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Trabalho, Potência e Energia

Quando a matéria tem energia, ela pode ser usada para realizar trabalho. Um fluido pode ter

várias formas de energia. Por exemplo: em um jato - energia cinética, em uma represa - energia

potencial, vapor aquecido – energia térmica. Trabalho é força atuando ao longo de uma

distância, quando a força é paralela à direção do movimento.

Trabalho é realizado quando o dedo pressiona a alavanca e esta se move.

Trabalho é realizado quando o pistão exerce uma força de pressão no líquido ao longo de uma

distância.

Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

Trabalho = força x distância


Outro exemplo de execução de trabalho: O vento exerce uma força nas pás, esta força produz

um torque e o trabalho é dado por:


Trabalho = Torque x velocidade angular


Uma turbina é uma máquina usada para extrair energia de um fluido em movimento:

Além da máquina do slide anterior temos outros tipos de turbina:


Turbinas Kaplan

Usada para baixas alturas de carga e altas vazões de água. A água entra radialmente no compartimento do rotor por todos

os lados, mudando a direção para o fluxo axial. Isto causa uma força de reação que movimenta a turbina.



É usada para baixas e médias alturas de carga. Consiste de um anel externo com pás estacionárias fixas e um anel

interno com as pás que giram formando o rotor. As pás fixas controlam o fluxo de água para o rotor. A água escoa

radialmente para dentro da turbina e muda de direção enquanto passa pelo rotor. Quando passa pelas pás do rotor a

água perde pressão e velocidade . Isto causa uma força de reação que gira a turbina.

Turbina Francis



As rodas Pelton são as preferidas quando a fonte de água tem grande altura de carga e baixa vazão. Consta de um ou

mais jatos descarregando dentro de pequenas bacias colocadas no perímetro do rotor. Usam a velocidade da água e

por este motivo são chamadas de turbinas de impulso. As turbinas Kaplan e Francis são turbinas de reação.

Turbinas Pelton



Por outro lado, uma bomba é um dispositivo que fornece energia ao escoamento.

Bomba de diafragma:

Ar é direcionado para a parte inferior do cilindro, levantando o pistão

e junto o diafragma. Quando o diafragma sobe, a válvula de retenção

no lado da entrada é aberta e o líquido flui para o interior da bomba.

Quando o pistão chega ao topo a cavidade da bomba é preenchida e a

bomba está pronta para a descarga.

Ar comprimido é então forçado para a parte superior da câmara do

diafragma., empurrando o diafragma para baixo e evacuando a cavidade

da bomba. Durante este movimento a válvula de retenção do lado da

saída é aberta e a bomba está pronta para outro ciclo.




Bomba centrífuga




Bomba de engrenagens



Trabalho e energia têm as mesmas dimensões primárias, e mesmas unidades.

Potência, que expressa uma taxa de trabalho ou energia, é definida por:

Se considerarmos a quantidade de trabalho obtida pelo produto da força pelo deslocamento, temos:

Onde V é a velocidade do corpo em movimento.

Quando um eixo gira, a quantidade de trabalho é obtida pelo produto do torque pelo deslocamento angular:

Onde w é a velocidade angular.

Uma lâmpada de 60W utiliza 60 J/s de energia elétrica.

Um atleta bem condicionado pode manter uma potência de cerca de 300W = 0,4 hp por uma hora.

Um fusca 1970 tem um motor que alcança 50 hp.

Wt

W

tempo

trabalhoP

t

0lim

FVt

xF

tempo

trabalhoP

t

0lim

Twt

T

tempo

trabalhoP

t

0lim

Equação da Energia


A equação da Energia para um sistema é:

Também conhecida por Primeira Lei da Termodinâmica ou Lei da Conservação de Energia. E diz o seguinte:

A energia térmica é positiva quando é adicionada ao sistema (Calor que entra no sistema) e é negativa quando é

removida do sistema (Calor que sai do sistema). Já o trabalho é positivo quando é executado pelo sistema na

vizinhança e negativo quando trabalho é feito sobre o sistema.

dt

dEWQ

Taxa líquida de

energia térmica

que entra no

sistema

Taxa líquida em que

o sistema executa

trabalho na

vizinhança

Taxa de variação

da energia interna

do sistema



Para aplicar a equação da conservação de energia a um Volume de Controle, utilizamos o Teorema do Transporte de

Reynolds. Considerando a propriedade extensiva N como sendo a Energia (N = E) e a propriedade intensiva

= E/m = e, obtemos:

e = (energia cinética + energia potencial + energia interna) / (por unidade de massa).

( 1 )

SCVC

AdVededt

dWQ

ugzV

ueee pc 2

2

SCVC

AdVugzV

dugzV

dt

dWQ

22

22

VC SCsistema

AdVdtdt

dN

Guardaremos a equação anterior ( I ) e faremos agora algumas considerações sobre trabalho.

