TRAB_DQ

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR CENTRO DE CINCIAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA

Trabalho da disciplina Acionamento de Mquinas

Modelamento e Simulao do Motor de Induo Trifsico

Professor: Herrique Cunha

Aluno: Srgio Daher.

I

SUMRIO INTRODUO .................................................................................................................... 01 1. A MQUINA DE INDUO TRIFSICA..................................................................... 01 1.1. Consideraes .................................................................................................... 02 1.2. Notaes............................................................................................................. 02 2. EXPRESSES DOS FLUXOS, TENSES E CONJUGADO ........................................ 03 2.1. Expresses dos fluxos ........................................................................................ 03 2.2. Expresses das tenses....................................................................................... 05 2.3. Expresso do Conjugado Eletromagntico ........................................................ 06 3. REPRESENTAO BIFSICA DA MQUINA TRIFSICA ..................................... 07 4. MODELO o,d,q DO MOTOR DE INDUO TRIFSICO ........................................... 11 4.1. Definio da Transformao .............................................................................. 11 4.2. Expresses dos fluxos em o,d,q ......................................................................... 12 4.3. Expresses das Tenses em o,d,q ...................................................................... 13 4.4. Expresso do conjugado em o,d,q...................................................................... 13 4.5. Escolha do par de eixos d,q................................................................................ 14 4.6. Relaes entre as variveis trifsicas e o,d,q ..................................................... 14 5. REPRESENTAO BIFSICA d,q DA MQUINA ATIVA........................................ 16 5.1. Significado da Componente Homopolar o ......................................................... 16 5.2. Expresses dos fluxos em d,q ............................................................................ 16 5.3. Expresses das tenses em d,q........................................................................... 16 5.4. Expresso do conjugado em d,q......................................................................... 17 5.5. Expresses compactas em d,q ............................................................................ 17 5.6. Expresso do conjugado em funo dos fluxos em d,q ..................................... 18 6. EQUAO DE ESTADO MECNICA DA MQUINA............................................... 19 7. SIMULAO DO MODELO d,q .................................................................................... 18 7.1. Consideraes da simulao .............................................................................. 20 7.2. Modelo eltrico contnuo em equao de estado ............................................... 20 7.3. Discretizao dos modelos contnuos ................................................................ 21 7.4. Escolha do perodo de amostragem.................................................................... 22 7.5. Algortmo do programa de simulao................................................................ 22 7.6. Programa em MATLAB programa em C........................................................... 23 8. RESULTADOS DE SIMULAO.................................................................................. 24 9. CONCLUSO .................................................................................................................. 25

II

BIBLIOGRAFIA................................................................................................................... 26 APNDICE A: LISTAGEM DO PROGRAMA DE SIMULAO (MATLAB) ............... A1 APNDICE B: DESCRIO DOS PROGRAMAS EM DISQUETE ................................ B1

MODELAMENTO E SIMULAO DO MOTOR DE INDUO TRIFSICO

1


INTRODUO A simulao um meio seguro, rpido e barato de se testar uma tcnica de controle, j que no envolve componentes reais. Para que a simulao apresente resultados condizentes com a prtica, preciso que seja escolhido um modelo computacional mais real possvel. O motor de induo um sistema no linear.

1. A MQUINA DE INDUO TRIFSICA O estator do motor de induo trifsico, que na prtica formado por enrolamentos distribudos, pode ser representado por trs bobinas concentradas. Essas bobinas esto dispostas mecnicamente sobre eixos defasados de 120, como mostra a figura 1. O rotor, que pode ser do tipo gaiola de esquilo ou do tipo enrolado, tambm pode ser representado da mesma forma. O rotor est livre para girar e por isso os enrolamentos do rotor esto defasados dos enrolamentos do estator de um ngulo eltrico (a figura 1 uma representao do ponto de vista das grandezas eltricas, ou seja, o ngulo eltrico e wm a velocidade do rotor em rad.eltricos/s) que depende da posio mecnica do rotor (m) e do nmero de pares de plos do motor ( = pm).

ESTATOR

ROTOR

Wm

Vs1,is1

Vs2, is2

Vs3, is3

Vr1, ir1

Vr2, ir2

Vr3, ir3

S1

r1

S2

S3

r3

r2

Fig. 1: Diagrama simplificado do motor de induo trifsico. Os enrolamentos do estator so alimentadas por tenses trifsicas (Vs1, Vs2 e Vs3). Se o rotor for do tipo enrolado, os seus enrolamentos poderam estar sujeitos as tenses Vr1, Vr2 e Vr3. Se o rotor for do tipo gaiola de esquilo ou se for enrolado com terminais curto


2

circuitados, essas tenses sero sempre nulas (isto no implica que as correntes ir1, ir2 e ir3 sejam nulas).

