Um Estudo Sobre Grafos Divisores de Zero - Mestrado e ... · Um Estudo Sobre Grafos Divisores de...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA

CENTRO DE CIENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MATEMATICA

(Mestrado)

Um Estudo Sobre Grafos Divisores de Zero

JULIO CESAR MORAES PEZZOTT

Orientadora: Irene Naomi Nakaoka

Maringa - PR

2014

Um Estudo Sobre Grafos Divisores de Zero

JULIO CESAR MORAES PEZZOTT

Dissertacao apresentada ao Programa de Pos-

Graduacao em Matematica do Departamento de

Matematica, Centro de Ciencias Exatas da Univer-

sidade Estadual de Maringa, como requisito par-

cial para obtencao do tıtulo de Mestre em Ma-

tematica.

Area de concentracao: Algebra

Orientadora: Profa. Dra. Irene Naomi Nakaoka

Maringa - PR

2014

Agradecimentos

Agradeco a minha famılia, que sempre me apoiou. Em especial, a minha esposa Claudia,

aos meus pais e aos meus irmaos.

Agradeco a minha orientadora Profa. Dra. Irene Naomi Nakaoka pela paciencia, sabedoria

e dedicacao na realizacao deste trabalho.

Aos professores do Departamento de Matematica da UEM por contribuırem com minha

formacao.

Aos meus amigos e colegas de mestrado.

A Capes, pelo apoio financeiro.

Resumo

Dado um anel comutativo com identidade R, o grafo divisor de zero de R, denotado por

Γ(R), e o grafo cujos vertices sao os divisores de zero nao nulos de R e dois vertices distintos

x e y sao adjacentes se, e somente se, xy = 0. Nesta dissertacao, estudaremos algumas

propriedades dos grafos divisores de zero e destacaremos algumas relacoes entre R e Γ(R).

Abstract

Given a commutative ring with identity R, the zero-divisor graph of R, denoted by Γ(R),

is the graph whose vertices are the nonzero zero-divisors of R and two distinct vertices x and

y are adjacent if and only if xy = 0. In this dissertation, we will study some properties of

zero-divisors graphs and we will highlight some relations between R and Γ(R).

vi

Indice de Notacoes

∅ conjunto vazio

|X| cardinalidade do conjunto X

X∗ X \ 0

X ( Y X e um subconjunto proprio de Y

X ⊆ Y X e um subconjunto de Y

X × Y produto direto de X por Y

Im(f) imagem da funcao f

ker(f) nucleo da funcao f

(x) ideal gerado pelo elemento x

U(R) conjunto dos elementos invertıveis do anel R

D(R) conjunto dos divisores de zero do anel R

Id(R) conjunto dos ideais do anel R

Spec(R) conjunto dos ideais primos do anel R√I ideal radical do ideal I

Nil(R) r ∈ R : rn = 0 ,para algumn ∈ N (nilradical de R)

J(R) radical de Jacobson do anel R

V ar(I) variedade do ideal I

Min(R) conjunto dos primos minimais do anel R

ass(I) conjunto dos primos associados do ideal I

Ass(R) conjunto dos primos associados do anel R

(I : x) quociente do ideal I por x

Ann(x) r ∈ R : rx = 0 (anulador de x)

Ann(I) r ∈ R : rI = 0 (anulador de I)

char(R) caracterıstica do anel R

G = (V,E) grafo com conjunto de vertices V e conjunto de arestas E

Γ(R) grafo divisor de zero do anel R

deg(u) grau do vertice u

vi -

vii

d(u, v) distancia de u a v

diam(G) diametro do grafo G

Km grafo completo de ordem m

Km,n grafo bipartido completo com conjunto de vertices V = V1 ∪ V2 (uniao disjunta)

tal que |V1| = m e |V2| = n

ω(G) cardinalidade do maior clique no grafo G

Cn n-ciclo

gr(G) cintura do grafo G

χ(G) numero cromatico por vertices de G

e(v) maxd(v, x) : x ∈ V (excentricidade do vertice v)

rad(G) raio do grafo G

Cen(G) centro do grafo G

γ(G) numero de dominacao do grafo G

G · e contracao elementar de G pela aresta e

vii -

Sumario

Indice de Notacoes vi

Introducao ix

1 Preliminares 1

1.1 Aneis comutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Aneis Artinianos e aneis Noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Decomposicao primaria de um ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Sobre os divisores de zero de um anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Grafos planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Grafos divisores de zero 22

2.1 O grafo divisor de zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Coloracoes de Beck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Quando Γ(R) possui um vertice adjacente aos demais vertices . . . . . . . . 38

2.4 Grafos completos e grafos estrela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5 Grafos divisores de zero r-partidos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6 Ciclos e cintura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.7 Raio, centro e numero de dominacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.8 Sobre a Planaridade de Γ(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

viii -

Referencias 78

Introducao

O conceito de grafo divisor de zero surgiu na literatura matematica com o artigo “Coloring

of commutative rings” [11], publicado por Istvan Beck em 1988. O autor definiu um grafo

tomando como vertices os elementos de um anel comutativo e colocando que dois vertices

distintos seriam adjacentes se o produto entre eles resultasse no elemento neutro da adicao.

Beck estudou coloracoes de vertices desse grafo. Mais resultados sobre esse tema foram

obtidos por D. D. Anderson e M. Nasser e publicados, em 1993, no artigo “ Beck’s Coloring

of Commutative Rings ” [4].

Em 1999, no artigo “ The zero-divisor graph of a commutative ring ”[6], D. F. Anderson e

P. S. Livingston apresentaram uma definicao de grafo divisor de zero um pouco diferente da

definicao de Beck. Tais autores mantiveram a condicao dada por Beck para que dois vertices

fossem adjacentes; no entanto, passaram a considerar como vertices apenas os divisores de

zero nao nulos do anel. A partir desse artigo, a maioria dos matematicos que trataram do

tema assumiram a definicao de D.F. Anderson e P.S. Livingston como a definicao de grafo

divisor de zero.

Nos tres artigos acima citados, algumas relacoes entre um anel e seu grafo divisor de

zero foram explicitadas e alguns resultados mostraram que propriedades acerca dos aneis

poderiam ser deduzidas a partir do seu grafo divisor de zero. Desse modo, o grafo divisor de

zero se apresentava como uma ferramenta auxiliar para o estudo das propriedades algebricas

dos aneis.

Diante disso, alguns matematicos se interessaram pelo assunto e varios artigos sobre o

tema foram publicados. No artigo de 1999, Anderson e Livingston exploraram temas como co-

nexidade, diametro, cintura e automorfismos de grafos. Em [5], podemos ver resultados sobre

cliques e planaridade, bem como algumas relacoes entre isomorfismos de grafos e isomorfis-

x -

Introducao xi

mos de aneis. Tais relacoes tambem foram estudadas por S. Akbari e A. Mohammadian em

[2]. Neste mesmo artigo, estes autores apresentaram um estudo sobre coloracoes de arestas.

Cintura, planaridade e grafos divisores de zero r-partidos completos sao temas abordados por

S. Akbari, H. R. Maiamani e S. Yassemi em [1]. Em [20], sao explicitadas algumas relacoes

entre o conjunto dos divisores de zero e o grafo divisor de zero de um anel. T. G. Lucas,

em [19], estudou questoes referentes ao diametro de um grafo divisor de zero. Raio, centro

e numero de dominacao sao temas tratados por S. P. Redmond em [22]. Este ultimo autor

introduziu ainda, em [23], o conceito de grafos divisores de zero de aneis nao comutativos,

tema esse que nao sera explorado aqui.

Nesta dissertacao, apresentaremos um estudo sobre grafos divisores de zero de aneis co-

mutativos. Veremos quais informacoes acerca de um anel podem ser obtidas a partir de

seu grafo divisor de zero e destacaremos algumas propriedades desse grafo no que diz res-

peito aos seguintes temas: conexidade, diametro, raio, centro, tamanho, cintura, numero de

dominacao, coloracoes de vertices e forma (grafos completos e grafos r-partidos completos).

Dividimos o texto em dois capıtulos. No primeiro, colocamos os pre-requisitos para a

leitura do capıtulo 2. Tais pre-requisitos abrangem conceitos e resultados da Teoria de Aneis

Comutativos e da Teoria de Grafos. No capıtulo 2, apresentamos o estudo sobre grafos

divisores de zero de aneis comutativos.

xi -

Capıtulo 1

Preliminares

Neste capıtulo, apresentaremos alguns conceitos e resultados da Teoria de Aneis Comu-

tativos e da Teoria de Grafos necessarios ao estudo que faremos no proximo capıtulo. Nao

demonstraremos aqui todos os resultados enunciados. No entanto, para cada resultado nao

demonstrado, indicaremos um texto no qual sua demonstracao pode ser encontrada. Os pre-

requisitos para leitura desta dissertacao sao os topicos basicos de Grupos, Aneis e Modulos.

1.1 Aneis comutativos

Iniciamos este topico com algumas notacoes e convencoes. Dados os conjuntos X e Y ,

escrevemos X ⊆ Y se X e um subconjunto de Y . Se X e um subconjunto proprio de Y ,

escrevemos X ( Y . Se X e um conjunto finito, denotamos a cardinalidade de X por |X|.

Em todo o texto, os aneis serao aneis comutativos com identidade. A identidade do anel

sera denotada por 1 e o elemento neutro da adicao por 0, com 1 6= 0. Quando X for um

subconjunto de um anel, denotamos o conjunto X \ 0 por X∗.

Dado um anel R, indicamos o conjunto de todos os ideais desse anel por Id(R). Dados

I ∈ Id(R) e a ∈ R, escrevemos a para indicar o elemento a + I do anel quociente R/I. O

conjunto dos elementos invertıveis de R e representado por U(R).

A intersecao de todos os ideais maximais de um anel R e um ideal chamado Radical de

Jacobson, o qual denotamos por J(R). O Radical de Jacobson pode ser caracterizado pelo

seguinte resultado:

Proposicao 1.1. ([24], pag. 42) Em um anel R, r ∈ J(R) se, e somente se, para todo

a ∈ R, o elemento 1− ar ∈ U(R).

1 -

1.1 Aneis comutativos 2

Um anel R e local quando possui um unico ideal maximal M . Neste caso, R/M e um

corpo, chamado de corpo residual de R. O seguinte resultado nos da condicoes para que um

anel seja local.

Proposicao 1.2. ([7], pag. 4) Sejam R um anel e M ∈ Id(R) \ R.

(i) Se R \M = U(R), entao R e um anel local e M e seu unico ideal maximal;

(ii) Se R \ U(R) e um ideal, entao R e um anel local com ideal maximal R \ U(R);

(iii) Se M e um ideal maximal e 1 +m ∈ U(R) para todo m ∈M , entao R e local.

Denotamos o conjunto dos ideais primos de R por Spec(R). Usaremos neste texto o

seguinte resultado envolvendo ideais primos.

Proposicao 1.3. ([7], pag.8) Sejam P, P1, . . . , Pn ∈ Spec(R) e I, I1, . . . , Ir ∈ Id(R).

(i) Se I ⊆⋃ni=1 Pi, entao I ⊆ Pi para algum i ∈ 1, . . . , n;

(ii) Se⋂rj=1 Ij ⊆ P , entao Ij ⊆ P , para algum j ∈ 1, . . . , r, .

Dado I ∈ Id(R) \ R, o conjunto V ar(I) = P ∈ Spec(R) : I ⊆ P e chamado de

variedade do ideal I. O seguinte teorema caracteriza esse subconjunto do Spec(R).

Teorema 1.4. ([24], pag. 53) Dado I ∈ Id(R)\R, V ar(I) e nao vazio e admite elemento

minimal em relacao a inclusao de conjuntos.

Os elementos minimais de V ar(I) sao chamados de primos minimais de I. Os primos

minimais do ideal nulo 0 sao chamados tambem de primos minimais de R. Desse modo,

temos que P ∈ Spec(R) e um primo minimal de R se, e somente se, nao existe outro ideal

primo contido propriamente em P .

O conjunto dos primos minimais de R e representado por Min(R). Na hipotese da

proxima proposicao, temos um anel R com Min(R) finito.

Proposicao 1.5. Seja R um anel tal que Min(R) e finito, digamos Min(R) = P1, . . . , Pk.

Entao, para cada j ∈ 1, . . . , k, existe um elemento yj ∈ (k⋂

i=1i6=j

Pi) \ Pj.

2 -


Demonstracao: Dado Pj ∈ Min(R), temos que Pi * Pj, para todo i ∈ 1, . . . , k \ j.

Desse modo, para cada i 6= j, podemos escolher xi ∈ Pi \ Pj. Assim, podemos considerar

yj = x1 . . . xj−1xj+1 . . . xk. Do fato de Pj ser um ideal primo segue que yj ∈ (k⋂

i=1i 6=j

Pi) \ Pj. ut

Dado I ∈ Id(R), o conjunto√I = r ∈ R : existen ∈ Z∗+ tal que rn ∈ I e um ideal,

chamado de ideal radical de I. Claramente vemos que I ⊆√I.

O ideal√0 = r ∈ R : existen ∈ Z∗+ tal que rn = 0 e denotado por Nil(R) e chamado

de nilradical de R. Um elemento r ∈ Nil(R) recebe o nome de nilpotente e o menor inteiro

positivo n tal que rn = 0 e chamado de ındice de nilpotencia de r. Um anel R e dito reduzido

se Nil(R) = 0. Caso contrario, R e nao reduzido.

A proxima proposicao nos da uma relacao entre o nilradical, os ideais primos e os primos

minimais de um anel R:

Proposicao 1.6. ([24], pag. 52 e pag. 54) Em um anel R, sao verdadeiras as seguintes

igualdades: Nil(R) =⋂

P∈Spec(R)

P =⋂

P∈Min(R)

P .

Um elemento a ∈ R e idempotente quando a2 = a. Encerramos esta secao com dois

resultados envolvendo elementos deste tipo.

Lema 1.7. Seja R um anel. Se a ∈ R∗ e idempotente, entao R = Ra⊕R(1− a).

Demonstracao: Dado r ∈ R, podemos escrever r = r + ra − ra = ra + r(1 − a). Assim,

R = Ra + R(1 − a). Agora, tomemos x ∈ Ra ∩ R(1 − a). Entao existem r, s ∈ R tais que

x = ra = s(1−a) = s− sa. Multiplicando por a em ambos os lados dessa ultima igualdade e

usando o fato que a e idempotente, obtemos x = ra = ra2 = (ra)a = (s− sa)a = sa− sa2 =

sa− sa = 0, donde Ra ∩R(1− a) = 0. Portanto, R = Ra⊕R(1− a). ut

Lema 1.8. Se R e um anel local, entao seus unicos elementos idempotentes sao 0 e 1.

Demonstracao: Seja R um anel local com ideal maximal M e seja a ∈ R tal que a2 = a.

Se a ∈ U(R), entao existe b ∈ R tal que ab = 1. Neste caso, temos que 1 = ab = a2b =

a(ab) = a. Se a /∈ U(R), entao devemos ter a ∈ M , pois todo elemento nao invertıvel de

3 -


um anel pertence a algum ideal maximal. Mas notemos que M = J(R). Segue da Pro-

posicao 1.1 que 1 − a ∈ U(R). Logo, existe x ∈ R tal que x(1 − a) = 1. Assim, como

1 = 12 = x2(1 − a)2 = x2(1 − 2a + a2) = x2(1 − 2a + a) = x2(1 − a) = x[x(1 − a)] = x,

obtemos que 1− a = 1, donde vem que a = 0. ut

1.1.1 Aneis Artinianos e aneis Noetherianos

Nesta secao, apresentaremos as definicoes de aneis Artinianos e aneis Noetherianos e

alguns resultados basicos envolvendo tais aneis. Comecamos com a seguinte definicao:

Definicao 1.9. Seja C um conjunto parcialmente ordenado por uma relacao (respectiva-

mente, ).

(a) Dizemos que C satisfaz a condicao de cadeia descendente (c.c.d.) (respect., condicao de

cadeia ascendente (c.c.a.)) se, para cada famılia (Si)i∈N de elementos de C que satisfaz

S0 S1 S2 . . . Si . . . (respect., S0 S1 S2 . . . Si . . .), existir k ∈ N

tal que Sk = Sk+i, para todo i ∈ N. Neste caso, dizemos que a cadeia estaciona.

(b) Dizemos que C satisfaz a condicao minimal (respect., condicao maximal) se todo sub-

conjunto nao vazio de C admite um elemento minimal (respect., maximal), com respeito

a (respect., ).

O proximo resultado nos diz que as condicoes (a) e (b) dadas na definicao anterior sao

equivalentes.

Proposicao 1.10. ([24], pag. 47) Seja C um conjunto parcialmente ordenado por (respect.,

por ). Entao C satisfaz a c.c.d (respect., c.c.a) se, e somente se, C satisfaz a condicao

minimal (respect., condicao maximal).

Apresentamos a seguir as definicoes de anel Artiniano e anel Noetheriano. Estamos

assumindo aqui que o leitor esta familiarizado com a definicao de R-modulo, que pode ser

vista em ([24], pag. 102).

4 -


Definicao 1.11. Seja M um R-modulo. Dizemos que M e Artiniano (respect., Noetheriano)

se o conjunto de seus submodulos, ordenado por ⊇ (respect., ⊆), satisfaz a condicao de ca-

deia descendente (respect., condicao de cadeia ascendente) ou, equivalentemente, a condicao

minimal (respect., condicao maximal).

Um anel R e Artiniano (respect., Noetheriano) se R, visto como um R-modulo, e Artiniano

(respect., Noetheriano), isto e, se o conjunto de seus ideais Id(R), ordenado por ⊇ (respect.,

⊆), satisfaz a condicao de cadeia descendente (resp., condicao de cadeia ascendente) ou,

equivalentemente, a condicao minimal (respect., condicao maximal).

O resultado a seguir destaca uma propriedade dos aneis Noetherianos.

Proposicao 1.12. ([24], pag. 146) Sejam R um anel Noetheriano e I ∈ Id(R). Entao, R/I

e um anel Noetheriano.

A proxima proposicao apresenta varias propriedades de um anel Artiniano. Antes de

enuncia-la, precisamos saber que um ideal I e dito nilpotente quando existe um inteiro

positivo n tal que In = 0.

Proposicao 1.13. ([7], pag. 163 e 164) Sejam R um anel Artiniano e I ∈ Id(R). Entao:

(i) Todo ideal primo de R e maximal;

(ii) Nil(R) = J(R);

(iii) R tem somente um numero finito de ideais maximais;

(iv) Nil(R) e nilpotente.

O teorema a seguir descreve a estrutura dos aneis Artinianos.

Teorema 1.14. (Estrutura de Aneis Artinianos) ([7], pag. 90) Um anel Artiniano

R e de maneira unica (a menos de isomorfismo) um produto direto finito de aneis locais

Artinianos.

O teorema que encerra este topico estabelece uma relacao entre aneis Artinianos e No-

etherianos.

5 -


Teorema 1.15. ([24], pag. 166) Um anel R e Artiniano se, e somente se, R e Noetheriano

e todo ideal primo de R e maximal.

1.1.2 Decomposicao primaria de um ideal

Nesta secao, definiremos o que e uma decomposicao primaria minimal de um ideal e

apresentaremos alguns conceitos e resultados relacionados ao assunto. Para isso, precisamos

da seguinte definicao:

Definicao 1.16. Seja Q ∈ Id(R)\R. Dizemos que Q e um ideal primario se dado ab ∈ Q,

tivermos a ∈ Q ou b ∈√Q.

Se Q e um ideal primario de R, entao√Q = P e um ideal primo ([24], pag. 63). Mais

ainda: qualquer outro ideal primo que contem Q deve conter P , ou seja, P e o unico elemento

minimal de V ar(Q). Neste caso, dizemos que Q e um ideal P -primario.

Estamos agora em condicoes de definir o que e um ideal decomponıvel e o que e uma

decomposicao primaria minimal de um ideal.

Definicao 1.17. Dizemos que I ∈ Id(R) \ R admite uma decomposicao primaria se I

pode ser escrito como uma intersecao finita de ideais primarios. Neste caso, dizemos que I e

um ideal decomponıvel .

Definicao 1.18. Seja I um ideal decomponıvel e seja I =⋂ni=1Qi uma decomposicao

primaria de I, com√Qi = Pi, para i ∈ 1, . . . , n. Dizemos que tal decomposicao e uma

decomposicao primaria minimal de I quando as condicoes (a) e (b) dadas a seguir sao satis-

feitas:

(a) Pi 6= Pj, se i 6= j;

(b) Para todo j ∈ 1, . . . , n,n⋂

i=1i 6=j

Qi * Qj.

Todo ideal decomponıvel admite uma decomposicao primaria minimal ([24], pag. 69).

Tambem sabemos que ha casos em que um ideal decomponıvel admite duas decomposicoes

6 -


primarias minimais distintas. Ou seja, podemos ter⋂ni=1Qi = I =

⋂mi=1 Ti duas decom-

posicoes primarias minimais de um ideal I, com Ti /∈ Q1, . . . , Qn ([24], pag. 74). No

entanto, se I e um ideal decomponıvel, podemos garantir a seguinte unicidade:

Teorema 1.19. (Unicidade da Decomposicao Primaria) ([24], pag. 70)

Sejam⋂ni=1 Qi = I =

⋂mi=1 Ti duas decomposicoes primarias minimais de I tais que

√Qi = Pi e

√Ti = Ui. Entao, n = m e P1, . . . , Pn = U1, . . . , Um.

Sejam I um ideal decomponıvel e I =⋂ni=1 Qi uma decomposicao primaria minimal de I,

com√Qi = Pi, para i ∈ 1, . . . , n. Pelo Teorema 1.19, os ideais P1, . . . , Pn nao dependem

da escolha da decomposicao primaria minimal de I. Estes ideais P1, . . . , Pn sao chamados de

primos associados de I e o conjunto formado por eles e denotado por ass(I).

A proxima proposicao afirma que os primos minimais de um ideal decomponıvel I coin-

cidem com os elementos minimais do conjunto ass(I).

Proposicao 1.20. ([24], pag. 72) Seja I ∈ Id(R) \ R um ideal decomponıvel de R e

seja P ∈ Spec(R). Entao P e um primo minimal de I se, e somente se, P e um elemento

minimal de ass(I). Como ass(I) e finito, temos que V ar(I) admite apenas um numero finito

de elementos minimais.

Existem aneis que possuem ideais proprios nao decomponıveis (temos um exemplo em

([24], pag. 76)). O proximo teorema destaca o fato de que em aneis Noetherianos, todos os

ideais distintos do proprio anel sao decomponıveis.

Teorema 1.21. ([24], pag. 78) Se R e um anel Noetheriano, entao todo ideal I ∈ Id(R)\R

e decomponıvel.

Por este ultimo teorema, temos que se R e um anel Noetheriano, entao o ideal nulo 0 de

R e decomponıvel. Logo, Min(R) e finito, pois pelo Teorema 1.20, V ar(0) possui apenas

um numero finito de elementos minimais. Provamos assim a seguinte proposicao:

Proposicao 1.22. Se R e um anel Noetheriano, entao R possui apenas um numero finito

de primos minimais.

7 -


1.1.3 Sobre os divisores de zero de um anel

Nesta secao, destacaremos alguns resultados sobre o conjunto de divisores de zero de um

anel. Em um primeiro momento, apresentaremos resultados validos para aneis quaisquer.

Ao final da secao, restringiremos nosso estudo aos aneis Noetherianos e aos aneis finitos.

Definicao 1.23. Seja R um anel. Dado a ∈ R, dizemos que a e um divisor de zero quando

existe b ∈ R∗ tal que ab = 0. Denotamos o conjunto dos divisores de zero do anel R por

D(R).

Convem enfatizarmos aqui alguns fatos conhecidos acerca dos divisores de zero:

(1) Por definicao, 0 ∈ D(R);

(2) Sabemos que nem sempre D(R) e um ideal; por exemplo, D(Z6) = 0, 2, 3, 4, mas

2 + 3 = 5 /∈ D(R);

(3) Dado a ∈ D(R), seja b ∈ R∗ tal que ab = 0; entao, ar ∈ D(R), para todo r ∈ R, pois

(ra)b = r(ab) = 0;

(4) Pelos itens (2) e (3), temos que se D(R) nao e ideal, entao existem a, b ∈ D(R) tais

que a+ b /∈ D(R).

Veremos, ainda nesta secao, casos em que D(R) e um ideal. A proxima proposicao nos

garante que, em tais casos, D(R) deve ser necessariamente um ideal primo.

Proposicao 1.24. Em um anel R, se D(R) e um ideal, entao D(R) e ideal primo.

