UNIVERSIDADE FEDERAL DE SO CARLOS UFSCar CENTRO DE CINCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA CCET CURSO DE GRADUAO EM ENGENHARIA FSICA

TRABALHO DE FINAL DE CURSO - TFC

"MODELAGEM E SIMULAO DE MANCAIS HIDRODINMICOS RADIAIS"

AUTOR: FBIO XAVIER DE MELO

ORIENTADOR: PROF. DR. FLVIO YUKIO WATANABE

SO CARLOS / 2010

RESUMOUma das principais preocupaes da engenharia moderna construir mquinas precisas, confiveis, eficientes, capazes de trabalharem acima das condies limites tradicionais. Nas mquinas rotativas, os limites de operao e desempenho so estabelecidos por problemas de instabilidade e nveis elevados de vibrao, resultantes do comportamento dinmico de seus componentes rotativos, estruturais e dos mancais. Mancais so dispositivos responsveis pela ligao entre a parte mvel e a estrutura fixa de uma mquina rotativa. As caractersticas dinmicas de um sistema rotor-mancais so fortemente influenciadas pelas caractersticas dos mancais, uma vez que a rigidez do sistema completo determinada pela rigidez dos mancais atuando em srie com a rigidez do rotor e, alm disso, o amortecimento do sistema em grande parte devido aos mancais. Existem diversos tipos de mancais, porm, neste trabalho foi realizado um estudo dos Mancais Hidrodinmicos Radiais (MHR) devido a sua grande aplicabilidade como elemento de mquina. De maneira simplificada um MHR pode ser descrito como sendo um conjunto mecnico formado por um eixo e uma bucha, no qual, o dimetro do eixo muito prximo ao dimetro interno da bucha de tal modo que, quando montados, a folga existente entre estes dois elementos seja muito pequena e acomode um filme de leo lubrificante que impea o contato direto entre as parte durante sua operao, situao em que se atinge o regime de lubrificao hidrodinmica. O filme de leo o responsvel pela sustentao da carga imposta ao mancal, e este fenmeno possvel devido gerao de um campo de presso no leo, resultante do movimento do rotor e das caractersticas geomtricas de construo do mancal. Para a construo do modelo matemtico do MHR parte-se de uma representao geomtrica do sistema mecnico formado pela bucha, rotor e filme de fluido lubrificante, atravs da qual foi possvel determinar parmetros importantes como excentricidade radial, velocidade perifrica do rotor e espessura do filme de fluido. Aplicando-se a lei de conservao de massa e a segunda lei de Newton a um elemento infinitesimal do fluido lubrificante, obteve-se a equao da continuidade e as equaes de Navier-Stokes, que descrevem o comportamento do fluido lubrificante existente na folga entre o rotor e a bucha do mancal. A partir destas equaes e considerando-se o lubrificante um fluido newtoniano, isoviscoso e incompressvel, derivou-se a equao de Reynolds. A soluo analtica da equao de Reynolds s pode ser atingida considerando-se vrias hipteses simplificadoras que tornam possvel a obteno de solues clssicas para dois casos especiais de mancais, os curtos (soluo de Ocvirk), e os infinitamente longos (soluo de Sommerfeld). Para a obteno de uma soluo numrica da equao de Reynolds empregou-se o mtodo das diferenas finitas. Os resultados obtidos englobam o campo de presso no fluido, a capacidade de carga do mancal, o atrito rotor/mancal, o coeficiente de atrito e o ngulo de atitude do mancal, parmetros estes que so importantes para o projeto de mquinas rotativas.

SUMRIO

1. Tribologia e Mancais 1.1 Tribologia 1.2 Tipos de Mancais

1 1 2

2. Caractersticas Geomtricas e Condies de Operao de Mancais Hidrodinmicos Radiais 2.1 Excentricidade Radial do Rotor 2.2 Folga Radial ou Espessura do Filme de Fluido Lubrificante 2.3 Velocidade Perifrica do Rotor 7 9 12 16

3. Fundamentos de Mecnica dos Fluidos 3.1 Conservao de Massa 3.2 Conservao da Quantidade de Movimento 3.3 A Equao de Reynolds para MHR

20 23 26 33

4. A Soluo da Equao de Reynolds 4.1 Condies de Contorno 4.2 Soluo para Mancais Infinitamente Longos 4.2.1 4.2.2 4.2.3 Presso no Filme de leo em Mancais Infinitamente Longos Soluo de Sommerfeld para Mancais Infinitamente Longos Soluo de Gmbel para Mancais Infinitamente Longos

50 50 52 53 58 79 87 89 90 102 i

4.3 Soluo para Mancais Curtos 4.3.1 4.3.2 Presso no filme de leo em Mancais Curtos Soluo de Gmbel para Mancais Curtos

4.4 Soluo numrica

4.4.1 4.4.2

O Mtodo das Diferenas Finitas - MDF Implementao do Programa Computacional para Soluo Numrica

102

106

5. Resultados

108

Concluses

119

Referncias

121

ii

LISTA DE FIGURAS1.1 Componentes da carga atuante em um rotor 1.2 Mancal plano de encosto 1.3 Mancal Hidrodinmico Radial 1.4 Mancal de rolamento de esferas 1.5 Mancal hidrosttico 2.1 Caractersticas geomtricas do Mancal Hidrodinmico Radial 2.2 Superfcie planificada do mancal 2.3 O rotor e as pequenas perturbaes 2.4 Folga radial ou espessura do filme lubrificante 2.5 Velocidade perifrica do rotor 3.1 Escoamento entre duas placas planas paralelas 3.2 Volume de controle infinitesimal 3.3 Tenses que agem sobre um elemento de fluido 3.4 Balano de foras 3.5 Vista planificada do mancal 3.6 Acelerao de uma partcula de fluido 3.7 Escoamento entre duas superfcies em movimento relativo 3.8 Componentes da velocidade do rotor 3.9 Distribuio de presso 3.10 Efeito de cunha 3.11 Esmagamento do filme de leo lubrificanteiii

2 3 4 4 5 7 8 9 13 16 21 23 28 28 33 39 41 47 48 48 49

4.1 Condies de contorno para equao de Reynolds

51

4.2 Distribuio de presso em um mancal infinitamente longo pelas condies de contorno de Sommerfeld 4.3 Componentes das foras atuantes no mancal 4.4 Posio do centro do eixo 4.5 Fora no filme de leo sob as condies de contorno de Gmbel 4.6 Mancal curto 4.7 Malha para aplicao do MDF 4.8 Fluxograma do programa implementado 5.1 Distribuio - Modelo do Mancal Curto 5.2 Distribuio de presso MIL - Soluo de Gmbel 5.3 Distribuio de presso MIL - Soluo de Sommerfeld 5.4 Distribuio de presso Soluo Numrica 5.5 Capacidade de carga adimensional em funo de Gmbel 5.6 Capacidade de carga adimensional em funo de 5.7 Capacidade de carga adimensional em funo de 5.8 Comparao entre os modelos 5.9 Variao da espessura do filme 5.10 Fora de atrito [adim] em funo de 5.11 Coeficiente de atrito em funo de 5.12 Fora de atrito [adim] em funo de 5.13 Coeficiente de atrito em funo de 5.14 Fora de atrito [adim] em funo de MIL - Sommerfeld MIL - Sommerfeld MIL - Gmbel MIL - Gmbel Mancal Curtoiv

63 66 74 81 87 104 107 109 109 110 111 111 112 113 113 114 115 115 116 117 117

Sommerfeld MC

5.15 Coeficiente de atrito em funo de

Mancal Curto

118

v

LISTA DE TABELAS2.1Principais parmetros geomtricos dos mancais hidrodinmicos radiais 5.1 Propriedades e Unidades 8 108

vi

NOMENCLATURAfolga radial nominal do mancal dimetro do rotor dimetro do mancal excentricidade excentricidade esttica excentricidade na direo excentricidade na direo coeficiente de atrito fora de atrito componentes de foras de campo na direo componentes de foras de campo na direes componentes de foras de campo na direes espessura do filme de leo lubrificante largura do mancal presso no filme de fluido lubrificante raio do rotor raio do mancal nmero de Reynolds nmero de Sommerfeld componente da velocidade do fluido na direo componente da velocidade do fluido na direo velocidade no centro do rotor velocidade perifrica do rotor eixos do sistema de coordenadas cartesianas local eixos do sistema de coordenadas cartesianas inercial componente da velocidade do fluido na direo capacidade de cargavii

componente da capacidade de carga na direo componente da capacidade de carga na direo

massa especfica do fluido lubrificante viscosidade do absoluta viscosidade cinemtica coordenada auxiliar com origem no eixo razo de excentricidade coordenada angular auxiliar ngulo de atitude ngulo de atitude esttico excentricidade dinmica ngulo de atitude dinmico velocidade angular

viii

1

CAPTULO 1 TRIBOLOGIA E MANCAIS1.1 TRIBOLOGIAA tribologia definida como a cincia e a tecnologia da interao entre superfcies com movimento relativo e dos assuntos relacionados lubrificao, atrito e desgaste. Quando duas superfcies slidas interagem ocorre a dissipao de energia, na forma de calor e rudo, devida a resistncia ao movimento relativo entre elas. Durante o processo de escorregamento relativo, as superfcies tm as suas caractersticas bsicas modificadas podendo tornar-se mais lisas, rugosas, apresentarem alteraes de propriedades fsicas como a dureza, alm de sofrerem perda de massa por desgaste. Algumas destas mudanas podem ser benficas, por exemplo, no caso de amaciamento de mquinas para produzir condies de operao prximas s ideais. Porm, em outros casos essas modificaes sofridas podem ser desastrosas quando ocasionam falha da superfcie (com perda da funo tcnica), implicando na substituio da pea. Um dos elementos de mquinas que esto bastante propensos a estas modificaes citadas so os mancais. Mancais so dispositivos responsveis pela ligao entre a parte mvel e a estrutura fixa de uma mquina rotativa. De maneira mais geral, sempre que duas partes tm movimento relativo, elas constituem um mancal por definio, sem levar em conta sua forma ou configurao (HARNOY, 2003). O principal objetivo no projeto de um mancal aumentar a sua vida til nas mquinas, atravs da reduo do atrito, perda de energia e desgaste durante sua operao, e com isso evitar a paralisao das mquinas e os gastos com manuteno. A escolha do tipo de mancal apropriado para uma determinada aplicao essencial para o seu correto funcionamento como elemento de mquina, e este cuidado fundamental durante o projeto. A maior parte do trabalho de manuteno nas mquinas devido lubrificao dos mancais e tambm a substituio daqueles que esto danificados ou gastos devido ao uso. Ou seja, a escolha

2

adequada do mancal para a aplicao no projeto reduz o risco de falhas precoces devido ao desgaste ou fadiga, assegurando uma vida til maior ao mancal (HARNOY, 2003).

