Integral Dupla

Captulo 8

INTEGRAO DUPLA

8.1 Integrao Dupla sobre Retngulos

Denotemos por:

R = [a, b] [c, d] = {(x, y) R2/a x b, c y d}um retngulo em R2.

Consideremos P1 = {x0, x1, ...., xn} e P2 = {y0, y1, ...., yn} parties de ordem n de[a, b] e [c, d] respectivamente, tais que:

a = x0 < x1 < . . . . . . < xn = b e c = y0 < y1 < . . . . . . < yn = d

e xi+1 xi = b an

, yj+1 yj = d cn

.

a bc

d

x x

R

i i+1

yj+1yj

R ij

Figura 8.1: Partio de R.

O conjunto P1 P2 denominada partio do retngulo R de ordem n.Sejam os n2 sub-retngulos Rij = [xi, xi+1] [yj, yj+1] e cij Rij arbitrrio (i, j =0, ...., n 1). Considere a funo limitada f : R R. A soma

Sn =n1i=0

n1j=0

f(cij)xy,

217

218 CAPTULO 8. INTEGRAO DUPLA

ondex =b an

e y =d cn

dita soma de Riemann de f sobre R.

Definio 8.1. Uma funo f : R R limitada integrvel sobre R se

limn+

Sn,

existe independente da escolha de cij Rij e da partio; em tal caso denotamoseste limite por:

Rf(x, y) dx dy,

que denominada integral dupla de f sobre R.

Teorema 8.1. Toda f : R R contnua integrvel.

A prova deste teorema pode ser vista em [EL].

8.2 Significado Geomtrico da Integral Dupla

Se f contnua e f(x, y) 0 para todo (x, y) R, a existncia da integral dupla def sobre R tem um significado geomtrico direto. Consideramos o slido W R3definido por:

W = {(x, y, z) R3 / a x b, c y d, 0 z f(x, y)}

Figura 8.2: O slidoW .

W fechado e limitado superiormente pelo grfico de z = f(x, y), inferiormentepor R e lateralmente pelos planos x = a, x = b, y = c, y = d. Se denotamos porV (W ) o volume deW , ento:

V (W ) =

Rf(x, y) dx dy

De fato, escolhendo cij como o ponto onde f atinge seu mximo sobre Rij (pois R fechado, limitado e f contnua), ento f(cij) xy o volume do parale-leppedo de base Rij e altura f(cij).

8.2. SIGNIFICADO GEOMTRICO DA INTEGRAL DUPLA 219

Figura 8.3: Partio e os paraleleppedos deW , respectivamente.

Sn =

n1i=0

n1j=0

f(cij)xy

o volume do slido circunscrito aW . Analogamente se eij o ponto onde f atingeseu mnimo sobre Rij (pois R fechado, limitado e f contnua), ento:

sn =

n1i=0

n1j=0

f(eij)xy

o volume do slido inscrito emW . Como f integrvel, os limites das somas deRiemann Sn e sn independem da escolha de cij e eij :

limn

Sn = limn

sn =

Rf(x, y) dx dy.

Em outras palavras os volumes dos slidos inscritos e circunscritos a W , tendemao mesmo limite. Portanto, razovel chamar este limite de volume deW .

Figura 8.4: Reconstruo do slido.


Figura 8.5: Reconstruo do slido.

Novamente notamos que possvel mostrar rigorosamente que o significado geo-mtrico da integral dupla independe da escolha da partio e dos pontos cij e eij .

A integral dupla tem propriedades anlogas s das integrais das funes de umavarivel.

Proposio 8.1.

1. Linearidade da integral dupla. Se f e g so funes integraveis sobreR entopara todo , R, f + g integrvel sobre R, e:

R

( f(x, y) + g(x, y)

)dx dy =

Rf(x, y) dx dy +

Rg(x, y) dx dy.

2. Se f e g so integrveis sobreR e g(x, y) f(x, y), para todo (x, y) R, ento:Rg(x, y) dx dy

Rf(x, y) dx dy.

3. Se R subdividido em k retngulos e f integrvel sobre cada Ri, i = 1, ..., kento f integrvel sobre R e,

Rf(x, y) dx dy =

ki=1

Ri

f(x, y) dx dy.

8.3 Integrais Iteradas

Uma integral iterada de f sobre R uma integral do tipo: dc

[ baf(x, y) dx

]dy.

Para calcul-la fixamos y e calculamos a integral baf(x, y) dx como integral de uma

verivel em x; o resultado uma funo de y que novamente integrada em y, comlimites de integrao c e d.

A integral ba

[ dcf(x, y) dy

]dx calculada de forma anloga.

8.3. INTEGRAIS ITERADAS 221

Exemplos 8.1.

[1] Calcule 2

0

[ 31x2y dy

]dx.

31x2y dy = x2

31y dy = 4x2 e

20

[ 31x2y dy

]dx =

204x2 dx =

32

3.

[2] Calcule pi

0

[ pi0cos(x+ y) dx

]dy.

pi0cos(x+ y) dx = sen(x+ y)

x=pix=0

= sen(y + pi) sen(y),

e pi0

[ pi0cos(x+ y) dx

]dy =

pi0(sen(y + pi) sen(y)) dy = 4.