Demonstracao: Suponhamos que D(R) ∈ Id(R). Como 1 /∈ D(R), temos que D(R) 6= R.

Tomemos ab ∈ D(R). Entao existe c ∈ R∗ tal que (ab)c = 0. Se bc 6= 0, entao a ∈ D(R). Se

bc = 0, entao b ∈ D(R). Logo, D(R) e um ideal primo de R. ut

O proximo resultado nos da uma caracterizacao do conjunto dos divisores de zero e nos

mostra uma importante relacao entre este conjunto e o conjunto dos primos minimais.

Proposicao 1.25. ([18], pag. 3 e pag. 57) Seja R um anel. Entao:

8 -


(i) D(R) e uma uniao de ideais primos de R;

(ii)⋃P∈Min(R) P ⊆ D(R).

Analisemos agora a relacao entre D(R) e Nil(R). Facilmente podemos mostrar que a

inclusao Nil(R) ⊆ D(R) e verdadeira, qualquer que seja o anel R. Em alguns casos, ocorre

a igualdade Nil(R) = D(R) (por exemplo, se R = Z8). Porem, nao podemos garantir que

tal igualdade e verdadeira para qualquer anel R. Por exemplo, para R = Z2 × Z2, temos

D(R) = (0, 0), (1, 0), (0, 1) e Nil(R) = (0, 0). Os dois proximos resultados apresentam

algumas condicoes sob as quais a igualdade D(R) = Nil(R) ocorre.

Proposicao 1.26. Em um anel R, se 0 e um ideal primario, entao D(R) = Nil(R).

Demonstracao: Dado a ∈ D(R), existe b ∈ R∗ tal que ab = 0 ∈ 0. Como 0 e primario,

devemos ter a ∈ Nil(R) ou b ∈ 0. Como b 6= 0, temos que a ∈ Nil(R), donde segue a

igualdade D(R) = Nil(R). ut

Proposicao 1.27. Seja R um anel tal que todo ideal primo e maximal. Entao, temos que

D(R) = Nil(R) se, e somente se, D(R) e um ideal (primo).

Demonstracao: Se D(R) = Nil(R), entao D(R) ∈ Spec(R), pela Proposicao 1.24. Reci-

procamente, suponhamos que D(R) ∈ Spec(R). Dado Q ∈ Min(R), segue da Proposicao

1.25 que Q ⊆ D(R). Como todo ideal primo de R e maximal, devemos ter D(R) = Q, para

todo Q ∈Min(R). Da proposicao 1.6 vem que Nil(R) =⋂Q∈Min(R) Q = D(R). ut

A proxima proposicao caracteriza o conjunto dos divisores de zero de um anel reduzido.

Proposicao 1.28. Seja R um anel reduzido.

(i) Entao,⋃P∈Min(R) P = D(R);

(ii) Se R nao e domınio de integridade, entao R tem pelo menos dois primos minimais.

9 -


Demonstracao: (i) Pela Proposicao 1.25, ja temos que⋃P∈Min(R) P ⊆ D(R). Da Pro-

posicao 1.6 e do fato de R ser reduzido, obtemos as igualdades:⋂P∈Min(R)

P =⋂

P∈Spec(R)

P = Nil(R) = 0. (1.1)

Dado x ∈ D(R), existe y ∈ R∗ tal que xy = 0. Assim, xy = 0 ∈ P , para todo primo

minimal P . Entao, para cada P ∈ Min(R), x ∈ P ou y ∈ P . Se para todo primo minimal

P , tivessemos x /∈ P , terıamos y ∈ P , para todo P ∈ Min(R), donde terıamos que y ∈⋂P∈Min(R) P , o que contradiz (1.1). Logo, existe pelo menos um primo minimal P tal que

x ∈ P . Temos assim a inclusao D(R) ⊆⋃P∈Min(R) P e o resultado esta provado.

(ii) Sabemos por (i) que⋃P∈Min(R) P = D(R). Assim, supondo que R possui um unico

primo minimal P , de (1.1) obtemos D(R) = P = Nil(R) = 0, o que contradiz o fato de R

nao ser um domınio de integridade. ut

Dados x ∈ R e I ∈ Id(R), o conjunto (I : x) = r ∈ R : rx ∈ I e um ideal de R,

chamado de ideal quociente de I por x. O ideal r ∈ R : rI = 0 e denotado por Ann(I)

e chamado de anulador de I. Ja o ideal r ∈ R : ra = 0 e chamado de anulador de a e

denotado por Ann(a).

Proposicao 1.29. ([18], pag. 4) Sejam R um anel e C = Ann(a) : a ∈ R∗. Se C admite

um elemento maximal I, entao I e um ideal primo de R.

Demonstracao: Seja I = Ann(a), a ∈ R∗. Dado bc ∈ I, vamos supor que b /∈ I. Entao

ab 6= 0. Notemos que I = Ann(a) ⊆ Ann(ab). Por hipotese, I e um elemento de C. Entao

I = Ann(a) = Ann(ab). Como bc ∈ Ann(a), temos 0 = a(bc) = (ab)c, donde obtemos que

c ∈ Ann(ab). Assim, c ∈ Ann(a) = I e, portanto, I e um ideal primo. ut

Vejamos agora duas proposicoes acerca do conjunto dos divisores de zero de um anel

Noetheriano. A primeira considera o caso em que tal conjunto e um ideal. A segunda

relaciona os divisores de zero com os primos associados do ideal nulo.

Proposicao 1.30. ([17], pag. 8) Sejam R um anel Noetheriano. Se D(R) e um ideal, entao

existe a ∈ R∗ tal que D(R) = Ann(a).

10 -


Proposicao 1.31. ([24], pag. 155 e pag. 156) Sejam R um anel Noetheriano. Entao:

(i) D(R) =⋃P∈ass(0) P ;

(ii) Dado P ∈ Spec(R), temos que P ∈ ass(0) se, e somente se, existe a ∈ R tal que

P = Ann(a).

Definiremos agora o que e um ideal primo associado de um anel qualquer R. Na sequencia,

mostraremos uma relacao entre tais ideais e o conjunto dos divisores de zero em um anel

Noetheriano.

Definicao 1.32. Seja R um anel qualquer. Dizemos que P ∈ Spec(R) e um primo associado

de R quando existe a ∈ R tal que P = Ann(a). O conjunto dos primos associados de R e

denotado por Ass(R).

Observacao 1.33. Se R e um anel Noetheriano, do item (ii) da Proposicao 1.31 vem que

ass(0) = Ass(R). Pelo item (i) deste mesmo resultado, obtemos que D(R) =⋃P∈Ass(R) P .

A proxima proposicao trata do conjunto dos divisores de zero em um anel Artiniano local.

Proposicao 1.34. Seja R um anel local Artiniano que nao e um domınio. Entao:

(i) todo elemento de R e invertıvel ou nilpotente;

(ii) D(R) e o unico ideal maximal de R.

Demonstracao: (i) Seja M o unico um unico ideal maximal de R. Sendo R Artiniano,

todo ideal primo de R e maximal. Assim, M e tambem o unico ideal primo de R. Da

Proposicao 1.6 segue que Nil(R) =⋂P∈Spec(R) P = M . Sabemos que, em um anel qualquer,

todo elemento nao invertıvel pertence a algum ideal maximal. Desse modo, dado r /∈ U(R),

devemos ter r ∈M , donde obtemos que todo elemento de R e invertıvel ou nilpotente.

(ii) Pelo item (i), temos que Nil(R) = M e o unico ideal maximal de R. Dado x ∈ D(R),

como x /∈ U(R), segue que x ∈M = Nil(R), donde vem que D(R) ⊆ Nil(R). Como sempre

ocorre Nil(R) ⊆ D(R), obtemos a igualdade D(R) = Nil(R). Logo, D(R) e o unico ideal

maximal de R. ut

11 -


Vejamos agora alguns resultados acerca dos divisores de zero em aneis finitos. A pro-

posicao enunciada a seguir classifica os elementos de um anel finito.

Proposicao 1.35. ([17], pag. 8) Se R e um anel finito, entao cada elemento de R e invertıvel

ou divisor de zero.

A proxima proposicao nos da uma condicao necessaria e suficiente para que um anel finito

seja local.

Proposicao 1.36. Seja R um anel finito. Entao R e local se, e somente se, todo elemento

de R nao invertıvel e nilpotente. No caso em que R e local, temos que D(R) e o (unico) ideal

maximal de R.

Demonstracao: Suponhamos que todo elemento a ∈ R nao invertıvel e nilpotente. Afir-

mamos que R \ Nil(R) = U(R). De fato, se x /∈ U(R), entao x ∈ Nil(R), ou seja,

x /∈ R \ Nil(R). Disso resulta a inclusao R \ Nil(R) ⊆ U(R). E facil ver que se x ∈ U(R),

entao x /∈ D(R). Como Nil(R) ⊆ D(R), temos que x /∈ Nil(R) e disso resulta a outra

inclusao R \Nil(R) ⊇ U(R) e a igualdade desejada. Pelo item (i) da Proposicao 1.2, temos

que R e anel local cujo ideal maximal e Nil(R).

A recıproca e a segunda afirmacao do enunciado seguem da Proposicao 1.34, utilizando

o fato de que todo anel finito e Artiniano. ut

O proximo resultado trata da caracterıstica de um anel local finito.

Proposicao 1.37. Seja R e um anel local finito. Entao existem um numero primo p e

inteiros nao negativos n, t, k tais que:

(i) A caracterıstica de R e pn (char(R) = pn);

(ii) D(R) com a operacao de adicao do anel e um p-grupo, de modo que |D(R)| = pt;

(iii) |R| = pk.

Demonstracao: (i) Sabemos que D(R) e o unico ideal maximal de R (Proposicao 1.36).

Como R/D(R) e um corpo finito, sua caracterıstica e p, para algum primo p. Assim, p1 = 0,

12 -

1.2 Grafos 13

isto e, p1 ∈ D(R). Agora, pela demonstracao da Proposicao 1.36, D(R) = Nil(R) e, entao,

existe n ∈ N tal que (p1)n = 0 e (p1)n−1 6= 0, ou seja, pn1 = 0 e pn−11 6= 0. Portanto,

char(R) = pn.

(ii) Sendo D(R) um ideal, temos que D(R) e um subgrupo de R (R visto como um grupo

com a operacao de adicao). Como char(R) = pn, temos que pna = 0, para todo a ∈ R. Em

particular, se z ∈ D(R), entao pnz = 0. Assim, a ordem de z, denotada por o(z), divide pn,

ou seja, o(z) = pm, para algum inteiro nao negativo m. Logo, D(R) e um p-grupo. Disso

segue que |D(R)| = pt, para algum inteiro nao negativo t.

(iii) Como R/D(R) e um corpo finito, sua cardinalidade e uma potencia de algum primo.

Pelo item (ii), |D(R)| = pt. Como |R/D(R)| = |R|/|D(R)|, devemos ter |R| = pk, para

algum inteiro positivo k. ut

Encerramos este capıtulo com um teorema que nos da uma relacao entre as cardinalidade

de R e de D(R) no caso em que R e finito.

Proposicao 1.38. Seja R um anel finito. Entao |R| ≤ |D(R)|2.

Demonstracao: Seja a ∈ D(R)∗. Entao Ann(a) ⊆ D(R) e, daı, |Ann(a)| ≤ |D(R)|. Consi-

deremos agora o homomorfismo sobrejetor f : R→ (a) de R-modulos dado por f(x) = ax. E

claro que ker(f) = Ann(a) e, assim, RAnn(a)

∼= (a), donde |R||Ann(a)| = |(a)| ≤ |D(R)|. Portanto,

|R| ≤ |Ann(a)||D(R)| ≤ |D(R)|2. ut

1.2 Grafos

Nesta secao, introduziremos topicos basicos da Teoria de Grafos necessarios ao estudo dos

grafos divisores de zero, tais como conexidade, diametro, coloracoes, ciclos, cintura, grafos

r-partidos completos, raio, centro, conjuntos dominantes e planaridade. Iniciamos com a

definicao de grafo.

Definicao 1.39. Sejam V um conjunto e E um subconjunto de u, v : u, v ∈ V . Um

grafo e um par ordenado do tipo G = (V,E). Um elemento de V e denominado vertice e um

13 -

1.2 Grafos 14

elemento de E e chamado de aresta. Se V e um conjunto finito, dizemos que n = |V | e a

ordem do grafo G = (V,E) e a denotamos por |G|.

Quando nao houver duvidas, vamos nos referir ao grafo G = (V,E) apenas por G. Po-

demos, em alguns casos, escrever V (G) e E(G) para indicar, respectivamente, o conjunto de

vertices e o conjunto de arestas de um grafo G.

Um vertice v ∈ V e adjacente a um vertice u ∈ V se u, v ∈ E. O grau do vertice v e

definido por deg(v) = |u : u, v ∈ E|. Uma aresta u, v ∈ E e incidente aos vertices u

e v.

Se V ′ ⊆ V e E ′ ⊆ u, v : u, v ∈ V ′, u, v ∈ E, dizemos que G′ = (V ′, E ′) e um

subgrafo de G e escrevemos G′ ⊆ G. E se, para todos u, v ∈ V ′, u, v ∈ E implicar que

u, v ∈ E ′, entao dizemos que G′ e um subgrafo induzido. Neste caso, escrevemos G′ = G[V ′].

Sejam G1 = (V1, E1) e G2 = (V2, E2) grafos. Dizemos que G1 e G2 sao isomorfos, e

escrevemos G1 ' G2, quando existe uma bijecao ϕ : V1 −→ V2 tal que u, v ∈ E1 se, e

somente se, ϕ(u), ϕ(v) ∈ E2, para todos u, v ∈ V1. Segue diretamente da definicao de

isomorfismo que deg(v) = deg(ϕ(v)), para todo v ∈ V1.

Um caminho em um grafo G = (V,E) e uma sequencia de vertices v0, v1, . . . , vk, distintos

dois a dois, tal que vi, vi+1 ∈ E, para todo i = 0, . . . , k − 1. Neste caso, denotamos tal

caminho por v0v1 · · · vk e dizemos que o numero k e o comprimento do caminho.

Um subgrafo de ordem k ≥ 3 de G da forma G′ = (V ′, E ′), com V ′ = v1, v2, . . . , vk e

E ′ = v1, v2, v2, v3, . . . , vk−1, vk, vk, v1 e um ciclo de comprimento k. Denotamos

tal ciclo por v1v2 · · · vkv1. Um k-ciclo, denotado por Ck, e um grafo que e um ciclo de

comprimento k quando visto como subgrafo de G.

Dizemos que um grafo G = (V,E) e conexo se existe um caminho ligando quaisquer

dois vertices distintos. Dados u, v ∈ V , com u 6= v, a distancia de u a v e definida por

d(u, v) = mink : existe um caminho de u a v de comprimento k e convencionamos que

d(v, v) = 0, para todo v ∈ V . O diametro de um grafo conexo G e denotado por diam(G)

e definido por diam(G) = supd(u, v) : u, v ∈ V, u 6= v. A cintura de G, denotada por

gr(G), e definida como o comprimento do menor ciclo em G; se G nao contem ciclos, entao

gr(G) =∞. A seguinte proposicao relaciona a cintura e o diametro de um grafo.

14 -

1.2 Grafos 15

Proposicao 1.40. ([16], pag. 8) Todo grafo G contendo um ciclo satisfaz

gr(G) ≤ 2 · diam(G) + 1.

Dado um grafo G = (V,E), dizemos que um subconjunto S de V domina o grafo G (ou

que S e um conjunto dominante de G) quando todo vertice de V pertence ao conjunto S ou

e adjacente a algum vertice desse conjunto. Podemos ver que o proprio conjunto V sempre

domina G.

Dizemos que S ⊆ V e um conjunto dominante minimal de G quando S domina G e os

demais conjuntos dominantes de G possuem cardinalidade maior ou igual a cardinalidade de

S. Quando a cardinalidade de um conjunto dominante minimal de um grafo G e um numero

inteiro nao negativo n, dizemos que n e o numero de dominacao (ou numero dominante) de

G e escrevemos γ(G) = n.

A seguir, damos um exemplo que ilustra alguns dos conceitos dados neste capıtulo.

Exemplo 1.41. Consideremos o grafo conexo G = (V,E), com V = a, b, c, d, e e

E = a, b, b, c, b, e, c, d, d, e,

dado na Figura 1.1. O grafo H = (V ′, E ′) tal que V ′ = b, c, d, e e E ′ = b, c, c, d, d, e

e um subgrafo de G, mas nao e um subgrafo induzido por V ′, uma vez que b, e ∈ E \ E ′

(Figura 1.2).

Figura 1.1: Grafo G do Exemplo 1.41 Figura 1.2: Grafo H do Exemplo 1.41

Podemos ver que ha dois caminhos distintos entre os vertices b e e, a saber, be e bcde.

Por definicao, temos que d(b, e) = 2. A maior distancia entre dois vertices de G e 3, que e

a distancia entre a e d. Daı, diam(G) = 3. O grafo G contem o 4-ciclo bcdeb e nao possui

outros ciclos. Logo, gr(G) = 4.

O subconjunto A = a, c, e de V e um conjunto dominante de G. Tambem, B = b, d

domina G. Como G nao possui um vertice adjacente aos demais vertices, temos que B e um

conjunto dominante minimal de G e, assim, γ(G) = 2.

15 -

1.2 Grafos 16

Antes de apresentarmos mais algumas definicoes, devemos nos lembrar que uma particao

de um conjunto nao vazio qualquer X e uma colecao Xλλ∈Λ de subconjuntos nao vazios

de X, dois a dois disjuntos, tal que⋃λ∈ΛXλ = X. Neste caso, cada elemento da colecao

Xλλ∈Λ e uma parte da particao de X.

Dado um inteiro positivo r, dizemos que um grafo G e r-partido se existe uma particao

de V em r subconjuntos tal que vertices pertencentes a uma mesma parte dessa particao nao

sao adjacentes. Dizemos que G = (V,E) e um grafo r-partido completo se G e r-partido e

se para quaisquer dois vertices u e v que estao em partes distintas da particao, tivermos que

u, v ∈ E.

Para o caso r = 2, um grafo r-partido e chamado de grafo bipartido. Ja um grafo r-partido

completo recebe o nome de bipartido completo e e denotado por Km,n, onde m = |V1| ≥ 1 e

n = |V2| ≥ 1. Os grafos da forma K1,n sao chamados de grafos estrela.

Na Figura 1.3, vemos representado o grafo bipartido completo K3,3.

Figura 1.3: Grafo bipartido completo K3,3

Um grafo G e um grafo nulo se V = ∅. Dizemos que o grafo G e completo com n vertices

se |V | = n e u, v ∈ E, para todos u, v ∈ V , com u 6= v. Denotamos tal grafo por Kn. Na

Figura 1.4, temos o grafo completo K5 representado de dois modos distintos.

Figura 1.4: Duas representacoes distintas de K5

Dado K ⊆ V nao vazio, dizemos que K e um clique quando G[K] e um grafo completo.

16 -

1.2 Grafos 17

A cardinalidade do maior clique de G e denotada por ω(G). Se G possui um clique infinito,

escrevemos ω(G) =∞.

Uma k-coloracao dos vertices de um grafo G e uma funcao f : V → 1, 2, . . . , k. Colo-

cando Vi = f−1(i), para i ∈ 1, . . . , k, temos que V1, V2, . . . , Vk e uma k-particao de V . Uma

k-coloracao f e propria se vertices adjacentes possuem imagens distintas pela f . O numero

cromatico χ(G) e o menor inteiro positivo k tal que existe uma k-coloracao de vertices propria

de G. Dado um grafo G, sempre temos que χ(G) ≥ ω(G).

Proposicao 1.42. Se G = (V,E) e um grafo r-partido, entao G possui uma r-coloracao

propria de seus vertices.

Demonstracao: Sejam V1, . . . , Vr as r partes de V que tornam G um grafo r-partido. De-

finamos f : V → 1, . . . , r por f(x) = k, se x ∈ Vk. Entao, se x, y ∈ E, devemos ter

f(x) 6= f(y), pois se f(x) = f(y) = k, terıamos x, y ∈ Vk e nao poderıamos ter x adjacente a

y. Logo, f e uma coloracao propria dos vertices G, donde χ(G) e finito. ut

Seja G = (V,E) um grafo conexo com diametro finito. A excentricidade de um vertice

v ∈ V e o numero e(v) = supd(v, x) : x ∈ V . O raio de G e o numero rad(G) =

mine(v) : v ∈ V, . Um vertice v ∈ V e dito central se e(v) = rad(G). O subgrafo induzido

pelo conjunto dos vertices centrais de G e o centro do grafo G, o qual denotamos por Cen(G).

Exemplo 1.43. Nas Figuras 1.5 e 1.6, representamos os grafos G1 e G2, destacando os

vertices do centro com uma cor mais clara e os vertices que nao estao no centro com uma

cor mais escura. Notemos que rad(G1) = rad(G2) = 2.

Figura 1.5: Grafo G1 do Exemplo 1.43 Figura 1.6: Grafo G2 do Exemplo 1.43

Vejamos um resultado envolvendo os conceitos de raio, centro e diametro.

17 -

1.2 Grafos 18

Proposicao 1.44. Seja G = (V,E) um grafo conexo e finito. Temos que rad(G) = diam(G)

se, e somente se, G = Cen(G).

Demonstracao: Se |G| = 1, o resultado e imediato. Analisemos o caso em que |G| ≥ 2.

Inicialmente, vamos supor que rad(G) = diam(G). Dado x ∈ V , tomemos y ∈ V \ x tal

que e(x) = d(x, y). Como rad(G) ≤ e(x) = d(x, y) ≤ supd(u, v) : u, v ∈ V = diam(G) =

rad(G), temos que e(x) = rad(G) e, assim, x ∈ V (Cen(G)). Logo, G = Cen(G).

Supomos agora que G = Cen(G). Sabemos que rad(G) ≤ diam(G). Tomemos x, y ∈ V

tais que d(x, y) = diam(G). Como x ∈ V (Cen(G)), temos que e(x) = rad(G). Desse modo,

diam(G) = d(x, y) ≤ supd(x, u) : u ∈ V = e(x) = rad(G). Logo, rad(G) = diam(G). ut

1.2.1 Grafos planares

Introduziremos aqui o conceito de grafo planar e apresentaremos alguns resultados en-

volvendo esse tipo de grafo. Dentre tais resultados, destacamos o Teorema de Kuratowski-

Harary-Tutte-Wagner, o qual fornece uma condicao necessaria e suficiente para que um grafo

seja planar.

Embora o estudo de grafos planares nao se restrinja apenas aos grafos finitos, vamos

assumir nesta secao que todos os grafos sao finitos.

Definicao 1.45. Dizemos que um grafo G e um grafo planar se for possıvel desenha-lo em

um plano de modo que suas arestas nao se interceptem, exceto possivelmente nos vertices

aos quais sao ambas incidentes. Caso contrario, G e dito nao planar.

Notemos que tal definicao e intuitiva, pois nao explicitamos aqui o que significa, em

termos matematicos, desenhar no plano. O leitor interessado em uma definicao mais rigorosa

de grafo planar pode consultar ([16], capıtulo 4). Vejamos agora um exemplo.

Exemplo 1.46. Na Figura 1.7 temos o grafo K4 com duas arestas se interceptando. No

entanto, K4 e um grafo planar, pois podemos desenha-lo em um plano de modo que suas

arestas nao se interceptam, conforme podemos ver na Figura 1.8.

18 -

1.2 Grafos 19

Figura 1.7: K4 com intersecao de arestas Figura 1.8: K4 sem intersecao de arestas

Dois exemplos importantes de grafos nao planares sao apresentados a seguir.

Teorema 1.47. ([10], pag. 200) Os grafos K5 (Figura 1.4) e K3,3 (Figura 1.3) nao sao

planares.

Nosso intuito agora e enunciar o Teorema de Kuratowski-Harary-Tutte-Wagner. Um dos

conceitos que aparecem no enunciado deste teorema e o conceito de subcontracao. Numa

tentativa de compreendermos melhor tal conceito, apresentamos as seguintes definicoes.

Definicao 1.48. Seja G = (V,E) um grafo e seja e = a, b ∈ E. Dado q /∈ V , consideremos

o conjunto F1 = q, x : a, x ∈ E ou b, x ∈ E. Denotemos por F2 o conjunto formado

pelas arestas do grafo G[V \ a, b].

(a) O grafo G′ = (V ′, E ′) que tem V ′ = (V \ a, b) ∪ q e E ′ = F1 ∪ F2 e chamado de

uma contracao elementar de G pela aresta e. Denotamos tal grafo G′ por G · e.

