TextoRelatividadeFisica IV

7/25/2019 TextoRelatividadeFisica IV

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Texto de Relatividade para Física IV - Prof. Maria Luiza Bedran

1. RelatividadeA teoria da Relatividade Especial baseia-se no princípio de que todos os referenciais

inerciais são equivalentes em relação à formulação das leis físicas ( PrimeiroPostulado).

1.1 Invari!ncia das leis físicas

Referencial inercial ! por definição! um referencial no qual as leis demovimento de "e#ton são v$lidas. %m carrossel &irando ou um carro acelerado não sãoreferenciais inerciais. 'ualquer referencial movendo-se com velocidade constante emrelação a um referencial inercial tambm inercial! porque a aceleração de um corpo amesma quando medida nestes dois referenciais.

%m observador que deia cair um obeto num trem em movimento observa uma

traet*ria retilínea! enquanto que um observador na estação observa uma traet*ria parab*lica. Para cada observador! usando velocidades e aceleraç+es medidas em seu pr*prio referencial! as leis de "e#ton são obedecidas. As leis de Newton são as mesmas

(invariantes) em todos os referenciais inerciais.

Einstein prop,s em /0 que este princípio deveria ser estendido a todas as leisda física.

1onsideremos a propa&ação de ondas na matria. %ma fonte de ondas sonorasest$ em repouso em relação ao ar atravs do qual as ondas se propa&am. A eperi2nciamostra que para um observador em repouso em relação ao ar! as ondas se propa&amcom a mesma velocidade em todas as direç+es. Para um observador em movimento! noentanto! a velocidade aparece diferente. Para um observador que se afasta da fonte comvelocidade u ! a velocidade das ondas v - u ! onde v a velocidade do som em relaçãoao ar. Analo&amente! para um observador que se aproima da fonte! a velocidade dasondas v + u .

3er$ que essas consideraç+es tambm se aplicam a fen,menos *pticos4 5s físicosdo sculo 676 acreditavam que a lu8 deveria ter um meio material no qual se propa&ar.Este meio 9ipottico era c9amado de éter . 3uas propriedades deveriam ser as se&uintes:

a) densidade muitíssimo baia! $ que não era observado. b) etremamente rí&ido para ustificar o alto valor da velocidade da lu8.3e o ter eistisse! deveria ser possível determinar nosso movimento em relação a

ele! medindo a velocidade da lu8 em v$rias direç+es. ;odas as eperi2ncias reali8adas

com o obetivo de medir a velocidade do ter deram resultados ne&ativos. As maiscon9ecidas são as eperi2ncias de <ic9elson e <orle=. >icou claro que o ter nãoeiste. A propa&ação da lu8 no v$cuo não pode ser entendida com base na propa&açãode ondas num meio material.

3omos levados a concluir que! se todos os referenciais inerciais são equivalentes para a propa&ação da lu8! então a velocidade da luz no vácuo deve ser a mesma em

todos os referenciais inerciais (3e&undo Postulado). 3e&ue-se que! a velocidade da luz é

independente do movimento da fonte. Assim que a lu8 emitida por uma fonte ela?esquece@ qualquer movimento que a fonte ten9a em relação a al&um observador e viaacom uma velocidade definida (desi&nada por c) independente do movimento da fonte.

Esta conclusão foi confirmada eperimentalmente em B. <ediu-se a velocidade

da radiação eletroma&ntica emitida pelo decaimento de mesons/

π movendo-se a



rel*&ios em movimento relativo e determinar com certe8a que eles permanecemsincroni8ados durante o movimento.

Oeremos mais adiante que estas duas 9ip*teses! a invariIncia do comprimento ea escala de tempo universal! devem ser modificadas para ficarem de acordo com o

princípio de invariIncia das leis físicas sob transformaç+es de coordenadas.

1.* Relatividade do te#po

Para desenvolver as conseq2ncias dos postulados de Einstein! faremos uso deeperi2ncias ima&inadas. Ao discutir eperi2ncias ima&inadas precisamos tomar muitocuidado para não fa8ermos consideraç+es que violem os postulados da relatividade.

Eperi2ncias ima&inadas envolvem a descrição de um ou mais eventos em v$riosreferenciais. A descrição de um evento inclui a posição e o instante de tempo em que eleocorre. %m evento descrito num sistema 3 como (x#$#z#t) pode ser descrito em 3K como(x#$#z#t). "osso obetivo obter uma transformação &eral que relacione estas duasdescriç+es. 5 resultado! as transforma%&es de 'orentz ! uma &enerali8ação das relaç+es

"e#tonianas (.B).Primeiro vamos questionar a 9ip*tese "e#toniana de que t! t . >açamos a

se&uinte per&unta: 'uando dois eventos ocorrem! cada um deles observado em doisreferenciais 3 e 3K! o intervalo de tempo entre eles parecer$ i&ual ou diferente nos doisreferenciais4

Ao tentar responder a esta per&unta qualitativamente! precisamos notar que amedida de tempo ou intervalos de tempo envolve o conceito de simultaneidade de doiseventos. 'uando di8emos que um ,nibus deia a estação ao meio-dia! queremos di8er que o evento da passa&em do ,nibus pelo fim da plataforma simultIneo ao evento do

ponteiro do rel*&io atin&ir o nQmero B. A dificuldade fundamental com medidas detempo que dois eventos que parecem simultIneos num referencial! em &eral não

parecem simultIneos em outro referencial que se move em relação ao primeiro. Para ver isso! consideremos a se&uinte eperi2ncia ima&inada:

>7J%RA B na p$&.