[3] Calcule 11

[ 12

(x2 + y2) dx

]dy.

12

(x2 + y2) dx =(x33

+ x y2)x=1

x=2= 3 + 3 y2

e

11

[ 12

(x2 + y2) dx

]dy =

11

(3 + 3 y2) dy = 8.

[4] Calcule pi

3

pi6

[ 402 e

3

sen() d

]d.

402 e

3

sen() d = sen()

402 e

3

d = sen()e

3

3

4

0

= sen()e64 1

3

e

pi3

pi6

[ 402 e

3

sen() d

]d =

e64 13

pi3

pi6

sen() d =(e64 1) (3 1)

6.

[5] Calcule 1

0

[ 1y20

1 y2 dx

]dy.

1y20

1 y2 dx = 1 y2, e

10

[ 1y20

1 y2 dx

]dy =

10(1 y2) dy = 2

3.


[6] Seja a funo f : [0, 1] [0, 1] R definida por:

f(x, y) =

{1 se x Q2 y se x / Q.

Ento:

10dy =

10dy = 1 se x Q 1

02 y dy = 1 se x / Q.

Logo, 1

0

[ 10dy

]dx = 1.

Por outro lado 1

0f(x, y) dx no existe, exceto quando y =

1

2; logo,

10

[ 10dx

]dy

no existe. Em geral, nada garante a existncia das integrais iteradas.

8.4 Teorema de Fubini

O seguinte teorema fundamental relaciona a integral dupla com as integrais itera-das, o que facilitar seu clculo.

Teorema 8.2. (Fubini): Seja f : R R contnua sobre R. Ento:

Rf(x, y) dx dy =

dc

[ baf(x, y) dx

]dy =

ba

[ dcf(x, y) dy

]dx

Prova: Veja o apndice.

Observaes 8.1.

1. Uma visualizao geomtrica do teorema de Fubini pode ser feita usandoo princpio de Cavalieri: Dado um slido, se denotamos por A(y) a reada seo transversal ao slido, medida a uma distncia y de um plano dereferncia, o volume do slido dado por: V =

dc A(y) dy, onde c e d so as

distncias mnima e mxima ao plano de referncia.

2. Se f uma funo contnua e f(x, y) 0 em todo R, ento

Rf(x, y) dx dy

representa o volume do slidoW :

W = {(x, y, z) R3 /a x b, c y d, 0 z f(x, y)}.

8.4. TEOREMA DE FUBINI 223

c

Rb

da

Figura 8.6:

3. Se intersectamos o slido por umplano paralelo ao plano yz a uma distncia xda origem, obtemos uma seo plana que tem como rea A(x) =

dc f(x, y) dy.

Pelo princpio de Cavalieri, o volume total do slido :

Rf(x, y) dx dy =

baA(x) dx =

ba

[ dcf(x, y) dy

]dx.

4. Analogamente, se intersectamos o slido por um plano paralelo ao planoxz a uma distncia y da origem obtemos uma seo plana de rea A(y) = ba f(x, y) dx e pelo princpio de Cavalieri:

Rf(x, y) dx dy =

dcA(y) dy =

dc

[ baf(x, y) dx

]dy.

Exemplos 8.2.

[1] Calcule

Rdx dy, onde R = [a, b] [c, d].

Rdx dy =

ba

[ dcdy

]dx =

ba(d c) dx = (b a) (d c);

numericamente a integral dupla

Rdx dy, corresponde a rea de R ou ao volume

do paraleleppedo de base R e altura 1.

[2] Calcule

Rf(x, y) dx dy, onde R = [a, b] [c, d] e f(x, y) = h, h constante

positiva. Rf(x, y) dx dy = h

Rdx dy = hA(R) = h (b a) (d c),

onde a ltima igualdade expressa o volume do paraleleppedo de base R e alturah.


[3] Calcule

R(x y + x2) dx dy, onde R = [0, 1] [0, 1].

R(x y + x2) dx dy =

10

[ 10(x y + x2) dx

]dy =

10

[x2 y

2+x3

3

]x=1

x=0

dy

=

10

[y

2+

1

3

]dy =

7

12.

O nmero7

12representa o volume do slido limitado superiormente pelo grfico

da funo f(x, y) = x y + x2 e pelos planos coordenados. ((x, y) [0, 1] [0, 1]).

0

1

0

1

Figura 8.7: Exemplo [4].

[4] Calcule

Rx y2 dx dy, onde R = [1, 0] [0, 1].

Rx y2 dx dy =

10

[ 01x y2 dx

]dy = 1

2

10y2dy = 1

6.

[5] Calcule

Rsen(x+ y) dx dy, onde R = [0, pi] [0, 2pi].

Rsen(x+y) dx dy =

2pi0

[ pi0sen(x+y) dx

]dy =

2pi0

(cos(y)cos(y+pi)) dy = 0.

[6] Calcule o volume do slido limitado superiormente por z = 1y e inferiormentepelo retngulo definido por 0 x 1 e 0 y 1.

8.4. TEOREMA DE FUBINI 225

0.00.5

1.0

0.0

0.5

1.0

0.0

0.5

1.0

Figura 8.8: Slido do exemplo [6].

