UNIVERSIDADE DE BRASLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

AVALIAO DA RIGIDEZ DE PRTICOS TRIDIMENSIONAIS DE CONCRETO ARMADO

JANES CLEITON ALVES DE OLIVEIRA

ORIENTADOR: GUILHERME SALES S. A. MELLO CO-ORIENTADOR: ELDON LONDE MELLO

TESE DE DOUTORADO EM ESTRUTURAS E CONSTRUO CIVIL

PUBLICAO: PECC.TD 001A / 09

BRASLIA/DF: MARO 2009

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UNIVERSIDADE DE BRASLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA

AVALIAO DA RIGIDEZ DE PRTICOS

TRIDIMENSIONAIS DE CONCRETO ARMADO

JANES CLEITON ALVES DE OLIVEIRA

TESE SUMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASLIA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSRIOS PARA OBTENO DO GRAU DE DOUTOR EM ESTRUTURAS E CONSTRUO CIVIL. APROVADA POR: _______________________________________________ Prof. Guilherme Sales S. de A. Melo, PhD (ENC UnB) (Orientador) _______________________________________________ Prof. Yosiaki Nagato, PhD (ENC UnB) (Examinador Interno) _______________________________________________ Prof. Jos Luiz Vital de Brito, DSc (ENC UnB) (Examinador Interno) ______________________________________________ Prof. Giuseppe Barbosa Guimares, DSc (PUC RIO) (Examinador Externo) ______________________________________________ Prof. Dnio Raman de Carvalho, DSc (UFPa) (Examinador Externo)

Braslia-DF, 06 de Maro de 2009

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FICHA CATALOGRFICA OLIVEIRA, J.C.A. de Avaliao da Rigidez de Prticos Tridimensionais de Concreto Armado [Distrito Federal] 2009. xiv, 121p., 297mm (ENC/FT/UnB, Doutor, Estruturas e Construo Civil, 2009). Tese de Doutorado Universidade de Braslia Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental 1.Rigidez 2.Concreto Armado 3.Mtodo dos Elementos Finitos 4.Estabilidade 5.Dinmica 6.Plasticidade I.ENC/FT/UnB II. Ttulo (srie) REFERNCIA BIBLIOGRFICA OLIVEIRA, J.C.A. de (2009). Avaliao da Rigidez de Prticos Tridimensionais de Concreto Armado. Tese de Doutorado em Estruturas e Construo Civil, Publicao PECC.TD 001A/09, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Braslia, Braslia, DF, 121p. CESSO DE DIREITOS AUTOR: Janes Cleiton Alves de Oliveira TTULO: Avaliao da Rigidez de Prticos Tridimensionais de Concreto Armado. GRAU: Doutor ANO: 2009 concedida Universidade de Braslia permisso para reproduzir cpias desta tese de doutorado e para emprestar ou vender tais cpias somente com propsitos acadmicos e cientficos. O autor reserva outros direitos de publicao e nenhuma parte dessa tese de doutorado pode ser reproduzida sem autorizao por escrito do autor. _______________________________ Janes Cleiton Alves de Oliveira Rua SB-50 Qd.27 Lt.21 Portal do Sol II 74884-660 - Goinia Gois Brasil

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DEDICATRIA

Primeiramente ao Senhor Jesus, A Ele, toda honra e toda Glria.

A minha esposa, companheira e cmplice, Luciana

Ao meu Beb, que Deus enviou aos meus cuidados, Rayana Aos Meus Queridos Pais.

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AGRADECIMENTOS

Aos meus orientadores, Prof. Guilherme e Prof. Eldon, por toda ateno dispensada a este trabalho. Nunca esquecerei o que fizeram por mim e serei grato, por toda minha vida, pela oportunidade que me deram. Ao mestre Prof. Marcello da Cunha Moraes pelo incentivo nos estudos de Ps-graduao. A minha querida esposa Luciana, fiel companheira em todas as etapas de minha vida. Receba, querida, este trabalho como uma prova de meu amor. Ao meu beb, Rayana, sinnimo de orgulho e alegria em minha vida. Aos meus pais, Antnio e Maria, responsveis pela minha educao e pelo meu carter. As minhas irms e cunhados, com muito carinho. Ao Padre Joo Dias, meu segundo Pai. Aos meus melhores amigos: Andr Luiz, Antnio Marques, Cida, Fernando Neves e Marcus Vincius. Vocs so responsveis diretos por todo este trabalho. A todos os Professores do PECC-UnB, em especial: Prof. Teatini, Prof. Paul, Profa. Graziela, Prof. Brito, Profa. Dianne e Prof. Nagato. Responsveis pela minha formao na Universidade de Braslia. Universidade Catlica de Gois e a Universidade Estadual de Gois, pelo incentivo durante os estudos de ps-graduao. Aos professores Jos Alves, Manoel lvares, Alberto Chaer e Antonio Pasqualetto, pelo incentivo e amizade sincera.