1.2 TIPOS DE MANCAISDe acordo com o tipo carregamento aplicado nos rotores das mquinas, os mancais podem ser classificados em radiais ou axiais. Mancais radiais suportam cargas impostas na direo radial dos rotores, j os mancais axiais ou de encosto suportam cargas impostas na direo axial dos rotores. Toda fora imposta aos rotores so suportadas pelos mancais, constituindo-se no que denominado de capacidade de carga dos mancais. A Figura 1.1 ilustra como a carga imposta a um rotor (eixo) de uma mquina pode decomposta em duas componentes, uma na direo axial, direo radial, .,

e outra na

Figura 1.1 Componentes da carga atuante em um rotor.

Quanto forma construtiva e o princpio de funcionamento, os mancais podem ser classificados em dois tipos principais: os de rolamentos, e os de deslizamento. Os mancais de rolamento podem ser de esfricos, de rolos ou de

3

agulhas. Os mancais de deslizamento podem ser planos (Figura 1.2) ou radiais (Figura 1.3). A seguir ser feita uma breve descrio dos principais tipos de mancais.

Figura 1.2 Mancal plano de encosto. Fonte: adaptada de Shigleys (2006).

a. MANCAIS HIDRODINMICOS RADIAISDe maneira simplificada um mancal hidrodinmico radial pode ser descrito como sendo um conjunto mecnico formado por um eixo e uma bucha, no qual, o dimetro do eixo muito prximo ao dimetro interno da bucha de tal modo que, quando montados, a folga existente entre estes dois elementos seja muito pequena e acomode um filme de leo lubrificante que impea o contato direto entre as parte durante sua operao, situao em que se atinge o regime de lubrificao hidrodinmica. O filme de leo o responsvel pela sustentao da carga imposta ao mancal, e este fenmeno possvel devido gerao de um campo de presso no leo, resultante do movimento do rotor e das caractersticas geomtricas de construo do mancal (HARNOY, 2003).

4

Figura 1.3 Mancal Hidrodinmico Radial. Fonte: adaptada de Harnoy (2003).

b. MANCAIS DE ROLAMENTOOs mancais de rolamento so mancais em que a carga principal transferida por meio de elementos em contato por rolamento em vez de deslizamento. Em um mancal de rolamento o atrito esttico aproximadamente o dobro do atrito dinmico, mas ainda desprezvel comparado ao atrito esttico de um mancal de deslizamento. Os mancais de rolamento so fabricados para suportarem cargas radiais, axiais ou uma combinao de ambas. Quanto ao tipo podem ser esfricos, de agulha, de rolos cilndricos ou cnicos. A Figura 1.4 apresenta um mancal de rolamento de esferas (HARNOY, 2003).

Figura 1.4 Mancal de rolamento de esferas.Fonte: SKF.

5

c. MANCAIS HIDROSTTICOSSo mancais nos quais o leo lubrificante injetado com auxilio de uma bomba o que garante que o eixo no tenha contato com a bucha do mancal mesmo antes do inicio da operao, evitando-se assim o desgaste comum no incio da operao dos mancais hidrodinmicos. A Figura 1.5 a seguir apresenta o sistema necessrio para operao de um mancal hidrosttico. Em comparao com os mancais hidrodinmicos, os hidrostticos possuem um custo maior de operao devido ao uso de equipamentos auxiliares. Em algumas aplicaes a lubrificao hidrosttica associada a hidrodinmica, neste caso, inicialmente injeta leo no mancal promovendo a separao do rotor e da bucha, conforme a velocidade de operao vai aumentando o mancal atinge o regime hidrodinmico e no mais necessrio a injeo de leo (HARNOY, 2003).

Figura 1.5 Mancal hidrosttico. Fonte: adaptada de Harnoy (2003).

Conforme ilustrado, existem diversos tipos de mancais, porm, neste trabalho ser realizado um estudo analtico e numrico dos Mancais Hidrodinmicos Radiais (MHR) muito utilizado em grandes mquinas rotativas como turbinas e geradores. Em muitas situaes os projetistas optam pela utilizao de mancais de rolamento simplesmente pela facilidade com que estes so encontrados nos catlogos dos fabricantes. No entanto, para o correto projeto de mquinas este no deve ser o critrio adotado. O correto realizar um estudo detalhado sobre as vantagens e desvantagens da utilizao dos diversos tipos de mancais existentes e escolher aquele que melhor se adeque a aplicao desejada.

6

A correta seleo de um mancal tem implicao direta no tempo de vida til dos equipamentos e na preveno de falhas durante a operao das mquinas. Em algumas ocasies as falhas podem ocasionar prejuzo econmico, j em outras aplicaes como, por exemplo, na aviao, as conseqncias podem ser mais devastadoras resultando na perda de vidas (HARNOY, 2003).

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CAPTULO 2 CARACTERSTICAS GEOMTRICAS E CONDIES DE OPERAO DE MANCAIS HIDRODINMICOS RADIAIS

As principais caractersticas geomtricas do mancal hidrodinmico radial que ser modelado neste trabalho esto representadas na figura 2.1. Adotaremos um sistema inercial de coordenadas cartesianas com origem no ponto , centro do

mancal. Assume-se que o rotor, com centro em , gira em torno do seu prprio eixo no sentido anti-horrio com velocidade angular constante na direo , e que est carregado

, no sentido positivo do eixo, por uma fora externa de magnitude , definida pela distncia

constante resultando em uma excentricidade radial,

entre os centros do mancal e do rotor (WATANABE, 2003).

Figura 2.1 Caractersticas geomtricas do Mancal Hidrodinmico Radial.Fonte: adaptada de Harnoy (2003).

A nomenclatura utilizada para descrever a parmetros geomtricos utilizados na construo do modelo dada na Tabela 2.1.

8

Tabela 2.1 Principais parmetros geomtricos dos mancais hidrodinmicos radiais

Principais parmetros da geometria do MHRRaio do mancal Dimetro do mancal Raio do rotor Dimetro do rotor Folga radial nominal do mancal Largura do mancal

Um sistema local de coordenadas cartesianas planificada do mancal, conforme mostrado na figura abaixo.

adotado na superfcie

ysuperfcie do rotor

x

Figura 2.2 Superfcie planificada do mancal. Fonte: Watanabe (2003).

Durante o funcionamento do mancal, o eixo do rotor apresenta um desalinhamento radial e angular em relao ao eixo do mancal, entretanto, neste trabalho somente a contribuio radial do desalinhamento do rotor ser considerada. O mtodo das pequenas perturbaes no qual se assume que o rotor oscila harmonicamente com pequenas amplitudes, em torno da posio de equilbrio esttico descentrada, quando aplicado a este problema possibilita a obteno de expresses matemticas que descrevem a excentricidade radial, a folga radial ou espessura do filme lubrificante do mancal e a velocidade perifrica do rotor, utilizados na modelagem matemtica do mancal.

9

2.1. EXCENTRICIDADE RADIAL DO ROTORNum determinado instante de tempo, a posio instantnea descentrada do centro do rotor, com relao ao centro do mancal (origem do sistema de , e pelo ngulo de atitude ;

coordenadas XYZ) definida pela excentricidade representados de forma ampliada na Figura 2.3.

Figura 2.3 O rotor e as pequenas perturbaes.Fonte: Watanabe (2003).

No equilbrio esttico a posio descentrada fica definida pela excentricidade esttica e pelo ngulo de atitude esttico . Assumi-se que em torno desta

posio de equilbrio esttico o rotor encontra-se sujeito a perturbaes harmnicas de pequenas amplitudes definidas pela excentricidade dinmica atitude dinmico , ou seja: e pelo ngulo de

(2.1)

(2.2)

Decompondo-se a excentricidade em suas componentes ortogonais

e

, temos:

10

(2.3)

(2.4)

Da suposio de pequenas oscilaes em torno da posio de equilibrio esttico, tem-se: e

Substituindo nas equaes (2.3) e (2.4) as expresses de

e

dadas pelas e

equaes (2.1) e (2.2), e desprezando-se os termos de segunda ordem em obtm-se:

(2.5) Analogamente para componente :

(2.6) As componentes dinmicas e , por serem harmnicas, podem ser

descritas pela parte real de funes exponenciais complexas, ou seja:

(2.7)

(2.8)

11

Onde, e

e

so as amplitudes das funes harmnicas

e

respectivamente,

a freqncia da perturbao. Substituindo nas equaes (2.5) e (2.6) as

expresses dadas pelas equaes (2.7) e (2.8), encontraremos as seguintes expresses para as componentes cartesianas da excentricidade:

(2.9)

(2.10)

Onde:

Em algumas situaes durante a modelagem ser mais conveniente trabalhar com grandezas adimensionais, pelo fato de a adimensionalizao ser extremamente til em anlises comparativas de parmetros caractersticos de mancais com diferentes dimenses e condies de operao (WATANABE, 2003). Neste

instante, defini-se a grandeza adimensional denominada razo de excentricidade , e o parmetro . Sendo que dado por

Com estas novas definies podemos reescrever as equaes (2.1), (2.2), (2.9) e (2.10) resultando nas seguintes equaes para razo de excentricidade e ngulo de atitude dinmico:

12

(2.11)

(2.12)

e nas seguintes equaes para as componentes cartesianas da razo de excentricidade:

(2.13)

(2.14)

Conforme

for

surgindo

necessidade,

novas

adimensionalizaes

sero

empregadas na modelagem do mancal hidrodinmico radial.

2.2. FOLGA RADIAL OU ESPESSURA DO FILME DE FLUIDO LUBRIFICANTEAnteriormente foram determinadas expresses matemticas para

excentricidade do rotor, o prximo passo ser encontrar uma expresso matemtica para folga radial ou espessura do filme de fluido lubrificante . A folga radial definida na direo perpendicular a superfcie do mancal e

expressa em funo da posio do rotor caracterizada pela excentricidade , pelo ngulo de atitude e pela folga radial nominal . pode ser determinada analisando-se o tringulo presente na Figura 2.4.

A equao da folga radial com vrtices nos pontos , e

13

O e J (R-h) r P Qh

Y

hmin

X

Figura 2.4 Folga radial ou espessura do filme lubrificante. Fonte: Watanabe (2003).

Aplicando-se a lei dos cossenos as triangulo

temos:

(2.15)

Sendo que: (2.16)

Substituindo a expresso dada pela equao (2.16) na equao (2.15) tem-se:

Na prtica os parmetros ,

e

so da ordem de

, muito pequenos

comparados com as dimenses usuais de projeto dos mancais hidrodinmicos radiais que possuem raios da ordem de a , portanto, os termos de ordem

14

superior a 1 e termos onde aparecem produtos destas grandezas podem ser desprezados. Logo tem-se:

(2.17)

Analisando-se a Figura 2.4 verifica-se que:

(2.18)

Substituindo-se a expresso dada pela equao (2.18) na equao (2.17) obtm-se:

(2.19)

Definindo-se: , tem-se:

Com isso, a equao (2.19) pode ser reescrita como segue:

(2.20)

Lembrando-se que a excentricidade e o ngulo de atitude so expressos, respectivamente, pelas equaes (2.1) e (2.2), e, definindo-se uma nova coordenada angular , da seguinte forma:

(2.21)

De modo que:

(2.22)

15

possvel ento reescrever a expresso para folga radial, equao (2.20), acrescentando estas informaes. Tem-se ento:

Como o problema est sendo modelado supondo-se pequenas perturbaes do rotor em torno da posio de equilbrio podemos assumir que:

Como as perturbaes so pequenas os termos de segunda ordem podem ser desprezados. Resultando em:

(2.23)

Sendo que:

(2.24)

possvel expressar a folga radial na forma adimensional, basta dividir a equao (2.23), por , ou seja, pela folga radial nominal.

