Instituto Superior TecnicoDepartamento de Matematica 1o semestre 11/12

TESTE DE REPESCAGEM DE ALGEBRA LINEAR

LEE, LEGI, LEIC-T, LERC28 de Janeiro de 2012 (9:00)

Teste 401

Nome:Numero:Curso:Repescagem do(s) Teste(s):

O Teste de Repescagem que vai realizar tem a duracao total de 90 minutos para quemfaz a Repescagem do 1o + 2o testes ou do 3o teste, e a a duracao total de 180 minutos paraquem faz a Repescagem dos tres testes. O teste esta assim divido em duas partes: os seis primeirosproblemas correspondem a Repescagem do 1o+2o testes e os seis ultimos problemas correspondema Repescagem do 3o teste (nota mınima de 7 em 20, ou 3.5 em 10). Os problemas estaodivididos em alıneas com as cotacoes indicadas nas alıneas apenas quando a divisao nao e uniforme.

O quadro abaixo destina-se a correcao da prova. Por favor nao escreva nada. Osvalores indicados passam a metade para quem esta a realizar a Repescagem de todosos testes.

Prob 1 2 Val

Prob 2 4 Val

Prob 3 3.5 Val

Prob 4 4 Val

Prob 5 3.5 Val

Prob 6 3 Val

Prob 7 3.5 Val

Prob 8 3.5 Val

Prob 9 4.5 Val

Prob 10 3 Val

Prob 11 2.5 Val

Prob 12 3 Val

NOTA FINAL:

1

Problema 1 (2 valores)Determine a solucao geral para o seguinte sistema de equacoes lineares. Apresente a resposta naforma vetorial parametrica.

x1 −5x2 −9x3 +8x4 = −7x2 +3x3 −4x4 = 2

2x2 +6x3 −8x4 = 4

Apresente e justifique todos os calculos que tiver de efetuar!

2

3

Problema 2 (4 valores)Considere as seguintes matrizes A, B e C

A =

1 2−2 −4−3 −4

, B =

1 0 40 1 −31 0 4

, C =

1 0 4 0 −30 1 −3 0 50 0 0 1 0

.

(a) Indique quais das matrizes A, B e/ou C, tem colunas que constituem conjuntos linearmenteindependentes (L.I.).

(b) Para cada uma das matrizes do enunciado, verifique se o conjunto das colunas gera R3.

Apresente e justifique todos os calculos que tiver de efetuar!

4

5

Problema 3 (3.5 valores)Sejam as seguintes matrizes

A =

a b cd e fg h i

, B =

a− g b− h c− id + 2g e + 2h f + 2i

g h i

, C =

g h i3d 3e 3fa b c

.

Sabendo que det A = 5, calcule:

(a) (1.5 val.) det B e det C.

(b) (1 val.) det(AC).

(c) (1 val.) det(3A−1).

Apresente e justifique todos os calculos que tiver de efetuar!

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Problema 4 (4 valores)

(a) (1 val.) Determine a matriz da transformacao linear T : R2 → R2 que aplica os vetores e1 e

e2 em

[85

]e

[64

], respetivamente.

(b) (1.5 val.) Usando coordenadas homogeneas para R2, determine a matriz 3 × 3 que permite

deslocar objetos graficos 2D no vetor

[−14

]e depois realizar a transformacao linear T da

alınea anterior.

(c) (1.5 val.) Deduza a matriz 3× 3 que permite reverter as acoes descritas na alınea (b).

Apresente e justifique todos os calculos que tiver de efetuar!

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Problema 5 (3.5 valores)Complete com as definicoes dadas nas aulas teoricas:

(a) ”Um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vp} dum espaco vetorial V e linearmente dependente(L.D.) quando ...”(Note: nao use a expressao linearmente independente nesta definicao).

(b) ”Seja H um subespaco vetorial dum espaco vetorial V . Um conjunto de vetores B ={b1, b2, ..., bp} e uma base de H se ...”

(c) ”Seja H um subespaco vetorial dum espaco vetorial V e B uma base arbitraria para H. Adimensao de H e ...”

Escreva a frase completa, identificando os sımbolos que usar para completar as defi-nicoes !

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Problema 6 (3 valores)Cada 5 anos, 7% da populacao duma determinada area desloca-se para os suburbios da cidade.Por sua vez, nesse perıodo de tempo, 3% da populacao que morava nos arredores vai viver para acidade. No census de 2010, havia 100000 residentes na cidade e 300000 residentes nos arredores.

(a) Considere a cadeia de Markov que descreve a mobilidade da populacao descrita acima.Construa a matriz estocastica P e a equacao que descreve a mobilidade da populacao.

(b) Calcule a distribuicao esperada da populacao entre a cidade e os arredores no proximo censusde 2015.

Apresente e justifique todos os calculos que tiver de efetuar!

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Problema 7 (3.5 valores)Considere uma matriz A, 3 × 4, em que uma base para o espaco Lin A e dada pelo conjunto{(1, 2,−1, 0), (0, 1, 5, 2)}.

(a) (1 val.) Indique a dimensao do espaco Col A.

(b) (1.5 val.) Determine uma base para o espaco Nul A e indique a respetiva dimensao.

(c) (1 val.) Determine uma base para o espaco Col AT e indique a respetiva dimensao.

Apresente e justifique todos os calculos e afirmacoes que fizer!

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Problema 8 (3.5 valores)Considere a matriz

A =

1 0 30 3 40 0 −2

.

(a) (1 val) Determine os valores proprios da matriz A.

(b) (1.5 val) Determine uma base de vectores proprios para R3.

(c) (1 val) Escreva a equacao matricial que relaciona A com a matriz diagonalizante P e diagonalD, explicitando as matrizes P e D. (Nota: e so indicar, nao necessita de fazer calculos)

Justifique as respostas e apresente os calculos que efectuar.

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Problema 9 (4.5 valores)Sejam os vetores

v1 =

5000

, v2 =

32−2−2

, v3 =

1−111

, x =

−230−3

, y =

036−3

e o subespaco W = L{v1, v2, v3}.

(a) Verifique se o vetor x pertence a W .

(b) Encontre uma base ortogonal para o subespaco W e indique a dimensao de W .

(c) Verifique se o vetor y pertence ao complemento ortogonal de W , i.e. a W⊥.

Justifique as respostas e apresente os calculos que efetuar.

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Problema 10 (3 valores)SejaM2×2 o espaco linear das matrizes 2×2 com entradas reais. Considere ainda a transformacaolinear

T : M2×2 −→ M2×2[a bc d

]7→

[0 b + c

−b− c d

].

(a) Determine a matriz que representa T na base canonica de M2×2, tanto na partida como nachegada?

(b) Indique uma base para o nucleo de T . O que pode concluir sobre a injetividade da transfor-macao T?

(c) Indique uma base para o espaco imagem de T . O que pode concluir sobre a sobrejetividadeda transformacao T?

Justifique as respostas e apresente os calculos que efetuar.

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Problema 11 (2.5 valores)Considere um conjunto de quatro paginas web com hyperlinks dados pelo seguinte grafo orientadoda figura.

A longo termo, e sem ajustamentos, qual vai ser a fracao de tempo gasto pelo utilizador-surfer emcada uma das paginas?

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Problema 12 (3 valores)Seja A uma matriz 12× 5. Sabendo que Nul AT A = Nul A para toda a matriz A, mostre que

(a) a caracterıstica de A e igual a caracterıstica de AT A;

(b) se as colunas de A sao linearmente independentes, entao AT A e invertıvel.

Justifique devidamente as suas respostas, usando teoremas dados.

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