TRABALHO DE EIXO E TRABALHO DE ESCOAMENTO:

O trabalho é classificado nestas duas categorias. Como sabemos, trabalho envolve força atuando ao longo de uma

distância. Quando esta força está associada a distribuição de pressão então trata-se de trabalho de escoamento. Por

outro lado, trabalho de eixo é qualquer trabalho que não está associado a distribuição de pressão. Este segundo tipo

é normalmente realizado por (ou sobre) um eixo e é comumente associado a uma bomba ou turbina. Segundo a

convenção de sinais, trabalho da bomba é negativo e trabalho da turbina é positivo, então:



btbombaturbinaeixo WWWWW




Devemos ter sempre em mente que trabalho é força vezes distância. Na figura abaixo, na seção 2, o fluido que está

dentro do Volume de Controle irá empurrar o fluido que se encontra fora do VC, na direção do escoamento. A

magnitude da força é P2A2. Durante um intervalo de tempo t, o deslocamento do fluido na seção 2 será:

x2 =V2t. Então, o trabalho realizado será:

Este trabalho, na seção 2, é positivo porque o fluido dentro do VC está realizando trabalho na vizinhança. Da mesma

forma, na seção 1:

tVAPxFW 222222

2

222

2222

02 lim

PmVA

PVAP

t

WW

t

1

1

PmW



.


O trabalho de escoamento líquido para a situação da figura é dado por:

Generalizando para uma superfície de controle qualquer:

E, finalmente:

12

12

Pm

PmWWWescoamento

AdVP

WSC

escoamento

eixo

SC

eixoescoamento WAdVP

WWW



Recuperando a equação ( I ):

Sabendo que (u + p/) corresponde à propriedade do fluido denominada entalpia específica (h), chegamos à forma

integral da equação da conservação de energia, aplicada a um volume de controle.

eixo

SC

eixoescoamento WAdVP

WWW

SCVC

AdVugzV

dugzV

dt

dWQ

22

22

SCVCSC

eixo AdVugzV

dugzV

dt

dAdV

PWQ

22

22

SCVC

eixo AdVP

ugzV

dugzV

dt

dWQ

22

22

SCVC

eixo AdVhgzV

dugzV

dt

dWQ

22

22

Equação da Energia (Escoamento em tubos)


Partindo da forma integral da equação da conservação de energia, considerando:

a) Escoamento permanente;

b) Tubulação com uma entrada e uma saída;

c) Fluido incompressível.

(dividindo por )

Os fatores que envolvem energia térmica são agrupados em um termo que representa as perdas por atrito. hL.

O trabalho de eixo, proporcionado por bomba e turbina contribuem para o fornecimento para as alturas de carga, hT

e hB. No caso da figura, hT = 0, pois não há turbina.

SCVC

eixo AdVP

ugzV

dugzV

dt

dWQ

22

22

12

1212

2

1

2

2

22

PPmuumzzgm

VVmWWQ BT

gm

Quumhhz

g

VPz

g

VPTB

12

2

2

221

2

11

22

gm

LTB hhhzg

VPz

g

VP

2

2

221

2

11

22



Os termos desta equação representam uma Altura de carga (head), têm dimensão primária de comprimento, e

representam um conceito de energia.

Altura de carga = (Energia ou trabalho) / (mg)

LTB hhhzg

VPz

g

VP

2

2

221

2

11

22



LTB hhhzg

VPz

g

VP

2

2

221

2

11

22

Diferença de energia

mecânica entre as

seções 1 e 2

Altura de carga

fornecida por

bombas

Altura de carga

extraída por

turbinas

Perdas de carga

devido aos efeitos

viscosos

São introduzidas duas constantes 1 e 2 na equação da energia. São os fatores de correção da energia cinética.

Na figura abaixo, energia cinética é transportada através da SC nas seções 1 e 2. Para chegarmos a uma equação

para esta energia cinética, comecemos pela vazão em massa:

Para converter esta integral em taxa de energia cinética multipliquemos por (V2/2).

O fator de correção da energia cinética é dado por:

(Energia cinética real) / (unidade de tempo)

=

(Energia cinética) / (tempo) {considerando uma distribuição uniforme de velocidades}



LTB hhhzg

VPz

g

VP

2

2

22

21

2

11

1

22

A

VdAVAm

AA

c

dAVdA

VVE

22

32

2

23

3

AV

dAV

A

Se a densidade do fluido for constante:

Quando o perfil de velocidades é uniformemente distribuído, = 1.

Quando o escoamento é laminar, o perfil de velocidades é parabólico e = 2.

Quando o escoamento é turbulento o perfil de velocidades é achatado e

1 (na prática =1).



LTB hhhzg

VPz

g

VP

2

2

22

21

2

11

1

22

2

23

3

AV

dAV

A

dAV

V

A A

31


Equação da Energia (Escoamento em tubos)RELEMBRANDO O CÁLCULO DA MÉDIA DE UMA FUNÇÃO

CONTÍNUA:

Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos deigual amplitude Δ:

Para cada um destes subintervalos tomamos ovalor da função (X1, X2,...Xn) em seus pontosmédios (t1, t2...tn).