1.1 CONSIDERAES Para o desenvolvimento do modelo, sero feitas as seguintes consideraes: - Mquina simtrica trifsica composta por: trs fases no estator idnticas de ndices s1, s2 e s3; trs fases no rotor idnticas de ndices r1, r2 e r3. - ngulos eltricos entre bobinas do estator ou rotor igual a 2/3 radianos eltricos. - Distribuio senoidal do fluxo magntico. - Entreferro constante: o comprimento do circuito magntico, para o clculo da indutncia, independente do ngulo , ou seja, mquina plos lisos. - Mquina no saturada. Isto implica que o fluxo total em uma bobina igual a soma dos fluxos parciais e que a coenergia (W') igual a energia (W). Pode-se escrever para o fluxo total e conjugado:

t i= (fluxo total igual a soma dos fluxos parciais) (1)

c

dW

de m=

(expresso do conjudado mecnico) (2)

1.2 NOTAES Sero utilizadas as seguintes notaes: - Vs, Vr; is, ir e s, r: tenses, correntes e fluxos mas bobinas do estator e rotor, respectivamente. - Ls, Lr: indutncia prpria de uma bobina do estator e do rotor, respectivamente (Ls1=Ls2=Ls3=Ls e Lr1=Lr2=Lr3=Lr). - Ms, Mr: indutncia mtua entre suas bobinas do estator e entre duas bobinas do rotor, respectivamente (Ms12=Ms23=Ms31=Ms e Mr12=Mr23=Mr31=Mr). - Msrcos(i): indutncia mtua entre uma bobina do estator e uma do rotor separadas por um ngulo i (repartio senoidal da induo eletromagntica no entreferro).


3

- Rs, Rr: resistncias de uma bobina do estator e do rotor respectivamente. (Rs1=Rs2=Rs3=Rs e Rr1=Rr2=Rr3=Rr). - p: nmero de pares de plos da mquina. - , m: ngulo eltrico e ngulo mecnico ( = pm), respectivamente. - w, wm: velocidade do rotor em rad.eltricos e em rad/s, respectivamente.

2. EXPRESSES DOS FLUXOS, TENSES E CONJUGADO.

2.1 EXPRESSES DOS FLUXOS Considerando-se que no h saturao do circuito magntico da mquina, o fluxo total em um enrolamento igual a soma dos fluxos parciais produzidos por cada enrolamento da mquina (equao 1). Por exemplo, o fluxo no enrolamento da fase 1, s1, igual ao fluxo produzido pela corrente nele prprio, is1, mais os fluxos concatenados dos enrolamentos 2e 3 do estator, mais os fluxos concatenados produzidos pelos enrolamentos do rotor. Dessa forma, tm-se para a armadura trifsica do estator:

( )

( )

s s s s s s s sr r sr r sr r

s s s s s s s sr r sr r sr r

s s s s s s s sr r sr

L i M i M i M i M i M i

M i L i M i M i M i M i

M i M i L i M i M

1 1 2 3 1 2 3

2 1 2 3 1 2 3

3 1 2 3 1

2

3

4

3

4

3

2

3

2

3

4

3

= + + + + +

+ +

= + + + +

+ + +

= + + + +

+ +

cos cos cos

cos cos cos

cos cos ( )

+i M ir sr r2 3cos

(3)

Da mesma forma, pode-se escrever as equaes dos fluxos do rotor:

( )

( )

r r r r r r r sr s sr s sr s

r r r r r r r sr s sr s sr s

r r r r r r r sr s sr

L i M i M i M i M i M i

M i L i M i M i M i M i

M i M i L i M i M

1 1 2 3 1 2 3

2 1 2 3 1 2 3

3 1 2 3 1

4

3

2

3

2

3

4

3

4

3

2

3

= + + + + +

+ +

= + + + +

+ + +

= + + + +

+ +

cos cos cos

cos cos cos

cos cos ( )

+i M is sr s2 3cos

(4)

Escrevendo-se (3) e (4) na forma matricial:

[ ] [ ][ ] [ ][ ]s ss s sr rL i L i= + (5)

[ ] [ ][ ] [ ][ ]r rs s rr rL i L i= + (6)


4

onde,

[ ]

s

s

s

s

=

1

2

3

[ ]

r

r

r

r

=

1

2

3

[ ]i

i

i

is

s

s

s

=

1

2

3

[ ]i

i

i

ir

rs

rs

rs

=

1

2

3

(7)

[ ]L

L M M

M L M

M M Lss

s s s

s s s

s s s

=

[ ]L

L M M

M L M

M M Lrr

r r r

r r r

r r r

=

(8)

[ ]

( )

( )

( )

L M Msr sr sr=

+

+

+

+

+

+

cos cos cos

cos cos cos

cos cos cos

2

3

4

34

3

2

32

3

4

3

(9)

[ ]

( )

( )

( )

L M Mrs sr sr=

+

+

+

+

+

+

cos cos cos

cos cos cos

cos cos cos

4

3

2

32

3

4

34

3

2

3

(10)

Pode-se ainda compactar (5) e (6), resultando em:

[ ] [ ][ ] = L i (11) onde,

[ ]

[ ]

[ ]

=

s

r [ ]

[ ]

[ ]i

i

is

r

=

[ ][ ] [ ]

[ ] [ ]L

L L

L Lss sr

rs rr

=

(12)

[LSBM1] Comentrio: Page: 4


5

2.2 EXPRESSES DAS TENSES

A tenso induzida em um enrolamento, em aberto, devido ao fluxo que o atravessa

dada por:

V

d

dti=

(13)

A tenso nos terminais de um enrolamento dada por:

V R i V R i

d

dti= + = +. .