(2.25)

Substituindo-se as expresses dadas pelas equaes (2.7) e (2.8) na equao (2.25) podemos expressar a folga radial adimensional pela equao apresentada a seguir:

16

(2.26)

2.3. VELOCIDADE PERIFRICA DO ROTORA determinao da velocidade perifrica do rotor se faz necessria devido ao fato de que atravs dela que se consegue incluir na modelagem matemtica do mancal efeitos hidrodinmicos e de esmagamento do filme de fluido lubrificante. Estes efeitos sero tratados com maior riqueza de detalhes no captulo que discute a teoria da lubrificao hidrodinmica. Um ponto genrico localizado na superfcie do rotor pode ter sua velocidade do centro do rotor, que do rotor em

determinada somando-se vetorialmente velocidade

decorre das pequenas perturbaes, com a velocidade tangencial torno do centro .

O e Je

evJ r

r P Q

Y

j

i

hmin j

-

k

i

X

Figura 2.5 Velocidade perifrica do rotor. Fonte: Watanabe (2003). Da anlise da Figura 2.5 verifica-se facilmente que a velocidade no ponto dada por:

(2.27)

17

Na qual a velocidade no ponto central do rotor dada por:

(2.28)

Os versores

e

podem ser escritos em termos dos versores cartesianos:

(2.29) (2.30)

Analisando-se a Figura 2.5 as seguintes relaes so facilmente obtidas:

Portanto:

Resultando nas seguintes relaes:

Que quando inseridas na equao (2.29) resultam em:

Como o problema est sendo modelado supondo pequenas perturbaes do rotor em torno da posio de equilbrio , podemos afirmar que pequeno o

suficiente para aproximar o valor do seno ao seu argumento, Resultando em:

, e do cosseno a 1.

(2.31)

18

De maneira anloga determina-se a equao para o outro versor:

(2.32)

Agora, possvel expressar versores

, dada pela equao (2.28), em termos dor

e , substituindo-se as expresses dadas pelas equaes (2.31) e (2.32)

na equao (2.28).

Desprezando-se os termos de segunda ordem, e lembrado-se que obtm-se:

,

(2.33)

Substituindo-se a expresso dada pela equao (2.33) na equao (2.27) possvel escrever a velocidade no ponto , situado na superfcie do rotor, em coordenadas cartesianas, conforme apresentado a seguir:

(2.34) Conforme deduzido anteriormente, a expresso para a folga radial do mancal, , dada pela equao (2.23), tomando-se a derivada de obtm-se: , em relao ao tempo,

(2.35)

19

Derivando-se a equao (2.35) em relao , tem-se:

(2.36) Comparando estas duas ltimas equaes com a equao (2.34) obtida para chega-se ao seguinte resultado: ,

(2.37)

Como a folga ngulo

pequena compara ao raio do mancal, podemos concluir que o

pequeno o suficiente para fazermos as seguintes aproximaes:

Definindo-se:

A equao (2.37) pode ser reescrita do seguinte modo:

(2.38)

20

CAPTULO 3 FUNDAMENTOS BSICOS DE MECNICA DOS FLUIDOS

Na natureza a matria existe basicamente em dois estados fsicos, o estado slido e o estado fluido, este ltimo normalmente dividido nos estados gasoso e lquido. De uma maneira bem simplificada pode-se diferenciar os slidos dos fluidos levando-se em conta a magnitude do movimento de suas partculas constituintes, e o espaamento entre elas. Os slidos apresentam uma estrutura coesa, essa coeso menor para os lquidos e bastante reduzida nos gases. Isso explica o fato dos slidos serem rgidos e os fluidos assumirem a forma do recipiente no qual esto armazenados (FORTUNA, 2000). Outra caracterstica que diferencia slidos de fluidos que os slidos suportam tenses de cisalhamento sem se deformarem, dentro do limite elstico, enquanto que os fluidos so incapazes de resistir a tais tenses, no importa o quo pequena seja, o resultado disto que os fluidos se deformam e escoam. Existe uma classe de fluidos que necessitam de uma tenso de cisalhamento mnima para comearem a escoar, tais fluidos so objetos de estudo da reologia e no sero tratados neste trabalho. Existe uma propriedade intimamente relacionada taxa de deformao dos fluidos, a esta propriedade d-se o nome de viscosidade. Considere o escoamento entre duas placas planas separadas por uma distncia , conforme ilustrado na

Figura 3.1, no qual a placa inferior permanece esttica enquanto que a placa superior se move na direo tangencial . com velocidade , resultado da ao da fora

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Figura 3.1 Escoamento entre duas placas planas paralelas.Fonte: adaptada de Shigleys (2006).

Esta fora gera uma tenso de cisalhamento entre a placa superior e o fluido adjacente a ela. Suponha que o fluido existente entre as placas pode ser modelado por camadas empilhadas que inicialmente encontram-se em repouso, mas devido da ao da fora comeam a se mover e se deformarem. Para muitos fluidos observado experimentalmente que existe uma relao linear entre a tenso de cisalhamento e a taxa de deformao das laminas de fluido, ou seja,

(3.1) No limite

(3.2) Isaac Newton sups que a constante de proporcionalidade entre a tenso de cisalhamento e a taxa de deformao fosse uma propriedade do fluido, a qual ele deu o nome de viscosidade, ou seja:

(3.3)

22

No SI, Fluidos que satisfazem a equao (3.3) so denominados fluidos

newtonianos. Quanto mais viscoso for o fluido, maiores sero as tenses de cisalhamento entre suas laminas e, consequentemente, maior ser a dissipao de energia. A viscosidade dos fluidos diminui com o aumento da temperatura, no entanto, pouco afetada pela variao de presso. No estudo da mecnica dos fluidos conveniente assumir que gases e lquidos sejam distribudos continuamente, ou seja, o fluido tratado como um contnuo (POTTER & WIGGERT, 2009). Existe uma propriedade dos fluidos que de grande utilidade para verificar se a ideia de contnuo apropriada, tal propriedade a massa especfica , definida por:

(3.4) Na qual, . Certamente no possvel fazer com que indiscriminadamente, pois corresponde a um incremento de massa contida no volume incremental

neste caso a massa contida no elemento de volume varia descontinuamente e a ideia de contnuo no mais vlida. Fisicamente a definio de massa especfica seria mais aceitvel se o limite tendendo a zero fosse substitudo por um volume muito pequeno, mas que contenha um nmero grande de partculas. Para a maioria das aplicaes em engenharia o volume extremamente pequeno, por exemplo, molculas,

em um milmetro cbico de ar, nas condies normais, existem 2,7x sendo assim o volume

certamente posse ser tomado como sendo muito menor

que um milmetro cbico e mesmo assim conter um grande nmero de molculas, dessa forma a hiptese de contnuo torna-se vlida (POTTER & WIGGERT, 2009). A importncia da validade da ideia de contnuo que as propriedades dos fluidos podem ser adotadas e aplicadas uniformemente em todos os pontos da regio em qualquer instante de tempo. Isto significa que possvel escrever, por exemplo, que a massa especfica uma funo (em coordenadas cartesianas) contnua de e , ou seja, .

23

3.1. CONSERVAO DE MASSAA equao da continuidade aparece em vrios contextos na Fsica, de fato, sempre que h uma lei de conservao de alguma quantidade que flui no espao (matria, carga, etc.) essa lei regida por uma equao da continuidade. Na ausncia de fontes ou sorvedouros, toda massa que entra em um sistema deve sair e/ou se acumular no mesmo. Esta uma forma simples de enunciar esta lei de conservao, que quando aplicada a um elemento infinitesimal de volume fornece a equao diferencial da continuidade que relaciona os campos de massa especfica e de velocidade (FORTUNA, 2000). Considere o fluxo de massa atravs de cada face do elemento de volume infinitesimal esboado na Figura 3.2. Fixando-se o fluxo de massa lquido que entra no elemento de volume igual taxa de variao de massa do elemento, ou seja:

(3.5) Onde fluido. o fluxo de massa, ou vazo em massa, e a massa do elemento de

Figura 3.2 Volume de controle infinitesimal.

24

E, efetuando-se o balano de massa neste elemento de volume, tomando como referncia o seu centro, obtm-se a seguinte relao:

Subtraindo-se os termos apropriados e dividindo-se por

tem-se:

(3.6) Adotando-se a descrio euleriana para o movimento do fluido, ou seja, as propriedades do fluido tais como a massa especfica do espao e do tempo. e a velocidade so funes

(3.7) (3.8) (3.9)

25

Tendo-se em vista estas informaes a equao (3.6) pode ser reescrita da seguinte forma:

(3.10)

Pela regra da cadeia tem-se que:

(3.11) Sendo que:

So as componentes da velocidade do fluido nas direes A expresso:

e

respectivamente.

conhecida como derivada substancial ou material, o nome dado pelo fato de estar sendo analisado o movimento de uma partcula distinta do fluido, ou seja, segue-se a substncia ( ou material) (POTTER & WIGGERT, 2009). O operador gradiente em coordenadas cartesianas escrito da seguinte forma:

(3.12)

Atuando com este operador no vetor velocidade, equao (3.9), obtm-se o seguinte resultado:

26

(3.13) Portanto, a equao da continuidade, pode ser escrita de forma mais compacta como:

(3.14)

Para um escoamento incompressvel, escoamento no qual a massa especfica de uma partcula de fluido no muda conforme segue sua trajetria, ou seja,

Logo a equao da continuidade para um escoamento incompressvel, toma a forma

(3.15) Ou, na forma vetorial, (3.16) Ou seja, para um escoamento incompressvel o divergente da velocidade do fluido nulo.

3.2. CONSERVAO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTOA equao da conservao da quantidade de movimento obtida a partir da aplicao da segunda lei de Newton (taxa de variao temporal do momento de uma partcula igual resultante das foras que nela atuam). Nesse ponto, se faz necessrio definir os tipos de fora que atuam sobre uma partcula de fluido.