%m lon&o trem move-se com velocidade constante. Hois raios atin&em o tremnas suas etremidades. 1ada raio deia uma marca no trem e no tril9o no mesmoinstante. 5s pontos marcados no tril9o são desi&nados por + e B ! e os pontos

correspondentes no trem por +, (traseira) e B, (dianteira). 5 trem move-se de + para B.%m observador no c9ão est$ locali8ado em ! a meio camin9o entre + e B . 5utroobservador est$ no trem em ,! a meio camin9o entre +, e B,. Ambos os observadoresusam os sinais luminosos dos raios para observar os eventos.

Oamos supor que os raios atin&em o trem em tempos tais que os dois sinais delu8 atin&em o observador simultaneamente ele conclui que os dois eventosocorreram em + e B simultaneamente. <as o observador , move-se com o trem e osinal proveniente de B, o alcança antes do sinal proveniente de +, (o sinal de B,

percorre uma distancia menor que o sinal de +,) ele conclui que o evento na frente dotrem ocorreu antes do evento na parte traseira. Lo&o! os dois eventos parecemsimultIneos para um observador mas não para o outro. A simultaneidade ou não de dois

eventos ue ocorrem em pontos distantes de um oservador depende do estado de

D



movimento do oservador. Lo&o! o intervalo de tempo entre dois eventos distantes diferente para dois observadores em movimento relativo.

Para entender este eemplo preciso abandonar a idia de que podemos ver tudoo que acontece em todos os lu&ares. Para ver#os um evento preciso que um raio delu8 entre no nosso ol9o. "*s ordenamos temporalmente os eventos de acordo com a

ordem de c9e&ada dos raios luminosos.Para obter uma relação quantitativa entre intervalos de tempo! vamos considerar outra eperi2ncia ima&inada.

>7J%RA D na p$&.

%m referencial 3M move-se com velocidade constante u (paralela ao eixo x)

relativa a 3. %m observador 5M em 3M tem uma fonte de lu8 que ele diri&e a um espel9oa uma distIncia d ! de tal modo que a lu8 refletida de volta. A traet*ria da lu8 orto&onal ao eio x. 5M mede o intervalo de tempo t ′∆ necess$rio para que a lu8 faça a

via&em de ida e volta. A distIncia total medida em 3M *d ! a velocidade da lu8 c e ointervalo de tempo

c

d t

B=′∆ (.F)

A&ora veamos como esta eperi2ncia vista pelo observador 3! em relação aoqual 5M se move com velocidade u. 3ea t ∆ o intervalo de tempo medido por 5.Hurante este tempo 5 v2 a fonte mover-se uma distIncia t u∆ . A distIncia total

percorrida pela lu8 vista por 5 i&ual aB

-B

B

BBB

∆+=

t ud l (.0)

He acordo com o se&undo postulado da relatividade! a velocidade da lu8 a mesma paraos dois observadores! lo&o

(.)

Eliminando a distIncia d entre (.F) e (.) obtemos

B

B

-

c

u

t t

−

′∆=∆

(.)

Podemos &enerali8ar este importante resultado. e dois eventos /ue ocorre#no #es#o ponto do espa$o nu# referencial , est0o separados por u# intervalo de

te#po t ′∆ c2a#ado de intervalo de te#po pr(prio34 ent0o o intervalo de te#po

t ∆ entre eles4 o5servado e# 4 6 #aior /ue t ′∆ e os dois est0o relacionados pela

e/.1.73. Lo&o! um rel*&io movendo-se com 3M parece! para um observador em 3!funcionar a um ritmo mais lento que o medido em 3. Este efeito c9amado dedilata$0o do te#po.

8xe#plo

5 meson +π uma partícula inst$vel com massa da ordem de BD ve8es a do eletron.

Hepois da sua produção numa colisão de alta ener&ia entre partículas nucleares! ele vive

F

B-

B

B

B

BB

∆+==∆

t ud

cc

l t



em mdia sG-/A!B −× antes de decair num muon e num neutrino. Este tempo medidonum referencial em que a partícula est$ em repouso. 3e esta partícula criada comvelocidade u!"#c! qual seu tempo de vida medido no laborat*rio! e que distIncia ela

percorre durante este intervalo4

olu$0o)7dentificamos 3Mcom o referencial da partícula! pois ela nasce e morre no mesmo

ponto de 3M. Então o tempo pr*prio st G-/A!B −×=′∆ e

( ) s

s

c

u

t t

G

B

G

B

B-/F!-G

./-

-/A!B

-

−−

×=−

×=

−

′∆=∆

A distIncia percorrida no laborat*rio (referencial 3) m s smt ud E!0F-/F!-GC-/D!/ GG =××××=∆= − .

------------------CC-------------------

3ão necess$rias duas observaç+es quanto à derivação da eq.(.):1. 5 observador 3! que mede o intervalo de tempo t ∆ 4 não pode medir este

intervalo com um Qnico rel*&io! porque os dois eventos ocorrem em pontosdiferentes de 3. Ele precisa de B rel*&ios! um locali8ado no ponto de partida dalu8 e o outro no ponto de c9e&ada. 1omo esses B rel*&ios estão estacion$rios em3! possível sincroniz9-los sem ambi&idade. 1oloca-se uma fonte de lu8 ameia distIncia entre os B rel*&ios e envia-se um sinal. 5s operadores dosrel*&ios devem acion$-los! a partir de um tempo previamente combinado! aoreceber o sinal.

