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Grupo de Ensino e Pesquisa em Educação Matemática

Notas de Aula No03

.5

Christian Q. Pinedo

5

ii Integração e Funções de Várias Variáveis

A meus pais

Christian (em memória) e.

Noemi.

iii

iv Integração e Funções de Várias Variáveis

Título do original

Integração e Funções de Várias Variáveis

Dezembro de 2009

Direitos exclusivos para língua portuguesa:

UFT - CAMPUS DE PALMAS

Coordenação de Engenharia Civil/Elétrica

512.8

Pinedo. Christian Quintana, 1954 -

Integração e Funções de Várias Variáveis / Christian José Quintana

Pinedo : Universidade Federal do Tocantins. Campus de Palmas, Curso de

Engenharia Civil/Elétrica, 2009.

250 p. il. 297mm

I. Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis. Christian Q. Pinedo. II.

Série. III. Título

CDD 512.8 ed. CDU

SUMÁRIO

PREFÁCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

1 ANTIDERIVADAS 1

1.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Integral Indefinida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Propriedades da Integral Indefinida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Integral Imediata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3 Fórmulas Elementares de Integração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Exercícios 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Métodos de Integração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1 Integração por Substituição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Exercícios 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.2 Método de Integração por Partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Exercícios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3.3 Integração de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas. . . . . . . . . . . . 35

1.3.4 Integração por Substituição Trigonométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Exercícios 1-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.3.5 Integração de Funções Racionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Exercícios 1-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.3.6 Integração de Funções Racionais Trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . 65

1.3.7 Integração de Funções Irracionais Elementares. . . . . . . . . . . . . . . . 67

Exercícios 1-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.3.8 Outros Métodos de Integração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Exercícios 1-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Miscelânea 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2 Integral Definida 89

2.1 Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Exercícios 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.2 Cálculo de Área de uma Região Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.2.1 Partição de um Intervalo Fechado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.2.2 Aproximação da Área de uma Região por Áreas de Retângulo. . . . . . . 97

Exercícios 2-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

v

vi Integração e Funções de Várias Variáveis

2.3 Significado Geométrico das Somas: Inferior e Superior. . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.3.1 Propriedades das Somas: Inferior e Superior. . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.4 Integrais: Inferior e Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.4.1 Propriedades da Integral: Inferior e Superior. . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.5 Integral de de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.5.1 Propriedades da Integral Definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.5.2 Teorema do Valor Médio para Integrais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2.5.3 Teorema Fundamental do Cálculo Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Exercícios 2-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2.6 Mudança de Variável em uma Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2.7 Integração por Partes em uma Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

2.8 Integração de Funções Descontínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Exercícios 2-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

2.9 Integrais Impróprias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2.9.1 Integrais Impróprias com Limites Infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2.9.2 Integrais Impróprias com Limites Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

2.10 Critérios de Convergência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Exercícios 2-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Miscelânea 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 155

3.1 Aplicações Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.1.1 Área de Regiões Planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.1.2 Comprimento de Arco de uma Curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Exercícios 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

3.1.3 Área de Superfície de Revolução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Exercícios 3-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

3.1.4 Volume de um Corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Exercícios 3-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

3.2 Aplicações à Mecânica e Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

3.2.1 Momentos e Centro de Massa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Exercícios 3-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

3.2.2 Outras Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

3.2.3 Problemas da Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Exercícios 3-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Miscelânea 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 215

4.1 O Espaço Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

4.1.1 Vetores no espaço tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

4.2 O Espaço n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

4.3 Superfícies quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

- Christian José Quintana Pinedo vii

4.3.1 Elipsóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

4.3.2 Parabolóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

4.3.3 Hiperbolóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

4.3.4 O Cone Elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

4.3.5 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

4.4 Superfícies de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

4.5 Pares de Planos e Superfícies Imaginárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Exercícios 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

4.6 Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

4.6.1 Gráfico de Funções de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

4.6.2 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

4.6.3 Conjuntos de nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

4.7 Conjunto aberto. Conjunto fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

4.7.1 Ponto de acumulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Exercícios 4-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

4.8 Limite de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

4.8.1 Propriedades dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

4.8.2 Limites reiterados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

4.9 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

4.9.1 Teorema de continuidade da função composta . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Exercícios 4-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

5 DERIVADAS 253

5.1 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

5.1.1 Incremento da função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

5.1.2 A técnica de derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

5.2 Funções Homogêneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

5.2.1 Propriedades das Funções Homogêneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

5.3 Matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Exercícios 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5.4 Interpretação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

5.4.1 Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

5.5 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Exercícios 5-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

5.6 Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

5.7 Diferenciabilidade, linearização e plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

5.8 Diferencial total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

5.9 Diferenciabilidade e continuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Exercícios 5-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

5.10 Diferencial exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

5.11 Derivada de funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

5.12 Derivada de uma função implícita de 2 ou mais variáveis . . . . . . . . . . . . . . 292

viii Integração e Funções de Várias Variáveis

Exercícios 5-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

5.13 Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

5.13.1 Propriedades da derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

5.14 Gradiente de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

5.14.1 O Gradiente como vetor de incremento rápido . . . . . . . . . . . . . . . . 299

5.15 Plano tangente e reta normal a uma superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

Exercícios 5-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Miscelânea 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

6 Aplicações das derivadas parciais 309

6.1 Máximos e Mínimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

6.1.1 Máximos e mínimos sobre conjunto compacto. . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Exercícios 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

6.2 Multiplicadores de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

6.2.1 Para funções de duas variáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

6.2.2 Para funções de várias variáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Exercícios 6-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

Miscelânea 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

PREFÁCIO

Estas notas de aula de Integração e Funções de Várias Variáveis é a continuação e abordagem

de conceitos e teorias novas, tais como “Integração em R” e o “Cálculo diferencial com funções

de várias variáveis” com aplicações aos diferentes ramos das ciências exatas úteis no estudo das

equações diferenciais.

Esta obra é continuação do estudo do “Cálculo Diferencial em R” disciplina básica para cursos

de Engenharia, Matemática, Física, Quimica entre outros, este volume representa o esforço de

sínteses na seleção de um conjunto de problemas e temas que, com freqüência se apresenta quando

um estudante continúa com o estudo do cálculo diferencial. Estas notas de aula estão divididas

em seis capítulos.

No primeiro capítulo, apresenta-se os métodos para o cálculo de integrais, faz-se uma abor-

dagem prática com grande variedade de exemplos e técnicas para a solução das mesmas.

No segundo capítulo, apresenta-se os conceitos de integral definida, ao estilo dos conceitos

de “Integral de Riemann”; inicia-se os estudos com os conceito de somatório como interpretação

geométrica da integral.

O terceiro capítulo, está reservado para múltiplas aplicações em diferentes ramos do conhec-

imento científico.

No quarto capítulo se apresenta o estudo das funções de várias variáveis, incluindo uma

pincelada ao estudo das quádricas, este capítulo termina com o estudo dos limites e derivadas de

funções. O penúltimo capítulo estuda as derivadas e diferencias com funções de várias variáveis.

O último capítulo está destinado à aplicação do cálculo diferencial, na procura de pontos de

extremo para funções de várias variáveis.

ix

x Integração e Funções de Várias Variáveis

O objetivo deste trabalho é orientar a metodologia para que o leitor possa identificar e

construir um modelo matemático e logo resolvê-lo. A esta obra acompanha “Suplementos II”

(em edição) aqui se apresenta a solução integral de todos os exercícios propostos nesta obra.

Cada capítulo se inicia com os objetivos que se pretende alcançar; os exercícios apresentados

em quantidade suficiente, estão classificados de menor a maior dificuldade.

A variedade dos problemas e exercícios propostos pretende transmitir minha experiência

profissional como Consultor em Matemáticas Puras e Aplicadas, assim como Professor de ensino

Superior, com atuação na graduação e pós-graduação da docência universitária.

Fico profundamente grato pela acolhida desde trabalho e pelas contribuições e sugestões dos

leitores.

Christian Quintana Pinedo.

Palmas - TO, julho de 2010

“A Matemática é a honra do espírito humano”

Leibniz

Capítulo 1

ANTIDERIVADAS

Riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em Breselenz,Hanover (Alemanha) em 17 de setembro de 1826 e morreu em Selasca(Itália) em 20 de Julho de 1866.

Riemann, foi educado pelo seu pai até os 10 anos, depois por umprofessor de uma escola local chamado de Schulz.

Em 1840 entrou diretamente na terceira classe ao Lyceum em Han-nover. Trabalhou duro nos assuntos clássicos como o hebreu e teologia.Riemann mostrou interesse particular pela matemática e o diretor doGinásio permitiu Bernhard estudar textos de matemática em sua bib-lioteca particular.

Em 1846 Riemann se matriculou na Universidade de Göttingenpara estudar teologia. Porém assistiu a algumas aulas de matemática.

Riemann mudou-se de Göttingen para Universidade de Berlim pelaprimavera de 1847 para estudar trabalhos de Steiner, Jacobi, Dirichlet e Eisnstein. Esta época era im-portante para Riemann, ele estudou muito e discutiu usando variáveis complexas em teoria de funçõeselípticas. Neste período Riemann recebeu forte influencia de Dirichlet.

Em 1849 defendeu em Göttingen sua tese de doutorado supervisionada por Gauss. Nesta tese estudoua teoria de variáveis complexas e, em particular, o que agora chamamos superfícies de Riemann. Intro-duziu métodos de topologia em teoria de função complexa. O trabalho constrói nas bases de Cauchy ateoria de variáveis complexas construídas durante muitos anos e também nas idéias de Puiseux de pontosfixos. A tese de Riemann é notavelmente um trabalho original que examinou propriedades geométricasdas funções analíticas, além disso é um dos trabalhos mais notáveis e originais a aparecer em uma tesedoutoral. Foi examinado em 16 de dezembro de 1851.

Recomendado por de Gauss, Riemann foi designado a um posto em Göttingen. Nomeado professornesta Universidade em 1854 apresentou um trabalho perante o corpo docente e que resultou na mais célebreconferência da história da Matemática. Nele estava uma ampla e profunda visão da Geometria e seusfundamentos que até então permanecia desconhecidos.

Riemann conseguiu muitos teoremas em Teoria dos Números, relacionando-os com Análise, ondeencontramos também a equação de Cauchy-Riemann que é uma concepção intuitiva e geométrica daAnálise, em contraste com a aritmetização de Weierstrass. Um de seus brilhantes resultados foi perceberque a integral exigia uma definição mais cuidadosa do que a de Cauchy e, baseado em seus conceitosgeométricos, concluiu que as funções limitadas são sempre integráveis.

Em 1859, Riemann foi nomeado sucessor de Dirichlet na cadeira de Gottingen já ocupada por Euler.Com seu estado de saúde sempre precário, acabou por morrer de tuberculose.

1

2 Integração e Funções de Várias Variáveis

1.1 Introdução.

Todo cálculo de uma derivada proporciona, devido ao segundo teorema fundamental do cál-

culo infinitesimal [10], uma fórmula para integrais. Por exemplo, se f(x) = x(Lnx − 1), então

f ′(x) = Lnx.

O conceito intuitivo de integrar corresponde a os seguintes significados:

• Dada uma função y = f(x) definida num intervalo A, determinar uma função F (x) de

modo que a derivada de F (x) seja a função f(x); isto é F ′(x) = f(x) ∀ x ∈ A.

• Dada uma função y = f(x) definida num intervalo A, calcular o limite das somas de

determinado tipo, construídas para f(x) no intervalo A.

A operação em qualquer dos casos chama-se integração. No sentido matemático o segundo

caso é amplamente ilustrado para o cálculo de áreas limitadas por curvas, volume do sólidos,

comprimento de curva, trabalho de uma força e outras múltiplas aplicações. Os dois tipos de

integração são chamadas de integral indefinida e integral definida respectivamente.

1.2 Integral Indefinida.

Definição 1.1. Funções elementares.

Chamem-se funções elementares as três funções seguintes:

(1) y = x (2) y = ax, a > 0 (3) y = sen x

Elas se dizem elementares porque grande número de funções podem se expressar como suas

combinações, mediante as operações elementares da aritmética ou da inversão (função inversa!).

Exemplo 1.1.

1. A função y = xm provém de (1), pois pode considerar-se como o produto de funções do tipo

(1). Um polinômio inteiro em x é uma combinação linear de funções do tipo (1).

2. A função y = cosx provém de (1) e (3), pois temos que cosx = sen (π

2− x), e o coseno será

o seno de certo polinômio em x

3. Por inversão, (2) e (3) dão ainda as funções da qual provém novas funções como:

y = loga x, y = arctanx, y = arcsenx√

1 + x2, etc.

Definição 1.2.

Seja A um intervalo real, e f : A −→ R uma função. A função F : A −→ R tal que

F ′(x) = f(x) ∀ x ∈ A é chamada “Primitiva” ou “Antiderivada de f(x) em A” e escreve-se

F (x) = Ant(f(x)) em A.

Exemplo 1.2.

- Christian José Quintana Pinedo 3

Se f(x) = 7x6 + 8 , então a função F (x) = x7 + 8x é uma antiderivada de f(x); isto é

F (x) = Ant(7x6 + 8). Observe que outras antiderivadas para f(x) são: x7 + 8x+ 3; x7 + 8x−6; x7 + 8x− 8, . . . etc.

Observação 1.1.

• Se F (x) = Ant(f(x)) num intervalo A, então F (x) + C, onde C é uma constante real

é também antiderivada de f(x) em A. Logo a função f(x) tem um conjunto infinito de

primitivas [4]. Logicamente, uma função contínua f(x) sempre tem uma primitiva.

• Em geral, não existe um método para o cálculo de primitivas das funções elementares ou

das combinações destas. É incluso fácil formar funções cujas primitivas não sejam expressas

mediante funções elementares.

• Em geral não é possível achar primitivas elementares; por exemplo, não existe alguma

função elementar F (x) de modo que F ′(x) = e−x2para todo x.

A preocupação por funções elementares está justificado pelo seguinte:

a) A integração é um tema clássico do cálculo infinitesimal.

b) Pode acontecer que seja necessário calcular uma integral, em condições em que não seja

possível consultar tabelas de integração.

c) Os métodos mais úteis de integração são na verdade teoremas importantes (aplicáveis a todas

as funções, não somente as elementares).

Propriedade 1.1.

Seja A um intervalo da reta real R, considere f : A −→ R uma função e a função F : A −→ R

uma antiderivada de f(x). Se F1 : A −→ R é também uma antiderivada de f(x), então F1(x) =

F (x) + C para alguma constante C

Demonstração.

Seja H(x) = F1(x) − F (x); derivando esta função tem-se: H ′(x) = F ′1(x) − F ′(x) = f(x) −

f(x) = 0; então H ′(x) = 0 logo H(x) = C.

Portanto F1(x) = F (x) + C.

Definição 1.3.

Se F (x) é antiderivada de f(x) no intervalo A, a integral indefinida de f(x) é o conjunto

das antiderivadas de f(x) no intervalo A, e é denotado por∫

f(x)dx ; isto é:∫

f(x)dx =

F (x)+C onde C é uma constante que assume qualquer valor, o número C é chamado constante

de integração.

No que segue, escreveremos∫

f(x)dx = F (x) + C, onde F ′(x) = f(x), a expressão f(x)

chama-se “integrando”, f(x)dx é chamado “elemento de integração” , o símbolo

a∫

b

denomina-se


”símbolo de integração no intervalo [a, b]”; a notação

a∫

b

f(x)dx é chamada “integral definida no

intervalo [a, b]”. A expressão∫

f(x)dx lê-se “integral indefinida de f(x) diferencial da variável

x".

Propriedade 1.2.

Da Definição (1.3) deduz-se as seguintes propriedades:

a)d

dx(

∫

f(x)dx) = (

∫

f(x)dx)′ = (F (x) + C)′ = F ′(x) = f(x). Isto é, a derivada da integral

indefinida é igual ao integrando ou:d

dx(

∫

f(x)dx) = f(x).

b) d(

∫

f(x)dx) =d

dx(

∫

f(x)dx)dx = f(x)dx. Isto é, o diferencial da integral indefinida, é

igual ao elemento de integração ou: d(∫

f(x)dx) = f(x)dx

c) Se f(x) é uma função derivável no intervalo A, então uma primitiva de f ′(x) é f(x) e:∫

f ′(x)dx = f(x) + C.

d) Sendo d(f(x)) = f ′(x)dx, do item c) deduz-se que:∫

d(f(x))dx = f(x) + C

e)∫

a.f(x)dx = a

∫

f(x)dx onde a é uma constante.

f) Se∫

f(x)dx = F (x) + C e u = g(x), então∫

f(u)du = F (u) + C.

De b) e d), a integral indefinida pode ser interpretada como uma operação inversa da difer-

enciação.

Exemplo 1.3.

i)

∫

e5xdx =1

5e5x + C ii)

∫

6x5dx = x6 + C

Exemplo 1.4.

Como d(x.Lnx−x) = Lnx.dx, então da Propriedade (1.2) d) temos que∫

d(x.Lnx−x)dx =∫

Lnx.dx = x.Lnx− x+ C.

Exemplo 1.5.∫

dx

9 + x2=

1

3arctan(

x

3) + C , lembre que

d

dx(arctan t) =

1

1 + t2

1.2.1 Propriedades da Integral Indefinida.

Propriedade 1.3.

Se f(x) e g(x) são funções que admitem antiderivadas no intervalo A, e k é uma constante

real arbitrária, então:


i)∫

[f(x) ± g(x)]dx =

∫

f(x)dx±∫

g(x)dx

ii)∫

k.f(x)dx = k.

∫

f(x)dx

Demonstração. (i)

Pela Propriedade (1.2) b) temos que:

d

dx(

∫

[f(x) ± g(x)]dx) = f(x) ± g(x) (1.1)

Por outro lado, pela Propriedade (1.2) b) comod

dx(

∫

f(x)dx) = f(x) ed

dx(

∫

g(x)dx = g(x),

somando (ou subtraindo) estas igualdades temos qued

dx(

∫

f(x)dx) ± d

dx(

∫

g(x)dx = f(x) ±g(x).

Portanto, desta última igualdade e, de (1.1) segue que:∫

[f(x) ± g(x)]dx =

∫

f(x)dx ±∫

g(x)dx

Demonstração. (ii)

Exercício para o leitor.

Exemplo 1.6.

Observe,∫

[e5x − 6x5 + Lnx]dx =

∫

e5xdx−∫

6x5dx+

∫

Lnx.dx =

=1

5e5x − x6 + x.Lnx− x+ C.

Logo, I =

∫

[e5x − 6x5 + Lnx]dx =1

5e5x − x6 + x.Lnx− x+ C.

1.2.2 Integral Imediata.

Se conhecemos f ′(x), pela Propriedade (1.2) c) deduz-se que∫

f ′(x)dx = f(x) + C ou∫

d(f(x))dx = f(x) + C.

Estas integrais assim obtidas denominam-se “Integral Imediata”; por exemplo∫

dx = x+C.

A continuação apresenta-se uma tabela de integrais imediatas, que contém além das integrais

de funções elementares outras que serão de muita utilidade. Por comodidade, utilizamos ao invés

da variável x a letra u que pode ser uma função da forma u = f(x).

1.2.3 Fórmulas Elementares de Integração.

Considere-se o número real a > 0, e n ∈ Z


1.∫

du = u+ C 2.∫

du

u= Ln | u | +C

3.∫

undu =un+1

n+ 1+ C n 6= 1 4.

∫

eudu = eu + C

5.∫

audu =au

Lna+ C 6.

∫

sen u.du = − cosu+ C

7.∫

cosu.du = sen u+ C 8.∫

cotu.du = Ln | sen u | +C

9.∫

tanu.du = Ln | secu | +C 10.∫

secudu = Ln | secu+ tanu | +C

11.∫

cscu.du = Ln | cscu− cotu | +C 12.∫

sec2 u.du = tanu+ C

13.∫

csc2 u.du = − cotu+ C 14.∫

secu tanu.du = secu+ C

15.∫

cscu cotu = − cscu+ C 16.∫

senhu.du = coshu+ C

17.∫

coshu.du = senhu+ C 18.∫

tanhu.du = Ln | coshu | +C

19.∫

sech2u.du = tanhu+ C 20.∫

cosh2 u.du = − cothu+ C

21.∫

sechu tanhu.du = −sechu+ C 22.∫

cschu cothu.du = −cschu+ C

23.∫

du

u2 + a2=

1

aarctan(

u

a) + C 24.

∫

du

u2 − a2=

1

2aLn | u− a

u+ a| +C

25.∫

du

a2 − u2=

1

2aLn

∣

∣

∣

∣

u+ a

u− a

∣

∣

∣

∣

+ C 26.∫

du√a2 − u2

= arcsen(u

a) + C

27.∫

du√u2 ± a2

= Ln(u+√

u2 ± a2) + C 28.∫

du

(u2 + a2)3/2=

u

a2√u2 + a2

+ C

29.∫

du

u2√u2 + a2

= −√u2 + a2

a2u30.

∫

du

u√u2 − a2

= (1

a)arcsec

| u |a

+ C

31.∫

sen 2u.du =1

2[u− 1

2sen 2u] + C 32.

∫

du

uLnu= Ln(Lnu) + C

33.∫

tan2 u.du = tanu− u+ C 34.∫

cot2 u.du = − cotu− u+ C

35.∫

sen 3u.du =1

3(2 + sen 2u) cosu+ C

36.∫

unsen u.du = −un cosu+ n

∫

un−1 cosu.du

37.∫

tan3 u.du =1

2tan2 u+ Ln | cosu | +C

38.∫

cot3 u.du =1

2cot2 u− Ln | sen u | +C

39.∫

tann u.du =1

n− 1tann−1 u−

∫

tann−2 udu

40.∫

unLnu.du =un+1

(n+ 1)2[(n+ 1)Lnu− 1] + C

41.∫

uneaudu =1

auneau − n

a

∫

un−1eaudu

42.∫

eausen bu.du =eau

a2 + b2(asen bu− b. cos bu) + C

43.∫

du

u√u2 + a2

= −1

aLn

[√u2 + a2 + a

u

]

+ C =1

aLn

[

u√u2 + a2 − a

]

+ C

44.∫

√

a2 − u2 · du =1

2[u

√

a2 − u2 + a2arcsen(u

a)] + C


45.∫

√

u2 + a2 · du =1

2[u

√

u2 + a2 + a2Ln(u+√

u2 + a2)] + C

46.∫

√

u2 − a2 · du =1

2[u

√

u2 − a2 − a2Ln(u+√

u2 + a2)] + C

47.∫

u2√

u2 + a2 · du =1

8[u(a2 + 2u2)

√

u2 + a2 − a2Ln(u+√

u2 + a2)] + C

48.∫

u√a+ bu · du =

2

15b2[(3bu− 2a)

√

(a+ bu)3] + C

49.∫

u√a+ bu

· du =2

3b2(bu− 2a)

√a+ bu+ C

50.∫

√a+ bu

u· du = 2

√a+ bu+ a

∫

du

u√a+ bu

+ C

51.∫

sen nu · du = − 1

nsen n−1 cosu+

n− 1

n

∫

senn−2u.du

52.∫

cosn u · du =1

ncosn−1 usen u+

n− 1

n

∫

cosn−2 u.du

53.∫

secn u.du =1

n− 1tanu secn−2 u+

n− 2

n− 1

∫

secn−2 u.du

54.∫

cscn u.du =−1

n− 1cotu cscn−2 u+

n− 2

n− 1

∫

cscn−2 u.du

55.∫

sen (au)sen (bu) · du =sen (a− b)u

2(a− b)− sen (a+ b)u

2(a+ b)+ C

56.∫

cos(au) cos(bu) · du =sen (a+ b)u

2(a+ b)− sen (a− b)u

2(a− b)+ C

57.∫

sen (au) cos(bu) · du = −cos(a− b)u

2(a− b)− cos(a+ b)u

2(a+ b)+ C

Cada uma das fórmulas podem-se verificar mediante a derivação respeito da variável u. Por

exemplo observe, no caso da fórmula (25), temos quando a > 0:

d

dx(

1

2aLn | u+ a

u− a|) =

1

2a[d

du(Ln | u+ a | − | u− a |)] =

1

2a[

1

u+ a− 1

u− a] =

1

u2 − a2.

Portanto,∫

du

a2 − u2=

1

2aLn | u+ a

u− a| +C.

Exemplo 1.7.

Calcule I =

∫

(8x7 − 3x2 + 5)dx

Solução.

Aplicando a fórmula (3).

I =

∫

(8x7 − 3x2 + 5)dx =

∫

8x7dx−∫

3x2dx+

∫

5dx = x8 − x3 + 5x+ C

Exemplo 1.8.

Calcule I =

∫

2(√x+

√x3)

xdx

Solução.


Aplicando a fórmula (3), temos: I =

∫

2(√x+

√x3)

xdx =

I = 2

∫

(x−1/2 + x−2/3)dx = 2

∫

x−1/2dx+ 2

∫

x−2/3dx = 4√x+ 6 3

√x+ C

Exemplo 1.9.

Calcule I =

∫

x2

(a+ bx3)2dx

Solução.

Observe que I =

∫

x2

(a+ bx3)2dx =

∫

(a + bx3)−2x2dx, multiplicando e dividindo por 3b,

tem-se I =1

3b

∫

(a+ bx3)−2(3bx2)dx.

Considere u = (a+ bx3) então o diferencial du = 3bx2dx; aplicando a fórmula (3) segue que

I =1

3b

∫

(a+ bx3)−2(3bx2)dx =1

3b

∫

u−2du = − 1

3bu−1 = − 1

3b(a+ bx3)−1 + C.

Portanto, I =

∫

x2

(a+ bx3)2dx = − 1

3b(a+ bx3)−1 + C.

Exemplo 1.10.

Calcule I =

∫

dx

senh2x. cosh2 xSolução.

Pela identidade conhecida para funções hiperbólicas cosh2 x− senh2x = 1, então:

1

senh2x. cosh2 x=

cosh2 x− senh2x

senh2x. cosh2 x= csch2x− sech2x

pelas fórmulas (19) e (20) resulta I =∫

dx

senh2x. cosh2 x=

∫

(csch2x− sech2x)dx = − cothx−tanhx+ C.

Portanto, I =

∫

dx

senh2x. cosh2 x= − cothx− tanhx+ C.

Exemplo 1.11.

Calcule I =

∫

(3 + 2ex)2

exdx

Solução.

Resolvendo o quadrado: I =

∫

(3 + 2ex)2

exdx =

∫

9 + 12ex + 4e2x

exdx =

I = 9

∫

e−xdx+ 12

∫

dx+ 4

∫

exdx = −9e−x + 12x+ 4ex + C

Exemplo 1.12.

Calcule I =

∫

ax(b

2)xdx.

Solução.

I =

∫

ax(b

2)xdx =

∫

(ab

2)xdx =

(ab2 )x

Ln(ab2 )

= (ab

2)x[Ln(a) + Ln(b) − Ln2]−1 + C


Portanto, I =

∫

ax(b

2)xdx = (

ab

2)x[Ln(a) + Ln(b) − Ln2]−1 + C.

Exemplo 1.13.

Calcule I =

∫

Lnx

xdx

Solução.

Suponhamos que u(x) = Lnx, então du(x) =1

x· dx; assim podemos obter a integral original

I =

∫

Lnx

xdx =

∫

u.du =1

2(Lnx)2 + C

Exemplo 1.14.

Calcule I =

∫

dx

1 + e2x.

Solução.

I =

∫

dx

1 + e2x=

∫

e−2xdx

e−2x(1 + e2x)=

∫

e−xdx

e−2x + 1

Suponha u(x) = e−2x + 1, então o diferencial du = −2e−2xdx; logo nossa integral.

I =

∫

e−xdx

e−2x + 1= −1

2

∫

du

u= −1

2Ln(u(x)) + C = −1

2Ln(e−2x + 1) + C

Exemplo 1.15.

Calcule I =

∫√

cosx

sen5xdx

Solução.

I =

∫√

cosx

sen5xdx =

∫

√

cosx

senx· 1

sen4xdx =

∫ √cotx · csc4xdx =

∫ √cotx · csc2x · dx

Supondo v(x) = cotx temos que, dv = −csc2x.dx.

Logo, I =

∫√

cosx

sen5xdx = −

∫ √v · dv = −2

3

√v3 + C = −2

3

√cot3 x+ C.

Exemplo 1.16.

Calcule I =

∫

2x− 1

2x+ 3dx

Solução.

A integral I =

∫

2x− 1

2x+ 3dx =

∫

[1 − 4

2x+ 3]dx =

∫

dx− 2

∫

dx

x+ 32

=

I = x− 2Ln(2x+ 3) − 2Ln(2) = x− 2Ln(2x+ 3) + C

Exemplo 1.17.

Determine o valor da integral I =

∫

2x32x53xdx

Solução.

I =

∫

2x32x53xdx =

∫

(2 · 32 · 53)x · dx =

∫

2250x · dx =2250x

Ln2250+ C


Portanto, I =

∫

2x32x53xdx =2250x

Ln2250+ C.

Exemplo 1.18.

Calcule I =

∫

x+ 2√xdx

Solução.

I =

∫

x+ 2√xdx =

∫

x√xdx+ 2

∫

dx√x

=

∫ √xdx+ 2

∫

x−1/2dx =x3/2

3/2+ 2

x1/2

1/2=

2

3

√x3 +

4√x+ C.

Portanto, I =

∫

x+ 2√xdx =

2

3

√x3 + 4

√x+ C.

Exemplo 1.19.

Calcule I =

∫

sen (3x− 1) cos(2x+ 2)dx

Solução.

Lembre que, sen (A). cos(B) =1

2[sen (A+B) + sen (A−B)]. Sejam A = 3x− 1, B = 2x+ 2;

então, A+B = 5x+ 1 e A−B = x− 3, logo I =

∫

sen (3x− 1) cos(2x+ 2)dx =1

2

∫

[sen (5x+

1) + sen (x− 3)]dx =1

2

∫

sen (5x+ 1)dx+1

2

∫

sen (x− 3)dx.

Suponhamos que u = 5x + 1, então du = 5dx ou1

5du = dx, de modo análogo, suponhamos

que v = x− 3 , então dv = dx assim:

I =1

2

∫

sen (5x+1)dx+1

2

∫

sen (x− 3)dx =1

10

∫

sen u ·du+1

2

∫

sen v ·dv = − 1

10cosu−

1

2cos v = − 1

10cos(5x+ 1) − 1

2cos(x− 3) + C.

Portanto, I =

∫

sen (3x− 1) cos(2x+ 2)dx = − 1

10cos(5x+ 1) − 1

2cos(x− 3) + C.

Exemplo 1.20.

Calcule I =

∫

1

1 + cos2 xdx

Solução.

Observe que1

1 + cos2 x=

1

1 + 1sec2 x

=sec2 x

sec2 x+ 1=

sec2 x

tan2 x+ 2=

sec2 x

tan2 x+ (√

2)2.

Aplicando a fórmula (23) temos que:

I =

∫

1

1 + cos2 xdx =

∫

sec2 x

tan2 x+ (√

2)2dx =

1√2

arctan[tanx√

2] + C

Exemplo 1.21.

Calcule I =

∫

dx

x4 − 16.

Solução.

I =

∫

dx

x4 − 16=

1

8

∫

[1

x2 − 4− 1

x2 + 4]dx


Pela fórmula (24) temos que I =

∫

dx

x2 − 4=

∫

dx

x2 − 22=

1

4Ln | x− 2

x+ 2|; e pela fórmula

(23) temos que,∫

1

x2 + 4dx =

∫

dx

x2 + 22=

1

2arctan

x

2. Assim,

I =

∫

dx

x4 − 16=

1

8

∫

[1

x2 − 4− 1

x2 + 4]dx =

1

8[1

4Ln | x− 2

x+ 2| −1

2arctan

x

2]

Portanto, I =

∫

dx

x4 − 16==

1

32[Ln | x− 2

x+ 2| −2 arctan

x

2] + C.

Exemplo 1.22.

Calcule I =

∫

x2 + 13√x2 + 9

dx

Solução.

I =

∫

x2 + 13√x2 + 9

dx =

∫

x2 + 9 + 4√x2 + 9

dx =

∫

[√

x2 + 9 +4√

x2 + 9]dx.

Pela fórmula (45) temos que a integral

∫

√

x2 + 9dx =

∫

√

x2 + 32dx =1

2[x

√

x2 + 33 + 32Ln(x+√

x2 + 32]

e, pela fórmula (27) temos que, a integral

∫

4 · dx√x2 + 9

= 4

∫

dx√x2 + 32

= 4Ln(x+√

x2 + 32) + C

Logo, I =

∫

x2 + 13√x2 + 9

dx =1

2[x

√

x2 + 33 + 32Ln(x+√

x2 + 32] + 4Ln(x+√

x2 + 32 + C.

Portanto I =

∫

x2 + 13√x2 + 9

dx =1

2[x

√

x2 + 9 + 17Ln(x+√

x2 + 9)] + C.

Exemplo 1.23.

Seja f : R −→ R uma função contínua em R, de modo que f(0) = 2 e sua função derivada é

representada por:

f ′(x) =

x

| x | , se x < 1 e x 6= 0

ex, se x > 1

Determine a função f(x).

Solução.

Como d(| x |) =x

| x | · dx se x 6= 0, então a função:

f(x) =

| x | +C1, se x < 1 e x 6= 0

ex + C2, se x > 1

Pela continuidade de f(x) temos que f(0) = f(0+) = f(0−) = 2, então C1 = 2; por outro

lado, f(1+) = f(1−) = e+ C2 = 1 + 2, logo C2 = 3 − e.

Portanto, f(x) =

| x | +2, se x ≤ 1

ex + 3 − e, se x > 1.


Exemplo 1.24.

Calcule I =

∫

3ex√1 − e2x

dx

Solução.

Suponha u = ex, então du = exdx.

I =

∫

3ex√1 − e2x

dx = 3

∫

du√1 − u2

= 3arcsenx+ C = 3arcsen(ex) + C

Exemplo 1.25.

Estima-se que, dentro de x semanas, a população de um certo tipo de gafanhotos variará

segundo a taxa (7 + 6x) insetos por semana. A população atual é de 500 gafanhotos. Qual será

a população dentro de nove semanas?

Solução.

Se P (x) é a população de gafanhotos dentro de x semanas, então a derivada de P (x) é a taxa

de variação da população em relação ao tempo; isto é, P ′(x) = (7 + 6x).

Por outro lado; P (x) =

∫

P ′(x)dx =

∫

(7 + 6x)dx = 7x+ 3x2 + C.

Quando x = 0 tem-se a população atual; assim P (0) = 7(0)+3(02)+C = 500 então C = 500

e P (x) = 7x+ 3x2 + 500.

Daqui a nove semanas a população será P (9) = 7(9) + 3(9)2 + 500 = 806 gafanhotos.

Exemplo 1.26.

O lucro marginal de uma fábrica de calçados ao produzir q pares de unidades de calçados

é 200 − 4q reais por unidade. Se o lucro obtido com a produção de 100 pares de unidades é

R$500, 00, qual será o lucro máximo da fábrica?

Solução.

O lucro marginal, é a derivada do lucro L(q).

Sabe-se que o lucro marginal é L′(q) = 200 − 4q então,

L(q) =

∫

L′(q)dq =

∫

(200 − 4q)dq = 200q − 2q2 + C

Quando q = 100 temos que L(100) = 500 = 200(100) − 2(100)2 + C, onde C = 0; assim,

L(q) = 200q − 2q2.

Para calcular o lucro máximo, observe que L(q) = 200q− 2q2 = 2(100q− q2) = 2(502 − 502 +

100q − q2) = 2[2500 − (50 − q)2]; o que implica q = 50 para obter lucro máximo.

Assim, quando q = 50 temos L(50) = 200(50) − 2(50)2 = 5.000, 00.

Portanto, o lucro máximo é R$5.000, 00.

Exemplo 1.27.

Calcular a equação da função f(x) cujo coeficiente angular da tangente em qualquer ponto

x, é m = 4x3 + 2 e seu gráfico passa pelo ponto (−2, 10).

Solução.


O coeficiente angular da tangente, é m = f ′(x) = 4x3 + 2 e f(x) é a primitiva; logo:

f(x) =

∫

f ′(x)dx =

∫

(4x3 + 2)dx = x4 + 2x+ C

Para o cálculo de C consideremos o fato que o gráfico de f(x) passa pelo ponto (−2, 10); isto

é f(−2) = (−2)4 + 2(−2) + C = 10 o que implica que C = −2.

Portanto a equação desejada é f(x) = x4 + 2x− 2.

Exemplo 1.28.

Determine a função cujo gráfico possui máximo relativo em x = 2 e mínimo relativo em

x = 6, e passa pelo ponto (0, −3)

Solução.

Pelas condições de extremos, sabemos que:

f ′(2+) < 0, f ′(2−) > 0, f ′(6+) > 0 e f ′(6−) < 0

então a derivada da função tem a forma f ′(x) = (x − 2)(x − 6), logo a antiderivada f(x) =∫

(x− 2)(x− 3)dx =

∫

(x2 − 8x+ 12)dx =1

3x3 − 4x2 + 12x+ C.

Observe que pelo fato o gráfico da função f(x) passar por (0, −3) temos que f(0) = C = −3.

Portanto f(x) =1

3x3 − 4x2 + 12x− 3.

Exemplo 1.29.

Um fabricante de componentes eletrônicos constata que o custo marginal em reais (R$) da

produção de x unidades de uma peça de filmadora é dada por 40 − 0, 01x reais. Se o custo de

produção de uma unidade é 45 reais, determine a função custo, e o custo de produção de 50

unidades.

Solução.

Seja C(x) a função de custo total, então a função de custo marginal é dada pela função C ′(x);

isto é C ′(x) = 40 − 0, 01x. Logo

∫

C ′(x)dx =

∫

(40 − 0, 01x)dx = 40x− 0, 005x2 +K

para alguma constante K; assim C(x) = 40x− 0, 005x2 +K.

Quando x = 1 (uma unidade) tem-se que C(1) = 45, logo 45 = C(1) = 40(1)−0, 005(12)+K,

onde K = 5, 005.

Portanto a função de custo total em reais é dada pela função C(x) = 40x− 0, 005x2 + 5, 005.

Em particular, quando x = 50, temos que C(50) = 40(50) − 0, 005(502) + 5, 005, o custo de

produção de 50 unidades é: R$1.992, 505.

Exemplo 1.30.


Seja f(x) =| x− 1 | +x. Mostre que F (x) =

x se, x < 1

x2 − x+ 1 se, x ≥ 1.é uma antiderivada

de f(x) no intervalo (−∞, +∞)

Solução.

Suponhamos x ≥ 1, então f(x) = x− 1 + x = 2x− 1, onde

∫

f(x)dx =

∫

(2x− 1)dx = x2 − x+ C1

Por outro lado, se x < 1 temos que f(x) = −(x− 1) + x = 1 onde

∫

f(x)dx =

∫

(1)dx = x+ C2

onde C1 e C2 são constantes reais arbitrárias.

Em particular, quando C1 = 1 e C2 = 0 temos que:

F (x) =

x se, x < 1

x2 − x+ 1 se, x ≥ 1.é uma antiderivada de f(x) no intervalo (−∞, +∞).

Exemplo 1.31.

Considere a equação:dy

dx+ y = x+ 1, onde y = f(x) determine o seguinte:

a) Uma solução geral dessa equação (chamada equação diferencial).

b) Determine a solução y = f(x) que satisfaz a condição inicial f(0) = 4.

Solução. a)

Seja y função de variável x, e temos a derivar a função implícita F (x, y) = y · ex; derivando

a mesma em relação à variável x temos que F ′(x, y) =dy

dx· ex + y · ex.

Com esta idéia, a equação original podemos escrever na forma:

dy

dx· ex + y · ex = ex(x+ 1), de onde resulta

d(y · ex)

dx= ex(x+ 1).

De onde,∫

d(y · ex)

dxdx =

∫

ex(x+ 1)dx ⇒ y · ex =

∫

ex(x+ 1)dx.

Portanto. uma solução geral à equação é: y = e−x ·∫

ex(x+ 1)dx

Solução. b)

Como∫

ex(x+ 1)dx = x · ex, da solução geral temos que

y = f(x) = e−x(x · ex) + C ⇒ f(x) = x+ C · e−x

onde C ∈ R é uma constante de integração.

Em particular quando x = 0, temos que 4 = f(0) = 0 + C · e−0 = C ⇒ C = 4.

Portanto, a solução particular à equação é: y = x+ 4e−x.


Exercícios 1-1

1. Determine as funções primitivas para as seguintes funções:

1. 2x82.

5

x+

8

x23.

x6 − 7x2 + 2

x

4. 1 − 2sen 2x 5.1√

a+ bx6. e2−5x

7.1

3√

7x8.

1

cos2 3x9.

x6 − 1

x2 − 1

2. Determine a validade das seguintes igualdades:

1.∫

dx

9 + x2=

1

3arctan

x

3+ C 2.

∫

x√

2x2 + 5dx =

√

(2x+ 5)3

6+ C

3.∫

x3 · dx√a2 + x4

=

√a2 + x4

2+ C 4.

∫

dx

(a+ bx)3= − 1

2b(a+ bx)2+ C

5.∫

6x.dx

(5 − 3x2)2=

1

5 − 3x2+ C 6.

∫

x(a− bx2)dx = −(a− bx2)2

4b+ C

7.∫

8x · dx3√x2 + 8

=8√x2 + 8

3+ C 8.

∫

x.dx

(a+ bx2)3= − 1

4b(a+ bx2)2+ C

9.∫

(a+ bx)2dx =(a+ bx)3

3b+ C 10.

∫

x.dx

(a+ bx2)2=

(−1)

2b(a+ bx2)+ C

11.∫

tan2 x.dx = tanx− x+ C 12.∫

x(x2 + 2)2dx =(x2 + 2)3

6+ C

13.∫

(√a−√

x)2√x

· dx = −2(√a−√

x)3

3+ C

14.∫

(2x+ 3)dx√x2 + 3x

= 2√

x2 + 3x+ C

15.∫

dx√8 − x2

= arcsen[x

2√

2] + C

16.∫

(√a−√

x)2dx = ax− 4x√ax

3+x2

2+ C

17∫

x(2x+ 1)2dx = x4 +4

3x3 +

1

2x2 + C

18.∫ √

x(√a−√

x)2dx =2

3a√x3 − x2√a+

2

5

√x5 + C

19.∫

x(a+ bx3)2dx =a2x2

2+

2abx5

5+b2x8

8+ C

20.∫

xn−1√a+ bxndx =

2√

(a+ bxn)3

3nb+ C

21.∫

(√a−√

x)4√x

dx = −1

2x2 + 2x

√ax− 3ax+ 2a

√ax+ C

22.∫

dx

x2 − 10=

1

2√

10Ln | x−

√10

x+√

10| +C


3. Calcular as integrais dos seguintes exercícios.

1.

∫

5a2x2dx 2.

∫

√

2pxdx 3.

∫

x(x+ a)(x+ b)dx

4.

∫

(nx)1−n

n dx 5.

∫

cot2 x.dx 6.

∫

(√x+ 1)(x−√

x+ 1)dx

7.

∫

dx√4 + x2

8.

∫

(xm − xn)2√x

dx 9.

∫

√2 + x2 −

√2 − x2

√4 − x4

dx

10.

∫

dx

x2 + 711.

∫

a.dx

a− x12.

∫

x2 + 5x+ 7

x+ 3dx

13.

∫

ax+ b

αx+ β14.

∫

1 − 3x

3 + 2xdx 15.

∫

(a+b

x− a)2dx

16.

∫

b.dy√1 − y

17.

∫

x.dx√x2 + 1

18.

∫

(6x2 + 8x+ 3)dx

19.

∫

3xexdx 20.

∫

dx

3x2 + 521.

∫

(a+ bx3)2dx

22.

∫

1n√xdx 23.

∫

(3√a2 − 3

√x2)3dx 24.

∫

(x2 + 1)(x2 − 2)3√x2

dx

4. Sejam a e b constantes reais tais que a 6= b, determine a antiderivada para as seguintes

funções:

1. sen (ax)sen (bx) 2. cos(ax) cos(bx) 3. sen (ax) cos(bx)

5. Mostre, calculando de duas maneiras, que:

∫

tanx. sec2 x.dx =1

2tan2 x+ C1 =

1

2sec2 x+ C2

6. Mostre, calculando de três maneiras distintas, que:

∫

sen x. cosx.dx =1

2sen 2x+ C1 = −1

2cos2 x+ C2 =

1

4cos 2x+ C3

7. O preço de revenda de um carro decresce a uma taxa que varia com o tempo. Quando o

carro tiver x anos de uso, a taxa de variação de seu valor será 200(x− 9) reais por ano. Se

hoje o carro foi comprado por 12.000, 00 reais, qual será o custo do carro dentro de cinco

anos?

8. Determine uma função y = f(x) que satisfazdy

dx=x+ 6x2

√y

e passe pelo ponto (2, 4).


1.3 Métodos de Integração.

Antes do estudo dos métodos de integração, é bom notar a diferença entre operações de

derivação e integração indefinida.

Uma função elementar é aquela que obtém-se mediante um número finito de operações de

adição, subtração, multiplicação, divisão, e composição de funções como por exemplo: as funções

constantes; a função potência y = xn; a função exponencial y = ax; as funções logarítmicas;

trigonométricas e trigonométricas inversas.

Dada uma função elementar sua derivada conserva esta propriedade; isto é sua derivada

também expressa-se como uma função elementar, entanto na integral indefinida, isto somente

sucede em condições muito especiais. De fato é possível escrever integrais relativamente simples

como por exemplo:

∫

ex2dx

∫

e−x2dx

∫

sen x

x

∫

tanx

xdx

∫

dx

Lnx

∫

√

1 + x3dx

∫

sen x2.dx

∫

cosx2.dx

as quais não podem ser expressas como “ combinações finitas"de funções elementares. Do ponto

de vista prático, a integração se apresenta como uma operação um tanto mais complicada que

a derivação; entanto tínhamos regras gerais de derivação, para a integração somente é possível

fazer artifícios que são válidos para grupos mais ou menos restritos de funções. Para cada caso

particular precisamos uma tentativa, um ensaio pelo que se recomenda prática, mais prática e

mais prática.

1.3.1 Integração por Substituição.

Algumas integrais inicialmente são difíceis de calcular. Uma idéia é transforma-as mediante

uma substituição algébrica com uma conveniente mudança de variável, que as reduz em integrais

muitas mais simples. Intuitivamente explicarei a técnica de substituição mediante o seguinte

roteiro:

1) Escreva a integral a calcular I =

∫

f(x)dx

2) Proponha uma substituição da forma u = u(x). Em geral é melhor escolher a parte interna

de uma função composta.

3) Depois nossa intenção será achar a função inversa de u(x), isto é tem-se que achar x = x(u).

4) Calcule o diferencial dx = x′(u)du.

5) Escreva as substituições apropriadas∫

f(x)dx =

∫

f(u(x))u′(x)dx.

6) Confira depois de simplificações algébricas que o cálculo da nova integral é mais simples que

a inicial 1). (Caso contrário proponha outra substituição em 2).


7) Não esqueça que a resposta para∫

f(x)dx é uma função de variável x. Então uma vez que

você terminou seus cálculos, você deveria substituir parta obter na variável inicial x.

Observação 1.2.

a) Em geral, se a substituição é boa, você pode não precisar de 3). Calcule o diferencial de

u = u(x), para obter du = u′(x)dx, logo substitua a variável u = u(x) na nova integral.

Você deveria ter certeza que a variável x desapareceu da integral original.

b) Uma boa substituição às vezes é difícil de achar no inicio. Então não recomendamos não

perder muito tempo no passo 2). Depois de alguma prática você pode começar a ter um

bom palpite para a melhor substituição.

Exemplo 1.32.

Calcule I =

∫

x(x2 + 5)75dx

Solução.

Está claro que, se nós desenvolvemos o (x2 +5)75 mediante a fórmula de binômio, acharemos

uma função polinomial fácil de integrar. Mas está claro, que isto levará muito tempo com

possibilidade de cometer erros de cálculo.

Considerasse a substituição u = x2 + 5 (a razão é a presença de x na integral).

Então temos du = 2xdx e I =

∫

x(x2 + 5)75dx =

∫

u75

2du; podemos conferir que a nova

integral é mais fácil calcular, conseqüentemente

I =

∫

u75

2du =

u76

152+ C

que não completa a resposta desde que, a integral indefinida não é uma função de x é de variável

u = u(x).

Então, temos que substituir u através de u(x) ; onde I =

∫

x(x2+5)75dx =1

125(x2+5)76+C.

O método de “integração por substituição”, também conhecida como o método da “integração

por mudança de variável" tem seu princípio fundamental na derivação da função composta.

Dada a função f : A −→ R, queremos calcular∫

f(x)dx.

Propriedade 1.4.

Suponhamos que escrevemos x = h(t) onde h : B −→ A é uma função com derivada h′(t) 6=0 ∀ t ∈ B. Se a função g(t) = f(h(t)).h′(t) ∀ t ∈ B admite uma primitiva G em B, isto é

G′(t) = g(t) = f(h(t)).h′(t) então:

∫

f(x)dx =

∫

f(h(t))h′(t)dt =

∫

g(t)dt = G(t) + C = G(h−1(x)) + C (1.2)

Demonstração.

Para mostrar, é necessário que as derivadas respeito da variável x, da igualdade (1.2) sejam

idênticas.


Com efeito, temos que:d

dx(

∫

f(x)dx) = f(x)

Por outro lado, como h′(t) 6= 0 ∀ t ∈ B então h(t) > 0 ou h(t) < 0 logo h(t) é estritamente

crescente ou decrescente em B assim h(t) admite função inversa t = h−1(x) onde h−1 : A −→ B

edt

dx=

1dxdt

.

Pela regra da cadeiady

dx=

dy

dt· dtdx

por tanto, na parte da direta da igualdade (1.2) segue

que:d

dx[

∫

f(h(t))h′(t)dt] =d

dt[

∫

f(h(t))h′(t)dt] · dtdx

=

= f(h(t)) · h′(t) · dtdx

= f(h(t)) · h′(t) · 1dxdt

=

= f(h(t)) · h′(t) · 1

h′(t)= f(h(t)) = f(x)

As outras igualdades são evidentes.

Observação 1.3.

a) Resumindo os resultados obtido, se na integral∫

f(x)dx substituímos x = h(t) e como

dx = h′(t)dt, verifica-se∫

f(x)dx =

∫

f(h(t))h′(t)dt.

b) Aqui entendemos que a função h(t) satisfaz as condições indicadas anteriormente e, depois

da integração a variável t será substituída por sua expressão na variável original x, con-

siderando que, x = h(t).

c) A eleição da função x = h(t) deve ser feita de modo que seja possível calcular a integral

indefinida em função da variável t.

d) Existem alguns casos onde é preferível utilizar a substituição t = g(x) e dt = g ′(x)dx como

mostra o seguinte exemplo:

Exemplo 1.33.

Calcule I =

∫

5(x5 + 2)3x4dx

Solução.

Considere t = (x5 + 2), então dt = 5x4dx, logo

I =

∫

5(x4 + 2)3x4dx =

∫

t3.dt =1

4t4 + C =

1

4(x5 + 2)4 + C

.

Portanto, I =

∫

5(x4 + 2)3x4dx =1

4(x5 + 2)4 + C.


Exemplo 1.34.

Calcule I =

∫

x√

2x+ 2dx

Solução.

Considere u = 2x+ 2, então du = 2dx, e x =u− 2

2logo:

I =

∫

x√

2x+ 2dx =

∫

[u− 2

2]√udu

2=

1

4

∫

[√u3 − 2

√u]du =

1

4

[

2

5

√u5 − 4

3

√u3

]

+ C.

Substituindo u = 2x+ 2, tem-se que I =1

4

[

2

5

√

(2x+ 2)5 +4

3

√

(2x+ 2)3]

+ C.

Portanto, I =

∫

x√

2x+ 2dx =1

10

√

(2x+ 2)5 +1

3

√

(2x+ 2)3 + C.

Exemplo 1.35.

Considere-se a 6= 0, calcule I =

∫

cos(ax+ b)dx

Solução.

I =

∫

cos(ax+ b)dx =1

asen (ax+ b) + C.

Exemplo 1.36.

Calcule I =

∫

(2x+ 1)20dx

Solução.

I =

∫

(2x+ 1)20dx =1

42(2x+ 1)21 + C.

Observação 1.4.

a) Considere a 6= 0, ao determinar a integral∫

f(ax + b)dx podemos omitir a substituição

u = ax+b; é suficiente considerar dx =1

ad(ax+b) e deste modo obter a integral

∫

f(ax+

b)dx =1

aF (ax+ b) + C onde F é a primitiva de f(x).

b) Em geral se uma função a integrar é o produto de dois fatores um dos quis depende de certa

função g(x) e o outro é a derivada de g(x) (com precisão ate o fator constante), então é

conveniente efetuar a substituição g(x) = u.

Exemplo 1.37.

Calcule I =

∫

arcsen√x√

x− x2dx

Solução.

I =

∫

arcsen√x√

x− x2dx =

∫

arcsen√x√

x ·√

1 − xdx.

Seja a substituição u = arcsen√x, então du =

1√

1 − (√x)2

· dx

2√x

Logo, I =

∫

arcsen√x√

x− x2dx =

∫

arcsen√x√

x ·√

1 − xdx =

∫

2arcsen√x√

1 − x · 2√xdx = 2

∫

u.du =

u2 + C = (arcsen√x)2 + C.

Portanto I =

∫

arcsen√x√

x− x2dx = (arcsen

√x)2 + C.


Exemplo 1.38.

Calcule I =

∫

[sen (e−x) + ex · cos(e−x)]dx

Solução.

Considere u = ex ·cos(e−x), então du = [ex ·cos(e−x)+(ex)sen (e−x) · (e−x)]dx = [sen (e−x)+

ex · cos(e−x)]dx, logo na integral original temos que

I =

∫

[sen (e−x) + ex · cos(e−x)]dx =

∫

du = u+ C = ex · cos(e−x) + C

Portanto, I =

∫

[sen (e−x) + ex · cos(e−x)]dx = ex · cos(e−x) + C.

Exemplo 1.39.

Calcule I =

∫

senhx · coshx(1 + senh2x)3

dx

Solução.

Considere u = (1 + senh2x), então du = 2senhx · coshx · dx; logo:

I =

∫


dx =1

2

∫

2senhx · coshx(1 + senh2x)3

dx =

=1

2

∫

du

u3= − 1

4u−2 + C = − 1

4(1 + senh2x)2+ C

Portanto, I =

∫


dx = − 1

4(1 + senh2x)2+ C.

Exemplo 1.40.

Calcule I =

∫

sen 3√x

3√x2

dx

Solução.

Considere u = 3√x, isto é u3 = x então 3u2du = dx logo, I =

∫

sen 3√x

3√x2

dx =

∫

3u2 · sen uu2

du =

− cosu+ C = − 3 cos 3√x+ C.

Exemplo 1.41.

Calcular a seguinte integral: I =

∫

e2x

√1 + ex

dx.

Solução.

Suponhamos u = ex ⇒ du = exdx, logo na integral:

I =

∫

e2x

√1 + ex

dx =

∫

u√1 + u

du =

∫

(1 + u) − 1√1 + u

du =

I =

∫ √1 + u du−

∫

du√1 + u

= I1 − I2

Calculando cada uma destas últimas integrais:

I1 =

∫ √1 + u du =

2

3(√

1 + u)3 =2

3(√

1 + ex)3


I2 =

∫

du√1 + u

= 2√

1 + u = 2√

1 + ex

Portanto, I =

∫

e2x

√1 + ex

dx =2

3(√

1 + ex)3 − 2√

1 + ex + C.

Exemplo 1.42.

Calcule I =

∫

√

2 +√

2 +√

2 + 2 cos(5√x+ 1)

√x

dx

Solução.

Sabe-se que cos2 θ =1 + cos 2θ

2logo, 2 cos2 θ = 1 + cos 2θ. Observe que:

√

2 +

√

2 +

√

2 + 2 cos(5√x+ 1) =

√

2 +

√

2 +

√

2[1 + cos(5√x+ 1)] =

=

√

√

√

√

√2 +

√

√

√

√2 +

√

4 cos2[

(5√x+ 1)

2

]

=

√

2 +

√

2 + 2 cos(5√x+ 1

2) =

=

√

2 +

√

2[1 + cos(5√x+ 1

2)] =

√

√

√

√2 +

√

4 cos2[

5√x+ 1

4

]

=

=

√

2 + 2 cos(5√x+ 1

4) =

√

2[1 + cos(5√x+ 1

4)] =

=

√

4 cos2[

5√x+ 1

8

]

= 2 cos(5√x+ 1

8)

Seja u =5√x+ 1

8então, du =

5 · dx16√x

, assim na integral original tem-se:

I =

∫

√

2 +√

2 +√

2 + 2 cos(5√x+ 1)

√x

dx =32

5

∫

cosu · du =32

5sen u+ C

Portanto, I =

∫

√

2 +√

2 +√

2 + 2 cos(5√x+ 1)

√x

dx =32

5sen

[

5√x+ 1

8

]

+ C.


Exercícios 1-2

1. Determine se, as seguintes igualdades são verdadeiras:

1.

∫

(√x+ 5)dx =

2

3

√x3 + 5x+ C 2.

∫

senhx.dx

(1 + coshx)4= − 1

3(1 + coshx)3

3.

∫

e√

x · 3e√

xdx√

x=

2(3e√

x)

Ln3+ C 4.

∫

cos(7x+ 4)dx =1

7sen (7x+ 4) + C

5.

∫

e2x−5dx =1

2e2x−5 + C 6.

∫

18dx

9x2 − x4= − 2

x+

2

3Ln[

x+ 3

x− 3] + C

7.

∫

4xex · dx =(4e)x

1 + Ln4+ C 8.

∫

7x2 + 16

x4 + 4x2dx =

3

2arctan[

x

2] − 4

x+ C

9.

∫

dx

1 + cos 10x=

tan 5x

10+ C 10.

∫

dx

cos2(1 − 4x)= − 1

4tan(1 − 4x) + C

11.

∫

dx

xLn2x= − 1

Lnx+ C 12.

∫ 5√x2 − 2x+ 1

1 − xdx = − 5

25√

(x− 1)2 + C

13.

∫

[Lnx+ 1].ex.Lnxdx = xx + C 14.

∫

2x · 3x+1

5x+2dx =

3

25(6

5)x(

1

Ln6 − Ln5) + C

15.

∫

sen x · etan2 x

cos3 xdx =

1

2etan

2 x + C 16.

∫ √x(x+ 1)dx =

2√x5

5+

2√x3

3+ C

17.

∫

7dx√5 − x2

= 7arcsen[x√5] + C 18.

∫

3dx

x2 + 4x− 5=

1

2Ln[

x− 1

x+ 5] + C

19.

∫

dx

1 + sen x= tanx− sec+C 20.

∫

xdx

x2(x2 − 8)= Ln

16

√

x2 − 8

x2+ C

21.

∫

x2x(1 + Lnx)dx =x2x

2+ C 22.

∫

cos3 x.dx

1 − sen x= sen x+

sen 2x

2+ C

23.∫

dx

sen 2x( 3√

cotx− 1=

−3 3√

(cotx− 1)2

2+ C

24.∫

4 · dx√−4x2 − 20x− 9

= 2arcsen[2x+ 5

4] + C

25.∫

√

−4x2 − 12x− 5 · dx =1

4[(2x+ 3)

√

−4x2 − 12x− 5 + 4arcsen(2x+ 3

2)] + C

26.∫

dx√

(1 + x2)Ln(x+√

1 + x2)= 2

√

Ln(x+√

1 + x2) + C

27.∫

earctan x + xLn(x2 + 1) + 1

1 + x2· dx = earctan x +

1

4Ln2(x2 + 1) + arctanx + C

28.∫

√2 + x2 −

√2 − x2

√4 − x4

· dx = arcsen(x√2) − arcsenh(

x√2) + C

29.∫

dx√x− 1 +

√x+ 1

=1

3[(

√

(x+ 1)3 −√

(x− 1)3] + C

2. Calcular as seguintes integrais utilizando regras principais e fórmulas de integração.

1.

∫

sen 2x · dx 2.

∫

sec2(ax+ b)dx 3.

∫

tan√x√

xdx


4.

∫

senh2x · dx 5.

∫

dx

coshx6.

∫

tanhx · dx

7.

∫

dx

sen xa

8.

∫

dx

sen (ax+ b)9.

∫

xsen (1 − x2)dx

10.

∫

tanx · dx 11.

∫

dx

sen x cosx12.

∫

cot(x

a− b)dx

13.

∫

sen 36x · cos 6x · dx 14.

∫


∫

√tanx

cos2 xdx

16.

∫

sen 3x · dx3 + cos 3x

17.

∫

1 + sen 3x

cos2 3xdx 18.

∫

csc2 3x

b− a · cot 3xdx

19.

∫

x5√

5 − x2dx 20.

∫

x3 · dxx8 + 5

21.

∫

3 −√

2 + 3x2

2 + 3x2dx

22.

∫ √a− bxdx 23.

∫

x2

x2 + 2dx 24.

∫

x2 + 1

x− 1dx

25.

∫

2x+ 3

2x+ 1dx 26.

∫

x2 − 5x+ 6

x2 + 4dx 27.

∫

dx√7 − 5x2

28.

∫

dx

7x2 − 829.

∫

x

(x+ 1)2dx 30.

∫

3 − 2x

5x2 + 7dx

3. Determine o valor das seguintes integrais mediante mudança da variável apropriada:

1.

∫

sen ax · sen bx · dx 2.

∫

cos ax · cos bx · dx 3.

∫

sen ax · cos bx · dx

4.

∫

sen 3x · cosx · dx 5.

∫

x

ax+ bdx 6.

∫

x√

1 + x2dx

7.

∫

x2

x3 − adx 8.

∫

sen x

cos2 xdx 9.

∫

x(a+ bx2)3dx

10.

∫

tanx

cos2 xdx 11.

∫

(Lnx)p

xdx 12.

∫

ex

1 + e2xdx

13.

∫

ex

1 + exdx 14.

∫

cosx · dxa+ bsen x

15.

∫

arcsenx√1 − x2

dx

16.

∫

(3x− 1)dx

3x2 − 2x+ 517.

∫

dx

x(1 + Lnx)318.

∫

cosx

1 + sen 2xdx

19.

∫

dx

x√

1 − Ln2x20.

∫

dx√x cos2(

√x)

21.

∫

sen 2x

1 + cos2 xdx

22.

∫

cos(Lnx)

xdx 23.

∫

cosx ·√

1 + sen x · dx 24.

∫

sen x · cosx1 + cos2 x

dx

25.

∫

cotx · dx 26.

∫

(3x2 − 6x)3(x− 1)dx 27.

∫

x · e1+x2dx

28.

∫

dx√1 + x

29.

∫

sen x+ cosx

3 + sen 2xdx 30.

∫

dx√1 − x2

31.

∫ √x · dx√a3 − x3

32.

∫

dx

(x+ 1)√x

33.

∫

x2

√1 + x6

· dx

34.

∫√a− x√x

dx 35.

∫

x2 · dxa6 − x6


4. Calcular as integrais dos seguintes exercícios:

1.

∫

x3

a2 − x2dx 2.

∫

dx√7 + 8x2

dx 3.

∫

dx

(a+ b) − (a− b)x20 < b < a

4.

∫

2x− 5

3x2 − 2dx 5

∫

3x+ 1√5x2 + 1

dx 6.

∫

x

x2 − 5dx

7.

∫

ax+ b

a2x2 + b2dx 8.

∫

x2

1 + x6dx 9.

∫√

arcsenx

1 − x2· dx

10.

∫

x√e

x2dx 11.

∫

a · e−mxdx 12.

∫

(et − e−t)dt

13.

∫

(ax − bx)2

ax · bx dx 14.

∫

x · e(x2+1)dx 15.

∫

x−√

arctan 2x

1 + 4x2dx

16.

∫

ex

ex − 1dx 17.

∫

ax · dx1 + a2x

18.

∫

3

√

( a√ex + 1) · a

√exdx

19.

∫

et

1 − e2tdt 20.

∫

cos(x√5)dx 21.

∫

(cos√x)√

xdx

5. Resolver as seguintes integrais:

1.

∫

x− arctan 2x

1 + 4x2dx 2.

∫

Ln(Lnx)

x · Lnxdx 3.

∫

dx

2x + 3

4.

∫

dx√ex − 1

5.

∫

sen x · cosx · dx√2 − sen 4x

6.

∫

dx

4 + 5sen 2x

7.

∫

dx

4 + 5 cos2 x8.

∫

dx

ex + 49.

∫

Ln3x · dxx · Ln5x

10.

∫

√

Ln(x+√x2 + 1)

1 + x2dx 11.

∫ √1 + sen xdx 12.

∫ √1 + cosxdx

13.

∫

dx

e−x + ex14.

∫

dx√√

x+ 115.

∫

arctan√x√

x+ 2x2 + x3dx

16.

∫

(x− 2)dx

x√x− 1 ·

√x2 − x+ 1

17.

∫

sen 8x · dx9 + sen 44x

18.

∫

csc3 x · dx

19.

∫

(2ex + e−x)dx

3ex − 4e−x20.

∫

Lnx · dxx3(Lnx− 1)3

21.

∫

x · dx(x− 1)5e4x

22.

∫

ex√ex + 2 · dx6 + ex

23.

∫

cos2 x(tan2 x+ 1)

(sen x+ cosx)2dx 24.

∫

(1 + tanx)dx

sen 2x

25.∫

dx

eLn(2x)

√

Lnx+√

Lnx+√

Lnx+ . . .+ ∞ − x

26.∫

sec3 x · dx

27.∫

x2sen x−1(sen x+ x · cosx · Lnx)dx 28.∫

x5 · dxx3 − 8

29.∫

(cos 6x+ 6 cos 4x+ 15 cos 2x+ 10)dx

cos 5x+ 5 cos 3x+ 10 cosx

6. Uma função contínua, real de variável real satisfaz as seguintes condições : f(1) = 0 e

f ′(x) =x+ | 1 − x |x2 + 1

. Achar f(x).


7. Determine a equação da curva para o qual y′ =4

x3é tangente à reta 2x+ y = 5 no ponto

(1, 3).

8. Determine a equação da curva y = f(x) cuja tangente no ponto (0, 2) é horizontal e

tenha como ponto inflexão (−1,2

3) e satisfaz y′′′ = 4 .


1.3.2 Método de Integração por Partes.

Um estudante muitas vezes se engana, pensa que a solução da integral∫

f(x) · g(x)dx é da

forma∫

f(x)dx ·∫

g(x)dx; isto é, pensa que∫

f(x) · g(x)dx =

∫

f(x)dx ·∫

g(x)dx.

Para se convencer que isto esta errado por um instante suponha que f(x) = x e g(x) = 1 e

você obterá um absurdo.

Uma resposta parcial para este problema é determinada pelo que é chamado de “integração

por partes”. Para entender esta técnica, lembre a fórmula de derivação:

d(u(x) · v(x))dx

=du(x)

dx· v(x) + u(x) · dv(x)

dx

aplicando diferenciais resulta: u(x) · v(x) =

∫

u′(x) · v(x)dx+

∫

u(x) · v′(x)dx

Então se uma das duas integrais∫

u′(x)v(x)dx ou∫

u(x)v′(x)dx é fácil calcular, podemos

usar este resultado para adquirir a outra. Esta é a idéia principal de “integração por partes”.

Intuitivamente explicarei esta técnica.

1) Escreva a integral a calcular: I =

∫

f(x) · g(x)dx onde você identifica as duas funções f(x)

e g(x). Note que somente uma função estará determinada (por exemplo suponha f(x)),

então fixe a segunda a ser determinada (neste caso séria g(x)).

2) Introduza as funções intermediárias u(x) e v(x) na forma u = f(x) e dv = g(x)dx.

Então precisamos da derivada de f(x) e de integrar g(x)dx para obter: du = f ′(x)dx e

v =

∫

g(x)dx . Note que neste passo, você tem a escolha se diferenciar f(x) ou g(x).

3) Use a fórmula∫

u(x)dv = u(x) · v(x) −∫

v(x)du

4) Temos que calcular a nova integral∫

v(x)du

O primeiro problema que a pessoa enfrenta lidando com esta técnica é a escolha a ser utilizada

no passo 2); não há nenhuma regra geral para seguir; na verdade é uma questão de experiência.

Observe o seguinte exemplo:

Exemplo 1.43.

Calcule I =

∫

Lnx · dxSolução.

Podemos supor u = Lnx e dv = dx, então du =1

xdx e v =

∫

1·dx = x, logo I =

∫

Lnx·dx =

x · Lnx−∫

1

xdx = x · Lnx− x+ C.

Portanto, I =

∫

Lnx · dx = x · Lnx− x+ C.

Formalmente; sejam u e v duas funções definidas e deriváveis num intervalo da reta R, pela

regra do diferencial de um produto tem-se: d(u · v) = u · dv + v · du logo, u · dv = u · v − v · du;


integrando esta última expressão resulta:

∫

u · dv = u · v −∫

v · du

Esta fórmula é conhecida como “fórmula de integração por partes”. Na prática esta fórmula

é bastante útil e consiste em expressar o elemento de integração como o produto de dois fatores;

de uma função u = u(x) e do diferencial de uma função v = v(x) denotado por dv, de modo que

determina-se a função v do diferencial dv, e o cálculo da nova integral∫

v · du constituem em

conjunto um problema simples que o cálculo da integral∫

u ·dv; esta fórmula pode ser utilizada

mais de uma vez na solução de uma integral.

Para decompor o elemento de integração dado em dois fatores u e dv, normalmente traba-

lhamos com nossa função u = u(x) como aquela que simplifica-se com a derivação; por exemplo,

nais integrais que aparecem alguma destas funções xn (n ∈ N), Lnx, arcsenx, arcsenhx; etc.,

considera-las como u(x). Isto não é regra geral, na prática a habilidade e a experiência de quem

calcula é a melhor ferramenta.

Observação 1.5.

• Quando determinamos a função v do diferencial dv, não é necessário considerar a constante

de integração C, se ao invés da função v considera-se v + C onde C é constante, então:

∫

u · dv = u · (v + C) −∫

(v + C) · du = u · v −∫

v · du

Logo, não é necessário considerar essa constante C.

Exemplo 1.44.

Calcule I =

∫

(x2 + 3x− 1)e2xdx

Solução.

Seja u = x2 + 3x− 1 e dv = e2xdx, então du = (2x+ 3)dx e v = e2x, logo

I =

∫

(x2 + 3x− 1)e2xdx = (x2 + 3x− 1)e2x − 1

2

∫

e2x(2x+ 3)dx (1.3)

Considere-se em (1.3) a integral J =∫

e2x(2x + 3)dx, u = 2x + 3 e dv = e2xdx, então

du = 2dx e v = 12e

2x, assim, J =1

2e2x(2x+3)−

∫

e2xdx =1

2e2x(2x+3) =

1

2e2x(2x+3)− 1

2e2x =

1

2e2x(2x+ 2) = e2x(x+ 1).

Em (1.3) tem-se I =1

2(x2 + 3x− 1)e2x − 1

2e2x(x+ 1) + C.

Portanto, I =

∫

(x2 + 3x− 1)e2xdx =1

2e2x(x2 + 2x+ 1) + C.

Exemplo 1.45.

Calcule I =

∫

x · Lnx · dxSolução.


Considere-se u = Lnx e dv = x.dx; então du =1

xdx e v =

x2

2; logo I =

x2

2Lnx−

∫

1

x·x

2

2·dx =

x2

2Lnx− 1

2

∫

x · dx =1

2[x2Lnx− x2

2] + C.

Portanto, I =1

2[x2Lnx− x2

2] + C.

Exemplo 1.46.

Calcule I =

∫

x2 · ex · dxSolução.

Seja u = x2 e dv = ex · dx; então du = 2xdx e v = ex; logo I =

∫

x2 · ex · dx =

x2 · ex − 2

∫

x · ex · dx. Conseguimos diminuir o grau do polinômio de x em uma unidade. Para

calcular J =

∫

x · ex · dx aplicamos mais uma vez integração por partes. Considere-se u = x e

dv = exdx, então du = dx e v = ex; logo J = x · ex −∫

ex · dx = x · ex − ex.

Portanto tem-se: I =

∫

x2 · ex · dx = ex[x2 − 2x+ 2] + C.

Observação 1.6.

Suponha temos uma integral da forma∫

u · dv.

a) Para as integrais do tipo∫

P (x)eaxdx,

∫

P (x)sen ax · dx,∫

P (x) cos ax · dx onde P (x) é

um polinômio, recomenda-se considerar u = P (x) e dv = ? como uma das expressões

eaxdx, sen (ax)dx ou cos(ax)dx respectivamente.

b) Para as integrais do tipo∫

P (x)Lnx · dx,∫

P (x)arcsenax · dx,∫

P (x) arccos ax · dxrecomenda-se considerar a função u como uma das funções Lnx, arcsenx ou arccosx

e dv = P (x)dx.

Exemplo 1.47.

Calcule I =

∫

x · sen 2x · dxSolução.

Seja u = x e dv = sen 2x · dx então du = dx e v =

∫

sen 2x · dx =

∫

1 − cos 2x

2dx =

x

2− sen 2x

4; logo I =

∫

x · sen 2x · dx = x[x

2− sen 2x

4] − [

∫

x

2− sen 2x

4dx] =

x

4[2x− sen 2x] −

x2

4− cos 2x

8=

1

8[2x2 − x · sen 2x+ cos 2x] + C.

Portanto, I =

∫

x · sen 2x · dx =1

8[2x2 − x · sen 2x+ cos 2x] + C.

Exemplo 1.48.

Calcule I =

∫

x · sen x · dxSolução.


Se u = x e dv = senx · dx, então du = dx e v = − cosx; logo I =

∫

x · sen x · dx =

−x · cosx+

∫

cosx · dx := −x · cosx+ sen x+ C.

Portanto, I =

∫

x · sen x · dx = − x · cosx+ sen x+ C.

Suponha a solução de outro modo, se escolhemos u = sen x e dv = x ·dx então du = cosx ·dxe v =

1

2x2 e

I =

∫

x · sen x · dx =1

2x2sen x− 1

2

∫

x2 cosx · dx

de onde teríamos a resolver uma integral mais complexa que a inicial, pois o grau de x haveria

sido aumentado em uma unidade.

Exemplo 1.49.

Calcule I =

∫

exsen x · dxSolução.

Considere-se u = ex e dv = sen x · dx; então du = exdx e v = − cosx; logo

I =

∫

exsen x · dx = − ex cosx−∫

ex(− cosx)dx = ex +

∫

ex · cosx · dx (1.4)

Observe em (1.4) que, J =

∫

exsen x · dx também é uma integral por partes; seja u = ex e

dv = cosx · dx, então u = ex e v = sen x. Assim a integral J =

∫

ex cosx · dx = exsen x −∫

exsen x · dx = exsen x− I

Em (1.4) temos que I =

∫

exsen x · dx = − ex cosx + J = − ex cosx + exsen x − I, logo

2I = ex(senx− cosx).

Portanto, I =∫

exsen x · dx =1

2ex(sen x− cosx) + C.

Exemplo 1.50.

Discuta a aplicação da fórmula de integração por partes na solução da seguinte integral:

Seja I =

∫

1

x· dx, considere u =

1

xe dv = dx, logo du = − 1

x2dx e v = x, assim I =

∫

1

x· dx =

1

x· x −

∫

x · (− 1

x2) · dx = 1 +

∫

1

x· dx = 1 + I, então I = 1 + I.

Portanto, 0 = 1.

Exemplo 1.51.

Deduzir a fórmula de recorrência para a integral In =

∫

dx

(x2 + d2)n

Solução.

Observe que: In =

∫

dx

(x2 + d2)n=

1

d2

∫

(d2 + x2 − d2)dx

(x2 + d2)n=

=1

d2

∫

dx

(x2 + d2)n−1− 1

d2

∫

x2 · dx(x2 + d2)n

=1

d2In−1 −

1

d2J


isto é:

In =

∫

dx

(x2 + d2)n=

1

d2In−1 −

1

d2J (1.5)

onde J =

∫

x2 · dx(x2 + d2)n

=

∫

x · x · dx(x2 + d2)n

Seja u = x e dv =x · dx

(x2 + d2)nentão du = dx e v = − 1

2(n− 1)(x2 + d2)n−1logo

J = − x

2(n− 1)(x2 + d2)n−1+

1

2(n− 1)

∫

dx

(x2 + d2)n−1

Em (1.5), In =1

d2In−1 −

1

d2

[

− x

2(n− 1)(x2 + d2)n−1+

1

2(n− 1)

∫

dx

(x2 + d2)n−1

]

=

In =1

d2In−1 −

1

d2[− x

2(n− 1)(x2 + d2)n−1+

1

2(n− 1)In−1] =

=x

2d2(n− 1)(x2 + d2)n−1+

2n− 3

d2(2n− 2)In−1

Portanto, In =x

2d2(n− 1)(x2 + d2)n−1+

2n− 3

d2(2n− 2)In−1

Quando n = 2 obtém-se a integral I2 por meio de funções elementares. Quando n = 3

conseguimos a integral I3 que depende da integral já calculada I2. Em geral podemos calcular

In para qualquer inteiro n positivo.

Exemplo 1.52.

Suponha que a integral∫

e2x cos 2x · dx =1

4e2x(cos 2x + sen 2x). Determine a integral I =

∫

e2x cos2 x · dx.Solução.

Considere-se a integral J =

∫

e2xsen 2x · dx, então temos que:

I + J =

∫

e2x cos2 x · dx+

∫

e2xsen 2x · dx =

I + J =

∫

e2x · dx =1

2e2x. (1.6)

Por outro lado do dado do problema temos que:

I − J =

∫

e2x cos2 x · dx−∫

e2xsen 2x · dx =

∫

e2x cos 2x · dx =

I − J =1

4e2x(cos 2x+ sen 2x) (1.7)

De (1.6)) e (1.7) segue que I =

∫

e2x cos2 x · dx =1

8e2x(2 + cos 2x+ sen 2x).

Exemplo 1.53.


Determine se, a seguinte igualdade é verdadeira:

∫

dx√2x+ 1 −√

x= 2(

√2x+ 1 +

√x) − 2[arctan

√2x+ 1 + arctan

√x] + C

Solução.

Entanto estamos aprendendo a integrar, o melhor método é derivar a parta à direita da

igualdade. Sendo a derivada de uma soma de funções igual à soma das derivadas mas mesmas

temos:

f1(x) =√

2x+ 1 +√x ⇒ f ′1(x) =

2

2√

2x+ 1+

1

2√x

=2√x+

√2x+ 1

2√x√

2x+ 1

f2(x) = arctan√

2x+ 1 ⇒ f ′2(x) =1

(√

2x+ 1)2 + 1· 2

2√

2x+ 1=

=1

2(x+ 1)√

2x+ 1

f3(x) = arctan√x ⇒ f ′3(x) =

1

(√x)2 + 1

· 1

2√x

=1

2(x+ 1)√x

Logo, se F (x) = 2(√

2x+ 1 +√x) − 2[arctan

√2x+ 1 + arctan

√x] + C, sua derivada é:

F ′(x) = 2(2√x+

√2x+ 1

2√x√

2x+ 1) − 2

[

1

2(x+ 1)√

2x+ 1+

1

2(x+ 1)√x

]

Assim, F ′(x) =2√x+

√2x+ 1√

x√

2x+ 1− 1

(x+ 1)

[√x+

√2x+ 1√

x√

2x+ 1

]

⇒

F ′(x) =1√

x√

2x+ 1(√x−

√2x+ 1)

[

(2√x+

√2x+ 1)(

√x−

√2x+ 1) + 1

]

F ′(x) =

√x+

√2x+ 1√

x√

2x+ 1

[

1 − 1

x+ 1

]

=

√x+

√2x+ 1√

x√

2x+ 1· x

x+ 1

De onde:

F ′(x) =1√

2x+ 1 −√x

Portanto, a igualdade

∫

dx√2x+ 1 −√

x= 2(

√2x+ 1 +

√x) − 2[arctan

√2x+ 1 + arctan

√x] + C

é verdadeira.


Exercícios 1-3

1. Mediante integração por partes, resolver as seguintes integrais indefinidas:

1.

∫

Lnx · dx 2.

∫

x2Lnx · dx 3.

∫

xpLnx · dx

4.

∫

Lnx

x3dx 5.

∫

Ln(Lnx)

xdx 6.

∫

Ln(x+√

1 + x2)dx

7.

∫

x · Ln(x− 1

x+ 1)dx 8.

∫

e−x cos2 x · dx 9.

∫

x · cosxsen 2x

dx

10.

∫

x · sen x · dx 11.

∫

x · cosx · dx 12.

∫

sen (Lnx)dx

13.

∫

x · eaxdx 14.

∫

x · 2−xdx 15.

∫

x · sen x · cosx · dx

16.

∫

arcsenx · dx 17.

∫

arctanx · dx 18.

∫

coshx · senhx · dx

19.

∫

arcsenhx · dx 20.

∫

x2 arctanx · dx 21.

∫

x · arctanx · dx

22.

∫

e√

xdx 23.

∫

x(arctanx)2dx 24.

∫

(x2 − 2x+ 5) · e−xdx

25.

∫

√

a2 − x2dx 26.

∫

arcsenx

x2dx 27.

∫

cosx · Ln(1 + cosx) · dx

28.

∫

x · dxcos2 x

29.

∫

x · tan2 x · dx 30.

∫

(x3 + 5x2 − 2)e2xdx

31.

∫

√

x2 + a2 · dx 32.

∫

√

x2 − a2dx 33.

∫

√

x2 + 2x+ 5 · dx

34.

∫

√

x(3x− 2)dx 35.

∫

x · sen (ax) · dx 36

∫

x2Ln(x6 − 1)dx

37.

∫

x2 · e2x · dx 38.

∫

x · cosh(x

2) · dx 39.

∫

ex · cos2 x · dx

40.

∫

3x · cosx · dx 41.

∫

x2 · e−xdx 42.

∫

eax cos bx · dx

43.

∫

e2xsen 2x · dx 44.

∫

earcsenx · dx 45.

∫

senhx · cosx · dx

46.

∫

x2 · e3x · dx 47.

∫

x3 · e− x3 · dx 48.

∫

Lnx√x

· dx

49.

∫

ex · sen x · dx 50.

∫

x · arcsenx · dx 51.

∫

(x2 + 5x+ 6) cos 2x · dx

52.

∫

(arcsenx)2dx 53.

∫

arcsen√x√

1 − x· dx 54.

∫

Ln2x · dx

55.

∫

x3 · e−x2 · dx 56.

∫

Ln2x

x2· dx 57.

∫

(x2 − 2x+ 3)Lnx · dx

58.

∫

sen 2x

ex· dx 59.

∫

x · arctanx · dx 60.

∫

x2 · dx√9 − x2

61.

∫

x · dxsen 2x

62.

∫

x2 · arctan 3x · dx

2. Se P (x) é um polinômio em x, e P ′, P”, P”′, . . . indicam as derivadas, mostre que:


1.∫

P (x)eaxdx =eax

a(1 − P ′

a+P ′′

a2− P ′′′

a3+ . . .)

2.∫

P (x) cos(ax)dx =sen (ax)

a(1 − P ′′

a2+P (4)

a4− P (6)

a6+ . . .) +

+cos(ax)

a(P ′

a− P ′′′

a3+P (5)

a5− . . .)

3. Suponha m 6= 1 e n 6= 1 deduzir a fórmula de recorrência para cada uma das integrais:

1. In =

∫

xn · eax · dx satisfaz In =1

a· xn · eax − n

a· In−1.

2. In =

∫

(Lnx)n · dx satisfaz In = x · (Lnx)n − n · In−1.

3. Imn =

∫

xm · (Lnx)n · dx satisfaz Imn =

xm+1

1 +m· (Lnx)n − n

m+ 1· Im−1

n

4. In =

∫

ex

xn· dx satisfaz In = − ex

(n− 1)xx−1+

1

n− 1· In−1

5. In =

∫

(a+ bxp)n · dx satisfaz (np+ 1)In = x(a+ bxp)n + anp · In−1.

4. Determine∫

sen 4x·dx de dois modos diferentes: primeiro, utilizando a fórmula de redução,

e logo utilizando a fórmula do sen 2x.

5. Combine-se as duas soluções do exercício anterior para obter uma identidade impression-

ante.

6. Expressar∫

Ln(Lnx)·dx em função de,∫

dx

Ln(as duas integrais não são possíveis

expressar como combinação de funções elementares)

7. Mostre que a fórmula∫

2g(x)f ′(x) − f(x)g′(x)

2[√

g(x)]3dx =

f(x)√

g(x)+ C é válida.


1.3.3 Integração de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas.

É importante verificar e lembrar as seguintes identidades:

1) cos2 x+ sen 2x = 1 2) cosh2 x− senh2x = 1

3) sec2 x− tan2 x = 1 4) sech2x+ tanh2 x = 1

5) csc2 x− cot2 x = 1 6) coth2 x− csch2x = 1

7) sen 2x =1 − cos 2x

28) senh2x =

cosh 2x− 1

2

9) cos2 x =1 + cos 2x

210) coshx =

cosh 2x+ 1

2

Apresentamos integrais e diversos tipos que envolvem funções trigonométricas e hiperbólicas.

1.3.3.1 Integrais do tipo:∫

sen mx · cosn x. · dx e∫

senhmx · coshn x · dx

Aqui consideramos os seguintes casos para m e n inteiros:

Caso 1. a) Se m é ímpar positivo, então escreva sen m−1x em função de cosx e considere a

substituição cosx = t. De modo análogo para o caso da função hiperbólica; utilizando a

identidade sen 2x = 1 − cos2 x (ou cosh2 x+ 1 = senh2x).

b) Se n é ímpar positivo, então escreva cosn−1 x em função de sen x e considere a

substituição sen x = t . De modo análogo para o caso da função hiperbólica; utilizando a

identidade cos2 x = 1 − sen 2x (ou senh2x = cosh2 x+ 1).

