TRABALHO-ENERGIA-CONSERVAÇÃO-POTÊNCIA-RENDIMENTO-250409

BSSSB

Prof. Luiz Abelardo Freire - Msc

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TRABALHO ▀

ENERGIA MECÂNICA ▀

CONSERVAÇÃO

DA ENERGIA

MECÂNICA ▀

POTÊNCIA ▀

RENDIMENTO ▀

TEORIA

OS CINCO VALORES HUMANOS (BSSSB)

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TRABALHO (W) E ENERGIA

A 2ª Lei de Newton é o ponto de partida para se chegar ao Trabalho de uma Força Constante, para isso observe a figura 1 e veja a equação 1:

Figura 1

o

o

rtt

vv.ma.mF

(Equação 1)

mas é possível matematicamente multiplicar o segundo membro por

o

o

xx

xx

ficando equação 2:

m

o

o

o

o

o

o

r v.xx

vv.m

tt

xx.

xx

vv.mF

(Equação 2)

dai multiplicando ambos os membros por x − x0 obtém-se a equação 3:

2

vv.vv.mxx.F o

oor

(Equação 3)

nesta equação-3 os físicos nomearam o 1º membro de Trabalho de uma força constante, e a expressão passa a ser a equação 4.

orAB xx.FW (Equação 4)

A definição é: Trabalho (work) de uma força constante é igual ao produto da força pelo deslocamento realizado.

De acordo com a forma que motivou essa nova grandeza é dito que a força constante não é

somente a força resultante rF , mas qualquer força constante que durante o deslocamento

permaneça invariante.

Será feito um esquema no qual a força aplicada F forme certo ângulo com o sentido positivo do

eixo-x. Veja a figura-2.

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Figura 2

Observe que a força aplicada é F

, porém só uma parte dela que é cos.F produz o

deslocamento d , a outra sen.F só faz aliviar o solo de suportar o peso do corpo, então a

expressão mais geral do Trabalho de uma Força Constante será a equação 5.

d.cos.FWAB (Equação 5)

Foi justamente essa equação-5 que deu origem ao que hoje se chama Produto Escalar de dois vetores, não precisa dar tratamento vetorial ao Trabalho de uma Força visto Força e Deslocamento sendo vetores resulta após o produto dos dois um resultado que não depende de direção e sentido, porque se você colocar esse corpo no centro de uma circunferência de raio igual a d, no plano horizontal, e deslocá-lo radialmente, a força que causará o deslocamento estará sempre na direção do raio, ou sua componente estará na direção do raio, daí considerar-se o produto sendo

escalar e não vetorial. Escreve-se, na notação vetorial, conforme a equação 6.

d.FWAB

(Equação 6)

Unidades de Trabalho (Tabela 1):

Tabela 1

Sistema C.G.S. M.K.S.(S.I.) M.KF.S.(S.T.)

Trabalho ou energia erg joule kgm kwh cal CV.h

1 joule 107 1 0,10204 2,78x10-7 0,2392 3,77x10-7

Trabalho ou energia BTU.h kp.m HP.h eV

1 joule 0,000949 0,102 3,78x10-7 6,25x1018

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CÁLCULO DO TRABALHO DE UMA FORÇA NUM PLANO INCLINADO

Figura 3

Com a intenção de facilitar o entendimento será usado o método das indagações, que geralmente é o que se faz quando se quer aprender algo. De acordo com a figura 3 observam-se os itens abaixo.

(1) A força yF , externa, é considerada no cálculo do Trabalho da força F ? Resp. Não, porque ela

não contribui na realização do movimento.

(2) A força xF é uma força externa e por sua vez serve para vencer os obstáculos, ou seja, serve

para fazer subir o corpo, serve para acelerar e serve para vencer o atrito. A pergunta é: Como

escrevê-la em função do peso, da força resultante e da força de atrito? Resposta: Pela figura-3 é possível expressar a força resultante na direção do movimento como

equação 7.

axxr fPFF (Equação 7)

e a força aplicada para subir como equação 8.

arxx fFPF (Equação 8)

que na forma de vetor é o que apresenta a figura-4. Note que a direção dos vetores é a direção do plano inclinado, embora a figura-4 mostre os vetores desenhados numa linha horizontal:

Figura 4

(3) Como encontrar o Trabalho realizado pela força externa F em função de suas partes

arx feF,P ?

