INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Introdução

Em situações práticas, a função a ser integrada não é

fornecida analiticamente, e sim por meio de pares (x, f(x)).

Nestes casos torna-se necessária a utilização de métodos

numéricos para o cálculo do valor da integral de f(x).

Os métodos mais utilizados podem ser classificados em dois

grupos:

• Fórmulas de Newton-Côtes, que empregam valores de f(x)

onde os pontos são igualmente espaçados.

• Fórmula de quadratura

gaussiana, que utiliza pontos

diferentemente espaçados, onde este espaçamento é

determinado por certas propriedades de polinômios

ortogonais;

Dentre as fórmulas de Newton-Côtes, as mais usadas são:

• Regra dos Trapézios;

• Regras de Simpson.

( ) ( )

≅ = ∫ ∫

b b x

a n adp dxfI

Polinômio Interpolador de Gregory-Newton

A aplicação das fórmulas de Newton-Côtes pré-supõem a utilização do polinômio interpolador de Gregory-Newton (Pn(x)), que se baseia no polinômio de Newton:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )1n10n102010n xxxxxxaxxxxaxxaap −−−−++−−+−+= LL

Fazendo a seguinte substituição de variáveis: hzxx

=− 0

logo: hzxx 0 =−

)1()()]([)( 001 −=−⋅=−−=+−=− zhhhzhxxhxxxx M

)]1n(z[h)xx( 1n −−⋅=− −

Substituindo no polinômio de Newton:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] zh1nzhazh1zhazhaaxpxf n21on ⋅−−++⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+== LL

)]1n(z[)1z(zha)1z(zhazhaa)x(p nn

221on −−−⋅++−⋅⋅⋅+⋅⋅+= LL

com:

( ) ( ) ( ) 00101

011 yxx

xxxfxf

ha ∆=−−−

=

[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )

−−

−−−

=⋅−−

=01

01

12

122

02

011222 xx

xfxfxx

xfxf2hh

xxx,xfx,xf

ha

{ }022

2 21 yha ∆=

{ }0nn

n y!n

1ha ∆=

logo:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]00

20 !

11!2

1!1

yn

nzzzyzzyzyxp non ∆

−−−⋅++∆

−⋅+∆+=

LL

Diferenças Finitas

xi – xi-1 = h = cte. , n,0i L=∀

Então as diferenças abaixo são “diferenças finitas” a) zero ordemyy ii

0 →=∆ b) ordemª1yyyyy i1ii

01i

0i →−=−= ++ ∆∆∆

c) ordemª22 121

2 →+−=∆−∆=∆ +++ iiiiii yyyyyy d) ordemªnyyy i

1n1i

1ni

n →−= −+

− ∆∆∆ Ex.: Construir a tabela das diferenças finitas para a função caracterizada pelos pontos da tabela abaixo:

i x y iy∆ i2 y∆ i

3 y∆ i4 y∆

0 1.00 5.00 2.50 -2.00 3.50 -6.00 1 1.50 7.50 0.50 1.50 -2.50 - 2 2.00 8.00 2.00 -1.00 - 3 2.50 10.00 1.00 - 4 3.00 11.00 -

O polinômio de Gregory-Newton representativo da função tabelada é:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( )!4

3210.6

!3215.3

!210.2

!15.20.54

−−−−

−−−

+−

−++=

zzzz

zzzzzzxp

Regra do Trapézio

A fórmula de integração numérica através da regra do

trapézio é obtida, considerando uma linearização da função dentro

do intervalo de integração (interpolação linear).

Polinômio interpolador: ordem 1.

hdzdx

hx-azabh =⇒=−= ;

( )

−=∆=

∆+=)()(

)(;

!1 001 afbfy

afyyzyxp o

o

( ) ( ) ( ) ( )[ ]afbfabaxafxp1 −

−−

+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )axab

afbfafxp1 −−−

+=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]bfafabpIb

a+

−=≅ ∫ 2

dx x1 = área do trapézio

ou:

( )10

1

0 0 2 yyhh dzyzyI o +=∆+≅ ∫

Erro de Truncamento

Para a interpolação linear tem-se:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )bxax2

fxxxx2

fE 10T −−′′

=−−′′

=εε

Considerando que a representação exata de f(x) é:

( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫∫ +=⇒+=b

a T

b

a 1

b

aT1 dx Edx xpdxxfExpxf

Sendo: ( )