27

Basicamente estas foras podem ser classificadas em dois tipos: foras de campo e foras de superfcie. Foras de campo so foras que agem sobre a massa de fluido como um todo, isto , sobre cada ponto de um elemento de fluido. Enquadram-se nesta categoria a fora da gravidade, eletromagntica, centrfuga e de Coriolis. Como estas foras nem sempre possuem uma magnitude grande o suficiente para influenciar o escoamento, as expresses matemticas dessas foras so, geralmente, adicionadas como termos auxiliares nas equaes de momento. Esses termos podem ser expressos de forma geral como sendo , sendo que

pode ser qualquer uma das foras anteriormente citadas, como tambm pode ser a soma vetorial de todas elas, dependendo da particularidade do problema que est sendo estudado (FORTUNA, 2000). Foras de superfcie, como prprio nome sugere, agem somente sobre a superfcie do elemento de fluido. So decorrentes da presso exercida sobre o fluido por um elemento exterior e das tenses viscosas normais e de cisalhamento devido ao atrito com os elementos de fluido adjacentes em movimento. Uma vez que estas foras so intrnsecas ao fluido, elas aparecem como termos constitutivos das equaes de movimento. A equao diferencial da conservao de momento vetorial, portanto, fornece trs equaes escalares. A resoluo das equaes das componentes determina os campos de velocidade e presso. No entanto, existe uma dificuldade na determinao destas equaes que o uso das componentes da tenso para determinarmos as foras necessrias para escrever as equaes da conservao de momento. Existem nove componentes de tenso que atuam em um ponto particular de um escoamento, elas so as nove componentes do tensor tenso representado pela matriz abaixo (POTTER & WIGGERT, 2009): , que pode ser

(3.17)

As tenses que agem em um elemento de fluido so mostradas na Figura 3.3.

28

Figura 3.3 Tenses que agem sobre um elemento de fluido. O primeiro subscrito de uma componente de tenso indica em qual face ela atua, o segundo subscrito denota a direo de atuao. Uma componente de tenso que age perpendicularmente a uma face chamada de tenso normal ( , , ).

Uma componente de tenso que age tangencialmente a uma face chamada de tenso de cisalhamento ( , , , , , ).

Considere as foras que atuam em um elemento infinitesimal de fluido conforme ilustrado na Figura 3.4.

Figura 3.4 Balano de foras. Uma vez que o campo de tenso varia suavemente, seu valor foi expandido em srie de Taylor a partir do seu valor no centro do fluido. De acordo com a segunda lei de Newton temos:

29

Para direo

Realizando as simplificaes necessrias temos:

(3.18) Dividindo-se a equao (3.18) por , obtm-se:

(3.19)

Pela simetria das equaes, tem-se que para as direes resulta nas seguintes equaes:

e , o balano de foras

(3.20)

(3.21)

30

Portanto, atravs balano de foras que atuam no elemento de volume de fluido determinou-se as equaes (3.19), (3.20) e (3.21), abaixo agrupadas nesta sequncia.

Conforme discutido anteriormente, muitos fluidos exibem uma relao linear entre as componentes da tenso e o gradiente da velocidade, tais fluidos so chamados de fluidos newtonianos. Se alm desta linearidade considerarmos o fluido como sendo isotrpico, ou seja, as propriedades do fluido so independentes da direo em uma dada posio; possvel relacionar as componentes da tenso e os gradientes da velocidade, usando apenas duas propriedades do fluido a viscosidade , e o segundo coeficiente da viscosidade (POTTER & WIGGERT, 2009). As

relaes tenso-gradiente de velocidade, tambm chamadas equaes constitutivas so apresentadas a seguir

(3.22)

(3.23)

(3.24)

(3.25)

(3.26)

31

(3.27) Utilizando-se a seguinte condio:

(3.28)

conhecida como hiptese de Stokes, nas equaes constitutivas (3.22) a (3.24), e assumindo-se que o escoamento seja incompressvel ( ), tem-se:

(3.29)

Ou seja, a mdia negativa das trs tenses normais igual presso. Substituindose as equaes constitutivas, juntamente com a hiptese de Stokes, na equao (3.19) obtida no balano de quantidade de movimento, obtm-se:

(3.30) Procedendo-se da mesma forma para as equaes (3.20) e (3.21) obtm-se respectivamente para as direes e :

(3.31)

32

(3.32)

Adotando-se o escoamento como sendo incompressvel, ou seja, equaes (3.30), (3.31) e (3.32) podem ser rescritas da seguinte maneira:

, as

(3.33)

(3.34)

(3.35)

As equaes (3.33), (3.34) e (3.35) so conhecidas como equaes de Navier-Stokes, assim chamadas em homenagem a Louis M.H. Navier (1785-1836) e George Stokes (1819-1903); com estas trs equaes, mais a equao da continuidade, obtm-se um sistema de quatro equaes diferenciais parciais de segunda ordem e quatro incgnitas, , , e . A viscosidade e a massa especfica

so propriedades do fluido que supostamente so conhecidas (POTTER & WIGGERT, 2009). possvel representar as equaes de Navier-Stokes de maneira mais compacta, na sua forma vetorial:

(3.36)

33

3.3. A EQUAO DE REYNOLDS PARA MHRA equao de Reynolds derivada a partir das equaes de Navier-Stokes e da continuidade, considerando-se que o fluido lubrificante seja newtoniano, isoviscoso e incompressvel. A equao de Reynolds descreve as caractersticas do fluxo do fluido lubrificante na folga radial do mancal, sua resoluo permite determinar o campo de presso no fluido do mancal, a partir do qual, as foras desenvolvidas pelo mancal e que atuam no rotor so obtidas, o que fornece informaes importantes como a capacidade de carga, coeficiente dinmico de rigidez e amortecimento (WATANABE, 2003). A Figura 3.5 uma representao da vista planificada do mancal onde temos definido um sistema de coordenadas local , no qual escreveremos as equaes da continuidade e de Navier Stokes, anteriormente definidas.

ysuperfcie do rotor

x

Figura 3.5 Vista planificada do mancal. Fonte: Watanabe (2003).

As equaes de Navier Stokes no sistema de coordenadas do problema podem ser escritas da seguinte maneira:

(3.37)

(3.38)

(3.39)

34

Com a hiptese de escoamento incompressvel, a equao da continuidade do fluido na folga do mancal dada pela equao (3.15).

Os parmetros que caracterizam estas equaes so os seguintes: respectivamente; respectivamente. - componentes de foras de campo nas direes , massa especfica do fluido lubrificante; - viscosidade do fluido presso no filme de fluido lubrificante; componentes da velocidade do fluido nas direes ,

As equaes de Navier-Stokes, juntamente com a equao da continuidade, podem ser simplificadas atravs de uma anlise da magnitude dos termos que as compem, proposta por Childs (1993 apud WATANABE, 2003). Para isso, necessrio efetuar uma srie de adimensionalizaes das variveis. As variveis e o tempo equaes a seguir: so usualmente adimensionalizadas como mostrado nas

(3.40)

As componentes da velocidade circunferencial, , e axial, , so adimensionalizadas em funo da velocidade tangencial da superfcie do rotor, .

(3.41)

Substituindo-se estas adimensionalizaes na equao da continuidade para o fluido presente na folga do mancal obtm-se:

35

(3.42) Na prtica, nos mancais hidrodinmicos radiais as dimenses ordem de grandeza, ou seja: e so da mesma .

. Alm disso, temos tambm que:

Uma adimensionalizao para a componente da velocidade , que produzir termos de mesma ordem de grandeza na equao (3.42) dada por:

(3.43)

Para obter a equao de Reynolds, alm destas adimensionalizaes, emprega-se tambm a definio do nmero de Reynolds. O nmero de Reynolds uma grandeza adimensional que serve como ferramenta de previso dos regimes de escoamento, grosso modo, se o nmero de Reynolds relativamente pequeno, o escoamento laminar, se grande, o escoamento turbulento. Vale ressaltar o fato de que o nmero de Reynolds assume valores distintos dependendo da geometria do escoamento. Um regime de escoamento depende de trs parmetros fsicos que descrevem as condies do escoamento. O primeiro parmetro um comprimento de escala do campo de escoamento, tal como o dimetro de uma tubulao ou a espessura de uma camada limite. Se esse comprimento de escala suficientemente grande, a perturbao do escoamento pode aumentar e o escoamento pode ser turbulento. O segundo parmetro uma velocidade de escala, tal como uma mdia espacial da velocidade; para uma velocidade suficientemente alta, o escoamento pode ser turbulento. O terceiro parmetro a viscosidade cinemtica, para viscosidades suficientemente pequenas o escoamento pode ser turbulento. Estes trs parmetros podem ser combinados em um nico parmetro que o numero de Reynolds (POTTER & WIGGERT, 2009). Essa quantidade recebe este nome em homenagem a Osborne Reynolds (1842-1912) e definida como:

(3.44)

36

Na qual, L e V so um comprimento caracterstico e uma velocidade, respectivamente, e a viscosidade cinemtica definida da seguinte forma:

(3.45)

Para o caso da modelagem do mancal, o numero de Reynolds foi definido por Someya (1989 apud WATANABE, 2003) da seguinte forma:

(3.46)

Define-se tambm uma adimensionalizao para presso:

(3.47) Desconsiderando-se as componentes da fora de campo, e substituindo-se este conjunto de adimensionalizaes nas equaes de Navier-Stokes ( (3.37) a (3.39)), obtm-se as seguintes equaes:

Para direo

(3.48)

37

Analogamente para a direo

(3.49) Pelo fato da adimensionalizao da componente da velocidade de escoamento do e , para direo uma

fluido ser diferente da adotada para as componentes

equao diferente das demais obtida. Substituindo-se as adimensionalizaes, na equao (3.38), tem-se:

(3.50) Abaixo esto reunidas as equaes (3.48), (3.49) e (3.50) , correspondentes as trs direes e , respectivamente.

Sabendo-se que nos projetos de mancais hidrodinmicos radiais o parmetro folga radial nominal, da ordem de com raios da ordem de , tem-se que:

,

, e que estes mancais so construdos

38

Com base nestas informaes podemos simplificar o as equaes (3.48), (3.49) e (3.50), resultando em:

(3.51)

(3.52)

(3.53) Retornando a forma dimensional teremos o seguinte conjunto de equaes:

(3.54)

(3.55)

(3.56)

Devido ao pequeno valor de

, o gradiente de presso na direo

inteiramente desconsiderado, portanto, o escoamento do fluido pode ser considerado como sendo bidimensional, apenas com componentes de velocidade e . Para uma anlise mais simples do mancal os efeitos de inrcia do fluido so desprezados. Isso significa assumir um regime de escoamento laminar, ou seja, desconsiderar os termos de acelerao local e convectiva nas equaes de Navier Stokes. A acelerao de uma partcula de um fluido obtida considerando-se uma partcula especfica, conforme ilustrado na Figura 3.6.

39

Figura 3.6 Acelerao de uma partcula de fluido.

