UFRGS - Reservatórios de água paralelepipédicos em concreto armado: desenvolvimento de programa...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Tiago Dal Zotto Costa

RESERVATRIOS DE GUA PARALELEPIPDICOS

EM CONCRETO ARMADO:

DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMA

COMPUTACIONAL PARA PROJETO

Porto Alegre

dezembro 2010

TIAGO DAL ZOTTO COSTA

RESERVATRIOS DE GUA PARALELEPIPDICOS EM CONCRETO ARMADO:

DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMA COMPUTACIONAL PARA PROJETO

Trabalho de Diplomao apresentado ao Departamento de Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, como parte dos requisitos para obteno do

ttulo de Engenheiro Civil

Orientador: Amrico Campos Filho

Porto Alegre

dezembro 2010

TIAGO DAL ZOTTO COSTA

RESERVATRIOS DE GUA PARALELEPIPDICOS EM CONCRETO ARMADO:

DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMA COMPUTACIONAL PARA PROJETO

Este Trabalho de Diplomao foi julgado adequado como pr-requisito para a obteno do

ttulo de ENGENHEIRO CIVIL e aprovado em sua forma final pelo Professor Orientador e

pela Coordenadora da disciplina Trabalho de Diplomao Engenharia Civil II (ENG01040) da

Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

Porto Alegre, 20 de dezembro de 2010

Prof. Amrico Campos Filho Dr. pela EPUSP

Orientador

Profa. Carin Maria Schmitt Coordenadora

BANCA EXAMINADORA

Prof. Roberto Domingo Rios (UFRGS) Dr. pela UFRGS

Prof. Ronald Jos Ellwanger (UFRGS) Dr. Pela UFRJ

Prof. Amrico Campos Filho (UFRGS) Dr. pela EPUSP

minha irm, Betina, e minha me, Susana.

AGRADECIMENTOS

Agradeo ao Prof. Amrico Campos Filho, orientador deste trabalho, por compartilhar seus

valiosos conhecimentos, que se fizeram imprescindveis para sua realizao.

Ao meu amigo Carlos Henrique Cattani, pelo auxlio prestado na parte de programao.

Agradeo tambm aos colegas que me acompanharam durante o curso, pelo companheirismo

e amizade.

A misso suprema do homem saber o que precisa para ser homem.

Immanuel Kant

RESUMO

COSTA, T. D. Reservatrios de gua Paralelepipdicos em Concreto Armado: desenvolvimento de programa computacional para projeto. 2010. 72 f. Trabalho de Diplomao (Graduao em Engenharia Civil) Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre.

Diversos materiais tm sido empregados na concepo de reservatrios de gua potvel.

Embora muitos desses materiais sejam realmente prticos do ponto de vista de execuo, o

concreto armado continua sendo muito utilizado para este fim, por apresentar grande

capacidade de adaptao a espaos exguos. Os elementos estruturais de um reservatrio

devem ser devidamente dimensionados, de modo que se alcancem pequenas deformaes,

garantindo, por consequncia, a estanqueidade da cuba e proteo contra eventuais riscos de

contaminao da gua armazenada. Na abordagem mais corriqueira, consideram-se os

reservatrios como um conjunto de lajes engastadas entre si, e a anlise feita tomando-se os

elementos separadamente. Entretanto, sendo o reservatrio uma estrutura monoltica, seu

sistema estrutural como um todo pode ser analisado luz de um modelo de folha polidrica e,

por conseguinte, pode ser tratado como uma estrutura nica. Com as facilidades que hoje a

informtica proporciona, conveniente efetuar a anlise dos reservatrios com o auxlio de

recursos computacionais. Diante disso, o presente trabalho prope o desenvolvimento de um

programa computacional para o projeto de reservatrios de gua paralelepipdicos. Para tanto,

convm estabelecer as definies e aplicaes dos reservatrios, bem como as classificaes

comumente adotadas quanto forma em planta e posio em relao ao solo, alm das

dimenses usualmente adotadas em projeto. Os carregamentos devem ento ser determinados

para posterior anlise, adotando o modelo estrutural de folha polidrica. A anlise, por

elementos finitos, realizada adotando elementos de flexo de placa e de estado plano de

tenses, chegando assim formulao do elemento finito que respeita o modelo estrutural

adotado. Feita a anlise, dimensionam-se as armaduras flexo-trao, ou flexo (conforme

o caso). Aps o dimensionamento, procede-se a verificao das lajes quanto fissurao,

respeitando limites previamente estabelecidos para mxima abertura de fissuras. Por fim,

verificados os estados limites, o programa apresenta as armaduras necessrias a resistir aos

esforos.

Palavras-chave: reservatrio de gua; folha polidrica; projeto estrutural.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: representao esquemtica do delineamento da pesquisa ................................. 16

Figura 2: cargas para funcionamento das lajes como placas ............................................ 21

Figura 3: espessura das paredes e do fundo do reservatrio ............................................ 22

Figura 4: exemplos de estruturas em folhas polidricas .................................................. 24

Figura 5: partcula submetida a deslocamento virtual ...................................................... 25

Figura 6: malha de elementos finitos ............................................................................... 27

Figura 7: geometria e planos de simetria de um reservatrio paralelepipdico ............... 42

Figura 8: quarta parte do reservatrio, considerados seus planos de simetria ................. 42

Figura 9: malha de elementos finitos e eixos coordenados .............................................. 43

Figura 10: malha de elementos finitos para a laje de fundo ............................................. 44

Figura 11: malha de elementos finitos para a laje lateral ................................................. 45

Figura 12: malha de elementos finitos para a laje de frente ............................................. 46

Figura 13: elemento finito retangular de oito ns ............................................................ 48

Figura 14: esforo normal transferido para a armadura tracionada .................................. 58

Figura 15: rea efetiva da regio tracionada para uma seo retangular .......................... 60

Figura 16: janela de interao entre o usurio e o programa ............................................ 66

Figura 17: exemplo de apresentao de resultados na janela de interao ...................... 67

Figura 18: planta baixa do reservatrio ............................................................................ 68

Figura 19: corte transversal do reservatrio ..................................................................... 69

LISTA DE QUADROS

Quadro 1: parmetros dimensionais para reservatrios de gua retangulares .................. 20

Quadro 2: classificao quanto agressividade ambiental .............................................. 39

Quadro 3: correspondncia entre o cobrimento nominal e a classe de agressividade ambiental ............................................................................................................ 39

Quadro 4: correspondncia entre classe de agressividade ambiental e qualidade do concreto .............................................................................................................. 40

Quadro 5: aberturas limites de fissuras que proporcionam estanqueidade gua ........... 40

Quadro 6: comparao entre valores da bibliografia e do programa ............................... 70

SUMRIO

1 INTRODUO ........................................................................................................... 11

2 MTODO DE PESQUISA ......................................................................................... 14

2.1 QUESTO DE PESQUISA ....................................................................................... 14

2.2 OBJETIVO PRINCIPAL ........................................................................................... 14

2.3 PRESSUPOSTO ......................................................................................................... 14

2.4 DELIMITAES ...................................................................................................... 15

2.5 LIMITAES ............................................................................................................ 15

2.6 DELINEAMENTO .................................................................................................... 15

3 CONCEPO DO MODELO ESTRUTURAL ....................................................... 18

3.1 DEFINIES E APLICAES ............................................................................... 18

3.2 CLASSIFICAES ................................................................................................... 18

3.2.1 Quanto forma em planta .................................................................................... 19

3.2.2 Quanto posio em relao ao solo ................................................................... 19

3.3 DIMENSES ............................................................................................................. 20

3.4 CARGAS E COMPORTAMENTO DAS LAJES ..................................................... 21

3.5 MODELO DE FOLHA POLIDRICA ..................................................................... 23

4 ANLISE ESTRUTURAL E DIMENSIONAMENTO ........................................... 25

4.1 PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS ........................................................... 25

4.2 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS PARA LAJES ........................................ 26

4.3 OBTENO DA MATRIZ DE RIGIDEZ ................................................................ 28

4.4 OBTENO DO ELEMENTO DE FOLHA POLIDRICA ................................... 33

4.5 CONTROLE DA FISSURAO .............................................................................. 38

5 DESENVOLVIMENTO DO PROGRAMA ............................................................. 41

5.1 DESCRIO DA GEOMETRIA .............................................................................. 41

5.2 MALHA DE ELEMENTOS FINITOS E CONDIES DE CONTORNO ............. 43

5.3 DESCRIO DO ELEMENTO FINITO ADOTADO ............................................. 47

5.4 ORGANIZAO INTERNA DO PROGRAMA ..................................................... 49

5.4.1 Mdulo Dados ........................................................................................................ 49

5.4.2 Mdulo Elemento .................................................................................................. 50

5.4.2.1 Sub-rotina cargas .................................................................................................. 50

5.4.2.2 Sub-rotina rot_local .............................................................................................. 50

5.4.2.3 Sub-rotina monta_ke_ept ..................................................................................... 51

5.4.2.4 Sub-rotina monta_ke_flex .................................................................................... 51

5.4.2.5 Sub-rotina monta_ke ............................................................................................ 52

5.4.2.6 Sub-rotina rota_ke ................................................................................................ 52