". 1onsideramos a distIncia d como sendo a mesma nos dois referenciais. Esta9ip*tese! apesar de correta! precisa ser eplicada. Para medir o comprimento deuma r&ua estacion$ria em 3M! mas movendo-se em 3! precisamos observar simultaneamente as posiç+es das duas etremidades. 'uando a r&ua se move

perpendicularmente a seu comprimento não 9$ problema. Precisamos apenas posicionar observadores ao lon&o da reta descrita pelo ponto mdio da r&ua.;odos estes observadores! movendo-se ou não! concordam quanto àsimultaneidade da passa&em das etremidades da r&ua em pontos

predeterminados. Lo&o todos concordam quanto ao comprimento da r&ua nosdiferentes referenciais. 'uando a r&ua se move paralelamente a seu

comprimento a situação diferente! como veremos mais adiante. ----------------------CC-------------------

1omo o intervalo de tempo entre B eventos que ocorrem no #es#o ponto numdado referencial mais fundamental que o intervalo medido num referencial que os v2em pontos diferentes! usamos o termo te#po pr(prio para desi&nar um intervalo detempo entre B eventos que ocorrem no mesmo ponto de um dado referencial.

'uando cu << vemos de (.) que t t ′∆=∆ ! concordando com a 9ip*tesene#toniana de uma escala de tempo absoluta para todos os referenciais.

0



1.: Relatividade do co#pri#ento

Hevido à nature8a relativa de intervalos de tempo e simultaneidade! poder$ 9aver dificuldades em comparar medidas de comprimento em referenciais diferentes!

especialmente quando comprimentos são medidos paralelamente à direção domovimento. Para medir o comprimento de uma r&ua precisamos observar as posiç+esde suas etremidades simultaneamente! mas o que simultIneo num referencial podenão ser em outro. 3upon9a que uma r&ua est$ em repouso num referencial 3M

paralelamente ao eio x,. ;anto a r&ua como 3 Mmovem-se com velocidade constante u

em relação a outro referencial 3. 3e B observadores! um em 3Me outro em 3! medirem ocomprimento da r&ua! como comparar seus resultados4

%ma maneira de medir o comprimento da r&ua prender uma fonte de lu8 auma etremidade e um espel9o na outra. Pode-se então enviar um pulso de lu8 emdireção ao espel9o e medir o tempo necess$rio para que ele retorne à fonte. Estaeperi2ncia ima&inada mostrada na fi&ura.

>7J%RA F na p$&.

Hesi&nando por l, o comprimento medido em 3M! observamos que o tempo t ′∆necess$rio para que a lu8 percorra a r&ua duas ve8es

c

l t

′=′∆ B

(.G)

Este um intervalo de te#po pr(prio! pois medido entre B eventos que ocorrem nomesmo ponto do espaço em 3M.

Ho ponto de vista de 3! a lu8 proveniente da etremidade esquerda deve

percorrer uma distIncia maior que l (o comprimento da r&ua em 3)! pois a etremidadedireita desloca-se durante a via&em da lu8. 19amemos de -t ∆ o intervalo de temponecess$rio para que a lu8 v$ da fonte ao espel9o. Hurante este intervalo a r&ua desloca-se de uma distIncia )(

/-- t t ut u −=∆ . A distIncia percorrida pela lu8 :

-/-/- )( t ul t t ul x xd ∆+=−+=−= (.)1omo a lu8 viaa com velocidade c! temos que -t cd ∆= ! lo&o

uc

l t t ul t c

−=∆∴∆+=∆ ---

19amemos de Bt ∆ o tempo de volta da lu8. Hurante este tempo a etremidadeesquerda da r&ua move-se ao encontro da lu8! lo&o a lu8 percorre uma distIncia menor

que o comprimento da r&ua l . Esta distIncia :)( -BB- t t ul x x −−=− ou

uc

l t t ul t c

+=∆∴∆−=∆ BBB

Lo&o o tempo total B- t t t ∆+∆=∆ necess$rio para a via&em completa em 3 :

−

=+

+−

=∆

B

B

-

B

c

uc

l

uc

l

uc

l t

(./)

Esta relação difere de (.G) pelo fatorB

B

-c

u

− no denominador. 3abemos tambm que os

intervalos t ∆ e t ′∆ estão relacionados pela eq.(.)! $ que t ′∆ um intervalo de



tempo pr*prio em 3M e t ∆ o intervalo para o mesmo par de eventos observado em 3.3ubstituindo (.G) e (./) em (.) obtemos:

B

B

B

B

B

B-

-

B

-

B

c

ul l

c

uc

l

c

uc

l −′=∴

−

′=

−

(.)

Este importante resultado mostra que o comprimento l medido em 3! no qual ar&ua se move! menor que o comprimento l, em 3M! no qual a r&ua est$ parada.19ama-se o comprimento medido no referencial em que o corpo est$ em repouso deco#pri#ento pr(prio. A eq.(.) mostra que o comprimento medido por umobservador em movimento sempre menor que o comprimento pr*prio! um efeitoc9amado de contra%ão do comprimento. 'uando uc vemos de (.) que l!l, !como no caso ne#toniano.