A velocidade da partcula muda de . A acelerao por definio:

no tempo

para

no tempo

(3.57) Como dado por:

(3.58)

A quantidade

usando a regra da cadeia ser:

(3.59) Uma vez que , isso implica que a acelerao e dada por:

(3.60) Na qual:

(3.61)

40

A acelerao dada pela equao (3.60) , ento, expressa como:

(3.62) As equaes das componentes escalares da equao vetorial acima, para coordenadas retangulares, so escritas como:

(3.63)

(3.64)

(3.65)

O termo da derivada temporal do lado direito das equaes anteriores chamado de acelerao local, os termos remanescentes correspondem acelerao convectiva. Uma maneira simples de entender a diferena entre estas duas contribuies para a acelerao da partcula analisar o escoamento em uma tubulao. Em uma tubulao a acelerao local resulta, por exemplo, do ato de abrir ou fechar uma vlvula. J a acelerao convectiva ocorrer nas vizinhanas de uma mudana na geometria da tubulao, tal como um estreitamento da linha ou um cotovelo. Em ambos os casos, as partculas do fluido mudam de velocidade, mas por razes totalmente distintas (POTTER & WIGGERT, 2009). Reconhecendo-se os termos de acelerao local e convectiva nas equaes de Navier Stokes, executa-se a simplificao citada anteriormente, ou seja, desconsiderar os efeitos de inrcia do fluido que nada mais do que eliminar os termos de acelerao local e convectiva nas equaes (3.54) e (3.56), obtendo-se com isso:

41

(3.66)

(3.67) As funes e , solues destas equaes diferenciais, fornecem os perfis de

velocidade do fluido. Para determin-las basta resolver as equaes com as condies de contorno apropriadas. Primeiramente estas equaes diferenciais forma resolvidas para um caso mais geral, conforme ilustrado na Figura 3.7, na qual temos um filme de fluido de espessura entre duas superfcies slidas que apresentam movimento relativo.

Figura 3.7 Escoamento entre duas superfcies em movimento relativo.Fonte: adaptada de Hori (2006).

As condies de contorno para tal problema so dadas por:

(3.68)

(3.69)

42

Para solucionar a equao (3.66), inicialmente efetua-se uma integrao com relao varivel

Resultando em:

Na qual,

uma funo que a princpio pode depender de

e tambm de .

Integrando-se esta expresso, novamente com relao varivel :

Aplicando-se as condies de contorno

Temos que

Da condio de contorno,

, obtm-se:

43

Portanto, a funo que descreve o perfil de velocidade na direo

dada por

(3.70)

Para determinar o perfil de velocidade na direo , basta resolver a equao (3.67). Integrando-se com relao varivel

Integrando-se a expresso obtida novamente com relao varivel :

Aplicando-se a condio de contorno

, tem-se que

Aplicando-se a segunda condio de contorno dada por:

, tem-se:

44

Portanto:

(3.71) Agora que os perfis das componentes de velocidade do fluido e so

conhecidos, possvel obter a equao de Reynolds, para o caso mais geral, integrando-se a equao da continuidade na direo da espessura do filme de fluido lubrificante, ou seja:

(3.72) Utilizando-se da regra de Leibniz para diferenciao de integrais, dada por:

(3.73) Aplicando-se equao (3.73) na equao (3.72):

(3.74) Resolvendo-se as integrais presentes na equao (3.74):

(3.75)

(3.76)

45

(3.77)

(3.78)

(3.79) Substituindo-se estes valores na equao (3.74):

(3.80) possvel simplificar a equao de Reynolds, que foi deduzida para um caso mais geral, levando em considerao as condies de operao do mancal

hidrodinmico. Em geral, no existe movimento do mancal na direo , ou seja:

46

Nas direes portanto:

e

, somente o rotor se movimenta e a bucha do mancal fixa,

Levando-se em conta estas informaes a equao de Reynolds pode ser escrita da seguinte forma:

(3.81) Considerando-se que o eixo seja um corpo rgido, podemos desprezar o primeiro termo do lado direito da equao anterior, resultando em

(3.82) Desconsiderando-se os efeitos das pequenas perturbaes, a velocidade na superfcie do rotor dada por:

(3.83)

Porm, a velocidade

, no paralela a direo , por isso se faz necessrio a

decomposio desta velocidade em duas componentes, conforme ilustrado na Figura 3.8.

Figura 3.8 Componentes da velocidade do rotor. Fonte: adaptada de Hori (2006).

47

Atravs da anlise da Figura 3.8 conclui-se que:

(3.84)

(3.85)

O ngulo

, formado entre as superfcies do rotor e do mancal muito pequeno, .

pois a folga existente entre o eixo e a bucha do mancal da ordem de Ento, as seguintes aproximaes podem ser feitas.

(3.86)

(3.87)

Sendo que,

(3.88) Logo:

(3.89) Substituindo-se os valores de e na equao (3.82), tem-se:

(3.90) A anlise dos termos presentes na equao de Reynolds permite identificar os mecanismos geradores de presso no filme de fluido lubrificante. Esta anlise ser feita a partir da equao (3.81), pelo fato de esta ser mais geral.

48

O lado esquerdo da equao de Reynolds indica como se d a distribuio de presso no filme de fluido lubrificante em funo das coordenadas desta distribuio est representado na Figura 3.9. e . Um esboo

Figura 3.9 Distribuio de presso. Fonte: adaptada de Hori (2006).

Por sua vez, o lado direito representa as causas da gerao de presso no filme de fluido lubrificante. O primeiro termo do lado direito da equao de Reynolds corresponde ao efeito de cunha (wedge effect) representado na Figura 3.10.

Figura 3.10 Efeito de cunha. Fonte: adaptada de Shigleys (2006).

A Figura 3.10(a) mostra um eixo que inicia seu movimento de rotao no sentido horrio. Durante o arranque o mancal estar seco, ou parcialmente seco, como conseqncia o eixo subir atravs da superfcie interna da camisa do mancal. Agora suponha que um fluido lubrificante seja introduzido no topo do mancal, figura 3.10(b), a movimentao do eixo bombear o leo ao redor do mancal, sentido horrio, o lubrificante ento bombeado em um espao em forma de cunha forando o eixo para o outro lado. Uma espessura mnima de filme formada deslocada do centro do mancal devido ao fato de que uma presso no filme de fluido

49

alcana um valor mximo nessa posio. Isso faz com que o ocorra uma separao entre o eixo e a camisa do mancal (HORI, 2006). O segundo termo corresponde ao efeito elstico (stretch effect) no qual a contribuio para gerar a presso no fluido devida a deformao das superfcies. Em materiais mais rgidos este efeito desprezvel, mas se tratando de materiais como, por exemplo, algumas borrachas o mesmo no dever ser negligenciado. O terceiro termo representao matemtica do esmagamento do filme de leo lubrificante (squeeze effect), no qual a presso gerada devido variao da espessura do filme do fluido lubrificante (HORI, 2006). Uma ilustrao para esse efeito dada na Figura 3.11.

Figura 3.11 Esmagamento do filme de leo lubrificante. Fonte: adaptada deShigleys (2006).

Estes efeitos atuando conjuntamente so os responsveis por gerar o campo de presso responsvel pela capacidade de sustentao de cargas em mancais hidrodinmicos.

50

CAPTULO 4 SOLUO DA EQUAO DE REYNOLDSDevido a sua complexidade a equao de Reynolds no possui soluo exata. Para solucion-la necessrio recorrer a mtodos numricos, porm, existem solues analticas clssicas que podem ser obtidas quando dois casos idealizados de mancais so considerados, o mancal curto e o mancal infinitamente longo. Ao assumir o mancal infinitamente longo na direo axial (ao longo de seu comprimento) pode-se desprezar o gradiente de presso na direo , ou seja,

desprezar os efeitos de borda e considerar a presso aproximadamente constante na direo , assim, consegue-se resolver analiticamente a equao resultante. Se por outro lado o mancal for assumido como sendo curto, ou seja, a dimenso na direo muito menor que na direo , o pico de presso deve cair do que na direo . Logo, o

mais rapidamente para presso ambiente na direo gradiente de presso na direo

muito maior que o gradiente de presso na

direo , e este ltimo pode ser desprezado e a equao resultante passvel de ser solucionada analiticamente (HARNOY, 2003).

4.1. CONDIES DE CONTORNOPara encontrar uma soluo a equao de Reynolds necessrio conhecer as condies de contorno do problema que est sendo modelado. No caso dos MHR tem-se que na direo axial, mais especificamente nas extremidades dos mancais, a presso no filme de leo igual presso atmosfrica, ou seja, seu valor bem definido. No entanto, na direo radial esta anlise no to simples de ser feita e pode ser ainda mais dificultada se levar em conta, por exemplo, o fenmeno de ruptura do filme de leo, que torna a determinao do valor de presso nestas circunstncias uma atividade bastante complexa. Por simplicidade considere um MHR infinitamente longo no qual o fenmeno da ruptura do filme de leo desprezado. Esta suposio no configura um absurdo,

51

uma vez que para atingir tal situao basta supor que a folga radial do mancal esteja completamente preenchida pelo leo lubrificante. Em tais condies, a soluo da equao de Reynolds apresenta um valor positivo de presso para o semicrculo do mancal no qual a folga radial diminui, e um valor de presso negativo para semicrculo no qual a folga radial aumenta. No entanto estes valores so iguais em termos absolutos. Este fato ser verdadeiro somente na situao em que a presso no filme de leo for suficientemente baixa. No caso em que o valor da presso no filme de leo for relativamente elevado, o valor absoluto da presso negativa no pode cair alm de certo valor, caso isto ocorra, acontecer ruptura do filme de leo. A Figura 4.1 apresenta as condies de contorno que so aplicadas para solucionar a equao de Reynolds no caso dos MHR.

Figura 4.1 Condies de contorno para equao de Reynolds. Fonte: adaptadade Hori (2006).

Condio de contorno de Sommerfeld Aplica-se nos casos em que a presso no filme de leo baixa e no se observa o efeito da ruptura do filme de leo. Matematicamente esta condio expressa da seguinte maneira:

52

Condio de contorno de Gmbel Nesta condio de contorno a presso calculada desconsiderando-se a ruptura do filme de leo, mas somente a presso positiva no semicrculo de intervalo considerada. A presso negativa

presente no outro semicrculo considera como sendo nula (i.e., presso atmosfrica). O filme de leo inicia em e termina em . Esta condio

aplicada nos casos em que a presso no filme de leo suficientemente alta, esta condio s vezes denominada de meia condio de Sommerfeld. Condio de contorno de Reynolds Assume-se que o filme de leo termine na posio na qual a presso e o gradiente de presso so

ambos nulos, simultaneamente. Esta condio elimina a descontinuidade do fluxo de leo em , uma contradio fsica presena na condio Gmbel. No entanto, , esta condio tambm conhecida como

necessrio determinar o valor de

condio de Swift-Stieber (HORI, 2006).

4.2. SOLUO PARA MANCAIS INFINITAMENTE LONGOSA soluo da equao de Reynolds fornece a distribuio de presso no filme lubrificante. Por meio da integrao desta distribuio de presso encontra-se a fora desenvolvida no filme de leo lubrificante. A partir das condies de equilbrio desta fora com a carga do mancal pode-se determinar os seguintes parmetros: excentricidade radial, capacidade de carga e fora de atrito (WATANABE, 2003). Ao assumir o mancal infinitamente longo na direo axial (ao longo de seu comprimento) possvel desprezar o gradiente de presso na direo , ou seja, desprezar os efeitos de borda e considerar a presso aproximadamente constante na direo , assim, consegue-se resolver analiticamente a equao resultante. A equao de Reynolds foi deduzida no captulo 3 e dada pela equao (3.90) reescrita abaixo para facilitar o desenvolvimento.