O slido est limitado superiormente pelo plano z = 1 y e inferiormente peloretngulo R = [0, 1] [0, 1]; ento, o volume V :

V =

R(1 y) dx dy =

10

[ 10(1 y) dx

]dy =

10(1 y) dy = 1

2u.v.

[7] Calcule o volume do slido limitado por z = x2+y2 e pelos planos x = 0, x = 3,y = 0 e y = 1.


R = [0, 3] [0, 1]. O volume :

V =

R(x2 + y2) dx dy =

10

[ 30(x2 + y2) dx

]dy =

10(9 + 3y2) dy = 10u.v.

u.v. =unidades de volume.

[8] Calcule o volume do slido limitado por z = 1y2 e pelos planos x = 1, x = 1,y = 1 e y = 1.



R = [1, 1] [1, 1]. O volume :

V =

R(1 y2) dx dy =

11

[ 11

(1 y2) dx]dy = 2

11

(1 y2) dy = 83u.v.

8.5 Extenso do Teorema de Fubini

Antes de estudar a integral dupla em regies mais gerais enunciaremos uma gene-reralizao do teorema 8.1.

Definio 8.2. Seja A R, R = [a, b] [c, d]. O conjunto A R tem contedonulo se existe um nmero finito de sub-retngulos Ri R, (1 i n) tais queA R1 R2 . . . Rn1 Rn e:

limn+

ni=1

|Ri| = 0;

onde |Ri| a rea de Ri.

Exemplos 8.3.

[1] Se A = {p1, p2, ......., pm}, pi R, (1 i m). O conjunto A tem contedo nulo.Utilizando uma partio de ordem n de R como antes, temos:

|Ri| = (b a) (d c)n2

,

1 i n. Como cada ponto pode estar no mximo em quatro sub-retngulos,ento:

0 0.

Do teorema anterior, segue:

Corolrio 9.3. Se f(r, ) = f(r cos(), r sen()), ento:

Df(x, y) dx dy =

Dr f(r, ) dr d

Esta igualdade ainda vlida seD = {(r, )/r 0, 0 0 + 2pi}.Em particular a rea deD :

A(D) =

Ddx dy =

Dr dr d

9.6 Regies Limitadas por Crculos

Seja a > 0. A regio D, limitada pelo crculo x2 + y2 = a2, em coordenadas polares dada por:

D = {(r, ) R2/0 r a, 0 2pi}.

254 CAPTULO 9. MUDANA DE COORDENADAS

Figura 9.14: A regio D.

Neste caso:

Df(x, y) dx dy =

2pi0

[ a0r f(r, ) dr

]d

A regioD, limitada pelo crculo (x a)2 + y2 a2, em coordenadas polares :

D = {(r, ) R2/0 r 2 a cos(), pi2 pi

2}.


Neste caso:

Df(x, y) dx dy =

pi2

pi2

[ 2 acos()0

r f(r, ) dr

]d

A regioD, limitada pelo crculo x2 + (y a)2 a2, em coordenadas polares :

D = {(r, ) R2/0 r 2 a sen(), 0 pi}.

9.6. REGIES LIMITADAS POR CRCULOS 255


Neste caso: Df(x, y) dx dy =

pi0

[ 2a sen()0

r f(r, ) dr

]d

Exemplos 9.5.

[1] Calcule

D(x2 + y2) dx dy, ondeD a regio limitada pelas curvas:

x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = x e y =

3x

3,

no primeiro quadrante.

1 2

1

1 2

1


Usando coordenadas polares, a nova regioD no plano r determinada por:

D = {(r, ) /1 r 2, pi6 pi

4}.

Como x2 + y2 = r2, temos:D(x2 + y2) dx dy =

Dr3 dr d =

pi4

pi6

[ 21r3 dr

]d =

5pi

16.

[2] Calcule

Dln(x2 + y2) dx dy, ondeD a regio limitada pelas curvas:

x2 + y2 = a2 e x2 + y2 = b2, (0 < a < b).


Usando coordenadas polares temos que D est determinada por: a r b e0 2pi. Por outro lado, ln(x2 + y2) = 2 ln(r),

Dln(x2 + y2) dx dy =

D

2 r ln(r) dr d

= 4pi

bar ln(r) dr

= pi (r2(2 ln(r) 1))b

a

= pi (2 b2 ln(b) 2 a2 ln(a) + a2 b2).

[3] Determine o volume do slido situado acima do plano xy e limitado pelos gr-ficos de z = x2 + y2 e x2 + y2 = 2 y.

O grfico de z = x2 + y2 um parabolide centrado na origem e o de x2 + y2 = 2y um cilindro circular reto centrado em (0, 1, 0) e de raio 1, pois, podemos escreverx2 + y2 2 y = x2 + (y 1)2 1.

-2

-1

0

1

2

-2

-1

01

2

0

1

2

3

00.250.50.751

x

00.5

11.5

2

y

0

1

2

3

4

z

0.250.50.751

0

1

2

3

Figura 9.18: O slido do exemplo [3].

