Resolução da prova da UFBA – 2003 –1ª FASE.Por Profa. Maria Antônia Conceição Gouveia.

QUESTÕES de 01 a 08

INSTRUÇÃO : Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o resultado na Folha de Respostas.

QUESTÃO 01

Considere as funções f: *R R e g: R R definidas por f(x) = xlog2 e g(x) = x³ -1.Nessas condições, é correto afirmar:

(01) A função g é ímpar.

Falsa porque: g(x) = x³ -1 e g(-x) = -x³ - 1 -g(x) = -x³ + 1 .

(02) A função g possui uma única raiz real.

Verdadeira, porque g(x) = x³ -1 = (x – 1)(x²+x+1) possui como raiz o número real 1 e as

raízes do fator x²+x+1que são os números complexos 2

31 i

(04) O ponto (1,0) pertence à interseção dos gráficos de f e de g.

Verdadeira, pois f(1) = 1log2 =0 = g(1) = 1 –1= 0.

(08) A imagem de x = 8 pela função composta g o f é igual a 3.

Falsa porque: g o f(x) = ( xlog2 )³ -1 = ( 8log2 )³ -1 = 27 –1 = 26

(16) A função composta g o f é inversível, e sua inversa é a função

(g o f)-1 : R *R definida pela equação (g o f)-1(x) = 3 12 x .

Verdadeira. A função composta g o f é inversível porque g(x) e f(x) são inversíveis sendo f-1 (x) = 2x e g-1 ( x) = 3 1x (g o f)-1(x) = (f –1 o g –1)(x) = 2 3 1x

2 2

QUESTÃO 02Um cliente, ao solicitar um empréstimo de R$ 5.000,00 a determinado banco, foi informado de que, no vencimento, em t meses, deveria pagar o valor calculado pela fórmula P(t) = 5000 (1,1)t.Nessas condições, é correto afirmar:

(01) A condição estipulada pelo banco corresponde a um empréstimo com juros compostos de 10% ao mês.

Verdadeira.

(02) O valor dos juros a serem pagos, se o cliente optar pelo prazo de 2 meses, corresponderá a 20% do valor emprestado.

Falsa porque:o fator de acréscimo será de 1,1² = 1,21 juros no valor de 21% do valor emprestado.

(04) O valor total a ser pago, se o cliente optar pelo prazo de 3 meses, será igual a R$ 6.655,00.

Verdadeira pois o valor total será de 5000.1,1³ = 6655,00

(08) A dívida do cliente, se ele optar pelo prazo de 10 meses, será maior que R$ 10.000,00.

Verdadeira. A dívida será de 5000.1,110 = 12968,71 > 10000.

(16) P(1), P(2), ..., nesta ordem, formam uma progressão aritmética.

Falsa. Porque 50001,1; 50001,1²; 50001,1³ ;.......forma uma P.G. de razão q.

(32) A figura ao lado representa um esboço do gráfico da função P(t), com t *N

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3

5 5 0 0

P ( t )

t

Falsa. A função P(t) = 5000.1,1t é uma função exponencial.

2 1

QUESTÃO 03

Considerando-se as funções f: R R e g: R R definidas pelas equações f(x) = -x + 2 e g(x) = x², é correto afirmar:

(01) A soma das soluções da equação f(x) = g(x) é igual a -1.

Verdadeira. Se f(x) = g(x) x² = -x+2 x² +x – 2 = 0 x’+x’’= -1.

(02) O trapézio ABCD, que tem como vértices A = (-2,0), B = (1,0) e os pontos de

interseção dos gráficos de f e g, tem área igual a 2

15.u.a

Verdadeira.

As raízes da equação f(x) = g(x) ( item anterior) são x=1 ou x = –2, logo a interseção dos seus gráficos são os pontos (1,1) e (-2,4).

A área do trapézio ABCD pode será a metade do módulo do falso determinante

04100

22112 = 152841 S =

2

15u.a.

(04) O conjunto solução da inequação g(x) f(x) é o intervalo [1,+[.

Falsa.

g(x) f(x) x² +x – 2 0 . Fazendo o estudo da variação do sinal do trinômio x² +x – 21- 2 -+ +

vemos que a solução da inequação em questão é o intervalo

] -,-2] [1,+[

(08) A desigualdade f²(x) g(x) é válida para todo x R.

Falsa.

f²(x) g(x) (-x+2)² x² x² - 4x + 4 x² -4x + 4 0 x 1

(16) A imagem da função h definida por h(x) = g(x) – f(x) é

,

4

9.

Verdadeira.

h(x) = x² - (-x+2) = x² + x –2 = 1 – 4(-2) = 9 ymin = 4

9 Im(h(x)) =

,

4

9

1 9

QUESTÃO 04

Considerando-se o sistema de equações S:

0

1

zykx

zyx

1 kz 2y x

e as matrizes B =

11

111

21

k

k

,

C =

0

1

1

e X =

z

y

x

, sendo k um número real, pode-se afirmar:

(01) A matriz transposta de B.C é a matriz linha (1, 1, k-1).