(b) Dizemos que um grafo G′ e uma contracao elementar de G quando G′ = G · e, para

alguma aresta e de G.

Definicao 1.49. Dado um inteiro n ≥ 1, dizemos que uma sequencia finita de grafos

G0, G1, . . . , Gn e uma sequencia de contracoes elementares quando Gi+1 for uma contracao

elementar de Gi, para cada i ∈ 0, . . . , n− 1.

A partir de tais definicoes, podemos definir o que e uma contracao e uma subcontracao

de um grafo.

Definicao 1.50. Um grafo H e uma contracao de um grafo G se existe uma sequencia de

contracoes elementares G = G0, G1, G2, . . . , Gn tal que H = Gi, para algum i ∈ 0, 1, . . . , n.

Dizemos que um grafo G contem um grafo J como subcontracao quando J for uma contracao

de algum subgrafo de G.

19 -

1.2 Grafos 20

Exemplo 1.51. Consideremos G0, G1, G2 e G3 os grafos dados, respectivamente, nas Figuras

1.9, 1.10, 1.11 e 1.12. Podemos ver que G1 = G0 · g, G2 = G1 · h e G3 = G2 · j. Temos entao

que G0, G1, G2, G3 e uma sequencia de contracoes elementares e G3 e uma contracao de G0.

Em tais figuras, destacamos com uma cor mais clara o vertice de Gi+1 que nao e vertice de

Gi, para cada i ∈ 0, 1, 2.



Estamos em condicoes de enunciar o Teorema de Kuratowski-Harary-Tutte-Wagner, que

nos da uma condicao necessaria e suficiente para que um grafo seja planar.

Teorema 1.52. (Kuratowski-Harary-Tutte-Wagner)([10] pag. 200 e pag. 201) Um

grafo G e planar se, e somente se, nao contem uma subcontracao isomorfa a K3,3 ou a K5.

Destacamos que se G contem K5 ou K3,3 como subgrafo, entao G nao e planar, pelo

teorema anterior e pela definicao de subcontracao (Definicao 1.50).

Exemplo 1.53. Seja H o grafo na Figura 1.13. Temos que grafo J da Figura 1.14 e uma

contracao elementar de H. Mais precisamente, J = H · h (representamos com uma cor mais

clara o vertice J que nao e vertice de H). Conforme podemos ver na Figura 1.15, J · j ' K5.

20 -

1.2 Grafos 21

Logo H, J,K5 e uma sequencia de contracoes elementares, donde obtemos que K5 e uma

contracao de H. Pelo Teorema 1.52, H nao e planar.

Figura 1.13: Grafo H do Exemplo 1.53 Figura 1.14: Grafo J do Exemplo 1.53

Figura 1.15: K5 ' J · j (Exemplo 1.53)

Encerramos este capıtulo com um resultado que nos apresenta mais uma caracterıstica

de um grafo planar.

Proposicao 1.54. ([13] pag. 232) Todo grafo planar contem um vertice de grau menor ou

igual 5

21 -

Capıtulo 2

Grafos divisores de zero

Neste capıtulo, apresentaremos alguns resultados sobre grafos divisores de zero de aneis

comutativos. Nosso objetivo e descrever algumas propriedades desses grafos e destacar algu-

mas relacoes entre o anel e o seu grafo divisor de zero.

Dividimos o capıtulo em oito secoes. Na primeira, daremos a definicao de grafo divisor de

zero e apresentaremos alguns exemplos e alguns resultados basicos que tratam da conexidade,

do diametro e do tamanho desse grafo. Na secao seguinte, exibiremos alguns resultados

obtidos por Istvan Beck sobre coloracao de vertices de um grafo divisor de zero. Na terceira

secao, veremos uma condicao necessaria e suficiente para que um grafo divisor de zero possua

um vertice adjacente aos demais vertices. Os grafos divisores de zero que sao grafos completos

e os que sao grafos estrela serao estudados na secao 4. Na quinta secao, apresentaremos

resultados sobre grafos divisores de zero r-partidos completos, r ≥ 2. Na secao seguinte,

faremos um breve estudo acerca dos ciclos e da cintura de um grafo divisor de zero. Na secao

7, estudaremos algumas questoes referentes ao raio, ao centro e ao numero de dominacao de

um grafo divisor de zero. Encerraremos o capıtulo com uma secao cujos resultados visam

determinar quando que um grafo divisor de zero e planar.

2.1 O grafo divisor de zero

Conforme ja dissemos na Introducao, foi Istvan Beck quem introduziu, no artigo “Coloring

of commutative rings” [11], o conceito de grafo divisor de zero. Beck considerou todos os

elementos do anel como vertices e definiu que dois vertices distintos x e y seriam adjacentes

quando xy = 0. Desse modo, no grafo de Beck, o vertice 0 e adjacente a todos os demais

22 -

2.1 O grafo divisor de zero 23

vertices, mas os elementos de R que nao sao divisores de zero sao adjacentes apenas ao

elemento 0.

Nesta dissertacao, nao usaremos a definicao dada por Beck, mas a definicao de grafo

divisor de zero apresentada por D. F. Anderson e P. S. Livingston em [6]. Veremos que o

grafo definido por tais autores pode ser visto como um subgrafo do grafo de Beck: o subgrafo

induzido pelo conjunto dos divisores de zero nao nulos do anel. Vejamos entao a definicao de

grafo divisor de zero.

Definicao 2.1. O grafo divisor de zero de um anel R, denotado por Γ(R), e o grafo dado

pelo par

Γ(R) = (V (Γ(R)), E(Γ(R)))

em que V (Γ(R)) = D(R)∗ e E(Γ(R)) = x, y : x, y ∈ V (Γ(R)), x 6= y e x.y = 0.

De tal definicao temos que Γ(R) e um grafo nulo se, e somente se, R e um domınio de

integridade. Para evitar que Γ(R) seja um grafo nulo, vamos supor implicitamente que R

nao e um domınio de integridade.

Dado um grafo G, se existir um anel R tal que Γ(R) = G, diremos que G pode ser realizado

como Γ(R).

Na sequencia desta secao, daremos alguns exemplos e alguns resultados basicos acerca da

conexidade, do diametro e do tamanho do grafo divisor de zero. Destacaremos ainda algumas

relacoes entre isomorfismos de grafos e isomorfismos de aneis.

Comecemos entao apresentando alguns exemplos de grafos divisores de zero. Para nao

sobrecarregarmos a notacao, em algumas situacoes, omitimos as barras dos elementos de um

anel quociente.

Exemplo 2.2. Consideremos os aneisR = Z4 e S = Z2[x](x2)

. EntaoD(R)∗ = 2 eD(S)∗ = x

e seus respectivos grafos divisores de zero sao dados por:

Figura 2.1: Γ(Z4) Figura 2.2: Γ(

Z2[x](x2)

)

23 -


Exemplo 2.3. Dados R = Z9, S = Z3[x](x2)

= 0, 1, 2, x, x + 1, x + 2, 2x, 2x + 1, 2x + 2 e

T = Z2 × Z2 temos que D(R)∗ = 3, 6, D(S)∗ = x, 2x e D(T )∗ = (0, 1), (1, 0). Os

grafos divisores de zero de tais aneis sao:

Figura 2.3: Γ(Z9) Figura 2.4: Γ(

Z3[x](x2)

)Figura 2.5: Γ(Z2 × Z2)

Exemplo 2.4. Sejam R = Z6, S = Z8, T = Z2[x](x3)

e V = Z4[x]

(2x,x2−2). Entao D(R)∗ = 2, 3, 4,

D(S)∗ = 2, 4, 6, D(T )∗ = x, x2, x2 + x e D(V )∗ = 2, x, x + 2 e seus respectivos grafos

divisores de zero sao:

Figura 2.6: Γ(Z6) Figura 2.7: Γ(Z8)

Figura 2.8: Γ(

Z2[x](x3)

)Figura 2.9: Γ

(Z4[x]

(2x,x2−2)

)

Observacao 2.5. Os Exemplos 2.2, 2.3 e 2.4 nos mostram que aneis nao isomorfos podem

ter grafos divisores de zero isomorfos (por exemplo, Z6 e Z8 sao aneis nao isomorfos, mas

ambos possuem K1,2 como grafo divisor zero). Logo, nao podemos garantir que aneis que

possuem grafos divisores de zero isomorfos sao isomorfos. No entanto, podemos mostrar que

aneis isomorfos sempre terao seus respectivos grafos divisores de zero isomorfos. E o que nos

diz nosso primeiro resultado acerca dos grafos divisores de zero.

Teorema 2.6. Se dois aneis sao isomorfos, entao seus respectivos grafos divisores de zero

sao isomorfos.

24 -


Demonstracao: Sejam R e S aneis isomorfos e seja f : R −→ S um isomorfismo entre tais

aneis. Afirmamos que f(D(R)∗) ⊆ D(S)∗. De fato, dado x ∈ D(R)∗, existe y ∈ D(R)∗ tal

que xy = 0. Assim, 0 = f(0) = f(xy) = f(x)f(y). Como ker(f) = 0, temos que f(x) 6= 0

e f(y) 6= 0, donde obtemos que f(x) ∈ D(S)∗. Portanto, f(D(R)∗) ⊆ D(S)∗. Logo, faz

sentido considerarmos a aplicacao

α = f |D(R)∗ : D(R)∗ −→ D(S)∗

x 7−→ f(x).

Vamos mostrar que α induz um isomorfismo de grafos. Claramente, α e injetora. Agora,

dado z ∈ D(S)∗, temos que existe w ∈ D(S)∗ tal que zw = 0, ou seja, z, w ∈ E(Γ(S)).

Sendo f bijetor e f(0) = 0, existem x, y ∈ R∗ tais que f(x) = z e f(y) = w. Assim,

f(xy) = f(x)f(y) = zw = 0. Como f e injetor, segue que xy = 0, donde, x ∈ D(R)∗ e α

e sobrejetora. Logo, α e bijetora. Facilmente podemos verificar que x, y ∈ E(Γ(R)) se, e

somente se, α(x), α(y) ∈ E(Γ(S)). Portanto, Γ(R) ' Γ(S). ut

Convem mencionarmos aqui que, sob algumas condicoes, a recıproca do teorema anterior e

verdadeira. No entanto, nao explicitaremos nem faremos aqui um estudo sobre tais condicoes.

O leitor interessado neste assunto pode consultar [6] e [17].

No proximo exemplo, mostramos que K3 pode ser realizado como Γ(R).

Exemplo 2.7. Consideremos os aneis R = Z2[x,y](x2,xy,y2)

= 0, 1, x, y, x+ 1, y+ 1, x+ y, x+ y+ 1

e S = F4[x](x2)

= 0, 1, α, α2, x, αx, α2x, 1 +x, 1 +αx, 1 +α2x, α+x, α+αx, α+α2x, α2 +x, α2 +

αx, α2 + α2x, onde F4 = 0, 1, α, α2 e um corpo com 4 elementos, com α2 = α + 1. Nao e

difıcil ver que D(R)∗ = x, y, x + y e D(S)∗ = x, αx, α2x. Os grafos divisores de zero de

R e S podem ser vistos nas Figuras 2.10 e 2.11.

Figura 2.10: Γ(

Z2[x,y](x,y)2

)Figura 2.11: Γ

(F4[x](x2)

)

25 -


Considerando os aneis T = Z4[x](2,x)2

= 0, 1, 2, 3, x, x + 1, x + 2, x + 3 e W = Z4[x](x2+x+1)

=

0, 1, 2, 3, x, x + 1, x + 2, x + 3, 2x, 2x + 1, 2x + 2, 2x + 3, 3x, 3x + 1, 3x + 2, 3x + 3, temos

que D(T )∗ = 2, x, x+ 2 e D(W )∗ = 2, 2x, 2x+ 2. Ambos os aneis possuem tambem K3

como grafo divisor de zero.

Observacao 2.8. Em [11] e em [5], os autores mostraram que, a menos de isomorfismos, os

aneis dos Exemplos 2.2, 2.3, 2.4 e 2.7 sao os unicos que possuem como grafo divisor de zero,

respectivamente, K1, K2, K1,2 e K3. Nao apresentaremos neste texto como que tais autores

chegaram a tais conclusoes, mas usaremos mais adiante essa classificacao.

Destacamos agora que os grafos divisores de zero dados nos exemplos anteriores sao todos

conexos. O proximo teorema nos garante que a conexidade e, na verdade, uma caracterıstica

de todos os grafos divisores de zero. Este mesmo teorema afirma ainda que o diametro de

um grafo divisor de zero nao pode ser maior do que 3.

Teorema 2.9. ([6]) Para todo anel R, Γ(R) e conexo e diam(Γ(R)) ≤ 3.

Demonstracao: Sejam x, y ∈ D(R)∗ distintos. Se xy = 0, entao d(x, y) = 1. Entao, vamos

supor que xy 6= 0 e analisar os possıveis casos. Se x2 = 0 e y2 = 0, entao x(xy) = 0 e

(xy)y = 0 e temos x(xy)y um caminho de comprimento dois, donde d(x, y) = 2. Se x2 = 0

e y2 6= 0 entao existe b ∈ D(R)∗ \ x, y tal que by = 0. Se bx = 0, temos que xby e um

caminho de comprimento dois. Se bx 6= 0, entao x(xb)y e um caminho de comprimento dois.

Analogamente, podemos mostrar d(x, y) = 2 no caso em que x2 6= 0 e y2 = 0.

Suponhamos agora que xy 6= 0, x2 6= 0 e y2 6= 0. Temos que existem a, b ∈ D(R)∗ \ x, y

tais que ax = by = 0. Se a = b, o caminho xay tem comprimento dois. Suponhamos a 6= b.

Se ab = 0, temos xaby um caminho de comprimento tres e, assim, d(x, y) = 3. Se ab 6= 0,

temos x(ab)y um caminho de comprimento dois, donde d(x, y) = 2. Logo, diam(Γ(R)) ≤ 3. ut

Ja vimos, nos Exemplos 2.2, 2.3 e 2.4, grafos divisores de zero com diametros 0, 1 e 2,

respectivamente. No proximo exemplo, exibimos um anel R tal que diam(Γ(R)) = 3.

Exemplo 2.10. Se R = Z12, entao D(R)∗ = 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10. Como 2 · 3 = 6 6= 0,

temos que d(2, 3) 6= 1. Notemos que Ann(2) = 0, 6 e Ann(3) = 0, 4, 8. Disso resulta

26 -


que Ann(2) ∩ Ann(3) = 0. Logo, nao podemos ter d(2, 3) = 2. Pelo teorema anterior,

d(2, 3) = 3 e, assim, diam(Γ(Z12)) = 3. Na Figura 2.12, temos Γ(Z12).

Figura 2.12: Γ(Z12)

Com este ultimo exemplo, temos que, para cada d ∈ 0, 1, 2, 3, existe um anel R tal que

diam(Γ(R)) = d. Em [2] e em ([17], pag. 49), o leitor pode encontrar condicoes necessarias e

suficientes para que tenhamos diam(Γ(R)) = d, para cada d ∈ 0, 1, 2, 3. Nao exploraremos

tal assunto aqui.

Vamos determinar agora quais sao os grafos com 4 vertices que podem ser realizados como

Γ(R). Pelo Teorema 2.9, temos que a conexidade e uma condicao necessaria para que um

grafo seja um grafo divisor de zero. A menos de isomorfismos, os unicos grafos conexos com

4 vertices sao os dados na Figura 2.13:

Figura 2.13: Grafos conexos com 4 vertices (a menos de isomorfismo)

Dentre estes 6 grafos, apenas os 3 primeiros podem ser realizados como Γ(R). De fato,

consideremos os aneis R = Z25 e S = Z3 × Z3. Temos que D(R)∗ = 5, 10, 15, 20 e

D(S)∗ = (0, 1), (1, 0), (0, 2), (2, 0). Seja F4 = 0, 1, α, α2 um corpo com 4 elementos.

Consideremos o anel

T = Z2 × F4 = (0, 0), (0, 1), (0, α), (0, α2), (1, 0), (1, 1), (1, α), (1, α2).

Entao, D(T )∗ = (0, 1), (1, 0), (0, α), (0, α2). Os grafos divisores de zero dos aneis R, S e T

sao os seguintes:

27 -


Figura 2.14: Γ(Z25) Figura 2.15: Γ(Z3 × Z3) Figura 2.16: Γ(Z2 × F4)

Vamos mostrar agora que o grafo G com vertices a, b, c, d e arestas a, b, b, c, c, d

nao pode ser realizado como Γ(R). De fato, suponhamos que exista um anel R com D(R)∗ =

a, b, c, d e somente os produtos nulos ab = 0, bc = 0 e cd = 0 entre os elementos de R∗.

Como (a + c)b = ab + cb = 0, temos que a + c ∈ D(R) = 0, a, c, b, d. Afirmamos que

a+ c = b. De fato, notemos que a+ c = a implica c = 0 e que se a+ c = c, entao a = 0. Se

a + c = d, temos db = 0, mas esta relacao nao ocorre em R∗. Por fim, se a + c = 0, entao

0 = (a+ c)d = ad+ cd = ad, o que tambem nao ocorre. Logo, devemos ter a+ c = b.

Analogamente, como (b + d)c = bc + dc = 0, temos que b + d ∈ D(R)∗. Procedendo

como acima, obtemos que b + d = c. Assim, b = a + c = a + b + d, donde a + d = 0. Logo,

bd = b(−a) = −(ab) = 0, o que e um absurdo. Para os outros dois grafos conexos com quatro

vertices, a demonstracao e analoga.

Encerramos este capıtulo com um importante resultado acerca do tamanho do grafo

divisor de zero.

Teorema 2.11. ([6]) Seja R um anel que nao e um domınio de integridade. Entao Γ(R) e

finito se, e somente se, R e finito. Em particular, se 1 ≤ |Γ(R)| <∞, entao R e finito e nao

e corpo.

Demonstracao: Suponhamos Γ(R) finito. Entao, D(R)∗ e finito e, como R nao e um

domınio de integridade, D(R)∗ e tambem nao vazio. Logo, existem x, y ∈ D(R)∗ tais que

xy = 0. Seja I = Ann(x). Entao I ⊆ D(R) e, assim, I e finito. Dado r ∈ R, temos que

ry ∈ I, pois xy = 0 implica ryx = 0. Se R fosse infinito, existiria z ∈ I com J = r ∈ R :

ry = z infinito. Assim, para quaisquer r, s ∈ J , terıamos (r − s)y = ry − sy = z − z = 0 e,

entao, Ann(y) = I seria infinito, o que e uma contradicao. Logo, R e finito.

A recıproca e imediata. ut

28 -

2.2 Coloracoes de Beck 29

2.2 Coloracoes de Beck

Apresentaremos aqui alguns resultados expostos por Istvan Beck, em seu artigo “Coloring

of commutative rings” [11], sobre coloracoes de vertices. Dentre esses resultados, destacamos

os Teorema 2.21 e o Teorema 2.24. O primeiro apresenta algumas condicoes necessarias e

suficientes para que um grafo divisor de zero tenha numero cromatico finito. O segundo

elenca algumas propriedades de um anel que possui um grafo divisor de zero com numero

cromatico finito.

Ja mencionamos neste texto que a definicao de grafo divisor de zero dada por Beck difere

da definicao que adotamos aqui. No entanto, nesta secao, manteremos a Definicao.2.1.

Para iniciarmos, devemos dizer que um elemento r ∈ R e um elemento finito de um anel

R se o ideal gerado por r e finito. Na sequencia, apresentamos alguns lemas que nos dao

condicoes para que um grafo divisor de zero tenha um clique infinito.

Lema 2.12. ([11]) Seja R um anel que possui um numero infinito de elementos finitos.

Entao Γ(R) contem um clique infinito.

Demonstracao: Sejam x1, x2, . . . , xn, . . . elementos finitos distintos dois a dois de R. Como

(x1) e um ideal finito e x1xi ∈ (x1), para todo i ∈ N, existem infinitos ındices a21, a22, a23, . . .

tais que

x1xa21 = x1xa22 = x1xa23 = . . . .

Vamos considerar entao a sequencia xa2nn∈N e denotar xa21 = xa2 . Sabemos que

xa2xa2i ∈ (xa2), para todo i ∈ N. Sendo (xa2) um ideal finito, existem infinitos ındices

a31, a32, a33, . . . , a3n, . . . tais que

xa2xa31 = xa2xa32 = xa2xa33 = . . . .

Consideremos agora a sequencia xa3nn∈N. Denotando xa31 = xa3 e repetindo o processo,

obteremos uma sequencia x1, xa2 , xa3 , . . ., a qual denotamos por y1, y2, y3, . . . , yn, . . ., tal que

yiyj = yiyk, quando j > i e k > i.

Coloquemos zi,j = yi − yj, para i, j ∈ N∗, i < j. Se i < j < k < r, como yiyk = yiyr e

29 -


yjyk = yjyr, temos que

zijzkr = (yi − yj)(yk − yr) = yiyk − yiyr − yjyk + yjyr = 0.

Desse modo, z1,2z3,4 = z1,2z3,5 = 0. Como z3,4 6= z3,5, entao z3,4 6= z1,2 ou z3,5 6= z1,2.

Se z3,4 6= z1,2, temos o clique z1,2, z3,4. Se z3,5 6= z1,2, o clique obtido e z1,2, z3,5. Vamos

assumir que z3,5 6= z1,2 e que, portanto, Γ(R) possui o clique z1,2, z3,5.

Notemos agora que z6,7, z6,8, z6,9 sao dois a dois distintos. Logo, um deles nao pertence

ao conjunto z1,2, z3,5. Supondo que z6,9 /∈ z1,2, z3,5, temos o clique z1,2, z3,5, z6,9. Pros-

seguindo desse modo, obteremos um clique infinito de Γ(R). ut

Lema 2.13. ([11]) Seja I um ideal finito de R. Entao Γ(R) contem um clique infinito se, e

somente se, Γ(R/I) contem um clique infinito.

Demonstracao: Suponhamos que Γ(R) possui um clique infinito C. A imagem C de C

pela projecao canonica de R em R/I e um clique de Γ(R/I). Como I e finito, devemos ter

C infinito. Logo, Γ(R/I) contem um clique infinito C.

Reciprocamente, consideremos xii∈N um clique infinito de Γ(R/I). Entao, para todo

i 6= j, xixj ∈ I. Como I e finito, o conjunto dos produtos xixji 6=j e finito. Para o elemento

x1, existem ındices a2, a22, a23, . . . , a2n, . . . tais que

x1xa2 = x1xa22 = x1xa23 = . . . .

Repetindo o raciocınio utilizado na demonstracao do Teorema 2.12, chegaremos que Γ(R)

possui um clique infinito. ut

Lema 2.14. ([11]) Se R contem um elemento nilpotente que nao e finito, entao Γ(R) contem

um clique infinito.

Demonstracao: Por hipotese, existe x ∈ Nil(R) tal que o ideal (x) e infinito. Mas x ∈

Nil(R) implica que existe n ∈ N tal que xn = 0. A demonstracao sera feita por inducao

sobre n. Como (x) e infinito, temos x 6= 0. Logo, iniciamos a demonstracao considerando

n = 2.

30 -


Se x2 = 0, entao dados ax, bx ∈ (x), teremos (ax)(bx) = 0. Assim, Γ(R) possui um clique

infinito, a saber, o subgrafo induzido pelo ideal (x).

Suponhamos n ≥ 3 e que o resultado seja verdadeiro para qualquer elemento nilpotente

nao finito de R cujo ındice de nilpotencia seja menor do que n. Tomemos y = x2. Entao

yn−1 = (x2)n−1 = xn−2 e, como n ≥ 3, temos 2n − 2 ≥ n. Daı, yn−1 = 0. Se (y) e infinito,

o resultado segue da nossa hipotese de inducao. Vamos supor entao que (y) e finito. Neste

caso, (x)/(y) e infinito e o subgrafo induzido por (x)/(y) e um clique infinito de R/(y). Como

(y) e finito, segue do Lema 2.13 que Γ(R) possui um clique infinito. ut

Exemplo 2.15. Em Z4[x], o elemento 2 e nilpotente com ındice de nilpotencia igual a 2.

Como o ideal (2) e infinito, segue do lema anterior que Z4[x] possui um clique infinito.

Consideremos agora um anel R tal que Nil(R) e infinito. Se todo elemento de Nil(R) e

finito, o Lema 2.12 nos garante que Γ(R) possui um clique infinito. Se algum elemento de

Nil(R) nao e finito, tambem obtemos que Γ(R) possui um clique infinito: basta aplicarmos

o Lema 2.14. Provamos assim o seguinte resultado:

Lema 2.16. ([11]) Se Nil(R) e infinito, entao Γ(R) tem um clique infinito.