Resposta: A equação 9.

AB.fAB.FAB.PAB.fFPABFW arxarxx (Equação 9)

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De acordo com a equação-9 o Trabalho da força xF , no deslocamento AB, é formado de

três parcelas, conforme a equação 10.

atritoWacelerarWPesoWW ABABABAB (Equação 10)

ABW = Trabalho da força externa F = AB.Fx ;

PWAB = Trabalho contra o Peso, ou seja, Trabalho para fazer subir o corpo;

aWAB = Trabalho para acelerar o corpo;

atWAB = Trabalho contra o atrito.

(4) Que significa cada parcela da equação-10?

Resposta: ABW é energia (transmitida ao corpo) então as parcelas são também energias.

Separadamente o que cada uma delas nos informa é:

(a) Na equação-9: ABABx h.Ph.Phh.Psen.AB.PAB.sen.PAB.P .

Bh.P e Ah.P são energias, porém a forma como estão escritas diz que elas dependem somente

da altura na qual se encontra o corpo em apreço, ou seja, é uma energia que depende da posição (ponto). Nesse caso cada uma delas pode ser chamada de “Energia Potencial” e como o peso faz parte de sua fórmula vale acrescentar e finalmente ficar Energia Potencial Gravitacional.

Simbolicamente é:

BBB h.g.mh.PU é o potencial gravitacional no ponto B;

AAA h.g.mh.PU é o potencial gravitacional no ponto A.

O produto Px · AB será chamado de variação de Energia Potencial Gravitacional (equação

11).

h.PU é a Variação de Energia Potencial Gravitacional. (Equação 11)

(b) Na equação-3 e equação-9: AB.a.mAB.Fr , porém o produto AB.a pode ser tirado

da equação de Torricelli e 2

vvAB.a

2

o

2 que substituindo obtém-se a equação 12.

2

o

2

2

o

2

r v.m.2

1v.m.

2

1

2

vv.mAB.F

(Equação 12)

aqui também essas parcelas são energias porém a forma de se escrevê-las não são iguais as da

energia potencial, então como só dependem da velocidade instantânea (velocidade no ponto) será chamada cada uma de Energia Cinética (K); mais uma vez nota-se que não importa se o corpo

(carro,p.ex.) vai para um lado ou para o outro, o resultado da sua Energia Cinética naquele ponto é o mesmo, visto a velocidade estar elevada ao quadrado. Lembrete: a letra K de energia cinética vem do inglês Kinetic=cinético.

2

B mv2

1K ;

2

oA mv2

1K ou para qualquer ponto fica:

2mv

2

1K .

A diferença entre elas é a Variação de Energia Cinética (equação 13).

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6

2

o

2vvm

2

1K (Equação 13)

Concluindo: A energia gasta (trabalho realizado) para acelerar é igual à variação de energia cinética (equação 14).

KaWAB (Equação 14)

(c) Ficou faltando analisar a terceira parcela AB.fa . Esta parcela significa a energia gasta

para vencer o atrito do corpo com o plano; ou ainda é possível chamar Trabalho contra o atrito, Não confundir com Trabalho de Atrito, que não é o caso no momento estudá-lo visto a preocupação ser com a força externa aplicada por um agente externo, que pode ser a força humana, um motor ou qualquer outra máquina que execute um trabalho. Daí a expressão fica sendo a equação 15.

AB.fatW aAB (Equação 15)

Note que é possível afirmar que esse trabalho contra o atrito não é só o atrito com o plano, mas pode ser incluído o atrito com fluidos (ar, líquidos e outros gases), onde essa força de atrito pode ser encontrada com o nome de “força viscosa” ou “força de atrito do ar”.

(5) Outra pergunta: Como é possível escrever o Trabalho da Força Externa em função do que já foi mostrado? Resposta: Conforme a equação 16.

atWKUW ABAB (Equação 16)

Você pode encontrar essa equação-16, escrita como a equação-17.