5.4.3 Mdulo Geral ......................................................................................................... 52

5.4.3.1 Sub-rotina banda .................................................................................................. 52

5.4.3.2 Sub-rotina monta_kg ............................................................................................ 53

5.4.3.3 Sub-rotina carga_nodal ........................................................................................ 53

5.4.3.4 Sub-rotina contorno .............................................................................................. 53

5.4.3.5 Sub-rotina gauss ................................................................................................... 53

5.4.3.6 Sub-rotina reacoes ................................................................................................ 54

5.4.4 Mdulo Principal ................................................................................................... 54

5.4.4.1 Funo Armadura ................................................................................................. 54

5.4.4.2 Funo Bitola ....................................................................................................... 55

5.4.4.3 Funo Armadura_flex ......................................................................................... 55

5.5 DIMENSIONAMENTO FLEXO-TRAO ......................................................... 55

5.6 CLCULO DA ABERTURA DE FISSURAS .......................................................... 57

5.7 DIMENSIONAMENTO FLEXO ........................................................................ 64

5.8 INTERFACE DO PROGRAMA ............................................................................... 65

6 APLICAO E DISCUSSO DOS RESULTADOS............................................... 68

REFERNCIAS ............................................................................................................... 72

__________________________________________________________________________________________ Reservatrios de gua paralelepipdicos em concreto armado:

desenvolvimento de programa computacional para projeto

11

1 INTRODUO

Apesar das contnuas pesquisas por novos materiais na construo civil, o concreto armado

continua se mostrando muito verstil e economicamente interessante. Em se tratando de

armazenamento de gua em edifcios, no h dvidas a respeito da praticidade dos

reservatrios pr-fabricados, como os de fibra de vidro ou polietileno. Entretanto, suas

dimenses pr-estabelecidas geralmente requerem grandes espaos para sua instalao, o que

pode dificultar seu uso.

As estruturas de concreto armado tm a grande vantagem de serem concebidas com

dimenses adequadas conforme as circunstncias, a critrio do projetista. Esta versatilidade

permite que os reservatrios de gua assumam formas mais adaptveis s restries de espao

fsico e s limitaes estruturais da edificao. Nos edifcios residenciais e comerciais mais

comuns, habitual posicionar os reservatrios sobre os pilares da caixa da escada ou dos

poos de elevadores (no caso de reservatrios superiores), ou ainda ao nvel do solo

(reservatrios inferiores).

Do ponto de vista de projeto, as melhores solues para aproveitamento de espao em

edificaes geralmente se apresentam com a utilizao de ngulos retos. Por conseguinte, os

reservatrios de gua so geralmente concebidos em planta retangular, tomando a forma

paralelepipdica: uma laje horizontal de fundo e quatro lajes verticais, formando paredes

laterais. Como tampa, usa-se tambm uma laje em concreto armado, que se apoia nas lajes

laterais.

Para garantir a estanqueidade, de grande importncia impedir que ocorram fissuras

excessivas no concreto. Tal condio satisfeita garantindo os engastes entre suas lajes

adjacentes. O modelo estrutural do reservatrio paralelepipdico, portanto, configura-se com

uma laje engastada em seus quatro bordos (laje de fundo) e quatro lajes engastadas em trs

bordos, com um bordo simplesmente apoiado (paredes). H ainda a laje de tampa, que

considerada simplesmente apoiada nas paredes, transferindo a elas suas cargas. O reservatrio

como um todo, por sua vez, apoia-se sobre pilares, geralmente localizados em seus cantos.

__________________________________________________________________________________________ Tiago Dal Zotto Costa. Trabalho de Diplomao. Porto Alegre: DECIV/EE/UFRGS, 2010

12

No caso dos reservatrios superiores, consideram-se como carregamentos apenas as cargas de

peso prprio das lajes e a presso hidrosttica da gua armazenada. J nos reservatrios

inferiores, pode haver casos em que a laje de fundo se encontra apoiada diretamente no solo, e

no sobre pilares. As paredes podem tambm estar sujeitas a aes de empuxo de solo, alm

do empuxo devido gua contida no reservatrio. No entanto, as normas vigentes no Brasil

passaram a impedir que se construam reservatrios de gua potvel com as paredes ou o

fundo em contato direto com o solo, de modo a evitar possvel contaminao da gua. Tal

restrio implica, nestes casos, a considerao dos mesmos modelos estruturais, tanto para

reservatrios superiores, quanto para os inferiores, uma vez que esto submetidos aos mesmos

carregamentos.

Para auxiliar no projeto, e aproveitando a generalidade percebida no modelo estrutural

adotado para os reservatrios, torna-se conveniente o desenvolvimento de um programa

computacional que fornea o dimensionamento da armadura de suas lajes. Provendo ao

programa, como dados de entrada, as caractersticas geomtricas e as cargas atuantes, ele deve

avaliar as solicitaes s quais as lajes esto submetidas, e ento apresentar a armadura

necessria a resistir aos esforos aos quais esto sujeitas.

A criao do algoritmo de projeto teve como modelo estrutural o conceito de folha polidrica.

Diferentemente do procedimento comumente adotado, que considera cada uma das lajes do

reservatrio como elementos estruturais isolados dos demais, o modelo estrutural de folha

polidrica possibilita que duas (ou mais) lajes adjacentes sejam analisadas como uma

estrutura nica, levando em considerao tanto as teorias de flexo de placas, quanto as de

estado plano de tenses. Dividindo-se as lajes em malhas de elementos finitos, calculam-se as

solicitaes, e delas obtm-se as armaduras necessrias para resisti-las. Uma vez devidamente

verificadas quanto aos estados limites, chega-se ao dimensionamento do reservatrio.

O captulo 2 do presente trabalho expe o mtodo de pesquisa adotado para seu

desenvolvimento. Apresenta-se a questo de pesquisa, o objetivo principal do trabalho e o

pressuposto do qual se parte para seu desenvolvimento. Tambm so estabelecidas as

delimitaes s quais o trabalho foi submetido, as limitaes impostas ao seu

desenvolvimento e, finalmente, o delineamento seguido desde a pesquisa bibliogrfica at a

obteno dos resultados finais e discusses a eles relativas.



13

No captulo 3, faz-se uma apresentao de conceitos acerca do modelo estrutural adotado. O

captulo fruto de reviso bibliogrfica referente a projeto de reservatrios em concreto

armado. So tratados aspectos como classificaes quanto a posicionamento nas edificaes e

dimenses adotadas para projeto. Tambm so abordados tpicos concernentes ao modelo

estrutural de reservatrios, considerando suas vinculaes e carregamentos aplicados. O

captulo finaliza apresentando o conceito de folha polidrica, trazendo tambm aplicaes

deste modelo estrutural em Engenharia Civil.

O captulo 4, tambm fruto de reviso bibliogrfica, traz aspectos relativos anlise estrutural

de reservatrios e ao dimensionamento de seus elementos estruturais. Abordam-se conceitos

como o princpio dos trabalhos virtuais e o uso do mtodo dos elementos finitos para anlise

de lajes. O captulo segue apresentando procedimentos para obteno da matriz de rigidez e

definies acerca dos elementos finitos representativos de folhas polidricas. Finalmente,

discute-se a ocorrncia de fissurao das lajes, visando ao seu controle preventivo.

O desenvolvimento do programa computacional abordado no captulo 5. So feitas

consideraes acerca da geometria da estrutura e sua modelagem em malhas de elementos

finitos. So tambm discutidas as caractersticas do tipo de elemento finito adotado,

observando as teorias que se prope analisar. A seguir, descrita a implementao do

procedimento automatizado de anlise e dimensionamento da estrutura, trazendo descries

das partes constituintes do programa. Demonstra-se o mtodo de dimensionamento de

armaduras para sees em flexo-trao, alm do procedimento de clculo da abertura de

fissuras nas lajes. Traz-se tambm o mtodo de dimensionamento de sees em flexo

simples, para as situaes em que no ocorre flexo-trao. Na sequncia, apresentada a

interface de interao entre o usurio e o programa, e so descritos seus componentes.

Finalmente, o captulo 6 faz a simulao de dimensionamento de um reservatrio e discute

seus resultados. adotado um exemplo encontrado na bibliografia, de modo que se possam

fazer comparaes entre os resultados apresentados no exemplo e os fornecidos pelo

programa. Aps a anlise e comparao, pondera-se acerca da coerncia dos resultados

alcanados diante dos objetivos propostos para o programa.


14

2 MTODO DE PESQUISA

Neste captulo, apresenta-se o plano geral do trabalho. Para tanto, ele est dividido nas

seguintes partes: questo de pesquisa, objetivo principal, pressuposto, delimitaes, limitaes

e delineamento. Nesta ltima parte, so expostas as subdivises da pesquisa em etapas

especficas, as quais o encaminharam de forma sequencial em busca do objetivo a que se

prope. O captulo como um todo apresenta as diretrizes que nortearam o trabalho, tanto em

fase de projeto, quanto de execuo.

2.1 QUESTO DE PESQUISA

A questo de pesquisa deste trabalho : qual seria um algoritmo de clculo adequado para o

projeto de reservatrios de gua paralelepipdicos em concreto armado?