O proximo lema trata de um anel reduzido R cujo grafo divisor de zero nao possui um

clique infinito.

Lema 2.17. ([11]) Se R e um anel reduzido tal que Γ(R) nao contem um clique infinito,

entao R satisfaz a condicao de cadeia ascendente (c.c.a.) sobre ideais da forma Ann(a), com

a ∈ R∗.

Demonstracao: Seja R um anel reduzido. Vamos supor que exista uma cadeia

Ann(a1) ( Ann(a2) ( . . .

que nao estaciona. Seja xi ∈ Ann(ai)\Ann(ai−1), i = 1, 2, . . .. Entao, para todo n ≥ 2, temos

que yn = xnan−1 6= 0. Disso resulta que os elementos yn formam um clique. De fato, se i < j,

temos yiyj = (xiai−1)(xjaj−1) = 0, visto que xi ∈ Ann(ak), para todo k = i, i + 1, . . . , j, . . ..

31 -


Tambem, se i 6= j, entao yi 6= yj, pois se tivessemos yi = yj, terıamos y2i = y2

j = yiyj = 0, o

que contradiz o fato de R ser reduzido. Logo, Γ(R) possui um clique infinito e o resultado

esta provado. ut

Lema 2.18. ([11]) Se x, y ∈ D(R) sao tais que Ann(x) e Ann(y) sao ideais primos distintos,

entao xy = 0.

Demonstracao: Suponhamos que xy 6= 0. Entao x /∈ Ann(y) e y /∈ Ann(x). Mostremos

que Ann(x) = (Ann(x) : y). De fato, se z ∈ Ann(x), entao zy ∈ Ann(x), donde vem que

z ∈ (Ann(x) : y). Agora, dado z ∈ (Ann(x) : y), por definicao, zy ∈ Ann(x). Como Ann(x)

e um ideal primo e y /∈ Ann(x), devemos ter que z ∈ Ann(x). Obtemos assim a igualdade

Ann(x) = (Ann(x) : y). Analogamente, mostramos que (Ann(y) : x) = Ann(y).

Notemos que z ∈ (Ann(x) : y) se, e somente se, zyx = 0, o que e equivalente a

z ∈ (Ann(y) : x). Logo, (Ann(x) : y) = (Ann(y) : x). Assim, temos as igualdades

Ann(x) = (Ann(x) : y) = (Ann(y) : x) = Ann(y), o que e um absurdo. Portanto, xy = 0. ut

No proximo resultado, e dada uma condicao suficiente para que o numero cromatico de

Γ(R) seja finito.

Teorema 2.19. ([11]) Seja R um anel que possui um ideal finito I que e uma intersecao

finita de ideais primos de R. Entao, χ(Γ(R)) e finito.

Demonstracao: Seja I um ideal finito tal que I = P1 ∩ . . . ∩ Pk, com Pi ∈ Spec(R),

para cada i ∈ 1, . . . , k. Se D(R) ⊆ I, entao Γ(R) e finito e isso claramente implica

χ(Γ(R)) finito. Vamos supor entao que existe a ∈ D(R) tal que a /∈ I. Definamos a funcao

f : D(R) \ I → 1, . . . , k colocando f(x) = mini : x /∈ Pi, para todo x ∈ D(R) \ I.

Temos que f e uma k-coloracao propria de D(R) \ I. De fato, suponhamos que existam

x, y ∈ D(R)∗, x 6= y, tais que xy = 0 e f(x) = f(y) = j. Entao x, y /∈ Pj. Como 0 = xy ∈ Pje Pj e ideal primo, devemos ter x ∈ Pj ou y ∈ Pj, uma contradicao. Como I e finito, temos

que I ∩ D(R) finito, digamos |I ∩ D(R)| = m. Usando este fato e a k-coloracao propria f

dada anteriormente, temos que χ(Γ(R)) ≤ k +m, ou seja, χ(Γ(R)) e finito. ut

32 -


O proximo resultado apresenta algumas condicoes necessarias e suficientes para que um

grafo divisor de zero de um anel reduzido tenha numero cromatico finito.

Teorema 2.20. ([11]) Para um anel reduzido R, as seguintes condicoes sao equivalentes:

(i) χ(Γ(R)) e finito;

(ii) ω(Γ(R)) e finito;

(iii) O ideal nulo de R e uma intersecao finita de ideais primos;

(iv) Γ(R) nao contem um clique infinito.

Demonstracao: Como ω(Γ(R)) ≤ χ(Γ(R)), e claro que (i) implica (ii). Tambem, se

ω(Γ(R)) e finito, R nao contem um clique infinito e, assim, (ii) implica (iv). Do Lema 2.19

segue que (iii) implica (i). Logo, resta mostrarmos que (iv) implica (iii).

Suponhamos que R seja um anel reduzido tal que Γ(R) nao contem um clique infinito.

Pelo Lema 2.17, R satisfaz c.c.a. sobre ideais da forma Ann(a). Seja Ann(xi)i∈Λ a colecao

formada por todos os elementos maximais, dois a dois distintos, da famılia Ann(a) : a 6= 0.

Pela Proposicao 1.29, temos que Ann(xi) e um ideal primo, para todo i ∈ Λ. Como Γ(R)

nao contem um clique infinito, segue do Lema 2.18 que o conjunto de ındices Λ e finito. De

fato, se Λ fosse infinito, terıamos infinitos Ann(xi). Do Lema 2.18 terıamos que xixj = 0,

para i 6= j, e assim, Γ(R) teria um clique infinito, o que e uma contradicao. Logo, Λ e finito.

Suponhamos que exista um elemento nao nulo x ∈⋂i∈ΛAnn(xi). Entao, x ∈ D(R)∗. Da

escolha dos Ann(xi), i ∈ Λ, resulta que Ann(x) ⊆ Ann(xj), para algum j ∈ Λ. Se xxj = 0,

entao xj ∈ Ann(x) ⊆ Ann(xj) e, assim, x2j = 0, donde obtemos xj = 0, uma vez que R

e reduzido. Logo, xxj 6= 0 e disso resulta que x /∈ Ann(xj), uma contradicao. Portanto,⋂i∈ΛAnn(xi) = 0 e temos assim que (iv) implica (iii). ut

Veremos a seguir que a hipotese de R ser reduzido pode ser retirada da hipotese do

Teorema 2.20, isto e, esse resultado vale para qualquer anel.

Teorema 2.21. ([11]) Para um anel R qualquer, as seguintes condicoes sao equivalentes:

33 -


(i) χ(Γ(R)) e finito;

(ii) ω(Γ(R)) e finito;

(iii) Nil(R) e finito e e igual a uma intersecao finita de ideais primos;

(iv) Γ(R) nao contem um clique infinito.

Demonstracao: E claro que (i) implica (ii) e que (ii) implica (iv). Pelo Teorema 2.19, (iii)

implica (i).

Precisamos mostrar entao que (iv) implica (iii). Suponhamos que Γ(R) nao possui um

clique infinito. Pelos Lemas 2.13 e 2.16, temos que Nil(R) e finito e Γ(R/Nil(R)) nao possui

um clique infinito. Do Teorema 2.20 vem que 0 = 0 + Nil(R) e igual a uma intersecao

finita de ideais primos, digamos 0 = P1 ∩ . . .∩ Pk. Entao, Nil(R) = P1 ∩ . . .∩ Pk, onde Pi

e a imagem inversa de Pi pela projecao canonica de R em R/Nil(R). Portanto, (iv) implica

(iii). ut

Nosso proximo resultado apresenta, em seu enunciado, apenas conceitos da Teoria de

Aneis Comutativos. No entanto, sua demonstracao e feita a partir de conceitos e resultados

da teoria de grafos divisores de zero.

Proposicao 2.22. ([11]) Seja R um anel que contem um ideal finito I que e uma intersecao

finita de ideais primos. As seguintes afirmacoes sao verdadeiras:

(i) Para todo ideal finito K de R, temos que√K e um ideal finito e e igual a uma intersecao

finita de ideais primos;

(ii) R possui apenas um numero finito de ideais finitos.

Demonstracao: (i) Seja I um ideal finito que e uma intersecao finita de ideais primos. Pelo

Teorema 2.19, χ(Γ(R)) e finito. Consideremos K ∈ Id(R) finito. Segue do Lema 2.13 que

Γ(R/K) nao contem um clique infinito. Pelo Teorema 2.21, temos que Nil(R/K) e finito e

e igual a uma intersecao finita de ideais primos. Mas notemos que Nil(R/K) =√K/K. De

fato, observamos que x ∈√K/K se, e somente se, existe n ∈ Z+ tal que xn ∈ K. Como

34 -


xn = xn = 0, temos que x ∈√K/K se, e somente se, x ∈ Nil(R/K), donde Nil(R/K) =

√K/K.

Logo,√K/K e finito e igual a uma intersecao finita de ideais primos e, assim,

√K

tambem e finito e igual a uma intersecao finita de ideais primos.

(ii) Consideremos A = x ∈ R : (x) e finito. Como χ(Γ(R)) e finito, segue do Lema

2.12 que A e finito. Notemos que 0 ∈ A. Ainda, dados x, y ∈ A e r ∈ R, temos que (x) e (y)

sao ideais finitos e, daı, como (x + y) ⊆ (x) + (y) e (rx) ⊆ (x), resulta que x + y, rx ∈ A.

Logo, A e um ideal finito de R. Uma vez que todo ideal finito de R esta contido em A, o

anel R possui apenas um numero finito de ideais finitos. ut

Na demonstracao do proximo resultado, utilizaremos o conceito de sequencia exata de

R-modulos. O leitor pode encontrar a definicao desse conceito em ([24], pag. 112).

Lema 2.23. Seja I um ideal finito de R. Entao, para todo x ∈ R, (I : x)/Ann(x) e um

R-modulo finito.

Demonstracao: Dado a ∈ (I : x)x, temos que a =∑n

i=1 λiαix, onde αi ∈ (I : x), para todo

i ∈ 1, . . . , n. Entao, αix ∈ I, para todo i ∈ 1, . . . , n. Como I e um ideal, devemos ter∑ni=1 λiαix = a ∈ I. Assim, (I : x)x ⊆ I e, sendo I finito, (I : x)x tambem e finito.

Consideremos agora a seguinte sequencia exata de R-modulos

0 −→ Ann(x)j−→ (I : x)

f−→ (I : x)x −→ 0,

onde j e a inclusao e f e o epimorfismo dado por f(a) = ax. Notemos que Im(j) = Ann(x) =

ker(f). Assim, (I : x)/Ann(x) ∼= f((I : x)). Como f((I : x)) ⊆ (I : x)x e (I : x)x e finito,

temos que (I : x)/Ann(x) e um R-modulo finito. ut

Elencamos agora varias propriedades satisfeitas por um anel cujo grafo divisor de zero

possui numero cromatico finito.

Teorema 2.24. Seja R um anel tal que χ(Γ(R)) e finito. Entao, as seguintes afirmacoes

sao verdadeiras:

35 -


(i) R satisfaz a c.c.a sobre os ideais da forma Ann(a);

(ii) Ass(R) e finito

(iii) D(R) =⋃

P∈Ass(R)

P ;

(iv) Todo primo minimal de R e um primo associado.

Demonstracao: (i) Por absurdo, vamos supor que existe um conjunto xkk∈N tal que a

cadeia Ann(x1) ( Ann(x2) ( . . . nao estaciona. Como χ(Γ(R)) e finito, segue do Teorema

2.21 que Nil(R) e finito. Logo, existe n ∈ N tal que xi /∈ Nil(R), para todo i > n. Ou seja,

no maximo, uma quantidade finita de elementos da sequencia estao em Nil(R). Retirando,

se necessario, tal quantidade finita e reenumerando os ındices, vamos supor que xi /∈ Nil(R),

para todo i ∈ N.

Pelo Teorema 2.21, temos ainda que Nil(R) = P1∩ . . .∩Pn, com Pi ideal primo, para todo

i ∈ 1, . . . , n. Sabemos tambem que, para todo x ∈ R, (Nil(R) : x) = (P1 : x)∩. . .∩(Pn : x).

Assim, o conjunto (Nil(R) : x) : x ∈ R e finito (visto que, para todo P ∈ Spec(R),

(P : x) = R se x ∈ P ; (P : x) = P se x /∈ P ). Desse modo, existe um subconjunto

infinito yi de xi tal que (Nil(R) : y1) = (Nil(R) : y2) = . . .. Dessa igualdade vem que

todo conjunto da cadeira Ann(y1) ( Ann(y2) ( . . . esta contido em (Nil(R) : y1). Logo,

(Nil(R) : y1)/Ann(y1) e infinito. Mas, isso e um absurdo, pois sendo Nil(R) finito, o lema

anterior nos diz que (Nil(R) : y1)/Ann(y1) deve ser finito.

(ii) Suponhamos Ass(R) infinito, digamos Ass(R) = Ann(xi)i∈Λ, com Λ infinito. Pelo

Lema 2.18, temos que xixj = 0, se i 6= j, donde segue que Γ(R) possui um clique infinito, o

que contradiz o fato de χ(Γ(R)) ser finito. Logo, Ass(R) e finito.

(iii) Dado x ∈ D(R), existe y ∈ R∗ tal que xy = 0, donde x ∈ Ann(y). Pelo item (i),

Ann(y) esta contido em algum elemento maximal do conjunto Ω = Ann(a) : a ∈ R∗,

digamos Ann(y) ⊆ Ann(t). Como todo elemento maximal de Ω e um ideal primo, temos que

Ann(t) ∈ Ass(R). Assim, x ∈ Ann(t), donde se segue a inclusao D(R) ⊆⋃P∈Ass(R) P . A

outra inclusao e imediata.

(iv) Seja P ∈ Min(R). Notemos que, para todo x ∈ R \ P , Ann(x) ⊆ P (pois, se

w ∈ Ann(x), entao xw = 0 ∈ P , donde w ∈ P , visto que P e primo e x /∈ P ). Seja

36 -


Θ = Ann(y) : y ∈ R \ P. Pelo item (i), toda cadeia ascendente de ideais de Θ estaciona.

Escolhemos Ann(t) um elemento maximal de Θ. Vamos mostrar que Ann(t) e um ideal

primo de R. De fato, como Ann(t) ⊆ P e P e primo, 1 /∈ Ann(t), donde Ann(t) 6= R.

Considerando ab ∈ Ann(t), vamos supor que a /∈ Ann(t) e mostrar que b ∈ Ann(t).

Se a /∈ P , entao at /∈ P , donde Ann(at) ∈ Θ. Como Ann(t) ⊆ Ann(at) e Ann(t) e

maximal em Θ, temos que Ann(t) = Ann(at). Mas, ab ∈ Ann(t). Logo, 0 = (ab)t = b(at),

donde b ∈ Ann(at) = Ann(t).

Suponhamos agora que a ∈ P . Se Ann(at) ⊆ P , utilizando o mesmo raciocınio do

paragrafo anterior, obteremos b ∈ Ann(t). Consideremos o caso Ann(at) * P . Neste caso,

existe c ∈ Ann(at) \ P . Entao, Ann(ct) ∈ Θ, donde Ann(t) ⊆ Ann(ct) ⊆ P e, pela

maximalidade de Ann(t), temos que Ann(t) = Ann(ct). Mas, como a(tc) = (at)c = 0, segue

que a ∈ Ann(tc) = Ann(t), uma contradicao. Logo, se a ∈ P , entao Ann(at) ⊆ P e teremos

b ∈ Ann(t).

Assim, Ann(t) e um ideal primo contido em P . Como P e um primo minimal, temos

Ann(t) = P , donde Min(R) ⊆ Ass(R). ut

As propriedades listadas nos quatro itens do enunciado do teorema anterior sao satisfeitas

por um anel Noetheriano. No exemplo a seguir, vemos um anel nao Noetheriano cujas

propriedades mencionadas tambem sao satisfeitas.

Exemplo 2.25. Seja K um corpo. Sabemos que o anel de polinomios A = K[x1, x2, . . .] nao

e um anel Noetheriano. Assim, R = Z2×A tambem nao e Noetheriano. Facilmente podemos

verificar que Γ(R) e um grafo estrela (o raciocınio e analogo ao da demonstracao do Lema

2.26 da proxima secao). Pela Proposicao 1.42, obtemos que χ(Γ(R)) e finito. Portanto, R

satisfaz cada uma das quatro propriedades listadas no enunciado do teorema anterior.

Convem observarmos que nem todo anel Noetheriano possui grafo divisor de zero com

numero cromatico finito. Basta notarmos que Z4[x] e Noetheriano, mas χ(Γ(Z4[x])) nao e

finito, pelo Exemplo 2.15 e pelo Teorema 2.21. Porem, se R e um anel Noetheriano reduzido,

segue das Proposicoes 1.6 e 1.22 e do Teorema 2.20 que χ(Γ(R)) e finito.

37 -

2.3 Quando Γ(R) possui um vertice adjacente aos demais vertices 38

2.3 Quando Γ(R) possui um vertice adjacente aos de-

mais vertices

Como o tıtulo da secao sugere, estudaremos aqui os grafos divisores de zero que possuem

um vertice que e adjacente a todos os outros vertices. Exibiremos condicoes necessarias e

suficientes para que um anel possua como grafo divisor de zero um grafo com tal propriedade.

Sabemos que um tipo de grafo que possui um vertice que e adjacente aos demais vertices

e o grafo estrela. O lema com o qual iniciamos a secao nos mostra que existe uma infinidade

de aneis que possuem como grafo divisor de zero um grafo com essa forma.

Lema 2.26. ([6]) Seja A um domınio de integridade e seja R = Z2 × A. Entao Γ(R) e um

grafo estrela. No caso em que A e finito, temos |Γ(R)| = pn, para algum primo p e algum

inteiro positivo n.

Demonstracao: Seja (1, b) ∈ D(R). Entao, existe (c, d) ∈ R∗ tal que (1, b)(c, d) = (0, 0),

donde 1c = 0 e bd = 0. Entao, c = 0. Como (c, d) 6= (0, 0), devemos ter que d 6= 0. Sendo

A um domınio de integridade, obtemos b = 0. Denotando X = (0, b) ∈ R : b ∈ A∗, nao

e difıcil ver que D(R)∗ = (1, 0) ∪X. Alem disso, (1, 0) e um vertice adjacente aos demais

vertices de Γ(R). Dados (0, x), (0, y) ∈ X, temos que (0, x)(0, y) = (0, xy) 6= (0, 0), visto que

x, y ∈ A∗ e A e domınio de integridade. Portanto, Γ(R) e um grafo estrela.

Se A e finito, entao A e corpo (pois todo domınio de integridade finito e um corpo). Entao,

existem um primo p e um inteiro positivo n tais que |A| = pn. Como a uniao (1, 0) ∪X e

disjunta, |Γ(R)| = |V (Γ(R))| = |(1, 0)|+ |X| = 1 + (pn − 1) = pn. ut

Apresentaremos mais resultados acerca de grafos divisores de zero que sao grafos estrela

na proxima secao. Na sequencia, temos um resultado que nos da condicoes necessarias e

suficientes para que um grafo divisor de zero tenha um vertice adjacente aos demais vertices.

Teorema 2.27. ([6]) Seja R um anel. Existe a ∈ V (Γ(R)) adjacente a qualquer outro vertice

se, e somente se, R ∼= Z2 × A, onde A e um domınio de integridade, ou D(R) e um ideal

anulador (e, portanto, um ideal primo).

38 -

2.3 Quando Γ(R) possui um vertice adjacente aos demais vertices 39

Demonstracao: Suponhamos que a ∈ D(R)∗ seja adjacente a qualquer outro vertice de

Γ(R). Entao, dado x ∈ D(R) \ a, temos ax = 0. Desse modo, se a ∈ Ann(a), entao

D(R) = Ann(a), ou seja, D(R) e um ideal anulador. Analisemos entao o caso em que

a /∈ Ann(a). Vamos supor ainda que D(R) nao e um ideal anulador (pois se fosse, ja

terıamos o resultado).

Como D(R) \ a ⊆ Ann(a), temos que Ann(a) e maximal dentre o conjunto dos anula-

dores de elementos nao nulos de R. Da Proposicao 1.29 segue que Ann(a) e um ideal primo.

Se a2 6= a, entao a2 ∈ Ann(a) e, sendo Ann(a) um ideal primo, teremos a ∈ Ann(a), o que e

um absurdo. Logo, devemos ter a = a2. Pelo Lema 1.7, R = Ra ⊕ R(1 − a). Notemos que

a = 1a + 0(1− a). Podemos supor entao que R = R1 × R2, com (1, 0) adjacente a todos os

demais vertices de Γ(R). Seja c ∈ R1 tal que c 6= 1. Entao (c, 0) = (c, 0)(1, 0) = (0, 0), donde

vem que c = 0. Logo, R1∼= Z2.

Se R2 nao e domınio de integridade, entao existe b ∈ D(R2)∗. Assim, (1, b) e divisor

de zero de R e, como (1, b)(1, 0) = (1, 0), temos que (1, b) nao e adjacente a (1, 0), uma

contradicao. Entao, R2 e um domınio de integridade e, portanto, R ≈ Z2 ×R2.

Observemos que no caso em que D(R) e um ideal, temos que D(R) e um ideal primo,

pela Proposicao 1.24.

Reciprocamente, se existir a ∈ R∗ tal que D(R) = Ann(a), entao ba = 0, para todo

b ∈ D(R), donde vem que a e adjacente a qualquer outro vertice. Se R ∼= Z2×A, com A um

domınio de integridade, o resultado segue do Lema 2.26. ut

Corolario 2.28. Seja R um anel finito. Existe um vertice de Γ(R) adjacente a qualquer

outro vertice se, e somente se, R ∼= Z2 ×K, onde K e um corpo finito, ou R e local. Neste

caso, para algum numero primo p e algum inteiro n ≥ 1, |Γ(R)| = |K| = pn, se R ∼= Z2×K;

se R e local, entao |Γ(R)| = pn − 1.

Demonstracao: Pela Proposicao 1.35, todo elemento de R e divisor de zero ou invertıvel.

Assim, se D(R) e um ideal, entao D(R) e o unico ideal maximal de R. Considerando isto

e o fato de que todo domınio de integridade finito e um corpo, a primeira afirmacao deste

corolario segue diretamente do Lema 2.26 e do Teorema 2.27.

39 -

2.4 Grafos completos e grafos estrela 40

Seja R ∼= Z2 × K, com K um corpo finito. Do Lema 2.26 vem que Γ(R) e um grafo

estrela e |Γ(R)| = |K| = pn, para algum primo p e algum inteiro n ≥ 1. Agora, se R e um

anel local finito, segue do item (ii) da Proposicao 1.37 que |Γ(R)| = |D(R)∗| = pn − 1, para

algum primo p e algum inteiro n ≥ 1. ut

Nem todo grafo divisor de zero que possui um vertice adjacente a qualquer outro vertice

e um grafo estrela, conforme podemos ver no exemplo a seguir.

Exemplo 2.29. Se R = Z16, entao Γ(R) possui o vertice 8 adjacente a todos os outros

vertices. No entanto, Γ(R) nao e um grafo estrela, pois 4, 12 ∈ E(Γ(R)).

Figura 2.17: Γ(Z16)

2.4 Grafos completos e grafos estrela

Nesta secao, estamos interessados em saber quais sao os grafos completos e quais sao os

grafos estrela que podem ser realizados como Γ(R) e o que podemos dizer sobre um anel que

possui como grafo divisor de zero algum desses dois tipos de grafos.

Comecemos com os grafos completos. O primeiro exemplo desta secao nos mostra que,

para qualquer primo p, existe um anel R tal que Γ(R) e um grafo isomorfo ao grafo completo

Kp−1.

Exemplo 2.30. Sejam p um numero primo e R = Zp2 . Podemos facilmente verificar que

(p) = Zp2 \ U(Zp2). Assim, pela Proposicao 1.2, R e um anel local com ideal maximal

(p). Sendo R finito, segue da Proposicao 1.36 que D(R) = (p). Notemos agora que dados

a, b ∈ D(R)∗ = (p)∗, temos a = pa1 e b = pb2, com a1, b2 ∈ Z. Assim, ab = (pa1)(pb2) = 0,

donde Γ(R) e um grafo completo, com |Γ(R)| = |(p)∗| = p− 1.

40 -


O proximo teorema nos diz quando que um grafo divisor de zero e completo. Exceto no

caso em que R ∼= Z2 × Z2, tal resultado nos mostra que Γ(R) e completo se, e somente se,

D(R)2 = 0.

Teorema 2.31. ([6]) Seja R um anel. Entao Γ(R) e um grafo completo se, e somente se,

R ∼= Z2 × Z2 ou xy = 0, para quaisquer x, y ∈ D(R).

