Testes de Convergencia

IntroduçãoO Teste da Comparação Direta

O Teste da Comparação no Limite

Testes de Convergência

Alânnio Barbosa Nó[email protected]

Alânnio Barbosa Nóbrega Testes de Convergência

Introdução

Algumas integrais impróprias não podem ser obtidas através deum cálculo direto. Nesses casos tetaremos, pelo menos, garantirse as integrais em questão são convergentes ou divergentes.Caso as integrais em questão sejam convergentes poderemosaplicar métodos numérico para obter um valor aproximado delas.Os principais métodos que tratam da convergência de integraissão:

O Teste da Comparação direta;Oteste da Comparação no limite.

Introdução

O Teste da Comparação direta

Sejam f e g contínuas em [a,+∞), com 0 ≤ f (x) ≤ g(x) paraqualquer x ≥ a. Então

1)∫ +∞

af (x)dx converge se

∫ +∞

ag(x)dx converge.

2)∫ +∞

ag(x)dx diverge se

∫ +∞

af (x)dx diverge.

1)∫ +∞

∫ +∞

ag(x)dx converge.

2)∫ +∞

ag(x)dx diverge se

∫ +∞

af (x)dx diverge.

1)∫ +∞

∫ +∞

ag(x)dx converge.

2)∫ +∞

ag(x)dx diverge se

∫ +∞

af (x)dx diverge.

Exemplos

Detremine se as integrais a seguir convergem:

1)∫ +∞

2)∫ +∞

1 + senxx2 dx

Exemplos

1)∫ +∞

2)∫ +∞

1 + senxx2 dx

Exemplos

1)∫ +∞

2)∫ +∞

1 + senxx2 dx

Exemplos

1)∫ +∞

2)∫ +∞

1 + senxx2 dx

O Teste da Comparação no limite

Sejam f e g funções positivas e contínuas em [a,+∞). Se

limx→+∞

f (x)g(x)

= L, 0 < L < +∞

então ∫ +∞

af (x)dx e

∫ +∞

ag(x)dx

são ambas convergentes ou ambas divergentes.

Observação

Os dois testes mostrados anteriormente também valem para osdemais casos de integrais impróprias.

Exemplos

1)∫ 1

1t − sent

Observação

Exemplos

1)∫ 1

1t − sent

Observação

Exemplos

1)∫ 1

1t − sent

2)∫ +∞

1x3 + 1

3)∫ +∞

x√x4 − 1

2)∫ +∞

1x3 + 1

3)∫ +∞

x√x4 − 1

2)∫ +∞

1x3 + 1

3)∫ +∞

x√x4 − 1

Por hoje é só!

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