LogoD = {(x, y) R2/x2 + (y 1)2 1}, em coordenadas polares :

D = {(r, ) R2/0 r 2 sen(), 0 pi}.O slido W limitado superiormente pelo parabolide. V =

D(x2 + y2) dx dy.

Utilizando coordenadas polares temos x2 + y2 = r2 e:

V =

D(x2 + y2) dx dy =

Dr3 dr d =

pi0

[ 2sen()0

r3 dr

]d = 4

pi0sen4() d

= 4

pi0

[3

8+cos(4

8 sen(2

2

]d

= sen3() cos() 32cos() sen() +

3

2

pi

0

=3pi

2u.v.


[4] Calcule o volume do slido limitado externamente por x2 + y2 + z2 = 25 einternamente por x2 + y2 = 9.

01

23

45x

01

2 3y

0

1

2

3

4

z

01

23

4x

01

2

Figura 9.19: O slido do exemplo [4].

3 5

3

5

3 5

3

5


Pela simetria do slido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamoso resultado por 8.

V = 8

D

25 x2 y2 dx dy,

onde D a projeo do slido no plano xy. Usando coordenadas polares obtemosa nova regio D definida por:

D = {(r, ) / 3 r 5, 0 pi2}

e

25 x2 y2 = 25 r2:

V = 8

D

25 x2 y2 dx dy = 8

pi2

0

[ 53r

25 r2 dr]d =

256pi

3u.v.

[5] Calcule +

0ex

2

dx.


Esta integral muito utilizada em Estatstica. Seja R = [a, a] [a, a]. Ento:

Re(x

2+y2) dx dy =

aa

[ aaex

2

ey2

dy

]dx =

[ aaex

2

dx

] [ aaey

2

dy

].

O grfico de f(x, y) = e(x2+y2) :

Figura 9.21:

Se denotamos por L(a) = aaeu

2

du = 2

a0eu

2

du, temos:

L2(a) =

Re(x

2+y2) dx dy.

Sejam D e D1 regies elementares tais queD R D1 ondeD a regio limitadapelo crculo inscrito em R eD1 a regio limitada pelo crculo circunscrito a R:

R

D1

D

Figura 9.22:

Como f(x, y) = e(x2+y2) contnua em D1 e e(x

2+y2) > 0, para todo x, y,De(x

2+y2) dx dy L2(a)

D1

e(x2+y2) dx dy.

Usando coordenadas polares, D definida por 0 r a e 0 2pi, D1 definida por 0 r 2 a e 0 2pi:

e(x2+y2) = er

2


e:

2pi0

[ a0r er

2

dr

]d = pi (1 ea2);

ento, pi (1 ea2) L(a)

pi (1 e2a2).

Como:

lima+

a0eu

2

du =

+0

eu2

du,

temos:

+0

eu2

du =

pi

2.

[6] SeD = {(x, y) R2/1 (x y)2 + (x+ y)2 4, y 0, x+ y 0}, calcule:

D

ex+y

xy

(x y)2dx dy.

Usamos mudana linear: {u = x yv = x+ y.

Logo, a nova regio D limitada pelas curvas u2 + v2 = 1, u2 + v2 = 4, v u e0 v:

1 2

1

2

1 2

1

2

Figura 9.23: RegioD.

(u, v)

(x, y)= 2 ento

(x, y)

(u, v)=

1

2e

D

ex+y

xy

(x y)2dx dy =1

2

D

evu

u2du dv.


Usando coordenadas polares obtemos a regio D definida por: 1 r 2 e0 pi

4:

1

2

D

evu

u2du dv =

1

2

D

r etg()

r2 cos2()dr d =

ln(2)

2(e 1).

9.7 Aplicao

SejaD regio do tipo II, limitada por curvas de equaes (em forma polar): r = g()e r = h() e definida por:

D = {(r, )/g() r h(), 1 2},

onde g, h : [1, 2] R so funes contnuas tais que 0 g() h().

D

h

g

y

x

12

r

D*

2

1

Figura 9.24:

Ento: Df(x, y) dx dy =

21

[ h(2)g(1)

r f(r, ) dr

]d

Em particular, a rea deD :

A(D) =

Ddx dy =

1

2

21

[(h())2 (g())2

]d

Exemplos 9.6.

[1] Calcule o volume do slido limitado pelo cone z =x2 + y2 e pelo cilindro

r = 4 sen(), no primeiro octante.

Usando coordenadas polares temos que o cone escreve-se z = r; no plano r ocilindro projeta-se no crculo r = 4 sen(); logo 0 r 4 sen() e 0 pi

2.

9.7. APLICAO 261

-2 -1 1 2

1

2

3

4

-2 -1 1 2

1

2

3

4

00.5

11.5

2x

0 12 3

4y

0

1

2

3

4

z

00.5

11.5

0 12 3

Figura 9.25:

V =

Dr2 dr d =

pi2

0

[ 4 sen()0

r2dr

]d =

128

9u.v.

[2] Calcule a rea da regio limitada pelo interior do crculo r = 4 sen() e peloexterior do crculo r = 2.

-2 2

-2

2

-2 2

-2

2

Figura 9.26:

Os crculos se intersectam em: = pi6 e =5pi6 e:

A(D) =1

2

5pi6

pi6

(16 sen2() 4) d = (2pi3

+ 23)u.a.

