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HUMBERTO TODESCO

UM ESTUDO COM OS NÚMEROS INTEIROS NAS SÉRIES INICIAIS: Re-aplicação da Pesquisa de Passoni.

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

PUC/SP São Paulo

2006

HUMBERTO TODESCO

UM ESTUDO COM OS NÚMEROS INTEIROS NAS

SÉRIES INICIAIS: Re-aplicação da Pesquisa de Passoni.

Dissertação apresentada à Banca Examinadora

da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo,

como exigência parcial para obtenção do título de

MESTRE PROFISSINAL EM ENSINO DE

MATEMÁTICA, sob a orientação da Profª Drª

Sandra Maria Pinto Magina.

PUC/SP São Paulo

2006

Banca Examinadora

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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total

ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura: ___________________________Local e Data: _______________

À minha base:

Lucimara, Thiago e André,

Aos meus pais, Ao meu sogro e sogra,

Meu carinho,

Pelo apoio e credibilidade

AGRADECIMENTOS

Ao longo desta jornada, muitas pessoas auxiliaram-me com conhecimento,

incentivo, amizade e amor. Foram momentos compartilhados com intensidade e

alegria. Agora que chegamos ao final é tempo de agradecer. A Deus pelo dom

divino da vida, proteção e providência. À minha esposa Lucimara, pelo

constante incentivo, pela paciência em momentos difícies, pela compreensão

em minhas ausências, sempre demonstrando o seu amor. Aos meus filhos peço

desculpa pela ausência em momentos que foram preenchidos pela mãe, avôs e

tios. Ao Governo do Estado de São Paulo, através da Prof.ª Ana Fava da Leste

4, pelo apoio financeiro. À minha orientadora Prof.ª Sandra Maria Pinto Magina

por ser, uma grande pessoa com seu apoio, incentivo, compreensão e paciência

com os iniciantes em pesquisa, acrescentados às suas firmes orientações

transmitindo confiabilidade e respeito. Obrigado pela paciência de sempre em

reorientar o nosso caminho principalmente nos momentos mais difícies da

nossa pesquisa. À Prof.ª Leila Zardo Puga integrante da banca examinadora

pelas suas sugestões que direcionaram e enriqueceram muito este trabalho e

pela sua grande alma que acolheu de modo carinhoso nossas dificuldades. À

Prof.ª Abigail Fregni Lins integrante da banca examinadora pelas sugestões que

muito contribuíram para o enriquecimento deste trabalho. Aos professores do

Programa de Mestrado Profissional em Educação Matemática pelas experiências

e pelo conhecimento compartilhado durante o curso. Aos meus colegas do

Programa de Mestrado Profissional em Educação Matemática pela União e

companheirismo demonstrados durante o curso. Aos colegas Alvesmar, Lourival

e Evanilton pela convivência harmoniosa, pela ajuda mútua e pela compreensão

durante o período de trabalho coletivo. Ao Centro Integrado Ensino Jovens e

Adultos onde lecionei e a Escola Estadual Romeu Montoro onde leciono pela

compreensão de nossas dificuldades através de palavras de incentivo e carinho

de todos os professores e funcionários (principalmente Sra. Luiza e Sra. Laíde)

que muitas vezes por um abraço, um sorriso e até por um lanche nos ajudaram

muito em nosso caminho. À Terbraz Industrial, através de seu Diretor

Alexandre e o Presidente Sr. Nelson Tercero por liberar do horário de trabalho

para as atividades necessárias a nossa pesquisa. À Escola Municipal Rodrigues

de Carvalho por abrir suas portas para realização desta pesquisa, especialmente

à coordenadora Elaine Aparecida Ribeiro Felipe, a Prof.ª Izabel Alves de Oliveira

e principalmente a Prof.ª Célia Regina Fraccaroli que além de ceder as horas de

trabalho com seus alunos a nós, demonstraram um grande carinho com o

nosso trabalho. E principalmente aos alunos da 3ª. série B que com entusiasmo

participaram de nossas atividades e foram os responsáveis por este trabalho:

Adriano Tavares da Silva, Amanda Gabriela Luglio do Melo, Bruna Batatello dos

Santos, Danilo Marcelo Pereira, Edna Ferreira Xavier Pereira, Flavio França da

Silva, Gabriela Soares de Souza, Isabela Cristina Gonçalves Barbosa, Isadora

Fernandes Gama, Jaqueline Oliveira do Nascimento, Jefferson de Souza,

Jhemerson Pereira da Silva, Jhonata Gobato dos Santos, José Everton Gomes

da Silva, Joyce Alves Pereira, Lais Miria Pereira de Abreu, Leonardo Rocha Nieri

Moreno, Lucas Medeiros Bezerra, Marcela Martins dos Santos, Maria Tainá da

Silva, Mariana da Silva, Mayara Aline Damião, Naiane Eduardo dos Santos,

Nilton de Lima Espíndola, Raiane Rodrigues da Silva, Renata de Araújo Costa,

Shirlene Maria da Silva, Silvania Maria da Silva, Vanessa Ricardo de Freitas,

Vitor Miranda de Alencar, Washington Lima de Souza, Wendell Camargo dos

Santos, Wesley Coelho Farias, Jéssica Mayara Munhoz de Assis, Mikael Henrique

Araújo de Souza, Yasmin Oliveira da Silva, Henrique Eduardo de Oliveira. Enfim

a todos que de uma maneira ou outra participaram de minha jornada, quero

agradecer dividindo este momento especial.

“O que é preciso é desenvolver o desejo infantil de

reconhecimento e direcionar a criança para campos de

atividades importantes para a sociedade”.

Albert Einstein

RESUMO

O objetivo desta dissertação foi investigar a possibilidade e eficiência de se

introduzir o número inteiro negativo na 3ª. série do Ensino Fundamental de

uma escola pública, reaplicando parte do estudo desenvolvido por Passoni

(2002), a fim de responder às seguintes questões de pesquisa: “Partindo de

uma seqüência elaborada que utilize um contexto familiar e significativo, qual a

compreensão que as crianças de 3ª. série passam a ter sobre os números

negativos? Até onde tal seqüência pode ajudar na introdução desse conceito?

E, por último, em que consiste o avanço?” Para tanto, foi desenvolvida uma

pesquisa de caráter intervencionista com alunos de duas classes de 3ª. série

do Ensino Fundamental de uma escola da rede pública municipal de São

Paulo; uma delas constituiu-se em grupo controle (GC) e a outra em grupo

experimental (GE). A pesquisa de campo complementou duas etapas –

aplicação dos instrumentos diagnósticos (pré e pós-testes), tanto no GE como

no GC e aplicação da intervenção de ensino com uso de material manipulativo

apenas no GE. Os resultados obtidos em cada uma dessas etapas foram

analisados considerando a possibilidade da introdução dos números inteiros

negativos na 3ª. série do Ensino Fundamental. Do ponto de vista teórico,

apoiamos-nos nas idéias de Jean Piaget e Raymond Duval relacionados ao

papel que as representações desempenham na compreensão da Matemática.

A meta é de tornar os alunos capazes de transformar tratamentos intencionais

de representações semióticas em tratamentos quase-instantâneos. Os

resultados mostraram um crescimento de quase 50% no desempenho dos

alunos do GE, no pós-teste. Tendo por base tais resultados pode-se concluir

que a associação da intervenção de ensino com o material manipulativo

possibilitou o desenvolvimento de estratégias para resoluções das atividades.

As atividades foram desenvolvidas com 17 crianças do grupo GE e 18 crianças

do grupo GC. Os resultados obtidos foram satisfatórios.

Palavras-chave: Intervenção de Ensino; Número Negativo; Ensino

Fundamental; Formação de Conceito.

ABSTRACT

The objective of this dissertation was to investigate the possible performance of

introducing the entire negative number on the 3rd cycle of the fundamental

school in a public organization on replication of part of the Passoni (2002) work

so as to respond the following questions of the investigation: “Starting from a

sequence formed by a familiar and significant context, what is the

comprehension that the 3rd cycle school children will have over negative

numbers? To what extended level this sequence might aid on introducing this

concept? At last, what’s this improvement consisted of?” On this approach, an

interventionist investigation was developed with students of two groups of the

3rd cycle fundamental public school in the city of Sao Paulo; one of them named

as the control group (CG) and the other one being the experimental group (EG).

The field survey had two steps – execution of diagnostic instruments (before

and after tests) on the CG as well as the EG group and carrying out the

teaching intervention with the usage of manipulative material only at the EG.The

results obtained in each of these steps were evaluated considering the possible

introduction of the negative numbers to the students of the 3rd fundamental

cycle. In theory, we lay down on the ideas of Jean Piaget and Raymond Duval

related to the kind of representations that can act upon the Mathematic

conception. The target is to make students able to convert intentional

treatments of semiotic representations in “roughly” instantaneous treatments.

The results show a 50% increase on student’s performance of EG group, at pos

test. Taking into account these results, it can be concluded that the associative

intervention on teaching with manipulative material has developed strategies for

the solution of the activities. The activities were developed with 17 children of

EG and 18 ones of the CG. The results are said to be satisfactory.

Keywords: Teaching Intervention; Negative Number; Fundamental Teaching;

Concept Formation.

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 – APRESENTAÇÃO...................................................................01

1.1 – Introdução.................................................................................................01

1.2 – Justificativa...............................................................................................06

1.3 – Objetivo e Questões de Pesquisa.............................................................09

1.4 – Descrição dos Capítulos da Dissertação..................................................10

CAPÍTULO 2 – APORTE TEÓRICO.................................................................12

2.1 – Introdução.................................................................................................12

2.2 – A Representação......................................................................................13

2.2.1 – A Representação Sob Duas Óticas.............................................16

2.2.2 – A Representação do Ponto de Vista de Piaget...........................16

2.2.3 – A Representação do Ponto de Vista de Duval............................23

2.3 – A Revisão de Estudos Científicos Correlatos...........................................33

2.3.1 – O Estudo de Solange dos Santos Nieto......................................33

2.3.2 – O Estudo de Alciony Regina Hérdérico Souza Silva...................43

2.3.3 – O Estudo de Luís Augusto Sbardellini.........................................48

2.3.4 – O Estudo de Regina Flemming Damm........................................49

2.3.5 – O Estudo de Ana Paula Jahn......................................................53

2.4 – O Estudo de Passoni................................................................................57

2.5 – Histórico dos Números Negativos.............................................................61

2.6 – Os Números Inteiros Negativos na Escola...............................................69

2.6.1- Parâmetros Curriculares Nacionais .............................................70

2.6.2- Livro Didático...............................................................................72

2.6.2.1 – Referente 1ª à 4ª série....................................................72

2.6.2.2 – Referente 5ª à 8ª série·...................................................73

CAPÍTULO 3 - METODOLOGIA.......................................................................78

3.1 – Universo do Estudo...................................................................................78

3.2 – Os Sujeitos................................................................................................78

3.3 – Desenho do Experimento.........................................................................79

3.4 – Procedimento............................................................................................80

3.5 – Material Utilizado......................................................................................81

3.5.1 – Materiais da Etapa 1 – Os Testes...............................................82

3.5.1.1 – Pré-Teste.......................................................................82

3.5.1.2 – Pós-Teste......................................................................88

3.5.2 – Materiais da Etapa 2 – A Intervenção.........................................98

CAPÍTULO 4 – ANÁLISE DOS RESULTADOS.............................................111

4.1 – Análise Quantitativa................................................................................112

4.1.1 – Análise Geral: Comparação entre o número de acertos dos

grupos GE e GC nos Pré e Pós -testes................................................113

4.1.1.1 – Análise, por item, dos instrumentos diagnósticos........114

4.1.1.2 – Apresentação dos desempenhos dos alunos dos GE e

GC nos pré e pós-testes............................................................116

4.1.2 – Comparação Intra e Inter Grupos uma Síntese........................118

4.2 – Análise Qualitativa..................................................................................118

4.2.1- Análise qualitativa do pré-teste...................................................120

4.2.2 – Intervenção de Ensino...............................................................133

4.2.3 – Pós-Teste..................................................................................159

CAPÍTULO 5 – CONCLUSÃO........................................................................176

5.1 – Introdução...............................................................................................176

5.2 - Síntese dos resultados............................................................................177

5.3 - Respondendo nossa Questão de Pesquisa............................................179

5.4 - Sugestões para futuras pesquisas..........................................................182

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..............................................................183

ANEXOS..........................................................................................................187

LISTA DAS FIGURAS

FIGURA 1.1: PROMAT, Grasseschi, Andretta, Silva, 2004, p.44.....................02



FIGURA 1.4: SAEB (2001), p.45.......................................................................06

FIGURA 1.5: Jahn (1994), p.98.........................................................................07

FIGURA 2.1: PROMAT, Grasseschi, Andretta, Silva, 2004, p.165...................22

FIGURA 3.1: Protocolo de resposta do aluno GC 2 do pré-teste......................89



FIGURA 3.4: Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pré-teste......................93



FIGURA 4.1: Esquema de nossa análise Qualitativa......................................119

FIGURA 4.2: Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pré-teste....................121

FIGURA 4.3: Protocolo de resposta dos alunos GE15 e GC15 do pré-teste..122

FIGURA 4.4: Protocolo de resposta do aluno GC 2 do pré-teste....................123


FIGURA 4.6: Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pré-teste....................126


FIGURA 4.8: Protocolo de resposta dos alunos GC 4 e GE 9 do pré-teste....129

FIGURA 4.9: Protocolo de resposta do aluno GC 8 e GE 15 do pré-teste......130

FIGURA 4.10: Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pré-teste..................131

FIGURA 4.11: Protocolo de resposta do aluno GC 5 do pré-teste..................132

FIGURA 4.12: Protocolo de resposta do aluno GE 8 da intervenção..............134





FIGURA 4.17: Protocolo de resposta do aluno GE 15 da intervenção............139
























FIGURA 4.41: Protocolo de resposta do aluno GE 2 do pós-teste.................161

FIGURA 4.42: Protocolo de resposta do aluno GC 2 do pós-teste.................161

FIGURA 4.43: Protocolo de resposta do aluno GE 11 do pós-teste...............162

FIGURA 4.44: Protocolo de resposta do aluno GC 1 do pós-teste................162















FIGURA 4.59: Protocolo de resposta do aluno GC 4 do pós-teste................174

FIGURA 4.60: Protocolo de resposta dos alunos GE 15 e GE 2 do pós.........175

LISTA DOS QUADROS

Quadro 2.1: Duval, 2001, p.3.- sistema de tratamento ou conversão.............025

Quadro 2.2: Representação e compreensão para o conhecimento matemático (Duval 2000, composição da figura 2, p.59 e da figura 6, p.65) .....................027

Quadro 2.3: (Duval, 2000, p.65), registros multifuncionais ou registros monofuncionais. ..............................................................................................028 Quadro 2.4: Várias coordenações entre sistemas produtivos requeridos para compreensões matemática. Fonte: Duval (2000 p. 66). .................................030 Quadro 2.5: Sinopse dos 16 conjuntos de atividades desenvolvidas por Passoni (2002, p.25)........................................................................................059 Quadro 3.1: Desenho do experimento............................................................079 . Quadro 3.2 - Questão 1 do pré - teste. ..........................................................082

Quadro 3.3 - Questão 2 do pré-teste. ............................................................083 Quadro 3.4 - Questão 3 do pré-teste. ...........................................................084 Quadro 3.5 - Questão 4 do pré-teste. ............................................................084 Quadro 3.6 - Questão 5 do pré-teste. ............................................................085 Quadro 3.7 - Questão 6 do pré-teste. ............................................................086 Quadro 3.8 - Questão 7 do pré-teste. ............................................................086 Quadro 3.9 - Questão 8 do pré-teste. ............................................................087 Quadro 3.10 - Questão 9 do pré-teste. ..........................................................087 Quadro 3.11 - Questão 1 do pós-teste. .........................................................089 Quadro 3.12 - Questão 2 do pós-teste. ........................................................090 Quadro 3.13 - Questão 3 do pós-teste..........................................................092 Quadro 3.14 - Questão 4 do pós-teste. .........................................................093 Quadro 3.15 - Questão 5 do pós-teste. ..........................................................094 Quadro 3.16 - Questão 6 do pós-teste. ..........................................................094

Quadro 3.17 - Questão 7 do pós-teste. ..........................................................095 Quadro 3.18 - Questão 8 do pós-teste. .........................................................096 Quadro 3.19 - Questão 9 do pós-teste. . .......................................................097

Quadro 3.20 - Questão 10 do pós-teste. . .....................................................098 Quadro 3.21 - Atividade 1 da seqüência de ensino. . ....................................099 Quadro 3.22 - Atividade 2 da seqüência de ensino. . ....................................100 Quadro 3.23 - Atividade 3 da seqüência de ensino. . . ..................................101 Quadro 3.24 - Atividade 4 da seqüência de ensino. . . ..................................101 Quadro 3.25 - Atividade 5 da seqüência de ensino. . . ..................................102 Quadro 3.26 - Atividade 6 da seqüência de ensino. . . ..................................102 Quadro 3.27 - Atividade 7 da seqüência de ensino. . ....................................103 Quadro 3.28 - Atividade 8 da seqüência de ensino........................................104 Quadro 3.29 - Atividade 9 da seqüência de ensino. . . ..................................104 Quadro 3.30 - Atividade 10 e 11 da seqüência de ensino. . . ........................105 Quadro 3.31 - Atividade 12 e 13 da seqüência de ensino..............................106 Quadro 3.32 - Atividade 14 e 15 da seqüência de ensino. . . ........................106 Quadro 3.33 - Atividade 16 e 17 da seqüência de ensino. . . ........................106 Quadro 3.34 - Atividade 18 e 19 da seqüência de ensino..............................107 Quadro 3.35 - Atividade 20 da seqüência de ensino. . . ................................107 Quadro 3.36 - Atividade 21 da seqüência de ensino. . . ................................108

Quadro 3.37 - Atividade 22 da seqüência de ensino. . . ................................108 Quadro 3.38 - Atividade 23 da seqüência de ensino. . . ................................108 Quadro 3.39 - Atividade 24 da seqüência de ensino. . . ................................109 Quadro 3.40 - Atividade 25 da seqüência de ensino. . ..................................109 Quadro 3.41 - Atividade 26 da seqüência de ensino. . . ................................109

Quadro 3.42 - Atividade 27 da seqüência de ensino. . . ................................109 Quadro 3.43 - Atividade 28 da seqüência de ensino. . . ................................110 Quadro 3.44 - Atividade 29 da seqüência de ensino. . . ................................110 Quadro 3.45 - Atividade 30 da seqüência de ensino. . . ................................110

Quadro 3.46 - Atividade 31 da seqüência de ensino. . . ................................110

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 - Registro da língua natural, registro do sistema escrito, registro figural, registro gráfico.....................................................................................025 Tabela 2.2 - Livro Didático 1ª. à 4ª..................................................................073

Tabela 2.3 - Livro Didático 5ª. à 8ª..................................................................077 Tabela 3.1 - Correspondência entre pré-teste e pós-teste..............................088 Tabela 4.1: Desempenho geral do GE e GC nos testes (pré e pós-testes)....113 Tabela 4.2: Distribuição do desempenho geral dos dois grupos – GE e GC – nos pré-testes..................................................................................................116 Tabela 4.3: Distribuição do desempenho geral dos dois grupos – GE e GC – nos pós-testes..................................................................................................116

LISTA DE ANEXOS

Anexo 1 – Pré – teste......................................................................................187 Anexo 2 – Pós – teste.....................................................................................190

Anexo 3 – Materiais da Intervenção de Ensino...............................................194

CAPÍTULO 1 APRESENTAÇÃO

1.1 INTRODUÇÃO

Nosso objetivo principal com o presente estudo é investigar a

possibilidade e eficiência de se introduzir o número inteiro negativo1 na 3a série

do Ensino Fundamental na Escola Pública.

A natureza desse número difere da idéia do número natural porque este

último está diretamente relacionado a quantidades palpáveis, tangíveis. Por

exemplo, ao nos referirmos ao número 5, podemos estar atribuindo a esse

número a quantidade de 5 lápis, que estão sobre a mesa, pois podemos tocá-

los, pegá-los e contar esses objetos. Mas para o número -5 não há como

relacioná-lo a uma quantidade de objetos concretos. Nesse sentido, podemos

dizer que os números negativos não correspondem às quantidades concretas,

tangíveis, não “existem fisicamente” na vida cotidiana. Para tanto, vamos

reaplicar parte do estudo desenvolvido por Passoni (2002).

Sendo assim é preciso investigar, no processo de aprendizagem escolar,

a passagem das grandezas (noções concretas) para os números (noções

abstratas).

A noção de número negativo pode ser introduzida desde cedo na escola

a partir de várias situações que estão de acordo com o mundo físico, conforme

ilustramos nas situações abaixo. Uma situação muito comum na qual os

números negativos aparecem são as representações de andares para as

1 Sempre que mencionarmos números inteiros negativos estamos nos referindo aos números inteiros não positivos.

2

garagens de um prédio, que geralmente ficam no subsolo, como ilustra a

figura 1.1 a seguir:

FIGURA 1.1: PROMAT, Grasseschi, Andretta, Silva, 2004, p.44.

Os andares do prédio podem ser associados à reta numérica, tomando-

se o piso térreo como sendo o número zero, conforme desenho acima, os

andares acima do térreo representam na reta numérica os números inteiros

positivos ou os números naturais, e as garagens, que estão abaixo do térreo

(zero), representam os números inteiros negativos que no exemplo acima são

(“-1” e “-2”).

Outra situação também comum que lida com os números inteiros

negativos são as situações presentes no painel do elevador. Por exemplo, num

elevador em um shopping, conforme ilustra a figura 1.2 abaixo, é

FIGURA 1.2: PROMAT, Grasseschi, Andretta, Silva, 2004, p.43.

3

comum dizermos ao ascensorista que queremos ir para “garagem 2”, para

“G2”, ou ainda “para o menos 2”. Todas essas situações podem ser

representadas numericamente pelo número inteiro negativo “–2”, indicando que

queremos ir para 2 andares abaixo do térreo. Novamente adotamos o térreo

como zero, reforçando a idéia da reta numérica.

Mas os prédios ou elevadores não são as únicas situações em que

aparecem os números inteiros negativos. É comum dizermos frases do tipo:

“estou com 183 reais negativos no banco”.

Nesse caso, se tirarmos um extrato bancário irá aparecer um saldo

devedor de 183 reais, o qual costuma ser representado pelo número inteiro

negativo -183. Quando observamos um extrato bancário, notamos que os

números inteiros positivos representam os créditos da conta e os números

inteiros negativos os débitos, mostrando assim, o montante de dinheiro que

entrou e o que foi retirado de nossa conta bancária. Com isto podemos

estabelecer uma relação entre os valores do extrato bancário e a reta

numérica.

Continuando a exemplificar situações do dia-a-dia em que nos

deparamos com os números inteiros negativos, temos a do nível do mar

comumente considerada como marco zero. Neste, caso podemos ter uma

situação em que há um submarino que está a -125,2 metros do nível do mar

(ou abaixo do nível do mar 125,2 metros) e o avião está a 387,5 metros do

nível do mar (ou acima do nível do mar), como ilustra a figura 1.3 abaixo.

Novamente, a reta numérica pode ser desenhada fazendo-se

corresponder o número zero com o nível do mar.

4

FIGURA 1.3: PROMAT, Grasseschi, Andretta, Silva, 2004, p.94. Ainda podemos ter situações relacionadas à temperatura, muito

utilizadas nos livros didáticos. Nesse caso podemos ter citações como:

Está noite fez muito frio no Rio Grande do Sul, pois tivemos -2 graus.

De fato, em situações de temperatura, costumamos usar terminologias

como: “2 graus negativos”, ou, ainda “menos 2 graus” para representar uma

temperatura abaixo de zero.

No caso dos números naturais podemos não só dizer que temos 100

reais no banco, como podemos ir até lá e retirá-lo, tocando assim no objeto a

que se refere essa quantidade (uma nota de 100 reais). Mas ao dizermos que

estamos 100 reais negativos, como nós podemos ir lá e retiramos -100 reais do

banco?

Todas essas situações apresentadas referem-se às situações em que os

números inteiros negativos estão associados às situações corriqueiras, isto é,

relacionando objetos (noção concreta) ou situações existentes aos números

(noção abstrata).

Dessa forma, o número, até então restrito a quantidades, ganha uma

dimensão mais ampla. Ele deixa de significar, simplesmente os objetos

quantificáveis, que podem ser efetivamente tocados, passando a ser uma idéia,

um lugar, um status, cujo objeto a que ele refere não é mais tangível.

5

É notório que os números inteiros negativos fazem parte da vida das

crianças desde cedo, mas em contrapartida o seu ensino e sua implementação

na escola costumam ser difícieis e problemáticas.

Na minha experiência docente e em discussão com os colegas,

comenta-se freqüentemente sobre as dificuldades dos alunos em

compreenderem e se apropriarem de operações com números negativos.

A expressão “(-a) – (- a) = 0”, por exemplo, não é nada simples de ser

entendida, seja pelos alunos da 8a série, seja até por pessoas adultas que

tenham completado o Ensino Médio ou mesmo o Ensino Superior, pois temos

um mesmo símbolo (-) para:

Expressão “(-a) – (- a) = 0” símbolo operacional diático (2 elementos: -a e -a)

Expressão “(-a) – (- a) = 0” símbolo operacional monádico (1 elementos: -a)

A introdução do número negativo no ensino, normalmente no terceiro

ciclo (5ª ou 6ª série) do Ensino Fundamental, costuma ser vista como difícil e

um conteúdo “muito doloroso” para as crianças, e os professores queixam-se

bastante sobre a dificuldade de aprendizagem das crianças.

Refletindo a esse respeito, tendemos a acreditar que isso acontece

porque os alunos não vêem uma ligação entre o número inteiro negativo e o

mundo a sua volta, talvez por que esse número seja introduzido sem que haja

um aproveitamento dos contextos nos quais ele aparece no dia-a dia das

crianças.

Sob esse enfoque, a nossa preocupação é estudar então a possibilidade

de se introduzir número inteiro negativo, a partir de uma situação familiar, para

os alunos da 3a série.

6

1.2 JUSTIFICATIVA

Quando observamos os sistemas de avaliação oficial, como o Sistema

de Avaliação e Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (SARESP)

realizado em 1998, e o Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica

(SAEB) de 2001, notamos que praticamente não tivemos questões que

envolvessem os números inteiros negativos correspondentes à 4a ou na 8a

série do Ensino Fundamental. No último relatório do SARESP (1998) das 15

questões elaboradas para a 5ª série sobre números e operações, nenhuma

trazia um problema envolvendo números inteiros negativos; mas para o Ensino

Médio houve uma única questão, que consistia em localizar números na reta.

Quanto ao SAEB, havia um único problema, apresentado para os alunos

que estariam concluindo a 8a série, que envolveu números inteiros negativos

(ver figura 1.4 abaixo).

FIGURA 1.4: SAEB (2001), p.45

Notamos que se trata de um problema que não oferece um contexto

além do algoritmo, apresentando apenas uma expressão, resumindo-se ao já

tão conhecido “resolva”. O percentual de acerto nesta questão foi muito baixo

(menos de 40%) conforme o relatório oficial publicado (2001).

7

Fica claro que este exercício tem a finalidade de verificar, basicamente,

dois conhecimentos dos alunos: o primeiro diz respeito à operação entre sinais

dos números inteiros positivos e negativos; o segundo refere-se à ordem de

prioridade das operações, isto é multiplicações / divisões devem ser efetuadas

antes das adições / subtrações. Fica evidente, tendo em vista o resultado

inferior a 40% de acertos, que há uma necessidade premente de uma atenção

maior sobre esse tema e, ainda de se buscar maneiras para se trabalhar este

conteúdo de maneira mais satisfatória.

Em relação a outras pesquisas que apresentam problemas com

aprendizagem com os números inteiros podemos citar os índices encontrados

no estudo de Jahn (1994), que propõem a elaboração de uma pesquisa de

ensino para introdução do conceito e das operações aditivas dos números

inteiros, elaboradas em seqüências que proporcionam aos alunos uma tomada

de consciência da existência dos números inteiros negativos, a partir de

situações dentro do modelo ganho/perda.

Em Jahn (1994), observamos na página 97 que o maior índice de erros

foi na categoria 3, que inclui o item 9, subtração de um número inteiro negativo,

onde 9 alunos erraram dos 16 que responderam à questão. (43,7% de acertos)

FIGURA 1.5: Jahn (1994), p.98

8

O estudo de Damm (1992) visa a classificação dos problemas de adição

em conceituais, semânticos ou textuais com grupos de alunos de (6-9anos) e

(9-12 anos) da França e do Brasil.

Classificando em critérios conceituais como: Composição de 2

elementos de N; Operação de uma transformação; Relação estática entre 2

elementos; Composição e 2 transformações; Transformação entre duas

relações estáticas; Composição de relações. São aplicadas 8 questões no pré

e pós teste com o tipo de problema acumulativo (multiplicação e adição) e

comparação (multiplicação, adição e subtração).

A pesquisa de Alciony (2005) visa compreender como os erros de

números racionais são concebidos pelos professores e alunos no processo de

ensino e aprendizagem do Ensino Fundamental.

O estudo investiga no contexto do ensino aprendizagem da Matemática,

as práticas docentes utilizadas para o tratamento dos erros produzidos pelos

alunos numa escola pública do Município de Araucária/PR.

Os sujeitos da pesquisa são 2 professores que ministram aulas de

Matemática nas 5as, 6as e 7as séries e 17 alunos das referidas séries.

O estudo aponta a vigência de formas tradicionais de tratamento de

erros como a principal dificuldade dos docentes de ensinar os números

racionais de forma contextualizada, aliadas as dificuldades dos alunos no

processo de aprendizagem em relação a parte-todo, as dificuldades conceituais

e de operacionalização desse conjunto de números.

Alciony (2005) destaca alguns objetivos específicos neste trabalho

como os erros praticados pelos alunos na aprendizagem dos números

9

racionais e identificar as principais dificuldades dos alunos em relação aos

números racionais.

A pesquisa desenvolvida por Sbardellini (2005) visa demonstrar a

homogeneidade das estruturas ordenadas dos racionais.

A pesquisa desenvolvida por Nieto (1994) visa compreender antecipação

do ensino dos números inteiros negativos para a quarta série do primeiro grau:

um estudo das possibilidades.

O objetivo de Nieto (1994) é a princípio verificar se alunos de séries

anteriores à sexta série do 1º Grau, já se encontram capacitados para assimilar

os conceitos referentes dos números inteiros, uma vez que estes conceitos já

se apresentam com freqüência no cotidiano dos alunos, como por exemplo,

nas colunas esportivas. Portanto, tais conceitos, já bastante conhecidos pelos

alunos, ainda que de modo informal, que fortalecem a necessidade da presente

pesquisa.

Nieto (1994) buscou apoio na “Matemática informal”, aprendida pela

criança fora do processo educacional e estudada por Schliemann (1991), onde

separa seus testes em: Teste Formal e Teste Informal.

1.3 OBJETIVO E QUESTÕES DE PESQUISA

Por outro lado, Passoni (2002) propõe a introdução dos números

negativos, desde cedo, a partir de situações significativas para o aluno.

Passoni realizou uma intervenção de ensino com crianças de 3ª série de uma

escola particular da cidade de São Paulo com o intuito de introduzir os números

negativos, tendo como suporte teórico às idéias de Raymond Duval, no que

tange à utilização de vários registros de representação. Sua intervenção teve

10

como característica os registros em atividades de tratamento e conversão.

Como dito anteriormente, o objetivo principal deste trabalho é o de avaliar a

possibilidade de uma intervenção de ensino, com alunos de 3ª série, para

introduzir o conceito de número inteiro negativo, com base na pesquisa de

Passoni.

Conforme veremos no Capítulo 2, página 23, o Aporte Teórico da

Representação do ponto de vista de Duval e no Capítulo 3, na página 81, os

Materiais utilizados na etapa de intervenção como a Metodologia

intervencionista da página 78 são os mesmos utilizados da pesquisa de

Passoni. As questões são as mesmas utilizadas na pesquisa de Passoni,

porém podemos trabalhar este conteúdo na forma interdisciplinar com os

conteúdos de Geografia e Português.

A partir desse objetivo, o presente estudo foi elaborado para responder

três questões de pesquisa, relacionadas entre si, a saber:

“Partindo de uma seqüência elaborada que utilize um contexto

familiar e significativo, qual a compreensão que crianças de 3ª série

passam a ter sobre os números negativos? Até onde tal seqüência pode

ajudar na introdução desse conceito? E, por último, em que consiste o

avanço?”.

Para responder a essas perguntas, vamos percorrer um caminho teórico e

metodológico, que descrevemos na próxima seção.

1.4 DESCRIÇÃO DOS CAPÍTULOS DA DISSERTAÇÃO

O Capítulo 1 trata da apresentação, justificativa, objetivo do estudo e,

ainda, das 3 questões de pesquisa, tal como foi exposto nos itens anteriores.