( ) V

13

(14)

De (7) e (14), obtm-se:

[ ] [ ]

[ ]V R i

d

dts s s

s= +

(15)

[ ] [ ]

[ ]V R i

d

dtr r r

r= +

(16)

onde,

[ ]VV

V

V

s

s

s

s

=

1

2

3

[ ]VV

V

V

r

r

r

r

=

1

2

3 (17)

Substituindo-se (5) em (15) e (6) em (15), obtm-se:

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ]V R i L

d i

dtL

d i

dtw

d L

dis s s ss

s

sr

r

m

sr

r= + + + (18)

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ]V R i L

d i

dtL

d i

dtw

d L

dir r r rr

r

rs

s

m

rs

s= + + + (19)

onde wm=d/dt a velocidade do rotor em rad.eltricos/s.

Reunindo-se (18) e (19) em uma nica expresso, obtm-se (20):

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ]V R i L

d i

dtw

d L

dim= + + (20)

onde:


6

[ ][ ]

VV

V

s

r

=

,

[ ][ ][ ]

RR

R

s

r

=

,

[ ]RR

R

R

s

s

s

s

=

0 0

0 0

0 0 e

[ ]RR

R

R

r

r

r

r

=

0 0

0 0

0 0 (21)

2.3 EXPRESSO DO CONJUGADO ELETROMAGNTICO

Considerando-se que no h saturao do circuito magntico do motor, a expresso geral para

a energia dada por:

[ ] [ ][ ]W i L i

t=

1

2 (22)

O conjugado obtido diferenciando-se a expresso (22) em relao ao ngulo mecnico m:

c

dW

de

m

= (23)

[ ] [ ] [ ]c id

dL ie

t

m

=

1

2 (24)

sabendo-se que o ngulo eltrico = pm, onde p o nmero de pares de plos da mquina, de (24) obtm-se:

[ ] [ ] [ ]c

pi

d

dL ie

t=

2 (25)

Como as sub-matrizes |Lss| e |Lrr| de |L| so independentes do ngulo eltrico , ento:

[ ][ ]

[ ]

[ ][ ][ ]

cp i

i

d L

d

d L

d

i

ie

s

r

t sr

rs

s

r

=

2

0

0

(26)

[ ]

[ ][ ] [ ]

[ ][ ]c

pi

d L

di

pi

d L

die r

t rs

s s

t sr

r= +2 2 (27)

Como ce um nmero e cet = ce e sabendo-se que para duas matrizes |A| e |B| tm-se (|A| |B|)

t

= |B|t|A|t, tm-se que:


7

[ ]

[ ][ ] [ ]

[ ][ ]i

d L

di i

d L

dir

t rs

s s

t rs

t

r =

(28)

Como |Lrs|t = |Lsr| , obtm-se:

[ ]

[ ][ ]c p i

d L

die s

t sr

r= (29)

3. REPRESENTAO BIFSICA DA MQUINA TRIFSICA

A mquina trifsica constituda, elementarmente, de 3 enrolamentos dispostos sobre

eixos defasados de 120. Quando estes enrolamentos so alimentados por tenses trifsicas

equilibradas e defasadas de 120 tambm, obtm-se que a resultante dos fluxos produzidos por essas trs bobinas um campo girante, de frequncia igual a (frequencia das tenses

estatricas)/p.

Por outro lado, pode-se tambm produzir um campo girante, como na mquina

trifsica, utilizando-se apenas dois enrolamentos, dispostos sobre eixos defasados de 90,

alimentados por tenses bifsicas defasadas eletricamente de 90 tambm. Neste caso, tm-se uma mquina bifsica.

Na verdade, o que h de comum na mquina trifsica e bifsica que ambas produzem

um campo girante que, interagindo com os enrolamentos do rotor, fazem este ltimo girar. Em

vista de tudo isso pode-se perguntar: Ser que possvel representar uma mquina

trifsica por uma mquina bifsica? A reposta sim. A transformada que realiza esta

mudana de representao a transformao o,d,q. Pode-se ainda perguntar: Porque

utilizar a transformao o,d,q? A resposta bastante simples: as expresses obtidas atravs

da transformao o,d,q so bem mais simples e faceis de manipular que as expresses

trifsicas originais.

A transformao o,d,q corresponde a representar cada armadura trifsica original do

estator e do rotor por uma armadura bifsica d,q mais uma bobina isolada de ndice o (fig. 2).

Para que a armadura bifsica seja equivalente a armadura trifsica, uma condio se impe: a

induo no entreferro (p. ex. no ponto m), deve ser a mesma, qualquer que seja a armadura.

Para a armadura trifsica estatrica, a induo no ponto m (veja figura 2), dada por:

( )B K i i im s s s3 3 1 2 3

2

3

4

3= +

+

cos cos cos

(30)

onde K3 uma constante que depende dos aspectos construtivos da mquina.


8

Vs1, is1

Vs2, is2

Vs3, is3

S1

S1Vsd, isd

Vsq, isq

q

d

Vso, iso

Fig. 2: Armaduras trifsica e bifsica equivalente.

reescrevendo-se (30):

( )B K ii i i i

m ss s s s

3 3 12 3 2 3

2 2

3

2

3

2=

+

cos sen( )

(31)

Da mesma forma, a induo resultante no criada no ponto m pela a armadura bifsica dada

por:

( ) ( )[ ]B K i im sd sq2 2= + cos sen (32)

onde K3 uma constante que depende dos aspectos construtivos da mquina.

reescrevendo-se (32):

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]{ }B K i i i sin im sd sq sd sq2 2= + cos cos sen sen cos (33)

Igualando-se a induo no ponto m devido a cada armadura para um qualquer, obtm-se (34) e (35):

( ) ( )[ ]K i i K i i isd sq s s s2 3 1 2 3

1

2

1

2cos sen =

(34)

( ) ( )[ ]K i i K i isd sq s s2 3 2 33

2

3

2sen cos =

(35)

reescrevendo-se (34) e (35):


9

( )iK

Ki i isd s s s=

+

+

3

2

1 2 3

2

3

4

3cos cos cos

(36)

( )iK

Ki i isd s s s=

+

+

3

2

1 2 3

2

3

4

3sen sen sen

(37)

Para que a transformao seja biunvoca, necessrio introduzir uma terceira corrente:

a corrente homopolar io, que proporcional a soma das correntes trifsicas. A corrente

homopolar no cria induo no entreferro; assim no foi levada em conta nos clculos

anteriores.

