TESTES DE HIPÓTESES

Spencer Barbosa da SilvaDepartamento de Estatística

Teste Bilateral

• A concentração de determinada substância no sangue é uma va (continua) que segue a distribuição Normal com variância 36.

• Considere uma doença que altera a concentração desta substancia.

• Para pacientes sadios (sem a doença) a concentração média desta substancia é 18 mg por litro de sangue.

• O tratamento proposto para esta doença é eficaz?

X = concentração da substância no sangue dos pacientes dos

pacientes doentes após o tratamento

X ~ Normal com média µ e variância σ2 =36

µ = 18 tratamento é eficaz

µ ≠ 18 tratamento não é eficaz

Inferência Estatística

• Uma amostra de n pacientes doentes foi submetida ao tratamento.

• Após o tratamento verificamos a concentração média desta substancia no sangue destes n pacientes ( ).

• Nossa decisão sobre µ será tomada com base em , pois é o melhor estimador para µ.

• Se a média amostral for muito diferente de 18, então optaremos por µ ≠ 18.

x

x x

Ho: µ = 18 Ha: µ ≠ 18

1cx 2cx

Região de Rejeição de Ho ou Região Crítica

18

Região de Rejeição de Ho ou Região Crítica

21 cc xxouxxRC

Erros associados ao teste de hipóteses

α = P(erro Tipo I) = P(rejeitar Ho| Ho verdadeira) = nível de significância

β = P(erro Tipo II) = P(não rejeitar Ho| Ho falsa)

1 - β = 1- P(não rejeitar Ho| Ho falsa) = P(rejeitar Ho| Ho falsa) = poder do teste

Ho verdadeira Ho falsa

Rejeitar Ho Erro Tipo I Sem erroDecisão

Não rejeitar Ho Sem erro Erro Tipo II

Situação

nzxc

2

01

Ho: µ = µ0 Ha: µ ≠ µ0

onde z>0 é um valor da tabela normal padrão associado ao nível de

significância do teste (α).

P(Z < -z) = P(Z > z) = α/2

nzxc

2

02

• No nosso exemplo: Ho: µ = 18 Ha: µ ≠ 18 n=30

• Considerando 5% de significância (α = 0,05):

• A concentração média da substancia no sangue dos 30 pacientes doentes submetidos ao tratamento após o tratamento foi de 22,00 mg por litro.

• Conclusão: Rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5% de significância, ou seja, a amostra fornece evidência de que o tratamento não é eficaz.

85,15303696,1181 cx 15,2030

3696,1182 cx

15,2085,15 xouxRC

• A nossa conclusão foi rejeitar Ho, ou seja, concluímos que a tratamento não é eficaz.

• É possível que esta conclusão esteja errada, ou seja, é possível que na verdade o tratamento seja eficaz?

• Sim, é possível. Podemos estar rejeitando Ho quando na verdade Ho é verdadeira. A probabilidade de estarmos cometendo este erro (erro do tipo I) é igual ao nível de significância adotado (neste caso 5%).

Exemplo: Um pesquisador deseja estudar o efeito de certa substância

no tempo de reação de seres vivos a um certo estimulo. Cobaias que

fizeram uso desta substancia forneceram os seguintes tempos de

reação (em segundos):

9,1 9,3 7,2 7,5 13,3 10,9 7,2 9,9 8,0 8,6

Sabe-se que o tempo de reação a este estimulo tem distribuição

Normal com desvio padrão de 2 segundos. Sem o uso desta

substancia, o tempo médio de reação é de 8 segundos.

O pesquisador desconfia que o tempo médio é reação é alterado pela

substancia. Teste esta desconfiança ao nível de 10% de significância.

Teste Unilateral

• A concentração de determinada substância no sangue é uma va (continua) que segue a distribuição Normal com variância 36.

• Considere uma doença que aumenta a concentração desta substancia.

• Para pacientes sadios (sem a doença) a concentração média desta substancia é 18 mg por litro de sangue.

• O tratamento proposto para esta doença é eficaz?

X = concentração da substância no sangue dos pacientes dos

pacientes doentes após o tratamento

X ~ Normal com média µ e variância σ2 =36

µ = 18 tratamento é eficaz

µ > 18 tratamento não é eficaz

Inferência Estatística

• Uma amostra de n pacientes doentes foi submetida ao tratamento.