Sendo que, para mancais infinitamente longos o gradiente de presso na direo nulo:

53

(4.1) Logo a equao (3.90) simplificada para a equao abaixo.

(4.2) As derivadas parciais passam a ser derivadas simples pelo fato de que em mancais infinitamente longos a presso s depende da varivel .

4.2.1

PRESSO

NO

FILME

DE

LEO

EM

MANCAIS

INFINITAMENTE LONGOSPara obteno da expresso para o clculo da presso no filme de leo em mancais infinitamente longo necessrio resolvermos a equao (4.2). Integrandose a equao (4.2) obtm-se:

(4.3)

Onde,

uma constante de integrao. conveniente trocarmos

pelo valor da

espessura do filme de leo, no ponto onde:

, no ponto onde ocorre um pico de presso, ou seja,

54

Portanto:

(4.4) Lembrando-se que anteriormente foi derivada uma expresso para espessura do filme de fluido lubrificante dada pela equao (2.23), abaixo reproduzida para facilitar o acompanhamento dos clculos:

Por simplicidade desconsidera-se os termos perturbativos (soluo esttica), ou seja:

Lembrando-se que

, tem-se que

. Portanto, a equao

(4.4) reescrita da seguinte forma:

(4.5) O passo seguinte resolver a equao anterior, para isso, algumas manipulaes sero necessrias.

55

(4.6)

Onde

uma constante resultante do processo de integrao. Atravs da mudana de varivel efetuada anteriormente, o perfil de presso

inicia-se em

e nesta posio seu valor dado por

. A magnitude de

depender da maneira como o suprimento de leo fornecido para o mancal, ou seja, pela forma como o leo injetado no interior do mancal. Se o leo esta estocado em um reservatrio e sua introduo se da por meio simplesmente da fora de gravidade, a magnitude de levemente superior a da presso

atmosfrica e por isso pode ser considerada como sendo nula, suporemos esta condio na modelagem. Caso o leo seja introduzido no mancal com auxlio de uma bomba o valor de ser dado pela presso de bombeamento.

As integrais presentes na equao anterior no possuem solues triviais, porm, podem ser resolvidas analiticamente se adotarmos a seguinte mudana de varivel, (G.I TAYLOR & E.R VAN DRIEST).

(4.7) Na qual a nova varivel , transforma o intervalo no mesmo intervalo

. Da mudana de varivel proposta tem-se que:

Sabendo que:

56

Tem-se que:

Sendo que

,tem-se ento:

(4.10)

(4.11) Derivando-se a equao (4.11) em relao :

(4.12) Substituindo-se os valores anteriormente determinados para 4.10 e 4.11) em funo de , na equao (4.12) obtm-se: e (equaes

57

(4.13) Retomando a expresso dada pela equao (4.6):

necessrio expressar as integrais do lado direito da equao (4.6) em funo da varivel . Isso possvel de ser feito se substituirmos a expresso dada pela

equao (4.13) nas integrais presentes na equao (4.6). Iniciando-se este procedimento pela segunda integral presente no lado direito as equao (4.6):

Lembrando-se que:

, tem-se:

58

(4.14)

Fazendo-se o mesmo para a primeira integral presente no lado direito da equao (4.6), obtm-se:

(4.15)

Substituindo-se as integrais presentes na equao (4.6) pelas expresses dadas pelas equaes (4.14) e (4.15), pode-se reescrev-la da seguinte forma:

(4.16)

A equao (4.16) uma expresso geral para perfil de presso no mancal.

4.2.2

SOLUO

DE

SOMMERFELD

PARA

O

MANCAL

INFINITAMENTE LONGO

59

Na seo anterior foi encontrada a equao abaixo para o perfil de presso do mancal infinitamente longo (equao (4.16)):

A soluo do problema ainda no est completamente definida, uma vez que, preciso determinar as duas constantes resultantes do processo de integrao, . Isso possvel a partir das condies de contorno do problema.e

a. PRESSO NO FILME DE LEOAs condies de contorno de Sommerfeld so expressas matematicamente da seguinte forma:

Para primeira condio de contorno,

, temos que:

(4.17) Logo, temos que . :

Aplicando a segunda condio de contorno,

60

(4.18)

Agora, com as constantes de integrao determinadas, basta substituir seus valores na equao (4.16), este procedimento resulta na seguinte soluo para o mancal infinitamente longo:

(4.19)

Lembrando-se de que foi efetuada uma mudana de varivel com a finalidade de facilitar o clculo das integrais presentes na equao (4.6). Neste ponto do desenvolvimento retornar-se a coordenada inicial do problema, ou seja, Para isso, retoma-se a equao (4.7) que correlaciona s duas variveis: .

61

Anteriormente demonstrou-se nas equaes (4.10) e (4.11), respectivamente, que:

Manipulando-se estas equaes encontram-se os seguintes resultados:

(4.20) Manipulando-se a equao (4.10):

(4.21) Substituindo as expresses dadas pelas equaes (4.20) e (4.21) na equao (4.19), obtm-se:

Agrupando-se os termos que possuem no denominador o fator

, tem-se:

62

Agrupando-se os termos que possuem o fator

no denominador:

Encontrando-se um denominador comum para expresso anterior, tem-se:

(4.22)

63

Definindo-se:

(4.23) Podemos reescrever a equao (4.22) da seguinte maneira:

(4.24)

Figura 4.2 Distribuio de presso em um mancal infinitamente longo pelas condies de contorno de Sommerfeld.Fonte: adaptada de Harnoy (2003). Da anlise da Figura 4.2 verifica-se que a distribuio de presso simtrica com relao ao ponto em que , alm disso, os valores de mximo e de

mnimo de presso so iguais em termos absolutos. Determina-se a posio na qual ocorrem estes extremos a partir da seguinte condio:

64

Em que varivel

dada pela equao (4.22). Derivando-se a equao (4.22) em relao tem-se o seguinte resultado:

Aplicando a condio:

65

Da relao trigonomtrica

, podemos obter que:

. Substituindo esta informao na ltima equao obtemos:

(4.25)

b. FORA NO FILME DE LEO E CAPACIDADE DE CARGA DO MANCALA Figura 4.3 mostra a capacidade de carga, radial e suas duas componentes simetria do mancal F (carga) e a linha.

, de um mancal hidrodinmico ao longo da linha de

e

. A direo de

O ngulo medido entre a linha de atuao da fora externa , definido anteriormente.

, o ngulo de atitude do mancal, normal a direo de

A direo da componente

(HARNOY,2003).

66

Figura 4.3 Componentes das foras atuantes no mancal. Harnoy (2003).

Fonte: adaptada de

Uma quantidade infinitesimal da capacidade de carga do mancal,

, atua na

direo normal da superfcie do eixo do mancal. Ela o produto da presso no fluido, , e um elemento de rea da superfcie do eixo do mancal dado por: (4.26) Portanto, um elemento de fora do fluido representado por: (4.27)

dado por:

(4.28)

A presso atua na direo normal superfcie do eixo do mancal, e

uma quantidade infinitesimal da fora que atua sobre o eixo do mancal, responsvel pela sustentao da carga imposta ao mancal, cuja direo orientada para o centro do eixo conforme se observa na Figura 4.3. Se o problema consistisse no escoamento de um fluido entre duas placas paralelas a presso atuaria apenas em uma direo, no caso do mancal em estudo, a direo em que a presso atuante varia ao longo da superfcie do eixo do mancal o que no possibilita obter a fora resultante atravs de uma integrao simples da quantidade (HARNOY, 2003). Para alcanarmos este propsito se faz

necessria a decomposio de componentes na direo X e na direo Y, o que possibilita a integrao em cada uma destas direes. Os mdulos dos elementos de fora nas direes X e Y so dados por:

(4.29) (4.30)

67

O sinal negativo de

devido ao fato de este estar orientado no sentido negativo

do eixo X, conforme ilustrado est na Figura 4.3. Portanto, as componentes nas direes X e Y so dadas respectiva mente por:

(4.31)

(4.32) Alm disso, verifica-se que o ngulo de atitude, , dado pela razo:

(4.33) Todas as informaes necessrias para resolver estas equaes esto disponveis, uma vez que anteriormente determinou-se uma expresso para o campo de presso , equao (4.24). No entanto, a integral a ser resolvida neste procedimento de clculo complexa. Esta tarefa rdua pode ser simplificada se as componentes da capacidade de carga forem calculadas a partir da equao do gradiente de presso, equao (4.5), que a seguir resgatada para melhor entendimento:

Da teoria do clculo diferencial sabemos que se

e

so funes de uma

nica varivel independente, temos, pela regra da derivao do produto de duas funes que:

Ao integrarmos esta expresso obtemos:

68

Que conhecida no meio acadmico como a frmula da integrao por partes. Comparando esta frmula com a expresso da componente da capacidade de carga na direo X dada pela equao (4.31).

possvel estabelecer as seguintes igualdades:

Portanto:

(4.34) Adotando-se o mesmo procedimento para a componente da capacidade de carga na direo Y obtm-se:

(4.35) Observa-se facilmente que os primeiros termos do lado direito das duas equaes anteriores so nulos, portanto as expresses podem ser simplificadas da seguinte maneira:

69

(4.36)

(4.37)

Substituindo a expresso do gradiente de presso dado pela equao (4.5) na equao (4.36) teremos:

Para resolver a integral

basta efetuar a seguinte mudana de varivel:

Logo:

Retornando a varivel inicial temos:

Analogamente tem-se que:

Isso implica que a equao (4.36) dada por:

70

E, portanto, o resultado da equao (4.31) :

Agora, substituindo-se a expresso do gradiente de presso dado pela equao (4.5) na equao (4.37) tem-se para a componente carga do mancal infinitamente longo a seguinte equao: da capacidade de

(4.39) As integrais presentes no lado direito da ltima equao pode ser calculadas facilmente empregando-se a tcnica das fraes parciais. Iniciando este

procedimento com a primeira delas, ou seja:

Expandindo em fraes parciais:

Esta igualdade ser verdadeira se as seguintes condies forem satisfeitas

Sendo assim:

71

Portanto:

Logo:

(4.40) Adotando-se o mesmo procedimento para segunda integral, presente no lado direito da equao (4.39), dada por:

Expandindo em fraes parciais:

Esta igualdade ser verdadeira se,

Sendo que:

72

Logo

Portanto:

(4.41)

As integrais presentes nas equaes (4.40) e (4.41) so da forma:

E j foram calculadas anteriormente na seo 4.2.1 sendo que:

Substituindo-se estes resultados nas equaes (4.40) e (4.41), respectivamente, tem-se:

(4.42)

73

(4.43) Substituindo as equaes (4.42) e (4.43) na equao (4.39):

(4.44) Portanto, o resultado da equao (4.39) dado por:

Uma vez que:

Tem-se:

Portanto, a capacidade de carga para o mancal infinitamente longo, sob as condies de contorno de Sommerfeld, em mdulo igual a. Uma vez que

(4.45)

74

Anteriormente foi demonstrado que o ngulo de atitude do mancal pode ser calculado pela equao (4.33). Conforme calculado, tem-se que, implica que , portanto, . , isso

Figura 4.4 Posio do centro do eixo.

