Troca Pura
7
Curso de Finanças/FEAAC/UFC Disciplina: Estruturas de Mercado e Equilíbrio Geral - 2014.1 Prof. João Mário S. de França Equilíbrio Geral e Teoria do Bem-estar 1. Troca Pura Questão I: Considere uma economia de troca com dois consumidores e dois bens, onde cada consumidor é caracterizado por uma função de utilidade de Cobb-Douglas: onde e dotação dos bens Problema do Consumidor Consumidor 1 sujeita a CPO) (1) (2) (3) Fazendo (1) ÷ (2), obtemos: (4)
description
Teoria microeconômica, tópico de Troca Pura, capítulo 31 de Microeconomia: Princípios Básicos (Varian)
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Curso de Finanas/FEAAC/UFC
Disciplina: Estruturas de Mercado e Equilbrio Geral - 2014.1
Prof. Joo Mrio S. de Frana
Equilbrio Geral e Teoria do Bem-estar
1. Troca Pura
Questo I: Considere uma economia de troca com dois consumidores e dois bens, onde cada consumidor
h
caracterizado por uma funo de utilidade de Cobb-Douglas:
(
)
(
)
(
)
h
h
h
h
h
h
h
x
x
x
x
U
a
a
-
=
1
2
1
2
1
,
onde
(
)
1
,
0
h
a
e
2
+
+
R
e
h
dotao dos bens
Problema do Consumidor
Consumidor 1
(
)
(
)
(
)
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
,
,
.
a
a
-
=
x
x
x
x
U
Max
x
x
sujeita a
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
e
p
e
p
x
p
x
p
+
+
(
)
(
)
[
]
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
x
p
x
p
e
p
e
p
x
x
L
-
-
+
+
=
-
l
a
a
CPO)
(
)
(
)
0
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
-
=
-
-
p
x
x
x
L
l
a
a
a
(1)
(
)
(
)
(
)
0
1
2
2
1
1
1
1
2
1
1
1
=
-
-
=
-
p
x
x
x
L
l
a
a
a
(2)
0
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
=
-
-
+
=
x
p
x
p
e
p
e
p
L
l
(3)
Fazendo (1) (2), obtemos:
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
p
x
p
x
p
p
x
x
a
a
a
a
-
=
=
-
(4)
Substituindo (4) em (3), teremos:
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
e
p
e
p
x
p
+
=
-
a
.
(
)
(
)
2
2
1
2
1
1
1
1
2
1
1
p
e
p
e
p
x
+
-
=
a
(5)
(
)
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
p
e
p
e
p
x
+
=
a
(6)
Por analogia:
(
)
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
p
e
p
e
p
x
+
=
a
(7)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
p
e
p
e
p
x
+
-
=
a
(8)
Equilbrio Competitivo (EC) - Market Clearing
1
2
1
1
1
2
1
1
e
e
x
x
+
=
+
(
)
(
)
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
e
e
p
e
p
e
p
p
e
p
e
p
+
=
+
+
+
a
a
Fazendo:
1
1
=
p
e
EMBED Equation.3
*
2
p
p
=
1
2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
1
1
*
*
e
e
e
p
e
e
p
e
+
=
+
+
+
a
a
a
a
(
)
(
)
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
*
e
e
e
e
p
a
a
a
a
+
-
+
-
=
(9)
Substituindo:
(9) em (6) :
(
)
2
1
1
1
1
1
1
*
*
e
p
e
x
+
=
a
(10)
(9) em (5) :
(
)
(
)
*
*
1
*
2
1
1
1
1
2
1
p
e
p
e
x
+
-
=
a
(11)
(9) em (7) :
(
)
2
2
1
2
2
1
2
*
*
e
p
e
x
+
=
a
(12)
(9) em (8) :
(
)
(
)
*
*
1
*
2
2
1
2
2
2
2
p
e
p
e
x
+
-
=
a
(13)
EC
{
}
*
*;
p
x
Problema do Planejador Central (Pareto timo)
Max
(
)
2
1
1
1
1
,
x
x
U
sujeito a
(
)
2
2
1
2
2
,
x
x
U
U
- A igualdade vlida porque, para Max
1
U
, deixa-se
2
U
no mnimo possvel.