11

O Capítulo 2 apresenta o nosso suporte teórico, no qual discutimos

principalmente as idéias Jean Piaget e Raymond Duval no que diz respeito à

idéia de representação. Para tanto, iniciamos o capítulo apresentando o

conceito de representação do ponto de vista da Língua Portuguesa, da

Filosofia, da Sociologia e da Semiótica. Esse capítulo apresenta as pesquisas

correlatas ao nosso estudo, como a de Passoni (2002), Damm (1992), Jahn

(1994), Nieto (1994), Alciony (2005) e Sbardellini (2005), todas abordando o

tema números inteiros negativos, na qual nos espelhamos de sobre maneira

para a construção de nosso trabalho.

E por último uma análise dos Livros Didáticos através dos Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCN), em relação à introdução dos números inteiros

negativos.

O Capitulo 3 destina-se a descrição pormenorizada de nossa

Metodologia de Estudo, onde justificamos teoricamente o tipo de pesquisa

escolhida, apresentamos o estudo preliminar, a partir do qual pudemos refinar

o instrumento diagnóstico e, por fim, o estudo principal. Neste mesmo capítulo

descrevemos todo o desenho do experimento, isto é, os sujeitos envolvidos, o

material utilizado, a análise a priori das questões contidas no questionário (pré

e pós-testes), as atividades envolvidas na intervenção de ensino e, por fim, o

procedimento adotado no estudo.

No Capítulo 4 são apresentados e analisados os resultados, que serão

tratados do ponto de vista quantitativo e qualitativo. Por fim, apresentamos as

considerações finais de nosso estudo, tecendo comentários sobre os principais

resultados encontrados, retomando e respondendo às três questões de

pesquisa e, finalmente propor algumas sugestões para futuros estudos.

12

CAPÍTULO 2 APORTE TEÓRICO

2.1 INTRODUÇÃO

O presente capítulo visa a atender quatro objetivos. O primeiro centra-se

na apresentação e reflexão das idéias teóricas, que usaremos como suporte

para compreender o processo de ensino-aprendizagem dos números

negativos. Pretendemos discutir em especial as idéias teóricas de Jean Piaget

e Raymond Duval. A escolha por essas Teorias baseia-se no fato de que

ambas discutem o papel da representação na formação (Piaget) e na

aprendizagem de conceitos (Duval).

O segundo objetivo é o de apresentar o estudo de Passoni (2002), no

qual nos baseamos para desenvolver nosso estudo empírico. Passoni

desenvolveu uma pesquisa intervencionista através de uma seqüência de

ensino voltada para introdução dos números negativos com crianças da

3ª.série do Ensino Fundamental.

O terceiro objetivo é o de procedermos uma revisão da literatura no que

concerne a estudos científicos que se relacionam com o nosso tema de

pesquisa. Discutiremos, particularmente, estudos realizados com números

negativos, como é o caso daqueles desenvolvidos por Regina Damm, Ana

Paula Jahn, Alciony Regina Herdérico Souza Silva, Luís Augusto Sbardellini e

Solange dos Santos Nieto.

13

O quarto e último objetivo deste capítulo é de correlacionar os PCN, os

livros didáticos e nosso estudo de pesquisa, para discussão de como os

números negativos são trabalhados em nosso dia-a-dia.

2.2 A REPRESENTAÇÃO

Podemos iniciar a discussão sobre representação apresentando vários

pontos de vista, tais como o lingüístico, o filosófico, o psicológico, o semiótico e

o social.

Para Ferreira (1999), representação ganha os seguintes significados:

“1. Ato ou efeito de representar-se... 4.Reprodução daquilo que se pensa... 9.Filos. Conteúdo concreto aprendido pelos sentidos, pela imaginação, pela memória ou pelo pensamento.”(p.1747).

Notamos então que na Língua Portuguesa a representação tem relação

direta com a forma de pensar e com os sentidos. Nesse caso, representação

refere-se tanto ao pensamento, como à memória e à percepção.

Já na perspectiva filosófica (Ockham (Quodl, IV, q.3)), a representação é

tratada como:

Representação - Vocábulo de origem medieval que indica imagem ou idéia no 2o sentido, ou ambas as coisas. O uso desse termo foi sugerido aos escolásticos pelo conceito de conhecimento como ‘semelhança’ do objeto. ‘Representar algo’ - dizia S. Tomás de Aquino –(’significa conter a semelhança da coisa’). Mas foi principalmente no fim da escolástica que esse termo passou a ser mais usado às vezes para indicar o significado das palavras. Ockham distinguia três significados fundamentais: em primeiro lugar, designa-se com este termo aquilo por meio do qual se conhece algo; nesse sentido, o conhecimento é representativo, e representar significa ser aquilo com que se conhece alguma coisa. Em segundo lugar, por representar entende-se conhecer alguma coisa, após cujo conhecimento conhece-se outra coisa; nesse sentido, a imagem representa aquilo de que é imagem, no ato de lembrar. Em terceiro lugar, por representar entende-se causar o conhecimento do mesmo modo como o objeto causa o conhecimento’(Ockham citado por Fukiko, 2005, p.170).

14

Num enfoque filosófico podemos observar que a representação nos guia

a relação de três significados: o primeiro a representação como uma idéia no

sentido amplo e geral; no segundo nos remetendo a idéia de imagem e por

último trazendo-nos o próprio objeto.

Observemos agora a representação sob o aspecto, especificamente da

semiótica, apresentando a compreensão que Pierce (1999):

“[...] estar em lugar de isto é, estar numa relação com um outro que, para certos propósitos, é considerado por algumas mentes como se fosse o outro. Assim, um porta-voz, um deputado, um advogado, um agente, um vigário, um diagrama, um sintoma, uma descrição, um conceito, uma premissa, um testemunho, todos representam alguma outra coisa, de diferentes modos, para mentes que consideram sob esse aspecto. Veja-se o conceito de Signo. Quando se deseja distinguir entre aquilo que representa e o ato ou relação de representação, pode-se denominar o primeiro de representante e o último de representação”. (p.61).

Nesta ótica podemos verificar que o ato de representar pode ser

entendido como uma relação de uma incógnita qualquer, por exemplo x, com

algo que desejamos representar como medida, idade etc.

A representação do ponto de vista semiótico, segundo o psicólogo

francês contemporâneo Raymond Duval, nos diz que:

“[...] Descartes, até hoje, passando por Peirce e Piaget, muitas mudanças têm ocorrido na maneira de considerar as relações entre conhecimento e representação e, a natureza das representações parece tornar-se mais e mais complexa”. Duval (2000, p. 58).

“Muitos estudantes não discriminam o conteúdo da representação e o objeto representado: objetos mudam quando a representação muda!” (Ibid, p. 59).

Isso posto, notamos que não podemos falar de representação sem

relacioná-la com seus sistemas de produção.

15

Pois podemos ter exercícios com diferentes objetos com a mesma

representação.

Para a Psicologia, considerando a ótica de Piaget (1978) como um de

seus grandes representantes temos que:

“Diz representação, diz conseqüentemente reunião de um significante que permite a evocação e de um significado fornecido pelo pensamento”. (p.345).

Notamos que a capacidade de diferenciar significantes de significados é

condição básica para que ocorra a representação e, assim, ser capaz de

evocar e se referir a outro. Por exemplo, quando falamos de uma cadeira, a

palavra cadeira é o significante, enquanto a imagem da cadeira é o significado.

Para finalizar sob o enfoque social apresentamos uma definição clássica

segundo Jodelet (1985). Para representação social:

“São modalidades de conhecimento prático orientadas para a comunicação e para a compreensão do contexto social, material e ideativo em que vivemos. São, conseqüentemente, formas de conhecimento que se manifestam como elementos cognitivos — imagens, conceitos, categorias, teorias —, mas que não se reduzem jamais aos componentes cognitivos. Sendo socialmente elaboradas e compartilhadas, contribuem para a construção de uma realidade comum, que possibilita a comunicação” (p. 469-494).

Sob este aspecto vemos que a representação é um campo que

possibilita questionar, de um lado, a natureza do conhecimento e, de outro, a

relação indivíduo-sociedade a partir do aspecto cognitivo.

O conceito de representação segundo Moscovici (1988):

“Por representação social, entendemos um conjunto de conceitos, proposições e explicações originado na vida cotidiana no curso de comunicações interpessoais. Elas são o equivalente, em nossa sociedade, dos mitos e sistemas de crenças das sociedades tradicionais; podem também ser

16

vistas como a versão contemporânea do senso comum.” (p. 211).

Resumidamente, podemos falar em representação como uma forma de

conhecimento socialmente elaborada e partilhada, que tem um objetivo prático

e concorre para a construção de uma realidade comum a um conjunto social.

Pelo exposto vemos que a representação pode ser pensada e entendida

sob diversas perspectivas, dependendo da ciência ou do pensador que a

investigue. No item a seguir vamos nos restringir a duas óticas em especial, de

grande importância para o desenvolvimento de nosso estudo.

2.2.1 - A REPRESENTAÇÃO SOB DUAS ÓTICAS

Como dissemos na introdução deste capítulo, nosso objetivo é abordar o

papel da representação na formação e aprendizagem, que é o que faremos

nesta seção.

Para tanto, iniciamos com as idéias teóricas dos psicólogos Jean Piaget

e na seqüência as de Raymond Duval que tratam desse assunto.

2.2.2 - A REPRESENTAÇÃO DO PONTO DE VISTA DE PIAGET

Segundo Piaget (1995), é a partir da representação que surge o

conhecimento, ou seja, não há conhecimento sem representação.

“Há representação quando se imita um modelo ausente”. (p.12).

[...] é a capacidade de evocar por meio de um signo ou de uma imagem simbólica o objeto ausente ou a ação ainda não realizada. (PIAGET. 1975 p.231).

“Evocações de objetos ausentes ou a ação ainda não consumida”. (Ibid, p.231).

17

Essas afirmações de Jean Piaget nos permitem notar que, para ele,

representar é o ato de trazer a mente algo que está percentualmente ausente.

Assim, não é preciso estar diante de um coqueiro para poder representá-lo, ou

formar a sua imagem na mente. Neste sentido, representar significa o resultado

de uma ação que pode ser adquirida pela diferenciação ativa de significantes e

significados.

“A representação começa quando há, simultaneamente, diferenciação e coordenação entre significantes e significados ou significações”. (PIAGET 1978, p.11-12).

Então quando falamos de um coqueiro, a palavra coqueiro é o

significante, enquanto a imagem do coqueiro é o significado. Como já dissemos

anteriormente, segundo Piaget, a capacidade de diferenciar significantes de

significados é a condição básica para que ocorra a representação e, assim, ser

capaz de evocar um e referir-se ao outro, sem necessidade de estar perto do

objeto.

Agora partindo para uma análise mais profunda de representação temos

que Jean Piaget (1926, 1971) considera a existência de 2 tipos de

representação: Uma que está ligada a evocação do que já foi percebido

fisicamente. E a outra representação que não pode ser percebida como é o

caso do objeto matemático:

[...] essas duas espécies de representações, lato e estrito, apresentam relações mútuas: o conceito é um esquema abstrato e a imagem um símbolo concreto, mas, embora já não se reduza o pensamento a um sistema de imagens, pode-se-a admitir que todo o pensamento se faz acompanhar de imagens, portanto, se pensar consiste em interligar significações, a imagem será um significante e o conceito um significado”.(Piaget 1971, p.87).

18

Essa capacidade representativa é denominada por Piaget função

simbólica. Para esse autor a evocação é o primeiro tipo de representação, já

que evocar é vista como a produção mental de um objeto em sua ausência

através de uma lembrança ou imagem do que já foi percebido em algum

momento. Nesse caso, a pessoa ao evocar um fato, acontecimento ou objeto

está, simplesmente, reproduzindo na mente o que já havia visto ou vivido

anteriormente.

Um segundo tipo de representação refere-se a trazer à mente algo que

não pode ser fisicamente percebido, como é o caso de um objeto matemático.

Tomemos como exemplo para este tipo de objeto, o número 1. Notamos que

muitos objetos concretos podem facilmente representar a quantidade referente

ao número 1, como um lápis, um giz, uma caneta ou até mesmo o dedo

indicador. Todos são fisicamente concretos e todos são diferentes do objeto

matemático número, que é abstrato.

Para ajudar a entender melhor a capacidade representativa da função

simbólica vamos olhar o que Piaget (1975), postula sobre o desenvolvimento

da criança. Ele pontua que esse desenvolvimento se dá por meio de quatro

estágios: o sensório-motor; o pré-operatório, o operatório-concreto e, por fim, o

operatório-formal, que seria o último estágio do desenvolvimento. Sendo que

os estágios acima não são regras padrões, inclusive não são os únicos fatores

que influenciam as crianças a aprender, por exemplo os números negativos.

“Eles (os estágios) não correspondem, por sua vez, as idades absolutas observando-se, pelo contrário, as acelerações ou retardamentos segundo os diversos meios sócios e a experiências adquiridas” (Piaget, 1982, p.45).

O estágio sensório-motor: É neste estágio que o bebê começa a

construir os esquemas de ação pela construção prática das noções de objeto,

19

espaço, causalidade e tempo. Nesse período ele lança mão de seus reflexos

neurológicos básicos para começar assimilar mentalmente o meio, cujo contato

é direto e imediato, sem representações ou pensamentos.

O estágio pré-operatório, também denominado Inteligência simbólica, é

a fase em que surge, na criança, a capacidade de substituir um objeto ou

acontecimento por uma representação. Esta substituição é possível graças à

função simbólica.

No estágio subseqüente, chamado operatório concreto, ocorre o

desenvolvimento da reversibilidade, ou seja, a capacidade da representação de

uma ação no sentido inverso de uma anterior, anulando a transformação

observada.

Por fim, no estágio operatório formal as estruturas cognitivas da criança

alcançam seu nível mais elevado de desenvolvimento e tornam-se aptas a

aplicar o raciocínio lógico a todas as classes de problemas.

A representação agora permite à criança uma abstração total, não se

limitando mais à representação imediata e nem às relações previamente

existentes. Agora a criança é capaz de pensar logicamente, formular hipóteses

e buscar soluções, sem depender mais só da observação da realidade.

Após visualizarmos as fases de desenvolvimento da criança, na qual a

representação tem um papel fundamental, voltamos a tratar do aparecimento

da função simbólica que, para Jean Piaget, é um momento fundamental do

desenvolvimento cognitivo. É através da função simbólica que a inteligência

torna-se representativa; as ações e sua coordenação podem ser realizadas em

um novo nível, interno, sem ficarem subordinadas aos dados atuais e externos

da percepção.

20

A capacidade representativa é demonstrada pela função simbólica,

como vimos anteriormente e agora podemos representá-la em cinco padrões

de comportamentos que, segundo Piaget e Inhelder (1995), surgem

simultaneamente a partir do segundo ano de vida da criança. São eles: a

imitação, o jogo simbólico, o desenho, a imagem mental, a linguagem. Esses

comportamentos, apesar de começar por volta dos 2 anos, vão levar toda a

infância e parte da adolescência para se formarem completamente. Uma vez

adquiridos, serão sempre usados. São a partir desses comportamentos, que

nós adultos, formamos as imagens e são eles que, juntos, permitem criar a

representação. Para melhor entendermos esses 5 padrões de comportamento

utilizamos as idéias de Piaget e Inhelder. (1995 p. 48).

“1) Há, primeiro que tudo,a imitação diferida, isto é aquela que principia na ausência do modelo. Numa conduta de imitação sensório-motora a criança começa imitando em presença do modelo (por exemplo, um movimento da mão), depois pode continuar a fazê-lo na ausência do modelo sem que isso implique em nenhuma representação em pensamento.

2) Há, em seguida, o jogo simbólico, ou jogo de ficção, desconhecido no nível sensório-motor. A mesma garotinha inventou o primeiro jogo simbólico ao fingir dormir, sentada e sorrindo largamente, mas de olhos fechados, cabeça inclinada, polegar na boca e segurando um canto de pano, que simula o canto do travesseiro, consoante o ritual costumeiro que observa ao adormecer; pouco depois, faz dormir o seu urso de pelúcia, enfia uma conchinha numa caixa dizendo “miau”(acaba de ver um gato num muro) etc.

3) O desenho ou imagem gráfica, nos seus primórdios, é intermediário entre o jogo e a imagem mental, embora quase não apareça antes dos 2 anos ou dos 2 ½ anos.

4) Vem, em seguida, mais cedo ou mais tarde, a imagem mental, da qual não se observa traço algum no nível sensório-motor (pois, do contrário, o descobrimento do objeto permanente seria grandemente facilitado) e que surge como imitação interiorizada.

5) Enfim, a linguagem nascente permite a evocação verbal de acontecimentos não atuais. “Quando a garotinha há pouco citada diz “miau”, já sem ver o gato, há representação verbal além de imitação”.

21

Salientamos que Jean Piaget (Ibid) faz distinção entre dois tipos de

imagem mental: a estática, presa à memória e à percepção, e a dinâmica que

permite que atuemos sobre um determinado objeto, modificando-lhe o

tamanho, a posição, a coloração, a direção ou o sentido sem, contudo, deixar

de reconhecê-lo como sendo o mesmo objeto.

Para representar um objeto do mundo real, podemos fazê-lo lançando

mão de uma evocação. Para tanto, precisamos ter a capacidade de imitação,

do jogo simbólico, do desenho e até da imagem mental estática. Mas se nós

precisamos criar um objeto que não é palpável ou concreto, como é o caso de

objetos matemáticos, vamos precisar então da imagem mental dinâmica, da

memória de evocação e da linguagem. No caso da Matemática há conceitos

como, por exemplo, associado à idéia de simetria:

Se A = B então B =A

Que não é obvio que se tenha tal idéia internalizada, principalmente porque

não estamos nos referindo, necessariamente, a dois objetos concretos,

tangíveis. Da mesma forma, ao expressarmos a idéia de transitividade:

Se A >B >C então A > C,

Neste caso, estamos atuando sobre os objetos e sejam quais forem

eles, o primeiro (A) é maior que o segundo (B), que, por sua vez é maior que o

terceiro (C) e, portanto, podemos inferir que o primeiro é maior que o terceiro.

Assim podemos assumir que a partir dos primeiros conhecimentos a

criança é capaz de reproduzir alguma coisa. Por exemplo, pensemos em um

quadrado:

22

FIGURA 2.1: PROMAT, Grasseschi, Andretta, Silva, 2004, p.165. A criança pode representar essa figura geométrica porque ela reconhece

e desenha um quadrado, mas se ela estiver presa mais nos primeiros padrões

de representação, como imitação ou do desenho, ela pode representar esse

quadrado apenas no eixo ortogonal. Nesse caso, para Jean Piaget, a criança

estaria utilizando o que ele chamou de aspecto figurativo do conhecimento, que

acontece quando a criança lança mão apenas da percepção e da memória

para representar ou reconhecer um objeto. Porém, se ela trabalhar com a

imagem mental internalizada, ela será capaz de atuar sobre esse objeto e

então representá-lo ou reconhecê-lo mesmo que ele lhe seja mostrado em

posições não ortogonal ou não convencional.

Ela pode dizer que “continua sendo um quadrado” só que o quadrado

girou, pois continua com os lados de mesma medida e os ângulos retos. Nesse

caso, dizemos que ela está atuando sobre o objeto.

Com isso, podemos resumir que uma vez adquiridos estes padrões de

comportamento todo ser humano passa a usá-los sempre que for representar

algo.

Quando tratamos dos números negativos vamos precisar da imagem

mental dinâmica, da memória de evocação e da linguagem para podermos

representar esse objeto que não é palpável. Por exemplo, para uma dívida de

três reais, isto é, de –3 reais não há como relacioná-la com qualquer coisa

tangível do mundo concreto.

23

Assim, podemos dizer que a idéia de números inteiros negativos acaba

por destruir a idéia de número como sendo algo possível de ser quantificável

por meio de objetos concretos. Se no conjunto dos naturais um número podia

ser um objeto palpável a partir de sua correspondência com as coisas do

mundo tangível, agora ele passa, definitivamente, para o mundo das idéias. Se

antes considerávamos que um bom caminho para se introduzir o conceito de

número para a criança era relacioná-lo a objetos e coisas contáveis do mundo,

estabelecendo uma analogia entre o conceito de contagem com o da

quantificação de coisas ou de objetos, agora, em que tal situação, vemos que

isso não é mais possível.

Sendo assim há necessidade de se considerar dois tipos de objetos, os

concretos e os abstratos. Dentre os concretos ainda temos aqueles objetos

passíveis de serem vistos no mundo circundante – árvores, livros, cachorros

etc – e aquele que não enxergamos – micróbios, bactérias, átomos e outros.

Quanto aos objetos abstratos, nos referimos àqueles tais como amor, raiva, ar,

etc.

Isso posto, vemos que os estudos de Jean Piaget, de grande valia para

o entendimento sobre o surgimento e o desenvolvimento da representação,

ainda não são suficientes para explicar em suas diferentes nuanças e, por isso,

vamos recorrer às idéias de Raymond Duval sobre esse assunto.

2.2.3 A REPRESENTAÇÂO DO PONTO DE VISTA DE DUVAL

Segundo Raymond Duval (1999), a noção de registro de representação

semiótica traz como princípio a mobilização de vários registros como uma

maneira típica de se representar um objeto matemático, fazendo uma distinção

clara entre a Matemática e o funcionamento cognitivo dos sujeitos que realizam

24

essa atividade. Isto é, mostrando o mesmo objeto matemático em vários

registros facilita o entendimento.

Duval mostra que há dois tipos de sistemas produtores da

representação: os dispositivos físicos (ligados aos neurônios e à percepção) e

os sistemas semióticos (relacionados à linguagem). Não faz sentido, portanto,

falar em representação sem levar em conta o seu sistema de produção.

“[...] Mas de Descartes, até hoje, passando por Peirce e Piaget, muitas mudanças têm ocorrido na maneira de considerar as relações entre conhecimento e representação e, a natureza das representações parece tornar-se mais e mais complexa”. Duval (2000 p. 58).

Essas afirmações nos permitem notar que, para Duval, a natureza das

representações necessita de uma análise estruturada do funcionamento dos

objetos matemáticos.

Numa análise mais específica para os registros de representação temos

que Duval (1999), classifica-os em quatro tipos: dois relativos à representação

discursiva: a língua natural e os sistemas de escritas e outros dois relativos à

representação não discursiva: registro figural e registro gráfico.

Este autor sustenta que para que um conhecimento, ou saber

matemático, possa ser colocado em funcionamento é necessário que se

apreenda não somente com um registro, mas com pelo menos dois registros de

representação e que se saiba também coordenar esses registros, buscando as

relações entre os objetos representados.

Por exemplo, podemos reconhecer um objeto matemático por meio de

suas possíveis e diferentes representações apresentadas no quadro abaixo:

25

Registro da língua natural

Registro do sistema escrito

Registro figural Registro gráfico

Considere a reta que passa pelos pontos A e B

AB

A B

B A

Tabela 2.1 – Registro da língua natural, registro do sistema escrito, registro figural, registro gráfico.

Para ajudar a entender melhor o registro de representação Duval (1999)

postula que não podemos falar de representação sem relacioná-la com seus

sistemas de produção. Mas se levamos em conta sistemas semióticos significa

focar as transformações de representações. Portanto precisamos distinguir

dois tipos de transformações, que são bem diferentes, a saber: “tratamento” e

“conversão”.

Os tratamentos são transformações de representações dentro de um

mesmo registro. Por exemplo, efetuar um cálculo ficando estritamente no

mesmo sistema de escrita ou de representações dos números.

Exemplo: 5 – 3 = 2 ou 5 + (-3) = 2

As conversões são transformações de representações que consistem

em mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados. Por

exemplo, passar da escrita algébrica de uma equação a sua representação

gráfica.

TRANSFORMAÇÃO (De uma dada representação semiótica

para uma outra representação semiótica diferente)

Quadro 2.1: Duval, 2001, p.3. - sistema de tratamento ou conversão.

PERMANECENDO NO MESMO SISTEMA: TRATAMENTO

MUDANDO O SISTEMA: CONVERSÃO.

26

Salientamos que Duval (1999), postula a complexidade cognitiva da

conversão em que podemos observar duas situações importantes que são:

uma de congruência e outra de não congruência.

Em alguns casos a conversão é obvia e imediata. Como se a

representação de um registro de partida fosse transparente para a

representação do registro de chegada e, nesse caso, dizemos que a

conversão é congruente.

“As conversões congruentes são imediatas e espontâneas e para as não congruentes não há nada de imediato” (Passoni, 2002, p.11).

Exemplo de conversão congruente:

Conjunto de pontos cuja ordenada y é maior que a abscissa x, então: y > x

Isso posto, vemos que os estudos de Duval (1995) destaca que a

conversão congruente existe quando:

“Correspondência semântica entre as unidades significantes que as constituem, mesma ordem possível de apreensão dessas unidades nas duas representações e, para converter de uma unidade significante da representação de partida em uma só unidade significante na representação de chegada”. (pp. 5-6)

Salientamos que Duval (1999) destaca que a não congruência é o

fenômeno crucial para toda tarefa de conversão. As dificuldades e os

bloqueios mentais originam-se, freqüentemente, na inabilidade de se realizar a

conversão. Mas o mais surpreendente é o seu caráter unidimensional. Uma

conversão pode ser congruente em um sentido e não congruente no sentido

oposto.

27

Exemplo de conversão não-congruente:

Conjunto de pontos cuja ordenada y e abscissa x tem o mesmo sinal: 0. >yx

Então quando falamos em conversão estamos nos referindo à

congruência ou não-congruência.

Buscamos agora uma explicação da direção da conversão para os que

obtiveram sucesso a conversão é congruente e fracasso, ou mesmo

bloqueios mentais, para a conversão não congruente, revelando uma falta de

coordenação entre os registros. E notamos que o entendimento conceitual só é

possível quando a coordenação é atingida. Por isso, que não podemos

confundir objetos matemáticos com o conteúdo de sua representação, que

podem ser vistos conforme quadro abaixo:

Compreensão

Coordenação

Quadro 2.2: Representação e compreensão para o conhecimento matemático (Duval 2000, composição da figura 2, p.59 e da figura 6, p.65)

OBJETO Denotação Denotação

Signos ou composição de signos

Conteúdo A da representação

Signos ou composição de signos

Conteúdo B da representação

Produção de uma representação Por meio de limitações e possibilidades específicas de um sistema semiótico A.

Produção de uma representação Por meio de limitações e possibilidades específicas de um sistema semiótico B.

28

Assim para qualquer objeto matemático podemos ter diferentes

representações produzidas por diferentes sistemas semióticos. Nesta

perspectiva Raymond Duval (2000) aprofunda:

“Sempre que um sistema semiótico muda, o conteúdo da representação muda, enquanto o objeto continua o mesmo. Mas, um objeto matemático não pode ser identificado por alguma de suas representações, muitos estudantes não discriminam o conteúdo da representação e o objeto representado: objetos mudam quando a representação muda!” (p. 59).

Para ajudar a entender melhor a capacidade representativa, que

consiste em desenvolver coordenações entre os vários tipos de registros, que

se classificam em quatro tipos segundo Raymond Duval (1995, 1996):

REPRESENTAÇÃO DISCURSIVA

REPRESENTAÇÃO NÃO-DISCURSIVA

REGISTROS MULTIFUNCIONAIS:

Os tratamentos não são algoritmizáveis.

Linguagem natural: Associações verbais (conceituais). Forma de raciocinar:

• Argumentação a partir de observações, de crenças...

• Dedução válida a partir de definição ou de teoremas.

Registro Figural: Tabelas ou em perspectivas (configurações em dimensões 0,1,2 ou 3). • Apreensão

operatória e não somente perceptiva;

• Construção com instrumentos.

REGISTROS

MONOFUNCIONAIS: Os tratamentos são principalmente algoritmos

Sistema de Escrita: • Numéricas • Algébricas; • Simbólicas

(línguas formais). • Cálculo

Registro Gráfico: • Mudanças de

sistema de coordenadas;

• Interpolação, extrapolação.

Quadro 2.3: (Duval, 2000, p.65)

“Processos matemáticos envolvem no mínimo dois destes quatro tipos, como podemos ver na resolução de qualquer problema ou em alguns campos como Geometria. A compreensão matemática requer, no mínimo, a coordenação entre dois destes quatro tipos de registro, um monofuncional e outro multifuncional. Problemáticas clássicas de relações entre Matemática e linguagem podem ser colocadas de uma maneira cuidadosa e relevante somente dentro de tal estrutura cognitiva. Em níveis mais avançados de ensino, a

29

predominância de registros monofuncionais discursivos parece crescer. Além disso, é com estes tipos de registros que a perda de significado é observada. Por quê? Acredita-se erradamente que a aplicação na vida diária ou em situações fora da Matemática podem ser as fontes de significado e de entendimento. Não! O principal problema é com os registros multifuncionais. Eles são necessários implicitamente ou explicitamente para a compreensão matemática, mas a maneira que eles trabalham nos processos de pensamento matemático é totalmente diferente da maneira com que eles trabalham em outros campos do conhecimento, e a fortiori, na vida cotidiana. Por essa razão, utilizar a língua natural como no discurso usual referindo-se à uma figura geométrica como se isso fosse tão óbvio como uma outra imagem visual não ajuda, mas aumenta a confusão na compreensão e aprendizagem. Aqui se abre um amplo campo de pesquisas. Se nós queremos entender o complexo mecanismo da aprendizagem matemática nós devemos analisar as maneiras específicas de trabalho dos registros multifuncionais, especialmente em demonstrações e visualizações na resolução de problemas geométricos. Nós já temos muitas variáveis cognitivas decisivas. (Duval, 2000, pp. 65-66).

Um bom caminho para entender a capacidade representativa está em

distinguirmos em primeiro lugar os registros multifuncionais dos registros

monofuncionais.

Registros multifuncionais são aqueles que são utilizados em todos os

campos da cultura. Eles são utilizados para a comunicação e para o

processamento. Assim, a língua natural é necessariamente utilizada em

Matemática, mas não da mesma maneira como ela é utilizada na vida

cotidiana. Ao contrário, os registros monofuncionais têm sido desenvolvidos

para um específico tipo de processamento, para ter desempenhos mais

poderosos e menos custosos que aqueles do registro multifuncional.

Estabelecendo uma analogia entre os registros multifuncionais e

monofuncionais, destacamos que os registros multifuncionais possuem

tratamentos que não podem ser modificados de um modo algorítmico e ao

contrário, os registros monofuncionais podem ser expandidos como

algoritmo.

30

Raymond Duval (1995, 2000), remete-nos ainda a questão: quais são as

condições cognitivas requeridas a fim de que todo o sujeito possa entender

Matemática?

Considerando que entendimento matemático requer uma organização de

maior complexidade, então um bom caminho é valer-se de sistemas

semióticos.

Para entendermos a complexidade dos tipos de transformações

semióticas envolvidas no processo matemático vejamos o que Raymond Duval

(1995,2000) chama de arquitetura cognitiva, constando os tratamentos

intencionais e os automáticos (ou quase-instantâneos), conforme quadro

abaixo:

Quadro 2.4: Várias coordenações entre sistemas produtivos requeridos para compreensões

matemáticas. Fonte: Duval (2000, p. 66).

INTENCIONAL AUTOMÁTICO Utilizando um sistema semiótico através da ativação de sistemas orgânicos (mentalmente ou materialmente)

A representação DENOTA A representação é o RESULTADO o objeto representado em de um acesso direto ao objeto

(da visão para a memória) registro discursivo registro não discursivo reprodução de disponibilidade interna do (expressão) (visualização) gestalts percebidas que foi VISTO linguagem simbólico não-ícônico ícônico natural ou formal sentenças formulas gráficos imitação figuras simulação imagens mentais ? ? esquemas desenhos (homem,casa...) esboço

Internalização

31

Numa análise dos tratamentos, temos o que Raymond Duval (1995),

considera como tratamentos intencionais:

“Aqueles que levam, pelo menos, o tempo de um controle consciente para serem efetuados e que se realizam exclusivamente sobre os dados previamente observados em uma visão do objeto ainda que furtiva. (...) Sua particularidade é que eles não podem ser efetuados, a não ser um após outro e que são muito sensíveis ao número de elementos a integrar” (p.34).

Tratamentos quase-instantâneos (automáticos) são:

“Aqueles que são efetuados antes mesmo de terem sido observados e que produzem as informações e as significações de que um sujeito tem imediatamente consciência (...). Intuitivamente, os tratamentos quase-instantâneos correspondem à familiaridade ou à experiência resultante de uma longa prática ou de uma competência adquirida em um domínio”(pp. 33,34).

“Toda atividade cognitiva humana repousa sobre a complementaridade desses dois tipos de tratamentos. (...). O conjunto dos tratamentos quase-instantâneos de que um sujeito dispõe determina o nível e o horizonte epistêmico para a aplicação dos tratamentos intencionais. (...). Não haveria construção hierárquica de conhecimentos possível sem o acréscimo dos tratamentos quase-instantâneos” (pp. 34, 35).