⋅=−=−

⋅=−

dzhdxzhbxzhax

1 ;

tem-se:

x = a, ⇒ z = 0, x = b ⇒ z = 1

então

( ) ( ) ( )1

0

2331

0

b

a T 2z

3zf

2hdz h1-zhhz

2fdx E

−′′=⋅⋅

′′= ∫∫ εε

( )εfhET ′′−=12

3

, ba ≤≤ ε

Ex.: Determinar o erro máximo de truncamento cometido ao se

avaliar a integral ∫=0.2

0.1dx

x1I pela regra dos trapézios.

a) Cálculo pela regra dos trapézios:

( ) ( )]afbf[2hI +≅ ; a = 1.0 ; b = 2.0 ; h = 2-1 = 1 ;

f(1) = 1 ; f(2) = 1/2

75.0431

21

21I ap ==

+≅

b) Cálculo do erro:

( ) ( )εε f12

1f12hE

3

′′−=′′−

=

( ) 2x1xf −

=′ ( ) 34 x2

xx2xf ==′′

3

212

1Eε⋅

−= , 21 ≤≤ ε ⇒ 6

112

121E 3máx =⋅=

Na verdade, Emáx não é o valor do erro cometido, mas sim um

limitante para este erro. Para conhecer seu valor absoluto, é necessário calcular o valor exato da integral. c) Cálculo exato:

( ) ( ) 693.01ln2lndxx1I

0.2

0.1=−== ∫

d) Erro relativo:

%2.8693.0057.0%057.0III apap −=−=→−=−=∆ E

Regra dos Trapézios para múltiplos segmentos

nabh −

=

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫−

+++== n

1n

2

1

1

0

n

0

x

x

x

x

x

x

x

xdxxfdxxfdxxfdxxfI L

Aplicando, a regra dos trapézios para cada segmento:

( ) ( ) ( ) ( ) ∑−

=− ⋅++=++++++≅

1

1012110 2

22222

n

iinnn yhyyhyyhyyhyyhI L

( ) ( )n

yyyabyhyyhI

n

iinn

iin ⋅

⋅++−=⋅++≅

∑∑

−

=−

= 2

2

2

1

101

10

( )nn yyyyhI ++++≅ −110 222

L

Erro de truncamento

( ) ( )∑=

′′⋅−

=n

1ii3

3

T fn12abE ε

Definindo um valor médio da 2ª derivada em um ponto ε

tal que: ( )∑=

′′=′′⋅n

1iiffn ε , tem-se:

( ) fn12abE 2

3

T ′′⋅−

= ⇒ ET ∝ 2n1

Primeira Regra de Simpson (Regra do 1/3)

Conhecendo-se os valores de uma função f(x) em três pontos

igualmente espaçados x0 = a, x1 , x2 = b, pode-se então aproximar

a função por um polinômio do 2º grau e calcular o valor

aproximado de sua integral no intervalo [a,b], através da integral

do polinômio interpolador.

Fazendo:

x0 = a ; x2 = b ; h = (b-a)/2;

tem-se:

dzhdxh

axz ⋅=⇒−

=

=⇒==⇒=

20

zbxzax

A integral ( )∫=b

adxxfI pode então ser aproximada por:

( )∫≅

b

a 2 dxxpI onde:

( ) ( )0

2002 y

21zzyzynp ∆∆ −⋅

+⋅+=

então:

( ) dzhy2

1zzyzyI2

0 02

00∫

−⋅

+⋅+≅ ∆∆

Resolvendo a integral, obtém-se:

∆+∆+≅ 0

200 y

31y2y2hI

Como:

+−=∆−∆=∆

−=∆−=∆

0120102

121

010

2 yyyyyy

yyyyyy

tem-se:

[ ]210 yy4y3hI ++≅

Pode-se demonstrar que o erro de truncamento é dado, nesse caso, por:

( )ε)4(5

T f90hE −=

Primeira Regra de Simpson com Múltiplos Segmentos • O desenvolvimento é idêntico ao da regra do trapézio com

múltiplos segmentos.

• O intervalo de integração é dividido em n segmentos.

• Para cada dois segmentos é feita uma interpolação com

polinômio de Lagrange de segundo grau.

( ) ( ) ( ) ( )

+++≅ ∑∑

−

=

−

=n

2n

,...6,4,2if

1n

,...5,3,1ii0 xfxf2xf4xf

3hI

Ou:

[ ]n1n43210 yy4...y2y4y2y4y3hI +++++++≅ −

Erro de truncamento A expressão do erro de truncamento fica:

( ) ( )ξ)4(

4

5

t fn180abE −

−=

Observe que um número par de segmentos é necessário na implementação do método.