8xe#plo

"o eemplo do meson +π na seção .D! que distIncia o pion percorre quando medidano seu referencial de repouso4olu$0o

"este caso! a distIncia medida no laborat*rio corresponde ao comprimento pr*prio! isto! d!l, . (5 traço deiado pelo pion est$ em repouso no referencial do laborat*rio.) AdistIncia medida no referencial do pion aparece contraída:

( ) mmc

ud d E-!E./-E!0F-

B

B

B

=−=−=′

"otem que c s s

m

t

d u !/-/E!B

-/A!B

E-!E G

G =×=

×=

′∆′

= −− . Esta a velocidade do

laborat*rio em relação ao pion.

1.; +s transfor#a$%es de Lorentz

Oimos que as transformaç+es de Jalileu! eqs.(.B)! relacionando a posição e otempo de um evento num sistema de coordenadas com aqueles em outro sistema! sãoinconsistentes com os postulados da relatividade. A&ora vamos obter umatransformação de coordenadas relativisticamente correta! obtida por Lorent8 em GG.

>7J%RA na p$&.

1onsidere B referenciais inerciais 3 e 3M! 3M movendo-se com velocidade constanteu em relação a 3 no sentido positivo do eio x . (7sto equivalente a di8er que 3 move-se em relação a 3M com velocidade u no sentido ne&ativo do eio x,.) 3upon9a que noinstante em que as ori&ens 5 e 5M coincidem! os rel*&ios locali8ados em 5 e 5M seamsincronizados! de tal modo que quando /! =′=′≡ t t .. . 'ueremos obter a relaçãoentre as coordenadas (x,#$,#z,#t,) de um evento observado em 3M com as coordenadas(x#$#z#t) do mesmo evento observado em 3.

1omo $ vimos! não 9$ dificuldade em comparar comprimentos medidos perpendicularmente à direção de movimento. Podemos escrever imediatamente que $!$, e z!z, . A relação entre x e x, pode ser obtida observando a >7J%RA . Em 3! a

distIncia entre 5 e 5M no instante t ut . A coordenada x, um comprimento pr*prio



em 3M! lo&o! quando vista por 3! aparece contraída pelo fator da eq.(.). A distInciatotal x em 3 do ponto 5 at o ponto onde o evento ocorre :

B

B

-c

u xut x −′+= (.B)

Podemos reescrever (.B) como uma equação para x, em termos de x e t :

B

B

-c

u

ut x x

−

−=′(.D)

1omo 3 e 3M são completamente equivalentes! a transformação que nos d$ x emtermos de x, e t, deve ter eatamente a mesma forma que (.D). A Qnica diferença queo sinal de u deve ser trocado! $ que a velocidade de 3 em relação a 3M - u . Podemosentão escrever:

B

B

-

c

u

t u x x

−

′+′=

(.F)

Podemos resolver (.F) para t, e usar (.D) para eliminar x, como se&ue:

B

B

B

B

B

B

B

B

B

BB

B

B

B

-

-

-

-

-

--

c

u

c

xuut

ut xc

u x

c

u

c

u

ut x

c

u x x

c

u xt u

−

−=

+−

−

−

=

−

−−−=′−−=′

Hividindo por u obtemos finalmente:

B

B

B

-c

u

c

ux

t t

−

−=′ (.0)

A eq.(.0) mostra que o tempo medido em 3Mdepende tanto do tempo como da posição observados em 3 . 7sso reflete o fato de que B rel*&ios que estão sincroni8adosem 3 aparecem dessincroni8ados em 3M por uma quantidade proporcional à distInciaentre eles em 3.

As transfor#a$%es de Lorentz são:

B

B

B

B

B

-

!!!

-c

u

c

uxt

t z z $ $

c

u

ut x x

−

−=′=′=′

−

−=′ (.)

Para uc elas se redu8em às transformaç+es de Jalileu (.B).

1.< Transfor#a$%es de velocidades

G



'ueremos obter a relação entre as velocidades de um corpo observado em Bsistemas de refer2ncia. 1onsideremos um corpo movendo-se com velocidade constante

paralela ao eio x de cada um dos referenciais. Para aplicar as transformaç+es deLorent8! podemos considerar como eventos a c9e&ada do corpo em B pontos diferentes.

Em 3M o corpo est$ na posição - x′ no instante -t ′ e na posição B x′ em Bt ′ . Avelocidade v, em 3M :

t

x

t t

x xv

′∆′∆

=′−′′−′

=′-B

-B(.)

%semos as transformaç+es de Lorent8 para epressar estas quantidades emtermos de quantidades medidas em 3 :

B

B

B

B

-B-B-B

--

)(

c

u

t u x

c

u

t t u x x x x

−

∆−∆=

−

−−−=′−′

B

B

B

B

B

B

-B-B-B

-

C

-

C)(

c

u

c xut

c

u

cu x xt t t t

−

∆−∆=

−

−−−=′−′

BC c xut

t u xv

∆−∆∆−∆=′ (.G)

A velocidade medida em 3 t

xv

∆∆

= . Hividindo numerador e denominador por

t ∆ obtemos:

BC- cuv

uv

v −−

=′ (.)

A eq.(.) pode ser invertida (faça como eercício) resultando em:

BC- cvu

uvv

′++′

= (.B/)

5bservem que (.B/) tem a mesma forma que (.). A Qnica diferença que ostermos que cont2m u t2m sinais trocados! como era esperado. Essas equaç+es continuamv$lidas mesmo que v e v, não seam constantes.

