1. O nmero Fi, a Razo urea e a Seqncia de Fibonacci Eni Aparecida Sivera Bertolini A razo urea um dos assuntos em Matemtica que chama muito a ateno. Existem muitas curiosidades sobre o assunto, como por exemplo, ela aparece nas galxias, na torre smbolo da cidade de Toronto no Canad, na ltima Ceia pintada por Leonardo da Vinci. O Matemtico Italiano Leonardo de Pisa nasceu na Itlia por volta de 1175 e ficou conhecido como Fibonacci, pois era filho de um comerciante italiano chamado Bonaccio. A partir da publicao do livro do baco em 1202, Fibonacci tornou-se famoso, principalmente devido aos inmeros temas desenvolvidos nesse trabalho. Nele aparecem estudos sobre o clssico problema de reproduo de um casal de coelhos, o qual foi a base para o estabelecimento da clebre seqncia dos nmeros de Fibonacci. O problema era assim: Um casal de coelhos procriam uma vez por ms, esses filhotes demoram 2 meses para crescer e geram um novo casal de coelhos. Ao longo de 12 meses, quantos coelhos sero gerados a partir de um nico casal? Como resposta, temos: no 1 ms 01 casal; no 2 ms 01 casal; no 3 ms 02 casais; no 4 ms 03 casais; no 5 ms 05 casais; no 6 ms 08 casais; no 7 ms 13 casais; no 8 ms 21 casais; no 9 ms 34 casais; no 10 ms 55 casais; no 11 ms 89 casais e no 12 ms 144 casais. O interessante dessa resposta que existe uma seqncia com uma propriedade curiosa,conhecida como Seqncia de Fibonacci. O resultado da soma obtido atravs da soma dos dois nmeros anteriores. Veja s: 1 1 + 1 = 2 2 + 1 = 3 3 + 2 = 5 5 + 3 = 8 8 + 5 = 13 13 + 8 = 21 21 + 13 = 34 ... Esse estudo de Fibonacci aparece em outras situaes: As abelhas vivem em colnias chamadas Colmias e nem todas tem pai e me. O macho da famlia de abelhas, chamado zango, chocado de ovos no fertilizados (partognese), em funo disso, cada zango no tem pai, mas tm um av por parte materna. Em cada colmia h funes bem definidas: A Rainha tem como nica funo pr ovos. A nica funo dos zanges fecundar a Rainha. Como nascem de ovos no fecundados, apenas tm mes.

2. Analisando a rvore genealgica de um zango, verificamos que o n de ascendentes de uma abelha, quer macho, quer fmea a seqncia de Fibonacci. O nmero do ouro, cujo smbolo a letra grega Fi extrado da sequncia de Fibonacci e representa diretamente uma constante de crescimento. A partir da descoberta de Fibonacci, os cientistas comearam a estudar a natureza em termos matemticos e comearam a descobrir coisas fantsticas: O nmero ureo aproximado pela diviso do ensimo termo da Srie de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...) na qual cada nmero a soma dos dois nmeros imediatamente anteriores na prpria srie) pelo termo anterior. Essa diviso converge para o nmero ureo conforme tomamos cada vez maior. O nmero Fi tambm conhecido como a Divina Proporo no mais do que um valor numrico cujo valor aproximado 1,618. Este nmero irracional considerado por muitos o smbolo da harmonia. A escola grega de Pitgoras estudou e observou muitas relaes e modelos numricos que apareciam na natureza, beleza, esttica, harmonia musical e outros, mas provavelmente a mais importante a razo urea, razo divina ou proporo divina. No Egito as pirmides foram construdas tendo em conta a razo urea: a razo entre a altura de uma face e a metade do lado da base da grande pirmide igual ao nmero de ouro. Cada pedra era 1,618 menor do que a pedra de baixo; a de baixo era 1,618 maior que a pedra de cima, que era 1,618 maior que a 3 fileira e assim por diante. Outro exemplo da proporo urea na antiguidade o Papiro de Rhind que mede 5,5 metros de comprimento por 0,32 metros de largura, datado aproximadamente no ano 1650 a.C. onde encontramos um texto matemtico na forma de manual prtico que contm 85 problemas copiados em escrita hiertica pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo. Refere-se a uma razo sagrada que se cr ser o nmero de ouro. No mundo vegetal, o nmero Fi e a seqncia de Fibonacci surgem em muitas situaes, o modo como as sementes de um girassol esto dispostas, assim como na organizao das sementes na coroa das flores. Outro bom exemplo o abacaxi, essa deliciosa fruta, onde podemos ver as espirais formadas pelos gomos da casca. Cada gomo tem a forma aproximada de um hexgono e participa de trs espirais que se cruzam. Formando o menor ngulo com o eixo do abacaxi, 8 espirais paralelas circulam a fruta. Com um ngulo maior, so 13 espirais paralelas e com ngulo maior ainda, so 21 espirais. Ou seja, 8, 13 e 21 que so nmeros sucessivos na seqncia de Fibonacci. Certas plantas mostram os nmeros de Fibonacci no crescimento de seus galhos. Existem vrias plantas cujo crescimento se parecem com esses 3. nmeros A planta Achillea ptarmica possui estas caractersticas. Os botnicos acreditam que essa disposio permita melhor aproveitamento da luz solar e maior exposio s gotas da chuva. espantosa a grande quantidade