1

n3

nXk=1

k2 � 2k + 1:

Pelas Propriedades 3.1.4 e 3.1.3, tem-se

nXk=1

k2 � 2k + 1n3

=1

n3

nXk=1

k2 � 2nXk=1

k +nXk=1

1

!:

Pelas Propriedades 3.1.6, 3.1.5 e 3.1.2, tem-se

nXk=1

k2 � 2k + 1n3

=1

n3

�n(n+ 1)(2n+ 1)

6� 2n(n+ 1)

2+ n

�nXk=1

k2 � 2k + 1n3

=1

n3

�2n3 + 3n2 + n

6� n2 � n+ n

�nXk=1

k2 � 2k + 1n3

=1

n3

�2n3 + 3n2 + n� 6n2

6

�nXk=1

k2 � 2k + 1n3

=2n3 � 3n2 + n

6n3

nXk=1

k2 � 2k + 1n3

=1

3� 1

2n+

1

6n2:

Como os retângulos são inscritos, temos:

A � 1

3� 1

2n+

1

6n2:

Dos resultados obtidos pelos cálculos com retângulos circunscritos e inscritos, temos

a seguinte desigualdade:

22

1

3� 1

2n+

1

6n2� A � 1

3+1

2n+

1

6n2:

Daí podemos concluir que a medida em que aumenta a quantidade de subintervalos,

as quantidades 13� 1

2n+ 1

6n2e 13+ 1

2n+ 1

6n2se aproximam de 1

3. Como A está entre essas

duas quantidades que podem �car próximas de 13o quanto desejarmos, então A deverá

ser igual a 13.

A seguir, apresentamos a de�nição formal de área, que pode ser encontrada em

Stewart (2012, p. 339).

De�nição 3.2.3 A área A da região S que está sob o grá�co de uma função contínuaf é o limite da soma das áreas dos retângulos:

A = limn!1

An = limn!1

[f(x1)�x+ f(x2)�x+ :::+ f(xn)�x] :

Lembrando que An é a área de cada retângulo, com n 2 f1; :::; ng :

23

Capítulo 4

Integral de�nida e alguns resultados

Neste capítulo apresentamos de�nições e resultados sobre a integral de�nida, a partir

da soma de Riemman. Esses resultados são aplicados na resolução de questões de

cálculo.

4.1 Integral de�nida ou de Riemann

A seguinte de�nição foi retirada do livro de Stewart (2012, p. 345).

De�nição 4.1.1 Se f : R ! R é uma função contínua de�nida em R, dividimoso intervalo [a; b] em n subintervalos de comprimentos iguais �x = (b�a)

n. Sejam

x0(= a); x1; x2; :::; xn(= b) as extremidades desses subintervalos, escolhemos os pontos

amostrais x�1; x�2; :::; x

�n nesses subintervalos, ou seja, um ponto qualquer x�i 2 [xi�1; xi].

Então a integral de�nida de f de a até b éZ b

a

f(x)dx = limn!1

nXi=1

f(x�i )�x; (4.1)

desde que este limite exista. Se ele existir, dizemos que f é integrável em [a; b].

Assim, a integral de�nida é determinada exatamente pelo seguinte limite:

Para todo número " > 0 existe um inteiro N > 0 tal que��Z b

a

f(x)dx�nXi=1

f(x�i )�x

�� < "para todo inteiro n > N e toda escolha de x�i em [xi�1; xi] :

24

Na notação de integral de�nidaR baf(x)dx, f(x) é o integrando, a e b são os limites

de integração, onde a é o limite inferior e b é o limite superior, e o dx indica que a

variável independente é x.

A somanPi=1

f(x�i )�x observada na De�nição 4.1.1 é chamada soma de Riemann,

que homenageia o matemático Bernhard Riemann (1826 - 1866). Esse resultado

desenvolvido pelo mesmo, é essencial para a teoria da integral de�nida. A soma de

Riemann, quando f é positiva, é uma soma de áreas de retângulos. Caso f assuma

valores positivos e negativos, então será a soma das áreas que estão acima do eixo x

menos a soma das áreas que estão abaixo do eixo x. Daí quando calculamos o limite

dessa soma de Riemann, obtemos a área líquida, ou seja, a diferença das áreas:Z b

a

f(x)dx = A1 � A2;

onde A1 é a área acima do eixo x e A2 é a área abaixo do eixo x.