BA.fEE aCPAB (Equação 17)

(6) Se num problema for incluído uma mola, como fica a equação-16? Resposta: É só acrescentar mais uma parcela referente à energia potencial elástica, que é, ∆𝐔𝐄.

Veja equação 18.

𝐖𝐀𝐁 = ∆𝐔𝐆 + ∆𝐊 + 𝐖𝐀𝐁 𝐚𝐭 + ∆𝐔𝐄 (Equação 18)

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Gráfico do Trabalho de uma Força Constante

Gráfico 1

A área do retângulo do gráfico-1 entre ox e x é dada pela equação 19.

WF.xxh.bA o (Equação 19)

Conclusão: A área sob a linha do gráfico (Força x deslocamento) dá o Trabalho (W) realizado. E vale para qualquer tipo de curva, apenas no nível Médio de ensino os recursos

matemáticos só permite usar linhas retas, num curso superior o mecanismo ficará mais generalizado.

Trabalho contra a força elástica Inicialmente há uma diferença entre o Trabalho contra a força elástica e o Trabalho da força elástica; o que importa agora é o Trabalho de uma Força Externa e não o Trabalho realizado pela

mola (Força interna) ou outro corpo elástico. A figura 5 ilustra o que foi dito.

Figura 5

Como foi mostrado anteriormente pode-se determinar graficamente o Trabalho de uma força se a função é uma linha é reta; isso acontece com a mola que segue a Lei de Hooke (gráfico 2).

Gráfico 2

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Calculando a área sob a linha fica:

WF.xx.2

1h.b.

2

1A o mas

oxx.kF que substituindo na equação da área vem

a equação -20:

2oxx.k.

2

1W (Equação 20)

De acordo com o gráfico-2 ox é o comprimento da mola livre de tensão; se você quiser escrever a

equação do Trabalho só em função da deformação da mola ( x ou x ) a expressão será a equação

21 ou 22.

2xΔ.k.2

1W (Equação 21) ou 2x.k.

2

1W (Equação 22)

Concluindo: Como a equação do Trabalho Contra a Força Elástica só depende do ponto ( x ) essa

energia fornecida à mola passa a se chamar Energia Potencial, porém como a força é elástica finalmente será chamada Energia Potencial Elástica.

Exemplo: Na figura a seguir, o bloco tem massa 3,5 kg e encontra-se inicialmente em

repouso num ponto da rampa, situado à altura de 1 metro. Uma vez abandonado, o bloco

desce atingindo a mola de constante elástica igual a 10³ N/m, que sofre uma compressão

máxima de 0,25 metros. Sabendo que o experimento foi realizado num laboratório de

física, onde g=9,78 m/s², calcule a energia mecânica dissipada no processo.

Esquema do problema.

Solução:

Dados: m=3,5 kg; 𝑉𝑜 = 0 ; k=10³ N/m ; g=9,78 m/s² ; ∆𝑥 = 0,25𝑚 ;

W(at)=?

Cálculo: A expressão, completa, do trabalho de uma força externa é:

atritoW)mola(WacelerarWPesoWW

No trecho AC: w=0; 𝑊 𝑎 = ∆𝐾; 𝑊 𝑃 = ∆𝑈; 𝑊 𝐹𝑒 =1

2𝑘∆𝑥2

0= 𝐾𝐶 − 𝐾𝐴 + 𝑈𝐶 − 𝑈𝐴 +1

2𝑘∆𝑥2 +W(at)

0 0 0

0=−𝑈𝐴 +1

2𝑘∆𝑥2 + 𝑊(𝑎𝑡)

0=−𝑚𝑔ℎ𝐴 +1

2𝑘∆𝑥2 + 𝑊(𝑎𝑡)

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0=-3,5 kgx9,78m/s²x1m+1

2∙

103𝑁

𝑚∙ 0,25𝑚 2 + 𝑊 𝑎𝑡

0 = −34,23 + 31,25 + 𝑊 𝑎𝑡

𝐖 𝐚𝐭 = 𝟐, 𝟗𝟖 𝐉

Conservação da Energia Mecânica

Como ficaria a aplicação da equação-16 ou equação-17 quando cai uma bola? Resposta: A queda de uma bola é influenciada pelo ar, por simplicidade não foi incluído o estudo do atrito que o ar faz com a superfície externa da bola, por isso para uma queda que é isenta da ação do ar, ou seja, a Queda Livre ou ainda a Queda no Vácuo, e a referida equação-16 ou 17 ficará da forma que se mostra na equação-23.