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RESUMO

AVALIAO DA RIGIDEZ DE PRTICOS TRIDIMENSIONAIS DE CONCRETO ARMADO

Autor: Janes Cleiton Alves de Oliveira Orientador: Guilherme Sales S. de A. Melo Co-Orientador: Eldon Londe Mello Programa de Ps-Graduao em Estruturas e Construo Civil Braslia, Maro de 2009 A avaliao da rigidez de prticos tridimensionais importante para aferir a confiabilidade de projetos estruturais, principalmente os que envolvem edifcios altos, frente aos estados limites ltimos e de utilizao. Nos edifcios de concreto armado, esta avaliao realizada atravs de uma anlise da estabilidade global seja por processos aproximados, determinando o parmetro de instabilidade e o coeficiente z e/ou, por processos mais rigorosos, utilizando por exemplo o mtodo P- ou uma anlise criteriosa de segunda ordem.

Este trabalho visa contribuir para a avaliao da rigidez de prticos de concreto armado considerando alguns fatores que julgamos relevantes para a anlise como: o aspecto tridimensional da estrutura, a interao conjunta dos elementos lajes vigas pilares, o fator de carga de colapso plstico, o fator de carga crtica de Euler e as freqncias naturais, obtidas atravs de uma anlise de vibraes livres. Atravs de modelagens numricas, baseadas no mtodo dos elementos finitos (MEF), foram produzidos programas, em linguagem Fortran, que permitem avaliar o comportamento de prticos em uma anlise elastoplstica incremental, anlise de instabilidade elstica e anlise de freqncias naturais sob vibraes livres. So apresentadas correlaes entre todos os parmetros envolvidos obtidos de forma simplificada (parmetro e z) e atravs de processos rigorosos (c, cr e ), utilizando o MEF. Os programas desenvolvidos so utilizados em exemplos reais de estruturas de edifcios mostrando o grau de influncia de cada parmetro na rigidez do arranjo estrutural. Palavras-Chave: Concreto Armado Prticos MEF Estabilidade Vibraes Livres

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ABSTRACT

EVALUATION OF STIFFNESS IN THREE-DIMENSIONAL FRAMES OF REINFORCED CONCRETE

Author: Janes Cleiton Alves de Oliveira Advisor: Guilherme Sales S. de A. Melo Co-Advisor: Eldon Londe Mello Post-graduate Course in Structures and Civil Engineering Braslia, March - 2009

An evaluation of stiffness in three-dimensional frames is important to ensure safety in structural projects, especially in tall buildings, where both ultimate limit state and serviceability limit state have to be considered. In reinforced concrete buildings, this evaluation is calculated through an analysis of global stability, either through approximate methods, determining the parameter of instability and z parameters or by more demanding methods, for example, using the P- analysis. This work aims to contribute to an evaluation of strength in reinforced concrete frames. It considers a few factors which the author deems relevant to the analysis such as:

1. the tri-dimensional aspect of the structure. 2. the combined interaction of slabs, beams and columns. 3. the plastic collapse load factor. 4. the critical load factor. 5. natural frequencies.

Using numerical models based on the method of finite elements (FEM), software programs were developed in Fortran language. They allow an evaluation of the behavior of frames in an incremental elastoplastic analysis, in an elastic stability analysis and in one of natural frequencies under free vibrations. Correlations are presented among all of the involved parameters, which were obtained from the simplified methods ( and z parameters) and from the more rigorous methods (c, cr e ), using FEM. These software programs are used in actual building structures and show the degree of influence of each parameter which contributes to the stiffness of the structural framework. Key-words: reinforced concrete frames FEM stability free vibrations

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SUMRIO

1 INTRODUO

1.1 APRESENTAO DO PROBLEMA E MOTIVAO......................................... 01

1.2 OBJETIVOS GERAIS E ESPECFICOS DO TRABALHO..................................... 02

1.3 METODOLOGIA..................................................................................................... 03

1.4 APRESENTAO DOS CAPTULOS................................................................. 04

2 FUNDAMENTOS TERICOS

2.1 HISTRICO SOBRE A AVALIAO DA RIGIDEZ DOS EDIFCIOS DE

CONCRETO ARMADO....................................................................................................06

2.1.1 O Parmetro ............................................................................................ 07 2.1.2 O Coeficiente z ..........................................................................................13 2.1.3 O Mtodo P-..............................................................................................15

2.1.4 Anlise Rigorosa de Segunda Ordem..........................................................17

2.2 SOBRE A EVOLUO DAS PESQUISAS NO CAMPO DA ESTABILIDADE

GLOBAL.............................................................................................................................20

2.3 CONSIDERAES SOBRE OS MODELOS DE

CLCULO..........................................................................................................................22