3e u e v forem muito menores que c estas relaç+es se redu8em às equaç+es

ne#tonianas. <as se as velocidades forem compar$veis à da lu8 necess$rio usar atransformação relativística. 5 caso etremo ocorre quando v, ! c então qualquer quesea o valor de u tem-se v ! c . 7sso est$ de acordo com o se&undo postulado darelatividade.

8xe#plo3upon9a que um corpo move-se em 3M com velocidade v,! "#c e 3M move-se emrelação a 3 com velocidade u!"#c . 'ual a velocidade do corpo medida por 34

olu$0o



A velocidade não-relativística seria v!/#0c. %sando (.B/) obtemos:

cc

v F!/)!/)(!/(-

G!-=

+=

Podemos obter uma transformação de velocidades para o caso mais &eral em que

um corpo se move no plano x$ (x$) com componentes de velocidade $ x vev ′′ em 3M.A relação para a componente x continua sendo (.B/)! $ que a coordenada $ não aparecenessa equação. A componente $ da velocidade em 3M dada por:

B

B

B

C

-

c xut

c

u $

t

$v $ ∆−∆

−∆=

′∆′∆=′

Hividindo numerador e denominador por t ∆ ! obtemos:B

B

B

C-

-

cuv

c

uv

v x

$

$ −

−=′ (.B)

A transformação de velocidades no plano x$ :

BC- cuv

uvv

x

x x −

−=′

B

B

B

C-

-

cuv

c

uv

v x

$

$ −

−=′ (.BB)

e a transformação inversa (faça como eercício) l2-se:

BC- cvu

uvv

x

x

x ′++′

=B

B

B

C-

-

cvu

c

uv

v x

$

$ ′+

−′=

(.BD)

%m detal9e surpreendente destas equaç+es que a componente $ da velocidadenum referencial depende das componentes x e $ no outro! coisa que não acontece nastransformaç+es de Jalileu.

8xe#plo%ma fonte de lu8 em repouso na ori&em 5K de 3M emite um raio de lu8 no plano x,$,

formando em In&ulo ϑ ′ com o eio x,. 'ual a sua direção vista em 34olu$0o

As componentes da velocidade em 3Msão: ϑ ϑ ′=′′=′ sencvcv $ x !cos

%samos (.BD) para obter as componentes em 3 :

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

′+

−′=

′+

+′=

cos-

C-!

cos-

cos BB

c

u

cu sencv

c

u

ucv $ x

A direção em 3! isto ! o In&ulo que o raio fa8 com o eio x de 3! dado por:

cu

cu sen

v

vt1

x

$

Ccos

C- BB

+′−′

==ϑ

ϑ ϑ

Para u!" ! ϑ ϑ ′= t1 t1 como esperado. Esta f*rmula Qtil na an$lise de umfen,meno c9amado ?aberração estelar@.

/



". =in!#ica Relativística

As relaç+es cinem$ticas da relatividade requerem modificaç+es correspondentesnos princípios da dinImica. Para que o princ2pio de conserva%ão do momentum de umsistema isolado sea satisfeito em todos os referenciais inerciais preciso que a

definição de momentum sea &enerali8ada. A definição &enerali8ada indica o camin9o para a nova equação de movimento! que a &enerali8ação da se&unda lei de "e#ton. Amodificação correspondente da definição de ener1ia cinética leva naturalmente àconsideração da ener1ia associada 3 massa de um corpo e os princ2pios de conserva%ão

de massa e ener1ia emer&em como dois aspectos de uma Qnica lei de conservação. Arelação entre ener&ia e momentum para uma partícula sem massa aparece naturalmentedas novas definiç+es.

".1 Mo#entu#

As leis de "e#ton são invariantes sob as transformaç+es de Jalileu! mas estas

transformaç+es são inconsistentes com os postulados da relatividade e devem ser substituídas pelas transformaç+es de Lorent8. <odificaç+es correspondentes sãonecess$rias nos princípios da dinImica para que eles se 9armoni8em com a teoria darelatividade.

"a física ne#toniana o #o#entu# (ou momento linear) definido comovm p = ! onde m a massa do corpo e v sua velocidade. 5 momentum total de um

sistema de partículas dado por:

i

i

i

i

i vm p 4 ∑∑ == (B.)

"o entanto! esta &rande8a não invariante sob transformaç+es de Lorent8! isto ! se omomentum dado por (B.) for conservado num referencial inercial 3! ele não ser$

conservado em outro referencial inercial 3M que se move em relação a 3.Para que a lei de conserva$0o do #o#entu# permaneça v$lida em todos os

referenciais inerciais! preciso que a definição de momentum de um corpo seamodificada. A nova definição deve preservar as propriedades usuais do momentum! isto! deve ser proporcional à massa do corpo e paralelo à sua velocidade. Alm disso deveredu8ir-se ao momentum ne#toniano no limite de baias velocidades. 5 #o#entu#

relativístico definido por:

vmv

c

v

vm p

)(

-B

Bγ =

−

=(B.B)

onde introdu8imos o fator de Lorentz :B

B

-

-)(

c

vv

−

=γ (B.D)

1om esta definição! o momentum total de um sistema (isolado) de partículas

ii

i

i

i

i vmv p 4 )(∑∑ == γ (B.F)

conservado em qualquer referencial inercial.