Caso 2. Quando ambos os expoentes m e n são pares não negativos, recomenda-se usar umas

das identidades: sen 2x =1 − cos 2x

2(ou senh2x =

cosh 2x− 1

2) ou cos2 x =

cos 2x+ 1

2

(ou cosh2 x =cosh2x+ 1

2) . Se m+ n = −2k onde k ∈ N é conveniente usar t = tanx ou

t = cotx

Caso 3. Em geral se m e n são inteiros, calculamos a integral com ajuda das fórmulas de

recorrência, as que se deduzem mediante integração por partes.

Observação 1.7.

Temos a seguinte fórmula de recorrência:

I2k+1 =

∫

dx

cos2k+1 x=

∫

sen 2x+ cos2 x

cos2k+1 xdx =

∫

sen 2x

cos2k+1 xdx+

+

∫

dx

cos2k−1 xdx =

∫

sen x · sen x

cos2k+1 x· dx + I2k−1.

Suponhamos que, u = sen x e dv =sen x

cos2k+1 xdx , então du = cosx.dx e v =

1

2k. cos2k xe

mediante a integração por partes obtemos:

I2k+1 =sen x

2k. cos2k x− 1

2k

∫

dx

cos2k−1 xdx + I2k−1 =

sen x

2k. cos2k x+ (1 − 1

2k)I2k−1


Exemplo 1.54.

Calcular as integrais:

a) I =

∫

sen 3x · cos4 x · dx b) J =

∫

senh5x ·√

coshxdx

Solução. a)

Temos que I =

∫

sen 3x · cos4 x · dx =

∫

sen 2x · cos4 x · sen x · dx, sendo sen 2x = 1− cos2 x

então I =

∫

(1 − cos2 x) cos4 x · sen x · dx como cosx = t e d(cosx) = − dt; na integral original

I =

∫

(t6 − t4)dt =1

7t7 − 1

5t5 + C.

Portanto I =

∫

sen 3x · cos4 x · dx =1

7cos7 x− 1

5cos5 x+ C.

Solução. b)

Seja coshx = t, então dt = senhx.dx, logo temos

J =

∫

senh5x ·√

coshx · dx =

∫

senh4x√

coshx · senhx · dx =

=

∫

(t2 − 1)2√t · dt =

∫

(√t9 − 2

√t5 +

√t)dt =

2

11

√t11 − 4

7

√t7 +

2

3

√t3 + C

Portanto, J =2

11

√

cosh11 x− 4

7

√cosh7x+

2

3

√

cosh3 x+ C.

Exemplo 1.55.


a) I =

∫

sen 2x · cos4 x · dx b) J =

∫

senh4x · dx

Solução. a)

Temos que a integral I =

∫

sen 2x · cos4 x · dx =

∫

[1 − cos 2x

2][1 + cos 2x

2]2 · dx, efetuando

operações resulta I =1

8

∫

(1 + cos 2x− cos2 2x− cos3 2x)dx .

A integral∫

cos2 2x · dx =1

2

∫

(1 + cos 4x)dx =1

2x+

1

8sen 4x.

Por outro lado, a integral

∫

cos3 2x · dx =

∫

cos2 2x · cos 2x · dx =

∫

(1 − sen 22x) · cos 2x · dx =1

2sen 2x− 1

6sen 32x

Assim, I =1

8[x+

1

8sen 2x− 1

2x− 1

8sen 4x− 1

2sen 2x+

1

6sen 32x].

Portanto, I =

∫


16[x− 1

4sen 4x+

1

3sen 32x] + C

Observe que esta integral podemos resolver mediante a identidade 2sen x. cosx = sen 2x.


I =

∫


4

∫


8

∫

sen 22x · (1 + cos 2x)dx =

1

8

∫

sen 22x · dx +1

48sen 32x.

A integral1

8

∫

sen 22x · dx =1

16

∫

(1 − cos 4x)dx =1

16[x− sen 4x

4].

Portanto, I =1

16

[

x− sen 4x

4+

sen 32x

3

]

+ C.

Solução. b)

Mediante a identidade recomendada, temos que:

J =

∫

senh4x · dx =

∫

(cosh 2x− 1

2)2dx =

1

4

∫

(cosh2 x− 2 cosh 2x+ 1)dx =

=1

4

∫

(cosh 4x+ 1

2− 2 cosh 2x+ 1)dx =

=1

8

∫

(cosh 4x− 4 cosh 2x+ 3)dx =1

8[senh4x

4− 2senh2x+ 3x] + C

Portanto, J =1

32[senh4x− 8senh2x+ 12x] + C.

Exemplo 1.56.


a) I =

∫

3√

sen x3√

cos13 x· dx b) J =

∫

dx

cos3 x

Solução. a)

Observe que1

3− 13

3= −4, para o cálculo da integral a transformamos em função da tangente.

Logo I =

∫

3√

sen x3√

cos13 x· dx =

∫

3√

tanx · dx

cos4 x=

=

∫

3√

tanx(1 + tan2 x) sec2 x · dx =3

4

3√

tan4 x+3

10

3√

tan10 x+ C

Solução. b)

Mediante a fórmula da Observação (1.7), temos que k = 1; logo

J =

∫

dx

cos3 x= I3 =

sen x

2 cos2 x+

1

2

∫

dx

cosx=

sen x

2 cos2 x+

1

2Ln(tanx+ secx) + C

Portanto, J =sen x

2 cos2 x+

1

2Ln(tanx+ secx) + C.


tanm x. secn x.dx e∫

cotm x. cscn x.dx

Também estes métodos são válidos para as integrais do tipo

∫

tanhm x.sechnx.dx ou∫

cothm x.cschnx.dx


Quando m é ímpar e n par, ámbos positivos devemos utilizamos uma das seguintes identi-

dades: sec2 x− tan2 x = 1 ou sech2x+tanh2 x = 1 ou csc2 x−cot2 x = 1 ou coth2 x−csch2x = 1.

Caso 1. Se m é ímpar positivo, na integral, isole o fator tanx. secx.dx ou cotx. cscx.dx ou

tanhx.sechx.dx ou cothx.cschx.dx, e. O resto dos fatores expressar em função de secx ou

cscx, ou sechx, ou cschx respectivamente.

Caso 2. Se n é um inteiro par positivo, na integral, isole o fator sec2 x ou csc2 x ou sech2x

ou csch2x, e o resto dos fatores escreva em função de tanx ou cotx ou tanhx ou cothx

respectivamente.

Caso 3. Para os casos m e n negativos é melhor trabalhar com senos e cosenos.

Exemplo 1.57.


a) I =

∫

tan3 x

sec4 x· dx b) J =

∫

tanh3 x ·√

sechx · dx

Solução. a)

Observe que:

I =

∫

tan3 x

sec4 x· dx =

∫

tan2 x

sec5 x· tanx · sec ·dx =

∫

(sec2 x− 1)

sec5 x· tanx · secx · dx

a mudança secx = t permite escrever secx · tanx · dx = dt.

Logo I =

∫

(t2 − 1)

t5dt = −1

2t−2 +

1

4t−4 + C = −1

2sec−2 x+

1

4sec−4 x+ C.

Portanto I =1

4cos2 x(cos2 x− 2) + C

Solução. b)

Pelo Caso 1., temos que J =

∫

tanh3 x ·√

sechx · dx =

∫

tanh3 x√sechx

· tanhx · sechx · dx =∫

(1 − sech2x)√sechx

· tanhx · sechx · dx.

Fazendo t = sechx resulta dt = −sechx · tanhx · dx. Logo J = −∫

(√t−1 −

√t3)dt =

−[2√t− 2

5

√t5] + C =

2

5[√

sech5x− 5√

sechx] + C =2

5

√sechx[sechx− 5] + C.

Portanto, J =2

5

√sechx [sechx− 5] + C.

Exemplo 1.58.


a) I =

∫

csch6x · dx b) J =

∫

sec4 x ·√

tan3 x · dx

Solução. a)


Seja cothx = t, então dt = −csch2x·dx e, a integral I =

∫

csch6x·dx =

∫

csch4x·csch2 ·dx =∫

(coth2 x− 1)2 · csch2x · dx =

∫

(coth4 x− 2 coth2 x+ 1) · csch2x · dx = −∫

(t4 − 2t2 + 1)dt =

− [1

5coth5 x− coth3 x+ cothx] + C.

Portanto, I = −1

5coth5 x+ coth3 x− cothx+ C.

Solução. b)

J =

∫

sec4 x·√

tan3 x·dx =

∫

sec2 x·√

tan3 x·sec2 x·dx =

∫

(1+tan2 x)·√

tan3 x·sec2 x·dx:

considere t = tanx, então dt = sec2 x · dx, logo J =

∫

(√t3 +

√t7)dt =

2

5

√t5 +

2

9

√t9 + C.

Portanto, J =2

5

√tan5 x+

2

9

√tan9 x+ C.


sec2n+1 x · dx e∫

csc2n+1 x · dx .

Estas integrais de potências positivas ímpares da secante e cosecante, determinamos mediante

as fórmulas recorrentes:∫

sec2n+1 x · dx =sen x

2n · cos2n x+ (1 − 1

2n)

∫

sec2n−1 x · dx∫

csc2n+1 x · dx = − cosx

2n · sen 2nx+ (1 − 1

2n)

∫

csc2n−1 x · dx

Exemplo 1.59.

Calcular a integral: I =

∫

csc5 x · dxSolução.

Observe que 2n + 1 = 5, logo n = 2, então I =

∫

csc5 x · dx =

∫

csc2(2)+1 x · dx =

− cosx

2(2) · sen 2(2)x+ (1 − 1

2(2))

∫

csc2(2)−1 x · dx; isto é

I = − cosx

4sen 4x+

3

4

∫

csc3 x · dx

Aplicando novamente a fórmula à integral J =

∫

csc3 x · dx observe que aqui n = 1 e temos:

J = − cosx

2sen 2x+ (1 − 1

2)

∫

cscx · dx = − cosx

2sen 2x+

1

2Ln[tan(

x

2)]

Assim, I = − cosx

4sen 4x+

3

4

[

− cosx

2sen 2x+

1

2Ln[tan(

x

2)]

]

Portanto, I = − cosx

4sen 4x− 3 cosx

8sen 2x+

3

8Ln[tan(

x

2)] + C.

Observação 1.8.

No exemplo precedente, mostre que realmente∫

cscx · dx = Ln[tan(x

2)] + C, e determine

fórmulas recorrentes para as funções hiperbólicas da secante e cosecante.


1.3.3.4 Integrais do tipo :∫

sen (mx) · cos(nx)dx,∫

cos(mx) · cos(nx)dx e∫

sen (mx) · sen (nx)dx

Este método também é válido para as funções hiperbólicas do seguinte tipo:∫

senh(mx) ·

cosh(nx) · dx,∫

cosh(mx) · cosh(nx) · dx e∫

senh(mx) · senh(nx) · dx.Para calcular estas integrais as seguintes identidades possibilitam a representação do produto

em forma de soma.

a) sen (mx). cos(nx) =1

2[sen (m− n)x+ sen (m+ n)x]

b) sen (mx).sen (nx) =1

2[cos(m− n)x− cos(m+ n)x]

c) cos(mx). cos(nx) =1

2[cos(m− n)x+ cos(m+ n)x]

d) senh(mx). cosh(nx) =1

2[senh(m− n)x+ senh(m+ n)x]

e) senh(mx).senh(nx) =1

2[cosh(m− n)x− cosh(m+ n)x]

f) cosh(mx). cosh(nx) =1

2[cosh(m− n)x+ cosh(m+ n)x]

Lembre que:

a) sen (−x) = −sen x b) cos(−x) = cosx

c) senh(−x) = −senhx d) cosh(−x) = coshx

Exemplo 1.60.


a) I =

∫

senh4x · senh3x · dx b) J =

∫

cos 4x · cos 3x · dx

Solução. a)

Considere m = 4 e n = 3, então temos que

I =

∫

senh4x · senh3x · dx =1

2

∫

(cosh 7x− coshx)dx =1

2[1

7senh7x− senhx] + C

Portanto, I =1

14senh7x− 1

2senhx+ C.

Solução. b)

Considere m = 4 e n = 3, então temos que

J =

∫

cos 4x · cos 3x · dx =1

2

∫

(cosx+ cos 7x)dx =1

2[sen x+

1

7sen 7x] + C


Portanto, J =1

2sen x+

1

14sen 7x+ C.

Exemplo 1.61.


a) I =

∫

cosh 4x · senhx · dx b) J =

∫

sen 2x · cos 3x · dx

Solução. a)

A integral I =

∫

cosh 4x · senhx · dx =

∫

senhx · cosh 4x · dx , então m = 1 e n = 4 logo,

I =1

2

∫

(senh5x− senh3x)dx =1

2[1

5cosh 5x− 1

3cosh 3x] + C

Portanto, I =1

10cosh 5x− 1

6cosh 3x+ C.

Solução. b)

Temos J =

∫

sen 2x·cos 3x·dx =1

2

∫

[sen (2−3)x+sen (2+3)x]dx =1

2[cosx− 1

5cos 5x]+C.

Portanto, J =1

2[cosx− 1

5cos 5x] + C.

Exemplo 1.62.


a) I =

∫

sen 4x+ cos4 x

sen 2x− cos2 x· dx b) J =

∫

cosx · dx3√

(2sen x)7 · cos8 x

Solução. a)

Lembrar que: sen 2x = 2sen x · cosx e cos 2x = cos2 x− sen 2x.

I =

∫

sen 4x+ cos4 x

sen 2x− cos2 x· dx = −

∫

(sen 2x+ cos2 x)2 − 2sen 2x · cos2 xsen 2x− cos2 x

· dx =

= −1

2

∫

2 − sen 22x

cos 2x· dx = −1

2

∫

1 + cos2 2x

cos 2x· dx = −1

2

∫

sec 2x+ cos 2x)dx =

= −1

4[Ln(sec 2x+ tan 2x) − sen 2x] + C

Por tanto, I = −1

4[Ln(sec 2x+ tan 2x) − sen 2x] + C.

Solução. b)

J =

∫

cosx · dx3√

(2sen x)7 · cos8 x=

∫

cosx · dx3√

27sen 7x · cos8 x=?

esta integral não é nenhum dos casos estudados; é conveniente transformar em outras funções

como por exemplo em tangente ou secante.


J =

∫

cosx · dx3√

(2sen x)7 · cos8 x=

13√

27

∫

sec4 x3√

tan8 xdx =

1

4 3√

2

∫

1 + tan2 x3√

tan8 x· sec2 x · dx

Considere t = tanx, então dt = sec2 x · dx; logo a integral original resulta em:

J =1

4 3√

2

∫

(3√t−8 +

3√t−2)dt =

1

4 3√

2[− 3

5

3

√

t−5 + 33√t] + C

Portanto, J =3

4 3√

2[

3√

tanx− 1

5

3√

cot5 x] + C.

Exemplo 1.63.


∫

sen 2x

cos6 x· dx.

Solução.

I =

∫

sen 2x

cos6 x· dx

∫

tan2 x · sec4 x · dx =

∫

tan2 x(1 + tan2 x) sec2 x · dx =

∫

(t2 + t4)dt

onde t = tanx, e dt = sec2 x · dx. Logo, I = 13 t

3 + 15 t

5 + C.

Portanto, I =1

3tan3 x+

1

5tan5 x+ C.

1.3.4 Integração por Substituição Trigonométrica.

As integrais do tipo∫

R(x,√

px2 + qx+ r) ·dx onde R é uma função racional nas variáveis x

e√

px2 + qx+ r podem ser simplificadas mediante uma substituição trigonométrica adequada.

Observe que o trinômio px2 + qx + r, completando quadrados, pode ser escrito como uma

das formas: a2 − u2, u2 + a2, ou u2 − a2.

a u

√a2 − u2

s t

Figura 1.1: Caso I

√a2 + u2 u

as t

Figura 1.2: Caso II

Caso I

Se o trinômio tem a forma a2 − u2, recomenda-se a substituição u = a · sen t, a > 0; logo

temos que dut = a · cos t · dt, observe que√a2 − u2 = a · cos t.

Para voltar à variável original u utilizarmos as relações do triângulo da Figura (1.1).

Caso II

Se o trinômio tem a forma u2 + a2, recomenda-se a substituição u = a · tan t; logo temos que,

du = a · sec2 t · dt, observe que√a2 + u2 = a · sec t.


Para voltar à variável original u utilizarmos as relações do triângulo da Figura (1.2).

Caso III

u√u2 − a2

as t

Figura 1.3: Caso III

Se o trinômio tem a forma u2 − a2, recomenda-se a

substituição u = a · sec t, u > 0; logo temos que, du =

a · sec t · tan t · dt, observe que√u2 − a2 = a · tan t.

Para voltar à variável original u utilizarmos as relações

do triângulo da Figura (1.3).

Exemplo 1.64.


∫

√

9 − x2dx

Solução.

Consideremos a mudança de variável x = 3sen t, então:

I =

∫

√

9 − x2dx =

∫

√

32 − 32sen 2tdt = 9

∫

cos2 t · dt =

=9

2

∫

(1 + cos 2t)dt =9

2[t− sen 2t

2] + C =

9

2[t+ sen t · cos t] + C

Da Figura (1.4) resulta: I =9

2[arcsen(

x

3) +

x√

9 − x2

9] + C.

3 x

√9 − x2

s t

Figura 1.4:

x√x2 − 16

4s t

Figura 1.5:

Exemplo 1.65.


∫

x3 · dx√x2 − 16

Solução.

É uma integral do terceiro caso, seja x = 4 sec t, então dx = 4 sec t · tan t · dt, logo:

I =

∫

64 sec3 t · 4 · sec t · tan t · dt√16 sec2 t− 16

= 64

∫

sec4 t · dt =

= 64

∫

(1 + tan2 x) sec2 x · dx = 64[tan t+1

3tan3 t] + C

Da Figura (1.5) temos: I = 16√

x2 − 16 +1

3

√

(x2 − 16)3.

Portanto, I =1

3

√

x2 − 16(x2 + 32) + C.

Exemplo 1.66.


√x2 + 2x+ 1 x+ 1

3s t

Figura 1.6:


∫

x2 · dx√x2 + 2x+ 10

Solução.

Observe que :

I =

∫

x2 · dx√x2 + 2x+ 10

=

∫

x2 · dx√

(x+ 1)2 + 32.

Seja x+ 1 = 3 tan t, então dx = 3 sec2 t · dt, logo:

I =

∫

x2 · dx√x2 + 2x+ 10

=

∫

(3 tan t− 1)2 · 3 sec2 t · dt3 sec t

=

=

∫

(3 tan t− 1)2 · sec t · dt =

∫

(9 tan2 t− 6 tan t+ 1) · sec t · dt =

= 9

∫

√

sec2 t− 1 · tan t · sec t · dt− 6

∫

tan t · sec t · dt+

∫

sec t · dt =

=9

2sec t · tan t− 3 sec2 t− 7

2Ln(sec t− tan t) + C

Da Figura (1.6) temos que: 3 tan t = x+ 1 e 3 sec t =√x2 + 2x+ 10, assim:

I =1

2(x+ 1)

√

x2 + 2x+ 10 − 1

3(√

x2 + 2x+ 10)2 − 7

2Ln(

√

x2 + 2x+ 10 + x+ 1) + C

Portanto, I = − 1

6

√

x2 + 2x+ 10(2x2 + x+ 17) − 7

2Ln(

√

x2 + 2x+ 10 + x+ 1) + C.

Observação 1.9.

Das propriedades de logaritmo, e para C1 constante temos que

Ln[f(x)] + C1 = Ln[f(x)] + LnC = Ln[C.f(x)]

onde C = LnC1 é constante.

Exemplo 1.67.


∫

e−x · dx√

(9e−2x + 1)3

Solução.

Observe a Figura (1.7), podemos aplicar a substituição do segundo caso; isto é seja tan t =

3 · e−x , então sec2 t.dt = −3 · e−x · dx e a integral transforma-se em:

I = − 1

3

∫

sec2 t · dtsec3 t

= −1

3

∫

cos t · dt = −1

3sen t+ C =

−e−x

√9e−2x + 1

+ C

Portanto, I =−e−x

√9e−2x + 1

+ C.

Exemplo 1.68.


√9e−2x + 1 3e−x

1s t

Figura 1.7:

2x− 3 2√x2 − 3x+ 2

1s t

Figura 1.8:


∫

x√

1 − x√2 − x

dx

Solução.

I =

∫

x√

1 − x√2 − x

dx =

∫

x√

1 − x ·√

1 − x√2 − x ·

√1 − x

dx =

=

∫

x(1 − x)√x2 − 3x+ 2

=

∫

x(1 − x) · dx√

(x− 32)2 − (1

2)2

Da Figura (1.8) temos x− 1

3=

1

2sec t, então dx =

1

2sec t · tan t · dt, logo:

I =

∫

x(1 − x) · dx√

(x− 32)2 − (1

2)2=

∫

(12 sec t+ 3

2)(1 − 32 − 1

2 sec t) · 12 sec t · tan t · dt

12 tan t

=

=1

4

∫

sec3 t+ 4 sec2 t+ 3 sec t)dt =

= − tan t− 3

4Ln(sec t+ tan t) − 1

4

∫

√

1 + tan2 t · sec2 t · dt =

= − 1

8tan t(8 + sec t) − 7

8Ln(sec t+ tan t) + C1

Portanto I = −√x2 − 3x+ 2

4(2x+ 5) − 7

8Ln(2x− 3 + 2

√

x2 − 3x+ 2) + C.

Observação 1.10.

Quando o integrando apresenta expressões da forma√a2 − u2,

√a2 + u2 , ou

√u2 − a2 a

substituição por funções hiperbólicas é recomendada.

Deste modo, para√a2 − u2 recomenda-se u = a · tanh t, onde

√a2 − u2 = a · secht; para√

a2 + u2 recomenda-se u = a · senht, onde√a2 + u2 = a · cosh t e para

√u2 − a2 recomenda-se

u = a · cosh t, onde√u2 − a2 = a · senht.

Exemplo 1.69.


∫

x2√

x2 + 4 · dxSolução.

Seja x = 2senht, então I =

∫

x2√

x2 + 4 · dx =

∫

4senh2t · 2 cosh t · cosht · dt =


= 16

∫

senh2t · cosh2 t · dt = 4

∫

senh22t · dt = 2

∫

(cosh 4t− 1)dt =

=1

2senh4t− 2t+ C = 2senht · cosh t(senh2t+ cosh2 t) − 2t+ C =

=1

2x√

x2 + 4(x2

4+x2 + 4

4) − 2senh−1(

x

2) + C

Portanto, I =1

4x√

x2 + 4(x2 + 2) − 2senh−1(x

2) + C.

Exemplo 1.70.

Resolver a integral: I =

∫

dx

x√x2 + x+ 1

Solução.

Temos que x2 + x+ 1 = (x+1

2)2 + (

√3

2)2, logo, nossa integral original podemos escrever na

forma: I =

∫

dx

x√x2 + x+ 1

= I1 − I2 − I3 onde I1 =

∫

√x2 + x+ 1

xdx,

I2 =1

2

∫

1√x2 + x+ 1

dx e I3 =

∫

(x+ 12)dx√

x2 + x+ 1

Temos que a solução da integral I1 é bastante complicada e requer de muito tempo e ha-

bilidade, não acontecendo o mesmo com as outras duas integrais que são imediatas usando as

fórmulas da página 6. Assim:

I2 =1

2

∫

1√

(x+ 12)2 + (

√3

2 )2dx =

1

2Ln

[

(x+1

2) +

√

x2 + x+ 1

]

I3 =

∫

(x+ 12)dx

√

(x+ 12)2 + (

√3

2 )2=

√

(x+1

2)2 + (

√3

2)2 =

√

x2 + x+ 1

I1 =√

x2 + x+ 1 +1

2arcsenh

[

2

3

√3(x+

1

2)

]

− arctan

[

(2 + x)

2√x2 + x+ 1

]

Portanto,

I =1

2arcsenh

[

2

3

√3(x+

1

2)

]

− arctan

[

(2 + x)

2√x2 + x+ 1

]

− 1

2Ln

[

(x+1

2) +

√

x2 + x+ 1

]

+ C


Exercícios 1-4

1. Determine se, as seguintes igualdades são verdadeiras :

1.

∫

sen 2x · dx =2x− sen 2x

4+ C

2.

∫

cosh2(5x) · dx =10x+ senh(10x)

20+ C

3.

∫

sen 3x

cos4 x· dx =

1

3 cos3 x− secx+ C

4.

∫

tanh4 x · dx = x− tanhx− tanh3 x

3+ C

5.

∫

dx

1 − sen x= tanx+ secx+ C

6.

∫

dx√sen x · cos3 x

= 2√tanx+ C

7.

∫

sen (3x) · sen (5x) · dx =sen 2x

4− sen 8x

16+ C

8.

∫

tanh6 x · sech4x · dx =1

7tanh7 x− 1

9tanh9 x+ C

9.

∫

√2 · dx

cos3 x ·√

sen 2x=

2

5

√tanx(5 + tan2 x) + C

10.

∫

sen 52x · cos3 2x · dx =1

12sen 62x− 1

16sen 82x+ C

11.

∫

√

(1 + cos 4x)3 · dx =√

2sen 2x−√

2

3sen 32x+ C

12.

∫

tan3 3x · sec3 3x · dx =1

15sec5 3x− 1

9sec3 3x+ C

13.

∫

cosh 3x · coshx · dx =1

8cosh 5x+

1

4senh2x+ C

14.

∫

sen 3x · dx3√

cos4 x= 3

√secx(

3

5cos2 x+ 3) + C

15.

∫ √cotx · cos9 x · dx = 2

√sen x− 4

5

√sen 5x+

2

9

√sen 9x+ C

16.

∫

sen 3x · cosx · dx =3

16cos 2x− 3

32cos 4x+

1

48cos 6x+ C

17.

∫

cos5 x

sen x· dx = Ln(sen x) − sen 2x+

1

4sen 4x+ C

18.

∫

cos3 x · dxsen 2x+ sen x

= Ln(sen x) − sen x+ C

19.

∫

tan4(x

4) · dx =

2

3tan3(

x

2) − 2 tan(

x

2) + x+ C

20.

∫

cos(x

2) · cos(x

3) · dx =

3

5sen (

5x

6) + 3sen (

x

3) + C

21.

∫

dx

x4√x2 + 3

=

√x2 + 3

9x−

√

(x2 + 3)3

27x3+ C


22.

∫

√

4 + x2 =1

2[x

√

4 + x2 + Ln(x+√

4 + x2)] + C

23.

∫

dx

(x+ 1)3√x2 + 2x

=1

2arcsec(x+ 1) +

√x2 + 2x

2(x+ 1)2+ C

24.

∫

sen x · dx√cos2 x+ 4 cosx+ 1

= − Ln(cosx+ 2 +√

cos2 x+ 4 cosx+ 1) + C

25.

∫

x2 − 3

x√x2 − 4

· dx =1

2[Ln(x2 +

√

x4 − 4) − 3

2arcsec(

x2

2)] + C

26.

∫

dx

(x2 − 3)√

4 − x2=

1

2Ln[

x−√

3√

4 − x2

x+√

3√

4 − x2] + C

27.

∫

dx

(x2 + 1)(x+√x2 + 1)

= Ln[x+

√x2 + 1√

x2 + 1] + C

28.

∫

x5 · dx√x2 − 9

=x2 − 9

5(x4 − 4x2 + 19) + C

29.

∫

x√

1 − x√2 − x

· dx = −√x2 − 3x+ 2

4(5 + 2x) − 7

8Ln(2x− 3 + 2

√

x2 − 3x+ 2) + C

30.

∫

x2√

x2 + 4 · dx =

√x2 + 4

4(x2 + 2) − senh−1(

x

2) + C

31.

∫

x2 · dx√x2 + 4x− 5

=

√x2 + 4x− 5

6(x− 6) +

15

2cosh−1(

x+ 2

3+ C

32.

∫

e−x · dx√

[(3e−x)2 + 1]3= − e−x

√1 + 9e−2x

+ C

33.

∫

(x2 − x)dx√x2 + 3

=

√x2 + 3

5(x4 − 4x2 + 19) + C

2. Calcular as integrais de funções trigonométricas e hiperbólicas:

1.

∫

sen 4x · dx 2.

∫

cos5 x · dx 3.

∫

tan5 x ·√

cos3 x · dx

4.

∫

tan6 x · dx 5.

∫

cos7 x · sen 3x · dx 6.

∫

sen 23x · cos4 3x · dx

7.

∫

cot5 x · dx 8.

∫

cos 2x · cos 7x · dx 9.

∫

sec4 x ·√

cot3 x · dx

10.

∫

senh3x · dx 11.

∫

sen 3x · cos3 x · dx 12.

∫

senh2x · cosh 5x · dx

13.

∫

tan3 x · dx 14.

∫


∫

sen 8x · sen 3x · dx

16.

∫

sen 3x · dx 17.

∫

senh4x · senhx · dx 18.

∫

sen x · sen 2x · sen 3x · dx

19.

∫

sec4 x

tan4 x· dx 20.

∫

dx

sen 2x · cos4 x 21.

∫

cos2 x · dxsen 2x+ 4sen x · cosx

22.

∫

cot2 x · dx 23.

∫

cos2 x · sen 24x · dx 24.

∫

sen 2(x

4) · cos2(x

4) · dx


25.

∫

tan4(x

2) · dx 26

∫

dx√sen 3x · cos5 x

27.

∫

dx

3 + 5sen x+ 3 cosx

28.

∫

sen 2(πx)

cos6(πx)· dx 29.

∫

cot2 x · cscx · dx 30.

∫

sen 2x · dxcos3 x− sen 2x− 1

3. Obter a fórmula∫

secx · dx do modo seguinte:

1. Escrevendo:

secx =1

cosx=

cosx

cos2 x=

cosx

1 − sen 2x=

1

2[

cosx

1 + sen x+

cosx

1 − sen x]

2. Mediante a substituição t = tan(x

2)

4. Mediante substituição trigonométrica, calcular as seguintes integrais:

1.

∫

x2 · dx√1 − x2

2.

∫

√x2 − 1

xdx 3.

∫

x2√

4 − x2

4.

∫

dx

x2√

1 + x25.

∫

dx

(x2 + 1)√

1 − x26.

∫

x3 · dx√2x2 + 7

7.

∫

dx√a2 − x2

8.

∫

(4x+ 5) · dx√

(x2 − 2x+ 2)39.

∫

(2x− 3) · dx√

(x2 + 2x− 3)3

10.

∫

√x2 − 4x · dx

x311.

∫

x4 · dx√

(4 − x2)712

∫

√

(x2 − 25)3 · dxx6

13.

∫

√

1 − 2x− x2dx 14.

∫

dx√

(x2 + 9)315.

∫

x3 · dx√4 − x2

16.

∫

2x2 − 4x+ 1√3 + 2x− x2

dx 17

∫

√

y2 − 4

y4dy 18.

∫

dx√

(x2 − 2x+ 5)3

19.

∫

dx

(x2 − 1)√x2 − 2

20.

∫

2x2 + 1

(x2 + 4)2· dx 21.

∫

dx

(2x2 + 1)√x2 + 1

22.

∫

x2 · dx(x2 − 1)4

23

∫

x2 · dx(x2 + 4)3

24.

∫

x · dx(x2 − 2)

√x4 − 4x2 + 5

25.

∫

2x3 · dx(x2 − 1)4

26.

∫

e2x · dx√

(e2x − 2ex + 5)327.

∫

√

(3 − 2x− x2)3 · dx

28.

∫

x · dx√x2 + 1

29

∫

dx√

x2 + px+ q30.

∫

√

x2 + 2x+ 5 · dx

31.

∫

(2x− 8) · dx√1 − x− x2

32

∫

√

2 − x− x2 · dx 33.

∫

√1 − cos2 x · dx√

4 cosx+ 1 + cos2 x

34.

∫

dx

x3√x2 − a2

35.

∫

dt

t ·√

16 − t236.

∫

x2√

(a2 − x2)3 · dx

37.

∫

x5 · 3√

8 + x2 · dx 38.

∫√x+ 5

x· dx 39.

∫

dx

9x2 − 6x+ 2

40.

∫

x2 + 1

x3 + 1· dx 41.

∫

x3 · dx√

(ax+ b)342.

∫

√

(x4 + 1)3

x2· dx


43.

∫

√

a+ x

a− x· dx 44.

∫

√

(2x2 + 7)7 · dxx

45.

∫

x · Lnx · dx√1 − x2

46.

∫

x · dx√1 − 2x2 − x4

47.

∫

(2x+ 1) · dx√

(4x2 + 1 − 2x)3

5. Mediante integração por partes, mostre as seguintes fórmulas de redução [16]:

1.∫

sen nx · dx = − sen n−1x · cosxn

+n− 1

n

∫

sen n−2x · dx

2.∫

cosn x · dx =cosn−1 x · sen x

n+n− 1

n

∫

cosn−2 x · dx

3.∫

dx

(x2 + 1)2=

x

2(n− 1)(x2 + 1)n−1+

2n− 3

2(n− 1)

∫

dx

(x2 + 1)n−1


1.3.5 Integração de Funções Racionais.

Chama-se função racional aquela do tipo f(x) =P (x)

Q(x)onde P (x) e Q(x) são polinômios.

Uma função racional chama-se própria, se o grau do polinômio P (x) for menor que o grau do

polinômio Q(x); no caso contrário a função racional chamasse imprópria.

São funções racionais elementares aquelas funções racionais impróprias dos seguintes tipos:

a)a

x− p

b)a

(x− p)monde m é um número inteiro maior que a unidade.

c)ax+ b

x2 + px+ qonde p2 < 4q , isto é, o denominador é sempre positivo (não tem raízes reais).

d)ax+ b

(x2 + px+ q)nonde n é um número inteiro maior que a unidade e o denominador é sempre

positivo (não tem raízes reais).

Onde a, b, c, p e q são constantes reais.

Para as integrais do tipo a) e b), mediante mudança de variável mostra-se que:

1o

∫

a

x− p· dx = a · Ln | x− p | + C

2o

∫

a

(x− p)m· dx = − a

(m− 1)· 1

(x− p)m−1+ C; lembre que m > 1.

Para o caso particular de uma função racional elementar do tipo c), onde a = 0 e b = 1

tem-se:

x2 + px+ q = x2 + 2 · p2x+ q = x2 + 2 · p

2x+ q + (

p

2)2 − (

p

2)2 =

(x+p

2)2 + q − (

p

2)2 = (x+

p

2)2 +

4q − p2

4=

= (x+p

2)2 + (

√

4q − p2

4)2 = u2 + r2

desde que p2 < 4q, u = x+p

2e r =

√

4q − p2

4.

Assim, a integral I =

∫

dx

x2 + px+ q=

∫

du

u2 + r2=

1

r2arctan(

u

r) + C.

Portanto:

3o I =

∫

dx

x2 + px+ q=

2√

4q − p2arctan[

2x+ p√

4q − p2] + C

Para o caso geral de uma função racional elementar do tipo c), tem-se:

Escrevemos ax+ b sob a forma ax+ b =a

2(2x+ p) + (b− ap

2) ; então a integral:

4o I =

∫

(ax+ b)dx

x2 + px+ q=a

2

∫

(2x+ p) · dxx2 + px+ q

+ (b− ap

2)

∫

dx

x2 + px+ q


Na primeira integral o numerador é a derivada do numerador. A segunda integral é determi-

nada pela fórmula estudada do caso 3o).

Para as integrais do tipo d), separemos o numerador da derivada do denominador como

segue:

I =

∫

ax+ b

(x2 + px+ q)n=

∫ a2 (2x+ p) + (b− ap

2 )

(x2 + px+ q)n=

I =a

2

∫

(2x+ p)dx

(x2 + px+ q)n+ (b− ap

2)

∫

dx

(x2 + px+ q)n

Portanto:

5o I =

∫

ax+ b

(x2 + px+ q)n=a

2

∫

(2x+ p)dx

(x2 + px+ q)n+ (b− ap

2)

∫

dx

(x2 + px+ q)n

A primeira integral do segundo membro resolve-se com a substituição u = x2 + px + q e a

segunda integral J , do seguinte modo:

J =

∫

dx

(x2 + px+ q)n=

∫

dx

[(x+ p2)2 + (4q−p2

4 )2]n, considerando u = x +

p

2e r2 =

4q − p2

4

obtemos J =∫

dx

(x2 + px+ q)n=

∫

du

(u2 + r2)n.

Deste modo, a integração de uma função racional do tipo d) pode resolve-se com ajuda de

uma fórmula de recorrência.

Observação 1.11.

Estudemos um caso particular da função racional elementar do tipo d).

Para a integral In =

∫

dx

(x2 + r2)nonde n é um inteiro positivo, temos a seguinte formula

de recorrência:

In =1

2r2(n− 1)· x

(x2 + r2)n−1+

1

r2· In−1 (1.8)

Esta fórmula (1.8) permite depois de aplicada n vezes, reduzir à integral dada In a uma

imediata.

Exemplo 1.71.

Calcular a integral I =

∫

dx

x2 + 6x+ 25Solução.

I =

∫

dx

x2 + 6x+ 25=

∫

dx

(x+ 3)2 + 42=

∫

d(x+ 3)

(x+ 3)2 + 42=

1

4arctan[

x+ 3

4] + C

Portanto, I =1

4arctan[

x+ 3

4] + C.

Exemplo 1.72.


∫

dx

2x2 − 2x+ 3Solução.

I =

∫

dx

2x2 − 2x+ 3=

1

2

∫

dx

x2 − x+ 32

=1

2

∫

dx

(x− 12)2 + (

√5

2 )2=

1

2

∫

d(x− 12)

(x− 12)2 + (

√5

2 )2=

1

2· 2√

5arctan[

x− 12√

52

] + C =1√5

arctan[2x− 1√

5] + C


Portanto, I =1√5

arctan[2x− 1√

5] + C.

Exemplo 1.73.


∫

3x− 1

x2 − 4x+ 8Solução.

Tem-se I =

∫

3x− 1

x2 − 4x+ 8=

∫ 32(2x− 4) − 1 + 6

x2 − 4x+ 8· dx =

=3

2

∫

2x− 4

x2 − 4x+ 8· dx+ 5

∫

dx

x2 − 4x+ 8=

1

2Ln[x2 − 4x+ 8] + 5

∫

dx

(x− 2)2 + 22=

=3

2Ln[x2 − 4x+ 8] +

5

2arctan[

x− 2

2] + C

Portanto, I =

∫

3x− 1

x2 − 4x+ 8=

3

2Ln[x2 − 4x+ 8] +

5

2arctan[

x− 2

2] + C.

Exemplo 1.74.

Calcular as seguintes integrais:

a) I =

∫

3 · dx4x2 + 4x− 3

b) J =

∫

dx

x2 − 2x+ 10

Solução. a)

I =

∫

3 · dx4x2 + 4x− 3

=3

4

∫

dx

x2 + x− 34

=3

4

∫

dx

(x+ 12)2 − 1

=3

4· 1

2Ln

[

x− 12

x+ 12

]

+ C

Portanto, I =3

8Ln[

2x− 1

2x+ 1] + C

Solução. b)

J =

∫

dx

x2 − 2x+ 10=

∫

dx

(x− 1)2 + 32=

1

3arctan[

x

3] + C.

Portanto, J =1

3arctan[

x

3] + C.

Exemplo 1.75.


∫

x. · dx2x2 + 2x+ 5

Solução.

Observe que a derivada de (2x2 + 2x+ 5) é (4x+ 2); logo:

I =

∫

x. · dx2x2 + 2x+ 5

=

∫ 14(4x+ 2) − 1

2

2x2 + 2x+ 5· dx =

1

4

∫

(4x+ 2)dx

2x2 + 2x+ 5− 1

2J (1.9)

Onde J =

∫

dx

2x2 − 2x+ 5.

Para o cálculo da integral∫

(4x+ 2)dx

2x2 + 2x+ 5tem-se que

∫

(4x+ 2)dx

2x2 + 2x+ 5= Ln[2x2 + 2x+ 5];

e, o cálculo da integral J =

∫

dx

2x2 − 2x+ 5=

1

2

∫

dx

x2 + x+ 52

=1

2

∫

d(x+ 12)

(x+ 12)2 + (3

2)2=

1

2·


3

4arctan

[

x+ 12

32

]

=1

3· arctan(

2x+ 1

3.

Portanto em (1.9) segue que:

I =

∫

x · dx2x2 + 2x+ 5

=1

4Ln[2x2 + 2x+ 5] − 1

6arctan(

2x+ 1

3) + C.

Exemplo 1.76.


a) I =

∫

(3x− 5) · dxx2 + 6x+ 18

b) J =

∫

(4x+ 5) · dxx(x+ 3)

Solução. a)

Observe que 3x − 5 =3

2(2x + 6) − 14, então I =

3

2

∫

(2x+ 6) · dxx2 + 6x+ 18

− 14

∫

dx

(x+ 3)2 + 9=

3

2Ln(x2 + 6x+ 18) − 14

3arctan(

x+ 3

3) + C.

Portanto, I =

∫

(3x− 5) · dxx2 + 6x+ 18

=3

2Ln(x2 + 6x+ 18) − 14

3arctan(

x+ 3

3) + C.

Solução. b)

Observe que,4 + 5x

x(x+ 3)=A

x+

B

x+ 3=A(x+ 3) +Bx

x(x+ 3), como os denominadores são iguais

então 4 + 5x = x(A+B) + 3A, logo A =4

3e B =

11

3assim,

J =

∫

(4x+ 5) · dxx(x+ 3)

=

∫ 43

x· dx+

∫ 113

x+ 3· dx =

4

3Lnx+

11

3Ln(x+ 3) + C

Portanto, J =4

3Lnx+

11

3Ln(x+ 3) + C.

Exemplo 1.77.

Determine a integral I =

∫

2x3 + 3x

x4 + x2 + 1· dx

Solução.

Seja u = x2, então du = 2x · dx e, I =

∫

2x3 + 3x

x4 + x2 + 1· =

1

2

∫

(2x2 + 3) · 2x · dxx4 + x2 + 1

=

1

2

∫

(2u+ 3)du

u2 + u+ 1=

1

2

∫

(2u+ 1)du

u2 + u+ 1+

∫

du

u2 + u+ 1= Ln[u2 + u + 1] +

∫

d(u+ 12)

(u+ 12)2 + (

√3

2 )2=

1

2Ln[u2 + u+ 1] +

2√3

arctan(2u+ 1√

3) + C.

Portanto, I =1

2Ln[x4 + x2 + 1] +

2√3

arctan(2x2 + 1√

3) + C.

Exemplo 1.78.

Calcular a integral I3 =∫

dx

(x2 + 1)3

Solução.

Segundo a primeira aplicação da fórmula (1.8) da Observação (1.11) temos:

I3 =

∫

dx

(x2 + 1)3=

1

2(1)2(3 − 1)· x

(x2 + 12)3−1+

1

(1)2· (2(3) − 3

2(3) − 2) · I3−1


I ==x

4(x2 + 1)2+

3

4I2;

aplicando a fórmula recorrente à integral I2 tem-se que:

I2 =

∫

dx

(x2 + 1)2=

1

2(1)2(2 − 1)· x

(x2 + 12)2−1+

1

(1)2· (2(2) − 3

2(2) − 2) · I2−1

I2 =x

2(x2 + 1)+

1

2

∫

dx

x2 + 1=

x

2(x2 + 1)+

1

2arctanx

Por último, I3 =x

4(x2 + 1)2+

3

4[

x

2(x2 + 1)+

1

2arctanx] + C.

Portanto, I3 =x

4(x2 + 1)2+

3x

8(x2 + 1)+

3

8arctanx+ C.

Exemplo 1.79.


∫

(3x+ 2)dx

(x2 + 2x+ 10)2

Solução.

Tem-se I =

∫

(3x+ 2)dx

(x2 + 2x+ 10)2=

∫ 32(2x+ 2) + (2 − 3)

(x2 + 2x+ 10)2· dx, assim

I =3

2

∫

(2x+ 2)dx

(x2 + 2x+ 10)2−

∫

dx

(x2 + 2x+ 10)2(1.10)

Onde,∫

(2x+ 2)dx

(x2 + 2x+ 10)2=

∫

du

u2= − 1

u= − 1

x2 + 2x+ 10; por outro lado, aplicando a

fórmula de recorrência (1.8) segue que a integral:

∫

dx

(x2 + 2x+ 10)2=

∫

dx

((x+ 1)2 + 32)2=

=1

2(3)2(2 − 1)· (x+ 1)

((x+ 1)2 + 32)2−1+

1

32(2(2) − 3

2(2) − 2

∫

dx

(x+ 1)2 + 32=

=(x+ 1)

18[(x+ 1)2 + 32]+

1

18.1

3arctan(

x+ 1

3)

Em (1.10) segue, I =

∫

(3x+ 2)dx

(x2 + 2x+ 10)2=

3

2[− 1

x2 + 2x+ 10] − 1

18· (x+ 1)

x2 + 2x+ 10+

1

18·

1

3arctan(

x+ 1

3).

Portanto: I = − 3

2(x2 + 2x+ 10)− (x+ 1)

18(x2 + 2x+ 10)− 1

54arctan(

x+ 1

3) + C.

1.3.5.1 Método dos coeficientes indeterminados.

Antes de proceder à integração de uma função racional é necessário efetuar as transformações

algébricas e seguintes cálculos:


1o Se a função racional é imprópria, escrever sob a forma:

P (x)

Q(x)= M(x) +

P1(x)

Q1(x)

onde M(x) é um polinômio eP1(x)

Q1(x)é uma função racional própria.

2o Decompor o denominador Q(x) em produto de fatores lineares e quadráticos : Q(x) = (x −a)m . . . (xn + px + q)n . . . onde p2 < 4q (isto é o trinômio: xn + px + q , tem raízes

complexas).

3o Desenvolver a função racional própria em funções simples:P1(x)

Q1(x)=

A1

(x− a)m+

A2

(x− a)m−1+

A3

(x− a)m−2+ . . .+

Am

(x− a)+ . . .+

B1x+ C1

(x2 + px+ q)n+

+B2x+ C2

(x2 + px+ q)n−1+

B3x+ C3

(x2 + px+ q)n−2+ . . .+

Bnx+ Cn

(x2 + px+ q)

4o Calcular os coeficientes A1, A2, . . . Am, B1, B2, . . . Bn, C1, C2, . . . Cn para o qual deve-se

reduzir a última igualdade a um denominador comum; logo agrupar os coeficientes adjuntos

de iguais potências de x e utilizar igualdade de polinômios.

Como resultado, a integração de uma função racional se reduz à determinação de integrais

de polinômio e das funções simples; e se apresentam os seguintes casos:

Caso I. O denominador têm somente raízes reais diferentes sem multiplicidade; isto é, o denom-

inador podemos decompor como o produto de fatores distintos de primeiro grau.

Caso II. O denominador tem somente raízes reais diferentes algumas de elas com multiplicidade;

isto é, o denominador podemos decompor como o produto de fatores distintos de primeiro

grau, e alguns de eles se repetem.

Caso III. Entre as raízes do denominador existem algumas que são complexas e não se repetem;

isto é o denominador podemos escrever como o produto de fatores de primeiro grau e

quadráticos (que não se repetem).

Caso IV. Entre as raízes do denominador existem complexas e múltiplas, isto é o denominador

tem fatores quadráticos que se repetem.

Exemplo 1.80.


∫

x+ 3

x2 + 3x+ 2· dx

Solução.

Observe que x2 + 3x+ 2 = (x+ 2)(x+ 1); então estamos no Caso I e,

x+ 3

x2 + 3x+ 2=

A

x+ 2+

B

x+ 1=A(x+ 1) +B(x+ 2)

x2 + 3x+ 2

onde:

x+ 3 = A(x+ 1) +B(x+ 2) = x(A+B) + (A+ 2B)


Podemos supor x = 0, então 0 + 3 = 0(A + B) + (A + 2B) , o que implica A + 2B = 3; e,

quando consideramos x = 1, então 1 + 3 = 1(A+B) + (A+ 2B, então 2A+ 3B = 4.

Resolvendo o sistema A+ 2B = 3 e 2A+ 3B = 4 tem-se que A = −1 e B = 2.

A integral I =

∫

x+ 3

x2 + 3x+ 2· dx =

∫ −1

x+ 2· dx+

∫

2

x+ 1· dx = Ln(x+2)+2Ln(x+1)+

Const. = Ln[(x+ 2)2

x+ 1] + Const.

Portanto, I =

∫

x+ 3

x2 + 3x+ 2· dx = Ln[

(x+ 2)2

x+ 1] + Const.

Exemplo 1.81.


∫

x2 + 2x+ 6

(x− 1)(x− 4)(x− 2)· dx

Solução.

É uma integral do Caso I, e podemos escrever:x2 + 2x+ 6

(x− 1)(x− 4)(x− 2)=

A

x− 1+

B

x− 4+

C

x− 2=

= A(x−4)(x−2)+B(x−1)(x−2)+C(x−1)(x−4)(x−1)(x−4)(x−2) ;

por igualdade de polinômios, resulta:

x2 + 2x+ 6 = A(x− 4)(x− 2) +B(x− 1)(x− 2) + C(x− 1)(x− 4) =

x2(A+B + C) + x(−6A− 5B − 3C) + (8A+ 4B + 2C);

onde: 1 = A+B + C, 2 = −6A− 5B − 3C e 6 = 8A+ 4B + 2C.

Resolvendo o sistema tem-se que A = 3, B = −7 e C = 5.

Logo I =

∫

x2 + 2x+ 6

(x− 1)(x− 4)(x− 2)· dx =

∫

3 · dxx− 1

+

∫

(−7) · dxx− 4

+

∫

5 · dxx− 2

=

= 3Ln(x− 1) − 7Ln(x− 4) + 5Ln(x− 2) + Const. = Ln[(x− 1)3(x− 2)5

(x− 4)7] + Const.

Portanto, I =

∫

x2 + 2x+ 6

(x− 1)(x− 4)(x− 2)· dx = Ln[

(x− 1)3(x− 2)5

(x− 4)7] + Const.

Exemplo 1.82.


∫

(x2 + 4x+ 4) · dxx(x− 10)2

Solução.

Estamos a resolver uma integral do Caso II; a função(x2 + 4x+ 4)

x(x− 10)2é racional própria e seu

desenvolvimento é da forma:

(x2 + 4x+ 4)

x(x− 10)2=A

x+

B

x− 1+

C

(x− 1)2

onde x2 +4x+4 = A(x−1)2 +Bx(x−1)+Cx = x2(A+B)+x(−2A−B+C)+A; logo, A = 4

e A+B = 1, onde B = −3; de −2A−B +C = 4 e dos valores calculados de A e B, segue que

C = 9.

Assim, I =

∫

(x2 + 4x+ 4) · dxx(x− 10)2

=

∫

4 · dxx

+

∫

(−3) · dxx− 1

+

∫

9 · dx(x− 1)2

= 4Lnx− 3Ln(x−

1) − 9

x− 1+ Const.


Portanto, I =

∫

(x2 + 4x+ 4) · dxx(x− 10)2

= Ln[x4

(x− 1)3− 9

x− 1] + Const.

Exemplo 1.83.


∫

x2 + 1

(x− 1)3(x+ 3)· dx

Solução.

É uma integral do Caso II; ao fator (x − 1)3 corresponde à soma de três funções racionais

simplesA

(x− 1)3+

B

(x− 1)2+

C

(x− 1), e ao fator (x + 3) corresponde

D

x+ 3; assim, do fato os

denominadores serem iguais tem-se:x2 + 1

(x− 1)3(x+ 3)=

A

(x− 1)3+

B

(x− 1)2+

C

(x− 1)+

D

x+ 3;

onde:

x2 + 1 = A(x+ 3) +B(x− 1)(x+ 3) + C(x− 1)2(x+ 3) +D(x− 1)3

Quando x = −3, tem-se (−3)2 + 1 = −64D então D = − 5

32, e quando x = 1, tem-se:

12 + 1 = 4A, onde A =1

2.

Por outro lado, x2+1 = x3(C+D)+x2(B−2C+3D)+x(A+2B−5C+3D)+(A−3B+3C−D),

então C+D = 0, onde C =5

32; e de A−3B+3C−D = 1 segue que −3B = 1− 1

2−3(

5

32)+(− 5

32)

onde B =3

8.

A integral I =

∫

x2 + 1

(x− 1)3(x+ 3)·dx =

∫

(12) · dx

(x− 1)3+

∫

(38) · dx

(x− 1)2+

∫

( 532) · dxx− 1

+

∫

(− 532) · dxx+ 3

=

1

2

∫

dx

(x− 1)3+

3

8

∫

dx

(x− 1)2+

5

32

∫

dx

x− 1− 5

32

∫

dx

x+ 3= − 1

4(x− 1)2− 3

8(x− 1)+

5

32Ln(x−

1) − 5

32Ln(x+ 3) + Const.

Portanto, I =

∫

x2 + 1

(x− 1)3(x+ 3)· dx = − 1

4(x− 1)2− 3

8(x− 1)+

5

32Ln[

x− 1

x+ 3] + Const.

Exemplo 1.84.


∫

dx

x5 − x2

Solução.

Es uma integral do Caso III; observe que x5 − x2 = x2(x2 + x+ 1)(x− 1), então

1

x5 − x2=

1

x2(x2 + x+ 1)(x− 1)=A

x2+B

x+

C

x− 1+

Dx+ E

x2 + x+ 1

como os denominadores são iguais tem-se

1 = A(x2 + x+ 1)(x− 1) +Bx(x2 + x+ 1)(x− 1) + Cx2(x2 + x+ 1) + (Dx+ E)x2(x− 1)

isto é:

1 = A(x3 − 1) +B(x4 − x) + C(x4 + x3 + x2) +Dx4 + Ex3 −Dx3 − Ex2

quando x = 0, então A = −1; e quando x = 1 então C =1

3.

Comparando coeficientes entre os dos polinômios: B + C + D = 0; A + C + E − D = 0 e

C − E = 0 achamos que B = 0, D = −1

3e E =

1

3, logo integral


I =

∫

dx

x5 − x2=

∫

(−1) · dxx2

+

∫

0 · dxx

+

∫

(13) · dxx− 1

+

∫ −13 + 1

3

x2 + x+ x· dx =

=1

x+

1

3Ln(x− 1) − 1

3

∫

x− 1

x2 + x+ 1=

=1

x+

1

3Ln(x− 1) − 1

6

∫

2x+ 1 − 3

x2 + x+ 1· dx

=1

x+

1

3Ln(x− 1) − 1

6Ln(x2 + x+ 1) +

1

2

∫

dx

(x+ 12)2 + 3

4

=1

x+

1

3Ln(x− 1) − 1

6Ln(x2 + x+ 1) +

1

2· 2√

3arctan[

2x+ 1√3

] + Const.

Portanto, I =

∫

dx

x5 − x2=

1

x+

1

6Ln[

(x− 1)2

(x2 + x+ 1)] +

1√3

arctan[2x+ 1√

3] + Const.

Exemplo 1.85.


∫

x · dxx4 + 6x2 + 2

Solução.

Observe que x4 + 6x2 + 2 = (x2 + 5)(x2 + 1); e:

x

x4 + 6x2 + 2=Ax+B

(x2 + 5)+Cx+D

(x2 + 1)

então

x = (Ax+B)(x2 + 1) + (Cx+D)(x2 + 5) = (A+ C)x3 + (B +D)x2 + (A+ 5C)x+ (B + 5D)

de onde obtém-se o sistema

A+ C = 0, (B +D) = 0, (A+ 5C) = 1 e B + 5D = 0

onde A = −1

4, C =

1

4, B = D = 0.

Logo a integral I =

∫

x · dxx4 + 6x2 + 2

= − 1

4

∫

x · dx(x2 + 5)

+

∫

x · dx(x2 + 1)

=

= − 1

8Ln(x2 + 5) +

1

8Ln(x2 + 1) + Const

Portanto, I =

∫

x · dxx4 + 6x2 + 2

=1

8Ln

[

x2 + 1

x2 + 5

]

+ Const.

Exemplo 1.86.


∫

(x3 − 2x)dx

(x2 + 1)2

Solução.

Esta integral corresponde ao Caso IV, pelo fato ser x2 + 1 é um fator dobre, então:


x3 − 2x

(x2 + 1)2=

Ax+B

(x2 + 1)2+Cx+D

x2 + 1

eliminando denominadores x3 − 2x = (Ax+B) + (Cx+D)(x2 + 1) = Cx3 +Dx2 + x(A+C) +

(B +D); onde 1 = C, A+ C = −2, D = 0, B = 0 e A = −3. Logo

I =

∫

(x3 − 2x)dx

(x2 + 1)2=

∫

(−3)x · dx(x2 + 1)2

+

∫

x · dxx2 + 1

=

=−3

2

2x · dx(x2 + 1)2

+1

2

∫

2x · dxx2 + 1

=3

2(x2 + 1)+

1

2Ln(x2 + 1) + Const.

Portanto, I =

∫

(x3 − 2x)dx

(x2 + 1)2=

3

2(x2 + 1)+

1

2Ln(x2 + 1) + Const.

Exemplo 1.87.


∫

x3 + 3x2 + 5x+ 7

x2 + 2· dx

Solução.

Temos a separar a parte inteira da função racional imprópria dada, pelo algoritmo da divisão

para polinômios temos que

x3 + 3x2 + 5x+ 7 = (x2 + 2)(x+ 3) + (3x+ 1)

Assim,x3 + 3x2 + 5x+ 7

x2 + 2= x+ 3 +

3x+ 1

x2 + 2e a integral original

I =

∫

x3 + 3x2 + 5x+ 7

x2 + 2· dx =

∫

(x+ 3)dx+

∫

3x+ 1

x2 + 2· dx =

= x2 + 3x+3

2

∫

dx

x2 + 2+

∫

dx

x2 + 2= x2 + 3x+

3

2· Ln(x2 + 2) +

1√2· arctan[

x√2] + Const.

Portanto: I =

∫

x3 + 3x2 + 5x+ 7

x2 + 2·dx = x2 +3x+

3

2·Ln(x2 +2)+

1√2·arctan[

x√2]+Const.

Exemplo 1.88.


∫

dx

x3 + 1Solução.

Temos a igualdade:

1

x3 + 1=

1

(x+ 1)(x2 − x+ 1=

A

x+ 1+

Bx+ C

x2 − x+ 1

eliminando denominadores:

1 = A(x2 − x+ 1) + (Bx+ C)(x+ 1) =

= (A+B)x2 + (B + C −A)x + (A− C) (1.11)


igualando os coeficientes dos polinômios temos A + B = 0, B + C − A = 0 e A + C = 1 onde

A =1

3, B = − 1

3e C =

2

3.

Logo, I =

∫

dx

x3 + 1=

1

3

∫

dx

x+ 1− 1

3

∫

x− 2

x2 − x+ 1· dx.

Seja J =1

3

∫

x− 2

x2 − x+ 1· dx então

J =1

6

∫

(2x− 1) − 3

x2 − x+ 1· dx =

1

6

∫

2x− 1

x2 − x+ 1· dx− 1

2

∫

dx

x2 − x+ 1

na integral original temos

I =1

3

∫

dx

x+ 1− 1

6

∫

2x− 1

x2 − x+ 1· dx+

1

2

∫

dx

x2 − x+ 1=

=1

3Ln(x+ 1) − 1

6Ln(x2 − x+ 1) +

1

2

∫

dx

(x− 12)2 + 3

4

=

=1

3Ln[

x+ 1

x2 − x+ 1] +

1

2· 1√

3arctan(

2x− 1√3

) + Const

Portanto, I =

∫

dx

x3 + 1=

1

3Ln[

x+ 1

x2 − x+ 1] +

1

2√

3arctan(

2x− 1√3

) + Const.

Observação 1.12.

a) A igualdade (1.11) é válida para qualquer x 6= −1. Conseqüentemente verifica-se também para

x = −1 desde que no primeiro membro tanto como no segundo temos funções contínuas

em x.

b) No principio toda função racional é integrable em funções elementares. Na pratica a inte-

gração completa de funções do tipo∫

P (x)

Q(x)· dx é possível desde que se conheçam todas

as raízes de Q(x) assim como sua multiplicidade.

Desde este ponto de vista merece grande atenção o método proposto por Ostrogradski V. M.

que exponho na última parte de este capítulo.

Exemplo 1.89.

Calcule:

a) I =

∫

3x2 + x− 2

4 − 12x+ 9x2 − 2x3· dx b) J =

∫

x · dxx3 + 1

Solução. a)

Observe que: 4 − 12x+ 9x2 − 2x3 = (x− 2)2(1 − 2x).

Temos a igualdade:

3x2 + x− 2

4 − 12x+ 9x2 − 2x3=

A

(x− 2)2+

B

x− 2+

C

1 − 2x


eliminando denominadores:

3x2 + x− 2 = A(1 − 2x) +B(x− 2)(1 − 2x) + C(x− 2)2

Por exemplo podemos supor que x = 2 então temos que 12 = −3A, ao supor que 2x = 1

temos que C = −1

3onde calculando o valor para o coeficiente B temos B = −5

3, assim

I = −4

∫

dx

(x− 2)2− 5

3

∫

dx

x− 2− 1

3

∫

dx

1 − 2x=

1

3Ln[

√1 − 2x

(x− 5)2] +

4

x− 2+ C

Portanto, I =

∫

3x2 + x− 2

4 − 12x+ 9x2 − 2x3· dx =

1

3Ln[

√1 − 2x

(x− 5)2] +

4

x− 2+ C

Solução. b)

Observe que x3 + 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1); estabelecemos a seguinte igualdade:

x

x3 + 1=

Ax+B

x2 − x+ 1+

C

x+ 1, onde x = (Ax+B)(x+ 1) + C(x2 − x+ 1)

Resolvendo A =1

3, B =

1

3, C = − 1

3, logo

J =1

3

∫

(x+ 1) · dxx2 − x+ 1

− 1

3

∫

dx

x+ 1=

1

6Ln[

x2 − x+ 1

(x+ 1)2] + arctan[

2x− 1√3

] + C

Portanto, J =1

6Ln[

x2 − x+ 1

(x+ 1)2] + arctan[

2x− 1√3

] + C.


Exercícios 1-5

1. Determine a veracidade das seguintes igualdades:

1.∫

dx

(x− 1)4= − 1

3(x− 1)3+ C

2.∫

dx

4x2 + 4x+ 5=

1

4arctan(

2x+ 1

2) + C

3.∫

dx

(2x+ 3)3= − 1

4(2x+ 3)2+ C

4.∫

dx

x2 − 4x+ 2= −

√2

2arctanh(

x− 2√2

) + C

5.∫

(x+ 2)dx

x(x− 3)=

1

3Ln[

(x− 3)5

x2+ C

6.∫

x3 − 2

x3 − x2· dx = x− 2

x+ Ln[

x2

| x− 1 | ] + C

7.∫

dx

x2 − 6x+ 18=

1

3arctan[

x− 3

3] + C

8.∫

dx

(x2 − 2x)3=

1

4Ln[

x

x+ 2− x− 1

2x(x− 2)+ C

9.∫

(x+ 1)dx

(x2 + 1)(x2 + 9)=

1

16Ln[

x2 + 1

x2 + 9] +

1

8arctanx− 1

24arccot(

x

3) + C

10.∫

x4dx

x4 − 16= x +

1

2Ln[

x− 2

x+ 2] − arctan[

x

2] + C

2. Calcular as seguintes integrais, sabe-se que o denominador tem raízes reais distintas:

1.

∫

(x3 + x2)dx

x2 − 6x+ 52.

∫

x2 + 5x+ 7

x+ 3· dx 3.

∫

x2dx

x2 − 4x+ 3

4.

∫

dx

(x+ a)(x+ b)5.

∫

x · dx(2x+ 1)(x+ 1)

6.

∫

(2x2 − 5)dx

x4 − 5x2 + 6

7.

∫

(x3 − 1)dx

4x3 − x8.

∫

(x− 1)2dx

x2 + 3x+ 49.

∫

dx

6x3 − 7x2 − 3x

10.

∫

dx

x2 + 2x11.

∫

5x3 + 2

x3 − 5x2 + 4x· dx 12.

∫

(x5 + x4 − 8)dx

x3 − 4x

13.

∫

x · dx2x2 − 3x− 2

14.

∫

x · dxx4 − 3x2 + 2

15.

∫

x2 · dx(x2 − 4)(x+ 1)

16.∫

(2x2 + 41x− 91) · dx(x− 1)(x+ 3)(x− 4)

17.∫

(x2 + 5x+ 6) · dx(x− 1)(x+ 3)(x− 4)

18.∫

(x6 − 2x4 + 3x3 − 9x2 + 4) · dxx5 − 5x3 + 4

19.∫

32x · dx(2x− 1)(4x2 − 16x+ 15)

3. Calcular as seguintes integrais; o denominador tem raízes reais múltiplas.


1.

∫

(x+ 2

x− 1)2 · dx

x2.

∫

(2x− 3) · dx(x2 − 3x+ 2)2

3.

∫

(5x3 − 17x2 + 18x− 5) · dx(x− 1)3(x− 2)

4.

∫

(x3 + 1) · dxx3 − x2

5.

∫

(x2 − 3x+ 2) · dxx(x2 + 2x+ 1)

6.

∫

(5x2 + 6x+ 9) · dx(x− 3)2(x+ 1)

7.

∫

dx

x4 − x28.

∫

x2 · dx(x+ 2)2(x+ 4)2

9.

∫

(x3 − 6x2 + 11x− 5) · dx(x− 2)4

10.

∫

1

8(x− 1

x+ 1)4 · dx 11.

∫

x2 · dxx3 + 5x2 + 8x+ 4

12.

∫

(x2 − 2x+ 3) · dx(x− 1)(x3 − 4x2 + 3x)

13.

∫

(3x2 + 1) · dx(x2 − 1)3

14.

∫

(x3 − 2x2 + 4) · dxx3(x− 2)2

15.

∫

(x3 − 6x2 + 9x+ 7) · dx(x− 2)2(x− 5)

16.

∫

(7x3 − 9) · dxx4 − 5x3 + 6x2

17.

∫

x5 · dx(x− 1)2(x2 − 1)

18.

∫

dx

(x2 − 16)(x2 − 1)(x2 − 9)

4. Calcular as seguintes integrais; o denominador tem raízes complexas distintas.

1.

∫

dx

3x2 + 52.

∫

x · dxx2 + x+ 1

3.

∫

(2x2 − 3x− 3) · dx(x− 1)(x2 − 2x+ 5)

4.

∫

dx

x3 − 85.

∫

(x3 − 1) · dx4x3 − 1

6.

∫

(2x2 + x+ 3) · dx(x+ 2)(x2 + x+ 1

7.

∫

dx

x(x2 + 1)8.

∫

(x2 + 2) · dxx4 + 4

9.

∫

(x4 + 1) · dxx3 − x2 + x+ 1

10.

∫

dx

x3 + 111.

∫

(x− 2) · dxx2 − 4x+ 7

12.

∫

(3x2 + x+ 3) · dx(x− 1)3(x2 + 1)

13.

∫

x · dxx3 − 1

14.

∫

(x3 + x+ 1) · dxx4 − 81

15.

∫

cosx · dxsen 2x− 6sen x+ 12

16.

∫

x2 · dx1 − x4

17

∫

dx

(x+ 1)2(x2 + 1)18.

∫

(3x3 + x2 + 5x+ 1) · dxx3 + x

19.

∫

(x− 2) · dx5x2 + 2x+ 1

20.

∫

(5x+ 3) · dxx2 + 10x+ 29

21.

∫

(x5 + 2x3 + 4x+ 4) · dxx4 + 2x3 + 2x2

22.

∫

dx

x4 + 123

∫

dx

(x2 + 1)(x2 + x)

5. Calcular as seguintes integrais; o denominador tem raízes complexas múltiplas.

1.

∫

dx

(x2 + 2)32.

∫

x2 · dxx6 + 2x3 + 3

3

∫

(2x+ 3) · dx(x2 + 2x+ 5)2

4.

∫

(x3 + x− 1) · dx(x2 + 2)2

5.

∫

dx

(x2 + 9)36.

∫

dx

x(4 + x2)(x2 + x)

7.

∫

dx

(x2 + 1)48.

∫

(x+ 1)4 · dx(x2 + 2x+ 2)3

9.

∫

(5x2 − 12) · dx(x2 − 6x+ 13)2


1.3.6 Integração de Funções Racionais Trigonométricas.

Em geral, as funções que são combinações de funções trigonométricas não são integráveis

por métodos elementares. Estudaremos alguns caos nos quais a expressão a integra-se pode ser

racionalizado.

1.3.6.1 integrais do tipo∫

R(cosx, sen x) · dx.

Onde R(cosx, sen x) é uma função racional de variáveis cosx e sen x. Das fórmulas:

cosx = cos2(x

2) − sen 2(

x

2) = cos2(

x

2) · [1 − tan2(

x

2)] =

1 − tan2(x2 )

1 + tan2(x2 )

sen x = 2sen (x

2) cos(

x

2) = cos2(

x

2) · [2 · tan2(

x

2)] =

2 · tan2(x2 )

1 + tan2(x2 )

deduzimos pela substituição trigonométrica universal t = tan(x

2) que x = arctan(2t) e:

dx =2dt

1 + t2, cosx =

1 − t2

1 + t2, sen x =

2t

1 + t2

Portanto,∫

R(cosx, sen x) · dx =

∫

R(1 − t2

1 + t2,

2t

1 + t2) · 2 · dt

1 + t2, observe que a integral do

segundo membro é a integral de uma função racional de variável t.

Exemplo 1.90.


∫

dx

4sen x+ 3 cosx+ 5Solução.

A função integrando depende das funções sen x e cosx, efetuamos a substituição t = tan(x

2),

então I =∫

dx

4sen x+ 3 cosx+ 5=

∫ 2dt1+t2

4[ 2t1+t2

] + 3[1−t2

1+t2] + 5

= 2

∫

dt

2t2 + 8t+ 8=

∫

dt

(t+ 2)2=

− 1

t+ 2+ C.

Portanto, I = − 1

tan(x2 ) + 2

+ C.

Exemplo 1.91.


∫

dx

cosx+ 2sen x+ 3Solução.

I =

∫

dx

cosx+ 2sen x+ 3=

∫ 2dt1+t2

[1−t2

1+t2] + 2[ 2t

1+t2] + 3

=

∫

dt

t2 + 2t+ 2=

∫

dt

(t+ 1)2 + 1=

arctan(t+ 1) + C = arctan[1 + tan(x

2)] + C.

Observação 1.13.

A substituição universal oferece a possibilidade de integrar qualquer função racional de var-

iável cosx e sen x; em alguns casos esta substituição conduz a cálculos complicados de funções

racionais de variável t2.

Propriedade 1.5.


Seja∫

R(cosx, sen x) · dx então:

1o.- Se a funçãoR é ímpar respeito da variável sen x; isto é, seR(cosx,−sen x) = −R(cosx, sen x)

recomenda-se a substituição t = cosx.

2o.- Se a função R é ímpar respeito da variável cosx; isto é, se temos R(− cosx, sen x) =

−R(cosx, sen x) recomenda-se a substituição t = sen x.

3o.- Se a função R é par respeito da variável cosx e sen x; isto é, se R(− cosx, −sen x) =

R(cosx, sen x) recomenda-se a substituição t = tanx.

Exemplo 1.92.

Calcular a integral J =

∫

(sen x+ sen 3x)dx

cos 2xSolução.

Observe que R(cosx, −sen x) =[(−sen x) + (−sen x)3)

cos 2x= −R(cosx, sen x) é ímpar respeito

do sen x; logo t = cosx, onde sen x =√

1 − t2, −sen x · dx = dt e cos 2x = 2 cos2 x − 1 =

2t2 − 1 , logo J =

∫

(sen x+ sen 3x)dx

cos 2x=

∫

(2 − t2)(−dt)2t2 − 1

=1

2

∫

dt − 3

2

∫

dt

2t2 − 1=

1

2t −

3

2√

2Ln[

√2t− 1√2t+ 1

] + C.

Portanto, J =1

2cosx− 3

2√

2Ln[

√2 cosx− 1√2 cosx+ 1

] + C.

Exemplo 1.93.


∫

(cos3 x+ cos5 x)dx

sen 2x+ sen 4xSolução.

Observe que a função é ímpar respeito da variável cosx; considere t = sen x, então dt =

cosx · dx, cos2 x = 1 − sen 2x.

I =

∫

(cos3 x+ cos5 x)dx

sen 2x+ sen 4x=

∫

cos2 x(1 + cos2 x) cosx · dxsen 2x(1 + sen 2x)

=∫

(1 − t2)(2 − t2) · dtt2(1 + t2)

=

∫

dt+ 2

∫

dt

t2− 6

∫

dt

1 + t2= t− 2

t− 6 arctan t+ C.

Portanto, I = sen x− 2 cscx− 6 arctan(sen x) + C.

Exemplo 1.94.

Calcule J =

∫

dx

sen 2x+ 2sen x cosx− cos2 xSolução.

Observe que a função de integração é par respeito as variáveis cosx e sen x; logo seja t = tanx,

então dt = sec2 x · dx, multiplicando por sec2 x ao numerador e denominador temos:

J =

∫

dx

sen 2x+ 2sen x cosx− cos2 x=

∫

sec2 x · dxtan2 x+ 2 tanx− 1

=∫

dt

(t+ 1)2 − 2=

1

2√

2Ln[

t+ 1 −√

2

t+ 1 +√

2] + C.

Portanto, J =1

2√

2Ln[

tanx+ 1 −√

2

tanx+ 1 +√

2] + C


Observação 1.14.

Em geral a substituição t = tgx recomenda-se quando as integrais são do tipo:

a)∫

R(cosm x, sen nx) · dx sendo m e n inteiros pares.

b)∫

R(tanx) · dx

Exemplo 1.95.

Calcule J =

∫

dx

3 + cos2 xSolução.

Podemos escrever J =

∫

dx

3 + cos2 x=

∫

dx

3sen 0x+ cos2 x, então m = 2 e n = 0.

Seja t = tanx, então dt = sec2 x · dx, e J =∫

dx

3 + cos2 x=

∫

sec2 x · dx3 sec2 x+ 1

=

∫

dt

3t2 + 4=

1√3

arctan[

√3t

2] + C.

Portanto, J =

∫

dx

3 + cos2 x=

1√3

arctan[

√3 tanx

2] + C

Observação 1.15.

Se no exemplo precedente consideramos a substituição universal t = tanx, na integral original

teríamos J =

∫

2(1 + t2)dt

3t4 + 3t2 + 2que, sua solução oferece uma dificuldade maior.

Exemplo 1.96.

Resolver I =

∫

tanx · dx2 + tan2 x

Solução.

Seja t = tanx, então dt = sec2 x · dx; logo a integral:

I =

∫

tanx · dx2 + tan2 x

=

∫

tanx · sec2 x · dxsec2 x(2 + tan2 x)

=

=

∫

t · dt(1 + t2)(2 + t2)

=

∫

t · dtt‘2 + 1

−∫

t · dtt2 + 2

=

=1

2Ln(t2 + 1) − 1

2Ln(t2 + 2) + C =

1

2Ln[

t2 + 1

t2 + 2] + C.

Portanto, I =1

2Ln[

tan2 x+ 1

tan2 x+ 2] + C =

1

2Ln[

sec2 x

secx +1] + C.

1.3.7 Integração de Funções Irracionais Elementares.

Sejam a, b, p, q e r constantes reais; chamam-se funções irracionais elementares aquelas

funções dos seguintes tipos:

a) R(x, n1√

(ax+ b)m1 , n2√

(ax+ b)m2 , · · · , n1k

√

(ax+ b)m1k) onde R é uma função racional,

m1, m2, · · · ,mk, n1, n2, · · · , nk são números inteiros.

b)1

√

px2 + qx+ r


c)ax+ b

√

px2 + qx+ r

d)1

(x− α)√

px2 + qx+ r

e)Pn(x)

√

px2 + qx+ r, onde Pn(x) é um polinômio de grau n.

Observe o seguinte:

1o - Para resolver integrais da forma da função racional do tipo:

∫

R(x, n1√

(ax+ b)m1 , n2√

(ax+ b)m2 , · · · , n1k

√

(ax+ b)m1k)dx

temos que fazer a substituição ax+ b = us , onde s é mínimo múltiplo comum dos números

n1, n2, · · · , nk. A integral a resolver transforma-se em uma integral racional.

2o - Para resolver integrais do tipo∫

dx√

px2 + qx+ r, é suficiente completar quadrados e aplicar

fórmulas correspondentes (26) ou (27).

3o - Para calcular integrais do tipo∫

ax+ b√

px2 + qx+ r, separamos o numerador em duas parcelas;

uma de elas como a derivada do trinômio da parte interna da raiz do denominador, logo

representamos a integral como a soma de duas integrais, uma de elas é resolvida com a

fórmula (27). Isto é:

I =∫

(ax+ b) · dx√

px2 + qx+ r=

∫ a2p(2px+ q) + (b− aq

2p)√

px2 + qx+ r· dx =

=a

2p

∫

(2px+ q) · dx√

px2 + qx+ r+ (b− aq

2p)

∫

dx√

px2 + qx+ r

4o - As integrais do tipo∫

dx

(x− α)√

px2 + qx+ r, são resolvidas com a substituição x−α =

1

u,

que são reduzidas a tipos estudadas anteriormente.

5o - Por último uma integral do tipo I =∫

Pn(x)√

px2 + qx+ r, onde Pn(x) é um polinômio de grau

n; podemos resolver com o auxilio da seguinte identidade:

I =

∫

Pn(x)√

px2 + qx+ r= Qn−1(x)

√

px2 + qx+ r + λ

∫

dx√

px2 + qx+ r(1.12)

Onde Qn−1(x) é um polinômio de grau (n − 1) com coeficientes indeterminados e, λ

é um número. Derivando a identidade (1.12) e, reduzindo o resultado ao denominador

comum, obteremos a igualdade entre polinômios a partir do qual podemos determinar os

coeficientes do polinômio Qn−1(x).


Exemplo 1.97.

Calcule I =

∫

dx3√

(2x+ 1)2 −√

2x+ 1Solução.

Observe que n1 = 3 e n2 = 2; logo s = 6 e consideramos 2x + 1 = u6; onde dx = 3u5 ·du, 3

√

(2x+ 1)2 = u4 e√

2x+ 1 = u3. Logo na integral original tem-se:

I =

∫

dx3√

(2x+ 1)2 −√

2x+ 1=

∫

3u5 · duu4 − u3

=

= 3

∫

u2 · duu− 1

= 3

∫

(u+ 1 +1

u− 1)du = 3[

1

2u2 + u+ Ln(u− 1)] + C.

Portanto: I = 3[1

23√

2x+ 1 + 6√

2x+ 1 + Ln( 6√

2x+ 1 − 1)] + C.

Exemplo 1.98.

Resolver a integral I =

∫

dx√x2 + 2x+ 5

Solução.

Observe que x2 +2x+5 = (x+1)2 +22 , então I =

∫

dx√x2 + 2x+ 5

=

∫

dx√

(x+ 1)2 + 22=

Ln[x+ 1 +√

x2 + 2x+ 5] + C.

Portanto, I =

∫

dx√x2 + 2x+ 5

= Ln[x+ 1 +√

x2 + 2x+ 5] + C.

Exemplo 1.99.


∫

(5x− 3)dx√2x2 + 8x+ 1

Solução.

Observe que a = 5, b = −3, p = 2, q = 8 e r = 1; então I =

∫

(5x− 3)dx√2x2 + 8x+ 1

=

5

2(2)

∫

2(2)x+ 8√2x2 + 8x+ 1

· dx+ (−3 − (5)(8)

2(2))

∫

dx√2x2 + 8x+ 1

=

=5

2

√

2x2 + 8x+ 1 − 13√2

∫

dx√

x2 + 4x+ 12

=

=5

2

√

2x2 + 8x+ 1 − 13√2Ln[x+ 2 +

√

x2 + 4x+1

2] + C

.

Portanto: I =

∫

(5x− 3)dx√2x2 + 8x+ 1

=5

2

√

2x2 + 8x+ 1 − 13√2Ln[x+ 2 +

√

x2 + 4x+1

2] + C.

Exemplo 1.100.


∫

dx

x√

5x2 − 2x+ 1Solução.

Seja x =1

u, então dx = − 1

u2 · du e I =

∫ − 1u2 · du

x√

5x2 − 2x+ 1=

∫

dx

1u

√

5( 1u)2 − 2( 1

u) + 1=

−∫

du√u2 − 2u+ 5

= −Ln[u+ 1 +√

u2 − 2u+ 5] + C = −Ln[1

x+ 1 +

√

1

x2− 2

u+ 5] + C.


Portanto, I =

∫

dx

x√

5x2 − 2x+ 1= − Ln[

1 − x+√

5x2 − 2x+ 1

x] + C.

Exemplo 1.101.


∫

x3 + 2x2 + 3x+ 4√x2 + 2x+ 2

· dxSolução.

Observe que n = 3; logo a identidade respectiva tem a forma:

I =

∫

x3 + 2x2 + 3x+ 4√x2 + 2x+ 2

· dx = (b0x2 + b1x+ b2)

√

x2 + 2x+ 2 + λ

∫

dx√x2 + 2x+ 2

Derivando ambos os membros da igualdade obtemos:

x3 + 2x2 + 3x+ 4√x2 + 2x+ 2

= (2b0x+ b1)√

x2 + 2x+ 2 +

+(x+ 1)(b0x

2 + b1x+ b2)√x2 + 2x+ 2

+λ√

x2 + 2x+ 2Eliminando o denominador:

x3 + 2x2 + 3x+ 4 = (2b0x+ b1)(x2 + 2x+ 2) + (x+ 1)(b0x

2 + b1x+ b−2) + λ

isto é, x3 + 2x2 + 3x+ 4 = 3b0x3 + (5b0 + 2b1)x

2 + (4b0 + 3b1 + b2)x+ (2b1 + b2 + λ).

Comparando os coeficientes dos polinômios:

3b0 = 1, 5b0 + 2b1 = 2, 4b0 + 3b1 + b2 = 3 e 2b1 + b2 + λ = 4

Onde b0 =1

3, b1 =

1

6, b2 =

7

6e λ =

5

2.

Portanto, I = (1

3x2 +

1

6x+

7

6)√

x2 + 2x+ 2 +3

2Ln[x+ 1 +

√

x2 + 2x+ 2] + C.

1.3.7.1 Integração de diferenças binômias.

São as integrais do tipo∫

xm(a + bxn)p · dx, onde m, n e p são números racionais. Como

demonstrou P. Chébishev, as integrais de diferenças binômias se expressam por funções ele-

mentares somente em três casos:

1o Se p é um número inteiro, então a integral dada se reduz à integral de uma função racional

quando fazemos a substituição x = us, onde s é o mínimo múltiplo comum das frações m

e n.

2o Sem+ 1

né um número inteiro, neste caso a integral dada transforma-se numa integral racional

mediante a substituição a+ bxn = us onde s é o denominador da fração p; sendo p =r

se

o máximo divisor comum de r e s igual à unidade.

3o Sem+ 1

n+ p é um número inteiro, a substituição apropriada é ax−n + b = us , onde s é o

denominador da fração p.


Exemplo 1.102.

Determine o valor da integral: I =

∫

dx√x( 4

√x+ 1)10

Solução.

Temos que I =

∫

dx√x( 4

√x+ 1)10

=

∫

x−12 (x

14 + 1)−10dx; observe que m = −1

4, n =

1

4e

p = −10 logo é uma integral do 1o caso e s = m.m.c.2, 4 = 4 .

Seja x = u4 , então dx = 4u3 · du e I =∫

(u4)−12 ((u4)

14 + 1)−10(4u3)du = 4

∫

u · du(u+ 1)10

= 4

∫

u+ 1 − 1

(u+ 1)10· du = 4

∫

du

(u+ 1)9+ 4

∫

du

(u+ 1)10= − 1

2(u+ 1)8− 4

9(u+ 1)9+ C

Portanto, I =

∫

dx√x( 4

√x+ 1)10

= − 1

2( 4√x+ 1)8

− 4

9( 4√x+ 1)9

+ C.

Exemplo 1.103.


∫

x3 · dx(a2 − x2)

√a2 − x2

Solução.

Observe que, I =

∫

x3 · dx(a2 − x2)

√a2 − x2

=

∫

x3(x2 − x2)−32 , logo m = 3, n = 2 e p = − 3

2;

comom+ 1

né um inteiro, estamos no 2o caso.

Seja a2 − x2 = u2, temos que x · dx = −u · du, e I =

∫

x3 · dx(a2 − x2)

√a2 − x2

=

=

∫

(a2 − u2)(u2)−32 (−u · du) = −

∫

a2 − u2

u2· du =

∫

du−∫

a2 · duu2

= u+a2

u+ C

Portanto, I =

∫

x3 · dx(a2 − x2)

√a2 − x2

= (a2 − x2) +a2

√a2 − x2

+ C.

Exemplo 1.104.


∫

x13 (2 + x

23 )

14 · dx

Solução.

Temos m =1

3, n =

2

3e p = 1

4 onde dispm+1n = 2, a substituição apropriada é 2 + x

23 = u4

logo,2

3x−

13dx = 4u3du ou dx = 6x

13u3du.

A integral I =

∫

x13 (2 + x

23 )

14 · dx =

∫

x13 (u4)

14 · 6x 1

3u3du =

= 6

∫

x23u4du = 6

∫

(u4 − 2)u4du = 6[u9

9− 2u5

5] + C =

u5

15[10u4 − 36] + C

.

Portanto, I =

∫

x13 (2 + x

23 )

14 · dx =

(2 + x23 )

54

15[565 + 10x

23 ] + C.

Exemplo 1.105.



∫

dx

x6 6√

(65 − x6)Solução.

Observe que m = −6, n = 6 e p = − 1

6, como

m+ 1

n+ p = −1 a substituição recomendada

é , 65 − x6 = u6x6 isto é 65x− 6 − 1 = u6, onde dx = − 1

65x7u5du, então

J =

∫

dx

x6 6√

(65 − x6)=

∫

x−6(u6x6)16 (− 1

65x7u5cdotdu) = − 1

65

∫

u4 · du = − 1

325u5 + C

Portanto, J =

∫

dx

x6 6√

(65 − x6)= −

6√

(65 − x6)5

325+ C.

Exemplo 1.106.

Resolver I =

∫

dx√x2 3

√

1 +4√x3

Solução.

Seja x = y4, então dx = 4y3dy, logo I = 4

∫

y−3(1 + y3)−13dy, observe que m = −3, n =

3, p = − 13 e

m+ 1

n+ p = −1 (inteiro) consideramos y−3 + 1 = t3 então y = (t3 − 1)−

13 e

dy = − t2(t3 − 1)−43 · dt , a integral se reduz a I = −4

∫

t · dt = − 2t2 + C.