• Após o tratamento verificamos a concentração média desta substancia no sangue destes n pacientes ( ).

• Nossa decisão sobre µ será tomada com base em , pois é o melhor estimador para µ.

• Se a média amostral for muito maior que 18, então optaremos por µ > 18.

x

x x

Ho: µ = 18 Ha: µ > 18

cx

RC

18

cxxRC

nzxc

2

0

onde z > 0 é um valor da tabela normal padrão associado ao nível de

significância do teste (α).

P(Z > z) = α

Ho: µ = µ0 Ha: µ > µ0

• No nosso exemplo: Ho: µ = 18 Ha: µ > 18 n=30

• Considerando 5% de significância (α = 0,05):

• A concentração média da substancia no sangue dos 30 pacientes doentes submetidos ao tratamento após o tratamento foi de 22,00 mg por litro.

• Conclusão: Rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5% de significância, ou seja, a amostra fornece evidência de que o tratamento não é eficaz.

79,19303664,118 cx

79,19 xRC

• A nossa conclusão foi rejeitar Ho, ou seja, concluímos que a tratamento não é eficaz.

• É possível que esta conclusão esteja errada, ou seja, é possível que na verdade o tratamento seja eficaz?

• Sim, é possível. Podemos estar rejeitando Ho quando na verdade Ho é verdadeira. A probabilidade de estarmos cometendo este erro (erro do tipo I) é igual ao nível de significância adotado (neste caso 5%).

Exemplo: Um pesquisador deseja estudar o efeito do álcool no tempo

de reação de seres vivos a um certo estimulo. Cobaias que

fizeram uso de bebida alcoólica substancia forneceram os seguintes

tempos de reação (em segundos):

9,1 9,3 7,2 7,5 13,3 10,9 7,2 9,9 8,0 8,6

Sabe-se que o tempo de reação a este estimulo tem distribuição

Normal com variância 6. O tempo médio de reação sem efeito de

álcool é de 9 segundos.

O pesquisador desconfia que o álcool aumenta o tempo médio de

reação. Teste esta desconfiança ao nível de 1% de significância.

Teste Unilateral

• A concentração de determinada substância no sangue é uma va (continua) que segue a distribuição Normal com variância 36.

• Considere uma doença que diminui a concentração desta substancia.

• Para pacientes sadios (sem a doença) a concentração média desta substancia é 18 mg por litro de sangue.

• O tratamento proposto para esta doença é eficaz?

X = concentração da substância no sangue dos pacientes dos

pacientes doentes após o tratamento

X ~ Normal com média µ e variância σ2 =36

µ = 18 tratamento é eficaz

µ < 18 tratamento não é eficaz

Inferência Estatística

• Uma amostra de n pacientes doentes foi submetida ao tratamento.

• Após o tratamento verificamos a concentração média desta substancia no sangue destes n pacientes ( ).

• Nossa decisão sobre µ será tomada com base em , pois é o melhor estimador para µ.

• Se a média amostral for muito menor que 18, então optaremos por µ < 18.

x

x x

Ho: µ = 18 Ha: µ < 18

cx

RC

18

RC

cxxRC

nzxc

2

0

onde z > 0 é um valor da tabela normal padrão associado ao nível de

significância do teste (α).

P(Z > z) = α

Ho: µ = µ0 Ha: µ < µ0

• No nosso exemplo: Ho: µ = 18 Ha: µ < 18 n=30

• Considerando 5% de significância (α = 0,05):

• A concentração média da substancia no sangue dos 30 pacientes doentes submetidos ao tratamento após o tratamento foi de 22,00 mg por litro.

• Conclusão: Não rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5% de significância, ou seja, a amostra fornece evidência de que o tratamento é eficaz.

21,16303664,118 cx

21,16 xRC

• A nossa conclusão foi não rejeitar Ho, ou seja, concluímos que a tratamento é eficaz.

• É possível que esta conclusão esteja errada, ou seja, é possível que na verdade o tratamento não seja eficaz?

• Sim, é possível. Podemos não estar rejeitando Ho quando na verdade Ho é falsa. A probabilidade de estarmos cometendo este erro (erro do tipo II) é igual a β.