[3] Calcule a rea da regio limitada por r = 2(1 + sen()).

-2 -1 1 2

1

2

3

4

Figura 9.27:


0 2pi. Logo:

A(D) = 2

2pi0

(1 + sen())2d = 6piu.a.

[4] Calcule a rea da regio limitada por r = sen(3).

Figura 9.28:

0 2pi. Logo:A(D) =

1

2

2pi0

sen2(3) d =pi

2u.a.

9.8 Exerccios de Mudana de Coordenadas

Nesta seo apresentaremos mudanas de coordenadas no usuais. Lembremos,que utilizaremos o teorema de mudana de coordenadas e a frmula:

Df(x, y) dx dy =

Df(u, v)

(x, y)(u, v) du dv

onde(x, y)(u, v)

o valor absoluto do determinante Jacobiano e f(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)).

Exemplos 9.7.

[1] Calcule:

21

[ x0

y ex dy

]dx.

Primeiramente observamos que:

21

[ x0

y ex dy

]dx =

Dy ex dx dy,

ondeD = {(x, y) / 1 x 2, 0 y x}; D regio de tipo I.

9.8. EXERCCIOS DE MUDANA DE COORDENADAS 263

1 2

1


Utilizemos a mudana de coordenadas:

{x = u2

y = v;=

x = 1 = u = 1x = 2 = u = 2y = 0 = v = 0y =

x = v = u.

Logo,D = {(u, v) / 1 u 2, 0 v u}.

1 2

1


O jacobiano da mudana :

(x, y)

(u, v)= det

[2u 0

0 1

]= 2u;

que no nulo emD e f(x, y) = y ex = v eu. Logo:


Dy ex dx dy =

D

2u v eu du dv

= 2

21

[ u0u v eu dv

]du

=

21

u3 eu du

= 6 + 4 e

2 (22 3).

[2] Calcule: D(x2 + y2) dx dy,

onde D limitada por x y = 2, x y = 4, x2 y2 = 1 e x2 y2 = 9, no primeiroquadrante.

1 2 3

1

2

1 2 3

1

2


Faamos a seguinte mudana de coordenadas:

{u = x2 y2v = 2x y.

=

x y = 2 = v = 4x y = 4 = v = 8x2 y2 = 1 = u = 1x2 y2 = 9 = u = 9.

EntoD = [1, 9] [4, 8]. Por outro lado:

(u, v)

(x, y)= det

[2x 2 y2 y 2x

]= 4 (x2 + y2) = (x, y)

(u, v)=

1

4 (x2 + y2);

logo:

(x2 + y2)

(x, y)(u, v) = 14 ,

e:


D(x2 + y2) dx dy =

1

4

Ddu dv

=1

4

91

84dv du

= 8.

[3] Calcule:

D(y + 2x2) (y x2) dx dy,

ondeD limitada por x y = 1, x y = 2, y = x2 e y = x2 1, no primeiro quadrante.

0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

1.0

1.5

2.0



{u = x y

v = y x2 =

x y = 1 = u = 1x y = 2 = u = 2y = x2 = v = 0y = x2 1 = v = 1.

EntoD = [1, 2] [1, 0]. O jacobiano da mudana :

(u, v)

(x, y)= det

[y x

2x 1

]= y + 2x2 = (x, y)

(u, v)=

1

y + 2x2.

Ento:

(y + 2x2) (y x2)(x, y)(u, v)

= v,logo:


D(y + 2x2) (y x2) dx dy =

Dv du dv

=

01

21v du dv

= 12.

[4] Calcule: Dex

2x yy2dx dy,

ondeD limitada por x2 + y2 + x y 1.

- 1 1

- 1

1


Completando os quadrados:

x2 + y2 + x y =(x+

y

2

)2+(3 y

2

)2.

Utilizemos a mudana linear de coordenadas:u = x+

y

2

v =

3 y

2

A regio dada por D = {(u, v) /u2 + v2 1}. Por outro lado, o jacobiano damudana :

(u, v)

(x, y)= det

11

2

0

3

2

=

3

2= (x, y)

(u, v)=

23

3.

Ento:

Dex

2x yy2dx dy =23

3

De(u

2+v2) du dv.


Utilizando coordenadas polares, temos que D = {(r, ) / 0 r 1, 0 2pi}e:

Dex

2x yy2dx dy =23

3

De(u

2+v2) du dv

=23

3

D

er2

r dr d

=23

3

10

2pi0

r er2

d dr

=2pi

3

3(1 e1).

[5] Calcule:

D(x2 y2) exy dx dy,

ondeD limitada por x y = 1, x y = 4, y = x e y = x+ 2 no primeiro quadrante.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

1

2

3

4



{u = x y

v = x+ y. =

x y = 1 = u = 1x y = 4 = u = 4x+ y = 0 = v = 0x+ y = 2 = v = 2.