de situaes onde a seqncia de Fibonacci aparece no reino animal como nas espirais de uma Concha Nautilus, nos chifres de cabras da montanha, nos marfins de elefantes, no rabo do cavalo marinho e outros. Podemos ver Fi espalhado por todo o nosso corpo: s medir a distncia que vai do alto da cabea at o cho, e depois dividir o resultado pela distncia do umbigo at o cho. Ao medirmos a distncia de um ombro at a ponta dos dedos, e depois dividir pela distncia entre o cotovelo at a ponta dos dedos, obtemos o PHI. Ou mesmo medindo a distncia dos quadris at o cho, e dividindo pelo joelho at o cho. Veremos PHI nos ns dos dedos, nos artelhos, na diviso da coluna vertebral... Essas propores anatmicas foram bem representadas pelo "Homem Vitruviano", obra de Leonardo Da Vinci. A excelncia dos desenhos de Da Vinci revela os seus conhecimentos matemticos bem como a utilizao da razo urea, que garante perfeio, beleza e harmonia nicas. O retngulo ureo um objeto matemtico que marca forte presena no domnio das artes, notadamente na arquitetura, na pintura e at na publicidade. At mesmo nas situaes mais prticas do nosso cotidiano encontramos aproximaes do retngulo de ouro, como por exemplo, o formato dos cartes de crdito, bilhetes de identidade, assim como a forma retangular da maior parte dos nossos livros. Outra caracterstica geomtrica importante refere-se s propriedades do retngulo ureo. Se construirmos um retngulo cujos lados estejam na proporo urea e dentro dele desenharmos um quadrado a partir de seu menor lado, o retngulo restante tambm ser ureo. O processo pode ser repetido indefinidamente, resultando sempre num novo retngulo ureo. Construindo um quarto de circunferncia em cada quadrado obtm-se uma espiral logartmica que se curva de forma simtrica e contnua para o interior do retngulo. Talvez por isso muitos chamem esse processo de janela para o infinito. O retngulo ureo muito conhecido devido proporcionalidade existente entre suas partes. Quando se constroem sucessivamente quadrados cujos lados so nmeros de Fibonacci, os retngulos obtidos so cada vez mais prximos de retngulos ureos. O nautilus um molusco que possui uma concha de estrutura espiralada. Esta espiral apresenta um formato espiral que se encaixa aproximadamente a um retngulo ureo Observando a estrutura interna da concha do nautilus, podemos notar a igualdade entre ela e a espiral construda a partir da seqncia de Fibonacci. 4. Podemos encontrar ou aplicar o retngulo ureo e a Seqncia de Fibonacci nos mais diversos elementos que compem o mundo, sejam em seres vivos, fenmenos da natureza, acontecimentos, operaes, anlises, etc. Os nmeros de Fibonacci ligam-se facilmente natureza. possvel encontr-los no arranjo das folhas do ramo de uma planta, nas copas das rvores ou at mesmo no nmero de ptalas das flores. Podemos tambm encontrar a espiral de Fibonacci nas sementes das flores, em frutos e pinhas. Ou seja, ao nosso redor na natureza na vida. Na pintura do renascimento destaca-se um dos quadros mais clebres de Leonardo da Vinci: a Mona Lisa, que apresenta o retngulo ureo em mltiplos locais: (a) desenhando um retngulo volta da face o retngulo resultante um retngulo ureo; (b) dividindo este retngulo por uma linha que passe nos olhos, o novo retngulo obtido tambm e (c) as dimenses do quadro tambm representam a razo urea. Construdo, por volta de 447 e 433 a.C., o Partenon Grego, templo representativo do sculo de Pricles contm a razo de Ouro no retngulo que contem a fachada, o que revela a preocupao de realizar uma obra bela e harmoniosa. Fdias foi o escultor e o arquiteto encarregado da construo deste templo. A designao adaptada para o nmero de ouro a inicial do nome deste arquiteto - a letra grega (Phi maisculo). Muitos arquitetos que viveram depois de Fdias usaram o retngulo de ouro como base para suas construes arquitetnicas, como por exemplo, a Catedral de Notre Dame . Na literatura o nmero de ouro encontra sua aplicao mais notvel no poema pico grego Ilada, de Homero, que narra os acontecimentos dos ltimos dias da Guerra de Tria. Quem o ler notar que a proporo entre as estrofes maiores e as menores d um nmero prximo ao 1,618, o nmero de ouro. Pitgoras de Samos (582 a.C. - 497 a.C.) considerado o fundador da geometria terica. Em seus pensamentos sobre a estrutura do universo, razes e propores, ele elaborou uma teoria que vinculava a msica, o espao e os nmeros. Na msica, existem artigos que relacionam as composies de Mozart, Bethoveen (Quinta e Nona Sinfonia), Schubert e outros com a razo urea. Pode-se verificar que at mesmo a construo de instrumentos, como por exemplo, o violino, est relacionado com a proporo urea. Podemos ento utilizar as palavras de Pitgoras: Tudo est organizado segundo os nmeros e as formas matemticas. A Matemtica est presente na Natureza, na Msica, na Arte, na Arquitetura, em praticamente tudo.