Álvaro Fernandes 1

)

Integral Dupla

Considere uma superfície definida numa região fechada e limitada R do plano xy.

( y,xfz =

R é a projeção da superfície sobre o plano xy.

Traçando-se retas paralelas aos eixos ox e oy, respectivamente, recobrimos a região R por pequenos retângulos. Considere somente os retângulos que estão totalmente contidos em R, numerando-os de 1 até n (figura 1).

kR

Em cada retângulo , escolha um ponto kR ( )kkk y,xP e forme a soma

( ) k

n

1kkk Ay,xf ∆∑

=

,

onde é a área do retângulo . kkk y.xA ∆∆=∆ kR Suponha que mais retas paralelas aos eixos coordenados são traçadas, tornando as dimensões dos retângulos cada vez menores (figura 2). Isso é feito de tal maneira que a diagonal máxima dos retângulos tende a zero quando n tende ao infinito. kRNessa situação, se

∞→nlim ( ) k

n

1kkk Ay,xf ∆∑

=

existe, ele é chamado de integral dupla de ( )y,xf sobre a região R.

Denotamos este limite como ou ( )dAy,xfR

∫∫ ( ) dxdyy,xfR

∫∫ ou . ( ) dydxy,xfR

∫∫

Álvaro Fernandes 2

∞→nlim ∑ = ( ) k

n

1kkk Ay,xf ∆

=

( )dAy,xfR

∫∫

Observações:

1. A região R é denominada região de integração.

2. A soma ∑ é chamada de soma de Riemann de sobre R. ( ) k

n

1kkk Ay,xf ∆

=

( y,xfz = )

Veremos que se , a integral dupla pode ser interpretada como um ( ) 0y,xfz ≥= volume.

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DUPLA

Suponha sobre R. Observe que ( ) 0y,xfz ≥= ( ) kkk Ay,xf ∆ representa o volume de um prisma reto, cuja base é o retângulo e cuja altura é kR ( )kk y,xf (figura 3).

A soma de Riemann ∑ representa uma aproximação do volume da porção

do espaço compreendida abaixo do gráfico

( ) k

n

1kkk Ay,xf ∆

=

( )y,xfz = e acima da região R do plano xy.

Assim, quando , a ( ) 0y,xf ≥ ( )dAy,xfR

∫∫( )y,xf=

nos dá o volume do sólido delimitado

superiormente pela superfície , inferiormente pela região R e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R (figura 4).

z

Obs.: Se , a nos dá o volume do sólido, porém com o sinal

negativo. ( ) 0y,xf ≤ ( )dAy,xf

R ∫∫

Álvaro Fernandes 3

)

Propriedades da integral dupla. Sejam e funções contínuas sobre a região R, então: ( )y,xf ( y,xg a) , para todo k real. ( ) ( )dAy,xf.kdAy,xf.k

RR ∫∫∫∫ =

b) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) dAy,xgdAy,xfdAy,xgy,xf

RRR ∫∫∫∫∫∫ ±=± .

c) Se a região R é composta de duas subregiões R1 e R2 que não tem pontos em comum, exceto os pontos de fronteira, então ( ) ( ) ( dAy,xfdAy,xfdAy,xf

21 RRR ∫∫∫∫∫∫ += ) .

CÁLCULO DAS INTEGRAIS DUPLAS De acordo com o tipo de região de integração R, podemos calcular a integral dupla de duas formas:

• Se R é uma região do tipo I, então . ( ) ( )( )

( )dydxy,xfdAy,xf

xg

xg

b

aR

2

1∫∫∫∫ =

• Se R é uma região do tipo II, então . ( ) ( )( )

( )dxdyy,xfdAy,xf

yh

yh

d

cR

2

1∫∫∫∫ ==

Álvaro Fernandes 4

EXERCÍCIOS 1. Calcule ∫∫ , onde R é a região retangular ( )dAxy81

R + ( ){ }3x0,2y1y,x 2 ≤≤≤≤ℜ∈ / .

Proposição: Se R é a região retangular ( ){ }dyc,bxay,x 2 ≤≤≤≤ℜ∈ / , então

. ( ) ( ) dxdyy,xfdydxy,xfb

a

d

c

d

c

b

a ∫∫∫∫ =

2. Calcule ∫∫ . A região R está representada na figura 1. ( dAyx4

R −− )

3. Calcule ∫∫ . A região R está representada na figura 2. dAy

R

4.Calcule , onde R é a região retangular de vértices ( ) dAxyseny

R ∫∫

( ) ( ) ( ) ( ππππ ,0D,1C,2,1B,2,0A e ) . 5. Calcule ∫∫ , sendo R a região delimitada por dxdye

R-x2

4x0y,y4x === e . 6. Calcule ∫∫ . A região R está representada na figura 3. dAxy

R

figura 1

figura 2

figura 3 Respostas:

1) 57. 2) 15/4. 3) (e3/3)-( e2/4)+(5/12). 4) 1+(π/2). 5) (1-e-16)/8. 6) 0.

Álvaro Fernandes 5

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO: VOLUMES DE SÓLIDOS

Se , a nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pela

superfície , inferiormente pela região R e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R.