Segunda Regra de Simpson (Regra dos 3/8)

Nesse caso, o intervalo de integração é dividido em 03 (três) segmentos para efetuar a interpolação.

Logo, o polinômio interpolador é de terceiro grau. Considerando mais uma vez a fórmula de Gregory-Newton,

agora para p3(x), tem-se:

( ) ( )( )∫

−−⋅

+−⋅

++≅b

a 03

02

0o dxy!3

2z1zzy!2

1zzyzyI ∆∆∆

como:

232010

2121

2

02

12

03 ; ; yyy

yyy

yyyyyy −=∆

∆−∆=∆

∆−∆=∆∆−∆=∆ ,

chega-se facilmente a:

[ ]3210 yy3y3y8h3I +++≅

com: 3)ab(h −= Erro de truncamento O erro de truncamento é obtido através da integral:

( )( )( ) ( ) dzhf!4

3z2z1zzE3

0

5)4(

T ∫

−−−

= ε

Ou:

( )ε)4(5

T f80

h3E −= ab ≤≤ ε

Segunda Regra de Simpson com múltiplos segmentos

• O intervalo de integração é dividido em n subintervalos;

• Nesse caso n é múltiplo de 3.

• Após as integrações, obtém-se:

( )n1n2n6543210 yy3y3y2y3y3y2y3y3y8h3I ++++++++++= −−L

com: nabh −

=

Erro de truncamento A expressão do erro de truncamento fica:

( ) ( )ε−−=

)4(

4

5

t fn80abE , ba ≤ε≤

Ex.: Dada a função ( ) 5432 x400x900x675x200x252.0xf +−+−+= , determine numericamente a integral da função no intervalo [0, 0.8], utilizando o método do trapézio e a regra de Simpson. Compare os resultados obtidos com o valor exato:

Iexato=1.64053334 Regra do Trapézio

I = 0.17228, Et = 1.46773334 e %5.89% =ε (relativo a Et) Regra do Trapézio com Múltiplos Segmentos (n = 4), (h = 0.2)

I = 1.4848, Et = 0.15573 e %5.9% =ε Primeira Regra de Simpson (Regra de 1/3)

I = 1.36746667, Et = 0.273066 e %6.16% =ε Primeira Regra de Simpson com Múltiplos Segmentos (n = 4)

I = 1.62346667, Et = 0.0170667 e %04.1% =ε Segunda Regra de Simpson (Regra de 3/8)

I = 1.64507716, Et = -0.0045383 e %28.0% −=ε

Extrapolação de Richardson

É um método baseado na aplicação repetida das fórmulas de Newton-Cotes para integração numérica, com o objetivo de melhorar a precisão dos resultados obtidos. Regra dos Trapézios

Chamando de I1 o resultado obtido com a aplicação da regra dos trapézios, para n1 segmentos, o valor exato da integral pode ser dado por:

11 EII += ; onde: ( ) )(f

12ab

n1E

3

21

1 ε′′−−=

Aplicando a mesma regra para n2 segmentos, com n2 > n1, tem-se:

22 EII += ; onde: ( ) )(f

12ab

n1E

3

22

2 ε′′−−=

Combinando as equações acima, fica:

2211 EIEI +=+ ou:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )22

21

22

2112

3

21

22

3

12 1211

12 nnnnIIfab

nnfabII

−−

=′′−⇒

−′′−

=− εε

Logo:

( )1221

22

21

2 IInn

nII −−

+= Aparentemente, o valor exato poderia então ser encontrado dessa forma.

É evidente que esse resultado só foi possível, devido a uma

aproximação adotada durante a dedução: f ”(ε) foi considerado com o mesmo valor para números de segmentos distintos.

Ex.:Calcular ( )∫=π

0dxxsenI pela regra dos trapézios para 2 n =

e 4 n = e, posteriormente, melhorar o resultado através da extrapolação de Richardson.

a) Para 2 segmentos: ( ) 571.1yy2y22I

2h 2101 =++=⇒=

ππ

i xi yi ci 0 0 0.00 1 1 2π 1.00 2 2 π 0.00 1

b) Para 4 segmentos: ∑= ii2 yc2hI ; ( ) 896.1828.4

24

4 2 ==⇒=ππ Ih

i xi yi ci 0 0 0.00 1 1 4π 0.707 2 2 2π 1.000 2 3 43π 0.707 2 4 π 0.000 1

c) Pela equação de Richardson:

( ) 004.2571.1896.124

2896.1I 22

2

=−−

+=

d) Analiticamente, I = 2.000 Regras de Simpson

Uma vez que em ambas as regras de Simpson o erro de truncamento é inversamente proporcional a n4, tem-se, para ambas.