Falsa.

B.C =

11

111

21

k

k

0

1

1

=

1-k

0

1

1-k

11

21

cuja transposta é (-1,0,k-1)

(02) A matriz inversa de B, para k = 0, é a matriz B-1 =

111

111

221

.

Falsa.

Sabemos que B.B-1 = B-1 .B = I.

Verifiquemos se esta propriedade se verifica para as matrizes em questão:

110

111

021

111

111

221

=

200

112

003

.

(04) S é um sistema determinado, se k 1 e k 2.

Verdadeira.

S:

0

1

zykx

zyx

1 kz 2y x

é um sistema determinado se

11k

111

k21

0 1+k+2k-k²-1-20

K²-3k+2 0 k 1 ou k 2.

(08) O terno (-1, 1, -1) é a única solução do sistema S, para k = 0.

Verdadeira.

S:

0

1

zykx

zyx

1 kz 2y x

-1z

1y

-1x

0zy

2z-y

0

1

1 2y x

zy

zyx

(16) O sistema é possível e indeterminado, para k = 1.

Falsa.

S:

0

1

zykx

zyx

1 kz 2y x

0

1

1 z 2y x

zyx

zyx As equações x+y+z=-1 e x+y+z = 0 são

incompatíveis, logo para k = 1 o sistema é impossível.

(32) O conjunto solução do sistema homogêneo B.X =

0

0

0

, para k = 1, é

{( x, 0, -x), x R}.

Verdadeira.

0

0

0

z

y

x

111

111

121

-zx

0y

0zx

0y

0zyx

0zyx

0z2yx

4 4

QUESTÃO 05

Considere um plano , um ponto P e uma reta r não contida em .Nessas condições, é correto afirmar:

P

r

s < 9 0 °

Q

t

(01) Toda reta que passa por P não intercepta r.

Falsa.

(02) Se r é paralela a alguma reta contida em , então ela é paralela a .

Verdadeira.

(04) Se P r, então r é perpendicular a .

Falsa

(08) Existe um plano que contém r e é perpendicular a .

Verdadeira.

(16) Se Q é um ponto não pertencente a , então a reta PQ não está contida em .

Verdadeira.

(32) Qualquer reta perpendicular a r intercepta .

Falsa

5 0

QUESTÃO 06

Considerando-se o polígono ABCDEFG no plano cartesiano, sendo A = (1,3), B = (1,5),

C =

52

1, , D = (3,7), E =

52

11, , F = (5,5) e G = (5,3), pode-se afirmar:

(01) A reta que passa pelos pontos A e F é paralela à reta que passa pelos pontos C e D.

Falsa. Pois 5

4

4

2

2

13

57

15

35

.

(02) A distância entre os pontos D e G é igual a 2 5 u.c.

Verdadeira.

DG = 52207335 22 u.c.

(04) A reta que passa pelos pontos C e G tem coeficiente angular negativo..

Verdadeira.

Igualando a zero o falso determinante: 03y53

5x2

15 25 +

2

y+3x-5y-5x-

2

1=0

50+y+6x-10y-10x-1=0 9y =- 4x+49 y = 9

49x

9

4

(08) O ponto de interseção das diagonais do retângulo ABFG é (3,4) .

A

BC

D

EF

G

Verdadeira.

O ponto de interseção das diagonais é o seu ponto médio,de AF,por exemplo,

4,32

53,

2

51

(16) A área do polígono ABCDEFG é igual a 13u.a.

Verdadeira.

S = SDCE +SABFG = 2

2.5+4.2 = 5 + 8 = 13u.a.

(32) A figura ao lado representa o polígono obtido pela reflexão de ABCDEFG em relação à origem.

Verdadeira.

Os simétricos dos pontos A = (1,3), B = (1,5),

C =

52

1, , D = (3,7), E =

52

11, , F = (5,5) e G = (5,3)

em relação à origem são, respectivamente,

A’ = (-1,-3), B’ = (-1,-5), C’ =

5,

2

1, D’ = (-3,-7),

E’ =

5,

2

11, F’ = (-5,-5) e G’ = (-5,-3).

y

x

- 12- 1- 3

- 3

- 5

- 7

- 5- 1 1

2

A 'G '

E ' F ' B ' C '

D '

.6 2

QUESTÃO 07Usualmente, chama-se Taxa de Analfabetismo de uma localidade a taxa percentual de analfabetos com idade superior a 10 anos, calculada em relação ao número de habitantes, nessa faixa etária, da localidade. A tabela a seguir contém dados sobre o Estado da Bahia e os municípios baianos de Salvador e de Cel. João Sá.