( ) 0y,xf ≥

z =

( )dAy,xfR

∫∫( )y,xf

7. Calcule o volume do sólido delimitado superiormente pelo plano yx4z −−= , inferiormente pela região R delimitada por 0y,2x,0x === e ( ) ( )214xy += e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R.

8. Calcule o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelo plano 2yz =− e pelo cilindro vertical que contorna a região plana delimitada por e 2xy = xy = . Esboce o sólido. 9. Calcule o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos cilindros

e 16yx 22 =+ 16zx 22 =+ . Esboce o sólido. 10. Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies abaixo. Esboce o sólido.

2x1z −= (cilindro parabólico) e pelos planos 0y,0z == e 4yx =+ . Respostas:

7) 15/4. 8) 2/5. 9) 128/3. 10) 16/3.

Álvaro Fernandes 6

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO: ÁREAS DE REGIÕES PLANAS Se na expressão fazemos ( ) dAy,x f

R∫∫ ( ) 1y,xf = , obtemos que nos dá a área da

região de integração R:

dA R∫∫

Área (R) = ( )dA1 R

∫∫

11. Calcule a área da região R mostrada na figura abaixo:

12. Calcule a área da região plana limitada pelas curvas abaixo. Esboce os gráficos e identifique a região.

( )

≤≤=

≤≤=

≤≤−=≤≤=

e

x

ey1,ex

ex0,ey

1x0,x1yex1,xlny

Respostas:

11) 146/9. 12) ee – (5/2) ≅ 12,65.

Álvaro Fernandes 7MUDANÇA DE VARIÁVEIS EM INTEGRAIS DUPLAS

Em algumas situações, uma integral dupla é bastante longa e trabalhosa de ser resolvida no sistema de coordenadas cartesianas xy. Com uma simples e conveniente mudança de coordenadas (variáveis) podemos simplificar estes cálculos. Teorema: Sejam ( ) ( )v,uyyv,uxx == e as equações que definem uma transformação de coordenadas de um sistema uv para o sistema xy. Então:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) dudv

v,uy,x v,uy,v,ux f dxdyy,x f

'RR ∂∂

= ∫∫∫∫ ,

onde R’ é a região R descrita no sistema uv e ( )( )v,u

y,x∂∂

é o determinante da matriz jacobiana

de x e y em relação a u e v, dado por

( )( )

vy

uy

vx

ux

v,uy,x

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

.

COORDENADAS POLARES

As equações θ=θ= senrycosrx definem a transformação de coordenadas do sistema polar para o sistema cartesiano. O determinante da matriz jacobiana, neste caso, é dado por

e

( )( ) r

cosrsensenrcos

,ry,x

=θθθ−θ

=θ∂

∂

Logo,

( ) ( ) θθθ= ∫∫∫∫ drdrsenr,cosrfdxdyy,xf

'RR , onde R’ é a região R descrita no

sistema de coordenadas polares. Obs.1: Para o cálculo das integrais duplas podemos considerar

π≤θ≤≥ 20r e 0 . Obs.2: Das equações θ=θ= senrycosrx e , obtemos as relações

222 ryx =+ e ( )xyarctg=θ .

Álvaro Fernandes 8

Exemplo: Mostre que a área de uma circunferência de raio a é 2aπ usando integral dupla em coordenadas cartesianas e polares.

Usando integral dupla em coordenadas cartesianas:

( ){ }2222 xayxa,axa/y,xR −≤≤−−≤≤−=

Área = ( ) ( ) dxxa2dydx1dydx1a

a

22a

a

xa

xaR

22

22

∫∫ ∫∫∫−−

−

−−

−== = . . . (exercício)

Calculando por substituição trigonométrica ( )

π−∈=

2π,

2t,tsenax , obtemos:

. . . = 2a

a

222 aaxarcsenaxax π=

+−

−

.

Usando integral dupla em coordenadas polares:

( ){ }π≤θ≤≤≤θ= 20,ar0/,rR

Área = ( ) ( ) 222

0

a

0

22

0

2

0

a

0´RR

ad2

ad2rdrdrrdrd1dydx1 π=θ=θ=θ=θ= ∫∫∫ ∫∫∫∫∫

πππ

.

Realmente as coordenadas polares simplificaram bastante este cálculo!!! Exercício: Descreva as regiões circulares abaixo em coordenadas polares.

Álvaro Fernandes 9

EXERCÍCIOS

1. Calcule ( )dxdyyxsenR

22 +∫∫ , onde R é a região da figura abaixo.

2. Calcule ( ) dxdye2

Ryx 22

∫∫ +

4yx 22 =+

, onde R é a região do plano xy delimitada por

. 1yx 22 =+ e 3. Calcule ( ) dxdy1

R ∫∫ , onde R é a região da figura abaixo.

4. Calcule ( ) dxdyyx4

0

yy4

0

222

−

+∫ ∫ . Esboce a região de integração.

5. Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies abaixo. Esboce as superfícies.

a)

+=

==+

de)(parabolói

(plano) (cilindro)

22

22

yxz

0z1yx

b)

+=

−−=

de)(parabolói

de)(parabolói 22

22

yxz

yx9z

Resp: 1) ( )( )4

4cos1−π . 2) ( )ee2 4 −π . 3) 4

336 −+π . 4) π12 . 5.a) .v.u2π 5.b) .v.u

481π