Quando a bola é solta, no vácuo, 0Fx ; quando ela cai de uma altura h leva a escrever que

0U e no vácuo 0)at(WAB .

0KU (Equação 23)

Análise da equação-23: Escrevendo a variação de energia potencial obtém-se a equação 24.

KU (Equação 24)

Na equação-24 observa-se que o atrito não vai consumir energia, isto mostra que a energia potencial perdida (quando se solta a bola de uma altura h) não vai ser dissipada, e sim transformada em energia cinética; isto é a Conservação da Energia Mecânica. Continuando a análise desdobram-se os dois termos, e se chega à equação 25.

ABAB KKUU

BBAA KUKU (Equação 25)

De acordo com a equação-25 o teorema da conservação da energia mecânica diz que a soma das energias potencial e cinética no ponto A é igual a soma das energias potencial e cinética no ponto B. Quer dizer que entre os pontos A e B essa relação é válida. A soma das energias cinética e potencial será chamada de Energia Total (ET), veja e equação 26.

BEAE TT (Equação 26)

A equação-25 é outra forma de escrever o Teorema da Conservação da Energia Mecânica.

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Equivalente Mecânico do Calor

Figura 6

A caloria (unidade de energia térmica) e o BTU (BritIsh Thermal Unit) foram definidos antes de se aceitar o calor como energia e Joule foi o primeiro a medir o equivalente mecânico do calor. Ele utilizou o dispositivo da figura-6 para determinar que 1 BTU=252,05479 cal. Quando as paletas giram dentro da água (tem-se energia mecânica) a sua temperatura se eleva (isto é energia calorífica) devido ao atrito entre as partes. Então a experiência mostrou que 1 cal=4,186 Joule.

Potência

O conceito de Potência fica compreendido com o seguinte exemplo: Uma força que realiza Trabalho (W) doou 100 joules a um corpo em 10 segundos. A Potência fornecida a esse corpo significa quantos joules foram doados em 1 segundo.

A Potência é igual a 10 joules por segundo ou 10 watts.

Matematicamente é a equação 27.

t

WP

(Equação 27)

Unidades de Potência e as relações entre as mesmas (tabela 2).

Tabela 2

Potência erg/s (C.G.S.)

Watt (joule/seg) (M.K.S.-S.I.)

kgm/s (M.Kf.S.-S.T.)

cal/s CV Cavalo Vapor

HP Horse Power

Kpm/s

1 watt 107 1 0,102 0,2389 1,36x10-

3

1,34x10-

3

0,102

Se dividir por t a equação-10 será obtido à equação-28 que é a Potência fornecida por uma

força externa.

atritoPacelerarPpesoPP (Equação 28)

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Rendimento para uma máquina

O conceito de Rendimento (representado pela letra grega ) é entendido com a relação da

energia que sai de uma máquina, chamada de energia útil e a energia que entra na mesma, chamada de energia total. Para designar a entrada usa-se “in” e para a saída “out”.

Figura 7

A equação-29 mostra a relação mencionada, porém o resultado e dado em porcentagem.

%100xP

P

in

out (Equação 29)

Rendimento para duas máquinas

Se um motor elétrico aciona um engenho para fazer caldo de cana há nesse caso duas máquinas acopladas. Veja a figura-8. Então o rendimento será dado pela equação 30.

Figura 8

2P

2Px

1P

1P

1P

2P

in

out

in

out

in

out mas 2P1P inout

então finalmente o rendimento total para essas duas máquinas é :

21 . (Equação 30)

Se houver “n” máquinas acopladas o rendimento total será dado pela equação 31.

n21 .... (Equação 31)

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