Transições de Fase e Mecanismos Geradores de Leis de...
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Transições de Fase e Mecanismos Geradores de Leis de Potência
Renato VicenteComplex Systems EACH USP
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Percolação
Um sítio é ocupado com probabilidade . p
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Percolação
É possível caminhar de um lado a outro da rede
passando apenas por sítios vizinhos ?
Para pequeno o suficiente certamente que não.
Para grande o suficiente certamente que sim.
p
p
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Percolação
A probabilidade de cruzamento W varia bruscamente mas
continuamente com p.
http://www.ibiblio.org/e-notes/Perc/perc640.htm
Na figura L=640
W: probabilidade
de cruzamento
P: percentagem de
sítios em clusters
gigantes
S:tamanho médio
dos clusters
excluindo clusters
gigantes
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Percolação e Fractais
1.89( )M R R
No limiar de percolação a massa de pontos dentro de um circulo de
raio R escala com expoente 1.89 ao invés de 2.
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Modelo de Ising
1. Se a maioria dos vizinhos for diferente
muda.
2. Se a maioria dos vizinhos for igual muda
com probabilidade que decai com o tamanho
da maioria. A “temperatura” aumenta a chance
de mudanças espontâneas.
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Diagrama de Fases
A água exemplifica dois tipos de
transição.
Transições descontínuas
envolvem mudanças bruscas com
coexistência entre estados.
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Retornando a Percolação
Exatamente sobre o limiar de percolação a
distribuição de tamanhos de clusters segue uma lei de potência.
0.593cp
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Renormalização
Invariância em escala.
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Renormalização
2 2 3 4 2 42 (1 ) 4 (1 ) 2p p p p p p p p
2 4
2 4
2
2 0
c c c
c c c
p p p
p p p
0.618cp
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Mecanismos para obtenção de leis de potência
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Outros mecanismos parageração leis de potência: lei de Zipf para
a frequência de palavras
1. Suponha que o numero de
vezes que uma palavra é
utilizada decaia
exponencialmente com seu
comprimento.
( ) lf l e
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2. O número de palavras
possíveis cresce
exponencialmente com seu
comprimento.
( ) ln l e
3. O número de palavras
usadas com frequencia f
será:
( ) l ln l e e f
Outros mecanismos parageração leis de potência: lei de Zipf para
a frequência de palavras
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1. Suponha que uma quantidade tenha distribuição
.
2. Medimos suas variações percentuais c
xy
3. A distribuição de x será:
2( ) ( ) ( )dy
p x p y cp y xdx
Distribuição de variações percentuais
( )p y
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Criticalidade auto-organizada: Pilha de Areia