2.2 OBJETIVO PRINCIPAL

O objetivo principal deste trabalho a criao de um programa computacional que, mediante

o fornecimento (por parte do projetista) do carregamento e da geometria do reservatrio, gere

seu detalhamento, a partir da verificao dos estados limites ltimos e de servio.

2.3 PRESSUPOSTO

Admitiu-se, como pressuposto para a pesquisa, que as solicitaes dos elementos estruturais

que compem o reservatrio podem ser determinadas atravs de um modelo elstico-linear de

elementos finitos, resultante do acoplamento de elementos de flexo de placa com os de

estado plano de tenses.



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2.4 DELIMITAES

A pesquisa delimitou-se ao estudo e criao de um programa computacional para projeto de

reservatrios de gua paralelepipdicos, de uma nica clula, de dimenses usuais para

edifcios residenciais e comerciais.

2.5 LIMITAES

As limitaes estabelecidas para a pesquisa so as seguintes:

a) utilizao de uma linguagem de programao amigvel ao autor do trabalho;

b) validao do programa foi realizada com pequeno nmero de reservatrios-exemplo;

c) o programa restringiu-se ao dimensionamento das armaduras das lajes e verificao dos estados limites de servio e ltimos.

2.6 DELINEAMENTO

A realizao do trabalho foi conduzida de acordo com as seguintes etapas:

a) pesquisa bibliogrfica;

b) compreenso e anlise do problema de pesquisa;

c) desenvolvimento do modelo de clculo;

d) desenvolvimento do programa;

e) verificao da validade do programa;

f) anlise dos resultados;

g) consideraes finais.

A figura 1 ilustra a sequncia das etapas do trabalho, que so descritas nos pargrafos abaixo.

A pesquisa bibliogrfica teve por meta a investigao e obteno das informaes relevantes

j publicadas a respeito do problema de pesquisa. Tais informaes serviram de embasamento

terico para as fases subsequentes, portanto procurou-se reunir contedo consistente acerca

dos mtodos de anlise e das variveis inerentes ao problema. Devido sua grande


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importncia para a execuo do trabalho, a pesquisa bibliogrfica se deu de forma ininterrupta

at o fim da pesquisa.

Figura 1: representao esquemtica do delineamento da pesquisa

Foi proposto para a segunda etapa, denominada compreenso e anlise do problema de

pesquisa, a identificao dos fatores e das variveis aplicveis ao problema. Foram

determinadas as circunstncias especficas s quais a pesquisa foi submetida, e que lhe

serviram de norte em busca do objetivo proposto.

O desenvolvimento do modelo de clculo teve como objetivo estabelecer um procedimento

adequado para o projeto de reservatrios de gua. Para tanto, fez-se respeitar as normas



17

vigentes, e procurou-se levar em conta as variveis necessrias ao correto dimensionamento

dos elementos estruturais, de acordo com as limitaes previamente estabelecidas.

A seguir tratou-se do desenvolvimento do programa. Foi criado nesta etapa um algoritmo

apropriado para a aplicao do modelo de clculo. Executou-se aqui a programao dos

procedimentos de projeto na linguagem de programao adotada. Nessa etapa, tambm foi

criada uma interface que permite a interao entre o programa e o usurio.

Na sequncia, a fase de verificao da validade do programa contemplou uma reviso da

rotina de clculo e simulaes de dimensionamento de reservatrios. Sua finalidade foi a de

verificar a coerncia dos resultados gerados pelo programa.

A fase de anlise dos resultados teve por meta a avaliao crtica do programa desenvolvido,

tendo em vista a finalidade qual ele se prope. Finalmente, na fase de consideraes finais,

props-se a ponderao acerca dos resultados alcanados na pesquisa diante dos objetivos por

ela propostos.


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3 CONCEPO DO MODELO ESTRUTURAL

A reviso bibliogrfica exposta neste captulo aborda consideraes gerais acerca do projeto

de reservatrios. Para uma melhor compreenso, foi dividido em trs partes. Na primeira

delas, apresentam-se definies sobre os reservatrios e finalidades s quais eles se destinam.

A segunda parte prope subdivises dos reservatrios quanto forma em planta e quanto ao

posicionamento em relao ao solo. A seguir, tratam-se das dimenses usualmente adotadas,

relacionando-as com o volume de armazenagem do reservatrio. No item seguinte, abordam-

se o modelo estrutural e os carregamentos a serem considerados em projeto. Por fim,

introduz-se o conceito de folha polidrica, trazendo concepes estruturais e exemplos de

aplicaes comuns em Engenharia Civil.

3.1 DEFINIES E APLICAES

Guerrin e Lavaur (1990, p. 1) definem um reservatrio como [...] um recipiente contendo um

lquido.. Embora em geral este lquido seja gua potvel, comum a existncia de

reservatrios para armazenamento de outros lquidos, tais como vinho, cerveja,

hidrocarbonetos, etc. Montoya et al. (2000, p. 584-585) advertem, entretanto, que alguns dos

diversos tipos de lquidos podem afetar a durabilidade do concreto. Em tais casos, deve-se

dispor de revestimentos adequados para o concreto. No presente trabalho, sero considerados

apenas os reservatrios de gua potvel.

3.2 CLASSIFICAES

Os itens abaixo apresentam algumas formas comumente adotadas de classificar os

reservatrios. Tais classificaes referem-se s formas geomtricas e posio que ocupam

relativamente ao nvel do solo.



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3.2.1 Quanto forma em planta

De acordo com Baikov (1978, p. 192), os reservatrios assumem em planta a forma redonda

ou retangular. A escolha da forma geralmente governada por razes econmicas, mas, em

muitos casos, tambm pela topografia local e pela configurao do espao onde ser

construdo. Baykov e Sigalov (1980, p. 611) acrescentam que, quando se deseja uma

composio mais compacta, os reservatrios so feitos retangulares. Costa (1997, p. 38) ainda

complementa que os de planta retangular so denominados reservatrios paralelepipdicos,

e constituem a maioria dos reservatrios. Apesar de haver diversas formas em planta, o

escopo desta pesquisa restringir-se- aos reservatrios paralelepipdicos.

3.2.2 Quanto posio em relao ao solo

Costa (1997, p. 4) subdivide os reservatrios em dois grandes grupos, quais sejam:

a) reservatrios trreos (tambm chamados enterrados), os quais tm suas cargas descarregadas diretamente no solo, ou em fundaes;

b) reservatrios elevados, que so apoiados em um elemento estrutural (ou um conjunto deles) que, por sua vez, descarregam nas fundaes.

Montoya et al. (2000, p. 587) apontam que os reservatrios enterrados sofrem as aes

devidas aos empuxos de terra, presso hidrosttica e a eventuais sobrecargas. Se o nvel

fretico da gua se encontrar acima da laje de fundo, deve ser levada em conta a sua presso

hidrosttica. De acordo com Rocha (1985, p. 99), Nas caixas enterradas, costuma-se

aproveitar o fundo da caixa como fundao da mesma, de modo que teremos uma carga de

baixo para cima constituda pela reao do terreno que igual ao peso total da caixa acrescido

das sobrecargas e dividido pela rea do fundo..

No que se refere aos reservatrios elevados, Arajo (2003, p. 113) afirma que Normalmente,

o reservatrio elevado se apoia na caixa da escada do edifcio.. Ainda de acordo com Arajo

(2003, p. 116), nestes casos, o fundo sofre aes devidas ao peso prprio, ao revestimento e

presso de gua. O mesmo ocorre com as paredes, que devem tambm ser dimensionadas

como vigas-parede. A tampa do reservatrio, por sua vez, sofre os carregamentos devidos ao


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peso prprio, ao revestimento e carga acidental. A presente pesquisa fica restrita apenas aos

reservatrios elevados.

3.3 DIMENSES

Guerrin e Lavaur (1990, p. 3, grifo do autor) fazem algumas consideraes acerca das

dimenses a serem adotadas para os reservatrios:

Partindo do volume V dado, consideraes de aproveitamento determinam na maioria das vezes a altura do lquido armazenado. Por exemplo, para os reservatrios de gua potvel, h varia de 2 m para os pequenos reservatrios, a 7, 8 ou 11 m para os grandes. H interesse em no ultrapassar essa cifra, de modo a no ter em uso canalizaes de gua de grandes variaes de presso. Por outro lado, os esforos nas paredes e no fundo, sendo proporcionais altura do lquido, deve-se procurar, a priori, reduzir essa altura em vez de escolher uma maior dimenso em planta.

importante dar tambm a devida ateno s dimenses mximas em planta, que devem ser

estabelecidas observando as condies de deformao. Tais consideraes tm por fim

garantir que as deformaes no sejam grandes a ponto de prejudicar a impermeabilizao

(GUERRIN; LAVAUR, 1990, p. 3). Baykov e Sigalov (1980, p. 611-612) afirmam ser

conveniente a forma retangular para reservatrios com capacidade variando entre 6.000 e

20.000 metros cbicos. Os parmetros dimensionais dos reservatrios retangulares para gua

podem ser apresentados conforme o quadro 1.