Substituindo as variáveis originais temos que I = −23

√

(x−34 + 1)2 + C.

Portanto, I = −23

√

(x−34 + 1)2 + C.


Exercícios 1-6

1. Determine se as seguintes igualdades são verdadeiras:

1.∫

3sen x+ 2 cosx

2sen x+ 3 cosx· dx =

12x

13− 5

12Ln(3sen x+ 2 cosx) + C

2.∫

dx

cos2 x+ 2sen x cosx+ 2sen 2x= arctan(2 tanx+ 1) + C

3.∫

dx

sen 2x+ 3sen x cosx− cos2 x=

1√13

Ln[2 tanx+ 3 −

√13

2 tanx+ 3 +√

13] + C

4.∫

cosx · dxsen 2x− 6sen x+ 5

=1

4Ln[

sen x− 5

sen x+ 1] + C

5.∫

sen x · dxcos2 x− 2 cosx+ 5

= − 1

2arctan[

cosx− 1

2] + C

6.∫

dx

sen 2x+ 8sen x cosx+ 12 cos2 x=

1

4Ln[

tanx+ 2

tanx+ 6] + C

7.∫

dx

secx+ 1= x− tan(

x

2) + C

8.∫

dx

2 − 5sen x=

1√21

Ln[2 tan(x

2 ) − 5 −√

21

2 tan(x2 ) − 5 +

√21

] + C

9.∫

dx

cosx+ sen x=

1√2Ln[

√2 − 1 − tan(x

2 )√2 − +1 − tan(x

2 )] + C

10.∫

dx

1 − sen x+ cosx= Ln[

cos(x2 )

cos(x2 ) − sen (x

2 )] + C

11.∫

x3 · dx√

(1 + 2x2)3=

1 + x2

2√

1 + 2x2+ C

12.∫

dx

x2 3√

(2 + x3)5= − 4 + 3x3

8x · 3√

(2 + x3)2+ C

13.∫

dx

(x+ 1)√

1 + x− x2= arctan[

1 + 3x

2√

1 + x− x2] + C

14.∫

dx

1 + 3√x+ 1

= Ln(x+ 2) − 3

23√

(x+ 1)2 − 3 3√x+ 1 + 3Ln[1 + 3

√x+ 1] − Lnx+ C

15.∫ 3

√

(x+√

1 + x2)5 · dx√

1 + x2=

3

5

3

√

(x+√

1 + x2)5 + C

16.∫

dx

x√x2 − 4x− 4

=1

2arctan[

2x− 4√x2 − 4x− 4

] + C

17.∫

x

√

3√x2 + 2 · dx =

3

√

(3√x2 + 2)7

7−

12

√

(3√x2 + 2)5

5+ 4

√

(3√x2 + 2)3 + C

18.∫

dx

(x− 2)√

5x− x2 − 4=

1

2Ln[

x− 4

3(2 − x)] + C

19.∫

dx

(1 + x)√

1 + x+ x2= Ln[

√

1 + x+ x2 − x− 2] − Ln[√

1 + x+ x2 − x] = +C

20.∫

2

(2 − x)2· 3

√

2 − x

2 + x· dx =

3

43

√

(2 − x

2 + x)2 + C


2. Calcular as seguintes integrais indefinidas :

1.

∫

dx

4 + 3 cosx2.

∫

dx

2 + sen x3.

∫

dx

2 + sen x+ 3 cosx

4.

∫

dx

5 − 3 cosx5.

∫

sen x · dx1 + sen x

6.

∫

dx

sen 44x+ tan2 4x

7.

∫

sen 2x · dx1 + cos2 x

8.

∫

1 + tanx

1 − tanx· dx 9.

∫

dx

3 + sen 2x− cos2 x

10.

∫

dx

3 cosx+ 211.

∫

sen 2x · dxsen 4x+ cos4 x

12.

∫

dx

sen 2x− 5sen x cosx

13.

∫

sen x · dx1 + sen x

14.

∫

dx

3sen 2x+ 5 cos2 x15.

∫

dx

3 − 2sen x+ cosx

16.

∫

dx

4sen 2x− 7 cos2 x17.

∫

dx

cos2 x+ 5 cosx+ 618.

∫

sen 2x− 2 cos2 x

sen 2x− cos2 x· dx

19.

∫

dx

2 − sen x20.

∫

sen x · tanx · dxsen 3x− cos3 x

21.

∫

sen 4x+ cos4 x

sen 2x− cos2 x· dx

22.

∫

(1 + tanx) · dx2sen x cosx

23.

∫

sen 2x · dx1 + 4 cos2 x

24.

∫

senh2x cosh2 x · dx

25.

∫

senh32x 26.

∫

dx

coshx− 127.

∫

dx

senh2x · cosh2 x

28.

∫

cosh2 3x · dx 29.

∫

1 + cotx

1 − cotx· dx 30.

∫

(4 + cosx)dx

2 + 3 cosx

31.

∫

cosh4 x · dx 32.

∫ √coshx+ 1 · dx 33.

∫

(2 + 3 cosx)dx

cosx(1 + 4 cosx)

34.

∫

coth3 x · dx 35.

∫ √sen x · dxcosx

36.

∫

(2 + cosx)dx

sen x(1 − cosx)

37.

∫

tanh4 x · dx 38.

∫

tanx · dx1 + cosx

39.

∫

dx

b2sen 2x+ a2 cos2 x

40.

∫

x · dxsen 2x

41.

∫

dx

sen x+ tanx42.

∫

(1 + cosx)dx

1 − 2a · cosx+ a2

43.

∫

dx

sen x− sen a44.

∫

sen x · dxcosx+ sen x

45.

∫

dx

1 + sen x+ cosx

46.

∫

dx

cos99 x+ 147.

∫

cotx · dxsen 7x+ 1

48.

∫

dx

sen 5x(1 + cos 5x)

49.

∫

dx

12 + 5 tanx50.

∫

tanx · dxa+ b tan2 4x

51.

∫

dx

4 + 2 cos 3x

3. Calcular as seguintes integrais:

1.

∫

dx4√

1 + x42.

∫

dx

x4√

1 + x23.

∫

dx√

(x2 + 2x+ 3)3

4.

∫

x3 · dx√x− 1

5.

∫

dx

x · 3√

1 + x26.

∫

dx√x3 · 3

√

1 +4√x3

7.

∫

dx√x+ 3

√x

8.

∫ √x · dx

x+5√x4

9.

∫

5x2 + 20x− 24√x+ 5

· dx


10.

∫ √x+ 1√x3 + 1

· dx 11.

∫√

1 − x

x2√

1 + x· dx 12.

∫

8x+ 21√

2x− 5

4 +√

2x− 5· dx

13.

∫

x3 · dx√1 − x2

14.

∫

3√x · dx

( 3√x+ 1)2

15.

∫

dx4√

(x+ 1)3 − 4√

(x+ 1)5

16.

∫

dx

x2√

(1 + x2)317.

∫

3√

(x− 2)2 · dx3√

(x− 2)2 + 318.

∫

dx

(1 + x4)√

1 + x4 − x2

19.

∫

dx3√

8x3 + 2720.

∫

dx

x5 · 5√

25 − x521.

∫

x5 + 2x2

√

(1 + x3)3· dx

22.

∫

dx

x3 3√

1 + x323.

∫

3√x · 4

√

2 +3√x2 · dx 24.

∫

cosx · sen 7x · dx√

(1 + sen 4x)3

25.

∫

√

2 − 3√x · dx

3√x

26.

∫

√

1 + 3√x

3√x2

27.

∫

x5 · 3√

(1 + x2)2 · dx

28.

∫

x3 · dx√1 − x2

29.

∫

dx

x√

(1 + x2)330.

∫

4

√

(1 +√x)3 · dx

31.

∫

dx√

(1 + x2)332.

∫

dx3√x2(

3√x2 + 1)

33.

∫

dx

x7 3√

(x−3 + 1)4

34.

∫

3√x · dx

( 3√x+ 1)2

35.

∫

√

3√x+ 1 · dx

3√x

36.

∫

dx√e2x + 4ex − 4

37.

∫

dx

x · 3√

1 + x538.

∫

x

√

x− 1

x+ 1· dx 39.

∫

dx

x2 · 3√

(2 + x3)2

40.

∫

dx

x4√

1 + x241.

∫

dx√x+ 1 +

√

(1 + x)342.

∫

ex · dx√sec2 α− 2ex tanα


1.3.8 Outros Métodos de Integração.

Existem outras técnicas para a solução de integrais as quais são úteis e não tem fórmulas

gerais, como mostram os seguintes exemplos:

Exemplo 1.107.


∫

sen x · dxcosx+ sen x

Solução. .

Seja J =

∫

cosx · dxcosx+ sen x

, observe que I + J =

∫

dx = x+ C1.

Por outro lado J − I =

∫

(cosx− sen x) · dxcosx+ sen x

=

∫

(cos2 x − sen 2x)dx =

∫

cos 2x · dx =

1

2sen 2x+ C2 = sen x · cosx+ C2.

Portanto I =1

2[x− sen x · cosx] + C.

Exemplo 1.108.


∫

cos3 x+ 2 cosx+ 1

cosx+ 2· dx

Solução.

É conveniente efetuar a decomposição em frações simples respeito do cosx e logo integrar;

isto é aplicando o algoritmo da divisão, tem-se que:

J =

∫

cos3 x+ 2 cosx+ 1

cosx+ 2· dx =

∫

(cos2 x− 2 cosx+ 6)dx−

− 11

∫

dx

cosx+ 2=

13

2x+

sen 2x

4− 2sen x− 22√

3arctan[

tan(x2 )√

3] + C.

Portanto J =13

2x+

sen 2x

4− 2sen x− 22√

3arctan[

tan(x2 )√

3] + C.

Observação 1.16.

Seja uma integral do tipo∫

f(cosx, sen x)dx, onde f é uma função que em geral não pode

expressa com substituição das funções elementares.

Para calcular estas integrais, podemos considerar como variável sen x, cosx, tanx ou tan(x

2).

Exemplo 1.109.


∫

sen 2x√sen x

· dxSolução.

Temos I =

∫

sen 2x√sen x

· dx = 2

∫ √sen x · cosx · dx = 2

∫ √u · du =

4

3

√u3 + C.

Portanto, I =4

3sen x · √sen x+ C.



Pn(x)√

px2 + qx+ r· dx (1o de Ostrogradski).

No integrando Pn(x) é um polinômio de grau n. Esta integral calculasse com a ajuda da

identidade:

I =

∫

Pn(x)√

px2 + qx+ r= Qn−1(x)

√

px2 + qx+ r + λ

∫

dx√

px2 + qx+ r(1.13)

onde Qn−1(x) é um polinômio de grau (n−1) com coeficientes indeterminados, e λ é um número

real.

Derivando a identidade (1.13) e reduzindo o resultado ao denominador comum, obteremos a

igualdade de dois polinômios do qual são determinados os coeficientes do polinômio Qn−1(x) e o

número λ.

Exemplo 1.110.


∫

x3 + 2x2 + 3x+ 4√x2 + 2x+ 2

· dxSolução.

Observe que o grau do numerador é n = 3, é devido a isso que a identidade (1.13) tem a

forma:

J =

∫

x3 + 2x2 + 3x+ 4√x2 + 2x+ 2

= (b0x2 + b1x+ b2)

√

x2 + 2x+ 2 + λ

∫

dx√x2 + 2x+ 2

derivando ambos os membros, obtemos:

x3 + 2x2 + 3x+ 4√x2 + 2x+ 2

= (2b0x+ b1)√

x2 + 2x+ 2 +

(b0x2 + b1x+ b2) ·

(x+ 1)√x2 + 2x+ 2

+ λ · 1√x2 + 2x+ 2

Eliminando o denominador:

x3 + 2x2 + 3x+ 4 = (2xb0 + b1)(x2 + 2x+ 2) + (b0x

2 + bx + b2)(x+ 1) + λ

o bem,

x3 + 2x2 + 3x+ 4 = 3b0x3 + (5b0 + 2b1)x

2 + (4b0 + 3b1 + b2)x+ (2b1 + b2 + λ)

Comparando os coeficientes de potências iguais de x, obtemos o sistema:

3b0 = 1,

5b0 + 2b1 = 2,

4b0 + 3b1 + b2 = 3,

2b1 + b2 + λ = 4,


resolvendo o mesmo, achamos b0 =1

3, b1 =

1

6, b2 =

7

6e λ = 5

2 .Logo:

∫

x3 + 2x2 + 3x+ 4√x2 + 2x+ 2

· dx = (1

3x2 +

1

6x+

7

6)√

x2 + 2x+ 2 +5

2

∫

dx√x2 + 2x+ 2

Portanto, J = (1

3x2 +

1

6x+

7

6)√

x2 + 2x+ 2 +5

2Ln[x+ 1 +

√

x2 + 2x+ 2] + C.


P (x)

Q(x)· dx (2o de Ostrogradski).

Se Q(x) tem raízes múltiplas, esta integral calculasse com a ajuda da identidade:

∫

P (x)

Q(x)· dx =

S(x)

Q1(x)+

∫

T (x)

Q2(x)· dx (1.14)

onde Q1(x) é o máximo divisor comum dos polinômios Q(x) e de sua derivada Q′(x); o polinômio

Q2(x) =Q(x)

Q1(x); S(x) e T (x) são polinômios com coeficientes indeterminados, cujos graus são

menores em uma unidade que os Q1(x) e Q2(x) respectivamente.

Os coeficientes dos polinômios S(x) e T (x) calculam-se derivando a identidade (1.14).

Exemplo 1.111.


∫

dx

(x3 − 1)2

Solução.

Observe, Q(x) = (x3 − 1)2 e Q′(x) = 6x2(x3 − 1); logo o polinômio Q1(x) = (x3 − 1).

Aplicando a identidade (1.14):

J =

∫

dx

(x3 − 1)2=b0x

2 + b1x+ b2x3 − 1

+

∫

a0x2 + a1x+ a2

x− 1· dx

Derivando esta identidade, obtemos:

1

(x3 − 1)2=

2xb0 + b1))x3 − 1) − 3x2)b0x

2 + b1x+ b2(x3 − 1)2

+a0x

2 + a1x+ a2

x3 − 1

o bem:

1 = (2xb0 + b1)(x3 − 1) − 3x2(b0x

2 + b1x+ b2) + (x3 − 1)(a0x2 + a1x+ a2)

igualando os coeficientes das correspondentes potências de x, obteremos a0 = 0; a1−b0 = 0; a2−2b1 = 0; a0 +3b2 = 0; a1 +2b0 = 0 e b1 +a2 = 0, onde b0 = 0; b1 = − 1

3; b−2 = 0; a0 = 0; a1 = 0

e a2 = − 2

3, conseqüentemente:

J =

∫

dx

(x3 − 1)2= − x

3(x3 − 1)− 2

3

∫

dx

x3 − 1(1.15)

Para calcular a integral do segundo membro da igualdade (1.15), utilizamos o método dos


coeficientes indeterminados:1

x3 − 1=

A

x− 1+

Bx+ C

x2 + x+ 1; logo 1 = A(x2 + x + 1) + (Bx +

C)(x − 1); quando x = 1 obtemos A =1

3; igualando os coeficientes das potências iguais de x e

resolvendo o sistema obtemos B = − 1

3e C = − 2

3. Na identidade (1.15) J =

∫

dx

(x3 − 1)2=

− x

3(x3 − 1)− 2

3[1

3

∫

dx

x− 1− 1

3

∫

(x+ 2) · dxx2 + x+ 1

].

Portanto: J =1

3Ln(x− 1) − 1

6Ln[x2 + x+ 1] − 1√

3arctan[

2x+ 1√3

] + C.

1.3.8.3 Integração de diferenças binômias.

As substituições indicadas na Seção 1.3.3.1 transformam a integral de diferenças binômias

em outra integral de diferenças binômias [17], obtendo-se:

∫

xm(a+ bxn)p := K

∫

um′(a′ + b′un′

)p′du ;

os coeficientes K, m′, a′, b′, n′ e p′ poderão ser encontrados na seguinte tabela, para cada sub-

stituição indicada, e na qual consideramos: α =m+ 1

n, β =

m+ 1

n+ p, ω é o denominador de

p sem+ 1

né inteiro, s é denominador de

m+ 1

nse p é inteiro.

Para p ≥ 0 (inteiro),m+ 1

n= 1 e

m+ 1

n+ p = −1 logo, as integrais serão imediatas.

Caso Substituição K m′ a′ b′ n′ p′

p < 0 xn = us s

nsα− 1 a b s p

p < 0 xn = u−s − s

n− sβ − 1 b a s p

m+ 1

n≤ 1 a+ bxn = uω ω

nbαω(p+ 1) − 1 −a 1 ω α− 1

m+ 1

n≤ 1 a+ bxn = u− ω − ω

nbα− ωβ − 1 1 − a ω α− 1

m+ 1

n≥ 1 a+ bxn = u

1

nbαp − a 1 1 α− 1

m+ 1

n≥ 1 a+ bxn = u−1 − 1

nbα− β − 1 1 − a 1 α− 1

m+ 1

n+ p ≥ 1 a+ bxn = xnuω − ωaβ

nω(p+ 1) − 1 − b 1 ω − β − 1

m+ 1

n+ p ≥ 1 a+ bxn = xnu− ω ωaβ

nωα− 1 1 − b ω − β − 1

m+ 1

n+ p ≤ 1 a+ bxn = xnu − aβ

np − b 1 1 − β − 1

m+ 1

n+ p ≤ 1 a+ bxn = xnu−1 aβ

nα− 1 1 − b 1 − β − 1


P (x) · ex · dx.

Onde P (x) é um polinômio inteiro racional em x de grau n.


Integrando por partes, considerando u = P (x) e dv = eaxdx temos

∫

P (x) · eax · dx = P (x)1

aeax − 1

a

∫

P ′(x) · eax · dx

onde a integral do segundo membro não difere da anterior exceto que porque P ′(x) tem grau

menor em uma unidade que P (x).

Repetindo a operação teremos:

∫

P (x) · eax · dx =eax

a[P (x) − P ′(x)

a+P ′′(x)a2

− P ′′′(x)a3

+ · · · ] + C

que escrevemos:∫

P (x) · eax · dx =eax

a

n∑

k=0

(−1)kP(k)(x)

ak+ C, onde P (0)(x) ≡ P (x).

O somatório termina na derivada n-ésima, pois as derivadas de P (x), de ordem superior a n

são nulas.

1.3.8.5 Integrais dos tipos:∫

P (x)sen bx · dx e∫

P (x) cos bx · dx.

Onde P (x) é um polinômio inteiro racional em x de grau n. Integrando por partes, con-

siderando u = P (x) e dv = sen (bx)dx temos:

∫

P (x)sen bx · dx = − P(x)

bcos bx+

1

b

∫

P ′(x) · cos bx · dx (1.16)

em virtude da identidade cos bx = sen (bx+π

2) resulta em (1.16):

∫

P (x)sen bx · dx = − P(x)

bcos bx+

1

b

∫

P ′(x) · sen (bx+π

2) · dx (1.17)

observe a solução da última integral do segundo membro de (1.17):

∫

P ′(x) · sen (bx+π

2) · dx = − P ′(x)

bcos(bx+

π

2) +

1

b

∫

P ′′(x) · sen (bx+ 2π

2) · dx

repetindo o processo teremos:

∫

P ′′(x) · sen (bx+ 2π

2) · dx = − P ′′(x)

bcos(bx+ 2

π

2) +

1

b

∫

P ′′′(x) · sen (bx+ 3π

2) · dx

por último quando tenhamos que calcular a integral com derivada de ordem n de P(x) teremos:

∫

P (n)(x) · sen (bx+ nπ

2) · dx = − P (n)(x)

bcos(bx+ n

π

2) +

1

b

∫

P (n)(x) · sen (bx+ (n+ 1)π

2) · dx

como P (x) é um polinômio de grau n, P (n)(x) será nulo; por substituições sucessivas resultará

em (1.17).


∫

P (x)sen bx · dx = −n

∑

k=0

P (k)(x)

bk+1cos(bx+ k

π

2) + C

= −1

b

n∑

k=0

P (k)(x)

bksen (bx+ (k + 1)

π

2) + C

Análogamente obteríamos∫

P (x) cos bx · dx =n

∑

k=0

P (k)(x)

bk+1sen (bx+ k

π

2) + C

= −1

b

n∑

k=0

P (k)(x)

bkcos(bx+ (k + 1)

π

2) + C

Exemplo 1.112.

Resolver J =

∫

(x5 − 3x4 + 2x3 − 5x2 + 6x + 2) · e7x · dxSolução.

Temos uma integral a ser resolvida por partes.

Calculando as derivadas sucessivas do polinômio P (x) = x5−3x4 +2x3−5x2 +6x +2, temos:

P ′(x) = 5x4 − 12x3 + 6x2 − 10x+ 6

P ′′(x) = 20x3 − 36x2 + 12x− 10

P ′′′(x) = 60x2 − 72x+ 12

P (iv)(x) = 120x− 72

P (v)(x) = 120

logo, aplicando a fórmula:

J =eax

a

5∑

k=0

(−1)kP(k)(x)

ak+ C

Portanto, J =eax

a(x5 − 8x4 + 34x3 − 107x2 + 220x− 118) + C.

Exemplo 1.113.

Resolver I =

∫

x+ sen x

1 + cosx· dx

Solução.

I =

∫

x+ 2sen(x2 ) cos(x

2 )

2 cos2(x2 )

· dx =

∫

x · dx2 cos2(x

2 )+

∫

sen (x2 )

cos(x2 )

=

=1

2

∫

x · sec2 x · dx+

∫

tan(x

2) · dx =

= x · tan(x

2) −

∫

tan(x

2) +

∫

tan(x

2) = x · tan(

x

2) + C.

Portanto, I =

∫

x+ sen x

1 + cosx· dx = x · tan(

x

2) + C.

Exemplo 1.114.

Resolver J =

∫

x+ y

x− y· dx sendo y2(x+ a) = x2(a− x)

Solução.


Da condição y2(x+ a) = x2(a− x) tem-se que y = x ·√

a− x

a+ x, logo substituindo na integral

J =

∫

x+ y

x− y· dx =

∫√a+ x+

√a− x√

a+ x−√a− x

· dx

Multiplicando pela conjugada resulta:

J =

∫

(√a+ x+

√a− x)2

x· dx =

∫

a · dxx

+

∫

√a2 − x2

x· dx =

a · Lnx+

∫

√a2 − x2

x· dx

considerando x = a · sen z; dx = a · cos z · dz, logo

J = a · Lnx+

∫

cos z

sen za · cos z · dz = a · Lnx+ a

∫

(1 − sen z) · dzsen z

=

= a · Lnx+ a

∫

dz

sen z− a

∫

sen z · dz =

= a ·Lnx+a ·Ln(csc z−cot z)+a ·cos z+C = a ·Lnx+a ·Ln

[

1 −√

1 − sen 2z

sen z

]

+a ·cos z+C =

= a · Ln[1 −√

1 − (x

a)2] − a · Ln a+

√

a2 − x2 + C = a · Ln

[

x− y

x+ y

]

+x

y(a− y) + C1

onde C1 = a · Ln a+ C

Portanto, J = a · Ln

[

x− y

x+ y

]

+x

y(a− y) + C1.


Exercícios 1-7

1. Resolver e, verificar as seguintes integrais:

1. I =∫ √

sen x

cosx· dx =

1

2Ln[

1 +√

sen x

1 −√sen x

] − arctan√

sen x+ C

2. I =∫

a · cosx · dx√

(a · cos2 x+ b · sen 2x)3=

sen x√a · cos2 x+ b · sen 2x

+ C

3. I =∫

e2x · dx√ex + 1

=2

3(ex − 2)

√ex + 1 + C

4. I =∫

√

1 − e−2x · dx = Ln(ex +√

e2x − 1) −√

1 − e−2x + C

5. I =∫

dx√

(1 + x2)3=

x√1 + x2

+ C. Sugestão:√

1 + x2 = x+ t

6. I =∫

dx

(2x+ 1)√x2 + 1

= − 1√5

arctan[2t− 1√

5] + C. onde

√

1 + x2 = x+ t

7. I =∫

dx

2√

1 − x2 + 1 − x2=

2√

3

3arctan[

2t+ 1√3

] + C. onde t =

√

1 + x

1 − x

8. I =∫ √

tanx · dx =

√2

2[arccos(cosx− sen x) − Ln(cosx+

√sen 2x+ sen x)] + C

Sugestão: Considere√

tanx = u.

2. Resolver utilizando a mudança de variável indicada.

1. I =∫

(a− bx2) · dxx√

cx2 − (a+ bx2)2t =

a

x+ bx

2. I =∫

dx

(1 + x) 3√

1 + 3x+ 3x2t =

x

1 + x

3. I =∫

dx3√

1 − x3t =

3

√

1 − x3

x3

4. I =∫

dx

x√x2n + a2n

t = (a

x)n

3. Determine um polinômio quadrático P(x) tal que P(0) = 1, P’(0) = 0 de modo que∫

P(x) · dxx3(1 − x)2

seja uma função racional.

4. Resolver pelo primeiro método de Ostrogradski

1.

∫

6√x · dx

1 + 3√x

2.

∫

dx√x2 − x− 1

3.

∫

dx√1 − 2x− 4

√1 − 2x

4.

∫

dx√−x2 − 2x+ 8

5.

∫

(5x+ 3) · dx√−x2 + 4x+ 5

6.

∫

(3x+ 2) · dx√x2 + x+ 2

7.

∫

dx

(x+ 2)√x2 + 2x

8.

∫

dx

x√

2x2 − 2x− 19.

∫

(x− 1) · dx(x+ 1)

√x2 + 1


10.

∫

(x2 + 2x+ 3)dx√−x2 + 4x

11.

∫

x · dx√x+ 1

12.

∫

dx

x√

2x+ 1

5. Resolver pelo segundo método de Ostrogradski.

1.

∫

dx

(x3 + 1)(x3 + 8)2.

∫

x4 − 2x2 + 2

(x2 − 2x+ 2)2· dx 3.

∫

dx

(x2 + 1)4

4.

∫

x6 + x4 − 4x2 − 2

x3(x2 + 1)2dx 5.

∫

(x7 + 2) · dx(x2 + x+ 1)2

6.

∫

dx

(x4 − 1)2

7.

∫

x2 + x+ 1

x5 − 2x4 + x2· dx 8.

∫

(4x2 − 8x) · dx(x2 + 1)2(x− 1)2

9

∫

(3x4 + 4) · dxx2(x2 + 1)3

10.

∫

(x2 − 1)2 · dx(x+ 1)(x2 + 1)2

11.

∫

(x+ 2) · dx(x2 + 2x+ 2)3

12.

∫

dx

x4(x3 + 1)2

13.∫

9 · dx5x2(3 − 2x2)3

14.∫

x5 − x4 − 26x2 − 24x− 25

(x2 + 4x+ 5)2(x2 + 4)2· dx

15.∫

dx

(x2 + 2x10)316.

∫

5 − 3x+ 6x2 + 5x3 − x4

x5 − x4 − 2x3 + 2x2 + x− 1· dx

6. Resolver por distintos métodos.

1.

∫

x4 + x2 + 1

x− 1· dx 2.

∫ √x+ Lnx

x· dx 3.

∫

x+ 3√x2 − 4

· dx

4.

∫

x · dx2x2 + 3

5.

∫

x · dx√a4 − x4

6.

∫

x2 · dx√x6 − 1

7.

∫

arctan(x2 )

4 + x2· dx 8.

∫

42−3x · dx 9.

∫

a2x − 1√ax

· dx

10.

∫

x · 7x2 · dx 11.

∫

ex ·√a− bex · dx 12.

∫

5√

x · dx√x

13.

∫

e−bx · dx1 + e−2bx

14.

∫

sen (a+ bx) · dx 15.

∫

dx

sen (xa )

16.

∫

(cos ax+ sen ax)2 · dx 17.

∫

cos2 x · dx 18.

∫

sen (Lnx)

x· dx

19.

∫

x · dxcos2 x2

20.

∫

(1

sen√

2x− 1)2 · dx 21.

∫

cotx · dx

22.

∫

x · cot(x2 + 1) · dx 23.

∫

cos(x

a)sen (

x

a) · dx 24.

∫

cotx

5· dx

25.

∫

sen x · cosx · dx√cos2 x− sen 2x

26.

∫

tan3(x

3) sec(

x

3) · dx 27.

∫

cos ax

sen 2ax· dx

28.

∫

√tanx · dxcos2 x

29.

∫

(cos ax+ sen ax)2

sen ax· dx 30.

∫

cothx · dx

31.

∫

dx

senhx32.

∫

(2senh5x− 3 cosh 5x)dx 33.

∫

dx

senhx · coshx

34.

∫

x3 · dxx8 + 5

35.

∫

x3 − 1

x4 − 4x+ 1· dx 36.

∫

1 − sen x

x+ cosx· dx


37.

∫

x · e− x2 · dx 38.

∫

dx√ex

39.

∫

x3 − 1

x+ 1· dx

40.

∫

dx

x · Ln2x41.

∫

tan 3x− x · cot 3z

sen 3x· dx 42.

∫

asen x · cosx · dx

43.

∫

x2 · dx3√x3 + 1

44.

∫

(2 +x

2x2 + 1)

dx√2x2 + 1

45.

∫ [1 − sen ( x√2)]2

sen ( x√2)

· dx

46.

∫

x · dx√1 − x4

47.

∫

sec2 x · dx√4 − tan2 x

48.

∫

tan2 ax · dx

49.

∫

dx

cos(xa )

50.

∫ 3√

1 + Lnx

x· dx 51.

∫

x2 · dxx2 − 2

52.

∫

x · dxsen (x2)

53.

∫

esen2xsen 2x · dx 54.

∫

sen x− cosx

sen x+ cosx· dx

55.

∫

(1 + x)2 · dxx(1 + x2)

56.

∫

5 − 3x√4 − 3x2

· dx 57.

∫

dx

ex + 1

58.

∫

e− tanx sec2 x · dx 59

∫

dx

sen ax · cos ax 60.

∫

ex · dx√e2x − 2

61.

∫

dx

x(4 − Ln2x)62.

∫

arccos(x2 )√

4 − x2· dx 63.

∫

arcsenx+ x√1 − x2

· dx

64.

∫

cos 2x · dx4 + cos2 2x

65.

∫

3tanh x · dxcosh2 x


Miscelânea 1-1

1. Determine as funções primitivas para as seguintes funções:

1. (cos2 x+ 2sen x · cosx− sen 2x)2.

2. cos(a+ x) · cos(a− x) + sen (a+ x) · sen (a− x).

2. Calcule as integrais seguintes com a mudança de variável indicada [1]:

1.

∫

x · dx√x+ 1

t =√x+ 1 2.

∫

dx

x(axn + b)t =

1

x

3.

∫

dx√2ax− x2

t = a− x 4.

∫

sen x+ cosx

3 + sen 2x· dx

5.

∫

(x2 + 1) · dxx√x4 − x2 + 1

t = x− 1

x6.

∫

dx

x√

2x− 1t =

√2x− 1

3. Verifique o cálculo das seguintes integrais:

1. I =

∫√ex + 1 · earctan x + Ln[(x2 + 1)

√x2ex−x2

] +√ex − 1√

x2 + 1 ·√ex + x2ex − x2 − 1

· dx =

= earctan x +1

4Ln2(x2 + 1) + arctanx+ C.

2. H =

∫

dx

(sen x+ 4)(sen x− 1)=

=2

5(tan(x2 ) − 1)

− 2

5√

15arctan[

4 tan(x2 ) + 1√15

] + C.

Sugestão:1

(sen x+ 4)(sen x− 1)=

(sen x+ 4) − (sen x− 1)

5(sen x+ 4)(sen x− 1)

3. J =

∫

ex√e2x − 4 − 2e2x(ex + 2)

2(ex + 2)√e2x − 4

=1

2Ln(2 + ex) −

√

e2x − 4 + C.

4. Determine antiderivada de g(x) =x2 +

√1 + x

3√

1 + x, de modo que passe pelo ponto P(0,

709

280).

5. Se f ′′(x) = −a e g′′(x) = b · g(x) onde a e b são constantes positivas; achar o valor da

integral I =∫

f(x) · g′′(x) · dx.

6. Substituindo tan θ =b

a, mostre a seguinte fórmula:

∫

eax cos bx · dx =1√

a2 + b2· eax cos(bx− θ)

7. Se y = f(x) e x = f(y), mostre que:∫

f(x) · dx+

∫

f(y) · dy = xy + C.


8. Seja a integral I =

∫

u · v(n) · dx, onde v(n) é a derivada n−ésima da função v; qual é a

fórmula obtida após de n integrações por partes?. Calcule uma primitiva para a expressão:

u · v′′ − v · u′′.

9. Resolver por distintos métodos.

1.

∫

dx√ex − 1

2.

∫

Ln2x · dxx · Ln4x

3.

∫

e2x · dx√ex + 1

4.

∫

sen 3x√cosx

· dx 5.

∫

dx

x√x2 + 1

6.

∫

x3 · dx√2 − x2

7.

∫

dx

x2√

4 − x28

∫

√

1 − x2 · dx 9.

∫

√

a2 + x2 · dx

10.

∫

dx

x ·√x2 − 1

11.

∫

√x2 + 1

x· dx 12.

∫

dx

x ·√x2 − 2

13.

∫

dx

x2 − 7x+ 1314.

∫

secx · tanx√sec2 x+ 1

· dx 15.

∫

sec2 x · dx√tan2 x− 2

16.

∫

(exa + e−

xa )2 · dx 17.

∫

cot2 ax · dx 18.

∫

dx

1 + cos2 x

19.

∫

dx

3 cos(5x− π4 )

20.

∫

x2 · dx√x2 − a2

21.

∫

dx

x ·√

1 − x2

22.

∫

dx

(x− 1)√x2 − 2

23.

∫

dx

sen 2x · cos2 x 24.

∫

x2 · dx√1 − x2

25.

∫

√x2 − a2

x· dx 26.

∫

x(5x2 − 3)7 · dx 27.

∫

x cosh(x2 + 3) · dx

10. As seguintes integrais requerem aplicação de métodos estudados; resolver cada uma das

mesmas.

1.

∫

arctanx

1 + x2· dx 2.

∫

x · arctanx(1 + x2)3

· dx 3.

∫

Ln(√

1 + x2) · dx

4.

∫

dx

x6 + 15.

∫

x · Ln(√

1 + x2) · dx 6.

∫

(x2 − 1) · dx(x2 + 1)

√1 + x4

7.

∫

x · dxx+ sen x

8.

∫

arcsen√x · dx 9.

∫

esen x · [x cos3 x− sen x

cos2 x] · dx

11. O preço de revenda de um Fusca decresce a uma taxa que varia com o tempo de uso.

Quando a máquina tinha t anos, a taxa de variação por ano era −960 · 5√e− t reais por ano.

Se o Fusca fui comprado por R$5.000,00 quanto custará dentro de 10 anos?

12. Estima-se que a valorização de um objeto dá-se a uma taxa de4x3

10√

0, 2x4 + 8000reais por

ano. Se o valor desse objeto é R$500,00 quanto será o custo dentro de 10 anos?

13. Calcular∫

(y + x) · dx sendo y3 − x3 + x4 = 0. Sugestão: considere y = tx.


14. A partir da integral In =

∫

xn · cos(ax) · dx, mostre que:

In =xn

asen (ax) +

n · xn−1

a2cos(ax) − n(n− 1)

a2In−2

.

15. Mostre que a integral In =

∫

sen (nx)

sen x· dx satisfaz a seguinte identidade:

In =2

n− 1sen (n− 1)x+ In−2

16. Mostre que∫

cos 8x− sen 7x

1 + cos 2x· =

sen 3x

3− sen 2x

2+ C. Sugestão: sen 3x = sen x(1 +

2 cos 2x).

17. Mostre a seguinte identidade:

I =

∫

x · dx√x+ 2 +

√x+ 1

=2

5(x+ 2)(3x− 4)

√x+ 2 − 2

15(x+ 1)(3x− 2)

√x+ 1 + C

Sugestão: Multiplicar o numerador e denominador pela conjugada do denominador.

Capítulo 2

Integral Definida

Leibnitz

Gottfried Wilhelm Leibnitz - (1646- 1716) nasceu no diaprimeiro de julho, na cidade alemã de Leipzig. Era filho de um pro-fessor de filosofia moral. .

Sua família era de origem eslava. Criança ainda, explorava abiblioteca do pai. Viu os autores antigos e escolásticos. Tomou contatocom Platão e Aristóteles. Com quinze anos começou a ler os filósofosmodernos. Bacon, Descartes, Hobbes e Galileu.

Leibnitz foi de um espírito universal, muito inteligente, que revelouaptidão e genialidade em diversos campos. Bertrand Russel fala queera admirável, mas não como pessoa; pois escreveu para ser populare agradar os príncipes. Cursou filosofia na cidade natal, matemáticaem Jena, com vinte anos. Cursou também jurisprudência em Altdorf.Em 1663, aluno da faculdade de filosofia, escreveu um trabalho sobre

individualização.

Influenciado pelo mecanicismo de Descartes, que mais tarde refutou, expôs suas idéias em um livro,onde associava a filosofia e a matemática. Esboçou as primeiras considerações do que viria a ser suagrande descoberta matemática: o cálculo infinitesimal. Leibniz o desenvolveu na mesma época que Newton,um pouco depois.

Em Paris havia conhecido e ficado amigo do matemático Huyghens. Conheceu também o filósofoArnauld (1612-1694) e Malembranche. Viajou para Londres e entrou para a Royal Society. Voltou paraParis. Sua estada lá, continuou sendo importante intelectualmente. O alemão ainda não era uma línguaculta, e ele aprendeu francês perfeitamente.

Quando voltava para a Alemanha, passou de novo por Londres, onde conheceu newton. Na Holanda,conheceu Spinoza. Conversaram sobre metafísica e Spinoza mostrou a Leibniz os originais de Ètica..

Dentre as muitas obras de Leibnitz se destacam: Discurso da Metafísica; Novos ensaios sobre oentendimento humano (resposta a Locke); Sobre a origem das coisas; Sobre o verdadeiro método dafilosofia; Teologia e correspondência.

Leibnitz criticou a materialismo moderno. Apesar disso, era um racionalista. Seu racionalismo, comoo de Zenão, chegava ao paradoxo.

Usando a teoria da causalidade, Leibnitz explica a existência de Deus. Diz que ele não faz nada aoacaso, é supremamente bom. O universo não foi feito apenas pelo homem, mas o homem pode conhecero universo inteiro. Deus é engenhoso, é capaz de formar uma “máquina” com apenas um simples líquido,sendo necessário apenas a interação com as leis da natureza para desenvovê-la.

89


2.1 Somatórios

Considere m e n dois números inteiros tais que m ≤ n e f(x) uma função definida para

cada i ∈ Z , onde m ≤ i ≤ n. A expressãon∑

i=mf(i) representa uma soma da seguinte forma:

f(m) + f(m+ 1) + f(m+ 2) + · · · + f(n− 1) + f(n) ; isto én∑

i=mf(i) = f(m) + f(m+ 1) +

f(m+ 2) + · · · + f(n− 1) + f(n) .

A letra grega “sigma”∑

é o símbolo do somatório, i é o índice ou variável, m é o limite

inferior e n é o limite superior.

Exemplo 2.1.

a) Seja f(i) = i+ 2 , entãon∑

i=mf(i) = (1 + 2) + (2 + 2) + (3 + 2) + (4 + 2) + (5 + 2) = 20.

b) Seja g(i) = cos(ix) , entãon∑

i=mg(i) = cosx+ cos(2x) + cos(3x) + · · · + cos(nx).

Observação 2.1.

Na expressãon∑

i=mf(i) existem, (n−m+ 1) somandos.

Propriedade 2.1.

a)n∑

i=mK = (n−m+ 1)K.

b)n∑

i=m[f(i) ± g(i)] =

n∑

i=mf(i) ±

n∑

i=mg(i). · · · distributiva

c)n∑

i=m[f(i) − f(i− 1)] = f(n) − f(m− 1) · · · telescópica

d)n∑

i=m[f(i− 1) − f(i− 1)] = f(n+ 1) + f(n) − f(m) − f(m− 1) · · · telescópica

Demonstração.

A demonstração desta propriedade, é exercício para o leitor.

Exemplo 2.2.

Calcular o valor de S =200∑

i=1[√i+ 1 −

√i− 10].

Solução.

Pela Propriedade (2.1) temos que: S =200∑

i=1[√i+ 1−

√i] −

200∑

i=110 = [

√201−

√1]−200(10) =

−2001.

Portanto S =200∑

i=1[√i+ 1 −

√i− 10] =

√201 − 2001.


Exemplo 2.3.

Calcular uma fórmula para S =n∑

i=m[(i+ 1)2 − (i+ 1)2].

Solução.

Considere f(i) = i , segundo a Propriedade (2.1) d) segue:

S =n∑

i=m[(i+ 1)2 − (i+ 1)2] =

= f(n+ 1) + f(n) − f(1) − f(n− 1) + f(n+ 1) − f(n) − f(1) − f(0) =

= (n+ 1)2 + n2 − 1 − 0 = 2n(n+ 1)).

De outro modo, observe que [(i + 1)2 − (i − 1)2] = 4i, assim temos que S =n∑

i=m[(i + 1)2 −

(i+ 1)2] =n∑

i=m4i = 2n(n+ 1).

Portanto, S =n∑

i=m[(i+ 1)2 − (i+ 1)2] = 2n(n+ 1).

Exemplo 2.4.

Usando as propriedades do somatório, mostre as seguintes igualdades:

1. S =n

∑

i=1

i =n(n+ 1)

22. T =

n∑

i=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

3. U =n

∑

i=1

i3 =n2(n+ 1)2

44. V =

n∑

i=1

i4 =n(n+ 1)(6n3 + 9n2 + n+ 1)

30

Solução. a)

É conseqüência do Exemplo (2.3), observe quen∑

i=14i = 4

n∑

i=1i = 2n(n+ 1) então S =

n∑

i=1

i =

n(n+ 1)

2Solução. b)

Consideremos f(i) = i3, pela Propriedade (2.1) d) temos que a soma:

n∑

i=1

[(i+ 1)3 − (i+ 1)3] = (n+ 1)3 + n3 − 13 − 03 = 2n3 + 3n2 + 3n (2.1)

Por outro lado:

n∑

i=1

[(i+ 1)3 − (i+ 1)3] =n

∑

i=1

[6i2 + 2] = 6n

∑

i=1

[i2] + 2n (2.2)

De (2.1) e (2.2) segue que 6n∑

i=1[i2] + 2n = 2n3 + 3n2 + 3n.

Portanto,n

∑

i=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

Solução. c)


Consideremos f(i) = i4, pela Propriedade (2.1) d) temos que a soma:

n∑

i=1

[(i+ 1)4 − (i+ 1)4] = (n+ 1)4 + n4 − 14 − 04 = 2n4 + 4n3 + 6n2 + 4n (2.3)

Por outro lado, da parte a) deste exemplo,n∑

i=1[(i + 1)4 − (i + 1)4] = 8

n∑

i=1i3 + 8

n∑

i=1i =

8n∑

i=1[i3] + 4n(n+ 1).

Igualando a (2.3), temos 8n∑

i=1[i3] + 4n(n+ 1) = 2n4 + 4n3 + 6n2 + 4n.

Portanto, U =n

∑

i=1

[i3] =n2(n+ 1)2

4

Solução. d)


Exemplo 2.5.

Se a > 0, determine uma fórmula para a progressão geométrican∑

k=1

ak.

Solução.

Seja S =n∑

k=1

ak = a+ a2 + a3 + a4 + · · ·+ an−2 + an−1 + an , se multiplicamos por −a à soma

S obtém-se −aS = −a2 − a3 − a4 − · · · − an−2 − an−1 − an − an+1; logo S - aS = a− an+1 onde

S(a− 1) = a(an − 1)

Portanto, S =

n∑

k=1

ak =a(an − 1)

a− 1.

Exemplo 2.6.

Achar uma fórmula para S =n

∑

k=1

6

2k−1.

Solução.

Temos que S =n

∑

k=1

6

2k−1= 6

n∑

k=1

2

2k= 12

n∑

k=1

1

2k; pelo Exemplo (2.5) concluímos: S =

12(1 − (1

2)n].

Portanto, S =n

∑

k=1

6

2k−1= 12[1 − 1

2)n].

Exemplo 2.7.

Determine uma fórmula paran

∑

k=1

k

3k.

Solução.

Aplicando a propriedade telescópica,n

∑

k=1

[k

3k− k − 1

3k−1] =

n

3n− 0.


Por outro lado,n

∑

k=1

k

3k−

n∑

k=1

k − 1

3k−1=

n∑

k=1

k

3k− 3[

n∑

k=1

k

3k−

n∑

k=1

1

3k] =

= −2n

∑

k=1

k

3k+ 3

n∑

k=1

1

3k= −2

n∑

k=1

k

3k+ 3 ·

13 [(1

3)n − 1]13 − 1

= −2n

∑

k=1

k

3k+

3

2[1 − (

1

3)n]

logo −2

n∑

k=1

k

3k+

3

2[1 − (

1

3)n] =

n

3n− 0 onde

n∑

k=1

k

3k=

3

4− 3 + 2n

4(3)n.

Portanto,n

∑

k=1

k

3k=

3

4− 3 + 2n

4(3)n

Exemplo 2.8.

Determine a soma S =n

∑

k=1

k · (k!).

Solução.

Considere f(k) = (k + 1)!, pela Propriedade (2.1) c) temos:n

∑

k=1

[(k + 1)! − k!] = (n+ 1)! − 1 ; isto én

∑

k=1

[(k + 1) · k! − k!] =n

∑

k=1

k · (k!) = (n+ 1)! − 1.

Portanto S = (n+ 1)! − 1

Exemplo 2.9.

Achar uma fórmula paran

∑

k=1

sen (kx).

Solução.

Lembre a identidade cos(a+ b) − cos(a− b) = −2sen (a)sen (b).

Logo:n

∑

k=1

[−2sen x · sen (kx)] =n

∑

k=1

[cos(k + 1) − cos(k − 1)] então −2sen xn

∑

k=1

sen (kx) =

cos(n+ 1)x+ cos(nx) − cosx− 1.

Portanto,n

∑

k=1

sen (kx) = − cos(n+ 1)x+ cos(nx) − cosx− 1

2sen x

Exemplo 2.10.

Calcular a soma S =n

∑

k=1

sen 2n2x.

Solução.

Aplicando a propriedade telescópica temos:

n∑

k=1

[sen 2k2x− sen 2(k−1)2x] = sen 2x− 1 (2.4)

Por outro lado,n

∑

k=1

[sen 2k2x − sen 2(k−1)2x]n

∑

k=1

sen 2k2x −n

∑

k=1

sen −22x · sen 2(k−1)2x = [1 −

sen −22x]n

∑

k=1

sen 2k2x = [sen 22x− 1

sen 22x]

n∑

k=1

sen 2k2x = cot2 2xn

∑

k=1

sen 2k2x .


De (5.7) temos cot2 2xn

∑

k=1

sen 2k2x = sen 2n2x− 1.

Portanto, S = tan2 2x(sen 2n2x− 1)

Exemplo 2.11.

Calcular a soma T =n

∑

k=1

tanh(19kx)

sech(19kx).

Solução.

Observe que, T =n

∑

k=1

tanh(19kx)

sech(19kx)=

n∑

k=1

senh(19kx) , análogo ao Exemplo (2.9) temos da

identidade para funções hiperbólicas cosh(a+ b) − cosh(a− b) = − 2senh(a)senh(b).

Logon

∑

k=1

[−2senh(19x)senh(19kx)] =n

∑

k=1

[cosh(19(k+1)x)−cosh(19(k−1))] então −2senh(19x)·n∑

k=1

senh(19kx) = cosh(19(n+ 1)x) + cosh(19nx) − cosh(19x) − 1,

Portanto,

T =n

∑

k=1

tanh(19kx)

sech(19kx)=

cosh(19(n+ 1)x) + cosh(19nx) − cosh(19x) − 1

2senh(19x)

Exemplo 2.12.

Determine o valor da seguinte soma T =n

∑

k=1

1

loga(22k) loga(2

2k+2)

Solução.

Temos que:1

loga(22k) loga(2

2k+2)=

1

loga(22)

[

1

loga(22x)− 1

loga(22x+2)

]

Logo T =n

∑

k=1

1

loga(22)

[

1

loga(22k)− 1

loga(22k+2)

]

Assim, T =1

loga(22)

[

1

loga22− 1

log2(22n+2)

]

.


Exercícios 2-1

1. Escrever os seis primeiros termos das somas dadas.

1.n

∑

k=1

k

k + 12.

20∑

k=0

2k + 1

3k + 23.

10∑

k=1

k2 − 2k + 3

2k2 + k + 14.

n∑

k=1

(−1)k ak

k3

5.∞

∑

k=1

(3

2)k

6.30

∑

k=1

sen (kπ) 7.∞

∑

k=1

Ln(3

k) 8.

n∑

k=1

k2

k + 1

2. Determinar uma fórmula para cada uma dos seguintes somatórios:

1.n

∑

i=1

[√

2i+ 1 −√

2i− 1] 2.n

∑

k=1

4

(4k − 3)(4k + 1)3.

100∑

k=1

Ln[k

k + 2]

4.

n∑

k=1

2k + k(k + 1)

2k+1(k2 + k)5.

n∑

k=1

k

(k + 1)(k2 + 5k + 6)6.

n∑

k=1

2k + 3k

6k

7.n

∑

k=1

[

√k + 1 −

√k√

k2 + k] 8.

n∑

k=1

Ln[(1 + 1k )k(1 + k]

(Lnkk)(Ln(k + 1))k+19.

n∑

k=1

ek + 2

3k

10.n

∑

k=1

1

2x2 + 6x+ 411.

n∑

k=1

1

k2 − 112.

n∑

k=1

2k + 1

k2(k + 1)2

13.

n∑

k=1

ek − [3sen a · cos a]k3k

14.

n∑

k=1

16 csc5 kx

cot5 kx · sec9 kx15.

n∑

k=1

cos(3kx)

16.n

∑

k=1

[25

10k− 6

100k] 17.

n∑

k=1

sen 2k(2x) 18.n

∑

k=1

k

5k

19.n

∑

k=1

5k · sen (5k − x) 20.n

∑

k=1

k · xk+121.

n∑

k=1

k · 2k

22.

n∑

k=1

1

24 + 10k − 25k223.

n∑

k=1

cos2k24.

n∑

k=1

[√

3 + x]k

3. Determine a validade da igualdade:n

∑

k=1

Ln 2k =n(n+ 1)

2Ln2.

4. Mostre que a fórmula é evidente:n

∑

k=1

(m+ k)!

k!=

(m+ n+ 1)!

(m+ 1)n!.

5. Se X =1

n[

n∑

k=1

Xk] , mostre quen∑

k=1

[Xk −X]2 =n∑

k=1

X2k −X

n∑

k=1

Xk.

6. Determine o valor de n ∈ N , se:n

∑

k=1

(2 + k2) =

n∑

k=1

(k + k2).

7. Seja | a |< 1, mostre que : S =n

∑

k=0

ak =a

1 − aquando n→ ∞.


8. Nos seguintes exercícios expresse as dizimas periódicas dadas como series geométricas e em

seguida expresse as somas destas últimas como o quociente de dois inteiros.1. 0, 6666 2. 0, 2323 3. 0, 07575 4. 0, 21515

9. Quando um determinado empregado recebe seu pagamento ao final de cada mês, ele de-

posita P reais em uma conta especial para a aposentadoria. Esses depósitos são feitos

mensalmente, durante t anos e a conta rende juros anuais de r%. Se os juros são capital-

izados mensalmente, o saldo A na conta ao final de t anos é:

A = P + P (1 +r

12) + · · · + P (1 +

r

12)12t−1 = P (

r

12)[(1 +

r

12)12t − 1]

Se os juros são capitalizados continuamente, o saldo A ao final de t anos é: A = P +Per12 +

Pe2r12 + · · ·+ P · e

(12t−1)r12 =

P (en − 1)

er12 − 1

. Use a fórmula para a n-ésima soma parcial de uma

série geométrica para provar que cada uma das somas acima está correta.

10. Uma bola, jogada de uma altura de 6 metros, começa a quicar ao atingir o solo, como

indica a Figura (2.1). A altura máxima atingida pela bola após cada batida no solo é

igual a três quartos da altura da queda correspondente. Calcule a distância vertical total

percorrida pela bola.

-

6

?0 x

y6

4

2

CCCCCCCCC

Tempo

uu

CCCCCCuu

CCCCuu

CCu

u

Figura 2.1:

11. Mostre quen

∑

k=1

Ln(k + 1) = Ln[(n+ 1)!].


2.2 Cálculo de Área de uma Região Plana

2.2.1 Partição de um Intervalo Fechado.

Definição 2.1.

Seja [a, b] um intervalo fechado, uma partição do intervalo [a, b] é o conjunto de pontos P= x0, x1, x2, x3, · · · , xn tais que: a = x0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn = b.

Observação 2.2.

i) Toda partição P de [a, b] divide em n subintervalos o intervalo [a, b] .

ii) O comprimento de cada subintervalo [xi−1, xi] para i = 1, 2, 3, · · · n , denotamos com

∆ix = xi − xi−1 ; e verifica-sen∑

i=1∆ix =

n∑

i=1[xi − xi−1] = b− a.

iii) Chamamos de norma ou diâmetro da partição P ao número ‖ P ‖= max . ∆ix /. i =

1, 2, 3, · · · , n.

iv) Quando dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos do mesmo comprimento, cada um

deles tem como medida ∆x =b− a

n, neste caso os extremos do intervalo são x0 = a, xn = b

e xi = a+ i∆x. Observe que ‖ P ‖= ∆x.

2.2.2 Aproximação da Área de uma Região por Áreas de Retângulo.

Consideremos f : [a, b] −→ R uma função contínua não negativa no intervalo [a, b] ; seja D

a região limitada pelas retas x = a, x = b , o eixo x e a função y = f(x) como mostra a Figura

(5.4) e P uma partição de [a, b] .

Como f(x) é contínua em [a, b] podemos considerar uma coleção de pontos u1, u2, u3, u4, · · ·un

em cada um dos n intervalos de P tais que f(u1) seja o valor mínimo em [x0, x1] ; f(u2) seja

o valor mínimo em [x1, x2] , e assim sucessivamente de modo que f(un) seja o valor mínimo no

intervalo [xn−1, xn] .

Figura 2.2: Figura 2.3:


Construíamos n retângulos de bases os subintervalos de P cujas respectivas alturas são

f(u1), f(u2), f(u3), · · · , f(un). As áreas destes retângulos são:

f(u1)∆1x, f(u2)∆2x, f(u3)∆3x, · · · , f(un)∆nx, ;

estes n retângulos formam um conjunto poligonal chamado “polígono retangular inscrito em D”

como mostra a Figura (2.3)

A área desta região poligonal denotaremos por I(P); logo temos que: I(P) =n∑

i=1f(ui) ·∆ix.

De modo análogo podemos eleger v1, v2, v3, v4, · · · , vn nos subintervalos de P, tais que f(v1)

seja o valor máximo em [x0, x1] ; f(v2) seja o valor máximo em [x1, x2] , e assim sucessivamente

de modo que f(vn) seja o valor máximo no intervalo [xn−1, xn] .

A região poligonal formada pelos retângulos de base os subintervalos de P e altura f(v1),

f(v2), f(v3), · · · , f(vn) esta circunscrito à região D Figura (2.4), e sua área é denotada por

C(P); logo

C(P) =n

∑

i=1

f(vi) · ∆ix

Observação 2.3.

Dada duas partições P1 e P2, considerando I(P1) a área do polígono inscrito e C(P2) a área

do polígono circunscrito, verifica-se:

I(P1) ≤ C(P2) para toda partição P1, P2 de [a, b] (2.5)

Figura 2.4:

-

6

?

0 · · · xi−1 xi · · · x

y

y = x + 1

3

rr

Figura 2.5:

Sejam L o conjunto de todas as áreas de polígonos retangulares inscritos à região D e U o

conjunto de todas as áreas de polígonos retangulares circunscritos a D; isto é L = I(P)/. Pé partição de [a, b] e U = C(P)/. P é partição de [a, b] tanto L quanto U representam

números reais.

Em virtude da desigualdade (5.11) cada número que representa o conjunto L é menor que

qualquer número que representa o conjunto U , logo L é limitado superiormente e U é limitado

inferiormente.


Seja AL = supL e AU = infU; por definição de ínfimo e supremo verifica-se que

I(P) ≤ AL ≤ AU ≤ C(P), onde AL ≤ AU .

Portanto, a área da região D denotada por A Figura (5.4), se existe deve encontra-se entre

AL e AU ; isto é AL ≤ A ≤ AU

Exemplo 2.13.

Mediante retângulos inscritos e circunscritos, calcular a área da região D, limitada pelos

gráficos de y = x+ 1, x = 0, x = 3 e o eixo x.

Solução.

Observe, na Figura (2.5), temos que f(x) = x+ 1, a = 0 e b = 3 ; como a função y = f(x) é

crescente no intervalo [0, 3], f(x) apresenta mínimo no extremo esquerdo de qualquer subintervalo

de uma partição P de [0, 3].

Seja ui = a+ (i− 1)∆x i = 1, 2, 3, · · · , n ; sendo é ∆x =3 − 0

n=

3

nentão ui = (i− 1)

3

n

e f(ui) = ui + 1 = (i− 1)3

n+ 1.

A soma das áreas dos retângulos inscritos (Figura (2.5)) é:

I(P) =n

∑

i=1

f(ui) · ∆ix =n

∑

i=1

[(i− 1)3

n+ 1]

3

n=

= [3

n]2 ·

n∑

i=1

i− [3

n]2 ·

n∑

i=1

1 + [3

n] ·

n∑

i=1

1 = [3

n]2 · n(n+ 1)

2− [

3

n]2n+ 3 =

9n(n+ 1)

2n2+

9

n+ 3

-

6

?

0 · · · xi−1 xi · · · x

y

y = x + 1

3

rr


Isto é:

I(P) =9n(n+ 1)

2n2+

9

n+ 3 (2.6)

Por outro lado, consideremos vi = a+ i∆x i = 1, 2, 3, · · · , n ; sendo ∆x =3 − 0

n=

3

nentão

vi = i e f(ui) = vi + 1 = i + 1; a soma das áreas dos retângulos circunscritos (Figura (2.6)) à

região D dada por: C(P) =n

∑

i=1

f(ui) · ∆ix =


n∑

i=1

[i3

n+ 1]

3

n= [

3

n]2 ·

n∑

i=1

i+ [3

n] ·

n∑

i=1

1 = [3

n]2n(n+ 1)

2+ 3 =

9n(n+ 1)

2n2+ 3 ; isto é

C(P) =9n(n+ 1)

2n2+ 3 (2.7)

De (2.6) e (2.7) segue: I(P) =9n(n+ 1)

2n2+

9

n+ 3 ≤ 9n(n+ 1)

2n2+ 3 = C(P)

Supondo o número n de retângulos inscritos e circunscritas à região D seja suficientemente

grande por exemplo n → ∞ temos limn →∞

I(P) = =15

2≤ lim

n →∞C(P) =

15

2.

Portanto, a medida da área da região D é A =15

2unidades quadradas.

Exemplo 2.14.

Mediante área de retângulos, calcular a área da região D, limitada por y = x2 , o eixo x e a

reta x = 2.

Solução. .

Da Figura (2.7), seja x0 = 0, ∆x =2 − 0

n=

2

n, logo x1 = ∆x, x2 = 2∆x, · · · , xi = i∆x.

Como a curva é crescente a altura de cada um dos retângulos inscritos é ui = xi−1 , e

f(ui) = (ui)2 = [(i− 1)∆x]2 onde :

I(P) =

n∑

i=1

f(ui)∆x =

n∑

i=1

[(i− 1)∆x]2∆x = [2

n]3

n∑

i=1

[i2 − 2i+ 1] =

= [2

n]3[n(n+ 1)(2n+ 1)

6+ n(n+ 1) + n]

; logo I(P) = [2

n]3[n(n+ 1)(2n+ 1)

6+ n(n+ 1) + n] no limite quando n → ∞ temos I(P) =

8

3

Figura 2.8:

Por outro lado, a altura de cada um dos retângu-

los circunscritos (Figura (2.8)) é vi = xi , e f(vi) =

(vi)2 = (i · ∆x)2 onde: C(P) =

n∑

i=1

f(ui)∆x =

=n

∑

i=1

[i · ∆x]2∆x = [2

n]3 ·

n∑

i=1

i2 =

= [2

n]3n(n+ 1)(2n+ 1)

6logo,

C(P) =8

3+

4

n+

4

3n2no limite quando n → ∞

temos limn →∞

C(P) =8

3.

Portanto, a área pedida é A =8

3unidades quadradas (u2)

Exemplo 2.15.

Calcular a área da região D, limitada pelos gráficos de y = x3 + x + 3, x = −1, x = 2 e o

eixo x.


Solução. .

Temos a = −1, b = 2, f(x) = x3 + x+ 3 e ∆x =2 − (−1)

n=

3

n

Seja ui = 1 + i∆x = −1 +3

ni , logo

f(ui) = [−1 +3

ni]3 + [−1 +

3

ni] + 3 =

27

n3i3 − 27

n2i2 +

12

ni+ 1

I(P) =n

∑

i=1

f(ui)∆x =81

n4

n∑

i=1

i3 − 81

n3

n∑

i=1

i2 +36

n2

n∑

i=1

i+3

n

n∑

i=1

1 =

=81

n4

n2(n+ 1)2

4− 81

n3

n(n+ 1)(2n+ 1)

6+

36

n2

n(n+ 1)

2+

3

nn

; no limite quando n → ∞ temos limn →∞

I(P) =57

4.

De modo análogo obtemos no limite quando n → ∞ que limn →∞

C(P) =57

4.

Portanto, a área pedida é57

4u2.

Exemplo 2.16.

Calcular a área da região D, limitada pelos gráficos de y = 2√x , o eixo x, as retas x = 0 e

x = 9.

Solução. .

A função é crescente, como se observa na Figura (2.9) ; a área da região D, é igual à área

do retângulo de lados 9 e 6 menos a área da região E. Seja f−1(x) =y4

4temos y ∈ [0, 6] por

processo análogo para o eixo x temos para retângulos inscritos que :

∆y =6 − 0

n=

6

n, yi = i

6

nsendo i = 1, 2, 3, · · · e ui = yi.


Logo I(P) =n

∑

i=1

f−1(ui)∆y =6

n

n∑

i=1

[1

4(i · 6

n)2] =

54

n3

n∑

i=1

i2 =54

n3

n(n+ 1)(2n+ 1)

6.

Quando n → ∞ temos limn →∞

I(P) = 18 .

De modo análogo obtemos no limite quando n → ∞ que limn →∞

C(P) = 18 .

Coma a área da região D é área do retângulo menos a área da região E. Portanto área da

região D é 36u2.


Exemplo 2.17.

Determine a área da região D, embaixo da curva y = senhx no intervalo [0, 1].

Solução. .

A região D mostra-se na Figura (2.10), temos ∆x =1 − 0

n=

1

n, ui = i

1

ne f(ui) = senh(i

1

n) ;

no limite quando n → ∞ temos:

limn →∞

I(P) = limn →∞

C(P)

é suficiente calcular o limite:

A = limn →∞

[1

n

n∑

i=1

senh(i · 1

n)]

que representa a área da região D.

Pelo Exemplo (2.12) sabemos que:

n∑

i=1

senh(i · 1

n) =

cosh[(n+ 1) · 1n ] + cosh(n · 1

n) − cosh( 1n) − 1

2 · senh( 1n)

Logo, A = limn →∞

[1

n][cosh[(n+ 1) · 1

n ] + cosh(n · 1n) − cosh( 1

n) − 1

2 · senh( 1n)

] =2 · cosh(1) − 2

2

mFigura 2.11:

Portanto a área da região D é cosh(1) − 1 unidades

quadradas.

Exemplo 2.18.

Calcular a área da região D, à direita da reta x = 1,

limitada pela curva y = 4 − x2.

Solução.

O gráfico de y = 4 − x2 mostra-se na Figura (2.11);

temos ∆x =2 − 1

n=

1

n, x0 = 1, xi = 1 + i · ∆x ; logo a

área da região D é

A = limn →∞

[n

∑

i=1

f(vi)∆x] = limn →∞

n

∑

i=1

[4−(1+i·∆x)]∆x =

= limn →∞

1

n

n∑

i=1

[4 − (1 + i · 1

n)2]

= limn →∞

n∑

i=1

[3 − 2i

n− i2

n] = lim

n →∞10n3 − 9n2 − n

6n3=

5

3

Portanto, a área da região D mede5

3u2.


Exercícios 2-2

1. Determine a área da região D limitada por y = 2x2 , o eixo x e as reta x = 2 , utilizando

retângulos inscritos e circunscritos.

2. Determine a área da região D limitada por y = 3x4 , o eixo x e as reta x = 1 , utilizando

retângulos inscritos e circunscritos.

3. Calcular a área da região D limitada por y = x3 , o eixo-x e as retas x = −1 e x = 2

utilizando retângulos inscritos e circunscritos.

4. Usando somatório, calcular a área do trapézio isósceles de bases B e b de altura h.

5. O gráfico de f(x) = 2− | x | , e o eixo x desde x = −2 até x = 2 formam um triângulo.

Utilizando somatório, achar a área desse triângulo.

6. Para cada um dos seguintes exercícios, desenhar a região de integração D, e determine sua

área limitada pelos gráficos de:

1. y = cosx, x = −π6, x =

π

2, y = 0 2. y = arctanx, y = arccos

3x

2, y = 0

3. y = x3 + x, x = 0, y = 2, y = 0 4. y =x2 − x

1 + x2, y = 0, x = −1, x = 2

5. y = 3x− x2, y = x2 − x 6. y(x2 + 4) = 4(2 − x), y = 0, x = 0

7. y = tan2 x, y = 0, x =π

3, x = 0 8. y = arcsenx, y = arccosx, x = 1

9. y = Ln(x2), x = Ln4, x = e 10. y = 4 − Ln(x+ 1), y = Ln(x+ 1), x = 0

11. y = tanx, x = 0, y =2

3cosx 12. y = x2 + 2x− 3, x = −2, x = 0, y = 0

13. x = ey, x = 0, y = 0, Ln4 14. y = x3 − 3x2 + 2x+ 2, y = 2x2 − 4x+ 2

15. y = ex, y = e−x, x = 1 16. y2 − x = 0, y − x3 = 0, x+ y − 2 = 0

17. y = 9 − x2, y = x2 + 1 18. y = 2x+ 2, x = y2 + 1, x = 0, y = 0, x = 2

19. y = x3 + x− 4, y = x, y = 8 − x 20. y =| x− 2 |, y + x2 = 0, x = 1, x = 3

21. y =√

x2 − 3, y =| x− 1 |, y = 0 22. y =| sen x | se x ∈ [0, 2π], y = −x, x = 2π

23. y =x2 − 4

x2 − 16, x = −3, x = 3, y = 0 24. y = arcsenx, y = arccosx, x = 0

7. Determine a maior área da região D limitada pelas curvas: x2−2y3 = 0, y = 3, x2−8y = 0.

8. Determine a menor área da região D limitada pelas curvas: y2 = 2x3, x2 + y2 = 20.

9. Determine a área da região D do primeiro quadrante, limitada pela elipse b2x2 + a2y2 =

a2b2.

10. Para cada um dos exercícios seguintes, determine a área da região dada, limitada por:

1. y = x2, x = 0, x = 2, y = 0


2. y = 4 − x2, y = 0

3. y = 2√x, eixo x, x = 0 e x = 4

4. y = x2, y = 4 − 3x2

5. y = x3, x = −1, x = 1 e o eixo x

6. y = (x− 1)2, x = 3, x = 8 e o eixo x

7. y = 4− | x |, o eixo x, x = −4 e x = 4

8. y = 12 − x2 − x, eixo x, x = −3 e x = −2

9. y = 2− | x |, o eixo x, x = −4 e x = 4

10. y = mx, m > 0, y = 0, x = a e x = b sendo 0 < a < b

11. y = x2 − 2x− 1, eixo x, x = 1 e x = 4

12. y = 3x− 3x2 − 4

3x3, eixo x, x = 0 e x = 1

13. y = coshx, x = 0, x = 1 e y = 0

14. y = cosx, x = −π2, x =

π

2e o eixo x

15. 4y = (x− 4)2, 4y = (x+ 4)2, 4y = −(x− 4)2 e 4y = −(x+ 4)2


2.3 Significado Geométrico das Somas: Inferior e Superior.

Seja y = f(x) uma função limitada em R, e Ij = [xj−1, xj ] um intervalo do domínio de

f(x) , definimos mj = inf. f(x) /. x ∈ [xj−1, xj ] , Mj = sup. f(x) /. x ∈ [xj−1, xj ] e ∆jx

como o comprimento do intervalo Ij .

O produto hj∆jx onde hj = mj ou hjMj e hj > 0 numericamente é a área do retângulo

da base Ij e altura hj ; se hj < 0 , a expressão hj∆jx representa a área negativa do retângulo

da base Ij e altura hj .

Na seção 2.2 deste Capítulo para uma determinada partição P do intervalo [a, b] , denotamos

I(P) e C(P) a soma dos retângulos inscritos e circunscritos respectivamente a uma região D;

na verdade a notação correta para I(P) é S(f,P) e, para C(P) é S(f, P) .

A condição de f(x) limitada no intervalo [a, b] é essencial para a existência de mj e Mj

(não precisamos de mínimo ou máximo pelo fato ser f(x) função contínua).

2.3.1 Propriedades das Somas: Inferior e Superior.

Sendo y = f(x) limitado no intervalo I = [a, b] , existem números m e M tais que

m = inf. f(x)/. x ∈ I e M = sup. f(x)/. x ∈ I .

Propriedade 2.2.

Se y = f(x) é limitada no intervalo I = [a, b] e P = x0, x1, x2, x3, · · · , xn é uma partição

de I, então m(b− a) ≤ S(f, P) ≤ S(f, P) ≤M(b− a).

Demonstração.

Para os números m, mj , M e Mj onde mj = inf. f(x)/. x ∈ [xj−1, xj ] e Mj =

sup. f(x)/. x ∈ [xj−1, xj ] temos a desigualdade: m ≤ mj ≤Mj ≤M .

Multiplicando todo os membros por ∆jx > 0 e somando as relações obtidas para j =

1, 2, 3, · · · , n obtemos:n

∑

k=1

m · ∆jx ≤n

∑

k=1

mj · ∆jx ≤n

∑

k=1

Mj · ∆jx ≤n

∑

k=1

M · ∆jx .

Isto é m ·n

∑

k=1

∆jx ≤ S(f,P) ≤ S(f,P) ≤ M ·n

∑

k=1

∆jx , comon

∑

k=1

m · ∆jx = b − a , então

m(b− a) ≤ S(f,P) ≤ S(f,P) ≤M(b− a).

Portanto, m(b− a) ≤ S(f,P) ≤ S(f,P) ≤M(b− a)

Propriedade 2.3.

Se y = f(x) é uma função limitada no intervalo I = [a, b] , e se P1 e P2 são duas partições

de I tal que P2 é subconjunto de P1, então temos:

a) S(f,P1) ≤ S(f,P2) ≤ S(f,P2) ≤ S(f,P1)

b) Se P2 − P1 tem r pontos, então:

S(f,P2) − S(f,P1) ≤ R(m−M)· ‖ P1 ‖ e S(f,P1) − S(f,P2) ≤ R(m−M)· ‖ P1 ‖

Demonstração. .



Propriedade 2.4.

Se f(x) é uma função limitada no intervalo I, P1 e P2 duas partições arbitrárias de I, então

S(f, P1) ≤ S(f, P2).

Demonstração.

Seja P = P1⋃ P2 , como P1 j P e P2 j P.

Pela Propriedade (2.3) temos S(f,P1) ≤ S(f,P) e S(f,P) ≤ S(f,P2) .

Da Propriedade (2.2) vem S(f,P1) ≤ S(f,P2) .

Portanto, S(f,P1) ≤ S(f,P2).

2.4 Integrais: Inferior e Superior

Denotemos com Ω o conjunto de todas as possíveis partições do intervalo I; se f(x) é limitada

em I.

Então a desigualdade m(b − a) ≤ S(f,P) ≤ S(f,P) ≤ M(b − a) é verdadeira para todo

P j Ω e verifica que os conjuntos de números S(f, P) /. P j Ω e S(f, P) /. P j Ω são

limitados superiormente e inferiormente respectivamente.

Definição 2.2.

Se f(x) é função limitada no intervalo I, o número supS(f, P) /. P j Ω denomina-se

integra inferior de f(x) em I e indica-se por J =

b∫

a

f(x) · dx .

O número infS(f, P) /.P j Ω denomina-se integral superior de f(x) em I e indica-se por

J =

b∫

a

f(x) · dx .

Logo; J =

b∫

a

f(x)·dx = supS(f,P)/.P j Ω e J =

b∫

a

f(x)·dx = infS(f,P)/.P j Ω

2.4.1 Propriedades da Integral: Inferior e Superior.

a) Se f(x) é função limitada no intervalo I = [a, b], então:

b∫

a

f(x) · dx ≤b

∫

a

f(x) · dx.

b) Se f(x) é função limitada no intervalo I = [a, b], m = inf f(x) /. x ∈ I e M =

sup f(x) /. x ∈ I então: m(b− a) ≤b

∫

a

f(x) · dx ≤b

∫

a

f(x) · dx ≤M(b− a) .

c) Se f(x) é função limitada no intervalo I = [a, b], existem pontos c1 e c2 em I tais que:b

∫

a

f(x)·dx = f(c1)(b−a) e

b∫

a

f(x)·dx = f(c2)(b−a) de modo que m ≤ f(c1) ≤ f(c2) ≤M .


d) Se f(x) é função limitada no intervalo I = [a, b] e c ∈ (a, b) tem-se:

b∫

a

f(x) · dx =

c∫

a

f(x) · dx +

b∫

c

f(x) · dx e

b∫

a

f(x) · dx =

c∫

a

f(x) · dx +

b∫

c

f(x) · dx

2.5 Integral de de Riemann

Definição 2.3.

Dizemos que a função f : R −→ R é integrável Riemann no intervalo I = [a, b] quando a

função f(x) for limitada e,

b∫

a

f(x) · dx =

b∫

a

f(x) · dx

Esta última igualdade recebe o nome de integral de Riemann de f(x) sobre [a, b] e denota-se

por:

b∫

a

f(x) · dx.

Logo,

a∫

b

f(x) · dx =

b∫

a

f(x) · dx =

b∫

a

f(x) · dx e por simplicidade diz-se: integral de f sobre

[a, b] , ou integral definida de f sobre I ou integral de a até b.

Em

b∫

a

f(x)·dx o símbolo∫

é um operador matemático (de integração) utilizado por Leibnitz

para representar a "soma", a função f(x) é chamada de integrando ; e f(x) · dx é elemento de

integração . A variável x que aparece em não tem significado especial, isto é podemos escrever:

a∫

b

f(x) · dx =

b∫

a

f(t) · dt =

b∫

a

f(s) · ds =

b∫

a

f(π) · dπ · · · etc

.

Exemplo 2.19.

Seja f(x) = K função constante no intervalo [a, b], temos que S(f, P) = S(f, P) = K(b−a);

logo a função constante é integrável sobre [a, b] e,

b∫

a

f(x) · dx = K(b− a).

Exemplo 2.20.

Consideremos a função de Dirichlet f : [0, 1] −→ R definida como segue :

f(x) =

0, se x é irracional

1, se x é racional

Para qualquer partição P de [a, b] temos S(f, P) = 0 e S(f, P) = 1 ; logo

b∫

a

f(x) · dx = 0


e

b∫

a

f(x) · dx = 1.

Portanto f(x) não é integrável em [a, b] .

Observação 2.4.

Do significado geométrico de soma inferior e soma superior deduzimos que se D é a região

plana limitado pelo gráfico de y = f(x) , as retas x = a, x = b e o eixo x; se A(D) representa a

área a região D, então:

i) Se f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] , A(D) =

b∫

a

f(x) · dx.

ii) Se f(x) ≤ 0 ∀ x ∈ [a, b] , A(D) = −b

∫

a

f(x) · dx.

Propriedade 2.5.

Se f(x) é uma função limitada no intervalo I, uma condição necessária e suficiente para

que f(x) seja integrável em I é que, dado ε > 0 , exista uma partição P de I tal que:

S(f, P) − S(f, P) < ε .

Demonstração.

Condição necessária (⇒)

Por hipóteses f(x) é integrável em I, sendo J =

b∫

a

f(x) · dx = sup S(f, P) /. P ∈ Ω ,

dado ε > 0 existe uma partição P1 de I tal que J − ε

2< S(f, P1) isto é :

J − ε

2< S(f, P1) (2.8)

Por outro lado J =

a∫

b

f(x) · dx = inf S(f, P) /. P ∈ Ω , considerando o mesmo ε > 0

existe uma partição P2 de I tal que S(f, P2) < J +ε

2isto é:

S(f, P2) < J +ε

2(2.9)

De (2.8) e (2.9) obtemos S(f, P) − S(f, P) < ε .

Considerando a partição P = P1⋃ P2 (na verdade é um refinamento de P1 e P2 ) temos

S(f, P) − S(f, P) < S(f, P2) − S(f, P1) < ε .

Condição suficiente (⇐)

Suponhamos que, dado ε > 0 , exista uma partição P de I tal que (2.8) seja verdadeira,

como S(f, P1) ≤ J e J ≤ S(f, P2) então 0 ≤ S(f, P2)−S(f, P1) < ε e sendo ε arbitrário

segue que J − J = 0 ou J = J ; isto é f(x) é integrável em I = [a, b] .


Definição 2.4.

Se a < b , define-se

b∫

a

f(x) · dx = −a

∫

b

f(x) · dx sempre que a integral exista.

Definição 2.5.

Se f(x) esta definida em x = a , então

a∫

a

f(x) · dx = 0.

Propriedade 2.6.

Se f(x) é contínua em [a, b] , então f(x) é integrável em [a, b]

Demonstração. .


2.5.1 Propriedades da Integral Definida.

Sejam f(x) e g(x) funções integráveis no intervalo I = [a, b], então:

a) f(x) é integrável em qualquer intervalo [c, d] ⊆ I = [a, b] .

b) Para toda constanteK, tem-se queK ·f(x) é integrável em I e:

b∫

a

K ·f(x)·dx = K ·b

∫

a

f(x)·dx.

c) S f(x) + g(x) é integrável em I e:

b∫

a

[f(x) ± g(x)] · dx =

b∫

a

f(x) · dx ±b

∫

a

g(x) · dx

d) Se f(x) é integrável nos intervalos [a, c] e [c, b] então f(x) é integrável no intervalo I = [a, b]

e tem-se:

c∫

a

f(x) ·dx+

b∫

c

f(x) ·dx =

b∫

a

f(x) ·dx (Propriedade aditiva respeito do intervalo

de integração).

e) Se f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] então

b∫

a

f(x) · dx ≥ 0.

f) Se f(x) ≥ g(x) ∀ x ∈ [a, b] então

b∫

a

f(x) · dx ≥a

∫

b

g(x) · dx

g) Existem números m e M tais que m ≤ f(x) ≤M então: m(b−a) ≤b

∫

a

f(x) ·dx ≤ M(b−a).

h)∣

∣

∣

b∫

a

f(x) · dx∣

∣

∣ ≤b

∫

a

| f(x) | ·dx.


A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.

Exemplo 2.21.

Estime-se a integral I =

1∫

0

dx√1 + x4

.

Solução. .

Para x ∈ [0, 1] temos que 1 ≤ 1 + x4 ≤ 2 , logo m =1√2

≤ 1√1 + x4

≤ 1 = M ,

conseqüentemente

1∫

0

1√2≤

1∫

0

1√1 + x4

≤1

∫

0

1dx.

Portanto,1√2≤

1∫

0

1√1 + x4

≤ 1.

2.5.2 Teorema do Valor Médio para Integrais.

Teorema 2.1.

Se y = f(x) é integrável em I = [a, b], então existe c ∈ (a, b) tal que

a∫

b

f(x)·dx = f(c)·(b−a).

O número f(c) recebe o nome de valor médio da função f(x) em [a, b] .

Demonstração.

Lembre o teorema do valor médio para funções contínuas: "Se f(x) é contínua em [a, b] e se

f(a) 6= f(b) , para qualquer w entre f(a) e f(b) , existe um número c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = w".

Por hipótese, y = f(x) é integrável em I, pois f(x) é contínua e das Propriedades 2.5.1 g),

assim temos m(b− a) ≤a

∫

b

f(x) · dx ≤ M(b− a) . onde m e M são respectivamente o mínimo

e máximo absoluto de f(x) em I.

Logo m = f(xm) e M = f(xM ) onde xm, xM ∈ [a, b] e; f(xm) ≤b

∫

a

f(x) · dx ≤ f(xM ) .

Pelo teorema do valor médio para funções contínuas, existe c entre xm e xM tal que :

f(c) =1

b− a

b∫

a

f(x) · dx isto é

b∫

a

f(x) · dx = f(c) · (b− a) onde o ponto c ∈ [a, b] .

Propriedade 2.7.

Se f(x) é contínua e g(x) é integrável em [a, b] sendo g(x) ≥ 0 , existe um ponto c ∈ (a, b)

tal que verifica-se a igualdade:

b∫

a

f(x) · g(x) · dx = f(c) ·b

∫

a

g(x) · dx

Esta propriedade é conhecida como o teorema generalizado do valor médio, sua demonstração

é exercício para o leitor.


2.5.3 Teorema Fundamental do Cálculo Integral.

A propriedade a seguir, é conhecida como: Primeiro teorema fundamental do cálculo integral

ou Teorema de Barrow.

Teorema 2.2.

Seja y = f(x) uma função contínua em I = [a, b] e consideremos a função F (x) =x

∫

a

f(t) · dt, x ∈ [a, b] então tem-se: F ′(x) =d

dx[

x∫

a

f(t) · dt] = f(x), ∀ x ∈ [a, b] .

Demonstração.

Pela definição de derivada, para x ∈ [a, b] temos:

F ′(x) = limh → 0

F (x+ h) − F (x)

h= lim

h → 0

1

h[

x+h∫

a

f(t) · dt−x

∫

a

f(t) · dt] =

limh → 0

1

h[

x∫

a

f(t) · dt+

x+h∫

x

f(t) · dt−x

∫

a

f(t) · dt] = limh → 0

1

h[

x+h∫

x

f(t) · dt]

Pelo teorema do valor médio para integrais (2.1), para os números x, x+ h em [a, b] existe

c entre x e x+ h tal que:

x+h∫

x

f(t) · dt = f(c) · (x+ h− x) = h · f(c) ; logo

F ′(x) = limh → 0

1

h[

x+h∫

x

f(t) · dt] = limh → 0

1

h[h · f(c)] = lim

h → 0f(c) = f(x)

para c entre x e x+ h ; isto é F ′(x) = f(x) ∀ x ∈ [a, b].

Observação 2.5.

Esta propriedade estabelece um enlace entre os conceitos de integral indefinida e definida.

Isto mostra que uma função contínua em I = [a, b] admite uma primitiva dada pela integral

F (x) =

x∫

a

f(t) · dt ; pois F ′(x) = f(x) ∀ x ∈ [a, b].(é um teorema de existência, dada f(x)

contínua, existe F (x) )

A propriedade a seguir, é conhecida como : Segundo teorema fundamental do cálculo integral.

Propriedade 2.8.

Seja y = f(x) uma função contínua em I = [a, b] e F (x) uma primitiva de f(x) em I, isto

é F ′(x) = f(x) ∀ x ∈ [a, b] então tem-se:

b∫

a

f(x) · dx = F (b) − F (a) = F (x)∣

∣

∣

b

a

Demonstração.


Pelo primeiro teorema fundamental do cálculo para todo x ∈ I, podemos definir outra prim-

itiva G(x) =

x∫

a

f(x) · dx para a função f(x) ; logo F (x) = G(x) + C (C constante).

Por outro lado, F (b) = G(b)+C =

b∫

a

f(t) · dt+C e F (a) = G(a)+

b∫

a

f(t) · dt+C = 0+C ,

logo F (b) − F (a) = (

b∫

a

f(t) · dt+ C) − C =

b∫

a

f(t) · dt . Como a variável t não tem significado

podemos escrever:

b∫

a

f(t) · dt = F (b) − F (a) = F (x)∣

∣

∣

b

a

Observação 2.6.

a) F (x)∣

∣

∣

b

a= F (b) − F (a) somente é notação para F (b) − F (a).

b) A fórmula

b∫

a

f(t) · dt = F (b) − F (a) = F (x)∣

∣

∣

b

aé conhecida de modo convencional como

“Fórmula de Newton - Leibnitz” ; devido a que estes matemáticos estabeleceram indepen-

dentes um do outro, a relação intima entre a derivada e integral, porém; eles não utilizaram

a mesma.

c) Observe-se que a diferencia F (b) − F (a) não depende da primitiva F , desde que todas as

primitivas são diferentes por uma constante.

Exemplo 2.22.

Seja a função F (x) =

x∫

0

dt

1 + t2calcular:

i) F ′(x) ii) F”(x) iii) F ′(1)

Solução. i)

Desde que f(t) =1

1 + t2é contínua em R , pelo primeiro teorema fundamental do cálculo

temos F ′(x) =1

1 + x2∀ x ∈ R+ .

Observe que F ′(x) ≥ 0 logo F (x) é crescente ∀ x ∈ R+.

Solução. ii)

Da fórmula de derivação F”(x) = − 2x

(1 + x2)2, observe-se que F (x) apresenta ponto de

inflexão em x = 0.

Solução. iii)

Temos F ′(1) =1

2

Por último, do fato F ′(x) =1

1 + x2segue que F (x) = arctanx+ C e sendo F (0) = 0 segue

que 0 = arctan(0) + C , por tanto F (x) = arctanx.