Podemos observar que Raymond Duval enfatiza que para se dar o

processo de aprendizagem precisamos trabalhar com a mudança de sistemas

de representação. Assim, se introduzimos um determinado conteúdo a partir de

situações relacionadas ao mundo à nossa volta e, conseqüentemente, a dos

alunos, devemos, o mais cedo possível, mudar essa representação para uma

situação Matemática. Por exemplo, se quisermos trabalhar com a reta

numérica, podemos iniciar esse trabalho numa situação que use a

representação de um edifício de apartamentos, mas devemos em seguida

passar a representar o edifício de apartamentos na reta numérica fazendo uma

32

correspondência entre os andares do edifício com a graduação da reta

numérica.

Nestas condições, aprender Matemática implica em integrar dentro da

própria arquitetura cognitiva os registros necessários, na medida do possível,

como novos sistemas de representação, envolvendo coordenações de registros

ou suas decompartamentalizações, tornando-se apto para qualquer

transformação de representação, conforme Duval (1995) afirma:

“A aprendizagem matemática não consiste primeiramente em uma construção de conceitos pelos estudantes, mas na construção da arquitetura cognitiva do sujeito epistêmico”. (pp.66-67).

Tendo exposto os principais pontos das teorias de Jean Piaget e

Raymond Duval, no que tange as idéias que esses autores enfatizam sobre a

representação e seu papel na formação e aprendizagem de conceitos

matemáticos, apresentamos a seguir o estudo de Passoni.

Podemos notar que os pensamentos de Piaget e Duval são

convergentes no campo da representação.

Piaget diz que não há conhecimento sem representação e

conseqüentemente a reunião de um significante que permite a evocação e de

um significado fornecido pelo pensamento.

Duval diz que a representação como princípio para mobilização de

vários registros.

Segundo Piaget é a partir da representação que surge o conhecimento,

ou seja, não há conhecimento sem representação. Portanto há representação

quando se imita um modelo ausente, quando tratamos dos números negativos

33

vamos precisar da imagem mental dinâmica, da memória de evocação e da

linguagem para podermos representar esse objeto que não é palpável.

Duval traz a representação, como princípio a mobilização de vários

registros, como uma maneira típica de se representar um objeto matemático.

Mostra que a natureza das representações necessita de uma análise

estruturada do funcionamento dos objetos matemáticos.

Isso posto, observamos que o estudo de Jean Piaget, traz o

entendimento sobre o surgimento e o desenvolvimento da representação e

Duval complementa com a mobilização de vários registros.

2.3 REVISÃO DE ESTUDOS CIENTÍFICOS CORRELATOS

Procedemos a uma revisão na literatura de estudos correlatos ao nosso

tema de pesquisa buscando as devidas complementações para adequar nosso

trabalho às teorias de Jean Piaget e Raymond Duval.

Podemos notar uma preferência pelo modelo direcionado à

complexidade cognitiva do pensamento humano, em especial ao modelo

cognitivo de Raymond Duval. Isso posto, observamos que o estudo de Piaget,

traz o entendimento sobre o surgimento e o desenvolvimento da representação

e Duval complementa com a mobilização de vários registros.

2.3.1 - O ESTUDO DE SOLANGE DOS SANTOS NIETO

A pesquisa desenvolvida por Nieto (1994) sob orientação da Profª. Drª.

Maria Martha Hubner Pinto visa analisar as possibilidades de se antecipar o

ensino dos números inteiros negativos para a quarta série do primeiro grau.

34

Nieto (1994) entende que, um quadro onde as crianças dos baixos

estratos sócio-econômicos têm necessariamente, que começar sua vida

profissional cedo, encaixando-se na economia informal. Com 10 - 11 anos, que

o ensino de tal matéria – Matemática - é de substancial importância, pois as

habilita do convívio diário. Com números e as operações que os envolvem.

“O abandono da matemática traz dano a todo conhecimento, pois aquele que ignora não pode conhecer as outras ciências ou as coisas deste mundo” (Bacon, séc. XIII citado por Nieto, 1994).

O objetivo de Nieto (1994) é verificar se alunos de séries anteriores à

sexta série do 1º Grau, já se encontram capacitados para assimilar os

conceitos referentes aos números inteiros, uma vez que estes conceitos já se

apresentam com freqüência no cotidiano dos alunos. É o caso, por exemplo,

nas colunas esportivas, em que os pontos dos clubes aparecem representados

por meio de números inteiros negativos, ou também nas marcações de

temperatura, que envolvem números abaixo de zero.

Nieto (1994) busca apoiar-se na “Matemática informal”, aprendida pela

criança fora do processo educacional e estudada por Schliemann (1991), que

separa seus testes em: Teste Formal e Teste Informal. No Teste Formal, o

examinador oferecia lápis e papel e pedia que seu sujeito resolvesse as contas

no papel. No Teste Informal, o sujeito era analisado através de questões orais

na própria barraca ou carrinho no qual ele trabalhava.

Como resultado Schliemann (1991) obteve que no teste informal 98,2%

dos problemas foram resolvidos corretamente enquanto que no teste formal,

nas operações aritméticas, somente 36,8% foram resolvidas e para os

problemas 73,7% foram resolvidos.

35

Na pesquisa de Schliemann (1991) é muito importante verificar o

desempenho das crianças no teste informal, em contrapartida à idéia do que é

feita na escola, onde primeiro se ensinam às crianças operações aritméticas

isoladas de qualquer contexto. Isso mostra que os professores não conhecem

adequadamente sua clientela. Colecionam-se afirmações preconceituosas

sobre o que ela não sabe o que não conhece e deixa de aproveitar o que ela

sabe, o que ela conhece, fazendo com que a criança deixe na porta da escola

suas experiências, suas habilidades.

Nieto (1994) observa que se for feita uma comparação entre crianças da

periferia das grandes cidades e as crianças da classe média, verificar- se- á

que as crianças da periferia são mais independentes, pois aprendem sozinhas

muito mais cedo. Porém, no momento que elas entram para a escola essas

diferenças se revertem, fazendo com que elas passem a agir passivamente.

Essa atitude, só vem reforçar o conceito de o quanto a escola está afastada

dessa clientela e quanto a escola está afastada da comunidade.

Diante desse quadro Nieto (1994) argumenta que cresce continuamente

a preocupação em saber exatamente em que série deveria estar incluída a

apresentação dos números inteiros, deixando de lado, a oportunidade de

antecipar esse estudo, que poderá proporcionar um melhor aproveitamento da

criatividade, da potencialidade e do pensar abstrato presente nas crianças,

trazendo-as à elaboração do pensamento lógico e, conseqüentemente, do

entendimento da teoria. Em outras, palavras seria preciso motivá-los a atingir o

raciocínio necessário à compreensão das operações matemáticas.

Para ajudar a entender essas questões, Nieto (1994) encontra em toda

obra de Piaget uma metodologia que apresentava sugestões de uma relação

36

de semelhança entre a estrutura lógica da mente e as estruturas lógicas da

Matemática. Para essa associação Piaget refere-se ao trabalho do grupo de

matemáticos Bourbaki, que desenvolveu três estruturas básicas da

Matemática, que não eram redutíveis e que, independentemente ou em

combinação, podem originar todas as outras estruturas Matemáticas. São elas:

estrutura algébrica, estrutura de ordem e estrutura topológica.

A associação feita por Piaget (Wadsworth, 1987, p.72) foi a seguinte: no

pensamento da criança de seis ou sete anos de idade encontram-se estruturas

que se assemelham a cada uma das estruturas Matemáticas, apesar de

parecerem altamente abstratas.

Podemos aqui citar como exemplo a “noção de número”. O número

depende das estruturas algébricas e de ordem. Isoladamente, estas estruturas

não satisfazem à noção de número.

Para Piaget (1975, p.44) antes de as crianças conseguirem

compreender a representação dos conceitos matemáticos elas precisam

compreender as operações em si, isto é, antes de conseguirem lidar

significativamente com os números, precisam compreender o que os números

significam.

“O conceito de número inteiro (aqui entende-se inteiro como o número natural sem o zero) é o mais antigo na Matemática e sua origem se perde em névoas da antigüidade pré-histórica (Boyes,1974, p.04).

Nesse contexto insere-se a presente pesquisa tendo como objetivo

verificar se os alunos do nível anterior, como por exemplo, alunos de quarta

série do primeiro grau, já se encontram habilitados a aprender conceitos

referentes aos números negativos.

37

A hipótese levantada por Nieto (1994) é a de que o ensino dos números

negativos está incluído muito tardiamente, pois alunos na faixa etária de 10 e

11 anos que cursam a quarta - série, com freqüência já tem números negativos

permeando a sua vida cotidiana. Norteando-se através da pergunta; “Estarão

às crianças de quarta série aptas a conhecerem o conjunto dos números

inteiros?”, surgiu o Estudo 1, onde elaboram-se questões e testes para os

alunos de três escolas, diferentes nos níveis sócio- econômico- cultural de seus

pais. Os dados coletados nesses três tipos de escolas, em que o primeiro tipo

denominado de grupo A é representado por alunos de escola particular. Na

escola A, há turmas de primeira à quarta série num total de dezesseis salas de

aula com capacidade para aproximadamente 700 alunos de classe social

média alta. Com 70% de pais com nível universitário completo, 20% com

segundo grau completo, e os outros 10% com segundo grau incompleto e

primeiro grau completo ou incompleto.

O segundo tipo de escola, denominada doravante de grupo “B”, é

representado por alunos da escola Publica Estadual de 1º e 2º Graus. No

prédio há quinze salas de aulas para aproximadamente 600 crianças de

primeira à quarta série. A clientela da escola “B” pertence a uma classe social

média, onde verifica-se que 5% tem nível universitário, 20% segundo grau

completo,10% grau incompleto, 30% segundo grau incompleto,15% primeiro

grau incompleto e 20% sem instrução.

O terceiro tipo de escola, denominado de grupo “C” é uma Escola

Publica de primeiro grau com doze salas de aula e com aproximadamente 1000

alunos de primeira à quarta série. A clientela dessa escola “C” pertence à uma

classe social média baixa. Pode-se verificar que cerca de 2% dos pais tem

38

nível universitário, 10% segundo grau completo e 10% segundo grau

incompleto e demais 78% dividiam-se entre primeiro grau completo ou

incompleto e os sem instrução.

A faixa etária dos grupos A, B, C compreende em sua maioria crianças

entre 10 e 12 anos.

Os Materiais foram aplicados, num total de 116 questionários aos alunos

dos grupos A, B, C, que cursavam a quarta série do primeiro grau sendo

distribuído da seguinte forma: 22 questionários para os alunos que

representavam o grupo A, 57 questionários para os representantes do grupo B

e 37 questionários para o grupo C.

Cada questionário esta composto por 9 questões manuscritas e

mimeografadas, tais como as questões: “ O que é um número?”;“Qual é o

menor número que você conhece?”; “ É possível ter no banco menos que

zero?”

Um exemplo de problema é o seguinte:

“Você tem 30 bolinhas, tira 10 e fica com _20_ bolinhas em seguida, tira 10 e

fica com _10_bolinhas novamente tira 10 e ficam com_0_ bolinhas e mais uma

vez tira 10 e fica com_-10_bolinhas”.

30 - _10_ = _20_

_20_ - _10_ = _10_

_10_ - _10_ = _0_

_0_ - _10_ = _-10_

Sobre os procedimentos de pesquisa, Nieto (1994) apresentava-se ao

diretor de cada uma das escolas explicando seu trabalho e objetivo. Depois

então marcava-se o teste. No dia marcado, com a presença da professora de

sala, os questionários eram distribuídos pela pesquisadora. Não havia

39

instrução quanto ao seu preenchimento, exceto quando havia dúvidas quanto à

escrita.

Os professores ficavam na sala, no inicio da aplicação dos

questionários, mas saíam de vez em quando. A aplicação do questionário,

desde a entrega para os alunos até o seu recolhimento, durou em média de 15

a 30 minutos.

Conclusão: Tendo em vista os dados coletados, as crianças

entrevistadas demonstram já possuir conhecimentos sobre os números

negativos. A maioria das crianças conceitua um número como quantidade.

Explicam através de exemplos como o zero é o menor número que conhecem.

Em duas escolas A e B, há crianças que acham possível ter-se menos do que

nada no banco. Utilizam símbolos adequados para representar “perdas” e

“ganhos” e têm conhecimento da noção de aposto.

Portanto, as crianças investigadas podem aprender números negativos e

isto vai ao encontro da afirmação de Piaget:

“Eles (os estágios) não correspondem, por sua vez, as idades absolutas observando-se, pelo contrário, as acelerações ou retardamentos segundo os diversos meios sócios e a experiências adquiridas” (Piaget, 1982, p.45).

A idade das crianças de 10 a 12 anos se encontra segundo Piaget

(1982), no estágio das operações concretas e provavelmente iniciando o

estágio das operações formais. Como o conjunto dos números inteiros

representados por Z é um grupo comutativo com relação à adição, isto

possibilita sua aprendizagem por compreensão, e não por memorização

apenas, pois elas teriam condições de compreender o conjunto dos Z como

uma ampliação de N (Conjunto dos números naturais), obtida pelo acréscimo

dos números negativos.

40

Segundo Piaget (1982), no estágio em que essas crianças se

encontram, o das operações concretas, é importante salientar que o ponto de

partida é um sistema real de objetos e relações que a criança percebe.

Sendo assim, Nieto (1994) propôs uma sugestão sobre como

desenvolver o conjunto dos números inteiros para a quarta série, fazendo com

que as crianças percebessem suas aplicações na vida pratica, assimilando

também a ação e o pensamento que levaram o homem a construir o conjunto

dos números negativos.

O que acontece atualmente, segundo Nieto (1994) é que as crianças

vêem esse conjunto somente na sexta série do primeiro grau, depois de

trabalharem praticamente cinco anos no conjunto dos números naturais. Nesta

fase, o assunto dos números inteiros surge sem ter sido elaborada alguma

estratégia preparatória para sua aprendizagem. Os conceitos, as simbologias

utilizadas são oferecidas sem nenhuma certeza de que se possa garantir a

compreensão operatória.

Nieto (1994) acredita que a ausência de construção de um sistema,

como por exemplo, os dos números inteiros é que acarreta os problemas

encontrados na série em que o estudo está sendo comumente ensinado. Por

outro lado, como foi visto na presente pesquisa, as crianças já podem estudar

esse assunto antes.

“Enquanto que a introdução do estudo dos números negativos é deixada para 6º série, as suas propriedades básicas e operações desenvolvem-se de maneira instrutiva, no nível elementar (1º a 4º série)”. (D’ Augustine 1976, p.261).

Além disso, a formalização desse ensino, a dos números negativos,

segundo Nieto (1994) acontece muito depois de a criança já ter deparado-se

com o uso deles. Como, por exemplo, nas manchetes de televisão em que um

41

repórter diz que o frio atinge 9 graus abaixo de zero ou, ainda, em sua própria

casa, onde escuta comentários sobre negócios alegando-se prejuízo. Nos itens

que envolvem a comparação de números positivos (+) e números negativos (-),

as maiores dificuldades encontram-se nas comparações entre números

negativos.

Resta uma dúvida ou questionamento, segundo Nieto (1994) que essa

dificuldade na aprendizagem pode ser oriunda da forma de ensinar ou do

momento mais precoce? Refletindo sobre esses aspectos, Nieto (1994) pensou

em uma reaplicação do questionário, só que precedido de aula sobre o

assunto.

Mas uma aula que levasse as crianças a pensar, a usar a imaginação e

não, simplesmente manipular “regrinhas” decorativas. Esta replicação,

precedida de uma aula sobre números inteiros, foi chamada de Estudo 2.

Os sujeitos são alunos da escola B, escolhidos para refazerem os

questionários anteriormente aplicados, após uma aula sobre números inteiros.

Optou-se por conduzir o Estudo 2 com a escola B pelo fato de tratar-se

de uma escola com nível médio em relação às outras duas. Após cinco meses

da primeira aplicação, houve a necessidade de se trabalhar com um grupo de

controle e um grupo experimental. A primeira aplicação dos questionários da

escola B foi com 57 alunos pertencentes as quatro 5ª séries.

O material utilizado é o mesmo isto é, os questionários da primeira

aplicação do Estudo 1.

Como conclusão, vê-se pelos dados apresentados, que a idade das

crianças não oferece nenhuma dificuldade para a aquisição dos conceitos dos

números inteiros e que a aula dada foi suficiente para tal.

42

Segundo Nieto (1994) conclui-se que, na educação o currículo necessita

de uma revisão de suas práticas em sala de aula, requerendo uma nova visão,

exigindo novos métodos que se adaptem aos novos problemas. Uma mudança

curricular implica logicamente numa proposta pedagógica, mas não é só na

educação que ela se reflete, mas no social, na política, no cultural etc. Vale

citar, dentre de várias contribuições de Rosseau, a insistência em que se

conheça a criança e conhecendo seus estágios qualitativamente. (Rosseau

abud Adler, 1968).

“O momento propício é feito pela criança”

Vê-se assim a importância do professor, pois não basta saber que o

aluno é capaz, mas é preciso avaliar também se o professor está de acordo e

preparado para efetuar a mudança.

Pensando neste fato, Nieto (1994) realizou um estudo com professores,

chamado de Estudo 3. Os Sujeito, são professores das escolas A, B, e C com

nível sócio econômico médio e médio alto. Dos três grupos das escolas, 11

professores responderam aos questionários, sendo três da escola A, quatro da

escola B e quatro da escola C, escolhidos aleatoriamente. Foram apresentados

questionários com seis questões. A conclusão é que nas respostas dadas

pelos professores, pode-se verificar semelhanças nas respostas no conjunto

geral, mas constatou-se “superioridade” nas condições dos professores da

escola A. Nas escolas B e C a maioria, possuía o curso de magistério completo

e poucos com licenciatura. Em nenhuma das três escolas os professores

possuíam “Licenciatura Matemática”.

A pesquisa de Nieto (1994) mostra que as crianças já conhecem o

número negativo na linguagem do dia-a-dia, já aplicam e aprendem quando

43

ensinadas. Discutiu-se, então, se os educadores, os PCN’(s) e o Livro Didático

possam estar negligenciando esses conhecimentos, pois as crianças são

portadoras de uma grande quantidade de informações quando chegam à

quarta-série e o nosso currículo não está contemplando.

O trabalho de Nieto é muito significativo à nossa própria pesquisa, pois

propõe a mesma idealização de trabalho que é o de antecipar o ensino dos

números inteiros negativos para séries iniciais, buscando compreender as

dificuldades das crianças com os números inteiros negativos e as respectivas

deficiências da prática docente.

2.3.2 - O ESTUDO DE ALCIONY REGINA HERDÉRICO SOUZA SILVA

A pesquisa desenvolvida por Alciony (2005), sob orientação da Profª.

Drª. Neuza Bertoni Pinto, visa compreender como os erros com números

racionais são concebidos pelos professores e alunos no processo de ensino e

aprendizagem do Ensino Fundamental.

O estudo investiga no contexto matemático, as práticas docentes

utilizadas para o tratamento dos erros produzidos pelos alunos numa escola

pública do Município de Araucária/PR.

Os sujeitos da pesquisa são 2 professores que ministram aulas de

Matemática nas 5as, 6as e 7as séries e 17 alunos das referidas séries.

A Metodologia constituiu de uma prova contendo questões relativas aos

conteúdos dos números racionais indicados na proposta curricular oficial para

os professores avaliarem os erros detectados. Após foram fornecidos os

indicadores da qualidade, da origem e das formas de superação dos mesmos.

Mostrando uma forte tendência para origem dos erros na precariedade da

Matemática ensinada nas séries iniciais.

44

A pesquisa apresenta entrevistas semi-estruturadas com todos os

sujeitos envolvidos com o objetivo de levantar dificuldades e formas de

conceber e lidar com erros. O estudo aponta a vigência de formas tradicionais

de tratamento de erros como a principal dificuldade dos docentes em ensinar

os números racionais de forma contextualizada, aliadas às dificuldades dos

alunos no processo de aprendizagem em relação a parte-todo, as dificuldades

conceituais e de operacionalização desse conjunto de números.

Os resultados revelam um discurso docente construtivista e uma prática

conservadora e descontextualizada de tratamento de erros com implicações na

auto-estima dos alunos que consideram o erro uma incapacidade pessoal em

aprender Matemática. Tais evidências remetem à complexidade de formação

docente e à cultura conservadora impregnada no ambiente escolar em relação

ao erro por desconsiderar sua potencialidade didática.

Assim a questão que Alciony (2005) coloca prioritária para o presente estudo:

“Como os erros são percebidos pelos professores e pelos alunos no processo de ensino e aprendizagem dos números racionais no Ensino Fundamental”?

A investigação é focada na concepção que tem o professor de

Matemática do Ensino Fundamental em relação aos erros cometidos pelos

alunos nas operações com os números racionais.

Além desse objetivo geral, Alciony (2005) destaca também alguns

objetivos específicos em seu trabalho, como os erros praticados pelos alunos

na aprendizagem dos números racionais, identificando as principais

dificuldades dos alunos em relação aos números racionais.

45

Para entender o homem e o conhecimento a ciência modernas em sua

trajetória de evolução, bem como os reflexos desta evolução percebidos pelas

sociedades cada vez mais desiguais, com um capitalismo que exalta a crença

do progresso material ilimitado, os seres humanos são desrespeitados, entre

outros. Assim, Alciony (2005) busca explicação em Santos (2000, p.117).

“a sociedade moderna, outrora vista como solução para todos os problemas das sociedades modernas, acabou por se tornar ela própria, num problema”.

Em Bronowski (1977, p.85), explica que foi por volta de 1660 que a

Europa pôs fim ao longo pesadelo das guerras religiosas que o homem passou

a estabelecer uma vida mais voltada à exploração comercial e industrial.

Também encontramos em Behrens (2000, p.17), no final do século XIX e início

do século XX, as sociedades são influenciadas pelo método cartesiano, que

separa mente e matéria e propõe a divisão do conhecimento em campos

especializados.

Este pensamento leva a comunidade científica a uma mentalidade

reducionista, marcada pela visão fragmentada de mundo em que o

individualismo acentuado, a racionalidade e a objetividade são considerados

como pontos fundamentais da ciência. Mas todo este desejo de ordenação

acaba por resultar na separação entre sujeito e objeto de conhecimento.

Conforme Morais (1988, p.88):

“Sujeito e objeto precisam, de alguma forma, comungar entre si para que aconteça o conhecimento. Um deles não pode excluir totalmente o outro”.

46

Dentro deste contexto, Alciony (2005) mostra que o homem acaba por

ficar perdido num emaranhado de informações, sem saber qual deveria ser o

caminho para uma vida melhor e, conseqüentemente, para sua felicidade.

Sendo assim, todo o conhecimento acumulado é valido, mas é

necessário saber diferenciar o conhecimento que melhor se ajusta às

necessidades das pessoas que convivem nas sociedades, que está

intimamente ligado a aprendizagem. Para Bronowski (1977, p.95 -96):

“O processo de aprendizagem é essencial a nossa vida. Todos os animais superiores o procuram deliberadamente. São inquiridores e experimentam. Uma experiência é uma espécie de inofensiva tentativa e realizar qualquer ação que teremos de fazer no mundo real; e isso quer seja feita no laboratório, por cientistas, ou fora dele”.

Segundo Morais (1988, p.89):

“Se não houver um decidido policiamento das nossas idéias pré-concebidas, conduziremos nossas observações premeditadamete e acabaremos por falsear a realidade que nos apresenta”.

Segundo Alciony (2005) a educação enfrenta uma grande crise, em

especial a disciplina de Matemática pelo papel seletivo e excludente que tem

exercido no processo educacional, tendo em vista a reconstrução de uma nova

história no processo no processo de ensino aprendizagem desta ciência. Em

Polettini (1999, p.255):

“O professor de Matemática ainda tem uma visão dualista da Matemática, caracterizada pelo certo e errado, e esta visão implica na dificuldade do docente em organizar ações em sala de aula de outro tipo de abordagem da Matemática”.

A pesquisa de Alciony (2005) busca dados que evidenciassem as idéias

de professores de Matemática e alunos das séries finais do Ensino

47

Fundamental sobre os erros no processo ensino e aprendizagem dos números

racionais.

Os alunos, em uma análise geral, atribuem os seus erros a uma falta de

capacidade de realizar aquilo que foi transmitido pelo professor. Quando eles

não conseguem perceber seus erros, demonstram um certo desconforto com a

situação. A maioria dos alunos envolvidos na pesquisa tinha de saber onde

errou e como poderiam realizar o mesmo problema da maneira correta.

Em relação às entrevistas, constatou-se que os professores possuem

uma visão basicamente tradicional do processo de ensino e aprendizagem,

apesar de conhecerem outras propostas pedagógicas. Ainda em relação às

entrevistas, Alciony (2005) constata que os professores não aceitam

interpretações diferentes das suas respostas fornecidas pelos alunos. Este fato

causou preocupação, pois os docentes continuam motivando seus alunos para

submissão das regras impostas, prejudicando o desenvolvimento da

aprendizagem independente.

Os erros sinalizam claramente as dificuldades que os alunos possuem

em relação aos números racionais. Todavia o professor, a partir destes erros,

pode refletir e investigar uma maneira diferente de trabalhar o conteúdo que

ficou incompleto para que ocorra aprendizagem.

Os professores atribuem os erros dos alunos, com relação aos números

racionais, às séries anteriores. Mas este fato acaba revelando a inexistência de

diálogo e reflexão entre os pares, ou seja, a culpa recaia sobre as séries

iniciais, alegando que as professoras não possuem formação matemática

específica.

48

Neste sentido, a formação de professores parece ser muito frágil no que

tange ao trabalho pedagógico com relação aos erros dos alunos.

A pesquisa de Alciony (2005) mostra que a escola deve perder a rigidez

e a disciplina impostas, para então ganhar naturalidade e criatividade, já que as

normas disciplinares nascem do consenso do grupo. O horário e o tempo de

aprendizagem ficam condicionados à construção do saber e não ao tempo pré-

estabelecido por um papel.

Que as concepções de erros dos professores participantes não trazem

avanços em relação às propostas reflexivas e interacionistas de trabalho com

erro, especialmente com erros de números racionais. Isto também decorre das

limitações observadas em relação à compreensão dos atributos principais os

conceitos dos números racionais.

2.3.3 - O ESTUDO DE LUÍS AUGUSTO SBARDELLINI

A pesquisa desenvolvida por Sbardellini (2005), orientada pela Prof. Dr.

Marcelo Esteban Coniglio, visa apresentar um resumo histórico sobre o

desenvolvimento conceitual da concepção do continuum matemático, a qual se

traduz, em larga medida, na noção de números reais. Mostrando a asserção de

que idéias de magnitudes variam continuamente.

O estudo investiga matematicamente, que uma estrutura (parcialmente)

ordenada só merece qualificação “de números reais” se ela é de fato

homogênea. A parte da pesquisa que nos interessou foi a introdução do objeto

números naturais viabiliza a definição de sistemas numéricos tais como os

inteiros, os racionais e, conforme o método aplicado, diferentes (isto é, não

isomorfas) estruturas reais.

49

Os principais resultados deste trabalho foram a demonstração da

homogeneidade das estruturas ordenadas dos racionais, dos reais de

Dedekind e dos números reais de Cauchy. Mostrando que a estrutura dos

racionais é, num certo sentido, a menor dessas estruturas.

A maneira usual de definir o objeto dos números inteiros Z naturalizado

E2 consiste em tomar a união disjunta de N com a sua imagem por s. Assim:

Z : = N + s( N ).

2.3.4 - O ESTUDO DE REGINA FLEMMING DAMM

A tese de doutorado Damm (1992), orientada pela Profº Drº Gerard

Vergnaud, trata dos nos problemas de adição à representação bi-dimensional e

a sua compreensão de texto visualizando a congruência ou não congruência

como instrumento de aprendizagem classificando os problemas de adição em

conceituais, semânticos ou textuais com grupos de alunos de (6-9anos) e (9-12

anos) da França e do Brasil.

Apresenta a classificação dos problemas aditivos em critérios

conceituais como:

• Composição de 2 elementos de N;

• Operação de uma transformação;

• Relação estática entre 2 elementos;

• Composição e 2 transformações;

• Transformação entre duas relações estáticas;

• Composição de relações.

2 E são topos onde são introduzidos o objeto dos números naturais para definição de sistemas numéricos

50

Foram aplicados 8 questões no pré e pós-teste com o tipo de

problema acumulativo ( multiplicação e adição) e comparação ( multiplicação,

adição e subtração).

Damm (1992), conclui que o importante é notar que temos diferentes

formas de resolução de problemas de adição e que a escola primária insiste

em resolver estes problemas sempre com certas resoluções padrões.

Vergnaud propõe uma classificação de problemas que não atenda somente às

características semânticas dos problemas, mas que atenda também às

relações entre as concepções e os enunciados dos problemas.

Outra parte importante do trabalho é a representação, compreensão e

resolução dos problemas aditivos, através dos registros de representação dos

problemas aditivos, onde são trabalhados a congruência e a não congruência e

a representação da bi-dimensionalidade do problema.

Essa autora considera a idéia do uso de representações no ensino da

Matemática, com base na teoria de Raymond Duval, para a organização de

situações de aprendizagem.

Segundo Regina Damm (2000):

“Em Matemática toda a comunicação se estabelece com base em representações, os objetos a serem estudados são conceitos, propriedades, estruturas, relações que podem expressar diferentes situações, portanto para o seu ensino precisamos levar em consideração as diferentes formas de representação de um mesmo objeto matemático. Um dos primeiros passos a ser dado é a compreensão do que seriam estas representações essenciais ao funcionamento do conhecimento e ao desenvolvimento dos conhecimentos” (ibid, p. 135).

A pesquisadora sintetiza que podemos dizer que uma escrita, um

símbolo ou uma notação representam objetos matemáticos. O que foi

51

observado, de uma forma geral, foi a confusão entre a representação do objeto

matemático com o próprio objeto matemático. Para a compreensão da

Matemática é de fundamental importância a distinção existente entre objeto

matemático tratado e a sua representação.

O que foi constatado em diversas pesquisas em Educação Matemática,

segundo a pesquisadora, é a dificuldade que o aluno encontra em passar de

uma representação para a outra:

“Ele consegue fazer tratamentos em diferentes registros de representação de um mesmo objeto matemático, porem é incapaz de fazer as conversões necessárias para a apreensão deste objeto. Esta apreensão é significativa a partir do momento em que o aluno consegue realizar tratamentos em diferentes registros de representação e “passar” de um a outro o mais naturalmente possível” (Damm 2000, p.136).

A apreensão é importante quando o aluno consegue colocar em prática

naturalmente os diferentes registros significando a aprendizagem do conteúdo.

Por outro lado, a pesquisadora observa uma vertente que a Matemática

trabalha com objetos abstratos, ou seja, estes objetos não são diretamente

acessíveis à percepção, necessitando para sua apreensão o uso de uma

representação. Neste caso as representações através de símbolos, signos,

códigos, tabelas, gráficos, algoritmos, desenhos foram bastante significativas,

pois permitem a comunicação entre os sujeitos e as atividades cognitivas do

pensamento, compreendendo registros de representação diferentes de um

mesmo objeto matemático.

Esta linha de investigação apresenta algumas dificuldades em relação

ao fazer pedagógico. Assim, Damm apoia-se na fundamentação teórica das

idéias de Raymond Duval (1993), com três aproximações sobre a noção de

representação:

52

As representações como representação subjetiva e mental: Pode-se

dizer que estão na mesma perspectiva das concepções prévias.

As representações internas ou computacionais: São representações

internas e não conscientes do sujeito.

As representações semióticas: A noção de representação semiótica

surgi com um problema de modelização da linguagem.

Com isto, Damm (2000) conclui que:

As representações semióticas, as representações computacionais e as representações mentais não são espécies diferentes de representações, mas sim representações que realizam funções diferentes. As representações mentais têm uma função de objetivação. As representações computacionais realizam uma função de tratamento.

As representações semióticas realizam, de maneira indissociável, uma função de objetivação e uma função de expressão. Elas realizam de alguma forma uma função de tratamento, porém este tratamento é intencional, uma função fundamental para a aprendizagem humana. Podemos citar como exemplo as representações gráficas, que são representações semióticas, como o são as figuras geométricas, a escrita algébrica, as línguas. Isto significa dizer que o representante visível (que no caso das representações gráficas são os traços retos ou curvos traçados sobre o plano) tem lei de organização própria que permite a representação de outras coisas (funções ou outros objetos matemáticos).Convém aqui lembrar que as representações semióticas têm dois aspectos, sua forma (ou o representante) e seu conteúdo (o representado) (p.141).

Este trabalho de Damm (2000) é muito significativo para o nosso próprio

estudo porque descreve a forma como se processa a aquisição do

conhecimento em conjunto com representações, organizando assim as

situações de aprendizagem.