Demonstracao: Suponhamos Γ(R) completo. Entao, dados x, y ∈ D(R), com x 6= y, temos

que xy = 0. Vamos supor que exista a ∈ D(R) tal que a2 6= 0. Neste caso, afirmamos

que a2 = a. De fato, se a2 6= a, entao a3 = a2a = 0, pois Γ(R) e completo. Desse

modo, a2(a + a2) = 0 e, como a2 6= 0, segue que a + a2 ∈ D(R). Se a + a2 = a, entao

a2 = 0, uma contradicao. Daı, a + a2 6= a. Do fato de Γ(R) ser completo obtemos que

a2 = a2 + a3 = a(a + a2) = 0, o que e um absurdo. Logo, a2 = a. Seguindo a mesma

argumentacao utilizada na demonstracao do Teorema 2.27, temos que R ∼= Z2×A com A um

domınio de integridade. Pelo Lema 2.26, sabemos que Γ(Z2 × A) e um grafo estrela. Como

Γ(R) e completo, devemos ter A = Z2.

Agora, se R ∼= Z2×Z2, segue do Exemplo 2.3 que Γ(R) e completo. Se xy = 0 para todos

x, y ∈ D(R), entao Γ(R) e completo, por definicao. ut

O proximo resultado caracteriza os aneis finitos que possuem como grafos divisores de

zero um grafo completo.

Teorema 2.32. ([6]) Seja R um anel finito. Se Γ(R) e um grafo completo, entao R ∼= Z2×Z2

ou R e local com char(R) = p ou p2 e |Γ(R)| = pn − 1, para algum primo p e algum inteiro

n ≥ 1.

Demonstracao: Sendo Γ(R) completo, o grafo Γ(R) possui um vertice adjacente a todos os

outros vertices. Como R e finito, segue do Corolario 2.28 que R ∼= Z2×K, com K um corpo

finito, ou R e local. Suponhamos que R ∼= Z2×K, com K um corpo finito. Pelo Lema 2.26,

temos que Γ(Z2 ×K) e um grafo estrela. Desse modo, para que tenhamos Γ(R) completo,

devemos ter K ∼= Z2.

Se R nao e isomorfo a Z2 ×K, com K um corpo finito, entao R e um anel local. Como

R e finito, D(R) e seu unico ideal maximal. Da Proposicao 1.37 vem que char(R) = pk,

41 -


para algum primo p e algum inteiro k ≥ 1. Suponhamos k ≥ 3. Entao dado a ∈ R∗, temos

pk1 = 0 e p21 6= 0. Como (p1)pk−11 = pk = 0, segue que p1 ∈ D(R)∗. Pelo Teorema 2.31

deverıamos ter xy = 0, para todos x, y ∈ D(R), mas (p1)(p1) = p21 6= 0, um absurdo. Logo,

char(R) = p ou p2. Alem disso, a Proposicao 1.37 nos garante que D(R) e um p-grupo e,

assim, |Γ(R)| = pn − 1 para algum primo p e algum inteiro n ≥ 1. ut

Exemplo 2.33. Seja K um corpo finito. Entao, o anel R = K[x](x2)

e local com ideal maximal

M = (x)(x2)

. De fato, M e claramente um ideal maximal de R. Agora, dados 1 = 1 + (x2) ∈ R

e m = bx+ (x2) ∈M , temos que 1 +m = (1 + bx) + (x2) e invertıvel em R, pois

[(1− bx) + (x2)][(1 + bx) + (x2)] = (1− bx)(1 + bx) + (x2) = 1 + (x2) = 1.

Segue do item (iii) da Proposicao 1.2 que R e um anel local com ideal maximal M . Pela

Proposicao 1.36, temos que M = D(R). Alem disso, para quaisquer m1,m2 ∈M , e claro que

m1m2 = 0. Logo, Γ(R) e um grafo completo com |Γ(R)| = |M∗| = |K| − 1 = pn − 1, para

algum primo p e algum inteiro n ≥ 1.

Do Teorema 2.32 e deste ultimo exemplo, podemos concluir que o grafo completo Km

pode ser realizado como Γ(R) se, e somente se, m = pn − 1, para algum primo p e algum

inteiro n ≥ 1.

A partir de agora, tentaremos determinar como sao os aneis finitos que possuem um grafo

estrela como seus grafos divisores de zero. Para isso, precisaremos dos seguintes lemas.

Lema 2.34. ([6]) Seja R um anel local com ideal maximal M 6= 0. Se existir um menor

inteiro positivo k tal que Mk = 0, entao D(R) = M = Ann(a), para qualquer a ∈ Mk−1

nao nulo.

Demonstracao: Notemos que D(R) ⊆ M . Por outro lado, se m ∈ M , entao mk = 0 e,

assim, m ∈ D(R). Logo, M = D(R). Seja a ∈ Mk−1. Uma vez que Mk = 0, am = 0,

para todo m ∈ M , donde M ⊆ Ann(a). Como M e maximal e Ann(a) 6= R, obtemos

D(R) = M = Ann(a). ut

42 -


Lema 2.35. ([6]) Seja R um anel finito. Se Γ(R) tem exatamente um vertice adjacente aos

demais vertices e nao tem outros vertices adjacentes, entao R ≈ Z2×K, onde K e um corpo

finito com |K| ≥ 3, ou entao R e local com ideal maximal M satisfazendo RM∼= Z2, M3 = 0

e |M2| ≤ 2. Desse modo, |Γ(R)| = pn ou |Γ(R)| = 2n−1, para algum primo p e algum inteiro

n ≥ 1.

Demonstracao: Suponhamos que R nao seja um anel local. Pelo Corolario 2.28, devemos

ter R ∼= Z2 ×K, com K um corpo finito. Se |K| = 2, entao K ∼= Z2 e daı Γ(R) ' K2. Mas,

neste caso, Γ(R) possui dois vertices distintos, um adjacente ao outro, o que contradiz o fato

de Γ(R) possuir um unico vertice adjacente aos demais. Logo, |K| ≥ 3. Assim, devemos ter

|Γ(R)| = |K| = pn, para algum primo p e algum inteiro n ≥ 1.

Se R nao e isomorfo a Z2 × K, entao R e um anel local (finito) com ideal maximal

M = D(R) (pelo Corolario 2.28 e pela Proposicao 1.36). Sendo R finito, R e Noetheriano.

Assim, segue da Proposicao 1.30 que D(R) = Ann(a), para algum a ∈ M∗. Seja k o menor

inteiro positivo tal que Mk = 0. Entao, pelo Lema 2.34, obtemos M = Ann(b), para todo

b ∈Mk−1 nao nulo. Como a e o unico vertice de Γ(R) e adjacente a todos os outros vertices,

segue que Mk−1 = 0, a e, entao, |Mk−1

Mk | = 2.

Notemos agora que, para cada i ∈ 2, 3, . . . , k, M i−1

M i e um espaco vetorial sobre RM

com

as operacoes de adicao e de multiplicacao por escalar dadas por:

(x+M i) + (y +M i) = (x+ y) +M i, x, y ∈M i−1 e

(r +M) · (x+M i) = rx+M i, r ∈ R, x ∈M i−1.

Logo, de |Mk−1

Mk | = 2 vem que RM∼= Z2.

Se k ≥ 4, entao |Mk−2

Mk−1 | = |Mk−2|2

e, assim, |Mk−2| = 2q, q ∈ N∗ e q > 1, uma vez que

Mk−1 = 0, a ⊆Mk−2. Desta forma, |Mk−2| ≥ 4. Daı, para b, c ∈Mk−2 \Mk−1, com b 6= c,

como M2k−4 = (Mk−2)2 = Mk−2Mk−2 ⊆ Mk−2, obtemos bc ∈ M2k−4 ⊆ Mk = 0, pois

2k − 4 ≥ k. Logo, bc = 0, um absurdo. Concluımos entao que M3 = 0 e, assim, |M2| ≤ 2.

Neste caso, como RM∼= Z2, devemos ter |M | = |R|

2. Mas, pela Proposicao 1.37, M e um p-

grupo e, desse modo, p = 2 e |M | = 2t, para algum t ∈ N. Portanto, |Γ(R)| = |M∗| = 2t−1. ut

43 -

2.5 Grafos divisores de zero r-partidos completos 44

O Lema 2.26 nos mostrou que se K e um corpo finito, entao Γ(Z2×K) e um grafo estrela

de ordem |K|. Veremos agora que, exceto para grafos estrelas de ordem pequena (como os

dados nos exemplos no inıcio do capıtulo), esta e a unica forma que um grafo estrela pode

ser realizado como Γ(R).

Teorema 2.36. ([6]) Seja R um anel finito com |Γ(R)| ≥ 4. Entao Γ(R) e um grafo estrela

se, e somente se, R ∼= Z2×K, onde K e um corpo finito. Em particular, se Γ(R) e um grafo

estrela, entao |Γ(R)| = pn para algum primo p e inteiro n ≥ 0. Reciprocamente, cada grafo

estrela de ordem pn pode ser realizado como Γ(R).

Demonstracao: Se R ∼= Z2 × K, com K um corpo finito, segue da Proposicao 2.26 que

Γ(R) e um grafo estrela, com |Γ(R)| = pn, para algum primo p e inteiro n ≥ 0.

Suponhamos que Γ(R) seja um grafo estrela. Se R nao e isomorfo a Z2 × K, entao

(pelo Corolario 2.28 e lema anterior) R e um anel local com ideal maximal M = D(R),

com RM∼= Z2. Da demonstracao do lema anterior obtemos que M = Ann(x), para algum

x ∈ M∗. Ainda, M e um 2-grupo e, assim, |M | = 2t, para algum t ∈ N. Mas, por hipotese,

|Γ(R)| = |M∗| ≥ 4, donde t ≥ 3, ou seja, |M | ≥ 8 . Alem disso, M2 = 0, x.

Podemos tomar entao a, b, c, d ∈M∗ \ x dois a dois distintos. Sabemos que ab, ac, ad ∈

M2 = 0, x. Como x e o unico vertice adjacente a todos os outros vertices e Γ(R) e um grafo

estrela, temos que Ann(a) \ a = 0, x e ab = ac = ad = x. Entao, a(b− c) = a(b−d) = 0,

ou seja, b−c, b−d ∈ Ann(a). Mas notemos que Ann(a) e um subgrupo aditivo de M . Assim,

|Ann(a)| = 2s, para algum inteiro s ≥ 1. Logo, a /∈ Ann(a), o que implica Ann(a) = 0, x.

Sendo b 6= c e b 6= d, devemos ter b− c = b−d = x, donde c = d, uma contradicao. Portanto,

R ∼= Z2 ×K. ut

2.5 Grafos divisores de zero r-partidos completos

O objetivo desta secao e estudar os grafos divisores de zero r-partidos completos, r ≥ 2.

Em um primeiro momento, estudaremos os grafos bipartidos completos, destacando alguns

grafos deste tipo que podem ser realizados como Γ(R). Na segunda parte do capıtulo, daremos

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atencao aos grafos divisores de zero r-partidos completos, com r ≥ 3. Determinaremos para

quais inteiros r ≥ 3, existe um anel R tal que Γ(R) e r-partido completo e exibiremos

algumas propriedades de um grafo divisor de zero com esta forma. Veremos ainda que

algumas informacoes acerca do anel podem ser obtidas quando o grafo divisor de zero deste

anel e um grafo r-partido completo, r ≥ 3.

Iniciamos esta secao com um resultado que generaliza o Lema 2.26 dado na secao 2.3.

Proposicao 2.37. ([6]) Sejam A e B domınios de integridade e R = A×B. Entao Γ(R) e

um grafo bipartido completo. No caso em que A e B sao finitos, temos que Γ(R) e finito e

|Γ(R)| = |A|+ |B| − 2.

Demonstracao: Sejam V1 = (a, 0) : a ∈ A∗ e V2 = (0, b) : b ∈ B∗. Entao, dados

x = (a, 0) ∈ V1 e y = (0, b) ∈ V2, temos que xy = (0, 0). Logo V1∪V2 ⊆ D(R)∗ e cada vertice

de V1 e adjacente a todo vertice de V2.

Consideremos agora x = (a1, b1) ∈ D(R)\(0, 0). Entao existe y = (a2, b2) ∈ R\(0, 0)

tal que xy = (0, 0), isto e, (a1, b1)(a2, b2) = (0, 0). Logo, a1a2 = 0 e b1b2 = 0. Como A e

um domınio de integridade, devemos ter a1 = 0 ou a2 = 0. Se a1 = 0, entao b1 6= 0 (pois

x 6= (0, 0)) e, assim, x = (0, b1) ∈ V2. Se a1 6= 0, entao a2 = 0. Neste caso, teremos b2 6= 0,

pois y 6= (0, 0). Como B tambem e um domınio de integridade e b1b2 = 0, temos que b1 = 0,

donde x = (a1, 0) ∈ V1. Logo, D(R)∗ ⊆ V1 ∪V2 e, assim, temos a igualdade D(R)∗ = V1 ∪V2.

Claramente, V1 ∪ V2 e uma uniao disjunta. Do fato de A e B serem domınios de integridade

segue que os vertices de V1 nao podem ser adjacentes entre si e nem os vertices V1 podem ser

adjacentes a vertices de V2. Portanto, Γ(R) e um grafo bipartido completo.

Se A e B forem finitos, entao Γ(R) finito e, fazendo uma contagem simples, temos

|Γ(R)| = |V (Γ(R))| = |V1|+ |V2| = |A| − 1 + |B| − 1 = |A|+ |B| − 2. ut

Se A = Z2 na proposicao anterior, entao V (Γ(R)) = (1, 0) ∪ V2 (uniao disjunta) com

V2 = (0, b) : b ∈ B∗. Assim, Γ(R) e um grafo estrela com |Γ(R)| = |Z2|+ |B| − 2 = |B|, o

que ja sabıamos pelo Lema 2.26.

Considerando que F4 = 0, 1, α, α + 1 e um corpo com quatro elementos, apresentamos

nas Figuras 2.18 e 2.19 dois grafos divisores de zero bipartidos completos.

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Figura 2.18: Γ(F4 × Z5) ' K3,4 Figura 2.19: Γ(Z3 × Z7) ' K2,6

No resultado a seguir, vemos mais uma condicao suficiente para que um anel tenha um

grafo divisor de zero bipartido completo.

Teorema 2.38. Seja R um anel. Se existem P1, P2 ∈ Spec(R) tais que P1∩P2 = 0, entao

R e reduzido e Γ(R) e bipartido completo.

Demonstracao: Suponhamos que existam P1, P2 ∈ Spec(R) tais que P1∩P2 = 0. Entao,

R e reduzido, pois Nil(R) =⋂P∈Spec(R) P ⊆ P1 ∩ P2 = 0.

Afirmamos que P1, P2 ∈ Ass(R). De fato, como R nao e domınio de integridade, temos

que P1 6= 0 e P2 6= 0. Desse modo, P1 ∩ P2 = 0 implica que existem elementos nao

nulos a ∈ P1 \ P2 e b ∈ P2 \ P1. Entao Ann(b) = P1. Com efeito, se x ∈ Ann(b), entao

xb = 0 ∈ P1 ∩ P2. Notemos que x 6= b, pois se tivessemos x = b, terıamos b2 = 0, o que

contradiz o fato de R ser reduzido. Como P1 e primo e b /∈ P1, seque que x ∈ P1. Por outro

lado, se z ∈ P1, entao zb ∈ P1 ∩ P2 = 0 e daı z ∈ Ann(b). Assim, temos a igualdade

Ann(b) = P1. Analogamente, mostra-se que Ann(a) = P2 e, assim, P1, P2 ∈ Ass(R).

Vamos mostrar agora que P1 ∪P2 = D(R). Como P1, P2 ∈ Ass(R), e imediata a inclusao

P1 ∪ P2 ⊆ D(R). Tomemos entao x ∈ D(R) e vamos supor, por absurdo, que x /∈ P1 ∪ P2.

Seja y ∈ R∗ tal que xy = 0. Entao xy ∈ P1 ∩P2. Como x /∈ P1, x /∈ P2 e P1 e P2 sao primos,

devemos ter y ∈ P1 ∩P2 = 0, o que e um absurdo, visto que y 6= 0. Logo, P1 ∪P2 = D(R).

Consideremos V1 = P1 \ 0 e V2 = P2 \ 0. Entao, Γ(R) e bipartido com a particao

V1 ∪ V2. De fato, suponhamos que existam t, w ∈ V1 tais que t, w ∈ E(Γ(R)). Entao,

tw = 0, donde tw ∈ P1∩P2. Como P2 e primo, devemos ter t ∈ P2 ou w ∈ P2. Supondo, sem

perda de generalidade, que t ∈ P2, obtemos que t ∈ P1 ∩P2 = 0, o que e uma contradicao,

pois t ∈ P1 \ 0. Assim, nao existe em Γ(R) uma aresta formada por dois elementos de

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V1. Analogamente, mostramos que nao existe uma aresta formada por dois elementos de V2.

Logo, Γ(R) e bipartido. Neste caso, se tomarmos a ∈ V1 e b ∈ V2, teremos ab ∈ P1∩P2 = 0,

donde obtemos que Γ(R) e um grafo bipartido completo. ut

Se R e um anel tal que Γ(R) e bipartido completo, nao podemos garantir que existem

P1, P2 ∈ Spec(R) tais que P1 ∩P2 = 0. Por exemplo, Γ(Z8) e bipartido completo (Γ(Z8) '

K1,2, pela Figura 2.7). Mas, Spec(Z8) = (2), pois Z8 e local com ideal maximal (2) e, em

um anel finito, todo ideal primo e maximal.

Notemos que Z8 nao e reduzido. No caso em R e reduzido, a recıproca do teorema anterior

e verdadeira. E o que nos diz o proximo resultado.

Teorema 2.39. ([15]) Seja R um anel reduzido. Se Γ(R) e bipartido, entao existem P1, P2 ∈

Spec(R) tais que P1 ∩ P2 = 0.

Demonstracao: Suponhamos que Γ(R) seja um grafo bipartido, com particao V1 ∪ V2.

Mostremos inicialmente que V1 ∪ 0 e um ideal de R. De fato, sejam x ∈ V1 ∪ 0 e r ∈ R.

Entao, existe t ∈ R∗ tal que xt = 0. Se rx = 0, entao e claro que rx ∈ V1 ∪ 0. Se rx 6= 0,

temos que rx ∈ V1, pois t ∈ V2, (rx)t = r(xt) = 0 e Γ(R) e bipartido.

Tomemos agora x, y ∈ V1 ∪ 0. Se x = 0, y = 0 ou x = y, entao e imediato que

x − y ∈ V1 ∪ 0. Suponhamos entao que x 6= 0, y 6= 0 e que x 6= y. Sendo Γ(R) bipartido

e conexo, existem t, s ∈ V2 (nao necessariamente distintos) tais que xt = 0 = ys. Assim,

xst − yst = (x − y)st = 0. Notemos que st 6= 0, pois R e reduzido. Daı, st ∈ V2, pois

y(st) = (ys)t = 0, y ∈ V1 e Γ(R) e bipartido. Desse modo, usando novamente o fato de que

Γ(R) e bipartido, temos que x− y ∈ V1. Assim, V1 ∪ 0 e um ideal.

Mostremos agora que V1 ∪0 e um ideal primo. Seja ab ∈ V1 ∪0. Entao, existe t ∈ V2

tal que abt = 0. Se bt = 0, entao b ∈ V1 ∪ 0. Se bt 6= 0, temos bt ∈ V2, donde a ∈ V1 ∪ 0.

Logo, V1 ∪ 0 e um ideal primo de R.

De modo analogo podemos mostrar que V2 ∪ 0 e um ideal primo de R. Assim, temos

V1 ∪ 0 e V2 ∪ 0 dois ideais primos distintos de R tais que P1 ∩ P2 = 0. ut

A partir de agora, estudaremos os grafos r-partidos completos, com r ≥ 3. Iniciamos este

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estudo mostrando que a Proposicao 2.37 nao pode ser generalizada para grafos r-partidos

completos, com r ≥ 3. Ou seja, se tivermos R1, . . . , Rr domınios de integridade, r ≥ 3 e

R ≈ R1 × . . .×Rr, entao Γ(R) nao pode ser um grafo r-partido completo.

Proposicao 2.40. Sejam R1, . . . , Rr domınios de integridade, com r ≥ 2. Consideremos o

anel R = R1 × . . .×Rr. Entao, Γ(R) e r-partido, mas nao pode ser r-partido completo.

Demonstracao: Dado x = (x1, . . . , xr) ∈ D(R)∗, devemos ter xi 6= 0, para algum i ∈

1, . . . , r. Consideremos V1 = x ∈ D(R)∗ : x1 6= 0. Para cada i ∈ 2, . . . , r, de-

finamos Vi = x ∈ D(R)∗ \ (⋃i−1j=1 Vi) : xi 6= 0. Temos que cada Vi 6= ∅, pois se

ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) tem 1 na i-esima coordenada de R, entao ei ∈ Vi. Claramente

vemos que D(R)∗ =⋃ri=1 Vi e uma uniao disjunta. Consideremos agora x = (x1, . . . , xr), y =

(y1, . . . , yr) ∈ D(R)∗ tais que xy = 0. Seja j ∈ 1, . . . , r o menor ındice tal que xj 6= 0.

Entao, x ∈ Vj e yj = 0, pois xjyj = 0 e Rj e um domınio de integridade. Disso resulta

que y /∈ Vj. Logo, dois vertices adjacentes de Γ(R) estao em partes distintas da particao de

D(R)∗. Assim, Γ(R) e r-partido.

Suponhamos que r ≥ 3 e consideremos x = (0, 1, 1, . . . , 1), y = (1, 0, 1, . . . , 1) ∈ D(R)∗.

Entao, xy 6= 0, pois ambos possuem a terceira coordenada igual a 1. Podemos notar que

Ann(x) ∩ Ann(y) = (0, . . . , 0). Assim, d(x, y) = 3, donde vem que diam(Γ(R)) = 3. Sa-

bemos que um grafo r-partido completo, r ≥ 2, tem diametro no maximo igual a 2. Logo,

Γ(R) nao pode ser r-partido completo se r ≥ 3. ut

Nesta dissertacao, ja vimos alguns exemplos de grafos divisores de zero r-partidos comple-

tos, r ≥ 3. Na secao anterior, mostramos que para qualquer primo p e qualquer inteiro n ≥ 1,

existe um anel R tal que Γ(R) e isomorfo ao grafo completo Kpn−1. Tais grafos divisores

de zero sao (pn − 1)-partidos completos, considerando que cada vertice de Γ(R) forma uma

parte da particao desse grafo. Porem, nao existem apenas grafos divisores de zero r-partidos

completos com esta forma. No proximo exemplo, apresentamos um grafo divisor de zero

r-partido, com r ≥ 3, que possui uma de suas partes contendo mais do que um elemento.

Exemplo 2.41. Sejam p um numero primo e n um inteiro positivo e consideremos Fpn um

corpo com pn elementos. Entao o anel R =Fpn [x,y]

(xy,y2−x)tem como grafo divisor de zero um

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grafo pn-partido completo. De fato, primeiramente, notemos que, como y2 = x, devemos

ter x2 = y2x = y(xy) = 0. Omitindo as barras, vemos que todo elemento de R e da forma

r = ax+ by + c, com a, b, c ∈ Fpn . Desse modo, temos que:

(i) Se c 6= 0, entao r ∈ U(R).

Com efeito, sendo d o inverso de c em R temos q = (b2d3 − ad2)x − bd2y + d 6= 0 e

rq = (ax+ by + c)([b2d3 − ad2]x− bd2y + d) = adx− b2d2y2 + bdy + cb2d3x− acd2x−

bcd2y + cd = adx− b2d2y + bdy + b2d2x− adx− bdy + cd = 1

(ii) Se c = 0, entao r ∈ D(R).

Basta notarmos que (ax+ by)x = ax2 + bxy = 0

Logo, D(R) = ax + by : a, b ∈ Fpn. Escrevendo Fpn = 1 = a1, a2, . . . , apn−1 , apn = 0,

vemos que as pn partes de Γ(R) sao V1 = x, V2 = a2x, V3 = a3x, . . . , Vpn−1 = apn−1x

e Vpn = ax+ by : b 6= 0.

Na Figura 2.20, temos o grafo divisor de zero do anel R = Z3[x,y](xy,y2−x)

, um grafo 3-partido

completo.

Figura 2.20: Γ( Z3[x,y](xy,y2−x)

)

Antes do proximo resultado, vamos fixar a seguinte notacao: se Γ(R) e um grafo r-partido

completo, denotaremos por V1, . . . , Vr as suas r partes (os r elementos da particao).