Introduzindo-se a componente homopolar e utilizando-se (36) e (37), obtm-se:

( )

( )

i

i

i

K

K

k k k i

i

i

so

sd

sq

s

s

s

=

3

2

1

2

3

2

3

4

3

2

3

4

3

cos cos cos

sen sen sen

(38)

Na expresso (39), a matriz de transformao igual ao produto de (K3/K2) e a matriz

seguinte, sendo que as constantes k, K2 e K3 podem ser escolhidas arbitrariamente. Para que a

matriz de transformao seja ortogonal ( P-1 = Pt ), escolhe-se k=1 2/ e K3/K2 = (2/3)1/2.

Substituindo-se esses valores numricos de k, K2 e K3 na equao (38), obtm-se:

( )

( )

i

i

i

i

i

i

so

sd

sq

s

s

s

=

2

3

1

2

1

2

1

22

3

4

3

2

3

4

3

1

2

3

cos cos cos

sen sen sen

(39)

Isolando-se a matriz das correntes trifsicas em (39), obtm-se:

( ) ( )i

i

i

i

i

i

s

s

s

so

sd

sq

1

2

3

2

3

1

21

2

2

3

2

3

1

2

4

3

4

3

=

cos sen

cos sen

cos sen

(40)


10

De maneira similar, para as armaduras rotricas, obtm-se:

( ) ( )i

i

i

i

i

i

r

r

r

ro

rd

rq

1

2

3

2

3

1

21

2

2

3

2

3

1

2

4

3

4

3

=

cos sen

cos sen

cos sen

(41)

A transformao o,d,q definida por (40) e (41).


11

4. MODELO o,d,q DO MOTOR DE INDUO TRIFSICO

4.1 DEFINIO DA TRANSFORMAO

De uma maneira geral, uma transformao de variveis definida pela operao:

[ ] [ ][ ]X P X t= (42)

onde [ ]X a varivel a ser transformada e [ ]Xt a varivel nova. A matriz [ ]P denominada matriz de transformao e deve ser regular, isto , sua inversa existe.

A transforma o,d,q definida atravs de duas matrizes de transformao: uma matriz

[ ]Ps para o estator e outra [ ]Pr para o rotor. De (40) e (41) tm-se que:

[ ]

( ) ( )

Ps =

2

3

1

21

2

2

3

2

3

1

2

4

3

4

3

cos sen

cos sen

cos sen

(43)

[ ]

( ) ( )

Pr =

2

3

1

21

2

2

3

2

3

1

2

4

3

4

3

cos sen

cos sen

cos sen

(44)

Para qualquer varivel X escolhida entre os fluxos, as tenses ou as correntes do estator ou

rotor, pode-se escrever:

[ ] [ ][ ]X P Xs s sodq= e [ ] [ ][ ]X P Xr r rodq= (45)

onde,

[ ]XX

X

X

sodq

so

sd

sq

=

[ ]XX

X

X

rodq

ro

rd

rq

=

(46)

4.2. EXPRESSES DOS FLUXOS EM o,d,q.


12

De (5), (45) tm-se que:

[ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ]P L P i L P is sodq ss s sodq sr r rodq = + (47)

multiplicando-se ambos os lados de (47) por [ ]Ps1

:

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ][ ]sodq s ss s sodq s sr r rodqP L P i P L P i= + 1 1

(48)

substituindo-se (43) e (44) em (48) e realizando-se algumas simplificaes, obtm-se:

[ ] [ ][ ] [ ][ ]sodq ssodq sodq srodq rodqL i L i= + (49) onde,

[ ]Ll

l

l

ssodq

so

s

s

=

0 0

0 0

0 0

[ ]L lsrodq sr=

0 0 0

0 1 0

0 0 1

(50.a)

com

lso = Ls + 2Ms, ls = Ls - Ms e lsr = (3/2)Msr. (50.b)

De forma semelhante, de (6), (43), (44) e (45) obtm-se as expresses dos fluxos

rotricos:

[ ] [ ][ ] [ ][ ] rodq rrodq rodq rsodq sodqL i L i= + (51)

onde,

[ ]Ll

l

l

rrodq

ro

r

r

=

0 0

0 0

0 0

[ ] [ ]L Lrsodq srodq= (52.a)

com

lro = Lr + 2Mr e lr = Lr - Mr. (52.b)

4.3. EXPRESSES DAS TENSES EM o,d,q.

De (15) e (45), obtm-se:


13

[ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ]{ }P V R P i

d P

dts sodq s s sodq

s sodq

= +

(53)

multiplicando-se ambos os lados de (53) por |Ps|-1:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ]{ }V P R P i P

d P

dtsodq s s s sodq s

s sodq

= + 1 1

(54)

simplificando-se o primeiro termo de (54), definindo-se wd=d/dt e utilizando-se essa definio para rearranjar o segundo termo de (54), obtm-se:

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ]V R P i w P

d P

dsodq s s sodq d s

s

sodq= +1

(55)

substituindo-se (43) em (55) e realizando-se os devidos clculos, obtm-se:

[ ] [ ][ ]

[ ]V R id

dtwsodq s sodq

sodq

d sodq= + +

0 0 0

0 0 1

0 1 0 (56)

[ ] [ ][ ]

( ) [ ]V R id

dtw wrodq r rodq

rodq

d m rodq= + +

0 0 0

0 0 1

0 1 0 (57)

4.4. EXPRESSO DO CONJUGADO EM o,d,q.

Utilizando-se (30), (45) e sabendo-se que (|A||B|)t=|B|t|A|t, obtm-se:

[ ] [ ]

[ ][ ][ ]c p i P

d L

dP ie sodq

t

s

t sr

r rodq= (58)

substituindo-se (43) e (44) em (58):

( ) ( )c p M i i i i pl i i i ie sr sq rd sd rq sr sq rd sd rq= =

3

2 (59)


14

4.5 ESCOLHA DO PAR DE EIXOS d,q

Na representao bifsica da mquina trifsica (tpico 3), o eixo d, do par de eixos d,q,

est posicionado a graus eltricos do eixo S1 da mquina trifsica original (veja figura 2).

Na realidade, este ngulo genrico; portanto podemos atribuir valores arbitrrios a ele. De

acordo o valor atribudo a , obtm-se situaes distintas para o modelo o,d,q obtido.

Algumas possibilidades interessantes para a localizao do par de eixos d,q so:

- Fixo no estator: fazendo-se =0, o eixo d estar fixo sobre o eixo S1 da fase S1. Isto

implica em variveis d,q senoidais com a mesma frequncia das correntes estatricas.

- Fixo no rotor: fazendo-se =, o eixo d estar fixo sobre o eixo r1 do rotor. Isto

implica em variveis d,q com a mesma frequncia das correntes rotricas.

- No campo girante: fazendo-se wd = ws. Isto implica, em regime permanente, em

variveis d,q contnuas.

4.6 RELAES ENTRE AS VARIVEIS TRIFSICAS E O,D,Q.

A obteno das grandezas trifsicas originais a partir das grandezas em o,d,q, obtida

diretamente de (43), (44) e (45). Considerando-se a componente homopolar nula, pode-se

escrever:

[ ]X X Xs sd sq1

2

3= cos( ) sen( )

(60.a)

X X Xs sd sq2

2

3

2

3

2

3=

cos( ) sen( )

(60.b)

X X Xs sd sq3

2

3

4

3

4

3=

cos( ) sen( )

(60.c)

Para as grandezas rotricas tm-se que:

[ ]X X Xr rd rq1

2

3= cos( ) sen( )

(61.a)

X X Xr rd rq2

2

3

2

3

2

3=

cos( ) sen( )

(61.b)

X X Xr rd rq3

2

3

4

3

4

3=

cos( ) sen( )

(61.c)


15

Por outro lado, partindo-se de (39) obtm-se as expresses das grandezas em o,d,q em funo das

grandezas trifsicas:

[ ]X X X Xso s s s= + +

1

31 2 3

(62.a)

X X X Xsd s s s= + +

2

3

2

3

4

31 2 3cos( ) cos( ) cos( )

(62.b)

X X X Xsq s s s=

2

3

2

3

4

31 2 3sen( ) sen( ) sen( )

(62.c)

Se as tenses trifsicas so equilibradas, ou seja, so dadas por:

V A wt

V A wt

V A wt

s

s

s

1

2

3

2

3

4

3

=

= +

= +

sen( )

sen( )

sen( )

(63)

substituindo-se (63) em (62) e fazendo-se =0 obtm-se:

Vso = 0 (64.a)

V wtsd =

3

2sen( )

(64.b)

V wtsq =

3

2cos( )

(64.c)


16

5. REPRESENTAO BIFSICA d,q DA MQUINA ATIVA

5.1 SIGNIFICADO DA COMPONENTE HOMOPOLAR o.

Na representao o,d,q da mquina trifsica, as variveis de ndice o, denominadas de

homopolares, so proporcionais a soma das grandezas trifsicas originais. Portanto, se a

mquina estiver operando de forma equilibrada (carga ou fonte de alimentao trifsica

equilibrada), estas componentes so nulas. Outro fato interesante que o conjugado no

depende das componentes homopolares, pois estas no criam induo no entreferro da

mquina.

Em resumo, os componentes d,q caracterizam a mquina ativa, enquanto as

componentes homopolares traduzem apenas os desequilbrios da mquina trifsica criados

pela alimentao ou carga desequilibrada.