2.4 RELAO MOMENTO FLETOR x CURVATURA............................................... 24

2.5 BASES TERICAS SOBRE A ANLISE PLSTICA.........................................26

2.5.1 Critrio de Plastificao Lajes...................................................................31

2.5.2 Critrio de Plastificao Vigas................................................................. 34

2.5.3 Critrio de Plastificao Pilares................................................................ 36

2.6 ANLISE DE INSTABILIDADE ELSTICA.......................................................38

2.7 ANLISE DINMICA DE VIBRAES LIVRES NO AMORTECIDAS......44

2.8 O CRITRIO DE RANKINE-MERCHANT............................................................50

3 IMPLEMENTAES NUMRICAS

3.1 INTRODUO........................................................................................................ 54

3.2 O PROGRAMA DE ANLISE LINEAR ELSTICA (ALEL)............................. 55

3.2.1 Consideraes sobre o Elemento de Placa................................................... 55

3.2.2 O Modelo de Prtico Espacial..................................................................... 66

ix

3.2.3 A Acoplagem Prtico - Placa..........................................................................71

3.2.4 A Influncia das Paredes Estruturais..............................................................73

3.2.5 Fluxograma do Programa ALEL....................................................................79

3.3 O PROGRAMA DE ANLISE DE INSTABILIDADE ELSTICA (AIEL)......... 79

3.3.1 A Obteno da Matriz de Rigidez Tangente (kT)....................................... 80

3.3.2 O Fluxograma do Programa AIEL............................................................. 82

3.4 O PROGRAMA DE ANLISE DE VIBRAES LIVRES (ADVL).................... 82

3.4.1 Fluxograna do Programa ADVL................................................................ 84

3.5 O PROGRAMA DE ANLISE ELASTOPLSTICA INCREMENTAL AEPI... 85

3.6 EXEMPLOS DE CALIBRAO E VALIDAO................................................. 86

3.6.1 Calibrao do Programa ALEL Deslocamentos no Prtico Espacial...... 86

3.6.2 Calibrao do Programa ALEL Deslocamentos na Laje Isolada............ 87

3.6.3 Calibrao do Programa ALEL Acoplamento Prtico Placa............... 88

3.6.4 Calibrao dos Programas AIEL e ADVL Instabilidade e Dinmica..... 90

3.6.5 calibrao do Programa AEPI Anlise Elastoplstica............................. 91

4 APLICAES PRTICAS

4.1 INTRODUO............................................................................................................ 92

4.2 EXEMPLO 1 EDIFCIO COM 10 PAVIMENTOS TIPO E COBERTURA........... 93

4.3 EXEMPLO 2 EDIFCIO DE 12 PAVIMENTOS TIPO E COBERTURA.............. 97

4.4 EXEMPLO 3 EDIFCIO DE 15 PAVIMENTOS TIPO E COBERTURA............101

4.5 EXEMPLO 4 EDIFCIO COM 24 PAVIMENTOS TIPO E COBERTURA ...........105

4.6 ANLISE DOS RESULTADOS OBTIDOS............................................................ 108

5 CONCLUSES E SUGESTES PARA TRABALHOS FUTUROS

5.1 CONCLUSES........................................................................................................... 113

5.2 SUGESTES PARA TRABALHOS FUTUROS...................................................... 115

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

x

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 Freqncia Crtica para casos especiais de estruturas submetidas vibrao pela ao de pessoas (NBR 6118/2003) ........................................................

47

Tabela 2.2 Parmetro para Determinao de Efeitos Dinmicos (NBR6123/1988) ..

48

Tabela 2.3 - Consideraes sobre a relao CR / C .................................................... 53Tabela 3.1 Deslocamentos Monitorados no Prtico Espacial .................................... 87

Tabela 3.2 Deslocamentos no centro da laje .............................................................. 88

Tabela 3.3 Validao do Acoplamento ...................................................................... 89

Tabela 4.1 Efeitos de Segunda Ordem (Direes x e/ou y) Edifcio 1.................... 95

Tabela 4.2 Valores de cr, c, cr/c e R Exemplo 1........................................... 95Tabela 4.3 Valores de Perodos Fundamentais e Frequncias Naturais - Exemplo 1 96

Tabela 4.4 - Efeitos de Segunda Ordem (Direo x ) Edifcio 2................................ 99

Tabela 4.5 Valores de cr, c, cr/c e R Exemplo 2........................................... 100Tabela 4.6 Valores de Perodos Fundamentais e Freqncias Naturais - Exemplo 2 100

Tabela 4.7 - Efeitos de Segunda Ordem (Direo x ) Edifcio 3................................ 103

Tabela 4.8 Valores de cr, c, cr/c e R Exemplo 3........................................... 104Tabela 4.9 Valores de Perodos Fundamentais e Freqncias Naturais - Exemplo 3 104

Tabela 4.10 - Efeitos de Segunda Ordem (Direo x ) Edifcio 4.............................. 107

Tabela 4.11 Valores de cr, c, cr/c e R Exemplo 4......................................... 107Tabela 4.12 Valores de Perodos Fundamentais e Freqncias Naturais - Exemplo 4 108

xi

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 Edifcios Altos do Mundo ......................................................................... 1Figura 2.1 Anlise da Coluna Isolada ( Parmetro ) ............................................... 8Figura 2.2 - Valores de klim de acordo com o Contraventamento Utilizado .............. 11Figura 2.3 - Simplificao Adotada no Clculo da Inrcia Equivalente ....................... 12

Figura 2.4 - Clculo das foras horizontais adicionais (sway forces) ....................... 15

Figura 2.5 Atuao das Sway Forces em um Prtico ................................................ 16

Figura 2.6 Elemento Indeformado e Deformado Prtico ........................................ 17

Figura 2.7 Principais Modelos de Clculo Admitidos ............................................... 23

Figura 2.8 Relao Momento Fletor x Curvatura (Macgregor, 2005)....................... 25