Logo a regio D = [1, 4] [0, 2]:


1 4

2



(u, v)

(x, y)= det

[y x

1 1

]= x+ y = (x, y)

(u, v)=

1

x+ y;

observe que como x, y > 0, temos:

(x2 y2) exy(x, y)(u, v)

= (x y) (x+ y) exyx+ y = (x y) exy = v eu.Ento:

D(x2 y2) exy dx dy =

Dv eu du dv

= 4

1

20v eu dv du

= 2 (e e4).[6] Calcule:

Dex3+y3

xy dx dy,

ondeD = {(x, y) / y2 2x 0, x2 2 y 0}.

2

2




{x = u2 v

y = u v2.

Ento: {y2 2x 0 = 0 v 32x2 2 y 0 = 0 u 32.

A regioD = [0, 32] [0, 32]. Por outro lado:

x3 + y3

xy= u3 + v3 e

(x, y)(u, v) = 3u2 v2.

Ento:

Dex3+y3

xy dx dy =

D

3u2 v2 eu3+v3 du dv

= 3

Du2 v2 eu

3

ev3

du dv

= 3

320

[ 320

u2 v2 eu3

ev3

du

]dv

=

320

v2 ev3 [eu

3

3

2

0

]dv

= (e2 1) 32

0v2 ev

3

dv

=1

3(e2 1)2.

[7] Calcule: Dx3 y3

1 x4 y4 dx dy,

ondeD = {(x, y) /x4 + y4 1}, no primeiro quadrante.

1- 1

- 1

1



Faamos a seguinte mudana de coordenadas:{x =

r cos()

y =r sen().


(x, y)

(r, )=

1

4sen()

cos()

Ento:

x3 y3

1 x4 y4(x, y)(r, )

= 14 cos() sen() r3

1 r2

Logo,D = {(r, ) / 0 r 1, 0 pi2} e:

Dx3 y3

1 x4 y4 dx dy = 1

4

Dcos() sen() r3

1 r2 dr d

=1

4

[ 10r3

1 r2 dr] [ pi/2

0cos() sen() d

]

=1

60.

[8] Determine a rea da regio limitada por y2 = 2 p x, y2 = 2 q x, x2 = 2 r y ex2 = 2 s y tais que 0 < p < q e 0 < r < s.


Faamos a seguinte mudana de coordenadas:u =

y2

2x

v =x2

2 y

=

y2 = 2 p x = u = py2 = 2 q x = u = qx2 = 2 r y = v = rx2 = 2 s y = v = s.

EntoD = [p, q] [r, s]. Por outro lado:


(u, v)

(x, y)= det

y

2

2x2y

x

x

y x

2

2y2

= 34 =

(x, y)(u, v) = 43 .

Ento:

A(D) =

Ddx dy =

D

4

3du dv =

4

3(q p) (s r).

[9] Determine a rea da regio limitada por:x

a+

y

b= 1,

x

a+

y

b= 4, y =

b x

a

e y =9 b x

a, tal que a, b > 0.



u =

a y

b x

v =

x

a+

y

b

=

a y = b x = u = 1a y = 9 b x = u = 3x

a+

y

b= 1 = v = 1

x

a+

y

b= 4 = v = 4.

Ento D = [1, 3] [1, 4]. No difcil calcular a inversa da transformao decoordenadas:

x =a v2

(1 + u)2

y =b u2 v2

(1 + u)2.

Logo:


(x, y)

(u, v)= det

2 v

2 a

(1 + u)32 v a

(1 + u)2

2u v2 b

(1 + u)32u2 v b

(1 + u)2

= 4 a b u v

3

(1 + u)4.

E:

A(D) =

Ddx dy =

D

4 a b u v3

(1 + u)4du dv

=

31

[ 41

4 a b u v3

(1 + u)4dv

]du

= 255 a b

31

u

(1 + u)4du

=935 a b

64.

[10] Calcule o volume do slido limitado pelo elipside:

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1;

onde a, b, c 6= 0.Pela simetria do slido calculamos o volume relativo ao primeiro octante; logo:

V = 8 c

D

1

[x2

a2+y2

b2

]dx dy.

A regio D limitada pela poro de elipsex2

a2+y2

b2= 1 no primeiro quadrante.

Usemos a seguinte mudana: {x = a r cos()

y = b r sen();

o determinante Jacobiano da mudana :

(x, y)

(r, )=

[a cos (t) ar sin (t)b sin (t) br cos (t)

]= a b r.

Por outro lado: 1

[x2

a2+y2

b2

]=

1 r2.

A regioD = [0, 1] [0, pi2]:

9.9. OUTRAS APLICAES DA INTEGRAL DUPLA 273

V = 8 a b c

Dr

1 r2 dr d = 4 a b c pi 1

0r

1 r2 dr = 4 a b c pi3

u.v.

Em particular, se a = b = c, temos uma esfera de raio a e V =4pi a3

3u.v.

9.9 Outras Aplicaes da Integral Dupla

Como em uma varivel, outras aplicaes, alm do clculo de volumes, podemser definidas atravs de integrais duplas, tais como, massa total, centro de massa emomento de inrcia.