Exemplo 2.23.


a)

1∫

−1

dx

1 + x2b)

π2

∫

0

sen x · dx c)

1∫

0

ex · dx d)

1∫

0

senhx · dx

Solução. a)

Uma antiderivada para f(x) =dx

1 + x2em [−1, 1] é F (x) = arctanx+ C ; logo

1∫

−1

dx

1 + x2= [arctanx+ C]

∣

∣

∣

1

−1= [arctg(1) + C] − [arctg(−1) + C] =

π

4− (

π

4) =

π

2

Portanto,

1∫

−1

dx

1 + x2=π

2.

No que segue, pela Observação (2.6) iii) não precisamos da constante de integração.

Solução. b)

π2

∫

0

sen x · dx = − cosx∣

∣

∣

π2

0= −[cos

π

2− cos 0] = 1 ⇒

π2

∫

0

sen x · dx = 1

Solução. c)

1∫

0

ex · dx = ex∣

∣

∣

1

0= e1 − e0 = e− 1 ⇒

1∫

0

ex · dx = e− 1

Solução. d)

1∫

0

senhx · dx = coshx∣

∣

∣

1

0= cosh 1 − cosh 0 = cosh 1 − 1

Portanto,

1∫

0

senhx · dx = cosh 1 − 1.

Exemplo 2.24.

Calcular a primeira derivada da função F (x) =

x2∫

2

sen t · dt.

Solução.

O procedimento é o seguinte: substituir no integrando o valor de t por x2; logo multiplicamos

pela derivada de x2.

Observe, F ′(x) = [sen (x2)] · (2x) ⇒ F ′(x) = 2x · sen x2.

Exemplo 2.25.


Sejam G(x) =

x4∫

−3

dt

1 + 9sen 2te H(x) =

5∫

x3

dt

t+ 9sen 2t+ 10calcular as derivadas G′(x) e

H ′(x).

Solução.

Pelo exemplo anterior temos G′(x) = [1

1 + 9sen 2(x4)] · (4x3) ; logo a derivada G′(x) =

4x3

1 + 9sen 2(x4)].

Por outro lado, pela Definição (2.4) temos que a função H(x) =

5∫

x3

dt

t+ 9sen 2t+ 10=

−x3∫

5

dt

t+ 9sen 2t+ 10, logo H ′(x) = −[

1

(x3) + 9sen 2(x3) + 10]·(3x2) = − 3x2

(x3) + 9sen 2(x3) + 10.

Portanto H ′(x) = − 3x2

(x3) + 9sen 2(x3) + 10.

Exemplo 2.26.

Determine a primeira derivada de F (x) =

x2∫

sen x

(cos t+ t2)dt

Solução.

Pelas propriedades de integrais temos: F (x) =

c∫

sen x

(cos t+ t2)dt+

x2∫

c

(cos t+ t2)dt para algum

número real c compreendido entre sen x e x2.

Da Definição (2.4) segue que F (x) = −sen x∫

c

(cos t + t2)dt +

x2∫

c

(cos t + t2)dt ; logo F ′(x) =

−[cos(sen x) + (sen x)2][cosx] + [cos(x2) + (x2)2] · [2x].Portanto, F ′(x) = cosx.[cos(sen x) + sen 2x] + 2x[cos(x2) + x4].

Exemplo 2.27.

Calcular o valor de: J =

1∫

−1

| x |1 + x2

· dx.

Solução.

Temos que f(x) =| x |

1 + x2, da definição de valor absoluto, a função f(x) podemos redefinir

como f(x) =

x

1 + x2, se, x ≥ 0

− x

1 + x2, se, x < 0

.

Logo podemos escrever J =

0∫

−1

− x

1 + x2· dx +

1∫

0

x

1 + x2· dx = − 1

2[Ln(1 + x2)]

∣

∣

∣

0

−1+


1

2[Ln(1 + x2)]

∣

∣

∣

1

0=

1

2([Ln(0) − Ln(2)] + [Ln(2) − Ln(1)]) ⇒ J =

1∫

−1

| x |1 + x2

= Ln(2).

Exemplo 2.28.

Calcular o valor de: J =

4∫

−4

| x2 + x− 6 | dx

Solução.

A expressão dentro do valor absoluto podemos escrever: x2 + x− 6 = (x+ 3)(x− 2).

Da definição de valor absoluto, f(x) =| x2 + x− 6 | podemos redefinir como

f(x) =

x2 + x− 6, se, x ≤ −3 ou x ≥ 2

− (x2 + x− 6), se, − 3 < x < 2;

logo a integral original J =

−3∫

−4

(x2 + x − 6)dx −2

∫

−3

(x2 + x − 6)dx +

4∫

2

(x2 + x − 6)dx =

[1

3x3 +

1

2x2 − 6x]

∣

∣

∣

∣

−3

−4

− [1

3x3 +

1

2x2 − 6x]

∣

∣

∣

∣

2

−3

+ [1

3x3 +

1

2x2 − 6x]

∣

∣

∣

∣

4

2

=17

6− (−125

6)+

38

3=

109

3.

Portanto J =

4∫

−4

| x2 + x− 6 | dx =109

3.

Exemplo 2.29.

i) Seja G(x) =

u∫

a

f(t) · dt , onde f : [a, b] −→ R é uma função contínua e u = u(x) é função

derivable u : I −→ [a, b] .

Mostre que G′(x) = f(u) · u′ , onde u′ =d

dxu(x) .

ii) Seja H(x) =

a∫

u

f(t) · dt onde f e u satisfazem as condições da parte i).

Mostre que H ′(x) = − f(u) · u′ onde u′ =d

dxu(x) .

Solução. i)

Se F (x) =

x∫

a

f(t) · dt e u = u(x), então F (u(x)) = (F u)(x) =

u∫

a

f(t) · dt , derivando,

pela regra da cadeia G′(x) = F ′(u(x)) · u′(x) = f(u(x)) · u′(x); isto é G′(x) = f(u) · u′ , onde

u′ =d

dxu(x) .

Solução. ii)


Da Definição (2.4) temos que H(x) =

a∫

u

f(t) · dt = −u

∫

a

f(t) · dt ; isto é H(x) = − G(x),

então pela parte i) H ′(x) = −G′(x) = −f(u) · u′ , onde u′ =d

dxu(x) .

Exemplo 2.30.

Se

tan x∫

0

f(t) · dt = g(x) e f(x) = − 1

1 + x2determine g(x).

Solução.

Derivando ambos os membros temos:

f(tanx) · sec2 x = g′(x); como f(x) = − 1

1 + x2então g′(x) = − 1

1 + tan2 x· sec2 x = −1 ⇒

g′(x) = −1.

Portanto g(x) = C − x.

Propriedade 2.9. Cauchy - Buniakovski.

Se [f(x)]2 e [g(x)]2 são integráveis em [a, b] , então:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b∫

a

f(x) · g(x) · dx

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≤

√

√

√

√

√

b∫

a

[f(x)]2dx

b∫

a

[g(x)]2dx

(2.10)

Demonstração. .


Exemplo 2.31.

Aplicando a Propriedade (2.9) estime-se a integral:

1∫

0

√

(4 + x3)x · dx.

Solução. .

Sejam f(x) =√

4 + x3 e g(x) =√x , temos [f(x)]2 = 4 + x3 e [g(x)]2 = x, da desigualdade

(2.10) temos

1∫

0

√

(4 + x3)x · dx ≤

√

√

√

√

√

1∫

0

[√

4 + x3]2dx

1∫

0

[√x)]2dx

=1

4

√

17

2= 0, 72

Por outro lado, como 0 ≤ x ≤ 1 segue que 0 ≤√

(4 + x2)x ≤ 5, então 0 ≤1

∫

0

√

(4 + x3)x ·

dx ≤1

∫

0

5 · dx = 5.

Portanto é melhor a estimativa 0 ≤1

∫

0

√

(4 + x3)x · dx ≤ 0, 72.


Exercícios 2-3

1. Determine quais das seguintes funções são integráveis no intervalo [0, 2], e calcule a integral

caso seja possível.

1. f(x) =

x, se 0 ≤ x < 1

x− 2, se 1 ≤ x ≤ 22. f(x) =

x, se 0 ≤ x ≤ 1

x− 2, se 1 < x ≤ 2

3. f(x) = x+ ‖ x ‖

2. Para cada um dos seguintes exercícios calcular a primeira derivada:

1. F (x) =

2x∫

1

cosh(2t2 + 1) · dt 2. F (x) =

sen x∫

a

dt

arcsent

3. F (x) =

x∫

2

y∫

5

dt

1 + t2 + sen 2t

dy 4. F (x) =

x2∫

0

dt

1+sen 2t∫

a

cos2(y2 + 4) · dy

5. F (x) = sen

x∫

0

sen

y∫

0

sen 3t · dt

dy

3. Sejam H(x) =

f(2)∫

g(x)·(1−√

1−x2)

dt

t2e

sen x∫

√2

g(t) · dt = Ln(1 − cosx) , calcular H ′(x) .

4. Seja F (x) =

x2∫

x3

t6 · dt1 + t4

, calcular F ′(x) .

5. G(x) =

x+x2∫

x2+1

2− t2dt , calcular G′(x) e G”(x).

6. Se F (x) =

ex∫

x2

x(t2 + 1) · dt , calcular F ′(x).

7. Seja G(x) =

g2(x)∫

g1(x)

f(t) ·dt , onde f : I −→ R é uma função contínua e, as funções deriváveis

g1, g2 J → R . Mostre que G′(x) = f(g2(x)) · g′2(x) − f(g1(x)) · g′1(x) .

8. Mostre que se f(x) é contínua, então:

x∫

0

f(t)(x− t) ·dt =

x∫

0

t∫

0

f(s) · ds

dt. Sugestão:


Considerar F (x) =

x∫

0

f(t)(x− t) · dt , logo F ′(x) =

x∫

0

f(t) · dt .

9. Aplicar o exercício anterior para mostrar que:

x∫

0

f(t)(x− t)2dt = 2

x∫

0

t∫

0

z∫

0

f(u) · du

dz

dt

10. Determine f(x), se f ′′′(x) =1√

1 + sen 2x, x ≥ 0.

11. Se

13x+1∫

5

f(t) · dt =2

ax+ ax , determine valores de a de modo que f(

1

4) =

16

3.

12. Suponhamos f e g funções contínuas no intervalo [a, b] tais que satisfazem a desigualdade:b

∫

a

f(x) · dx >b

∫

a

g(x) · dx. Responda as seguintes questões justificando sua resposta.

1. Sempre

b∫

a

[f(x) − g(x)]dx > 0 ?

2. Necessáriamente f(x) > g(x) x ∈ [a, b] ?

3. Necessáriamente f(x) > g(x) para algumx ∈ [a, b] ?

4. Sempre

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b∫

a

f(x)dx

∣

∣

∣

∣

∣

∣

>

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b∫

a

g(x)dx

∣

∣

∣

∣

∣

∣

?

5. Necessáriamente

b∫

a

| f(x) | dx >b

∫

a

g(x)dx ?

6. Sempre

b∫

a

| f(x) | dx >b

∫

a

| g(x) | dx ?

13. Determine F ′(x) , se F (x) =

x∫

0

x · f(t)dt.

14. Mostre que se f é contínua em [a, b] e

b∫

a

| f(x) | dx = 0 , então f(x) = 0 ∀ x ∈ [a, b] .

15. Calcular F ′(x) para a função F (x) =

x∫

a

dt

1+cos2 t

∫

a

dt

1 + sen 2t.


16. Determine [F−1(x)]2 , onde F (x) =

x∫

1

dt

t.

17. Análogo ao exercício anterior para a função:

x∫

1

dt√1 − t2

18. Suponhamos que f seja contínua em [a, b] e que

b∫

a

f(x) · dx = 0. Responda as seguintes

questões justificando sua resposta.

1. Sempre f(x) = 0 ∀ x ∈ [a, b] ?

2. Sempre f(x) = 0 para algum x ∈ [a, b] ?

3. Necessáriamente

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b∫

a

f(x)dx

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

4. Sempre

b∫

a

| f(x) | ·dx = 0 ?

5. Sempre

b∫

a

| f(x) |2 ·dx = 0 ?

6. Necessáriamente

b∫

a

| f(x) + 1 | ·dx = 0 ?

19. Determine o valor das seguintes integrais:

1.

2∫

2

x3 · dx 2.

2∫

1

(x+ 1)3dx 3.

12

∫

0

dx√1 − x2

4.

2∫

1

x · dx1 + x2

5.

1∫

−1

x · dx1+ | x | 6.

5∫

3

∣

∣

∣

∣

5x− 20

(2 − x)(x2 + 1)

∣

∣

∣

∣

dx

7.

π∫

0

| cosx | ·dx 8.

1∫

0

x2

x+ 1· dx 9.

1∫

0

Lnx · dx

20. Determine g(x), se

1sec x∫

1

g(t) · dt = senx− x.

21. Se

1csc x∫

5

f(t) · dt = − 2√

1 − sen x , determine f(x).


22. Se

cos 2x∫

1

f(t) · dt = g(x) e f(x) =1√x− 1

determine, g(π

2).

23. Se

tan x∫

a

f(s) · ds = g(x) e f(x) = x2 − 1 determine g(π

6).

24. Se

cos x∫

a

f(w) · dw = x− 1

2tanx , calcular f(

1

2).

25. Se

x2+1∫

√2

f(t) · dt =√x+

√3 determine f(17).

26. Dado

x2(x+1)∫

arcsen6

f(t) · dt = x , determine f(2).

27. Seja

x+2∫

2,5

f(w) · dw = x− 6 . Calcular f(3).

28. Se

π∫

0

[f(t) + f ′′(t)] · sen t · dt = 5 e f(π) = 2. Calcular f(0).

29. Se

π2

∫

0

[f(sen x) + f”(sen x)sen 2x

2] · cosx · dx =

3

2e f ′(1) = 1. Calcular f(1).

30. Determine todas as funções f(t) que verificam a relação:

x∫

0

f(t) · dt =x

3f(x)

31. Calcule a área limitada por os eixos de coordenadas e a parábola√x+

√y =

√a

32. Calcule a área compreendida entre as parábolas y2 = 2px e x2 = 2qy.


2.6 Mudança de Variável em uma Integral Definida

Propriedade 2.10.

Se f(x) é uma função contínua no intervalo I = [a, b] e se substituímos a variável x por g(t),

onde g : [c, d] −→ [a, b] tem derivada contínua no intervalo [c, d] sendo g(c) = a e g(d) = b,

então:b

∫

a

f(x) · dx =

d∫

c

f(g(t)) · g′(t) · dt

Demonstração.

Seja F (y) =

y∫

a

f(x) · dx, pelo primeiro teorema fundamental do cálculo integral, temos

F ′(y) = f(y) ∀ y ∈ I = [a, b] .

Por outro lado, pela regra da cadeia, para a função composta F (g(t)) temos [F (g(t))]′ =

F ′(g(t)) · g′(t) = f(g(t)) · g′(t) ; isto é F (g(t)) é uma antiderivada de f(g(t)) · g′(t).Pelo segundo teorema fundamental do cálculo temos:

d∫

c

f(g(t)) · g′(t) · dt = F (g(t))∣

∣

∣

d

c=

F (g(d)) − F (g(c)) = F (b) − F (a) =

b∫

a

f(x) · dx

Portanto,

b∫

a

f(x) · dx =

d∫

c

f(g(t)) · g′(t) · dt.

Observação 2.7.

i) Se a função g : [c, d] −→ [a, b] tem derivada contínua em [c, d] sendo g(c) = b e g(d) = a,

então:

b∫

a

f(x) · dx =

d∫

c

f(g(t)) · g′(t) · dt.

ii) Se efetuamos a mudança de variável aplicando a fórmula da Propriedade (2.10), não pre-

cisamos voltar à variável original.

Exemplo 2.32.


3∫

2

x2 · dx(1 + x3)3

.

Solução.

Considere t = 1 + x3, logo x = g(t) = 3√t− 1 ⇒ dx = g′(t) = dt ; g(9) = 2 e g(28) = 3,


sendo g e g′ contínuas em [9, 28] temos que,

J =

3∫

2

x2 · dx(1 + x3)3

=

28∫

9

3√

(t− 1)2

t3· dt

3 · 3√

(t− 1)2=

1

3

28∫

9

t−3 · dt = − 16 t

−2∣

∣

∣

28

9=

703

127.008

Portanto, J =

3∫

2

x2 · dx(1 + x3)3

=703

127.008

Propriedade 2.11.

a) Se f é contínua em [0, a], então

a∫

0

f(x) · dx =

a∫

0

f(a− x) · dx .

b) Se f é par e contínua em [−a, a], então

a∫

−a

f(x) · dx = 2 ·a

∫

0

f(x) · dx

c) Se f é função ímpar e contínua em [−a, a], então

a∫

−a

f(x) · dx = 0

d) Se f é contínua, então

π∫

0

x · f(sen x) · dx =π

2

π∫

0

f(sen x) · dx

e) Se f é função par e contínua, então

π∫

0

x · f(cosx) · dx =π

2

π∫

0

f(cosx) · dx.

Demonstração. a)

Para a integral

a∫

0

f(a − x) · dx considere a − x = z, então quando x = a , tem-se z = 0 e

quando x = 0 , temos z = a além disso dx = −dz, logo:

a∫

0

f(a− x) · dx =

0∫

a

f(z) · (−dz) = −0

∫

a

f(z) · dz =

a∫

0

f(x) · dx

isto último aplicando a Definição (2.4) e do fato ser a integral independente da variável de

integração.

Demonstração. b)

Observe:

a∫

−a

f(x)·dx =

0∫

−a

f(x)·dx+

a∫

0

f(x)·dx; considere x = −y em [−a, a] logo y ∈ [−a, a]

e sendo f função par então f(−y) = f(y).


Efetuando mudança de variável na integral

0∫

−a

f(x)·dx temos:

0∫

−a

f(x)·dx =

0∫

a

f(−y)·(−dy) =

0∫

a

f(y) · (−dy) = −0

∫

a

f(y) · (dy) =

a∫

0

f(x) · (dx).

Isto último aplicando a Definição (2.4) e do fato ser a integral independente da variável de

integração.

Portanto,

a∫

−a

f(x) · dx =

a∫

0

f(x) · dx+

a∫

0

f(x) · dx = 2

a∫

0

f(x) · dx

Demonstração. c)

Temos

a∫

−a

f(x) · dx =

0∫

−a

f(x) · dx+

a∫

0

f(x) · dx; considere x = −y em [−a, a] logo y ∈ [−a, a]

e sendo f função ímpar então f(−y) = −f(y).

Efetuando mudança de variável na integral

0∫

−a

f(x)·dx temos:

0∫

−a

f(x)·dx =

0∫

a

f(−y)·(−dy) =

−0

∫

a

f(y) · (−dy) =

0∫

a

f(y) · (dy) = −a

∫

0

f(x) · (dx)

Portanto,

a∫

−a

f(x) · dx =

0∫

−a

f(x) · dx+

a∫

0

f(x) · dx = 0.

Demonstração. d)

Considerando a mudança x = p − y, temos dx = −dy e

π∫

0

x · f(sen x) · dx =

0∫

π

(π − y) ·

f(sen (π − y)) · (−dy) = −0

∫

π

(π − y) · f(sen (π − y)) · dy =

π∫

0

(π − y) · f(sen (π − y)) · dy =

π∫

0

π · f(sen (π − y)) · dy −π

∫

0

y · f(sen (π − y)) · dy =

π∫

0

π · f(sen y · dy −π

∫

0

y · f(sen y) · dy, isto

último do fato sen (π − y) = sen y.

Logo,

π∫

0

x · f(sen x) · dx+

π∫

0

y · f(sen y) · dy = π

π∫

0

x · f(sen x) · dx.

Portanto,

π∫

0

x · f(sen x) · dx =π

2

π∫

0

f(sen x) · dx

Demonstração. e)


Exemplo 2.33.


1∫

0

Ln(1 + x)

1 + x2· dx

Solução.


Seja x = tan y , então dx = sec2 y · dy; logo a integral:

J =

1∫

0

Ln(1 + x)

1 + x2· dx =

π4

∫

0

Ln(1 + tan y)

1 + tan2 y· sec2 y · dy =

π4

∫

0

Ln(1 + tan y) · dy (2.11)

Lembrando que tan(π

4− y) = tan y e tan(a− b) =

tan a− tan b

1 + tan a · tan b

Em (2.11) segue J =

π4

∫

0

Ln(1 + tan(π

4− y)) · dx =

π4

∫

0

Ln(1 +tan π

4 − tan y

1 + tan π4 · tan y ) · dy =

π4

∫

0

Ln(1 +1 − tan y

1 + tan y) · dy =

π4

∫

0

Ln(2

1 + tan y) · dy =

π4

∫

0

2 · dy +

π4

∫

0

Ln(1 + tan y)dy =π

4Ln2 − J .

Portanto, J =

1∫

0

Ln(1 + x)

1 + x2· dx =

π

8Ln2.

Exemplo 2.34.


π∫

0

x · sen x1 + cos2 x

· dx

Solução.

Aplicando identidade sen 2x+ cos2 x = 1, temos J =

π∫

0


· dx =

π∫

0

x · sen x2 − sen 2x

· dx,

a função a integral nesta última integral é da forma x · f(sen x).

Pela Propriedade (??) d) segue J =π

2

π∫

0

sen x

2 − sen 2x·dx =

π

2

π∫

0

sen x

1 + cos2 x·dx = −π

2[arctan(cosx)]

∣

∣

∣

π

0=

−π2[−π

4− π

4] =

π

4

2.

Portanto, J =

π∫

0


· dx =π

4

2.

2.7 Integração por Partes em uma Integral Definida

Propriedade 2.12.

Se u = u(x) e v = v(x) são funções com derivadas contínuas em [a, b], então:

b∫

a

u · dv =

u.v −b

∫

a

v · du.


Demonstração.

Pela fórmula do diferencial de um produto temos u · dv = d(u · v) − v · du; logo

b∫

a

u · dv =

b∫

a

d(u · v) −b

∫

a

v · du.

Portanto,

b∫

a

u · dv = u.v −b

∫

a

v · du.

Exemplo 2.35.


3∫

1

x2 · Lnx · dx.

Solução.

Suponhamos u = Lnx e dv = x2 · dx, ⇒ du = 1x · dx e v =

x3

3.

Logo J =x3

3Lnx

∣

∣

∣

∣

3

1

−1

3

3∫

1

x2·dx =

[

x3

3· Lnx− 1

9x3

]

x3

3Lnx

∣

∣

∣

∣

3

1

= (9Ln3−Ln1)−(27−1) =

9Ln3 − 26

9.

Portanto, J =

3∫

1

x2 · Lnx · dx = 9Ln3 − 26

9.

Exemplo 2.36.


16∫

1

arctan

√√x− 1 · dx

Solução.

Seja z = arctan√√

x− 1, então sec2 z =√x ⇒ x = sec4 z e dx = 4 sec4 z · tanx · dz,

se x = 1 ⇒ z = 0, se x = 16 ⇒ z =π

3; a integral J =

16∫

1

arctan

√√x− 1 · dx =

π3

∫

0

z · 4 sec4 z · tan z · dz, integrando por partes; considere u = z e dv = 4 sec4 z · tan z · dz; logo

du = dx e v = sec4 z

Temos J = z · sec4 z∣

∣

∣

π3

0−

π3

∫

0

sec4 z · dz = z · sec4 z∣

∣

∣

π3

0−

π3

∫

0

(1 + tan2 z) sec2 z · dz =

16π

3− [tan z + 1

3 tan3 z]∣

∣

∣

π3

0=

16π

3− 2

√3

Portanto, J =

16∫

1

arctan

√√x− 1 · dx =

16π

3− 2

√3.


2.8 Integração de Funções Descontínuas

Definição 2.6.

Seja f : [a, b] −→ R uma função limitada e consideremos a partição P = x0, x1, x2, x3,

· · · , xn do intervalo I = [a, b] ; sejam c1, c2, c3, · · · , cn pontos de I tais que cj ∈ Ij =

[xj−1, xj ] j = 1, 2, 3, · · · , n.

A soma S(f, P ) =n∑

j=1é chamada soma de Riemann de f com respeito à partição P.

Sendo mj = inf . f(x) /. x ∈ [xj−1, xj ] e Mj = sup . f(x) /. x ∈ [xj−1, xj ] , então

mj ≤ f(cj) ≤Mj , j = 1, 2, 3, ·, n ainda

S(f, P) ≤ S(f, P) ≤ S(f, P)

A soma de Riemann, é um tipo de somas que não necessáriamente é uma soma inferior ou

superior estudadas anteriormente, porém está compreendida entre elas.

Definição 2.7.

Dizemos que S(f, P) tem soma igual a J ∈ R, quando ‖ P ‖→ 0 e se escreve

lim‖P‖→0

S(f, P) = J

Quando, dado ε > 0, (arbitrário), existe δ > 0, tal que para toda partição P com 0 <‖ P ‖< δ

e para qualquer cj tem-se ‖ P ‖< ε.

Propriedade 2.13. Darboux.

Se f é função limitada no intervalo I, uma condição necessária e suficiente para que f seja

integrável em I é que exista J ∈ R tal que lim‖P‖→0

S(f, P) = J .

Demonstração.


Propriedade 2.14.

Sejam f, g : I = [a, b] −→ R, duas funções tais que f(x) = g(x), ∀ x ∈ I, exceto um

número finito de pontos. Se g é integrável em I, então f é integrável em I e tem-se:

b∫

a

f(x) · dx =

b∫

a

g(x) · dx

Demonstração.

Se g é integrável em I e

b∫

a

g(x) · dx = J , pela Propriedade (2.13), dado ε > 0, (arbitrário),

existe δ1 > 0, tal que para toda partição P de [a, b] com 0 <‖ P ‖< δ1, ∀ cj ∈ Ij = [xj−1, xj ]

, tem-se ‖ S(f, P) − J ‖< ε

2.

Por outro lado, se A = x ∈ I /. f(x) 6= g(x) possui r pontos (r é finito) e L = sup |f(x) − g(x) | /. x ∈ I , para toda partição P de I com ‖ P ‖< ε

2rLtem-se:


| S(f, P) − S(g,P) | = |∑

cj∈A

[f(cj) − g(cj)]∆jx | ≤ r · L· ‖ P ‖< r · L · ε2r · L =

ε

2.

Portanto, se δ = min δ1,ε

2r · L temos | S(f, P) − J | ≤ | S(f, P) − S(g,P) | + |S(g,P) − J |< ε

2+

ε

2= ε.

Em resumo, para toda partição P de [a, b] com | P |< δ e ∀ cj ∈ Ij verifica-se | S(f, P)−J |< ε.

Portanto, pela Propriedade (2.13) (teorema de Darboux), f é integrável em [a, b] e;

b∫

a

f(x) ·

dx =

b∫

a

g(x) · dx..

Propriedade 2.15.

Se f é contínua em [a, b] exceto nos pontos a ou b para os quais existam f(a+) = limx→a+

f(x)

e f(b−) = limx→b−

f(x) então f é integrável; em I, e existe uma função F , sendo F ′(x) =

f(x) ∀ x ∈ (a, b) tal que:

b∫

a

f(x) · dx = F (b) − F (a).

Demonstração.


Definição 2.8. Função seccionalmente contínua.

Diz-se que a função f : I −→ R é seccionalmente contínua no intervalo I, quando f é contínua

para todo x ∈ I, exceto possívelmente para um número finito de pontos cj , j = 1, 2, 3, · · · , npara os quais existem os limites f(c−j ) = lim

x→c−j

f(x) e f (c+j ) = limx→c+j

f(x).

Se cj = a ou b, deve existir f(a+) ou f(b−), respectivamente.

Propriedade 2.16.

Se f é seccionalmente contínua em I = [a, b], então f é integrável em I = [a, b].

Demonstração.


Exemplo 2.37.

Seja f(x) =

−2, se, − 2 ≤ x < −1

x3, se, − 1 ≤ x ≤ 1

2, se, 1 < x ≤ 2

a) Desenhar o gráfico de f(x)

b) A função f(x) é integrável em [−2, 2] ? Justificar sua resposta.

c) Calcular

2∫

−2

f(x) · dx.


d) Calcular F (x) =

x∫

−2

f(x) · dx x ∈ [−2, 2].

e) Esboçar o gráfico de F (x).

f) Determine um conjunto onde F (x) seja derivable; determine F ′(x).

Figura 2.12:

Solução. a)

O gráfico da função f(x) mostra-se na Figura (2.12).

Solução. b)

A função f é integrável em [−2, 2], pelo fato ser

seccionalmente contínua.

Solução. c)2

∫

−2

f(x) · dx =

−1∫

−2

f(x) · dx+

1∫

−1

f(x) · dx+

+

2∫

1

f(x) · dx =

=

−1∫

−2

(−2) · dx+

1∫

−1

x3 · dx+

2∫

1

(2) · dx =

= −2x∣

∣

∣

−1

−2+

1

4x4

∣

∣

∣

∣

1

−1

+ 2x∣

∣

∣

2

1= −2 + 0 + 2 ⇒

2∫

−2

f(x) · dx = 0.

Solução. d)

Observe, se x ∈ [−2, −1] ⇒ F (x) =

x∫

−2

(−2) · dt = −2t∣

∣

∣

x

−2= −4 − 2x; se x ∈

[−1, 1] ⇒ F (x) =

x∫

−1

t3 · dt =1

4t4

∣

∣

∣

∣

x

−1

=x4

4− 1

4.

Por último, se x ∈ [1, 2] ⇒ F (x) =x∫

1

2 dx = 2t∣

∣

∣

x

1= 2x− 2

Figura 2.13:

Assim, F (x) =

x∫

−2

f(x) ·dt =

x∫

−2

(−2) ·dt+x

∫

−1

t3 ·dt+

x∫

1

(2) · dx

Portanto,

F (x) =

−2x− 4, se, − 2 ≤ x < −1

x4 − 1

4, se, − 1 ≤ x ≤ 1

2x− 2, se, 1 < x ≤ 2

Solução. e)


O gráfico de F (x) mostra-se na Figura (2.13)

Exemplo 2.38.


π∫

0

dx

a2 cos2 x+ sen 2x

Solução.

A função tangente é descontínua em x =π

2, então podemos calcular:

J =

π2

∫

0

dx

a2 cos2 x+ sen 2x+

π∫

π2

dx

a2 cos2 x+ sen 2x=

1

aarctan(

tanx

a)

∣

∣

∣

∣

π2

0

+1

aarctan(

tanx

a)

∣

∣

∣

∣

π

π2

=π

2a− 1

a(π

2) =

π

a

Portanto, J =

π∫

0

dx

a2 cos2 x+ sen 2x=π

a.

Exemplo 2.39.

Queremos calcular J =

π∫

0

sen x · dx mediante a substituição x = arcsent. Como devemos

aplicar a fórmula fundamental ?

Solução.

Não é possível determinar um intervalo [c, d] para t no qual x varie de modo contínuo de 0

até π.

Em primeiro lugar t cresce de 0 até 1, e depois decresce de −1 até 0. Dividimos o intervalo

(0, π) nos intervalos: (0,π

2) e (

π

2, π).

No intervalo (π

2, π), x = arcsent, então dx = − t · dt√

1 − t2; logo temos a resolver as integrais:

J1 =

π2

∫

0

sen x dx =

1∫

0

t · dt√1 − t2

, e; J2 =

π∫

π2

sen x · dx = −0

∫

1

t · dt√1 − t2

.

Disto resulta J = 2

1∫

0

t · dt√1 − t2

= 2.

Portanto, J =

π∫

0

sen x · dx = 2

Exemplo 2.40.

Determine o valor da integral J =

1∫

−1

dx√1 + x2 +

√1 − x2

.

Solução.


Observando que a função f(x) =dx√

1 + x2 +√

1 − x2é par no intervalo simétrico [−1, 1],

pela Propriedade (2.11) b) temos:

J = 2

1∫

0

dx√1 + x2 +

√1 − x2

=

1∫

0

√1 + x2 −

√1 − x2

x2

· dx ; as funções

√1 + x2

x2e

√1 − x2

x2não são contínuas em x = 0, porém sua diferença o é.

Logo, J = [arcsenhx−√

1 + x2

x2+

√1 − x2

x2+ arcsenx]

∣

∣

∣

∣

1

0

=π

2+ arcsenh1 −

√2.

Portanto, J =

1∫

−1

dx√1 + x2 +

√1 − x2

=π

2+ arcsenh1 −

√2

Exemplo 2.41.

Seja K =

1∫

0

ex · dxx+ 1

; expressar a integral

1∫

0

ex · dx(x+ 1)2

em função de K.

Solução.

Considerando u =1

x+ 1e dv = ex · dx logo integrando por partes a primeira integral, temos

que K =

1∫

0

ex · dxx+ 1

=ex

x+ 1

∣

∣

∣

∣

1

0

+

1∫

0

ex · dxx+ 1

2

⇒ K = (e

2− 1) +

1∫

0

ex · dxx+ 1

2

Portanto,

1∫

0

ex · dx(x+ 1)2

= K + 1 − e

2.

Exemplo 2.42.

Determine o valor da seguinte integral: I =

3∫

−3

∣

∣

∣

∣

x2 − 4

x2 − 25

∣

∣

∣

∣

· dx

Solução.

Observe que f(x) =

∣

∣

∣

∣

x2 − 4

x2 − 25

∣

∣

∣

∣

é função par e contínua no intervalo [−3, 3], logo pela Pro-

priedade (2.11) temos que I =

3∫

−3

∣

∣

∣

∣

x2 − 4

x2 − 25

∣

∣

∣

∣

· dx = 2 ·3

∫

0

∣

∣

∣

∣

x2 − 4

x2 − 25

∣

∣

∣

∣

· dx

No intervalo [0, 2] temos que a função f(x) ≥ 0 e no intervalo [2, 3] temos que f(x) ≤ 0.

Logo I = 2 ·3

∫

0

∣

∣

∣

∣

x2 − 4

x2 − 25

∣

∣

∣

∣

· dx = 2[

2∫

0

x2 − 4

x2 − 25· dx+

3∫

2

−(x2 − 4)

x2 − 25· dx

]

=

2

[ x+21

10Ln

(x− 5

x+ 5

)

∣

∣

∣

∣

2

0

− [x+21

10Ln

(x− 5

x+ 5

)

∣

∣

∣

∣

3

2

= 2.

Portanto, I =

3∫

−3

∣

∣

∣

∣

x2 − 4

x2 − 25

∣

∣

∣

∣

· dx = 2.


Exemplo 2.43.

Determine o valor da seguinte integral: I =

π3

∫

π6

√secx · dx√

secx+√

cscx

Solução.

Tem-se que:

I =

π3

∫

π6

√secx · dx√

secx+√

cscx=

π3

∫

π6

(1 −√

cscx√secx+

√cscx

)dx (2.12)

Por outro lado, na integral

π3

∫

π6

√cscx√

secx+√

cscxdx, considere x =

π

2− u, logo dx = −du,

lembrando que no primeiro quadrante temos que csc(π

2− x) = secx e sec(

π

2− x) = cscx, além

disso; quando x =π

2temos que u =

π

6, e quando x =

π

6temos que u =

π

2, segue que:

π3

∫

π6

√cscx√

secx+ cscxdx = −

π6

∫

π3

√

csc(π2 − u)

√

sec(π2 − u) +

√

csc(π2 − u)

du =

π3

∫

π6

√cscu√

secu+√

cscudu

Assim, na igualdade (2.12) segue que:

I =

π3

∫

π6

√secx · dx√

secx+√

cscx=

π3

∫

π6

(1 −√

cscx√secx+

√cscx

)dx = x∣

∣

∣

π3

π6

−

π3

∫

π6

√secu · du√

secu+√

cscu

Então 2 ·

π3

∫

π6

√secu · du√

secu+√

cscu=π

3− π

6.

Portanto, I =

π3

∫

π6

√secu · du√

secu+√

cscu=

π

12.

Exemplo 2.44.

Calcular o valor da integral: I =

4∫

−2

∣

∣

∣

∣

x+ 1

x+ 6

∣

∣

∣

∣

· dx

Solução.

Temos que x ∈ [−2, 4], porém a função f(x) =x+ 1

x+ 6é positiva para todo x ∈ [−2, 4], logo

a podemos escrever:

I =

4∫

−2

∣

∣

∣

∣

x+ 1

x+ 6

∣

∣

∣

∣

· dx =

4∫

−2

x+ 1

x+ 6· dx


De onde I =

4∫

−2

[1 − 5

x+ 6] · dx = [x− Ln(x+ 6)]

∣

∣

∣

4

−2= 6 + Ln2 − Ln5.

Portanto, I = 6 + Ln2 − Ln5.


Exercícios 2-4

1. Desejamos calcular a integral evidente J =

2∫

0

dx mediante a mudança x = −t2 + 5t − 4.

Quais são os possíveis valores dos limites da integral?. Mostre que em todos os casos,

sempre voltamos a calcular J .

2. Calcular as seguintes integrais mediante a substituição indicada:

1.

6∫

1

dx

1 +√

3x− 23x− 2 = t2 2.

Ln8∫

Ln3

dx√ex + 1

ex + 1 = t2

3.

senh1∫

0

√

x2 + 1 · dx x = senht 4.

π2

∫

0

dx

2 + 2 cosxtan

x

2= t

5.

π4

∫

0

dx

1 + 2sen 2xtanx = t 6.

1∫

−1

√

3 − 2x− x2 · dx x+ 1 = 2sent

3. Verifique se a fórmula é verdadeira

b∫

a

f(x) · dx =

b∫

a

f(a+ b− x) · dx .

4. Aplicando o exercício (3), mostre que:

1.

2a∫

0

√

(2ax− x2)3 · arccos(1 − x

a)dx =

3π2a4

162.

π2

∫

0

cos3 x · dxcos3 x+ sen 3x

=π

4

5. Mostre que:

1.

1∫

√2

2

dx

arcsenx=

π2

∫

π4

cosx

x· dx 2.

e2∫

e

dx

Lnx=

2∫

1

ex · dxx

6. Mostre que

π2

∫

0

Ln(tanx) · dx = 0.

7. Sem calcular a integral, verificar que: J =

2∫

−2

3x7 − 2x5 + x3 − x

x4 + 3x2 + 1· dx = 0.

8. Determine se a identidade

2a∫

0

f(x) · dx =

a∫

0

[f(x) + f(2a − x)] · dx é verdadeira. Obtenha

uma identidade quando f(x) = f(2a− x).


9. Mostre que:

1.

b∫

a

f(x) · dx =

b+c∫

a+c

f(x− c) · dx 2.

a∫

1

dt

t+

b∫

1

dt

t=

ab∫

1

dt

t

3.

bc∫

ac

f(x) · dx = c

b∫

a

f(x.c) · dx

10. É possível calcular J =

2∫

0

x · 3√

1 − x2 · dx mediante a substituição x = sen t ? Justificar

sua resposta.

11. Se f(a+ b− x) = f(x), mostre que:

b∫

0

x · f(x) · dx =a+ b

2

b∫

0

f(x) · dx.

12. Calcule as seguintes integrais pelo método de integração por partes:

1.

1∫

0

x · ex · dx 2.

1∫

0

arcsenx√1 + x

· dx 3.

π2

∫

π6

x · dxcos2 x

4.

e∫

1

Ln2x · dx 5.

π4

∫

0

e3αsen 4α · dα 6.

2√

3∫

2

√x2 + 4

x2· dx

7.

e∫

1

x · Lnx · dx 8.

1∫

0

x · arctanx · dx 9.

π4

∫

0

α2 · cos 2α · dα

10.

π2

∫

0

ex · cosx · dx 11.

π2

∫

− π2

x · sen x · dx 12.

π2

∫

− π2

x81 · cos(x9) · dx

13. Prove que a integral: I =

1∫

0

xp · dx1 + xq

=π

q(sen [p+1q ])

. Sugestão. 1 + xq =1

t.

14. Mostre que, para a integral In =

π2

∫

0

sen nx · dx =

π2

∫

0

cosn x · dx n ∈ N , é válida a fórmula

In = In−2. Calcule I7.

15. Mostre que, para a integral In =

1∫

0

xn · e−x · dx n ∈ N, é válida a fórmula In =

− 1

e+ n · In−1.



1.

0∫

−1

dx

4x2 + 8x+ x2.

2∫

0

dx√2 − x2

3.

π∫

0

senhx · sen x · dx

4.

2∫

1

dx

x2 − 4x− 55.

1∫

0

x8 · e−x3 · dx 6.

a∫

0

√x5

√a− x

· dx

7.

3∫

1

dx

x6 · 6√

65 − x68.

π3

∫

− π3

tan7 x · dx 9.

2∫

0

x5 · dx√

(1 + x3)3

10.

0∫

1

x8 · 4√

(1 − x3)5 · dx 11

1∫

0

x4 · 4√

(1 − x3)5 · dx 12.

1∫

0

√x ·

√2 − x · dx

13.

1∫

0

√1 − x√2 − x

· dx 14.

1∫

0

x · ex · dx1 + x2

15.

1∫

0

Ln(√

2 − x) · dx

16.

12

∫

− 12

√

1 + x

1 − x· dx 17.

π3

∫

π4

cotx · Ln(sen x) · dx 18.

π4

∫

− π4

| tan5 x | ·dx

19.

π3

∫

π6

√tanx · dx√

tanx+√

cotx20.

2π∫

0

| sen x− cosx | ·dx 21.

π∫

0


· dx

17. Suponha que

π∫

0

cosx

(x+ 2)2·dx = a, calcular o valor da integral

π2

∫

0

sen x · cosxx+ 1

·dx em função

de a.

18. Calcular o valor de

π3

∫

π6

5√

cosx · dx5√

cosx+ 5√

sen x. Sugestão x =

π

2− t.

19. Calcular f(0), se f(π) = 2 e

π∫

0

[f(x) + f ′′(x)]sen x · dx = 5.


1.

π4

∫

− π4

[x14sen (x7) + 6] · dx 2.

2∫

−2

[(x5 + x3 + x)√

1 + x4] · dx

3.

1∫

0

ex · Ln(1 + x) · dx 4.

12

∫

− 12

[cos(sen x) · Ln(1 + x

1 − x) + 3x+ 4] · dx


21. Calcule as seguintes integrais definidas:

1.

1∫

0

dx

x2 + 4x+ 52.

1∫

0

z3 · dzz8 + 1

3.

√2

2∫

0

dx√1 − x

4.

1∫

0

y2 · dy√

y6 + 45.

π2

∫

0

sen 3x · dx 6.

e∫

1

sen (Lnx)

x· dx

7.

π3

∫

π6

cot2 x · dx 8.

1∫

0

coshx · dx 9.

π∫

0

senh2x · dx

10.

2∫

−1

dx

x11.

3∫

0

dx

(x− 1)2

22. Se f(x) =

x2, se, x < − 2

2, se, − 2 ≤ x < 0

x2

1 + x5, se 0 ≤ x

, calcular

1∫

−3

[f(x) − x] · dx.

23. As funções f e sua inversa f−1 são contínuas, se f(0) = 0; mostre que:

5∫

0

f(x) · dx +

f(5)∫

0

f−1(t) · dt = 5f(5).

24. Seja f uma função contínua, tal que f ′(x) < 0 em [1, 4] , 1 = f−1(−2), 4 = f−1(−6) e4

∫

1

f(x) · dx = −10. Calcular o valor de

−2∫

−6

f−1(x) · dx .

25. Determine a área da figura limitada por:

1. O gráfico das curvas f(x) = x2 e g(x) =x2

2+ 2.

2. Os gráficos de f(x) = x2, g(x) = −x2, x = −1 e x = 1.

3. Os gráficos de f(x) = x2, g(x) = x2 − 2x+ 4 e o eixo vertical.

26. Aplicando o segundo teorema fundamental do cálculo, calcular as seguintes integrais:

1.

4∫

1

(x3 − 2)dx 2.

4∫

0

x · dx√x2 + 9

3.

3∫

1

y(y2 − 4)2dy

4.

π6

∫

0

sen 2(3x) · dx 5.

1∫

−1

√1 − z · dz 6.

4∫

1

v + 1

v· dv


2.9 Integrais Impróprias.

Na definição da integral definida

b∫

a

f(t) · dt, foram expostas as seguintes restrições:

1o O intervalo I = [a, b] tinha que ser limitado.

2o A função f(x) tinha que ser limitada. Quando estas restrições são modificadas de modo que

os extremos b = +∞ (ou a = −∞), e; [a, b] seja limitado porém f(b−) = limx→b−

f(x) = ∞(ou f(a+) = lim

x→a+f(x) = ∞ ), então as integrais são chamadas de "integrais impróprias".

Estas integrais são de dois tipos:

Tipo I Integrais impróprias com limites infinitos.

a)

+ ∞∫

a

f(t) · dt b)

b∫

−∞

f(t) · dt

Tipo II Integrais impróprias com limites finitos.

a)

b∫

a

f(t) · dt (f(b−) = ∞) b)

b∫

a

f(t) · dt (f(a+) = ∞)

2.9.1 Integrais Impróprias com Limites Infinitos.

Sejam I = [a, + ∞) e f : I −→ R uma função integrável em [a, t] para todo t ∈ I.

Consideremos a função contínua F (t) =

t∫

a

f(x) · dx, t ∈ I.

Definição 2.9.

Diz-se que a integral imprópria

+ ∞∫

a

f(x) · dx é convergente, quando existe e, o número

limt→+ ∞

F (t) é finito. Caso contrário, isto é se o limite não existe ou é infinito, dizemos que

a integral imprópria é divergente.

Escrevemos:

+ ∞∫

a

f(x) · dx = limt→+ ∞

F (t)

Observação 2.8.

Como estudado anteriormente, se f(x) ≥ 0, a integral

b∫

a

f(x) ·dx representa a área da região

D limitada pelo gráfico de f(x), as retas x = a, x = b e o eixo x.

Logo quando a integral imprópria

+ ∞∫

a

f(x) · dx é convergente, ela representa a área infinita

da região plana compreendida entre o gráfico de f(x), a reta x = a e o eixo x, como indica a

Figura (2.14).


Figura 2.14:

m

Figura 2.15:

Sejam I = (−∞, b] e g : I −→ R uma função integrável em [t, b] para todo t ∈ I. Consider-

emos a função contínua G(t) =

b∫

t

g(x) · dx, t ∈ I.

Definição 2.10.


b∫

−∞

g(x) · dx é convergente, quando existe, e o número

limt→−∞

G(t) é finito .

Caso contrário, isto é se o limite não existe ou é infinito, dizemos que a integral imprópria é

divergente.

Escrevemos:

b∫

−∞

g(x) · dx =

b∫

t

g(x) · dx.

Figura 2.16:

Quando a integral imprópria

b∫

−∞

g(x) · dx

é convergente, ela representa a área infinita da

região plana compreendida entre o gráfico de

g(x), a reta x = b e o eixo x, como indica a

Figura (2.15).

Exemplo 2.45.


+ ∞∫

−∞

dx

1 + x2, caso

existir.

Solução.

A Figura (2.16) mostra que podemos escrever: J =

0∫

−∞

dx

1 + x2+

+ ∞∫

0

dx

1 + x2.

Logo, temos: J = limt→+ ∞

t∫

0

dx

1 + x2+ lim

s→−∞

0∫

s

dx

1 + x2=


=

[

limt→+ ∞

arctan(t) − arctan 0

]

+

[

arctan 0 − lims→−∞

arctan(s)

]

=

= (π

2− 0) − (− π

2− 0) = π

Portanto, J =

+ ∞∫

−∞

dx

1 + x2= π é convergente (converge para π).

Exemplo 2.46.

Calcular a seguintes integrais: I =

1∫

0

x · Lnx

(x2 + 1)2· dx e J =

+ ∞∫

0

x · Lnx

(x2 + 1)2· dx

Solução.

Mediante integração por partes, temos que I = − Lnx

2(x2 + 1)

∣

∣

∣

∣

1

0

+

1∫

0

dx

x(x2 + 1); estas duas

expressões não tem sentido para x = 0; calculando a última integral temos:

I = [x2 · Lnx

2(x2 + 1)− 1

4Ln(x2 + 1)]

∣

∣

∣

∣

1

0

= −1

4Ln2.

De modo análogo, obtemos que J = 0. Portanto, I = −1

4Ln2, e J = 0.

Exemplo 2.47.

Mostre que a integral imprópria J =

+ ∞∫

0

dx

xpconverge se p > 1 , e diverge se p ≤ 1.

Solução.

Para qualquer p 6= 1, temos

t∫

0

dx

xp=

x1−p

1 − p

∣

∣

∣

∣

1

0

=1

1 − p

[

1

tp−1− 1

]

; logo quando p > 1 e

t → +∞ vem

t∫

0

dx

xp→ 1

1 − p, assim a integral converge; por outro lado, se p < 1 e t → +∞

segue

t∫

0

dx

xp→ + ∞ (a integral diverge).

Se p = 1 e t → + ∞ vem

t∫

0

dx

xp→ + ∞.

Portanto, J =

+ ∞∫

0

dx

xp=

1

p− 1, se p < 1 converge

+ ∞, se p ≤ 1 diverge

2.9.2 Integrais Impróprias com Limites Finitos.

Definição 2.11.

Sejam I = [a, b) e f : I −→ R uma função integrável em [a, t] para todo t ∈ I.


Consideremos a função H(t) =

t∫

a

f(x)dx e, seja t ∈ I; se a integral imprópria

t∫

a

f(x) ·dx, t ∈

I é convergente e o limite limt→b−

t∫

a

f(x) · dx, t ∈ I é finito, escreve-se:

t∫

a

f(x) · dx = limt→b−

t∫

a

f(x) ·

dx, t ∈ I.

Esta definição é equivalente a:

t∫

a

f(x) · dx = limε→0+

b−ε∫

a

f(x) · dx. Se f(x) ≥ 0, a integral

representa a área infinita da região D limitada pelo gráfico de f(x), as retas x = a, : x = b e o

eixo x (Figura (2.17)).


Sejam I = (a, b] e f : I −→ R uma função integrável em [t, b] para todo t ∈ I. Consideremos

a função contínua G(t) =

b∫

t

f(x) · dx, t ∈ I.

Definição 2.12.


b∫

a

f(x) · dx é convergente, quando existe e é finito o número

limt → a+

G(t). Caso contrário, isto é se o limite não existe ou é infinito, dizemos que a integral

imprópria é divergente.

Esta definição é equivalente a:

b∫

a

f(x) · dx = limε → 0+

b∫

a−ε

f(x) · dx.

Se f(x) ≥ 0, a integral representa a área infinita da região D limitada pelo gráfico de f(x),

as retas x = a, x = b e o eixo x (Figura (2.18)).

Exemplo 2.48.

Calcular a integral imprópria I =

+ ∞∫

0

cosx · dx

Solução.


Temos que I =

+ ∞∫

0

cosx · dx = limt→+∞

t∫

0

cosx · dx = limt→+∞

[sen t− sen 0] = limt→+∞

sen t.

Este último limite não existe. Portanto, I =

+ ∞∫

0

cosx · dx não existe (é divergente)

Exemplo 2.49.


π4

∫

− π4

cotx · dx.

Solução.

Observe que f(x) = cotx, não esta definida em x = 0; pela definição podemos escrever

I =

π4

∫

− π4

cotx · dx =

0∫

− π4

cotx · dx +

π4

∫

0

cotx · dx sempre que as duas últimas integrais sejam

convergentes.

Por outro lado, a integral

π4

∫

0

cotx ·dx = limε→0+

π4

∫

0+ε

cotx ·dx = limε→0+

Ln(sen x)]π

40+ε = Ln(

√2

2)−

(−∞) = + ∞.

De modo análogo, mostra-se que

0∫

− π4

cotx · dx = limε→0+

0−ε∫

− π4

cotx · dx = −∞−Ln(

√2

2) = −∞

Portanto, I =

π4

∫

− π4

cotx · dx = + ∞ é divergente

Exemplo 2.50.

Determine se existe o valor da integral J =

0∫

−1

x√e

x3· dx

Solução.

Temos J =

0∫

−1

x√e

x3· dx = lim

ε→0+

0−ε∫

−1

x√e

x3· dx = lim

ε→0+[ x√e −

x√e

x]]

0−ε−1

= limε→0+

x√e − lim

ε→0+

x√e

x−

2e−1 = 0 + 2e−1 = 2e−1 = 0 − 2e− 1. Neste último limite aplicamos a regra de L’Hospital.

Portanto, J =

0∫

−1

x√e

x3· dx = − 2e−1.

Exemplo 2.51.


+ ∞∫

−∞

dx

x(x− 2).

Solução.

Temos: I =

+ ∞∫

+ ∞

dx

x(x− 2)=

− 1∫

−∞

dx

x(x− 2)+

0∫

− 1

dx

x(x− 2)+

2∫

0

dx

x(x− 2)+

+ ∞∫

2

dx

x(x− 2).


Por outro lado,

0∫

− 1

dx

x(x− 2)= lim

ε→0+

0−ε∫

− 1

dx

x(x− 2)=

1

2lim

ε→0+Ln[

x− 2

x] F (x)

∣

∣

∣

0−ε

−1=

=1

2[ limε→0+

Ln(−ε− 2

ε) − Ln3] =

1

2lim

ε→0+Ln[

−ε− 2

3 · ε ] = + ∞.

Deste fato temos que quaisquer seja o valor das outras integrais, sempre teremos uma ex-

pressão que não representa um número real.

Portanto, I =

+ ∞∫

−∞

dx

x(x− 2)diverge.

Exemplo 2.52.

Determine n ∈ Q, para que a integral J =

+ ∞∫

1

[n

x+ 1− 3x

2x2 + n] · dx seja convergente.

Solução.

Podemos escrever I =

+ ∞∫

−∞

[n

x+ 1− 3x

2x2 + n] · dx = lim

t→+ ∞

t∫

1

[n

x+ 1− 3x

2x2 + n] · dx .

Calculando a integral deste último limite, temos limt→+ ∞

t∫

1

[n

x+ 1− 3x

2x2 + n] · dx =

= limt→+ ∞

Ln((t+ 1)n

4√

(2t2 + n)3)

− Ln

2n

4√

(2 + n)3

Observe que o limite existe se os graus da expressão algébrica na fração do logaritmo forem

iguais; isto é se n = 2(3

4) =

3

2; calculando,

limt→+ ∞

Ln((t+ 1)n

4√

(2t2 + n)3)

− Ln

2n

4√

(2 + n)3

=3

4Ln(

7

8) − 3

2Ln2

Para o caso n >3

2, temos lim

t→+ ∞

Ln((t+ 1)n

4√

(2t2 + n)3)

= lims→+ ∞

Ln(s) = + ∞, e quando

n <3

2temos lim

t→+ ∞

Ln((t+ 1)n

4√

(2t2 + n)3)

= lims→0+

Ln(s) = −∞

Portanto quando n =3

2a integral existe e, I =

+ ∞∫

1

[n

x+ 1− 3x

2x2 + n] · dx =

3

4Ln(

7

32).

2.10 Critérios de Convergência.

Para as seguintes propriedades, considere b = + ∞ ou b ∈ R e f(b−) = + ∞. Também são

válidas as proposições análogas para a = −∞ ou a ∈ R e f(a+) = + ∞.

Propriedade 2.17. ‘


Seja f(x) função não negativa no intervalo [a, b) (isto é f(x) ≥ 0) e integrável em [a, t]

para todo t ∈ [a, b). Se a função F (t) =

t∫

a

f(x) · dx é limitada em [a, b), então

b∫

a

f(x) · dx é

convergente.

Demonstração.

Do fato f(x) ≥ 0 em [a, b) vem que F (t) =

t∫

a

f(x) · dx é crescente em [a, b); sendo F (t)

limitada, F (t) admite limite finito quando t→ b− ; logo é convergente.

Portanto,

b∫

a

f(x) · dx é convergente.

Propriedade 2.18. Critério de comparação.

Sejam f e g funções tais que 0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀ x ∈ [a, b) e integráveis em [a, t], t ∈[a, b) então:

i) Se

t∫

a

f(x) · dx é convergente, então

t∫

a

g(x) · dx é convergente.

ii) Se

t∫

a

g(x) · dx é divergente, então

t∫

a

f(x) · dx é divergente.

Demonstração.

É imediata; aplicar a Propriedade (2.17) e a desigualdade 0 ≤t

∫

a

f(x) · dx ≤t

∫

a

g(x) ·

dx, ∀ t ∈ [a, b)

Exemplo 2.53.

Estudar a convergência de J =

+ ∞∫

2

dx

x4 ·√

1 + x4

Solução.

Para todo x ≥ 2 temos sabemos que 0 <1

x4 ·√

1 + x4≤ 1

x6.

Pelo Exemplo 2.45 a integral

+ ∞∫

2

dx

x6é convergente. Logo

+ ∞∫

2

dx

x4 ·√

1 + x4é convergente.

Exemplo 2.54.

Estudar a convergência da integral I =

1∫

0

dx√x2 + 2x

Solução.

Como 0 <1√

x2 + 2x≤ 1√

x∀ x ∈ [0, 1) e

1∫

0

dx√x

é convergente, então pelo Exemplo (2.52)

a integral 0 <1√

x2 + 2x≤ 1√

xé convergente.


Exemplo 2.55.

Examinar a convergência de J =

−3∫

−∞

dx√x2 + 3x+ 2

Solução.

Para todo x ≤ −3 temos que 0 < − 1

x≤ dx√

x2 + 3x+ 2é como examinar a convergência de

J =

−3∫

−∞

− dx

xé divergente, segue que J =

−3∫

−∞

dx√x2 + 3x+ 2

é divergente.

Definição 2.13.


b∫

a

f(x) · dx é absolutamente convergente, se a integral

b∫

a

|

f(x) | ·dx é convergente.

Propriedade 2.19.

Se

b∫

a

f(x) · dx é absolutamente convergente, então

b∫

a

f(x) · dx é convergente.

Demonstração.

Pelas propriedades do valor absoluto temos 0 ≤| f(x) | −f(x) ≤ 2 | f(x) | e, pelo critério

de comparação a integral

b∫

a

[| f(x) | −f(x)] · dx é convergente; logo

b∫

a

f(x) · dx =

b∫

a

| f(x) |

·dx−b

∫

a

[| f(x) | −f(x)] · dx é convergente.

Exemplo 2.56.

Examinar a convergência de J =

+ ∞∫

1

cos(x2) · dxx2

Solução.

Observe que | cos(x2) · dxx2

|≤ 1

x2∀ x ∈ [1, +∞) e a integral

+ ∞∫

1

dx

x2é convergente, logo a

integral

+ ∞∫

1

| cos(x2)

x2| ·dx é convergente; pela Propriedade (2.19) segue que J =

+ ∞∫

1

cos(x2) · dxx2

é convergente.

Propriedade 2.20. Critério do limite.

Sejam f e g funções positivas integráveis em [a, t], ∀ t ∈ [a, b) e suponhamos que limx→b−

f(x)

g(x)=

r, tem-se:


i) Se 0 < r < +∞ , então as integrais impróprias

b∫

a

f(t) ·dt e

b∫

a

g(t) ·dt são ambas convergentes

ou ambas são divergentes.

ii) Se r = 0 e

b∫

a

g(t) · dt converge, então

b∫

a

f(t) · dt converge.

ii) Se r = ±∞ e

b∫

a

g(t) · dt diverge, então

b∫

a

f(t) · dt diverge.

Demonstração.


Propriedade 2.21.

Seja f função integrável em [a, t], ∀ t ∈ [a, +∞) e suponhamos que limx→+ ∞

xp · f(x) =

r < + ∞, tem-se:

i) Se p > 1, então

+ ∞∫

a


ii) Se r 6= 0 e 0 < p < 1, então

+ ∞∫

a

f(t) · dt diverge.

Propriedade 2.22.

Seja f função integrável em [a, t], ∀ t ∈ [a, b) e suponhamos que limx→b−

(b − x)p · f(x) =

r < + ∞, tem-se:

i) Se 0 < p < 1, então

+ ∞∫

a


ii) Se Se r 6= 0 e p ≥ 1, então

+ ∞∫

a

f(t) · dt diverge.

Exemplo 2.57.

Análise a convergência da integral J =

+ ∞∫

2

dx

x3 ·√

4x5 + x3 − 1

Solução.

Considerando que limx→+ ∞

x112 · 1

x3 ·√

4x5 + x3 − 1=

1

2e neste caso p =

3

2> 1, pela Pro-

priedade 2.22 temos que a integral J =

+ ∞∫

2

dx

x3 ·√

4x5 + x3 − 1é convergente.


Exemplo 2.58.

Estudar a convergência da integral I =

5∫

2

dx√

(x2 − x− 2)3

Solução.

Observando o limite: limx→2+

(x− 2)32 · 1

√

(x2 − x− 2)3=

√3

9, neste caso p =

3

2> 1.

Pela Propriedade 2.23 a integral I =

5∫

2

dx√

(x2 − x− 2)3é divergente.

Exemplo 2.59.

Determine a convergência de J =

0∫

−∞

x · dx3√

2x9 + 8x− 10

Solução.

Temos o limite limx→−∞

x2 · x3√

2x9 + 8x− 10=

13√

2, neste caso p = 2 > 1; logo a integral J =

0∫

−∞

x · dx3√

2x9 + 8x− 10converge.

Exemplo 2.60.

Mostre que a integral I =

+∞∫

0

e−x2dx converge.

Solução.

Podemos escrever I =

+∞∫

0

e−y2dy, logo I2 = (

+∞∫

0

e−x2dx)(

+∞∫

0

e−y2dy), isto é:

I2 =

+∞∫

0

+∞∫

0

e−(x2+y2)dxdy (2.13)

A região de integração é o primeiro quadrante do plano cartesiano. Sejam x = r cos θ ey =

sen θ onde 0 ≤ r < +∞ e 0 ≤ θ ≤ π

2; além disso temos que dx = dr · cos θ − r · sen θ · dθ e

dy = dr · sen θ + r · cos θ · dθ. Substituindo em (2.13) resulta:

I2 =

π2

∫

0

+∞∫

e−r2r · drdθ =

π2

∫

(−1

2e−r2

)]

+∞0

dθ =1

2

π2

∫

0

dθ =π

4

Portanto, I =

√π

2


Exercícios 2-5

1. Calcular os seguintes limites:

1.

+∞∫

1

dx

xp2.

+∞∫

−∞

dx

x2 + 2x+ 23.

12

∫

0

dx

x · Lnx

4.

+∞∫

a

dx

x · Lnxa > 1 5.

π2

∫

0

cotx · dx 6.

+∞∫

0

arctanx · dxx2 + 1

7.

1∫

0

dx

1 + x8.

8∫

0

(√

2x+ 3√x) · dx 9.

x∫

−x

et · dt

10.

+∞∫

1

x · dx(1 + x2)2

11.

+∞∫

0

dx

(1 + x2)212.

2∫

0

x2 · dx√4 − x2

13.

+∞∫

1

dx

x4 + x214.

+∞∫

0

e−x · dx 15.

+∞∫

1

4

x3· dx

16.

+∞∫

0

sen x · dx 17.

+∞∫

−∞

dx

4x2 + 118.

+∞∫

0

dx√ex

19.

+∞∫

−∞

| x | e−x2 · dx 20.

2∫

0

dx5√

(x− 2)321.

1∫

−2

dx

x3

22.

3∫

0

dx√9 − x2

23.

π∫

0

dx

1 + cosx24.

+∞∫

0

x · dx(x2 + 9)2

25.

0∫

−2

dx3√x+ 1

26.

+∞∫

0

e−ax · sen x · dx 27.

1∫

0

x√e · dxx3

28.

+∞∫

0

e−ax · cosx · dx 29.

+∞∫

1

x5 · dx4√

(1 + x3)730.

π2

∫

0

dx

1 − sen x

31.

0∫

−∞

arctanx · dxx2 + 1

32.

+∞∫

0

dx

x3 + 133.

+∞∫

−∞

e−|x| · dx

34.

+∞∫

1

dx

x√x2 − 1

35.

1∫

−1

√

1 +9√x−2 36.

1∫

0

dx

x3 − 5x2

37.

+∞∫

0

−(1 + 2x) · dx3 · 3

√x2(x− 1)2

38.

+∞∫

−∞

x2 · e−x2 · dx 39.

0∫

−2

dx3√

1 + x


40.

−1∫

−2

dx

x3 · 3√

(1 + x3)441.

+∞∫

−∞

dx

ex + e−x42.

+∞∫

−∞

x · dx1 + x4

43.

1∫

−1

3n√

1 − x3

x5· dx 44.

+∞∫

1

√x2 − 1 · dxx 4

45.

+∞∫

1

dx

x√

1 + x3

46.

+∞∫

0

dx

(a2 + b2)(b2 + x2)47.

a∫

0

a2 − e2x2

√a2 − x2

· dx 48.

+∞∫

−∞

ex−ex · dx

49.

4∫

0

dx√4x− x2

50

π∫

0

sen x · dx√1 + cosx

51

1∫

0

dx√x− x2

52.

5∫

0

dx

(x− 1)(x2 − 8x+ 15)53.

+∞∫

9

dx√

(x2 − 6x)354.

+∞∫

1

x5 · dx√1 + x3

55.

4∫

0

x · dx√16 − x2

56.

2∫

1

x5 · dx√x− 1

57.

+∞∫

0

x2 · e−3x · dx

58.

2∫

1

dx

x2 − 459.

+∞∫

0

xn · e−x · dx

2. Sabendo que :

+∞∫

0

cosx · dx√x

=

√

π

2, determine se existe o valor de J =

+∞∫

0

sen x · dx√x3

.

3. Se H(a) =

+∞∫

0

dx

(1 + xa)(1 + x2), determine H(0), H(1) e H(2).

4. Sabendo que

+∞∫

0

sen x · dxx

=π

2, calcular o valor de J =

+∞∫

0

sen (x2) · dxx2

.

5. Seja f(x) =

mx2, se | x |≤ 3

0, se | x |> 3, determine m de modo que

+∞∫

−∞

f(x) · dx = 1.

6. Determine o valor de a para que a integral J(a) =

+∞∫

a

4x · dxx4 − 1

; exista.

7. Uma bola cai de uma altura de 4, 6 metros. Cada vez que ela cai de h metros, ela quica

e sobe até uma altura de 0, 81h metros da altura anterior. Encontre a distância total

percorrida pela bola. Encontre o tempo que a bola do leva para parar.

8. Seja K =

1∫

0

ex · dxx+ 1

; expressar cada uma das seguintes integrais em função de K.


1.

1∫

0

x · ex2 · dx1 + x2

2.

a∫

a−1

ex · dxx− a− 1

3.

1∫

0

ex · dx(x+ 1)2

4.

1∫

0

ex · Ln(1 + x) · dx

9. Estudar a convergência das seguintes integrais:

1.

+∞∫

2

dx

x2 + 2x− 32.

1∫

−∞

dx

x2 + 3x+ 43.

+∞∫

1

(x+ 1) · dxx3 − 1

4.

+∞∫

1

(x+ 3) · dxx4 − 1

5.

+∞∫

1

dx

x3 + x26.

+∞∫

−∞

dx

x3 · 3√x2 + 4

7.

+∞∫

2

x3 + 1√x2 − 1

· dx 8.

+∞∫

1

e−2x · dxx2 + 3x+ 5

9.

+∞∫

0

dx

x2 · 3√x2 + x+ 1

10.

+∞∫

0

e−x · sen (x2)dx 11.

+∞∫

0

e−x2 · dx 12.

+∞∫

1

dx

x2(1 + ex)

13.

5∫

4

dx

x√

25 − x214.

1∫

0

x · sen 2(1

x2) · dx 15.

3∫

1

(x3 + 1) · dx√x2 − 1


1.

2π∫

0

[| sen x | +x] · dx 2.

e2+1∫

0

[4 − 2Ln(x+ 1)] · dx

3.

5∫

−1

| x3 − 4x | ·dx 4.

1∫

− 1

dx

(1 + x2)4

5.

√3

3∫

0

dx

(2x2 + 1)√x2 + 1

6.

3∫

−3

x2 − 4

| x2 − 16 | · dx

11. Calcular o valor das seguintes integrais.

1. limx→1

x∫

1

sen (t− 1)2 · dt

(1 − x)32.

π2

∫

0

dx

1 + [tanx]√

2

12. Se n ∈ N é qualquer número, determine o valor de: I =

π∫

0

sen (n+ 12)x

sen (x2 )

· dx

13. Calcular a área do segmento da parábola y = x2 que corta a reta y = 3 − 2x.


14. Limitar as seguintes integrais:

1.

1∫

0

dx

x32.

2π∫

0

dx

10 + 3 cosx3.

π3

∫

π4

sen x

x· dx

15. Calcule as seguintes integrais definidas:

1.

−1∫

−2

dx

x32.

x∫

0

cos t · dt 3.

2∫

1

(x2 − 2x+ 3)dx

4.

4∫

1

1 +√y

y· dy 5.

−3∫

0

dx√25 + 3x

6.

1∫

0

x · dxx3 + 3x+ 2


Miscelânea 2-1

1. Seja uma sucessão Sn definida por: S1 = a, S2 = b, S3 =S1 + S2

2, · · · Sn =

Sn−1 + Sn−2

2onde a e b são números reais quaisquer. Associamos un = Sn − Sn−1. Mostre que un é a

expressão geral de uma progressão geométrica. Calcular sua soma quando n → +∞.

2. Determine o valor do limite L = limn→+∞

[12 + 22 + 32 + · · · + n2

n3]

3. Mostre que:

n∑

k=1

cos(3 + kx) =(1 − cosx)[cos(3 + nx) − sen 3]

2()− sen x[sen (3 + nx) − sen 3]

2(1 − cosx

4. Mostre que limn→+∞

[1 +1

2cosx+

1

4cos 2x+ · · · + 1

2ncosnx] =

2(2 − cosx)

5 − 4 cosx

5. Determine se a soma representa um número real ou não: 1+13√

4+

13√

49+

13√

16+

13√

25+· · · .

Justificar sua resposta.

6. Determine o valor das seguintes somas:

1.n

∑

k=1

4k

3k2.

n∑

k=1

2

5k3. π +

π

2+

π√22

+ · · · π√2n−1

4.

n∑

k=1

5

7k−15.

n∑

k=1

1

22k+16.

n∑

k=1

2k + 3k

5k

7. Mostre que

b∫

a

x3 · dx =b4

4, considerando partições em n subintervalos iguais e usando a

fórmulan

∑

i=1

i3.

8. Estime a integral

1∫

0

√

(1 + x)(1 + x3) · dx mediante a desigualdade de Cauchy - Buni-

akovski.

9. É verdade que, se f(x) =

x∫

0

f(t) · dt então f(x) = 0?

10. Determinar os valores médios das seguintes funções nos intervalos indicados::

1. f(x) = x2 0 ≤ x ≤ 1 2. f(x) = sen 2x 0 ≤ x ≤ π

3. f(x) = a+ b · cosx − π ≤ x ≤ π 4. f(x) = sen 4x 0 ≤ x ≤ π


11. Limitar as seguintes integrais:

1.

1∫

−1

dx

8 + x32.

π4

∫

0

x ·√

tanx · dx

12. Mostre que:

1.

π2

∫

0

sen (2px) · sen (qx) · dx =(−1)p−12p

4p2 − q2sen (q

π

2).

2.

π2

∫

0

sen (2px) · sen (qx) · dx =2p

4p2 − q2[1 − (−1)p cos(q

π

2)]

13. Para cada uma das seguintes funções, calcular g(2) se g(x) é contínua para todo x ≥ 0.

1.

x∫

0

g(t) · dt = x2(1 + x) 2.

x2∫

0

g(t) · dt = x2(1 + x)

3.

g(x)∫

0

t2 · dt = x2(1 + x) 4.

x2(1+x)∫

0

g(t) · dt = x

14. Mostre que

cosh x∫

1

√

t2 − 1 · dt =coshx · senhx

2− x

2

15. Determine os pontos de extremo para a função: F (x) =

cosh x∫

a

cos t

t· dt quando x > 0 e

0 < a <π

2

16. Aplicando indução matemática ∀n ∈ N, e integração por partes, mostre a igualdade:

x∫

0

f(u)(x− u)n

n!· du =

x∫

0

un∫

0

· · ·

u1∫

0

f(t) · dt

du1 · · ·

dun−1

dun

17. Determine todas as funções f(x) que satisfazem f ′(t) = f(t) +

1∫

0

f(t) · dt.

18. Determine uma fórmula para as seguintes somas:

(a) 1 + a · cosx+ a2 cos 2x+ a3 cos 3x+ · + an cosnx.

(b) sen x+ a · sen (x+ h) + a2sen (x+ 2h) + · · · + ansen (x+ nh).

(c)1

2+ cosx+ cos 2x+ · · · + cosnx


19. Mostre que

b∫

a

dx

(b− x)pconverge se 0 < p < 1 e, diverge se p ≥ 1.

20. Estudar a convergência das seguintes integrais.

1.

1∫

0

dx

x2 + x42.

2∫

0

x · dx5√

(x2 − 1)43.

4∫

2

dx√6x− x2 − 8

4.

e∫

1

dx

x · Ln3x5.

2∫

0

x3 · dx√4 − x2

6.

23

∫

13

dx

x ·√

9x2 − 1

7.

e2∫

1

dx

x ·√

Lnx8.

1∫

0

dx√

x(x− 1)9.

2π

∫

0

cos(1

x2) · (dx

x3)

10.

1∫

0

cos( 1x)

3√x

· dx 11.

1∫

0

x2 · dx√1 − x4

12.

1∫

0

Ln(1 +3√x2)

ex − 1· dx

13.

1∫

0

dx

tanx− x14.

1∫

0

dx

ex − cosx15.

1∫

0

sen (x3) · dx√x

16.

1∫

0

dx√x+ 4x3

17.

+∞∫

0

x · cosx · dx 18.

1∫

−1

dx3√x2 − 1 · 5

√x4 − 1

19.

+∞∫

1

sen x

x3dx 20.

+∞∫

0

dx

x4 + 5x3 + x2 + x+ 1

21. Provar que I =

π2

∫

0

sen x ·Ln(sen x) ·dx = Ln2−1 ; e que, J =

π2

∫

0

cosx ·Ln(tanx) ·dx = Ln2

22. Calcular a área da figura limitada entre a hipérbole equilátera x2 − y2 = 9, o eixo x e o

diâmetro que passa pelo ponto (5, 4).

23. Determine a área das duas partes em que a parábola y2 = 2x divide o círculo x2 + y2 = 8.

24. Calcular a área da região R limitada pelas retas x = 1, x = 2, y = 3x e a curva y = x2.

25. Calcular a área da figura limitada pela parábola y = 4x− x2 e o eixo das abscissas.

26. Determinar a área da figura limitada pela curva y3 = x, a reta y = 1 e a vertical x = 8.

27. Calcular a área da figura compreendida entre a curva y = tanx , o eixo x e a reta x =π

3.

28. Achar a área da figura limitada pelas parábolas y2 = 2px e x2 = 2py.


29. Mostre que, para α > 0, a integral de Euler Γ(α) =

+∞∫

0

e−x · xα−1 · dx que define a função

gamma Γ(α), converge e estabeleça as seguintes relações:

(a) Se α é um número inteiro, então Γ(α+ 1) = n!.

(b) Γ(α+ 1) = α · Γ(α) para qualquer α > 0.

(c) Γ(1

2) =

√π.

(d) Γ(3

2) =

√π

2

(e) Γ(n+1

2) = (1)(3)(5)(7) · · · (2n− 1)

√π

2n

30. Mediante a substituição u = tx, mostre que Γ(x) =1

x

+∞∫

0

e−u1x · du

31. Mostre que a integral de Fresnel

+∞∫

0

sen (x2) · dx é convergente.

Capítulo 3

APLICAÇÕES DA INTEGRAL

DEFINIDA

Newton

Isaac Newton nasceu no dia do Natal de 1642 em Woolsthorpe,Inglaterra, pelo calendário atual já era 4 de janeiro de 1643 - O cal-endário adotado na Inglaterra estava atrasado em 10 dias).

Seu pai, um proprietário rural analfabeto, havia morrido mesesantes. Com três anos de idade Newton foi deixado pela mãe. .

Desde criança mostrava uma incrível habilidade para construirartefatos mecânicos e objetos de madeira, porém seu primeiro contatocom a matemática ocorreu apenas quando tinha 20 anos de idade e jáestava em Cambridge. Newton teria menosprezado os teoremas de Eu-clides, achando-os auto-evidentes. Aparentemente a paixão de Newtonpela matemática só foi despertada com a Geometria de Descartes, eleera auto-didata..

Os anos de 1664 a 1666 ficaram conhecido como Anni Mirabiles.Em pouco tempo Newton devorara toda a matemática conhecida na época e passara a criar. Descobriua expansão do binômio que leva seu nome e desenvolveu um método para a solução de problemas comgrandezas variáveis denominado por ele "método das fluxões", conhecido hoje como cálculo diferencial eintegral. Desvendou a natureza da luz através de experimentos engenhosamente concebidos com prismas,fendas e anteparos.

Deduziu a fórmula da aceleração centrípeta e através dela comparou a aceleração necessária paramanter a lua na sua órbita com a aceleração com que os objetos caem na superfície da terra, chegando aconclusão que uma mesma força que fosse inversamente proporcional ao quadrado das distâncias poderiaser a responsável. Em 1669 Newton assume a cadeira lucasiana de matemática do Trinity College daUniversidade de Cambridge, sucedendo a Isaac Barrow, grande professor de matemática.

Nesta época ele inventou o telescópio de reflexão. A dedicação de Newton à matemática e a filosofianatural nunca mais seria a mesma dos Anni Mirabiles, pois agora ele estava dividido com outras paixões,como a alquimia e os estudos bíblicos. Mas ele continuava refinando suas descobertas, e em 1672 publicouum artigo sobre a natureza das cores que foi muito mal-recebido.

Newton, que se retraiu ainda mais e desistiu de publicar outras descobertas, que talvez ainda jul-gasse incompletas ou imperfeitas. Este retraimento custou caro quando Leibniz publicou antes dele suadescoberta independente do cálculo diferencial e integral. Newton ressentiu-se desse episódio até o fim davida, tentando a todo custo provar que Leibniz havia roubado suas idéias.

155


3.1 Aplicações Geométricas

3.1.1 Área de Regiões Planas.

Consideremos os seguintes casos:

Caso I Seja f : I −→ R, I = [a, b] uma função contínua tal que f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, : b], a

área da região D limitada pelo gráfico de f , o eixo x e as retas x = a e x = b (Figura

(3.1)) aqui denotamos por A(D) e é definido como

A(D) =

b∫

a

f(x) · dx unidades quadradas (3.1)


Caso II Sejam f e g funções contínuas em [a, b] tais que f(x) ≥ g(x) ∀ x ∈ [a, b], a área

da região D limitada pelos gráficos de f(x), g(x) e as retas x = a e x = b (Figura (3.2))

é definido como

A(D) =

b∫

a

[f(x) − g(x)] · dx (3.2)

A definição na igualdade (3.1) é natural, deduz-se da interpretação geométrica da função

f(x) no intervalo [a, b].

Para demonstrar a fórmula dada em (3.2) consideremos o número real k tal que k ≤ g(x) ∀x ∈[a, b], efetuando uma translação de eixos cujo origem seja 0′(0, k) as novas equações das curvas

y = f(x) e y = g(x) e das retas x = a e y = b são respectivamente y1 = f(x) − k, y1 =

g(x) − k, x = a e x = b.

Portanto no novo sistema cartesiano X10Y1 verifica-se:

0 ≤ g(x) − k ≤ f(x) − k ∀ x ∈ [a, b]


Logo, considerando a fórmula (3.1) temos:

A(D) =

b∫

a

[f(x) − k] · dx−b

∫

a

[g(x) − k] · dx

isto é A(D) =

b∫

a

[f(x) − g(x)] · dx.

Observação 3.1.

Se a região D estiver limitada pelo gráfico de x = f(y), x = g(y), as retas y = c e y = d

(Figura (3.3)) onde f e g são funções contínuas em [c, d] sendo g(y) ≤ f(y) ∀ y ∈ [c, d], a área

da região D é dada por:

A(D) =

b∫

a

[f(x) − g(x)] · dx


Exemplo 3.1.

Calcular a área da região limitada pelas curvas y = sen x, x = 0, x =π

2e y = 0.

Solução.

A(D) =

b∫

a

f(x) · dx = − cosx∣

∣

∣

π2

0= −[cos

π

2− cos(0)] = 1u2.

O gráfico da região D mostra-se na Figura (3.4).

Exemplo 3.2.

Determine a área da região D limitada pelo gráfico de y =2 | x |1 + x2

, o eixo x e as retas x = −2,

e x = 1.

Solução.

O gráfico da região D, mostra-se na Figura (3.5); sua área é:

A(D) =

1∫

−2

2 | x | ·dx1 + x2

= −2

0∫

−2

2x · dx1 + x2

+ 2

1∫

0

2x · dx1 + x2

=


= −[Ln(1 + x2)]∣

∣

∣

0

−2+ Ln(1 + x2)

∣

∣

∣

1

0= Ln5 + Ln2 = Ln(10)

Portanto a área da região D mede Ln(10)u2.

Exemplo 3.3.

Calcular a área da região D, limitada pela parábola y = x2 + x, o eixo x e as retas x = −2 ,

e x = 2.

Solução.

Figura 3.5:

O gráfico da região D mostra-se na Figura (3.6);

temos que f(x) ≤ 0 no intervalo [−2, 0] e f(x) > 0

no intervalo [0, 2]. Logo a área temos que escrever na

forma:

A(D) = −0

∫

−2

(x2 + 4x) · dx −2

∫

0

(x2 + 4x) · dx =

− [(x3

3+ 2x2)]

∣

∣

∣

∣

0

−2

+ [(x3

3+ 2x2)]

∣

∣

∣

∣

2

0

=16

3+

32

3= 16

Portanto, a área da região D mede 16u2.

Exemplo 3.4.

Achar a área da região D limitada pelo gráfico das curvas y = x2 e y = x3 e as retas x = −1

e x = 2.

Solução.


Segundo o gráfico da Figura (3.7), observe que x3 ≤ x2 no intervalo [−1, 1] e x2 ≤ x3 no

intervalo [1, 2]; logo a área da região D é:

A(D) =

1∫

−1

(x2 − x3) · dx+

2∫

1

(x2 − x3) · dx =8

12+

17

12=

25

12

Portanto, a área da região D mede25

12u2.


Exemplo 3.5.

Determine a área da região D limitada pelo gráficos de y = arcsenx, y = arccosx, e y = 0.

Solução.

O gráfico da região D mostra-se na Figura (3.8), considerando y como variável independente,

temos sen y ≤ cos y ∀ y ∈ [0,π

4]; logo: A(D) =

π4

∫

0

(cos y − sen y) · dy =√

2 − 1.


De outro modo, ao resolver este problema considerando x como variarei independente, temos

que:

A(D) =

√2

2∫

0

arcsenx · dx+

0∫

√2

2

arccosx · dx =√

2 − 1

É evidente que a esta integral é resolvida com a técnica de integração por partes.

Portanto a área da região D mede (√

2 − 1)u2.

Exemplo 3.6.

Achar a área da região D limitada pelos gráficos de y = 4 − x2, y = Ln(2x− 3) e y = 1.

Solução.

O gráfico da região D mostra-se na Figura (3.9); escolhamos y como variável independente,

logo:

A(D) =

1∫

0

[ey + 3

2−

√

4 − y] · dy = [ey

2+

3y

2+

2√

(4 − y)3

3]

∣

∣

∣

∣

1

0

=e

2+ 2

√3 − 13

2

Portanto a área da região D mede [e

2+ 2

√3 − 13

2]u2.

Exemplo 3.7.

Calcular a área da região D limitada pelos gráficos de y =| x3−4x2+x+6 |, 3y+x2 = 0, x = 0

e x = 4.

Solução.


O gráfico da região D mostra-se na Figura (3.10); como | x3 − 4x2 + x+ 6 | = | (x+ 1)(x−2)(x− 3) |, da definição de valor absoluto podemos escrever:

f(x) =

(x+ 1)(x− 2)(x− 3), se x ∈ [0, 2]⋃

[3, 4]

− (x+ 1)(x− 2)(x− 3), se x ∈ (−∞, 0)⋃

(2, 3)⋃

(4, +∞)

logo a área pedida é: A(D) =

4∫

0

[| x3 − 4x2 + x+ 6 | −(− x2

2)] · dx =

=

2∫

0

(x3 − 4x2 + x+ 6) · dx−3

∫

2

(x3 − 4x2 + x+ 6) · dx+

4∫

3

(x3 − 4x2 + x+ 6) · dx+

4∫

0

x2

2· dx =

= (22

3+

7

2+

47

2) +

64

9=

455

18

Portanto, área da região D mede455

18u2.


Exemplo 3.8.

Determine a área da região D do primeiro quadrante, limitada pelas curvas xy = 1, xy =

3, x− xy = 1 e x− xy = 3

Solução.

O gráfico da região D, mostra-se na Figura (3.11).

Calculando os pontos de interseções obtemos: A(2,1

2), B(6,

1

2), N(4,

1

4) e M(4,

3

4).

Logo a área é dada pela integral:

A(D) =

4∫

2

[(1 − 1

x) − 1

x]dx+

6∫

4

[3

x− (1 − 3

x)]dx =


= (2 − Ln4) + [6(Ln3 − Ln2) − 2] = Ln729

256

Portanto, a medida da área da região D, é Ln729

256u2.

Exemplo 3.9.

Achar a área da região D, no primeiro quadrante, limitado pelas curvas y = x2, x2 = 4y e

x+ y = 6.

Solução.

Pelo gráfico das curvas ( Figura (3.12)), podemos observar que a interseção de x+y = 6 com

y = x2 é o ponto (2, a : 4); e o ponto de interseção de x+y = 6 com 4y = x2 é, (2√

7−2, 8−2√

7)

logo a área da região D é dada pela integral:

A(D) =

2∫

0

(x2 − x2

2) · dx+

2√

7−2∫

2

(6 − x− x2

2) · dx = (2 − Ln4) + [6(Ln3 − Ln2) − 2]

= Ln729

256= 2 +

1

3(28

√7 − 68) =

2

3(14

√7 − 31)

Portanto a área da região D mede2

3(14

√7 − 31)u2.


Exemplo 3.10.

A região D limitada pela curva y = 10x− 5x2 e pelo eixo x, é dividida em duas partes iguais

por uma reta que passa pela origem de coordenadas. Determine a equação dessa reta.

Solução.