Figura 2.9 Caractersticas da Ductilidade de Sees Concreto Armado sob Flexo 26

Figura 2.10 - Modelo de Material Rgido-Plstico ....................................................... 27Figura 2.11 - Teoremas da Anlise Plstica (Mello, 1993)............................................ 28Figura 2.12 - Modelo de Material Elastoplstico .......................................................... 29Figura 2.13 Distribuio de Tenses em uma Seo de Ao ..................................... 30Figura 2.14 Distribuio de Tenses em uma Seo de Concreto Armado ............... 31Figura 2.15 Diagrama de Tenses e Deformaes Seo Retangular .................... 32

Figura 2.16 Domnios de Dimensionamento ............................................................ 32

Figura 2.17 Barra Reta Carregada Axialmente .......................................................... 38

Figura 2.18 Barra Reta Com Carregamento Excntrico ............................................ 39

Figura 2.19 Problema de Ponto Limite ...................................................................... 40

Figura 2.20 Modos de Flambagem Coluna Isolada ................................................ 41

Figura 2.21 - Clculo da Carga Crtica em Prticos ..................................................... 42

Figura 2.22 Esquema para Modelo Dinmico Discreto (NBR 6123/1988) ............... 49

Figura 2.23- Curva Carga versus Deflexo Linear e No Linear Elstica ................... 51

Figura 3.1 Quadro Resumo das Implementaes Numricas .................................... 54

Figura.3.2 Esquema da Placa Idealizada .................................................................... 55

Figura 3.3 Plano Mdio Indeformado e Deformado - Teoria de Reissner-Mindlin .. 57

Figura 3.4 Conveno de Sinais para os Esforos Internos ....................................... 59

Figura 3.5 Distribuio das Tenses Cisalhantes no Elemento de Placa ................... 60

Figura 3.6 Condies de Contorno usuais para as Placas .......................................... 62

Figura 3.7 Elemento Finito Bilinear de 4 Ns ........................................................... 63

Figura 3.8 - Eixos locais, globais e de referncia ......................................................... 66

Figura 3.9 - Sistema de Numerao Local .................................................................... 66

Figura 3.10 - Sistema de Numerao Global ................................................................ 66

xii

Figura 3.11 - Rotao de um Membro de Prtico Espacial em torno do eixo Xm ........ 67

Figura 3.12 - Representao dos Esforos Internos ...................................................... 68

Figura 3.13 - Matrizes de Rigidezes Elemento Desconexo de Prtico Espacial .......... 69Figura 3.14 Matriz de Rigidez Global Elemento Desconexo de Prtico Espacial ..... 70Figura 3.15 Graus de Liberdade para o Elemento de Prtico e Placa ........................ 72

Figura 3.16- Especificao para Paredes Estruturais Segundo a NBR6118 /2003 ....... 73Figura 3.17 - Influncia do Arranjo Estrutural na Anlise com Paredes Estruturais .... 74Figura 3.18 - Idealizao das Colunas Rgidas ............................................................. 75Figura 3.19 - Idealizao das Paredes Estruturais com Furos - Mt. Colunas Rgidas 76

Figura 3.20 - Vigas com Extremidades Rgidas ........................................................... 77

Figura 3.21 Translaes/Rotaes Unitrias-Vigas c/ Extremidades Rgidas ....... 77

Figura 3.22 Fluxograma do Programa ALEL ............................................................ 79Figura 3.23 Graus de Liberdade Elemento de Prtico Plano .................................. 80

Figura. 3.24 Fluxograma do Programa AIEL ............................................................ 82

Figura. 3.25 Fluxograma do Programa ADVL .......................................................... 84

Figura 3.26 Fluxograma do Programa AEPI .......................................................... 85

Figura 3.27 Portico Espacial (Harrison, 1972)......................................................... 86Figura 3.28 Laje Isolada (Timoshenko & Krieger, 1959)........................................... 87Figura 3.29 Prtico Acoplado Placa ........................................................................ 89Figura 3.30 Modos de Vibrao Prtico Espacial................................................... 90

Figura 3.31 Anlise Elastoplstica Prtico Espacial............................................... 91

Figura 4.1 Esquema do Edifcio Exemplo 1 ........................................................... 93

Figura 4.2 Forma do Pavimento Tipo Exemplo 1 ................................................... 94

Figura 4.3 Esquema do Edifcio Exemplo 2 ........................................................... 97

Figura 4.4 Forma do Pavimento Tipo Exemplo 2 ................................................... 98

Figura 4.5 Esquema do Edifcio Exemplo 3 ........................................................... 101

Figura 4.6 Forma do Pavimento Tipo Exemplo 3 ................................................... 102

Figura 4.7 Esquema do Edifcio Exemplo 4 ........................................................... 105

Figura 4.8 Forma do Pavimento Tipo Exemplo 4 ................................................... 106