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
e
e
x
x
e
e
x
x
+
+
+
+
- A igualdade vlida por no saciedade local.
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
[
]
[
]
2
2
2
1
2
2
2
1
3
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
1
1
2
2
1
1
x
x
e
e
x
x
e
e
U
x
x
x
x
L
-
-
+
+
-
-
+
+
-
+
=
-
-
l
l
l
a
a
a
a
CPO:
(
)
(
)
0
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
-
=
-
-
l
a
a
a
x
x
x
L
(14)
0
3
2
1
=
=
=
l
l
l
L
L
L
(
)
(
)
(
)
0
1
3
2
1
1
1
1
2
1
1
1
=
-
-
=
-
l
a
a
a
x
x
x
L
(15)
(
)
(
)
0
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
=
-
=
-
-
l
l
a
a
a
x
x
x
L
(16)
(
)
(
)
(
)
0
1
3
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
=
-
-
=
-
l
l
a
a
a
x
x
x
L
(17)
Note que de (14) e (16)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
a
a
a
a
l
a
a
-
-
-
-
=
x
x
x
x
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
a
a
a
l
a
-
-
=
x
x
x
x
(18)
Note que de (15) e (17)
(
)
(
)
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
a
a
a
l
a
-
=
-
x
x
x
x
(19)
Fazendo (18) (19)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
a
a
a
a
a
a
a
a
-
=
-
-
-
x
x
x
x
x
x
x
x
(
)
(
)
1
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
1
1
a
a
a
a
-
-
=
x
x
x
x
(20)
PO =
{
/
4
+
+
R
x
(20),
1
2
1
1
1
2
1
1
e
e
x
x
+
=
+
e
}
2
2
2
1
2
2
2
1
e
e
x
x
+
=
+
EC eficiente?
Utilizando (10), (11), (12) e (13):
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
*
2
2
*
1
2
2
2
2
*
1
2
2
2
1
*
1
1
1
*
2
1
*
1
1
1
2
2
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
=
+
-
+
+
+
-
=
p
e
p
e
e
p
e
e
p
e
p
e
p
e
x
x
x
x
e como
1
2
1
1
1
2
1
1
e
e
x
x
+
=
+
e
2
2
2
1
2
2
2
1
e
e
x
x
+
=
+
(
)
*
x
PO
EC PO (eficiente)
1 Teorema do Bem-Estar :
Todos os equilbrios de mercado so eficientes de Pareto.
2 Teorema do Bem-Estar :
Se todos os agentes possuem preferncias convexas, ento sempre haver um conjunto de preos tal que cada alocao eficiente de Pareto um equilbrio de mercado para uma distribuio apropriada de dotaes.
Vrias condies esto por trs desses teoremas:
(i) Maximizao individual com Mercados competitivos (preos so parmetros);
(ii) Ausncia de assimetria informacional;
(iii) Bens privados;
(iv) Restries tcnicas sobre tecnologias e preferncias (ausncia de externalidades).
Questo II. Vamos imaginar que um indivduo A possua funo de utilidade dada por
(
)
m
A
p
A
m
A
p
A
m
A
A
q
q
q
q
q
U
+
=
,
, onde
m
q
e
p
q
so quantidades de mas e pras que A consome. Inicialmente, ele possui M mas e nenhuma pra. Outro indivduo denominado de B possui utilidade dada por
(
)
p
B
p
B
m
B
p
B
m
B
B
q
q
q
q
q
U
+
=
,
. Ele possui inicialmente P pras e nenhuma ma. Determine os preos relativos (ma e pra) e as quantidades que cada um consumir no equilbrio.