5.2 EXPRESSES DOS FLUXOS EM d,q.

Considerando-se apenas as componentes d,q na representao o,d,q, pode-se escrever,

a partir de (49) e (51) os fluxos na representao bifsica dq:

[ ] [ ] [ ]sdq s sdq sr rdql i l i= + (65)

[ ] [ ] [ ] rdq r rdq sr sdql i l i= + (66)

onde,

[ ]

sdqsd

sq

=

[ ]

rdqrd

rq

=

[ ]ii

isdqsd

sq

=

[ ]ii

irdqrd

rq

=

(67)

5.3 EXPRESSES DAS TENSES EM d,q.

As expresses das tenses so obtidas a partir de (56) e (57):

[ ] [ ]

[ ][ ]V R i

d

dtwsdq s sdq

sdq

d rd= + +

0 1

1 0 (68)

[ ] [ ]

[ ]( ) [ ]V R i

d

dtw wrdq r rdq

rdq

d m sd= + +

0 1

1 0 (69)


17

onde,

[ ]V

V

Vsdqsd

sq

=

[ ]VV

Vrdqrd

rq

=

(70)

5.4 EXPRESSO DO CONJUGADO EM d,q.

Como j foi visto, o conjugado no depende da componente homopolar se no h

desequilbrio das grandezas trifsicas. Portanto, a expresso do conjugado em d,q igual a

expresso do conjugado em o,d,q. Repetindo-se (59):

( )c pl i i i ie sr sq rd sd rq= (71)

5.5 EXPRESSES COMPACTAS EM d,q

Agrupando-se (65) e (66) em uma nica expresso:

[ ] [ ]

dq

sd

sq

rd

rq

sd

sq

rd

rq

dq

sd

sq

rd

rq

ls

ls

lsr

lsr

lsr

lsr

lr

lr

i

i

i

i

L

i

i

i

i

=

=

=

0

0

0

0

0

0

0

0 (72)

pode-se ento obter os valores das correntes em funo dos fluxos:

[ ]i

i

i

i

i

Ll l l

l l

l l

l l

l l

dq

sd

sq

rd

rq

dq

sd

sq

rd

rq

s r sr

r sr

r sr

sr s

sr s

sd

sq

rd

rq

=

=

=

1

2

1

0 0

0 0

0 0

0 0

(73)

Agrupando-se (68) e (69) em uma nica expresso:

[ ] [ ][ ]

( )( )

[ ]V

R

R

R

R

id

dt

w

w

w w

w w

dq

s

s

r

r

dq

dq

d

d

d m

d m

dq=

+ +

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

(74)


18

substituindo-se (73) em (74) obtm-se uma expresso compacta que relaciona fluxos e tenses

em dq:

[ ][ ]

( )

( )

[ ]Vd

dt

R l

l l lw

R l

l l l

wR l

l l l

R l

l l l

R l

l l l

R l

l l lw w

R l

l l lw w

R l

l l l

dq

dq

s r

s r sr

d

s sr

s r sr

ds r

s r sr

s sr

s r sr

r sr

s r sr

r s

s r sr

d m

r sr

s r sr

d mr s

s r sr

dq= +

2 2

2 2

2 2

2 2

0

0

0

0

(75)

5.6 EXPRESSO DO CONJUGADO EM FUNO DOS FLUXOS EM d,q.

As expresses das correntes em funo dos fluxos podem ser obtidas a partir de (73).

Substiuindo-se essas expresses em (71) obtm-se:

( )c

pl

l l li i i ie

sr

s r sr

sq rd sd rq=

2

(76)


19

6. EQUAO DE ESTADO MECNICA DA MQUINA

Nos captulos anteriores, o modelo eltrico da mquina de induo trifsica foi

desenvolvido. No entanto, no foi desenvolvida nenhuma equao que relacione o torque

desenvolvido ( equao 75 ) e a velocidade mecnica ou posio ngular mecica do eixo. Na

verdade, o modelo completo do motor de induo pode ser visto como um modelo eltrico

que se aclopa a um modelo mecnico atravs do torque. A figura 3 ilustra o mecionado.

Equao Eltrica

+

-

Ce

Cc

[Vd Vq]'wm

[Vd Vq]' : Tenses de alimentao estatricas;

Ce : Conjugado motor;

Cc : Conjugado de carga;

wm : Velocidade mecnica do eixo da mquina (rad/s).

X = AX + BU

U = [Vd Vq]'

A = f(w)

Ce = f(X)

Equao mecnica

X = AX + BU

U = ( Ce - Cc' )

X = wm

Figura 3: Modelo eltrico e mecnico do motor de induo.

A equao mecnica do motor, de forma simplificada, dada por:

T C C j

dw

dtfwe c= = +( )

(77)

onde,

T = torque resultante produzido no eixo da mquina;

j = momento de inrcia ( mquina e carga );

f = atrito viscoso.

reorganizando (67), obtm-se:

dw

dt

f

jw

jT= +

1

(78)

comparando-se (68) com a forma geral X = AX + BU, tm-se que:

A

f

j j= , B =

1

(79)


20

7. SIMULAO DO MODELO dq

7.1. CONSIDERAES DA SIMULAO

Nas equaes seguintes e na simulao sero feitas as seguintes consideraes:

1. Eixo dq fixo no estator, ou seja, =0 ( wd=0); 2. Tenses rotricas nulas, ou seja, rotor da mquina do tipo gaiola de esquilo ou

bobinado com terminais curto-circuitados.