( )1241

42

41

2 IInn

nII −−

+=

É claro que I1 e I2 devem ser calculados pela mesma regra.

Integração Dupla

Deseja-se calcular ( )∫ ∫=b

a

d

cdxdyy,xfI .

A integral I pode ser escrita ainda na forma:

( ) dxdyyxfIb

a

d

c∫ ∫

= ,

Fazendo: ( )∫=

d

cdyy,xf)x(G

Obtém-se: ( )∫=

b

adxxGI

Pode-se utilizar qualquer regra de integração. A título de ilustração, mostra-se abaixo o desenvolvimento

através da regra do trapézio:

( ) ( ) ( )]bGaG[2h

dxxGI 1b

a+≅= ∫ , abh1 −=

Para o cálculo de G(a) e G(b), tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]c,afd,af2

cddyy,afaGd

c+

−≅= ∫

e

( ) ( ) ( ) ( )[ ]c,bfd,bf2

cddyy,bfbGd

c+

−≅= ∫

Quadratura Gaussiana

Os métodos de integração estudados anteriormente baseavam-se no conhecimento de pontos igualmente espaçados, i. e., no conhecimento prévio dos pontos utilizados na fórmula de integração da função. Isso pode implicar em desvantagens, como mostra o exemplo a seguir.

Considere, por exemplo, a integração pela regra do trapézio, como mostra a figura abaixo:

( ) ( ) ( )2

bfafabI +⋅−≅ (*)

Agora, suponha que a mesma regra de integração seja aplicada, após o deslocamento do segmento de reta AB para cima, de tal forma que os erros positivos passem a ser compensados por erros negativos, como mostra a figura abaixo.

Nesse caso, a integral poderia ser obtida de forma exata, desde que x1 e x2 fossem escolhidos adequadamente.

Método dos coeficientes indeterminados

A fim de ilustrar esse método, que será usado para a quadratura gaussiana, escreve-se a equação (*) na forma geral:

( ) ( )bfcafcI 21 +≅ (**)

com c1, c2 constantes a determinar.

A partir daí, exige-se que a regra do trapézio forneça um valor exato, quando a função a integrar é uma constante ou uma reta, p. ex., para y = 1 e y = x. Assim:

( ) ( ) abdx1bfcafc2)ab(

2)ab(1211 −==+ ∫−

−−

( ) ( ) ( ) ( )( )abba21ab

21dxxbfcafc 22b

a2221 −+=−==+ ∫

Considerando que:

f1(a) = f1(b) = 1 e ( )( )

==

bbfaaf

2

2 , respectivamente, obtém-se:

( )( )baba21bcac 21 +−+=+

abcc 21 −=+ ( )abbbcbc 21 −−=−−

( ) ( ) ( )[ ]bab21b2a

21cba 1 −−⋅

−⋅+=−

( )2

abba21bc1

−=+−=

2ab

2ababc2

−=

−−−=

que, substituindo em (**) reproduz a fórmula da regra do trapézio:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]bfaf2

abbf2

abaf2

abI +−

=−

+−

=

Quadratura de Gauss - Fórmula para 2 Pontos

Seja ( )∫=b

adxxfI a calcular.

A fim de obter a fórmula de Gauss para integração numérica, deve-se inicialmente realizar uma mudança de variável, tal que o intervalo de integração muda para [-1, 1]:

( )( ) 22

2

21

1 abzabxab

ba

ba

zx ++

−=⇒

−=

+=

⇒

+=+−=

⇒+=α

β

βαβα

βα

daí:

( )

+

+−

=22

abzabfxf ; dz2

abdx −=

Logo: ( ) ( )∫∫ −

=1

1

b

adzzFdxxf

onde:

( )

+

+−−

=222

abzabfabzF

A fórmula de integração gaussiana se reporta à expressão geral de interpolação, para aproximar o resultado da integral acima:

( ) ( )∑∫−

=−

==1n

0iii

1

1zFAdzzFI

onde: F → Função de base n → nº de pontos Ai → Coeficientes ou pesos, a determinar zi → Raízes, a determinar

Uma forma de obter fórmulas Gaussianas é procurar fazer com que sejam exatas ao se usar funções de base 1, z, z2, ..., z2n-1, o que resulta em 2n condições determinação dos zi e Ai.