Bahia Salvador Cel. João SáPopulação com idade superior a 10 anos. 20.405.000 2.030.000 14.748

Número de analfabetos com idade superior a 10 anos. 2.247.000 126.000 7.320

Taxa de analfabetismo 21,6% 49,6%

Fonte: IBGE ( dados aproximados)

Com base nessas informações, é correto afirmar:

(01) A taxa de analfabetismo de Salvador é de, aproximadamente, 6,2%.

Verdadeira.

6,2% ..0,0620689.2030

126

(02) Mais de 80% da população da Bahia com mais de 10 anos de idade não é habitante de Salvador.

Verdadeira.

9,9% 0,099485420405

2030 da população da Bahia com mais de 10 anos de idade são

habitantes de Salvador aproximadamente 90,1% dessa população não habita em Salvador.

(04) Na faixa etária considerada acima, o número de analfabetos de Salvador corresponde a aproximadamente 5,6% do número de analfabetos da Bahia.

Verdadeira.

5,6% 0,05607...2247

126

(08) Se o número de analfabetos de Cel. João Sá com idade superior a 10 anos fosse 3.360, a taxa de analfabetismo desse município seria menor que a do Estado da Bahia.

Falsa.

ICJS = 22,78% 0,22782...14748

3360 ; iB = 11,01% 0,11012...

20405

2247 . ICJS > iB

(16) Escolhendo-se ao acaso um habitante do Estado da Bahia, analfabeto, na faixa etária referida, a probabilidade de que ele seja habitante de Cel. João Sá é maior do que a de ser habitante de Salvador.

Falsa.

ICJS = 224700

732; IS =

224700

12600 IS > ICJS

(32) Escolhendo-se ao acaso uma pessoa de Salvador ou de Cel. João Sá, com idade superior a 10 anos, a probabilidade de que essa pessoa seja analfabeta é maior que 27%..

Falsa.

6,52% 0,06520..2044748

133320

147482030000

7320126000

0 7

QUESTÃO 08O lucro de uma empresa, em função dos meses de janeiro a dezembro do ano 2001, é dado, em milhares de reais, pela fórmula )n(L 39n-3n², n {1, 2, ...,12}, em que os números naturais n, variando de 1 a 12, correspondem, respectivamente, aos meses de janeiro a dezembro.Com base nessas informações, pode-se afirmar:

(01) O maior lucro da empresa, no ano, ocorreu em junho e em julho.

Verdadeira.

Caso n R, o maior lucro do ano ocorreria em n = 5,66

39

.

Como n {1, 2, ...,12} o maior lucro ocorre para n = 6 ou n = 7 ( meses de junho ou julho).

(02) O maior lucro obtido pela empresa, no ano, foi de R$126 000,00.

Verdadeira.

O lucro máximo foi de L(6) = L(7) = 39.7 – 3.7² = 126 mil reais.

(04) O lucro, durante o segundo semestre, foi decrescente.

Verdadeira.

Analisando o gráfico vemos que para n 7 a função é decrescente.

(08) O lucro foi igual nos meses de maio e setembro .

Falsa.

L(5) = 120 L(9) = 108

(16) O lucro médio, nos três primeiros meses, foi de R$66 000,00.

Falsa.

Lm = 643

906636

3

)27117()1278()339(

mil reais.

(32) O lucro mediano, nos doze meses, foi de R$99 0000,00.

Verdadeira.

Analisando o gráfico e colocando os lucros em ordem crescente:

L(1), L(12), L(2), L(11), L(3), L(10), L(4), L(9), L(5), L(8), L(6), L(7).

O lucro mediano é 992

90108

2

)4()10(

LL

3 9

QUESTÔES 09 e 10.

INSTRUÇÃO: Efetue os cálculos necessários e marque o resultado na Folha de Respostas.

QUESTÃO 09

Calcule o número de pares de vértices não consecutivos que se pode obter num prisma triangular.

Analisando a figura ao lado ( um prisma triangular ) vemos que existem dois vértices não consecutivos ao vértice B, por exemplo.Agora percebamos que o {B,D} = {D,B} que cada par é contado duas

vezes, logo o número de pares de vértices não consecutivos é 62

2.6

A

B

C

D

E

F

0 6

QUESTÃO 10

Uma ponte, com formato de um arco de circunferência e

comprimento igual a 3

4 quilômetros, liga dois pontos A

e B situados em margens opostas de um rio, conforme figura ao lado.. Sabe-se que O é o centro da

circunferência e que o ângulo AÔB mede 3

2 rd.

Calcule d², sendo d a distância, em quilômetros, entre os pontos A e B.

A B

O

O arco AOB tem comprimento 3

4 km e o ângulo central AÔB mede

3

2 rd

3

4= r.

3

2

r = 2.

Como o ângulo central AÔB mede 3

2rd, então A corda AB é lado de um triângulo

eqüilátero inscrito na circunferência e a sua medida d = r 3 = 2 3 d² = 12

1 2