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Licenciatura em Engenharia Civil TEORIA DAS ESTRUTURAS 2 1ª Chamada Parte Teórica (sem consulta) 2001/2002 19/06/2002 Duração: 1 hora v.s.f.f. 1. Usando o método dos deslocamentos, analise a estrutura representada na Figura 1, procurando adoptar o menor número de incógnitas. a) Considerando a deformabilidade axial de todas as barras, indique as incógnitas que consideraria para o seu cálculo. b) Desprezando a deformabilidade axial das barras que constituem a parte contínua da estrutura, que incógnitas consideraria? c) Para a hipótese da alínea b) represente a deformada da configuração ∆ i = 0 para uma variação de temperatura uniforme na parte contínua da estrutura. E J A B C D K L F G H I Figura 1 2. As figuras I) e II) da Figura 2 representam uma estrutura em duas fases distintas de construção. a) Pretendendo-se calcular a estrutura I) pelo método de Cross, indique os coeficientes de distribuição a adoptar e os momentos iniciais paras as seguintes solicitações: carga uniforme distribuída nas barras horizontais; imposição de uma rotação unitária no ponto indicado (∆ 1 = 1); e imposição de um deslocamento unitário (∆ 2 = 1) no mesmo ponto. b) Usando os resultados que se obteriam do cálculo da alínea anterior: i) Diga como poderia calcular a estrutura II) para uma carga distribuída em todas as barras horizontais usando o método de Cross; ii) Estabeleça de forma genérica o sistema de equações que permitiria resolver a estrutura II) através do método dos deslocamentos.
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Licenciatura em Engenharia Civil
TEORIA DAS ESTRUTURAS 2
1ordf Chamada
Parte Teoacuterica (sem consulta)
20012002
19062002
Duraccedilatildeo 1 hora
vsff
1 Usando o meacutetodo dos deslocamentos analise a estrutura representada na Figura 1 procurando
adoptar o menor nuacutemero de incoacutegnitas
a) Considerando a deformabilidade axial de todas as barras indique as incoacutegnitas que consideraria
para o seu caacutelculo
b) Desprezando a deformabilidade axial das barras que constituem a parte contiacutenua da estrutura que
incoacutegnitas consideraria
c) Para a hipoacutetese da aliacutenea b) represente a deformada da configuraccedilatildeo ∆i = 0 para uma variaccedilatildeo de
temperatura uniforme na parte contiacutenua da estrutura
E
J
A B C D
K
L
F G H I
Figura 1
2 As figuras I) e II) da Figura 2 representam uma estrutura em duas fases distintas de construccedilatildeo
a) Pretendendo-se calcular a estrutura I) pelo meacutetodo de Cross indique os coeficientes de
distribuiccedilatildeo a adoptar e os momentos iniciais paras as seguintes solicitaccedilotildees carga uniforme
distribuiacuteda nas barras horizontais imposiccedilatildeo de uma rotaccedilatildeo unitaacuteria no ponto indicado (∆1 = 1) e
imposiccedilatildeo de um deslocamento unitaacuterio (∆2 = 1) no mesmo ponto
b) Usando os resultados que se obteriam do caacutelculo da aliacutenea anterior
i) Diga como poderia calcular a estrutura II) para uma carga distribuiacuteda em todas as barras
horizontais usando o meacutetodo de Cross
ii) Estabeleccedila de forma geneacuterica o sistema de equaccedilotildees que permitiria resolver a estrutura II)
atraveacutes do meacutetodo dos deslocamentos
I)
∆1
∆2
L L L
L
CB D E
A
II)
L L L
L
L
CB D E
A
F
Figura 2
3 A estrutura representada na figura 3 eacute constituiacuteda por uma viga [AB] encastrada numa extremidade e
ligada a um tirante [BC] na outra na qual se encontra suspenso um corpo com um peso P = 100 kN
a) Desprezando a massa das barras calcule a frequecircncia de vibraccedilatildeo da estrutura para movimentos
verticais
b) Supondo que na extremidade da barra eacute aplicada uma forccedila p(t) = p0 sen (20 t) na direcccedilatildeo vertical
e admitindo o coeficiente de amortecimento nulo calcule os valores possiacuteveis para a rigidez do
tirante de modo a que o amplificaccedilatildeo dinacircmica seja inferior 12
c) Defina coeficiente de amortecimento
4m
3m
A B
C
P = 100 KN
Figura 3
Barra [AB]
A = (02x02) m2
E = 20GPa
Barra [BC]
A = 22510-4 m2
E = 200 GPa
Nome __________________________________________________________________________________________