• O calculo de β depende do valor de µ.

Exemplo: Um pesquisador deseja estudar o efeito de uma bebida

energética no tempo de reação de seres vivos a um certo

estimulo. Cobaias que fizeram uso de bebida alcoólica forneceram os

seguintes tempos de reação (em segundos):

9,1 9,3 7,2 7,5 13,3 10,9 7,2 9,9 8,0 8,6

Sabe-se que o tempo de reação a este estímulo tem distribuição

Normal com variância 6. Sem efeito de energético, o tempo médio de

reação é de 10 segundos.

O pesquisador desconfia que energético diminui o tempo médio de

reação. Teste esta desconfiança ao nível de 10% de significância.

Etapas de um teste de hipóteses

1. Estabelecer as hipóteses nula e alternativa.

2. Definir a forma da região crítica, com base na hipótese

alternativa.

3. Fixar α e obter a região crítica.

4. Concluir o teste com base na média amostral.

Exemplo: Deseja-se investigar se uma certa doença que ataca o rim

aumenta o consumo de oxigênio deste órgão. O consumo de oxigênio

segue a distribuição Normal com desvio padrão de 9 cm3/min. Para

indivíduos sadios o consumo médio é de 13 cm3/min. Uma

amostra de 5 pacientes doentes forneceu os seguintes valores para o

consumo (em cm3/min):

14,4 12,9 15,0 13,7 13,5

a) Com base nesta amostra, forneça uma estimativa pontual para o

consumo médio em pacientes doentes.

b) A amostra fornece evidencia de que a doença aumenta o consumo?

Faça um teste com 2% de significância?

Exemplo: Uma associação de defesa do consumidor desconfia que

embalagens de 450 gramas de um biscoito estão abaixo do peso. O

peso destas embalagens segue a distribuição Normal com desvio

padrão de 10 gramas. Para verificar esta suspeita foram coletados 81

pacotes do biscoito, de vários supermercados, obtendo-se peso médio

de 447 gramas. Existe evidencia amostral de que as embalagens estão

abaixo do peso? Use α=7%.

Exemplo: O tempo de duração de lâmpadas segue a distribuição

Normal com desvio padrão de 002 anos. Um fabricante de lâmpadas

afirma que o tempo médio de duração de suas lâmpadas é 2,3 anos.

Para verificar esta afirmação 49 lâmpadas foram testadas. O tempo

médio de duração destas lâmpadas foi de 2,5 anos. Existe evidencia

amostral de a informação do fabricante esteja errada? Use 12% de

significância.

- Podemos também realizar testes de hipóteses para a proporção populacional.

- Hipóteses:

H0: p = p0 Ha: p ≠ p0 ou p > p0 ou p > p0

- A decisão neste caso é baseada na proporção amostral.

- Ha: p ≠ p0

2

^

1

^

cc xpouxpRC

n

ppzpxc

)1( 00^

1

n

ppzpxc

)1( 00^

2

- Ha: p > p0

- Ha: p < p0

cxpRC ^

n

ppzpxc

)1( 00^

cxpRC ^

n

ppzpxc

)1( 00^

Exemplo: Uma companhia afirma que 40% da água obtida em poços

artesianos no nordeste é salobra. Para testar esta hipótese, 400 poços

foram sorteados e em 120 deles observou-se água salobra. Teste a

afirmação da companhia ao nível de 10% de significância.

Exemplo: A LG afirma que apenas 5% de suas televisões LCD dão

algum tipo de problema antes de 1 ano de uso. Para testar esta

hipótese, 500 televisões LCD novas da marca LG foram usadas

durante 1 ano. 40 delas apresentaram algum tipo de problema.

Suspeita-se que a porcentagem de televisões LCD da marca LG que

apresenta problema antes de 1 ano de uso seja maior do que o

informado pelo fabricante. Teste esta suspeita ao nível de 1% de

significância.

Exemplo: Um pré-vestibular afirma que 90% de seus alunos são aprovados no

Vestibular, mas desconfia-se que esta proporção seja menor. Para testar esta

desconfianca100 alunos deste pré vestibular foram selecionados. Destes 100,

76 disseram ter sido aprovado. Verifique se a desconfiança procede ao nível

de 5% de significância.