A nova definição de momentum requer uma revisão no conceito de centro de

massa. Hefine-se a velocidade do centro de massa como sendo a velocidade de umreferencial no qual o momentum total do sistema 8ero. 7sso define apenas a velocidade

B



do centro de massa! não a sua posição! mas suficiente para a maior parte dasaplicaç+es.

8xe#plo%ma partícula de massa m est$ em repouso na ori&em 5 de um sistema 3 e uma

se&unda partícula com mesma massa move-se no sentido positivo do eio x comvelocidade v. Ac9e a velocidade do centro de massa.olu$0oProcuramos um sistema 3M com velocidade u relativa a 3! tal que em 3M o momentumtotal 8ero. As velocidades em 3M são (ver eq. .):

B

-

-c

uv

uvv

−

−=′

e uv −=′B

Para que o momentum total em 3M sea 8ero! devemos ter:

B

B

B

B

B

BB

B

B

B-

-

---

/

--c

v

vuu

c

v

uv

c

v

vm

c

v

vm

−+

=∴=

−

−⇒=

′−

′+

′−

′

(B.0)

"otem que! para vc#-

-

-)(

B

B≈

−

=

c

vvγ

eB

vu = ! que o resultado ne#toniano.

"." For$a e #ovi#ento

A eq.(B.B) pode ser interpretada de duas maneiras. 5 ponto de vista apresentado

foi o da &enerali8ação da definição de momentum m constante para uma dada partícula e representa as propriedades inerciais da partícula. 5utro ponto de vista queo momentum continua sendo o produto da massa pela velocidade! mas a massa a ser usada não apenas m mas uma ?massa relativística@ dada por ( )m vγ . A escol9a entreestes dois pontos de vista uma questão de &osto. 5corre que o primeiro ponto de vista(o da &enerali8ação do momentum) mais Qtil na &enerali8ação correta da se&unda leide "e#ton! nosso pr*imo problema. Em qualquer caso! m comumente c9amada demassa de repouso# para distin&uir da massa relativística. 5 conceito de ?aumento damassa relativística@ desnecess$rio e pode levar a erro! por isso não o usaremos. "adiscussão que se se&ue m sempre constante! não uma quantidade dependente davelocidade.

Pode-se fa8er duas adivin9aç+es ra8o$veis sobre a &enerali8ação da se&unda leide "e#ton para 9armoni8$-la com o princípio da relatividade. %ma delas manter a

forma 5 ma=∑ r! usando para m a massa relativística dada por ( )m vγ . A outra

retornar à forma ori&inal de "e#ton!

B

B

dp d mv 5

dt dt v

c

÷ ÷= = ÷

− ÷

∑r r

r

(B.)

As duas formas não são equivalentes! pois no primeiro caso temos ( )

dv

5 m v dt γ =∑

r

.A forma correta s* pode ser decidida por comparação com resultados eperimentais.

D



Esta questão tem sido investi&ada eperimentalmente numa &rande variedade desituaç+es! especialmente com partículas carre&adas em alta velocidade na presença decampos eltricos e ma&nticos. Oerificou-se que a e/ua$0o de #ovi#ento correta :

B

B

( )

d mv 6 v 7

dt v

c

÷ ÷+ × = ÷

− ÷

rr rr

(B.)

que concorda com o se&undo ponto de vista. 5 lado esquerdo de (B.) c9amado de

for$a de Lorentz. 1onsidera-se que ! ! 6 7 vr

são medidos no mesmo referencial e quem e são constantes que caracteri8am as propriedades inercial e eltrica da partícula.

"em m nem dependem da velocidade v da partícula essas &rande8as são invariantes

sob transformaç+es de um referencial inercial para outro.5bservaç+es com outros tipos de força são mais difíceis! mas todas as

observaç+es são consistentes com a lei de movimento (B.).

8xe#plo%ma partícula carre&ada de massa m e car&a viaa com velocidade v ! "#0 c. Encontrea ma&nitude do campo eltrico necess$rio para dar à partícula uma aceleração a nadireção do movimento ori&inal. 3e este campo fosse aplicado a uma partícula emrepouso! que aceleração ele produ8iria4olu$0oHa eq.(B.) temos:

B

B

DB B B B

B B B

v

d v dvc6 m mdt dt v v v

c c c

÷ ÷= = + ÷ − − ÷ − ÷

Escrevendodv

adt

= e simplificando! obtemos:( )

DB B

B

-B0

BE-

ma ma 6

(v(c

= =−

para v!"#0c. 3e este campo fosse aplicado a uma partícula inicialmente em repouso! a

aceleração seria maior pelo fator A!FBE

-B0 ≈ . 5u sea! para provocar uma aceleração a

numa partícula em repouso precisamos de um campo 6 ! e para provocar a mesmaaceleração numa partícula com velocidade "#0c precisamos de um campo 8#96 ! quasecinco ve8es maior. >ica cada ve8 mais difícil acelerar a partícula à medida que ela seaproima da velocidade da lu8. Oeremos mais adiante que a velocidade da lu8 no v$cuoc inatin&ível para partículas materiais.