a)
E
J
A B C D
K
L
F G H I
b)
E
J
A B C D
K
L
F G H I
c)
E
J
A B C D
K
L
F G H I
Licenciatura em Engenharia Civil
TEORIA DAS ESTRUTURAS 2
1ordf Chamada
Parte Praacutetica (com consulta)
20012002
19062002
Duraccedilatildeo 2 horas
vsff
1 Considere a estrutura representada na Figura 1 a qual eacute constituiacuteda pelas barras [AB] [BC] e [CD] em
que se admite desprezaacutevel a deformaccedilatildeo devida aos esforccedilos axiais e pela barra bi-articulada [CE] em
que tal efeito natildeo pode ser desprezado Aplicando o Meacutetodos dos Deslocamentos na sua formulaccedilatildeo
directa
A
CB
[m]
2 mm50 30
D
50 kN
E
40
40
10
30 kNm
Dados
[AB] [BC] e [CD]
EI = 72103 kNm2
[CE]
EA = 20103 kN
Figura 1
a) indique as incoacutegnitas hipergeomeacutetricas a adoptar no estudo da estrutura
b) represente um mecanismo adequado agrave determinaccedilatildeo de uma forccedila de fixaccedilatildeo
c) determine a matriz de rigidez da estrutura
d) determine as forccedilas de fixaccedilatildeo devidas agrave acccedilatildeo das solicitaccedilotildees indicadas (forccedilas distribuiacutedas forccedila
concentrada e assentamento de apoio)
e) calcule as incoacutegnitas hipergeomeacutetricas
f) determine o esforccedilo axial na barra [CE]
NOTA Na resoluccedilatildeo do problema utilize a folha auxiliar para representar o mecanismo e as
configuraccedilotildees associadas agrave construccedilatildeo da matriz de rigidez
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Parte Praacutetica (com consulta)
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Duraccedilatildeo 2 horas
vsff
2 Na resoluccedilatildeo das seguintes aliacuteneas despreze a deformabilidade axial de todas as barras
a) Calcule pelo Meacutetodo de Cross os momentos flectores nos apoios da estrutura da Figura 1 quando
sujeita a um assentamento de rotaccedilatildeo unitaacuterio no apoio da esquerda
40 40
EI1
EI12EI 1
0
[m]
Dados EI1 = 840103 kNm2
EI2 = 70103 kNm2
Figura 1
b) Calcule os valores dos momentos flectores nos apoios da mesma estrutura sujeita ao seguinte
carregamento (Figura 2)
EI
40
EI1
10
40
21EI
10 KN
[m] Figura 2
c) Indique o nuacutemero de incoacutegnitas necessaacuterias para analisar a estrutura representada na Figura 3 pelo
Meacutetodo dos Deslocamentos
EI
50 KN
2
1EI
EI1
EI
30 KN
2
1EI
EI1
EI1
EI1
EI2
[m]4040 30 10 40
40
30
10
10
Figura 3
d) Calcule os momentos flectores nos apoios da estrutura da aliacutenea c) recorrendo ao Meacutetodo de Cross e
fazendo uso dos resultados das aliacuteneas a) e b)
e) Calcule a frequecircncia da estrutura da aliacutenea a) associada a movimentos verticais da barra central
Considere que toda a massa (M = 100 ton) se concentra no centro de gravidade da barra
f) Admitindo um movimento siacutesmico vertical caracterizado pelo espectro de resposta representado na
Figura 4 determine o maacuteximo deslocamento vertical da barra central da estrutura da aliacutenea a)
Considere um coeficiente de amortecimento igual a 5 do amortecimento criacutetico
Figura 4
Nome __________________________________________________________________________________________
aliacutenea
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
E
I)
∆1
∆2
L L L
L
CB D E
A
II)
L L L
L
L
CB D E
A
F
Figura 2
3 A estrutura representada na figura 3 eacute constituiacuteda por uma viga [AB] encastrada numa extremidade e
ligada a um tirante [BC] na outra na qual se encontra suspenso um corpo com um peso P = 100 kN
a) Desprezando a massa das barras calcule a frequecircncia de vibraccedilatildeo da estrutura para movimentos
verticais
b) Supondo que na extremidade da barra eacute aplicada uma forccedila p(t) = p0 sen (20 t) na direcccedilatildeo vertical
e admitindo o coeficiente de amortecimento nulo calcule os valores possiacuteveis para a rigidez do
tirante de modo a que o amplificaccedilatildeo dinacircmica seja inferior 12
c) Defina coeficiente de amortecimento
4m
3m
A B
C
P = 100 KN
Figura 3
Barra [AB]
A = (02x02) m2
E = 20GPa
Barra [BC]
A = 22510-4 m2
E = 200 GPa
Nome __________________________________________________________________________________________
a)
E
J
A B C D
K
L
F G H I