Figura 4.9 Comparao de Valores Parmetro ..................................................... 108Figura 4.10 Comparao de Valores Parmetro z.................................................. 109Figura 4.11 Comparao de Valores Parmetro cr/c........................................... 110Figura 4.12 Comparao de Valores Parmetro R.................................................. 110Figura 4.13 Comparao de Valores Freqncias Naturais f (Hz)........................ 111

xiii

LISTA DE SMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAES 1.ESCALARES Pk carga vertical atuante Ai rea de influncia correspondente coordenada i As rea de ao E mdulo de elasticidade longitudinal fck resistncia caracterstica compresso do concreto G mdulo de elasticidade transversal H altura total da edificao M1d momento de 1. Ordem M2d momento de segunda ordem Md,tot momento fletor total de clculo Mp momento de plastificao My momento de incio de escoamento Nd esforo normal de clculo Pcrit carga crtica de flambagem Q ndice de estabilidade Rc resultante de foras no concreto Rs resultante de foras na armadura T perodo fundamental f freqncia natural de vibrao Vd esforo cortante de clculo Z brao de alavanca ndice de esbeltez parmetro de estabilidade z coeficiente gama z P- mtodo P-Delta a/H relao flecha altura 2.MATRIZES E VETORES A matriz de interpolao a vetor das propores entre as cargas aplicadas estrutura B matriz de deformao do elemento de placa Bc matriz de deformao de cisalhamento do elemento de placa Bf matriz de deformao de flexo do elemento de placa Bi matriz de deformao associada ao n i do elemento de placa D matriz que relaciona tenses e deformaes Df matriz que relaciona tenses de flexo e deformaes de flexo J matriz do jacobiano K matriz de rigidez Kf matriz da contribuio de flexo para a rigidez do elemento de placa KF matriz de rigidez de um elemento de prtico espacial KP matriz da contribuio de rigidez de elementos de placa KFP matriz de rigidez da estrutura composta por prtico e placa KG matriz de rigidez geomtrica KT matriz de rigidez tangente

xiv

L matriz de equilbrio que relaciona esforos nodais e cargas nodais aplicadas MP matriz de massa do elemento de placa MF matriz de massa do elemeto de prtico MFP matriz de massa associada ao n i da estrutura composto de prtico e placa M matriz de massa Nu matriz das funes de forma para interpolao de deslocamentos u vetor de deslocamentos vetor de deformaes vetor de cargas nodais vetor de tenses 3.ABREVIATURAS ACI American Concrete Institute NBR Norma Brasileira Registrada CEB Comit Europen Du Beton

1

1 INTRODUO

1.1 APRESENTAO DO PROBLEMA E MOTIVAO

A presena de edifcios altos est cada vez mais freqente nos grandes centros

urbanos e desafiam a cada dia os projetistas de estruturas, na concepo de arranjos

estruturais eficientes, capaz de suportar aes que lhes so impostas com deslocamentos

admissveis. Os avanos obtidos com a tecnologia dos materiais, projetos mais sofisticados

de elevadores, o surgimento de computadores e softwares que permitam uma anlise mais

realista do comportamento das estruturas so alguns dos fatores que viabilizaram a

construo de concepes cada vez mais altas e esbeltas.

As torres altas tm sido erguidas com estruturas formadas exclusivamente de

concreto armado, arranjos estruturais predominantemente metlicos ou uma concepo

denominada mista, utilizando prticos metlicos aliados a ncleos rgidos de concreto.

Em menos de 100 anos, de 1931 at os dias atuais, percebe-se um acrscimo significativo

na altura e na esbeltez dos edifcios.

Figura 1.1 Edifcios Altos do Mundo (fonte: Council on Tall Buildings and Urban Habitat)

2

Observando a figura 1.1, que apresenta uma comparao entre os dez edifcios mais

altos do mundo, percebe-se que o edifcio Burj Dubai , que est sendo construdo

atualmente nos Emirados rabes, com uma altura total prevista para 610 metros, supera em

muito o edifcio Empire State, de 381 metros, inaugurado em 1931 na cidade de Nova York

e considerado como grande representante dos edifcios altos no mundo.

Sabe-se que o projeto e execuo de um edifcio alto uma tarefa extremamente

laboriosa e que deve ser tratada com muita responsabilidade e planejamento. No que tange

ao projeto estrutural, muitos fatores devem ser levados em considerao de forma a prever

o comportamento destes edifcios frente a diversas aes que lhes so impostas. A

avaliao da rigidez destas torres, sobretudo da estabilidade global, de suma importncia

para viabiliz-las. Alguns fatores como os efeitos de segunda ordem, a considerao da

ao do vento, efeitos de abalos ssmicos e a interao solo-estrutura que, normalmente, so

negligenciados em projetos de menor porte, so itens essenciais no projeto e que

possibilitaro a construo de um edifcio alto de forma segura e econmica.

Uma avaliao da rigidez dos edifcios de concreto armado abordando os

parmetros de estabilidade previstos nos cdigos normativos e a correlao com outros

parmetros como o fator de carga crtica de Euler, o fator de carga de colapso plstico e as

freqncias naturais obtidas em uma anlise de vibraes livres constitui o foco principal

deste trabalho e ser pormenorizado nos captulos seguintes.

1.2 OBJETIVOS GERAIS E ESPECFICOS DO TRABALHO

Como objetivos gerais, este trabalho se prope a contribuir na avaliao da

estabilidade global de edifcios de concreto armado considerando o aspecto tridimensional

dos prticos, o lanamento estrutural e as aes atuantes. Ser proposto um sistema

computacional, em linguagem FORTRAN, baseado no mtodo dos elementos finitos, capaz

de analisar o comportamento de prticos tridimensionais em uma anlise elstica,

elastoplstica, de instabilidade e das freqncias naturais de vibrao.