".* Tra5al2o e ener>ia

As modificaç+es nas leis de movimento implicam em modificaç+escorrespondentes na relação entre trabal9o e ener&ia. Assim como a se&unda lei de

"e#ton em sua forma ori&inal usada para obter-se a relação entre trabal9o e ener&ia :

F



B

-

B

BB

-

B

-B

-

mvmv 5dx

x

x

−=∫ ! usamos a equação de movimento &enerali8ada (B.)

para obter a &enerali8ação relativística desta relação. <antemos a definição detrabal9o:

∫ =B

-

x

x

5dx: (B.G)

e usamos a eq.(B.) para converter esta inte&ral numa forma que contem apenas avelocidade da partícula! fa8endo então a inte&ração. 5 resultado uma epressãocontendo as velocidades inicial e final! da qual podemos dedu8ir uma &enerali8açãoapropriada da definição de ener&ia cintica.

Por simplicidade! consideraremos apenas o movimento ao lon&o de uma lin9areta. A força pode variar ao lon&o do movimento! mas a&e sempre na direção do eio x.3ea a velocidade da partícula -

v no ponto de coordenada - x e instante -

t eanalo&amente no ponto B. 5 momentum pode ser encarado como função de x#v ou t ! $

que 9$ uma relação funcional entre eles. %sando a re&ra da cadeia e dt dxv = !

transformamos sucessivamente a vari$vel de inte&ração em (B.G)! como se&ue:

dvvdv

dpdx

dt

dx

dx

dv

dv

dpdx

dt

dv

dv

dpdx

dt

dp 5dx:

v

v

x

x

x

x

x

x

x

x

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =====B

-

B

-

B

-

B

-

B

-

(B.)

1omo p dado como função de v por (B.B)! temos:

dv

c

v

mv

dv

d v:

v

v

−

= ∫ B

B

-

B

-

(B./)

>a8endo a inte&ração por partes obtemos:

B

B

-

B

B

B

B

B

B

B

B

-BB

BB

B

B

B

--

)(

-

)(-

-c

v

mc

c

v

mcidem

c

v

mcveventrecalculado

c

vmc

c

v

mv:

−

−

−

=

−

=−+

−

=

(B.)A eq.(B.) mostra que o efeito do trabal9o produ8ir uma mudança na

quantidadeB

B

B

B

)(

-

mcv

c

v

mc 6 γ =

−

=(B.B)

Entretanto! esta não pode ser a ener&ia cintica! porque quando v!" seu valor não 8ero! mas Bmc . Para obter o an$lo&o da ener1ia cinética cl$ssica devemos subtrair

Bmc ! definindo a ener>ia cin6tica relativística como:

)-(

-

BB

B

B

B

−=−

−

= γ mcmc

c

v

mc ;

(B.D)

0



A epressão (B.D) deve se redu8ir a B

B

-mv quando vc . Podemos mostrar

isso epandindo o fator de Lorent8 usando o teorema binomial:

...G

D

B

---

F

F

B

BB-

B

B

+++=

−

−

c

v

c

v

c

v

3ubstituindo em (B.D) encontramos:

...G

D

B

-...

G

D

B

--

B

FBB

F

F

B

BB ++=−

+++=

c

vmmvmc

c

v

c

vmc ;

Para vc! ; redu8-se à epressão cl$ssica.

A validade da eq.(B.D) tem sido confirmada eperimentalmente com o uso deaceleradores de partículas a altas ener&ias (1ER"! >ermilab! etc.).

A eq.(B.B) su&ere que! alm de ter ener&ia associada a movimento! uma partícula de massa m tem uma ener&ia Bmc mesmo quando est$ parada. Podemos pensar que esta ener&ia est$ associada à massa da partícula. 1om base nessainterpretação! a eq.(B.B) representa a ener&ia total da partícula! incluindo tanto aener&ia cintica como a ener&ia Bmc associada à sua massa! que c9amada de ener>ia

de repouso. Esta especulação não uma prova de que a ener&ia de repouso umconceito que tem si&nificado físico! mas su&ere um camin9o para investi&ação. He fato!9$ evid2ncias eperimentais diretas de que Bmc representa realmente uma ener&iaassociada à massa.

%ma visão mais profunda da relação massa-ener1ia pode ser obtida derivando-se uma equação relacionando a ener&ia total de uma partícula e seu momentum. Parafa8er isso! combinamos as equaç+es (B.B) e (B.B) para eliminar v e obter umaepressão relacionando 6 e p. Hividimos (B.B) por Bmc e elevamos ao quadrado:

B

B

B

B

-

-

c

vmc

6

−=

(B.Fa)

A&ora dividimos (B.B) por mc e elevamos ao quadrado:

B

B

B

B

B

-c

v

cv

mc

p

−=

(B.Fb)

3ubtraindo e rearranando obtemos:

BBBBB)( pcmc 6 += (B.0)

Esta equação envolvendo ener1ia# massa e momentum# tem importantesimplicaç+es te*ricas. 1omo ela não contm o fator de Lorent8 )(vγ ! ela pode ser analisada no caso etremamente relativístico em que cv → (ver pr*ima p$&ina). "o

limite não-relativístico! quando vc e pmc ! (B.0) redu8-se am

pmc 6

B

BB += .

5 etremo oposto uma partícula com uma velocidade tão pr*ima de c que oseu momentum muito maior que mc. "este caso! c9amado ?domínio etremamente

relativístico@ ! o se&undo termo de (B.0) fica tão &rande que o primeiro termo pode ser despre8ado e a relação ener1ia-momentum torna-se aproimadamente cp 6 = . Para



uma partícula etremamente relativística a ener&ia total muito maior que a ener&ia derepouso.