Ex.1: Determinar os coeficientes e as raízes da fórmula de integração de Gauss, para dois pontos, utilizando como funções de base F(z) = zk, k = 0, 1, 2, 3

Solução: ( ) ( )1100

1

1

k zFAzFAdzz +=∫−

Então: ( ) ( )1100

1

1

0 zFAz(FA2dzz0k +==⇒= ∫−

10 AA2 +=

( ) ( )1100

1

1

1 zFAzFAdzz1k +=⇒= ∫− 111

100 zAzA0 +=

( ) ( )1100

1

1

2 zFAzFAdzz2k +=⇒= ∫− 211

200 zAzA32 +=

( ) ( )1100

1

1

3 zFAzFAdzz3k +=⇒= ∫− 311

300 zAzA0 +=

Resolvendo o sistema de 4 equações, onde as incógnitas são:

A0, A1, Z0, e Z1m tem-se:

31

33ZZ

1AA

10

10

==−=

==

Substituindo esses valores na fórmula geral, fica:

( ) ( )31F31FIG +−=

que é a fórmula de Gauss para dois pontos.

Ex.2: Calcular, através de quadratura Gaussiana para dois pontos:

dxeIx

222

2−

−∫=

Solução:

( ) ( )

+

−=+=

31

31

1100 FFZFAZFAIG

( )

+

+−

+−

=2

abZ2

ab2

abZF

b=2 , a=-2 , x=2Z

( ) ( ) 22222 ZeZfZF −==

3

23

22

31 ; 2

31 −−

=

=

− eFeF

0537,2e4I 32

G ==−

DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA Introdução

Fazendo uso das propriedades de linearidade do operador ,∆ é possível expressar as diferenças finitas de uma função

)(xfy = em termos de suas derivadas e vice-versa. Fazendo uso da série de Taylor, podemos escrever:

)(e

)(!3!2

1

)('''!3

)("!2

)(')()(

33

22

32

xy

xyDhDhhD

xyhxyhxhyxyhxy

hD=

++++=

++++=+

L

L

ou seja: i

hDii

hDi yyyy −

−+ == e ;e 11

Logo, o operador ∆ pode ser escrito como:

( )

i

i

ihD

ihD

iiiiii

hDyDhDhDh

yDhDhhD

yyyyyyyy

−+−=

++++−=

−=−=−=∆−∆=∆ −−−−

L

L

33

22

33

22

1100

!4!3!21

!3!211

e1e

Portanto, simbolicamente:

( )( )

( )

−+−=−=∆

−+−=+−=−=∆

−=∆

−

−−−

−

M

L

L

55443333

443322222

45

23e1

127ee21e1

e1

DhDhDh

DhDhDh

hD

hDhDhD

hD

Diferenciação por Diferenças Finitas Retroativas O termo “retroativas” deve-se ao fato de que as diferenças finitas para o i-éssimo ponto são definidas tomando-se valores para este ponto e seu antecessor, ou seja:

1100

−− −=∆−∆=∆ iiiii yyyyy Equações que expressam as diferenças finitas em termos das derivadas de uma função )(xfy = foram determinadas. A partir destas, podem ser obtidas equações que expressam as derivadas de uma função em termos das diferenças finitas.

( ) ∆−=⇒−=∆ −− 1ee1 hDhD

daí:

( ) ( )

+

∆+

∆+

∆+∆−=∆−=− L

4321lneln

432hD

logo:

L+∆

+∆

+∆

+∆=432

432

hD

Sendo assim, temos:

+−+∆

=

+−+∆

=

−+−+∆

=

M

L

L

L

5243

33

4232

22

43

32

2

45

23

127

2462

DhhDh

D

DhhDh

D

DhDhDhh

D

Retendo-se apenas o primeiro termo das derivadas:

( )

( )

( )

+−+−=+∆

=

++−=+∆

=

+−=+∆

=

−−−

−−

−

M

)(331)(

)(21)(

)(1)(

32133

33

2122

22

1

hOyyyyh

hOh

yyD

hOyyyh

hOh

yyD

hOyyh

hOhyDy

iiiii

i

iiii

i

iii

i

obtém-se aproximações para as derivadas de uma função

)(xfy = , no ponto i, com erro da ordem de h.