Em Matemática toda a comunicação se estabelece com base em

representações levando em consideração as diferentes formas de representar

um mesmo objeto matemático, mostrando que é durante a passagem de um

53

registro de representação a outro que podemos observar a importância da

forma de representação.

2.3.5 - O ESTUDO DE ANA PAULA JAHN

A pesquisa desenvolvida por Jahn (1994), orientada pela Profª Drª Tânia

Maria Mendonça Campos, visa apresentar a construção e estudo do

funcionamento do processo de ensino de operações no conjunto dos números

inteiros, identificando os obstáculos que se opuseram à compreensão dos

números inteiros.

O estudo investiga no contexto do ensino aprendizagem da Matemática,

e mostra que as dificuldades encontradas no decorrer da história quanto à

compreensão dos números relativos, repetem-se em sala de aula quando da

introdução desses números na sexta série do Ensino Fundamental,

prejudicando sensivelmente o trabalho algébrico.

A pesquisa de Jahn (1994) foi realizada com uma classe de 16 alunos

da 5ª. série (faixa etária de 11 anos) de uma escola particular de classe média

alta de São Paulo, em Junho de 1994. Foram ministradas 7 sessões de uma

hora cada, com observação de 2 professores da área de Matemática da

graduação.

Essas sessões foram realizadas no horário normal, especificamente nas

aulas de Matemática cedidas pelo professor da turma. Os alunos trabalharam

em dupla, sendo duas delas fixas e escolhidas aleatoriamente para serem

observadas no decorrer das sessões.

54

Foi escolhida uma situação simulando um processo do computador,

utilizando materiais como fichas, áudio-gravador em duplas e testes de

conhecimento.

Utiliza a Engenharia Didática como metodologia de pesquisa. Com isto,

a seqüência didática proporciona aos alunos condições para a construção dos

seus próprios algoritmos, dando sentido aos números negativos.

Jahn (1994) toma a Engenharia Didática enquanto metodologia de

pesquisa apoiada nas idéias de Bell(1986) , Murray(1985) e Nunes(1991):

“O trabalho com números inteiros por sua vez, tem sido identificado por vários pesquisadores (Bell, 1986; Murray, 1985; Nunes, 1991) como uma questão que apresenta sérias dificuldades no ensino-aprendizagem da Matemática. Dentre os problemas encontrados, percebe-se que as crianças muitas vezes estendem as regras das operações multiplicativas (as chamadas regras de sinais) para as operações aditivas.” (Jahn 1994, p.12).

A pesquisadora considera o problema da descontextualizarão, apoiada

nas idéias de Campos (1993), e mostra que introduzindo estes números de

forma contextualizada dá, num primeiro momento, a ilusão de que o conceito

foi adquirido, mas quando do trabalho com operações formais, a

descontextualizarão não ocorre. Nesta mesma linha, Jahn (1994) apresenta

uma dificuldade apontada por Campos (1993) onde os alunos acertam no

modelo de temperatura, mas erram na comparação dos mesmos números

quando apresentados formalmente. O erro está no fato de que consideram

maior aquele que tem maior valor absoluto. Além disso, aponta também o

problema do conhecimento espontâneo e busca maiores esclarecimentos nos

desenvolvimentos dos conceitos espontâneos e científicos vindos da

fundamentação teórica de Vygotsky (1987):

55

”O problema acima diz respeito a passagem do conhecimento espontâneo, aquele que o aluno adquire a partir de suas experiências no cotidiano e que é trazido para a sala de aula, para o conhecimento formal, aquele que é aprendido na escola e que forma o saber científico.”(Jahn, 1994, p.13)

Com isto, Jahn (1994) argumenta que a introdução dos números inteiros

negativos a partir de um sistema de representação condizente com o processo

mental ou cognitivo desenvolvido numa situação para o aluno foi condição

essencial para aprendizagem dos números inteiros, principalmente no que se

refere às operações.

No caso específico dos números inteiros, a didática não pode ignorar o

caráter teórico desta noção matemática. Enquanto os números naturais podem

ser representados por objetos ou modelos empíricos, os números negativos

não existem, no mesmo sentido, na vida cotidiana. Assim, é preciso, no

processo de aprendizagem escolar, supor a passagem das grandezas (noções

concretas) aos números (noção abstrata) com a ajuda da fundamentação

teórica das idéias de Schubring (1986):

Na introdução do conceito de número negativo, (Schubring, 1986) este pode ser justificado por entes ou situações que estão de acordo com o mundo físico (por exemplo: pelo modelo de temperatura). Na continuidade desse estudo, em determinados momentos, alguns aspectos são justificados pela coerência do campo conceitual, ou seja, satisfazendo apenas condições internas da Matemática.

Gallardo e Rojano (1988):

Nas investigações sobre os fenômenos de transição do pensamento aritmético, Gallardo e Rojano (1988) afirmam que, para se chegar ao conhecimento algébrico é necessário romper com conceitos e hábitos do aritmético. (Jahn,1994, p.19 e 20).

Observamos, na vertente da pesquisadora, que é possível perceber a

dificuldade dos matemáticos em se desprenderem do caráter concreto atribuído

56

aos entes números existentes, dando aos negativos uma outra natureza. A

pesquisadora conclui:

“ Se os próprios matemáticos que contribuíram para a criação e desenvolvimento da teoria tiveram certas dificuldades para compreender claramente os conceitos, acreditamos que o mesmo poderá ocorrer com os alunos e professores. E somente uma análise epistemológica fornecerá subsídios para se estudar as condições pedagógicas de superação desses obstáculos, resultando num projeto didático que efetivamente os considere e não venha reforçar as concepções errôneas dos alunos.”(Jahn, 1994, p.42).

Esse trabalho de Jahn (1994) é significativo porque descreve alguns dos

obstáculos que se opuseram à aquisição da noção de números negativos

colocando-os em evidência, analisando os seus efeitos e buscando formas de

superá-los. Jahn (1994) evidencia que os números naturais podem ser

representados por objetos ou modelos empíricos, os números negativos não

existem, no mesmo sentido, na vida cotidiana. Onde é preciso no processo

escolar, supor a passagem das grandezas (noções concretas) aos números

(noção abstrata), trazendo muita similaridade com o nosso estudo.

Outro aspecto muito interessante relatado por Jahn (1994) é a

dificuldade de homogenização dos números inteiros positivos e negativos em

uma única entidade a reta numérica. Dificuldades que os alunos tiveram na

construção de uma reta com os números inteiros positivos e negativos.

Tendo exposto os principais pontos dos estudos de Damm, sobre os

registros de representação bem como os estudos de Jahn sobre a introdução

do conceito e das operações aditivas dos números, apresentaremos, a seguir a

importância dos números inteiros negativos na escola, segundo os Parâmetros

Curriculares Nacionais.

57

2.4 O ESTUDO DE PASSONI

O estudo de Passoni, uma dissertação de mestrado (2002), tem por

objetivo estudar a possibilidade e conveniência de ensinar a estudantes de

nove anos de idade o conceito de números inteiros, bem como introduzir

noções de (pré) Álgebra.

Passoni (2002) concluiu que os resultados progressivos alcançados

podem ser apresentados na questão onde foi trabalhada a reta numérica que

apresentou um índice de acerto médio de 8,25% no pré-teste e após a

seqüência de atividades desenvolvidas com o aporte teórico de Duval, tivemos

no pós-teste um resultado final de 100%. Mostrando que o respeito ao ritmo

individual de aprendizagem dos alunos e a forma estruturada da seqüência de

atividades trouxe este resultado significativo.

Estudo esse que teve por suporte teórico as idéias de Raymond Duval.

Passoni (2002), ao interpretar as idéias de Raymond Duval, explicita que:

É essencial para a aprendizagem da Matemática o reconhecimento de conversões não-congruentes e a coordenação desses registros. O entendimento conceitual só se realiza em Matemática quando tal consideração é atingida. Somente assim os objetos matemáticos não são confundidos com o conteúdo de cada representação. (Passoni, 2002, p.11).

O estudo, de caráter intervencionista, foi aplicado com todos os alunos

de uma das 3a séries de uma escola particular da cidade de São Paulo, cuja

média de idade foi de 8 anos e 9 meses. O tempo para a realização do estudo

foi de cinco meses, e dividido em duas etapas: a etapa correspondente à

aplicação de testes – pré e pós-teste – e a etapa que compreendeu a aplicação

de uma seqüência de ensino. Esta última etapa, sobre a seqüência de ensino,

foi desenvolvida em 3 meses, com uma duração total de aproximadamente 32

58

horas, tendo sido inteiramente desenvolvida pela professora da classe e com

supervisão presencial do pesquisador.

A seqüência é composta de 16 conjuntos de atividades, divididas em

cinco partes. A primeira é dedicada à introdução dos números inteiros (3

conjuntos de atividades), a segunda abordou a introdução da idéia de oposto (4

conjuntos de atividades), a terceira tem a finalidade de introduzir a adição com

inteiros (5 conjuntos de atividades), a quarta foca a introdução de equações e

de alguns problemas aditivos (3 conjuntos de atividades) e a quinta, e última

parte, é dirigida para a introdução da subtração com os números inteiros (1

conjunto de atividade).

O quadro abaixo consta na da dissertação de Passoni (2002) que aqui

reproduzimos e descreve, sumariamente, as cinco partes da seqüência de

ensino, acompanhadas dos conjuntos de atividades referentes a cada parte.

Mostrando que nossa pesquisa não vai na contramão à teoria de Piaget

(1982) em relação à faixa etária como foi colocado na página (18), 3 parágrafo

capítulo 2.

A pesquisa mostra resultados progressivos no desenvolvimento dos

alunos, trazendo que os fatores para o tal sucesso é pelo respeito ao ritmo

individual de aprendizagem dos alunos e a forma estruturada da seqüência de

atividades desenvolvidas.

59

Quadro 2.53: Sinopse dos 16 conjuntos de atividades desenvolvidos por Passoni (2002, p.25)

O estudo de Passoni conclui que:

3 e.g. exemplos gerais.

60

“Pelos resultados progressivos, no desenvolvimento da seqüência, e pelos resultados do pós-teste, acreditamos ter mostrado, efetivamente, como nossa possibilidade pode ser realizada” (Passoni, 2002, p.203).

O autor atribui como principais fatores para tal sucesso o respeito ao

ritmo individual de aprendizagem das crianças participantes e a forma como foi

estruturada a seqüência de atividades desenvolvida.

Na estrutura arquitetônica dessas atividades, tivemos presente a necessidade de, constantemente e no momento apropriado, derrubar os andaimes e deixar bem visível a estrutura conceitual (Passoni, ibid, p. 203).

A nossa intenção com o presente estudo é realizar uma reaplicação do

estudo de Passoni acima relatado, porém serão desenvolvidas apenas as

Fases 1 e 2 na introdução dos números inteiros. Com relação à série,

trabalhamos com alunos da mesma série que Passoni adotou, ou seja,

pretendemos investigar a possibilidade de se introduzir os números inteiros

para crianças da terceira série (idade entre 8 e 9 anos) da escola pública

Municipal, ou utilizando a seqüência de atividades de Passoni (2002),

seqüência esta norteada pelas idéias de Raymond Duval sobre à utilização de

vários registros de representação envolvendo tratamento e conversão.

As escolhas metodológicas serão discutidas oportunamente, no capítulo

de Metodologia.

Nossa conjectura científica é saber se um estudo desenvolvido em

ambiente de aprendizagem, no qual os alunos são menos estimulados em seus

lares (como é o caso, provavelmente, dos alunos da escola pública da periferia

da Cidade de São Paulo) alcançara resultados tão positivos como foram os

obtidos por Passoni (2002).

61

2.5 - HISTÓRICO DOS NÚMEROS NEGATIVOS

Para melhor compreender as dificuldades inerentes ao conceito de

número relativo, apresentamos um resumo histórico sobre o aparecimento e

uso desses números na Matemática (com o respectivo tipo de representação),

conforme as pesquisas de Jahn (1994, p.27 – 33), Passoni (2002, p.15 – 18) e

Nieto (1994, p. 33 - 37).

Passoni (2002) afirma que a história dos números é bastante

interessante. Os leitores interessados podem se deliciar com os textos de

Georges Glaeser (1981), ou com Gert Schrubing (1986), ou com José Luis

Gonzáles et alii (1990), ou com Dominique Gaud e Jaqueline P. Guichard

(1991), ou com Ana Paula Jahn (1994), ou ainda com excertos de Carl B.

Boyer (1974) e, é claro, com excertos de outros livros de história da

Matemática. Pareça haver um certo consenso de que os números negativos

foram bastante utilizados em Matemática antes de serem “legitimados”.

Para a legitimação dos negativos “contribuiu de forma decisiva a obra do

matemático alemão Hermann Hankel (1839 – 1873), publicada em 1867:

‘Teoria do sistema dos números complexos’. Com ela se dá o salto do concreto

ao formal que permitirá justificar os diversos sistemas numéricos”.(Gonzáles,

1990, p. 48).

Gonzáles nos diz que “Hankel não buscou a justificação dos negativos

em situações reais que ‘expliquem’ seu comportamento, mas em leis formais,

concretamente no ‘princípio de permanência’ que teria sido introduzido por

George Peacock (1791 – 1858), alguns anos antes, a fim de fundamentar a

Álgebra e justificar as operações com expressões literais”.

62

Continuando a elucidar Gonzáles (citado por Passoni, 2002):

“Hankel, retomando a iniciativa de Peacock, formulou o princípio de permanência das leis formais que estabelece o critério geral de algumas ampliações do conceito do número”: 1. A palavra número responderá a símbolos ou agregados de símbolos que não representam necessariamente números de campo numérico previamente dado ou conhecido, posto que seu significado possa ser qualquer. 2. Definir-se-ão para o novo campo numérico as operações fundamentais da Aritmética (adição e multiplicação) e o conceito de igualdade, de maneira que se conservem as definições no campo menos amplo, como no caso particular das novas definições, e que subsistam as leis formais de uniformidade, associativa, comutativa, distributiva e conservação do elemento neutro. A partir desse momento, os negativos foram completamente admitidos e ocuparam um lugar reconhecido dentro da Matemática; não obstante, careciam de uma definição rigorosa e explícita. Até então eram apenas símbolos, com os quais se operava seguindo determinadas leis” (Gonzáles, 1990, pp. 48 – 49).

No final do século XIX e início do XX, surgem várias construções de Z e os

números negativos passam a ser reconhecidos no mesmo nível dos positivos.

Há quase unanimidade também, embora haja leituras diversas, em

reconhecer que os números negativos surgiram como necessidade no domínio

da Matemática. Fischbein (1987, p. 121) observa que “não existe necessidade

prática para inventar números negativos”. Não há como negar, no entanto, que

a maior parte das atividades envolvendo um pouco de Matemática atualmente

é inconcebível sem o uso desses números.

A noção de estrutura mostra que os números inteiros, com os quais

estamos tratando em nosso trabalho, é um modelo de anel de integridade

totalmente ordenado e que, via inclusão, podemos, sem muitos problemas,

considerar N como sendo o subconjunto de Z formado pelos inteiros maiores

ou iguais a zero.

Com essa perspectiva, podemos considerar os inteiros não positivos como

o subconjunto de Z formado pelos inteiros menores ou iguais a zero, isto é,

63

partir do ponto, por assim dizer, de quando os matemáticos tranqüilizaram-se

em relação a esses números (e em relação a outros) e os usam, quando

necessitam, como ferramentas muito úteis.

Jahn (1994) relata que os chineses fizeram uso dos números negativos

desde o primeiro século de nossa era. Eles efetuavam cálculos e resolviam

equações interpretando esses números como simples subtraendos. Os

coeficientes positivos eram indicados por gravetos (pequenos pauzinhos)

vermelhos e os coeficientes negativos por gravetos pretos que eram

manipulados sobre um tabuleiro: esse esquema de cores também era

encontrado nos trabalhos escritos. Apesar das regras de sinais não terem sido

definitivamente afirmadas em qualquer tratado Chinês até 1299, elas já eram

conhecidas e utilizadas constantemente.

O embrião da regra de sinais é geralmente atribuído à Diophante (fim do

século III d.C.). Este autor não faz nenhuma referência aos números negativos,

entretanto no início do livro I de sua “Arithmétique”, fazendo talvez alusão ao

desenvolvimento do produto de duas diferenças, ele escreve:

“Uma falta multiplicada por uma falta dá o que é positivo, enquanto que uma falta multiplicada por o que é positivo dá uma falta”. (Glauser, 1981, p. 311).

Os hindus também utilizaram muito cedo os negativos, Brahmagupta

(séc. VII) foi um dos primeiros matemáticos a aceitá-los. Ele falava em

“quantidades positivas e negativas” e apresentou a seguinte regra:

“... uma dívida subtraída de zero torna-se um bem, e um bem subtraído de zero torna-se uma dívida”. (Gaud e Guichard, 1991, p.94 ).

Bhaskara (séc. XII) tinha uma posição oscilante em relação aos números

negativos, pois operava com os mesmos, mas rejeitava-os como raízes de uma

64

equação. As obras hindus da época traziam as sentenças acompanhadas de

um exemplo de aplicação numérica, nada era demonstrado ou explicado.

Os árabes pouco contribuíram para a teoria no sentido de apresentarem

algo novo. Al-Khowarizmi (séc. IX) estabeleceu as regras usuais que foram

consideradas verdadeiras pelos seus sucessores, mas pouca atenção foi dada

aos negativos. Sendo a Itália uma das principais vias pelas quais a ciência

árabe penetrou na Europa, quando Fibonacci escreveu o seu “Liber Abaci” em

1202, seguiu a postura árabe. Alguns anos mais tarde, na sua obra “Flos”

(1225), interpretou uma raiz negativa num problema financeiro como uma

perda. Outros escritores medievais foram poucos, além disso, nesse tema, mas

no período Renascentista, encontramos esses números recebendo cada vez

mais reconhecimento.

No Ocidente, os números negativos aparecem por volta do final do

século XV, sobretudo entre os matemáticos que se preocupavam com as

equações e suas raízes. Nos problemas resolvidos por Chuquet (1484), por

exemplo, ele escreve a raiz de uma equação como “m 7 x 3/11” para –7 x 3/11,

demonstrando manipular e aceitar a solução negativa.

O primeiro escritor do século XVI que tratou da referida questão foi

Cardan no livro “Ars Magna” em 1545, onde reconheceu as raízes negativas e

(re) definiu as regras de cálculo multiplicativo. Entretanto outros matemáticos

da mesma época ou posteriores, tal como Viète, insistiam em dar às equações

somente raízes positivas. Viète (1541-1603) talvez tenha sido o maior

algebrista de seu tempo, mas nem mesmo toda a sua visão algébrica permitiu

uma compreensão dos números negativos, a ponto de não mais rejeitá-los.

65

A partir de Viète, o cálculo literal se desenvolveu espantosamente com

regras possíveis de serem ensinadas, mas, elas se referiam somente às

quantidades positivas uma vez que as letras não representavam quantidades

negativas. Apesar disso, o uso de letras representou um papel unificador

essencial, sobretudo em 1659, quando Hudde introduziu a idéia de que uma

letra, sem sinal pré-fixado (não afetada de um sinal), poderia designar um

número positivo ou negativo.

Faz-se necessário também mencionar o matemático alemão Michael

Stifel que escreveu a “Arithmetica integra”, um dos mais importantes livros de

álgebra impressos no século XV. Ele se ocupou de maneira significativa dos

números negativos, dos radicais e das potências. Ao utilizar os coeficientes

negativos nas equações, Stifel reduzia muitas equações quadráticas a uma

única forma apresentando uma regra especial quando se devia empregar o

sinal + ou o sinal -. Conhecia bem as propriedades dos números negativos que

chamava de “números absurdos”. Ainda que não admitindo os negativos como

raízes, difundiu o uso dos sinais + e – em detrimento à notação italiana (m.

para negativos ou menos e p. para positivo ou mais). Os símbolos + e – são

atribuídos a um outro matemático alemão, Widman que em 1489 publicou um

livro de aritmética comercial considerado o primeiro a trazer esta apresentação.

O que se pode perceber até aqui é que a utilização dos números

negativos estava sujeita às numerosas controvérsias, principalmente quanto à

existência e validade de certas regras. Somente na metade do século XIX é

que esses números adquiriram um estatuto de igualdade com os positivos, em

particular nos trabalhos de Hankel (1867). Na verdade Hankel estava

interessado em expor a teoria formal dos números complexos e é a título

66

preliminar que ele liquida o problema dos relativos na obra “Theorie der

Complexen Zahlensysteme”. A vantagem dos trabalhos desse matemático

alemão é a abordagem numa outra perspectiva, a de que os números

negativos não são descobertos, mas sim inventados, imaginados, por isso não

há necessidade de extrair da natureza exemplos práticos que os explicam.

Conhecendo as propriedades aditivas de R e a multiplicação de R+ ,

Hankel propõe a extensão da multiplicação de R+ a R, respeitando um princípio

de permanência: a estrutura algébrica procurada deve manter as propriedades.

A existência e a unicidade dessa extensão resultou no seguinte teorema:

“Teorema: A única multiplicação sobre R que prolonga a multiplicação usual sobre R+, respeitando as distributivas ( à esquerda e à direita) é aquela conforme a regra de sinais”. (Glaeser, 1981, p.338).

Depois desta formulação, ele apresenta a primeira demonstração correta do

produto de números negativos:

“0 = a x 0 = a x (b + opp b) = ab + a x (opp b) 0 = 0 x (opp b) = (opp a) x (opp b) + a x (opp b) Daí: (opp a ) x (opp b) = ab” (ibid.,p.388)

Esse breve histórico mostra que a prática e a utilização dos números

relativos foram bem anteriores a sua definição, como ocorreu com muitas

outras noções matemáticas. Esses números, “concretos” para os orientais e

“falsos” para os ocidentais, apareceram como instrumentos de cálculo

facilitando a resolução de equações, ou seja, um instrumento teórico e

algébrico.

“... Assim, a prática clandestina do cálculo de números relativos antecedeu em 1600 anos sua compreensão. Eis uma lição que a didática da Matemática jamais deveria esquecer.” (Glaeser, 1981, p.313)

67

Nieto (1994) menciona que já se encontravam vestígios sobre números

negativos, na civilização através de dois escritos de monta – o Chou Pei Suang

e o Chiu – Chiang por volta de 300 a.C., onde estão presentes problemas

matemáticos, cálculos, equações e modos de mensuração. Vale lembrar,

segundo Carl Boyer (1974), que a numeração Chinesa ao contrário daquela da

Mesopotânia, permaneceu essencialmente decimal, com dois sistemas de

notação coexistindo lado a lado: no primeiro havia símbolos diferentes para os

dígitos de um a dez, e símbolos adicionais para as potências de dez e, em

outro sistema, os numerais eram grafados em barras, mas o que é de

importância não se esquecer, é o fato de que o conceito de número negativo já

estava consolidado na China – prova – o uso de dois tipos de coleções de

barras, uma vermelha para os números positivos e uma negra para os números

negativos – muito embora Boyer (1974) acredite que os chineses não

aceitassem a idéia de que um número negativo pudesse ser resolução de uma

equação.

Um outro matemático Hindu, que antecedeu Bhaskara, foi Brahmagupta

(viveu em 628). Que contribuiu muito para álgebra, apresentando soluções

gerais de equações quadráticas, inclusive envolvendo raízes negativas.

Do que se conhecia das regras sobre grandezas negativas, dos

teoremas geométricos dos Gregos sobre subtração, por exemplo, (a-b). (c-d) =

ac + bd –ad – bc, os Hindus as convertiam em regras numéricas sobre número

positivo e negativo.

“Positivo dividido por positivo, ou negativo por negativo é afirmativo. Cifra (zero) dividido por cifra é nada. Positivo dividido por negativo é negativo. Negativo dividido por afirmativo é negativo. Positivo ou negativo dividido por cifra é uma fração com esse denominador” (Boyer, 1974. p.160).

68

De Brahmagupta, século VII, vai-se para Al-Khowarizmi, matemático e

astrônomo árabe do século IX.

“Embora os árabes rejeitassem as raízes negativas e grandezas negativas, conheciam as regras que governavam o que chamamos de número com sinal” (Boyer, 1974. p.169).

Daqui dá-se um salto para o século XVI, com uma obra muito importante

– Arithmética Íntegra, de Michel Stifel (1487 – 1567), onde o aspecto mais

importante é seu tratamento dos números negativos, radicais e potências.

Explicou, por uma regra especial, quando usar (+) e quando usar (-). Mesmo

assim, ele recusou a admitir números negativos como raízes de uma equação

e os chamava de “numeri absurdi”.

Mas coube a Albert Girard (1590 – 1633),

“enunciar claramente as relações entre raízes e coeficientes, pois ele admitiu raízes negativas e imaginárias. De modo geral Girard percebia que as raízes negativas são orientadas em sentido oposto ao dos números positivos, antecipando, assim a idéia de reta numerada. O negativo em geometria indica um retrocesso, ele disse, ao passo que o positivo, um avanço” (Boyer, 1974. p.224).

Somente em 1867, com Hermann Hankel (1839 – 1873), que finalmente

barreiras se superaram. Hankel considerou os números negativos como

números inventados, dando assim a ampliação de R+ (conjunto dos números

não negativos) para R (conjunto dos números Reais).

Tem-se, portanto, um período que vai de 200 a.C. até 1867 d. C., com

de aproximadamente 2000 anos, até que ocorresse a formação do conjunto de

números inteiros, isto é, a junção dos números positivos e dos números

negativos numa mesma classe de números.

69

Por fim, chega-se ao século XX, com duas grandes guerras, a Física

Quântica e Atômica, a velocidade da luz e do som, o avião, o telefone, a luz

elétrica, o automóvel, as bombas atômicas, os satélites e a exploração

extraterrestre, que estarão por trás desta nova postura.

O avanço da ciência – o universo tecnológico, o vídeo e a informática,

estes são, provavelmente, os responsáveis pela nova ótica e pela nova relação

que se estabelece entre indivíduo e conhecimento, inteligência, no sentido de

coisa intelectual – e saber – no sentido de conhecimento estruturado.

“E quando a criança de trinta anos atrás podia estar olhando para o céu e acreditar em qualquer estória que se contasse sobre as estrelas e astros em geral, hoje qualquer criança já sabe ou mesmo viu na TV, o desembarque do homem na Lua. E quando há trinta anos atrás podia-se falar do homem que fazia grandes cálculos com números enormes em pouco tempo, hoje qualquer criança sabe, que apertando um botãozinho, em pouco tempo se fazem cálculos de 10 algarismos sem maiores problemas”.(D’Ambrosio, 1986, p.90).

2.6 – OS NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS NA ESCOLA

O foco do nosso estudo é a introdução do número inteiro negativo na 3ª

série do Ensino Fundamental. Achamos de muito valia ao nosso estudo

observar como são tratados os números inteiros negativos em relação aos

Parâmetros Curriculares Nacionais e aos livros didáticos que obtiveram

aprovação no Plano Nacional Livro Didático, denotado simplesmente como

PNLD, no terceiro e quarto ciclo.

Assim, tendo em vista a importância dos números inteiros negativos

para a leitura de situações especificas que integram o individuo ao meio que

vive, faremos uma breve apresentação sobre esse tema constante nos

Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (1ª a 8ª séries) –

volume 3 – Matemática, denotado simplesmente como PCN. Para entender

70

melhor um paradoxo em que, por um lado alunos concluintes do Ensino

Fundamental e alguns profissionais de Nível Superior apresentam dificuldades

em lidar com operações simples envolvendo esses números e, por outro, a

comparação empírica que crianças pequenas (a partir de 8 ou 9 anos)

apresentam facilidade em lidar com esse tipo de número em situações do dia-

a-dia, acrescido do sucesso que crianças de 9 anos tiveram em aprender e

trabalhar com números inteiros negativos no estudo realizado por Nieto (1994)

e Passoni (2002).

2.6.1 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS

Referentes a 1ª à 4ª séries, os números inteiros negativos não constam

explicitamente como objetivos gerais do Ensino Fundamental nos primeiro e

segundo ciclos no PCN (BRASIL, 1997):

“A construção da idéia de número racional é relacionada à divisão entre dois números inteiros, excluindo-se o caso em que o divisor é zero. Ou seja, desde que um número represente o quociente entre dois inteiros quaisquer (o segundo não nulo), ele é um número racional como neste ciclo trabalha-se apenas com os naturais e ainda não com os inteiros negativos os números racionais a serem tratados são quocientes de números naturais”.(ibid.p.101) “As relações entre a medida de uma dada grandeza e um número é um aspecto de fundamental importância, pois é também por meio dele que o aluno ampliará seu domínio numérico e compreenderá a necessidade de criação de números fracionários, negativos, etc”.(ibid p.131)

Referentes a 5ª à 8ª séries, os números inteiros negativos se

relacionam aos objetos gerais do Ensino Fundamental no terceiro e quarto ciclo

no PCN (BRASIL, 1998):

“Nesse processo, o aluno perceberá a existência de diversos tipos de números (números naturais, negativos, racionais e irracionais) bem como de seus diferentes significados, à medida que deparar com situações-problema envolvendo operações ou medidas de

71

grandezas, como também ao estudar algumas das questões que compõem a história do desenvolvimento do conhecimento matemático”. (ibid p.50) “Neste bloco serão tratadas diferentes grandezas (comprimento, massa, tempo, capacidade, temperatura etc.) incluindo as que são determinadas pela razão ou produto de duas outras (velocidade, energia elétrica, densidade demográfica etc.). Será explorada a utilização de instrumentos adequados para medi-las, iniciando também uma discussão a respeito de algarismo duvidoso, algarismo significativo e arredondamento. Outro conteúdo destacado neste bloco é a obtenção de algumas medidas não diretamente acessíveis, que envolvem, por exemplo, conceitos e procedimentos da Geometria e da Física. (ibid p.52). “resolver situações-problema envolvendo números naturais,inteiros, racionais e a partir delas ampliar e construir novos significados da adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação”.(ibid p.64). “Os números inteiros podem surgir como uma ampliação do campo aditivo, pela análise de diferentes situações em que esses números estejam presentes. Eles podem representar diferença, “falta”, orientação e posições relativas. As primeiras abordagens dos inteiros podem apoiar-se nas idéias intuitivas que os alunos já têm sobre esses números por vivenciarem situações de perdas e ganhos num jogo, débitos e créditos bancários ou outras situações. ”(ibid p.66). “A esse respeito convém salientar que a resolução de situações-problema com diferentes tipos de números é pouco trabalhada neste ciclo (e menos ainda no quarto ciclo), não possibilitando aos alunos ampliar ou construir novos significados, seja para a adição/ subtração, multiplicação/divisão ou para a potenciação /radiciação”. (ibid p.67).

Podemos notar que os números inteiros negativos não ganham

importância mesmo no PCN’(s), pois estão sempre relacionados com a álgebra

e um pouco no campo de grandeza e número. Talvez, seja este, um dos

motivos da grande dificuldade em se abordar este assunto nos conteúdos

escolares. Com isto, consequentemente os Livros Didáticos abordam os

números inteiros negativos somente em blocos na 6ª.série.

72

Nossa sugestão com relação aos PCN’(s) é que os mesmos podem

apresentar e relacionar os números inteiros já nas séries iniciais dos currículos,

tal como nossa pesquisa busca mostrar.

2.6.2 – LIVRO DIDÁTICO

Adotaremos para análise em nosso estudo uma coleção com aprovação

no PNLD para 1ª a 4ª serie e duas coleções para 5ª a 8ª série.

2.6.2.1 - Referente 1ª à 4ª série

Considerando para análise a coleção FAZENDO E COMPREENDENDO

MATEMÁTICA, de Lucília Bechara Sanchez, Manhúcia P. Liberman, Regina L.

Motta Wey, Editora Saraiva, PNLD 2005 código 004251-L- 1ª edição, 4ª

tiragem- 2004.-NOVA VERSÃO.

Escolhemos está coleção porque além de possuir aprovação do PNLD é

o livro adotado na escola em que nossa pesquisa foi realizada.

As considerações:

O livro da 1ª série, não apresentou representação com números inteiros

negativos.

O livro da 2ª série, na página 187, há o gráfico de temperatura somente

com os números inteiros positivos.

O livro da 3ª série, na página 31, temos exercícios lidando com dinheiro

em que trabalha-se com números inteiros positivos e, na página 161,

trabalhando com a unidade de comprimento.

O livro da 4ª série, também trabalhando com a régua, há exercícios

propostos com números inteiros positivos, mas só que agora trabalhando com

frações decimais. Ainda nenhum exemplo ou exercício que trabalhasse com os

números inteiros negativos.

73

1ª série 2ª série 3ª série 4ª série

1ª à 4ª série

FAZENDO E

COMPREENDENDO

MATEMÁTICA

Não apresentou

representação com

números inteiros

negativos.

Gráfico de

temperatura

somente com os

números inteiros

positivos.

Somente com

números inteiros

positivos, utilizando

a régua como

padrão.