4.1.1 Breve história sobre Bernhard Riemann

Figura 5: Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866).

Fonte: Cajori (2007)

De acordo com Florian Cajori (2007, p. 536-537) e Howard Eves (1997, p. 613-

615), Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em 1826, numa aldeia de Hanover,

25

situada na Alemanha. Ele sempre recebeu uma boa educação, seu pai desejava que ele

estudasse teologia, por isso estudou �loso�a e teologia em Göttingen. Mas assistindo

algumas aulas de matemática, se interessou pela ciência e abandonou a teologia.

Riemann foi elogiado por Gauss, que se referiu a ele como "uma mente criativa, ativa

e verdadeiramente matemática, e de uma originalidade gloriosamente fértil". Em 1847,

iniciou os estudos em Berlim, com diversos matemáticos, e em 1850 voltou a Göttingen,

onde estudou física e concluiu seu doutorado no ano seguinte, apresentando a tese

Grundlagen für eine algemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen complexen

Grösse, no campo da teoria das funções complexas. Nessa tese encontra-se as chamadas

equações diferenciais de Cauchy-Riemann e o conceito de superfície de Riemann. Ele

facilitou o entendimento no conceito de integrabilidade pela de�nição da integral de

Riemann, dando sequência, para o conceito mais geral de integral de Lebesgue e, assim,

para generalizações ulteriores da integral.

Em 1854, Riemann tornou-se professor o�cial não-remunerado da Universidade de

Göttingen e apresentou a conferência probatória sobre as hipóteses em que se baseiam os

fundamentos da geometria. Ele também deu contribuições a física em vários segmentos,

por exemplo, no tratamento matemático às ondas de choque. Em 1857, foi indicado

professor assistente de Göttingen e em 1859 sucedeu a Dirichlet como professor titular.

Em 1866, morreu vítima de tuberculose em Selasca, na Itália, onde havia ido três vezes

em busca de melhoras.

4.1.2 Exemplos da integral de�nida

Exemplo 4.1.2 Avalie diretamente a integral de Riemann dada pelo cálculo de

um limite das somas de Riemann. Use partições constituídas de subintervalos de

comprimentos iguais e use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme esteja

indicado.

1.R 20(x3 + 2)dx (retângulos inscritos)

Inicialmente, partiremos o intervalo [0; 2] em n subintervalos iguais de comprimento

�x, onde �x = b�an= 2�0

n= 2

n. Por exemplo, a �gura abaixo mostra a partição para 4

subintervalos, em que cada um mede 24= 1

2:

26

Figura 6: Grá�co da função y = x3 + 2 com retângulos inscritos.


A função f(x) = x3 + 2 é crescente no intervalo [0; 2]. Sejam c1; c2; c3; :::; cn pontos

de extremidade à esquerda dos intervalos correspondentes.

Assim, os n subintervalos são

[0;�x] ; [�x; 2�x] ; [2�x; 3�x] ; :::; [2��x; 2]

com

c1 = 0; c2 = �x; c3 = 2�x; :::; cn = 2��x:

Portanto,

ck = (k � 1)�x = (k � 1)2

n=2 (k � 1)

n:

Então, a soma de Riemann correspondente a região sob a curva no intervalo [0; 2] é

dada por

27

nXk=1

f(ck)�xk =nXk=1

�(ck)

3 + 2��x

nXk=1

f(ck)�xk =

nXk=1

"�2k � 2n

�3+ 2

#2

n

nXk=1

f(ck)�xk =nXk=1

�8k3 � 24k2 + 24k � 8

n3+ 2

�2

n

nXk=1

f(ck)�xk =nXk=1

�8k3 � 24k2 + 24k � 8 + 2n3

n3

�2

n

nXk=1

f(ck)�xk =nXk=1

�16k3 � 48k2 + 48k � 16 + 4n3

n4

�:


nXk=1

f(ck)�xk =1

n4

nXk=1

�16k3 � 48k2 + 48k � 16 + 4n3

�:

Pelas Propriedades 3.1.4 e 3.1.3,

nXk=1

f(ck)�xk =1

n4

16

nXk=1

k3 � 48nXk=1

k2 + 48nXk=1

k �nXk=1

16 + n3nXk=1

4

!:

Pelas Propriedades 3.1.7, 3.1.6, 3.1.5 e 3.1.2,

nXk=1

f(ck)�xk =1

n4

"16n2 (n+ 1)2

4� 48n (n+ 1) (2n+ 1)

6+ 48

n (n+ 1)

2� 16n+ 4n4

#

nXk=1

f(ck)�xk =1

n4�4n2 (n+ 1)2 � 8n(n+ 1)(2n+ 1) + 24n(n+ 1)� 16n+ 4n4

�nXk=1

f(ck)�xk =4(n+ 1)2

n2� 8(n+ 1)(2n+ 1)

n3+24(n+ 1)

n3� 16n3+ 4

nXk=1

f(ck)�xk =4(n2 + 2n+ 1)

n2� 8(2n

2 + 3n+ 1)

n3+24n+ 24

n3� 16n3+ 4

28

nXk=1

f(ck)�xk =4n2 + 8n+ 4

n2+ (�16n2 � 24n� 8

n3) +

24n+ 24

n3� 16n3+ 4

nXk=1

f(ck)�xk = 4 +8

n+4

n2� 16n� 24n2� 8

n3+24

n2+24

n3� 16n3+ 4

nXk=1

f(ck)�xk = 8�8

n+4

n2:

Logo, utilizando a De�nição 4.1.1, obtemos:Z 2

0

�x3 + 2

�dx = lim

n!1

nXk=1

f(ck)�xk = limn!1

�8� 8

n+4

n2

�= 8:

2.R 74(2x� 6) dx (retângulos circunscritos)

Inicialmente, partiremos o intervalo [4; 7] em n subintervalos iguais de comprimento

�x, onde �x = b�an= 7�4

n= 3

n. Por exemplo, a �gura abaixo mostra a partição para 6

subintervalos, em que cada um mede 36= 1

2.

Figura 7: Grá�co da função y = 2x� 6 com retângulos circunscritos.


29

A função f(x) = 2x� 6 é crescente no intervalo [4; 7]. Sejam c1; c2; c3; :::; cn pontos

de extremidade à direita dos intervalos correspondentes.

Assim, os n subintervalos são

[4; 4 + �x] ; [4 + �x; 4 + 2�x] ; [4 + 2�x; 4 + 3�x] ; :::; [7��x; 7]

com

c1 = 4 +�x; c2 = 4 + 2�x; c3 = 4 + 3�x; :::; cn = 7:

Portanto,

ck = 4 + k�x:

Então, a soma de Riemann correspondente a região sob a reta no intervalo [4; 7] é

dada por

nXk=1

f(ck)�xk =nXk=1

(2ck � 6)�x

nXi=1

f(ck)�xk =nXi=1

�2

�4 + k

3

n

�� 6�3

n

nXk=1

f(ck)�xk =nXk=1

�8 +

6k

n� 6�3

n

nXk=1

f(ck)�xk =nXk=1

�2n+ 6k

n

�3

n

nXk=1

f(ck)�xk =

nXk=1

�6n+ 18k

n2

�:


nXk=1

f(ck)�xk =1

n2

nXk=1

(6n+ 18k) :


nXk=1

f(ck)�xk =1

n2

n

nXk=1

6 + 18

nXk=1

k

!:

30


nXk=1

f(ck)�xk =1

n2

�6n2 + 18

n(n+ 1)

2

�nXk=1

f(ck)�xk =1

n2�6n2 + 9n2 + 9n

�nXk=1

f(ck)�xk =1

n2�15n2 + 9n

�nXk=1

f(ck)�xk = 15 +9

n:

Logo, usando a De�nição 4.1.1, temos:Z 7

4

(2x� 6) dx = limn!1

nXk=1

f(ck)�xk = limn!1

�15 +

9

n

�= 15:

Vejamos agora algumas propriedades básicas da integral de�nida e suas respectivas

demonstrações.

4.1.3 Propriedades da integral de�nida

Considere f : [a; b]! R e g : [a; b]! R funções contínuas e integráveis no intervalo[a; b].