So estes os objetivos especficos deste trabalho:

1. Proceder anlise de instabilidade elstica de prticos tridimensionais levando-se

em considerao o comportamento conjunto de lajes, vigas e pilares e definindo o

3

fator de carga crtica de flambagem, denominada fator de carga de Euler, para os

edifcios de concreto armado;

2. Atravs de uma anlise elastoplstica incremental, considerando as sees

transversais dos elementos estruturais e armaduras admitidas, definir o fator de

carga de colapso plstico de prticos tridimensionais;

3. Determinar as freqncias naturais de prticos tridimensionais atravs de uma

anlise de vibraes livres;

4. Correlacionar os resultados obtidos neste trabalho para o fator de carga crtica de

flambagem, fator de carga de colapso plstico e freqncias naturais com

parmetros e mtodos utilizados pelos projetistas como o parmetro , o coeficiente z e o mtodo P-;

5. Estabelecer algumas comparaes com concepes estruturais publicadas na

literatura e exemplos reais de edifcios projetados. Apresentar algumas concluses

sobre as correlaes realizadas nos casos estudados.

1.3 METODOLOGIA

A fim de atingir os objetivos propostos buscou-se inicialmente uma reviso bibliogrfica sobre referncias que tratavam de assuntos pertinentes a este trabalho como

efeitos de segunda ordem em edifcios, parmetros de instabilidade, modelagem numrica

de prticos tridimensionais, anlise de instabilidade elstica, plasticidade e anlise

dinmica.

As anlises necessrias neste trabalho foram realizadas atravs de 4 programas,

desenvolvidos pelo autor, utilizando a linguagem FORTRAN, possibilitando a anlise

elastoplstica, anlise de instabilidade elstica e a anlise de vibraes livres. Optou-se pelo

desenvolvimento de programas prprios onde seria facilitada a implementao das

hipteses de clculo e a possibilidade de fazer vrias simulaes, de uma maneira mais

conveniente para o trabalho. No incio do trabalho pensou-se em trabalhar com softwares

4

comerciais disponveis no mercado e esta idia logo foi descartada devido dificuldade de

implantao das sub-rotinas em pacotes fechados, principalmente as subrotinas utilizadas

na anlise elastoplstica.

Objetivando calibrar e validar os resultados dos programas desenvolvidos optou-se

por exemplos j consagrados na literatura variando-se a discretizao em cada modelo,

monitorando esforos e deslocamentos e comparando os resultados com softwares

conhecidos como o SAP2000 e o TQS. Nas anlises realizadas so necessrios como

entrada de dados as caractersticas geomtricas dos elementos estruturais, tipo de material

(mdulo de elasticidade e coeficiente de Poisson) e a informao prvia das armaduras de

pilares, vigas e lajes. Estas armaduras foram obtidas atravs de uma anlise elstica inicial e

para o dimensionamento das armaduras, utilizou-se o software TQS, com verso em

conformidade com a NBR6118/2003.

1.4 APRESENTAO DOS CAPTULOS

Uma vez exposto o problema a ser estudado e estabelecido uma metodologia de

modo a dar indicaes que serviro de base para que se alcancem os objetivos deste

trabalho, no captulo 2 sero descritos os fundamentos tericos utilizados na montagem dos

programas utilizados nas anlises numricas. So descritos os teoremas que regem a anlise

plstica, as bases tericas utilizadas para a anlise de instabilidade e de vibraes livres

sendo tratada como um problema de autovalores e autovetores. So realizadas simulaes

utilizando uma estrutura bastante simples, a coluna de Euler. O comportamento de um

edifcio alto assimilado neste trabalho ao de uma coluna esbelta e so monitoradas

algumas informaes como o fator de carga de colapso plstico, fator de carga crtica de

Euler e as freqncias naturais com os respectivos modos de vibrao.

No captulo 3 so pormenorizados os programas desenvolvidos neste trabalho.

Basicamente foram confeccionados 4 programas denominados: ALEL (anlise linear

elstica), AEPI (anlise elastoplstica incremental), AIEL (anlise de instabilidade elstica)

e ADVL (anlise dinmica sob vibraes livres). Nesta parte so apresentadas as hipteses

de clculo, os fluxogramas, as subrotinas principais e exemplos utilizados para calibrao e

validao.

5

Os resultados obtidos com exemplos de estruturas reais so detalhados no quarto

captulo. Trabalhou-se com quatro exemplos de edifcios, com variao do nmero de

andares e da tipologia estrutural. As respostas obtidas nestes exemplos so comparadas com

ndices sugeridos pela NBR6118/2003. No captulo 5 so apresentadas as consideraes

finais e sugestes para trabalhos futuros.