Quando x = a, na parábola y = 10x − 5x2 temos que y = 10a − 5a2, logo (a, 10a − 5a2) é

um ponto na parábola.

Suponhamos que a reta L (a calcular) passe pelos pontos (0, 0) e (a, 10a− 5a2) então seu

coeficiente angular m é da forma: m =10a− a2

a= 10 − a .

Quando a 6= 0 , a equação da reta L é: L : y − 0 = m(x− 0) = (10 − a)x.


Para o cálculo de x = a, observando a Figura (3.13) temos que:

A(D) =

2∫

0

(10x− 5x2) · dx =20

3

A área de uma das partes é10

3; logo

10

3=

a∫

0

[(10x− 5x2)− (10− 5a)] ·dx =5

6a3 ⇒ a =

3√

4 .

Portanto, a equação da reta é L : y = 5(2 − 3√

4)x.

Exemplo 3.11.

Uma parábola de eixo vertical corta à curva y = x3 + 2 nos pontos (−1, 1) e (1, 3). Sabendo

que as curvas mencionadas limitam uma região de área 2u2. Determine a equação da parábola.

Solução.

O problema tem duas interpretações:


1o No intervalo (−1, 3), o gráfico da parábola, abaixo de y = x3 + 2.

2o No intervalo (−1, 3) a parábola, acima de y = x3 + 2.

Primeiro caso: Considerando y = Ax2 +Bx+C e como os pontos (−1, 1) e (1, 3) pertencem

à parábola, temos 1 = A − B + C e 3 = A + B + C ; sendo a área 2u2 (Figura (3.14)),

segue:

2 =

1∫

−1

(x3 + 2 −Ax2 −Bx− C) · dx = A+ 3C

resolvendo o sistema obtemos,A =3

2, B = 1 e C =

1

2.

Portanto a equação da parábola é: 2y = 3x2 + 2x+ 1.


Segundo caso: Tínhamos 1 = A − B + C e 3 = A + B + C, como por hipóteses a área é 2u2

(Figura (3.15)), segue:

2 =

1∫

−1

(Ax2 +Bx+ C − x3 − 2) · dx

onde obtemos A+ 3C = 9.

Resolvendo o sistema achamos que a equação da parábola 2y = 7 + 2x− 3x2.

Portanto, a equação da parábola é 2y = 7 + 2x− 3x2.

Exemplo 3.12.

Calcular a área, se existe da região infinita compreendida entre a curva (2a − x)y2 = x3 e

sua assíntota vertical , (a > 0)

Solução.

A assíntota vertical da curva é: x = 2. A Figura (3.16) mostra o gráfico da região infinita.

Logo :

A(D) = 2

2a∫

0

√

x3

2a− x· dx = 2 lim

t→2a

t∫

0

√

x3

2a− x· dx =

= 2 limt→2a

a3[3

2arcsen(

x− a

a) − 1

2a2(x− 5a)

√

x(2a− x)]

∣

∣

∣

∣

t

0

=

= 2 limt→2a

a3[3

2arcsen(

t− a

a) − 1

2a2(t− 5a)

√

t(2a− t) − 3π

4] = 2a2(

3π

4+

3π

4) = 3πa2

Portanto, a área mede 3πu2.


Exemplo 3.13.

Dada a região D limitada superiormente por xy = 1, inferiormente por yx2 + y − x = 0 e à

esquerda por x = 1; calcular sua área, caso exista.

Solução.


O gráfico da região D mostra-se na Figura (3.17); sua área caso exista é dada pela integral:

A(D) =

+∞∫

1

(1

x− x

x2 + 1) · dx = 2 lim

t→+∞

t∫

1

(1

x− x

x2 + 1) · dx =

= limt→+∞

1

2Ln(

x2

x2 + 1)

∣

∣

∣

∣

t

1

=1

2lim

t→+∞Ln(

t2

t2 + 1) − Ln(

1

2) = Ln

√2

Portanto a área existe e é Ln√

2 u2.

3.1.2 Comprimento de Arco de uma Curva.

Seja f : [a, b] −→ R uma função com derivada contínua em [a, b]; seja P = x0, x1, x2, x3, · · ·xn

uma partição de [a, b], esta partição define uma poligonal constituída pelos segmentos retilíneos

desde Qi−1(xi−1, f(xi−1)) até Qi(xi, f(xi)) para i = 1, 2, 3, 4, · · · , n como observamos na

Figura (3.18)

Figura 3.18:

O comprimento da poligonal definida pela partição P é:

L(P) =

n∑

i=1

| Qi−1Qi |=n

∑

i=1

√

(xi − xi−1)2 + (f(xi) − f(xi−1))2

Se existe o número lim‖P‖→0

L(P), denotamos L, e recebe o nome de comprimento da curva do

gráfico de f(x) desde o ponto (a, f(a)) até o ponto (b, f(b)).

Propriedade 3.1.

O número L sempre existe.

Demonstração.

Como f é derivável e contínua em [a, b] , em particular o é no intervalo [xi−1, xi], i =

1, 2, 3 : · · · , n; pelo teorema do valor médio para funções contínuas, existe ti ∈ (xi−1, xi) tal que

f(xi)−f(xi−1) = f(ti)(xi−xi−1), i = 1, 2, 3·, n, considerando ∆ix = (xi−xi−1), i = 1, 2, 3, · · · , ntemos que o comprimento da poligonal definida pela partição P é:

L(P) =n

∑

i=1

√

(xi − xi−1)2 + (f(xi) − f(xi−1))2 =


n∑

i=1

√

(∆ix)2 + [f ′(ti]2(∆ix)2 =n

∑

i=1

√

1 + [f ′(ti)]2 · (∆ix)

Logo, L = lim‖P‖→0

L(P) = lim‖P‖→0

n∑

i=1

√

1 + [f ′(ti)]2 · (∆ix) =

b∫

a

√

1 + [f ′(x)]2 · dx.

Observação 3.2.

i) O comprimento da curva x = g(y) compreendida entre as retas y = c e y = d, onde g é função

com derivada contínua em [c, d] é dada por:

L =

d∫

c

√

1 + [g′(y)]2 · dy =

d∫

c

√

1 + [dx

dy]2 · dy

ii) Se a equação de uma curva suave C é dada em forma paramétrica, mediante um par de

funções com derivadas contínuas; isto é C : x = x(t) e y = y(t), t ∈ [α, β] , então o

comprimento da curva é:

L =

β∫

α

√

[

dx

dt

]2

+

[

dy

dt

]2

· dt

iii) Se a equação da curva suave C é dada em coordenadas polares r = r(θ) , com α ≤ θ ≤ β

tem-se:

L =

β∫

α

√

[r(θ)]2 +

[

dr

dθ

]2

· dθ

Exemplo 3.14.

Determine o comprimento da curva C descrita pela equação:

y =√

sec2 x+ 1 − Ln

[

1 +√

sec2 x+ 1

secx

]

desde x =π

4até x =

π

3.

Solução.

Aplicando as regras de derivação temos: y′ = tanx ·√

sec2 x+ 1; logo da fórmula:

L =

π3

∫

π4

√

1 + [y′]2 · dx =

π3

∫

π4

√

1 + [tanx ·√

sec2 x+ 1]2 · dx =

=

π3

∫

π4

(1 + tan2 x) · dx = (√

3 − 1)

unidades lineares.


Portanto o comprimento da curva é (√

3 − 1) u.

Exemplo 3.15.

Determine o comprimento da curva de equação y =1

2x3+x4

16desde x = −2 até x = −1.

Solução.

Como y =1

2x3+x4

16, então y′ =

dy

dx=x3

4− 1

x3, logo:

L =

−1∫

−2

√

1 + [y′]2 · dx =

−1∫

−2

√

1 + [x3

4− 1

x3]2 · dx =

−1∫

−2

1 + x6

4x3· dx =

27

32u

Portanto o comprimento da curva é27

32u.

Exemplo 3.16.

Determine o comprimento de arco da parábola semi-cúbica y2 = x3, desde a origem de coor-

denadas até o ponto (4, 8).

Solução.

Temos y =√x3, y′ =

3

2√x, logo L =

4∫

0

√

1 + [3√x

2]2 ·dx =

4∫

0

√

(1 +9x

4)·dx =

8

27(10

√10−

1).

Portanto o comprimento mede8

27(10

√10 − 1)u.

Exemplo 3.17.

Calcular o comprimento da curva cuja equação é: y =

π2

∫

−π2

√cos t · dt

Solução.

Seja f(x) =

x∫

−π2

√cos t · dt, onde D(f) = [−π

2,π

2], então f ′(x) =

√cosx.

Logo, L =

π2

∫

−π2

√1 + cosx · dx =

π2

∫

−π2

√

2 · cos2(x2) · dx =

√2

π2

∫

−π2

cos2(x

2) · dx = 4.

Portanto o comprimento do arco é 4 u.

Exemplo 3.18.

Determine o comprimento da cardióide r = a(1 − cos θ)

Solução.

O gráfico mostra-se na Figura (3.19), como r = a(1 − cos θ), entãodr

dθ= a · sen θ, logo:

L = 2

π∫

0

√

[a(1 − cos θ)]2 + [a · sen θ]2 · dθ =


= 2a

π∫

0

sen (θ

2) = 2

√2a

Portanto, o comprimento da cardióide mede 2√

2a.


Exemplo 3.19.

Determine o perímetro do triângulo curvilíneo limitado pelo eixo x, e pelas curvas de equações:

y = Ln(cosx) se x ∈ [−π2,π

2] e y = Ln(sen x) se x ∈ [0, π].

Solução.

Observando a Figura (3.20), são vértices do triângulo os pontos O(0, 0), A(π

2, Ln

√2

2) e

B(π

2, 0); lembre que Ln

√2

2é negativo. O perímetro a calcular é: L = OB +OA+AB.

L =π

2+

π4

∫

0

√

1 + tan2 x · dx+

π2

∫

π4

√

1 + cot2 x · dx =

=π

2+ Ln(

√2 + 1) − Ln(

√2 − 1)

O perímetro é P =π

2+ Ln(3 + 2

√2).

Exemplo 3.20.

Determine o comprimento da curva r = sen 3(θ

3) desde θ = 0, até θ =

π

2Solução.

Temos que r′(θ) = sen 2 θ

3· cos θ

3, logo:

L =

π2

∫

0

√

sen 6(θ

6) + [(sen 2(

θ

3) · cos(θ

3)]2 · dθ =


=

π2

∫

0

sen 2(θ

3) · dθ =

π2

∫

0

[1 − cos(2θ

3)] · dθ =

1

8(2π − 3

√3)

O comprimento da curva é1

8(2π − 3

√3) unidades lineares.


Exercícios 3-1

1. Calcular a área da figura limitada pela curva y = x(x− 1)(x− 2) e o eixo x.

2. Calcular a área da figura compreendida entre uma semi-onda da sinusóide y = sen x e o

eixo x.

3. Achar a área da figura compreendida entre a hipérbole xy = m2, as verticais x = a e

x = 3a (a > 0) e o eixo x.

4. Calcular a área da figura limitada pela curva y = x3, a reta y = 8 e o eixo-y.

5. Calcular a área da figura limitada pelas parábola y = 2x− x2 e a reta y = −x.

6. Calcular a área da figura compreendida entre as parábolas y = x2, y = e a reta y = 2x.

7. Achar a área da figura compreendida entre a curva de Agnesi y =1

1 + x2. E a parábola y

=x2

2.

8. Calcular a área da figura limitada pela hipérbolex2

a2+y2

b2= 1 e a reta y = 2a.

9. Determine m de modo que a região acima de y = mx e embaixo da parábola y = 2x− x2

tenha área igual a 36u2.

10. A área da região compreendida entre a parábola y = 12x − 6x2 e o eixo x é dividida em

duas partes iguais por uma reta de passa pela origem. Achar a equação de tal reta.

11. O gráfico de x2 − y2 = 8, divide em três regiões a circunferência x2 + y2 = 16. Determine

a área da cada uma das regiões.

12. Para cada um dos seguintes exercícios, desenhar a região D, e determine a área da mesma,

se D esta limitada pelos gráficos de:

1. y = cosx, x =π

6, x =

π

2e y = 0.

2. y = 2x− 3 + x2, x = −2, x = 0 e y = 0.

3. y = 9 − x2, y = x2 + 1.

4. y =x2 − x

1 + x2, y = 0, x = −1, x = 2.

5. y = 3x− x2, y = x2 − x.

6. x = 0, y = tanx, y =2

3cosx.

7. y = x3 + x, x = 0, y = 2, y = 0.

8. y = Ln(x2), y = Ln4, x = 0.

9. x = ey, x = 0, y = 0, y = Ln4.

10. y = arctanx, y = arccos3x

2, y = 0.


11. y = arcsenx, y = arccosx, x = 1.

12. y = x3 − 3x2 + 2x+ 2, y = 2x2 − 4x+ 2.

13. D é a região de menor área limitada pelas curvas x2 − 2y2 = 0, x2 − 8y = 0, y = 3.

14. y = 4 − Ln(x+ 1), y = Ln(x+ 1), x = 0.

15. D é a região de menor área, limitada pelas curvas x2 + y2 = 20, y2 = 2x3.

16. D é a região interior da elipse b2x2 + a2y2 = a2b2.

17. D é a região de maior área, limitada pelas curvas 5x2 − 4y = 0 e a elipse com focos

nos pontos (0, 6) e (0, −6) e cujo comprimento do eixo menor é 6.

18. y2 − x = 0, y = x3, x+ y = 2.

19. y =

4x− x2

4, se, x ≥ 0

x, se, 0 < x, y =

x2 + 8x− 48

16, se, x > 0

−3x− 3, se, x ≤ 0.

20. y(x2 + 4) = 4(2 − x), y = 0, x = 0.

21. y = x3 + x− 4, y = x, y = 8 − x.

22. y = ex, y = e−x, x = 1.

23. y = 2x+ 2, x = y2 + 1, x = 0, y = 0, x = 2.

24. y =| x− 2 |, x = y2 + 1, x = 0, x = 1, x = 3.

25. y =√x2 − 3, y =| x− 1 |, y = 0.

26. y =| sen x | x ∈ [0, 2π], y + x = 0, x = 2p.

27. y =x2 − 4

x2 − 16, x = −3, x = 3, y = 0.

28. y = arcsenx, y = arccosx, x = 0.

29. y = arcsenx, y = arccosx, y = 0.

30. y + x = 0, y =

x∫

0

f(t) · dt, onde f(x) =

3x2, se, x < 2

2x− 1, se, x > 2.

31. y = tan2 x, y = 0, x =π

3, x = 0.

32. x2y = 2, x+ y = 4, x = 1, x = 2.

33. y = x4, y = 8x.

34. y = x3 − x, y = sen (πx).

35. y = x3 + 3x2 + 2, y = x3 + 6x2 − 25.

36. y = x2, y = 8 − x2, y = 4x+ 12.

37. x = 4y − y2, x+ 2y = 5.

38. y = sec2 x, y = tan2 x, x = 0.

39. y = x2, 2y = x2, y = 2x.

40. y =1

1 + x2, 2y = x2.


13. Determine a área (caso exista) da região ilimitada D.

1. y = sechx, e sua assíntota.

2. y =64

x2 + 16, e sua assíntota.

3. (4 − x2)y2 = x4, e suas assíntotas verticais.

4. y = arctanx, 2y = π, x = 0.

5. y = senh−1x e sua assíntota vertical.

6. y =2 | x |1 + x4

, y = − 4 | x |1 + x4

.

14. Determine a área da figura limitada pela(s):

1. Curva y = Lnx e as retas x = e, x = e2 e o eixo x.

2. Interior à elipsex2

a2+y2

b2= 1.

3. Parábolas y2 = 4x e x2 = 4y.

4. Parábola y = x2 + 2x e a reta y = x+ 2.

5. Curvas y =27

x2 + 9e y =

x2

6.

6. Curvas: y2 = 2px e y2 =4

3(x− p)3, p > 0.

7. Circunferências x2 + y2 = a2, x2 + y2 − 2ay = a2 e a reta y = a.

8. Curvas: y =a3

a2 + x2, y =

a2x

a2 + x2e o eixo y.

9. Parábola (x−a)2 = 2p(y−b) pelo eixo y, e a tangente à mesma no ponto de abscissa

x = c (c > p > 0.

10 Curvas y = ex − 1, y = e2x − 3, x = 0.

11. Parábola y = 3 + 2x− x2 e o eixo x.

12. y = arcsenx, e as retas x = 0, y =π

2.

13. Circunferências x2 + y2 = a2, x2 + y2 + 2ay = a2 a > 0.

14. Curvas (x− 1)(y + 2) = 2 e x+ y = 2.

15. A curva y = Lnx, e sua tangente no ponto x = e; e o eixo x.

15. Para os seguintes exercícios, determine o comprimento de arco da curva descrita pela função

indicada:

1. f(x) = a · Ln(a+

√a2 − x2

x) −

√

a2 − x2, x ∈ [a

6,a

4].

2. f(x) =x4 + 3

6x, x ∈ [1, 3].

3. f(x) =√x−

√x3

3, x ∈ [0, 1].

4. f(x) = −√e2x − 1 − arcsen(ex) − 1, x ∈ [0, 4].


5. f(x) =x3

6+

1

2x, x ∈ [2, 5].

6. f(x) = Ln(−x), x ∈ [−√

8, −√

3]

7. f(x) =1

4arcsenx− x

4

√

1 − x2, x ∈ [0,

√3

2].

8. f(x) =1

2

[

x ·√

x2 − 1 − Ln(x+√

x2 − 1)]

, x ∈ [3, 5].

9. x =3

53√

y5 − 3

43√y, y ∈ [0, 1].

10. y =

√

(9 − 3√x2)3, x ∈ [1, 2].

11. f(x) =1

2x+

3

2arcsen(

√3x

2), x ∈ [0, 1].

12. f(x) = 1 − Ln(cosx), x ∈ [0,π

4].

13. f(x) = arcsen(e−x), x ∈ [0, 1].

14. f(x) = a · cosh(x

a), x ∈ [0, b].

15. x =y2

4− 1

2Lny, y ∈ [1, e].

16. Determine o comprimento do arco das curvas indicadas:

1. O comprimento total da circunferência x2 + y2 = a2.

2. O comprimento total da astróide x = a · cos3 t, y = a · sen 3t.

3. O comprimento do arco da parte direita da “tratriz ” x =√

a2 − y2+a·Ln[a+

√

a2 − y2

y]

desde y = a até y = b onde 0 < a < b.

4. O comprimento da curva 3

√

(x

a)2 + 3

√

(y

b)2 = 1 do primeiro quadrante.

5. O comprimento total da curva de equação: 4(x2 + y2) − a2 = 33√a4 3

√

y2.

6. O comprimento total da curva 8y2 = x2 − x4.

7. O comprimento da curva 9y2 = 3x2 + x3, desde x = −3 até x = 0.

8. O comprimento do arco da parábola semi-cúbica 5y3 = x2 compreendida dentro da

circunferência x2 + y2 = 6.

9. Calcular o perímetro da região de menor área limitada pelos gráficos de y2 = 2x3 e

x2 + y2 = 20.

10. Da curva y =x2

2− Ln

√x, desde x = 2 até x = 3.

11. Da curva y =√x− x2 + arcsen

√x.

12. O comprimento total da curva dada por (y − arcsenx)2 = 1 − x2.

13. O comprimento do arco da curva y2 =2

3(x − 1)3 compreendida dentro da parábola

y2 =x

3.

14. O comprimento do arco da curva dada por x = (t2 − 2)sen t + 2t · cos t, y = (2 −t2) cos t+ 2t · sen t, desde t = 0 até t = π.


3.1.3 Área de Superfície de Revolução.

Seja f : [a, b] −→ R uma função não negativa, com derivada contínua em [a, b]; fazendo

girar y = f(x) no intervalo [a, b], em torno do eixo x, obtemos uma superfície de revolução como

mostra a Figura (3.21). Mostra-se que a área desta superfície é dada pela fórmula:

A(S) = 2π

b∫

a

f(x) ·√

1 + [f ′(x)]2 · dx (3.3)

Figura 3.21:

Observação 3.3.

Se o gráfico da função não negativa é dada na forma paramétrica mediante um par de funções

com derivadas contínuas em [α, β], isto é x = x(t) e y = y(t), t ∈ [a, b] , então a área da superfície

gerada ao girar o gráfico da curva em torno do eixo x é dada por:

A(S) = 2π

β∫

α

y(t) ·√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 · dt

Observação 3.4.

Seja f : [a, b] −→ R uma função não negativa, com derivada contínua em [a, b]; tal que

seu gráfico esta do mesmo lado de uma reta y = c. Fazendo girar y = f(x) no intervalo [a, b],

em torno da reta y = c, obtemos uma superfície de revolução como mostra a Figura (3.22).

Mostra-se que a área desta superfície é dada pela fórmula:

A(S) = 2π

b∫

a

| f(x) − c | ·√

1 + [f ′(x)]2 · dx

Observação 3.5.

Se a equação do arco da curva C é dada por x = g(y) ∀ y ∈ [c, d], onde g é uma função

com derivada contínua em [c, d] e S é a superfície de revolução que se obt em ao girar a curva


Figura 3.22:

C em torno da reta x = a (Figura (3.23) ). A área da superfície S é dada por:

A(S) = 2π

d∫

c

| g(y) − a | ·√

1 + [g′(y)]2 · dy (3.4)

Figura 3.23:

Se a equação de C é dado em forma paramétrica por x = x(t), y = y(t) t ∈ [t1, t2], então

fórmula (3.4) transforma-se em:

A(S) = 2π

t2∫

t1

| x(t) − a | ·√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 · dt (3.5)

Observação 3.6.

Se a equação do arco C é definido em coordenadas polares r = r(θ) , sendo θ ∈ [α, β] e gira

em torno do eixo polar, então a fórmula é:

A(S) = 2π

β∫

α

r · sen θ ·√

[r(θ)]2 + [r′(θ)]2 · dθ

Exemplo 3.21.


Achar a área da superfície de revolução engendrada pela revolução em torno do eixo x, do

arco y = sen 2x desde x = 0 até x =π

2.

Solução.

Obtemos y′ = 2 cos2 x, então, de (3.3) como a área da superfície é A(S) = 2π

b∫

a

f(x) ·

√

1 + [f ′(x))]2 · dx segue que A(S) = 2π

2π∫

0

sen 2x ·√

1 + 4 cos2 2x · dx .

Para o cálculo da integral consideremos t = 2 cos 2x, logo dt = −4sen 2x · dx; quando x = 0

temos t = 2 e quando x =π

2, temos t = −2. Deste modo:

A(S) = 2π

2π∫

0

sen 2x ·√

1 + 4 cos2 2x · dx = 2π

2∫

−2

√

1 + t2(−1

4)dt =

π

2

2∫

−2

√

1 + t2dt =π

2[1

2

√

1 + t2 +1

2Ln(t+

√

1 + t2)]]

2−2

=π

2[2√

5 +1

2Ln(

√5 + 2√5 − 2

)]

Portanto a área da superfície é: A(S) =π

2[2√

5 +1

2Ln(

√5 + 2√5 − 2

)]u2.

Exemplo 3.22.

Calcular a área da superfície formada pela revolução da astróide3√x2 + 3

√

y2 =3√a2 em torno

do eixo x.

Solução.

Figura 3.24:

O gráfico da astróide mostra-se na Figura (3.24).

Temos que:

y′ =3

2

√

3√x2 − 3

√a2(− 2

3

3√x−1) = −

√

3√x2 − 3

√a2

3√x

Por outro lado:

√

√

√

√1 +

√

3√x2 − 3

√a2

3√x

2

=3√a

3√x

.


Assim:

A(S) = (2)2π

a∫

0

√

(3√a2 − 3

√x2)3

3√a

3√x

· dx =

−4π3

2

√

(3√a2 − 3

√x2)5

52

∣

∣

∣

∣

∣

a

0

=12

5π · a2

Portanto a área da superfície é12

5π · a2 · u2.

Exemplo 3.23.

Determine a área da superfície gerada fazendo girar o gráfico da função f(x) =√

24 − 4x, x ∈[3, 6].

Solução.

Temos que f ′(x) =−1√6 − x

, logo:

A(S) = 2π

6∫

3

f(x) ·√

1 + [f ′(x)]2 · dx =

= 2π

6∫

3

√24 − 4x ·

√

1 +1

6 − x· dx = 2π

6∫

3

√7 − x · dx =

56π

3

Portanto a área A(S) =56π

3u2.

Exemplo 3.24.

Calcular a área da superfície formada pela revolução de uma onda da ciclóide x = a(t −sen t), y = a(1 − cos t) em torno do eixo x.

Solução.

Temos, x′ = a(1− cos t), y′ = a · sen t por outro lado, [x′(t)]+[y′(t)]2 = [a(1− cos t)]2 + [a ·

sen t]2 = a2 · 2(1 − cos t) =

2a · sen t

2

2

.

Logo a área, A(S) = 2π

β∫

α

y(t)√

[x′(t)]+[y′(t)]2 · dt =

= 2π

2π∫

0

[a · (1 − cos t) · 2a · sen t

2]dt = 8πa2

2π∫

0

sen 3 t

2· dt =

8π · a2

2π∫

0

(1 − cos2t

2)sen

t

2· dt = −16π · a2(cos

t

2− cos3

t

2)

∣

∣

∣

2π

0=

64

3π · a2

Portanto a área A(S) =64

3π · a2.

Exemplo 3.25.


Determine a área do elipsóide de revolução que se obtém ai girar a elipsex2

s2+y2

42= 1 em

torno do eixo x.

Solução.

Considere y = f(x) =4

5

√

25 − x2, x ∈ [−5, 5], logo a área do elipsóide gerado é: A(S) =

2π

5∫

−5

√

25 − x2 ·√

1 +16

25√

25 − x2· dx =

= 2π(16 +100

3· arcsen3

5)u2

Portanto, área A(S) = 2π(16 +100

3· arcsen3

5)u2.

Exemplo 3.26.

Determine a área de uma superfície formada pela revolução da cardióide r = 2a(1 + cos θ)

em torno do eixo polar.

Solução.

Temos que r′(θ) = −2a · sen θ e r2 + (r′)2 = [2a(1 + cos θ)]2 + [−2a · sen θ]2 = 4a · cos θ2,

logo:

A(S) = 2π

β∫

α

rsen θ ·√

[r(θ)]2 + [r′(θ)]2 · dθ =

π∫

0

2a(1 + cos θ)sen θ · 4a · cos θ2· dθ =

= 64πa2

π∫

0

cos4θ

2· sen θ

2· dθ =

128

5πa2

Exemplo 3.27.

Calcular área da superfície de revolução que se obtém ao girar o arco da curva y = 2 − ex,

desde x = 0 até x = 3 em torno da reta y = 2.

Solução.

Pela Observação (3.4) temos a área

A(S) = 2π

3∫

0

(2 − f(x))√

1 + [f ′(x)]2 · dx =

= 2π ·3

∫

0

ex√

1 + (ex) 2 · dx = π[e3√

1 + e6 −√

2 + Lnex +

√1 + e6√

2 + 1]

Portanto, área A(S) = π[e3√

1 + e6 −√

2 + Lnex +

√1 + e6√

2 + 1]u2.

Exemplo 3.28.


Achar a área da superfície gerada pela revolução, em torno do eixo y do arco da curva y =1

4[x2 − 2Lnx], x ∈ [1, 4].

Solução.

Representando na forma paramétrica a curva temos: x(t) = t, y(t) =1

4[t2 − 2Ln(t)], t ∈

[1, 4] onde x′(t) = 1 e y′(t) =1

2(t− 1

t).

Pela fórmula (3.5) segue:

A(S) = 2π

4∫

1

x(t)√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 · dt = 2π

4∫

1

t ·√

[1]2 + [1

2(t− 1

t)]2 · dt =

= π

4∫

1

t(t+1

t) · dt = 24πu2

Portanto, a área pedida mede 24π unidades quadradas.


Exercícios 3-2

1. No tempo t, uma partícula encontra-se no ponto P (cos t+ t · sen t, sen t− t · cos t). Achar

a distância recorrida desde o tempo t = 1 até o instante t = π.

2. No instante t, a posição de uma partícula é x = 1 + arctan t, y = 1 − Ln√

1 + t2. Achar o

recorrido desde o instante t = 0 até t = 2π.

3. Para cada um dos seguintes exercícios, achar a área da superfície de revolução que se obtém

ao girar em torno do eixo-x, a curva dada por:

1. y = 2 cosh(x

2) desde x = 0 até x = 2.

2. y = x3 desde x = 0 até x =1

2.

3. b2x2 + a2y2 = a2b2.

4. x = t− sen t, y = 1 − cos t, (área engendrada pela revolução de um arco).

5. f(x) =1

3x3, x ∈ [0, 2].

6. f(x) = cosx, x ∈ [−π2,π

2].

7. Um laço da curva 8a2y2 = a2x2 − x4.

8. 6a2xy = x4 + 3a4 desde x = a até x = 2a.

9. y2 + 4x = 2Lny desde y = 1 até y = 2.

10. x = a · cos3 t, y = a · sen 3t.

11. x = et · sen t, y = et · cos t de t = 0 até t =π

2.

12. y = e−x, x ≥ 0.

13. x = a[cos t+ Ln(tant

2)], y = a · sen t.

14. y = tanx desde (0, 0) até (π

4, 1).

15. O laço da curva 9ay2 = x(3a− x)2.

16. x2 + (y − b)2 = a2, 0 < a < b (toro de revolução)

17. y =x3

6+

1

2x, x ∈ [1, 3].

18. y = 2x, x ∈ [0, 2].

19. y2 = 4ax desde x = 0 até x = 3a.

20. y = x43, x ∈ [1, 8].

4. Achar a área a superfície gerada pela rotação em torno do eixo-y, de cada uma das seguintes

curvas:

1. x = y3, y ∈ [0, 3].

2. 6a2xy = x4 + 3a4, desde x = a até x = 2a.


3. 2y = x√x2 − 1 + Ln(x−

√x2 − 1), x ∈ [2, 5].

4. x2 + 4y2 = 16.

5. y = x3, x ∈ [1, 2].

6. y =3√x4, x ∈ [1, 8].

5. Achar a área da superfície de revolução formada quando, a curva indicada gira em torno

do eixo dado.

1. y =√x3, x ∈ [1, 8] em torno de y = 1.

2. y =x3

3+

1

4x, x ∈ [1, 2] , em torno de y = 1.

3. y = x3, x ∈ [1, 2] em torno de y = −1.

4. y = Ln(x− 1), x ∈ [2, 1 + e2], em torno de x = 1.

5. y = 4 + ex, x ∈ [0, 1] em torno de y = 4.

6. y = 2x, x ∈ [0, 2] em torno de y = −1.

6. Achar a área da superfície (chamada catenóide) engendrada pela de revolução do arco da

catenária 2y = cosh 2x, 0 ≤ x ≤ 3, em torno do eixo-x.

7. Determine a área da superfície da elipsóide formada pela revolução da elipse 4x2 + y2 = 4

em torno do eixo-x.

8. Determine a área da superfície formada pela revolução em torno do eixo-x do arco da curva

3y = x3 compreendida entre x = −1 e x = 1.

9. Mostre que o comprimento do arco da espiral logarítmica r = emθ é L = r ·√

1 +m2

m+

C, onde C depende da origem do arco. Se consideramos este ponto como a origem de

coordenadas, mostre que L =

√1 +m2

m.

10. Determine o comprimento da curva y = 2√

2[√x+ 1 +

√1 − x].

11. Determine o comprimento da espiral de Arquimedes r = a · θ desde a origem até a ponto

A(θ = 2π).

12. Calcular o arco da curva x = f ′ · sen θ + f” · cos θ, y = f ′ · cos θ − f” · sen θ, onde f(q)

designa uma função dada.

13. A curva y = Lnx corta o eixo x em a. Determine o comprimento da curva AM , sendo M

o ponto de abscissa x.

14. Seja f contínua no intervalo [0, 1] ∀ t > 0, e suponha que existem constantes M > 0 e

γ > 0 tais que, ∀ t ∈ 0 | f(t) |≤M · rγt. Mostre que

+∞∫

0

e−stf(t) ·dt é convergente para

s > g.


3.1.4 Volume de um Corpo.

Definição 3.1.

O sólido de revolução obtém-se ao girar uma região plana em torno de uma reta fixa contida

no plano da região. A reta fixa é chamada eixo de revolução.

Existem alguns métodos que permitem calcular o volume do sólido.

3.1.4.1 Método das áreas transversais.

Seja S o sólido limitado no espaço; sob certas condições é possível calcular o volume V (S)

deste sólido.

Figura 3.25:

Denotemos Sx0 a seção plana do sólido

S determinado ao traçar um plano perpen-

dicular a um eixo (por exemplo ao eixo x)

no ponto x0, como se observa na Figura

(3.25).

Suponhamos que existe um intervalo

[a, b] tal que S =⋃

x∈[a, b]

Sx e que ∀x ∈

[a, b], a seção plana Sx tem área con-

hecida A(Sx), de modo que a função x ∈[a, b] → A(Sx), seja contínua, logo temos:

V (S) =b∫

aA(Sx) · dx unidades cúbicas.

Exemplo 3.29.

Figura 3.26:

A base de um sólido é a região limitada pela elipse

b2x2+a2y2 = a2b2. Achar o volume do sólido S supondo

que as seções transversais perpendiculares ao eixo x são:

a) Triângulos retângulos isósceles, cada um de eles com

hipotenusa sobre o plano xy.

b) Quadrados.

c) Triângulos de altura 2.

Solução. a)

Um esboço do gráfico do sólido mostra-se na Figura

(3.26).

O sólido é descrito pela união dos Sx, x ∈ [−a, a], onde Sx é o triângulo retângulo isósceles

de área A(Sx) = y2 =b2

a2(a2 − x2).

Logo, V (S) =

a∫

−a

b2

a2(a2 − x2) · dx =

4

3ab2 u3 (unidades cúbicas)

Solução. b)


Se, as seções transversais são quadrados como mostra a Figura (3.27).

O sólido é descrito pela união dos Sx, x ∈ [−a, a], onde Sx é um quadrado de lado 2y =2b

a

√

a2 − x2, logo a área de cada quadrado é: A(Sx) = 4b2

a2(a2 − x2), e, o volume, V (S) =

a∫

−a

4b2

a2(a2 − x2) · dx =

16

3ab2u3.

Solução. c)


Se o sólido é descrito pela união dos Sx, x ∈ [−a, a], onde Sx é o triângulo de altura 2 e

base 2y =2b

a

√

a2 − x2 (Figura (3.28)), então a área de cada triângulo é: A(Sx) =4b

a

√

a2 − x2

e o volume é V (S) =

a∫

−a

4b

a

√

a2 − x2 · dx = πabu3.

Exemplo 3.30.

Uma reta movimenta-se paralelamente ao plano y0z cortando as elipses: b2x2 + a2y2 = a2b2

e c2x2 + a2y2 = a2c2, que se encontram nos planos x0y e x0z respectivamente.

Figura 3.29:

Calcular o volume do corpo assim engendrado.

Solução.

Neste sólido, as seções transversais Sx são losangos

de diagonais 2y e 2z como mostra a Figura (3.29); logo

a área de cada um deles é A(Sx) = 2zy, como y =b

a

√

a2 − x2 e z =c

a

√

a2 − x2 quando x ∈ [−a, a],

então A(Sx) = 2bc

a2(a2 − x2) quando x ∈ [−a, a].

O volume procurado é V (S) = 2bc

a2

a∫

−a

(a2−x2)·dx =

8

3abc · u3.

3.1.4.2 Método do disco circular e do anel circular.

Seja f : [a, b] −→ R uma função contínua em [a, b] e S o sólido de revolução obtido pela

rotação em torno do eixo x, da região plana D limitada pela curva y = f(x), o eixo x e as retas


x = a e x = b (Figura (3.30)).


Observe que a região transversal Sx , (Figura (3.31)), obtida pela interseção do sólido S com

o plano perpendicular ao eixo x, que passa por x ∈ [a, b] é um círculo de raio | y |=| f(x) | (disco

circular), temos: A(Sx) = πy2 = π[f(x)]2, x ∈ [a, b]

Logo pelo método das seções transversais, o volume do corpo S é dado pela expressão:

V (S) = π

b∫

a

[f(x)]2 · dx.

Observação 3.7.

Seja g função contínua em [c, d] , e S o sólido obtido pela rotação em torno do eixo y, da

região plana D limitada pela curva x = g(y), o eixo y e as retas y = c e y = d (Figura (3.32)).

O volume do sólido S é dado pela expressão: V (S) = π

d∫

c

[g(y)]2 · dyu3.


Observação 3.8.

Sejam f e g : [a, b] −→ R funções contínuas cujos gráficos encontram-se de um mesmo lado

do eixo x, e | g(x) | ≤ | f(x) | ∀ x ∈ [a, b].

Seja S o sólido de revolução obtido pela rotação em torno do eixo x da região D limitada

pelas curvas y = f(x), y = g(x) e as retas verticais x = a e x = b como se mostra na Figura

(3.33).


Como a seção transversal Sx, é obtida pela interseção de S com o plano perpendicular ao

eixo x que passa por x ∈ [a, b] é um anel circular, temos: A(Sx) = π[f(x)]2 − [g(x)]2, x ∈ [a, b];

logo o volume é dada pela expressão: V (S) = π

b∫

a

[f(x)]2 − [g(x)]2 · dx.

Uma regra prática para lembrar esta fórmula é:

V (S) = π

b∫

a

R2 − r2 · dx (3.6)

onde R é o raio do círculo maior e r é o raio do círculo menor; se r = 0 a fórmula que se obtém

é pelo método do disco.

Observação 3.9.

Sejam f e g : [a, b] −→ R funções contínuas cujos gráficos encontram-se de um mesmo lado

de uma reta y = c, e | g(x) − c | ≤ | f(x) − c | ∀ x ∈ [a, b].

Figura 3.34:

Seja S o sólido de revolução obtido pela rotação em

torno da reta y = c da região D limitada pelas curvas

y = f(x), y = g(x) e as retas verticais x = a e x = b

como mostra a Figura (3.34), então o volume do sólido

é:

V (S) = π

b∫

a

[f(x) − c]2 − [g(x) − c]2 · dx

Observação 3.10.

Sejam f e g : [c, d] −→ R funções contínuas cujos

gráficos encontram-se de um mesmo lado de uma reta

x = a, e | g(y) − a | ≤ | f(y) − a | ∀ x ∈ [c, d].

Seja S o sólido de revolução obtido pela rotação em torno da reta x = a da região D limitada

pelas curvas x = f(y), x = g(y) e as retas verticais y = c e y = d, então o volume do sólido é:

V (S) = πd∫

c[f(y) − a]2 − [g(y) − a]2 · dy.

Exemplo 3.31.

Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da região D limitada

pelas retas x = 0, x = 1, y = 1 e a curva y = ex.

Solução.

O gráfico da região D mostra-se na Figura (3.35). Aplicando o método do disco temos

V = π

1∫

0

e2x · dx =π

3(e3 − 1)u3.

Portanto, o volume do sólido medeπ

2(e3 − 1)u3.



Exemplo 3.32.

A região limitada pelos gráficos de y = arcsenx, y = 0, x = −1, gira em torno do eixo y.

Calcular o volume do sólido engendrado.

Solução.

Sendo o eixo de rotação, o eixo y, consideramos x como variável dependente. O gráfico

da região mostra-se na Figura (3.36). Como x = −1 e x = sen y aplicando a fórmula (3.5),

consideramos R = 1 e r = −sen y; logo o volume é: V = π

0∫

− π2

(12 − sen 2y) · dy =π(π + 0)

4.

Portanto, o volume medeπ2

4u3.

Exemplo 3.33.

A região limitada pelos gráficos de y = x2, y =√x, x = 2 gira em torno do eixo x. Calcular

o volume do sólido.

Solução.

O gráfico da região mostra-se na Figura (3.37); pelo gráfico da região a girar em torno do eixo

x temos: V = π1

∫

0

[(√x)2−(x2)2]·dx+

2∫

1

[(x2)2−(√x)2]·dx = π

1∫

0

(x−x4)·dx+

2∫

1

(x4−x)·dx =

3π

10+

47π

10.

Portanto o volume do sólido engendrado pela rotação é 5πu3.

Exemplo 3.34.

A região limitada pela elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 sendo 0 < b < a, gira em torno de seu eixo

maior. Determine o volume do sólido engendrado.

Solução.

Observe na Figura (3.38) que a elipse é simétrica respeito de seu eixo maior; podemos con-

siderar o sólido gerado pela região sombreada.

Logo, V = π

a∫

−a

b2

a2(a2 − x2) · dx =

4π

3ab.


Figura 3.37:

-

6

?

x

y

−a a

b

−b

Figura 3.38:

Portanto o volume mede4π

3abu3.

Exemplo 3.35.

Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x, da região

infinita compreendida entre a curva y = 0, y3√x2 = 1, e x ≥ 1.

Solução.

O gráfico da região mostra-se na Figura (3.39), logo temos que:

V = π

∞∫

1

(1

3√x2

)2 · dx = π

∞∫

1

x−34 · dx = 3π

Portanto o volume mede 3πu3.

Figura 3.39:


Exercícios 3-3

1. A base de um sólido é um círculo da raio r. Todas as seções transversais do sólido,

perpendiculares a um diâmetro fixo da base são quadrados. Determine o volume do sólido.

2. Um sólido tem, como base um círculo de raio r = 1 e sua intersecções com planos perpen-

diculares a um diâmetro fixo da base são triângulos retângulos isósceles cujas hipotenusas

são as respectivas cordas dos círculos. Determine o volume do sólido.

3. Achar o volume do sólido S que é a parte comum aos cilindros circulares retos de raio r,

supondo que seus eixos cortam-se perpendicularmente.

4. A base de um sólido é uma elipse cujos eixos medem 20 e 10 unidades. A interseção desse

sólido com um plano perpendicular ao eixo maior da elipse é um quadrado. Calcular o

volume do sólido.

5. Achar o volume do sólido S, cuja base é um círculo de raio 3 e cujas seções planas perpen-

diculares a um diâmetro fixo são triângulos equiláteros.

6. A base de um sólido é a região entre as parábolas x = y2 e x = 3 − 2y2. Achar o volume

do sólido se as seções transversais perpendiculares ao eixo x são quadrados.

7. Um cilindro circular reto de raio r é cortado por um plano que passa por um diâmetro da

base sob um ângulo a respeito do plano da base. Achar o volume da parte separada.

8. Para cada um dos seguintes exercícios, calcular o volume do sólido gerado pela rotação da

região D, em torno da reta L indicada:

1. L : eixo x; D : limitado pelos gráficos de y = x2 e y = 4x.

2. L : y = 0; D : y = (x− 1)−3, x = −1, x = 0 e y = 0.

3. L : y = 0; D : y = x3 − 5x2 + 8x− 4 e y = 0.

4. L : y = 0; D : x2 + (y − 3)2 = 1.

5. L : eixo x; D : x2 + y2 − 2by + b2 − c2 = 0, b > c > 0.

6. L : eixo x; D : y =sen x

1 − cosx, x =

π

2e x =

2π

3.

7. L : eixo x; D : y = exsen (ex), x = 0 e x = Ln(π

4).

8. L : y = 4, D : y2 = 4(2 − x) e x = 0.

9. L : eixo x; D : y = sen x, y = 0, x = 0 e x =π

2.

10. L : x = 4; D : x2 + y2 = 1.

11. L : x = −2; D : y2 = x e x2 = y.

12. L : y = −1; D : y = arccosx, y = arcsenx e x = 1.

13. L : x = 0; D : y2 = x2 + 10, x = 3, x = 4 e y ≥ 0.


14. L : x = 0; D : y = cosx, y = 0, x = 0 e x =π

2.

15. L : y = 0, D : y =√x− 1√

x, x = 1, x = 4 e y = 0.

16. L : y = 0; D : y = 0, y = 2, x = 0 e x =√

y2 + 4 .

17. L : y = −1; D : y = arcsenx, y = 0 e x =π

2.

18. L : y = −1; D : y =√x2 − 3, y = x− 1 e y = 0.

19. L : x = 0; D : y =1

cosx2, x = 0, x =

√

π

4e y = 0.

20. L : x = 0; D : y = x3 + x, x = 1 e x = 0.

21. L: x = 1; D : y =| x2 − 2x− 3 |, y + 1 = 0, x = 2 e x = 4.

22. L : y = 0; D : y = x+ 2 e y2 − 3y = 2x.

23. L : eixo y ; D : y =| sen x |, 2x = π, 2x = 3π e y = 0.

24. L : y = 0; D : y =√

4 − x2, y = 1, x = 0 e x =√

3.

9. O triângulo de vértices O(0, 0), A(a, b) e B(0, b) gira em torno do eixo y. Achar o volume

obtido.

10. A base de um sólido é um círculo de raio 3. Todo plano perpendicular a um diâmetro

intercepta ao sólido em um quadrado que tem um lado na base do sólido. Calcular o

volume do sólido.

11. A base de um sólido é a região limitada por y = 1− x2, y = 1− x4. As seções transversais

do sólido determinadas pelos planos perpendiculares ao eixo x são quadrados. Achar o

volume do sólido.

12. Em um certo sólido, as seções transversais perpendiculares ao eixo y são círculos cujos

diâmetros estendem-se sobre a curva x =√y e a reta x = y. Calcular seu volume.

13. A base de um sólido é um círculo limitado por x2 + y2 = 25, e as seções transversais

perpendiculares ao eixo y são triângulos equiláteros. Calcular seu volume.

14. Um cilindro reto cuja base é uma elipse esta cortada por um plano inclinado que passa pelo

eixo maior da elipse. Calcular o volume do corpo engendrado, sabendo que o comprimento

do eixo menor da elipse é 8 e o compreendo do semi-eixo maior é 10.


3.2 Aplicações à Mecânica e Física

3.2.1 Momentos e Centro de Massa.

O momento de massa de uma partícula respeito a uma reta L define-se como o produto de

sua massa vezes sua distância perpendicular à reta L; logo, se m é a massa da partícula e d a

distância à reta L (Figura (4.3)) o momento da partícula respeito à reta L é dado por ML = md.

L

m

SS

SS

dSS

Figura 3.40:

-

6

?

(x, y)· · · · · · · · ·............0 X

Y

x

y

Figura 3.41:

É conveniente considerar a partícula localizada num sistema de coordenadas e determinar o

momento da partícula respeito a um eixo de coordenadas (ou a uma reta paralela a um eixo);

neste caso utilizamos distâncias dirigidas, logo o momento poderá ser positivo, negativo ou nulo,

segundo a posição da partícula.

Por exemplo, se a partícula da massa esta no ponto (x, y) (Figura (3.41)) então os momentos

Mx e My respeito dos eixos x e y respectivamente são Mx = m.y e My = m.x.

Se um sistema (conjunto) de n partículas com massas m1, m2, m3, m4, · · · ,mn estão situados

nos pontos (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), · · · (xn, yn) respectivamente, os momentos Mx e My do

sistema de n partículas define-se como:

Mx =n

∑

i=1

mi · yi e My =n

∑

i=1

mi · xi (3.7)

O centro de massa ou centro de gravidade de um sistema de n partículas é um ponto P (x, y)

tal que, supondo que a massa total do sistema esta situado no ponto P , os momentos de P e do

sistema coincidam.

Consideremos o sistema de n partículas com massas m1, m2, m3, m4, ·mn situados nos pontos

(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), · · · , (xn, yn) respectivamente, se P (x, y) é o centro de gravidade do

sistema e a massa total dos sistema é m =n∑

i=1mi, os momentos Mx e My de P estão dados por

Mx = m · y e My = m · x.Considerando a fórmula (3.6) verificamos que

Mx =n

∑

i=1

mi · yi = m · y e My =n

∑

i=1

mi · xi = m · x


onde x =

n∑

i=1mi · xi

me y =

n∑

i=1mi · yi

m.

Portanto, se Mx e My são os momentos de um sistema de partículas respeito dos eixos x e

y respectivamente e P (x, y) o centro de gravidade ou centro de massa do sistema, então:

x =My

me y =

Mx

m(3.8)

Exemplo 3.36.

Quatro partículas encontram-se nos pontos P1(−1, −2), P2(1, 3), P3(0, 5) e P4(2, 1) e suas

massas são m1 = 2, m2 = 3, m3 = 3 e m4 = 4 respectivamente; determine o centro de gravidade

do sistema formado por essas quatro partículas.

Solução.

Temos Mx = 2(−2) + 3(3) + 3(5) + 4(1) = 24; My = 2(−1) + 3(1) + 3(0) + 4(2) = 9 e como

m = 2 + 3 + 3 + 4 = 12 resulta da fórmula (3.7):

x =My

m=

9

12e y =

Mx

m=

24

12= 2

Portanto, o centro de gravidade esta em P (9

12, 2)

3.2.1.1 Momentos e centro de massa de regiões planas.

Devemos considerar o seguinte:

i) Uma lâmina é chamada homogênea se duas partes dela da mesma área tem pesos iguais.

ii) A densidade ρ de uma lâmina é a massa de uma unidade quadrada de lâmina. Se uma lâmina

é homogênea, então sua densidade (de área) ρ é constante e se A é a área de tal lâmina,

então sua massa é m = ρ ·A.

iii) O centro de massa de uma lâmina homogênea, podemos pensar como o ponto de equilíbrio

dessa lâmina, e; se esta tem um centro geométrico, este ponto será o centro de massa ou

centro de gravidade .

Por exemplo o centro de massa de uma lâmina circular homogênea é o centro do círculo;

de uma lâmina retangular homogênea é o ponto de interseção das diagonais. Define-se

o momento de uma lâmina de massa m, respeito a uma reta, como o momento de uma

partícula de massa situado no centro da lâmina.

iv) Se uma lâmina cortamos a várias partes, o momento da lâmina é a soma dos momentos

dessas partes.

Exemplo 3.37.

Determine o centro de massa de uma lâmina homogênea de densidade ρ, da Figura (3.42);

as medidas estão em centímetros.

Solução.


A área total da lâmina é 93cm2, está formada por três retângulos.

Considerando os eixos coordenados como indica a figura, os centros de massa de cada dos

retângulos R1, R2 e R3 são: (13

2,

21

2), (5, 6) e (8,

3

2) respectivamente. Logo:

Mx = (21ρ)(21

2) + (60ρ)(6) + (12ρ)(

3

2) =

1197

2ρ

My = (21ρ)(13

2) + (60ρ)(5) + (12ρ)(8) =

1065

2ρ.

Portanto, o centro de massa (x, y) é dado por: x =My

m=

10652 ρ

93ρ= 5, 72 · · · e y =

Mx

m=

11972 ρ

93ρ= 6, 43 · · ·

-

6

?

· · · · · · ·R1

7

R2 12

0

Y

X

3

6

6

R3

4

· · · ·


Observação 3.11.

Seja D uma lâmina homogênea com densidade constante ρ; suponhamos que D seja a região

limitada pelos gráficos de y = f(x), y = g(x), x = a e x = b;, onde f e g são funções contínuas

em [a, b] e g(x) ≤ f(x) ∀ x ∈ [a, b]. Consideremos uma partição P = x1, x2, x3, x4, ·xn de

[a, b] e ci o ponto médio de [xi−1, xi], então temos que: mi = ρ[f(ci) − g(ci)] · ∆ix é a massa

do i-ésimo retângulo (Figura (3.43)), onde ∆ix = [xi−1, xi].

O centro de gravidade de cada i-ésimo retângulo encontra-se no ponto (ci,f(ci) + g(ci)

2);

substituindo cada retângulo por um ponto material e localizado a massa de cada retângulo em

seu centro de gravidade obtemos que os momentos dos n retângulos, determinados pela partição,

respeito dos eixos x e y são:

Mx =n

∑

i=1

mi · yi =n

∑

i=1

ρ[f(ci) − g(ci)] · ∆ix

f(ci) + g(ci)

2

My =n

∑

i=1

mi · xi =n

∑

i=1

ρ[f(ci) − g(ci)] · ∆ix · xi

Logo, o centro de gravidade (x, y) está aproximadamente no centro de gravidade dos retân-

gulos determinados pela partição; isto é:


x ≈ My

m=

ρn∑

i=1xi · [f(ci) − g(ci)] · ∆ix

ρn∑

i=1·[f(ci) − g(ci)] · ∆ix

y ≈ Mx

m=

1

2·ρ

n∑

i=1[f(ci)]

2 − [g(ci)]2 · ∆ix

ρn∑

i=1·[f(ci) − g(ci)] · ∆ix

no limite quando ‖ P ‖→ 0 obtemos que as coordenadas do centro de gravidade estão dadas por:

x =My

m=

b∫

ax · [f(x) − g(x)] · dxb∫

a·[f(x) − g(x)] · dx

e y =1

2·

b∫

a[f(x)]2 − [g(x)]2 · dx

b∫

a·[f(x) − g(x)] · dx

Como podemos observar, as coordenadas do centro de massa de uma lâmina homogênea não

dependem de sua densidade ρ; só depende de sua forma. O centro de, massa de uma lâmina

homogênea é também chamado de centro de gravidade ou centróide, reservando o término centro

de massa para um sólido.

Observação 3.12.

i) Se a região plana F é simétrica com respeito à reta x = x0, então x = x0.

ii) Se a região plana F é simétrica com respeito à reta y = y0, então y = y0.

Observação 3.13.

Se a região plana D está limitada pelos gráficos de x = f(y), x = g(y), y = c e y = d onde

f e g são funções contínuas em [c, d] e g(y) ≤ f(y) ∀ y ∈ [c, d], o centro de gravidade (x, y)

está dado por:

x =1

2·

d∫

c[f(y)]2 − [g(y)]2 · dy

d∫

c[f(y) − g(y)] · dy

e y =

d∫

cy · [f(y) − g(y)] · dyd∫

c[f(y) − g(y)] · dy

Exemplo 3.38.

Determine o centróide da região limitada pelas curvas y = x3, y = 4x no primeiro quadrante.

Solução.

A região limitada pelas curvas dadas mostra-se na Figura (3.44).

Temos A(D) =

2∫

0

(4x− x3)dx = 4


My =

2∫

0

x[f(x) − g(x)] · dx =

2∫

0

x(4x− x3)dx =64

15

Mx =1

2

2∫

0

[f(x)]2 − [g(x)]2 · dx =1

2

2∫

0

(16x2 − x6) · dx =256

21

Logo, x =My

m=

6415

4=

16

15e y =

Mx

m=

25621

4=

64

21.

Portanto o centróide está no ponto P (16

15,

64

21).


Exemplo 3.39.

Determine o centro de gravidade da região D limitada pelas curvas x2−8y = 0, x2+16y = 24.

Solução.

Como a região D é simétrica respeito do eixo y, (Figura (3.45)) temos que x = 0.

Por outro lado, sua área é:

A =

√8

∫

−√

8

[24 − x2

16− x2

8] · dx = 4

√2

Mx =1

2

√8

∫

−√

8

[24 − x2

16]2 − [

x2

8]2

dx =16√

2

5

então y =Mx

m=

4

5.

Portanto, o centro de gravidade é (0,4

5).

Exemplo 3.40.

Achar o centróide da região limitada pelas curvas x = 2y − y2, x = 0.

Solução.

Observando a Figura (3.46), deduzimos que a região é simétrica à reta y = 1; logo y = 1.


Aplicando as fórmulas dadas na Observação (3.13) tem-se:

x =1

2

2∫

0

(2y − y2)2dx

2∫

0

(2y − y2)dy

=81543

=2

5

Portanto, P (2

5, 1) é o centróide.


Exemplo 3.41.

Determine o centro de gravidade da região plana limitada pelas curvas: y = f(x), y =

−x2, x = −1 e x = 2 onde:

f(x) =

1 − x, se; x ≤ 0

x3 + 1, se, x > 0

Solução.

A região D mostra-se na Figura (3.47); sua área é:

A =

0∫

−1

(1 − x− x2)dx+

2∫

0

(x2 + 1 + x2)dx =11

6+

21

3=

53

6

Mx =1

2

0∫

−1

[(1 − x)2 − x4]dx+1

2

2∫

0

[(x2 + 1)2 − x4]dx =16

15+

11

3=

71

15

My =

0∫

−1

x(1 − x+ x2)dx+

2∫

0

x(x2 + 1 + x2)dx = −13

12+ 10 =

107

12

Logo x =10712536

e y =7115536

, onde o centróide é P (107

6,

142

265)


Teorema 3.1. Teorema de Pappus para volumes.

Se, um sólido S é obtido ao fazer girar uma região plana D em torno de uma reta do mesmo

plano, que seja não secante à região D, então o volume de S é igual à área da região D multi-

plicada por 2πr, sendo r o raio da circunferência descrita pelo centro de gravidade da região D;

isto é: V = 2πr ·A. Onde A é a área da região D.

A demonstração deste teorema é exercício para o leitor.


Exemplo 3.42.

Calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região D, limitada pela parábola y = x2

e a reta y = x+ 2 em torno desta última.

Solução.

Determinemos o centro de gravidade da região D que mostramos na Figura (3.49).

Temos A =

2∫

−1

(x+ 2 − x2)dx =9

2; os momentos são:

My =

2∫

−1

x(x+ 2 − x2)dx =9

4

Mx =1

2

2∫

−1

[(x+ 2)2 − (x2)2]dx =36

5

Logo, x =My

m=

1

2y =

Mx

m=

8

5, e o centro de gravidade é o ponto P (

1

2,

8

5).

Sabe-se que a distância do ponto P à reta y = x + 2, é dada pela fórmula r =x− y + 2√

1 + 1=

9√

2

20; assim o volume do sólido S é V = 2πr.A = 2π

9√

2

20· 9

2=

81√

2

20πu3.

Exemplo 3.43.

A região D, limitada pelos gráficos de y = x2, y = 5 gira em torno de uma reta oblíqua que

passa pelo ponto A(1, 0). Determine a equação dessa reta, quando; o volume do sólido gerado é


40π u3.

Solução.

O gráfico da região D ilustra-se na Figura (3.50). Como a região é simétrica ao eixo y então

x = 0.

Figura 3.50:

Por outro lado, A =

√2

∫

−√

2

(5 − x2)dx =20√

5

3e Mx

1

2

√2

∫

−√

2

[52 − (x2)2]dx = 20√

5.

Logo y =Mx

m= 3, o centro de gravidade encontra-se no ponto P (0, 3).

Considerando que a área da região D é A =20√

5

3e como dado do problema temos o volume

V = 40√

5π = 2πr ·A = 2πr · 20√

5

3, então r = 3.

Se m é o coeficiente angular da reta L (eixo de rotação), sua equação é dada por y − 0 =

m(x− 1) ou mx− y −m = 0 logo:

3 =| mx− y −m |√

m2 + 1=

| −3 −m |√m2 + 1

onde m = 0 ou m =3

4; sendo a reta oblíqua seu coeficiente é m =

3

4.

Portanto a equação da reta é 3x− 4y − 3 = 0.

3.2.1.2 Momentos e centro de massa das curvas planas.

Se o arco de uma curva vem dada pela função y = f(x) a ≤ x ≤ b, e tem densidade

ρ = ρ(x), os momentos estáticos de tal arco Mx e My respeito dos eixos coordenados Ox e Oy

são:

Mx =

b∫

a

ρ(x)f(x)√

1 + [f ′(x)]2 · dx My =

b∫

a

ρ(x) · x ·√

1 + [f ′(x)]2dx

Os momentos de inércia Ix e Iy respeito dos eixos coordenados Ox e Oy calculam-se mediante

as fórmulas:

Ix =

b∫

a

ρ(x)[f(x)]2√

1 + [f ′(x)]2 · dx Iy =

b∫

a

ρ(x) · x2 ·√

1 + [f ′(x)]2dx


As coordenadas do centro de massa x e y estão dadas segundo as fórmulas:

x =My

L =1

L

b∫

a

ρ(x)f(x)√

1 + [f ′(x)]2 · dx e y =Mx

L =1

L

b∫

a

ρ(x) · x ·√

1 + [f ′(x)]2dx

onde L é a massa do arco; isto é L =

b∫

a

ρ(x)√

1 + [f ′(x)]2 · dx.

Exemplo 3.44.

Determine os momentos estáticos e os momentos de inércia respeito dos eixos Ox e Oy do

arco da catenária y = coshx, para 0 ≤ x ≤ 1.

Solução.

Temos y = coshx, logody

dx= senhx,

√

1 + (y′)2 =√

1 + senh2x = coshx.

Logo Mx =

1∫

0

cosh2 x · dx =1

2

1∫

0

(1 + cosh 2x)dx =1

4(2 + senh2) , e My =

1∫

0

x · coshx · dx =

senh1 − cosh 1 + 1.

Ix =

1∫

0

cosh3 x · dx =

1∫

0

(1 + senh2x) coshx · dx = senh1 +senh31

3

Iy =

1∫

0

x2 coshx · dx = 3senh1 − 2 cosh 1

Portanto, Mx =1

4(2 + senh2), My = senh1 − cosh 1 + 1, Ix = senh1 +

senh31

3e Iy =

3senh1 − 2 cosh 1.

Exemplo 3.45.

Determine as coordenadas do centro de massa do arco da circunferência x = a · cos t, y =

a · sen t situado no primeiro quadrante.

Solução.

Temos que o comprimento é L =1

4(2πa) =

πa

2, 0 ≤ t ≤ π

2, x′ = −a · sen t, y′ =

a · cos t,√

(x′)2 + (y′)2 =√

a2sen t + a2 cos2 t = a.

Logo, Mx = a2 =

π2

∫

0

cos t · dt = a2, My = a2

π2

∫

0

sen t · dt = a2, x =My

L =a2

πa2

=2a

π, e

y =Mx

L =a2

πa2

=2a

π, .

Portanto, o centro de gravidade do arco é (2a

π,

2a

π).

Teorema 3.2. Teorema de Guldin.

A área da superfície engendrada pela revolução do arco de uma curva plana em torno a um

eixo situado no mesmo plano que o arco, porém que não a intercepta, é igual ao produto do


comprimento desse arco pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro de gravidade

desta.

A demonstração deste teorema é exercício para o leitor.

Exemplo 3.46.

Determine as coordenadas do centro de gravidade da semicircunferência y =√a2 − x2.

Solução.

Devido à simetria x = 0. Ao girar a semicircunferência em torno do eixo Ox obtemos uma

esfera; a área da superfície desta esfera é 4πa2 e o comprimento desde semicircunferência é πa.

De acordo com o Teorema 3.3 temos: 4πa2 = πa · 2πy onde y =2a

π; isto é o centro de massa

tem como coordenadas P (0,2a

π).


Exercícios 3-4

1. Para cada um dos gráficos, achar o centróide da lâmina homogênea de densidade ρ segundo

a forma mostrada.

-

6

?

...............X

Y

0 (10, 0)

(0, 8)

(14, 12)

Figura 3.51:

-

6

?

x

y

0

4444

10 10

66

22

Figura 3.52:

-

6

x

y

(8, 6)

Figura 3.53:

Equação da elipse16x2 + 25y2 = 400

Figura 3.54:

2. Determine o centro de gravidade de cada uma das regiões limitada pelas seguintes curvas:

1. y = x2 − 4, y = 2x− x2.

2. y =√a2 − x2, y = 0.

3. y = 3x, y = x2, y = 1, y = 2.

4. y = x2, y = x− x2.

5. y = Lnx, y = 4, y = 4 − 4x2.

6. y = x2 + 1, y = x3 − 1, x = 0, x = 1.

7. y = sen x, y = cosx, y = 0 desde x = 0 até x =π

2.

8. y2 = 4 − 2x, o eixo y e y = 3.

9. x = 4y − y2, y = x.

10.√x+

√y = 3, y = 0, x = 0.

11. y =| x |3 +1, x = −1, x = 2, y = 0.


12. x+ xy2 − 2 = 0, x− y2 = 0.

13. y2 = 20x, x2 = 20y

14. y = −x, y =

x, se, x ≤ 1

x2, se, x > 1.

15. x− 2y + 8 = 0, x+ 3y + 5 = 0, x = −2, x = 4.

3. O centro de gravidade da região limitada pelas curvas x2 = 4y, y = mx é um ponto de

abscissa igual 2. Determine o valor de m.

4. Os vértices de um triângulo são A(0, 0), B(a, 0) e C(0,a

2) com a > 0. Calcular o volume

do sólido obtido pela rotação em torno da reta y = x−a, da região limitada pelo triângulo.

5. A região limitada pelos gráficos de y = x2, y = 5 gira em torno de uma reta oblíqua que

passa pelo ponto (−1, 0). Determine a equação da reta si, o volume do sólido gerado é

igual 40πu3.

6. Para os seguintes exercícios determine:

1. O momento estático da sinusóide y = sen x (0 ≤ x ≤ 1), respeito do eixo x.

2. O momento estático e momento de inércia respeito do eixo x do arco da curva y =

ex (0 ≤ x ≤ 1).

3. O momento estático e momento de inércia respeito do eixo x de uma onda da ciclóide

x = a(t− sen t), y = a(1 − cos t).

4. O momento estático e momento de inércia da semicircunferência de raio a respeito de

seu diâmetro.

5. Os momentos estáticos respeito dos eixos Ox, Oy do arco da semicircunferência r =

2a cos t, situado acima do eixo polar.

6. O centro de gravidade do arco da catenária y = a · cosh 0 ≤ x ≤ a.

7. O centro de gravidade da astróide x = a · cos 3t, y = a · sen 3t situado acima do eixo

Ox.

8. As coordenadas do centro de gravidade de um arco da cardióide r = a(1 + cos θ) 0 ≤θ ≤ π.

9. O centro de gravidade da curva y =√a2 − x2.

7. Mediante o Teorema de Guldin, determine o centro de gravidade do arco da astróide x =

a · cos 3t, y = a · sen3t, situada no primeiro quadrante.

8. Mediante o Teorema de Guldin, mostre que o centro de gravidade de um triângulo está

afastado de sua base a uma terceira parte de sua altura.


3.2.2 Outras Aplicações

3.2.3 Problemas da Física

O conceito de força podemos entender como ação física para movimentar um objeto; por

exemplo é necessário uma força para empurrar ou puxar um objeto ao longo de um plano hori-

zontal.

Se aplicamos uma força constante F a um objeto, fazendo-o movimentar numa distância d na

direção da força, então por definição estamos realizando trabalho W ; sendo este uma grandeza

escalar (na verdade estão envolvidas vetores), podemos escrever como o produto seguinte: W =

F · d.A unidade N ∗m para o trabalho é o mewton ∗metro. Uma quantidade usada com tamanha

freqüência recebe o nome de joule (abreviação J). No sistema inglês a unidade para o trabalho

é pé ∗ libra (abreviação ft ∗ lb). A relação entre as grandezas é:

1 joule = 1 J = 1N ∗ m = 1 kg ∗ m2/s2 = 0, 738 ft ∗ lb

Exemplo 3.47.

Um estudante de matemática, levanta uma mochila do assoalho de massa m = 10kg, e eleva

com aceleração desprezível até uma altura d = 0.8m para colocá-lo na carteira. Desejamos

determinar as forças que atuam sobre a mochila, e o trabalho que elas realizam.

Solução.

Atuam duas forças sobre a mochila, seu peso m · g agindo para baixo e a força F agindo para

cima. Pelo fato a mochila não estar acelerada a força resultante que age sobre ela é zero. O

módulo comum destas forças é F = m · g = (10kg)(9, 8m/s2) = 98N .

Por outro lado, sendo a força F e o deslocamento apontados para uma mesma direção, temos

que o trabalho W = F.d = (98N)(0, 8m) = 78, 4J .

Definição 3.2.

Seja f(x) uma força variável que atua no sentido do eixo Ox sobre o segmento [a, b]. O

trabalho realizado para deslocar um objeto do ponto a até o ponto b, podemos expressar mediante

a integral:

W =

b∫

a

f(x) · dx

.

Exemplo 3.48.

Um bloco de massa igual 5kg. Move-se em linha reta sobre uma superfície horizontal o sob

influência de uma força que varia com a posição conforme mostra a Figura (3.55). Qual é o

trabalho realizado pela força, quando o bloco se move da origem até x = 8m?

Solução.


Segundo o gráfico, temos que a força variável

f(x) =

10, se, 0 ≤ x ≤ 2

−5(x− 4), se, 2 ≤ x ≤ 4

0, se, 4 ≤ x ≤ 6

−2, 5(x− 6), se, 6 ≤ x ≤ 8

logo o trabalho realizado:

W =

2∫

0

10 · dx+

4∫

2

−5(x− 4)dx+

+

6∫

4

0 · dx+

8∫

6

−2, 5(x− 6)dx = 25 J .

Portanto, o trabalho realizado é 25 J .

Exemplo 3.49.

Calcular o trabalho a realizar, para elevar um corpo de massa m da superfície da Terra, cujo

raio é R, até uma altura h.

Solução.

De acordo com a lei de gravitação universal, a força F que atua sobre um corpo de massa m

é igual a F = k · mMr2

, M é a massa da Terra, r é a distância da massa m desde o centro da

Terra e k é a constante de gravitação universal.

Quando o objeto está na Terra temos que r = R; logo F = m · g, podemos então escrever

F = m · g = k · mMr2

, onde kM = gR2 pelo que F = mgR2

r2.

O trabalho, procurado é: W =

R+h∫

R

F · dr =

R+h∫

R

mgR2 · drr

= mgRh

R+ h.

-

6

?

0 2 4 6 8

10

5

−5

x

y

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

AAAAA

AAAAA

AAAAA

@@

@

@@

@

@@

@


Exemplo 3.50.

Um tanque em forma de cone circular reto, de altura 10m e raio da base 5m, tem seu vértice

no solo e eixo vertical. Se o tanque está cheio de água, determine o trabalho realizado para


bombear a água pelo topo do tanque.

Solução.

O gráfico que representa o tanque, mostra-se na Figura (3.56)

Pela forma do tanque, temos que o volume de cada fatia é Vi = πx2i ∆yi = π(

yi

4)2∆yi; supondo

a água pese K quilos por metro cúbico, o peso de cada fatia é aproximadamente Kπ(yi

4)2∆yi; o

trabalho para elevar a i-ésima fatia é: (10 − yi)Kπ∆yi.

Portanto W =

10∫

0

(10 − yi)Kπ · y2

42· dy =

Kπ

16

10∫

0

(10 − y)y2dy =625

12Kπ.

Observação 3.14.

A força necessária para distender uma mola x unidades além de seu comprimento natural é

dada pela lei de Hooke: f(x) = k · x onde k é uma constante chamada constante da mola.

Exemplo 3.51.

Exige-se uma força de 9kg para distender até 8cm uma mola cujo comprimento natural é

60cm. a) Determinar o trabalho realizado ao distender a mola até um comprimento de 70cm.

b) Determinar o trabalho realizado ao distender a mola até um comprimento de 65cm.

Solução.

Figura 3.57:

Suponha a posição da mola no eixo Ox como indica

a Figura (3.57); como f(x) = k · x então 9 = 8 · k ⇒k =

9

8; assim a força para movimentar x unidades é

f(x) =9

8x.

O trabalho realizado para distender a mola até 70cm

é W =

10∫

0

9

8x · dx = 225 kg/cm.

O trabalho realizado para distender a mola até 65cm

é W =

5∫

0

9

8x · dx =

225

4kg/cm.

Observação 3.15.

• A noção de pressão, ao igual que a de trabalho,

depende da noção de força.

• Para calcular a força da pressão P de um líquido, se utiliza o princípio de Pascal de acordo

com o qual a pressão exercida por um líquido sobre uma plataforma é igual a sua área

S multiplicada pela profundidade de submersão h, a densidade ρ (peso por unidade de

volume), e a aceleração da gravidade; isto é P = ρ · g · h · S.

• A pressão em todo ponto de um líquido sempre é a mesma em todas as direções. Por

exemplo, queremos determinar a pressão no fundo de um tanque retangular cheio de água

de 4m de altura e com base 10m2.


Se consideramos se a densidade da água como r kg porm3 então a pressão a uma profundidade

de 4m é 4ρkg/m2 e a força de pressão que atua no fundo do tanque é (4ρkg/m2)(10m2) = 40ρkg.

Definição 3.3.

A força F exercida por um líquido de densidade constante ρ sobre uma região como mostra

a Figura (3.58) (s é a superfície da água) onde x = f(y) e x = g(y) são funções contínuas em

[c, d] é dada pela fórmula: F =

d∫

c

ρ(s− y)[f(y) − g(y)]dy

É conveniente utilizar a fórmula seguinte para especificar a força sobre um retângulo hori-

zontal (retângulo escuro na Figura (3.58)

(força sobre um retângulo) = (ρ)(profundidade)(área do retângulo)

Exemplo 3.52.

A parte lateral de um aquário adjacente ao nível da água é vertical e tem a forma de um

retângulo de 15pés de altura, 200pés de comprimento e profundidade 10pés. Determine a força,

total da água devido à pressão do líquido.

Solução.

Segundo a fórmula da Definição (3.3) temos que F =

10∫

0

200ρ(10 − y)dy = 1000ρ. Sabe-se

que a densidade ρ da água é 62, 5pés.

Portanto, a força total devido ao líquido é 625.000 lbs.

Figura 3.58:

-

6

?

x

y

0 3−3

JJ

JJ

JJ

(−4, 4) (4, 4)

y

4 − y

∆iy

Figura 3.59:

Exemplo 3.53.

As extremidades de um depósito de água de 10m de comprimento têm a forma de um trapézio

isósceles de base menor 6m, base maior 8m e altura 4m. Determine a força sobre uma extrem-

idade quando o recipiente esta cheio de água.

Solução.

O gráfico da Figura (3.59) mostra as extremidades do deposito.


A equação da reta que passa pelos pontos (4, 4) e (3, 0) é y = 4(x− 3), onde x =1

4(y+12);

o retângulo sombreado tem como área 2xi∆iy ≈ 2[14(yi + 12)] · ∆iy, se a densidade da água é

ρ kg por m3, a força exercida pelo líquido sobre este retângulo é:

ρ(4 − yi)2[1

4(yi + 12)] · ∆iy

somando e, no limite a força total é F =1

2

4∫

0

ρ(4 − y)(y + 12)dy =232ρ

3kg.

Logo, a força exercida pelo líquido é F =232ρ

3kg.

Exemplo 3.54.

Determine a força de pressão que a gasolina que está em um depósito cilíndrico, cuja altura

h = 3, 5 m e o raio da base r = 1, 5 m exerce sobre as paredes do mesmo; considere-se ρ =

900 kg/m3.

Solução.

Neste exemplo temos que a área de um disco paralelo à base S = 2πr; r = 900 kg/m3, h =

3.5m, g = 9.8 m/seg2 e r = 1.5m. O elemento da pressão que se exerce sobre a parede é:

dP = r ·g ·h ·S = r ·g ·2πry ·dy; logo P = 2πrρg

h∫

0

y ·dy = (9.8)π(1.5)(900)(3.5)2 = 161.000π.N .

Portanto, a força de pressão que a gasolina exerce sobre a parede é 161.000π.N

A probabilidade de um evento resultante de uma experiência aleatória, é um número esperado

compreendido no intervalo fechado [0, 1]. A probabilidade de que o evento seja certo sempre é 1

(um), e que, não ocorra é 0 (zero). Se x é uma variável (em anos) que representa a vida útil de um

computador entre 5 e 10 anos, sua respectiva probabilidade é representada por P (5 ≤ x ≤ 10).

A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua x, é uma função não

negativa f(x), tal que sua probabilidade: P (a ≤ x ≤ b) =

b∫

a

f(x) · dx.

Exemplo 3.55.

A função densidade de probabilidade da duração de CDs produzidas por uma determinada

companhia é f(x) = 0.01e−0.01x, donde x representa a duração (em meses) de um CD selecionado

aleatoriamente. a) Qual é a probabilidade que a duração de um CD selecionada aleatoriamente

seja de 50 a 60 meses?. b) Qual é a probabilidade que a duração de um CD selecionada

aleatoriamente seja igual o menor de 60 meses?. c) Qual é a probabilidade que a duração de um

CD selecionada aleatoriamente seja igual o maior de 60 meses?.

Solução.

a) P (50 ≤ x ≤ 60) =

60∫

50

0, 01e− 0,001x · dx = 0, 0577.

b) P (x ≤ 60) =

60∫

0

0, 01e− 0,001x · dx = 0.4512


c) P (x ≥ 60) =

+ ∞∫

60

0, 01e− 0,001x · dx = 0.5488

Exemplo 3.56.

Uma partícula movimenta-se em linha reta de modo que sua posição está dada pela expressão

x = S(t) = x0 + v0t+ bt2 + ct3 m/s onde x0 é o espaço inicial, v0 é a velocidade inicial, sendo b

e c constantes. Calcule a velocidade média entre os 6 e 8 primeiros segundos.

Solução.

É um problema típico de aplicação do valor médio para integrais.

Velocidade média =1

8 − 6

8∫

6

(x0 + v0t + bt2 + ct3)dt =1

2[2x0 + 14v0 +

296

3b + 700c] =

x0 + 7v0 + b+ 350c.

Portanto, a velocidade média = x0 + 7v0 +148

3b+ 350c m/s.

Exemplo 3.57.

Sejam y = f(x) função contínua em [0, 2] e y′ +y = x+1 uma equação. Determine a função

y = f(t) que satisfaz y = 1 quando x = 0.

Solução.

Temos a equação: y′ + y = x + 1, multiplicando esta igualdade por ex, resulta ex(y′ + y) =

ex(x+ 1).

Observe que esta última igualdade podemos escrever na formad

dx(ex · y) = ex(x + 1); logo

ex · f(x) = C +x∫

0

et(t + 1)dt , do fato ser x + 1 contínua no intervalo [0, 2]; assim, f(x) =

e−x · [C +x∫

0

et(t+ 1)dt] = e−x · [C + x · ex].

Por outro lado, y = 1 = f(0) = e−0[C+0·e0] onde C = 1. Portanto y = f(x) = e−x ·[1+x·ex]

é solução da equação.

Observação 3.16.

Se um ponto movimenta-se sob uma curva, e o valor absoluto de sua velocidade v = f(t) é

uma função conhecida do tempo t; o espaço recorrido por tal ponto em um intervalo de tempo

[a, b] é igual a: s =

b∫

a

f(t) · dt.

Exemplo 3.58.

Se a velocidade de um ponto é v = 0, 2t3 m/s. Determine o espaço s recorrido durante os 10

primeiros segundos. Qual é sua velocidade média neste intervalo de tempo?.

Solução.

Temos s =

10∫

0

0, 2t3 = 500m, sua velocidade média é:500

10m/s = 50m/s


Exercícios 3-5

1. Suponhamos que um corpo se movimento no eixo x desde x = 2 até x = 5 (unidades em

metros) e suponha que a força exercida segue a lei f(x) = x2 + x. Determine o trabalho

total realizado.

2. Determinar o trabalho realizado ao empurrar um automóvel ao longo de uma estrada plana

desde um ponto M a um ponto N , distante 20m de M , exercendo una força constante de

300 kg.

3. Determine o trabalho realizado para extrair água de um recipiente cônico, cuja base é

horizontal e encontra-se embaixo do vértice, sendo o raio da base r e sua altura h.

4. Uma piscina cheia de água e tem a forma de um paralelepípedo reto de 5 pés de profun-

didade, 15 pés de largura e 25 pés de comprimento. Achar o trabalho necessário para

bombear a água ate o nível de 1 pé por encima da superfície da piscina. (Sug.: w = peso

de 1pé3 de água)

5. Um tanque que tem a forma de um cilindro circular reto de 8 pés de alto e 5 pés de raio

basal está cheio de água. Achar o trabalho realizado ao bombear toda a água do tanque

ate uma altura de 6 pés por encima da parte superior do tanque.

6. Um elevador de 3, 000 lbs. de peso acha-se suspenso num cabo de 12 pés de comprimento,

pesando 15 lbs por pé linear. Determine o trabalho necessário para elevá-lo de 10 pés,

enrolando-se o cabo numa roldana.

7. Um tanque cilíndrico vertical de 1m de diâmetro e 2m de altura está cheio de água. Ache

o trabalho necessário para bombear toda a água: a) pela parte superior do tanque; b)

através de um tubo que se eleva a 1, 20m acima da parte superior do tanque.

8. Um elevador que pesa 1, 380kg pende de um cabo de 3, 65m que pesa 21kg por metro

linear. Aproxime o trabalho necessário para fazer o elevador subir 2, 75m.

9. Um aquário tem base retangular de 0, 6m de largura e 1.2m de comprimento, e lados

retangulares de 0.9m de altura. Se o aquário está cheio de água pesando 1.000kg/m,

determine o trabalho realizado ao bombear toda a água pela parte de cima do balde.

10. Um balde de água é içado verticalmente a razão constante de 45cm/s por meio de uma

corda de peso desprezível. À medida que o balde sobe, a água vaza à razão de 100gr/s.

Se o balde cheio de água pesa 11kg no momento em que começa a ser içado, determine o

trabalho necessário para iça-o a uma altura de 3, 6m.

11. Um bote está ancorado de modo que a ancora encontra-se 100 pés diretamente embaixo do

cabrestante em que sua cadeia está enrolada. A ancora pesa 3, 000lbs e a cadeia 20 lbs/pé.

Qual é o trabalho necessário para levantar a ancora?.


12. A face de una represa adjacente à água tem forma de trapézio isósceles de uma altura 20

pés, base superior 50 pés e base inferior 40 pés. Achar a força total exercida pela água

sobre a face se a profundidade da água é 15 pés.

13. Um gorila de 180kg de peso sobe em uma árvore de 5m de altura. Determine o trabalho

realizado se ele chega ao topo da árvore em: a) 10 segundos; b) 5 segundos.

14. Exige-se uma força de 9 libras para distender até 8 polegadas uma mola cujo comprimento

natural é 6 polegadas. a) Determinar o trabalho realizado ao distender a mola até um

comprimento de 10 polegadas. b) Determinar o trabalho realizado ao distender a mola de

um comprimento de 7 polegadas até um comprimento de 9 polegadas.

15. Se uma mola tem 30cm de comprimento, compare o trabalho W1, realizado ao distendê-la

de 30 para 32.5cm, com o trabalho W2, realizado ao distendê-la para 35cm.

16. Uma mola de 25cm de comprimento natural sofre uma distensão de 3.8cm sob o peso de

35N . Ache o trabalho realizado ao distender a mola. a) De seu comprimento natural para

35, 5cm; b) De 28cm para 33cm.

17. Uma mola tem comprimento natural de 12 polegadas. Quando se estica x polegadas, puxa

para atrás com una força kx, pela lei de Hooke. A constante k depende do material,

do arame, etc. Se são necessárias 10 libras de força para mantê-o esticado em 1/2 pole-

gada, quanto é o trabalho realizado para esticá-lo desde seu comprimento natural até um

comprimento de 16 polegadas?.

18. As extremidades de um cocho de água de 2, 5m de comprimento são triângulos equiláteros

de 0, 6m de lado. Se o cocho está cheio de água, ache o trabalho realizado ao bombear

toda a água pela parte superior do cocho.

19. Determine a força de pressão que exerce a água sobre uma placa triangular vertical de

base a e altura h, submersa na água, com o vértice para abaixo, de forma que sua base se

encontre na superfície da água.

20. Um tanque de vidro, para ser usado como aquário, têm 3 pés de comprimento e extrem-

idades quadradas de 1 pé de lado. Estando o tanque cheio de água, determine a força

exercida pela água: a) sobre uma extremidade; b) sobre um lado.

21. A face de uma represa em contato com a água é vertical e de forma retangular com 50 pés

de largura e 10 pés de altura. Achar a força exercida pelo líquido sobre esta face quando

a superfície do líquido esta a rãs da parte superior da represa.

22. Supondo que v e p estão relacionadas pela equação p · v41 = C onde C é constante, e que

p = 60 lb/pul2, quando v = 10 pés3, achar : a) v quando p = 15lbs/pulg2; b) o trabalho

realizado pelo gás ao expandir-se ate que sua pressão alcança este valor (15lbs/pul2).

23. Uma chapa com a forma de trapézio isósceles de base superior 4 pés e base inferior 8 pés,

acha-se submersa verticalmente na água de tal forma que as bases têm posição paralela à


superfície. Se as distâncias da superfície da água as bases superior e inferior são 10 pés e

6 pés respectivamente, determine a força exercida pela água sobre um lado da chapa.

24. Um tanque cilíndrico de 6 pés de diâmetro e 10 pés de comprimento acha-se apoiado

(deitado) sobre sua superfície lateral. Se o tanque está cheio até a metade de óleo pesando

58 libras por pé cúbico, determine a força exercida pelo óleo sobre a parte lateral do cilindro.

25. A taxa de depreciação de certa peça de equipamento, no intervalo [0, 3] pode ser aproximada

por g(t) =1 − t2

9com t dado em anos e g(t) em R$100.00. Determine a depreciação total

ao final dos seguintes períodos: a) 6 meses b) 1 ano c) 18 meses

26. Duas cargas opostas de e1 y e2 unidades eletrostáticas atraem-se com uma forçae1e2r

,

sendo r a distância entre ambas (em unidades apropriadas).

-carga e1= +7

P 4carga e2= -1

20

r

Figura 3.60:

A carga positiva e1 de 7 unidades mantém-se fixa num certo ponto P (ver Figura (3.60)).

Qual é o trabalho realizado ao mover uma carga negativa e2 de 1 unidade desde o ponto

situado a 4 unidades da carga positiva até um ponto situado a 20 pés dessa carga ao longo

de uma reta r em sentido oposto ao da carga positiva.

27. Uma companhia estima que a venda anual de um produto novo será de 8.000 unidades.

Suponha que todo ano 10% das unidades (independentemente de quanto forem produzidas)

param de funcionar. Quantas unidades estarão em uso após de n anos ?. Supondo que

25% das unidades param de funcionar a cada ano qual é sua resposta?.

28. Determine o trabalho necessário para distender uma mola até 5cm, se a força de 1N o

distende em 1cm.

29. Um foguete levanta-se verticalmente; supondo que, a força de atrito é constante, e a acel-

eração aumenta por causa da diminuição do seu peso segundo a lei j =A

a− btonde a > bt.

a) Achar a velocidade do foguete em qualquer instante t, se sua velocidade inicial é t = 0.

b) determine a altura que alcança o foguete no instante t = t1.

30. A velocidade de movimento de um corpo é v = t ·e−0,01tm/s. Calcular o caminho recorrido

pelo ponto desde que começo a movimenta-se até ficar quieto por completo.