Há exercícios

propostos somente

com números inteiros

positivos

Tabela 2.2 - Livro didático 1ª à 4ªsérie

2.6.2.2 - Referente 5ª à 8ª série

Adotamos para análise duas coleções porque os PCN fazem referência

aos números negativos nas séries acima e as coleções possuem aprovação no

PNLD.

1º Coleção

O livro analisado é da coleção PROMAT Projeto oficina de Matemática,

de Maria Cecília Castro Grasseschi, Maria Capucho Andretta, Aparecida

Borges dos Santos Silva, Editora FTD, PNLD 2004 código 258164-8A L-Ano-

2004.

Nossas análises são as seguintes:

O livro da 5ª série, em nenhum momento trabalhou-se com os números

inteiros negativos. Na página 165, há um exemplo de temperatura com

números inteiros positivos e na página 172, desenvolveu-se o conceito de

frações, que trata de números inteiros.

O livro da 6ª série ampliou-se a contagem mostrando um termômetro

com temperatura negativa, na página 19. Um outro exemplo interessante,

trazendo o nível do mar como zero, também trouxe o conjunto dos números

inteiros negativos nas páginas 20 e 21.

74

Sistematiza as idéias de sentido crescente e decrescente na reta

numérica. Na página 26, consta um jogo de labirinto com os números inteiros

positivos e negativos. Nas páginas 28 e 29, as regras de sinais são

apresentadas e nas páginas 42 e 44, inclui-se um exercício de representação

dos andares de um prédio correspondendo-os na reta numérica.

Na página 50, os números inteiros negativos são representados pelas

derrotas dos times de futebol na tabela de classificação.

Nas páginas 55 à 58, temos uma história tratando das operações com

números negativos.

O livro da 7ª série, apresenta nas páginas 7 e 8, os números inteiros

negativos. Na página 11, a transformação de registro de um número decimal

negativo em um número fracionário negativo e na pagina 17, mostra-se uma

representação de uma reta com alguns números reais positivos e negativos.

O livro da 8ª série mostra-se na página 11, a arrecadação de impostos

numa tabela com números negativos. Na página 25, temos a operação de

potência com números inteiros negativos. Uma idéia interessante aparece na

página 47, em que da raiz quadrada exata de um número inteiro positivo temos

como um dos resultados um número inteiro negativo.

Sobre o tema números inteiros negativos, na página 99, têm-se os

conjuntos domínio e imagem cujos elementos são os números negativos.

Mostrando com tudo isto que os números inteiros negativos são

trabalhados em blocos na sexta série sem nenhuma correlação ou interligação

com as séries seguintes.

2º Coleção

O livro considerado é da coleção A CONQUISTA DA MATEMÀTICA, de

75

Jose Ruy Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr., Editora

FTD, PNLD 2002 código 258016-8 tipo L- Ano- 2002.

Nossas análises são as seguintes:

No livro da 5ª série, em nenhum momento trabalhou-se com os


No livro da 6ª série, a introdução do número negativo começa no

capítulo 2, das páginas 22 à 27, relatando a história do número negativo,

apresentando exemplos de termômetro, de extrato de conta bancária, de

painéis de elevadores e de saldos de gols.

Introduziu-se os números inteiros na reta numérica, na página 28.

Trabalhou com as operações com números inteiros negativos, passando pela

potenciação e radiciação até chegar nas expressões numéricas com números

inteiros negativos. Trabalhou o conjunto dos números racionais com números

negativos até a página 97.

O livro da 7ª série, traz-se na página 23 apenas uma representação na

reta numérica, sem trabalhar exercícios com os números negativos. O aluno

volta a trabalhar com os números negativos numa situação em que uma das

raízes da solução de um sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas,

sendo a primeira um número negativo, nas páginas 136 e 137.

O livro da 8ª série mostra-se, nas páginas 10 e 11, a potência de um

número real trabalhando com números negativos e das páginas 14 até a 21

com potência de um número real. Na página 26, trabalha-se com a raiz

enésima de um número real. Entre as páginas 71 e 145, há resoluções de

equações do 2º grau com uma raiz negativa.

76

Utiliza-se os números negativos no plano cartesiano entre as páginas

102 e 141 e na página 113, na relação funcional entre 2 conjuntos.

Com isso notamos que os números negativos são pouco trabalhados no

primeiro e segundo ciclo, recebendo recomendação só no terceiro e quarto

ciclo do Ensino Fundamental, mas sem o devido destaque.

Conseqüentemente, os livros didáticos trabalham pontualmente com esses

números no conjunto dos números inteiros, mais especificamente na 6ª série.

Nos 2 livros analisados não encontramos aplicação sobre a deflação, muito

comentada pelos meios de comunicação à partir de 1994, e muito menos numa

tabela de variação cambial, como por exemplo, do dólar mostrando sua

flutuação no mercado financeiro, pois diariamente pelos meios de comunicação

são mostrados os valores de queda e de alta tanto da bolsa de valores quanto

da variação cambial.

Estas análises dos livros didáticos nos mostram que os números inteiros

negativos devem deixar de serem trabalhados em blocos em uma única série

para serem trabalhados no bloco Tratamento da Informações4 e distribuídos

em todas as séries, pois a economia faz parte do nosso dia-a-dia.

Podemos concluir que os números inteiros negativos, devido a sua

necessidade de abstração, devem ainda ser introduzidos no primeiro ciclo para

que os blocos de números e operações, espaço e forma, grandezas e medidas

e Tratamento da Informação possam interpretar e demonstrar o que a mídia

televisiva e escrita diariamente relaciona com a economia brasileira e mundial.

O quadro, a seguir, resume nossas análises sobre os livros investigados.

4 Bloco de Tratamento da Informação refere-se à parte da estatística

77

5ª série 6ª série 7ª série 8ª série

1º Coleção

Coleção PROMAT

Projeto oficina de

Matemática

Em nenhum

momento trabalhou-

se com os números

inteiros negativos.

Sistematiza as

idéias de sentido

crescente e

decrescente na

reta numérica.

Trabalha pouco

com números

inteiros negativos.

Trabalha com

conjuntos domínio

e imagem cujos

elementos são os

números

negativos.

2º Coleção

Coleção

A CONQUISTA

DA

MATEMÁTICA

Em nenhum

momento trabalhou-

se com os números

inteiros negativos.

Relata a história do

número negativo,

apresentando

exemplos de

termômetro, de extrato

de conta bancária, de

painéis de elevadores e

de saldos de gols.

O aluno volta a

trabalhar com os

números negativos

numa situação em que

uma das raízes da

solução de um sistema

de equações de 1º grau

com duas incógnitas.

Utiliza-se os números

negativos no plano

cartesiano na relação

funcional entre 2

conjuntos.

Tabela 2.3 - Livro didático 5ª à 8ªsérie

78

CAPÍTULO 3 METODOLOGIA

O presente capítulo propõe descrever um estudo intervencionista que

realizamos com vistas a responder a questão de nossa pesquisa, a saber:

investigar a possibilidade e eficiência de se introduzir a noção de número

inteiro negativo na 3ª série do Ensino Fundamental na Escola Pública, através

da reaplicação de uma parte do estudo desenvolvido por Passoni (2002).

Passoni (2002) busca conhecer o processo de aprendizagem escolar na

passagem das grandezas concretas para as abstratas do número.

Acreditamos que a noção dos números negativos pode ser introduzida

desde cedo na escola, a partir de situações que estão de acordo com o mundo

físico. (geral na p.1) ou (específica p.7).

3.1 – UNIVERSO DO ESTUDO

Nossos sujeitos são alunos de duas classes de 3º série, do período

matutino, de uma Escola Municipal, localizada no Bairro Sapopemba, Zona

leste de São Paulo. Esta escola atende aos dois primeiros ciclos do Ensino

Fundamental, funcionando em períodos matutino e vespertino. Atende a,

aproximadamente, 850 alunos, sendo 16 turmas pela manhã, 08 turmas no

período da tarde e 02 turmas de reforço escolar no período matutino.

Os profissionais docentes da escola contam com razoáveis recursos

pedagógicos, tais como: Biblioteca, sala de vídeo e laboratório de informática.

3.2 OS SUJEITOS

Este estudo foi realizado com dois grupos de alunos, isto é, envolveu

duas classes da 3º série do Ensino Fundamental, às quais denominamos de

79

Grupo de Controle (GC) e Grupo Experimental (GE).

Em relação ao grupo experimental, começamos a trabalhar com 26

alunos, com idade aproximada de 9 anos, e como é comum o abandono ao

longo do experimento, concluímos com 17 alunos. Quanto ao grupo de controle

começamos com 27 alunos e finalizamos com 18 alunos.

3.3 DESENHO DO EXPERIMENTO Nossa pesquisa tem caráter intervencionista, uma vez que contempla,

em sua metodologia, a aplicação de um pré-teste, de uma intervenção de

ensino e um pós-teste.

O desenho envolveu um grupo experimental e um de controle. Ambos os

grupos submeteram-se tanto ao pré-teste como ao pós-teste.

Os grupos de pesquisa foram compostos de alunos de uma mesma

escola de duas classes diferentes, porém numa mesma faixa etária.

O esquema abaixo é um quadro elucidativo do experimento que foi

desenvolvido:

Quadro 3.1: Desenho do experimento

Grupo Controle

Sujeitos

Grupo Experi-mental

Com Intervenção

Manipulativa

Pré teste

Pós teste

Pós teste

Pré teste

Sem Intervenção

Manipulativa

80

O GE participou da aplicação de dois instrumentos diagnósticos sendo

que o primeiro, teve o objetivo de diagnosticar os conhecimentos prévios dos

alunos sobre os números inteiros, enquanto que o segundo, aplicado após

intervenção de ensino visou, estudar o desenvolvimento desses conceitos.

Nossa intervenção de ensino objetiva desenvolver os conceitos de introdução

do número inteiro negativo na 3ª série do Ensino Fundamental, com o uso de

material manipulativo específico conforme descrito a seguir.

O GC constituiu-se em um grupo de referência, em que aplicamos apenas o

pré-teste e o pós-teste.

3.4 – PROCEDIMETO

O estudo constou de duas etapas distintas a saber: diagnostico (pré e

pós-teste) e intervenção de ensino, desenvolvidas, separadamente com os dois

grupos(GC e GE) de alunos que participaram da pesquisa da seguinte forma:

GC – etapa diagnóstica (pré-teste e pós-teste) e GE – etapa diagnóstica (pré-

teste e pós-teste) e intervenção de ensino.

Todas as etapas foram desenvolvidas em sala de aula convencional, no

período normal das aulas, com a presença do pesquisador e da professora da

sala.

A Etapa 1, referente aos Instrumentos diagnósticos, foi subdividida em duas

fases, o pré e o pós-teste.

Na distribuição e passagem para o próximo exercício, o pesquisador e o

professor leram as questões, em voz alta, para que os alunos pudessem

entender e solicitassem ajuda toda vez que necessitassem.

O grupo composto pelo pesquisador e professor da sala, foi bastante

cauteloso ao atender as dúvidas dos alunos quanto ao entendimento das

81

questões, de forma a não interferir em suas respostas. O motivo de tal

procedimento está na garantia que nenhuma sugestão pudesse ser dada aos

alunos, mesmo que involuntariamente.

As questões foram resolvidas pelos alunos, individualmente, no contexto

de papel e lápis. O primeiro grupo que respondeu o pré-teste foi o GE e, no dia

seguinte, o GC.

O conteúdo matemático abordado nas questões do pré-teste foi também

contemplado no pós-teste de maneira semelhante, procurando manter o

mesmo grau de dificuldade.

O pré-teste foi aplicado em Março de 2005, a intervenção de ensino foi

desenvolvida ao longo dos meses de Março, Abril, Maio,Junho e Julho, e o

pós-teste foi aplicado 15 dias após o término da intervenção.

A 2º Etapa, referente A intervenção de ensino, foi desenvolvida ao longo de

quinze semanas e sempre que possível consecutivas com 1 só encontro

semanal. Durante esses encontros foram realizadas 31 atividades, totalizando

aproximadamente 15 encontros, com duração aproximada de 3h30 cada um.

No próximo capítulo será apresentado o resultado desta coleta, bem

como as análises quantitativas e qualitativas.

3.5 – MATERIAL UTILIZADO

A pesquisa desenvolveu-se em 2 etapas, através do seguinte material:

na etapa 1, o material utilizado constou de instrumentos diagnósticos (testes)

aplicados em duas fases (pré e pós-teste), e na etapa 2 utilizamos fichas de

atividades e material para manipulação.

82

3.5.1 – MATERIAIS DA ETAPA 1 – OS TESTES

3.5.1.1 - Pré-Teste

O pré-teste foi constituído por 9 questões dispostas em forma de um

caderno com as dimensões de meia folha A4. Em cada folha desse caderno

havia, no máximo, duas questões por página, sendo que ao todo o caderno

tinha 6 páginas, contando com a capa, a qual foi dedicada a identificação do

aluno. Assim, temos que os testes (pré e pós) foram desenvolvidos no contexto

de papel e lápis.

A seguir, apresentamos as questões do pré-teste, acompanhadas do

objetivo, de uma análise a priori e de possíveis procedimentos de resolução.

1-PREENCHA NA SEQUÊNCIA ABAIXO ESCREVENDO O NÚMERO CORRESPONDENTE DENTRO DO

CÍRCULO, OUTRO DENTRO DO TRIÂNGULO E OUTRO DENTRO DO QUADRADO:

a) O NÚMERO DENTRO DO CÍRCULO É MAIOR DO QUE O NÚMERO DO QUADRADO? SIM NÃO

b) O NÚMERO DENTRO DO QUADRADO É IGUAL AO O NÚMERO DENTRO DO TRIÂNGULO? SIM NÃO

c) O NÚMERO DENTRO DO TRIÂNGULO É MENOR QUE ZERO? SIM NÃO

Quadro 3.2 - Questão 1 do pré teste.

Esta questão objetiva identificar:

a) Se os alunos apresentam algum raciocínio com relação aos números inteiros

positivos e negativos comparando-os entre si pelo seu valor numérico.

b) Se os alunos possuem alguma noção de posição na reta numérica com os

números positivos e negativos e quais as relações que o número zero possui

com eles.

c) Observar se as figuras geométricas são preenchidas com os números

inteiros.

0-1

83

De forma geral, com base no aporte teórico, o desempenho dos alunos

nessa questão será insatisfatório, pois a maioria dos alunos conseguirá

preencher corretamente o valor numérico dentro do quadrado, porém

encontrarão dificuldades em completar corretamente os valores do círculo e do

triângulo, por se tratar de números negativos. Quanto ao conhecimento

geométrico das figuras não tivemos interferência, pois foi um tema bastante

trabalhado na 2ª série tanto no GC como GE, conforme relato da professora

Célia da Escola Rodrigues de Carvalho, onde aplicamos a nossa pesquisa

todos os alunos possuíam conhecimento de figuras geométricas, pois

trabalham com elas desde a segunda-série.

2-OBSERVE COM ATENÇÃO OS NÚMEROS ABAIXO E ORGANIZE ELES EM ORDEM CRESCENTE NA LINHA.

9, -9, 5, -5, 1, -1 E 0

________________________________


Nesta questão, ainda temos como objetivo:

a) Analisar se os alunos apresentam algum raciocínio em relação ao valor

numérico dos números inteiros.

b) Verificarmos se o aluno possui algum conhecimento ou familiarização com

os números negativos e, ainda, alguma noção de ordenação em relação aos

números positivos e negativos.

c) Também queremos observar se os alunos possuem alguma idéia de

ordenação para os números positivos e negativos em relação ao número zero.

De forma geral, com base no aporte teórico, o desempenho dos alunos

nessa questão será insatisfatório, pois provavelmente a maioria dos alunos não

conseguirá realizar corretamente a ordenação por não estarem familiarizados

com os números inteiros negativos.

84

3- O DESENHO ABAIXO É PARA MOSTRAR O PRÉDIO ONDE JOÃO MORA. O PRÉDIO TEM DOIS ANDARES DE GARAGENS, UM ANDAR TÉRREO E QUATRO ANDARES PARA CIMA.

O ANDAR TÉRREO JÁ ESTÁ INDICADO COM NÚMERO ZERO.

COMPLETE O DESENHO DO PRÉDIO COLOCANDO O NÚMERO CORRETO DENTRO DE TODOS OS ANDARES.


Nossa análise continua a mesma, ou seja:

Verificar se os alunos apresentam a capacidade de relacionar os números

inteiros com os andares do prédio, considerando o piso térreo como sendo o

número zero.

De forma geral, com base no aporte teórico, acreditamos que a maioria dos

alunos nessa questão será insatisfatório conseguirão estabelecer uma

correspondência entre os números inteiros e os andares do prédio,

possibilitando ordená-los em ordem crescente. Porém encontrarão dificuldades

para as garagens localizadas abaixo do piso térreo que corresponde ao

número zero, não utilizando os números negativos e, possivelmente alguns

alunos escreverão uma seqüência em ordem decrescente.

4-ATENÇÃO OLHE O PRÉDIO ONDE JOÃO MORA. REPRESENTE NUMERICAMENTE OS ANDARES DO PRÉDIO NA RETA ABAIXO:


Térreo 0

0

2

Subir é + Descer é -

85

Esta questão tem por objetivo analisar:

a) A capacidade do aluno, em observar a ordem dos números.

b) Se os alunos conseguem transportar os valores correspondentes aos

andares dos prédios para os da reta numérica, isto é “enxergar” os andares do

prédio como se fossem os números da reta numérica.

De forma geral, com base no aporte teórico, o desempenho para a maioria

dos alunos nessa questão será satisfatório, conseguirão trabalhar com os

números positivos, mas terão dificuldades com os números negativos que

representam as garagens.

5- JOÃO MORA NO SEGUNDO ANDAR.

UTILIZE A RETA DO EXERCÍCIO ANTERIOR E RESPONDA:

a) PARA CHEGAR AO QUARTO ANDAR O QUE ELE PRECISA FAZER? ______________________ ________________________________________________________________________

b) REPRESENTE SUA RESPOSTA COM NÚMERO____________________________________

c) SAINDO DO SEU APARTAMENTO O QUE ELE PRECISA FAZER PARA CHEGAR NA PRIMEIRA GARAGEM? ___________________________________________________________________

d) REPRESENTE SUA RESPOSTA COM NÚMERO___________________________________


Nesta atividade o objetivo é de que o aluno perceba que a reta está

representando o prédio e os andares os números inteiros positivos e negativos.

De forma geral, com base no aporte teórico, o desempenho para a

maioria dos alunos nessa questão será satisfatório os alunos não terão

grandes dificuldades de movimentar na reta numérica, mas poderão ter

dificuldades na contagem dos andares representados na reta numérica.

86

6 - ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA.

a ) 0 É MENOR QUE -8 SIM NÃO

b) –5 É MENOR QUE -7 SIM NÃO

c) 5 É MAIOR QUE 7 SIM NÃO

d) – 7 É MENOR QUE 5 SIM NÃO


Nesta, o objetivo é de trabalhar com a representação dos números em

relação ao seu valor numérico.


maioria dos alunos nessa questão será satisfatório, nesse exercício os alunos

não terão dificuldades no item c, mas para os outros itens os alunos

apresentarão dificuldades, pois realizarão a questão trabalhando somente com

números inteiros positivos, ignorando os sinais dos números.

7-OBSERVE COM ATENÇÃO A RETA ABAIXO E IMAGINE JOÃO ANDANDO NELA.

A) JOÃO SAIU DA POSIÇÃO -3 E CHEGOU NA POSIÇÃO 2. QUANTOS NÚMEROS ELE ANDOU? B) JOÃO SAIU DA POSIÇÃO 4 E CHEGOU NA POSIÇÃO -3. QUANTOS NÚMEROS ELE ANDOU?


O objetivo, nesta questão, é observar como o aluno realiza as

movimentações na reta com numeros inteiros positivos e negativos e se ele

associa alguma idéia com o prédio.


maioria dos alunos nessa questão será satisfatório, os alunos novamente não

terão dificuldades para realizar os movimentos na reta numérica, e se

apresentarem alguma dificuldade esta será focada na contagem.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

87

8- USE A RETA ACIMA PARA LHE AJUDAR E RESPONDA QUAL É A DISTÂNCIA ENTRE OS NÚMEROS ABAIXO:

a) DE -2 ATÉ 2 _________ b) DE -6 ATÉ 0 __________ c) DE 5 ATÉ -2 __________


Nosso objetivo continua sendo de observar a associação dos andares do

prédio com a reta numérica.


maioria dos alunos nessa questão será satisfatório os alunos novamente não

terão dificuldades para realizar as devidas movimentações na reta numérica, se

apresentarem alguma dificuldade será focada novamene na contagem.

9 – PRESTE BASTANTE ATENÇÃO NA DIREÇÃO E NO SENTIDO DO SEGMENTO DE RETA ABAIXO:

a) QUAL É O NOME DA DIREÇÃO DO SEGMENTO DE RETA:

__________________________________________________________________

b) QUAL É O NOME DO SENTIDO DO SEGMENTO DE RETA:

___________________________________________________________________

RESPONDA USANDO NÚMEROS E SINAIS (+ OU -):

c) PARA SAIR DE + 1 E CHEGAR EM + 4 QUANTOS NÚMEROS EU PULO: ___________________________________________________________________

d) PARA SAIR DE 0 E CHEGAR EM –3 QUANTOS NÚMEROS EU PULO:

___________________________________________________________________

e) PARA SAIR DE – 2 E CHEGAR EM + 3 QUANTOS NÚMEROS EU PULO: ___________________________________________________________________

f) PARA SAIR DE – 3 E CHEGAR EM –1 QUANTOS NÚMEROS EU PULO:

___________________________________________________________________


Nosso objetivo é o de verificar se os alunos possuem algum conceito de

direção e sentido em relação aos números positivos e negativos.


-4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4

88

maioria dos alunos nessa questão será insatisfatório. No que se refere à

direção e sentido os alunos apresentarão grandes dificuldades de resolução,

mas na situação para realizar as devidas movimentações na reta, será

satisfatório e não encontrarão, portanto grandes “obstáculos”.

3.5.1.2 - Pós Teste

No que se refere ao conteúdo matemático e também ao nível de

dificuldade, elaborou-se para cada questão do pré-teste uma questão

correspondente no pós-teste.

A seguir, apresentamos as 10 questões do pós-teste aplicadas para os

mesmos alunos que responderam ao pré-teste e participaram da seqüência de

ensino. Isso se justifica, pois a nossa finalidade é analisar, comparar e

identificar os conhecimentos adquiridos após essa seqüência, que permite

verificar então o desempenho dos alunos antes e depois do aprendizado.

Abaixo temos um quadro relacionando as questões do pós-teste e do

pré-teste. No enunciado das questões do pós-teste consta entre parênteses a

correspondente questão do pré-teste.

PÓS - TESTE

PRÉ - TESTE

QUESTÃO

1 2

QUESTÃO

2 3

QUESTÃO

3 1

QUESTÃO

4 6

QUESTÃO

5 7

QUESTÃO

6 8

QUESTÃO

7 4

QUESTÃO

8 5

QUESTÃO

9 9

QUESTÃO

10 NOVA

TABELA 3.1 - Correspondência entre pré-teste e pós-teste

89

QUESTÃO1: (QUESTÃO2) - OBSERVE COM ATENÇÃO OS NÚMEROS ABAIXO E ORGANIZE-OS EM ORDEM

CRESCENTE NA LINHA

8, -8, 3, -3, 1, -1 E 0

________________________________________

Quadro 3.11 - Questão 1 do pós teste.

Análise a priori:

Depois do desenvolvimento da seqüência esperamos que a maioria dos

alunos consiga realizar corretamente a ordenação em relação aos números

inteiros positivos e negativos.

É interessante observar que na correspondente questão do pré-teste,

em nossas análises a posteriori, constatamos que a maioria dos alunos não

apresenta nenhuma ordenação em relação aos números inteiros negativos.

A figura abaixo ilustra um protocolo de aluno durante o pré-teste sobre a

ordenação dos números inteiros.

FIGURA 3.1 – Protocolo de resposta aluno GC 2 do pré-teste

90

QUESTÃO2: (QUESTÃO 3) - O DESENHO ABAIXO É PARA MOSTRAR O PRÉDIO ONDE JOÃO MORA.

O PRÉDIO TEM DOIS ANDARES GARAGENS, UM ANDAR TÉRREO E QUATRO ANDARES PARA CIMA.

O ANDAR TÉRREO JÁ ESTÁ INDICADO COM NÚMERO.



Análise a priori:


alunos consiga estabelecer uma correspondência entre os números inteiros e

os andares do prédio, possibilitando ordená-los em ordem crescente para as

garagens localizadas abaixo do piso térreo.

Com isto, queremos observar se, depois do aprendizado, o aluno usa o

número zero como elemento neutro, e se utiliza corretamente os números

inteiros positivos e negativos.


em nossas análises a posteriori, constatamos que os alunos apresentaram:

a) Ordenação somente com os números inteiros positivos, conforme figura

abaixo que ilustra um protocolo de aluno durante o pré-teste.

TÉRREO 0

91


b) Dificuldades para utilização dos números inteiros negativos nas garagens

localizadas abaixo do piso térreo, conforme figura abaixo que ilustra um

protocolo de aluno durante o pré-teste.


c) Vários alunos utilizam a seqüência numérica de ordem decrescente.

92

QUESTÃO3:(QUESTÃO 1)-PREENCHA A INTERVENÇÃO ABAIXO ESCREVENDO O NÚMERO CORRESPONDENTE DENTRO DO CÍCULO, OUTRO DENTRO DO TRIANGULO, OUTRO DENTRO DO QUADRADO E OUTRO DENTRO DO RETÂNGULO:


b) O NÚMERO DENTRO DO QUADRADO É IGUAL AO NÚMERO DENTRO DO TRIÂNGULO? SIM NÃO


d) O NÚMERO DENTRO DO RETÂNGULO É IGUAL DO QUE O NÚMERO DENTRO DO CÍRCULO? SIM NÃO

Quadro 3.13 - Questão 3 do pós teste.(ALTERAÇÕES NAS FIGURAS EM RELAÇÃO AO PRÉ-TESTE ACRESCENTAMOS UM RETANGULO)

Análise a priori:


alunos consiga realizar corretamente a ordenação em relação aos números

inteiros positivos e negativos, preenchendo as figuras geométricas acima com

os respectivos valores.

Quanto ao conhecimento geométrico das figuras, nós ressaltamos

novamente que não tivemos interferência, pois foi um tema bastante trabalhado

na 2ª série tanto no GC ou GE, conforme relato da professora Célia, inclusive

neste exercício foi incluída uma nova figura geométrica, o retângulo que está

identificado no quadro acima.


em nossas análises a posteriori, constatamos que os alunos apresentaram:

a) Algum raciocínio em relação ao valor numérico dos números inteiros,

apresentando ordenação somente com os números inteiros positivos;

b) Não apresentam nenhuma ordenação em relação aos números inteiros

negativos;

0-1

93

c) Dificuldades de completar corretamente os valores do círculo e do triângulo,

por se tratar de números inteiros negativos.



FIGURA 3.4 – Protocolo de resposta aluno GE 6 do pré-teste

Questão4: (Questão6) - Assinale a alternativa correta.

A) 0 É MAIOR QUE -4 SIM NÃO

B) 5 É MENOR QUE -8 SIM NÃO

C) –5 É MAIOR QUE -7 SIM NÃO

D) -2 É MENOR QUE -8 SIM NÃO E) –5 É MENOR QUE 7 SIM NÃO


Análise a priori:


alunos consiga distinguir adequadamente os números inteiros positivos dos



em nossas análises a posteriori, constatamos que os a maioria dos alunos não

identificam os números inteiros negativos.

94

QUESTÃO 5: (QUESTÃO7)-OBSERVE A RETA ABAIXO E IMAGINE QUE JOÃO SAIU DA POSIÇÃO –2 E CHEGOU NA POSIÇÃO 3.

QUANTOS NÚMEROS JOÃO ANDOU?


Análise a priori:


alunos consiga a movimentação na reta numérica com os números inteiros

positivos e negativos, associando a idéia da reta numérica com o prédio,

utilizando a contagem numérica.


em nossas análises a posteriori, constatamos que os a maioria dos alunos não

associam a reta numérica com o prédio e na sua maioria apresentam muitas

dificuldades com a contagem.

QUESTÃO6:(QUESTÃO8)- USE A RETA ACIMA PARA LHE AJUDAR E RESPONDA QUAL É A DISTÂNCIA ENTRE OS NÚMEROS ABAIXO:

a) DE -3 ATÉ 3 _________ b) DE -5 ATÉ 0 __________ c) DE 0 ATÉ 6 __________ d) DE 4 ATÉ -3 __________


Análise a priori:


alunos consiga associar a reta numérica com o prédio, apesar da dificuldade

que os alunos apresentam em sair do concreto (prédio) e ir para a régua, na

contagem dos números inteiros positivos e negativos para realização dos

movimentos na reta numérica.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

95


em nossas análises a posteriori, constatamos que alguns alunos associaram a

reta numérica com o prédio e na sua maioria apresentaram muitas dificuldades

com a contagem.

QUESTÃO7: (QUESTÃO4) – OLHE COM ATENÇÃO A RETA ABAIXO E COMPLETE COM OS NÚMEROS INTEIROS CORRETOS:


Análise a priori:


alunos consiga distinguir adequadamente os números inteiros positivos dos

números inteiros negativos. Verificamos se o aluno possui um referencial

concreto para representação dos números em uma reta, ou se eles estão

utilizando um registro de representação plurifuncional.


em nossas análises a posteriori, constatamos:

a) Alguns erros em relação ao sentido da reta e ordenação dos números

inteiros positivos e negativos;

b) Em nossas análises anteriores observamos que a minoria dos alunos

enxergou os andares do prédio como números da reta numérica.

0

3

96

Questão 8: (Questão 5)- João está no número 3.


a) PARA CHEGAR AO NÚMERO 5 O QUE ELE PRECISA FAZER? ____________________________________________________________________

b) REPRESENTE SUA RESPOSTA COM NÚMERO____________________________________

c) SAINDO DO NÚMERO 2 O QUE ELE PRECISA FAZER PARA CHEGAR NO NÚMERO -2? ____________________________________________________________________

d) REPRESENTE SUA RESPOSTA COM NÚMERO____________________________________


Análise a priori:


alunos consiga eliminar as dificuldades em relação à direção e sentido da reta e

se realmente conseguem correlacionar esta reta com o prédio.


em nossas análises a posteriori, constatamos que a minoria dos alunos

enxergou os andares do prédio como números da reta numérica.


as dificuldades em relação à direção e sentido da reta.

FIGURA 3.5 – Protocolo de reposta do aluno GC 4 do pré-teste

97

QUESTÃO 9:(QUESTÃO 9) – PRESTE BASTANTE ATENÇÃO NA DIREÇÃO E NO SENTIDO DO SEGMENTO

DE RETA ABAIXO:

a) QUAL É O NOME DA DIREÇÃO DO SEGMENTO DE RETA: ______________________________________________________________________

b) QUAL É O NOME DO SENTIDO DO SEGMENTO DE RETA? ______________________________________________________________________

RESPONDA USANDO NÚMEROS E SINAIS (+ OU -)

c) PARA SAIR DE + 1 E CHEGAR EM + 5 QUANTOS NÚMEROS EU PULO? ______________________________________________________________________

d) PARA SAIR DE 0 E CHEGAR EM –4 QUANTOS NÚMEROS EU PULO? ______________________________________________________________________

e) PARA SAIR DE – 4 E CHEGAR EM + 3 QUANTOS NÚMEROS EU PULO? ______________________________________________________________________

f) PARA SAIR DE – 5 E CHEGAR EM –1 QUANTOS NÚMEROS EU PULO? ______________________________________________________________________


Análise a priori:


alunos consiga um bom desempenho para os conceitos de direção e sentido,

bem como os conceitos de números inteiros.


em nossas análises a posteriori, constatamos nenhum aluno expressou o

conceito de direção e sentido em relação aos números inteiros.

A figura abaixo ilustra um protocolo de aluno durante o pré-teste sobre o

conceito de direção e sentido.

-4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 -5

98

FIGURA 3.6 – Protocolo de resposta do aluno GC 4 do pré-teste

QUESTÃO10: (NOVA) - OBSERVE AS FLEXINHAS DAS RETAS QUE INDICAM O SENTIDO E COMPLETE OS NÚMEROS QUE FALTAM EM CADA UMA.


Análise a priori:


alunos tenha uma ampla visão de aplicação dos números inteiros para a reta

numérica com qualquer direção e sentido.

É interessante observar que para esta questão não tivemos uma

respectiva no pré-teste.

3.5.2 – MATERIAIS DA ETAPA 2 – A INTERVENÇÃO

Descrevemos nesta subseção as fichas de atividades que compõem a

seqüência de ensino e o material manipulativo. As fichas são em número total

de 31 atividades entregues aos alunos de acordo com o planejamento de cada

encontro.