O proximo resultado descreve algumas propriedades de um grafo divisor de zero r-partido

completo, bem como algumas propriedades de um anel que possui como grafo divisor de zero

um grafo com esta forma.

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Teorema 2.42. ([1]) Seja R um anel. Se Γ(R) e um grafo r-partido completo, com r ≥ 3,

entao no maximo uma de suas partes possui mais do que um vertice. Ainda, se Vi contem

um unico vertice, digamos Vi = x, entao x2 = 0 e o ideal gerado por x e finito. Mais:

D(R) ∈Max(R) ∩ Ass(R), onde Max(R) denota o conjunto dos ideais maximais de R.

Demonstracao: Por absurdo, vamos supor que existam duas partes distintas de Γ(R),

digamos Vt e Vs, ambas contendo mais do que um vertice. Tomemos x ∈ Vt e y ∈ Vs. Sendo

r ≥ 3, existe Vl distinta de Vt e Vs. Dado z ∈ Vl, temos que Ann(z) ⊆ Ann(x) ∪ Ann(y).

De fato, se a ∈ Ann(z), entao a /∈ Vl (pois Γ(R) e r-partido). Logo, a ∈ Vk, para algum

k ∈ 1, . . . , r \ l. Se k 6= t e k 6= s, entao ax = ay = 0, donde a ∈ Ann(x) ∩ Ann(y). Se

k = t, entao a /∈ Vs e daı ay = 0, ou seja, a ∈ Ann(y). Se k = s, obtemos que a ∈ Ann(x).

Assim, Ann(z) ⊆ Ann(x) ∪ Ann(y).

Afirmamos ainda que, neste caso, Ann(z) ⊆ Ann(x) ou Ann(z) ⊆ Ann(y). De fato,

vamos supor que existe a ∈ Ann(z) tal que a /∈ Ann(y). Consideremos b ∈ Ann(z). Vamos

mostrar que b ∈ Ann(x). Com efeito, como a, b ∈ Ann(z), temos que a + b ∈ Ann(z) ⊆

Ann(x) ∪ Ann(y). Se a + b ∈ Ann(x), entao b = a + b − a ∈ Ann(x). Se a + b ∈ Ann(y),

entao b ∈ Ann(x), pois se b ∈ Ann(y), teremos a = a + b − a ∈ Ann(y), uma contradicao.

Logo, Ann(z) ⊆ Ann(x), donde vem que Ann(z) ⊆ Ann(x) ou Ann(z) ⊆ Ann(y).

Sem perda de generalidade, vamos supor que Ann(z) ⊆ Ann(x). Desse modo, conside-

rando w ∈ Vt \ x, temos que w ∈ Ann(z) ⊆ Ann(x), ou seja, wx = 0, o que contradiz o

fato de Γ(R) ser r-partido. Logo, no maximo uma parte de Γ(R) possui um unico vertice.

Para provarmos a segunda afirmacao, vamos assumir que Vi seja uma das partes de Γ(R)

que possuem um unico vertice, digamos Vi = x. Como Γ(R) e r-partido completo, temos

que D(R) \ x ⊆ Ann(x). Seja y ∈ Vj, para algum j ∈ 1, . . . , r \ i. Como r ≥ 3, existe

um vertice z adjacente aos vertices x e y. Entao, xz = yz = 0 e (x + y)z = 0. Claramente,

x 6= x + y. Assim, 0 = (x + y)x = x2 + xy, donde x2 = 0. Logo, x ∈ Ann(x). Como

consequencia, temos Ann(x) = D(R). Logo, pela Proposicao 1.24, D(R) e um ideal primo.

Sabemos que todo grafo r-partido admite uma r-coloracao propria (Proposicao 1.42).

Assim, temos aqui que χ(Γ(R)) e finito. Pelo Teorema 2.21, Γ(R) nao possui um clique

infinito. Como x2 = 0, temos que (ax)(bx) = abx2 = 0, para quaisquer ax, bx ∈ (x). Desse

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modo, se (x) fosse infinito, (x) seria um clique infinito de Γ(R), o que nao ocorre. Logo,

devemos ter que o ideal (x) e finito

Consideremos f : R −→ (x) o homomorfismo sobrejetor de R-modulos definido por

f(a) = ax. Claramente ker(f) = Ann(x) e, assim, RAnn(x)

∼= (x). Daı, visto que (x) e

finito, RAnn(x)

e finito. Sendo Ann(x) = D(R) um ideal primo, concluımos que RAnn(x)

e

um domınio finito e, portanto, um corpo. Logo, D(R) e um ideal maximal de R, donde

D(R) ∈Max(R) ∩ Ass(R). ut

Tendo em vista este ultimo teorema e o comentario feito no paragrafo que antecede o

Exemplo 2.41, vamos fixar a seguinte notacao: se Γ(R) e r-partido completo, com r ≥ 3,

entao as partes V1, V2, . . . , Vr−1 possuem um unico elemento, enquanto a parte Vr e a parte

que pode possuir mais do que um vertice.

O proximo resultado nos diz que se Γ(R) e um grafo r-partido completo infinito, entao r

e uma potencia de algum numero primo e o nilradical de R pode ser determinado a partir

de seu grafo divisor de zero.

Teorema 2.43. ([1]) Seja R um anel infinito tal que Γ(R) e r-partido completo, com r ≥ 3.

Entao Nil(R) =⋃r−1i=1 Vi ∪ 0 e um ideal primo, Ass(R) = Nil(R), D(R) e |Nil(R)| =

r = pt, para algum primo p e algum inteiro t. Mais: para todo x ∈ Vr, (x) ⊆ Vr ∪ 0.

Demonstracao: Da prova do Teorema 2.42, vimos que D(R) ∈ Ass(R), com D(R) =

Ann(x), para todo x ∈⋃r−1i=1 Vi.

Consideremos Q = [⋃r−1i=1 Vi] ∪ 0, que e um ideal da forma Q = Ann(z), para qualquer

z ∈ Vr. Afirmamos que Q ∈ Spec(R). De fato, suponhamos que Q nao e primo. Entao,

Ass(R) = D(R). De fato, tomemos Ann(a) ∈ Ass(R). Como Ann(a) e primo, temos

Ann(a) 6= R. Assim, a 6= 0 e, portanto, a ∈ D(R)∗. Se a ∈ Vi, para algum i ∈ 1, . . . , r− 1,

entao Ann(a) = D(R). Se a ∈ Vr, entao Ann(a) = Q, que nao e primo, uma contradicao.

Assim, Ass(R) = D(R).

Sabemos, pela Proposicao 1.42, que χ(Γ(R)) e finito. Pelo item (iv) do Teorema 2.24,

temos que Min(R) ⊆ Ass(R). Logo, Min(R) = D(R) e, assim, Nil(R) =⋂P∈Min(R) P =

D(R). Como χ(Γ(R)) e finito, temos Nil(R) finito e daı D(R) e finito, o que contradiz o

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fato de R ser infinito (Teorema 2.11). Logo, Q e um ideal primo de R.

Afirmamos agora que Ass(R) = Q,D(R). De fato, seja Ann(a) ∈ Ass(R) \ D(R).

Entao, Ann(a) ( D(R). Assim, existe z ∈ D(R) tal que z /∈ Ann(a), ou seja, az 6= 0.

Devemos ter entao que a, z ∈ Vr, donde Ann(a) = Q. Assim, Ass(R) = Q,D(R).

Ainda, temos que Q e o unico primo minimal de R, pois Min(R) ⊆ Ass(R). Desse modo,

segue da Proposicao 1.6 que Q = Nil(R).

Consideremos agora x ∈ V1. Sabemos f : R→ (x) dada por f(r) = rx e um epimorfismo

de R-modulos, com ker(f) = Ann(x) = D(R). Assim, RD(R)

∼= (x). Vimos na demonstracao

do Teorema 2.42 que (x) e finito. Assim, RD(R)

e um corpo finito. Logo, existem um primo p

e um inteiro k ≥ 1 tais que | RD(R)| = pk.

Observemos agora que, como D(R)Nil(R) = 0, Nil(R) e um RD(R)

-espaco vetorial. De

fato, consideremos o produto por escalar rx = rx. Tal operacao esta bem definida, pois se

r1 = r2, entao r1 − r2 ∈ D(R). Assim, como D(R)Nil(R) = 0, teremos (r1 − r2)x = 0,

para todo x ∈ Nil(R), donde r1x = r2x e o produto por escalar fica bem definido.

Como Nil(R) e um RD(R)

-espaco vetorial de dimensao finita (pois Nil(R) e finito), Nil(R)

e isomorfo a um produto direto de um numero finito de copias de RD(R)

. Como | RD(R)| = pk,

temos |Nil(R)| = pt, para algum inteiro positivo t.

Por fim, tomemos x ∈ Vr. Sabemos que, para qualquer y ∈ R, xy ∈ D(R). Desse

modo, se xy 6= 0, entao xy ∈ V (Γ(R)). Suponhamos que, para algum y ∈ R, tenhamos

xy ∈⋃r−1i=1 Vi = Nil(R)∗. Assim, (xy)m = 0, para algum inteiro m ≥ 2. Como Nil(R) e

um ideal primo e x /∈ Nil(R) (pois x ∈ Vr), temos que y ∈ Nil(R)∗. Mas, isto implica que

xy = 0, uma contradicao. Logo, para todo x ∈ Vr, devemos ter que (x) ⊆ Vr ∪ 0. ut

A partir de agora, nesta secao, estudaremos grafos divisores de zero r-partidos completos

finitos. O proximo resultado nos diz que aneis finitos que possuem grafos divisores de zero

com esta forma devem ser locais e apresenta ainda algumas propriedades desses grafos.

Teorema 2.44. ([1]) Seja R um anel finito tal que Γ(R) e um grafo r-partido completo, com

r ≥ 3. As seguintes afirmacoes sao verdadeiras:

(i) R e um anel local;

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(ii) Se |Vr| ≥ 2, entao existe um numero primo p e inteiros t ≥ 0 e k ≥ 0 tais que r = pt e

|R| = pk;

(iii) Se |Vr| ≥ 2, entao para todo z ∈ Vr, temos z2 6= 0 e z3 = 0;

(iv) Para todo x ∈ Vr e para todo y ∈ D(R), temos que xy /∈ Vr.

Demonstracao: (i) Sendo Γ(R) um grafo r-partido completo com r ≥ 3, R nao pode ser

isomorfo a um anel da forma Z2×F , com F um corpo, pois se isso ocorresse, terıamos Γ(R)

bipartido (pelo Teorema 2.37) e, neste caso, r = 2. Logo, pelo Corolario 2.28, R e local.

(ii) Pelo item (i) e pela Proposicao 1.37, existem um numero primo p e um inteiro k ≥ 0

tais que |R| = pk. Como |Vr| ≥ 2, podemos escolher vertices distintos x, y ∈ Vr. Sendo

Ann(x) ∩ Ann(y) =⋃r−1i=1 Vi ∪ 0 um ideal de R, devemos ter que |Ann(x) ∩ Ann(y)| =

|⋃r−1i=1 Vi ∪ 0| e uma potencia de p, digamos pt, para algum inteiro positivo t. Daı, r e

tambem uma potencia de p. De fato, se i 6= r, entao |Vi| = 1. Daı, |⋃r−1i=1 Vi| = r− 1. Assim,

pt = |⋃r−1i=1 Vi ∪ 0| = |

⋃r−1i=1 Vi|+ 1 = r − 1 + 1 = r, donde r = pt.

(iii) Sejam x, y ∈ Vr vertices distintos. Sabemos, pelo item anterior, que |R| = pk,

com p primo e k ≥ 0 inteiro, donde vem que todo ideal de R deve ser uma potencia de

p. Desse modo, |(Ann(x) ∩ Ann(y))| = ps, para algum inteiro s ≥ 0. Suponhamos que

exista z ∈ Vr tal que z2 = 0. Entao, Ann(z) = z ∪ (Ann(x) ∩ Ann(y)) e um ideal, mas

|Ann(z)| = |z| + |(Ann(x) ∩ Ann(y))| = 1 + ps, o que nos da uma contradicao. Logo,

z2 6= 0, para todo z ∈ Vr.

Mostremos que z3 = 0. Notemos que, sendo R um anel local finito, D(R) = Nil(R) (pelo

Teorema 1.36). Consideremos n o menor inteiro positivo tal que zn = 0. Por absurdo, vamos

supor que n ≥ 4. Entao, zn−1 /∈ Vr, pois zn = 0. Agora, como n ≥ 4 implica 2n− 4 ≥ n, nao

podemos ter zn−2 ∈ Vr, pois (zn−2)2 = z2n−4 = 0. Mas disso resulta que 0 = zzn−2 = zn−1, o

que contradiz a minimalidade de n. Portanto, z3 = 0.

(iv) Suponhamos que existam x, y ∈ Vr tais que xy ∈ Vr. Como y3 = 0 e y2 6= 0 (pelo

item anterior), temos que (xy)y = xy2 = 0, o que nos da uma contradicao com o fato de

Γ(R) ser r-partido. Agora, se x ∈ Vr e y ∈ D(R) \ Vr, entao e claro que xy = 0 /∈ Vr. ut

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Por este ultimo resultado, pelos Teoremas 2.43 e 2.32, pelo Exemplo 2.41 e pelo comentario

feito no paragrafo anterior a este mesmo exemplo, podemos afirmar que:

(i) existe um anel R tal que Γ(R) e um grafo divisor de zero r-partido completo, com

r ≥ 3 e todas as partes da particao de Γ(R) contendo um unico vertice se, e somente

se, r = pn − 1, para algum primo p e algum inteiro n ≥ 2;

(ii) existe um anel R tal que Γ(R) e um grafo divisor de zero r-partido completo, com r ≥ 3

e |Vr| ≥ 2 se, e somente se, r = pn, para algum primo p e algum inteiro n ≥ 1.

Terminamos esta secao com um resultado que nos diz quais sao os aneis finitos que

possuem um grafo p-partido completo como grafo divisor de zero quando p e um primo

ımpar. Para mostrarmos tal resultado, precisaremos do seguinte lema:

Lema 2.45. ([1]) Se R um anel finito. Suponha que Γ(R) e um grafo r-partido completo,

com r ≥ 3. Entao |D(R)| ≤ r2.

Demonstracao: Seja x ∈ Vr e tomemos a funcao f : D(R) −→ Ann(x) dada por f(a) = ax.

Pelo item (iv) do Teorema 2.44, f esta bem definida. Claramente vemos que f e um ho-

momorfismo de R-modulos. Se |Vr| = 1, entao |D(R)| = r + 1 ≤ r2. Se |Vr| ≥ 2, entao

|Ann(x)| = r. Como ker(f) = Ann(x), obtemos tambem |D(R)| ≤ r2. ut

Teorema 2.46. ([1]) Sejam R um anel finito e p 6= 2 um numero primo tal que Γ(R) e

p-partido completo. Entao |Γ(R)| = p2, |R| = p3 e R e isomorfo a um dos seguintes aneis:

Zp3, Zp

(xy,y2−x)ou

Zp2 [y]

(py,y2−ps) , para algum s ∈ 1, . . . , p− 1.

Demonstracao: Suponhamos |Vp| ≥ 2 e tomemos z ∈ Vp. Pelo Teorema 2.44, temos que

|Ann(z)| = p e, assim, |D(R)| = pt, para algum inteiro t ≥ 2. Pelo Lema 2.45, sabemos que

|D(R)| ≤ p2. Daı, p2 ≤ |D(R)| ≤ p2, donde |D(R)| = p2.

Consideremos agora a ∈ Ann(z), a 6= 0 e o epimorfismo de R-modulos f : R→ (a) dado

por f(r) = ra. Como a 6= 0 e a /∈ Vp (ja que az = 0 e z ∈ Vp), temos que a e uma parte da

p-particao de Γ(R), donde a2 = 0 e a e adjacente aos demais vertices, ou seja, f(r) = ar = 0,

para todo r ∈ D(R). Logo, ker(f) = D(R).

54 -


Ainda, como a ∈ Ann(z), temos que (a) ⊆ Ann(z). Desse modo, RD(R)

∼= (a) ⊆ Ann(z),

donde vem que |R||D(R)| ≤ |Ann(z)| = p. Temos entao |R|

|D(R)| = p e, assim, |R| = p3.

Agora, seja y0 ∈ Vp. Entao, y20 = x0 6= 0 e y3

0 = 0 (pelo Teorema 2.44). Com isso, obtemos

que x20 = (y2

0)2 = y0y30 = 0. Analisemos os seguintes casos:

Caso 1: Char(R) = p

Dado um inteiro k ≥ 0, denotemos por k · 1 o elemento de R obtido a partir da soma de

k termos todos iguais a identidade 1 do anel. Entao, S = 1R, 2 · 1, 3 · 1, . . . , p · 1 = 0 ⊆ R e

um subanel de R. Sabemos que S e isomorfo ao anel Zp. Daı, podemos escrever S = Zp

Seja A = ax0 + by0 : a, b ∈ Zp. Como x0(ax0 + by0) = 0, temos que A ⊆ D(R). Vamos

mostrar que os elementos de A sao dois a dois distintos. Tomemos ax0+by0, cx0+dy0 ∈ A tais

que ax0 +by0 = cx0 +dy0. Afirmamos que a = c e b = d. Com efeito, multiplicando por y0 em

ambos os lados da igualdade x0(c−a) = y0(b−d), obtemos 0 = y30(c−a) = y2

0(b−d) = x0(b−d),

donde vem que b − d = 0 e b = d (pois b − d ∈ Zp e x0 6= 0). Assim, (a − c)x0 = 0, donde

a = c. Logo, os elementos de A sao dois a dois distintos. Fazendo uma contagem simples,

temos que |A| = p2 e, como A ⊆ D(R), obtemos a igualdade A = D(R).

Consideremos agora B = a+ bx0 + cy0 : a, b, c ∈ Zp. Se a+ bx0 + cy0 = d+ ex0 + fy0,

entao a − d = x0(e − b) + y0(f − c). Multiplicando por x0 em ambos os lados desta ultima

equacao, temos x0(a−d) = x20(e−b)+x0y0(f−c) = y4

0(e−b)+y30(f−c) = 0, donde a−d = 0

e a = d. Logo, bx0 + cy0 = ex0 + fy0. Com o mesmo raciocınio empregado no paragrafo

anterior, obtemos b = e e c = f . Assim, R = B.

Podemos ver que os elementos de Zp[x,y]

(xy,y2−x)sao da forma ax+ by + c, com a, b, c ∈ Zp,

visto que x2 = y3 = y2 = y = xy. Mostremos agora que h : Zp[x,y]

(xy,y2−x)→ R dada por

h(ax+ by + c) = ax0 + by0 + c e um isomorfismo.

Omitindo as barras dos elementos de Zp[x,y]

(xy,y2−x), vamos mostrar primeiramente que h esta

bem definida. Se a+bx+cy = d+ex+fy, entao a−d+(b−e)x+(c−f)y ∈ (xy, y2−x). Logo,

existem polinomios α = α(x, y), β = β(x, y) ∈ Zp[x, y] tais que a− d+ (b− e)x+ (c− f)y =

αxy+βy2−βx, donde a−d+(b−e+β)x+(c−f)y−αxy−βy2 = 0. Disso resulta que a = d

e c = f . Escrevendo β = r+ s(x, y), com r o termo constante e s(x, y) os termos envolvendo

x ou y, temos que 0 = (b−e+β)x−αxy−βy2 = (b−e+r+s(x, y))x−αxy−(r+s(x, y))y2 =

55 -


(b− e + r)x + s(x, y)x− αxy − ry2 − s(x, y)y3, donde b− e + r = 0 e r = 0. Logo, b = e e,

portanto, h esta bem definida.

Claramente, h e um homomorfismo sobrejetor. Como os elementos de Zp[x,y]

(xy,y2−x)sao da

forma a+ bx+ cy, com a, b, c ∈ Zp, e |R| = p3, concluımos que R ∼= Zp[x,y]

(xy,y2−x).

Caso 2: Char(R) = p2.

Como p2 = 0, temos que p = p · 1 ∈ D(R) \ Vp. Assim, py0 = 0. Consideremos o

subanel de S = 1, 2 · 1, 3 · 1, . . . , p2 · 1 = 0 de R isomorfo a Zp2 . Escrevendo simplesmente

S = 1, 2, 3, . . . , p2 = 0, seja T = 0, 1, . . . , (p − 1) · 1 ⊆ S. Vemos que K = ap + by0 :

a, b ∈ T ⊆ D(R), pois p(ap+ by0) = 0. Utilizando o mesmo raciocınio do caso 1, temos que

os elementos de K sao dois a dois distintos. Assim, |K| = p2, donde K = D(R).

Como y20 6= 0 e y0y

20 = 0, temos que existem s, t ∈ T tais que y2

0 = sp + ty0, donde

0 = y0(y20−sp) = ty2

0. Como t ∈ T e py0 = 0, devemos ter t = 0. Assim, y20 = ps, para algum

s ∈ T = 1, 2, . . . , p.

Assim, como no Caso 1, podemos verificar que os elementos de D = a+ by0 : a ∈ S, b ∈

T sao dois a dois distintos, donde R = D. O homomorfismo f : Zp2 [y] → R dado por

f(γ(y)) = γ(y0) induz um homomorfismo h :Zp2 [y]

(py,y2−ps) → R dado por h(γ(y)) = γ(y0), pois

(py, y2 − ps) ⊆ Ker(f). Mostremos que h e injetora. Sejam a + by, c + dy ∈ Zp2 [y]

(py,y2−ps) tais

que h(a + by) = h(c + dy), ou seja, a + by0 = c + dy0. Entao existem α(y) =∑n

j=0 ajyj e

β(y) =∑m

k=0 bkyk polinomios de Zp2 [y] tais que (a−c)+(b−d)y = α(y)py+β(y)y2−β(y)ps =

a0py+ a1py2 + . . .+ anpy

n + b0y2 + b1y

3 + . . .+ bmym+2− b0ps− b1psy− . . .− bmpsym, donde

vem que 0 = a1p+b0−b2ps. Assim, o inteiro p divide b0, ou seja, b0 = pw, para algum w ∈ Z.

Como a− c = −b0ps = −p2ws, temos a− c = 0, ou seja, a = c. Agora, b− d = a0p− b1ps.

Como a2p + b1 − b3ps = 0, segue que p divide b1. Assim, sendo p2 = 0, temos b − d = a0p.

Logo, p divide b− d, donde b− d = 0. Logo, h e injetora e temos assim que R ∼=Zp2 [y]

(py,y2−ps) .

Caso 3: Char(R) = p3

Temos neste caso que R = 1, 2 · 1, 3 · 1, . . . , p3 · 1 = 0, que, por sua vez, e isomorfo ao

anel Zp3 . ut

56 -

2.6 Ciclos e cintura 57

2.6 Ciclos e cintura

Nesta secao, estudaremos os ciclos e a cintura de um grafo divisor de zero. Inicialmente,

determinaremos para quais inteiros n ≥ 3, o grafo Cn pode ser realizado como Γ(R). Na

sequencia, trataremos da questao da cintura de Γ(R). Apresentaremos um resultado que nos

garante que todo grafo divisor de zero que possui um ciclo nao pode ter cintura maior do que

4. Ao final da secao, veremos o que pode ser dito a respeito da cintura de Γ(R) a partir do

conjunto de primos associados do anel R.

Iniciamos esta secao com um resultado acerca dos ciclos de um grafo divisor de zero. Ja

vimos, nos exemplos 2.4 e 2.7, que Γ(R) pode ser um 3-ciclo ou um 4-ciclo. No entanto, Γ(R)

nao pode ser um n-ciclo se n ≥ 5. Tal fato esta provado na seguinte proposicao.

Proposicao 2.47. ([6]) Para todo n ≥ 5, Γ(R) nao pode ser um n-ciclo.

Demonstracao: Suponhamos que exista um anel R tal que D(R)∗ = a1, a2, · · · , an e

E(Γ(R)) = ai, ai+1 : 1 ≤ i ≤ n− 1 ∪ an, a1 com n ≥ 5. Dado i ∈ 1, . . . , n− 2, te-

mos que (ai+ai+2)ai+1 = aiai+1+ai+2ai+1 = 0, ou seja, ai+ai+2 ∈ D(R) = 0, a1, a2, . . . , an.

Mas, notemos que se ai+ai+2 = 0, entao 0 = (ai+ai+2)ai+3 = aiai+3+ai+2ai+3 = aiai+3, o que

nao ocorre. Tambem nao ocorrem os casos ai+ai+2 = ai e ai+ai+2 = ai+2, pois se tivessemos

tais igualdades, terıamos ai+2 = 0 e ai = 0, respectivamente. Ainda, se ai + ai+2 = aj, para

j ∈ 1, . . . , i − 1 ∪ i + 3, . . . , n, entao ai+1aj = ai+1(ai + ai+2) = ai+1ai + ai+1ai+2 = 0,

donde ai+1, aj ∈ E(Γ(R)), um absurdo. Desse modo, devemos ter ai+1 = ai + ai+2.