31. Se aos x anos de idade, una máquina industrial gera ingressos a razão de R$ R(x) =

6025 − x2 por anos e seus gastos acumulam-se a razão de R$ C(x) = 400 + 15x2 ao ano.

a) Por quantos anos o uso da máquina es lucrativo? b) Qual é o lucro líquido gerado pela

máquina ao longo do período encontrado no item a)?


32. Um tanque tem a forma de cone circular reto invertido com eixo vertical, se sua altura é 20

pés e raio da base 5 pés. Determine o trabalho realizado para bombear a água pelo topo

do tanque sabendo que o tanque está cheio de água.

33. As extremidades de um depósito de água de 8 pés de comprimento, tem a forma de um

trapézio isósceles de base menor 4 pés, base maior 6 pés e altura 4 pés. Determine a força

total sobre uma extremidade quando o recipiente esta cheio de água.


Miscelânea 3-1

1. Para cada um dos seguintes exercícios, desenhar a região D, e determine a área da mesma,

se D esta limitada pelos gráficos de:

1. 3√x2 + 3

√

y2 =3√a2.

2. x2 = 4ay, y =8a3

x2 + 4a2.

3. y =| 20x+ x2 − x3 |, y = 0.

4. x = y3 − 2y2 − 5y + 6, x = 2y2 + 5x− y3 − 6.

5. y = arcsen2x, x =

√3

2.

6. y = x · e8−2x2, y = x.

7. y =8

x4 + 4, y = 0, x = 0, x = 4.

8. y = x · e8−2x2, y = 4x.

9. y =| x− 1 |, y = x2 − 2x, x = 0, x = 2.

10. y = 3√x+ 1 − 3

√x− 1, x = −1, x = 1.

2. Determine a área da figura limitada pela(s):

1. Curvas y = Ln(x+ 2), y = 2Lnx, y = 0.

2. De cada uma das partes do círculo x2+y2 ≤ 2ax dividido pela parábola y2 = 2ax−a2.

3. Para os seguintes exercícios, determine o comprimento de arco da curva descrita pela função

indicada:

1. f(x) = Ln(coth(x

2), x ∈ [a, b] a > 0.

2. f(x) =x3

3+

1

4x, x ∈ [1, 2].

3. x =

√

(3√a2 − 3

√

y2)3, x ∈ [−a, a].

4. x = t− 1, y =1

2t2, t ∈ [0, 1].

5. x = et · sen t, y = et · cos t, t ∈ [0, π].

4. Determine o comprimento do arco das curvas indicadas:

10. Da curva y =x2

2− Ln

√x, desde x = 2 até x = 3.

1. Da curva y =√x− x2 + arcsen

√x

2. O comprimento total da curva dada por (y − arcsenx)2 = 1 − x2.

3. O comprimento do arco da curva y2 =2

3(x − 1)3 compreendida dentro da parábola

y2 =x

3.


4. O comprimento do arco da curva dada por x = (t2−2)sen t+2t·cos t, y = (2−t2) cos t+

2t · sen t, desde t = 0 até t = π.

5. O comprimento da curva y = Ln(1 − x2) desde x = 0 até x =1

2.

5. Calcule a área da superfície formada pela revolução em torno do eixo x do arco da curva

6y =√

7(x− 12) entre os pontos de interseção da curva citada com o eixo x.

6. Achar a área da superfície formada pela revolução do bucle da curva x = a(t2 + 1), : y =

(3 − t2) em torno do eixo x.

7. Determine a área da superfície formada pela revolução do arco da curva x = a(3 · cos t −cos 3t), y = a(3sen t− sen 3t), 0 ≤ t ≤ π

2, em torno do: i) eixo x; ii) eixo y.

8. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região D, em torno da reta L indicada:

L : y = 0; D : x+ y = 1,√x+

√y = 1.

9. Determine um limite superior e inferior para I =

π2

∫

0

dx

(3 + 2 cosx)2.

10. Mostre que

π2

∫

0

sen x

x· dx >

0∫

π2

sen x

x· dx Sugest. Na última integral x = π − u.

11. Estabeleça uma fórmula de recorrência para a integral In =

1∫

0

xn · sen (πx)dx. Mostre que

In → 0 quando n → +∞.

12. Para os seguintes exercícios, determine o comprimento de arco da curva descrita pela

função:

1. x =

t∫

1

sen z

zdz, y =

t∫

1

cos z

zdz, desde a origem de coordenadas até o ponto mas próximo

onde a tangente é vertical.

2. x = a(cos t+ t · sen t), y = a(sen t− t · sen t), t ∈ [0, a].

13. Determine o centro de gravidade de cada uma das regiões limitada pelas seguintes curvas:

16. y = 3 + 2x− x2, e os eixos coordenados limitam duas regiões. Determine o centróide

da região de menor área.

17. y(x2 + 4a2) = 8a3 e o eixo x (região infinita)

18. A região limitada pelo laço de y2 = x(x− 4)2.

19. A região limitada pelo laço de y2 = x4(3 − x).

20. y = arcsenx, y = 0, x = 1.

21. y2 = 4x2 − x3, y = 0, no primeiro quadrante.


22. y = x2 − 2x− 3, y = 6x− x2 − 3.

23. y = x3 − 3x, y = x, sobre o lado direito do eixo y.

24. A região limitada por b2x2 + a2y2 = a2b2, no primeiro quadrante.

25. y = sen x (0 ≤ x ≤ π), y = 0.

26. y = coshx, y = 0, x = −1, x = 1.

27. y = arccosx, y = π, x = 1.

14. Seja D a região do plano limitado pela parábola y = x2 − 1 e a reta y = x− 1. Determine

o volume do sólido obtido pela rotação da região D em torno da reta y = x - 1.

15. A região limitada pelos gráficos de y2 = 20x, x2 = 20y gira em torno da reta 3x+4y+12 = 0.

Calcular o volume do sólido gerado.

16. Demonstre o Teorema de Pappus.

17. Demonstre o Teorema de Guldin.

18. No ponto (3, 3) da curva√xy − 2x+ 3y − 6 = 0, temos reta tangente e normal. Calcular

o volume do sólido gerado pela rotação em torno das reta y = −3, da região limitada pela

tangente, a normal e o eixo y.

19. No ponto de abscissa 6 da parábola y2 = 12x, existe uma reta tangente. Calcular o volume

do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da região limitada pela tangente traçada,

o eixo x e a parábola.

20. A função densidade de probabilidade da duração de chamadas telefônicas de uma determi-

nada cidade é f(x) = 0.5e−0.5x, onde x representa a duração (em minutos) de uma chamada

selecionada aleatoriamente. a) Qual é a porcentagem de chamadas que deve durar de 2 a

3 minutos?. b) Qual é a porcentagem de chamadas que deve durar 2 minutos ou menos?

c) Qual é a porcentagem de chamadas que deve durar mais de 2 minutos?.

21. Dentro de x anos, um plano de investimentos estará gerando um lucro em razão de R1(x) =

100 + x2 reais por ano, e um segundo plano a razão de R2(x) = 220 + 2x reais por ano: a)

Por quantos anos o segundo plano será más lucrativo?. b) Qual é o lucro excedente que

se ganhará investindo no segundo plano, ao invés do primeiro, por um período igual ao de

a)?. c) Interprete o lucro excedente encontrado em b) como a área compreendida entre as

dos curvas.

22. A base de um sólido é a região entre as parábolas y = x2, y = 3 − 2x2. Achar o volume

do sólido, se as seções transversais perpendiculares ao eixo y são triângulos retângulos

isósceles, cada um deles com hipotenusa sobre o plano xy.

23. O ponto de interseção das diagonais de um quadrado (de lado variável) movimenta-se ao

longo do diâmetro (fixo) de uma circunferência de raio 3; o plano do quadrado permanece

sempre perpendicular ao plano da circunferência, entanto os vértices opostos do quadrado

se movimentam pelas circunferência. Achar o volume do corpo assim gerado.


24. Em uma una fábrica de rádios, depois de t horas de trabalho, um operário produz Q1(t) =

60− 2(t− 1)2 unidades por hora, entanto que um segundo operário produz Q2(t) = 50− 5t

unidades por hora. a) Se ambos chegam ao trabalho as 8hs, quantas unidades o primeiro

operário terá produzido más que o segundo até as 12hs.?. b) Interprete a resposta encon-

trada em a) como a área compreendida entre as duas curvas.

25. Um pequeno fabricante de componentes eletrônicos estima que o tempo necessário para

que um operário construa um determinado item depende do número de items construídos

por ele. Se o tempo (em minutos) necessário para construir o n-ésimo item esta dado

pela função f(x) = 20(n+ 1)−0.4 + 3, determine aproximadamente o tempo (em minutos)

necessário para construir as seguintes quantidades: a) 1; b) 4; c) 8; d) 16.

Capítulo 4

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Leonhard Euler

Leonhard Euler, (1707 − 1783) nasceu em Basiléia (Suíça) em15 de abril de 1707. Físico - Matemático o mais brilhante gênio damatemática pura e aplicada de todos os tempos. De uma família tradi-cionalmente dedicada á pesquisa científica, filho de um pastor luteranoque tinha sido aluno de Jacques Bernoulli, mas que preferia que o filhoseguisse a carreira teológica, o enviou para a Universidade de Basiléiapara prepará-lo para o ministério, mas geometria se tornou seu as-sunto favorito. Na universidade estudou teologia e a língua hebraica,e atendia a uma aula de uma hora por semana com Johannes Bernoullie recebeu seu mestrado ao 17 anos.

Por intercessão de Bernoulli, Euler obteve o consentimento doseu pai para mudar para a matemática. Depois de não conseguir umaposição de físico na Basiléia em 1726. Aos dezenove anos, Euler re-

cebeu menção honrosa por uma solução que enunciou a um problema posto pela academia de Paris. maistarde, ele ganhou o primeiro premio nesta mesma competição doze vezes..

A precocidade e o brilhantismo de seus primeiro trabalhos converteram aos vinte anos, em membroassociado da Academia de Ciências de São Petersburg, para onde se transferira. Por meio de livros emonografias que apresentou à Academia, Euler aperfeiçoou os conhecimentos da época sobre cálculo inte-gral, desenvolveu a teoria das funções trigonométricas e logarítmica e simplificou operações relacionadasà análise matemática. Sua contribuição para a geometria analítica e para a trigonometria é comprável àde Euclides para a geometria plana.

Ele teve uma memória prodigiosa e pode ditar tratados em ótica, álgebra e movimento lunar (mares).“A teoria matemática do investimento” (seguros, anuidades, pensões), bem como essencialmente todas asáreas da matemática que existiam na época.

Na Rússia, Euler tornou-se quase completamente cego depois de uma operação de catarata e seu outroolho começo a deteriorar, mas pode continuar escrevendo suas pesquisas.

Em sua morte ocorrida em 18 de setembro de 1783, ele deixo uma reserva basta de artigos. O trabalhoativo de Euler provocou tremenda demanda da Academia de São Petersburg, que continuo publicando seustrabalhos por mais de 50 anos depois de sua morte.

4.1 O Espaço Tridimensional

A maioria das relações que ocorrem nos diferentes ramos da atividade social da humanidade,

como por exemplo na economia, a biologia, a física, etc. é traduzida mediante funções de mais

215


de duas variáveis reais, isto justifica o estudo minucioso das funções de várias variáveis.

Iniciaremos este capítulo com o estudo do espaço tridimensional, como uma extensão do

espaço de duas dimensões estudado numa primeira disciplina de cálculo.

Definição 4.1.

O conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais é chamado de espaço numérico

tridimensional, sendo denotado por R3.

Cada tripla ordenada é chamada “um ponto no espaço numérico tridimensional ”.

Para representar R3 no espaço geométrico tridimensional, considera-se as distâncias orien-

tadas de um ponto a três planos mutuamente perpendiculares (Figura (4.1)).

-

6

?

z

−z

y−y

>

=

−x

x

Figura 4.1:

-

6

?

z

−z

y−y

>

=

−x

x

P

(3, 4, 0)

Figura 4.2:

Cada tripla de ordenada de números reais (x, y, z) podemos associar a um ponto P do espaço

geométrico tridimensional. A distância orientada de P até o plano coordenado-yz é chamada

de coordenada x, a distância orientada de P até o plano-xz é chamada de coordenada y e a

coordenada z é a distância orientada de P ao plano-xy.

Estas três coordenadas são chamadas de “coordenadas cartesianas retangulares do ponto P ”,

e existe uma correspondência biunívoca entre todas as triplas ordenadas de números reais e os

pontos do espaço tridimensional geométrico

O ponto (3, 4, 5) está representado na Figura (4.2). Os três planos coordenados dividem o

espaço R3 em oito partes, denominadas “oitantes”.

Lembre que, uma reta é paralela a um plano se e somente se a distância de qualquer ponto

da reta ao plano for a mesma.

Propriedade 4.1.

a) Uma reta é paralela ao plano-yz se e somente se todos os pontos da reta tiverem a mesma

ordenada x.

b) Uma reta é paralela ao plano-xz se e somente se todos os pontos da reta tiverem a mesma

ordenada y.

c) Uma reta é paralela ao plano-yx se e somente se todos os pontos da reta tiverem a mesma

ordenada z.


No espaço tridimensional R3, se uma reta for paralela a dois planos que se interceptam, ela

será paralela à reta de interseção dos dois planos.

Propriedade 4.2.

Sejam P (x1, y1, z1) e Q(x2, y2, z2) dois pontos no espaço tridimensional.

a) Se os pontos estão sobre uma reta paralela ao eixo-x, então a distância orientada de P a Q,

denotada,−−→PQ será dada por

−−→PQ = x2 − x1

b) Se os pontos estão sobre uma reta paralela ao eixo-y, então a distância orientada de P a Q,


−−→PQ = y2 − y1

c) Se os pontos estão sobre uma reta paralela ao eixo-z, então a distância orientada de P a Q,


−−→PQ = z2 − z1

Definição 4.2.

A distância não orientada entre os pontos P (x1, y1, z1) e Q(x2, y2, z2) é dada por

‖ PQ ‖=√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

.

Exemplo 4.1.

A distância não orientada entre os pontos P (−2, 1, 5) e Q(2, 4, 2) é dada por

‖ PQ ‖=√

(−2 − 2)2 + (1 − 4)2 + (5 − 2)2 =√

34

.

Propriedade 4.3.

As coordenadas do ponto médio do segmento de reta com extremos P (x1, y1, z1) e Q(x2, y2, z2)

são dadas por:

x =x2 + x1

2, y =

y2 + y1

2, z =

z2 + z12

Exemplo 4.2.

As coordenadas do ponto médio do segmento da reta que une os pontos do Exemplo (4.1) é

dada por

x =−2 + 2

2= 0, y =

1 + 4

2=

5

2, z =

5 + 2

2=

7

2

Definição 4.3.

O gráfico de uma relação em R3 é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) cujas coordenadas

são números que satisfazem a relação.

Definição 4.4.

Uma esfera é o conjunto de todos os pontos no espaço tridimensional, eqüidistantes de um

ponto fixo. O ponto fixo é chamado “centro da esfera”, e a medida da distância constante é

chamada de “raio da esfera”.


A equação da esfera de raio r e centro (h, k, l) é: (x− h)2 + (y − k)2 + (z − l)2 = r2

Propriedade 4.4.

A equação geral da equação de segundo grau da forma x2 +y2 +z2 +Gx+Hy+Lz+J = 0

representada uma esfera (equação geral), um ponto ou um conjunto vazio.

Exemplo 4.3.

Determine o raio e centro da esfera: x2 + y2 + z2 − 4x− 4x− 2z = 2.

Solução.

Reagrupando os termos e completando quadrados, temos: (x−2)2 +(y−3)2 +(z−1)2 = 42.

Assim, o gráfico é uma esfera de centro (2, 3, 1) e raio r = 4.

Exemplo 4.4.

Ache uma equação da esfera tendo os pontos P (9, −4, 0) e Q(−5, 6, −2) como extremos de

um diâmetro.

Solução.

Pelos dados do problema temos que o centro da esfera é o ponto médio do segmento não

orientado isto é, o centro é o ponto C(2, 1, −1) e o raio da esfera é

CQ =√

(−5 − 2)2 + (6 − 1)2 + (−2 + 1)2

isto é o raio é r =√

75.

Assim a equação pedida é (x− 2)2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 = 75.

4.1.1 Vetores no espaço tridimensional

Definição 4.5.

Um vetor ~u no espaço tridimensional é uma tripla ordenada de números reais (a1, a2, a3).

Os números a1, a2 e a3 são chamados de componentes do vetor ~u = (a1, a2, a3).

Um vetor em R3 pode ser representado como o feito para R2 por um segmento de reta

orientado.

Se ~u = (a1, a2, a3) é um vetor em R3 então, ele representa um segmento orientado de ponto

inicial P (x, y, z) e extremo Q(x+a1, y+a2, z+a3). Quando P (0, 0, 0) é a origem de coordenadas,

temos que o ponto Q(a1, a2, a3) pode ser representado pelo vetor ~u = (a1, a2, a3) chamado

de “representação posicional ”, assim temos que qualquer ponto do espaço R3 está associado

biunivocamente a um vetor de origem (0, 0, 0) e extremo Q(a1, a2, a3).

O “módulo” de um vetor ~u = (a1, a2, a3),é o comprimento de sua representação posicional e

será denotado por ‖ ~u ‖=√

a21 + a2

2 + a23.

O vetor nulo é da forma ~u = (0, 0, 0).

A direção e o sentido de um vetor não nulo em R3 são dados por três ângulos chamados

ângulos de direção de um vetor.


6

=

-

z

y

x

P (x, y, z)

Q(x + a1, y + a2, z + a3)

~u = (a1, a2, a3)

Figura 4.3:

Definição 4.6.

Os ângulos de direção de um vetor não nulo ~u = (a1, a2, a3) são os três ângulos que têm a

menor medida não negativa em radianos α, β e γ medidos a partir dos eixos positivos x, y e z

, respectivamente, até a representação posicional do vetor.

6

=

-0

z

y

x

a2

a1

P (a1, a2, a3)

(a1, a2, 0)

ZZ

Z

a3

Figura 4.4:

A medida em radianos de cada ângulo de um vetor, é

maior ou igual a zero, e menor ou igual a π. Os ângulos

de direção α, β e γ do vetor ~u = (a1, a2, a3) da Figura

(4.4) são:

α = ](P0a1), β = ](P0a2) e γ = ](P0a3)

Na Figura (4.4) observamos que o triângulo POa1 é

retângulo, logo, cosα =a1

‖ ~u ‖ .

Expressões análogas podem ser encontradas para cosβ

e cos γ, e temos que cosβ =a2

‖ ~u ‖ e cos γ =a3

‖ ~u ‖ . Estes

cosenos assim obtidos são chamados de “cosenos diretores

do vetor ~u ”.

O vetor nulo não tem ângulos de direção, e portanto, não possui cosenos diretores

Definição 4.7. Produto escalar.

Dados dois vetores ~u = (a1, a2, a3) e ~v = (b1, b2, b3), o produto escalar de ~u e ~v denotado

~u · ~v é definido pelo número real

~u · ~v = a1b1 + a2b2 + a3b3

Definição 4.8. Ângulo entre dois vetores.

Dados dois vetores ~u = (a1, a2, a3) e ~v = (b1, b2, b3), o coseno do ângulo θ entre eles é dado

por:

cos θ =~u · ~v

‖ ~u ‖ · ‖ ~v ‖ =a1b1 + a2b2 + a3b3

√

a21 + a2

2 + a23

√

b21 + b22 + b23

Definição 4.9. Produto vetorial.


Dados dois vetores ~u = (a1, a2, a3) e ~v = (b1, b2, b3), o produto vetorial de ~u e ~v denotado

~u× ~v é definido pelo vetor

~u× ~v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~i ~j ~k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

onde ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1) (base canônica de R3).

Propriedade 4.5.

Dados dois vetores ~u = (a1, a2, a3) e ~v = (b1, b2, b3):

a) Diz-se que são paralelos, se ~u = k~v para algum k ∈ R.

b) Diz-se que são ortogonais, se ~u · ~v = 0.

c) Sempre o vetor ~u× ~v é ortogonal a −→u e −→v .

4.2 O Espaço n-dimensional

Todo conjunto ordenado de n números reais x1, x2, x3, · · · , xn denota-se (x1, x2, x3, · · · , xn)

ou P (x1, x2, x3, · · · , xn) e chama-se ponto do espaço aritmético n-dimensional Rn, os números

x1, x2, x3, · · · , xn são denominados “coordenadas do ponto” P = P (x1, x2, x3, · · · , xn).

Todo vetor no espaço Rn é caracterizado por dois pontos, um P (x1, x2, x3, · · · , xn) chamado

“ponto inicial ” e outro Q(y1, y2, y3, · · · , yn) chamado “ponto final ”, além disso que também

caracteriza um vetor em Rn é a direção que ela representa. Assim o vetor ~v ∈ Rn podemos

escrever como ~v =−−→PQ = Q− P = (y1 − x1, y2 − x2, y3 − x3, · · · , yn − xn),observe que, quando

P for a origem de coordenadas então ~v =−−→PQ = Q − P = (y1, y2, y3, · · · , yn)

.= Q ∈ Rn. Isto

quer dizer que todo vetor com “ponto inicial ” a origem de coordenadas pode ser tratada como

um ponto do espaço Rn.

A distância não orientada entre os pontos P (x1, x2, x3, · · · , xn) e Q(y1, y2, y3, · · · , yn) é

determina pela fórmula

d(P, Q) = ‖PQ‖ =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2 + · · · + (xn − yn)2 (4.1)

Seja A ⊆ Rn um conjunto arbitrário de n pontos do espaço aritmético n-dimensional. Se a

cada ponto P (x1, x2, x3, · · · , xn) ∈ A corresponde um único número real f(A) ∈ B ⊆ R bem

determinado (relacionado) por f(P ) = f(x1, x2, x3, · · · , xn), dizemos que sobre o conjunto A

está definida uma relação numérica f : A ⊆ Rn −→ B ⊆ R de n variáveis: x1, x2, x3, · · · , xn.

O conjunto A ⊆ Rn é chamado domínio da relação f e denotado D(f), e o conjunto

B = u ∈ R /. u = f(P ), P ∈ A

é chamado imagem ou campo de valores da relação u = f(P ).

Para o caso particular n = 2, a relação de duas variáveis z = f(x, y) pode-se considerar como

uma relação entre os pontos do plano-xy no espaço geométrico tridimensional, provisto de um


sistema fixo de coordenadas 0XY Z. O gráfico da relação z = f(x, y) é o conjunto dos pontos

Gf = (x, y, z) ∈ R3 /. z = f(x, y)

que representa em geral uma superfície em R3.

Ao definir uma relação f sobre um conjunto A com imagem no conjunto B, denotado por

f : A −→ B, estamos associando a cada a ∈ A um elemento b ∈ B para todos os elementos de

A.

O que caracteriza o nome de uma relação é o contradomínio B da mesma.

Se B é um conjunto de:

• números reais, então teremos uma relação real;

• vetores, então teremos uma relação vetorial;

• matrizes, então teremos uma relação matricial;

• números complexos, então teremos uma relação complexa.

Quando tivermos uma relação real, e o conjunto A for subconjunto de Rn, resulta uma relação

de n variáveis.

4.3 Superfícies quadráticas

Suponhamos A, B, C, D, E, G, G, H, I, e , J sejam números reais fixos.

No plano, toda equação da forma

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 (4.2)

representa uma curva (cônica).

Na verdade mostra-se que a circunferência, parábola elipse e hipérbole, estão representadas

por estas equações de segundo grau (4.2)

No espaço, a equação mais geral do segundo grau

Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = 0 (4.3)

determinam uma superfície. Existem alguns casos especiais na equação (4.3) que a superfície

representa uma esfera, ou cilindro. Toda equação da forma (4.3) que não se reduz a um cilindro,

plano, reta ou ponto, corresponde a uma superfície chamada quádrica.

4.3.1 Elipsóide

A equação analítica do elipsóide com centro no ponto (0, 0, 0) éx2

a2+y2

b2+z2

c2= 1.

Supondo que as constantes a, b e c são todas positivas. Estas constantes são as medidas dos

semi-eixos das três elipses obtidas no corte do elipsóide pelos planos coordenados:


• x2

a2+y2

b2= 1 no plano-xy quando z = 0

• x2

a2+z2

c2= 1 no plano-xz quando y = 0

• y2

b2+z2

c2= 1 no plano-xyz quando x = 0

No primeiro octante, os pontos de cortes do elipsóide com os eixos coordenados são os pontos

(a, 0, 0), (0, b, 0) e (0, 0, c); na Figura (4.5) aparecem estes pontos junto com os cortes do elipsóide

com os planos coordenados no primeiro octante.

Figura 4.5:

O elipsóide nunca é o gráfico de uma função real

de duas variáveis reais, pois geralmente ocorrem dois

cortes por retas verticais.

No entanto, podemos separá-lo em dois gráficos, da-

dos pelas duas funções

z = f(x, y) = c

√

1 − x2

a2− y2

b2

z = g(x, y) = −c√

1 − x2

a2− y2

b2

A equação do elipsóide com centro no ponto (x0, y0, z0) é

(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2+

(z − z0)2

c2= 1

desta igualdade, podemos obter outra similar à equação geral (4.3).

Exemplo 4.5.

Identificar a superfície dada por: 2x2 + 4y2 + 6z2 − 2x+ 4y − 15z = 10.

Solução.

Da equação 2x2 + 4y2 + 6z2 − 2x+ 4y − 15z = 10 tem-se;

2(x− 1

2)2 + 4(y +

1

2)2 + 6(z − 5

4)2 =

167

8

(x− 1

2)2

167

16

+(y +

1

2)2

167

32

+(z − 5

4)2

167

48

= 1

A superfície é uma elipsóide.

4.3.2 Parabolóide

Parabolóide Elíptico

A equação analítica do parabolóide elíptico com centro no ponto (0, 0, 0) éx2

a2+y2

b2± z = 0

supondo as constantes a > 0 e b > 0.


Figura 4.6:

Não há cortes do parabolóide elíptico com os eixos coordenados,

exceto pela origem: tomando duas variáveis nulas na equação do

parabolóide elíptico, obtemos sempre a origem (0, 0, 0), que é o

vértice do parabolóide; o mesmo ocorre com o corte do parabolóide

elíptico com o plano coordenado z = 0, que é só a origem (0, 0, 0).

Já os cortes com planos paralelos ao plano-xy, quando não-

vazios, são as elipses dadas porx2

a2+y2

b2= k

O corte do parabolóide elíptico com os planos coordenados ver-

ticais y = 0 e x = 0, são as parábolas dadas por

z = ± 1

a2x2, z = ± 1

b2y2

Convém observar que o que é exibido nos gráficos de parabolóides é só uma parte do parabolóide

elíptico que se estende indefinidamente “ para cima” (ou em alguma direção), como ocorre com a

parábola, no entanto, basta entender o comportamento do parabolóide na vizinhança do vértice,

pois o resto é bastante previsível.

Além do elipsóide (que é limitado nos seis sentidos do espaço tridimensional), o parabolóide

elíptico é a única quádrica que tem algum dos seis sentidos limitados, no caso, “para baixo” (ou

em alguma direção). Também observamos que tomando a = b na equação analítica (padrão),

obtemos um parabolóide circular, que sempre é uma superfície de revolução.

O parabolóide elíptico evidentemente é o gráfico da função real

z = f(x, y) =x2

a2+y2

b2

de duas variáveis reais obtida da equação analítica.

A equação do parabolóide elíptico com centro no ponto (x0, y0, z0) é

(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2± (z − z0) = 0

Exemplo 4.6.

Identificar a superfície dada por: 2x2 + 3y2 + 6x+ 12y − 4z = 0.

Solução.

Escrevemos a equação 2x2 + 3y2 + 6x+ 12y − 4z = 0 na forma:

2(x+3

2)2 + 3(y + 2)2 − 4z =

66

4

(x+3

2)2

1

2

+(y + 2)2

1

3

− (z +33

8) = 0

A superfície é um parabolóide elíptico .


Parabolóide Hiperbólico

A equação analítica do parabolóide elíptico com centro (0, 0, 0) éx2

a2− y2

b2± z = 0 supondo

as constantes a > 0 e b > 0.

Figura 4.7:

Não há cortes do parabolóide hiperbólico com os

eixos coordenados, exceto pela origem: tomando duas

variáveis nulas na equação do parabolóide hiperbólico,

obtemos sempre a origem (0, 0, 0), que é o ponto de sela

do parabolóide.

Já o corte do parabolóide hiperbólico com o plano-

xy é o par de retas concorrentes dadas por a|y| = b|x| e

o corte do parabolóide hiperbólico com os planos coor-

denados verticais y = 0 e x = 0, são as parábolas dadas

por

z =1

a2x2, z = − 1

b2y2

Convém observar que o que é exibido nos gráficos desta superficie é só uma parte do parabolóide

hiperbólico, que se estende indefinidamente em todos os seis sentidos do espaço tridimensional;

no entanto, basta entender o comportamento do parabolóide na vizinhança do ponto de sela,

pois o resto tem um comportamento semelhante.

Também observamos que o parabolóide hiperbólico nunca é uma superfície de revolução.

O parabolóide hiperbólico evidentemente é o gráfico da função real

z = f(x, y) =x2

a2− y2

b2

Por outro lado, os cortes por planos verticais paralelos aos eixos coordenados, sempre resultam

em parábolas.

A equação do parabolóide hiperbólico com centro no ponto (x0, y0, z0) é

(x− x0)2

a2− (y − y0)

2

b2± z = 0

Exemplo 4.7.

Identificar a superfície dada por: 2x2 − 3y2 + 6x− 12y − 4z = 0.

Solução.

Escrevemos a equação 2x2 − 3y2 + 6x− 12y − 4z = 0 na forma:

2(x+3

2)2 − 3(y + 2)2 − 4z = −15

2

2(x+3

2)2 − 3(y + 2)2 − 4(z − 15

8) = 0

(x+3

2)2

2− (y + 2)2

4

3

− (z − 15

8) = 0


A superfície é um parabolóide hiperbólico.

4.3.3 Hiperbolóide

O Hiperbolóide Elíptico de uma Folha

Figura 4.8:

A equação analítica do hiperbolóide elíptico de uma folha

com centro no ponto (0, 0, 0) éx2

a2+y2

b2− z2

c2= 1, sendo

convencionado que as constantes a, b e c são todas positivas.

As constantes a e b são os comprimentos dos semi-eixos

da elipse obtida no corte deste hiperbolóide pelo plano coor-

denado z = 0, dada pela equaçãox2

a2+y2

b2= 1 que está no

´´gargalo” do hiperbolóide elíptico de uma folha como mostra

a Figura (4.8).

Os cortes do hiperbolóide elíptico de uma folha com os

planos coordenados verticais são as hipérboles.

Estas hipérboles, tem como equações:

x2

a2− z2

c2= 1,

y2

b2− z2

c2= 1

O hiperbolóide elíptico de uma folha nunca é o gráfico de uma função real de duas variáveis

reais pois quase sempre ocorrem dois cortes por retas verticais. No entanto, podemos separá-lo

em dois gráficos, dados pelas duas funções

z = f(x, y) = c

√

x2

a2+y2

b2− 1 e z = g(x, y) = −c

√

x2

a2+y2

b2− 1

cujo domínio é o anel plano ilimitado exterior ao “gargalo” do hiperbolóide. As curvas de nível

de cada uma destas funções aparecem na figura: são as elipses vistas acima, dadas pelos cortes

por planos horizontais, sendo que o “gargalo” sempre é a elipse mínima.

A equação do hiperbolóide elíptico com centro no ponto (x0, y0, z0) é

(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2− (z − z0)

2

c2= 1

Exemplo 4.8.

Identificar a superfície dada por: 4x2 + y2 − 4z2 − 16x− 6y − 16z + 9 = 0.

Solução.

Escrevemos a equação 4x2 + y2 − 4z2 − 16x− 6y − 16z − 7 = 0 na forma:

4(x− 2)2 + (y − 3)2 − 4(z + 2)2 = 16

(x− 2)2

4+

(y − 3)2

16− (z + 2)2

4= 1


A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, cujo eixo é paralelo com o eixo-z

O Hiperbolóide Elíptico de Duas Folhas

Figura 4.9:

A equação analítica do hiperbolóide elíptico de duas

folhas com centro em (0, 0, 0) éx2

a2− y2

b2− z2

c2= 1

Supondo que as constantes a, b e c são todas pos-

itivas. A constante c tem uma imediata identificação

geométrica, pois os dois pontos (0, 0,±c) são os vér-

tices do hiperbolóide elíptico de duas folhas; além disto,

são os únicos pontos de corte deste hiperbolóide com os

eixos coordenados.

Para observar isto, consideremos x = 0 na equação

analítica acima e obtemosy2

b2+z2

c2= −1 que não possui

solução (real) e portanto não há cortes nem com o plano-yz nem com os eixos y ou z; no entanto,

considerando y = 0 e z = 0 na equação analítica acima, resulta x2 = a2 e obtemos os dois pontos

de vértice.

Os cortes do hiperbolóide elíptico de duas folhas com os planos coordenados verticais são

hipérboles.

Na Figura (4.9) o plano-xy interseção com o hiperbolóide determina a curva de equação

x2

a2− y2

b2= 1

ela é um hipérbole. Já a interseção com o plano-xz determina a curva

x2

a2− z2

c2= 1

que também é um hipérbole.

O hiperbolóide elíptico de duas folhas nunca é o gráfico de uma função real de duas variáveis

reais; no entanto, como sempre ocorrem dois cortes por retas verticais, podemos separá-lo em

dois gráficos, dados pelas duas funções

z = f(x, y) = c

√

1 − x2

a2+y2

b2e z = g(x, y) = −c

√

1 − x2

a2+y2

b2

Exemplo 4.9.

Identificar a superfície dada por: 4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0.

Solução.

Escrevemos a equação 4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0 na forma:

4x2

12− 4y2

12+ z2 = −1


−x2

3+y2

3− z2 = 1

A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, cujo eixo coincide com o eixo-y .

4.3.4 O Cone Elíptico

A equação analítica do cone elíptico com centro no ponto (0, 0, 0) é da formax2

a2+y2

b2−z

2

c2= 0.

Mais precisamente, dizemos superfície cônica de duas folhas, já que o termo“cone” costuma ser

usado para o sólido que esta superfície limita junto com um, ou dois, planos.

Figura 4.10:

Supondo que as constantes a, b e c são todas po-

sitivas. As razões a/c e b/c destes parâmetros propor-

cionam os coeficientes ângulares da geratriz deste cone

nos planos coordenados verticais, ou seja, das retas con-

correntes obtidas no corte deste cone pelos planos co-

ordenados y = 0 e x = 0 de equações, respectivamente,

z = ±acx, z = ±b

cy

Observe que o único corte do cone elíptico com o

plano-xy é dado pela origem, já que substituindo z = 0

na equação-padrão do cone elíptico obtemosx2

a2+y2

b2=

0, cuja única solução é a origem (x, y) = (0, 0).

Em particular, a origem é o único ponto de corte do cone elíptico com os eixos coordenados.

O cone elíptico nunca é o gráfico de uma função real de duas variáveis reais; no entanto, como

sempre ocorrem dois cortes por retas verticais, podemos separá-lo em dois gráficos, dados pelas

duas funções

z = f(x, y) = c

√

x2

a2+y2

b2e z = g(x, y) = −c

√

x2

a2+y2

b2

Concluímos este estudo resumido do cone elíptico observando que ao considerar a = b na

equação analítica, obtemos um cone circular, que sempre é uma superfície de revolução. Esta

superfície é usualmente utilizada para definir as curvas cônicas geometricamente: o corte de

qualquer plano com o cone circular é sempre uma cônica.

É interessante observar, entretanto, que o mesmo ocorre estudando um cone elíptico qualquer.

Exemplo 4.10.

Identificar a superfície dada por: 4x2 − 3y2 + 2z2 + 8x+ 18y − 8z = 15.

Solução.

Escrevemos a equação 4x2 − 3y2 + 2z2 + 8x+ 18y − 8z = 15 na forma:

4(x+ 1)2 − 3(y − 3)2 + 2(z − 2)2 = 0


(x+ 1)2

1

4

+(z − 2)2

1

3

=(y − 3)2

1

3

A superfície é um cone elíptico.

4.3.5 Cilindros

Considera-se uma curva plana C. Todas as linhas retas que passam por C e são perpendicu-

lares ao plano de C formam uma superfície (cilindro). As linhas perpendiculares são chamadas

“geratrizes do cilindro”.

Se a linha curva C se encontra no plano-xy (ou num plano paralelo ao plano-xy) então as

geratrizes do cilindro são paralelas ao eixo-z e a equação do cilindro só tem como variáveis x e

y.

Figura 4.11: Cilindro parabólico Figura 4.12: Cilindro elíptico

Figura 4.13: Cilindro hiperbólico

As equações dos cilindros com curva C nos plano-xy

são:

• Cilindro parabólico x2 = 4cy

• Cilindro elípticox2

a2+y2

b2= 1

• Cilindro hiperbólicox2

a2− y2

b2= 1

Os cilindros quádricos são o lugar geométrico tridi-

mensional de equações de segundo grau em duas var-

iáveis, ou então, o que é mesma coisa, de equações de

segundo grau em três variáveis em que uma não aparece

explicitamente.

Nenhum valor da variável que não aparece deixa de satisfazer a equação e, assim, fazem parte

da superfície cilíndrica todas as retas perpendiculares ao plano determinado pelas duas variáveis

que aparecem na equação, sempre que o pé da perpendicular satisfaz a equação nas duas variáveis

deste plano.


Com uma variável a menos, a equação de segundo grau determina uma curva plana que,

em geral, é uma cônica não-degenerada deste plano; assim obtemos, entre outros, os cilindros

elípticos, hiperbólicos e parabólicos.

Exemplo 4.11.

• Cilindro parabólico x2 − 8x+ 4y + 16 = 0

• Cilindro elípticox2

5+y2

7= 1

• Cilindro hiperbólicox2

7− y2

9= 1

4.4 Superfícies de Revolução

Algumas quádricas podem ser superfícies de revolução, para isto basta que exibam uma

simetria em relação a algum eixo. Geometricamente, isto significa que são círculos todos os

cortes da superfície por uma família de planos paralelos; algebricamente, em termos das equações

analíticas apresentadas na classificação, isto ocorre quando pelo menos duas das três constantes

a, b ou c são idênticas.

No caso do elipsóide, por exemplo, sempre resulta uma superfície de revolução, bastando para

isso a igualdade de duas quaisquer destas constantes; assim obtemos os esferóides e a esfera. No

caso dos hiperbolóides e do parabolóide elíptico, a simetria axial só ocorre quando a = b.

O parabolóide hiperbólico nunca apresenta simetria axial e portanto nunca é uma superfície

de revolução.

4.5 Pares de Planos e Superfícies Imaginárias

Em certos casos, o lugar geometrico determinado por uma equação do segundo grau nas três

variáveis x, y e z não é uma das seis quádricas não-degeneradas nem um cilindro, mas sim dois

planos, reais ou imaginários, ou então uma superfície imaginária. (Situação análoga ocorre em

duas variáveis, originando as cônica degeneradas.)

Por exemplo, o par de planos verticais dados por x = 0 e x = 1, paralelos ao plano-yz, é

determinado pela equação do segundo grau nas três variáveis x, y e z dada por x2 − x = 0

Quando a equação analítica dada na classificação não apresenta soluções reais não-triviais,

falamos exageradamente em superfícies imaginárias, o que significa que estas superfícies só podem

ser pensadas no espaço tridimensional complexo C3, de seis dimensões reais; por exemplo, a

equação x2 + 1 = 0 representa os dois planos paralelos imaginários dados por x = i e x = −ie a equação

x2

a2+y1

b2+z2

c2+ 1 = 0

que só tem soluções complexas, representa um elipsóide imaginário cujos seis vértices são dados

pelos pontos (±ia, 0, 0), (0, ±ib, 0) e (0, 0, ±ic) de C3.


Exercícios 4-1

1. Achar a distância não orientada entre os pontos P e Q, e o ponto médio do segmento de

reta que os une:

1. P (3, 4, 2) eQ(1, 6, 3) 2. P (4, −3, 2) eQ(−2, 3, −5)

3. P (2, −4, 1) eQ(1/2, 2, 3) 4. P (−2, −1/2, 5) eQ(5, −1, 4)

5. P (−5, 2, 1) eQ(3, 7, −2) 6.

2. Mostre que os três pontos P (1, −1, 3), Q(2, 1, 7)eR(4, 2, 6) são os vértices de um triângulo

retângulo e ache sua área.

3. Uma reta é traçada pelo ponto (6, 4, 2) ao plano perpendicular yx .Ache as coordenadas

do ponto sobre a reta a uma distância de 10 unidades do ponto (0, 4, 0).

4. Resolva o exercício anterior se a reta for perpendicular ao plano-yz.

5. Prove que os três pontos P (−3, 2, 4), Q(6, 1, 2) e R(−12, 3, 6) são colineares.

6. Ache os três vértices do triângulo cujos lados tem os pontos médios em (3, 2, 3), (−1, 1, 5)

e (0, 3, 4).

7. Para o triângulo com vértices em P (2, −5, 3), Q(−1, 7, 0) e R(−4, 9, 7), ache: 1.) o

comprimento de cada lado. 2.) o ponto médio de cada lado.

8. Mostre que toda equação da forma x2 + y2 + z2 +Gx+Hy + Jz + L = 0 pode ser posta

da forma (x− h)2 + (y − k)2 + (z − l)2 = K.

9. Nos seguintes exercícios determine o gráfico da equação dada:

1. x2 + y2 + z2 − 8y + 6z − 25 = 0 2. x2 + y2 + z2 − 8x+ 4y + 2z − 4 = 0

3. x2 + y2 + z2 − x− y − 3z + 2 = 0 4. x2 + y2 + z2 − 6z + 9 = 0

5. x2 + y2 + z2 − 8x+ 10y − 4z + 13 = 0 6. x2 + y2 + z2 − 6x+ 2y = 4z + 19 = 0

10. Nos seguintes exercícios ache a equação da esfera satisfazendo as condições dadas:

1. Um diâmetro é o segmento de reta tendo extremidades nos pontos P (6, 2, −5) e

Q(−4, 0, 7)

2. Ela é concêntrica com a esfera de equação x2 + y2 + z 2 − 2y + 8z − 9 = 0.

3. Ela contêm os pontos (0, 0, 4), (2, 1, 3) e (0, 2, 6) e tem seu centro no plano-yx.

11. Prove analíticamente que as quatro diagonais unindo vértices opostos de um paralelepípedo

retangular se interceptam ao meio.

12. Prove analíticamente que as quatro diagonais de um cubo têm o mesmo comprimento.


13. Nos seguintes exercícios ~u = (1, 2, 3), ~v = (4,−3,−1), ~w = (−5,−3, 5) e ~x = (−2, 1, 6).

Ache:

1. ~u+ 5~v, 7~w − 5~x, ||7~w|| − ||5~v||, ||7~w − 5~v||| .

2. 2u− ~w, 4~v + 6~w − 2~x, ||2~u|| − ||~w||, ||4~v + 6~w − 2~x||.

3. Ache os escalares a e b tais que a(~u+ ~v) = b(~x+ ~w).

4. Ache os escalares a, b e c tais que a~u+ b~v + c~w = ~x.

14. Para os seguintes pontos, ache os cosenos diretores do vetor ~u =−−→PQ e teste a resposta

verificando que a soma dos seus quadrados é 1 (um).

a) P (3,−1, 4) e Q(7, 2, 4) b) P (−2, 6, 5) e Q(2, 4, 1).

c) P (4,−3,−1) e Q(−2,−4,−8) d) P (1, 3, 5) e Q(2,−1, 4).

15. Utilizar os pontos do exercícios anterior e ache o ponto R, tal que

a)−−→PQ = 3

−→PR. b)

−→PR = −2

−−→QR

16. Dados P (3, 2,−4) e Q(−5, 4, 2) ache o ponto R tal que 4−−→PQ = −3

−→PR.

17. Dados P (5,−4,−2) e Q(−3, 2, 4) ache o ponto R tal que 3−−→PQ = −4

−→PR.

18. Identifique geometricamente as superfícies definidas pelas equações:

1. x2 + y2 = 4 (em R2 e em R3) 2. x2 + 2y2 = 9 (em R2 e em R3)

3. 2x2 − y2 = 0 (em R2 e em R3) 4. 2x2 − z2 = 1 (em R2 e em R3)

5. x2 + 2y2 − z2 = 4 6. x2 + 2y2 + z2 − 1 = 0.

7. x2 + 2x+ y2 + z2 = 0. 8. x2 − y2 − 4y + z2 − 20 = 0

9. x2 + y2 − z − 5 = 0 10. z =x2

4− y 2

11. z =x2

4− y2

12.x2

4− y2

16+z2

9= 1

19. Identifique e faça um esboço gráfico de cada uma das seguintes superfícies quádricas:

1. x2 + 2y2 + z2 = 1 2. x2 + z2 = 9 3. x2 + y2 + z2 = −2z

4. x2 + y2 = 4 − z 5. (z − 4)2 = x2 + y26. y = x2

7.

z = 2 − y2

x > 28. x2 + 2y2 − z2 = 1 9. x2 − y2 − z2 = 9

20. Represente geometricamente o sólido S definido pelas condições:

1. x2 + y2 ≤ z ≤ 2 − x2 − y22. x2 + y2 ≤ 4 e x2 + y2 ≥ (z − 6)2

3. x2 + y2 ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ x+ y 4. 0 ≤ z ≤ 2 e x2 + y2 − z2 ≤ 1


4.6 Funções de várias variáveis

Como no Cálculo de uma variável, neste capítulo estudaremos uma das noções centrais da

Matemática, o conceito de função. Uma função de várias variáveis reais é uma regra que descreve

como uma quantidade é determinada por outras quantidades, de modo único. Através das funções

de várias variáveis poderemos modelar uma grande quantidade de fenômenos dos mais diversos

ramos da ciência.

Definição 4.10. Função.

Uma função real de n variáveis f : A ⊆ Rn −→ B ⊆ R é uma relação de um con-

junto A de pontos de Rn a um conjunto B de números reais, de modo que, para cada ponto

P (x1, x2, x3, · · · , xn) ∈ A corresponde um, e somente um elemento f(P ) ∈ B.

O valor real da função f podemos denotar como y = f(x1, x2, x3, · · · , xn). As variáveis

x1, x2, x3, · · · , xn denominam-se “variáveis independentes da função”, e y denomina-se “variável

dependente”.

Exemplo 4.12.

Seja f(x, y) =x2 − y2

xy. Determine: (1.) f(3, −2), (2.) f(x, y), (3.) f(

1

x,

1

y).

Solução.

1. f(3, −2) =32 − (−2)2

3(−2)= −5

6.

2. f(y, x) =y2 − x2

yx= −f(x, y).

3. f(1

x,

1

y) =

1x2 − 1

y2

1x · 1

y

=y2 − x2

xy= −f(x, y).

Exemplo 4.13.

Um tanque para estocagem de oxigênio líquido num hospital deve ter a forma de um cilindro

circular reto de raio R e de altura h metros, com um hemisfério em cada extremidade. O volume

do tanque é descrito em função da altura h e do raio R (Figura (4.14)).

Figura 4.14: Tanque para oxigênio

O volume do cilindro é πhR2, e o

volume dois hemisférios é4πR3

3; logo, o

volume total é:

V (h, R) = πR2(4R

3+ h

)

Por exemplo, se a altura for h = 3 e R = 2, o volume é V (3, 2) =68

3π.

Exemplo 4.14.

Da lei gravitacional universal de Newton segue que dada uma partícula de massa m0 na

origem de um sistema de coordenadas xyz, o módulo da força F exercida sobre outra partícula


de massa m situada no ponto (x, y, z) é dado por uma função de cinco variáveis independentes:

F (m0, m, x, y, z) =gm0m

x2 + y2 + z2

.

Exemplo 4.15.

Um circuito elétrico simples é constituído de quatro resistores como na Figura (4.15):

Figura 4.15: Circuito elétrico.

A intensidade da corrente I neste cir-

cuito é função das resistências Ri (i =

1, 2, 3, 4) e da tensão da fonte E; logo:

I(R1, R2, R3, R4, E) =E

R1 +R2 +R3 +R4

A representação da imagem da

função f podemos denotar como y =

f(x1, x2, x3, · · · , xn). As variáveis x1, x2, x3, · · · , xn denominam-se “variáveis independentes”,

e y é chamada de “variável dependente”.

Segundo a definição de função, temos que toda função é uma relação e nem toda relação é

função. Por se tratar de ser função uma relação em particular, os conceitos de domínio e imagem

de função são os mesmos da definição de domínio e imagem de uma relação.

Assim, o conjunto de todos os grupos de valores das variáveis para as quais a função é definida

chama-se “domínio de definição da função”.

Definição 4.11. Domínio e Imagem de uma função.

Seja f : A ⊆ Rn → R uma função.

• O conjunto de todas as variáveis independentes u ∈ Rn tais que f(u) existe e chamado

domínio de f e e denotado por D(f).

• O conjunto dos z ∈ R tais que f(u) = z e u ∈ D(f) e chamado imagem de f e é denotado

por Im(f).

Na prática o domínio de uma função é determinado pelo contexto do problema.

Exemplo 4.16.

O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua altura h. Logo,

V = πr2h.

Como o raio e a altura de um cilindro devem ser positivos, temos que:

D(f) = (r, h) /. r > 0, h > 0 = (0, ∞) × (0, ∞)

e imagem Im(f) = R.

Exemplo 4.17.

Determine o domínio da função f : R2 −→ R definido por z = f(x, y) = arcseny

x.

Solução.


A função está definida para −1 ≤ y

x≤ 1, x 6= 0.

Conseqüentemente −x ≤ y ≤ x para x > 0, e x ≤ y ≤ −x para x < 0.

Da mesma forma que no caso de uma variável, as funções polinomiais de grau n, de várias

variáveis tem D(f) = Rn e a Im(f) depende do grau do polinômio.

Por exemplo. Se f(x, y, z) = x5 + y3 − 3xyz2 − x2 + x2yz + z5 − 1, então, Im(f) = R. Se

g(x, y) = x2 + y2 − 2xy, então Im(f) = [0, +∞).

4.6.1 Gráfico de Funções de Várias Variáveis

Definição 4.12.

Se f : D(f) ⊂ Rn −→ R é uma função, f tem o gráfico no espaço Rn+1 definido por

Gf = (x1, x2, x3, · · · , xn, f(x1, x2, x3, · · · , xn)) /. (x1, x2, x3, · · · , xn) ∈ D(f) ⊂ Rn+1

Quando n = 2 o gráfico Gf é chamado de superfície em R3. Para n = 2, a projeção do gráfico

de f sobre o plano-xy é exatamente D(f).

Se n = 3 o gráfico de Gf é uma “hipersuperfície” em R4.

Exemplo 4.18.

O gráfico da função : f(x, y) =

1 se x, y ∈ Q

0 se x, y ∈ I, não e uma superfície.

Exemplo 4.19.

Seja f : R2 −→ R definido por f(x, y) =√

9 − x2 − y2.

O domínio desta função é o conjunto D(f) = (x, y) ∈ R2 /. 9 − x2 − y2 ≥ 0 ; isto é

D(f) = (x, y) ∈ R2 /. x2 + y2 ≤ 9 .O gráfico da função é uma superfície e mostra-se na Figura (4.16), é uma superfície em R3.

Figura 4.16:

Observação 4.1.

1.

2.

3.


4.6.2 Operações com funções

Definição 4.13.

Sejam f e g funções de Rn sobre R com domínios D(f) e D(g) respectivamente, então,

f ± g, f · g, ef

gsão funções assim definidas:

1. (f ± g)(x).= f(x) ± g(x) com domínio D(f ± g) = D(f) ∩ D(g).

2. (f · g)(x) .= f(x) · g(x) com domínio D(f · g) = D(f) ∩ D(g).

3. (f

g)(x)

.=f(x)

g(x)com domínio D(

f

g) = x ∈ D(f) ∩ D(g) /. g(x) 6= 0 .

Definição 4.14. Composição de funções.

Sejam f : Rn −→ R e g : R −→ R funções com domínio D(f) e D(g) respectivamente,

então definimos a composição das funções g e f (nessa ordem) como a função

(gof)(x).= g(f(x)) = g(f(x1, x2, x3, · · · , xn))

sempre que Im(f) ⊆ D(g)

Exemplo 4.20.

Dado f(x) = arccosx e g(x, y, z) =√

x2 + y2 + z2 − 9. Determine a função fog.

Solução.

Observe que D(g) = (x, y, z) ∈ R3 /. x2 + y2 + z2 ≥ 9 e D(f) = [−1, 1].

(fog)(x, y, z) = f(g(x, y, z)) = arccos(√

x2 + y2 + z2 − 9)

com domínio D(fog) = (x, y, z) ∈ R3 /. f(x, y, z) ∈ D(f) , isto é

D(fog) = (x, y, z) ∈ R3 /. − 1 ≤√

x2 + y2 + z2 − 9 ≤ 1

D(fog) = (x, y, z) ∈ R3 /. 0 ≤ x2 + y2 + z2 − 9 ≤ 1

D(fog) = (x, y, z) ∈ R3 /. 9 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 10

4.6.3 Conjuntos de nível

Definição 4.15. Conjunto de nível.

Seja f : A ⊆ Rn → R, o conjunto de nível de f com valor c ∈ R e definido por:

(x, y) ∈ D(f) /. f(x, y) = c

Observação 4.2.

Suponhamos que esta superfície z = f(x, y) podemos cortar mediante uma família de planos

paralelos ao plano-xy (estes são da forma z = k onde k = 0, 1, 2, · · · , n) além disso sabe-se que

a curva de interseção projeta-se sobre o plano-xy.


Esta curva projeção tem como equação f(x, y) = z e, é chamada “curva de nível de f sobre

k”.

O conjunto de curvas de nível é chamado de “mapa de contorno”.

Exemplo 4.21.

Seja f : R2 −→ R função definida por f(x, y) = (x− 1)2 + (y − 1)2.

A curva de nível desta superfície tem por equação k = (x−1)2+(y−1)2 cujo gráfico mostra-se

na Figura (4.17); o gráfico da superfície mostra-se na Figura (4.18).

Figura 4.17: Projeção das curvas de nível Figura 4.18: z = (x− 1)2 + (y − 1)2

Exemplo 4.22.

Esboce o gráfico de z = f(x, y) = Ln(x2 + y2).

Solução.

Note que D(f) = R2 r (0, 0).

Interseções com os eixos coordenados: (0, ±1, 0), (±1, 0, 0).

Simetrias: A equação: z = Ln(x2 + y2) não se altera se substituimos x e y por −x e −yrespeitivamente; logo, tem simetria em relação aos planos-yz e xz.

Fazendo z = c, temos: x2 + y2 = ec, para todo c ∈ R. As curvas de nível sao círculos

centrados na origem de raios ec/2; se c → ∞, o raio tende para zero e se c → ∞, o raio cresce.

A superfície tem o aspecto de um funil(Figura (4.19)) .

Figura 4.19: Gráfico de z = f(x, y) Figura 4.20: Curvas de nível


4.7 Conjunto aberto. Conjunto fechado

Seja X(x1, x2, x3, · · · , xn) ∈ Rn um ponto, e consideremos a definição de distância definida

como na igualdade (4.1).

Definição 4.16. Bola aberta em Rn.

Seja P (a1, a2, a3, · · · , an) um ponto de Rn, e ε > 0 um número real. Define-se bola aberta

de centro P e raio ε ao conjunto

B(P, ε) = X ∈ Rn /. d(X, P ) < ε

Define-se vizinhança de centro P e raio ε e denota-se Vε(P ), a toda bola aberta B(P, ε).

Definição 4.17. Bola fechada em Rn.

Seja P (a1, a2, a3, · · · , an) um ponto de Rn, e ε > 0 um número real. Define-se bola fechada

de centro P e raio ε ao conjunto

B(P, ε) = X ∈ Rn /. d(X, P ) < ε

Definição 4.18. Bola reduzida em Rn.

Seja P (a1, a2, a3, · · · , an) um ponto de Rn, e ε > 0 um número real. Define-se bola reduzida

de centro a e raio ε ao conjunto

B ′(P, ε) = X ∈ Rn /. 0 < d(X, P ) < ε

Exemplo 4.23.

Na reta real R, tem-se:

1. A bola aberta B(a, ε) é o intervalo aberto (a− ε, a+ ε).

2. A bola fechada B(a, ε) é o intervalo fechado [a− ε, a+ ε].

3. A bola reduzida B ′(a, ε) é o intervalo aberto (a− ε, a) ∪ (a, a+ ε).

Exemplo 4.24.

Seja P (a1, a2) ∈ R2, no plano R2 tem-se:

1. A bola aberta B(P, ε) ou círculo (ou disco) aberto, é o conjunto dos pontos tais que

(x, y) ∈ R2 /. (x− a1)2 + (y − a2)

2 < ε2

2. A bola fechada B(P, ε) ou círculo (ou disco) fechado, é o conjunto dos pontos tais que

(x, y) ∈ R2 /. (x− a1)2 + (y − a2)

2 ≤ ε2

3. A bola reduzida B ′(P, ε) ou círculo (ou disco) reduzido é, o conjunto dos pontos tais que

(x, y) ∈ R2 /. 0 < (x− a1)2 + (y − a2)

2 < ε2


Exemplo 4.25.

Seja P (a1, a2, a3) ∈ R3, no espaço R3 tem-se:

1. A bola aberta B(P, ε) ou esfera aberto, é o conjunto

(x, y, z) ∈ R3 /. (x− a1)2 + (y − a2)

2 + (z − a3)2 < ε2

1. A bola fechada B(P, ε) ou esfera fechada, é o conjunto

(x, y, z) ∈ R3 /. (x− a1)2 + (y − a2)

2 + (z − a3)2 < ε2

3. A bola reduzida B ′(P, ε) ou esfera reduzida, é o conjunto

(x, y, z) ∈ R3 /. 0 < (x− a1)2 + (y − a2)

2 + (z − a3)2 < ε2

Definição 4.19. Conjunto aberto em Rn.

Dizemos que um conjunto S ⊂ Rn é aberto, se para todo X ∈ S existe ε > 0 tal que

B(X, ε) ⊂ S.

Isto é, um conjunto S é aberto em Rn, se para qualquer de seus pontos podemos achar uma

bola aberta integramente contida no conjunto S.

Exemplo 4.26.

1. Na reta R, tem-se que S = (a, b) intervalo aberto é um conjunto aberto.

2. S = (x, y) ∈ R2 /. x > 0 é conjunto aberto em R2.

3. S = (x, y) ∈ R2 /. x ≥ 0 não é conjunto aberto em R2. Pois para o ponto (0, 0) ∈ S

não existe ε > 0 de modo que B(X, ε) ⊂ S.

4. S = (x, y, z) ∈ R3 /. 0 < y é conjunto aberto em R3.

5. S = (x, y, z) ∈ R3 /. d(X, Y ) ≥ ε > 0 onde Y ∈ R3 fixo, não é conjunto aberto em

R3.

6. S = Rn e S = ∅ são conjuntos abertos.

Definição 4.20. Conjunto fechado em Rn.

Dizemos que um conjunto F ⊂ Rn é fechado em Rn, se seu complementar em Rn for um

conjunto aberto.

Isto é, F ⊂ Rn é fechado em Rn se, e somente se CRn(F ) for aberto em Rn.

Exemplo 4.27.

1. Na reta R, tem-se que F = [a, b] intervalo fechado, é um conjunto fechado. O conjunto

A = (a, b] não é conjunto fechado nem conjunto aberto.


2. F = (x, y) ∈ R2 /. xy ≤ 1 é conjunto fechado, seu complementar CR2(F ) é conjunto

aberto.

3. F = (x, y) ∈ R2 /. x2 + y2 > 1 não é conjunto fechado.

4. S = (x, y, z) ∈ R3 /. a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d é conjunto fechado.

5. S = Rn e S = ∅ são conjuntos fechados.

4.7.1 Ponto de acumulação

Definição 4.21. Ponto de acumulação em Rn.

Dizemos que o ponto P ∈ Rn é ponto de acumulação do conjunto S ⊂ Rn, se toda bola

reduzida em S contêm infinitos pontos de S.

Exemplo 4.28.

Seja S = (x, y) ∈ R2 /.x > 0, y > 0 .Tem-se que (0, 0) é ponto de acumulação de S; qualquer ponto deste conjunto S também é

ponto de acumulação.

Definição 4.22. Conjunto limitado

Dizemos que um conjunto de A ⊂ Rn é limitado, se existe uma bola B(P, ε) de raio finito

em Rn, tal que S ⊆ B(P, ε).


Exercícios 4-2

1. Determine o volume em função de h e r.

1. Um depósito de grãos que tem formato de um cilindro circular reto de altura total h e

raio r (h > r), com teto cônico.

2. Um depósito de gás que tem formato de um cilindro circular reto de altura total h e

raio r (h > r), com teto uma semi-esfera.

2. Expressar o volume z do cone como função de sua geratriz x e sua altura y.

3. Expressar a área S do triângulo em função de seus lados x, y e z.

4. Determine os valores das funções:

1. z =

(

arctan(x+ y)

arctan(x− y)

)2

para x =1 +

√3

2, y =

1 −√

3

2

2. z = esen (x+y) para x = y =π

2

3. z = yx2−1 + xy2−1 para x = 2, y = 2; x = 2, y = 1; x = 1, y = 2

5. Dada a função: F (x, y) =f(x)g(y) − g(x)f(y)

f(xy)g(xy).

Achar F (a,1

a). Em particular, considerar f(t) = t3 g(t) = t2 e calcular F (a,

1

a).

6. Seja a função f de duas variáveis, x e y. O conjunto dos pares ordenados da forma (P, z)

tal que z =x− y

x+ yse, e somente se, f(x, y) =

x− y

x+ y.

Determine: a) f(−3, 4), b) f(x2, y2), c) f(−x, y) − f(x, −y), d) [f(x, y)]2,

e) o domínio de f , f) a imagem de f .

7. Seja a função g de três variáveis, x, y e z. O conjunto dos pares ordenados da forma

(P, w) tal que w =√

x2 + y2 + z2 − 4 se, e somente se, g(x, y, z) =√

x2 + y2 + z2 − 4.

Determine: a) g(1,−1,−1), b) g(x−a, 2b, c/2), c) [g(x, y, z)]2−[g(x−2, y, z−2)]2,

d) o domínio de g, e) a imagem de g, f) Trace um, esboço mostrando como um sólido

sombreado de R3.

8. Nos seguintes exercícios, encontre o domínio e a imagem da função f e trace um esboço

mostrando uma região sombreada em R2, como o conjunto de pontos do domínio de f

1. f(x, y) = Ln(xy − 1) 2. f(x, y) =√

9 − x2 − y2

3. f(x, y) = arcsen(x+ y) 4. f(x, y) = Ln(x2 + y)

5. f(x, y) =√

16 + x2 + y2 6. f(x, y) =√

x2 + y2 − 1

7. f(x, y) =√

x2 + 4y2 + 16 8. f(x, y) =√

x2 + 3y2 − 1

9. f(x, y) =√

x2 + y2 + 16 10. f(x, y) =x+ y

x− y

11. f(x, y) =1

√

16 + 4x2 − 4y212. f(x, y) = arcsen(x− y)


9. Determine o domínio e a imagem para cada uma das seguintes funções

1. f(x, y, z) =x− y − z

x+ y + z2. f(x, y, z) =

x+ y − z

x− y

3. f(x, y, z) =√

16 − 4x2 − y2 − 4z2 4. f(x, y, z) = xz · arccos(x2 − 1)

5. f(x, y, z) =y

x2 − z6. f(x, y, z) =

√

9 − x2 − y2 − z2

7. f(x, y, z) = (x+ y)√z − 2 8. f(x, y, z) = |x|exp(y

z)

10. Para cada um dos seguintes exercícios, encontre o domínio e imagem da função f e trace

um esboço do gráfico.

1. f(x, y) = 9x2 + y22. f(x, y) =

√

2x+ y

3. f(x, y) = 4y2 − x24. f(x, y) =

√

16 − 4x2 − y2

5. f(x, y) =√

36 − x2 − y2 6. (x, y) = 9 − x2 − y2

11. Nos seguintes exercícios trace um esboço do mapa de contorno da função f mostrando as

curvas de nível de f para os valores de k dados.

1. A função do exercício (5)-2 para k = 10, 8, 6, 5 e 0.

2. A função do exercício (5)-4 para k = 8, 6, 4, 2 e 0.

3. A função do exercício (5)-5 para k = 6, 5, 4, 3, 2, 1 e 0.

4. A função do exercício (5)-3 para k = 16, 9, 4, 0, −4, −9 e −16.

5. A função do exercício (5)-6 para k = 9, 8, 7, 0, −6 e −12.

6. A função f para o qual f(x, y) = 4x2 + y2 para k = 8, 6, 4, 2 e 0.

7. A função f para o qual f(x, y) =x+ 3

y − 2para k = 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 0 e −1/4.

12. São dadas as funções f e g. Determine h(x, y) se h = fog. Determine o domínio de h.

1. f(t) = arccos t, g(x, y) =√

4 − x2 − y2

2. f(t) = e4t+1, g(x, y) = xLny

3. f(t) = arctan t, g(x, y) =√

y2 − x2


4.8 Limite de uma função

Definição 4.23.

Seja f : S ⊂ Rn −→ R uma função definida sobre S, e seja A ∈ Rn um ponto de acumulação

de S. O número L é chamado limite da função f quando X(x1, x2, x3, · · · , xn) tende ao ponto

A(a1, a2, a3, · · · , an), se para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que

|f(X) −A| < ε sempre que 0 < ‖X −A‖ < δ

Onde ‖X −A‖ é a distância d(X, A) definida na igualdade (4.1); neste caso escreve-se:

L = limX→A

f(X) = limx1→a1x2→a2

...xn→an

f(x1, x2, x3, · · · , xn)

Esta definição em termos de vizinhança é:

limX→A

f(X) = L ⇔ ∀ ε > 0, ∃δ > 0, /. ∀X ∈ B ′(A, δ) ⇒ f(X) ∈ B(L, ε)

Observação 4.3.

O ponto A ∈ Rn não necessáriamente deverá estar no domínio da função, é possível ser um

ponto de acumulação do domínio que não pertence a este conjunto.

Exemplo 4.29.

Verificar que limx→1y→2

x+ y2 = 5.

Solução.

Seja ε > 0, devemos achar δ > 0 tal que |x+y2−5| < ε sempre que 0 < ‖(x, y)− (1, 2)‖ < δ.

Com efeito, tem-se que |x+ y2 − 5| = |(x− 1) + 4(y − 2)2|, logo

|x+ y2 − 5| ≤ |x− 1| + |y − 2|2 + 4|y − 2| < ε (4.4)

Por outro lado, como√

(x− 1)2 + (y − 2)2 = ‖(x, y) − (1, 2)‖ < δ, então segue que

|x− 1| ≤√

(x− 1)2 + (y − 2)2 < δ e |y − 2| ≤√

(x− 1)2 + (y − 2)2 < δ

De onde, considerando 0 < δ ≤ 1 em (4.4)

|x+ y2 − 5| ≤ |x− 1| + |y − 2|2 + 4|y − 2| < δ + δ + 4δ = 6δ = ε

Escolhido δ = min 1,ε

6, tem-se que |x+ y2 − 5| < ε sempre que 0 < ‖(x, y)− (1, 2)‖ < δ.

Portanto, limx→1y→2

x+ y2 = 5.

Exemplo 4.30.


Seja a função f(x, y) =xy

|x| + |y| para todo (x, y) 6= (0, 0). Mostre que limx→0y→0

f(x, y) = 0.

Demonstração.

Seja ε > 0, devemos achar um δ > 0 tal que

| xy

|x| + |y| − 0| < ε sempre que 0 < ‖(x, y) − (0, 0)‖ < δ

Sabe-se que

∣

∣

∣

∣

xy

|x| + |y| − 0

∣

∣

∣

∣

< ε ⇒∣

∣

∣

∣

|x||y||x| + |y| − 0

∣

∣

∣

∣

< ε.

Por outro lado, |x| + |y| ≥√

x2 + y2 ⇒ 1

|x| + |y| ≤1

√

x2 + y2.

Logo,

∣

∣

∣

∣

xy

|x| + |y| − 0

∣

∣

∣

∣

≤ x2 + y2

√

x2 + y2=

√

x2 + y2 < ε = δ.

Escolhido δ = ε tem-se que

∣

∣

∣

∣

xy

|x| + |y| − 0

∣

∣

∣

∣

< ε sempre que 0 < ‖(x, y) − (0, 0)‖ < δ.

Portanto, limx→0y→0

f(x, y) = 0.

4.8.1 Propriedades dos limites

Propriedade 4.6.

Quando o limite de uma função existe, este limite é único.


Propriedade 4.7.

Sejam f, g : Rn −→ R funções tais que limX→A

f(X) e limX→A

g(X) existem no ponto A que é

ponto de acumulação de D(f) ∩ D(g), então:

1. limX→A

[f(X) ± g(X)] = limX→A

f(X) ± limX→A

g(X)

2. limX→A

[f(X) · g(X)] = limX→A

f(X) · limX→A

g(X)

3. limX→A

f(X)

g(X)=

limX→A

f(X)

limX→A

g(X)sempre que lim

X→Ag(X) 6= 0.


Propriedade 4.8.

Suponhamos que f : R2 −→ R seja definida em uma bola aberta de centro (x0, y0) exceto

possívelmente em (x0, y0) e limx→x0y→y0

f(x, y) = L.

Então, se S é qualquer subconjunto de R2 que tem (x0, y0) como ponto de acumulação segue

que limx→x0y→y0

(x, y)∈S

f(x, y) existe, e tem como limite um valor igual a L.

Demonstração.


Como limx→x0y→y0

f(x, y) = L então

|f(x, y) − L| < ε sempre que 0 < ‖(x, y) − (x0, y0)‖ < δ

Isto é verdadeiro se restringimos (x, y) a qualquer subconjunto S ⊂ R2, quando S tem como

ponto de acumulação (x0, y0).

Portanto, pela definição segue que limx→x0y→y0

(x, y)∈S

f(x, y) = L.

Propriedade 4.9.

Suponhamos que f : R2 −→ R tenha diferentes limites quando (x, y) se aproxima a (x0, y0)

através de dois conjuntos diferentes que têm (x0, y0) como ponto de acumulação. Então limx→x0y→y0

f(x, y)

não existe.

Demonstração.

Sejam S1, e S2 dois subconjuntos de R2 que têm (x0, y0) como ponto de acumulação, e sejam

L1, L2 ∈ R sendo L1 6= L2 tais que

limx→x0y→y0

(x, y)∈S1

f(x, y) = L1 e limx→x0y→y0

(x, y)∈S2

f(x, y) = L2

Caso o limite limx→x0y→y0

f(x, y) exista, então pela unicidade do limite segue que L1 = L2. Absurdo!

Portanto, limx→x0y→y0

f(x, y) não existe.

Exemplo 4.31.


x2 + y2, ∀(x, y) 6= (0, 0). Determine se existe o limite: lim

x→0y→0

f(x, y).

Solução.

Seja S1 = (x, y) ∈ R2 /. y = 0 , então f(x, 0) =0

x2 + 02= 0, x 6= 0.

Logo limx→x0y→y0

(x, y)∈S1

f(x, y) = limx→0

f(x, 0) = limx→0

0 = 0.

Por outro lado, seja S2 = (x, y) ∈ R2 /. x = y , então f(x, y) =x2

x2 + x2=

1

2, x 6= 0.

Logo limx→x0y→y0

(x, y)∈S2

f(x, y) = limx→0

f(x, x) = limx→0

1

2=

1

2.

Pela Propriedade (4.9) segue que o limite limx→0y→0


Exemplo 4.32.

Determine se existe o limite da função f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2quando x→ 0 e y → 0.

Solução.

Em R2 o ponto P (x, y) aproxima-se ao ponto A(0, 0) por uma quantidade indeterminada de


caminhos. Examinemos a variação de x através da reta y = kx (k ∈ R constante)

limx→0y→0

x2 − y2

x2 + y2= lim

x→0

x2 − (kx)2

x2 + (kx)2= lim

x→0

1 − k2

1 + k2=

1 − k2

1 + k2

Este último resultado tem diferentes valores na medida que k varia.

Portanto, pela unicidade do limite temos que não existe o limite da função f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2

quando x→ 0 e y → 0.

Exemplo 4.33.

Verifique que o limite limx→0y→0

(x2 + 3y2)

(x− y)não existe, mesmo que em todos os caminhos y = mx

(com m 6= 1) permitir limx→0

y=mx

x2 + 3m2x2)

(x− xm)= 0

Solução.

Temos que considerar um ε > 0 dado e mostrar que nao conseguimos achar um δ > 0 tal que

|f(x, y) − 0| < ε sempre que 0 <‖ (x, y) − (0, 0) ‖< δ.

Para todo δ > 0, considerando os pontos (x, y) na forma y = mx onde 1− δ

2ε< m < 1 +

δ

2ε

e x2 + y2 =δ2

4. Assim,

δ2

4= x2 + y2 = (1 +m2)x2 ⇒ x =

δ

2√

1 +m2

Então, x2 + 3y2 = x2 + 3m2x2 = (1 + 3m2)x2 =(1 + 3m2)δ2

4(1 +m2)>δ2

4Também

|x− y| = |x−mx| = |1 −m||x| < 1

2ε· δ

2√

1 +m2<δ2

4ε⇒ 1

|x− y| >4ε

δ2

Assim, |f(x, y) − 0| =|x2 + 3y2||x− y| >

δ2

4· 4ε

δ2> ε.

Exemplo 4.34.

Consideremos a função T (x, y) que mostra a temperatura T de cada ponto (x, y) de uma chapa

circular (exceto as bordas, que e constituida de outro material) de raio unitário, localizada no

centro do plano-x0y, T (x, y) = x2+y2−2x+5y−10, com domínio D(T ) = (x, y)/ x2+y2 < 1.

Poderemos estar interessados em analisar as variações das temperaturas em diferentes pontos,

quais os pontos mais quentes, mais frios, qual seria a tendência da temperatura na borda. Aqui

estariamos aplicando conceitos de limite.

Apesar de trabalharmos mais com funções de duas variáveis, os mesmos procedimentos valem

para funções de três ou mais variáveis.

4.8.2 Limites reiterados

Seja uma função f : A ⊂ R2 −→ R e (x0, y0) um ponto de acumulação de A, as expressões

da forma:


limx→x0

limy→y0

f(x, y) limy→y0

limx→x0

f(x, y)

são chamadas de “limites reiterados”.

Estas idéias podemos generalizar para funções de n variáveis.

Exemplo 4.35.

Determine se os limites reiterados entorno do ponto (0, 0) existe para a função

f(x, y) =

xsen1

y+ ysen

1

xse (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

Solução.

Estudemos os distintos limites no ponto (0, 0). É evidente que limx→0y→0

f(x, y) = 0.

Por outro lado, os limites limx→0

y · sen 1

x(y 6= 0) e lim

y→0x · sen 1

y(x 6= 0) não existem, e

limx→0

x · sen 1

y= 0 (y 6= 0) e lim

y→0y · sen 1

x(x 6= 0)

Portanto, os limites reiterados limx→0

limy→0

f(x, y) e limy→0

limx→0

f(x, y) não existem.

Exemplo 4.36.


x2 + y2, determine se existem os limites reiterados entorno do

ponto (0, 0).

Solução.

É imediato que: limx→0

limy→0

f(x, y) = 0 e limy→0

limx→0

f(x, y) = 0.

Porém, limx→0y→0


Propriedade 4.10.

Suponhamos f : A ⊆ Rn −→ R, o retângulo R = (x0, y0) /. |x−x0| < δ1, |y− y0| < δ2 inscrito em A, onde (x0, y0) é ponto de acumulação de A.

Se o limite de f no ponto (x0, y0) existe através do conjunto A, e para qualquer y ∈ (y0 −δ2, y0 + δ2) o limite lim

x→x0

f(x, y) = g(y), existe então

limx→x0

limy→y0

f(x, y) = limx→x0y→y0

(x,y)∈A

f(x, y)


Exemplo 4.37.

A função f(x, y) = x · sen 1y , y 6= 0. Esta função está definida em todo o plano, exeto no

eixo-x.

Denotemos o domínio f por de por A = R2 r y = 0.


Evidentemente existem os limites

limx→x0y→y0

(x,y)∈A

f(x, y) = 0, e limx→0

f(x, y) = 0 y 6= 0

logo, pela Propriedade (4.10), existe também o limite limy→0

limx→0

f(x, y) = 0.

Observe no exemplo anterior que não existe limx→0

limy→0

f(x, y)

4.9 Continuidade

Definição 4.24.

Seja f : S ⊂ Rn −→ R uma função definida em S, e A(a1, a2, a3, · · · , an) ∈ S. Dizemos

que f é contínua no ponto A se satisfaz as três condições:

1. f(A) existe;

2. limX→A

f(X) existe;

3. limX→A

f(X) = f(A)

Exemplo 4.38.

Seja f(x, y) = xy e o ponto A(2, 3) no domínio D(f).

Tem-se que f(2, 3) = (2)(3) = 6 existe. Por outro lado, limx→2y→3

f(x, y) = 6.

Portanto, f(x, y) = xy é contínua no ponto (A(2, 3).

Exemplo 4.39.

Seja a função f(x, y) =

xy3

x2 + y6se, (x, y) 6= (0, 0)

0 se, (x, y) = (0, 0)

Determine se f é contínua em (0, 0).

Solução.

Observe que:

1. f(0, 0) = 0 existe por definição da própria função.

2. Seja S1 = (x, y) ∈ R2 /. y = 0 , então f(x, 0) = 0 e limx→0y→0

(x, 0)∈S1

f(x, y) = 0.

Considerando S2 = (x, y) ∈ R2 /. y3 = x , então f(x, y) =1

2e lim

x→0y→0

(x, 0)∈S2

f(x, y) =1

2.

Portanto a função f(x, y) não é contínua em (0, 0), o limite não existe.

Exemplo 4.40.

Determine a continuidade da função f(x, y) =

3x2y − y

x2 + y2se, (x, y) 6= (0, 0)

0 se, (x, y) = (0, 0)

em (0, 0).

Solução.


É provável que seja descontínua em (0, 0).

Consideremos x2 = ky para k ∈ Z

lim(x,y)→(0,0)

3x2y − y

x2 + y2= lim

y→0

ky=x2

3ky2 − y

ky + y2= −1

k

Não existe limite em (0, 0), logo a função não é contínua em (0, 0).

Propriedade 4.11.

Sejam f, g : S ⊆ Rn −→ R funções definidas em S, então:

1. Se f e g são contínuas em A ∈ S, então f ± g é contínua em A ∈ S.

2. Se f e g são contínuas em A ∈ S, então f · g é contínua em A ∈ S.

3. Se f e g são contínuas em A ∈ S, entãof

gé contínua em A ∈ S sempre que g(A) 6= 0.

A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor. É imediata pelas propriedades

dos limites.

4.9.1 Teorema de continuidade da função composta

Propriedade 4.12.

Sejam F, G, H : Rn −→ R e f, g : R −→ R funções cada uma delas contínuas em seu domínio

de definição, então as seguintes funções compostas são contínuas em seu respectivo domínio.

Fo(G, H), Fo(f, g), foF


Exemplo 4.41.

Seja f(x, y) =

sen (xy)

xyse, (x, y) 6= (0, 0)

1 se, x = 0 ou y = 0

Mostre que f é contínua em R2.

Solução.

Observe que f(x, y) = (goF )(x, y), onde F (x, y) = xy e g(u) =

sen u

use, u 6= 0

1 se, u = 0

Como F é contínua em (0, 0) e g é contínua em 0, então Fog é contínua em (0, 0).

Exemplo 4.42.

Seja f(x, y) =

1 − cos(x− y)

x− yse, x 6= y

0 se, x = y

Verificar que f é contínua em R2.

Solução.


Observe que f(x, y) = (goF )(x, y), onde F (x, y) = x−y e g(u) =

1 − cosu

use, u 6= 0

0 se, u = 0

Como F é contínua em todo R2 e g é contínua em R, então Fog é contínua em R2.

Definição 4.25.

Dizemos que uma função é contínua num conjunto S ⊆ Rn, se ela é contínua em todos os

pontos X ∈ S.

Observação 4.4.

1. Se uma função f : Rn −→ R não satisfaz as condições da Definição (4.24) para o ponto

P0 ∈ Rn, dizemos que P0 é ponto de descontinuidade da função f .

2. Os pontos de descontinuidade podem ser “pontos isolados” e podem formar linhas de descon-

tinuidade, superfícies de descontinuidade, etc.

3. Dizemos, ainda, que f é contínua, se o for em cada ponto do domínio.

Exemplo 4.43.

1. Como em funções de uma variável, a funções polinomiais, senoidais, cossenoidais e expo-

nenciais são exemplos de funções contínuas (em todo seu domínio).

2. No nosso exemplo (4.34) da temperatura, T (x, y) = x2 + y2 − 2x+ 5y − 10 , com domínio

apenas no interior do disco D(f) = (x, : y) : / x2 +y2 < 1, T (0, 1) não está definido,

mas tem limite igual a −4oC.

3. Para f(x, y) =(x2 + 3y2)

(x˘y), não é definida f(x, y) em nenhum ponto (x, y) da reta y = x.

Obviamente, não existe lim(x,y)→(3,3)

f(x, y) = ∞.

Exemplo 4.44.

Determine os pontos de descontinuidade da função f(x, y, z) =7 + 8xyz

4x− 5y + 3z − 9.

Solução.

A função não está definida para os valores (x, y, z) onde o denominador seja zero; isto é

quando 4x− 5y + 3z − 9 = 0.

Motivo pelo qual, a função tem como descontinuidade os pontos do plano 4x−5y+3z−9 = 0.

O espaço de funções contínuas é denotado C0, logo

C0 = f : A ⊆ Rn −→ Rm /. f contínua em A

Uma função contínua pode ser formalmente definido como uma função f : A ⊆ Rn −→ B ⊆Rm onde a imagem de cada conjunto aberto em A é aberto em B.


Exercícios 4-3

1. Para os seguintes exercícios estabeleça o limite encontrando δ > 0 para qualquer ε > 0 de

modo que a definição de limite seja válida.

1. limx→3y→2

(3x+ 4y) = 17 2. limx→2y→4

(5x+ 3y) = 22 3. limx→2y→4

(x2 − 2xy + y2) = 4

4. limx→3y→2

(2x2 + y2) = 22 5. limx→1y→1

(x2 − y2) = 0 6. limx→3

y→−1

(x2 − y2 + 4x+ 2y) = 18

2. Calcular os seguintes limites:

1. limx→0y→2

[y · sen xx

]

2. limx→2y→0

[

x+ Ln(1 + xy)

1 + x+ y

]

3. limx→0y→0

[

exy − 1

x

]

4. limx→0y→0

[

xy(x2 − y2)

x2 + y2

]

5. limx→0y→0

[

cos(xy) − 1

x

]

6. limx→0y→0

[

x · sen (x2 + y2)

x2 + y2

]

7. limx→4y→π

[

x2 · sen xy

]

8. limx→0y→1

[ −1

ex2(y−1)2

]

9. limx→2y→1

[

arcsen(xy − 2)

arctan(3xy − 6)

]

3. Seja f(x, y) =(y2 − x)3 + x2y

(y2 − x)2+ | x |5 . Verificar que limx→0y→0

f(x, y) = 0.

4. Seja f(x, y) =

| x |y, se x 6= 0

1, se x = 0. Verificar que o limite lim

x→0y→0


5. Nos seguintes exercícios, encontre o domínio da função f e trace um esboço do gráfico.

1. f(x, y) = 4x2 + 8y22. f(x, y) = 16 − x2 − y2

3. f(x, y) =√

100 − 25x2 − 4y2

4. f(x, y) =√x+ y 5. f(x, y) =

√

10 − x− y2 6. f(x, y) =

2, se x 6= y

0, se x = y

6. Nos seguintes exercícios, são definidas as funções f e g. Encontre h(x, y) se h = fog bem

como o domínio de h.

1. f(t) = arccos t, g(x, y) =√

x2 + y2 − 1

2. f(t) = arcsect, g(x, y) =√

y2 − x2

7. Para os seguintes exercícios, verifique que, para a função f dada, o limite limx→0y→0

f(x, y) não

existe.

1. f(x, y) =5x2 − y2

x2 + 5y22. f(x, y) =

x2

x2 − y23. f(x, y) =

xy9

(x2 + y6)2

4. f(x, y) =x2y2

(x2 + y4)35. f(x, y) =

x2y4

x7 + y76. f(x, y) =

x3y + x2y2 + 2xy3

(x2 + y2)2


8. Para os seguintes exercícios, calcule o limite imdicado, usando teoremas apropriados.

1. limx→2y→3

[

3x2 + xy − 2y2]

2. limx→−2y→4

[

y√

x3 + 2y]

3. limx→0y→0

[

ex + ey

cosx+ sen y

]

4. limx→−2y→3z→4

[

4x2y + xyz2 + 12x2z3]

5. limx→0y→2z→0

[

x2y2 + y2z2

x2 − z2

]

6. limx→π

3y→1z→π

[

sen (xy) − sen (yz)

sen (y − z)

]

7. limx→0y→0z→0

[

(xex + yey + zez)2

ex + ey + ez

]

8.

9. Para as seguintes funções f , determine se o limite limx→0y→0

f(x, y) existe.