00

99

O material manipulativo utilizado por nós consta de fichas vermelhas,

verdes, barbante e uma flecha. As fichas serão preenchidas numericamente

pelos próprios alunos durante a aplicação das atividades.

Estes materiais serão fundamentais para definirmos importantes

conceitos de direção e sentido de uma reta.

A seguir apresentamos a descrição pormenorizada de cada uma das

questões das atividades, bem como uma análise das mesmas.

Na primeira atividade de nossa seqüência, as crianças receberão uma

folha com um desenho de um prédio e será solicitado a numerar os andares,

recortar o prédio de apartamentos com andares acima e abaixo do térreo.

Em seguida, deverão colar o prédio numa folha que contém 2 árvores e

uma linha indicando o solo.

1 - VOCÊ ESTÁ RECEBENDO UMA FOLHA COM UM DESENHO DE UM PRÉDIO. NUMERE OS ANDARES E RECORTE. DEPOIS MONTE O PRÉDIO NOVAMENTE E COLE NESTA FOLHA.

Quadro 3.21 - Atividade 1 da seqüência de ensino.

100

Objetivo dessa atividade foi:

Introduzir os números inteiros, com sua ordem habitual, bem como dos

conceitos de números positivos, negativos e zero ou nulo. Comparando-os

entre si pelo seu valor numérico, e verificando quais as relações que o número

zero possui com eles.

O PCN aponta que a organização de um número é um aspecto de

fundamental importância, pois é também por meio dele que o aluno ampliará

seu domínio numérico e compreenderá a necessidade de criação de números

negativos. (BRASIL, 1997).

Na segunda atividade de nossa seqüência é solicitado as crianças

desenhem um prédio de apartamentos com 1 andar térreo, 12 andares acima

do térreo e 3 andares de garagens abaixo do térreo.

2 - DESENHE UM PRÉDIO DE APARTAMENTOS COM 1 ANDAR TÉRREO, 12 ANDARES ACIMA DO TÉRREO E 3 ANDARES DE GARAGENS ABAIXO DO TÉRREO.



Reforçar a introdução dos números inteiros, salientando novamente a

sua ordem habitual.

Com base no aporte teórico de Piaget podemos notar que representar

significa o resultado de uma ação que pode ser adquirida pela diferenciação

ativa de significantes e significados. (Piaget, 1978).

A terceira atividade de nossa seqüência é para representar o prédio

“desenhado em uma reta”, marcando os andares dos moradores, o térreo e os

andares das garagens.

101

3-REPRESENTE NA RETA A SEGUIR O PRÉDIO QUE VOCÊ DESENHOU. MARQUE OS ANDARES DOS MORADORES, O TÉRREO E OS ANDARES DA GARAGEM.



Desenvolver o raciocínio que permita a passagem do desenho que

representa o prédio para o da reta numérica, observando como os alunos

interpretam esta situação, estando atentos para os registros de representação

de Duval, de um registro plurifuncional não discursivo (figura) para um

monofuncional não discursivo (gráfico).

Na quarta atividade de nossa seqüência os alunos desenharão em uma

reta os números correspondentes aos andares, isto é, 0 para o térreo,

1,2,...para os andares acima e -1,-2,... para os andares abaixo do térreo.

4-FAÇA UMA RETA REPRESENTANDO O PRÉDIO QUE VOCÊ DESENHOU, NUMERANDO OS ANDARES DA SEGUINTE MANEIRA:

• OS ANDARES ACIMA DO TÉRREO COM OS NÚMEROS 1, 2, 3, ...; • O TÉRREO NUMERE COM 0; • OS ANDARES DAS GARAGENS COM UM SINAL E UM NÚMERO.



Reforçar o raciocínio dos alunos da passagem do prédio para a reta

numérica, à partir da “evocação do objeto ausente” de Piaget(1937), o

Nascimento da Inteligência na Criança, sugere que o aluno “esqueça” o edifício

e represente os andares do prédio usando uma reta. Adotando o andar térreo

102

como o ponto zero na reta numérica, iremos reforçar a compreensão intuitiva

para um caminho importante na marcação dos números inteiros positivos e

negativos.

Na quinta atividade de nossa seqüência os alunos desenharão uma reta

com andar térreo e andares acima e abaixo do térreo.

5-FAÇA UMA RETA REPRESENTANDO O PRÉDIO QUE VOCÊ DESENHOU, NUMERANDO OS ANDARES ACIMA DO TÉRREO E O ANDAR TÉRREO. NUMERE OS ANDARES DAS GARAGENS COMO O SEU COLEGA OU SUA PROFESSORA NUMEROU.



Estabelecer a partir do ponto zero, um caminho com marcos positivos e

negativos.

Mostrando que a representação não é, com efeito, outra coisa senão o

esboço motor interiorizado de ações. (DUVAL, 1999b, p.18).

Na sexta atividade de nossa seqüência os alunos deverão identificar os

números que foram apresentados.

6 - RESPONDA: A) OS NÚMEROS 1,2,3,... SÃO CHAMADOS NÚMEROS.................................................................................................................................. B) O NÚMERO 0 É CHAMADO ..........................................OU...................................... ............................................................. C) OS NÚMEROS -1,-2,-3,.... SÃO CHAMADOS NÚMEROS................................................................................................................................... D) OS NÚMEROS ...., -3,-2,-1,0,1,2,3,...SÃO CHAMADOS NÚMEROS...................................................................................................................................



Desenvolver com os alunos os conceitos e suas relações com os

números dos nomes positivos, zero ou nulo, negativos e inteiros.

103

Segundo Duval a representação precede a descoberta do objeto, e o

conteúdo da representação, antes dessa descoberta, é interpretado por

analogia com os objetos já conhecidos pelo sujeito. (Duval, 1999b, p.17).

Na sétima atividade de nossa seqüência os alunos novamente devem

identificar os números que foram apresentados, com a finalidade de consolidar

nomenclaturas vistas.

7- INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS INTEIROS

COMPLETE: a) OS NÚMEROS 1,2,3,...SÃO CHAMADOS ____________________________________________________________________________ b) O NÚMERO 0 É CHAMADO ___________________________________OU_______________________________________ c) OS NÚMEROS -1,-2,-3,.... SÃO CHAMADOS ____________________________________________________________________________ d) OS NÚMEROS...,-3,-2,-1,0,1,2,3... SÃO CHAMADOS ____________________________________________________________________________



Gradualmente associar o térreo com o número 0, os andares acima do

térreo com os números positivos e as garagens como números negativos.

104

Introduzir os números negativos em um contexto possível de ser

encontrado pelos alunos em edifícios, na ordem habitual dos inteiros, através

da conversão linguagem natural para a linguagem simbólica.

Com base no aporte teórico segundo Duval “Se não houver uma

aprendizagem prévia relativa às especificações semióticas de formação e de

tratamento de representação que são próprias a cada um dos registros

presentes”. (Duval, 1995, p.46).

Na oitava atividade os alunos “derrubarão o prédio”, isto é,

representarão horizontalmente.

8- VAMOS “DERRUBAR O PRÉDIO” PARA A DIREITA. REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA HORIZONTAL.

Quadro 3.28 - Atividade 8 da seqüência de ensino. Objetivo dessa atividade foi:

Superar alguns obstáculos e consolidar a representação dos números

inteiros em uma reta horizontal. Mostrando aos alunos que podemos trabalhar

os números inteiros recém-introduzidos através de uma reta com

representação em direções horizontais e verticais.

Na nona atividade os alunos novamente “derrubarão o prédio”, isto é,

representarão horizontalmente.

9 – VAMOS “DERRUBAR O PRÉDIO” PARA A ESQUERDA. REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA HORIZONTAL.

Quadro 3.29 - Atividade 9 da seqüência de ensino. Objetivo dessa atividade foi:

Novamente superar alguns obstáculos e consolidar a representação

dos números inteiros em uma reta horizontal. Tentando mostrando aos alunos

que podemos trabalhar os números inteiros recém-introduzidos através de uma

reta com representação em direções horizontais e verticais. Dando ao aluno

105

um referencial concreto para a representação dos números inteiros em uma

reta.

Nas atividades 10, 12, 14, 16 e 18, os alunos trabalharão com fichas

brancas, verdes e vermelhas onde preencheram os números inteiros, um

pedaço de barbante para representar a reta e uma flecha para mostrar o

sentido da reta.

DIREÇÃO E SENTIDO DA RETA NUMERADA PARA AS ATIVIDADES 10, 12, 14, 16 E 18: VOCÊ ESTÁ RECEBENDO UM KIT COM UM PEDAÇO DE BARBANTE, 6 FICHAS VERMELHAS, 6 FICHAS VERDES, UMA FICHA BRANCA E UMA FLECHA. ESCREVA NA FICHA BRANCA 0, NAS FICHAS VERMELHAS ESCREVA –1,-2,-3, ETC. E NAS FICHAS VERDES ESCREVA 1, 2, 3, ETC. 10 – ESTENDA O BARBANTE HORIZONTALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 À DIREITA DO ZERO.COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DA ESQUERDA PARA A DIREITA. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE. 11- REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL, SENTIDO DA ESQUERDA PARA A DIREITA. VOCÊ PODE SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.

Quadro 3.30 - Atividade 10 e 11 da seqüência de ensino. O objetivo dessa atividade:

Visa demonstrar ao aluno um referencial concreto para representar os

números inteiros na reta, usando um registro de representação plurifuncional

não discursivo (modelo), na utilização de barbante, fichas e flechas. Enquanto

na representação em uma reta temos uma mudança de registro, de um

plurifuncional não discursivo (modelo) para um monofuncional não discursivo

(gráfico). Muito importante nesta atividade é deixar claro ao aluno que direção é

horizontal e o sentido é da esquerda para direita.

106

12 – Estenda o barbante HORIZONTALMENTE em relação à você. Escolha um ponto e coloque a ficha branca. Coloque o número 1 à esquerda do zero. Com a mesma distância do zero ao 1, coloque os números 2, 3, 4, etc. Coloque os números negativos. Dizemos que estamos orientando a reta da direita para a esquerda. Coloque a flecha ao lado do barbante. 13 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL, SENTIDO DA DIREITA PARA A ESQUERDA. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.

Quadro 3.31 - Atividade 12 e 13 da seqüência de ensino.

O objetivo dessa atividade:

Enfatizar novamente o que é direção (horizontal) e o que é sentido

(direita para esquerda). Muito importante nesta atividade é deixar claro ao

aluno que a posição dos números positivos ou negativos na reta está ligada ao

sentido da reta.

14 – ESTENDA O BARBANTE VERTICALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 ACIMA DO ZERO. COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DE BAIXO PARA CIMA. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE.

15 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL, SENTIDO DE BAIXO PARA CIMA. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.



Demonstrar ao aluno que esta é outra maneira de representar os

números inteiros na reta agora com uma reta vertical e com outro sentido de

baixo para cima. Muito importante nesta atividade é deixar claro ao aluno o que

é direção (vertical) e sentido (de baixo para cima) de uma reta.

16 – ESTENDA O BARBANTE VERTICALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 ABAIXO DO ZERO. COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DE CIMA PARA BAIXO. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE.

17 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL, SENTIDO DE CIMA PARA BAIXO. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.


107


Mostrar ao aluno que continuamos com uma reta com direção vertical e

com outro sentido, agora de cima para baixo.

18 – ESTENDA O BARBANTE E ESCOLHA UMA DIREÇÃO QUE NÃO SEJA HORIZONTAL NEM VERTICAL EM RELAÇÃO A VOCÊ. COLOQUE O ZERO, OS NÚMEROS POSITIVOS, OS NEGATIVOS E A FLECHINHA.

19 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO QUE NÃO SEJA HORIZONTAL NEM VERTICAL. ESCOLHA UM SENTIDO. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.



Mostrar aos alunos que temos outras direções além da vertical e

horizontal, que iremos trabalhar nas próximas atividades.

Quanto a representação, isto a esquematização do barbante para o

desenho mostra uma mudança de registro de um modelo plurifuncional não

discursivo (modelo) para um monofuncional não discursivo (gráfico).

20 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA. VOCÊ ESCOLHE A DIREÇÃO E O SENTIDO. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.



Visualizar se o problema de ordenação dos números inteiros foi

superado e se os alunos conseguiram assimilar os conceitos de direção e

sentido de uma reta. No campo da representação se os alunos conseguiram

uma passagem imediata da plurifuncional não discursiva para a monofuncuonal

não discursiva.

Na vigésima primeira atividade de nossa seqüência os alunos

novamente devem identificar os números que foram apresentados.

108

21 – RECORDANDO: a) COMO SÃO CHAMADOS OS NÚMEROS 1, 2, 3,...? ........................................................................................................................................................ b) COMO É CHAMADO O NÚMERO 0? ..............................................................OU...................................................................................... c) COMO SÃO CHAMADOS OS NÚMEROS -1, -2, -3,...? ......................................................................................................................................................... d) COMO SÃO CHAMADOS OS NÚMEROS -3, -2, -1, 0 , 1, 2 , 3,...? .........................................................................................................................................................



Revisão e consolidação das nomenclaturas dos números inteiros.

Nas 22, 23, 24, 25 atividades de nossa seqüência os alunos trabalharão

com os números inteiros numa reta e suas respectivas direções e sentidos.

22 – ESTÃO REPRESENTADOS A SEGUIR, EM UMA RETA, OS NÚMEROS INTEIROS.

a) QUAL É A DIREÇÃO DESSA RETA? ........................................................................................................................................................ b) QUAL É O SENTIDO DESSA RETA? ........................................................................................................................................................


O objetivo dessas atividades 22, 23, 24, 25:

Nestas atividades os alunos precisam se valer de todos os

conhecimentos usados e adquiridos durante a seqüência. Logo, acreditamos

que não apresentarão grandes dificuldades na resolução.


a) QUAL É A DIREÇÃO DESSA RETA?.................................................................................................... b) QUAL É O SENTIDO DESSA RETA?....................................................................................................


109





Nas 26, 27, 28, 29 e 30 atividades de nossa seqüência os alunos

trabalharão com os números inteiros numa reta e suas respectivas direções e

sentidos. Onde construirão as suas retas sem o apoio de exemplos.

26 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL E COM SENTIDO DA ESQUERDA PARA DIREITA.


O objetivo dessas atividades 26, 27, 28, 29 e 30:

São de verificar como os alunos aplicarão os seus conhecimentos

adquiridos e apresentarão as suas dificuldades nas construções de retas que

especificam sentidos e direções diferentes usando os números inteiros.

27 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL E COM SENTIDO DA DIREITA PARA ESQUERDA.


110

28 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL E COM SENTIDO DE BAIXO PARA CIMA.


29 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL E COM SENTIDO DE CIMA PARA BAIXO.


30 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA CUJA DIREÇÃO NÃO SEJA HORIZONTAL NEM VERTICAL. INDICAR O SENTIDO USANDO UMA FLECHINHA.


Na atividade trigésima primeira de nossa seqüência os alunos deverão

observar as retas e os respectivos sentidos e completar os espaços vazios com

os números inteiros.

31–OBSERVE O SENTIDO DE CADA RETA E COMPLETE COM NÚMEROS INTEIROS.



Medir a evolução dos alunos quanto às habilidades e conceitos de

números inteiros na reta numérica, evidenciando a consolidação do conceito de

ordenação dos números inteiros, observando se os alunos assimilaram de

modo geral, o conceito de direção e sentido.

111

CAPÍTULO 4 ANÁLISE DOS RESULTADOS

O presente capítulo tem por objetivo descrever e analisar os resultados

obtidos em nosso estudo experimental. Esta análise tem caráter quantitativo e

qualitativo. Com relação a análise quantitativa, esta basear-se-à nos números e

percentuais de acertos dos sujeitos da pesquisa nos instrumentos diagnósticos,

já a parte qualitativa da análise leva em consideração os tipos de resposta

apresentados pelos sujeitos dos dois grupos no instrumento diagnóstico e

também as estratégias de ação utilizadas pelos sujeitos do grupo experimental

ao longo de nossa intervenção de ensino.

Iniciamos examinando os dados obtidos a partir da aplicação dos dois

instrumentos diagnósticos, pré e pós-teste, dos dois grupos de sujeitos, GE e

GC, primeiro sob a ótica quantitativa e, em seguida, qualitativamente.

Na análise quantitativa faremos, inicialmente, uma comparação entre os

acertos desses dois grupos no pré-teste, seguida de uma comparação entre os

resultados dos dois grupos no pós-teste. Faremos ainda uma análise da

evolução, ou involução, dos resultados do pré-teste para o pós-teste dos

sujeitos de cada grupo (GE e GC) bem como uma confrontação entre os

percentuais de acertos no pós-teste. Finalizamos as considerações

quantitativas com uma análise do desempenho dos alunos do GE nos itens do

pré e pós-teste, pois trata-se do grupo em que desenvolvemos a intervenção de

ensino.

Na análise qualitativa, utilizamos categorias, extraídas com base em

estratégias de resolução dos próprios alunos nos testes diagnósticos, o que

112

nos permitirá uma maior clareza dos dados. Sempre que pertinente,

apresentamos trechos das fichas de atividades da intervenção de ensino

realizadas pelos os alunos do GE com a finalidade de buscar possíveis

explicações para o desempenho desses alunos nos pós-testes.

Como já dito no capítulo da metodologia, a intervenção de ensino foi

desenvolvido com todos os alunos da classe do GE, mas só foram

considerados aqueles que participaram de todo o experimento, ou seja, do pré

e pós-teste e da intervenção de ensino. Assim, os alunos do GE que estavam

presentes nos testes, mas que faltaram em algum dos encontros da

intervenção, foram descartados enquanto sujeitos experimentais. Todavia,

sempre que esses alunos estavam presentes nos encontros de intervenção, foi

permitida sua participação nas atividades em conjunto com a classe. Esse

mesmo critério foi adotado com relação aos alunos do GC, no que diz respeito

a poder responder os instrumentos diagnósticos. O motivo para permitir a

participação do aluno em qualquer etapa do estudo, é evitar o sentimento de

discriminação, por outro lado, o não considerá-lo como sujeito da pesquisa foi

assumido para garantir maior cientificidade, evitando que variáveis não

planejadas no presente estudo e, portanto, sem nosso controle, pudessem

interferir e/ou falsear os resultados.

4.1 – ANÁLISE QUANTITATIVA

Consideramos certas as questões cujas respostas estavam estritamente

corretas, ou seja, desconsideramos as respostas com valores aproximados ou

com erros de escrita, de cálculo ou de contagem, mesmo que o raciocínio à

primeira vista parecia correto.

113

4.1.1 – ANÁLISE GERAL: COMPARAÇÃO ENTRE O NUMERO DE

ACERTOS DOS GRUPOS GE E GC NOS PRÉ E PÓS-TESTES.

A tabela 4.1 abaixo apresenta o desempenho geral nos testes – pré e

pós – dos dois grupos (GE e GC), tanto em números absolutos de acertos bem

como em percentuais de sucesso.

Pré-teste Pós-teste

GE (17 alunos)

7 alunos (40,58%)

10 alunos (59,93%)

GC (18 alunos)

4 alunos (20%)

6 alunos (32,88%)

Tabela 4.1: desempenho geral do GE e GC nos testes (pré e pós-testes)

Observando esses resultados gerais, principalmente comparando os

resultados do pré-teste com o pós-teste temos:

• O desempenho dos grupos em relação ao pré e pós-teste mostra que

houve uma diferença e esta diferença mostra avanços, com uma evolução de

19,35 pontos de porcentagem no grupo GE, representando um crescimento de

47,58% em relação ao pré-teste. Enquanto o grupo GC apresentou uma

evolução de 12,88 pontos de porcentagem, representando um crescimento de

64,4%. À primeira vista, este resultado apresenta-se como um indicador de que

os alunos do GC mostraram um maior crescimento mesmo sem ter participado

da nossa intervenção em sala de aula. Podemos conjecturar que esta evolução

está relacionada ao interesse despertado na professora e em seus alunos

pelos números inteiros negativos. Notando que mesmo com um crescimento de

64,4% a porcentagem de acertos do grupo GC no pós-teste, ficou abaixo do

valor do pré-teste do grupo GE. Voltaremos a essa discussão quando

estivermos analisando os tipos de resposta apresentado no pós-teste pelos

114

dois grupos (análise qualitativa), pois como já dissemos, neste momento

estamos avaliando apenas aquelas respostas estritamente corretas.

• A diferença final entre os grupos é muito significativa, pois o grupo GE

tem 27 pontos de porcentagem a mais de acertos do que o grupo GC, isto

representa uma diferença de 82,26% no pós-teste.

• Apesar do GE ter apresentado um maior percentual de acerto no pré-

teste, este ainda foi baixo, o que nos permite inferir que, de um modo geral, os

alunos dos dois grupos, não conheciam os números negativos.

Reconhecemos que a tabela 4.1, que trás o percentual geral de acertos

dos GE e GC nos dois testes, apresentam os dados de maneira muito

genericamente, permitindo pouca interpretação no que tange à compreensão

desses alunos dos números inteiros negativos. Por isso faremos na sub-seção

a seguir, a análise do desempenho dos alunos, considerando item por item, nos

pré e no pós-testes.

4.1.1.1 - Análise, por item, dos instrumentos diagnósticos.

Nesta seção procederemos a análise do desempenho dos alunos dos

GE e GC no pré e pós-teste.

Pré-Teste

A tabela 4.2 abaixo apresenta o desempenho dos GE e GC no pré-teste.

Os números em vermelho representam a quantidade de acertos menores que

50%. Os números em azul representam a quantidade de acertos maior ou igual

a 50%.

α Representa a resposta do aluno dentro do círculo do exercício 1 do pré-

teste.

115

∆ Representa a resposta do aluno dentro do triângulo do exercício 1 do pré-

teste.

Π Representa a resposta do aluno dentro do quadrado do exercício 1 do pré-

teste.

No exercício 3 e 4, a parte (3a) e (4a) representam a ordenação dos

números inteiros positivos e a parte (3b) e (4b) representam a ordenação dos


Pós-Teste

A tabela 4.3 abaixo apresenta o desempenho dos GE e GC no pós-teste.

Os números em vermelho representam a quantidade de acertos menores que

50%, enquanto que os números em azul representam a quantidade de acertos

maiores ou igual a 50%.

α Representa a resposta do aluno dentro do círculo do exercício 3 do pós-

teste.

∆ Representa a resposta do aluno dentro do triângulo do exercício 3 do pós-

teste.

Π Representa a resposta do aluno dentro do quadrado do exercício 3 do pós-

teste.

δ Representa a resposta do aluno dentro do retângulo do exercício 3 do pós-

teste.

No exercício 2, 7 e 10, a parte (2a), (7a) e (10a) representam a

ordenação dos números inteiros positivos e a parte (2b) e (7b) e (10b)

representam a ordenação dos números inteiros negativos.

116

4.1.1.2 Apresentação dos Desempenhos dos alunos dos GE e GC nos pré e pós-testes (item por item)

Questões

Grupos Teste

α

∆

Π 1a 1b 1c 2 3a 3b 4a 4b 5a 5b 5c 5d 6a 6b 6c 6d 7a 7b 8a 8b 8c 9a 9b 9c 9d 9e 9f Total

GE Pré-teste 0 0 4 14 14 3 0 13 0 17 0 14 15 4 0 6 5 14 2 11 13 10 10 8 0 2 8 6 6 8

207

40,58%

G

C Pré-teste 0 0 2 11 14 3 0 13 0 13 0 3 3 2 0 4 5 16 3 1 0 0 4 3 0 2 2 1 1 0

108

20%

Tabela 4.2: Distribuição do desempenho geral dos dois grupos – GE e GC – no pré-teste.

Questões

Grupos Teste

1 2a 2bα ∆ Π δ 3a 3b 3c 3d 4a 4b 4c 4d 4e 5 6a 6b 6c 6d 7a 7b 8a 8b8c 8d 9a9b 9c 9d 9e 9f 10a

10b

10c

10d Total

GE

Pós teste 6 15 9 12 12 17 11 8 14 6 11 9 4 4 4 11 5 7 10 12 3 15 14 14 14 8 0 10 13 11 11 11 10 13 12 13 17

377

59,93%

GC

Pós teste 0 12 0 2 2 5 8 11 16 5 15 1 3 2 1 16 1 2 5 7 1 17 0 8 10 9 0 0 12 2 9 4 6 12 1 1 14

219

32,88%

Tabela 4.3: Distribuição do desempenho geral dos dois grupos – GE e GC – no pós-teste.

117

Do ponto de vista do número de acertos, notamos que a tabela 4.2 pode

ser dividida em duas partes. Uma parte na qual os alunos apresentam bom

desempenho nos itens 1a 1b, 3a, 4a e 6c já no pré-teste. Isto acontece tanto no

grupo experimental (GE) quanto no grupo de controle (GC). Este alto número de

sucesso justifica-se por está relacionado aos exercícios que trabalham com os

números naturais, isto é os números inteiros positivos.

A outra parte da tabela 4.2 foi aquela referente aos itens em que os alunos

apresentaram crescimento no número de acertos do pré para o pós-teste,

principalmente no GE.

Notamos, como esperado, que nenhum aluno acertou os itens α , ∆ , 2, 3b,

4b, 5d e 9a em ambos os grupos, no pré-teste (tabela 4.2). Isto porque estes itens

exigiam que os alunos conhecessem o conjunto dos números inteiros, o que não

acontece nas séries iniciais do Ensino Fundamental.

Também notamos um desempenho nulo do grupo GC nos itens 7b, 8a e 9f,

os quais tratavam, novamente, com os números negativos e buscando explicação

novamente em Jahn (1994), encontramos que os números naturais podem ser

representados por objetos ou modelos empíricos, os números negativos não

existem, no mesmo sentido, na vida cotidiana. Onde é preciso no processo

escolar, supor a passagem das grandezas (noções concretas) aos números

(noção abstrata).

No pós-teste observamos um maior crescimento no número de acertos por

parte do GE em relação ao GC, porém ainda tivemos itens nulos nos dois grupos,

como foi o caso do exercício 8d e no GC dos itens 1, 2b, 7b e 9a.

118

Examinando estes aspectos, encontramos explicações nos estudos de

Jahn (1994), em que a pesquisadora elucida a dificuldade em unificar a reta

numérica, ou mais precisamente, a dificuldade dos alunos pesquisados por ela na

homogenização dos inteiros positivos e negativos em uma única entidade de

números.

4.1.2 - COMPARAÇÃO INTRA E INTERGRUPOS – UMA SÍNTESE

Observamos que os dois grupos apresentam uma evolução na

comparação intragrupos, ou seja, tanto o GE como o GC cresceram em seus

desempenhos. Mas, ao confrontarmos os percentuais de crescimento desses dois

grupos, notamos que, o aumento no percentual de acerto do GE é maior do que o

do GC.

Em porcentagem o crescimento GE foi de 19,35% e do GC foi de 12,88%.

Um fator a ser destacado é que o grupo GC não conseguiu atingir, mesmo no

pós-teste, o percentual de acerto que o grupo GE teve no pré-teste, que foi de

40,58%.

Como já mencionamos anteriormente, os alunos possuem dificuldades de

trabalhar com os números negativos, muito provavelmente pelo desconhecimento

desse conjunto numérico, embora o GE apresentasse, já no pré-teste, alguma

competência em lidar com ele.

4.2 - ANÁLISE QUALITATIVA

Nossa análise qualitativa considera todos os dados obtidos no estudo,

sejam os advindos dos instrumentos diagnósticos (pré-teste e pós-teste), sejam

aqueles coletados na intervenção de ensino.

119

Como já foi dito anteriormente, o foco de nossa pesquisa é a introdução

dos números inteiros para alunos da 3ª.série do Ensino Fundamental, por meio de

representações dos números inteiros na reta orientada.

Nos instrumentos diagnósticos utilizamos comparações entre os números

inteiros, ou seja, trabalhamos relações entre números positivos e negativos.

Também estudamos a representação desses números em retas e ainda em

andares de prédios de apartamentos.

Trabalhamos também com o sentido e direção da reta orientada com os

números inteiros.

Figura 4.1 – Esquema de nossa análise qualitativa

Observando os conjuntos de atividades que trabalhamos com os nossos

alunos, podemos separar 3 padrões de conceitos aplicados:

• Representação de uma reta de um prédio de apartamentos com andares

para cima e para baixo do térreo;

QUALITATIVA

REPRESENTAÇÃO DE DIREÇÃO E

SENTIDO

REPRESENTAÇÃO DE UMA RETA DE UM PRÉDIO DE APARTAMENTOS

CONVERSÃO DE REGISTROS DE

DESIGUALDADES

120

• Representação de direção e sentido de uma reta que podem ser

horizontais, verticais, noroeste, sudoeste, etc. Com o uso de barbante e

fichas vermelhas e azuis para representar os números inteiros;

• Conversão de registros de desigualdades, da linguagem simbólica para a

natural e vice-versa.

Os resultados apresentados no pré-teste e pós-teste nos mostram que os

números negativos fazem parte de nosso cotidiano e que precisamos buscar a

coerência entre o estudo desses números na escola e a sua aplicação na nossa

vida diária, conforme afirma Nieto (1994).

A três próximas seções da análise serão dedicadas a apresentação e

interpretação dos resultados obtidos no pré-teste, na intervenção de ensino e no

pós-teste, respectivamente. Seguiremos exatamente esta ordem porque achamos

que esta foi a seguida na realização do estudo e que, portanto, faz sentido

apresentá-la conforme ela foi experienciada pelos alunos.

4.2.1 ANÁLISE QUALITATIVA DO PRÉ-TESTE

Nesta seção, para efeito de riqueza da análise, procedemos com a mesma

nos detendo em cada um dos itens que compuseram o pré-teste. Assim

seguimos a seguinte ordem de apresentação: primeiro traremos a questão, na

seqüência apresentamos os resultados obtidos pelos dois grupos (GE e GC),

acompanhados de nossa interpretação desses resultados e por fim apresentamos

um ou dois exemplos, extraídos dos protocolos dos alunos, para melhor ilustrar

as estratégias de ação dos alunos. Sempre que pertinente a nossa discussão

será complementada com as idéias dos autores que nos deram sustentação

teórica e dos resultados obtidos por estudos correlatos.

121

Questão 1 1-PRENCHA NA SEQUÊNCIA ABAIXO ESCREVENDO O NÚMERO CORRESPONDENTE DENTRO DO CÍRCULO, OUTRO DENTRO DO TRIÂNGULO E OUTRO DENTRO DO QUADRADO:


b) NÚMERO DENTRO DO QUADRADO É IGUAL DO QUE O NÚMERO DENTRO DO TRIÂNGULO?

SIM NÃO


Dos 18 alunos do GC somente 2 completaram corretamente o número

dentro do quadrado, isto é os números naturais. Esse comportamento não foi

muito diferente no GE, já que apenas 4, dos 17 alunos, completaram

corretamente o número dentro do quadrado, isto é os números naturais.Conforme

figura 4.2 extraída do protocolo de resposta de aluno.

Figura 4.2 – Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pré - teste

Nenhum dos alunos seja do GC ou GE, completou corretamente o valor

numérico dentro das figuras geométricas na respectiva reta, ressaltando conforme

relato da professora da escola em que aplicamos a pesquisa, todos os alunos

possuem conhecimento de figuras geométricas, pois trabalham desde a 2ª. série

com este conteúdo. Analisando este quadro notamos que os alunos possuem

0-1

122

familiarização somente com os números inteiros positivos, isto é, “somente noção

concreta do número”, como se refere Jahn (1994).

A figura 4.3 abaixo apresenta dois protocolos respondidos pelos alunos,

sendo o da esquerda retirado do GC e o da direita retirado do único aluno do GE

que acertou os três itens.

Figura 4.3 – Protocolo dos alunos GE 15 e GC15 respectivamente do pré-teste.

Notamos que os alunos possuem ordenação com os números inteiros

positivos, pois 14 alunos do GE e 11 alunos do GC acertaram a comparação do

quadrado com o círculo e praticamente tivemos o mesmo resultado de acertos na

comparação do quadrado com o triângulo, 14 alunos do GE e do GC. Na

comparação do triângulo com o número zero temos um resultado muito abaixo

dos outros itens com somente 3 acertos para cada grupo (GC e GE). Com isto

podemos nos apoiar novamente em Jahn (1994), a qual afirma que é preciso, no

processo de aprendizagem escolar, supor a passagem das grandezas (noções

concretas) aos números (noção abstrata) com a ajuda da fundamentação teórica.

A seguir analisaremos a questão 2.

Questão 2 2-OBSERVE COM ATENÇÃO OS NÚMEROS ABAIXO E ORGANIZE-OS EM ORDEM CRESENTE NA LINHA.

9, -9, 5, -5, 1, -1 E 0

________________________________________

123

Nenhum dos alunos, seja no GE ou no GC, conseguiu organizar em ordem

crescente os números. Abaixo apresentamos, na figura 4.4 o protocolo da

resposta dada por um dos alunos do GE no pré-teste, na qual é possível notar

que ele seguiu a ordem decrescente (diferente do que foi pedido). Além disso, ele

também organizou os números sem dar qualquer importância ao valor negativo,

numa evidência que desconhece se não o próprio conjunto numérico, pelo menos

a sua representação.