Isso significa que a linha de simetria do mancal, capacidade de carga.

,

normal a direo do vetor

c. FORA DE ATRITOA fora de atrito, , a qual o mancal em estudo encontra-se submetido durante sua operao de origem viscosa, ou seja, devida a resistncia oferecida pelo fluido lubrificante ao movimento de rotao do eixo do mancal. Sua definio matemtica dada pela equao abaixo, na qual o torque de atrito. (4.46) representa o raio do mancal e

Atravs da operao matemtica da integrao possvel calcular a fora de atrito a partir da expresso da tenso de cisalhamento, conforme a equao a seguir:

(4.47)

75

Na qual: (4.48)

A integral realizada sobre toda superfcie do eixo do mancal, que possui o seguinte elemento de rea seguinte maneira: . Portanto a equao (4.47) pode ser reescrita da

(4.49) A tenso de cisalhamento do fluido pode ser facilmente obtida, uma vez que, o perfil de velocidade j foi determinado anteriormente e dado pela equao (3.70)

apresentada a seguir:

Ou seja, substituindo na equao (4.48), tem-se:

(4.50) A tenso de cisalhamento est expressa como uma funo da varivel , em a expresso fornece o valor de tenso de cisalhamento na superfcie da bucha do mancal (parte fixa), j em a expresso fornece o valor da tenso de

cisalhamento na superfcie do eixo do rotor (parte mvel) exatamente o valor de tenso de cisalhamento que necessrio para calcular a fora de atrito. O valor da tenso de cisalhamento na superfcie do eixo do mancal dado pela equao a seguir:

76

(4.51) O gradiente de presso tambm j foi determinado anteriormente e dado pela equao:

Sendo que a expresso para folga radial, ou espessura do filme de leo, , dada por Logo: .

Portanto, a equao (4.51) pode ser reescrita como:

(4.52)

Logo, a equao (4.49) fica:

(4.53) As integrais da forma:

77

J foram calculadas anteriormente, sendo que:

Substituindo-se estes valores na equao (4.53) tem-se:

(4.54)

Agora que a expresso para fora de atrito foi determinada possvel obter o valor do coeficiente de atrito. Sendo que, mancal. (4.55) corresponde a capacidade de carga do

(4.56)

Substituindo os valore de

e

na equao (4.56) tem-se:

78

(4.57) A dissipao de energia por unidade de tempo no mancal infinitamente longo, calculada a partir do torque de atrito. Na qual (rad/s). ,

a velocidade angular do rotor em

(4.58)

d. NMERO DE SOMMERFELDPara obter a expresso para capacidade de carga de um mancal, sob as condies de contorno de Sommerfeld, foram feitas suposies que idealizavam um mancal como sendo infinitamente longo, operando em regime estacionrio, totalmente preenchido por leo, filme contnuo, sem formao de bolhas e cavitao. Na realidade, a expresso obtida desta maneira no a mais apropriada para se calcular este parmetro, sendo que, a mesma pode ser melhorada atravs de mtodos computacionais (HORI, 2006). Na prtica a capacidade de carga obtida de forma adimensional por meio de tabelas e grficos que auxiliam no projeto dos mancais. O parmetro adimensional mais empregado para este propsito o famoso nmero de Sommerfeld, . A equao (4.45), da capacidade de carga do mancal, pode ser convertida para um formato adimensional atravs de operaes matemticas simples conforme ilustrado a seguir:

79

(4.59)

costume expressar o nmero de Sommerfeld como funo da velocidade do eixo, em revolues por segundo, , e da presso mdia, , no mancal, logo:

(4.60)

(4.61)

Substituindo-se estas equaes na equao (4.59), tem-se que o nmero de Sommerfeld para o mancal infinitamente longo sob as condies de contorno de Sommerfeld:

(4.62)

4.2.3 SOLUO DE GMBEL PARA MANCAIS INFINITAMENTE LONGOSNa seo passada vrios parmetros dos mancais infinitamente longos foram derivados levando-se em considerao as condies de contorno de Sommerfeld. Um dos resultados obtidos mostrou que a linha de simetria do mancal (linha imaginria que liga o centro do mancal ao centro do rotor),vetor capacidade de carga, conforme mostrou a Figura 4.4., normal a direo do

No entanto, este resultado contradiz as observaes em diversas condies prticas de operao dos mancais. De fato, a situao ilustrada pela Figura 4.4 s ocorre quando a presso no mancal muito baixa. A no concordncia deste resultado com as observaes prticas pode ter sua origem na incluso de presses negativas na modelagem advindas das condies de contorno de Sommerfeld (HORI, 2006). Nesta seo ser encontrada uma soluo para o perfil de presso dos mancais infinitamente longos na qual no se considera a existncia de presses negativas (condio de contorno de Gmbel), e a partir desta soluo ser calculada

80

a capacidade de carga, a fora de atrito e outros parmetros de operao dos mancais.

a. PRESSO NO FILME DE LEOPela condio de contorno de Gmbel somente a regio de presses positivas considerada. Ou seja, a equao que descreve o perfil de presso a mesma obtida anteriormente, no entanto, a anlise agora restrita somente ao intervalo, .

b. FORA NO FILME DE LEO E CAPACIDADE DE CARGA DO MANCALPara obter a fora no filme de leo, sob as condies de contorno de Gmbel, necessrio integrar a expresso para o perfil de presso no filme de leo no intervalo . Realizando-se o balano de foras esboado na Figura 4.5, o

seguinte conjunto de equaes obtido:

(4.63)

(4.64)

81

Figura 4.5 Fora no filme de leo sob as condies de contorno de Gmbel.Fonte:adaptada de Hori (2006).

Resolvendo a equao (4.63) obtm-se:

Verifica-se facilmente que o primeiro termo do lado direito da ltima equao nulo, portanto, temos que:

82

As integrais presentes nesta expresso j foram anteriormente calculadas e possuem os seguintes resultados:

Lembrando que:

, tem-se:

Simplificando a expresso

:

Logo:

(4.65)

83

Agora, calculando-se a equao (4.64):

As integrais presentes na ltima expresso j foram calculadas anteriormente utilizando-se a tcnica de resoluo por fraes parciais. Sendo que:

As integrais da forma:

Tambm j formam calculadas anteriormente, ento, possvel reescrever a expresso:

Da seguinte forma, levando-se em conta as fraes parciais.

84

(4.66) A partir das equaes (4.65) e (4.66) possvel determinar o mdulo da capacidade de carga. Elevando-se ambas as expresses ao quadrado, tem-se:

Somando-se as duas equaes:

Portanto:

85

(4.67)

Para calcular o ngulo de atitude (4.65).

, basta dividir a equao (4.66) pela equao

(4.68)

c. FORA DE ATRITOA deduo da fora de atrito para o mancal infinitamente longo aplicando-se as condies de contorno de Gmbel anloga a feita para a condio de contorno de Sommerfeld. A expresso para o clculo da fora de atrito a mesma obtida anteriormente, no entanto, os limites de integrao so distintos em ambos os casos. Na seo 4.2.2c deduzimos a expresso abaixo para o clculo do mdulo da fora de atrito:

Os limites de integrao j foram modificados levando-se em conta as condies de contorno de Gmbel. Em sees passadas as integrais presentes na equao anterior tambm j foram calculadas, portanto, utilizando-se Oe resultados obtidos, tem-se que:

86

Portanto, o mdulo da fora atrito neste caso dado por:

(4.69)

Com a expresso para o mdulo da fora de atrito determinada possvel obter o valor do coeficiente de atrito, carga do mancal dada por: , sendo que corresponde a capacidade de

Logo:

(4.70) A dissipao de energia por unidade de tempo no mancal infinitamente longo, , calculada a partir do torque de atrito. Na qual em (rad/s). a velocidade angular do rotor

(4.71)

87

d. NMERO DE SOMMERFELDO nmero de Sommerfeld neste caso dado por

Relembrando-se que

e

, tem-se ento:

(4.72)

4.3. SOLUO PARA MANCAIS CURTOSQuando a largura, , do mancal for muito menor em comparao com seu dimetro , ( ) este classificado como curto. A Figura 4.6 ilustra as

caractersticas geomtricas de um mancal curto.

Figura 4.6 Mancal curto. Fonte: adaptada de Harnoy (2003).

88

Mesmo apresentando uma baixa capacidade de carga por unidade de comprimento, comparada a dos mancais longos, os mancais curtos apresentam vantagens que tornam seu uso apropriado nos projetos de mquinas. Comparados aos mancais longos os curtos apresentam uma melhor capacidade de refrigerao devida maior rapidez com que o leo lubrificante circula por toda cavidade do mancal durante seu funcionamento. Isso faz com que ocorra uma melhor transferncia de calor e, consequentemente, no ocorra superaquecimento, que a principal causa de falhas em mancais. O desgaste durante a operao dos mancais curtos reduzido devido alta taxa de renovao do leo lubrificante na cavidade do mancal, o que possibilita a eliminao de partculas abrasivas (HARNOY, 2003). Devido ao seu tamanho reduzido os mancais curtos possibilitam uma economia de espao propiciando o projeto de mquinas mais compactas, o que uma forte tendncia na engenharia moderna. Por todas estas razes expostas, os mancais curtos so amplamente empregados na atualidade. Os mancais longos foram bastante utilizados nas dcadas passadas e hoje em dia ainda se encontram em operao em mquinas antigas ou em aplicaes especiais nas quais uma capacidade de carga elevada exigida (HARNOY, 2003). Dubois e Ocvirk (1953) foram os pioneiros no estudo dos mancais curtos. Eles assumiram que o gradiente de presso ao longo do mancal na direo pequeno em comparao ao gradiente de presso na direo de presso na direo pode ser desprezado. muito

ou seja, o gradiente

Esta suposio simplifica a equao de Reynolds e possibilita a determinao de uma soluo analtica para o perfil de presso nos mancais curtos. Pode-se verificar a consistncia desta suposio levando-se em considerao que a dimenso do mancal na direo muita menor que sua dimenso na direo .

Assim sendo, o pico de presso deve cair mais rapidamente para presso ambiente na direo , ou seja, o gradiente de presso deve ser elevado.

Quando um mancal no for curto, ou seja, quando sua largura for aproximadamente igual ao seu dimetro, podemos mesmo assim analis-lo como sendo curto. importante salientar que, adotando-se este procedimento, a

89

capacidade de carga calculada no modelo de mancal curto menor que a verdadeira capacidade de carga do mancal finito. Ou seja, procedendo desta forma estaremos trabalhando com uma boa margem de segurana, uma vez que, est sendo subestimada a verdadeira capacidade de carga do mancal. Este modelo largamente empregado por engenheiros projetistas de mquinas, uma vez que, alm de seguro possibilita economia de tempo que seria gasto para elaborao de clculos de otimizao do projeto (HARNOY, 2003).