Analogamente, obtemos que ai+2 = ai+1 + ai+3. Assim, ai+1 = ai + ai+2 = ai + ai+1 + ai+3

e disso resulta que ai+ai+3 = 0. Logo, ai+1ai+3 = ai+1(−ai) = 0, o que e uma contradicao. ut

O proximo exemplo destaca que, para cada n ≥ 3, existe um grafo divisor de zero que

contem um n-ciclo.

Exemplo 2.48. Seja Rn = Z2[x1,··· ,xn]I

, onde I = (x21, · · · , x2

n, x1x2, x2x3, · · · , xnx1). Podemos

ver que Γ(Rn) tem um n-ciclo, a saber, x1 x2 · · ·xn x1, pois para todo 1 ≤ i ≤ n, (xi +

I)(xi+1 + I) = xixi+1 + I = 0 + I e (xn + I)(x1 + I) = xnx1 + I = 0 + I.

Muitos grafos divisores de zero nao possuem ciclos. Por exemplo, os grafos divisores de

57 -


zero que sao grafos estrela (dados no Lema 2.26). No entanto, o proximo resultado afirma

que, quando um grafo divisor de zero possui um ciclo, sua cintura e igual a 3 ou 4.

Teorema 2.49. ([15] e [21]) Seja R um anel tal que Γ(R) contem um ciclo. Entao gr(Γ(R)) ≤

4.

Demonstracao: Sabemos que diam(Γ(R)) ≤ 3 (pelo Teorema 2.9). Entao, segue da

Proposicao 1.40 que gr(Γ(R)) ≤ 2 · diam(Γ(R)) + 1 ≤ 7. Por absurdo, vamos supor que

n = g(Γ(R)) = 5, 6 ou 7. Tomemos v1v2 . . . vnv1 um ciclo de comprimento minimal em Γ(R).

Entao, v1v3 6= 0. De fato, se tivessemos v1v3 = 0, terıamos em Γ(R) o ciclo v1v3 . . . vnv1, que

tem comprimento menor que o comprimento do ciclo v1v2 . . . vnv1. Logo, v1v3 6= 0 e, assim,

v1v3 ∈ V (Γ(R)).

Se para todo i ∈ 1, . . . , n, tivessemos v1v3 6= vi, entao Γ(R) conteria um ciclo de

comprimento 4 v2v3v4(v1v3)v2, pois v2(v1v3) = v1(v2v3) = 0 e v4(v1v3) = v1(v4v3) = 0. Mas

isto nao ocorre. Desse modo, devemos ter v1v3 = vi, para algum i ∈ 1, . . . , n.

Vamos mostrar agora que v1v3 /∈ v2, v4, vn. De fato, se tivessemos v1v3 = v2, terıamos

v2v4 = v1v3v4 = 0 e v2v3v4v2 seria um ciclo de comprimento 3 < n de Γ(R), o que e um

absurdo. Assim, v1v3 6= v2. Se ocorresse a igualdade v1v3 = v4, Γ(R) conteria o 3-ciclo

v2(v1v3)v3v2, o que e uma contradicao. Por fim, vemos que se v1v3 = vn, terıamos em Γ(R)

o 3-ciclo v2(v1v3)v1v2, o que nao ocorre. Logo, v1v3 /∈ v2, v4, vn.

Assim, v1v3 e adjacente aos vertices v2, v4 e vn. Se ocorre v1v3 = v1, obtemos o 4-ciclo

(v1v3)v2v3v4(v1v3). Se v1v3 = v3, o 4 ciclo obtido e vnv1v2(v1v3)vn No caso em que v1v3 6= v1

e v1v3 6= v3, Γ(R) contem o 4-ciclo (v1v3)v2v3v4(v1v3). Obtemos um absurdo. Portanto,

devemos ter g(Γ(R)) ≤ 4. ut

Na sequencia desta secao, veremos que algumas informacoes acerca da cintura de Γ(R)

podem ser obtidas a partir de uma analise acerca da cardinalidade do conjunto dos primos

associados de um anel R. Vejamos inicialmente o que podemos dizer acerca da cintura de

um grafo divisor de zero de um anel que possui mais do que dois primos associados.

Proposicao 2.50. ([1]) Se |Ass(R)| ≥ 3, entao gr(Γ(R)) = 3.

58 -


Demonstracao: Sejam P1 = Ann(x1), P2 = Ann(x2) e P3 = Ann(x3) tres ideais primos

associados distintos. Pelo Lema 2.17, temos que x1x2 = x1x3 = x2x3 = 0. Daı, Γ(R) contem

o 3-ciclo x1x2x3x1 e, assim, gr(Γ(R)) = 3. ut

Veremos agora os casos em que um anel R possui exatamente dois primos associados.

Proposicao 2.51. ([1]) Suponhamos que R seja um anel tal que Ass(R) = P1, P2, com

|P1|, |P2| ≥ 3 e P1 ∩ P2 = 0. Entao gr(Γ(R)) = 4.

Demonstracao: Sejam x1, x2 ∈ R∗ tais que P1 = Ann(x1), P2 = Ann(x2). Pelo Lema

2.17, x1x2 = 0. Tomemos a ∈ P1 \ 0, x2 e b ∈ P2 \ 0, x1. Entao, ab ∈ P1 ∩ P2 = 0.

Assim, Γ(R) contem o 4-ciclo ax1x2ba. Pelo Teorema 2.38, Γ(R) e bipartido completo com

particao D(R)∗ = (P1 \ 0) ∪ (P2 \ 0). Desse modo, Γ(R) nao possui um 3-ciclo. Logo,

gr(Γ(R)) = 4. ut

Observacao 2.52. Seja P um ideal primo qualquer de R. Entao, qualquer aresta de Γ(R)

tem pelo menos um vertice em P . De fato, se x e y sao vertices adjacentes em Γ(R), entao

xy = 0 ∈ P , donde x ∈ P ou y ∈ P .

Desse modo, se |P | = 2, temos que R ∼= Z2×A, com A um domınio, ou D(R) e um ideal

(primo) anulador (pelo Teorema 2.27). Alem disso, se P ∈ Spec(R) e |P | = 2, devemos ter

gr(Γ(R) =∞.

Teorema 2.53. ([1]) Se R e um anel tal que Ass(R) = P1, P2 com P1 ∩ P2 6= 0 e

|P1 ∩ P2| ≥ 3, entao gr(Γ(R)) = 3.

Demonstracao: Sejam x1, x2 ∈ R∗ tais que P1 = Ann(x1) e P2 = Ann(x2). Suponhamos

|P1∩P2| ≥ 3. Se existir a ∈ (P1∩P2)\0, x1, x2, entao ax1 = ax2 = 0 e, assim, Γ(R) possui

o 3-ciclo ax1x2a, visto que x1x2 = 0 (Lema 2.18). Logo, gr(Γ(R)) = 3.

Vamos supor agora que nao existe a ∈ (P1 ∩ P2) \ 0, x1, x2. Desse modo, devemos ter

P1 ∩ P2 = 0, x1, x2. Como P1 ∩ P2 e um ideal, −x1 ∈ P1 ∩ P2. Assim, −x1 = x1 ou

−x1 = x2. Como P1 6= P2, nao podemos ter −x1 = x2. Daı, −x1 = x1 e, assim, 0, x1 e

subgrupo de P1∩P2 de ordem 2, o que e um absurdo, pois 2 nao divide |P1∩P2| = 3. Logo, se

59 -


|P1∩P2| ≥ 3, sempre existira a ∈ (P1∩P2)\0, x1, x2 e, desse modo, temos gr(Γ(R)) = 3. ut

Teorema 2.54. ([1]) Suponhamos que Ass(R) = P1, P2 com |P1∩P2| = 2 e P1 = Ann(x1)

e P2 = Ann(x2).

(i) Se existe a ∈ (P1 ∩ P2) \ 0, x1, x2, entao gr(Γ(R)) = 3;

(ii) Se P1 ∩ P2 = 0, x1 ou P1 ∩ P2 = 0, x2, temos os seguintes casos:

(a) Se |P1| = 2 ou |P2| = 2, entao gr(Γ(R)) =∞.

(b) Se |P1| > 2 e |P2| > 2, entao gr(Γ(R)) = 3.

Demonstracao: (i) Segue de modo analogo ao primeiro paragrafo da demonstracao do

teorema anterior.

(ii) Sem perda de generalidade, vamos supor aqui que P1 ∩ P2 = 0, x1. Desse modo,

x2 ∈ P1 (pois x1x2 = 0) e x2 /∈ P2.

Se |P1| = 2 ou |P2| = 2, da Observacao 2.52 segue que gr(Γ(R)) =∞. Suponhamos entao

que |P1| > 2 e |P2| > 2. Assim, existe x3 ∈ P2\P1. Logo, x1x3 6= 0, donde x1x3 = y ∈ D(R)∗.

Como P1 ∩ P2 e um ideal e x1 ∈ P1 ∩ P2, obtemos que x1x3 ∈ P1 ∩ P2, ou seja, y ∈ Ann(x1).

Temos entao o 3-ciclo x1x2yx1 e, assim, gr(Γ(R)) = 3. ut

O ultimo resultado desta secao trata da cintura de um anel finito.

Teorema 2.55. ([1]) Se R e um anel finito tal que |R| ≥ 10 e |Ass(R)| = 1, entao

gr(Γ(R)) = 3.

Demonstracao: Como |R| ≤ |D(R)|2 (Proposicao 1.38) e |R| ≥ 10, temos que |Γ(R)| ≥ 3.

Se |Γ(R)| = 3, pelos Exemplos 2.4 e 2.7 e pela Observacao 2.8, concluımos que R e isomorfo

a um dos seguintes aneis:

(i) Z6, Z8, Z2[x](x3)

, Z4[x](x2−2,2x)

(ii) F4[x](x2)

, Z4[x](x2+x+1)

, Z4[x](2,x)2

, Z2[x,y](x,y)2

60 -

2.7 Raio, centro e numero de dominacao 61

Os aneis dados em (i) tem K1,2 como grafo divisor de zero. Ja os aneis que aparecem em

(ii) tem K3 como grafo divisor de zero. Mas, notemos que os quatro aneis do item (i) nao

possuem mais do que 9 elementos (pelo Exemplo 2.7) e, assim, nao satisfazem a hipotese

|R| ≥ 10. Logo, R e isomorfo a um dos quatro dados em (ii) e, assim, gr(Γ(R)) = 3.

Vamos supor agora que |Γ(R)| ≥ 4. Tomemos P = Ann(x) ∈ Ass(R). Como R e No-

etheriano, da Observacao 1.33 segue que D(R) =⋃P∈Ass(R) P = Ann(x). Entao x e um

vertice adjacente aos demais vertices. Se existirem a, b ∈ V (Γ(R)) \ x tais que a 6= b

e ab = 0, entao Γ(R) possui um 3-ciclo xabx, donde gr(Γ(R)) = 3. Se Γ(R) e um grafo

estrela, entao R ≈ Z2 × F , com F um corpo finito (pelo Teorema 2.36). Mas, neste caso,

Ass(R) = 0 × F,Z2 × 0 = Ann((1, 0)), Ann((0, 1)). Logo, nao podemos ter Γ(R)

um grafo estrela. Portanto, gr(Γ(R)) = 3. ut

2.7 Raio, centro e numero de dominacao

Nesta secao, exibiremos alguns resultados obtidos por S. P. Redmond em [22] sobre raio,

centro e numero de dominacao de um grafo divisor de zero. Comecaremos apresentando

uma classificacao dos aneis Noetherianos a partir dos raios dos grafos divisores de zero desses

aneis. Em um segundo momento, restringiremos nosso estudo aos aneis Artinianos. Veremos

que o raio de Γ(R) pode ser relacionado com o diametro desse grafo e apresentaremos uma

propriedade de um vertice central de um grafo divisor de zero de um anel Artiniano local.

Ao final da secao, veremos que algumas informacoes acerca de R podem ser obtidas a partir

do numero de dominacao de Γ(R).

O primeiro resultado desta secao nos diz como sao os aneis Noetherianos que possuem

grafos divisores de zero com raio igual a 0 ou 1.

Proposicao 2.56. ([22]) Seja R um anel Noetheriano que nao e um domınio. Entao:

(i) rad(Γ(R)) = 0 se, e somente se, R ∼= Z4 ou R ∼= Z2[x](x2)

.

(ii) rad(Γ(R)) = 1 se, e somente se, D(R) e um ideal de R ou R ∼= Z2 × A, com A um

domınio de integridade.

61 -


(iii) Se R e finito, entao rad(Γ(R)) = 1 se, e somente se, R e local ou R ≈ Z2 ×K, para

algum corpo finito K.

Demonstracao: (i) Pela Observacao 2.8, Γ(R) possui um unico vertice se, e somente se,

R ≈ Z4 ou R ∼= Z2[x](x2)

. Vamos mostrar entao que rad(Γ(R)) = 0 se, e somente se, Γ(R) possui

um unico vertice. De fato, se rad(Γ(R)) ≥ 1, entao devem existir dois vertices distintos x e

y em Γ(R) tais que d(x, y) = rad(Γ(R)) e, assim, |Γ(R)| ≥ 1. Por outro lado, se Γ(R) possui

dois vertices distintos (ou mais), entao rad(Γ(R)) ≥ 1, pois Γ(R) e conexo.

(ii) Suponhamos que rad(Γ(R)) = 1. Entao existe um vertice de Γ(R) adjacente aos

demais vertices. Pelo Teorema 2.27 e pela Proposicao 1.30, isso acontece se, e somente se,

D(R) e um ideal (anulador) ou R ∼= Z2 × A, com A um domınio de integridade.

Reciprocamente, se R ∼= Z2 × A, para algum domınio de integridade A, entao (1, 0) e

um vertice adjacente aos demais vertices (pelo Lema 2.26). Daı, e((1, 0)) = 1 e, assim,

rad(Γ(R)) = 1. Suponhamos que D(R) e um ideal. Como R e Noetheriano, temos que D(R)

e um ideal anulador de R, ou seja, D(R) = Ann(a), para algum a ∈ R∗. Assim e(a) = 1,

donde rad(Γ(R)) = 1.

(iii) Segue diretamente do item (ii) acima e do corolario 2.28. ut

Dado um anel R, sabemos que rad(Γ(R)) ≤ diam(Γ(R)) ≤ 3. No caso em que R e

Noetheriano, o resultado dado a seguir nos garante que o raio de Γ(R) nunca e igual a 3.

Teorema 2.57. ([22]) Seja R um anel Noetheriano. Entao rad(Γ(R)) ≤ 2.

Demonstracao: Se D(R) e um ideal, da Proposicao 2.56 segue que rad(Γ(R)) = 1. Vamos

supor entao que D(R) nao e um ideal e analisar os seguintes casos:

Caso 1: R e um anel reduzido.

Como R e Noetheriano, da Proposicao 1.22 obtemos que Min(R) e finito, digamos

Min(R) = P1, . . . , Pn. Sendo R reduzido, a Proposicao 1.28 nos garante que D(R) =⋃ni=1 Pi e n ≥ 2. Pelo Lema 1.5, para cada j ∈ 1, . . . , n, podemos escolher

yj ∈ (n⋂

i=1i 6=j

Pi) \ Pj.

62 -


Dado x ∈ D(R)∗, temos que x ∈ Pm, para algum m ∈ 1, . . . , n. Seja

ym ∈ (n⋂

i=1i6=m

Pi) \ Pm.

Entao, xym ∈⋂ni=1 Pi = Nil(R) = 0. Logo, xym = 0 e d(x, ym) = 1.

Notemos que se j 6= m, entao ymyj ∈⋂ni=1 Pi = 0, donde ymyj = 0. Afirmamos

agora que xyj 6= 0, para algum j ∈ 1, . . . , n \ m. De fato, vamos supor que xyj = 0,

para todo j ∈ 1, . . . , n \ m. Entao xyj ∈ 0 =⋂ni=1 Pi, ou seja, xyj ∈ Pi, para todo

i ∈ 1, . . . , n\m. Assim, para todo j ∈ 1, . . . , n\m, temos que xyj ∈ Pj. Como Pj e

primo, obtemos que x ∈ Pj. Mas x ∈ Pm e disso resulta que x ∈⋂ni=1 Pi = 0, um absurdo.

Logo, xyj 6= 0, para algum j ∈ 1, . . . , n \ m.

Para este yj, temos que d(x, yj) = 1, se j = m. Se j 6= m, entao d(x, yj) = 2.

Caso 2: R e nao reduzido.

Neste caso, como R e Noetheriano, da Observacao 1.33 e da Proposicao 1.22 segue que⋃P∈Ass(R) P = D(R), com Ass(R) = P1, . . . , Pn finito. Assim, para cada i ∈ 1, . . . , n,

existe ai ∈ R∗ tal que Pi = Ann(ai). Como R e nao reduzido, existe v ∈ R∗ tal que

v ∈ Nil(R) =⋂ni=1 Pi =

⋂ni=1Ann(ai). Daı, vai = 0, para todo i ∈ 1, . . . , n. Agora, dado

x ∈ D(R), temos que x ∈ Pj = Ann(aj), para algum j ∈ 1, . . . , n. Desse modo, se xv = 0,

entao d(x, v) = 1. Se vx 6= 0, como xaj = 0 = ajv, temos que d(v, x) = 2

Em qualquer um dos casos, temos rad(Γ(R)) ≤ 2. ut

Com estes ultimos resultados, podemos classificar os aneis Noetherianos de acordo com o

raio do grafo divisor de zero desses aneis do seguinte modo:

(i) Rad(Γ(R)) = 0 se, e somente se, R ∼= Z4 ou R ∼= Z2[x](x2)

;

(ii) Rad(Γ(R)) = 1 se, e somente se, D(R) e um ideal de R ou R ∼= Z2 × A, com A um

domınio de integridade;

(iii) Rad(Γ(R)) = 2 se, e somente se, D(R) nao e um ideal e R nao e isomorfo ao anel Z4,

nem ao anel Z2[x](x2)

.

63 -


A partir de agora, trataremos apenas de aneis Artinianos. Devemos observar que quando

R e Artiniano, pelo Teorema 1.14, podemos escrever R de modo unico (a menos de isomor-

fismo) como um produto direto finito de aneis Artinianos locais, digamos R = R1× . . .×Rk.

Eventualmente, Ri pode ser um corpo, para algum i ∈ 1, 2, . . . , n. No restante da secao,

escreveremos a decomposicao Artiniana de R como R = R1 × . . .×Rn × F1 × . . .× Fm, com

R1, . . . , Rn aneis locais Artinianos que nao sao corpos e F1, . . . , Fm corpos.

O proximo resultado relaciona o raio e o diametro de um grafo divisor de zero de um anel

Artiniano. Antes de enunciarmos tal resultado, devemos observar que, a partir de agora,

escreveremos algumas vezes x ∈ G para indicar que x e um vertice do grafo G.

Teorema 2.58. [22] Seja R um anel Artiniano. As seguintes afirmacoes sao verdadeiras:

(i) rad(Γ(R)) = 0 se, e somente se, diam(Γ(R)) = 0 se, e somente se, R ∼= Z4 ou

R ∼= Z2[x](x2)

;

(ii) Se rad(Γ(R)) = 1, entao diam(Γ(R)) = 1 se, e somente se, Γ(R) e completo. Caso

contrario, diam(Γ(R) = 2;

(iii) Se rad(Γ(R)) = 2, entao diam(Γ(R)) = 2 se, e somente se, R ∼= F1 × F2, com F1 e

F2 corpos ambos nao isomorfos a Z2. Caso contrario, diam(Γ(R)) = 3.

Demonstracao:

(i) Segue da demonstracao do item (i) da Proposicao 2.56.

(ii) Se rad(Γ(R)) = 1, entao existe um vertice adjacente aos demais. Assim, diam(Γ(R)) ≤

2 e Γ(R) nao e um grafo nulo. Neste caso, diam(Γ(R)) = 1 se, e somente se, Γ(R) e completo.

(iii) Assumindo que rad(Γ(R)) = 2, temos que diam(Γ(R)) = 2 ou 3. Suponhamos

R ∼= F1×F2, com F1 e F2 corpos ambos nao isomorfos a Z2. Entao |F1| ≥ 3 e |F2| ≥ 3. Desse

modo, Γ(F1 × F2) e bipartido completo e nao e um grafo estrela. Entao diam(Γ(R)) = 2.

Reciprocamente, suponhamos R nao isomorfo a F1×F2, com F1 e F2 corpos nao isomorfos

a Z2. Pelo Lema 1.44, devemos exibir x ∈ Γ(R) tal que x /∈ Cen(Γ(R)) e, com isso, teremos

diam(Γ(R)) = 3.

Seja R = R1 × . . . × Rn × F1 × . . . × Fm a decomposicao Artiniana de R. Se n = 0 e

m = 2, entao so podemos ter F1∼= Z2 ou F2

∼= Z2. Neste caso, Γ(R) e um grafo estrela e

64 -


rad(Γ(R)) = 1, o que nao ocorre. Logo, nao temos o caso n = 0 e m = 2. Analisemos entao

os casos possıveis.

Caso 1: n = 0 e m ≥ 3

Seja x = (0, 1, . . . , 1) ∈ D(R)∗. Entao x /∈ Cen(Γ(R)). De fato, y = (1, 0, 1, . . . , 1) ∈ Γ(R)

e tal que xy 6= 0 e Ann(x) ∩ Ann(y) = (0, . . . , 0) e, assim, d(x, y) = 3.

Caso 2: m = 0 e n ≥ 2

Para cada i ∈ 1, . . . , n, tomemos ti ∈ M∗i , onde Mi e o unico ideal maximal de Ri.

Seja x = (1, t2, . . . , tn) ∈ Γ(R). Entao, y = (0, 1, . . . , 1) ∈ Γ(R) satisfaz xy 6= 0 e Ann(x) ∩

Ann(y) = (0, . . . , 0). Daı d(x, y) = 3.

Caso 3: m ≥ 1 e n ≥ 1

Seja x1 ∈M∗1 . Consideremos x = (x1, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Γ(R) com 1 na (n+ 1)-esima

coordenada. Tomando z = (1, . . . , 1, 0, 1, . . . , 1) com 0 na (n+ 1)-esima coordenada, teremos

xz 6= 0 e Ann(x) ∩ Ann(z) = (0, . . . , 0), donde d(x, y) = 3.

Em qualquer um dos tres casos, temos x /∈ Cen(Γ(R)) e o resultado esta provado. ut

Exemplo 2.59. Seja R = Z×Z. Pela Proposicao 2.37, Γ(R) e um grafo bipartido completo.

Vemos que rad(Γ(R)) = 2, diam(Γ(R)) = 2 e que R nao e isomorfo a um produto direto de

dois corpos. Pelo item (iii) do Teorema 2.58, R nao e Artiniano.

O proximo resultado apresenta uma propriedade de um vertice central de Γ(R) no caso

em que R e um anel Artiniano local.

Lema 2.60. Se R e um anel Artiniano local que nao e um domınio e x ∈ Cen(Γ(R)), entao

x2 = 0

Demonstracao: Como R e local, temos que rad(Γ(R)) = 1 (Proposicao 2.56). Suponhamos

que exista x ∈ Cen(Γ(R)) tal que x2 6= 0. Entao e(x) = 1, ou seja, x e adjacente a qualquer

outro vertice de Γ(R). Pelo Lema 1.8, sabemos que R nao possui elementos idempotentes

distintos de 0 e 1. Assim, x 6= x2. Entao x2 e um vertice de Γ(R) que e distinto do vertice

x. Entao, devemos ter x3 = xx2 = 0.

65 -


Notemos agora que nao podemos ter x + x2 = 0, pois se isso ocorresse, terıamos x2 =

(−x2)2 = x4 = 0. Tambem nao podemos ter x+ x2 = x. Assim, x+ x2 e um vertice de Γ(R)

distinto do vertice x. Temos assim 0 = x(x + x2) = x2 + x3 = x2, o que e uma contradicao.

ut

Se R e um anel Artiniano e nao e local, nao podemos afirmar que x2 = 0, para todo x ∈

Cen(Γ(R)). Por exemplo, consideremos o anel R = Z2×Z2×Z2. Vemos que V (Cen(Γ(R))) =

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Mas, R e reduzido e, daı, x2 6= 0, para todo x ∈ Cen(Γ(R)). O

grafo divisor de zero de Z2 × Z2 × Z2 pode ser visto na Figura 2.21. Os vertices centrais de

Γ(Z2 × Z2 × Z2) estao destacados com uma cor mais clara.