Figura 4.4 – Protocolo de resposta do aluno GC 2 do pré-teste

Notamos que além de organizar os números em ordem decrescente os

alunos ainda não conheciam os sinais dos números entendendo, por exemplo,

que o numero 5 era igual ao número -5. Portanto interpretamos que o aluno não

apresenta idéia de ordenação por faltar conhecimento ou familiarização com os


Considerando as idéias de Piaget (1995) que defende que o conhecimento

surge a partir da representação. Podemos afirmar que esse aluno não tem

conhecimento dos números inteiros, já que ainda não se apropriou de sua

representação.

124

Questão 3 3- O DESENHO ABAIXO É PARA MOSTRAR O PRÉDIO ONDE JOÃO MORA. O PRÉDIO TEM DOIS ANDARES GARAGENS, UM ANDAR TÉRREO E QUATRO ANDARES PARA CIMA. O ANDAR TÉRREO JÁ ESTÁ INDICADO COM NÚMERO ZERO.


Térreo 0

No GC 12 alunos completaram corretamente a parte dos números naturais

e os 6 restantes não completaram corretamente nem os naturais e nem os


No GE 13 alunos completaram corretamente os números naturais e 4

alunos não completaram corretamente nem os naturais e nem os números

inteiros negativos.

A figura 4.5 abaixo apresenta um protocolo respondido pelo aluno do GE

que ordenou corretamente os números inteiros positivos nos andares do prédio

acima do zero, mas também completou as garagens abaixo do zero com os

números inteiros positivos. Novamente o exemplo mostra que esses alunos não

têm familiarização com os números inteiros negativos.

125

Figura 4.5 – Protocolo de resposta do aluno GC 1 do pré-teste

Duval (1995,200) afirma que a aprendizagem matemática não consiste em

uma construção de conceitos pelos estudantes, mas na construção da arquitetura

cognitiva do sujeito epistêmico. Assim para que esses alunos consigam enfatizar

o processo de aprendizagem é necessário que o mais cedo possível, que se

apropriem de vários registros de representação para mudança de uma situação

Matemática.

Questão 4 4-ATENÇÃO OLHE O PRÉDIO ONDE JOÃO MORA. REPRESENTE NUMERICAMENTE OS ANDARES DO PRÉDIO NA RETA ABAIXO:

0

2 Subir é + Descer é -

126

Tivemos 17 alunos do GE e 13 alunos do GC que completaram

corretamente os números inteiros positivos e nenhum aluno completou

corretamente na reta os números inteiros negativos.

A figura 4.6 abaixo apresenta um protocolo de resposta do aluno, onde

notamos que o aluno organizou o prédio na reta numérica somente com os

números inteiros positivos.

Figura 4.6 - Protocolo da resposta do aluno GE 6 no pré-teste.

Podemos comparar esse resultado com os resultados obtidos nas

questões discutidas anteriormente e percebemos que tanto antes quanto agora o

sucesso dos alunos acontece apenas na parte da reta que trata dos números

inteiros positivos.

Este resultado encontra respaldo em Piaget (1975) quando este afirma que

representar é a capacidade de evocar, por meio de um signo ou de uma imagem

simbólica, o objeto ausente, os alunos de nossa amostra ainda não apresentam

tal capacidade no que tange aos números inteiros negativos. Pelo menos no

momento da aplicação do pré-teste.

127

Questão 5 5- JOÃO MORA NO SEGUNDO ANDAR.


a) PARA CHEGAR AO QUARTO ANDAR O QUE ELE PRECISA FAZER?____________

_____________________________________________________________________________

b) REPRESENTE SUA RESPOSTA COM NÚMERO___________________________

c) SAINDO DO SEU APARTAMENTO O QUE ELE PRECISA FAZER PARA CHEGAR NA

PRIMEIRA GARAGEM? ___________________________________________

d) REPRESENTE SUA RESPOSTA COM NÚMERO___________________________

No item 5a, 14 alunos do GE e 3 alunos do GC responderam corretamente.

No item 5b, 14 alunos do GE e 3 alunos do GC responderam corretamente.

No item 5c, 4 alunos do GE e 2 alunos do GC responderam corretamente.

No item 5d, nenhum aluno tanto do GE como GC respondeu

corretamente.

Os alunos do GE tiveram sucesso quando trabalharam com os números

inteiros positivos souberam “andar” na reta numérica nos itens 5a e 5b. O mesmo

não aconteceu com o GC, que tive um resultado muito inferior, apresentando

dificuldades para “andar” na reta numérica mesmo com os números inteiros

positivos.

Mas quando os alunos tiveram que lidar com os números abaixo de zero

na reta os resultados dos dois grupos foram semelhantes (itens 5c e 5d), já que

tivemos resultados pouco expressivos ou praticamente nulos, mostrando que não

conseguiram representar os números inteiros negativos.

128

A figura 4.7 abaixo nos apresenta um protocolo de resposta do aluno.

Figura 4.7 - Protocolo de resposta do aluno do GC 4 no pré-teste.

O exemplo ilustra como os alunos não se apropriaram ainda dos números

inteiros negativos e como costumam lidar com eles, mesmo apresentando este

conjunto numérico dentro de um contexto familiar já que não conseguiram

enxergar as garagens como números inteiros negativos.

Questão 6 6 - ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA.

a) 0 É MENOR QUE -8 SIM NÃO

b) -5 É MENOR QUE -7 SIM NÃO

c) 5 É MENOR QUE 7 SIM NÃO

d) -7 É MENOR QUE 5 SIM NÃO No item 6a, 6 alunos do GE e 4 alunos do GC responderam corretamente.

No item 6b, 5 alunos tanto do GE como GC responderam corretamente.

No item 6c, 14 alunos do GE e 16 alunos do GC responderam

corretamente.

No item 6d, 2 alunos do GE e 3 alunos do GC responderam corretamente.

Notamos que o melhor resultado foi no item 6c, o qual apresenta números

inteiros positivos, nos outros itens a maioria dos alunos continuou não

129

identificando os números inteiros negativos, realizou a atividade trabalhando

como se todos os números fossem inteiros positivos.

A figura 4.8 abaixo nos apresenta um protocolo de resposta que acertou

somente os números inteiros positivos e outro que acertou todos os itens.

Figura 4.8 - Protocolo da resposta dos alunos GC 4 e GE 9 no pré-teste, respectivamente

Fica claro, mais uma vez, que os alunos não reconhecem os números

inteiros negativos. De fato segundo Duval (1995,1996) para o atendimento e

desenvolvimento da representação é preciso mobilizar vários registros.

Questão 7 7-OBSERVE COM ATENÇÃO A RETA ABAIXO E IMAGINE JOÃO ANDANDO NELA.

a) JOÃO SAIU DA POSIÇÃO -3 E CHEGOU NA 2. QUANTOS NÚMEROS ELE ANDOU?

b) JOÃO SAIU DA POSIÇÃO -3 E CHEGOU NA 2. QUANTOS NÚMEROS ELE ANDOU?

No item 7a, 11 alunos do GE e 1 aluno do GC responderam corretamente.

No item 7b, 13 alunos do GE e nenhum GC responderam corretamente.

A figura 4.9 abaixo apresenta dois protocolos respondidos pelos alunos,

sendo o da esquerda foi retirada de um protocolo de resposta do aluno GC e o da

direita do GE. Este último apresenta um aluno que acertou os 2 itens. Adotando a

reta numérica, somente como números inteiros positivos, os alunos do GE

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

130

souberam “andar” na reta e responder os itens 7a e 7b. Enquanto que o GC não

conseguiiu adotar nenhuma estratégia satisfatória para resolver os itens.

Figura 4.9 - Protocolo da resposta do aluno GC 8 e GE 15, respectivamente.

Questão 8 8- USE A RETA ACIMA PARA LHE AJUDAR E RESPONDA QUAL É A DISTÂNCIA ENTRE OS NÚMEROS ABAIXO:

a) DE -2 ATÉ 2 __________

b) DE -6 ATÉ 0 __________

c) DE 5 ATÉ -2 __________

No item 8a, 10 alunos do GE e nenhum aluno do GC responderam

corretamente.

No item 8b, 10 alunos do GE e 4 aluno do GC responderam corretamente.

No item 8c, 8 alunos do GE e 3 aluno do GC responderam corretamente.

Observando as estratégias utilizadas por esses alunos, notamos que, em

alguns casos, eles apresentam erro de contagem, principalmente quando

trabalham com os números inteiros negativos ou ainda, quando esses números

não estão representados na reta numérica. Notamos que o GE teve praticamente

o mesmo resultado da questão anterior e o GC apresenta melhora pouco

significativa nesta questão. A figura 4.10 abaixo apresenta dois protocolos de

resposta dos alunos.

131

Figura 4.10 - Protocolo da resposta do aluno GE 6 no pré-teste.

Notamos que o GE apresenta um pouco mais de familiaridade com a ação

de deslocamento na reta numérica. Esta familiaridade contudo ainda está restrita

a poucos alunos deste grupo.

Questão 9



_________________________________________________________________

b) QUAL É O NOME DO SENTIDO DO SEGMENTO DE RETA:

________________________________________________________________ RESPONDA USANDO NÚMEROS E SINAIS (+ OU -).

c) PARA SAIR DE + 1 E CHEGAR EM + 4 QUANTOS NÚMEROS EU PULO? _________________________________________________________________

d) PARA SAIR DE 0 E CHEGAR EM -3 QUANTOS NÚMEROS EU PULO? _________________________________________________________________

e) PARA SAIR DE -2 E CHEGAR EM + 3 QUANTOS NÚMEROS EU PULO? __________________________________________________________________

f) PARA SAIR DE +-3 E CHEGAR EM -1 QUANTOS NÚMEROS EU PULO?

_________________________________________________________________

No GE 13 alunos acertaram pelo menos um item, sendo que 4 alunos

erram todos.

-4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4

132

No item 9a, nenhum aluno do GE ou GC responderam corretamente.

No item 9b, 2 alunos tanto do GE como GC responderam corretamente.

No item 9c, 9 alunos do GE e 2 aluno do GC responderam corretamente.

No item 9d, 6 alunos do GE e 1 aluno do GC responderam corretamente.

No item 9e, 6 alunos do GE e 1 aluno do GC responderam corretamente.

No item 9f, 8 alunos do GE e nehum do GC responderam corretamente.

Na figura 4.11 abaixo apresenta um protocolo de resposta de aluno que

errou a direção da reta e o sentido do segmento de reta. Notamos que o aluno

comete uma troca dos nomes, mostra algum entendimento de direção e sentido,

mencionando deitada e direita.

Figura 4.11 - Protocolo da resposta do aluno do GC 5 no pré-teste.

A partir do desempenho dos alunos neste diagnóstico, somado as

estratégias errôneas que eles buscaram para responder as questões do pré-teste.

Notamos que iremos trabalhar os números inteiros negativos, sem que eles

tenham se apropriado deles. Além do que, fica claro para nós, que uma

133

intervenção de ensino que prioriza entre outras coisas o trabalho de direção e

sentido do segmento da reta. Passamos agora à análise da intervenção de ensino

na qual apenas o GE tomou parte.

4.2.2 - INTERVENÇÃO DE ENSINO

Nesta seção, como aconteceu no pré-teste, apresentamos os resultados

dos alunos do GE na resolução das atividades propostas apresentamos a

intervenção analisando atividade por atividade, acompanhadas sempre pela

ilustração de um ou dois exemplos extraídos dos protocolos desses alunos.

Analisamos as estratégias de ação dos alunos com as idéias dos autores que nos

deram sustentação teórica.

Atividade1 1 - VOCÊ ESTÁ RECEBENDO UMA FOLHA COM UM DESENHO DE UM PRÉDIO.

NUMERE OS ANDARES E RECORTE. DEPOIS MONTE O PRÉDIO NOVAMENTE E COLE NESTA FOLHA.

134

Temos 17 alunos que realizaram esta atividade. Notamos que eles a

realizaram com muito interesse, acrescentando desenhos de carros, ruas,

pessoas, semáforos, pássaros, nuvens e observamos em suas construções.

Apenas um aluno recortou e colou as garagens abaixo do térreo. Este foi

representado pelas árvores e a linha, conforme mostra a figura 4.12 abaixo do

seu protocolo de resposta.

Figura 4.12 - Protocolo de resposta do aluno GE 8 - Atividade 1 da intervenção de ensino.

Nessa atividade ainda não realizamos nenhuma intervenção sobre os

números inteiros negativos, simplesmente pedimos para que os alunos

numerassem, recortassem os andares e colassem novamente o prédio numa

folha em branco. A maioria dos alunos continuou ordenando os andares do prédio

135

na ordem decrescente e numerando as garagens com números inteiros positivos,

mostrando que não possuíam o conhecimento da representação dos números

inteiros. Passoni (2002) relatou problemas semelhantes aos encontrados em

nossa pesquisa.

Temos um outro exemplo (figura 4.13 abaixo) que mostra um aluno

ordenando corretamente os andares do prédio, porém identificando os números

negativos com os respectivos sinais, porém em ordem decrescente. Este aluno

não conseguiu visualizar as garagens abaixo do andar térreo, porém conseguiu

identificar as garagens como números negativos abaixo do zero. Como esta

primeira atividade é de familiarização, não realizamos nenhuma intervenção.

Figura 4.13 - Protocolo de resposta do GE 9 - Atividade 1 da intervenção de ensino

136

Lembramos que esta atividade teve como objetivo associar o andar térreo

ao número zero, e consequentemente associar os andares do prédio com os

números inteiros positivos e as garagens como números inteiros negativos. As

árvores foram colocadas no desenho para indicar o solo e adotarmos o térreo

para separarmos os andares do prédio das garagens. Introduzir a ordem habitual

e os conceitos dos números inteiros, acompanhando a diferenciação entre

significantes e significados para chegarmos à representação. (Piaget, 1978).

Atividade 2


A figura 4.14 abaixo extraída do protocolo de resposta do aluno, apresenta

um exemplo de resolução adotada por 5 alunos. Estes ordenaram corretamente

os números, considerando o térreo como zero, porém não souberam identificar as

garagens com os números inteiros negativos.

Figura 4.14 - Protocolo de resposta do GE 2 - Atividade 2 da intervenção de ensino.

137

Notamos que os alunos perceberam o térreo associado ao número zero,

não identificaram as garagens com os números inteiros negativos e nenhum aluno

utilizou a estratégia de desenhar as garagens abaixo do térreo (subsolo).

Ressaltamos que também nesta atividade não realizamos nenhuma

intervenção. Esta estratégia também foi adotada no estudo de Passoni (2002).

12 alunos construíram os andares do prédio na ordenação correta, partindo

do térreo (zero), mas identificaram as garagens com ordenação decrescente sem

também identificar em nenhum momento os números negativos, como ilustra a

figura abaixo.


Provavelmente os alunos consideraram os números a partir do número 1,

estabelecendo uma relação entre números e coisas quantificáveis, que neste

caso, são os andares e as garagens. Por isso tanto os andares como as garagens

começam no número 1.

138

Atividade 3 3-REPRESENTE NA RETA A SEGUIR O PRÉDIO QUE VOCÊ DESENHOU. MARQUE OS ANDARES DOS MORADORES, O TÉRREO E OS ANDARES DA GARAGEM.

Ao representar o prédio na reta, 7 alunos ordenaram os números inteiros

positivos corretamente, sem identificar os inteiros negativos abaixo do

zero.Conforme ilustra a figura 4.16 abaixo do protocolo de resposta do aluno.


139

Esta atividade envolve a mudança de um registro plurifuncional não

discursivo (figura) para um monofuncional não discursivo (gráfico), conforme

Duval (1995). Os alunos conseguiram realizar esta passagem, porém não

conseguiram ainda identificar os números inteiros negativos.

Atividade 4



Na representação do prédio 9 alunos numeraram o prédio corretamente os

andares acima do térreo, o térreo como zero e as garagens, faltando somente a

identificação do respectivo sinal para os números negativos. Conforme ilustra

figura

4.17 abaixo do protocolo de resposta do aluno.


140

Esta atividade continua envolvendo a mudança de um registro

plurifuncional não discursivo (figura) para um monofuncional não discursivo

(gráfico), conforme Duval (1995,1996). Nota-se pelo exemplo acima que os

alunos ainda não conseguiram ainda identificar os números inteiros negativos, o

que consideramos um comportamento natural, já que até esse momento nada

lhes foi ensinado a respeito desses números.

Tivemos, porém 2 alunos que representaram os andares e as garagens na

forma decrescente, e nas garagens colocaram sinal “-“ seguido de uma

numeração decrescente, conforme ilustra a figura 4.18 abaixo extraída do

protocolo de resposta do aluno.


A análise das respostas dos alunos nesta atividade, ainda nos permite

detectar que eles têm sucesso para ordenar os números naturais, adotando o

zero como térreo e identificando as garagens abaixo deste.

Porém não conseguiram ordenar corretamente os números inteiros

negativos. Nieto (1994) afirma que na Matemática Informal alguns alunos, que

141

começam a trabalhar precocemente, apresentam noção de números inteiros

negativos antes do currículo escolar. Mas não foi isto que encontramos com

nossos alunos. Se considerarmos os alunos de Nieto, observamos que são mais

velhos e provavelmente de uma realidade diferente da nossa. Como ainda não

aplicamos a intervenção de ensino para este conteúdo é natural, que eles não

consigam realizar as tarefas propostas.

Atividade 5 5-FAÇA UMA RETA REPRESENTANDO O PRÉDIO QUE VOCÊ DESENHOU, NUMERANDO OS ANDARES ACIMA DO TÉRREO E O ANDAR TÉRREO. NUMERE OS ANDARES DAS GARAGENS COMO O SEU COLEGA OU SUA PROFESSORA NUMEROU.

É a partir desta atividade, que iniciamos a intervenção de ensino.

14 alunos representaram corretamente os números inteiros na reta.

Notamos que 3 alunos além da reta, ordenaram corretamente os andares do

prédio e conseguiram visualizar os números inteiros em outra aplicação, que

neste caso é o painel de um elevador. Mostrando uma apropriação dos conceitos

dos números inteiros, conforme figura 4.19 abaixo extraída do protocolo de

resposta do aluno.


142

2 alunos representaram corretamente os números inteiros, porém

colocaram os sinais atrás dos números, conforme figura 4.20 abaixo extraída do



O propósito de começar com o desenho do prédio é de gradualmente

associar o térreo com o zero, os andares acima do térreo como números naturais

e as garagens como introdução dos números inteiros negativos num contexto de

ser encontrado como nos edifícios residenciais ou comerciais.

Atividade 6 6 - RESPONDA:

A) OS NÚMEROS 1,2,3,... SÃO CHAMADOS NÚMEROS....................................................................... B) O NÚMERO 0 É CHAMADO ..........................................OU...................................... C) OS NÚMEROS -1,-2,-3,.... SÃO CHAMADOS NÚMEROS....................................................................... D) OS NÚMEROS ...., -3,-2,-1,0,1,2,3,...SÃO CHAMADOS NÚMEROS.......................................................................

143

Atividade 7


COMPLETE: A) OS NÚMEROS 1,2,3,...SÃO CHAMADOS ____________________________________________________________________________ B) O NÚMERO 0 É CHAMADO ___________________________________OU_______________________________________ C) OS NÚMEROS -1,-2,-3,.... SÃO CHAMADOS ____________________________________________________________________________ D) OS NÚMEROS...,-3,-2,-1,0,1,2,3... SÃO CHAMADOS ____________________________________________________________________________

14 alunos responderam corretamente a classificação dos números, tanto

na atividade 6 como na atividade 7.

A análise das respostas dos alunos nestas atividades nos permite verificar

um desenvolvimento das relações e conceitos dos números inteiros, associando o

térreo com o número 0, os andares acima do térreo com números positivos e as

garagens com os números negativos, através de contextos possíveis de serem

encontrados pelos alunos. Conforme figura 4.21 abaixo extraída do protocolo de

resposta do aluno.

144


Notamos que as nomenclaturas apresentadas estão sendo consolidadas,

para esses alunos, através da conversão da linguagem simbólica para linguagem

natural, onde podemos reconhecer um objeto matemático por meio de suas

possíveis e diferentes representações, conforme Duval (1999).

Atividade 8 8- VAMOS “DERRUBAR O PRÉDIO” PARA A DIREITA. REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA HORIZONTAL.

Atividade 9 9 – VAMOS “DERRUBAR O PRÉDIO” PARA A ESQUERDA. REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA HORIZONTAL.

14 alunos derrubaram o prédio corretamente tanto para direita como para a

esquerda, da atividade 8 como na atividade 9.

As análises das respostas dos alunos nestas atividades nos permite

verificar uma superação de alguns obstáculos e a consolidação da representação

145

dos números inteiros na reta horizontal. Conforme figura 4.22 abaixo extraídas do


Figura 4.22 - Protocolo de resposta do aluno GE 8 Atividade 8 e 9 da intervenção de ensino.

A maioria dos alunos conseguiu derrubar o prédio, trabalhar com a direção

horizontal. Gradativamente estão tomando consciência da ordenação numérica da

reta, que depende do sentido (esquerda ou direita) que derrubamos o prédio. Isto

é começamos a introduzir o sentido da reta.

Atividade 10 e 11

DIREÇÃO E SENTIDO DA RETA NUMERADA PARA AS ATIVIDADES 10, 12, 14, 16 E 18: VOCÊ ESTÁ RECEBENDO UM KIT COM UM PEDAÇO DE BARBANTE, 6 FICHAS VERMELHAS, 6 FICHAS VERDES, UMA FICHA BRANCA E UMA FLECHA. ESCREVA NA FICHA BRANCA 0, NAS FICHAS VERMELHAS ESCREVA –1,-2,-3, ETC. E NAS FICHAS VERDES ESCREVA 1, 2, 3, ETC. 10 – ESTENDA O BARBANTE HORIZONTALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 À DIREITA DO ZERO. COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DA ESQUERDA PARA A DIREITA. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE. 11- REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL, SENTIDO DA ESQUERDA PARA A DIREITA. VOCÊ PODE SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.

13 alunos completaram corretamente o exercício. As análises das

respostas nestas atividades demonstram que os alunos na sua maioria começam

a desenvolver uma familiarização com a direção e sentido da reta. Conforme

figura 4.23 abaixo extraída do protocolo de resposta do aluno.

146

Figura 4.23 - Protocolo de resposta do GE 15 - Atividade 10 e 11 da intervenção de ensino.

Visa dar ao aluno um referencial concreto para representação dos números

inteiros na reta, utilizando um modelo plurifuncional não discursivo (modelo), na

utilização de barbantes, fichas e flechas.

A reta abaixo foi representada com a flecha no sentido contrário,

apresentada por 2 alunos que tiveram dificuldades com o sentido da reta.

Conforme figura 4.24 extraída do protocolo de resposta do aluno.

Figura 4.24 - Protocolo de resposta do aluno GE 14 - Atividade 10 e 11 da intervenção de ensino.

Problema identificado no momento da reprodução do barbante, das fichas

e da flecha para o desenho, isto é de da passagem um modelo plurifuncional não

discursivo (modelo) para o monofuncional discursivo (gráfico).

147

Atividade 12 e 13

12 – ESTENDA O BARBANTE HORIZONTALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 À ESQUERDA DO ZERO. COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DA DIREITA PARA A ESQUERDA. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE.

13 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL, SENTIDO DA DIREITA PARA A ESQUERDA. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.

13 alunos identificaram corretamente os números inteiros na reta.



Podemos notar que a passagem da representação do barbante e das

fichas para o gráfico costuma não ser imediata.

Atividade 14 e 15 14 – ESTENDA O BARBANTE VERTICALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 ACIMA DO ZERO. COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DE BAIXO PARA CIMA. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE.


14 alunos ordenaram corretamente os números inteiros na reta. Conforme

figura 4.26 extraída do protocolo de resposta do aluno.

148


Atividade 16 e 17 16 – ESTENDA O BARBANTE VERTICALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 ABAIXO DO ZERO. COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DE CIMA PARA BAIXO. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE.

17 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL, SENTIDO DE CIMA PARA BAIXO. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA. 14 alunos ordenaram corretamente os números inteiros. Conforme figura

4.27 extraída do protocolo de resposta do aluno, onde temos 3 alunos que

colocaram o sinal após o número, que para este momento, consideramos correto.

Figura 4.27 - Protocolo de resposta do aluno GE 5 Atividade 16 e 17 da intervenção de ensino.

149

Os alunos adotaram estratégia correta para direção (vertical) e sentido (de

baixo para cima) da reta.

Atividade 18 e 19 18 – ESTENDA O BARBANTE E ESCOLHA UMA DIREÇÃO QUE NÃO SEJA HORIZONTAL NEM VERTICAL EM RELAÇÃO A VOCÊ. COLOQUE O ZERO, OS NÚMEROS POSITIVOS, OS NEGATIVOS E A FLECHINHA.


15 alunos ordenaram corretamente os números inteiros. Conforme figura

4.28 extraída do protocolo de resposta do aluno, onde temos 2 alunos que

colocaram o sinal após o número, que para este momento, consideramos correto.


Os alunos conseguiram criar uma estratégia diferente com direções nem

vertical nem horizontal, isto é conseguindo no campo da representação uma

passagem imediata dos registros plurifuncional não discursivo para o

monofuncional não discursivo.

150

Atividade 20 20 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA. VOCÊ ESCOLHE A DIREÇÃO E O SENTIDO. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.

14 alunos não representaram os números inteiros corretamente. Conforme

figuras 4.29, 4.30, 4.31 e 4.32 extraídos dos protocolos de respostas dos alunos.

Sendo 4 alunos desenharam direção vertical com sentido de cima para

baixo:


3 alunos desenharam na direção vertical com sentido de baixo para cima.


151

1 aluno desenhou na direção horizontal com sentido da esquerda para direita.

Figura 4.31 - Protocolo de resposta GE 6 - Atividade 20 da intervenção de ensino.

2 alunos desenharam na direção horizontal, porém com sentido da direita

para esquerda e completaram a reta colocando os sinais negativo e positivos

após os números.


Os alunos encontraram dificuldades de sair da representação horizontal ou

vertical do segmento de reta, pois não conseguiram ampliar o uso da direção e

sentido para qualquer segmento de reta. Ficaram presos aos modelos

anteriormente apresentados. Podemos citar Alciony (2005) que a escola deve

perder a rigidez para ganhar então naturalidade e criatividade, já que as normas

disciplinares nascem do consenso do grupo. O horário e o tempo de

aprendizagem ficam condicionados à construção do saber e não ao tempo pré-

estabelecido por um papel.

152

Atividade 21 21 – RECORDANDO: A) COMO SÃO CHAMADOS OS NÚMEROS 1, 2, 3,...? ............................................................................................................................................................. B) COMO É CHAMADO O NÚMERO 0? ..............................................................OU........................................................................................... C) COMO SÃO CHAMADOS OS NÚMEROS -1, -2, -3,...? .............................................................................................................................................................. D) COMO SÃO CHAMADOS OS NÚMEROS -3, -2, -1, 0 , 1, 2 , 3,...? .............................................................................................................................................................. 15 alunos preencheram corretamente. Conforme figura 4.33 extraída do

protocolo de resposta dos alunos.


Para maioria dos alunos as nomenclaturas dos números inteiros estão

sendo assimiladas.

153

Atividade 22 22 – ESTÃO REPRESENTADOS A SEGUIR, EM UMA RETA, OS NÚMEROS INTEIROS.

A) QUAL É A DIREÇÃO DESSA RETA? .............................................................................................................................................................. B) QUAL É O SENTIDO DESSA RETA? ..............................................................................................................................................................

ATIVIDADE 23


A) QUAL É A DIREÇÃO DESSA RETA? .............................................................................................................................................................. B) QUAL É O SENTIDO DESSA RETA? ..............................................................................................................................................................

Atividade 24 24 – ESTÃO REPRESENTADOS A SEGUIR, EM UMA RETA, OS NÚMEROS INTEIROS.

154

13 alunos completaram corretamente a direção e o sentido dos 3 atividades

acima, porém apresentaram algumas dificuldades na escrita. Conforme figura

4.34 extraída do protocolo de resposta do aluno.

Figura 4.34 - Protocolo de resposta do GE 8 - Atividade 22, 23 e 24 da intervenção de ensino.

Atividade 25, 26 e 27




155

13 alunos representaram corretamente a direção ou o sentido da reta.


3 alunos utilizaram a seta inadequadamente. Conforme figura 4.36 extraída

do protocolo de resposta do aluno.


Figura 4.36 - Protocolo de resposta do GE 9 - Atividade 26 e 27 da intervenção de ensino.

156

A partir do desempenho dos alunos somado as suas estratégias que

utilizaram para responder as atividades acima, notamos que as terminologias de

direção e sentido estão sendo assimiladas pela maioria dos alunos.

ATIVIDADE 28 28 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL E COM SENTIDO DE BAIXO PARA CIMA.

14 alunos representaram corretamente a direção e o sentido da reta.

3 alunos não ordenaram corretamente os números inteiros na reta ou

esqueceram de representar os números inteiros negativos com o seu respectivo

sinal. Conforme figura 4.37 extraída do protocolo de resposta do aluno.

. Figura 4.37 - Protocolo de resposta do GE 6 - Atividade 28 da intervenção de ensino.

157

Atividade 29 29 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL E COM SENTIDO DE CIMA PARA BAIXO. 14 alunos representaram corretamente a direção e o sentido da reta.



Atividade 30

30 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA CUJA DIREÇÃO NÃO SEJA HORIZONTAL NEM VERTICAL. INDICAR O SENTIDO USANDO UMA FLECHINHA.

15 alunos representaram corretamente a direção nem horizontal, nem vertical e o

sentido da reta.

158

Conforme figura 4.39 de resposta do protocolo de aluno abaixo.


31–OBSERVE O SENTIDO DE CADA RETA E COMPLETE COM NÚMEROS INTEIROS.

15 alunos completaram corretamente a reta com os números inteiros e

todos descreveram o sentido e um aluno ainda completou com a sua respectiva

direção. Sendo que a maioria dos alunos completaram o sentido descrevendo as

159

coordenadas geográficas. Conforme figura 4.40 abaixo extraída do protocolo de

resposta do aluno.

Figura 4.40 - Protocolo de resposta do GE 2 - Atividade 31da intervenção de ensino.

Notamos após a aplicação da intervenção de ensino, a maioria dos alunos

evidencia uma evolução de conceitos de ordenação de números inteiros e

habilidades em lidar com conceito de direção e sentido na reta. Mostram de modo

geral uma consolidação das nomenclaturas dos números inteiros.

Passamos agora para análise do pós-teste para analisar, comparar e

identificar o desempenho dos alunos antes e depois do aprendizado.

4.2.3 - PÓS- TESTE

Nesta seção, apresentamos sempre que possível os dados obtidos no pré-

teste para a questão e a sua respectiva diferença entre o GE e GC. Comentando

os exemplos apontando em cada um o tipo de erro (ou acerto) e como

provavelmente o aluno raciocinou, sempre que possível apresentamos 2

exemplos um do GE e outro GC e comparando as estratégias utilizadas por cada

grupo.

160

Mostraremos sempre que possível a diferença entre os dados obtidos na

análise qualitativa (na qual consideramos somente as respostas totalmente

corretas) e os resultados obtidos na análise qualitativa (quando o GE, mesmo não

tendo apresentado resposta totalmente correta mostra compreensão dos alunos).

Questão 1 - Questão 2 Pré 1-OBSERVE COM ATENÇÃO OS NÚMEROS ABAIXO E ORGANIZE-OS EM ORDEM CRESENTE NA LINHA.

8, -8, 3, -3, 1, -1 e 0 ________________________________________

Dos 17 alunos do GE, 6 alunos ordenaram corretamente no pós-teste e

nenhum ordenou corretamente no pré-teste. Conforme figura 4.41 abaixo extraída

do protocolo de resposta do aluno.

Dos 18 alunos do GC, 1 aluno ordenou corretamente tanto no pós-teste e

nenhum ordenou corretamente no pré-teste.

Conforme figura 4.42 abaixo extraídas do protocolo de resposta do aluno.

Notamos que o desempenho nesta questão, em relação a ordenação dos

números inteiros foi regular, mostrada pelos resultados encontrados no GE, onde

de um total de 17 alunos que participaram da intervenção de ensino somente 6

ordenaram corretamente.

Observamos também que tivemos 1 aluno do GC que ordenou

corretamente, possivelmente se interessou pelo trabalho que estávamos

desenvolvendo na sala ao lado, ou realizou um trabalho paralelo com a sua

professora de sala.

161

Figura 4.41 - Protocolo de resposta do aluno GE 2 - Questão 2 pré-teste e questão 1 pós-teste, respectivamente.