1. f(x, y) =x3 + 3y3

3x2 + y22. f(x, y) =

x2y√

x2 + y23. f(x, y) =

x2 + x2y√

x2 + y2

4. f(x, y) =3x2y + 2xy2

x+ y5. f(x, y) =

x6y2

x2 − y26. f(x, y) =

x4y2

x3 + y3

7. f(x, y) =x2 + y

x+ y28. f(x, y) =

xy7

x4 + y49. f(x, y) =

10. Determine os pontos de descontinuidade das funções:

1. z =1

(x− 1)2 + (y + 1)22. z =

1

sen x · sen y 3. z = Ln(1 − x2 − y2)

4. z =1

sen 2πx+ sen 2πy5. z =

x2 + y2

(x+ y)(y2 − x)6. z =

1

(x2 + y2 − 1)(x2 − y2 − 1)

11. Determine os pontos de descontinuidade das funções:

1. f(x, y, z) =1

xyz2. f(x, y, z) =

1

x2

a2+y2

b2+z2

c2− 1

3. f(x, y, z) =1

x2 + y2 − z24. f(x, y, z) =

1

x2 + y2 − z2 + 1

5. f(x, y, z) =1

x2 + y2 − z2 − 16. f(x, y, z) =

12. Um paralelepípedo retangular tem as seguintes dimensões: a = 2m, b = 3m e c =

6m. Achar aproximadamente a magnitude em que varia o comprimento da diagonal, se a

aumenta em 2cm, b em 1cm e c diminue em 3cm.

13. Um cone truncado de altura h = 30cm tem como raios: R = 20cm e r = 10cm. Como

varia aproximadamente o volume do cone, se R aumenta em 2mm, r em 3mm e h diminue

em 1mm.

Capítulo 5

DERIVADAS

F. Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss , (1777 − 1855), nasceu emBrunswick (Alemanha) em 30 de abril de 1777 e começou a freqüentara escola de sua cidade natal aos sete anos, onde seus professores no-taram seu potencial. Isso ocorreu porque certo dia, seu professor pediuque os alunos somassem os números inteiros de um a cem, pensandoque os alunos ficariam ocupados por um bom tempo e que ele poderiadescansar. Mas, logo que deu a tarefa, um menino lhe mostrou o re-sultado: 5050. Imediatamente o professor lhe repreendeu, pois pensavaque o menino estivesse brincando, porque ele próprio ainda não haviafeito o cálculo e não sabia a resposta.

Buttner, o professor que presenciara o cálculo da soma dosprimeiros cem números inteiros, deu-lhe seu primeiro livro sobrematemática. Aos dez anos, Gauss já o havia lido e assimilado por

completo. Lia tudo o que chegava às suas mãos. Alguns colegas lhe emprestavam livros inacessíveis aoseu bolso. Bartels, assistente de Buttner.

Em março 1796, um mês antes de completar dezenove anos, Gauss descobriu como construir umpolígono regular de dezessete lados, usando para tanto apenas régua e compasso. Havia mais de 2000

anos que se sabia construir, com régua e compasso, o triângulo equilátero e o pentágono regular (assimcomo outros polígonos regulares com número de lados múltiplo de dois, três e cinco), mas nenhum outropolígono com número de lados primo. Gauss mostrou que também o polígono regular de dezessete ladospode ser construído com régua e compasso.

Em 1809, o matemático dedicava a maior parte do seu tempo ao novo observatório, finalizado em1816, porém ainda encontrava tempo para trabalhar em outros assuntos. Algumas das publicações real-izadas por ele nesse período foram: “Indagações gerais a cerca das séries infinitas”, um estudo rigorosode série e uma introdução da função hipergeomética. Também escreveu “Methodus nova integralium val-ores per approximationem inveniendi, Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen”, uma discussãosobre estatísticas estimadas, e “Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogene-orum methodus nova tractata”. Seu trabalho posterior foi inspirado por problemas geodésicos e estavaprincipalmente preocupado com a teoria potencial.

Além de inumeráveis artigos breves em revistas de matemática, física e geodésia, Gauss publicoucerca de 155 volumes sobre os seus estudos. Portanto, pode-se apenas ressaltar as principais pesquisas edescobertas de cada período de suas atividades.

Gauss faleceu em uma manha de 23 fevereiro de 1855 em Gottingen (Alemanha), enquanto aindadormia. Quando da sua morte, estava perfeitamente lúcido e consciente .

253


5.1 Derivadas parciais

A generalização do conceito de derivada para funções de várias variáveis não é imediata.

Para funções de mais do que uma variável comecemos por definir as chamadas derivadas

parciais, ou seja, comecemos por estudar a variação da função de uma variável, dita parcial, que

se obtém, considerando a(s) outra(s) variáveis constante(s).

Isto é, para a definição de derivada parcial de uma função de duas variáveis, uma delas deve

ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra.

Seja z = f(x, y) definida num aberto S ⊆ R2 e (a, b) ∈ S. Se fixarmos, por exemplo,

a variável y = b (b constante) obtemos uma função z = f(x, b) de apenas uma variável x.

Geometricamente isto corresponde a seccionar a superfície z = f(x, y) pelo plano y = b.

5.1.1 Incremento da função

O valor da função z = f(x, y) pode variar se apenas uma das variaveis (x ou y) ou ambas

variarem.

Por exemplo temos a função f(x, y) = −10 − 2, 2x + 5, 3y que indica a temperatura num

determinado ambiente. Ao se deslocar do ponto (x, y) = (0, 0) para o ponto (−0, 2; 0, 3), a

temperatura muda de f(0, 0) = −10oC para f(−0, 2; 0, 3) = −7, 97oC.

Assim, justifica-se a seguinte definição.

Definição 5.1. Incremento de uma função.

Seja f : R2 −→ R uma função. O incremento de f no ponto (x0, y0) ∈ D(f), é denotado por

∆f(x0, y0) e está definido por

∆f(x0, y0) = f(x0 + ∆x0, y0 + ∆y0) − f(x0, y0)

Em geral temos a seguinte definição.

Definição 5.2.

Seja f : Rn −→ R uma função. O incremento de f no ponto P (x1, x2, x3, · · · , xn) ∈ D(f),

é definido por

∆f(P ) = f(x1 + ∆x1, x2 + ∆x2, x3 + ∆x3, · · · , xn + ∆xn) − f(x1, x2, x3, · · · , xn)

Exemplo 5.1.

Sejam f(x, y) = 3x2 + 2xy − y2, ∆x = 0, 03, ∆y = −0, 02. Determine o incremento de

f no ponto P (1, 4).

Solução.

Tem-se: ∆f(1, 4) = f(1 + 0, 03, 4 − 0, 02) − f(1, 4)

∆f(1, 4) = 3(1 + 0, 03)2 + 2(1 + 0, 03)(4 − 0, 02) − (4 − 0, 02)2 − (3 + 8 − 16) = 0, 54

Exemplo 5.2.


Sejam f(x, y, z) = xy + Ln(yz), ∆x = 0, 02, ∆y = 0, 04, ∆z = 0, 03. Determine o

incremento de f no ponto P (4, 1, 5).

Solução.

Tem-se: ∆f(4, 1, 5) = f(4 + 0, 02, 1 + 0, 04, 5 + 0, 03) − f(1, 4)

∆f(4, 1, 5) = (4 + 0, 02)(1 + 0, 04) + Ln[(1 + 0, 04)(5 + 0, 03)] − [(4)(1) + Ln[(1)(5)]] =

∆f(4, 1, 5) = 4, 1808 + Ln(5, 2312) − [(4)(1) + Ln[(1)(5)]] = 0, 226...

5.1.1.1 Incremento parcial

Se variarmos apenas x para x+4x, o valor de z passa de f(x, y) para z+4z = f(x+4x, y).Se variarmos apenas y para y+4y, o valor de z passa de f(x, y) para z+4z = f(x, y+4y).Ainda, no nosso exemplo da temperatura, ao se deslocar do ponto (x, y) = (0, 0) para o

ponto (−0, 2; 0), a temperatura sai de f(0, 0) = −10oC para f(−0, 2; 0) = −9, 56oC (4x =

−0, 2 ⇒ 4f = 0, 44oC).

Se o deslocamento fosse para a direção do ponto (0; 0, 3), a temperatura modificaria de

f(0, 0) = −10oC para o valor f(0; 0, 3) = −8, 41oC (4y = 0, 3 ⇒ 4f = 1, 59oC).

5.1.1.2 Taxa de variação

Se variarmos x para x+4x e y para y+4y, o valor de z passa de f(x, y) para z +4z =

f(x+ 4x, y + 4y).Foi o nosso primeiro exemplo numérico, onde 4x = −0, 2 e 4y = 0, 3 ⇒ 4f = 2, 03oC.

Com estas idéias, podemos supor para qualquer função f : R2 −→ R, que o incremento da

função f(x, y) em relação a x é:

4f = f(x+ 4x, y) − f(x, y)

e a taxa de variação da função f respeito da variável x é:

4f4x =

f(x+ 4x, y) − f(x, y)

4x

Análogamente, se mantivermos o valor de x constante a taxa de variação da função f em

relação a y é:4f4y =

f(x, y + 4y) − f(x, y)

4yDefinição 5.3.

Seja f : S ⊂ R2 −→ R uma função definida no conjunto aberto S.

1. A primeira derivada parcial de f respeito de x é a função denotada por:

∂f

∂x(x, y) = D1f(x, y) = lim

h→0

f(x+ h, y) − f(x, y)

h

caso o limite exista.


2. A primeira derivada parcial de f respeito de y é a função denotada por:

∂f

∂y(x, y) = D2f(x, y) = lim

h→0

f(x, y + k) − f(x, y)

k

caso o limite exista.

Observação 5.1.

Quando desejamos definir a primeira derivada parcial de f em um ponto (x0, y0) em parti-

cular, substituímos na Definição (5.3) a variável (x, y) por (x0, y0) para obter:

∂f

∂x(x0, y0) = D1f(x0, y0) = lim

h→0

f(x0 + h, y0) − f(x0, y0)

h

∂f

∂y(x0, y0) = D2f(x0, y0) = lim

k→0

f(x0, y0 + k) − f(x0, y0)

k

O valor de∂f

∂x(x0, y0) é o coeficiente angular da reta tangente á curva z = f(x, y0) em

(x0, y0), f(x0, y0)) no plano y = y0.

Em R3 essa reta tem vetor diretor (1, 0,∂f

∂x(x0, y0)). O valor de

∂f

∂x(x0, y0) é também a

taxa de variação de f no ponto (x0, y0) na direção do eixo-x.

De modo análogo, o valor de∂f

∂y(x0, y0) é o coeficiente angular da reta tangente á curva

z = f(x0, y) em (x0, y0), f(x0, y0)) no plano x = x0.

Em R3 essa reta tem vetor diretor (0, 1,∂f

∂y(x0, y0)). O valor de

∂f

∂y(x0, y0) é também a

taxa de variação de f no ponto (x0, y0) na direção do eixo-y.

Na maioria casos, as derivadas parciais calculam-se recorrendo às regras de derivação co-

nhecidas para funções de uma variável, considerando a outra variável como uma constante.

5.1.2 A técnica de derivadas parciais

A derivada parcial em relação a x, considera y como constante, enquanto que a derivada

parcial em relação na y considera x como constante. Outra notação para derivadas parciais é:

• fx =∂f

∂xaqui y é constante

• fy =∂f

∂yaqui x é constante

Exemplo 5.3.

Achar as derivadas parciais da função f(x, y) = (x2 + y3) · sen x.Solução.

• ∂f

∂x=

∂

∂x(u · v) =

∂u

∂x· v + u · ∂f

∂x= 2xsen x+ (x2 + y3) cosx

• ∂f

∂y=

∂

∂y(u · v) =

∂u

∂y· v + u · ∂f

∂y= 3y2sen x


Exemplo 5.4.

Achar as primeiras derivadas parciais da função f definida por: f(x, y) = x3 − 3x2y + y2 +

2x− 9.

Solução.

• D1f(x y) =∂f

∂x(x y) = 3x2 − 6xy + 2

• D2f(x y) =∂f

∂y(x y) = −3x2 + 2y

Exemplo 5.5.

Determine as derivadas parciais da função f(x, y) = arctany

x.

Solução.

Considerando y constante, obtém-se:

∂f

∂x(x, y) =

1

1 +[y

x

]2 ·[

− y

x2

]

= − y

x2 + y2

Considerando x constante, obtém-se:

∂f

∂y(x, y) =

1

1 +[y

x

]2 ·[

1

x

]

=x

x2 + y2

Exemplo 5.6.

Determine o coeficiente de inclinação1 da superfície descrita por f(x, y) = x2 +y2

2− 3

16

no ponto (1

4, −1

2, 0) nas direções do eixo-x e eixo-y.

Solução.

Na direção do eixo-x o coeficiente angular é dado por

∂f

∂x(x, y) = 2x ⇒ ∂f

∂x(1

4, −1

2) =

1

2

Na direção do eixo-y o coeficiente angular é dado por

∂f

∂y(x, y) = y ⇒ ∂f

∂x(1

4, −1

2) = −1

2

Exemplo 5.7.

Calcular a inclinação α da reta tangente à interseção da superfície z = 4x2y − xy3 , com o

plano y = 2 no ponto (3, 2, 48).

Solução.

1Coeficiente de inclinação. Pendente de uma reta. Declividade. Coeficiente angular de uma reta. Todas estasfrases são sinônimos e representam a mesma idéia.


Para derivar em relação a x, mantém y constante.

∂z

∂x=

∂

∂x(4x2y) − ∂

∂x(xy3) = 8xy − y2

mas no ponto x = 3 e y = 2 , tem-se

tanα =∂f

∂x(3, 2) = 40 ⇒ α = arctan(40)

Exemplo 5.8.

Seja f(x, y) =

3x2y − y

x2 + y2se, (x, y) 6= (0, 0)

0 se, (x, y) = (0, 0), determine as derivadas parciais da função

no ponto (0, 0).

Solução.

Pelo Exemplo (4.40) a função não pode ser definida em (0, 0) e em pontos próximos de (0, 0)

por uma única expressão.

∂f

∂x(x, y) =

(6xy)(x2 + y2) − (3x2y − y)(2x)

(x2 + y2)2se, (x, y) 6= (0, 0)

limh→0

f(h, 0) − f(0, 0)

hse, (x, y) = (0, 0)

∂f

∂x(x, y) =

6xy3 + 2xy

(x2 + y2)2se, (x, y) 6= (0, 0)

0 se, (x, y) = (0, 0)

Análogamente

∂f

∂y(x, y) =

(3x2 − 1)(x2 + y2) − (3x2y − y)(2y)

(x2 + y2)2se, (x, y) 6= (0, 0)

limh→0

f(0, h) − f(0, 0)

hse, (x, y) = (0, 0)

∂f

∂y(x, y) =

3x4 − 3x2y2 − x2 + y2

(x2 + y2)2se, (x, y) 6= (0, 0)

∞ se, (x, y) = (0, 0)

Observe-se os domínios D(∂f

∂x) = D(f) = R2, D(

∂f

∂y) = R2 r (0, 0) .

É evidente que∂f

∂xe∂f

∂ynão se definem em pontos do domínio de f , isto é, os domínios de

∂f

∂xe∂f

∂yestão contidos no domínio de f .

Pelo fato serem∂f

∂xe∂f

∂yfunções de duas variáveis podemos geralmente derivá-las parcial-

mente obtendo as derivadas parciais de segunda ordem para f e assim sucessivamente.

Definição 5.4.

Seja f : S ⊂ Rn −→ R uma função definida no conjunto aberto S. A primeira derivada

parcial de f respeito da i-ésima coordenada de X = (x1, x2, x3, · · · , xi, · · · , xn) é a função


denotada por:

∂f

∂xi(X) = Dif(X) = lim

h→0

f(x1, x2, x3, · · · , xi + h, · · · , xn) − f(x1, x2, x3, · · · , xi, · · · xn)

h

sempre que este limite exista ∀ i = 1, 2, 3, · · · , n

Exemplo 5.9.

Determine as primeiras derivadas parciais da função f(x, y, z) = Ln(x2 + y2 + z2).

Solução.

D1f(x, y, z) =∂f

∂x(x, y, z) =

2x

x2 + y2 + z2D2f(x, y, z) =

∂f

∂y(x, y, z) =

2y

x2 + y2 + z2

D3f(x, y, z) =∂f

∂z(x, y, z) =

2z

x2 + y2 + z2

As derivadas parciais∂f

∂xicalculam-se segundo as regras e fórmulas de derivação conhecidas

para funções de uma variável (consideram-se todas as variáveis, a exceção de xi, como grandezas

constantes)

5.2 Funções Homogêneas.

Definição 5.5. Função homogênea.

A função f : S ⊂ Rn −→ R definida por z = f(x1, x2, x3, · · · , xn) é chamada de “função

homogênea de grau m”, se para qualquer t ∈ R, t 6= 0 verifica-se a igualdade:

f(tx1, tx2, tx3, · · · , txn) = tm · f(x1, x2, x3, · · · , xn)

Exemplo 5.10.

1. f(x, y) = 2x3ex/y − x4

x+ 3yé homogênea de grau 3.

2. f(x, y) =

√

ax2 + bxy + cy2

dx+ ayé homogênea de grau 0.

3. f(x, y, ) = senx

y+ ez/x − cos

y

zé homogênea de grau 0.

4. f(x, y) = axαy1−α é homogênea de grau 1.

Observação 5.2.

Seja z = f(x, y) uma função homogênea de grau 1. Suponhamos que o ponto P0(x0, y0, z0) ∈R3 está no gráfico de esta função. Logo podemos escrever P0(x0, y0, f(x0, y0)) pois z = f(x0, y0).

Se m ∈ R é número qualquer, então mz = mf(x0, y0) = f(mx0, myo), isto é o ponto

P (mx0, my0, f(mx0, my0)) também está contido no gráfico de f .


Como m é arbitrário podemos concluir que a reta que une a origem com o ponto (x0, y0, z0)

está totalmente contido no gráfico de f .

O gráfico de uma função homogênea de grau 1 tem uma certa forma cônica.

5.2.1 Propriedades das Funções Homogêneas.

As propriedades a seguir serão apresentadas para o caso particular de funções de duas variáveis

1. Seja z = f(x, y) uma função homogênea de grau m, então z = xmφ(y

x) = ymψ(

x

y) onde φ e

ψ são funções de uma variável.

Demonstração.

Como z = f(x, y) uma função homogênea de grau m podemos escrever z = f(x · 1, x · yx

) =

xm · f(1,y

x).

Considere φ(y

x) = f(1,

y

x).

Para a outro caso é análogo.

2. Seja z = f(x, y) uma função homogênea de grau m, então qualquer de suas derivadas parciais

de primeira ordem é uma função homogênea de grau m− 1.

Demonstração.

Pela primeira propriedade temos que z = xmφ(y

x). Derivando usando as regras do produto e

da cadeia obtemos

∂f(x, y)

∂x= mxm−1φ(

y

x) + xmφ′(

y

x)(− y

x2) = xm−1[mφ(

y

x) − x−1yφ′(

y

x)]

Ao substituir (x, y) por (λx, λy) as funções φ(y

x) e φ′(

y

x) não serão alteradas

∂f(λx, λy)

∂x= λm−1xm−1[mφ(

y

x) − (λx)−1yφ′(

y

x)] = λm−1 · ∂f(x, y)

∂x

3. Seja z = f(x, y) uma função homogênea de grau m, então: x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= mz.

Demonstração.

Desde que que z = xmφ(y

x) então

∂z

∂x= xm−1[mφ(

y

x) − (x)−1yφ′(

y

x)] e

∂z

∂x= xm−1φ′(

y

x)

Multiplicando a primeira igualdade por x e a segunda por y, logo somando estas igualdade,

resulta: x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= mz.

4. Seja z = f(x, y) uma função homogênea de grau m, então:

x2 · ∂2z

∂x2+ 2xy · ∂2z

∂x∂y+ y2 · ∂

2z

∂y2= m(m− 1)z


Demonstração.

A propriedade anterior estabelece igualdade de funções, logo as derivadas parciais destas

funções serão iguais.

∂

∂x

(

x∂z

∂x+ y

∂z

∂y

)

=∂

∂x(mz) e

∂

∂y

(

x∂z

∂x+ y

∂z

∂y

)

=∂

∂y(mz)

de onde

x∂2z

∂x2+∂z

∂x+ y

∂2z

∂x∂y= m

∂z

∂xe x

∂2z

∂y∂x+ y

∂2z

∂y2+∂z

∂y= m

∂z

∂y

Multiplicando por x a primeira igualdade, e por y a segunda e somando ambas obtemos

x2 · ∂2z

∂x2+ 2xy · ∂2z

∂x∂y+ y2 · ∂

2z

∂y2= m(m− 1)z

Propriedade 5.1. Teorema de Euler.

Seja X(x1, x2, x3, · · · , xn) ∈ Rn, se uma função homogênea f(x1, x2, x3, · · · , xn) de grau

m tem derivadas parciais respeito de cada uma das coordenadas xi, então verifica a relação de

Euler

x1 ·∂f

∂x1(X) + x2 ·

∂f

∂x2(X) + · · · + xn · ∂f

∂xn(X) = m · f(X)

Exemplo 5.11.

Determine se f(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 satisfaz o Teorema de Euler.

Solução.

Seja t ∈ R, tem-se que f(tx, ty) = A(tx)2 + 2Btxty + C(ty)2 = t2f(x, y), logo f(x, y) é

homogênea de grau m = 2.

Observe que∂f

∂x(x, y) = 2Ax+ 2By e

∂f

∂y(x, y) = 2Bx+ 2Cy, de onde

x · ∂f∂x

(x, y) + y · ∂f∂y

(x, y) = 2f(x, y)

5.3 Matriz jacobiana

Seja f : S ⊆ R2 −→ R uma função definida num aberto S. Seja (x0, y0) ∈ S tais que existem

∂f

∂x(x0, y0) e

∂f

∂y(x0, y0)

Chamamos matriz jacobiana de f em (x0, y0) à matriz das derivadas parciais de f em (x0, y0),

isto é

Jf (x0, y0) =

(

∂f

∂x(x0, y0)

∂f

∂y(x0, y0)

)

Em geral, se f : S ⊂ Rn −→ Rm é uma função definida no conjunto aberto S e (a1, a2, a3 · · · , an) ∈S tais que existam as derivadas parciais


∂fi

∂xji = 1, 2, 3, · · · , m, j = 1, 2, 3, · · · , n

.

Chamamos matriz jacobiana de f em (a1, a2, a3 · · · , an) à matriz do tipo m×n, das derivadas

parciais das componentes de f em (a1, a2, a3 · · · , an), ou seja,

Jf (a1, a2, a3 · · · , an) =

∂f1

∂x1

∂fi

∂x2· · · ∂f1

∂xn∂f2

∂x1

∂f2

∂x2· · · ∂f2

∂xn...

... · · · ...∂fm

∂x1

∂fm

∂x2· · · ∂fm

∂xn

(a1, a2, a3 · · · , an)

Exemplo 5.12.

Consideremos a função f = (f1, f2, f3) : R2 −→ R3, definida por f(x, y) = (2x −y, ey,

√

x2 + y2 + 1). Tem-se

Jj(x, y) =

∂f1

∂x

∂f1

∂y∂f2

∂x

∂f2

∂y∂f3

∂x

∂f3

∂y

(x, y) =

2 −1

0 eyx

√

x2 + y2 + 1

y√

x2 + y2 + 1

Como as derivadas parciais de f são todas funções contínuas, f é uma função de classe

C1(R2) e portanto diferenciável em todos os pontos de R2. Logo existe f ′(x, y) = Jf (x; y) para

(x, y) ∈ R2.

Exemplo 5.13.


Exercícios 5-1

1. Determine as primeiras derivadas parciais para cada uma das seguintes funções:

1. f(x, y) = x2sen 2y 2. f(x, y) = xy23. f(x, y) = arctan

√

x2 − y2

x2 + y2

4. f(x, y) = arctan(xy) 5. z = sen 2(Lnxy) 6. w =√

x2 + y2 + z2

7. f(x, y) = arctan(y

x) 8. w = ex/y + ez/y

9. f(x, y) = arcsen(x+ y)

10. w = xx2+y2+z211. z = Ln

x− 1

y − 112. w =

xyz

x2 + y2 + z2

13. f(x, y) = xyex2+y214. z = cos3(ey − ex) 15. f(x, y) = arcsen(

x

1 + y)

16. f(x, y) = e√

x2+y217. z =

y∫

x

esen tdt 18. w = (x2 + y2)Ln√

x2 + y2 + z2

2. Seja f(x, y, z) =x

x2 + y2 + z2, verifique a igualdade x · ∂f

∂x+ y · ∂f

∂y+ z · ∂f

∂z= −f .

3. Determine se a função w = xz2 + yx2 + zy2 verifica que:∂w

∂x+∂w

∂y+∂z

∂x= (x+ y + z)2.

4. Seja z =

√

1 + x2 +√

1 + y2. Determine∂z

∂x(0, 0) e

∂z

∂y(0, 0).

5. Seja f(x, y) = Ln√

x2 + y2, mostre que x∂f

∂x+ y

∂f

∂y= 1.

6. Para cada uma das funções, calcule o determinante

∣

∣

∣

∣

∣

ux vx

uy vy

∣

∣

∣

∣

∣

.

1. u =

y∫

x

cos t2dt v =

y∫

x

sen t2dt

2. u = x · cosh y v = x · senhy.

7. Dada a função w = sen (x+ y

z), verificar que: x

∂w

∂x+ y

∂w

∂y+ z

∂w

∂z= 0.

8. Dada a função f(x, y) =xy

x+ y, verificar que: x

∂f

∂x+ y

∂f

∂y= f(x, y).

9. Dada a função w =z

xy + yz + xz, verificar que: x

∂w

∂x+ y

∂w

∂y+ z

∂w

∂z+ w = 0.

10. A área A de um retângulo de base b e altura h, podemos expressar na forma A(b, h) = b ·h.Determine

∂A

∂be∂A

∂he dar uma interpretação geométrica para cada resultado.

11. Seja u = Ln(1 + x+ y2 + z2). Calcular ux + uy + uz, para x = y = z = 1


12. Seja f(x, y) = x3y − y2x. Determine

∂f

∂x+∂f

∂y∂f

∂x· ∂f∂y

13. Qual o ângulo que forma a tangente à curva

z =x2 + y2

4y = 4

no ponto (2, 4, 5) e na direção

positiva do eixo das abscisas?

14. Qual o ângulo que forma a tangente à curva

z =√

1 + x2 + y2

x = 1no ponto (1, 2,

√3) e

na direção positiva do eixo das abscisas?

15.

16.

17.

18. Seja f(x, y) = x(x2 + y2) · esen (x2y) quando (x, y) 6= (0, 0). Calcular∂f

∂x(1, 0).

19. Provar que as seguintes funções são homogêneas. Achar seu grau.

1. f(x, y) = ax2 + by22. f(x, y) =

ayx2 + bxy2

x+ y3. f(x, y, z) = 5 5

√x 5√

y3 5√z

4. f(x, y) = 5. f(x, y) = Ln[x2 + y2

x2 − y2] 6. f(x, y) =

7. f(x, y) = 9. f(x, y) = 9. f(x, y) =

20. Verificar que z = a1xα1y1−α1 + a2x

α2y1−α2 e z = (a1x + b1y)α(a2x + b2y)

1−α são

funções homogêneas, logo, verifique o Teorema de Euler em cada caso.


5.4 Interpretação geométrica

Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente à curva num

ponto dado. Nas funções do tipo f(x, y) de duas variáveis, a derivada em relação a x, mede a

inclinação da reta tangente à superfície, no ponto dado (x0, y0, z0) e numa seção paralela ao

eixo-x, com y constante, e numa seção paralela a y e com x constante.

Seja f : S ⊂ R2 −→ R uma função defninida no conjunto aberto S, cujo gráfico é o conjunto:

Gf = (x, y, z) /. z = f(x, y) ∀ (x, y) ∈ S ⊂ R3

1. Consideremos um ponto (x0, y0) ∈ S então tem-se que:

∂f

∂x(x0, y0) = lim

h→0

f(x0 + h, y0) − f(x0, y0)

h

Na definição de derivada parcial∂f

∂x(x0, y0), mantém-se y = y0 constante.

Porém, y = y0 é um plano paralelo a plano-xz que passa pelo ponto Q(x0, y0, 0) ∈ S e

intercepta à superfície z = f(x, y) na curva que passa por P0(x0, y0, z0) ∈ Gf , como podemos

observar na Figura (5.4).

O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos P e P0 no plano y = y0 é:

∂f

∂x(x0, y0) = lim

h→0

f(x0 + h, y0) − f(x0, y0)

h

é o coeficiente angular da reta tangente Lt à curva α no ponto P0(x0, y0, z0).

A equação analítica desta reta tangente é: z− z0 =∂f

∂x(x0, y0)(x−x0) e y = y0. A equação

simétrica desta reta é:(x− x0)

1=

z − z0∂f

∂x(x0, y0)

, y = y0


observe que o vetor na direção da reta tangente Lt é −→u = (1, 0,∂f

∂x(x0, y0)).

2. Considerando o mesmo ponto (x0, y0) ∈ S e x = x0 fixo, tem-se que

∂f

∂y(x0, y0) = lim

k→0

f(x0, y0 + k) − f(x0, y0)

k

é o coeficiente angular da reta tangente L′t à curva β (ortogonal à curva α) no ponto P0(x0, y0, z0)

no plano x = x0 que é paralelo ao plano-yz.

A equação desta reta tangente L′t é: z − z0 =

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0) e x = x0. A equação

simétrica desta reta é:(y − y0)

1=

z − z0∂f

∂x(x0, y0)

, x = x0

observe que o vetor na direção da reta tangente L′t é −→v = (0, 1,

∂f

∂y(x0, y0)).

Observe que os vetores −→u = (1, 0,∂f

∂x(x0, y0)) e −→v = (0, 1,

∂f

∂y(x0, y0)) são ortogonais.

5.4.1 Plano tangente

Definição 5.6. Vetor normal.

O vetror normal ~n ao plano tangente à superfície z = f(x, y) no ponto P (x0, y0, f(x0, y0))

determinado pelas retas Lt e L′t é:

~n = Lt × L′t =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~i ~j ~k

1 0∂f(x0, y0)

∂x

0 1∂f(x0, y0)

∂y

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (−∂f(x0, y0)

∂x, −∂f(x0, y0)

∂y, 1)

Definição 5.7.

O plano tangente à superfície z = f(x, y) no ponto P (x0, y0, f(x0, y0)) determinado pelas

retas Lt e L′t com vetor normal ~n é dado por

∂f(x0, y0)

∂x(x− x0) +

∂f(x0, y0)

∂y(y − y0) − (z − z0) = 0

Exemplo 5.14.

Determine a equação do plano tangente à superfície z =√

1 − x2 − y2 no ponto (a, , b, c),

onde c =√

1 − a2 − b2.

Solução.

A superfície z = f(x, y) é a parte superior da esfera x2 + y2 + z2 = 1 onde z ≥ 0. Tem-se

∂f(x, y)

∂x=∂z

∂x=

−x√

1 − x2 − y2,

∂f(x, y)

∂y=∂z

∂y=

−y√

1 − x2 − y2


no ponto (a, b, c) tem-se

∂f(a, b)

∂x=∂z

∂x=

−a√1 − a2 − b2

= −ac,

∂f(a, b)

∂y=∂z

∂y=

−b√1 − a2 − b2

= −bc

Portanto, a equação do plano tangente pedido é: a(x− a) + b(y − b) − c(z − z0) = 0.

Exemplo 5.15.

Determine os pontos da superfície f(x, y) = xy(1 − x− y) onde o plano tangente é paralelo

ao plano coordenado XY .

Solução.

O vetor normal ~n do plano tangente procurado é paralelo ao vetor normal ~n1 = (0, 0, 1) do

plano XY , então necessáriamente tem que acontecer

∂f

∂x= y(1 − 2x− y) = 0 (5.1)

∂f

∂y= x(1 − 2x− y) = 0 (5.2)

Resolvendo estas equações (5.1) e (5.2) tem-se os valores:

x = 0, y = 0; x =1

3, y =

1

3; x = 0, y = 1 e x = 1, y = 0

Portanto, nos pontos (0, 0, 0, ), (1

3,

1

3,

1

27), (1, 0, 0) e (0, 1, 0) o plano tangente é paralelo

ao plano -xy.

5.5 Derivadas Parciais de Ordem Superior

Do mesmo modo que, no caso das funções de uma variável definimos derivadas de segunda

ordem, também é possível definir derivadas parciais de segunda ordem para funções de várias

variáveis. As derivadas de ordem mais alta são denotadas de acordo com a sequência em que as

derivadas são calculadas.

Se uma função de várias variáveis tem primeiras derivadas respeito a cada uma de suas

coordenadas em todos os pontos de S, estas derivadas parciais podemos considerar-las como

novas funções. Assim podemos pensar na seguinte questão:

Será que estas novas funções admitem derivadas parciais respeito a cada uma

de suas coordenadas?

Por exemplo temos a função derivável z = f(x, y).

1. A derivada segunda de f em relação a x é:∂

∂x

(∂f

∂x

)

=∂2f

∂x2= Dxxf(x, y).

2. A derivada segunda de f em relação a x é:∂

∂y

(∂f

∂y

)

=∂2f

∂y2= Dyyf(x, y).


3. A derivada segunda de f primeiro em relação a x e, depois, em relação a y é:

∂

∂y

(∂f

∂x

)

=∂2f

∂y∂x= Dxyf(x, y)

4. A derivada segunda de f primeiro em relação a y e, depois, em relação a x é:

∂

∂x

(∂f

∂y

)

=∂2f

∂x∂y= Dyxf(x, y)

Estas duas últimas derivadas descritas são chamadas de derivadas parciais mistas. Formal-

mente.

Definição 5.8.

Seja f : S ⊂ Rn −→ R uma função definida no conjunto S, a derivada parcial se f respeito

da i-ésima (i = 1, 2, 3, ·, n) componente é:

∂f

∂xi= lim

h→0

f(x1, x2, x3, · · · , xi−1, xi + h, xi+1, · · · , : xn

h

As derivadas parciais da função∂f

∂xi, são chamadas de “derivadas parciais de segunda ordem

de f ” e são denotadas por:

∂

∂xj

( ∂f

∂xi

)

ou∂2f

∂xj∂xiou Djif(x1, x2, x3, · · · , xn) i, j = 1, 2, 3, ·, n

As derivadas parciais da função∂2f

∂xj∂xi, são chamadas de “derivadas parciais de terceira

ordem de f ” e são denotadas por:

∂

∂xk

[

∂

∂xj

( ∂f

∂xi

)

]

ou∂3f

∂xk∂xj∂xiou Dkjif(x1, x2, x3, · · · , xn) i, j = 1, 2, 3, ·, n

Assim podemos continuar a definir derivadas parciais para f de ordem superior, desde que

elas existam, e as chamaremos “ derivada parcial de n-ésima ordem de f ”, desde que elas existam.

Propriedade 5.2.

Seja f : S ⊂ R2 −→ R uma função para a qual∂2f

∂xj∂xie

∂2f

∂xi∂xjsão contínuas em algum

conjunto aberto de S ⊂ R, então∂2f

∂xj∂xi=

∂2f

∂xi∂xjpara todo i, j = 1, 2, 3, ·, n.

A demonstração é exercício para o leitor.

Exemplo 5.16.

Determine∂3f

∂x∂y2para a função f(x, y) = x2 + sen (xy).

Solução.

Tem-se f(x, y) = x2 + sen (xy), então∂f

∂x= 2x+ y cos(xy), logo

∂2f

∂x2= 2 − y2sen (xy).


Portanto,∂3f

∂y∂x2= −2ysen (xy) − xy2 cos(xy).

A pergunta natural é: Será que as derivadas parciais calculadas em distintas ordens são

iguais? Isto é:∂4f

∂x∂y2∂xe

∂4f

∂y2∂x2

Em geral a resposta a esta pergunta é negativa. No obstante tem lugar a seguinte propriedade

para funções de duas variáveis.

Propriedade 5.3.

Seja f : S ⊂ R2 −→ R uma função para a qual está definida junto com suas derivadas parciais

∂f

∂x,∂f

∂y,

∂2f

∂y∂xe

∂2f

∂x∂yde modo que

∂2f

∂y∂xe

∂2f

∂x∂ysejam contínuas em algum conjunto

aberto de S ⊂ R, então∂2f

∂y∂x=

∂2f

∂x∂y.

Demonstração.

Seja g(x, y) =∂f

∂y(x, y), ∀ (x, y) ∈ S. Dado uma constante a ∈ R de modo que (x, a) ∈ S,

então:

f(x, y) = f(x, a) + f(x, y) − f(x, a) = f(x, a) +

y∫

a

g(x, t)dt

de onde, derivando em relação a x obtém-se:

∂f

∂x(x, y) =

∂f

∂x(x, a) +

y∫

a

∂g

∂x(x, t)dt

Esta última igualdade derivando respeito de y, e usando o Teorema Fundamental do Cálculo

Integral, obtém-se

∂2f

∂y∂x(x, y) =

∂g

∂x(x, y) =

∂

∂x

[

∂f

∂y(x, y)

]

=∂2f

∂x∂y(x, a)

Observação 5.3.

1. Consequência desta propriedade é que podemos permutar a ordem de derivação de uma função

de várias variáveis

2. A igualdade∂2f

∂y∂x=

∂2f

∂x∂ypode ser falsa se as derivadas parciais não forem contínuas.

3. Esta propriedade podemos estender com facilidade por indução a quaisquer das derivadas

parciais mistas contínuas que se diferenciam umas das outras só pela ordem da diferencia-

bilidade.

Exemplo 5.17.


Seja f(x, y) =x3y

x2 + y2se x2 + y2 6= 0 e f(x, y) = 0 se x2 + y2 = 0. Determine as derivadas

parciais de segunda ordem.

Solução.

Para o caso x2 + y2 6= 0.

D1f(x, y) =∂f

∂x=x4 + 3x2y2

(x2 + y2)2e D2f(x, y) =

∂f

∂y=x5 − x3y2

(x2 + y2)2

Quando x2 + y2 = 0.

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

f(h, 0) − f(0, 0)

h= 0 e

∂f

∂y(0, 0) = lim

k→0

f(0, k) − f(0, 0)

k= 0

Por definição

∂2f

∂x∂y(0, 0) = lim

h→0

D2f(h, 0) −D2f(0, 0)

h= lim

h→0

h

h= 1

∂2f

∂y∂x(0, 0) = lim

h→0

D1f(0, k) −D1f(0, 0)

k= lim

k→0

0

k= 0

Isto é,∂2f

∂x∂y(0, 0) 6= ∂2f

∂y∂x(0, 0). Isto pelo fato ser as derivadas descontínuas em (0, 0).

Observe que as derivadas parciais∂2f

∂x∂ye

∂2f

∂y∂xsão descontínuas em (0, 0).

Tem-se que∂2f

∂y∂x=x6 + 6x4y2 − 3x2y4

(x2 + y2)3para x2 + y2 6= 0 de onde

limx→0x=y

∂2f(x, y)

∂y∂x=

1

26= ∂2f

∂y∂x(0, 0) = 0

Exemplo 5.18.

Seja z = sen (x2 + y2). Determine as derivadas parciais de segunda ordem.

Solução.

Tem-se∂z

∂x= 2x cos(x2 + y2),

∂z

∂y= 2y cos(x2 + y2)

1.∂2z

∂x2= 2 cos(x2 + y2) − 4x2sen (x2 + y2)

2.∂2z

∂y2= 2 cos(x2 + y2) − 4y2sen (x2 + y2)

3.∂2z

∂y∂x= −4xysen (x2 + y2) =

∂2z

∂x∂y


Exercícios 5-2

1. Determine as equações do plano tangente as superfícies no ponto P indicado.

1. z = 3 − x2

9− y2

16; P (2, 2,

83

36) 2. z = xLny; P (1, 1, 0)

3. z =√

4 − x2 − y2; P (1, 1,√

2) 4. z = 3x2 + y2 + 2; P (−1, 2, 9)

5. z = e2x cos(3y); P (1,π

3, e2) 6. z = Ln

√

x2 + y2; P (−3, 4, Ln5)

7. z = exsen (πy); P (2, 1, 0) 8. z = x+ y + 2Lnxy; P (1, 1, 2)

9. x2 + z2 =a2

h2y2; P (

a√2, h,

a√2) 10. z =; P (, , )

2. Determine os pontos da superfície onde o plano tangente é paralelo ao plano-xy.

1.x2

4+y2

9+z2

1= 1.

2. z = sen y .

3. z = x2y − x3y + x2y2.

4. z = x3 − 12xy + 8y3.

3. Mostre que todo plano tangente ao cone x2 + y2 = z2 passa pela origem.

4. Determine o ângulo entre a reta L = (−2, 5, 12) + t(4, 1, −3) /. t ∈ R e a normal à

esfera x2 + y2 + z2 = 121 no ponto de interseção da reta e a esfera.

5. Em que pontos da superfície x2 + 4y2 + 16z2 − 2xy = 12 os planos tangentes são paralelos

ao plano-xz ?

6. Determine um vetor tangente á curva de interseção das superfícies x2 − 3xz + y2z = 1 e

3xy + 2yz + 6 = 0 no ponto (1, −2, 0)

7. Mostre que as superfícies z =

√

xy

4x− ye z =

√

5x− y

3se interceptam en ângulo reto no

ponto (1, 2, 1).

8. Mostre que o plano tangente à esfera x2 + y2 + z2 = 1 no ponto P0(x0, y0, z0) tem por

equação xx0 + yy0 + zz0 = 1.

9. Análogo ao exercício anterior para os hiperbolóidesx2

a2+y2

b2− z2

c2= 1 e

x2

a2− y2

b2− z2

c2= 1.

10. Achar a interseção com os eixos coordenados de cada plano tangente à superfície 3√x2 +

3√

y2 +3√z2 =

3√a2.

11. Mostre que o tetraedro limitado pelos planos coordenados e cada plano tangente á superfície

xyz = a2 é de volume constante.


12. Determine as derivadas parciais de segunda ordem para as seguintes funções:

1. z = Ln(x2 + y2) 2. z = arctan(x+ y

1 − xy) 3. z = ex/y

4. z =x

x+ y5. w = xy + yz + zx 6. z = ln(

y2

x)

7. w =xyz

x+ y + z8. w = sen (x2 + y2 + z2) 9. z = ex−y−z

13. Para que valor da constante α, a função z = x3+αxy2 satisfaz e igualdade∂2z

∂x2+∂2z

∂y2= 0.

14. Seja z =1

y2 − α2x2. Provar que

∂2z

∂x2= α2 ∂

2z

∂y2.

15. Seja u =1

x− y+

1

y − z+

1

z − x, determine se:

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2+ 2

[

∂2u

∂x∂y+

∂2u

∂y∂z+

∂2u

∂z∂x

]

= 0

16. Seja z = f(x, y), s = x− y, t = x+ y Verificar que∂2z

∂x2− ∂2z

∂y2= 4

∂2z

∂s∂t.

17. Suponhamos u = xLn(x+ z)− z, onde z2 = x2 + y2. Mostre que∂2u

∂x2+∂2u

∂y2=

1

x+ z.

18. Calcule as derivadas parciais indicadas:

1. f(x, y) = x3y2, fxx, fyy 2. z = ex2−y2,

∂2z

∂x2,∂2z

∂y2

3. z = Ln(1 + x2 + y2)∂2z

∂x2,∂2z

∂y24. g(x, y) = 4x3y4 + y3, gxx, gyy

19. Nem sempre as derivadas parciais mistas de segunda ordem sao iguais. Considere a função

f dada por: f(x, y) =

xy3

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0). Verificar que

∂2f

∂x∂y6= ∂2f

∂y∂xem

(0, 0).

20. Seja u =√

x2 + y2 + z2. Mostre que

1.∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2=

2

u2.

∂2Ln(u)

∂x2+∂2Ln(u)

∂y2+∂2Ln(u)

∂z2=

1

u2

21. Mostre que são harmônicas as seguintes funções:

1. f(x, y) = Ln(x2 + y2) 2; f(x, y, z) =√

(x2 + y2 + z2)

22. Seja f(x, y) = xyex/y. Mostre que x · ∂3f

∂x3+ y · ∂3f

∂y∂x2= 0.

23. Seja z = (x+ y)ex/y. Verifique que x · ∂2z

∂x∂y+ y · ∂

2z

∂y2= 0


24. Seja f(x, y) = Ln(x− y) + tan(x− y). Mostre que∂2f

∂x2=∂2f

∂y2.


5.6 Diferenciais

Lembre que ao estudar funções de uma variável y = f(x) definimos o diferencial de y como

dy = f ′(x)dx sempre que a derivada existia. Para o caso de funções de duas variáveis a termi-

niologia é análoga.

Chamamos 4x e 4y os incrementos de x e y respectivamente, logo o incremento de

z = F (x, y) é dado por:

4z = F (x+ 4x, y + 4y) − F (x, y)

Se z = F (x, y) , 4x e 4y são os incrementos de x e y, então as diferenciais das variáveis

independentes x e y são dx = 4x e dy = 4y.Estes conceitos podem ser estendidos para funções de várias variáveis.

Exemplo 5.19.

O erro envolvido ao medir as dimensões de uma caixa retangular é aproximadamente de

±0, 015mm. As dimensões da caixa são 10, 25 e 40 centímetros. Determine o erro propagado

e erro relativo ao medir o volume desta caixa.

sol

Sejam x, y e z as dimensões desta caixa.

O volume da caixa é representado pela função V (x, y, z) = xyz, logo o erro envolvido é:

dV =∂V

∂xdx+

∂V

∂ydy +

∂V

∂zdz = yzdx+ xzdy + xydz

Como dx = dy = dz = ±0, 015mm = ± = 0, 0015cm então o erro propagado é aproximada-

mente

dV = (25)(40)(±0.0015)+(10)(40)(±0.0015)+(10(25)(±0.0015) = (±0.0015)(1000+400+250) =

dV = ±2, 475cm3

O volume medido é V = (10(25)(40) = 10000cm3. O erro relativo4VV

é aproximadamente

4VV

=2, 475

10000≈ 0, 02475%

5.7 Diferenciabilidade, linearização e plano tangente

Comecemos por recordar que uma função real de uma variável real diz-se derivável (ou difer-

enciável) num ponto a se existir

f ′(a) = limh→0

f(a+ h) − f(a)

h

Reescrevendo esta última expressão obtemos

limh→0

f(a+ h) − f(a)

h− f ′(a) = 0


ou seja,

limh→0

f(a+ h) − [h · f ′(a) − f(a)]

h= 0

Podemos considerar x−a = h então quando x→ a tem-se que h→ 0, logo a última igualdade

significa que

R(x) ≈ f(x) − [(x− a) · f ′(a) − f(a)]

se aproxima de zero “mais depressa” que h quando se aproxima a zero, isto é, a reta tangente é

uma boa aproximação linear da função f numa vizinhança de a.

A função L(x) = (x− a) · f ′(a) − f(a) é designada por linearização de f em a. É a general-

ização deste comportamento para funções de duas variáveis que nos vai conduzir à definição de

diferenciabilidade.

É natural esperar que uma função de duas variáveis seja diferenciável num ponto se existir o

plano tangente ao seu gráfico nesse ponto.

O plano tangente a z = f(x, y) em (a, b) deverá conter as retas tangentes ás curvas z = f(x, b)

e z = f(a, y). Sabemos que

(1, 0, Dxf(a, b)) e (0, 1, Dyf(a, b))

são os vetores diretores dessas retas tangentes. Logo o referido plano terá vetor normal dado

pelo produto vetorial dos dois vetores diretores:

~n = (1, 0, Dxf(a, b)) × (0, 1, Dy(a, b)) = (Dxf(a, b), Dyf(a, b), −1)

; e equação cartesiana

z = f(a, b) +Dxf(a, b)(x− a) +Dyf(a, b)(x− b)

Chamamos linearização de f em (a; b) á função

L(x, y) = f(a, b) +Dxf(a, b)(x− a) +Dyf(a, b)(x− b)

Definição 5.9.

Sejam f : S ⊆ R2 −→ R, S um conjunto aberto e (a, b) ∈ S. A função f diz-se diferenciável

em (a, b) se:

1. Existirem Dxf(a, b) e Dyf(a, b),

2. lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) − L(x, y)

‖ (x, y) − (a, b) ‖ = 0

Note que a segunda condição é equivalente a dizer que a função z = f(x, y) pode ser bem

aproximada, perto do ponto (x, y), pela função mais simples z = L(x, y).

Definição 5.10.

Se f for diferenciável em (a; b) então o plano de equação,

z = f(a, b) +Dxf(a, b)(x− a) +Dyf(a, b)(x− b)

é designado por plano tangente ao gráfico de f em (a, b, f(a, b)).


A segunda condição da definção de diferenciabilidade garante que para pontos (x, y) próximos

de (a, b) o plano tangente é uma boa aproximação linear do gráfico de f .

Exemplo 5.20.

Estudar a diferenciabilidade de f no ponto (0, 0)

f(x, y) =

2xy

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)Solução.

Comecemos por calcular as derivadas parciais de f no ponto (0, 0)

Dxf(0, 0) = limh→0

f(h, 0) − f(0, 0)

h= lim

h→0

0

h= 0

De forma análoga concluímos que Dyf(0, 0) = 0. Logo L(x, y) = 0.

Vejamos então se existe e qual o valor de

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) − L(x, y)

||(x, y) − (a, b)|| = lim(x,y)→(0,0)

2xy

(x2 + y2)√

x2 + y2

Calculando o limite ao longo da recta y = x obtém-se

limx→0

2x2

(2x2)√

2x2= ∞

Disto resulta que o limite anterior não é zero (de fato, o limite não existe) e portanto que f

não é diferenciável em (0, 0).

Exemplo 5.21.

Estudar a diferenciabilidade de g no ponto (0, 0) g(x, y) =

x2y3

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

Solução.

Como g(0, 0) = Dxg(0, 0) = Dyg(0, 0) = 0 tem-se L(x, y) = 0. Falta mostrar que

lim(x,y)→(0,0)

g(x, y) − L(x, y)

||(x, y) − (a, b)|| = lim(x,y)→(0,0)

x2y3

x2 + y2√

x2 + y2= 0

Com efeito,∣

∣

∣

∣

∣

x2y3

(x2 + y2)√

x2 + y2

∣

∣

∣

∣

∣

=x2y3

(x2 + y2)√

x2 + y2≤

≤ ||(x, y)||5||(x, y)||3 = ||(x, y)||2 −→ 0 quando (x, y) −→ (0, 0)

Logo existe lim(x,y)→(0,0)

g(x, y) − L(x, y)

||(x, y) − (a, b)|| =. Neste caso, a equação do plano tangente ao gráfico

de f no ponto (0; 0; 0) é z = 0.


5.8 Diferencial total

Definição 5.11.

Seja f : S ⊂ R2 −→ R uma função diferenciável em (x, y) ∈ R2, então o diferencial total de

f , é a função df definida por:

df(x, y) =∂f(x, y)

∂xdx+

∂f(x, y)

∂ydy onde dx = 4x, dy = 4y

Para o caso de z = f(x, y) = C constante, então tem-se que dz = 0 e

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy = 0 (5.3)

Em outras palavras, dada uma família de curvas f(x, y) = C, pode-se gerar uma equação

diferencial de primeira ordem, determinando a diferencial total.

Exemplo 5.22.

Se f(x, y) = x2 − 5xy + y3 = C então da igualdade (5.3) segue

(2x− 5y)dx+ (−5x+ 3y2)dy = 0

oudy

dx=

5y − 2x

3y2 − 5x

Esta última igualdade é chamada de “equação diferencial”.

Para o caso de uma função de várias variáveis temos a seguinte definição.

Definição 5.12.

Seja f : S ⊂ Rn −→ R uma função diferenciável em P (x1, x2, x3, · · · , xn) ∈ Rn, então o

diferencial total de f , é a função df definida por:

df(P ) =∂f(P )

∂x1dx1 +

∂f(P )

∂x2dx2 + · · · + ∂f(P )

∂xndxn onde dxi = 4xi, i = 1, 2, 3, · · · , n

Observação 5.4.

Seja f : S ⊂ R2 −→ R uma função diferenciável em (x, y) ∈ R2, então

4f(x, y) = f(x+ 4x, y + 4y) − f(x, y) = D1f(x, y)4x+D2f(x, y)4y + ε14x+ ε24y

quando (x, y) → (0, 0) tem-se que ε1 → 0 e ε2 → 0, logo.

4f(x, y) ≈ df(x, y) (5.4)

Portanto, o incremento da função f podemos aproximar por diferenciais,

Da igualdade (5.15) tem-se

f(x+ 4x, y + 4y) − f(x, y) = df(x, y) quando (4x, 4y) → (0, 0)


Assim,

f(x+ 4x, y + 4y) = f(x, y) + df(x, y) (5.5)

Exemplo 5.23.

Evaluar z =√

x2 + y2 para x = 2, 98 e y = 4, 01.

Solução.

Suponhamos a = −3 e b = 4, então dx = x − a = 2, 98 − 3 = −0, 02 e dy = y − b =

4, 01 − 4 = 0, 01. Seja z = f(x, y) =√

x2 + y2

Como∂f

∂x=

x√

x2 + y2e

∂f

∂y=

y√

x2 + y2, para aproximar f usamos (5.5)

f(x+ 4x, y + 4y) =√

(2, 98)2 + (4, 01)2 =√

32 + 42 +3(−0, 02)√

32 + 42+

4(0, 01)√32 + 42

= 4, 996

Exemplo 5.24.

O raio de um cilindro aumenta 0, 5% e sua altura 1%. Qual é a mudança percentual aproxi-

mada do volume?

Solução.

Sabe-se que o volume do cilindro é V (r, h) = πr2h onde r é o raio da base e h sua altura.

Então

4V ≈ dV =∂V

∂rdr +

∂V

∂hdh

Como estamos interesados na mudança percentual, calculamos

4VV

≈ dV =2πrh

πr2hdr +

πr2

πr2hdh =

2

rdr +

dh

h=

2

r· 0, 5

100+

1

h· 1

100h =

2

1002%

Portanto, a mudança percentual do volume V é de 2%.

Exemplo 5.25.

Seja z = x2y, o diferencial desta função é dz = 2xydx + x2dy. Queremos saber o valor

aproximado para a variação 4z quando x = 1 aumenta em 2% e y = 2 aumenta em 1%.

Então tem-se que dx = 0, 02 e dy = 0, 01 e como 4z = 2xydx + x2dy, segue que 4z =

2xy(0, 02) + x2(0, 01) . Quando x = 1 e y = 2 segue que 4z = 0, 09.

O erro cometido nesta variação é 4z = (x+dx)2(y+dy)−x2y = (1, 02)2(2, 02)−2 = 0, 091204

5.9 Diferenciabilidade e continuidade.

Do mesmo modo, quando estudamos continuidade e diferenciabilidade para funções de uma

variável, observamos que existiam funções contínua num determinado ponto P do seu domínio,

porém não eram deriváveis nesse ponto P . Um bom exemplo é a função f(x) = |x| continua em

no ponto x = 0, sem derivada em x = 0.

A relação entre os conceitos de continuidade e de diferenciabilidade de uma função de duas

(ou mais) variáveis é expressa na seguinte propriedade (análoga ao que foi estudado para funções

de uma variável).


Propriedade 5.4.

Se a função f : S ⊂ R2 −→ R é diferenciável no ponto P (x0, y0) ∈ S, então ela é contínua

em P (x0, y0).

Demonstração.

Como f é diferenciável em P (x0, y0) então:

f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f(x0, y0) +∂f(x0, y0)

∂x∆x+

∂f(x0, y0)

∂y∆y + ε1∆x+ ε2∆y

onde ε1 → 0 e ε2 → 0 quando (∆x, ∆y) → (0, 0). Assim,

lim∆x→0∆y→0

f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f(x0, y0) (5.6)

Considerando x0 + ∆x = x e y0 + ∆y = y segue que (x, y) → (x0, y0) quando (∆x, ∆y) →(0, 0). Logo no limite (5.6) segue que

limx→x0y→y0

f(x, y) = f(x0, y0)

Portanto, f é contínua em P (x0, y0).

A não continuidade de f num ponto (x0, y0) implica portanto a não diferenciabilidade de f

em (x0, y0).

Note no entanto que se f é contínua em (x0, y0) nada se pode concluir sobre a diferenciabil-

idade de f em (x0, y0).

Exemplo 5.26.

Mostre que f(x, y) =√

x2 + y2 é contínua em (0, 0) porém não diferenciável em (0, 0).

Solução.

Observe que

i) f(0, 0) =√

02 + 02 = 0 existe.

ii) limx→0y→0

f(x, y) = limx→0y→0

√

x2 + y2 =√

02 + 02 = 0

iii) limx→0y→0

f(x, y) = f(0, 0)

Portanto, f é contínua em (0, 0).

Por outro lado,

∂f(x, y)

∂x=

x√

x2 + y2e

∂f(x, y)

∂y=

y√

x2 + y2

não existe no ponto (0, 0).

Portanto f não é diferenciável em (0, 0).


Exemplo 5.27.

A função f(x, y) =2xy

x2 + y2não é contínua no ponto (0, 0). Pela propriedade anterior resulta

que f(x, y) também não é diferenciável nesse ponto.

Propriedade 5.5.

Para que a função f seja diferenciável em um ponto, é necessário que nesse ponto tenha

derivadas parciais e é suficiente que as derivadas parciais nesse ponto sejam contínuas.

Lembre que para funções de uma variável, é necessário e suficiente que tenha derivada nesse

ponto.

Pela Propriedade (5.4) se a função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse

ponto.

Exemplo 5.28.

Seja a função f(x, y, z) = 0 nos planos coordenados x = 0, y = 0, z = 0 e 1 nos demais

pontos do espaço R3.

Evidentemente esta função tem derivadas parciais que são nulas no ponto (0, 0, 0), obviamente

é descontínua neste ponto conseqüentemente não pode ser diferenciável nele.

Assim, somente uma condição de que em um ponto existam derivadas parciais não é suficiente

para que a função seja diferenciável e inclusso contínua no ponto citado.

Exemplo 5.29.

A função z = |x|(y+1) é contínua no ponto (0, 0). No obstante, podemos observar que neste

ponto não existe a derivada∂z

∂x.

Conseqüentemente, z não é diferenciável no ponto (0, 0).

Vamos enunciar em seguida uma propriedade que, em muitos casos, torna simples o estudo

da diferenciabilidade de uma função.

Definição 5.13.

Uma função f diz-se de classe C1 num subconjunto aberto A do seu domínio, e escreve-se

f ∈ C1(A), se f tiver derivadas parciais Dxf e Dyf contínuas em A.

Análogamente se define f ∈ C2(A), f ∈ C3(A), . . . , se respectivamente, as derivadas parciais

até a 2a ordem, 3a ordem, · · · forem contínuas em A. Note que f ∈ C0(A) significa simplesmente

que f é contínua em A.

A importância desta definição deve-se sobretudo à seguinte propriedade.

Propriedade 5.6.

Se f ∈ C1(D(f)) então f é diferenciável em D(f).

O seguinte resultado diz-nos que as funções polinomiais e racionais têm derivadas parciais

contínuas de qualquer ordem em todos os pontos do domínio. Em particular são diferenciáveis

nesses pontos.

Observação 5.5.


• As funções polinomiais são de classe Ck(R2), com k ∈ N arbitrário.

• As funções racionais são de classe Ck, k ∈ N arbitrário, em todos os pontos de R2 que não

anulam o denominador.

Exemplo 5.30.

A função f(x, y) = x2 + xy3 é de classe C1(R2). Em particular é diferenciável em todos os

pontos de R2.

Exemplo 5.31.

A função f(x, y) =y

x2 − 1é de classe C1(D(f)) com D(f) = (x, y) /. x 6= ±1 . Em

particular é diferenciável em todos os pontos de R2 que não estão sobre as duas retas verticais

de abscissas x = 1 e x = −1.


Exercícios 5-3

1. Calcule o diferencial total das seguintes funções:

1. z = ex2+y2

2. z = x3 + y3 − 3xy

3. u = Ln(xyz) 4. z = x2y3

5. u = tan(x+ y) − z2 cos y 6. z =x2 − y2

x2 + y2

7. z = arcsen(xy) + 3x−y8. z = yxy

2. 2. Calcule, um valor aproximado para:

1. 1, 023,012. (1, 02)3(0, 97)2

3. sen47o cos 44o4.

√

(4, 05)2 + (2, 93)2

3. Calcule o diferencial total e o acréscimo total da função z = xy no ponto (2, 3) se 4x = 0, 1

e 4y = 0, 2.

4. Determine, para a função f(x, y) = x2y, o acréscimo total e o diferencial total no ponto

(1, 2) se:

1. a)4x = 1 e 4y = 2 2. 4x = 0, 1 e 4y = 0, 2

5. A altura de um cone é h = 30cm, o raio de sua base é r = 10cm. Como variará o volume

deste cone se h aumentar em 3mm e r diminuir em 1mm?

6. Determine a razão de câmbio máximo das seguintes funções nos pontos indicados.

1. f(x, y, z) = xy2 + x2z; P0(3, 1, 2)

2. f(x, y, z) = ex cos y + eysen z; P0(−1, 2, 2)

3. f(x, y, z) = (x+ y)2 + z2 − xy + 2z; P0(−2, 3, 2)

4. f(x, y, z) = xz + zx + yz + zy; P0(4, 1, 1)

5. f(x, y, z) = xz + y2t; P0(1, 0, −3, 2)

7. Achar o incremento total e o diferencial da função z = x2 − xy + y2, se x varia de 2 até

2, 1 e y varia de 12 até 1, 2.

8. Achar o incremento total e o diferencial da função z = Ln(x2 + y2), se x varia de 2 até 2, 1

e y varia de 12 até 0, 9.

9. Determine as diferenciais para as funções:

1. z = Ln(y +√

x2 + y2) 2. y = tan(y2

x) 3. u = (xy)z

4. z = Ln(cosx

y) 5. z = x3 + 3x2y − y3

6. z =√

x2 + 2xy


10. Seja ex2−y2. Calcule um valor aproximado para a variação 4z em z quando x = 1 aumenta

em 1% e y = 1 aumenta em 0, 2%.

1.Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1, 01 y = 1, 002.

11. A energia consumida num resistor elétrico é dada por P =V

Rwatts. Se V = 100volts e

R = 10ohms, calcule um valor aproximado para a variação 4P em P , quando V decresce

em 0, 2volt e R aumenta de 0, 01ohm.

12. Calcular o valor aproximado de√

(0, 01)2 + (3, 02)2 + (3, 14)2.

13. A altura de um cone é de 14 cm e aumenta na razão de 0, 03 cm/sg. O raio é de 8 cm e

aumenta na razão de 0, 04 cm/sg. Determine a taxa de variação do volume em relação ao

tempo.


5.10 Diferencial exata

Definição 5.14.

Uma expressão da forma M(x, y)dx + N(x, y)dy é chamada de diferencial exata, se existe

uma função F : S ⊂ R2 −→ R tal que dF (x, y) = M(x, y)dx+N(x, y)dy

Isto é, dizemos que a expressão é exata, se ela é a diferencial total de uma função F (x, y).

De modo análogo se existe uma função F : S ⊂ R3 −→ R tal que

dF (x, y, z) = M(x, y, z)dx+N(x, y, z)dy +Q(x, y, z)dz ∀ (x, y, z) ∈ S

dizemos que M(x, y, z)dx+N(x, y, z)dy +Q(x, y, z)dz é diferencial exata.

Lembre que, se y = f(x), então sua derivada y′ =dy

dx=df

dx, e seu diferencial

dy = df = f(x+ h) − f(x) ≡ f ′(x)dx

Para o caso de uma função de duas variáveis z = F (x, y) tem-se que seu diferencial exata é

dz = dF (x, y) = F (x+ h, y + k) − F (x, y) ⇒

dF = [F (x+ h, y + k) − F (x, y + k)] + [F (x, y + k) − F (x, y)] ⇒

dF ≡ ∂F

∂xdx+

∂F

∂ydy

Assim, justifica-se a seguinte expressão

M(x, y)dx+N(x, y)dy ≡ dF ≡ ∂F

∂xdx+

∂F

∂ydy = dF (x, y) (5.7)

e podemos supor M(x, y) =∂F

∂xe N(x, y) =

∂F

∂yestas equações nos conduzem a

∂M

∂y=

∂2F

∂y∂xe

∂N

∂x=

∂2F

∂x∂y

Pelas propriedades do cálculo diferencial sabemos que∂2F

∂y∂x=

∂2F

∂x∂ysempre que as derivadas

parciais sejam contínuas. Assim temos a seguinte propriedade.

Propriedade 5.7.

Suponhamos que M e N sejam funções de contínuas de S ⊂ R2 em R, com derivadas parciais

de primeira ordem contínuas em S. Então a expressão M(x, y)dx+N(x, y)dy é uma diferencial

exata para todo (x, y) ∈ S se, e somente se∂M

∂y=∂N

∂x, ∀ (x, y) ∈ S.


Exemplo 5.32.

Examinar se: sen ydx+ cos y(x+ 2sen y)dy é uma diferencial exata.

Solução.


Observe que M(x, y) = sen y, de onde∂M(x, y)

dy= cos y.

Por outro lado, N(x, y) = cos y(x+ 2sen y), de onde∂N(x, y)

dx= cos y.

Como cumpre a igualdade∂M(x, y)

dy=∂N(x, y)

dx, então satisfaz a Propriedade (5.7).

Portanto, a expressão dada é uma diferencial exata.

Observação 5.6.

Mostra-se que, se M, N, Q : S ⊂ R3 −→ R são funções contínuas com derivadas parciais de

primeira ordem contínuas em S. Então a expressão M(x, y)dx+N(x, y)dy +Q(x, y)dz é uma

diferencial exata para todo (x, y, z) ∈ S se, e somente se

∂M

∂y=∂N

∂x,

∂M

∂z=∂Q

∂x,

∂N

∂z=∂Q

∂y∀ (x, y, z) ∈ S

Exemplo 5.33.

Determinar se a diferencial é exata

(2xy + z2)dx+ (2yz + x2)dy + (2xz + y2)dz

Solução.

Tem-se M = 2xy + z2, N = 2yz + x2 e Q = 2xz + y2, logo:

∂M

∂y= 2x,

∂N

∂x= 2x,

∂M

∂z= 2,

∂Q

∂x= 2z,

∂N

∂z= 2y,

∂Q

∂y= 2y

Portanto, a expressão dada é uma diferencial exata.

Observe que, para resolver (5.7), sendo exata, devemos primeiro resolver as equações

∂F (x, y)

∂x= M(x, y) (5.8)

∂F (x, y)

∂y= N(x, y) (5.9)

em relação a F (x, y).

Para obter a função F (x, y), consideramos a igualdade (5.8) para integrar em relação à

variável x como indicado

∂F (x, y)

∂x= M(x, y) ⇒

∫

∂F (x, y)

∂xdx =

∫

M(x, y)dx ⇒

F (x, y) =

x∫

x0

M(x, y)dx+ g(y) (5.10)


Derivando esta última expressão em relação a y segue

∂F

∂y(x, y) =

x∫

x0

∂M

∂y(x, y)dx+

dg

d(y)

Como∂M

∂y=∂N

∂xe da igualdade (5.9) tem-se

N(x, y) =∂F

∂y(x, y) =

x∫

x0

∂N

∂x(x, y)dx+

dg

dy(y)

y∫

y0

N(x, y)dy =

y∫

y0

x∫

x0

∂N

∂x(x, y)dx

dy + g(y)

A igualdade (5.11) podemos escrever na forma

F (x, y) =

x∫

x0

M(x, y)dx+

y∫

y0

N(x, y)dy −y

∫

y0

x∫

x0

∂N

∂x(x, y)dx

dy

Quando dF (x, y) = 0, então sua solução é dada explícitamente por

F (x, y) = C

onde C é uma constante arbitrária. Esta última equação é decorrência imediata de (5.8) e (5.9)

de onde obtém-se que dF (x, y(x)) = 0 e logo integrando∫

dF (x, y(x))dx =

∫

0dx =

∫

d(C)dx.

Portanto, a solução geral da equação (5.7) tem a forma

F (x, y) =

x∫

x0

M(x, y)dx+

y∫

y0

N(x, y)dy = C

Exemplo 5.34.

Resolver a equação diferencial (x+ zseny)dx+ (x cos y − 2y)dy = 0

Solução.

AquiM(x, y) = x+zseny e N(x, y) = x cos y−2y, além disso cumpre que∂M

∂y≡ ∂N

∂x= cos y,

logo a equação diferencial é exata.

Procuremos agora uma função F (x, y) que satisfaça (5.8) e (5.9), para isto consideremos∂F (x, y)

∂x= x+ sen y, de onde

∫

∂F (x, y)

∂x=

∫

(x+ sen y)dx


ou

F (x, y) =1

2x2 + xsen y + v(y) (5.11)

Para determinar v(y), derivamos esta última função em relação a y, obtendo∂F

∂y= x cos y+

v′(x), e levamos o resultado juntamente com N(x, y) = x cos y − 2y em (5.9), obtendo

x cos y + v′(y) = x cos y − 2y ou v′(y) = −2y

de onde v(y) = −y2 + C1.

Considerando este valor em (5.11), obtemos

F (x, y) =1

2x2 + xsen y − y2 = C

Portanto, a solução da equação diferencial é dada implícitamente por1

2x2 +xsen y−y2 = C.

Exemplo 5.35.

Determinar se a expressão é diferencial exata.

(exsen y cos z)dx+ (ex cos y cos z)dy − (exsen ysen z)dz

caso sua resposta seja afirmativa, determinar a função F da qual é diferenciação total.

Solução.

Designando M = exsen y cos z, N = ex cos y cos z e Q = exsen ysen z, obtemos:

∂M

∂y= ex cos y cos zv =

∂N

∂x,

∂M

∂z= −exsen ysen z =

∂N

∂x,

∂N

∂z= −ex cos y cos z =

∂Q

∂y

Portanto, a diferencial é exata. Calculemos F fazendo∂F

∂x= M e integrando, obtém-se

F (x, y, z) = exsen y cos z + g(y, z)

Derivando respeito de y resulta

∂F

∂x(x, y, z) = ex cos y cos z +

∂g

∂y(y, z) = N = ex cos y cos z

logo g(y, z) = K1 + g(z)

Derivando F respeito de z, obtém-se:

∂F

∂z(x, y, z) = −exsen ysen z + g′(z) = Q = −exsen ysen z

de onde g′(z) = 0 e g(z) = K2.

Portanto, F (x, y, z) = exsen y cos z + Constante.

Exemplo 5.36.


Resolver a equação diferencial [sen (xy) + xy cos(xy)]dx+ x2 cos(xy)dy = 0

Solução.

Observe que∂M

∂y= x cos(xy)+x cos(xy)−x2ysen (xy) = 2x cos(xy)−x2ysen (xy) por outro

lado,∂N

∂x= 2x cos(xy) − x2ysen (xy) ou seja

∂M

∂y≡ ∂N

∂x.

Observamos que cumpre a condição necessária e suficiente, conseqüentemente

F (x, y) =

x∫

x0

sen (xy) + xy cos(xy)]dx+

y∫

y0

+x20 cos(x0y)dy =

xsen (xy)∣

∣

∣

x

x0

+ x0sen (x0y)∣

∣

∣

y

y0

= xsen (xy) − x0sen x0y0

de modo que xsen (xy) = C + x0sen (x0y0).

Portanto, xsen (xy) = C1 onde C1 é constante, é solução geral da equação.

Observação 5.7.

Existem casos excepcionais onde M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 não representa uma equação

diferencial exata. Neste caso procura-se por uma função µ(x, y) de modo que ao multiplicar por

esta última igualdade resulta uma diferencial da forma

dF = µMdx+ µNdy

A função µ(x, y) é chamada fator integrante

5.11 Derivada de funções compostas

Lembre que, para funções de uma variável, o que denominamos “derivada da função composta”

ou “regra da cadeia”, na verdade é um método para derivar funções compostas. se y = f(u) e

u = g(x) entãody

dx=dy

du· dudx

Consideremos a “derivada de uma função composta” para funções de duas variáveis onde

cada uma destas variáveis é outra função de duas ou mais variáveis, assim iremos generalizar

esta regra para funções de várias variáveis.

Por exemplo, seja a função f(x, y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t). A derivada desta

função em relação a t édf

dt=∂f

∂x· dxdt

+∂f

∂y· dydt

isto está justificado pela seguinte propriedade

Propriedade 5.8.

Seja f : S ⊂ R2 −→ R função diferenciável definida por u = f(x, y) , x = F (r, s) e


y = G(r, s), se existem as derivadas parciais

∂u

∂x,

∂u

∂y,

∂x

∂r,

∂x

∂s,

∂y

∂r,

∂y

∂s

então u é uma função de variáveis x e y e satisfaz

∂u

∂r=∂u

∂x· ∂x∂r

+∂u

∂y· ∂y∂r

(5.12)

∂u

∂s=∂u

∂x· ∂x∂s

+∂u

∂y· ∂y∂s

(5.13)

Demonstração.

A demonstrar (5.13) a demonstração de (5.12) é análoga.

Suponhamos que s é constante e r variável, mudando na quantidade 4r, então

4x = F (r + 4r, s) − F (r, s), 4y = G(r + 4r, s) −G(r, s)

Como f é diferenciável

4f(x, y) = D1f(x, y)4x+D2f(x, y)4y + ε14x+ ε24y (5.14)

quando (4x, 4y) → (0, 0) tem-se que ε1 → 0 e ε2 → 0.

Podemos considerar ε1 = 0 e ε2 = 0 quando 4x = 4y = 0, isto para que ε1 e ε2 sejam

funções de 4x e 4y contínuas em (4x, 4y) = (0, 0)

Em (5.14) dividimos por 4r 6= 0 para obter

4f(x, y)

4r = D1f(x, y)4x4r +D2f(x, y)

4y4r + ε1

4x4r + ε2

4y4r

Aplicando o limite a ambos os lados da igualdade quando 4r → 0.

limr→0

4f(x, y)

4r = D1f(x, y) limr→0

4x4r +D2f(x, y) lim

r→0

4y4r + ε1 lim

r→0

4x4r + ε2 lim

r→0

4y4r

Lembre que

limr→0

4f(x, y)

4r = limr→0

4u4r = lim

r→0

u(r + 4r, s) − u(r, s)

4r =∂u

∂r

limr→0

4x4r = lim

r→0

F (r + 4r, s) − F (r, s)

4r =∂x

∂r

limr→0

4x4r = lim

r→0

G(r + 4r, s) −G(r, s)

4r =∂x

∂r

Como∂x

∂re∂x

∂rexistem e F e G são contínuas respeito de r, segue que

lim4r→0

4x = lim4r

F (r + 4r, s) − F (r, s) = F (r, s) − F (r, s) = 0

lim4r→0

4y = lim4r

G(r + 4r, s) −G(r, s) = G(r, s) −G(r, s) = 0


Assim, quando 4r se aproxima de zero, tem-se que (4x, 4y) → (0, 0) , então ε1 → 0 e

ε2 → 0.

Portanto,∂u

∂r=∂u

∂x· ∂x∂r

+∂u

∂y· ∂y∂r

.

Exemplo 5.37.

Calcular a derivada da função F (x, y) = x2+3y−5 em relação a t, onde x(t) = et e y(t) = t3.

Solução.

1. A função pode ser posta em função de t , F (t) = e2t + 3t3 − 5. E a derivadadF

dt= 2e2t + 9t2

2. Calculando pelas derivadas parciais

∂f

∂x= 2x,

∂f

∂y= 3,

dx

dt= et,

dy

dt= 3t2

Assim,dF

dt= 2e2t + 3(3t2) = 2e2t + 9t2.

Podemos também entender a derivada de funções compostas com a seguinte situação prob-

lema.

Seja a função A = b ·h que nos dá a área de um retângulo de base b e altura h. Sabemos que

se variarmos a base e/ou a altura então o valor da área também se alterará. Mas para que isto

ocorra, o valor da base e o valor da altura deverão variar com o passar do tempo t, isto significa

que as variáveis base e altura dependerão do tempo t. Logo poderemos escrever:

• dA

dt= taxa de variação da área em relação ao tempo t

• db

dt= taxa de variação da base em relação ao tempo t

• dh

dt= taxa de variação da altura em relação ao tempo t

• ∂A

∂b= taxa de variação da área em relação à base b

• ∂A

∂h= taxa de variação da área em relação à altura h

Fazendo um encadeamento de derivadas, encontraremos a taxa de variação da área em relação

ao tempo t:∂A

∂t=∂A

∂b· dbdt

+∂A

∂h· dhdt

Exemplo 5.38.

Uma peça retangular de metal tem 10cm de base e 16cm de altura. Se a base aumentar à

razão de 0, 04cm/s e altura aumentar à razão de 0, 02cm/s, então determine a taxa de variação

da área em relação ao tempo.

Solução.


A área da peça retangular é dada por A = b · h, pelos dados do problema,db

dt= 0, 04cm/s,

dh

dt= 0, 02cm/s.

Por outro lado,∂A

∂b= h,

∂A

∂h= b

∂A

∂t=∂A

∂b· dbdt

+∂A

∂h· dhdt

⇒ ∂A

∂t= (16cm) · (0, 04cm/s)+ (10cm) · (0, 02cm/s) = 0, 84cm2/s

A taxa de variação da área em relação ao tempo é 0, 84cm2/s.

Exemplo 5.39.

Seja z = x2y3, onde x = er cos(s), y = ersen (s). calcular∂z

∂re∂z

∂s.

Solução.

Pela propriedade da derivada da função composta tem-se∂z

∂r= (2xy3)(er cos s) + (3x2y2)(ersen s) = erxy2[2y cos s+ 3xsen s]

∂z

∂s= (2xy3)(−ersen s) + (3x2y2)(er cos s) = erxy2[−2ysen s+ 3x cos s]

Propriedade 5.9.

Seja f : S ⊂ Rn −→ R função diferenciável no ponto X(x1, x2, x3, · · ·xn) ∈ S tal que

u = f(x1, x2, x3, · · ·xn) e cada xi é função de m variáveis y1, y2, y3, · · · ym, isto é xi =

x(y1, y2, y3, · · · ym) ∀ i = 1, 2, 3, · · · , n.Suponhamos que as derivadas parciais

∂xi

∂yj∀ i = 1, 2, 3, · · · , n e j = 1, 2, 3, · · · , m.

Então u é função de y1, y2, y3, · · · yn e

∂u

∂y1=

∂u

∂x1· ∂x1

∂y1+

∂u

∂x2· ∂x2

∂y1+ · · · + ∂u

∂xn· ∂xn

∂y1∂u

∂y2=

∂u

∂x1· ∂x1

∂y2+

∂u

∂x2· ∂x2

∂y2+ · · · + ∂u

∂xn· ∂xn

∂y2...

......

∂u

∂ym=

∂u

∂x1· ∂x1

∂ym+

∂u

∂x2· ∂x2

∂ym+ · · · + ∂u

∂xn· ∂xn

∂ym

A demonstração é uma extensão da demonstração da Propriedade (5.8)

Observação 5.8.

Seja f : S ⊂ Rn −→ R uma função diferenciável em (x1, x2, x3, · · ·xn) ∈ S tal que

u = f(x1, x2, x3, · · ·xn) e cada xi, i = 1, 2, 3, · · · , n é uma função diferenciável de variável t.

Então u é função de t e a derivada total de u com respeito a t é

∂u

∂t=

∂u

∂x1· ∂x1

∂t+

∂u

∂x2· ∂x2

∂t+ · · · + ∂u

∂xn· ∂xn

∂t

Exemplo 5.40.

Seja F (x, y) = xy2 + x3 + y onde x = t2 − 1 e : y = 2t− t3. determinardF

dt.

Solução.


Tem-sedF

dt=dF

dx· dxdt

+dF

dy· dydt

, isto é

dF

dt= (y2 + 3x2)(2t) + (2xy + 1)(2 − 3t2)

de onde substituindo x = e : y = 2t− t3

dF

dt= [(2t− t3)2 + 3(t2 − 1)2](2t) + [2(t2 − 1)y(2t− t3) + 1](2 − 3t2)

Portanto,dF

dt== 8t7 − 15t5 + 14t3 − 3t2 − 6t+ 2.

5.12 Derivada de uma função implícita de 2 ou mais variáveis

Uma função está na forma implícita, quando não está resolvida para uma variável específica.

As funções resolvidas para uma variável são chamadas de explícitas. Por exemplo, y = f(x), z =

f(x, y) .

Na forma implícita seria f(x, y) = 0, f(x, y , z) = 0, etc. A derivada de uma função implícita

do tipo f(x, y) = 0, em relação a x é

∂f

∂x· dxdx

+∂f

∂y· dydx

= 0 ⇒ ∂f

∂x+∂f

∂y· dydx

= 0

ou

dy

dx= −

∂f

∂x∂f

∂y

= −fx

fy(5.15)

Exemplo 5.41.

Dada a função f(x, y) = 2x2+5y3+2 = 0 determine sua dy/dx usado, diretamente a fórmula

(5.15)

Solução.

dy

dx= −fx

fy= − 4x

15y2

Uma expressão algébrica de variáveis x, y, z estabelece uma relação entre as variáveis as quais

podemos escrever na forma F (x, y, z) = 0. Esta relação pode ou não determinar uma função

z = G(x, y); isto é, pode existir uma função G com duas variáveis independentes e uma região

S ⊂ R2 tal que: F (x, y, G(x, y)) = 0 ∀ (x, y) ∈ S

Por exemplo a expressão 3x2 + y2 + z2 − 16 = 0 pode resolver-se para z na forma z =

±√

16 − 3x2 − y2 e expressa duas funções na forma implícita.

Propriedade 5.10. Teorema da função implícita.

Seja F uma função de variáveis x, y, z definidas num conjunto aberto S ⊂ R3, e suponhamos

que as derivadas parciais F1, F2 e F3 existam e sejam contínuas em S. Suponhamos que

(a, b, c) ∈ S tal que F (a, b, c) = 0, mais que F3(a, b, c) 6= 0.


Então existe um paralelepípedo retangular

R∗ = (x, y, z) /. x1 < x < x2, y1 < y < y2, z1 < z < z2,

que contêm (a, b, c) tal que para todo (x, y) que satisfaz: x1 < x < x2, y1 < y < y2, a equação

F (x, y, z) = 0 determina o valor z = f(x, y) com z1 < z < z2. Além disso

1. F (x, y, f(x, y)) = 0 sempre que x1 < x < x2 e y1 < y < y2.

2. A função f(x, y) tem derivadas parciais contínuas dadas pelas fórmulas

f1 =−F1(x, y, f(x, y))

F3(x, y, f(x, y))f2 =

−F2(x, y, f(x, y))

F3(x, y, f(x, y))

para x1 < x < x2 e y1 < y < y2.


Exemplo 5.42.

Determine∂x

∂xe∂x

∂yse z = f(x, y) satisfaz a equação: xy2 + yz2 + z3 + x3 − 4 = 0.

Solução.

Suponhamos que F (x, y, z) = xy2 + yz2 + z3 + x3 − 4, então

∂F

∂x= y2 + 3x2,

∂F

∂y= 2xy + z2,

∂F

∂z= 2yz + 3z2

Portanto,∂z

∂x= − y2 + 3x2

2yz + 3z2,

∂z

∂y= − 2xy + z2

2yz + 3z2.

Exemplo 5.43.

Sejam u e v funções de x e y definidas implícitamente em alguma região do plano-xy definida

pelas equações u · sen v + x2 = 0 e u · cos v − y2 = 0. Calcular:∂u

∂x,∂u

∂y,∂v

∂x,∂v

∂y.

Solução.

Derivando respeito de x ambas equações tem-se:

∂u

∂x· sen v + u · cos v · ∂v

∂x+ 2x = 0

∂u

∂x· cos v + u · (−sen v) · ∂v

∂x= 0

de onde obtém-se:

∂u

∂x= − 2x

sen v + cos v · cot v∂v

∂x= − 2x

u(sen v · tan v + cos v)


Exercícios 5-4

1. Para cada um dos seguintes exercícios, determinar quais são diferenciais exatas. Caso seja

diferencial exata, determinar a função da qual é diferencial total.

1. (x+ y)dx+ (x+ 2y)dy 2. (x3 + 3x2y)dx+ (x3 + y3)dy

3. (x2 + y2

2y2)dx− (

x3

3y3)dy 4. (yexy + 2xy)dx+ (xexy + x2)dy

5. y sec2 xdx+ tanxdy 6. (2y − 1

x)dx+ (2x+

1

y)dy

7. (3x2Lny − x3)dx+ (3x2

y)dy 8. (x+ cosx tan y)dx+ (x+ tanx cos y)dy

9. (x2 + 2xy)dx+ (y3 − x2)dy 10. (x2sen y)dx+ (x2 cos y)dy

2. As equações: xu+ yv+x2u2 + y2v2 = 3 e xu2 +x2u− yv2 − y2v = 2 podem ser resolvidas

para obter x = f(u, v) e y = g(u, v). Achar∂x

∂u,

∂x

∂v,∂y

∂u,

∂y

∂vutilizando derivação

implícita.

3. Determine a quantidade de estanho numa lata cilíndrica fechada com 7, 5 cm de diâmetro

e 15 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0, 03 cm.

4. A altura de um cone é de 14 cm e aumenta na razão de 0, 03 cm/sg. O raio é de 8 cm e

aumenta na razão de 0, 04 cm/sg. Determine a taxa de variação do volume em relação ao

tempo.

5. A voltagem V de um circuito elétrico está decrescendo à medida que a bateria se descarrega.

A resistência R está aumentando devagar com o aumento de calor do resistor. Use a lei

de Ohm, V = I · R , para achar como a corrente I está variando no momento em que

R = 30 ohms e estiver aumentando 0, 15 ohms/s e V = 26 volts e estiver diminuindo

0, 25 volts/s. Rpta.∂I

∂t= −0, 01266 ampres/sg

6. A lei do gás ideal é dada pela fórmula PV = kT , onde P = pressão, V = volume,

T = temperatura e k = constante de proporcionalidade. Encontre a taxa de variação da

pressão em relação ao tempo, no instante em que o volume do gás for 400cm3 e estiver com

temperatura de 40 graus e em que o volume aumenta à razão de 0, 1cm3/s e a temperatura

diminui à razão de 0, 018 graus/sg. Supor k = 10.