A eq.(B.0) tambm su&ere a possibilidade de partículas sem massa. 1onsidereuma partícula com m!" e v!c as equaç+es

vmv

c

v

vm p

)(

-B

B

γ =

−

= e

B

B

B

B

)(

-mcv

c

v

mc

6 γ =−= tornam-se indeter#inadas

com estes valores! mas uma partícula desse tipo não proibida pela eq.(B.0). Para uma partícula sem massa a relação ener&ia-momentum simplesmente

/== m paracp 6 . (B.)

;ais partículas realmente eistem a mais familiar o f<ton ou uantum de radia%ão

eletroma&ntica. Oemos que uma das propriedades essenciais dos f*tons! a relaçãoener&ia-momentum! se&ue diretamente de consideraç+es relativísticas.

-----------------------------CC----------------------------------

1omo a ener&ia de um f*ton proporcional à sua freq2ncia! =f 6 foton = ! onde= a constante de PlancS ( se> s ? = .-/-D0AA!F.-/ABA/EA!A -0DF −− ×=×= )! omomentum do f<ton :

f m@1 c

=f

c

6 p

foton

foton ).-/B-/!B( FB−×=== .

1onsidere um feie de N f<tons incidindo sobre uma superfície absorvedora. A ener&ia

do feie foton feixe N6 A = e seu momentum valec

c

N6 p N 4 feixe foton foton feixe === .

1alculemos a taxa de transferBncia de momentum do feie para a superfícieabsorvedora! ou sea! a for%a eercida pelo feie sobre a superfície:

dt

d

cdt

d4 5

feixe feixe -==

3e a superfície tem $rea A! a press0o de radia$0o sobre a superfície dada por:

C cdt

d

Ac A

5 feixe

rad

--- =

==Ρ

onde C o m*dulo do vetor de Po?ntin> : 7 6 C

×=/

-

µ .

( 7 6 ! são os campos eltrico e ma&ntico associados à onda eletroma&ntica que viaacom velocidade c na direção de C .) 5 valor mdio no tempo de C(t) c9amado deintensidade da radia%ão eletroma1nética .

--------------------------------CC-----------------------------------

1ontinuemos a an$lise da eq.(B.0). Hissemos anteriormente que m (a massa derepouso) uma constante característica da partícula! lo&o ela deve ser a mesma emtodos os referenciais inerciais. T claro que a velocidade! o momentum e a ener&ia da

partícula t2m valores diferentes em diferentes referenciais. <as se m constante

(independente de referencial)! então (B.0) requer que BBBBB )(mc pc 6 =− ten9a omesmo valor em todos os referenciais inerciais# isto ! deve ser invariante sob



transformaç+es de Lorent8. 7sso pode ser verificado diretamente usando-se astransformaç+es de velocidades entre B referenciais inerciais.

".: Massa e ener>ia

A relação massa-ener&iaB

mc 6 = tem sido confirmada por uma &randevariedade de fen,menos investi&ados nos Qltimos / anos. A característica comum uma interação em que a massa total do sistema diferente no estado final do que era noestado inicial! isto ! em que a massa não conservada. Em todos os casos! observa-seuma mudança correspondente na ener&ia! que consistente com a associação de umaener&ia Bmc com a massa m.

5 eemplo mais familiar a fissão nuclear um nQcleo pesado (por eemplo!%rInio) em repouso quebra-se em duas partes que saem com ener&ia cinticaconsider$vel. A massa total dos fra&mentos menor que a do nQcleo ori&inal e oaumento da ener&ia cintica eplicado eatamente pela associação da ener&ia Bmc àmassa perdida m. 5 fen,meno inverso ocorre quando B nQcleos leves (Uidro&2nio! por eemplo) combinam-se para formar um Qnico nQcleo (Ulio) de massa um pouco menor que a massa total dos B nQcleos iniciais isso c9amado de fusão nuclear e! novamente!a perda de massa corresponde a um ecesso de ener&ia no estado final.

Eemplos mais espetaculares da transformação mQtua entre massa e ener&iaocorrem em interaç+es de partículas elementares! em que partículas são criadas oudestruídas. 'uando um eletron e um positron (a antipartícula do eletron)! ambos demassa m! colidem! ambos desaparecem e radiação eletroma&ntica com ener&ia totali&ual a B

Bmc produ8ida. Este fen,meno c9amado de ?aniquilação de pares@. 5 processo inverso! ?criação de pares@! ocorre em colis+es de partículas a altas ener&ias.Por eemplo! quando um pr*ton de alta ener&ia emer&e de um acelerador e colide com

um nQcleo pesado! um eletron e um positron são criados! e a ener&ia total do pr*tondiminui de pelo menos BBmc . 5 eemplo mais puro da conversão massa-ener&iaocorre no decaimento de partículas inst$veis. 5 meson /

π ! tambm c9amado pion

neutro! uma partícula inst$vel produ8ida durante colis+es a altas ener&ias entre partículas nucleares ele vive em mdia apenas s-A-/ − ! antes de decair em radiaçãoeletroma&ntica (raio &ama) de ener&ia i&ual a Bmc ! onde m a massa do pion.

Oemos que a e/uival@ncia entre massa e ener&ia etremamente importante nacompreensão de fen,menos em física nuclear e física de partículas elementares. Apesar de que 9istoricamente os princípios de conservação de massa e de ener&ia sedesenvolveram independentemente! eles estão diretamente relacionados. A&ora elesemer&em como dois aspectos de um princípio mais &eral! o ?princípio de conservaçãode massa-ener&ia@.

G

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