Quadro 1: parmetros dimensionais para reservatrios de gua retangulares

(adaptado de BAYKOV; SIGALOV, 1980, p. 612)



21

3.4 CARGAS E COMPORTAMENTO DAS LAJES

As paredes do reservatrio se calculam como placas retangulares submetidas a cargas

triangulares, com a sustentao adequada ao projeto. Ser necessrio determinar as leis de

momentos fletores e as reaes nos apoios (MONTOYA et al., 2000, p. 588).

Arajo (2003, p. 115) discorre a respeito do modelo estrutural dos reservatrios:

As lajes que compem o reservatrio esto submetidas a cargas perpendiculares ao seu plano mdio, bem como a cargas atuando no prprio plano da laje. Tem-se, desse modo, um funcionamento simultneo como placa (para as cargas normais ao plano da laje) e como viga ou viga-parede (para as cargas aplicadas no plano da laje).

Ainda segundo Arajo (2003, p. 115), as cargas atuantes no plano mdio das lajes podem ser

representadas de acordo com a figura 2, que representa um corte vertical de um reservatrio.

Figura 2: cargas para funcionamento das lajes como placas

(adaptado de ARAJO, 2003, p. 115)

Montoya et al. (2000, p. 588) recomendam que as paredes do reservatrio sejam

dimensionadas com espessura constante, com o objetivo de facilitar a execuo, e de modo

que no se necessite armadura transversal. Conforme ilustra a figura 3, nos casos mais

frequentes de altura de gua z 6,00 m, pode-se, em princpio, adotar como espessura da

parede tp = 0,1z, no inferior a 0,20 metros. A espessura do fundo, tf, no deve ser inferior

da parede, ou seja, tf tp.


22

Figura 3: espessura das paredes e do fundo do reservatrio

(adaptado de MONTOYA et al., 2000, p. 588)

Arajo (2003, p. 116) indica valores a serem considerados como carregamentos nas partes

componentes do reservatrio, para clculo como placas:

a) cargas atuantes na tampa,

- carga devida ao peso prprio: 25tt kN/m2, com tt representando a espessura

da tampa, em metros;

- carga devida ao revestimento: 1,0 kN/m2;

- carga acidental: 0,5 kN/m2;

b) cargas atuantes na laje de fundo,

- carga devida ao peso prprio: 25tf kN/m2, onde tf a espessura da laje de

fundo, em metros;

- carga devida ao revestimento: 1,0 kN/m2;

- carga devida presso hidrosttica: 10z kN/m2, onde z representa a altura mxima da lmina d'gua no reservatrio, em metros;

c) cargas atuantes nas paredes: carga triangular, com valor mximo de: 10z kN/m2, com z representando a altura mxima da lmina d'gua no reservatrio, em metros.

Conforme afirma Arajo (2003, p. 116), os momentos fletores nos diversos pontos da

estrutura so obtidos mediante o clculo das lajes como placas. Da mesma forma so tambm

obtidas as reaes de apoio. Ao considerar que cada laje se apoia em suas lajes adjacentes, as

reaes de apoio de cada laje so transmitidas s lajes de apoio como cargas aplicadas aos

seus respectivos planos mdios. Esta configurao submete as lajes solicitao de flexo-

trao.

Para o caso especfico das paredes, Arajo (2003, p. 116) destaca que:



23

As paredes tambm esto sob flexo-trao, devendo-se ainda realizar um dimensionamento como viga-parede (ou viga esbelta, se for o caso). No clculo como viga-parede, consideram-se as cargas provenientes da tampa e do fundo, bem como o peso prprio da parede. O peso prprio deve ser acrescido dos revestimentos interno e externo da parede, os quais podem ser considerados com o valor total de 1,0 kN/m2.

3.5 MODELO DE FOLHA POLIDRICA

Segundo a definio apresentada por Baikov (1978, p. 109), folhas polidricas so um

conjunto de lajes posicionadas obliquamente entre si por seus lados de maior dimenso, e

apoiados, em seus lados de menor dimenso, por diafragmas. De modo geral, as faces da folha

polidrica so vinculadas monoliticamente na direo longitudinal. Tais vinculaes

permitem transmitir, de uma face a outra, momentos fletores, foras normais e transversais,

alm de esforos de cisalhamento ao longo do vnculo.

O modelo de folha polidrica tambm abordado por Leonhardt e Mnnig (1977, p. 81), para

o qual do a denominao de estrutura plissada:

Unindo-se chapas com um determinado ngulo entre seus planos, de modo que resistam ao cisalhamento ou flexo, obtm-se uma estrutura plissada. Tais estruturas podem ser compostas de retngulos estreitos ou largos (estruturas plissadas prismticas), de tringulos, hexgonos etc., existindo, portanto, uma multiplicidade de formas [...].

Leonhardt e Mnnig (1977, p. 81) destacam ainda que as folhas polidricas, ao longo da

direo de suas arestas, apresentam comportamento de chapas. Ao passo que, na direo

transversal s arestas, as folhas comportam-se como placas, apresentando resistncia flexo.

Alm disso, uma vez que o vnculo entre as folhas implica deformaes iguais para ambas as

arestas, as folhas enrijecem-se mutuamente. Tal configurao provoca nas arestas o

comportamento de vigas com rigidez flexo. A figura 4 apresenta alguns exemplos de

aplicao de estruturas em folhas polidricas em Engenharia Civil.


24

Figura 4: exemplos de estruturas em folhas polidricas (adaptado de LEONHARDT; MNNIG, 1977, p. 63)

Algumas consideraes acerca dos principais usos das folhas polidricas em Engenharia Civil

so feitas por Groehs (1975, p. 5, grifo nosso):

Embora a aplicao principal seja na construo de telhados, a folha polidrica foi adaptada para ser utilizada como reservatrio, na construo de assoalhos, e mesmo, na realizao de fundaes. Em alguns casos trelias constitudas de folhas polidricas, podem ser usadas com vantagem para se conseguir um bom efeito arquitetnico, sem perda econmica.

Groehs (1975, p. 5-8) complementa a abordagem afirmando que, no caso de estruturas

convencionais, com vigas, trelias, lajes, coberturas, etc., estes elementos so a estrutura

principal. Nelas, o invlucro considerado um sistema estrutural secundrio que no confere

qualquer contribuio para a resistncia da estrutura principal. J no caso de folhas

polidricas, o invlucro o prprio sistema estrutural principal. Do ponto de vista econmico,

a soluo com folhas polidricas torna-se, portanto, mais vantajosa.



25

4 ANLISE ESTRUTURAL E DIMENSIONAMENTO

Neste captulo, so abordados alguns tpicos concernentes anlise estrutural e ao

dimensionamento dos reservatrios. Apresenta-se primeiramente o princpio dos trabalhos

virtuais, que serve de fundamento aos itens seguintes. A seguir, so feitas consideraes

acerca da anlise de lajes pelo mtodo dos elementos finitos, e apresentam-se procedimentos

para a obteno da matriz de rigidez dos elementos. Aps, introduz-se o mtodo para a

obteno de elementos finitos para folhas polidricas. Ao final, abordam-se os critrios a

serem adotados no dimensionamento para um adequado controle da fissurao, apresentando

valores limites para abertura de fissuras nas lajes de reservatrios.

4.1 PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

De acordo com Beer et al. (2004, p. 561), o trabalho que cada uma das foras 1F

, 2F

, ..., nF

realiza sobre uma partcula, situada em um ponto A (figura 5), para gerar um deslocamento

u

at um ponto A' denominado trabalho virtual.

Figura 5: partcula submetida a deslocamento virtual (BEER et al., 2004, p. 561)


26

Beer et al. (2004, p. 561) ainda demonstram que, considerando-se que a partcula esteja em

equilbrio esttico, o deslocamento u

no acontece de fato, e portanto denominado

deslocamento virtual. Finalmente, o trabalho virtual de todas as foras agindo na partcula

dado pela frmula 1:

1 2 nW F u F u ... F u R u = + + + =

(frmula 1)

Onde:

W = trabalho virtual;

1F

, 2F

, nF

= foras aplicadas;

u

= deslocamento virtual;

R

= resultante das foras.

4.2 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS PARA LAJES

Em muitos problemas de Engenharia, necessita-se de uma soluo para as distribuies de

tenses de deformaes em um meio elstico. Casos especiais deste tipo de problema vo

desde distribuies bidimensionais de estados planos de tenso ou deformao, slidos

axissimtricos e flexo de placas e cascas at slidos tridimensionais. Em todos os casos, o

nmero de interconexes entre cada elemento finito, isolado por limites imaginrios, e os

elementos finitos adjacentes infinito. A dificuldade em discretizar o problema pode ser

superada adotando-se os seguintes procedimentos (ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 1989, p. 21-

22):

a) o meio contnuo subdividido, por linhas ou superfcies imaginrias, em um certo nmero de elementos finitos;

b) assume-se que cada elemento est conectado aos elementos vizinhos por uma quantidade discreta de ns, localizados em suas bordas;

c) um conjunto de funes escolhido para definir o estado de deslocamentos para cada elemento finito, em termos de seus deslocamentos nodais;

d) as funes de deslocamento ento definem o estado de deformaes para cada elemento, em termos dos deslocamentos nodais. Essas deformaes, juntamente com eventuais deformaes iniciais e as propriedades constitutivas



27

do material, definiro o estado de tenses para todo o elemento e, portanto, tambm em suas bordas;

e) determina-se um sistema de foras concentradas nos ns, que equilibram as tenses das bordas e eventuais cargas distribudas.