7.2. MODELO ELTRICO CONTNUO EM EQUAO DE ESTADO

Para utilizar o modelo dq obtido na simulao em um computador digital, iremos

coloc-lo na forma de um sistema linear em equao de estado e em seguida discretiz-lo. Um

sistema linear tem a seguinte forma geral:

X AX BU

Y CX DU

= +

= + (80)

A equao (75) tem a mesma forma da equao (80). Rearranjando a equao (80):

[ ]( )

( )

[ ] [ ]d

dt

R l

l l lw

R l

l l l

wR l

l l l

R l

l l l

R l

l l l

R l

l l lw w

R l

l l lw w

R l

l l l

Vdq

s r

s r sr

d

s sr

s r sr

d

s r

s r sr

s sr

s r sr

r sr

s r sr

r s

s r sr

d m

r sr

s r sr

d m

r s

s r sr

dq dq

=

+

2 2

2 2

2 2

2 2

0

0

0

0

(81)

Considerando-se que Vrd = Vrq = 0 (ou seja, o rotor uma gaiola de esquilo ou um rotor

bobinado com bobinas rotricas curto-circuitadas) ento pode-se escrever:


21

( )

( )

d

dt

R l

l l lw

R l

l l l

wR l

l l l

R l

l l l

R l

l l l

R l

l l lw w

R l

l l lw w

R l

l l l

sd

sq

rd

rq

s r

s r sr

d

s sr

s r sr

d

s r

s r sr

s sr

s r sr

r sr

s r sr

r s

s r sr

d m

r sr

s r sr

d m

r s

s r sr

sd

sq

rd

rq

=

2 2

2 2

2 2

2 2

0

0

0

0

[ ]

+

1 0

0 1

0 0

0 0

V Vsd sq

(82)

Comparando-se (82) com (80) tm-se que:

( )

( )

X

R l

l l lw

R l

l l l

wR l

l l l

R l

l l l

R l

l l l

R l

l l lw w

R l

l l lw w

R l

l l l

sd

sq

rd

rq

s r

s r sr

d

s sr

s r sr

d

s r

s r sr

s sr

s r sr

r sr

s r sr

r s

s r sr

d m

r sr

s r sr

d m

r s

s r sr

=

=

, A

2 2

2 2

2 2

2 2

0

0

0

0

(83.a)

[ ]B =

=

1 0

0 1

0 0

0 0

0, U = V V , Dsd sq

(83.b)

A matriz C arbitrria e depende da sada desejada.

O modelo dado por (83) o modelo dq contnuo. Pode-se observar alguns termos da

matriz A dependem de wm: isto quer dizer que o modelo desenvolvido no linear.

7.3. DISCRETIZAO DOS MODELOS CONTNUOS

Para realizar a simulao , preciso discretizar os modelos contnuos (78) e (83). Esta

discretizao pode ser feita de vrias maneiras. Uma maneira simples realizar o

desenvolvimento em srie de taylor da exponencial da matriz A.

O modelo discreto associado ao modelo contnuo (80) tem a seguinte forma:


22

x kh h x kh u kh

y kh Cx kh Du kh

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+ = +

= +

(84)

onde

h o perodo de amostragem;

=

=

e

e ds B

Ah

As

h

0 (85)

C e D so as mesmas do sistema contnuo (80).

Utilizando-se o desenvolvimento em srie de Taylor da exponencial de uma matriz, tm-se

que:

= = + + + ++

++

e ds Ih Ah A h A hi

As

i i

o

h 2 2 3 1

2 3 1! ! ( )!L L

(86)

A partir de (86) obtm-se que:

= +

=

I A

B (87)

Os modelos discretos de (78) e (83) podem ser obtidos a partir de (86) e (87). Uma

coisa importante que, se o perodo de amostragem for pequeno, pode-se utilizar no clculo

de (86) apenas os primeiros termos. Isto ser importante para reduzir o tempo de simulao.

7.4. ESCOLHA DO PERODO DE AMOSTRAGEM

A escolha do perodo de amostragem a ser utilizado na discretizao deve ser feita

com cuidado e levar em conta os seguintes aspectos:

- no pode ser grande a ponto do modelo discreto no conseguir representar o modelo

contnuo (deve ser observado o teorema da amostragem de Nyquist);

- no pode ser muito pequeno devido ao aumento do tempo de simulao;

- no pode ser muito pequeno devido a limitaes de preciso nos clculos;

Se a mquina trabalha com frequncias mximas da ordem de 60Hz (perodo = 16ms),

uma boa escolha fazer o perodo de amostragem h = 500us.

7.5. ALGORTMO DO PROGRAMA DE SIMULAO

O programa de simulao implementado segue os seguintes passos:


23

1. definio dos parmetros da mquina;

2. definio dos parmetros de simulao;

3. definio das condies iniciais e constantes;

4. cculo do modelo mecnico discreto atravs de (78), (86) e (87);

5. clculo da matriz do modelo eltrico contnuo, atravs de (83);

6. malha de simulao:

6.1 atualizao dos parmetros variveis com a velocidade do modelo eltrico

contnuo;

6.2 clculo do modelo discreto eltrico atravs de (86) e (87);

6.3. clculo de um passo do modelo eltrico (84);

6.4. clculo do torque mecnico produzido (76);

6.5. clculo da velocidade pela equao mecnica.

A listagem do programa em MATLAB implementado encontra-se no apndice B.

7.6. PROGRAMA MATLAB x PROGRAMA EM C

Outra coisa que deve ser observada, que a cada passo de clculo, o modelo da

mquina muda, devido aos termos dependentes de w. Dessa forma, a simulao desse modelo

se torna um pouco demorada. Utilizando-se o programa MATLAB, o tempo de simulao

pode ser grande. Um meio de realizar as simulaes mais rapidamente fazer um programa

em C. No entanto, esta ltima soluo requer bastante trabalho, pois deve-se ter rotinas para

calculos envolvendo matrizes.