b)
E
J
A B C D
K
L
F G H I
c)
E
J
A B C D
K
L
F G H I
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Duraccedilatildeo 2 horas
vsff
1 Considere a estrutura representada na Figura 1 a qual eacute constituiacuteda pelas barras [AB] [BC] e [CD] em
que se admite desprezaacutevel a deformaccedilatildeo devida aos esforccedilos axiais e pela barra bi-articulada [CE] em
que tal efeito natildeo pode ser desprezado Aplicando o Meacutetodos dos Deslocamentos na sua formulaccedilatildeo
directa
A
CB
[m]
2 mm50 30
D
50 kN
E
40
40
10
30 kNm
Dados
[AB] [BC] e [CD]
EI = 72103 kNm2
[CE]
EA = 20103 kN
Figura 1
a) indique as incoacutegnitas hipergeomeacutetricas a adoptar no estudo da estrutura
b) represente um mecanismo adequado agrave determinaccedilatildeo de uma forccedila de fixaccedilatildeo
c) determine a matriz de rigidez da estrutura
d) determine as forccedilas de fixaccedilatildeo devidas agrave acccedilatildeo das solicitaccedilotildees indicadas (forccedilas distribuiacutedas forccedila
concentrada e assentamento de apoio)
e) calcule as incoacutegnitas hipergeomeacutetricas
f) determine o esforccedilo axial na barra [CE]
NOTA Na resoluccedilatildeo do problema utilize a folha auxiliar para representar o mecanismo e as
configuraccedilotildees associadas agrave construccedilatildeo da matriz de rigidez
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Duraccedilatildeo 2 horas
vsff
2 Na resoluccedilatildeo das seguintes aliacuteneas despreze a deformabilidade axial de todas as barras
a) Calcule pelo Meacutetodo de Cross os momentos flectores nos apoios da estrutura da Figura 1 quando
sujeita a um assentamento de rotaccedilatildeo unitaacuterio no apoio da esquerda
40 40
EI1
EI12EI 1
0
[m]
Dados EI1 = 840103 kNm2
EI2 = 70103 kNm2
Figura 1
b) Calcule os valores dos momentos flectores nos apoios da mesma estrutura sujeita ao seguinte
carregamento (Figura 2)
EI
40
EI1
10
40
21EI
10 KN
[m] Figura 2
c) Indique o nuacutemero de incoacutegnitas necessaacuterias para analisar a estrutura representada na Figura 3 pelo
Meacutetodo dos Deslocamentos
EI
50 KN
2
1EI
EI1
EI
30 KN
2
1EI
EI1
EI1
EI1
EI2
[m]4040 30 10 40
40
30
10
10
Figura 3
d) Calcule os momentos flectores nos apoios da estrutura da aliacutenea c) recorrendo ao Meacutetodo de Cross e
fazendo uso dos resultados das aliacuteneas a) e b)
e) Calcule a frequecircncia da estrutura da aliacutenea a) associada a movimentos verticais da barra central
Considere que toda a massa (M = 100 ton) se concentra no centro de gravidade da barra
f) Admitindo um movimento siacutesmico vertical caracterizado pelo espectro de resposta representado na
Figura 4 determine o maacuteximo deslocamento vertical da barra central da estrutura da aliacutenea a)
Considere um coeficiente de amortecimento igual a 5 do amortecimento criacutetico
Figura 4
Nome __________________________________________________________________________________________
aliacutenea
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
E
Nome __________________________________________________________________________________________
a)
E
J
A B C D
K
L
F G H I
b)
E
J
A B C D
K
L
F G H I
c)
E
J
A B C D
K
L
F G H I
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1 Considere a estrutura representada na Figura 1 a qual eacute constituiacuteda pelas barras [AB] [BC] e [CD] em
que se admite desprezaacutevel a deformaccedilatildeo devida aos esforccedilos axiais e pela barra bi-articulada [CE] em
que tal efeito natildeo pode ser desprezado Aplicando o Meacutetodos dos Deslocamentos na sua formulaccedilatildeo
directa
A
CB
[m]
2 mm50 30
D
50 kN
E
40
40
10
30 kNm
Dados
[AB] [BC] e [CD]
EI = 72103 kNm2
[CE]
EA = 20103 kN
Figura 1
a) indique as incoacutegnitas hipergeomeacutetricas a adoptar no estudo da estrutura
b) represente um mecanismo adequado agrave determinaccedilatildeo de uma forccedila de fixaccedilatildeo
c) determine a matriz de rigidez da estrutura
d) determine as forccedilas de fixaccedilatildeo devidas agrave acccedilatildeo das solicitaccedilotildees indicadas (forccedilas distribuiacutedas forccedila
concentrada e assentamento de apoio)
e) calcule as incoacutegnitas hipergeomeacutetricas