Para proceder a anlise pelo mtodo dos elementos finitos para uma laje, esta deve

primeiramente ser dividida por linhas, formando uma malha, tal como ilustrado na figura 6.

Figura 6: malha de elementos finitos (adaptado de COPE; CLARK, 1984, p. 109)

Na abordagem mais comum, assume-se uma faixa de deslocamentos para cada elemento, em

termos de valores de deslocamentos em pontos nodais prescritos. Em uma abordagem

alternativa, tomam-se faixas de momentos sobre elementos e deslocamentos assumidos nas

linhas de malha. Um conjunto de equaes simultneas pode ento ser formado tanto pelo

mtodo de minimizao de energia total, quanto pelo mtodo dos trabalhos virtuais. A

sequncia dos clculos ento arranjada de forma que se estabeleam conjuntos

independentes de equaes que relacionem foras nodais com deslocamentos nodais para os

elementos. Essas equaes so denominadas equaes de rigidez dos elementos. Uma vez

obtidas as matrizes de rigidez dos elementos, os procedimentos normais de anlise estrutural

podem ser aplicados para montar e resolver as equaes de rigidez para a placa como um todo

(COPE et al., 1982 apud COPE; CLARK, 1984, p. 109).


28

4.3 OBTENO DA MATRIZ DE RIGIDEZ

Conforme afirma Martins (1989, p. 4), pode-se obter a matriz de rigidez do elemento finito a

partir da expresso do princpio dos trabalhos virtuais. Alm disso, caso se considerem

materiais diferentes ao longo da espessura, usa-se a regra da ordenada mdia para dividir a

espessura em camadas. O princpio dos trabalhos virtuais pode ser expresso pela frmula 2:

T T T

V V S

dV u BdV u T dS 0 =

(frmula 2)

Onde:

= vetor de deformaes associadas;

= vetor de tenses;

V = volume de integrao;

u

= vetor de deslocamentos virtuais;

B

= vetor de foras aplicadas no corpo;

T

= vetor de foras aplicadas na superfcie;

S = superfcie de integrao.

O vetor de deformaes associadas pode ser explicitado conforme a expresso 1 (MARTINS,

1989, p. 5). Em todas as expresses a seguir, o sobrescrito T indica vetor transposto ou matriz

transposta:

Tx y z xy xz yz =

(expresso 1)

Onde:

= vetor de deformaes associadas;

x = deformao na direo x;

y = deformao na direo y;

z = deformao na direo z;



29

xy = distoro na direo do plano xy;

xz = distoro na direo do plano xz;

yz = distoro na direo do plano yz.

Da mesma forma, Martins (1989, p. 5) apresenta o vetor de tenses expresso com suas

componentes (expresso 2):

Tx y z xy xz yz =

(expresso 2)

Onde:

= vetor de tenses;

x = tenso normal na direo x;

y = tenso normal na direo y;

z = tenso normal na direo z;

xy = tenso de cisalhamento na direo do plano xy;

xz = tenso de cisalhamento na direo do plano xz;

yz = tenso de cisalhamento na direo do plano yz.

O vetor de deslocamentos virtuais, por sua vez, dado conforme a expresso 3 (MARTINS,

1989, p. 5):

[ ]Tu v wu =

(expresso 3)

Onde:

u

= vetor de deslocamentos virtuais;

u = deslocamento virtual na direo do eixo local x;

v = deslocamento virtual na direo do eixo local y;

w = deslocamento virtual na direo do eixo local z.


30

Analogamente, o vetor de foras aplicadas no corpo representado por Martins (1989, p. 5)

conforme a expresso 4:

T

x y zB B B B =

(expresso 4)

Onde:

B


xB = fora aplicada na direo x;

yB = fora aplicada na direo y;

zB = fora aplicada na direo z.

Por fim, o vetor das foras de superfcie apresentado na expresso 5 (MARTINS, 1989, p.

5):

T

x y zT T T T =

(expresso 5)

Onde:

T


xT = fora aplicada na direo x;

yT = fora aplicada na direo y;

zT = fora aplicada na direo z.

No caso de se considerar material isotrpico, a matriz constitutiva tem a forma apresentada na

expresso 6 (MARTINS, 1989, p. 5):



31

2 3 3

3 2 3

3 3 21

4

4

4

a a a 0 0 0

a a a 0 0 0

a a a 0 0 0D a

0 0 0 a 0 0

0 0 0 0 a 0

0 0 0 0 0 a

=

(expresso 6)

Onde:

D

= matriz constitutiva.

Os valores representados por a1, a2, a3 e a4 na matriz D

so dados, respectivamente, pelas

frmulas 3 a 6 (MARTINS, 1989, p. 5):

( )( )1E

a1 1 2

=+

(frmula 3)

2a 1= (frmula 4)

3a = (frmula 5)

( )4

1 2a

2

= (frmula 6)

Onde:

E = mdulo de elasticidade do material (Pa);

= coeficiente de Poisson (adimensional).


32

Martins (1989, p. 12) define a matriz de rigidez para um elemento de acordo com a frmula 7:

e T T T T Tp p p p a f f a p f f f v v vA

k B D B B D B B D B B D B B D B dA = + + + +

(frmula 7)

Onde:

ek

= matriz de rigidez do elemento finito;

pB

= vetor de foras aplicadas no corpo, para o estado plano de tenses;

fB

= vetor de foras aplicadas no corpo, para flexo de placas;

vB

= vetor de foras aplicadas no corpo, para tenses de corte;

pD

= matriz constitutiva, para o estado plano de tenses;

aD

= matriz constitutiva, para acoplamento de flexo de placas e estado plano de tenses;

fD

= matriz constitutiva, para flexo de placas;

vD

= matriz constitutiva, para tenses de corte;

A = rea de integrao.

J o vetor de cargas nodais externas pode ser definido pela frmula 8 (MARTINS, 1989, p.

12):

V S

p BdV T dS=

(frmula 8)

Onde:

p

= vetor de cargas nodais externas;

B


V = volume de integrao;

T


S = superfcie de integrao.



33

A equao de equilbrio se estabelece ento de acordo com a frmula 9 (MARTINS, 1989, p.

12):

e mk u p A= +

(frmula 9)

Onde:

ek

= matriz de rigidez do elemento finito;

u

= vetor de deslocamentos nodais do elemento finito;

p

= vetor de cargas nodais externas;

mA = vetor contendo as foras nodais de extremo de elemento.

Em nvel global, a frmula 9 assume a forma da frmula 10 a seguir, vlida para a estrutura

como um todo (MARTINS, 1989, p. 12):

KU P=

(frmula 10)

Onde:

K

= matriz de rigidez da estrutura;

U

= vetor de deslocamentos nodais da estrutura;

P

= vetor de foras nodais externas da estrutura.

4.4 OBTENO DO ELEMENTO DE FOLHA POLIDRICA

Groehs (1975, p. 51) aponta que, para uma folha polidrica, os elementos finitos que a

constituem esto submetidos flexo e a esforos no plano. Por consequncia disso, sugere-se

tomar matrizes de rigidez de flexo e de estado plano de tenses, e com elas construir a matriz

de rigidez representativa da folha polidrica como um todo. Visto que o comportamento da

estrutura devido flexo independente do comportamento devido s solicitaes no plano,

as respectivas matrizes de rigidez, uma vez unidas, no se devem interferir mutuamente. De


34

modo a esclarecer o raciocnio, tome-se a equao caracterstica que representa o estado plano

de tenses (frmula 11):

p p pe e eP k U=

(frmula 11)

Onde:

peP

= vetor de cargas nodais locais do elemento, para o estado plano de tenses;

pek = matriz de rigidez local do elemento, para o estado plano de tenses;

peU

= vetor de deslocamentos nodais do elemento, para o estado plano de tenses.

O vetor de cargas nodais pode ser explicitado, em funo de suas componentes, conforme a

expresso 7 (GROEHS, 1975, p. 51):

Tp j j jj jj

e x y x yP P P ... P P =

(expresso 7)

Onde:

peP

= vetor de cargas nodais locais do elemento, para o estado plano de tenses;

jxP = componente da fora, na direo x, do j-simo n do elemento;

jyP = componente da fora, na direo y, do j-simo n do elemento;

jjxP = componente da fora, na direo x, do jj-simo n do elemento;

jjxP = componente da fora, na direo y, do jj-simo n do elemento.

Analogamente, Groehs (1975, p. 51) tambm apresenta o vetor de deslocamentos conforme a

expresso 8:

Tp j j jj jj

eU u v ... u v =

(expresso 8)



35

Onde:

peU

= vetor de deslocamentos nodais do elemento, para o estado plano de tenses;

ju = componente do deslocamento, na direo do eixo local x, do j-simo n do elemento;

jv = componente do deslocamento, na direo do eixo local y, do j-simo n do elemento;

jju = componente do deslocamento, na direo do eixo local x, do jj-simo n do elemento;

jjv = componente deslocamento, na direo do eixo local y, do jj-simo n do elemento.