A área de cada coluna de altura Xj é (Xj x Δ). E asoma de todas as áreas dá um valor aproximadoda área abaixo da curva:

n

ab

dttXXb

a

n

j

j 1

dttXXn

ab b

a

n

j

j

1

dttXab

Xn

b

a

n

j

j

11

1

Média das n observações.

Então, a velocidade média em uma seção de área A é dada por:

A

VdAA

V1


Equação da Energia (Escoamento em tubos)CÁLCULO DO COEFICIENTE DE CORREÇÃO DA ENERGIA

CINÉTICA PARA ESCOAMENTO LAMINAR:

A distribuição de velocidades para escoamento laminar em um tubo

circular é dada por:

Velocidade média:

Ou seja, para escoamento laminar em um tubo circular a velocidade

média é a metade da velocidade na linha central (máxima).

2

0

2

1r

rVV MAX

242

2

42

2

21

2

2111

2

0

2

0

2

00

2

0

42

2

0

0 2

0

3

2

00 2

0

2

2

0

0 2

0

2

2

0

0

00

0

MAXMAX

r

MAX

rMAX

rMAX

r

MAXA

Vrr

r

V

r

rr

r

VV

drr

rr

r

Vrdr

r

r

r

VV

rdrr

rV

rVdA

AV

dAV

V

A A

31


Equação da Energia (Escoamento em tubos)CÁLCULO DO COEFICIENTE DE CORREÇÃO DA ENERGIA

CINÉTICA PARA ESCOAMENTO LAMINAR:

A distribuição de velocidades para escoamento laminar em um tubo

circular é dada por:

Cálculo do fator de correção:

Para resolver a integral, adota-se a troca de variáveis:

(e também dos limites de integração: u = 1 p/ r = 0

e u = 0 p/ r = r0)

2

0

2

1r

rVV MAX

0

0

0

0

3

2

0

2

2

0

0

3

2

0

2

32

0

0

3

32

0

3

116

212

1

211

r

r

MAX

MAX

r

A

rdrr

r

r

rdrr

rV

Vr

rdrVVr

dAV

V

A

2

0

2

1r

ru

24

18

48

82

16

1

0

4

1

0

30

1

32

0

2

0

u

duuduur

r

dA

V

V

A A

31

drr

rdu

2

0

2

Potência


LTB hhhzg

VPz

g

VP

2

2

22

21

2

11

1

22

A altura de carga da bomba (e da turbina) na equação da energia é definida como sendo a razão entre a taxa de

trabalho sendo realizada e a vazão em massa multiplicada por g:

Então:

Bombas (ou turbinas) não transmitem (ou absorvem) toda energia ao (do) escoamento devido a atrito mecânico,

dissipação viscosa e vazamentos. Estas perdas são contabilizadas no cálculo da eficiência, η, que é definida pela razão

entre a potência de saída do dispositivo e a potência que lhe foi fornecida:

Onde o termo no numerador corresponde à potencia fornecida pela bomba ao escoamento, e o termo no

denominador é a potência que foi fornecida à bomba (normalmente por meio de um eixo ligado a um motor).

gm

Wh B

B

gm

Wh T

T

BBBB QhVAhghmW TTTT QhVAhghmW

entrada

B

entrada

saidaB

W

W

P

P

Potência


EXEMPLO:

Um tubo de diâmetro constante de 50 cm transporta água (10º C) a uma vazão de 0,5 m3/s. Uma bomba é usada

para elevar a água de uma posição de 30m para 40m. A pressão na seção 1 é 70 kPa manométrica e a pressão na

seção 2 é de 350 kPa também manométrica. Que potência deve ser fornecida ao escoamento pela bomba? Assuma

que hL = 3 m de água e que α1 = α2 = 1.

V1 =V2

hT = 0 (não há turbina no sistema)

A altura de carga fornecida pela bomba compensa o aumento da carga de pressão, o aumento na elevação e as

perdas na tubulação.

LTB hhhzg

VPz

g

VP

2

2

22

21

2

11

1

22

mh

hzzPP

h

B

LB

5,41330409810

70000350000

1212

BBBB QhVAhghmW

kWQhW BB 2045,415,09810

Potência


EXEMPLO:

Na taxa máxima de geração de eletricidade, uma pequena central hidrelétrica apresenta uma vazão de 14,1 m3/s.,

para uma diferença de cota de 61 m. A perda de carga através da entrada, tubulação e saída totaliza 1,5 m. A

eficiência combinada da turbina e do gerador é de 87%. Qual é a potência elétrica que está sendo gerada?

V1 =V2 = 0

P1 = P2 = 0

hB = 0 (não há bomba no sistema)

A altura de carga fornecida à turbina é igual à diferença de elevação da barragem menos a altura correspondente às

perdas viscosas.

Potência fornecida à turbina (Potência de entrada):

Potência elétrica gerada:

LTB hhhzg

VPz

g

VP

2

2

22

21

2

11

1

22

mh

hzh

T

LT

5,595,161

1

MWms

m

m

NQhP Tentrada 23,85,591,149810

3

3

MWPP entradasaída 16,723,887,0

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