Figura 4.42 – ( Protocolo de resposta do aluno GC 2 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GC 2 do pós-teste), respectivamente Questão 2 – Questão 3 Pré 2- O DESENHO ABAIXO É PARA MOSTRAR O PRÉDIO ONDE JOÃO MORA. O PRÉDIO TEM DOIS ANDARES GARAGENS, UM ANDAR TÉRREO E QUATRO ANDARES PARA CIMA. O ANDAR TÉRREO JÁ ESTÁ INDICADO COM NÚMERO.


Térreo 0

Dos 17 alunos do GE,

Item 2a, 15 alunos acertaram no pós-teste e 13 acertaram no pré-teste.

162

Item 2b, 9 alunos acertaram no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.

Conforme figura 4.43 abaixo extraída do protocolo de resposta do aluno.

Dos 18 alunos do GC,


Item 2b, nenhum dos alunos acertaram tanto no pós-teste como no pré-teste.


Nesta questão houve um grande avanço do GE, pois saímos do pré-teste

com um resultado nulo e alcançamos sucesso com 9 alunos, onde são

trabalhados os números inteiros negativos. Quanto ao item 2a , que utiliza os

números naturais os resultados foram semelhantes, tanto no GE como GC.

Notamos também que a questão do sinal após o número permanece.

Figura 4.43 - Protocolo de resposta do aluno GE 11 – (questão 3 pré-teste e questão 2 pós-teste, respectivamente).

Figura 4.44 – (Protocolo de resposta do aluno GC1 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GC1 do pós-teste), respectivamente

163

Questão 3 – Questão 1 Pré 3-PRENCHA A SEQUÊNCIA ABAIXO ESCREVENDO O NÚMERO CORRESPONDENTE DENTRO DO CÍRCULO, OUTRO DENTRO DO TRIÂNGULO E OUTRO DENTRO DO QUADRADO E OUTRO DENTRO DO RETÂNGULO:

a) O NÚMERO DENTRO DO CÍRCULO É MAIOR DO QUE O NÚMERO DO QUADRADO?

SIM NÃO

b) NÚMERO DENTRO DO QUADRADO É IGUAL DO QUE O NÚMERO DENTRO DO

TRIÂNGULO?

SIM NÃO

c) O NÚMERO DENTRO DO TRIÂNGULO É MENOR QUE ZERO?

SIM NÃO

d) O NÚMERO DENTRO DO RETÂNGULO É IGUAL DO QUE O NÚMERO DENTRO DO CÍRCULO?

SIM NÃO


Item círculo, 12 alunos acertaram no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.

Item triângulo, 12 alunos acertaram no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.

Item quadrado, 17 alunos acertaram no pós-teste e 4 acertaram no pré-teste.

Item retângulo, 11 alunos acertaram no pós-teste e não tinha no pré-teste


Item 3b, 14 alunos acertaram no pós-teste e 14 acertaram no pré-teste.

Item 3c, 6 alunos acertaram no pós-teste e 3 acertaram no pré-teste.

Item 3d, 11 alunos acertaram no pós-teste e não tinha no pré-teste. Conforme

figuras 4.45, 4.46 e 4.47 abaixo extraída dos protocolos de resposta dos alunos.


Item círculo, 2 alunos acertaram no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.

Item triângulo, 2 alunos acertaram no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.

0-1

164

Item quadrado, 5 alunos acertaram no pós-teste e 2 acertaram no pré-teste.

Item retângulo, 8 alunos acertaram no pós-teste e não tinha no pré-teste




Item 3d, 15 alunos acertaram no pós-teste e não tinha no pré-teste.

Ressaltamos que os alunos conheciam as figuras geométricas, conforme

relatado da professora Célia. Observamos que houve um grande crescimento no

resultado do pós-teste em relação pré-teste no GE. Temos um caso particular a

ser estudado posteriormente, pois o GC teve um resultado extremamente

significativo pois “andaram” corretamente na reta, sem terem participado da

intervenção de ensino.

Figura 4.45 - Protocolo de resposta do aluno GE 2 - Questão 1 pré-teste e questão 3 pós-teste, respectivamente.

Figura 4.46 - Protocolo de resposta do aluno GE 4 - Questão 1 pré-teste e questão 3 pós-teste, respectivamente

Figura 4.47 – (Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pós-teste), respectivamente

165

Questão 4 – Questão 6 Pré

4 - ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA.

a) 0 É MAIOR QUE -4 SIM NÃO

b) 5 É MENOR QUE -8 SIM NÃO

c) -5 É MENOR QUE -7 SIM NÃO

d) -2 É MENOR QUE -8 SIM NÃO

e) -5 É MENOR QUE 7 SIM NÃO





Item 4d, 4 alunos acertaram no pós-teste e 2 acertaram no pré-teste.

Conforme figura 4.48 e 4.49 abaixo extraída do protocolo de resposta do aluno.






Nesta questão, não temos como demonstrar um resultado significativo, os

alunos não conseguiram trabalhar com os números inteiros, e uma estratégia de

resolução adotada que podemos observar nos exemplos abaixo que os alunos

trabalharam como todos os números fossem inteiros positivos.

166

Figura 4.48– ( Protocolo de resposta do aluno GE 4 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GE 4 do pós-teste), respectivamente

Figura 4.49– ( Protocolo de resposta do aluno GE 9 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GE 9 do pós-teste), respectivamente

Questão 5 – Questão 7 Pré 5-OBSERVE A RETA ABAIXO E IMAGINE QUE JOÃO SAIU DA POSIÇÃO -2 E CHEGOU NA

POSIÇÃO 3.

QUANTOS NÚMEROS JOÃO ANDOU?.



Item 5b, Não tivemos pós-teste e 13 acertaram no pré-teste.

Conforme figuras 4.50 e 4.52 abaixo extraídas dos protocolos de resposta dos

alunos.


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

167


Item 5b, Não tivemos no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.


Novamente, como na questão anterior não houve evolução significativa,

mas identificamos um outro problema que pode interferir diretamente em nossa

pesquisa, a dificuldade dos alunos na contagem dos números na reta.


Figura 4.51– (Protocolo de resposta do aluno GC 9 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GC 9 do pós-teste), respectivamente

Figura 4.52– (Protocolo de resposta do aluno GE 12 do pré-teste) e (Protocolo de resposta do aluno GE 12 do pós-teste), respectivamente.

168

Questão 6 – Questão 8 Pré

6- USE A RETA ACIMA PARA LHE AJUDAR E RESPONDA QUAL É A DISTÂNCIA ENTRE OS NÚMEROS ABAIXO:

a) DE -3 ATÉ 3 _________

b) DE -5 ATÉ 0 __________

c) DE 0 ATÉ 6 __________

d) DE 4 ATÉ -3 __________





Item 6d, 3 alunos acertaram no pós-teste e não tínhamos no pré-teste.

Conforme figuras 4.53 e 4.55 abaixo extraídas dos protocolos de resposta

dos alunos.





Item 6d, 3 alunos acertaram no pós-teste e não tínhamos no pré-teste.


Observando os protocolos dos alunos abaixo, identificamos o mesmo

problema de contagem apresentado na questão anterior. O GC permanece

estável.

169


Figura 4.54– (Protocolo de resposta do aluno GC 8 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GC 8 do pós-teste), respectivamente Figura 4.55– (Protocolo de resposta do aluno GE 15 do pré-teste) e (Protocolo de resposta do aluno GE 15 do pós-teste), respectivamente. Questão 7 – Questão 4 Pré 7 – OLHE COM ATENÇÃO A RETA ABAIXO E COMPLETE COM OS NÚMEROS INTEIROS CORRETOS:

0

3

170



Item 7b, 14 alunos acertaram no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.




Item 6b, Nenhum alunos acertou no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.

Quando trabalhamos na reta, com questões similares as aplicadas na

intervenção de ensino os resultados são significativos.

Provavelmente os alunos estão com dificuldades na conversão dos

registros de representação.

Figura 4.56– (Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pós-teste), respectivamente

171

Questão 8 – Questão 5- Pré.

8- JOÃO ESTÁ NO NÚMERO 3.


a) PARA CHEGAR AO NÚMERO 5 O QUE ELE PRECISA FAZER? ___________________________________________________________

b) REPRESENTE SUA RESPOSTA COM NÚMERO_________________________

c) SAINDO DO NÚMERO 2 O QUE ELE PRECISA FAZER PARA CHEGAR

NÚMERO - 2? ___________________________________________________ d) REPRESENTE SUA RESPOSTA COM NÚMERO_________________________





Item 8d, nenhum alunos acertou no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.





Item 8d, nenhum alunos acertou no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.


Notamos nesta questão que os alunos não evoluem, isto é não conseguem

demonstrar em resultados os conceitos aprendidos na intervenção de ensino.

172

Figura 4.57– (Protocolo de resposta do aluno GC 4 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GC 4 do pós-teste), respectivamente Questão 9 – Questão 9 Pré.



____________________________________________________________

b) QUAL É O NOME DO SENTIDO DO SEGMENTO DE RETA? ____________________________________________________________

RESPONDA USANDO NÚMEROS E SINAIS (+ OU -)

c) PARA SAIR DE +1 E CHEGAR EM +5 QUANTOS NÚMEROS EU PULO? ____________________________________________________________

d) PARA SAIR DE 0 E CHEGAR EM -4 QUANTOS NÚMEROS EU PULO?

____________________________________________________________

e) PARA SAIR DE -4 E CHEGAR EM +3 QUANTOS NÚMEROS EU PULO? ____________________________________________________________

f) PARA SAIR DE -5 E CHEGAR EM -1 QUANTOS NÚMEROS EU PULO?

____________________________________________________________ Dos 17 alunos do GE,

Item 9a, 10 alunos acertaram no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.


-4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 -5

173



Item 9e, 11 alunos acertaram no pós-teste e 6 acertaram no pré-teste.

Item 9f, 10 alunos acertaram no pós-teste e 8 acertaram no pré-teste.



Item 9a, nenhum aluno acertou no pós-teste e nem no pré-teste.




Item 9e, 4 alunos acertaram no pós-teste e 1 acertaram no pré-teste.

Item 9f, 6 alunos acertaram no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.


Observamos que os conceitos de direção e sentido estão sendo

gradativamente consolidados, pelos resultados encontrados no GE.


5 Na Figura 4.58 – Erro de digitação no enunciado: a) Qual é o nome da direção do segmento da reta

174

Figura 4.59 6– ( Protocolo de resposta do aluno GC 4 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GC 4 do pós-teste), respectivamente Questão 10 10) OBSERVE AS FLECHINHAS DAS RETAS QUE INDICAM O SENTIDO E COMPLETE OS

NÚMEROS QUE FALTAM EM CADA UMA:

Dos 17 alunos do GE:

Item 10a, 13 alunos acertaram no pós-teste.

Item 10b, 12 alunos acertaram no pós-teste.

6 Na Figura 4.59 – Erro de digitação no enunciado: a) Qual é o nome da direção do segmento da reta.

00

175

Item 10c, 13 alunos acertaram no pós-teste.

Item 10d, 17 alunos acertaram no pós-teste.



Item 10a, 12 alunos acertaram no pós-teste.

Item 10b, 1 aluno acertou no pós-teste.

Item 10c, 1 alunos acertou no pós-teste.

Item 10d, 14 alunos acertaram no pós-teste.

Figura 4.60 - Protocolo de resposta dos alunos GE 15 e GE 2, respectivamente questão 10.

176

CAPÍTULO 5

CONCLUSÃO

5.1 INTRODUÇÃO

Nossa pesquisa tem por objetivo investigar a possibilidade e eficiência de

se introduzir o conceito de número inteiro negativo na 3a série do Ensino

Fundamental na Escola Pública, através de uma intervenção de ensino, com base

na pesquisa de Passoni(2002). Para tal, iniciamos esta dissertação apresentando

uma exposição dos motivos que nos levaram a elaborá-la, nossa problemática e

objetivos, bem como de sua relevância para o meio acadêmico e científico

(capítulo 1). Na seqüência, buscamos subsídios teóricos que pudessem nos

auxiliar, tanto na construção do experimento quanto na sua análise. Partimos

sobre a discussão de representação apresentando vários pontos de vista, tais

como o lingüístico, o filosófico, o psicológico, o semiótico e o social.

Apresentamos que a noção de número negativo pode ser introduzida

desde cedo na escola a partir de várias situações que estão de acordo com o

mundo físico, tendo como suporte teórico às idéias de Jean Piaget (1926-1995) e

Raymond Duval (1995,2000), no que tange à utilização de vários registros de

representação e como característica os registros em atividades de tratamento e

conversão, com os mesmos materiais utilizados na pesquisa de Passoni (2002).

Investigando, no processo de aprendizagem escolar, a passagem das grandezas

(noções concretas) para os números (noções abstratas).

De posse de nosso quadro teórico definido, bem como das leituras das

revisões de estudos correlatos, construímos a metodologia de trabalho, a qual foi

177

composta de duas etapas distintas, a saber: diagnóstico (pré e pós-teste) e

intervenção de ensino, desenvolvidas, separadamente com dois grupos (GE e

GC) de alunos.

Tivemos como público alvo duas 3ª.série do Ensino Fundamental de uma

escola da rede pública municipal de São Paulo, compostas por 25 alunos em

média. Destas, uma foi o grupo experimental, que participou dos testes e da

nossa intervenção de ensino. A outra foi o grupo de controle, que somente

participou dos testes.

O passo seguinte à realização do estudo foi a análise dos dados dele

obtidos. Esta análise nos forneceu subsídios suficientes para chegarmos no

presente Capítulo, no qual apresentaremos as conclusões retiradas dela. Visando

melhor organização do capítulo, dividimo-lo em quatro seções. A primeira que se

refere a esta introdução. A segunda que apresentará uma síntese dos principais

resultados, os quais encontram-se detalhados no capítulo anterior. A terceira

seção retomará a nossa questão de pesquisa com o intuito de respondê-la. E, por

fim, na quarta seção, apresentaremos algumas sugestões para futuros trabalhos,

os quais vieram a mente após reflexão sobre o estudo que realizamos.

5.2 SÍNTESE DOS RESULTADOS

Para destacar os principais resultados de nossa análise dividimos esta

seção em duas partes. A primeira descreverá os resultados dos testes e, a

segunda os resultados da intervenção de ensino.

TESTES

A análise dos desempenhos dos grupos nos dois instrumentos diagnósticos

mostrou que no pré-teste o desempenho foi relativamente baixo. Porém no pós-

178

teste observamos um real crescimento, mostrando que GE em relação ao GC

teve um crescimento de 27 pontos de porcentagem a mais de acerto, isto

representa uma diferença de 82,26% no pós-teste.

A evolução nos desempenhos dos grupos também pôde ser notada nas

estratégias utilizadas para resolver as questões dos testes. No pré-teste

praticamente não houve estratégia para resolução das questões. Já no pós-teste

podemos evidenciar no GE, os alunos utilizando barbantes, flechas e fichas

utilizadas na intervenção de ensino na resolução das questões pós-teste.

Notamos um bom desempenho em alguns itens específicos, tanto no GC

com GE, quanto trabalhamos com os números naturais.

Observamos que os dois grupos apresentaram uma evolução na

comparação intragrupos, ou seja, tanto o GE como O GC cresceram em seus

desempenhos. Mas, ao confrontarmos os percentuais de crescimento desses dois

grupos, notamos que, o aumento no percentual de acerto do GE é maior do que o

do GC. Em porcentagem o crescimento GE foi de 19,35% e do GC foi de 12,88%,

um fator a ser destacado que o GC não conseguiu atingir mesmo no pós-teste o

percentual de acerto do grupo GC que foi de 40,48% no pré-teste.

Como já mencionamos anteriormente os alunos possuem dificuldades de

trabalhar com os números inteiros negativos, e o grupo GE está melhor preparado

para lidar com estes números.

INTERVENÇÃO DE ENSINO

Nesta parte estamos nos referindo apenas ao trabalho do GE. Este, após o

término da intervenção de ensino apresenta resultados positivos como na

representação de uma reta de um prédio de apartamentos com andares para

cima e para baixo do térreo; representação de direção e sentido de uma reta que

179

podem ser horizontais, verticais, noroeste, sudoeste, etc. Com o uso de barbante

e fichas vermelhas e azuis para representar os números inteiros; conversão de

registros de desigualdades, linguagem simbólica para a natural e vice-versa.

Os resultados apresentados no pré-teste e pós-teste nos mostram que

precisamos buscar a coerência entre o estudo desses números na escola e sua

aplicação na nossa vida diária, conforme afirma Nieto (1994).

5.3 RESPONDENDO NOSSA QUESTÃO DE PESQUISA

A partir da análise dos resultados, apresentada no capítulo 4, cujos

principais pontos estão sintetizados na seção anterior, responderemos nossas

três questões de pesquisa, a qual retomamos:

“Partindo de uma seqüência elaborada que utilize um contexto familiar

e significativo, qual a compreensão que crianças de 3ª série passam a ter

sobre os números negativos? Até onde tal seqüência pode ajudar na

introdução desse conceito? E, por último, em que consiste o avanço?”.

Respondendo a primeira pergunta:

Partindo de uma seqüência elaborada que utilize um contexto familiar e

significativo, qual a compreensão que crianças de 3ª série passam a ter

sobre os números negativos?

Como já dissemos anteriormente, responderemos nossa questão de

pesquisa baseadas na análise obtida ao longo de todo o experimento, desde a

fase pré-teste até pós-teste.

Na intervenção de ensino utilizamos seqüências didáticas envolvendo

mudança de registros plurifuncional não discursivo (figura) para um

180

monofuncional não discursivo (gráfico). Como por exemplo, na passagem da

representação numérica dos andares do prédio para a reta.

Olhando os resultados da intervenção de ensino e do pós-teste,

acreditamos que as crianças obtiveram uma significativa compreensão dos

números inteiros negativos, pois na seqüência didática foram utilizados exercícios

dentro de um contexto muito familiar do aluno, principalmente na correlação do

número associado ao andar do prédio com a reta numérica, na relação do

número associado aos andares da garagens.

Quando adotamos o prédio para demonstrarmos a direção e sentido da

reta realizamos o “tombamento”, com isto trabalhamos com a direção (horizontal

ou vertical) e o sentido (direita ou esquerda).

No momento em que adotamos retas cuja direção não podia ser vertical

nem horizontal, as crianças construíram as suas estruturas e encontraram novos

sentidos para suas retas. A orientação com a seta foi muito importante para


Temos a plena convicção que as atividades desenvolvidas com contexto

familiar e significativo levaram os alunos à compreensão dos conceitos dos

números inteiros negativos. Tornar os números inteiros negativos mais familiares

é envolver os alunos ao meio, e este meio deverá ser constituído pelo professor

para que se aproveitem ou se extraiam os resultados desejáveis.

Com relação à segunda pergunta:

Até onde tal seqüência pode ajudar na introdução desse conceito?

A seqüência mostrou ser possível introduzir os números inteiros a alunos

da terceira série, pois tivemos muitas vantagens no desenvolvimento dos alunos

181

no plano didático e acreditamos ser possível conseguir prevenir futuros

obstáculos.

Outra vantagem foi à estruturação adequada da seqüência de atividades

que respeitou o ritmo individual de aprendizagem de cada aluno.

Na última pergunta:

E, por último, ”em que consiste o avanço?”

Este avanço nos mostra uma “falha” ou “engano” para o momento do

ensino dos números inteiros negativos, conforme PCN(s) ou Livros Didáticos,

mostrando uma crença na incapacidade dos alunos, ou seja, como demonstramos

em nossa pesquisa podemos abordar os números inteiros negativos na 3ª. série.

Que o ensino da Matemática seja menos condicionante a uma rotina de

regras e ceda lugar a um ensino em que as crianças sejam desafiadas a pensar.

“A falta de desafio em nossos currículos atuais pode ser responsável em parte pela aversão ou, no melhor dos casos, pela indiferença para com a Matemática que prevalece nas escolas”. (Dienes, 1975, p.4)

Uma outra possibilidade é buscar na História os erros, as hesitações, os

obstáculos para se chegar ao conceito de número negativo e tentar aprender com

eles. As crianças podem, no seu processo de aprendizagem, ter as mesmas

dificuldades que o homem teve ao longo da História. Uma outra possibilidade é

tentar, usando recursos que a Educação Matemática, através da mobilização de

vários registros de representação conforme teoria de Duval, iniciando os

estudantes nos números inteiros (e os negativos como parte deles) o “mais

estruturalmente possível”, através de intervenções de ensino que mostrem bons

resultados didáticos e/ou pedagógicos. Em outras palavras, podemos usar

182

quadros teóricos e as diferentes formas de representação, tanto concreta como

abstrata, para os mais diversos caminhos da aprendizagem.

5.4 SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS

No decorrer da análise algumas questões visitaram nosso pensamento

sobre possíveis trabalhos ligados ao nosso tema ou que dessem continuidade a

ele.

Um primeiro questionamento que nos ocorreu foi o seguinte: Seria

possível introduzir os números inteiros negativos na 1ª. série do Ensino

Fundamental ? Para responder esta questão, o estudo poderia ser iniciado com

atividades que levassem as crianças desde o início da vida escolar criar

esquemas de abstração. Quebrando a barreira de relacionar os números a

objetos concretos.

Uma segunda reflexão que nos ocorreu foi a questão: Investigar a

evolução da aplicação de números inteiros na 2ª.série e 4ª.série do Ensino

Fundamental simultaneamente para correlacionar os possíveis obstáculos da

idade e do convívio social, como foi apresentado por Nieto (1994).

Aqui o importante é correlacionar o trabalho de Passoni (2002), Jahn (1994),

Nieto (1994) e o nosso, para descobrir e resolver os obstáculos e propor novos

caminhos, inclusive, até uma mudança nos PCN’(s).

183

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187

ANEXO 1

Pré - Teste

1-Preencha na sequência abaixo escrevendo o número correspondente dentro do cículo, outro dentro do triângulo e outro dentro do quadrado:

a) O número dentro do círculo é maior do que o número do quadrado? Sim Não

b) O número dentro do quadrado é igual do que o número dentro do triângulo? Sim Não

c) O número dentro do triângulo é menor que zero? Sim Não

2-Observe com ATENÇÃO os números abaixo e organize eles em ordem crescente na linha.

9, -9, 5, -5, 1, -1 e 0 ________________________________________

3- O desenho abaixo é para mostrar o prédio onde João mora.

O prédio tem dois andares garagens, um andar térreo e quatro andares para cima. O andar térreo já está indicado com número zero. Complete o desenho do prédio colocando o número correto dentro de TODOS os andares.

Térreo 0

0-1

188

4- Atenção, olhe o prédio onde João mora. Represente numericamente os andares do prédio na reta abaixo:

5- João mora no segundo andar.

Utilize a reta do exercício anterior e responda:

a) Para chegar ao quarto andar o que ele precisa fazer?

____________________________________________________________

b) Represente sua resposta com número_____________________________

c) Saindo do seu apartamento o que ele precisa fazer para chegar na primeira

garagem? ____________________________________________________

d) Represente sua resposta com número_____________________________

6 –Assinale a alternativa correta.

a) 0 é menor que -8 Sim Não

b) –5 é menor que -7 Sim Não

c) 5 é maior que 7 Sim Não

d) –7 é menor que 5 Sim Não

0

2

Subir é + Descer é -

189

7-Observe com atenção a reta abaixo e imagine João andando nela.

a) João saiu da posição -3 e chegou na posição 2. Quantos números ele andou?

b) João saiu da posição 4 e chegou na posição -3. Quantos números ele andou? 8- Use a reta acima para lhe ajudar e responda qual é a distância entre os números abaixo:

a) De -2 até 2 __________

b) De -6 até 0 __________

c) De 5 até -2 __________

9 – Preste bastante ATENÇÃO na direção e no sentido do segmento de reta abaixo:

a. Qual é o nome da direção do segmento de reta:

___________________________________

b. Qual é o nome do sentido do segmento de reta?

______________________________

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4

190

Responda usando números e sinais (+ ou -)

c. Para sair de + 1 e chegar em + 4 quantos números eu pulo? _______________

d. Para sair de 0 e chegar em –3 quantos números eu pulo? _______________

e. Para sair de – 2 e chegar em + 3 quantos números eu pulo? _______________

f. Para sair de – 3 e chegar em –1 quantos números eu pulo? _______________

ANEXO 2

Pós – Teste

1 - Observe com ATENÇÃO os números abaixo e organize eles em ordem crescente na linha.

8, -8, 3, -3, 1, -1 e 0 ________________________________________

2 - O desenho abaixo é para mostrar o prédio onde João mora. O prédio tem dois andares garagens, um andar térreo e quatro andares para cima. O andar térreo já está indicado com número zero. Complete o desenho do prédio colocando o número correto dentro de TODOS os andares.

Térreo 0

191

3-Preencha na sequência abaixo escrevendo o número correspondente dentro do cículo, outro dentro do triangulo, outro dentro do quadrado e outro dentro do retângulo:

a) O número dentro do círculo é maior do que o número do quadrado?

Sim Não b) O número dentro do quadrado é igual do que o número dentro do

triângulo?

Sim Não c) O número dentro do triângulo é menor que zero?

Sim Não d) d) O número dentro do retângulo é igual do que o número dentro do

círculo?

Sim Não 4 –Assinale a alternativa correta.

a) 0 é maior que -4 Sim Não

b) 5 é menor que -8 Sim Não

c) –5 é maior que -7 Sim Não

d) -2 é menor que -8 Sim Não

e) –5 é menor que 7 Sim Não

5-Observe a reta abaixo e imagine que João saiu da posição –2 e chegou na

posição 3.

Quantos números João andou?

0-1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

192

6- Use a reta acima para lhe ajudar e responda qual é a distância entre os números abaixo:

a) De -3 até 3 _________ b) De -5 até 0 __________

c) De 0 até 6 __________ d) De 4 até -3 __________

7 – Olhe com ATENÇÃO a reta abaixo e complete com os números inteiros corretos:

8- João está no número 3.

Utilize a reta do exercício anterior e responda:

a) Para chegar ao número 5 o que ele precisa fazer?

___________________________________________________________

b) Represente sua resposta com número____________________________

c) Saindo do número 2 o que ele precisa fazer para chegar no número -2?

__________________________________________________________

d) Represente sua resposta com número____________________________

0

3

193

9 – Preste bastante ATENÇÃO na direção e no sentido do segmento de reta abaixo:

a) Qual é o nome da direção do segmento de reta:

____________________________________________________________

b) Qual é o nome do sentido do segmento de reta? ____________________________________________________________

Responda usando números e sinais (+ ou -)

c) Para sair de + 1 e chegar em + 5 quantos números eu pulo? ____________________________________________________________

d) Para sair de 0 e chegar em –4 quantos números eu pulo? ____________________________________________________________

e) Para sair de – 4 e chegar em + 3 quantos números eu pulo? ____________________________________________________________

f) Para sair de – 5 e chegar em –1 quantos números eu pulo? ____________________________________________________________

10) Observe as flexinhas das retas que indicam o sentido e complete os números que

faltam em cada uma

-4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 -5

00

194

ANEXO 3

MATERIAIS DA INTERVENÇÃO DE ENSINO

1-Preencha na sequência abaixo escrevendo

1 - VOCÊ ESTÁ RECEBENDO UMA FOLHA COM UM DESENHO DE UM PRÉDIO. NUMERE OS ANDARES E RECORTE. DEPOIS MONTE O PRÉDIO NOVAMENTE E COLE NESTA FOLHA.




195

3-REPRESENTE NA RETA A SEGUIR O PRÉDIO QUE VOCÊ DESENHOU. MARQUE OS ANDARES DOS MORADORES, O TÉRREO E OS ANDARES DA GARAGEM.





5-FAÇA UMA RETA REPRESENTANDO O PRÉDIO QUE VOCÊ DESENHOU, NUMERANDO OS ANDARES ACIMA DO TÉRREO E O ANDAR TÉRREO. NUMERE OS ANDARES DAS GARAGENS COMO O SEU COLEGA OU SUA PROFESSORA NUMEROU.


6 - RESPONDA:

A) OS NÚMEROS 1,2,3,... SÃO CHAMADOS NÚMEROS........................................................................................................................................ B) O NÚMERO 0 É CHAMADO ..........................................OU...................................... .................................................................. C) OS NÚMEROS -1,-2,-3,.... SÃO CHAMADOS NÚMEROS........................................................................................................................................ D) OS NÚMEROS ...., -3,-2,-1,0,1,2,3,...SÃO CHAMADOS NÚMEROS........................................................................................................................................


196


COMPLETE: A) OS NÚMEROS 1,2,3,...SÃO CHAMADOS _______________________________________________________________________________ B) O NÚMERO 0 É CHAMADO ___________________________________OU_________________________________________ C) OS NÚMEROS -1,-2,-3,.... SÃO CHAMADOS _______________________________________________________________________________ D) OS NÚMEROS...,-3,-2,-1,0,1,2,3... SÃO CHAMADOS _______________________________________________________________________________

Quadro 3.27- Atividade 7 da seqüência de ensino.

8- VAMOS “DERRUBAR O PRÉDIO” PARA A DIREITA. REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA HORIZONTAL.

Quadro 3.28 - Atividade 8 da seqüência de ensino. 9 – VAMOS “DERRUBAR O PRÉDIO” PARA A ESQUERDA.

REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA HORIZONTAL.

Quadro 3.29- Atividade 9 da seqüência de ensino.

197

DIREÇÃO E SENTIDO DA RETA NUMERADA PARA AS ATIVIDADES 10, 12, 14, 16 E 18: VOCÊ ESTÁ RECEBENDO UM KIT COM UM PEDAÇO DE BARBANTE, 6 FICHAS VERMELHAS, 6 FICHAS VERDES, UMA FICHA BRANCA E UMA FLECHA. ESCREVA NA FICHA BRANCA 0, NAS FICHAS VERMELHAS ESCREVA –1,-2,-3, ETC. E NAS FICHAS VERDES ESCREVA 1, 2, 3, ETC. 10 – ESTENDA O BARBANTE HORIZONTALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 À DIREITA DO ZERO.COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DA ESQUERDA PARA A DIREITA. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE. 11- REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL, SENTIDO DA ESQUERDA PARA A DIREITA. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.

Quadro 3.30 - Atividade 9 da seqüência de ensino

12 – ESTENDA O BARBANTE HORIZONTALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 À ESQUERDA DO ZERO. COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DA DIREITA PARA A ESQUERDA. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE.

13 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL, SENTIDO DA DIREITA PARA A ESQUERDA. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.


14 – ESTENDA O BARBANTE VERTICALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 ACIMA DO ZERO. COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DE BAIXO PARA CIMA. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE.



16 – ESTENDA O BARBANTE VERTICALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 ABAIXO DO ZERO. COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DE CIMA PARA BAIXO. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE.

17 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL, SENTIDO DE CIMA PARA BAIXO. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.


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18 – ESTENDA O BARBANTE E ESCOLHA UMA DIREÇÃO QUE NÃO SEJA HORIZONTAL NEM VERTICAL EM RELAÇÃO A VOCÊ. COLOQUE O ZERO, OS NÚMEROS POSITIVOS, OS NEGATIVOS E A FLECHINHA.


Quadro 3.34 - Atividade 18 e 19 da seqüência de ensino. 20 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA. VOCÊ ESCOLHE A DIREÇÃO E O SENTIDO. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.


21 – RECORDANDO: A) COMO SÃO CHAMADOS OS NÚMEROS 1, 2, 3,...? .............................................................................................................................................................. B) COMO É CHAMADO O NÚMERO 0? ..............................................................OU........................................................................................... C) COMO SÃO CHAMADOS OS NÚMEROS -1, -2, -3,...? .............................................................................................................................................................. D) COMO SÃO CHAMADOS OS NÚMEROS -3, -2, -1, 0 , 1, 2 , 3,...? ..............................................................................................................................................................

Quadro 3.36 - Atividade 21 da seqüência de ensino. 22 – ESTÃO REPRESENTADOS A SEGUIR, EM UMA RETA, OS NÚMEROS INTEIROS.

A) QUAL É A DIREÇÃO DESSA RETA? ................................................................................................................................... B) QUAL É O SENTIDO DESSA RETA? ...................................................................................................................................



A) QUAL É A DIREÇÃO DESSA RETA?......................................................................................................... B) QUAL É O SENTIDO DESSA RETA?.........................................................................................................


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Quadro 3.39 - Atividade 24 da seqüência de ensino. 25 – ESTÃO REPRESENTADOS A SEGUIR, EM UMA RETA, OS NÚMEROS INTEIROS.






28 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL E COM SENTIDO DE BAIXO PARA CIMA.


29 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL E COM SENTIDO DE CIMA PARA BAIXO.


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30 – Representar os números inteiros usando uma reta cuja direção não seja horizontal nem vertical. Indicar o sentido usando uma flechinha.

Quadro 3.45 - Atividade 30 da seqüência de ensino. 31–OBSERVE O SENTIDO DE CADA RETA E COMPLETE COM NÚMEROS INTEIROS.


UM ESTUDO COM OS NÚMEROS INTEIROS NAS - HUMBERTO … · analisados considerando a possibilidade da...

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