O elemento de flexo de placa, por sua vez, pode ser escrito de acordo com a frmula 12

(GROEHS, 1975, p. 52):

f f fe e eP k U=

(frmula 12)

Onde:

feP

= vetor de cargas nodais locais do elemento, para flexo;

fek = matriz de rigidez local do elemento, para flexo;

feU

= vetor de deslocamentos nodais do elemento, para flexo.

O vetor de cargas nodais, segundo suas componentes, assume a forma apresentada pela

expresso 9 (GROEHS, 1975, p. 52):

Tf j j j jj jj jje z x y z x yP P M M ... P M M =

(expresso 9)

Onde:

feP

= vetor de cargas nodais locais do elemento, para flexo;

jzP = componente da fora, na direo z, do j-simo n do elemento;

jxM = momento, na direo x, do j-simo n do elemento;

jyM = momento, na direo y, do j-simo n do elemento;


36

jjzP = componente da fora, na direo z, do jj-simo n do elemento;

jjxM = momento, na direo x, do j-simo n do elemento;

jjyM = momento, na direo y, do j-simo n do elemento.

De modo anlogo, o vetor que representa os deslocamentos nodais do elemento

representado por Groehs (1975, p. 52) pela expresso 10:

Tf j j j jj jj jj

e x y x yU w ... w =

(expresso 10)

Onde:

feU

= vetor de deslocamentos nodais do elemento, para flexo;

jw = deflexo do j-simo n do elemento;

jx = deformao angular, em relao ao eixo x, do j-simo n do elemento;

jy = deformao angular, em relao ao eixo x, do j-simo n do elemento;

jjw = deflexo do jj-simo n do elemento;

jjx = deformao angular, em relao ao eixo x, do jj-simo n do elemento;

jjy = deformao angular, em relao ao eixo x, do jj-simo n do elemento.

Sendo o elemento finito estudado uma associao entre um elemento de flexo de placas e um

de estado plano de tenses, obtidas as matrizes de rigidez para cada uma das teorias, procede-

se a montagem da matriz que une ambas. Uma vez que a matriz de rigidez para estado plano

de tenses possui 16 linhas e 16 colunas, e que a matriz para flexo de placas possui 24 linhas

e 24 colunas, a nova matriz apresenta 40 linhas e 40 colunas. A matriz, em superlinhas e

supercolunas, ganha a forma da expresso 11, que representa a matriz de rigidez para o

elemento, onde cada superlinha e supercoluna representa um n. Na referida expresso, as

parties compostas por zeros permitem observar que no h acoplamento entre os elementos

(BERNARDI, 2010, p. 49-50):



37

x y

e

x

y

u v w R R

u ept ept 0 0 0

v ept ept 0 0 0

wk 0 0 Mindlin Mindlin Mindlin

R 0 0 Mindlin Mindlin Mindlin

R 0 0 Mindlin Mindlin Mindlin

=

(expresso 11)

Onde:

ke = matriz de rigidez para estado plano de tenses e flexo de placas;

u = translao na direo x;

v = translao na direo y;

w = translao na direo z;

Rx = rotao em torno do eixo x;

Ry = rotao em torno do eixo y;

ept = parties ocupadas pela matriz de rigidez devida ao estado plano de tenses;

Mindlin = parties ocupadas pela matriz de rigidez devida flexo (teoria de Mindlin).

Groehs (1975, p. 52) adverte que:

Se a folha polidrica estivesse em um nico plano as cinco deformaes acima seriam suficientes e se tornaria imediata a soluo do problema. Entretanto as lminas que constituem a folha polidrica no esto contidas no mesmo plano. Como consequncia teremos de fazer uma rotao, para obtermos a matriz de rigidez global, o vetor de cargas nodais equivalentes global e os deslocamentos globais. Desta forma, dependendo da posio da lmina, a deformao angular x e/ou y, em coordenadas locais, poder dar origem a uma componente z

' em coordenadas globais. O mesmo ocorre com o vetor de cargas nodais equivalentes e com a matriz de rigidez.

Diante do exposto, prope que sejam considerados, para cada n, no estado plano de tenses,

uma componente fictcia local de deslocamento z, bem como uma componente local fictcia

do vetor de cargas equivalentes Mz, de modo a facilitar a montagem da matriz de rigidez no

programa. Consequentemente, matriz de rigidez local devem ser adicionadas uma linha e

uma coluna, correspondentes s duas componentes assim introduzidas. Entretanto, para que os

termos fictcios introduzidos no acabem por interferir nos termos reais, a coluna e a linha

adicionadas devem ser compostas por zeros, exceo do termo localizado na diagonal


38

principal da matriz, o qual dever ser uma constante (GROEHS, 1975, p. 52-53). O valor a ser

adotado para a constante localizada na diagonal principal, conforme sugere Martins (1989, p.

15), a mdia dos valores encontrados para rigidez correspondentes s rotaes x,i e y,i das

submatrizes da diagonal principal da matriz ke do elemento.

4.5 CONTROLE DA FISSURAO

A verificao quanto fissurao constitui o principal problema de clculo das paredes dos

reservatrios. Descartados os mtodos antigos, baseados na igualdade de deformaes do ao

e do concreto sob trao, passou-se a empregar o mtodo do estado limite de abertura de

fissuras. Com o objetivo de evitar uma fissurao incompatvel com o servio ou com a

durabilidade do reservatrio, devem-se escolher e dispor as armaduras de modo que a abertura

mxima das fissuras, sob a ao dos momentos fletores, no supere o valor limite admitido em

cada caso (MONTOYA et al., 2000, p. 591).

Algumas consideraes so feitas por Arajo (2003, p. 123) acerca da importncia da

verificao da abertura de fissuras nos reservatrios:

A determinao das aberturas das fissuras uma das etapas de maior importncia no projeto de um reservatrio. A limitao das aberturas das fissuras tem por objetivo garantir a durabilidade da estrutura e manter as condies de impermeabilidade das paredes e da laje de fundo.

Em conformidade com a NBR 6118 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS

TCNICAS, 2003, p. 19), observando o quadro 2, os reservatrios, de modo geral, podem ser

considerados inseridos na Classe II, segundo a classificao quanto agressividade ambiental.

Ainda de acordo com a NBR 6118 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS

TCNICAS, 2003, p. 72) tal classificao implica o valor mximo de 0,3 mm para a abertura

de fissuras em suas lajes.

Arajo (2003, p. 123) vai alm, e estabelece limites mais criteriosos para a abertura de

fissuras nas paredes e na laje de fundo de reservatrios, quais sejam:

a) mxima de 0,1 mm, para laje com a face interna tracionada;

b) mxima de 0,2 mm, para laje com a face externa tracionada.



39

Quadro 2: classificao quanto agressividade ambiental

(ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2003, p. 16)

Quanto ao cobrimento nominal para as armaduras, tendo em vista a classe de agressividade

ambiental assumida, a NBR 6118 (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS

TCNICAS, 2003, p. 19) recomenda que seja adotado o valor mnimo de 25 mm (quadro 3).

Quadro 3:correspondncia entre o cobrimento nominal e a classe de agressividade

ambiental (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2003, p. 19)


40

Em funo da classe de agressividade ambiental, a NBR 6118 (ASSOCIAO

BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2003, p. 18) tambm faz recomendaes acerca

da qualidade do concreto (quadro 4). Percebe-se que, para a classe de agressividade ambiental

II, a classe de concreto a ser adotada em estruturas de concreto armado deve ser igual a, ou

maior que C25.

Quadro 4: correspondncia entre classe de agressividade ambiental e qualidade do concreto (ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS, 2003, p. 18)

Montoya et al. (2000, p. 591) indicam o valor mximo de 0,1 mm para abertura de fissuras,

para reservatrios cujas paredes sofrem alternncia entre presena e ausncia de umidade, ou

que estejam expostos a aes agressivas ou geadas,. No caso de reservatrios

permanentemente submersos, admite-se o valor mximo de 0,2 mm. A razo entre a altura da

lmina d'gua e a espessura da parede pode ser relacionada com os limites de abertura de

fissuras. Tais relaes (apresentadas no quadro 5) so propostas com o intuito de garantir

fluxo nulo de gua atravs das fissuras.

Quadro 5: aberturas limites de fissuras que proporcionam estanqueidade gua

(adaptado de MONTOYA et al., 2000, p. 591)



41

5 DESENVOLVIMENTO DO PROGRAMA

O presente captulo discute a implementao de processos automatizados adotados para a

criao do programa computacional. Tratam-se, primeiramente, a geometria dos reservatrios

paralelepipdicos e suas caractersticas relevantes do ponto de vista da anlise estrutural. A

seguir, expe-se a modelagem do mtodo de clculo por elementos finitos, abordando a

definio da malha adotada e suas caractersticas. O captulo segue caracterizando o elemento

finito adotado, contextualizando-o no conceito de folha polidrica e teorias inerentes. feita

em sequncia a caracterizao do programa computacional propriamente dito, descrevendo

suas partes constituintes: mdulos, sub-rotinas e funes. Na sequncia, introduz-se o mtodo

adotado para dimensionamento de sees em flexo-trao, bem como o mtodo para clculo

da abertura de fissuras para dimensionamento das sees em flexo simples. Ao final,

apresenta-se a interface de interao entre o usurio e o programa.