6

2 FUNDAMENTOS TERICOS

2.1 HISTRICO SOBRE A AVALIAO DA RIGIDEZ DOS

EDIFCIOS DE CONCRETO ARMADO

Observando o processo construtivo no Brasil pode-se notar o quanto se evoluiu na

concepo das estruturas dos edifcios de concreto armado. A Norma brasileira de 1960

sequer fazia meno sobre a necessidade de considerao dos efeitos do vento nas

estruturas de concreto armado e a rigidez dos edifcios era garantida por concepes

aporticadas, com pilares pouco espaados e contraventados por alvenarias bastante

espessas. Nesta poca, a avaliao dos efeitos de segunda ordem nos prticos era uma

tarefa bastante difcil, para no dizer impossvel, diante da impossibilidade de se contar

com computadores e softwares que dispe-se nos dias atuais. A sensibilidade dos

projetistas e o monitoramento de estruturas j construdas serviam como base para futuros

projetos, cada vez mais altos e esbeltos.

A Norma brasileira de 1978 (NB1/1978), menciona em seu item 3.1.1.3, aspectos

referentes obrigatoriedade da considerao do vento em estruturas onde esta ao possa

produzir efeitos estticos ou dinmicos importantes e nas estruturas com ns deslocveis,

nas quais a a altura seja maior que 4 vezes a largura menor, ou em que, numa dada direo,

o nmero de filas de pilares seja inferior a 4. A grande questo era como medir a

deslocabilidade da estrutura confiando apenas no nmero de pilares em filas ou em uma

relao simples entre a altura e a largura da edificao. Muitos edifcios foram projetados a

partir de 1978 apoiados neste critrio mas sabe-se que os efeitos de segunda ordem podem

ser significativos, independente do nmero de pilares ou de uma relao simples entre a

altura e a largura.

Um critrio importante na avaliao da rigidez dos edifcios foi proposto por Beck e

Knig, em 1966. Por este critrio, quando os efeitos de segunda ordem so inferiores a 10%

dos correspondentes efeitos de primeira ordem, a estrutura considerada de ns fixos.

Segundo os mesmos pesquisadores, nestes 10% esto includas as incertezas das hipteses

de carregamento de vento. Nestas estruturas, os efeitos de segunda ordem podem ser

desprezados na estrutura global restando apenas a verificao dos pilares isoladamente.

7

Mas se os efeitos de segunda ordem excederem a 10%, a estrutura considerada de ns

mveis e os mesmos no podem ser desprezados. Fica a cargo do projetista uma anlise de

segunda ordem do conjunto, levando em considerao a no linearidade geomtrica e a no

linearidade fsica (Franco, 1985).

Projetar um edifcio alto sem avaliar a magnitude dos efeitos de segunda ordem

uma deciso muito arriscada pois as conseqncias podem variar desde simples patologias

em elementos no estruturais (paredes de vedao, caixilhos, vidros, etc.) at o

comprometimento da estabilidade global podendo ocasionar o colapso da estrutura. As

patologias originadas pela concepo estrutural esto cada vez mais frequentes nas

estruturas atuais. Fusco (1993) ressalta que o aumento significativo dos vos de vigas e

lajes, aumento das aberturas nas alvenarias, substituio das alvenarias macias por outros

materiais, inclusive materiais leves, a colocao de alvenarias sobre lajes sem estarem

suportadas diretamente por vigas so alguns dos fatores que contribuem para reduo da

rigidez de edifcios altos.

No que se refere ao projeto de edifcios de concreto armado, a avaliao da rigidez

realizada atravs da adoo de mtodos simplificados e/ou rigorosos. Nos mtodos

simplificados esto includos o parmetro , o coeficiente z e o mtodo P-. A considerao da no linearidade nestes mtodos feita de forma simplificada atravs da

reduo da rigidez dos elementos estruturais que compe o arranjo estrutural. No mtodo

rigoroso destaca-se a anlise de segunda ordem com a considerao da no linearidade

levando-se em considerao aspectos intrnsecos do material concreto armado como a

fissurao, deformao lenta, retrao, etc. A seguir ser feito um breve resumo de cada

parmetro que usualmente utilizado nas anlises de estabilidade global, em edifcios de

concreto armado.

2.1.1 O Parmetro

Este parmetro de estabilidade foi adotado pela norma alem DIN (1978) e,

posteriormente, pelo CEB, objetivando auxiliar o projetista de estruturas na avaliao da

deslocabilidade dos edifcios. O parmetro foi proposto em 1966, por Beck e Knig, aps analisar prticos rotulados, contraventados por parede atuante como viga vertical em

balano.

8

calculado da seguinte forma:

k

k

EIP

H=

(2.1)

onde :

Pk = carga vertical atuante ;

H = altura total da edificao ;

E.Ik = rigidez flexional.

A relao 2.1 originada a partir do estudo de uma barra fletida, articulada em suas

extremidades e submetida a uma carga axial. Quando a carga P atinge um valor crtico, P =

Pcrit, a coluna alcana o chamado ponto de bifurcao de equilbrio. Este ponto define um

estado limite onde a barra pode tomar uma das seguintes formas: a forma reta, que

caracteriza um equilbrio instvel ou, a forma fletida, com equilbrio estvel.