7. O comprimento c, a largura l e a altura h de uma caixa variam com o tempo. A certo

instante as dimensões da caixa são c = 5 m, l = 3 m e h = 10 m, onde c e l estão aumentando

a uma taxa de 0,25 m/s, ao passo que h está diminuindo à taxa de 0,5 m/s. Nesse instante,

determine as taxas nas quais o volume e a área da superfície estão variando. Rpta. cccc

8. Determine o máximo erro no cálculo da área da superfície e no cálculo de volume de uma

caixa aberta retangular com altura = 25m, largura = 30 cm e comprimento = 70 cm, com

erro máximo de 0, 3 cm em cada dimensão. Resposta dv = 1380 cm3 e dA = 120 cm2


9. A potência consumida numa resistência elétrica é dada por P =V 2

Rwatts. Se V = 12volts

e R = 6 ohms, determine o valor da variação da potência se V é aumentada de 0, 015 volts

e R é aumentada de 0, 002 ohms. Interprete o sinal do resultado: a potência é reduzida ou

aumentada? Resposta dP = 0, 052 watts

10. O período T em segundos para oscilações de um pêndulo simples que tem ρ cm de largura

é dado pela fórmula T = 2π

√

ρ

gonde g é a constante de aceleração da gravidade. Sabendo

que ρ = 13 cm e g = 9, 8 cm/s2 e que foi a leitura incorreta com ρ = 12, 95 cm e g =

9, 85 cm/s2, encontre a variação do período T . Resposta dT = 0, 0102π segundos

11. Seja um retângulo com lados x = 3 cm e y = 4 cm. Determine a variação aproximada

da diagonal deste retângulo, sabendo que o lado x foi aumentado 0, 005 cm e o lado y

diminuindo 0, 004 cm Resposta dD = −0, 0002 cm

12. A resistência de um circuito elétrico é dada por R =E

Cohms. Sabendo que E = 18 volts

e C = 6 ampres, porém foi feita a leitura de E = 17, 985 voltas e C = 6, 125 ampres,

determinar a variação da resistência. Resposta dR = 0, 063 ohms

13. Um tanque cilíndrico tem as seguintes dimensões interiores: raio da base R = 2, 5m, altura

h = 4m e a largura das paredes l = 1dm. Determine aproximadamente o volume do

material gasto para fabricar o tanque.

14. Denotemos por z = 2e−x2+e−3y2a altura de um morro na posicição (x, y). Em que direção

desde (1, 0) deveriamos começar a caminhar para escalar o mais rápidamente possível?

15. A temperatura de cada um dos pontos de uma placa quadrada vem determinada pela

função T (x, y) = (x− 1)3(y− 2)2. Se deseja conhece quais são, no ponto (0, 0), as direções

de maior crescimento e decrescimento da temperatura.

16. Sejam g : R2 −→ R, f ∈ C1(R) e g(x, y) = f(x2y). Sabendo que f ′(2) = −1 determine

g′y(1, 2).

17. Seja f : R2 −→ R, g ∈ C1(R) tal que f ′(1, e) = [1 − 1] e seja g(x) = f(x3, ex). Determine

g′(1).

18. Seja f : R2 −→ R, uma função diferenciável tal que f(u, 0) = 0 e f(0, v) = v para qualquer

u, v ∈ R. Seja g(x, y) = (x2 − x− y, y2 − x− y).

1. Mostre que h = fog é diferenciável em R2 2. Calcule h′(2, 2)


5.13 Derivada direcional

O conceito de derivada direcional, não se aplica a funções de uma variável.

Sejam f : S ⊂ Rn −→ R uma função definida num conjunto aberto S, um vetor unitário

~u = (u1, u2, u3, · · · , un) em Rn e um ponto P (x1, x2, x3, · · · , xn) ∈ S .

Consideremos a reta L = P + t~u /. t ∈ R em Rn que passa por P e tem como vetor

direção o vetor ~u. Como S é um conjunto aberto, então para cada ponto P ∈ S existe ε > 0 tal

que, a bola B(P, ε) ⊂ S.

Seja φ : R −→ S ⊂ Rn uma função definida por φ(t) = P + t~u.

Queremos achar o domínio de φ com a condição que sua imagem esteja contida na bola aberta

B(P, ε), isto é φ(t) = P + t~u ⊂ B(P, ε), ∀ t ∈ D(φ).

Como φ(t) = P + t~u ⊂ B(P, ε) então ‖P + t~u−P‖ < ε ⇔ ‖t~u‖ < ε ⇔ ‖t‖ < ε ⇔−ε < t < ε ⇔ t ∈ (−ε, ε).

Assim, o domínio D(φ) = (−ε, ε), e também temos que φ(0) = P .

Efetuando a composição com a função f : S ⊂ Rn −→ R obtemos a função composta

f φ : (−ε, ε) −→ R definida por (f φ)(t) = f(φ(t)).

Definição 5.15. Derivada Direcional.

A derivada direcional de f : S ⊂ Rn −→ R no ponto P ∈ S na direção ~u, denotada por

D~uf(P ), define-se como a derivada da função f φ : (−ε, ε) −→ R com respeito a t evaluado no

ponto t = 0, sempre que o seguinte limite exista

D~uf(P ) =d

dt(f φ)(0) = lim

h→0

(f φ)(h+ 0) − (f φ)(0)

h= lim

h→0

f(P + h~u) − f(P )

h

Observação 5.9.

Em particular para a função f : S ⊂ R2 −→ R, se o vetor direção é considerado como

~u = (cos θ, sen θ), então a derivada direcional de f é dada por

D~uf(x, y) = limh→0

f(x+ h cos θ, y + hsen θ) − f(x, y)

h

Geometricamente, a derivada direcional D~uf(P0), representa o coeficiente angular da reta

tangente á curva C em P0 no plano PQ.

Observação 5.10.

Se ~u = (1, 0), então: D~uf(x, y) = limh→0

f(x+ h, y) − f(x, y)

h=∂f

∂x(x, y).

Se ~u = (0, 1), então: D~uf(x, y) = limh→0

f(x, y + h) − f(x, y)

h=∂f

∂y(x, y).

Exemplo 5.44.

Seja f(x, y, z) = exy +Lnz, achar a derivada direcional de f na direção de ~u =1√13

(2, 0, 3).

Solução.


Aplicando a definição tem-se:

D~uf(x, y, z) = limh→0

f(x+2h√13, y, z +

3h√13

) − f(x, y, z)

h


e(x+

2h√13

)y

+ Ln(z +3h√13

) − (exy + Lnz)

h


exy[e2hy√

13 − 1] + Ln[1 + 3h√13z

]

h

aplicando a regra de L’Hospital e calculando o limite resulta:

D~uf(x, y, z) =2√13yexy +

3√13z

Outro modo de apresentar o conceito da derivada direcional está dado pelo seguinte. Con-

sidere ~u = (u1, u2, u3, · · · , un) vetor unidade arbitrário, a derivada direcional de f no ponto

X ∈ S segundo a direção ~u está dado pelo limite

D~uf(X) =∂f

∂~u= lim

t→0t>0

f(X + t~u) − f(X)

t

Observação 5.11.

Observe que ao calcular o limite, estamos considerando que t tende a zero pela direita. Por-

tanto, podemos dizer que∂f

∂~ué uma derivada direita no ponto t = 0

Propriedade 5.11.

Sejam, f : S ⊂ Rn −→ R uma função definida num conjunto aberto S, o vetor unitário

~u = (u1, u2, u3, · · · , un) em Rn e X ∈ S.

Se existem as derivadas parciais D1f(X), D2f(X), D3f(X), · · · , Dnf(X) então a derivada

direcional D~uf(X) está dada por:

D~uf(x1, x2, · · · , xn) =∂f(X)

∂x1u1 +

∂f(X)

∂x2u2 +

∂f(X)

∂x3u3 + · · · + ∂f(X)

∂xnun

D~uf(x1, x2, · · · , xn) = (∂f(X)

∂x1,∂f(X)

∂x2, · · · , ∂f(X)

∂xn) • (u1, u2, u3, · · · , un)

Demonstração.

Consideremos φ(t) = X + t~u e F (h) = (f φ)(h) = f(X + h~u).

Tem-se que: D~uf(X) = F ′(0) =d(f φ)

dt(0), aplicando a derivada da função composta

resulta

F ′(0) =d(f φ)

dt(0) = Df(φ(0)) · φ′(0)

D~uf(X) = (∂f(X)

∂x1,∂f(X)

∂x2, · · · , ∂f(X)

∂xn) • (u1, u2, u3, · · · , un)


Exemplo 5.45.

Seja f(x, y, z) = Ln(x2 + y2 + z2), determine D~uf(x, y, z) no ponto P (1, 3, 2) na direção

~u = (1√3, − 1√

3, − 1√

3).

Solução.

Temos para X(x, y, z):

∂f(X)

∂x=

2x

x2 + y2 + z2,

∂f(X)

∂y=

2y

x2 + y2 + z2,

∂f(X)

∂z=

2z

x2 + y2 + z2

de onde, pela Propriedade (5.11) resulta

D~uf(X) = (4

14,

4

14,

4

14) · ( 1√

3, − 1√

3, − 1√

3) = − 4

7√

3

Exemplo 5.46.

Qual o valor do ângulo θ para o qual a derivada direcional de f(x, y) =√

25 − x2 − y5 no

ponto (1, 2) é minima? Qual é este valor de mínimo ?

Solução.

Seja ~u = (cos θ, sen θ) vetor unitário, então D~uf(1, 2) = − 1

2√

5cos θ − 1√

5sen θ.

Seja g(θ) = − 1

2√

5cos θ − 1√

5sen θ, assim

dg(θ)

dθ=

1

2√

5sen θ − 1√

5cos θ.

Considerandodg(θ)

dθ= 0 segue que θ = arctan 2 é número crítico.

Observe qued2g(θ)

dθ2=

1

2√

5cos θ +

1√5sen θ = e

d2g

dθ2(arctan 2) =

1

2> 0.

Portanto θ = arctan 2 corresponde a um valor de mínimo, e D~uf(1, 2) = −1

2.

5.13.1 Propriedades da derivada direcional

Sejam f e g : S ⊂ Rn −→ R funções diferenciáveis no conjunto aberto S ⊂ Rn então:

1. D~u(f ± g) = D~uf ±D~ug

2. D~u(f · g) = g ·D~uf + f ·D~ug

3. D~u(f

g) =

g ·D~uf − f ·D~ug

g2desde que g 6= 0 ∀X ∈ S.

Propriedade 5.12.

Se uma função f é diferenciável no ponto (x, y, z), então tem sentido a derivada direcional

segundo a direção de qualquer vetor unitário ~u = (cosα, cosβ, cos γ) expressa pela função

∂f

∂~u=∂f

∂xcosα =

∂f

∂ycosβ +

∂f

∂zcos γ (5.16)

onde α, β, γ são os ângulos formados pelo vetor ~u com os eixos-x, y, z respectivamente.



5.14 Gradiente de uma função

Seja f : S ⊂ Rn −→ R função diferenciável num ponto X do conjunto aberto S ⊂ Rn e

suponhamos existam∂f(X)

∂x1,∂f(X)

∂x2,∂f(X)

∂x3, · · · , ∂f(X)

∂xn.

Definição 5.16.

O vetor gradiente de f é definido como

grd f = ∇f(X) =(∂f(X)

∂x1,∂f(X)

∂x2,∂f(X)

∂x3, · · · , ∂f(X)

∂xn

)

Portanto, a derivada direcional de f na direção do vetor unitário ~u podemos escrever como

D~uf(x) = ∇f(X) · ~u (5.17)

Para o caso de ser f uma função de variáveis x, y, z, o gradiente é definido como o vetor

grd f = ∇f = (∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z)

A igualdade (5.17) diz que a derivada de f no ponto (x, y, z) segundo a direção do vetor

unidade ~u é igual à projeção do vetor gradiente nesse ponto sobre a direção ~u.

∂f

∂~u= (grd f, ~u) = grd~uf

5.14.1 O Gradiente como vetor de incremento rápido

Na relação (5.17) do produto escalar dos vetores ∇f(X) e ~u segue que

D~uf(X) = ‖∇f(X)‖‖~u‖ cos θ

onde θ é o ângulo entre ∇f(X) e ~u.

Mostra-se que para D~uf(X) seja máximo, devemos elegir o vetor ~u na direção ∇f(X)(θ) isto

acontece quando θ = 0. Logo o vetor ~u tem que ser paralelo ao vetor gradiente ∇f(X)

Para D~uf(X) ser mínimo devemos elegir ~u na direção de −∇f(X), isto acontece quando

θ = π.

Propriedade 5.13.

Suponhamos que ∇f(X) 6= ~0 , então ∇f(X) aponta a direção ao longo do qual f cresce mais

rápidamente.

Podemos dizer então que o vetor gradiente indica a direção de crescimento mais rápido da

função, entanto o gradiente com sinal contrária indica indica a máxima diminuição.

Em cada ponto X o valor máximo da derivada direcional é ‖∇f(X)‖, e o valor de mínimo

da derivada direcional é −‖∇f(X)‖.


Exemplo 5.47.

Em que direção desde (0, 1) cresce mais rápidamente f(x, y) = x2 − y2?

Solução.

Devemos calcular o gradiente ∇f(x, y) = (2y,−2y), no ponto (0, 1) tem-se ∇f(0, 1) = (0,−2).

Pela propriedade f cresce mais rápidamente na direção −j = (0,−1, 0).

Exemplo 5.48.

A distribuição de temperatura de uma placa metálica está dada pela função T (x, y) = xey +

y3ex.

1. Em que direção aumenta a temperatura rápidamente no ponto (2, 0)?

2. Qual é o coeficiente de variação?

3. Em que direção diminui a temperatura rápidamente no ponto (2, 0)?

Solução.

1. No ponto (2, 0) a temperatura aumenta rápidamente na direção do gradiente ∇T (2, 0) =

(1, 4).

2. O coeficiente de variação é ‖∇T (2, 0)‖ = ‖(1, 4)‖ =√

17.

3. No ponto (2, 0) a temperatura diminui rápidamente na direção do gradiente −∇T (2, 0) =

(−1, −4).

Exemplo 5.49.

A equação da superfície de uma motanha está dada pela função f(x, y) = 900 − 2x2 − 2y2

onde a distância é medida em metros, o eixo-x indica o leste, o eixo-y indica o norte. Uma

pessoa está no ponto correspondente a (6, −√

14, 800)..

1. Em que direção a ladeira é mais pronunciada?

2. Se uma pessoa caminha na direção norte-leste. Esta subindo ou descendo? Que tão rápido?

3. Se a pessoa caminha na direção sul-oeste. Esta subindo ou descendo? Que tão rápido?

Solução.

1. Temos que ∇f(x, y) = (∂f

∂x,∂f

∂x) = (−4x, −4y). Assim ∇f(6, −

√14) = (−24, 4

√14), um

vetor unitário na direção de ∇f(6, −√

14) é

~u =∇f(6, −

√14)

‖∇f(6, −√

14)‖= (

3√

2

5,

√7

5)

então a direção da ladeira mais pronunciada é ~u.


2. Para a direção norte-leste tem-se que θ =π

4, então ~u = (cos

π

4, sen

π

4) = (

√2

2,

√2

2).

Logo, D~uf(6, −√

14) = (−24, 4√

14) · (√

2

2,

√2

2) = −6, 39

Portanto o homem está descendo com uma rapidez de 6, 39m/sg.

3. Se a pessoa caminha na direção sul-oeste então θ =5π

4, então ~u = (cos

5π

4, sen

5π

4) =

(−√

2

2, −

√2

2).

Assim, D~uf(6, −√

14) = (−24, 4√

14) · (−√

2

2, −

√2

2) = 9, 44.

Portanto o homem está subindo com uma rapidez de 9, 44m/sg.

Propriedade 5.14.

Seja f : D ⊂ R2 −→ R diferenciável em (x0, y0) ∈ D, e ∇f(x0, y0) 6= 0, então ∇f(x0, y0) é

normal à curva de nível que contém (x0, y0).


Por exemplo, a função f(x, y) = y − cosx tem como gráfico a superficie da Figura (5.1)

Figura 5.1: f(x, y) = y cosxFigura 5.2: Gradiente normal à curva denível

O gradiente é normal às curvas de nível, em particular se f(x, y) = 0, no plano-xy podemos

observar na Figura (5.2) os vetores gradiente são ortogonais â curva de nivel.

5.15 Plano tangente e reta normal a uma superfície

Propriedade 5.15.

Se a equação da superfície S é F (x, y, z) = 0 e∂F

∂x,∂F

∂y,∂F

∂zsão contínuas e não todas

nulas no ponto P0(x0, y0, z0) ∈ S então o vetor normal a S no ponto P0 é ~n = ∇F (x0, y0, z0)

Definição 5.17. Plano tangente.

Se uma equação da superfície S é F (x, y, z) = 0 então o plano tangente a S no ponto

P0(x0, y0, z0) ∈ S é o plano que tem como vetor normal ~n = ∇F (x0, y0, z0) e sua equação é

∂F (P0)

∂x(x− x0) +

∂F (P0)

∂y(y − y0) +

∂F (P0)

∂z(z − z0) = 0


Definição 5.18. Reta normal.

A reta normal á superfície S definida por F (x, y, z) = 0 no ponto P0(x0, y0, z0) ∈ S é a

reta que passa por P0 e segue a direção do vetor normal a S em P0.

A equação simétrica da reta normal a S em P0 é

(x− x0)

∂F (P0)

∂x

=(y − y0)

∂F (P0)

∂y

=(z − z0)

∂F (P0)

∂z

Exemplo 5.50.

Achar a equação do plano tangente e da reta normal à superfície 4x2 +y2−16z = 0 no ponto

(2, 4, 2).

Solução.

Como F (x, y, z) = 4x2 + y2 − 16z então temos que: ∇F (x, y, z) = (8z, 2y, −16) de onde

∇F (2, 4, 2) = (16, 8, −16).

Logo a equação do plano tangente é 16(x−2)+8(y−4)−16(z−2) = 0; isto é 2x+y−2z−4 = 0.

A equação simétrica da reta normal é:x− 2

2=y − 4

1=z − 2

−2.

Observação 5.12.

Consideremos uma curva C interseção das superfícies F (x, y, z) = 0 e G(x, y, z) = 0 e

P0(x0, y0, z0) ∈ C.

Um vetor normal em P0 à superfície F (x, y, z) = 0 é ~n1 == ∇F (x0, y0, z0) e o vetor normal

em P0 à superfície G(x, y, z) = 0 é ~n2 == ∇G(x0, y0, z0).

Assim temos que ~n1 e ~n2 são ortogonais ao vetor tangente unitário a C em P0 logo ~n1 e ~n2

não são paralelos e o vetor tangente unitário tem a mesma direção (ou oposta) ao vetor ~n1 ×~n2.

Exemplo 5.51.

Achar a equação simétrica da reta tangente à curva de interseção das supérficies x2+y2−z =

8 e x2 − y2 + z2 = −2 em (2, −2, 0).

Solução.

Sejam F (x, y, z) = x2 + y2 − z − 8 = 0 e G(x, y, z) = x2 − y2 + z2 + 2 = 0 , então

∇F (x, y, z) = (2x, 2y, −1) e ∇G(x, y, z) = (2x, −2y, 2z).

Logo, ~n1 = ∇F (2, −2, 0) = (4, −4, −1) e ~n2 = ∇G(2, −2, 0) = (4, 4, 0), Tem-se que

~n1 × ~n2 = (4, −4, 32).

Portanto, a equação simétrica da reta é:x− 2

1=y + 2

1=z − 0

8.

5.15.1 Ângulo de inclinação de um plano tangente

Uma aplicação do gradiente de uma função, é para determinar o ângulo de inclinação do

plano tangente a uma superfície em um determinado ponto.

O ângulo θ de inclinação de um plano tangente é definido como o ângulo entre o plano

tangente e o plano-xy, este ângulo tem variação no intervalo 0 ≤ θ ≤ π

2.


Como o vetor ~k = (0, 0, 1) é ortonormal ao plano-xy, então

cos θ =|~n • ~k|‖~n‖‖~k‖

=|~n • ~k|‖~n‖

Exemplo 5.52.

Determine o ângulo de inclinação do plano tangente à superfície 4x2 + y2 + z2 = 12 no ponto

(1, 2, 2).

Solução.

A superfície 4x2 + y2 + z2 = 12 é um elipsóide.

Seja F (x, y, z) = 4x2 + y2 + z2 − 12 então

∇F (x, y, z) = (8x, 2y, 2z) ⇒ ∇F (1, 2, 2) = (8, 4, 4)

cos θ =|(8, 4, 4) • (0, 0, 1)|√

64 + 16 + 16=

4

4√

6=

√6

6

Como ∇F (1, 2, 2) é normal ao plano tangente e k é normal ao plano-xy, então o ângulo θ

pedido é

θ = arccos

√6

6= 65, 9o = 1, 15 radianos

,

Propriedade 5.16.

Seja F : S ⊂ R3 −→ R diferenciável em (x0, y0, z0) ∈ S, e ∇f(x0, y0, z0) 6= ~0, então

∇f(x0, y0, z0) é normal à superfície de nível que contém (x0, y0, z0).



Exercícios 5-5

1. Qual o valor de θ para o qual a derivada direcional de f(x, y) = (sen y)xy no ponto

P0(0, π/2) seja máxima? Qual é esse valor máximo?

2. Para cada um dos seguintes exercícios, determine D~uf no ponto P para o qual ~u é um

vetor unitário na direção−−→PQ

1. f(x, y) = x2 + xy + y3; P (1, 2), Q(1, 3)

2. f(x, y) = ex arctan y; P (0, 2), Q(1, 3)

3. f(x, y, z) =√

x2 + y2 + z2; P (1, 1, 1), Q(7, 8, 0)

4. f(x, y) = ex cos y + eysen x; P (1, 0), Q(−3, 2)

3. Achar um vetor unitário ~u no ponto dado P0 tal que D~uf(P0) alcança seu valor máximo.

1. f(x, y, z) = x2 − xyz + y2z; P0(1, −1, 2)

2. f(x, y, z) =√

x2 + y2 + z2sen x; P0(1, 1, 1)

3. f(x, y, z) =x+ Lny

z; P0(1, 2, 4) 4. f(x, y) = x2 + xy + y3; P0(1, 2)

4. O potencial elétrico é V volts em qualquer ponto (x, y) do plano-xy e V = e−2x cos(2y).

A distância é medida em pês.

1. Achar a rapidez da mudança de potencial no ponto (0, π/4) na direção do vetor unitário

~u = (cosπ

6, sen

π

6).

2. Achar a direção e a magnitude da rapidez máxima da mudança de V no ponto (0, π/4).

5. A temperatura é T graus em qualquer ponto (x, y, z) no espaço R3 e T (x, y, z) =60

x2 + y2 + z2 + 3. A distância é medida em polegadas.

1. Achar a rapidez do câmbio de temperatura no ponto (3, −2, 2) na direção do vetor

unitário ~u = (−2, 3, −6).

2. Achar a direção e a magnitude da rapidez máxima da mudança de T no ponto (3,−2, 2).

6. Calcular o vetor gradiente das seguintes funções no ponto indicado:

1. f(x, y) = x2 + ln√xy, (2, 1) 2. f(x, y, z) = 2xLny − z2y2 (1, 1, 0)

3. f(x, y) = ln1

xy, (5,

√2) 4. f(x, y, z) =

xz√

x2 + y2, (1, −1, 1)

7. Achar o gradiente de f nos pontos indicados.

1. f(x, y, z) =√

x2 + y2 − z; P0(2, −1, 0)

2. f(x, y, z) = sen (3x) cos2 x tan z; P0(0, π/2, π/4)

3. f(x, y, z) = Ln√

x2 + y2 + z2; P0(−1, 1, 3)


4. f(x, y, z) = z2exsen y; P0(0, π/2, 2) 5. f(x, y, z) = xz +zx+yz; P0(2, 1, 1)

8. Para cada um dos seguintes exercícios, achar uma equação do plano tangente e equação da

reta normal à superfície no ponto indicado.

1. x2 + y2 + z2 = 17; (2, −2, 3) 2. 4x2 + y2 + 2z2 = 26; (1, −2, 3)

3. x2 + y2 − 3z = 2; (−2, −4, 6) 4. z =x

x+ y; (2, −1, 2)

5. y = ex cosx; (1, e, 0) 6. x = e3xsen (3y); (0,π

6, 1)

7.√x+

√y +

√z = 4; (4, 1, 1) 8. zx2 − xy2 − yz2 = 18; (0, −2, 3)

9.3√x2 + 3

√

y2 +3√z2 = 14; (−8, 27, 1) 10. z = 2xy2 + x2y, (1, −1, 1)

11. z = x3 + y3 − 3x2y + 3x2 (1, 1, 2) 12. z = 2xy2 + x2y, (1, −1, 1)

9. Para cada um dos seguintes exercícios, se as superfícies se interceptam em uma curva, achar

as equações da reta tangente e a curva interseção no ponto indicado.

1. y = x2, y = 16 − z2; (4, 16, 0)

2. x2 + z2 + 4y = 0, x2 + y2 + z2 − 6z + 7 = 0; (0, −1, 2)

3. x = 2 cos(πyz), y = 1 + sen (πxz)

10. Mostre que toda reta normal à esfera x2 + y2 + z2 = r2 passa pelo centro.

11. Dada a função f(x, y, z) = arcsen(x2

6+

3y2

2+z2

24− 1

2

)

1. Achar a equação do plano tangente à superfície de nível f(x, y, z) = 6, no ponto

(1, 1/3, −4)

2. Em que proporção variam os valores funcionais quando começa a se movimentar desde

o ponto (1, 1/3, 4) para o ponto (2, −5/2, −2) ?


Miscelânea 5-1

1. Mostre que a função z = f(x+ at, y+ bt) onde a e b são constantes, é solução da equação

em derivadas parciais∂z

∂t= a

∂z

∂x+ b

∂z

∂y.

2. Seja F (x, y) = f(xy ,

yx), Mostre que x

∂F

∂x+ y

∂F

∂y= 0.

3. Seja f(t) = g(2t2 + 2, 5t). Expresse f ′(t) em termos das derivadas parciais de g.

4. Suponha que f(t2, 2t) = t3 − 3t. Mostre que∂f

∂x(1, 2) = −∂f

∂y(1, 2).

5. Seja z = f(u− v, v − u). Mostre que∂z

∂u+∂z

∂v= 0.

6. Seja f uma função de uma variável real, diferenciável tal que f ′(1) = 4. Seja g(x, y) = f(x

y).

Calcule: 1.∂g

∂x(1, 1) 2.

∂g

∂y(1, 1) 3. x

∂g

∂y(x, y) + y

∂g

∂y(x, y)

7. Uma função f : R2 −→ R é chamada harmônica se satisfaz a equação de Laplace∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2= 0. Prove que as seguintes funções são harmônicas.

1. f(x, y) = x3y − xy32. f(x, y) = e−x cos y 3. f(x, y) = e−xsen y

4. f(x, y) =x+ y

x− y5. f(x, y) = arctan

y

x6. f(x, y) = sen x cosh y

7. f(x, y) =1

√

x2 + y29. f(x, y) = Ln

√

x2 + y2 9. f(x, y) =

8. Determine as derivadas parciais de segunda ordem para as seguintes funções:

1. z = Ln(x2 + y2) 2. z = arctan(x+ y

1 − xy) 3. z = ex/y

4. z =x

x+ y5. w = xy + yz + zx 6. z = ln(

y2

x)

7. w =xyz

x+ y + z8. w = sen (x2 + y2 + z2) 9. z = ex−y−z

9. Seja f(x, y, z) =x

x2 + y2 + z2, verifique a igualdade x · ∂f

∂x+ y · ∂f

∂y+ z · ∂f

∂z= −f .

10. Seja f função real de uma variável real, e contínua, com f(3) = 4.

Suponha que g(x, y, z) =

x+y2+z4∫

0

f(t)dt. Calcular:

1.∂g

∂x(1, 1, 1) 2.

∂g

∂y(1, 1, 1) 3.

∂g

∂z(1, 1, 1)


11. Seja u = ex + ey + ez. Provar que∂2u

∂x∂y= ez

[

∂2z

∂x∂y+∂z

∂x− ∂z

∂y

]

.

12. Seja u = yex + xey. Provar que∂2u

∂x∂y=

∂3u

∂x2∂y+

∂3u

∂y2∂x.

13. Seja u = xLn( yx). Provar que x2 · ∂

2u

∂x2+ 2xy

∂2u

∂x∂y+ y2 · ∂

2u

∂y2= 0.

14. Para as seguintes funções, supor que w é função de todas as outras variáveis. Determine

as derivadas parciais indicadas em cada caso.

1. 3x2 + 2y2 + 6w2 − x+ y = 12;∂w

∂x,

∂w

∂y.

2. x2 − 2xy + 2xw + 3y2 + w2 = 21;∂w

∂x,

∂w

∂y.

3. w − (r2 + s2) cosh(rw) = 0;∂w

∂r,

∂w

∂s.

4. x3 + 3x2y + 2z2t− 4zt3 + zxw − 8yw4 = 0;∂w

∂x,

∂w

∂y,∂w

∂z,

∂w

∂t.

15. Determine df(x, y) e ∆f(x, y) para a função f(x, y) = x2 +xy− y2 , em (x, y) = (2, −1),

quando ∆x = −0, 01 e ∆y = 0, 02.

16. Determine df(x, y, z) e ∆f(x, y, z) para a função f(x, y, z) = sen (x+ y) + cos(x+ z) −sen (y + 2z), em (x, y, z) = (

π

3,π

6, 0), quando ∆x =

π

4, ∆y =

π

2e ∆z = 2π .

17. Mostre que as seguintes funções são diferenciáveis.

1. f(x, y) = xy 2. f(x, y) = x+ y 3. f(x, y) = x2y2

4. f(x, y) =1

xy5. f(x, y) =

1

x+ y6. f(x, y) = x2 + y2

18. Calculardu

dt, se u = xyz, onde x = t2 + 1 y = Lnt e z = tan t.

19. Determine∂z

∂x, se z = yx, onde y = ϕ(x).

20. Calculardz

dt, se z = e2x−3u, onde x = tan t e y = t2 − t.

21. Determine dz, se z = f(u, v), onde u = sen (x

y).

22. Calculardz

dxedz

dy, se z = f(u, v), onde u = Ln(x2 + y2) e v = xy2.

23. Mostre que a função z = y · ϕ(cos(x− y)) satisfaz a equação∂z

∂x+∂z

∂y=z

y.

Capítulo 6

Aplicações das derivadas parciais

Joseph Lagrange

Joseph Louis Lagrange nasceu em Turim em, 25 de janeiro de1736, foi um matemático francês, pois apesar de ter nascido na Itália,naturalizou-se francês. Foi o único de dez irmãos que sobreviveu àinfância. Napoleão Bonaparte fez dele senador, conde do império egrande oficial da Legião de Honra.

Foi um modesto matemático do século XV III. O pai de Josephera uma pessoa muito rica e influente e especulador que perdeu todasua fortuna, Joseph considerou este desastre como o sucesso mais felizde sua vida, ele diz: "Se eu houvesse herdado uma fortuna provavel-mente não me dedicará à matemática".

O primeiro que interessou a Lagrange em seus estudos escolaresfoi línguas, seguindo os estudos do grego e do latim, estufou os trabal-hos geométricos de Euclides e Arquimedes que a seu entender não Le

impressionaram.Aos 16 anos Lagrange foi nomeado professor de matemática da Real Escola de Artilharia de Turim,

desde o inicio Lagrange sempre foi analista e não geômetra, estas preferências analítica se manifesta emsua obra Mécanique analytique que escreveu quando tinha 19 anos e publicada em Paris quando ele tinha52 anos nessa obra ele considera a mecânica analítica como a geometria de 4 dimensões.

Com 23 anos organizou a criação da Academia de Ciências de Turim e publicou na época um volumede trabalhos diversos em matemática. Nos capítulos IV e V II Lagrange escreve sobre máximos e mínimos.Nesse mesmo volume, Lagrange apresenta seu Cálculo diferencial as probabilidades.

Quando se sentia bem, Lagrange rara vez dificilmente in corria em subestimar a importancia de suaobra ele diz; Sempre considero a matemática como objeto de diversão, mas do que de ambição, e possoassegurar que as pesquisas em aritmética so me custaram muito trabalho tal vez de pouco valor.

Com 28 anos em 1764 Lagrange obteve o Grão premio da Academia Francesa de Ciências, voltando aobter mais um prêmio em 1766, em 1772 voltou a obter o premio Paris pelo seu trabalho sobre o problemados três corpos, em 1774 e em 1778, teve análogos triunfos com o movimento da Lua e as perturbaçõesdos cometas.

Na Alemanha foi nomeado diretor da seção Físico - Matemática da Academia De Berlin durante20 anos, voltando a seus hábitos trabalhou intensamente ate descobriu que seu corpo não era capaz deobedecer sua mente.

Referindo-se a Isaac Newton, ele disse: “Foi certamente o génio por excelência mas temos que con-cordar que ele foi também o que mais sorte teve: só se pode encontrar uma única vez o sistema solarpara ser estabelecido. Ele teve sorte de ter chegado quando o sistema do mundo permanecia ignorado”.Lagrange faleceu em Paris no dia 10 de abril de 1813.

309


6.1 Máximos e Mínimos.

Em disciplinas iniciais de cálculo diferencial 1, estudamos técnicas para encontrar extremos de

funções de uma variável, estes extremos geralmente eram pontos de funções y = f(x). Lembre

que, dado um ponto de extremo da função, por ela passa somente uma reta tangente. Estas

funções y = f(x) eram representadas no plano R2 consequentemente, elas apresentavam no

plano o que chamamos de “curvatura”.

Para curvas representadas no espaço R3 o problema dos extremos tem outro tratamento e

outras técnicas, toda vez que estas curvas geralmente apresentam “curvatura” e “torção”. Para

o caso de funções z = f(x, y) que representam superfícies ao falar de reta tangente num ponto

extremo da função z = f(x, y), tem-se quando mais infinitas direções de tangente nesse ponto,

além disso, podemos estudar também planos tangentes nos pontos extremos da função.

Definição 6.1. Máximo absoluto.

Dizemos que uma função f : R2 −→ R tem um valor máximo absoluto sobre um disco aberto

S ⊂ R2, se existe um ponto (x0, y0) ∈ S tal que f(x, y) ≤ f(x0, y0) ∀ (x. y) ∈ S.

O número f(x0, y0) é chamado valor máximo absoluto de f em S. Também o valor de

máximo absoluto é chamado de “máximo global em S”.

Definição 6.2. Mínimo absoluto.

Dizemos que uma função g : R2 −→ R tem um valor mínimo absoluto sobre um disco aberto

S ⊂ R2, se existe um ponto (x0, y0) ∈ S tal que g(x0, y0) ≤ g(x, y) ∀ (x. y) ∈ S.

O número g(x0, y0) é chamado valor mínimo absoluto de g em S. Também o valor de máximo

absoluto é chamado de “mínimo global em S”.

Estes conceitos podemos generalizar para funções da várias variáveis.

Exemplo 6.1.

Para a função f(x, y) =√

x2 + y2 o ponto (0, 0) é ponto de mínimo global, pois f(0, 0) ≤f(x, y) para todo (x, y) ∈ D(f).

Propriedade 6.1.

Seja S ⊂ R2 um disco fechado, e seja f : S ⊂ R2 −→ R uma função contínua em S. Então

existe ao menos um ponto em S onde f tem um valor máximo absoluto, e ao menos um ponto

onde f tem um valor mínimo absoluto.


Definição 6.3. Máximo relativo.

Dizemos que uma função f : S ⊂ Rn −→ R tem um valor máximo relativo no ponto X0 ∈ S,

se existe uma bola aberta B(X0, ε) ⊂ S tal que f(X) ≤ f(X0) ∀X ∈ B(X0, ε) ⊂ S.

Definição 6.4. Mínimo relativo.

Dizemos que uma função g : S ⊂ Rn −→ R tem um valor mínimo relativo no ponto X0 ∈ S,

se existe uma bola aberta B(X0, ε) ⊂ S tal que g(X0) ≤ g(X) ∀X ∈ B(X0, ε) ⊂ S.

1Cálculo Diferencial em R, do mesmo autor 2008.


Observação 6.1.

Denomina-se valores extremos relativos (ou absolutos) de uma função f : S ⊂ Rn −→ R aos

valores máximos e mínimos relativos (ou absolutos) de f em S.

Exemplo 6.2.

Determine os valores extremos da função f(x, y) = 1 − 3√

x2 + y2.

Solução.

Para todos os ponto (x, y) ∈ R2 tem-se

f(x, y) = 1 − 3√

x2 + y2 ≤ 1 x2 + y2 ≥ 0

−∞ < 1 − 3√

x2 + y2 = f(x, y)

Portanto, f(0, 0) = 1 é um máximo absoluto f . A função f não possue mínimo.

Propriedade 6.2.

Se a função f : S ⊂ Rn −→ R definida no conjunto aberto S ⊂ Rn tem um valor extremo em

X0 ∈ S e as derivadas∂f

∂xi, i = 1, 2, 3, · · · , n existam. Então

∂f

∂xi(X0) = 0, i = 1, 2, 3, · · · , n

Demonstração.

Suponhamos que f tenha máximo relativo em X0 ∈ S, então existe B(X0, ε) ⊂ S tal que

f(X) ≤ f(X0) ∀X ∈ B(X0, ε).

Seja ~uk = (0, 0, · · · , 1, · · · , 0) na coluna k o número 1

Para cada X0 + h~uk ∈ B(X0, ε) tem-se que f(X0 + h~uk) ≤ f(X0).

Se h > 0 segue f(X0 + h~uk)− f(X0) ≤ 0; para o caso h < 0 segue f(X0 + h~uk)− f(X0) ≥ 0

Logo, limh→0+

f(X0 + h~uk) − f(X0)

h≤ 0, e lim

h→0−

f(X0 + h~uk) − f(X0)

h≥ 0.

Portanto,∂f(X0)

∂xk= lim

h→0

f(X0 + h~uk) − f(X0)

h= 0

Como observamos, os valores extremos de uma função :f : S ⊂ Rn −→ R definida no conjunto

aberto S pode ocorrer em pontos onde as primeiras derivadas parciais são nulas (iguais a zero).

Para o caso de funções de duas variáveis z = f(x, y), se P(x0, y0) é um valor extremo, então

o gradiente de ∇f(x0, y0) é um vetor nulo. Isso implica que a função tem um plano tangente

paralelo ao plano-xy no ponto P(x0, y0).

Definição 6.5. Pontos críticos.

Seja f : S ⊂ Rn −→ R uma função definida num conjunto aberto S. Os pontos X0 ∈ S onde

todas as primeiras derivadas parciais de f são nulas, são chamadas de pontos críticos de f .

Os pontos críticos também são conhecidos como pontos estacionários.

Observação 6.2.

1. A Propriedade (6.2) afirma que uma condição necessária para que uma função tenha extremo

relativo em um ponto, onde suas primeiras derivadas parciais existem, é que este ponto seja

ponto crítico.


2. A Propriedade (6.2) não é suficiente para estudar o problema da existência dos extremos de

uma função.

3. Extremos relativos, ocorrem apenas nos pontos críticos.

Exemplo 6.3.

Determine os extremos relativos de f(x, y) = x2 + 2y2 − 6x+ 8y + 25.

Solução.

Calculemos as derivadas parciais e os pontos onde elas se anulam.

∂f

∂x= 2x− 6

∂f

∂y= 4y + 8 ⇒ x = 3, y = −2

estas funções estão definidas em R2. Completando quadrados

f(x, y) = (x− 3)2 + 2(y + 2)2 + 8 > 8

Portanto, f tem um mínimo relativo em (3,−2), o valor mínimo é f(3,−2) = 8.

Exemplo 6.4.

A função f(x, y) = x2 − y2 têm as derivadas parciais∂f

∂x= 2x e

∂f

∂y= −2y, que se reduz

a zero quando x = y = 0.

Não obstante a função não tem máximo, nem, mínimo quando x = y = 0.

A função do exemplo acima descrito é nula na origem de coordenadas, entanto numa vizin-

hança do (0, 0) assume valores positivos e negativos. Estes tipos de pontos são chamados de

“pontos de sela.” A seguinte propriedade sem demonstração apresenta critérios para extremos.

Como nas funções de uma variável, os extremos (máximos e mínimos) ocorrem numa(s) destas

situações (pontos críticos):

• Primeiras derivadas parciais nulas;

• Primeiras derivadas parciais não definidas

• Fronteira do domínio de definição da função.

A verificação se um ponto crítico é máximo ou mínimo (ou não) envolve ou estudo do valor

da função e dos sinais das primeiras derivadas nas proximidades do ponto crítico ou dos sinais

das segundas derivadas no ponto.

Nas funções de duas variáveis, não temos pontos de inflexão, como em funções de uma variável.

Podemos ter um ponto de sela, quando numa direção a função atinge um máximo num ponto e

em outra direção, um mínimo no mesmo ponto.

O nome se dá pela semelhança com uma sela de cavalo: máximo na direção das pernas do

cavaleiro (transversal ao cavalo ) e mínimo na direção longitudinal (dorso) do cavalo.

Definição 6.6. Hesseano.


Seja a função f(x, y) de classe C2. A função 4(x, y) definida por:

4(x, y) =

∣

∣

∣

∣

∣

D11f(x, y) D12f(x, y)

D21f(x, y) D22f(x, y)

∣

∣

∣

∣

∣

é chamada de Hesseano.

Observe que

4(x, y) = D11f(x, y) ·D22f(x, y) − [D12f(x, y)]2

Nos pontos críticos, onde as primeiras derivadas se anulam e as segundas derivadas são

definidas, vale a decisão pelo Hesseano

Propriedade 6.3. Critério das derivadas segundas.

Seja a função f : S ⊂ R2 −→ R definida no conjunto aberto S ⊂ R2, f com derivadas

contínuas até a terceira ordem inclusive. Suponhamos que (x0, y0) ∈ S é um ponto crítico de f

e seja 4(x0, y0) o Hesseano de f , então:

1. Quando 4(P0) > 0 e P0(x0, y0) corresponde a um extremo relativo. Se D11(x0, y0) < 0,

o ponto P0(x0, y0) é máximo relativo. Se D11(x0, y0) > 0, o ponto P0(x0, y0) é mínimo

relativo.

2. Se 4 < 0, a função f não tem nem máximo nem mínimo relativo em P0(x0, y0). Neste caso

f tem ponto de sela.

3. Se 4 = 0, pode existir máximo ou mínimo. Neste caso falta informação.

Observação 6.3.

Na verdade esta propriedade não se aplica se uma das derivadas parciais de primeira ordem

não estiver definida, ou no caso 4 = 0. Nestes dois casos recomenda-se outra abordagem.

Exemplo 6.5.

Determine os extremos relativos de f(x, y) = x3 + y3 + 9x2 − 3y2 + 15x− 9y

Solução.

Acharemos os pontos críticos igualando a zero as derivadas parciais

D1f(x, y) = 3x2 + 18x+ 15 = 3(x+ 5)(x+ 1) = 0 ⇒ x = −1, x = −5

D2f(x, y) = 3y2 − 6y − 9 = 3(y + 1)(y − 3) = 0 ⇒ y = −1, y = 3

Logo, são quatro pontos críticos P0(−1, −1), P1(−1, 3), P2(−5, −1) e P3(−5, 3).

Determinemos as segundas derivadas parciais

D11f(x, y) = 6x+ 18, D12f(x, y) = D21f(x, y) = 0, D22f(x, y) = 6y − 6

O Hesseano nos pontos P0(−1, −1), P1(−1, 3), P2(−5, −1) e P3(−5, 3) são:

4(P0) =

∣

∣

∣

∣

∣

12 0

0 −12

∣

∣

∣

∣

∣

= −144, 4(P1) =

∣

∣

∣

∣

∣

12 0

0 12

∣

∣

∣

∣

∣

= 144, 4(P3) = 144, 4(P3) = −144


respectivamente.

Como 4(P0) = −144 < 0, 4(P1) = 144 > 0, 4(P3) = 144 > 0, 4(P3) = −144 < 0,

pela Propriedade (6.3) existem extremos nos pontos P1 e P2.

Como D11(−1, 3) > 0, a função tem mínimo relativo em P1(−1, 3) este valor de mínimo

é f(−1, 3) = −34 . Como D11(−5, −1) < 0, no ponto P2(−5, −1) tem máximo relativo, este

valor de máximo é f(−5, −1) = 30 . Nos pontos P0(−1, −1) e P3(−5, 3) a função tem pontos

de sela.

Portanto, a superfície tem no ponto (−1, 3,−34) seu gráfico mas baixo, no ponto (−5,−1, 30)

seu ponto mais alto, e os pontos (−5, 3, −2) e (−1, −1, −2) são pontos de sela.

Exemplo 6.6.

Determine os extremos relativos de f(x, y) = x3 + y3 − 3xy.

Solução.

Tem-se que:

D1f(x, y) = 3x2 − 3y = 0 D2f(x, y) = 3y2 − 3x = 0

de onde resolvendo achamos os pontos críticos (0, 0) e (1, 1).

Examinemos as segundas derivadas parciais

D11f(x, y) = 6x, D12f(x, y) = D21f(x, y) = −3, D22f(x, y) = 6y

O Hesseano nos pontos P0(0, 0) e P1(1, 1) são:

4(P0) =

∣

∣

∣

∣

∣

0 −3

−3 0

∣

∣

∣

∣

∣

= −9, 4(P1) =

∣

∣

∣

∣

∣

6 −3

−3 6

∣

∣

∣

∣

∣

= 27

respectivamente.

Pela Propriedade (6.3), no ponto (0, 0) não existe extremo. No ponto (1, 1) existe mínimo

relativo f(1, 1) = −1.

Propriedade 6.4.

Seja f : S ⊂ Rn −→ R uma função que tem suas derivadas parciais de segunda ordem

contínuas no conjunto aberto S ⊂ Rn. Seja X0 ∈ S para o qual

D1f(X0), D2f(X0), D3f(X0), · · · , Dnf(X0)

Seja o Hesseano de f :

4 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

D11f(x0, y0) D12f(x0, y0) · · · D1nf(x0, y0)

D21f(x0, y0) D22f(x0, y0) · · · D2nf(x0, y0)...

......

...

Dn1f(x0, y0) Dn2f(x0, y0) · · · Dnnf(x0, y0)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= det

[

∂2f

∂xi∂xj

]

Seja 4n−k o determinante obtido de 4 prescindindo das k últimas filas e colunas.


1. Se os n números 41, 42, 43 · · ·4n são todos positivos em X0, então f tem um mínimo

relativo em X0.

2. Se 41 < 0, 42 > 0, 43 < 0 · · · em X0 são alternadamente positivos e negativos, então f

tem um máximo relativo em X0.

Exemplo 6.7.

Determine as dimensões de uma caixa retangular fechada de volume máximo, sabendo que

sua superfície total é 54m2.

Solução.

Sejam x, y e z as dimensões da caixa, então seu volume é V (x, y, z) = xyz

Supondo a caixa de altura z, sua área total é 54 = 2xy + z(2x + 2y). Logo z =54 − 2xy

2x+ 2y,

assim V (x, y) =xy(27 − xy)

x+ y, onde x > 0, y > 0, xy ≤ 54.

Calculemos os pontos críticos fazendo as primeiras derivadas parciais iguais a zero.

∂V

∂x=y2(27 − 2xy − x2)

(x+ y)2= 0,

∂V

∂y=x2(27 − 2xy − y2)

(x+ y)2= 0

resolvendo estas igualdades obtemos o ponto crítico (3, 3) de V e corresponde a um máximo.

Lembre que z =54 − 2(3)(3)

2(3) + 2(3)= 3. O valor máximo do volume é V (3, 3, 3) = 27m3.

A caixa é um cubo de lado 3m.

Exemplo 6.8.

Achar os extremos relativos da função f(x, y) = x2y2.

Solução.

Como D1f(x, y) = 2xy2 D2f(x, y) = 2x2y, as duas derivadas parciais se anulam em

x = 0 ou em y = 0; isto é todos os pontos do eixo-x e eixo-y são pontos críticos. Para x = 0 ou

y = 0 tem-se:

4 =

∣

∣

∣

∣

∣

Dxxf(x, y) Dxyf(x, y)

Dyxf(x, y) Dyyf(x, y)

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

2y2 4xy

4xy 2x2

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

Aplicando a Propriedade (6.3), não podemos concluir nada.

No entanto, como f(x, y) = 0 para x = 0 ou y = 0 e f(x, y) = x2y2 ≥ 0 em todos os outros

pontos, podemos concluir que nos pontos dos eixos-x ou eixo y corresponde um mínimo absoluto.

6.1.1 Máximos e mínimos sobre conjunto compacto.

Na seção anterior, determinamos condições necessárias e suficientes para que um ponto do

domínio da função f , seja extremo local de uma função. Porém existem casos onde é importante

determinar extremos relativos em subconjuntos do domínio da função f .

Definição 6.7. Conjunto limitado.

Dizemos que um conjunto S ⊂ Rn é limitado em Rn, se estiver contido em alguma bola aberta

de centro a origem de coordenadas.


Definição 6.8. Conjunto aberto.

Dizemos que um conjunto S ⊂ Rn é aberto em Rn, se para todo elemento de S, existe uma

bola aberta contida estritamente em S.

Isto é, S ⊂ Rn é aberto em Rn se ∀X ∈ S, existe ε > 0 tal que B(X, ε) ⊂ S.

Definição 6.9. Conjunto fechado.

Dizemos que um conjunto S ⊂ Rn é fechado em Rn, se seu complementar em Rn for um

conjunto aberto.

Exemplo 6.9.

O conjunto S = (x, y) ∈ R2 /. x ≤ y2 é um conjunto fechado, mas não limitado.

Definição 6.10. Conjunto compacto.

Dizemos que um conjunto S ⊂ Rn é conjunto compacto, se S for fechado e limitado em Rn.

Exemplo 6.10.

O conjunto S = (x, y) ∈ R2 /. x2 + y2 ≤ 9 é um conjunto fechado e limitado, logo S é

compacto.

Teorema 6.1. De Weierstrass.

Se f : Rn → R for contínua num conjunto compacto S ⊂ Rn, então existem pontos P e Q

em S tais que para todo X ∈ S

f(P ) ≤ f(X) ≤ f(Q)


Exemplo 6.11.

Determine os extremos da função f(x, y) = x2 + y2 − 2x − 2y no conjunto S = (x, y) ∈R2 /. |x| ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 .Solução.

Observe que f é contínua e S é compacto, logo determinamos os pontos críticos de f no

interior de S,∂f

∂x(x, y) = 2x− 2 = 0,

∂f

∂y(x, y) = 2y − 2 = 0

Resolvendo o sistema segue que (1, 1) ∈ S é o único ponto crítico no interior de S. Tem-se

que f(1, 1) = −2.

Análise dos pontos de fronteira.

Por outro lado, como f(x, y) = x2 + y2 − 2x − 2y = (x − 1)2 + (y − 1)2 − 2 e da limitação

|x| ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2 segue que −2 ≤ f(x, y) ≤ 8.

Em (−2, 0) tem-se ponto de máximo, pois f(−2, 0) = 8, no ponto (1, 1) tem-se de mínimo,

pois f(1, 1) = −2.

Exemplo 6.12.

Achar os pontos de máximo e mínimo da função f(x, y) = x3 + y3 − 3xy na região S =

(x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 2 .Solução.


A região S é um retângulo fechado e limitado. A função f é contínua em S compacto. Logo

determinamos os pontos críticos de f no interior de S

∂f

∂x(x, y) = 3x2 − 3y = 0,

∂f

∂y(x, y) = 3y2 − 3x = 0

resolvendo estas igualdades obtemos os pontos crítico P0(0, 0), P1(1, 1) ∈ S de onde f(0, 0) = 0

e f(1, 1) = −1.

Análise dos pontos de fronteira.

• Quando x = 0, temos que estudar a função g(y) = f(0, y) = y3 no intervalo −1 ≤ y ≤ 2.

Sabe-se que a função g(y) é crescente no intervalo −1 ≤ y ≤ 2. Assim, f(0, −1) = −1 e

f(0, 2) = 8. Obtivemos os pontos (0, −1, −1) e (0, 2, 8).

• Quando x = 2, temos que estudar a função h(y) = f(2, y) = y3 − 6y + 8 no intervalo

−1 ≤ y ≤ 2. A derivada h′(y) = 3y2 − 6 de onde y =√

2 é ponto crítico para h. Observe

que f(2,√

2) = h(√

2) = 8 − 4√

2. Obtivemos o ponto (2,√

2, 8 − 4√

2)

• Quando y = −1, temos que estudar a função k(y) = f(x, −1) = x3 + 3x − 1 no intervalo

0 ≤ x ≤ 2. A derivada k′(y) = 3x2 + 3 > 0 de onde k(y) é crescente em 0 ≤ x ≤ 2. Assim,

f(0, −1) = −1 e f(2, −1) = 13. Obtivemos os pontos (0, −1, −1) e (2, −1, 13).

• Quando y = 2, temos que estudar a função s(y) = f(x, 2) = x3 − 6x + 8 no intervalo

0 ≤ x ≤ 2. A derivada s′(y) = 3x2 − 6 de onde x =√

2 é ponto crítico para s. Observe

que f(√

2, 2) = s(√

2) = 8 − 4√

2. Obtivemos o ponto (√

2, 2, 8 − 4√

2)

Observando todos os pontos que obtivemos e f(0, 0) = 0 e f(1, 1) = −1 concluímos que f

tem máximo relativo em (2, −1) e mínimo relativo em (1, 1).

Exemplo 6.13.

O lucro obtido na produção de x unidades de um produto A e y unidades de um produto B

está dado pelo modelo L(x, y) = 20x− 16y− (0, 002)(x2 + xy+ y2) + 20.000. Determine o nível

da produção para que o lucro seja máximo.

Solução.

Calculemos as derivadas parciais

∂L

∂x= 20 − (0, 002)(2x+ y)

∂L

∂y= −16 − (0, 002)(2y + x)

quando estas derivadas sejam nulas

∂L

∂x= 20 − (0, 002)(2x+ y) = 0 ⇒ 2x+ y = 10.000

∂L

∂y= −16 − (0, 002)(2y + x) ⇒ x+ 2y = 8.000

Resolvendo esse sistema de equações segue que x = 4.000 e y = 2.000. Por outro lado

∂L

∂x= 20 − (0, 002)(2x+ y) ⇒ ∂2L

∂x2= −0, 004x e

∂2L

∂y∂x= −0, 002


∂L

∂y= −16 − (0, 002)(2y + x) ⇒ ∂2L

∂y2= −0, 004y e

∂2L

∂x∂y= −0, 002

4(x, y) =

∣

∣

∣

∣

∣

−0, 004x −0, 002

−0, 004y −0, 002

∣

∣

∣

∣

∣

= 0, 000008(x− y)

Como 4(4.000, 2.000) = 0, 016 > 0 e∂2L

∂x2(4.000, 2.000) = −0, 004(4.000) < 0

Concluímos que o lucro L é máximo quando x = 4.000 e y = 2.000, observe que L(4.000, 2.000) =

12.000 é o lucro máximo.


Exercícios 6-1

1. Identificar os extremos das seguintes funções de modo algébrico após de completar quadra-

dos, logo verificar estes resultados usando derivadas parciais.

1. f(x, y) = x2 + y2 + 4x− 6y + 5 2. f(x, y) = −x2 − y2 + 8x+ 4y − 11

3. f(x, y) =√

21 + 4x− x2 − y2 4. f(x, y) =√

x2 + y2 + 4

5. f(x, y) =1

√

21 + 4x− x2 − y26. f(x, y) =

1√

x2 + y2 + 4

2. Para os seguintes exercícios, determinar os extremos relativos de f

1. z = x2 +2

xy2+ y2

2. z == 18x2 − 32y2 − 36x− 128y − 110

3. =1

x+ xy − 8

y4. z = sen (x+ y) + sen x+ sen y

5. z =1

xy− 4

x2y− 8

xy26. w = x2 + y2 + z2 − 4x+ 6y − 2z

7. z = 4xy2 − 2x2y − x 8. z = x3 + y3 + 3xy2 − 18(x+ y)

9. f(x, y) = x4 − y4 + 8xy − 4y210. f(x, y) = x2y2 − 5x2 − 8xy − 5y2

11. f(x, y) = x2 + xy + y2 − 3x− 6y 12. z = xy − 50

x+

20

y, x > 0, y > 0

13. f(x, y) = x3 − 3xy + y314. f(x, y) = 120x+ 120y − xy − x2 − y2

15. f(x, y) = − 3√

2x2 + y2 16. f(x, y) = (2x2 + y2)e−(x2+y2)

17. f(x, y) = (x− 1)2 + (y − 4)2 18. f(x, y) = 9 − (x− 2)2 − (y + 3)2

19. f(x, y, z) = x2 + y2 − z2 + xy 20. f(x, y, z) = x+y

x+z

y+

2

z

3. Determine a distância mínima da origem de coordenadas ao cone z2 = (x− 1)2 + (y− 2)2.

4. Achar três números reais positivos, de modo que sua soma seja 24, e seu produto o maior

possível.

5. Um fabricante deseja construir uma caixa de 36cm3 com tampa. Quais as dimensões a

ser5 consideradas para minimizar custos? Sabe-se que o fundo e a tampa da caixa custam

o dobro que os lados por cm2.

6. Determine a equação do plano que passa pelo ponto (1, 2, 1), e corta os eixos coordenados

em um tetraedro de volume mínimo.

7. Achar a distância mínima entre o ponto (0, −2, 4) e os pontos do plano x+ y − z = 5.

8. Achar números positivos x, y, z de modo que x+ y + z = 18 e xy2z2 seja máximo.

9. Mostre que todos os triângulos com um perímetro dado, o de maior área é o equilátero.


10. Determine constantes a e b para os quais F (a, b) =

π∫

0

[sen x− (ax2 + bx)]2dx seja mínima.

11. Achar o valor máximo e mínimo da função f(x, y):

1. f(x, y) = x− 2y + 5 na região limitada por x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 1.

2. f(x, y) = x− 2y + 5 na região limitada por x ≤ 0, y ≥ y − x ≤ 1.

3. f(x, y) = x2 + y2 − xy − x na região limitada por x ≤ 0, y ≥ x+ y ≤ 3.

4. f(x, y) = xy na região limitada por x2 + y2 ≤ 1.

5. f(x, y) = xy2 na região limitada por x2 + y2 ≤ 1.

6. f(x, y) = 12−3x−2y na região triangular no plano-xy com vértices em (1, 2), (2, 0)

e (0, 1).

7. f(x, y) = (y − 2x)2 na região triangular no plano-xy com vértices em (1, 2), (2, 0)

e (0, 1).

8. f(x, y) = 3x2 + 2y2 − 4y na região triangular pelos gráficos de y = x2 e y = 4.

9. f(x, y) = x2 + xy na região S = (x, y) ∈ R2 /. |x| ≤ 2, |y| ≤ 1 .10. f(x, y) = x2 + 2xy+ y2 na região S = (x, y) ∈ R2 /. 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ √

x .11. Achar o máximo e mínimo globais da função f(x, y) = 2x+2y+2−x2−y2na região

triangular no primeiro quadrante limitado pelas retas x = 0, y = 0, y = 9 − x

12. Achar um paralelepípedo de volume máximo entre todos os paralelepípedos retangulares

que tenham uma soma dada de comprimento das arestas igual a 12a.

13. Achar um paralelepípedo retangular de volume máximo se o comprimento da diagonal é d.

14. Determine um ponto dentro de um quadrilátero, para o qual a soma dos quadrados das

distâncias entre tal ponto e os vértices seja mínima.

15. Uma caixa retangular está sobre o plano-xy com um dos vértices na origem. Encontre o

volume máximo da caixa se o vértice oposto à origem pertence ao plano 6x+4y+3z = 24.

16. Para os seguintes exercícios use o teorema de Weierstrass (teorema de valores extremos)

para dizer se é possível garantir a-priori, se o problema de otimização possui ou não uma

solução.

1. Maximizar f(x, y) = x+ y sujeito as restrições x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ 1

2. Maximizar f(x, y) = x2 − y2 sujeito as restrições x ≥ 0, y ≥ 0

3. Maximizar f(x, y) = x · y sujeito as restrições x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 = 1

4. Maximizar f(x, y) = sen(x2 + y2) sujeito as restrições x2 + y2 < 1

5. Maximizar f(x, y) = sen(x2 + y2) sujeito as restrições x2 + y2 ≤ 1

6. Maximizar f(x, y) = sen(x2 + y2) sujeito as restrições x2 + y2 = 1


7. Maximizar f(x, y, z) = x + 2y + 3z sujeito as restrições x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥0, x2 + y2 + z2 ≤ 1

8. Maximizar f(x, y, z) = x+ 2y + 3z sujeito as restrições x ≥ 0, y ≥ 0, z ≤ x2 + y2

Respostas: 1. Sim, 2. Não, 3. Sim, 4. Sim, 5. Não, 6. Sim, 7. Sim, 8. Não

17. Obtenha e classifique os pontos críticos das funções:

1. f(x, y) = x3 + 12xy + y3 + 5

2. f(x, y) =xy

8+

1

x− 1

y

3. f(x, y) = x3 − y3 + 3x2 + 3y2 − 9x

4. f(x, y) = x3 − 3axy + y3 (a é uma constante)

Resposta

1. Em (0, 0) tem-se ponto sela, (0, 0, 5) , em (−4, −4) máximo ;

2. Em (2, −2) máximo

3. f(1, 0) mín. relativo; f(−3, 2) máx. relativo ; em (1, 2) e (−3, 0) ponto sela

4. Em (0, 0) ponto sela; f(a, a) é mínimo se a > 0

18. Achar as dimensões do maior paralelepípedo retangular com três de suas faces nos planos

coordenados e um vértice sobre o plano x+ 3y + 2z = 6, sabe-se que x, y, z são positivos.

Resposta; comprimento = 2, largura = 2/3 e altura = 1.

19. Verificar que a função f definida por f(x, y) = x2 + y4, tem um mínimo na origem, e não

satisfaz as condições do teorema da derivada segunda.

20. Determine os valores de máximo e mínimo para f(x, y) = sen x + cos y no retângulo R

definido por 0 ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 2π. Resposta: −2 é o mínimo absoluto e 2 é o máximo

absoluto

21. Obter o máximo e mínimo absolutos das seguintes funções nas regiões indicadas

1. f(x, y) = xy2 + 2x+ y4 + 1 na região x2 + y2 ≤ 1

2. f(x, y) = 6x2 + 18xy + 4y2 − 6x− 10y + 5 no quadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

Respostas

1. f(−1, 0) = −1 é o mínimo absoluto e f(3

4,

773

256) = é o máximo absoluto.

2. f(0, 1) = −1 é o mínimo absoluto e f(1, 1) = 17 é o máximo absoluto

22. Deseja-se construir uma caixa, retangular com tampa, cujo volume é de 2744 cm3, sendo

que a quantidade de material para a sua fabricação deve ser mínima.


23. Deseja-se construir uma caixa, retangular com tampa, de 64 cm3 de volume. O custo do

material a ser usado é de 1u.m. por cm2 para o fundo e tampa, 4u.m. por cm2 para um

par de lados opostos e 2u.m. por cm2 para o outro par de lados opostos. Determine as

dimensões da caixa de tal maneira que o custo seja mínimo.

24. Determine três números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima.

25. Deseja-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para estocar 270m3 de

combustível, gastando a menor quantidade de material em sua construção. Supondo que

todas as paredes serão feitas com o mesmo material e terão a mesma espessura, determinar

as dimensões do tanque.

26. Determine a temperatura mínima num disco de raio igual a 1 centrado na origem, sabe-se

que a temperatura T em qualquer ponto (x, y) do plano é dada por T (x, y) = 3y2+x2−x−7.

27. Determine a temperatura máxima num disco de raio igual a 2 centrado na origem, sabe-se

que a temperatura T em qualquer ponto (x, y) do plano é dada por T (x, y) = −y2 − x2 −2x+ 2y + 8.

28. Uma indústria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da indústria pela venda

de x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado pela função L(x, y) =

60x+100y− 1, 5x2 − 1, 5y2 −xy. Supondo que toda a produção da indústria seja vendida,

determinar a produção de tal modo que o lucro seja máximo. Rpta.

x = 10, y = 30, L(10, 30) = 1800 u.m.

29. Obter as dimensões do paralelepípedo retangular de maior volume que pode ser inscrita

numa esfera de raio R = 1. Resp: Cubo de lado2√3

30. Determine o máximo e mínimo para função f(x, y, z) = x+ y − z com restrição na esfera

B = (x, y, z) : x2 + y2 + z2 = 1 .

31. Um serviço de entrega de pacotes estabelece que as dimensões da caixa retangular devem

ser tais que seu comprimento, mais o dobro de sua largura, mais sua altura não ultrapasse

os 108 cm. Qual é o volume da maior caixa que se pode enviar com estas condições?

Resposta. 11.664 cm3

32. Achar os valores extremos de f(x, y) = (x− y)2 sujeito á restrição x2 + y2 = 1. Resp

Mínimo 0 , máximo 2


6.2 Multiplicadores de Lagrange.

O matemático frances J. L. Lagrange (1736 − 1813)2 idealizou um método para resolver o

problema de determinar máximos ou mínimos de funções de várias variáveis. Estas condições

idealizadas por Lagrange funcionam somente quando estão restritas a condições laterais. Este

método é conhecido como o “método dos multiplicadores de Lagrange.”

6.2.1 Para funções de duas variáveis.

Suponhamos que desejamos otimizar uma função de duas variáveis z = f(x, y), chamada

“função objetivo” e cujas variáveis não são independentes, estão sujeitas a uma condição lateral

chamada “restrição” que expressamos como g(x, y) = 0.

Neste caso utilizamos uma nova variável λ e construímos uma nova função

F (x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y) (6.1)

logo teremos que achar os pontos críticos desta nova função; isto é temos que resolver o sistema

D1F (x, y, λ) = D1f(x, y) + λD1g(x, y) = 0

D2F (x, y, λ) = D2f(x, y) + λD2g(x, y) = 0

D3F (x, y, λ) = g(x, y) = 0

(6.2)

De acordo com a natureza do problema decidimos quais são os pontos críticos correspondente

a um máximo ou a um mínimo.

Propriedade 6.5. Máximo condicionado.

A função z = f(x, y) tem um máximo condicionado no ponto P0(x0, y0) se existe uma

vizinhança do ponto P0, para todos os pontos (x, y) do qual P 6= P0 que satisfazem a equação de

enlace g(x, y) = 0 e cumpre a desigualdade f(x, y) < f(x0, y0).

O problema da busca de um extremo se reduz ao análise do extremo da função de Lagrange

F (x, y, λ) de (6.1). Os λ são chamados “multiplicadores de Lagrange”.

• As condições necessárias para a existência de um extremo condicionado são expressas pelo

sistema (6.2) a partir da qual podemos achar valores para x, y e λ, onde (x, y) são as

coordenadas onde pode haber um extremo condicionado.

• As condições suficientes para a existência de extremo condicionado estão associada com a

análise das derivadas segundas para cada sistema de valores obtidos em (6.2).

Seja P0(x0, y0), λ0 qualquer das soluções do sistema (6.2) e seja o determinante:

4 = −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 Dxg(P0) Dyg(P0)

Dxg(P0) D11F (P0, λ0) D12F (P0, λ0)

Dyg(P0) D12F (P0, λ0) D22F (P0, λ0)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(6.3)

2Matemático italo-francês, que fez grandes contribuições à teoria dos números e mecânica analítica celeste.Seu livro mais importante, “Mécanique analytique” (1788), foi a base para todo o trabalho posterior nesta área.


Se 4 < 0 então a função z = f(x, y) tem no ponto P0(x0, y0) um máximo condicionado.

Se 4 > 0 então a função z = f(x, y) tem no ponto P0(x0, y0) um mínimo condicionado.

Exemplo 6.14.

Determine os valores máximos e mínimos da função f(x, y) = x + 2y + 6 sobre a região

limitada pela elipsex2

9+y2

4= 1.

Solução.

Seja g(x, y) =x2

9+y2

4− 1 = 0. Escrevemos

F (x, y, λ) = x+ 2y + 6 + λ

[

x 2

9+y2

4− 1

]

D1F (x, y, λ) = 1 +2xλ

9= 0

D2F (x, y, λ) = 2 +2yλ

4= 0

D3F (x, y, λ) =x2

9+y2

4− 1 = 0

Eliminando λ nas duas primeiras igualdades temos x =9

8y. Ao substituir na terceira igual-

dade obtemos9y2

82+y2

4= 1 de onde y = ±8

5.

Deste modo os pontos críticos de f são (±9

5, ±8

5), de onde f(

9

5,

8

5) = 11, f(−9

5, −8

5) = 1.

O máximo é 11 e obtém-se quando (9

5,

8

5).

O mínimo é 1 e obtém´se quando (−9

5, −8

5).

Exemplo 6.15.

Achar o extremo condicionado da função z = x+ 2y, se x2 + y2 = 5.

Solução.

Formemos a equação de Lagrange F (x, y, λ) = x+ 2y + λ(x2 + y2 − 5) de onde

∂F

∂x= 1 + 2λx,

∂F

∂y= 2 + 2λy


temos que resolver o sistema

1 + 2λx = 0

2 + 2λy = 0

x2 + y2 = 5

o sistema tem duas soluções: x = −1, y = −2, λ =1

2e x = 1, y = 2, λ = −1

2.

Como∂2F

∂x2= 2λ,

∂2F

∂y∂x= 0,

∂2F

∂y2= 2λ, então para x = −1, y = −2, λ =

1

2

4 = −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 −2 −4

−2 1 0

−4 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 20 > 0

isto é, a função f tem um mínimo condicionado em P0(−1, −2).

De modo análogo mostra-se que a função f tem um máximo condicionado em P1(1, 2).

Observação 6.4.

Para o caso de impor mais restrições, o método de Lagrange pode ser estendido usando vários

multiplicadores. Em particular se queremos achar pontos críticos da função z = f(x, y), sujeitas

a duas condições laterais g(x, y) = 0 e h(x, y), teremos que achar os pontos críticos da função

F (x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y) + µh(x, y)

6.2.2 Para funções de várias variáveis.

O método de Lagrange pode ser sem dificuldade generalizado para funções de mais de duas

variáveis consequentemente a mais restrições das variáveis. Se a função f(x1, x2, · · · , xn) está

sujeita as k relações de restrição

g1(x1, x2, · · · , xn), g2(x1, x2, · · · , xn), · · · , gk(x1, x2, · · · , xn)

então a nova função com os multiplicadores de Lagrange para cada restrição é:

F (x1, x2, · · · , xn, λ1, λ2, · · · , λn) = f(x1, x2, · · · , xn) + λ1g1(x1, x2, · · · , xn) + · · ·· · · + λk−1gk−1(x1, x2, · · · , xn) + λkgk(x1, x2, · · · , xn)

e se procuram os pontos críticos.

Exemplo 6.16.

Encontre o valor mínimo de f(x, y, z) = 3x2 +y2 +2z2 restrita ao plano 4x−3y−2z = 40.

Solução.

Seja g(x, y, z) = 4x− 3y − 2z − 40, então

F (x, y, z, λ) = 3x2 + y2 + 2z2 + λ(4x− 3y − 2z − 40)


de onde∂F

∂x= 6x+ 4λ,

∂F

∂y= 2y − 3λ,

∂F

∂z= 4z − 2λ

resolvendo o sistema

6x+ 4λ = 0

2y − 3λ = 0

4z − 2λ = 0

4x− 3y − 2z − 40 = 0

de onde x = 4, y = −6 e z = −3, logo (4, −6, −3) é o único ponto crítico.

Observe que f(4,−6,−3) = 102, considerando qualquer outro ponto da restrição, por exemplo

(10, 0, 0) tem-se f(10, 0, 0) = 300.

Portanto, o valor mínimo de f é 102,

Exemplo 6.17.

Determine máximo e mínimo condicionado da função f(x, y, z) = 20+2x+2y+z2 restrita

esfera x2 + y2 + z2 = 11 e ao plano x+ y + z = 3.

Solução.

Seja g(x, y, z) = x+ y + z − 3 e h(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 11, então

F (x, y, z, λ) = 20 + 2x+ 2y + z2 + λ(x+ y + z − 3) + µ(x2 + y2 + z2 − 11)

de onde∂F

∂x= 2 + λ + 2xµ,

∂F

∂y= 2 + λ + 2yµ,

∂F

∂z= 2z + λ + 2zµ, resolvendo o

sistema

2 + λ+ 2xµ = 0 2 + λ+ 2yµ = 0 2z + λ2zµ = 0

x+ y + z − 3 = 0 x2 + y2 + z2 − 11 = 0

substraindo a segunda equação da primeira, chegamos ao sistema

λ(x− y) = 0 2z(1 − λ) − µ = 0

x+ y + z − 3 = 0 x2 + y2 + z2 − 11 = 0

Da primeira equação λ = 0 ou x = y. Se λ = 0 então µ = 2 de onde z = 1 e as duas últimas

igualdades ficam em x+ y = 2 e x2 + y2 = 10.

De x + y = 2 segue que y = 2 − x, então x2 + (2 − x)2 = 10 de onde x = 3, y = −1 ou

x = −1, y = 3. Assim, se λ = 0, os pontos críticos são (3, −1, 1) e (−1, 3, 1).

Se λ 6= 0 então x = y, logo 2x2 +z2 = 11 e 2x+z = 3 de onde x =3 ± 2

√3

3e z =

3 ∓ 4√

3

3.

Obtém-se mais dois pontos críticos. Analisando nos quatro pontos críticos

f(−1, 3, 1) = f(3, −1, 1) = 25

f(3 ± 2

√3

3,

3 ± 2√

3

3,

3 ∓ 4√

3

3) =

91

3

Portanto, f = 25 é o máximo, e f =91

3é o mínimo.


Exercícios 6-2

1. Seja um retângulo de lados 3cm e 5cm. Calcule um valor aproximado para a variação

da área deste retângulo quando as medidas de seus lados são modificadas para 3, 01cm e

4, 95cm, respectivamente.

2. Seja um triângulo retângulo cujos lados menores medem 4cm e 6cm. Calcule um valor

aproximado para a variação da área deste triângulo quando as medidas seus lados são

modificadas para 3, 99cm e 5, 95cm, respectivamente.

3. Seja um reservatório de forma cilíndrica de 2m raio e 3m de altura. Calcule um valor aprox-

imado para a variação do volume deste reservatório, quando as medidas são modificadas

para 2, 1m de raio e 2, 8m de altura.

4. Determine os extremos relativos da função dada em cada caso, com as restrições indicadas.

1. f(x, y) = 25 − x2 − y2, com restrição x2 + y2 − 4y = 0.

2. f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, com restrição 3x− 2y + z − 4 = 0.

3. f(x, y, z) = x2 + xy + y2 + 3z2, com restrição x+ 2y + 4z = 60.

4. f(x, y, z) = xyz, com restrição1

x+

1

y+

1

z= 1.

5. f(x, y, z) = x3 + y3 + z3, com restrição x+ y + z = 1.

6. f(x, y, z, w) = x2+y2+z2−w2, com restrição x+y+z = 1, y−w = z, z+2x = 5.

7. f(x, y) = xy, sobre o círculo x2 + y2 = 4.

8. f(x, y, z) = a(a− x)(a− y)(a− z), com restrições x+ y + z = 2a, a > 0.

9. f(x, y) = x2 + y2 − xy + x+ y − 4 com restrição x+ y + 3 = 0.

10. f(x, y) =1

y− 1

xcom restrição x+ y = 2.

10. f(x, y) =x− y − 4√

2com restrição x2 + y2 = 1

12. f(x, y) = xy2 com restrição x+ 2y = 1.

5. Achar os pontos da curva interseção da elipsóide x2+4y2+4z2 = 4 e o plano x−4y−z = 0,

que estão mais pertos da origem. Achar a distância mínima.

6. Determine três números positivos x, y e z tais que x+y+z = 1 e transformem xy+yz+xz

tão grande como seja possível.

7. Mostre a desigualdade

(x+ y + z

3

)3≤ x3 + y3 + z3

3, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0


8. Um container (no formato de paralelepípedo) tem que ter um volume de 13, 5m3. Aplicando

multiplicadores de Lagrange achar as dimensões do container com esse volume e custo

mínimo, se o preço de construção da base é R$60, 00 por metro quadrado e os lados e a

tampa custam R$40, 00 o metro quadrado.

9. Achar as dimensões do cilindro circular reto com área de superfície mínima cujo volume é

V0 unidades cubical.

10. Use multiplicadores de Lagrange para achar as dimensões da caixa retangular de volume

máximo que pode ser inscrita(com as arestas paralelas aos eixos coordenados) no elipsóidex2

9+y2

49+z2

25= 1.

11. Prove que o produto de três números positivos x, y, z cuja soma é S, é máximo quando os

três números são iguais.

12. Usar o resultado do exercício anterior para mostrar que 3√xyz ≤ x+ y + z

3.

13. Maximize a função f(x, y, z) com as restrições dadas.

1. f(x, y, z) = xyz, com restrições x+ y + z = 32 e x− y + z = 0.

2. f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, com restrições x+ y = 8 e x+ 2y = 4.

3. f(x, y, z) = xy + yz, com restrições x− 3z = 0 e x+ 2y = 6.

4. f(x, y, z) = xyz, com restrições x− 2y = 0 e x2 + z2 = 5.

14. Fazer uso dos multiplicadores de Lagrange para resolver os seguintes problemas

1. Obter os pontos críticos de f(x, y) = 4x+ y3 + 3 sujeito a restrição x2 +1

2y2 = 1

2. Obter os pontos sobre a curva de interseção do plano x + y + z = 1 e a superfície

x2 + y2 − z2 = 1 que estão mas perto e mais longe da origem.

Respostas

1. (± 1√3,± 2√

3), (±

√

2

3,±

√

2

3) e (±1, 0)

2. (1, 0, 0) e (0, 1, 0) são os mais pertos, e (1, 1,−1) é o mais longe.

15. Calcular os extremos absolutos das seguintes funções sujeita à restrição indicada:

1. f(x, y) = x2 + y2 em (x, y) ∈ R2 /. 4x2 + 9y2 = 1 2. f(x, y) = 3x2y + 2y3 em (x, y) ∈ R2 /. 2x2 + y2 ≤ 1, x+ y ≥ 0 3. f(x, y, z) = 2x2 + yz em (x, y, z) ∈ R3 /. x2 + y2 + z2 ≤ 1 4. f(x, y, z) = 3x2 + y2 + xz em (x, y, z) ∈ R3 /. x2 + y2 ≤ 1, 2x+ z = 0


Miscelânea 6-1

1. A temperatura em um ponto (x, y) de uma placa de metal no plano-xy e dada por T (x, y) =xy

x2 + y2.

1. Determine a taxa de variação da temperatura em (1, 1) na direção e sentido do vetor

~u = (2,−1).

2. Uma barata em (1, 1) precisa andar na direção na qual a temperatura baixa mais rápi-

damente. Determine um vetor unitário nesta direção.

2. Calcular os extremos para as seguintes funções z = f(x, y):

1. z = xyx+2y2. z = xy2(1 − x− y) 3. z = y2 + x2y + x4

4. z = (x− y2)(x− y3) 5. z = 2x2 + y + 3 6. 3x3 + y2 + 3xy

3. Seja y = f(x − αt) + g(x + αt). Mostre que∂2y

∂t2= α2 ∂

2y

∂x2qualquer que sejam as

funções f e g duas vezes deriváveis.

4. Seja z = f(x) + g(y) + (x − y)g′(y). Verificar que (x − y)∂2z

∂x∂y=∂z

∂yqualquer que

sejam as funções f e g duas vezes deriváveis.

5. Identificar os pontos críticos que limitam a função f(x, y) = xy com a região D = (x, y) ∈R2 /. x2 + y2 ≤ 1 .

6. Suponha que x unidades de mão-de-obra de y unidades de capital sejam necessárias para

produzir f(x, y) = 60 4√

x3y unidades de certo produto. Suponha ainda que cada unidade

de mão de obra custe R$100, 00 e cada unidade de capital custe R$200, 00. Se R$80.000, 00

estão disponíveis para serem gastos com a produção, determine quantas unidades de mão

de obra e de capital devem ser utilizadas para maximizar a produção. Qual é a produção

máxima?

7. A função de produção de Cobb-Douglas para certo produto é dada por f(x, y) = 100 4√

x3y

, onde x representa o número de unidades de mão de obra (R$150, 00 o custo por unidade)

e y representa o número de unidades de capital (R$250, 00 o custo por unidade ) Se o custo

total de mão de obra e capital é limitado a R$50.000, 00, determine o número de unidades

de mão de obra e de capital que maximizam a produção. Determine também a produção

máxima.

8. O custo total de produção de uma firma produtora de dois bens é dado por C(x, y) =

8x2 − xy + 12y2 onde x e y representam o número de unidades de cada um dos bens.

Determine os valores de x e y que minimizam o custo, se a firma é obrigada, por contrato,

a produzir um total de 42 produtos. Qual é o custo mínimo?

9.

Índice

Área de

regiões planas, 156

superfície de revolução, 173

Ângulo

entre dois vetores, 219

Ângulos

de direção de um vetor, 219

Bola

aberta, 238

Absolutamente convergente, 144

Agnesi, 169

Antiderivada, 2, 3

Aplicações geométricas, 156

Base canônica, 220

Bertrand Russel, 89

Bola

fechada, 238

reduzida, 238

Buniakovski, 116

Cardióide, 166, 200

Catenária, 180

Catenóide, 180

Cauchy, 116

Centróide, 192

Centro

de gravidade, 189, 190

de massa, 189, 192

Centro de massa

de regiões planas, 190

Chébishev, 70

Ciclóide, 176

Coeficiente

angular, 257

de inclinação, 257

Coeficientes

indeterminados, 55

Composição de funções, 236

Comprimento de arco, 164

Conjunto

aberto, 239, 316

compacto, 316

fechado, 239, 316

limitado, 240, 315

Constante da mola, 203

Critério

de comparação, 143

do limite, 144

Critérios de convergência, 142

Curva de nível, 237

Custo marginal, 13

Darboux, 126

Declividade, 257

Densidade, 190

Derivadas

parciais mistas, 268

Dirichlet, 1, 107

Dizimas periódicas, 96

Eixo de revolução, 181

Elemento

de integração, 3

Elemento de integração, 107

Elipsóide imaginário, 229

Espiral de Arquimedes, 180

Fórmula

de Newton - Leibnitz, 112

330


integração por partes, 28

Fórmulas

de integração, 5

Fator integrante, 288

Força de pressão, 204

Função

elementar, 17

harmónica, 306

objetivo, 323

seccionalmente contínua, 127

Função racional

elementar, 51

imprópria, 51

própria, 51

Funções

elementares, 2

Gauss, Johann Carl Friedrich , 253

Georg F. Bernhard Riemann, 1

Gottfried Wilhelm Leibnitz, 89

Guldin, 200

Hesseano, 313

Integração

de diferenças binômias, 70, 79

de funções

descontínuas, 126

hiperbólicas, 35

irracionais, 67

racionais, 51

racionais trigonométricas, 65

trigonométricas, 35

mudança de variável, 18

outros métodos, 76

por partes, 27, 124

por substituição, 17

trigonométrica, 42

Integrais

de Ostrogradski, 77

impróprias, 137

impróprias com

limites finitos, 139

limites infinitos, 137

Integral

de Fresnel, 154

definida, 2, 4, 89

imediata, 5

indefinida, 2, 4

propriedades, 4

Integrando, 3, 107

Integrar, 2

Isaac Newton, 155

Jacques Bernoulli, 215

Johannes Bernoulli , 215

L’Hospital

regra de, 297

Leibnitz, 107

Leonhard Euler, 215

Lucro marginal, 12

Máximo

absoluto, 310

condicionado, 323

relativo, 310

Método

das áreas transversais, 181

do anel circular, 182

do disco circular, 182

Métodos de integração, 17

Mínimo

absoluto, 310

condicionado, 324

relativo, 310

Mapa de contorno, 237

Matriz

jacobiana, 262

Momentos, 189

Momentos estáticos, 196

Mudança de variável, 121

Norma da partição, 97

Ostrogradski, 61, 84


Partição de um intervalo, 97

Pendente de uma reta, 257

Plano tangente, 301

Polígono retangular

circunscrito, 98

inscrito, 98

Ponto

de acumulação, 240

Pontos

críticos, 311

de fronteira, 316

de sela, 312

estacionários, 311

Pressão, 203

Primeiro teorema

fundamental do cálculo integral, 111

Primitiva, 2

Princípio de Pascal, 203

Probabilidade, 205

Produto

escalar, 219

vetorial, 219

Propriedades

da integral definida., 109

Regra de L’Hospital, 141

Reta normal, 302

Riemann, 126

Sólido de revolução, 181

Símbolo

de integração, 4

Segundo teorema

fundamental do cálculo integral, 111

Simetria axial, 229

Sinusóide, 200

Somatórios, 90

Superfície

chamada quádrica, 221

de revolução, 229

Taxa de variação, 255

Telescópica, 90

Teorema

de Barrow, 111

de Euler, 261

de Guldin, 197, 213

de Pappus, 195, 213

de Weierstrass, 316

do valor médio , 110

do valor médio para integrais, 110

Fundamental do Cálculo Integral, 269

Fundamental do cálculo integral, 111

generalizado do valor médio, 110

Trabalho, 201

Tratriz, 172

Velocidade média, 206

Vetor

diretor, 256

normal, 266

nulo, 218

Volume de um corpo, 181


DO MESMO AUTOR

Livros Páginas

• Fundamentos da Matemática.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254

• Cálculo Diferencial em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312

• Introdução à Epistemologia da Ciência Parte I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Notas de Aula

1. História da Matemática I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

2. Suplemento de Cálculo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

3. Integração e Funções de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

4. Suplemento de Cálculo II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5. Cálculo Vetorial e Séries Numéricas (em edição) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

6. Introdução as Estruturas Algébricas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .230

7. Introdução as Equações Diferenciais Ordinárias (em edição). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

8. Complemento da Matemática I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

9. Complemento da Matemática II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

10. Transformada de: Fourier, Laplace e de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

11. Manual do Estudante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

12. Introdução à Análise Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

13. Suplemento de Análise Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160

14. Matemática Aplicada (à economia). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

15. Epistemologia da Matemática II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

16. Estruturação para o ensino da Matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180

17. Tópicos de Cálculo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

18. Elementos de Cálculo II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237

19. Elementos de Cálculo III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

20. O Cálculo com números complexos C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

21. Estruturação para o ensino da Matemática - Pró-Ciências - Vol 1 - 1999. . . . . . . . . . .140

22. Estruturação para o ensino da Matemática - Pró-Ciências - Vol 2 - 1999. . . . . . . . . . .236

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