5.1 DESCRIO DA GEOMETRIA

A figura 7 exemplifica um reservatrio paralelepipdico genrico, onde facilmente se observa

a existncia de dois planos de simetria. Um reservatrio em formato paralelepipdico

apresenta geometria em forma de prisma. A base retangular conectada s paredes, tambm

retangulares, em ngulos retos formando planos ortogonais. Os planos de simetria so

verticais e tambm ortogonais entre si, dividindo a estrutura em quatro partes iguais ou

enantiomorfas, duas a duas. Uma vez que tanto a estrutura quanto o carregamento nela

aplicado so simtricos em relao aos mesmos planos, e considerando-se que, neste trabalho,

prope-se o estudo da estrutura como um todo (e no de suas partes isoladas), suficiente

analisar apenas uma quarta parte da estrutura, resultante da subdiviso devida simetria

(figura 8).


42

Figura 7: geometria e planos de simetria de um reservatrio paralelepipdico

Figura 8: quarta parte do reservatrio, considerados seus planos de simetria

Deve-se observar, entretanto, a aplicao das devidas condies de contorno para que, apesar

de se analisar apenas uma quarta parte da estrutura, os resultados gerados apresentem o

comportamento esperado para a estrutura como um todo. Isto implica estabelecer, de incio, as



43

deformaes esperadas nos locais onde as partes se conectariam, caso o reservatrio fosse de

fato desmembrado. Este procedimento descrito no item a seguir.

5.2 MALHA DE ELEMENTOS FINITOS E CONDIES DE CONTORNO

No presente trabalho, a parte do reservatrio tomada para fins anlise foi discretizada em

malhas de elementos finitos. A estrutura efetivamente analisada , portanto, composta por trs

planos, conectados entre si formando ngulos retos. Primeiramente, foi convenientemente

estabelecida a posio do sistema de eixos coordenados na estrutura, conforme se observa na

figura 9.

Figura 9: malha de elementos finitos e eixos coordenados


44

A parte da malha correspondente ao fundo do reservatrio est contida no plano x-y. Os dois

planos restantes, correspondentes s paredes adjacentes, ficam contidas nos planos x-z e y-z.

A origem do sistema de eixos fica localizada no ponto comum entre os trs planos.

A continuidade entre os elementos constituintes da malha representada pela existncia, em

cada elemento, de um determinado nmero de ns, que os fazem conectar cada elemento aos

seus vizinhos. Para o processamento automtico da estrutura, faz-se necessrio identificar

cada elemento da malha, bem como cada um dos ns que a compem, mediante numerao

adequada. Tal identificao permitir que, feita a anlise, possam ser obtidos dados sobre

reaes, solicitaes ou deslocamentos para qualquer um dos ns, conforme necessidade do

ponto de vista de dimensionamento da estrutura.

Para a laje contida no plano x-y, correspondente laje de fundo do reservatrio, estabeleceu-

se uma malha de 25 elementos retangulares igualmente distribudos ao longo do plano, de

acordo com o representado na figura 10. A numerao dos elementos da laje vai de 1 a 25. Os

ns constituintes da malha, para o referido plano, ficam numerados de 1 a 96.

Figura 10: malha de elementos finitos para a laje de fundo



45

Seguindo a sequncia numrica, a laje contida no plano y-z, aqui denominada lateral, tem 50

elementos, com numerao de 26 a 75, conforme figura 11. Observa-se aqui a presena de ns

comuns entre a laje de fundo e a lateral (ao longo do eixo x), correspondentes aresta do

reservatrio que conecta ambas as lajes. A sequncia de numerao dos ns para esta laje

segue at o nmero 266.

Figura 11: malha de elementos finitos para a laje lateral

Procedimento anlogo foi adotado com a laje contida no plano x-z, aqui denominada laje de

frente, representada na figura 12. Observa-se a continuidade entre as lajes pela numerao

dos ns localizados sobre os eixos coordenados. Os ns posicionados sobre o eixo z

apresentam mesma numerao tanto para a laje de frente quanto para a laje lateral. O mesmo

ocorre para os ns sobre o eixo x, que tm, para a laje de frente, numerao idntica que se

observa na malha da laje de fundo.


46

A sequncia de elementos finitos para o plano x-z inicia pelo elemento de nmero 76,

encerrando no elemento 125, que representa a quantidade total de elementos da estrutura. J a

numerao dos ns segue at o nmero 416, tambm representando a quantidade total de ns

a serem analisados pelo programa.

Figura 12: malha de elementos finitos para a laje de frente

Conforme j mencionado, para que se possa considerar na anlise apenas uma das partes

divididas pelos planos de simetria, imprescindvel que se estabeleam condies de

contorno apropriadas, de modo que a parte analisada represente adequadamente o

comportamento da estrutura inteira. Tais condies de contorno referem-se a deslocamentos e

rotaes prescritas para determinados ns da estrutura (localizados nas fronteiras delimitadas

pelos planos de simetria), que devem ser estabelecidos de incio, quais sejam:



47

a) deslocamento nulo na direo x e rotao nula no eixo y para os ns 25, 27, 24, 45, 43, 62, 60, 79, 77, 96, 94, 281, 279, 296, 294, 311, 309, 326, 324, 341, 339, 356, 354, 371, 369, 386, 384, 401, 399, 416 e 414;

b) deslocamento nulo na direo y e rotao nula no eixo x para os ns 80, 83, 81, 86, 85, 89, 88, 92, 91, 95, 94, 113, 111, 130, 128, 147, 145, 164, 162, 181, 179, 198, 196, 215, 213, 232, 230, 249, 247, 266 e 264.

Os deslocamentos e rotaes nulos discriminados acima garantem a continuidade da estrutura

ao longo de seus dois planos de simetria. Considera-se que, se a estrutura e o carregamento

so simtricos em relao a um plano, tambm o devem ser suas deformaes em relao

quele plano.

Faz-se necessrio tambm estabelecer as condies de vinculao da estrutura. Para isso,

deve-se determinar inicialmente que sejam nulos os deslocamentos nas direes

correspondentes s vinculaes. A presente anlise valida para reservatrios classificados

como elevados, apoiados sobre pilares localizados nos quatro cantos da laje de fundo. Assim

sendo, considera-se que o reservatrio encontra-se apoiado sobre quatro vnculos de primeira

ordem, os quais oferecem uma nica reao, na direo do eixo z, sentido positivo. Por

conseguinte, deve-se estabelecer no procedimento de clculo que o deslocamento do n 1 na

direo z seja nulo.

Por fim, devem-se determinar tambm as condies de vinculao das paredes em relao

laje de tampa. Considera-se aqui que a tampa seja concretada juntamente com os demais

elementos do reservatrio. Assim sendo, as paredes so consideradas simplesmente apoiadas

na tampa (vnculo de primeira ordem), assim ficam fixadas suas vinculaes no procedimento

de clculo:

a) deslocamento nulo na direo x para os ns 250, 253, 251, 256, 255, 259, 258, 262, 261, 265 e 264;

b) deslocamento nulo na direo y para os ns 250, 403, 402, 406, 405, 409, 408, 412, 411, 415 e 414.

5.3 DESCRIO DO ELEMENTO FINITO ADOTADO

O elemento finito adotado no procedimento de clculo composto pela associao de um

elemento de flexo de placas, segundo a teoria de Mindlin, e um elemento de estado plano de


48

tenses. Uma vez que o elemento adotado plano, e o material considerado elstico-linear,

os efeitos devidos aos esforos de flexo e aos esforos oriundos do estado plano de tenses

so independentes entre si. Isto implica que as equaes matemticas originadas por estes

efeitos no sofrem acoplamento, isto , so tambm independentes entre si.

Neste trabalho, foram utilizados elementos isoparamtricos da famlia Serendipity, que

possuem ns apenas em seu contorno. Um elemento isoparamtrico pode ser entendido como

aquele em que a funo de interpolao geomtrica dos lados de mesma ordem que a funo

de interpolao para a grandeza de interesse.

No caso presente, utilizaram-se elementos retangulares de oito ns, sendo quatro ns

localizados nos cantos, e os demais situados nos pontos mdios entre dois cantos

consecutivos. Como exemplo, a figura 13 ilustra o elemento finito de nmero 1 da estrutura,

bem como a numerao de seus oito ns constituintes.

Figura 13: elemento finito retangular de oito ns

Cada n do elemento apresenta seis graus de liberdade. Considerando o sistema de eixos

globais, os graus de liberdade so os seguintes:

a) deslocamento na direo x, oriundo do estado plano de tenses;

b) deslocamento na direo y, oriundo do estado plano de tenses;



49

c) deslocamento na direo z, oriundo da flexo de placa;

d) rotao em torno do eixo x, oriundo da flexo de placa;

e) rotao em torno do eixo y, oriundo da flexo de placa;

f) rotao em torno do eixo z.

A rotao em torno do eixo z no originada pelos esforos previstos pelo elemento finito

adotado (flexo e estado plano de tenses). Entretanto, seu grau de liberdade deve ser

considerado por se tratar de uma estrutura tridimensional, sendo portanto necessrias rotaes

para obteno da matriz de rigidez global da estrutura.