9.9.1 Massa Total

Suponha que uma lmina fina tem a forma de uma regio elementar D e conside-remos que a massa est distribuida sobreD com densidade conhecida, isto , existeuma funo z = f(x, y) > 0 em D que representa a massa por unidade de rea emcada ponto (x, y) D. Se a lmina feita de material homogneo, a densidade constante. Neste caso a massa total da lmina o produto da densidade pela reada lmina. Quando a densidade f varia de ponto a ponto em D e f uma funointegrvel sobreD, a massa totalM(D) deD dada por:

M(D) =

Df(x, y) dx dy

9.9.2 Momento de Massa

O momento de massa de uma partcula em torno de um eixo o produto de suamassa pela distncia (na perpendicular) ao eixo. Ento, os momentos de massa dalmina D em relao ao eixo dos x e dos y so respectivamente:

Mx =

Dy f(x, y) dx dy, My =

Dx f(x, y) dx dy

x

y (x,y) D

Figura 9.40:


9.9.3 Centro de Massa

O centro de massa da lmina definido por (x, y), onde:

x =MyM(D)

, y =MxM(D)

Fisicamente (x, y) o ponto em que a massa total da lmina poderia estar concen-trada sem alterar seu momento em relao a qualquer dos eixos. Se f(x, y) = k,(k > 0) em todoD, (x, y) chamado centride de D. Neste caso o centro de massa o centro geomtrico da regio D.

Exemplos 9.8.

[1] Calcule o centro de massa do retngulo [0, 1] [0, 1] se a densidade dada pelafuno: f(x, y) = ex+y.

A massa total deD = [0, 1] [0, 1] :

M(D) =

10

[ 10ex+y dx

]dy = e2 2e+ 1.

Os momentos de massa respectivos so:

Mx =

10

[ 10y ex+y dx

]dy = e 1 e My =

10

[ 10x ex+y dx

]dy = e 1

e o centro de massa deD (1

e 1 ,1

e 1).

[2] Determine o centro de massa da regio limitada por um semicrculo D de raioa centrado na origem, sabendo que sua densidade em cada ponto proporcional distncia do ponto origem.

Figura 9.41:

f(x, y) = kx2 + y2. Calculamos a massa total usando coordenadas polares. A

nova regio D definida por: 0 r a e 0 pi;x2 + y2 = r:

M(D) = k

pi0

[ a0r2 dr

]d =

k pi a3

3.

9.9. OUTRAS APLICAES DA INTEGRAL DUPLA 275

Os momentos de massa respectivos so:

Mx =

a0

[ pi0r3 cos() d

]dr = 0 e My =

a0

[ pi0r3 sen() d

]dr =

a4

2;

o centro de massa deD (0,3 a

2 k pi).

[3] Determine o centride da regio limitada pelas curvas y = x2 e y = 4x x2.

1 2

4

2

1 2

4

2

Figura 9.42:

Neste caso f(x, y) = 1 para todo (x, y) D, onde:

D = {(x, y) R2/0 x 2, x2 y 4x x2}

eM(D) = A(D) =8

3. Esta rea j foi calculada anteriormente.

Mx =

20

[ 4xx2x2

y dy

]dx =

16

3e My =

20

[ 4xx2x2

x dy

]dx =

8

3;

o centride deD (2, 1).

[4] Determine o centro de massa da regio limitada pelas curvas y = x+ x2, y = 0e x = 2 se a densidade em cada ponto f(x, y) = y1+x .

M(D) =

20

[ x(x+1)0

y

1 + xdy

]dx =

1

2

20(x3 + x2) dx =

10

3,

Mx =

20

[ x(x+1)0

y2

1 + xdy

]dx =

1

2

20(x4 + x3) dx =

412

45,

My =

20

[ x(x+1)0

x y

1 + xdy

]dx =

1

3

20(x5 + 2x4 + x3) dx =

26

5;

o centro de massa deD (39

25,206

75).


9.9.4 Momento de Inrcia

Sejam L uma reta no plano,D uma lmina como antes e (x, y) = d((x, y), L), onded a distncia no plano e (x, y) D.

D

L(x,y)

Figura 9.43:

Se f(x, y) a densidade em cada ponto de D, o momento de inrcia da lmina emrelao reta L :

IL =

D2(x, y) f(x, y) dx dy

Em particular, se L o eixo dos x:

Ix =

Dy2 f(x, y) dx dy

Se L o eixo dos y:

Iy =

Dx2 f(x, y) dx dy

Omomento de inrcia polar em relao origem :

I0 = Ix + Iy =

D(x2 + y2) f(x, y) dx dy

O momento de inrcia de um corpo em relao a um eixo sua capacidade deresistir acelerao angular em torno desse eixo.

Exemplos 9.9.

[1] Determine o momento de inrcia polar da regio limitada pelas curvas y = ex,x = 1, y = 0 e x = 0, se a densidade em cada ponto f(x, y) = x y.

Ix =

Dxy3 dx dy =

10

[ ex0x y3 dy

]dx =

1

64(3 e4 + 1),

Iy =

Dyx3 dx dy =

10

[ ex0y x3 dy

]dx =

1

16(e2 + 3);

logo, o momento de inrcia polar :

I0 = Ix + Iy =1

64(3 e4 + 4 e2 + 13).

9.10. EXERCCIOS 277

[2] Uma lmina fina com densidade constante k limitada por x2 + y2 = a2 ex2 + y2 = b2, (0 < a < b). Calcule o momento de inrcia polar da lmina.

