Tipos de for as - fap.if.usp.brfap.if.usp.br/~jhsevero/fisica3/semana_03.pdf · Exemplo de superf...
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Tipos de forças- As forças em físicas podem ser divididas em dois grandes grupos que são:
- a) forças conservativas: são forças cujo trabalho não depende da trajetória. Exemplo: força gravitacional, elástica, eletrostática etc;
- b) forças não conservativas: são forças onde o trabalho depende da trajetória.
- Exemplo: força atrito.
Propriedades das forças conservativas
- a) O trabalho realizado pela força F para levar a partícula da posição 1 até a posição 2 pelo caminho L1 é igual ao trabalho para levar a partícula da posição 1 até a posição 2 pelo caminho L2;
- b) Se o sentido da trajetória é invertido, então o trabalho muda de sinal, ou seja;
- Resumindo essas duas propriedades temos que:
Propriedades das forças conservativas e trabalho realizado
por uma força eletrostática- Obs: Qualquer força que possua a dependência será conservativa,
portanto a força de Coulomb é conservativa.
Trabalho realizado pela força eletrostática:
Quando uma carga se desloca em um campo eletrostático a força eletrostática realiza um trabalho. Para um deslocamento infinitesimal de uma carga pontual o trabalho realizado será:
onde é um vetor infinitesimal tangente a trajetória
Trabalho realizado por uma força eletrostática e energia potencial
eletrostática
- O trabalho realizado pelo campo eletrostático em uma carga faz com que a energia potencial do sistema isolado campo-carga varie de uma quantidade igual a:
A energia potencial U do sistema por unidade de carga é independente do valor da carga e possui um único valor para cada ponto no campo eletrostático. Portanto a grandeza , que é independente do valor da carga recebe o nome de potencial elétrico.
Diferença de potencial em um campo uniforme
Obs: Como a carga de prova é positiva então a variação da energia potencial é negativa. Isto significa que qdo uma carga de prova se desloca no sentido das linhas de campo a energia potencial elétrica do sistema carga-campo diminui. Isto acontece porque como o campo tem a direção -Y é de se esperar que cargas negativas localizadas abaixo da carga de prova estão gerando esse campo. Ao liberar a carga de prova de uma posição A ela vai acelerar até a posição B. Consequentemente sua energia cinética aumentará o que deve gerar uma redução na energia potencial.
Diferença de potencial em um campo uniforme
Obs: Portanto, o plano perpendicular as linhas de campo onde o potencial é constante recebe o nome de superfície equipotencial. Tendo em vista que a variação da energia potencial elétrica é , nenhum trabalho é realizado para mover uma partícula entre dois pontos em uma superfície equipotencial.
Potencial elétrico e energia potencial de cargas pontuais
Para
O potencial elétrico de duas ou mais cargas é obtido aplicando-se o princípio da superposição, ou seja:
Energia potencial de um grupo de cargas
- Obs1: Entendemos por energia eletrostática de um grupo de m cargas pontuais como a energia potencial do sistema relativo ao estado em que as cargas estão infinitamente afastadas umas das outras.
- Obs2: Esta energia pode ser obtida calculando-se o trabalho para reunir todas as cargas, trazendo uma de cada vez.
- Obs3: O trabalho para trazer uma carga do infinito até a carga a uma distância é igual a:
onde é o potencial criado pela carga no ponto para onde é trazida a carga que está sendo transportada . Do mesmo modo, o trabalho para trazer a carga do infinito até a uma distância é igual a:
onde é o potencial criado pela carga no ponto para onde é trazida a carga que está sendo transportada .
Energia potencial de um grupo de cargas
- Portanto podemos escrever que:
- Para incluir todas as possibilidades de transporte de cargas, vamos escrever a última expressão da seguinte maneira:
- A fórmula acima expressa a energia potencial para um sistema constituído de duas cargas. Para trazer uma nova carga deve-se realizar a seguinte trabalho:
- onde é o potencial criado pela carga e no ponto para onde é trazida a carga . A energia des novo sistema de cargas vale:
Energia potencial de um grupo de cargas
- A última expressão pode ser reescrita como segue:
Se mais cargas forem adicionadas a este sistema de modo que o número total de cargas seja N então a energia potencial tem a forma:
Gradiente de uma função escalar- O gradiente é definido matematicamente como segue:
- Portanto, o gradiente do potencial elétrico tem a forma:
- Como o campo elétrico pode ser escrito através de menos (-) o gradiente do potencial elétrico temos que:
Para esclarecer o significado físico do gradiente vamos multiplicar escalarmente o gradiente da função V pelo vetor deslocamento , ou seja:
Gradiente de uma função escalarPortanto, podemos escrever que:
Como podemos observar, o produto escalar do gradiente do potencial elétrico pelo vetor deslocamento é igual ao diferencial da função V. Como o produto escalar dá informação sobre a projeção de um vetor sobre uma determinada direção, isso significa dizer que a projeção do gradiente na direção do raio vetor é igual ao incremento que a função V(x,y,z) sofre quando o argumento aumenta em dr. Em outras palavras, da informação sobre o crescimento de uma certa função em uma dada direção.
Potencial produzido por uma distribuição de cargas
Potencial elétrico devido a uma distribuição volumétrica de cargas: o potencial produzido por uma carga puntiforme tem a forma:Uma vez que o princípio da superposição vale tanto para o campo como para o potencial, podemos tomar um elemento infinitesimal de uma distribuição volumétrica de cargas e escrever o elemento infinitesimal desse potencial da seguinte forma: más por outro lado . Dai o potencial produzido por uma distribuição volumétrica de cargas assume a seguinte forma:
Potencial elétrico devido a uma distribuição superficial de cargas: se as cargas encontram-se em uma superfície qualquer, então a distribuição de cargas pode ser caracterizada por uma densidade superficial de cargas . Neste caso, em um elemento infinitesimal de área dA teremos uma carga igual a . Portanto o potencial em um ponto qualquer do espaço vale:
onde r é a distância entre o elemento de volume dV e o ponto onde se calcula o potencial
Propriedades do potencial eletrostático
- 1) O potencial é uma grandeza escalar, portanto não existem componentes a serem tratadas. Isto significa que o princípio da superposição se reduz a uma soma algébrica.
- 2) Como acontece com a energia potencial em mecânica, somente variações do potencial eletrostático são significativas. Neste sentido escolhe-se um ponto onde o potencial possa ser considerado nulo como ponto de referência. Este ponto é geralmente tomado no infinito.
- 3) O potencial devido a uma distribuição de cargas pode ser calculado dividindo-se a distribuição em um elemento infinitesimal de carga dq situado a uma distância r. Esse elemento é então tratado como uma carga pontual que produz um potencial no ponto P igual a . O potencial total é então obtido pela integração em todo o volume.
Propriedades do potencial eletrostático
- 4) Se é conhecido o campo E, o potencial também pode ser obtido através da integral .
- 5) Uma vez conhecida a função V(x,y,z) é possível determinar o campo elétrico através do gradiente da função V.
Potencial devido a um anel uniformemente carregado
- 1) Obter o potencial e o campo elétrico em um ponto P situado no eixo de um anel uniformemente carregado de raio a e carga total Q.
Potencial devido a um disco uniformemente carregado
- 2) Obter o potencial e o campo elétrico ao longo do eixo que passa perpendicularmente pelo centro de um disco de raio a e densidade superficial de carga .
Potencial devido a uma barra uniformemente carregada
- 3) Obter o potencial de uma barra de comprimento l e carga total Q que está disposta ao longo do eixo X. O ponto P onde se deseja obter o potencial está localizado a uma distância y da origem no eixo Y.