Neste trabalho, o programa de simulao foi implementado em MATLAB e em

linguagem C tambm. Os tempos de simulao foram comparados e obteve-se que o programa

em C realizava a simulao cerca de 10 vezes mais rpido que o programa MATLAB. Por

exemplo, a simulao do programa do anexo A ( tempo mximo de 5s) demorou 90s para ser

executado no MATLAB enquanto que demorou apenas 9s para ser executado em C.


24

8. RESULTADOS DE SIMULAO

O programa de simulao do apndice A foi rodado para um tempo de simulao

mximo de 5 segundos. As curvas de torque, velocidade e corrente d versus tempo so

mostradas nas figuras 4,5 e 6 respectivamente.

Figura 4: Curva de Torque vesus tempo

Figura 5: Curva de velocidade vesus tempo


25

Figura 6: Curva de corrente vesus tempo


25

9. CONCLUSO

Este trabalho apresentou em detalhes a obteno do modelo o,d,q de um motor de

induo trifsico. O modelo desenvolvido foi utilizado para implementa programas de

simulao, e alguns resultados so apresentados. Um ponto importante, que no foi abordado

neste trabalho, a obteno dos parmetros do modelo a partir de medies em uma mquina

real (esta parte pode ser objeto de estudo de outro trabalho).


26

BIBLIOGRAFIA

[1] Cursino Jacobina, Apostila de Acionamento de Mquinas, Captulo 3, Campina

Grande-Paraba;

[2] Karl J. Astrm, Computer Controlled Systems - Theory and Design, Prentice-Hall ,

segunda edio.

APNDICE A: PROGRAMA DE SIMULAO EM LINGUAGEM MATLAB

A1

% SIMULACAO DO MOTOR DE INDUCAO %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% definicao dos parametros da maquina rs = 2.5; rr = 0.45; msr = 0.401 ls = 0.4143 lr = 0.4143 jm = 0.04; kf = 0.01; p = 2; % numero de pares de polos ws = 2*pi*60; jm = 0.04; kf = 0.01; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%parametros da simulacao h = 500e-6; tmax=input('entre com o tempo de simulacao tmax = ') hp=tmax/1000; if(hp < h), %passo de amostragem das variaveis de saida hp=h; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%condicoes iniciais e constantes wm=0.; %velocidade da maquina wm1=wm; %velocidade da maquina wd=0.; %velocidade dos eixos d,q t=0; tp=0; j=0; fl1 = [0.; 0.; 0.; 0.]; ce1 = 0; uk = [0; 0]; Vsm = 220*sqrt(3/2); tete=0; idt=1/(ls*lr-msr*msr); amsr = p*idt*msr; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% equacao de estado discreta mecanica da maquina Aw = -kf/jm; Bw = 1/jm; [Fw,Hw]=c2d(Aw,Bw,h) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% equacao de estado continua eletrica da maquina Ac(1,1)=-idt*rs*lr; Ac(1,2)=wd; Ac(1,3)=idt*rs*msr; Ac(1,4)=0;


A2

Ac(2,1)=-wd; Ac(2,2)=Ac(1,1); Ac(2,3)=0; Ac(2,4)=Ac(1,3); Ac(3,1)=idt*rr*msr; Ac(3,2)=0; Ac(3,3)=-idt*rr*ls; Ac(3,4)=wd-wm; Ac(4,1)=0; Ac(4,2)=Ac(3,1); Ac(4,3)=-Ac(3,4); Ac(4,4)=Ac(3,3); Bc(1,1)=1; Bc(1,2)=0; Bc(2,1)=0; Bc(2,2)=1; Bc(3,1)=0; Bc(3,2)=0; Bc(4,1)=0; Bc(4,2)=0; Cc(1,1)=idt*lr; %saida corrente estatorica Cc(1,2)=0; Cc(1,3)=-idt*msr; Cc(1,4)=0; Cc(2,1)=0; Cc(2,2)=Cc(1,1); Cc(2,3)=0; Cc(2,4)=Cc(1,3); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% MALHA DE SIMULACAO DO MOTOR while t= 2*pi, tete=tete-2*pi; end uk(1)=Vsm*cos(tete); uk(2)=Vsm*sin(tete); % calculo das matrizes F e H(w) Ps4 = h*(eye(4) + (h/2)*Ac + (h*h/6)*Ac*Ac +(h*h*h/24)*Ac*Ac*Ac); F4s = eye(4) + Ac*Ps4; H4s = Ps4*Bc; % %equacao de estado eletrica discreta fl1 = F4s*fl + H4s*uk; ce1 = amsr*(fl1(2)*fl1(3) - fl1(1)*fl1(4));


A3

% %equacao de estado mecanica discreta wm1 = Fw*wm + Hw*p*(ce+ce1)/2; % %armazenagem das variaveis de saida if t > tp, j=j+1; tp=tp+hp; is=Cc*fl1; sisd(j)=is(1); sisq(j)=is(2); st(j) = t; svd(j) = uk(1); svq(j) = uk(2); sfrd(j) = fl1(3); sfrq(j) = fl1(4); sfsd(j) = fl1(1); sfsq(j) = fl1(2); sce(j) = ce1; swm(j) = wm1; end % end

TRAB_DQ

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Transcript of TRAB_DQ