Superf cies Qu adricas - Unesp - Instituto de Química2 e com planos da forma z = k d a a hip erbole...

Superfıcies de revolucao

Superfıcies Quadricas

Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela

Instituto de Quımica - UNESPAraraquara, SP

[email protected]

Araraquara, SP - 2017

Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017


1 Superfıcies de revolucao



Superfıcies de Revolucao

Sao superfıcies criadas pela rotacao de uma curva (geratriz) emtorno de uma reta (o eixo). A regiao delimitada pela superfıcie derevolucao e denominada solido de revolucao .



Equacao de uma superfıcie de revolucao

Seja P(x , y , z) um ponto da superfıcie. Entao P pertence a umacircunferencia gerada por um ponto Q ao girar a curva C contida noplano yz em torno do eixo de rotacao (na figura, C : F (y , z) = 0).

R(0, 0, z): centro da circunferenciaQ(0, y1, z) ; ponto da curva C

PR = QR ⇒ y21 = x2 + y2

F (y1, z) = 0: equacao da superfıcie



Elipsoide de revolucao

Rotacao da elipsey2

b2+

z2

c2= 1, x = 0 em torno do eixo z .

R(0, 0, z): centro da circunferenciaQ(0, y1, z) ; ponto da elipse no plano yz

PR = QR ⇒ y21 = x2 + y2

y21

b2+

z2

c2= 1

x2

b2+y2

b2+z2

c2= 1: equacao do elipsoide.



Observacoes

Se a rotacao for em torno do eixo y a equacao do elipsoide seria

x2

c2+

y2

b2+

z2

c2= 1

.

Se b = c a elipse reduz-se a uma circunferencia

y2

b2+

z2

b2= 1, x = 0

e a superfıcie a uma esfera

x2

b2+

y2

b2+

z2

b2= 1

.



Exemplo 1:

Rotacao da elipsex2

9+

y2

4= 1, z = 0 em torno do eixo x .



Hiperboloides de revolucao

Rotacao da hiperboley2

b2− z2

c2= 1, x = 0 em torno do eixo z e do

eixo y .



Hiperboloides de revolucao: equacoes

Rotacao de F (y , z) =y2

b2− z2

c2− 1 = 0 em torno do eixo-z :

F (y1, z) = 0 sendo y1 = y2 + x2

Hiperboloide de uma folha:x2

b2+

y2

b2− z2

c2= 1

Rotacao de F (y , z) =y2

b2− z2

c2− 1 = 0 em torno do eixo-y :

F (y , z1) = 0 sendo z1 = z2 + x2

Hiperboloide de duas folhas: −x2

b2+

y2

b2− z2

c2= 1



Exemplo 2:

Rotacao da hiperbolex2

4− y2

5= 1, z = 0 em torno do eixo y :



Exemplo 2: equacao do hiperboloide

F (x , y) =x2

4− y2

5− 1 = 0

P(x , y , z): ponto na superfıcie

R(0, y , 0): centro da circunferencia gerada pela rotacao de P

Q(x1, y , 0): ponto na curva (hiperbole)

PR = QR: x2 + z2 = x21

F (x1, y) = 0 pois Q pertence a hiperbole

x21

4− y2

5= 1⇒ x2

4− y2

5+

z2

4= 1



Exemplo 3:

Rotacao da parabola x = y2, z = 0 em torno do eixo x :



Exemplo 3: equacao do paraboloide

F (x , y) = x − y2 = 0

P(x , y , z): ponto na superfıcie

R(x , 0, 0): centro da circunferencia gerada pela rotacao de P

Q(x , y1, 0): ponto na curva (parabola)

PR = QR: y2 + z2 = y21

F (x , y1) = 0 pois Q pertence a parabola

x − y21 = 0⇒ x − y2 − z2 = 0

oux = y2 + z2



Exemplo 4: cone de revolucao

Rotacao da reta y = mz , x = 0 em torno do eixo z (eixo do cone):

F (y , z) = y −mz = 0.Como a rotacao se da em torno do eixoz tem-se F (y1, z) = y1 −mz = 0, sendoy2

1 = x2 + y2.Portanto,

x2 + y2 = m2z2



Exemplo 5: cilindro de revolucao

Rotacao de uma reta r em torno de uma reta s, sendo r e s paralelas:

Seja s o eixo z e Q(0, 0, z). Entao dadoP(x , y , z) pertencente ao cilindro tem-se:

d(P,Q) = a⇔√

x2 + y2 = a

x2 + y2 = a2



Exemplo 6: cilindro elıptico



Exemplo 7: cilindro parabolico



Exemplo 8: paraboloide hiperbolico



Exercıcios

1) Determine as coordenadas de um ponto generico da circunferenciadescrita pelo ponto Q(2, 3, 5) ao girar em torno do eixo y .

2) Determine a intersecao do plano x = 2 com a circunferencia des-crita pela rotacao do ponto Q(−2,−1, 4) ao girar em torno doeixo z

3) Escrever uma equacao da superfıcie gerada pela rotacao daparabola x = y2, z = 0, em torno de seu eixo. Sugestao:Q(x ,±

√x , 0) sao pontos da parabola.

4) Obter a equacao da superfıcie gerada pela rotacao da curva z =seny , 0 ≤ y ≤ 2π em torno do eixo y . Sugestao: observe quese P(x , y , z) e um ponto da superfıcie, entao Q(0, y , seny) e umponto sobre a curva.



Exercıcios

5) Mostre que a equacao x2 +y2 +z2−2x−4y +2z +6 = 0 reduz-sea um unico ponto. Determine tal ponto.

6) Encontre uma superficie tal que sua intersecao com planos da

forma x = k da a elipse z2

4 + y2

9 = k2, com planos da forma y = k

da a hiperbole 9x2 − 9z2

4 = k2 e com planos da forma z = k da a

hiperbole 4x2 − 4y2

9 = k2.

7) Encontre a equacao da curva cuja rotacao em torno do eixo xresulta em uma esfera de centro em C (1, 0, 1) e raio 2.

8) Determinar a parametrizacao do arco de circunferencia definidopela intersecao das superfıcies x2 + y2 + z2 = 9 e x + y = 3situado acima do plano xy .


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