Problema do Consumidor
Consumidor A:
(
)
m
A
p
A
m
A
p
A
m
A
A
q
q
q
q
q
q
q
U
Max
P
m
+
=
,
,
sujeito
M
p
q
p
q
p
m
A
m
m
A
p
p
=
+
[
]
A
m
m
A
p
p
m
m
A
p
A
m
A
q
p
q
p
M
p
q
q
q
L
-
-
+
+
=
l
CPO:
=
-
=
=
-
+
=
0
0
1
p
m
A
p
m
p
A
m
p
q
q
L
p
q
q
L
l
l
A
m
A
p
p
m
p
m
A
q
q
p
p
U
U
TMgS
1
+
=
=
=
(1)
0
=
-
-
=
A
m
m
A
p
p
m
q
p
q
p
M
p
L
l
(2)
De (1), temos que:
(
)
1
+
=
A
p
p
A
m
m
q
p
q
p
. Substituindo-o em (2) e dividindo tudo por
p
p
:
(
)
2
1
2
0
1
-
=
\
=
+
-
+
-
p
m
A
p
p
m
A
p
A
p
p
p
M
q
M
p
p
q
q
(3)
m
p
A
m
p
p
M
q
5
,
0
2
+
=
(4)
Consumidor B:
Por analogia:
p
m
B
m
B
p
p
m
B
p
p
q
q
U
U
TMgS
=
+
=
=
1
(5)
Substituindo (5) na restrio oramentria de B:
5
,
0
5
,
0
-
=
m
p
B
m
p
p
P
q
(6)
p
m
B
p
p
p
P
q
5
,
0
5
,
0
+
=
(7)
EC Market Clearing
M
p
p
P
p
p
M
M
q
q
m
p
m
p
B
m
A
m
=
-
+
+
=
+
5
,
0
5
,
0
5
,
0
2
Fazendo
1
=
m
p
e
*
p
p
p
=
(
)
2
5
,
0
5
,
0
5
,
0
5
,
0
5
,
0
5
,
0
2
*
*
*
M
P
p
M
Pp
p
M
=
-
+
=
-
+
+
(
)
(
)
1
1
1
5
,
0
2
1
1
5
,
0
5
,
0
2
*
+
+
=
+
+
=
+
+
=
P
M
P
M
P
M
p
(8)
Substituindo (8) em (3), (4), (6) e (7), obtemos:
Em (3):
-
+
+
=
-
+
+
=
1
1
1
5
,
0
2
1
1
1
2
M
P
M
M
P
M
q
A
P
(9)
Em (4):
+
+
+
=
+
+
+
=
1
1
5
,
0
1
1
2
P
M
M
P
M
M
q
A
m
(10)
Em (6):
-
+
+
=
-
+
+
=
1
1
1
5
,
0
5
,
0
1
1
5
,
0
P
M
P
P
M
P
q
B
m
(11)
Em (7):
+
+
+
=
+
+
+
=
1
1
5
,
0
1
1
5
,
0
5
,
0
M
P
P
M
P
P
q
B
p
(12)
*OBS.: Se
1
>
=
P
M
(
)
1
5
,
0
+
=
M
q
A
m
(
)
1
5
,
0
-
=
M
q
A
p
(
)
1
5
,
0
-
=
P
q
B
m
(
)
1
5
,
0
+
=
P
q
B
p
P
inicial
U
M
inicial
U
B
A
=
=
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
1
5
,
0
1
5
,
0
1
5
,
0
)
(
+
+
-
+
=
M
M
M
final
U
A
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
2
1
25
,
0
1
5
,
0
1
5
,
0
1
1
5
,
0
1
5
,
0
+
=
+
+
=
+
-
+
=
M
M
M
M
M
(
)
(
)
(
)
1
5
,
0
1
5
,
0
1
5
,
0
)
(
+
+
+
-
=
P
P
P
final
U
B
(
)
2
1
25
,
0
+
=
P
Note que uma alocao ser eficiente (no sentido de Pareto) quando as TMgSs dos indivduos A e B forem iguais.
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
5
,
0
1
5
,
0
1
1
1
5
,
0
1
1
5
,
0
1
=
+
-
+
=
+
=
=
=
+
+
-
=
+
=
=
P
P
q
q
Umg
Umg
TMgS
M
M
q
q
Umg
Umg
TMgS
B
m
B
p
B
p
B
m
B
A
m
A
p
A
p
A
m
A
Caixa de Edgeworth
P B
M
M
A
P
Curva de contrato: Lugar geomtrico onde possvel acorrer uma alocao
eficiente dos produtos.
Em um ponto fora da curva de contrato, a alocao no Pareto eficiente (Pareto timo) j que possvel uma realocao dos produtos sem uma reduo da satisfao de nenhum indivduo.
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