Retendo-se os dois primeiros termos das derivadas, obtém-

se aproximações com erro da ordem de h2.

( )

( )

( )

++−+−=

+−+−=

++−=

−−−−

−−−

−−

M

)(314241851

)(4521

)(4321

243213

3

23212

2

221

hOyyyyyh

yD

hOyyyyh

yD

hOyyyh

Dy

iiiiii

iiiii

iiii

Pode-se então, pela retenção de m termos, obter-se

expressões para as derivadas com erros da ordem de hm.

Diferenciação por Diferenças Finitas Progressivas Seguindo procedimento análogo ao empregado para a diferenciação por diferenças finitas retroativas:

Retendo-se apenas o primeiro termo das derivadas, obtém-se aproximações para as derivadas de uma função )(xfy = , no ponto i, com erro da ordem de h:

( )

( )

( )

++−+−=+∆

=

++−=+∆

=

++−=+∆

=

+++

++

+

M

)(331)(

)(21)(

)(1)(

32133

33

2122

22

1

hOyyyyh

hOh

yyD

hOyyyh

hOh

yyD

hOyyh

hOhyDy

iiiii

i

iiii

i

iii

i

Retendo-se os dois primeiros termos das derivadas, obtém-

se aproximações com erro da ordem de h2.

( )

( )

( )

+−+−+−=

+−+−=

+−+−=

−+++

+++

++

M

)(314241851

)(4521

)(4321

243213

3

23212

2

221

hOyyyyyh

yD

hOyyyyh

yD

hOyyyh

Dy

iiiiii

iiiii

iiii

Diferenciação por Diferenças Finitas Centrais Seguindo, novamente, procedimento análogo ao empregado para a diferenciação por diferenças finitas retroativas, obtém-se:

( )

( )

( )

+−+−=

++−=

+−=

−−++

−+

−+

M

)(2221

)(21

)(21

221123

3

2112

2

211

hOyyyyh

yD

hOyyyh

yD

hOyyh

Dy

iiiii

iiii

iii

e

( )

( )

( )

++−+−+−=

+−+−+−=

++−+−=

−−−+++

−−++

−−++

M

)(81313881

)(16301612

1

)(8812

1

43211233

3

421122

2

42112

hOyyyyyyh

yD

hOyyyyyh

yD

hOyyyyh

Dy

iiiiiii

iiiiii

iiiii

OBS.: Sempre que possível, usam-se, para

aproximar derivadas, fórmulas em

função das diferenças finitas centrais,

tendo em vista que elas são mais precisas.

As mais simples já são de O(h2).

Ex.2: Dada a tabela abaixo, aproxime::

i 0 1 2 3 4 xi 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 yi 10,8894 12,7032 14,7781 17,1490 19,8550

a) f ´ (2,0), usando diferenças finitas retroativas, com erro da ordem de h2. Solução:

( )

( )

22,0545)0,2´(

8894,107032,1247781,1431,02

1)0,2´(

)(4321 2

21

≈

⇒+×−××

≈

⇒++−= −−

f

f

hOyyyh

Dy iiii

b) f ´ (2,0), usando diferenças finitas progressivas, com erro da ordem de h2. Solução:

( )

( )

22,0335)0,2´(

8550,191490,1747781,1431,02

1)0,2´(

)(4321 2

21

≈

⇒−×+×−×

≈

⇒+−+−= ++

f

f

hOyyyh

Dy iiii

c) f ´ (2,0), usando diferenças finitas centrais, com erro da ordem de h2. Solução:

( )

( )

22,2290)0,2´(

1490,177032,121,02

1)0,2´(

)(21 2

11

≈

⇒−×

≈

⇒+−= −+

f

f

hOyyh

Dy iii

d) Sabendo que:

( ) xx xxfDyxxfy e1)´(e)( +==⇔== ; determine o erro (O(h2)) em cada caso: Solução: Valor exato: ( ) 22,1672)0,2´(e12)0,2´( 2 =⇒+= ff Diferenças finitas retroativas:

0,1127)(22,05451672,22)(

)(22,0545)0,2´(

2

2

2

=

⇒−=

⇒+=

hOhO

hOf

Diferenças finitas progressivas:

0,1337)(22,03351672,22)(

)(22,0335)0,2´(

2

2

2

=

⇒−=

⇒+=

hOhO

hOf

Diferenças finitas centrais:

-0,0618)(22,22901672,22)(

)(22,2290)0,2´(

2

2

2

=

⇒−=

⇒+=

hOhO

hOf