4.3.1 PRESSO NO FILME DE LEO EM MANCAIS CURTOSPara determinarmos o perfil de presso dos mancais curtos necessrio simplificar a equao de Reynolds. Isso possvel a partir da suposio de que o gradiente de presso na direo muito menor que o gradiente de presso na

direo , e por isso, pode ser desprezado. Partindo-se da equao de Reynolds:

Tem-se que:

Portanto a equao de Reynolds simplificada para o caso do mancal curto dada por:

(4.73) Para determinarmos o perfil de presso para o mancal curto necessrio solucionar a equao (4.73). Anteriormente foi deduzida uma expresso para o clculo da espessura do filme de leo lubrificante, , e verifica-se em tal expresso que no de pende da

varivel . Portanto, pode-se reescrever a equao (4.73) da seguinte forma.

(4.74)

90

Integrando-se esta equao em relao varivel , obtm-se:

(4.75) Na qual uma constante resultante do processo de integrao. Integrando-se a

equao (4.75) em relao varivel , obtm-se:

(4.76) Com e , constantes de integrao. s depende de , logo e, portanto,

Como foi dito anteriormente,

pode-se escrever a seguinte expresso para o perfil de presso:

(4.77)

4.3.2 SOLUO DE GMBEL PARA MANCAIS CURTOS

a. PRESSO NO FILME DE LEOAplicando-se as condies de contorno de Gmbel na equao (4.77):

Encontram-se as equaes:

(4.78)

(4.79)

91

Somando-se as equaes (4.78) e (4.79),tem-se:

Subtraindo as equaes (4.78) e (4.79) tem-se:

, porm

, pois

a largura do mancal, logo:

.

Portanto, com as constantes de integrao determinadas pode-se reescrever a equao (4.77) da seguinte forma:

(4.80) Lembrando-se que:

Portanto:

Substituindo-se estas informaes na equao (4.80) determina-se a expresso para o clculo do perfil de presso do mancal curto.

(4.81)

Nos mancais curtos a espessura do filme de leo lubrificante, , converge no intervalo , resultando no efeito de cunha e gerao de presses positivas. a espessura do filme de leo lubrificante

Por outro lado, no intervalo

92

diverge e ocorre a gerao de presses negativas. Em regies de presses negativas ocorre cavitao no fluido violando sua continuidade. Na prtica a contribuio da regio de presses negativas pode ser desprezada no clculo da capacidade de carga dos mancais. Ento, para os mancais curtos a anlise matemtica ser efetuada somente no intervalo de convergncia da espessura do filme de leo lubrificante, ou seja, no intervalo (soluo de Gmbel) (HORI, 2006).

b. FORA NO FILME DE LEO E CAPACIDADE DE CARGA DO MANCALO clculo da capacidade de carga dos mancais curtos feito de maneira similar ao clculo realizado para os mancais infinitamente longos, ou seja, integrando-se a presso ao longo de todo o mancal. No entanto, para os mancais curtos a presso uma funo das variveis e .

Adaptando-se as equaes das componentes da capacidade de carga dos mancais infinitamente longos as caractersticas geomtricas dos mancais curtos, tm-se as seguintes equaes para o clculo da capacidade de carga:

(4.82)

(4.83) Substituindo a equao (4.81) nas equaes (4.82) e (4.83), tm-se o seguinte resultado:

Primeiramente para a equao (4.82).

93

(4.84) Agora para a equao (4.83):

94

(4.85) Portanto, as componentes da capacidade de carga para os mancais curtos so dadas por:

Para determinar a capacidade de carga basta apenas solucionar as integrais presentes nas equaes das componentes presente na equao (4.84), componente : e . Iniciando-se com a integral

Esta integral facilmente resolvida se adotarmos a seguinte mudana de varivel

Logo, encontram-se as seguintes relaes:

Substituindo estas informaes na integral, obtm-se:

Estas integrais possuem solues triviais dadas por:

95

Agora basta retornar a varivel inicial e calcular a integral definida.

Sendo que:

Logo:

(4.86)

96

Agora necessrio resolver a integral presente na expresso da componente da capacidade de carga, abaixo relacionada.

Esta integral pode ser facilmente resolvida aplicando-se a tcnica de soluo por fraes parciais, no entanto, algumas manipulaes podem facilitar este trabalho. Sabemos que logo:

Expandindo-se em fraes parciais o segundo termo do lado direito da equao anterior:

Para igualdade ser verdadeira as seguintes condies devem ser satisfeitas:

Logo:

97

Portanto:

Sendo assim:

Recai-se novamente nas integrais da forma:

que j formam calculadas anteriormente, ento, pode-se reescrever a expresso anterior substituindo-se os valores destas integrais.

98

Portanto:

(4.87) Substituindo-se as equaes (4.86) e (4.87) respectivamente nas equaes (4.85) e (4.86), encontra-se:

Para componente

:

(4.88) Para componente :

(4.89) Portanto, o mdulo da capacidade de carga do mancal curto dado por:

99

(4.90) O ngulo de atitude do mancal pode ser calculado atravs da equao (4.33), resultando em:

(4.91)

c. FORA DE ATRITOAtravs da operao matemtica da integrao possvel calcular a fora de atrito atuante no rotor a partir da expresso da tenso de cisalhamento, conforme realizado anteriormente na equao (4.47). A integral realizada sobre toda superfcie do rotor do mancal, que possui o seguinte elemento de rea . Portanto, tem-se que:

A tenso de cisalhamento do fluido pode ser facilmente obtida, uma vez que, o perfil de velocidade j foi determinado anteriormente e dado pela equao

(3.70) apresentada a seguir:

100

Tratando-se do caso de mancais curtos o termo presso assume a seguinte forma:

nulo, portanto o perfil de

(4.92) Com a tenso de cisalhamento dada por:

Substituindo a equao (4.92) na expresso anterior e efetuando-se as operaes de calculo devidas, obtm-se:

(4.93)

Portanto a fora de atrito no caso do mancal curto dada por:

(4.94)

Agora que a expresso para o mdulo da fora de atrito foi determinada possvel obter o valor do coeficiente de atrito.

Sendo que, (4.90). Logo:

corresponde a capacidade de carga do mancal dada pela equao

101

(4.95) A dissipao de energia por unidade de tempo no mancal infinitamente longo, , calculada a partir do torque de atrito. Na qual em (rad/s). a velocidade angular do rotor

(4.96)

d. NMERO DE SOMMERFELDO nmero de Sommerfeld obtido a partir da manipulao da equao da capacidade de carga, dada pela equao (4.90). Rearranjando os termos de acordo com a definio do nmero de Sommerfeld:

Recordando-se que

e

, tem-se ento:

(4.97)

102

4.4. SOLUO NUMRICANas sees passadas a distribuio de presso ao longo da superfcie de um MHR foi calculada partindo-se de hipteses simplificadoras que tornaram possvel resolver a equao de Reynolds analiticamente. No entanto, estes modelos de mancais infinitamente longos e curtos possuem limitaes de aplicao, o que torna necessrio a soluo da equao de Reynolds sem as simplificaes impostas. A equao de Reynolds para o caso de mancais finitos s pode ser resolvida numericamente. Isto conseguido atravs da aplicao de mtodos numricos e implementao de programas computacionais. A equao de Reynolds pode ser resolvida por diversos mtodos numricos, tais como: elementos finitos, volumes finitos, diferenas finitas entre outros. Neste trabalho a soluo proposta ser obtida atravs do mtodo das diferenas finitas.

4.4.1 O MTODO DAS DIFERENAS FINITAS MDFBasicamente o MDF transforma um sistema de equaes diferencias em um sistema de equaes algbricas, no qual o nmero de equaes depender do refinamento na malha utilizada na anlise. As aproximaes em diferenas finitas tm como base a expanso em srie de Taylor. Supondo que a funo seja contnua no intervalo [a, b] de interesse e

que possua derivadas de ordem N contnuas neste intervalo, a expanso de Taylor em torno de um ponto contido neste intervalo pode ser expressa por:

(4.98)

(4.99) Isolando-se a primeira derivada nas equaes (4.98) e (4.99), obtm-se:

103

(4.100)

(4.101) Somando-se as equaes (4.100) e (4.101) obtm-se:

(4.102) Subtraindo-se as equaes (4.100) e (4.101) obtm-se:

(4.103) A equao de Reynolds a ser resolvida pelo MDF apresenta abaixo:

Lembrando-se que

, possvel reescrev-la da seguinte maneira:

(4.104) Para aplicao do MDF necessrio discretizar a superfcie planificada do mancal, no entanto, devido simetria longitudinal do mancal define-se a malha apenas em metade do mancal. As condies de contorno so: a presso nula nas bordas da malha; o gradiente de presso na direo longitudinal. nulo, isso devido simetria

104

Analisando-se a presso

em um ponto genrico

da malha,

determina-se os diferenciais de presso neste ponto, considerando-se as presses nos pontos adjacentes e os correspondentes incrementos.

Figura 4.7 Malha para aplicao do MDF A partir das equaes (4.102) e (4.103), podemos reescrever a equao (4.104) da seguinte forma: Para o primeiro termo da equao (4.104), no ponto da malha, tem-se:

Para o segundo termo da equao (4.104):

Para o terceiro:

Portanto, a equao (4.104) pode ser reescrita da seguinte forma:

(4.105)Na qual:

105

Desenvolvendo este equacionamento para todos os pontos da malha pode-se definir: uma matriz , formada pelos coeficientes da equao (4.105) que que corresponde ao terceiro termo

multiplicam os termos das presses; um vetor da equao (4.105); e um vetor

formado pelas presses de cada um dos ns da

malha, as quais devem ser calculadas. Ento, pode-se representar o sistema de equao da seguinte forma:

(4.106) Agora, reescrevendo-se a equao (4.105) da seguinte forma:

(4.106)

Da equao (4.106) v-se que cada ponto da malha est relacionado com quatro pontos vizinhos e que para cada um destes pontos escreve-se uma equao na

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forma discretizada, resultando no sistema de equaes. Quanto mais refinada for malha, maior ser o trabalho computacional e menor ser o erro acumulado.

4.4.2 IMPLEMENTAO DO PROGRAMA COMPUTACIONAL PARA SOLUO NUMRICAPara soluo numrica da equao da equao de Reynolds pelo MDF foi elaborado um programa em ambiente MatLab. A construo do programa foi baseada no fluxograma apresentado na Figura 4.8. A parte em cinza do fluxograma j esta implementada e funcionando corretamente. Com ela possvel obter o perfil de presso para meio mancal de acordo com as condies de contorno de Sommerfeld, ou seja, considerando-se a presena de presses negativas no equacionamento. A parte em branco do fluxograma corresponde a um mdulo do programa que ainda necessita ser implementado, com este mdulo ser possvel modelar o mancal a partir das condies de contorno de Gmbel, ou seja, desprezando-se as presses negativas. A implementao deste mdulo fica como uma sugesto de trabalho futuro.

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Incio Definir caractersticas geomtricas e de operao do HJB Definir caractersticas da malha para a aplicao do MDF Calcular presso esttica P0 no HJB via MDF

Montar malha de presso esttica P0

No

Pontos com P0