f) determine o esforccedilo axial na barra [CE]
NOTA Na resoluccedilatildeo do problema utilize a folha auxiliar para representar o mecanismo e as
configuraccedilotildees associadas agrave construccedilatildeo da matriz de rigidez
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2 Na resoluccedilatildeo das seguintes aliacuteneas despreze a deformabilidade axial de todas as barras
a) Calcule pelo Meacutetodo de Cross os momentos flectores nos apoios da estrutura da Figura 1 quando
sujeita a um assentamento de rotaccedilatildeo unitaacuterio no apoio da esquerda
40 40
EI1
EI12EI 1
0
[m]
Dados EI1 = 840103 kNm2
EI2 = 70103 kNm2
Figura 1
b) Calcule os valores dos momentos flectores nos apoios da mesma estrutura sujeita ao seguinte
carregamento (Figura 2)
EI
40
EI1
10
40
21EI
10 KN
[m] Figura 2
c) Indique o nuacutemero de incoacutegnitas necessaacuterias para analisar a estrutura representada na Figura 3 pelo
Meacutetodo dos Deslocamentos
EI
50 KN
2
1EI
EI1
EI
30 KN
2
1EI
EI1
EI1
EI1
EI2
[m]4040 30 10 40
40
30
10
10
Figura 3
d) Calcule os momentos flectores nos apoios da estrutura da aliacutenea c) recorrendo ao Meacutetodo de Cross e
fazendo uso dos resultados das aliacuteneas a) e b)
e) Calcule a frequecircncia da estrutura da aliacutenea a) associada a movimentos verticais da barra central
Considere que toda a massa (M = 100 ton) se concentra no centro de gravidade da barra
f) Admitindo um movimento siacutesmico vertical caracterizado pelo espectro de resposta representado na
Figura 4 determine o maacuteximo deslocamento vertical da barra central da estrutura da aliacutenea a)
Considere um coeficiente de amortecimento igual a 5 do amortecimento criacutetico
Figura 4
Nome __________________________________________________________________________________________
aliacutenea
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
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_______
A
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D
E
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1 Considere a estrutura representada na Figura 1 a qual eacute constituiacuteda pelas barras [AB] [BC] e [CD] em
que se admite desprezaacutevel a deformaccedilatildeo devida aos esforccedilos axiais e pela barra bi-articulada [CE] em
que tal efeito natildeo pode ser desprezado Aplicando o Meacutetodos dos Deslocamentos na sua formulaccedilatildeo
directa
A
CB
[m]
2 mm50 30
D
50 kN
E
40
40
10
30 kNm
Dados
[AB] [BC] e [CD]
EI = 72103 kNm2
[CE]
EA = 20103 kN
Figura 1
a) indique as incoacutegnitas hipergeomeacutetricas a adoptar no estudo da estrutura
b) represente um mecanismo adequado agrave determinaccedilatildeo de uma forccedila de fixaccedilatildeo
c) determine a matriz de rigidez da estrutura
d) determine as forccedilas de fixaccedilatildeo devidas agrave acccedilatildeo das solicitaccedilotildees indicadas (forccedilas distribuiacutedas forccedila
concentrada e assentamento de apoio)
e) calcule as incoacutegnitas hipergeomeacutetricas
f) determine o esforccedilo axial na barra [CE]
NOTA Na resoluccedilatildeo do problema utilize a folha auxiliar para representar o mecanismo e as
configuraccedilotildees associadas agrave construccedilatildeo da matriz de rigidez
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2 Na resoluccedilatildeo das seguintes aliacuteneas despreze a deformabilidade axial de todas as barras
a) Calcule pelo Meacutetodo de Cross os momentos flectores nos apoios da estrutura da Figura 1 quando
sujeita a um assentamento de rotaccedilatildeo unitaacuterio no apoio da esquerda
40 40
EI1
EI12EI 1
0
[m]
Dados EI1 = 840103 kNm2
EI2 = 70103 kNm2
Figura 1
b) Calcule os valores dos momentos flectores nos apoios da mesma estrutura sujeita ao seguinte
carregamento (Figura 2)
EI
40
EI1
10
40
21EI
10 KN
[m] Figura 2
c) Indique o nuacutemero de incoacutegnitas necessaacuterias para analisar a estrutura representada na Figura 3 pelo
Meacutetodo dos Deslocamentos
EI
50 KN
2
1EI
EI1
EI
30 KN
2
1EI
EI1
EI1
EI1
EI2
[m]4040 30 10 40
40
30
10
10
Figura 3
d) Calcule os momentos flectores nos apoios da estrutura da aliacutenea c) recorrendo ao Meacutetodo de Cross e