Propriedade 4.1.3 Propriedade da homogeneidadeZ b

a

kf(x)dx = k

Z b

a

f(x)dx: (4.2)

Demonstração: Pela Equação 4.1, obtemos:Z b

a

kf(x)dx = limn!1

nXi=1

kf(x�i )�x:

Pelas Propriedades 3.1.3, 2.1.5 e 2.1.8,Z b

a

kf(x)dx = k limn!1

nXi=1

f(x�i )�x:

31

Novamente pela Equação 4.1, temos:Z b

a

kf(x)dx = k

Z b

a

f(x)dx:

�

Propriedade 4.1.4 Propriedade aditiva/subtração

Z b

a

[f(x)� g(x)]dx =Z b

a

f(x)dx�Z b

a

g(x)dx: (4.3)

Demonstração: Pela Equação 4.1, sabemos queZ b

a

[f(x)� g(x)]dx = limn!1

nXi=1

[f(x�i )� g(x�i )]�x:

Assim, pela Propriedade 3.1.4, temos:

Z b

a


"nXi=1

f(x�i )�x�nXi=1

g(x�i )�x

#:

Pela Propriedade 2.1.3,Z b

a


nXi=1

f(x�i )�x� limn!1

nXi=1

g(x�i )�x:

Logo, pela Equação 4.1,Z b

a

[f(x)� g(x)]dx =Z b

a

f(x)dx�Z b

a

g(x)dx:

�

Propriedade 4.1.5 Propriedade da integral de uma função constanteSeja f : [a; b]! R de�nida por f(x) = K; para todo x 2 [a; b] :Z b

a

Kdx = K(b� a), onde K é qualquer constante: (4.4)

Demonstração: Pela Equação 4.1, tem-se

32

Z b

a

Kdx = limn!1

nXi=1

K�x:

Pela Propriedade 3.1.2, tem-seZ b

a

Kdx = limn!1

(n �K ��x) :

Pela De�nição 4.1.1, tem-se que �x = (b�a)n, portanto

Z b

a

Kdx = limn!1

nK(b� a)nZ b

a

Kdx = K(b� a):

�

Propriedade 4.1.6 Se c 2 ]a; b[ e f é integrável em [a; c] e em [c; b] então

Z b

a

f(x)dx =

Z c

a

f(x)dx+

Z b

c

f(x)dx: (4.5)

Demonstração: Para toda partição P de [a; b], com c 2 [xi�1; xi] ;

Figura 8: Partição P de [a; b] , com c 2 [xi�1; xi] :

Fonte: Guidorizzi (2001)

tomamos �xi = xi � xi�1 e ci 2 [xi�1; xi] ; ou seja, ci será um ponto amostral de

cada subintervalo.

Portanto, ��nXi=1

f(ci)�xi ��Z c

a

f(x)dx+

Z b

c

f(x)dx

�� =

33

=

��mXi=1

f(ci)�xi +

nXi=m+1


a

f(x)dx+

Z b

c

f(x)dx

�� mXi=1

f(ci)�xi �Z c

a

f(x)dx

��+��

nXi=m+1

f(ci)�xi �Z b

c

f(x)dx

�� :Como, por hipótese, f é integrável em [a; c] e em [c; b], ou seja, o limite existe em

[a; c] e em [c; b] : Então dado " > 0; existe � > 0 tal que, para toda partição P de [a; b] ;

com c 2 [xi�1; xi] e máx �xi < �; onde máx é o maior valor que �xi pode assumir.

��mXi=1

f(ci)�xi �Z c

a

f(x)dx

�� < "

2e

��nX

i=m+1

f(ci)�xi �Z b

c

f(x)dx

�� < "

2:

E portanto, ��nXi=1


a

f(x)dx+

Z b

c

f(x)dx

�� < ":Assim,

limn!1

mXi=1

f(ci)�xi =

Z c

a

f(x)dx+

Z b

c

f(x)dx:

Pela De�nição 4.1.1,Z b

a

f(x)dx =

Z c

a

f(x)dx+

Z b

c

f(x)dx:

Essa demonstração pode ser vista no livro de Guidorizzi (2001, p. 304-305). �

Propriedades comparativas da integral de�nida

Propriedade 4.1.7 Propriedade da positividade

Se f(x) � 0 para a � x � b, entãoZ b

a

f(x)dx � 0: (4.6)

Demonstração: Como f(x) � 0 para a � x � b, então podemos a�rmar que dadoa � x�i � b temos f(x�i ) � 0:Além disso, b� a � 0, daí, �x = b�a

n� 0:

Assim, f(x�i ) ��x � 0:

34

Logo, limn!1

nPi=1

f(x�i )�x � 0, caso exista, e portanto,

Z b

a

f(x)dx = limn!1

nXi=1

f(x�i )�x � 0:

�

Propriedade 4.1.8 Propriedade da comparação

Se f(x) � g(x) para a � x � b, entãoZ b

a

f(x)dx �Z b

a

g(x)dx: (4.7)

Demonstração: Como f(x) � g(x); para a � x � b; então f(x) � g(x) � 0; para

a � x � b: Assim, a Propriedade 4.1.7 garante que para a � x � b temos:Z b

a

[f(x)� g(x)] dx � 0:

Utilizando a Propriedade 4.1.4, obtemos:Z b

a

f(x)dx�Z b

a

g(x)dx � 0;

ou seja, Z b

a

f(x)dx �Z b

a

g(x)dx:

�

Propriedade 4.1.9 Desigualdade máx-mín, onde máx é o maior valor e mín é o menorvalor

Se m � f(x) �M , onde m; M 2 R; para a � x � b, então m(b�a) �Z b

a

f(x)dx �M(b�a):(4.8)

Demonstração: Como

m � f(x) �M

então a Propriedade 4.1.8 garante queZ b

a

mdx �Z b

a

f(x)dx �Z b

a

Mdx:

35

Pela Propriedade 4.1.5, temos:

m(b� a) �Z b

a

f(x)dx �M(b� a):

�Além das propriedades vistas anteriormente, apresentamos as de�nições a seguir que

são bastante utilizadas nos cálculos das integrais e podem ser visualizadas no livro de

Munem (2011, p. 318).

De�nição 4.1.10 A integral de�nidaR baf(x)dx para a � b

(i) Se f é uma função qualquer e a é um número no domínio de f , de�niremosR aaf(x)dx = 0:

(ii) Se a > b e f é Riemann-integrável em [b; a] ; então de�nimosR baf(x)dx =

�R abf(x)dx:

36

Considerações �nais

Ao longo desse trabalho podemos observar a grande importância da integral de�nida

no cálculo de áreas irregulares e a contribuição de Riemman nesse estudo. Vimos

também que o estudo da integral de�nida, nesse caso, precisa do limite e do somatório

para ser explorada e analisada. Portanto, esse trabalho mostra ao leitor como calcular

áreas através da soma de Riemman, usando os retângulos como base de todo o

procedimento.

Apresentamos de�nições e resultados de limite e funções contínuas que são

necessários para o entendimento do tema. Como também abordamos áreas, ilustrando

alguns exemplos. E por �m, apontamos alguns resultados básicos sobre a integral

de�nida. Esse tema é bastante amplo, a quem interessar dar continuidade, sugerimos

livros de análise real para aprofundar o conhecimento. Como também pode ser abordado

no ensino médio, utilizando o software GeoGebra, conforme mostra ALMEIDA (2014).

Espera-se que o trabalho possa esclarecer o assunto aos leitores, e proporcione a

curiosidade para calcular integrais mais complexas, que não foram realizadas nessa

obra, utilizando o método das somas de Riemann.

37

Referências Bibliográ�cas

[1] ALMEIDA, F. W. C. Integral De�nida: uma abordagem para o ensino médio com

o auxílio do software GeoGebra. 2014. 41 f. Dissertação (Mestrado) - Universidade

Federal do Ceará, Juazeiro do Norte. 2014.

[2] CAJORI, Florian. Uma História da Matemática. Rio de Janeiro: Editora Ciência

Moderna Ltda., 2007;

[3] EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 2 ed. Campinas, SP: Editora

da UNICAMP, 1997;

[4] GUIDORIZZI, Hamilton L., Um curso de cálculo. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001;

[5] LIMA, Elon L., Análise real volume 1. Funções de uma variável. 10 ed. Rio de

Janeiro: IMPA, 2010;

[6] MILIES, Francisco C. P., COELHO, Sônia P., Números: Uma Introdução à

Matemática. 3 ed. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2003;

[7] MUNEM, Mustafa A., Cálculo. EDIÇÃO. Rio de Janeiro: LTC, 2011;

[8] STEWART, James. Cálculo. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012;

[9] THOMAS, George B., Cálculo. 12 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil,

2012.

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