Usando coordenadas polares, a nova regio definida por: a r b e 0 2pie o momento de inrcia polar :

I0 = k

2pi0

[ bar3 dr

]d =

k (b4 a4)pi2

.

9.10 Exerccios

1. Determine o volume dos seguintes slidos:

(a) Limitado superiormente por z = x2 + y2 e inferiormente pela regiolimitada por y = x2 e x = y2.

(b) Limitado superiormente por z = 3x2 + y2 e inferiormente pela regiolimitada por y = x e x = y2 y.

(c) Limitado por y2 + z2 = 4 , x = 2 y, x = 0 e z = 0, no primeiro octante.

(d) Limitado por z = x2 + y2 + 4 , x = 0, y = 0, z = 0 e x+ y = 1.

(e) Limitado por x2 + y2 = 1 , y = z, x = 0 e z = 0, no primeiro octante.

2. Calcule a rea da regio limitada pelo eixo dos y e as curvas y = sen(x) ey = cos(x).

3. Calcule a rea das regies limitadas pelas seguintes curvas:

(a) y = x2, y = 2x+ 54(b) y = x2 4, y = 8(c) y = 5 x2, y = x+ 3(d) x = y2, y = x+ 3, y = 2, y = 3(e) y3 = x, y = x

(f) y = x2 1, y = 2x 4(g) x = y2 + 1, y + x = 7

(h) y = 4 x2, y = x2 14

4. Determine o centro de massa da lmina plana R, no plano xy e densidadedada f :

(a) R limitado por x2 + y2 = 1 no primeiro quadrante e f(x, y) = x y

(b) R limitado por y = x e y = x2 e f(x, y) = x2 + y2


5. Definimos o valor mdio de f sobre a regioD por:

VM =1

A

Df(x, y) dx dy,

onde A a rea deD. Calcule VM se:

(a) f(x, y) = x2, eD do retngulo de vrtices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e (0, 2)

(b) f(x, y) = x2 y2 e D do retngulo de vrtices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e (0, 2)

(c) f(x, y) = x2 y2 e D do tringulo de vrtices (0, 0), (4, 0), e (0, 2)

(d) f(x, y) = x2 y2 e D do tringulo de vrtices (1, 0), (1, 0), e (0, 1)

Mudanas de Variveis

1. Utilizando a mudana de variveis: x = u+ v e y = u v, calcule: 1

0

[ 10

(x2 + y2

)dx

]dy.

2. Utilizando a mudana de variveis: x+ y = u e x y = v, calcule:D

(x+ y

)2(x y)2 dx dy,

ondeD limitado pelo quadrado de vrtices (1, 0), (2, 1) e (0, 1).

3. Utilizando a mudana de variveis: u = x y e v = x+ y, calcule:D

(x2 y2) sen2(x+ y) dx dy,

ondeD = {(x, y)/ pi x+ y pi, pi x y pi}.4. Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas:

(a)

Dex

2+y2 dx dy, sendoD = {(x, y)/x2 + y2 1}

(b)

Dln(x2 + y2) dx dy, sendo D = {(x, y)/x 0, y 0, a2 x2 + y2

b2}

(c)

D

sen(x2 + y2)

x2 + y2dx dy, sendoD limitadas por x2+y2 = pi

2

4 e x2+y2 =

pi2

5. Calcule a rea da regio limitada pelas seguintes curvas: x = 4y2 e x+2 y4 = 0.

6. Utilizando coordenadas polares, calcule a rea da regio limitada pelas cur-vas:

9.10. EXERCCIOS 279

(a) r = 1 e r = 2cos()3

(fora a circunferncia r = 1).

(b) r = 2 (1 + cos()) e r = 2 cos().

(c) r = 2 (1 cos()) e r = 2.

7. Calcule

Dsen(x2+y2) dx dy, sendoD o disco unitrio centrado na origem.

8. Sendo dadas a parbola y2 = x+ 1 e a reta x + y = 1, calcule o momento deinrcia em relao a cada eixo e o momento de inrcia polar.

9. Calcule

D(x2 y2) dx dy, ondeD a regio limitada por x2 + y2 1, y 0

e x2 + y2 = 2.

10. Calcule

D

y + 1

x2 + (y + 1)2dx dy, ondeD a regio limitada por x2 + y2 1 e

y 0.

11. Calcule

D

y ln(x+ y)

x2dx dy, onde D a regio limitada por x + y = 1,

x+ y = 2, y = x e y = 0.

12. Determine a rea da regio limitada por x2 + 3 y2 2x 6 y + 1 = 0.13. Determine a rea da regio limitada por x y = 4, x y = 8, x y3 = 5 e x y3 = 15.

14. Calcule

Dcos(x+2 y) sen(xy) dx dy, ondeD a regio limitada por y = x,

x+ 2 y = 2 e y = 0.

15. Calcule

D

x+ y

x 2 y dx dy, onde D a regio limitada por y = 0, 2 y = x ey = 1 x.

16. Determine o momento de inrcia polar da regio limitada por x2 y2 = 1,x2 y2 = 9, x y = 2 e x y = 4.

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