5.4 ORGANIZAO INTERNA DO PROGRAMA

Para a implementao do mtodo de clculo, adotou-se a linguagem de programao Visual

Basic. Para o processamento dos elementos de folha polidrica, foi feita uma adaptao do

mtodo encontrado no trabalho de Bernardi (2010). O algoritmo l encontrado foi adequado

s circunstncias aqui descritas, fazendo-se os devidos ajustes e acrescentando-se rotinas de

clculo e procedimentos, conforme necessrio.

A rotina de clculo est dividida em quatro mdulos no programa. E estes mdulos, por sua

vez, esto subdivididos em sub-rotinas e funes, as quais processam separadamente as

diversas etapas da anlise e do dimensionamento da estrutura. Os quatro mdulos, bem como

as sub-rotinas e funes que os compem, so descritas em maiores detalhes a seguir.

5.4.1 Mdulo Dados

O mdulo Dados rene as variveis de escopo global do programa. As variveis nele

armazenadas so as seguintes:

a) nmero total de elementos da estrutura;

b) nmero total de ns da estrutura;

c) nmero de ns por elemento;

d) nmero de graus de liberdade por n;


50

e) nmero de ns com deslocamentos prescritos;

f) nmero de ns carregados;

g) nmero de grupos de propriedades (onde so armazenadas as espessuras dos elementos);

h) nmero de grupos de constantes (mdulo de elasticidade e coeficiente de Poisson);

i) conetividades dos elementos;

j) dimetros nominais de barras e fios de ao para dimensionamento das armaduras.

Tratam-se de variveis que no tm seu valor alterado ao longo dos procedimentos do

programa. Aqui no feito qualquer clculo. Seus valores so apenas armazenados e

utilizados pelos demais mdulos e sub-rotinas ao longo do programa.

5.4.2 Mdulo Elemento

O mdulo Elemento gera a matriz de rigidez de cada elemento finito, considerando-se o

sistema de coordenadas locais, e depois rotacion-las para o sistema global de coordenadas.

Fazem parte do mdulo Elemento seis sub-rotinas, as quais so descritas a seguir.

5.4.2.1 Sub-rotina cargas

Uma vez definida a geometria do reservatrio, a sub-rotina cargas aplica, para cada

elemento da estrutura, as foras atuantes em cada um de seus ns constituintes. So levados

em conta os carregamentos devidos ao peso prprio da estrutura e gua armazenada no

reservatrio. Esta sub-rotina gera o vetor de cargas dos elementos da estrutura, a ser utilizado

posteriormente na anlise.

5.4.2.2 Sub-rotina rot_local

A sub-rotina rot_local calcula a matriz de rotao do elemento finito, para ento obter as

coordenadas locais de cada um de seus ns no plano do elemento. A seguir, feito o clculo



51

do baricentro do elemento para posteriormente obterem-se os vetores xl e yl, que armazenam

as coordenadas dos ns do elemento relativas ao seu baricentro. Tal procedimento

executado para todos os elementos da estrutura, para que se possam trat-los adequadamente

no sistema de coordenadas globais.

5.4.2.3 Sub-rotina monta_ke_ept

O primeiro procedimento da sub-rotina armazenar as constantes do material, as propriedades

da estrutura e os vetores xl e yl, oriundos da sub-rotina rot_local. A seguir, feito o clculo

da matriz constitutiva do elemento, para que ento proceda-se a obteno da matriz que

relaciona deslocamentos com deformaes especficas. Na sequncia, obtida a matriz do

Jacobiano e seu determinante. Finalmente, a sub-rotina monta_ke_ept gera uma matriz

contendo 16 linhas e 16 colunas, que representa a matriz de rigidez do elemento, levando-se

em considerao apenas o estado plano de tenses. Ao fim da sub-rotina, armazenado o

volume de cada elemento para controle do processo e para uso em outras sub-rotinas do

programa.

5.4.2.4 Sub-rotina monta_ke_flex

O procedimento da sub-rotina monta_ke_flex anlogo ao da sub-rotina monta_ke_ept, j

descrita. Inicia-se pelo armazenamento das constantes do material, das propriedades da

estrutura e dos vetores xl e yl (obtidos previamente da sub-rotina rot_local), para que ento

seja calculada a matriz constitutiva do elemento, e em seguida seja obtida a matriz que

relaciona deslocamentos com deformaes especficas e a matriz do Jacobiano e seu

determinante. Finalmente, a sub-rotina produz a matriz de rigidez para a teoria de flexo de

placas, que composta por 24 linhas e 24 colunas. A matriz aqui gerada, juntamente com a

matriz anteriormente produzida pela sub-rotina monta_ke_ept, ser usada adiante no

programa para compor a matriz de rigidez final do elemento, que leva em conta ambas as

teorias (flexo de placa e estado plano de tenses).


52

5.4.2.5 Sub-rotina monta_ke

De comeo, a sub-rotina monta_ke aciona a sub-rotina rot_local para proceder a

transformao das coordenadas do elemento, adaptando-as do sistema de coordenadas locais

para o sistema global de eixos coordenados. Na sequncia, so acionadas as sub-rotinas

monta_ke_ept e monta_ke_flex, para que ento seja montada a matriz de rigidez do

elemento, contendo as parties referentes ao estado plano de tenses e teoria de flexo de

placas, ainda em nvel local.

5.4.2.6 Sub-rotina rota_ke

A sub-rotina rota_ke encerra os procedimentos do mdulo Elemento. Tem a funo de

executar a rotao da matriz de rigidez do elemento finito. Tal rotao transforma a matriz de

rigidez do sistema local de coordenadas para o sistema global, com operaes que utilizam

matrizes de rotao.

5.4.3 Mdulo Geral

O mdulo Geral tem a finalidade de processar a estrutura em nvel global. Ela recebe os

dados referentes aos elementos (gerados pelo mdulo Elemento), e a partir deles calcula a

estrutura completa. Tambm constitudo por diversas sub-rotinas, as quais so descritas a

seguir.

5.4.3.1 Sub-rotina banda

A sub-rotina banda efetua o clculo da semilargura de banda da estrutura analisada. Para

tanto, tomada a diferena absoluta entre os nmeros dos ns que compem um elemento,

para que ento a semilargura possa ser calculada e utilizada para o armazenamento da matriz

de rigidez global da estrutura.



53

5.4.3.2 Sub-rotina monta_kg

Primeiramente, a sub-rotina monta_kg aciona a sub-rotina monta_ke, que gera a matriz de

rigidez do elemento, e em seguida aciona a sub-rotina rota_ke, para efetuar a rotao da

matriz do nvel do elemento para o nvel global. Aps, so guardadas as matrizes de rigidez

de cada elemento, para serem utilizadas posteriormente na obteno das solicitaes nodais. A

seguir, procede-se a montagem da matriz de rigidez da estrutura. Nesta matriz, a diagonal

principal fica localizada na primeira coluna da matriz (construda em forma de banda).

5.4.3.3 Sub-rotina carga_nodal

feita, na sub-rotina carga_nodal, a montagem do vetor que contm as foras nodais de

toda a estrutura. Para tanto, utilizado o vetor de cargas de cada elemento produzido pela

sub-rotina cargas, que transformado num vetor que representa todas as foras aplicadas na

estrutura.

5.4.3.4 Sub-rotina contorno

Na sub-rotina contorno, efetua-se a aplicao das condies de contorno na matriz de

rigidez global. So considerados os deslocamentos prescritos (translaes e rotaes com

valores previamente estabelecidos), para que ento sejam feitas as devidas alteraes na

matriz de rigidez da estrutura. Tambm so aplicadas condies de contorno no vetor de

foras, obtido previamente. Para que no se percam os valores anteriormente armazenados na

matriz de rigidez, estes valores so guardados em uma matriz auxiliar, onde tambm se

armazenam os valores do vetor de cargas, que fora zerado.

5.4.3.5 Sub-rotina gauss

A sub-rotina gauss tem por finalidade obter os deslocamentos da estrutura (translaes e

rotaes). Tais deslocamentos so obtidos resolvendo-se um sistema linear, gerando como


54

resultado o vetor de deslocamentos globais da estrutura. As translaes e rotaes aqui

geradas sero utilizadas posteriormente para o clculo das solicitaes nodais. O

procedimento para a resoluo do sistema linear adota o mtodo de eliminao de Gauss.

5.4.3.6 Sub-rotina reacoes

Finalmente, a sub-rotina reacoes obtm as reaes nos ns vinculados da estrutura. Para isso,

so utilizados os deslocamentos globais (obtidos na sub-rotina gauss), bem como os termos

da matriz de rigidez e do vetor de cargas armazenados (oriundos da sub-rotina contorno). As

reaes so apresentadas na forma de um vetor, com seus valores correspondentes a cada n

vinculado. Encerrando a sub-rotina, so obtidas as solicitaes para cada um dos seis graus de

liberdade de cada n que compe a estrutura, mediante a multiplicao da matriz de rigidez

pelos deslocamentos nodais. Armazenam-se estes valores de solicitaes em um vetor, para

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