Consideremos agora o anel S = Z4 × Z4. Entao V (Cen(Γ(S))) = (2, 0), (0, 2), (2, 2).

Podemos ver que S e Artiniano e, para todo x ∈ Cen(Γ(S)), x2 = 0. No entanto, S nao e

local. De fato, se S fosse local, seu ideal maximal seria D(S), pela Proposicao 1.34. Porem

D(S) nao e um ideal de S, pois (1, 0), (0, 1) ∈ D(S), mas (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) /∈ D(S).

Assim, S nao e local. O grafo divisor de zero de S esta representado na Figura 2.22.

Figura 2.21: Γ(Z2 × Z2 × Z2) Figura 2.22: Γ(Z4 × Z4) Figura 2.23: Γ(Z2 × Z4)

Passamos agora ao estudo dos conjuntos dominantes de Γ(R). Inicialmente, destacamos

algumas possıveis relacoes entre o conjunto dominante minimal de um grafo divisor de zero

com os vertices centrais desse grafo.

Exemplo 2.61. Seja R = Z2×Z2×Z2. Entao V (Cen(Γ(R))) = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

e um conjunto dominante minimal Γ(R). No entanto, Γ(R) e dominado tambem por S =

(0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1) e vemos que V (Cen(Γ(R))) ∩ S = ∅. Ainda, Γ(Z2 × Z4) (Fi-

gura 2.23) possui como conjuntos dominantes minimais os conjuntos V (Cen(Γ(Z2 ×Z4))) =

66 -


(1, 0), (0, 2) e B = (1, 0), (1, 2).

O proximo resultado mostra que, em um anel Artiniano R com rad(Γ(R)) = 2, o numero

de dominacao de Γ(R) e igual ao numero de fatores da decomposicao Artiniana de R.

Teorema 2.62. [22] Seja R um anel Artiniano que nao e um domınio. Se rad(Γ(R)) ≤ 1,

entao γ(Γ(R)) = 1. Se rad(Γ(R)) = 2, entao γ(Γ(R)) e igual ao numero de fatores da

decomposicao Artiniana de R.

Demonstracao: Se rad(Γ(R)) = 0, o resultado e verdadeiro por vacuidade. Se rad(Γ(R)) =

1, entao, para qualquer x ∈ Cen(Γ(R)), o conjunto x domina Γ(R), donde γ(Γ(R)) = 1.

Suponhamos entao que rad(Γ(R)) = 2. Seja R = R1 × . . . × Rn × F1 × . . . × Fm a

decomposicao Artiniana de R. Para cada i ∈ 1, . . . n, fixemos xi ∈ Cen(Γ(Ri)) e consi-

deremos yi = (0, . . . , 0, xi, 0, . . . , 0) ∈ Γ(R), com xi na i-esima coordenada de yi. Para cada

j ∈ 1, . . . m, tomemos os elementos zj = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Γ(R), com 1 na (n + j)-

esima coordenada de zj. Temos que o conjunto S = y1, . . . , yn, z1, . . . , zm domina Γ(R). De

fato, seja w = (a1 . . . , an, b1 . . . , bm) ∈ Γ(R). Se para todo j ∈ 1, . . . ,m, tivermos bj 6= 0,

entao teremos ak ∈ D(Rk)∗, para algum k ∈ 1, . . . , n. Como Rk e local e xk ∈ Cen(Γ(Rk)),

temos que e(xk) = 1, donde xkak = 0. Logo, ykw = 0. Se para algum j ∈ 1, . . . ,m, tiver-

mos bj = 0, entao zjw = 0. Assim, qualquer vertice de Γ(R) pertence ao conjunto S ou e

adjacente a algum vertice de S, ou seja, S domina Γ(R).

Consideremos agora B um conjunto dominante de Γ(R). Observamos que |B| ≥ 2, pois

Γ(R) nao contem um vertice adjacente aos demais vertices. Para cada k ∈ 1, . . . , n + m,

seja tk = (1, . . . , 1, 0, 1, . . . , 1) ∈ Γ(R), com 0 na k-esima coordenada. Se tk ∈ B, para todo

k ∈ 1, . . . , n + m, entao |B| ≥ n + m. Vamos supor que exista k ∈ 1, . . . , n + m tal

que tk /∈ B. Denotemos por P = tk : tk ∈ B e N = tk : tk /∈ B. Entao P ∩ N = ∅

e |P | + |N | = n + m. Para cada tk ∈ N , existe sk = (0, . . . , 0, ck, 0, . . . , 0) ∈ B, com ck na

k-esima coordenada tal que ck ∈ R∗k se k ∈ 1, . . . , n, ou ck ∈ F ∗k se k ∈ n+ 1, . . . , n+m.

Notemos que sk /∈ P e se k 6= q, entao sk 6= sq. Logo, para que B domine o conjunto Γ(R), e

preciso que B contenha no mınimo n+m elementos.

Como S domina Γ(R) e |S| = n + m, temos que γ(Γ(R)) = n + m, que e o numero de

fatores da decomposicao Artiniana de R. ut

67 -


Notemos agora que se rad(Γ(R)) = 1, pode nao ser verdade que γ(Γ(R)) igual ao numero

de fatores da decomposicao Artiniana de R. De fato, se F e um corpo finito, temos que

R = Z2 × F e um anel com dois ideais maximais. Sabemos, pela demonstracao do Teorema

de Estrutura dos Aneis Artinianos (Teorema 1.14) que o numero de fatores da decomposicao

Artiniana de um anel R e igual ao numero de ideais maximais desse anel. Mas, neste caso,

Γ(R) e um grafo estrela e, portanto, seu numero de dominacao deve ser igual a 1.

No caso em que R e finito, o proximo resultado nos da uma relacao entre o numero de

dominacao de Γ(R) e o numero de ideais maximais de R.

Corolario 2.63. [22] Seja R um anel finito e seja m o numero de dominacao de Γ(R). Se

Γ(R) nao e um grafo estrela, entao R tem m ideais maximais distintos. Se Γ(R) e um grafo

estrela, entao R tem dois ideais maximais distintos ou entao R e isomorfo a um dos seguintes

aneis: Z9, Z3[x](x2)

, Z8, Z2[x](x3)

ou Z4[x](2x,x2−2)

.

Em outras palavras, se Γ(R) e um grafo estrela, temos que:

(i) Se R e local, entao R tem m ideais maximais;

(ii) Se R e reduzido, entao R tem m+ 1 ideais maximais.

Demonstracao: Se Γ(R) nao e um grafo estrela e rad(Γ(R)) = 0 ou 1, entao R e local

e, portanto, m = 1. Se Γ(R) nao e um grafo estrela e rad(Γ(R)) = 2, entao m e igual ao

numero de fatores da decomposicao Artiniana de R (pelo teorema anterior). Neste caso, R

possui m ideais maximais distintos.

Se Γ(R) e um grafo estrela e |Γ(R)| ≥ 4, entao pelo Teorema 2.36, temos que R ∼= Z2×F ,

com F um corpo finito. Neste caso, conforme destacamos no paragrafo anterior a este co-

rolario, R possui dois ideais maximais e numero de dominacao igual a 1. Os cinco aneis

listados no enunciado do teorema sao os unicos aneis locais tais que |Γ(R)| < 4 e tais que

Γ(R) ' K1,1 ou Γ(R) ' K1,2, conforme destacamos nos Exemplos 2.3 e 2.4 e na Observacao

2.8. ut

68 -

2.8 Sobre a Planaridade de Γ(R) 69

2.8 Sobre a Planaridade de Γ(R)

Apresentaremos neste capıtulo um estudo acerca da planaridade de Γ(R) realizado por

S. Akbari, H.R. Maiamani e S. Yassemi em [1]. O objetivo aqui e determinar quando que o

grafo divisor de zero de um anel finito e planar.

Dado R um anel finito, sabemos que R e Artiniano e que, desse modo, podemos escrever

R = R1 × . . . × Rn, com Ri um anel local finito, para todo i ∈ 1, . . . , n. Pelo Teorema

1.14, o numero fatores de uma decomposicao Artiniana de R nao depende da decomposicao

escolhida. A planaridade de Γ(R) e analisada aqui a partir do numero de fatores de uma

decomposicao Artiniana de R. Vejamos os seguintes casos:

CASO 1: n ≥ 4.

Neste caso, Γ(R) nao e planar. De fato, temos que os vertices do conjunto (R1 × R2 ×

0 . . .× 0)∗ sao adjacentes aos vertices do conjunto (0 × 0 ×R3 × . . .×Rn)∗. Como

|(R1 × R2 × 0 . . . × 0)∗| ≥ 3 e |(0 × 0 × R3 × . . . × Rn)∗| ≥ 3, temos que K3,3 e

isomorfo a um subgrafo de Γ(R). Pelo Teorema 1.52, Γ(R) nao e planar.

CASO 2: n = 3

Suponhamos inicialmente que |Ri| ≥ 4, para algum i = 1, 2, 3. Digamos que |R1| ≥ 4.

Entao, |R1 × 0 × 0| ≥ 4. Como |0 × R2 × R3| ≥ 4, obtemos que K3,3 e isomorfo

a um subgrafo de Γ(R), pois os vertices de R∗1 × 0 × 0 sao adjacentes aos vertices de

(0 ×R∗2 ×R3) ∪ (0 ×R2 ×R∗3). Segue do Teorema 1.52 que Γ(R) nao e planar.

Vamos supor agora que |Ri| ≤ 3, para todo i = 1, 2, 3. Entao, R ≈ Z2 ou R ≈ Z3.

Temos, assim, a menos de isomorfismo, quatro possıveis grafos. Dentre estes, Z2 × Z2 × Z2

e Z2 × Z2 × Z3 sao planares, conforme podemos observar nas Figuras 2.21 e 2.24.

Nas Figuras 2.25 e 2.26, exibimos, respectivamente, um subgrafo de Γ(Z2 × Z3 × Z3) e

um subgrafo de Γ(Z3 × Z3 × Z3). Notemos que ambos os subgrafos sao isomorfos ao grafo

H dado no Exemplo 1.53. Neste mesmo exemplo, mostramos que H nao e planar. Portanto,

69 -


Figura 2.24: Γ(Z2 × Z2 × Z3)

por terem como subgrafo um grafo nao planar, temos que Γ(Z2×Z3×Z3) e Γ(Z3×Z3×Z3)

nao sao planares.

Figura 2.25: Subgrafo de Γ(Z2 × Z3 × Z3) Figura 2.26: Subgrafo de Γ(Z3 × Z3 × Z3)

CASO 3: n = 2

Se |R1|, |R2| ≥ 4, escolhemos elementos dois a dois distintos a, b, c ∈ R∗1 e elementos

tambem dois a dois distintos x, y, z ∈ R∗2. Neste caso, o subgrafo H de Γ(R) induzido pelos

vertices (0, a), (0, b), (0, c), (x, 0), (y, 0) e (z, 0) possui subgrafo isomorfo a K3,3, donde segue

que Γ(R) nao e planar.

Suponhamos entao que |R1| ≤ 3 ou |R2| ≤ 3. Sem perda de generalidade, podemos supor

que |R1| ≤ 3. Vamos analisar algumas possibilidades.

(1) Se R1∼= Z2.

70 -


Temos que se D|(R2)| ≥ 5, entao Γ(R) nao e planar. De fato, como R2 e local, pelo

Corolario 2.28, Γ(R2) possui um vertice x adjacente aos demais vertices de Γ(R2). Escolhendo

a, b, c ∈ D(R2) \ 0, x dois a dois distintos, teremos que o subgrafo de Γ(R) induzido pelos

vertices (0, a), (0, b), (0, c), (0, x), (1, 0) e (1, x) possui K3,3 como subgrafo. Assim, Γ(R) nao

e planar.

Suponhamos que |D(R2)| = 4, digamos D(R2) = 0, a, b, c. Neste caso, podemos ter

Γ(R2) ' K3 ou Γ(R2) ' K1,2. Se Γ(R2) ' K3, entao Cen(Γ(R2)) = a, b, c, donde ab =

ac = bc = 0. Como R2 e Artiniano local, pelo Lema 2.60, temos a2 = b2 = c2 = 0. Podemos

ver entao que os vertices do conjunto (0, a), (0, b), (0, c) sao adjacentes aos vertices do

conjunto (1, a), (1, b), (1, c). Logo, Γ(R) possui um subgrafo isomorfo a K3,3, donde vem

que Γ(R) nao e planar.

Suponhamos Γ(R2) ' K1,2. Neste caso, Γ(R) e planar. Com efeito, pelo Exemplo 2.4

e pela Observacao 2.8, temos que R2 e isomorfo a um dos seguintes aneis: Z6, Z2[x](x3)

, Z8,

Z4[x](x2−2,2x)

. Pelas Figuras 2.27, 2.28, 2.29 e 2.30, temos que Γ(Z2 ×R2) e planar.

Figura 2.27: Γ(Z2 × Z6) Figura 2.28: Γ(Z2 × Z2[x](x3)

)

Se |D(R2)| = 3, entao, pelo Exemplo 2.3 e pela Observacao 2.8, R2 e isomorfo a um dos

seguintes aneis: Z2×Z2, Z9 ou Z3[x](x2)

. Destes, apenas Z2×Z2 nao e local. Exibimos os grafos

planares Γ(Z2 × Z9) e Γ(Z2 × Z3[x](x2)

) nas Figuras 2.31 e 2.32, respectivamente.

Se |D(R2)| = 2, entao R2∼= Z4 ou R2

∼= Z2[x](x2)

(pela Observacao 2.8) e, neste caso, Γ(R)

tambem e planar, conforme podemos ver nas Figuras 2.23 e 2.33. Se |D(R2)| = 0, entao,

71 -


Figura 2.29: Γ(Z2 × Z8) Figura 2.30: Γ(Z2 × Z4[x]

(x2−2,2x)

)


(x2)

)R2 e domınio e daı Γ(R) e um grafo estrela (pelo Lema 2.26), que claramente e planar.

Figura 2.33: Γ(Z2 × Z2[x]

(x2)

)

(2) R1∼= Z3.

Suponhamos que D|(R2)| ≥ 4. Como R2 e local finito, pelo Corolario 2.28 e pelo Lema

2.60, existe x ∈ D(R2)∗ adjacente aos demais vertices e tal que x2 = 0. Escolhendo a, b ∈

D(R2)\0, x distintos, temos que os vertices do conjunto (1, x), (2, x), (1, 0) sao adjacentes

aos vertices do conjunto (0, x), (0, a), (0, b). Logo, Γ(R) contem um subgrafo isomorfo a

72 -


K3,3. Pelo Teorema 1.52, Γ(R) nao e planar.

Se |D(R2)| = 3, sabemos que R2∼= Z9 ou R2

∼= Z3[x](x2)

. As Figuras 2.34 e 2.35 mostram

que, neste caso, Γ(R) e planar.


(x2)

)Se |D(R2| = 2, entao R2 ≈ Z4 ou R2 ≈ Z2[x]

(x2). Considerando as Figuras 2.36 e 2.37, vemos

que Γ(R) e planar.


(x2)

)Se |D(R2)| = 0, entao R2 e um domınio de integridade finito e, portanto, um corpo

finito. Neste caso, denotando P = (1, 0), (2, 0) e Q = (0, α) ∈ R : α ∈ U(R2), temos

73 -


que Γ(R) e um grafo bipartido completo com particao V (Γ(R)) = P ∪ Q e Γ(R) ' K2,n−1,

com n = |R|. Logo, Γ(R) e planar.

CASO 4: n=1

Neste caso, R e um anel local. Estudaremos agora esse caso. Para demonstrarmos os

resultados que enunciaremos a seguir, faremos uso de alguns fatos expostos na Proposicao

1.37. Destacamos tais fatos na proxima observacao.

Observacao 2.64. Se (R,M) e um anel local finito, entao existe um numero primo p e

inteiros nao negativos t, l, k tais que char(R) = pt, |M | = pl, |R| = pk e char( RM

) = p.

Teorema 2.65. Seja (R,M) um anel local finito, com M 6= 0 e | RM| ≥ 4. Se |M | ≥ 7 ou

|R| ≥ 26, entao Γ(R) nao e planar.

Demonstracao: Pela Proposicao 1.36, temos que M = D(R). Do fato de R ser Artiniano

e da Observacao 1.33 segue que M ∈ Ass(R). Entao, M = Ann(x), para algum x ∈ R∗.

Como | RM| ≥ 4, existem distintos u1, u2, u3 ∈ U(R) tais que u1x, u2x e u3x sao distintos e

Ann(u1x) = Ann(u2x) = Ann(u3x) = M . De fato, tomemos u1, u2, u3 ∈ U( RM

) dois a dois

distintos. Sejam u1, u2 e u3 representantes de u1 ,u2, u3, respetivamente. Claramente vemos

que u1 6= u2, u1 6= u3 e u2 6= u3 (pois as suas classes sao duas a duas distintas). Tambem,

u1x 6= u2x, pois se tivessemos u1x = u2x, terıamos (u1 − u2)x = 0, ou seja, u1 − u2 ∈

Ann(x) = M , o que implicaria em u1 = u2. Analogamente, mostramos que u1x 6= u3x e

u2x 6= u3x. Ainda, dado a ∈ M , temos que ax = 0. Daı, axu1 = axu2 = axu3 = 0, donde

obtemos que Ann(u1x) = Ann(u2x) = Ann(u3x) = M .

Se |M | ≥ 7, entao existem elementos distintos y1, y2, y3 ∈M \ u1x, u2x, u3x, 0 cada um

deles adjacente aos elementos u1x, u2x e u3x. Daı K3,3 e um subgrafo de Γ(R) e, assim, Γ(R)

nao e planar.

Suponhamos agora |M | ≤ 6 e |R| ≥ 26. Pela Observacao 2.64, devemos ter |M | ≤ 5.

Daı | RM| ≥ 6. Assim, existem elementos invertıveis u1, . . . , u5 ∈ R tais que u1x, . . . , u5x

sao distintos e Ann(u1x) = . . . = Ann(u5x) = M . Entao, u1x, . . . , u5x sao adjacentes em

Γ(R) e, assim, K5 e um subgrafo de Γ(R). Pelo Teorema 1.52, temos que Γ(R) nao e planar. ut

74 -


O proximo lema apresenta algumas caracterısticas de um anel local finito que tem como

grafo divisor de zero um grafo planar.

Lema 2.66. Seja (R,M) um anel local finito tal que Γ(R) e planar. Temos que

(i) Se | RM| = 2, entao M4 = 0

(ii) Se | RM| = 3, entao M3 = 0

Demonstracao: (i) Se M = 0, o resultado e imediato. Suponhamos entao que M 6= 0.

Pela Observacao 2.64, existe r ∈ Z∗+ tal que |M | = 2r. Como R e Artiniano, podemos

considerar k o menor inteiro positivo tal que Mk = 0. Notemos que, para todo t ∈

0, . . . , k−1, Mk−t (Mk−t−1, pois se ocorresse Mk−s = Mk−s−1, para algum s ∈ 0, . . . , k−

1, nao seria possıvel obtermos que Mk = 0

Afirmamos agora que, para todo t ∈ 0, . . . , k − 1, |Mk−t| ≥ 2t. Mostraremos tal

afirmacao por inducao sobre t. Para t = 0, temos que |mk| = |0| = 1 = 20. Suponhamos

que, para algum t ∈ 0, . . . , k − 1, tenhamos |Mk−t| ≥ 2t. Pela observacao feita no final do

paragrafo anterior, sabemos que |Mk−t−1| ≥ |Mk−t| ≥ 2t. Como Mk−t−1 e um subgrupo de

M , temos que |Mk−t−1| = 2l, para algum inteiro l ≥ 0. Assim, |Mk−t−1| ≥ 2t+1 e a afirmacao

esta provada.

Agora, sabemos que M2Mk−2 ⊆ Mk = 0. Se k ≥ 5, entao |M2| ≥ 8 e |Mk−2| ≥ 4.

Assim, K3,3 seria um subgrafo de Γ(R), contradizendo o fato de Γ(R) ser planar. Logo, k ≤ 4,

donde M4 = 0.

(ii) Apresentaremos aqui apenas os passos da demonstracao, pois os detalhes sao analogos

aos da demonstracao do item (i). Supondo M 6= 0, sejam s ∈ Z∗+ tal que |M | = 3s e k

o menor inteiro positivo tal que Mk = 0. Entao, para todo t ∈ 0, . . . , k − 1, teremos

|Mk−t| ≥ 3t. Se k ≥ 4, entao, k − 2 ≥ 2 e daı |Mk−2| ≥ 32 = 9. Sendo Mk−2 ⊆ M2, temos

que |M2| ≥ 9. Como Mk−2M2 ⊆ Mk = 0 segue que K3,3 e isomorfo a algum subgrafo de

Γ(R), o que contradiz o fato de Γ(R) ser planar. Logo, M3 = 0. ut

Teorema 2.67. Seja (R,M) um anel local finito tal que Γ(R) e planar. Temos que:

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(i) Se | RM| = 2, entao |R| ≤ 32;

(ii) Se | RM| = 3, entao |R| ≤ 27.

Demonstracao: Se M = 0, o resultado e imediato. Suponhamos entao que M 6= 0

(i) Sendo | RM| = 2, do Lema 2.66 vem que M2M2 = 0. Como Γ(R) nao possui um

subgrafo isomorfo a K5 (caso contrario, nao seria planar), temos que |M2| ≤ 4. Assim,

para todo x ∈ M , |xM | ≤ 4. Fixado x ∈ M , consideremos o homomorfismo sobrejetor de

R-modulos fx : M −→ xM dado por fx(a) = xa. Como ker(f) = Ann(x) ∩ M , temos

que MAnn(x)∩M ≈ xM . Daı, |M |

|Ann(x)∩M | = |xM | ≤ 4, donde |M |4≤ |Ann(x) ∩M | ≤ |Ann(x)|,

pois Ann(x) ∩M ⊆ Ann(x). Como Γ(R) e planar, existe x ∈ D(R)∗ tal que deg(x) ≤ 5

(Proposicao 1.54). Para tal x, teremos |Ann(x)| ≤ 7 (pois 0 ∈ Ann(x) e talvez x2 = 0).

Logo, |M | ≤ 28. Como | RM| = 2, da Observacao 2.64 temos que |M | ≤ 16, donde |R| ≤ 32.

(ii) Pelo Lema 2.66, temos M2M = 0. Se tivessemos |M2| ≥ 4, terıamos |M | ≥ 9, pela

Observacao 2.64. Mas, como M2M = 0, terıamos K3,3 como subgrafo de Γ(R) e Γ(R) nao

seria planar. Logo, devemos ter |M2| ≤ 3.

Analogamente ao raciocınio feito na demonstracao do item (i), para cada x ∈ M , pode-

mos considerar o homomorfismo sobrejetor fx : M −→ xM dado por fx(a) = xa. Obtemos

|M ||Ann(x)∩M | = |xM | ≤ 3, donde |M |

3≤ |Ann(x)|. Considerando x ∈ D(R)∗ tal que deg(x) ≥ 5,

teremos |Ann(x)| ≤ 7, donde |M | ≤ 21. Pela Observacao 2.64 temos que |M | ≤ 9 e daı

|R| ≤ 27. ut

Corolario 2.68. Se (R,M) e um anel local finito com M 6= 0 e |R| > 32, entao Γ(R) nao

e planar.

Demonstracao: Suponhamos por absurdo que exista um anel local finito (R,M) com

|R| > 32, M 6= 0 e Γ(R) planar. Pelo Teorema 2.67, terıamos | RM| ≥ 4. Mas, como

|R| > 32 ≥ 26, do Teorema 2.65, obterıamos que Γ(R) nao e planar, uma contradicao. ut

Exemplo 2.69. O grafo Γ(Z27) e planar (Figura 2.38). Ja Γ(Z28) nao e planar, pois o

subgrafo induzido pelos vertices do conjunto 4, 7, 8, 12, 14, 21 possui um subgrafo isomorfo

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a K3,3, conforme vemos na Figura 2.39

Figura 2.38: Γ(Z27) Figura 2.39: Subgrafo de Γ(Z28)

Segundo J. Coykendall [14], R. Belshoff e J. Chapman provaram em [12] que aneis locais

que nao sao corpos e que possuem mais do que vinte e sete vertices nao sao planares. No

entanto, nao apresentaremos este estudo aqui.

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Referencias

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a complete r-partite graph. J. Algebra 270 (1), (2003), 169-180.

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http://www.pma.uem.br/arquivos/dissertacoes/claudia goncalves.pdf

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