fazendo uso dos resultados das aliacuteneas a) e b)
e) Calcule a frequecircncia da estrutura da aliacutenea a) associada a movimentos verticais da barra central
Considere que toda a massa (M = 100 ton) se concentra no centro de gravidade da barra
f) Admitindo um movimento siacutesmico vertical caracterizado pelo espectro de resposta representado na
Figura 4 determine o maacuteximo deslocamento vertical da barra central da estrutura da aliacutenea a)
Considere um coeficiente de amortecimento igual a 5 do amortecimento criacutetico
Figura 4
Nome __________________________________________________________________________________________
aliacutenea
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
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_______
A
CB
D
E
Licenciatura em Engenharia Civil
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Duraccedilatildeo 2 horas
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2 Na resoluccedilatildeo das seguintes aliacuteneas despreze a deformabilidade axial de todas as barras
a) Calcule pelo Meacutetodo de Cross os momentos flectores nos apoios da estrutura da Figura 1 quando
sujeita a um assentamento de rotaccedilatildeo unitaacuterio no apoio da esquerda
40 40
EI1
EI12EI 1
0
[m]
Dados EI1 = 840103 kNm2
EI2 = 70103 kNm2
Figura 1
b) Calcule os valores dos momentos flectores nos apoios da mesma estrutura sujeita ao seguinte
carregamento (Figura 2)
EI
40
EI1
10
40
21EI
10 KN
[m] Figura 2
c) Indique o nuacutemero de incoacutegnitas necessaacuterias para analisar a estrutura representada na Figura 3 pelo
Meacutetodo dos Deslocamentos
EI
50 KN
2
1EI
EI1
EI
30 KN
2
1EI
EI1
EI1
EI1
EI2
[m]4040 30 10 40
40
30
10
10
Figura 3
d) Calcule os momentos flectores nos apoios da estrutura da aliacutenea c) recorrendo ao Meacutetodo de Cross e
fazendo uso dos resultados das aliacuteneas a) e b)
e) Calcule a frequecircncia da estrutura da aliacutenea a) associada a movimentos verticais da barra central
Considere que toda a massa (M = 100 ton) se concentra no centro de gravidade da barra
f) Admitindo um movimento siacutesmico vertical caracterizado pelo espectro de resposta representado na
Figura 4 determine o maacuteximo deslocamento vertical da barra central da estrutura da aliacutenea a)
Considere um coeficiente de amortecimento igual a 5 do amortecimento criacutetico
Figura 4
Nome __________________________________________________________________________________________
aliacutenea
_______
A
CB
D
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_______
A
CB
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_______
A
CB
D
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A
CB
D
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_______
A
CB
D
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_______
A
CB
D
E
d) Calcule os momentos flectores nos apoios da estrutura da aliacutenea c) recorrendo ao Meacutetodo de Cross e
fazendo uso dos resultados das aliacuteneas a) e b)
e) Calcule a frequecircncia da estrutura da aliacutenea a) associada a movimentos verticais da barra central
Considere que toda a massa (M = 100 ton) se concentra no centro de gravidade da barra
f) Admitindo um movimento siacutesmico vertical caracterizado pelo espectro de resposta representado na
Figura 4 determine o maacuteximo deslocamento vertical da barra central da estrutura da aliacutenea a)
Considere um coeficiente de amortecimento igual a 5 do amortecimento criacutetico
Figura 4
Nome __________________________________________________________________________________________
aliacutenea
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
D
E
_______
A
CB
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_______
A
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Nome __________________________________________________________________________________________
aliacutenea
_______
A
CB
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A
CB
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A
CB
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CB
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A
CB
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E