Para valores de P superiores a Pcrit (P > Pcrit), qualquer perturbao na barra faz

com que esta sofra flambagem e assuma a configurao deformada apresentada na figura

2.1.

l

P P P

A

B

C C

x

y

C

P

Figura 2.1 Anlise da Coluna Isolada ( Parmetro )

9

Admitindo como sendo x distncia da extremidade A a um ponto genrico C

da linha elstica e y, a correspondente deflexo no mesmo ponto C, o respectivo

momento fletor na seo vale:

yPMc = (2.2)

A equao diferencial que rege a deformao da barra pode ser escrita da seguinte

forma:

McyEI = " (2.3)

ou, numa forma mais detalhada:

0" =+ yEIPy

(2.4)

Trabalhando com uma varivel adimensional lx= para a abscissa, a expresso 2.4

pode ser reescrita da seguinte forma:

0)()("2

=+ yEI

Py l

(2.5)

Fazendo EI

P 22 l= , a expresso 2.5 fica assim representada:

0)()(" 2 =+ yy (2.6)

A equao diferencial apresentada em 2.6 tem como soluo geral:

cos+= BsenAy (2.7)

10

As constantes A e B podem ser encontradas impondo as condies de contorno na

barra fazendo x = 0 e x = l, na expresso 2.7:

x = 0 e y = 0 = 0 = 0 x = l e y = 0 = 1 . sen = 0 Para A = 0, a barra apresenta o eixo reto e para sen = 0, tem-se que = n . . O

valor crtico corresponde ao menor valor para com n = 1. O valor de crit ser dado pela expresso 2.8 :

==EIPcrit

crit l

(2.8)

Beck e Knig (1966) apresentaram uma variao da equao diferencial 2.5,

adaptando-a a um modelo submetido a um carregamento , uniforme e distribudo. A expresso resultante a seguinte:

EIyy

42 ]')('[)("" l=+

(2.9)

Segundo Vasconcelos (1998), a resoluo da equao diferencial 2.9 foi obtida

empregando as funes de Bessel. A estrutura descontnua formada por pavimentos iguais e

superposta foi transformada em uma estrutura contnua, tratada com recursos do clculo

diferencial. O valor de 2 nesta situao dado por:

EIvp 32 )( l+=

(2.10)

Na expresso 2.10, o carregamento concentrado P foi substitudo por duas cargas

distribudas, p e v, que representam, respectivamente, o carregamento distribudo na

estrutura de contraventamento e contraventada. Foi adotado um nmero de pavimentos

igual a 4 justificando assim a transformao do modelo descontnuo em contnuo. O valor

crtico para o coeficiente , considerando n = 4 pavimentos, corresponde a:

11

84,7)(3

2 =+=EIvp

critl 80,2=crit

(2.11)

Considerando que uma margem de segurana adequada ocorre quando os momentos

de segunda ordem no superem em 10% os respectivos momentos de 1. ordem, o valor de

crit fica limitado a 0,6, para n igual ou superior a 4 pavimentos. Para n at 3 pavimentos, Beck e Knig (1966) sugeriram os limites:

n = 1 crit = 0,3 n = 2 crit = 0,4 n = 3 crit = 0,5

Outros limites para o parmetro , de acordo com a forma da linha elstica do edifcio, foram apresentados por Franco (1985) diferindo, de acordo com o tipo de

contraventamento adotado (Figura 2.2). akqk

Pk

parbola do4o. grau

0.4ak0.4a

H/2

H/2

qkak

k0.5a

reta

Pk

H/2

H/2

qkak

parbola do2o. grau

k0.67a

kP

H/2

H/2

Contraventamento em Contraventamento em Contraventamento em

Pilar parede Pilar parede + Prtico Prticos klim0.7 klim0.6 klim0.5

Figura 2.2 - Valores de klim de Acordo com o Contraventamento Utilizado

Para o clculo da rigidez flexional da estrutura necessita-se saber qual a inrcia

equivalente do prtico. Ela pode ser calculada assimilando-a como a inrcia de um pilar

isolado em balano que apresente o mesmo deslocamento, no topo, para um mesmo

carregamento lateral (Figura 2.3). Este carregamento lateral pode ser concentrado, aplicado

no topo da estrutura, ou distribudo, ao longo da altura do mesmo. Os valores de E.Ik podem

ser encontrados pelas relaes 2.12 e 2.13.

12

kk a

HpEI =

3

3

sendo p, a carga concentrada ;

(2.12)

kk a

HqEI =

8

4

sendo q, o carregamento distribudo .

(2.13)

Segundo Frana (1985), a utilizao da relao 2.13 parece ser um critrio mais

conveniente para a determinao da rigidez equivalente pois representa de forma mais

realista o comportamento da elstica frente aos carregamentos horizontais que usualmente

atuam nos edifcios como os provenientes da ao do vento (figura 2.3).

a a

H

Sistema Real de Contraventamento Pilar Parede Isolado

Figura 2.3 - Simplificao Adotada no Clculo da Inrcia Equivalente

O parmetro constitui, por assim dizer, um termmetro na avaliao do estado de sade da estrutura (Vasconcelos, 1985). Se este coeficiente for menor que certo valor

limite, os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados na estrutura global, restando

verificao dos pilares isoladamente. Se ultrapassar os limites estabelecidos, os efeitos de

segunda ordem tm que ser considerados, realizando uma anlise de segunda ordem da

estrutura. No se dispensa a considerao dos efeitos de segunda ordem nos pilares,

isoladamente, mesmo que se tenha comprovado a indeslocabilidade da estrutura.

Pelos critrios da NBR6118/2003, em seu item 15.5.2, os limites estabelecidos para

o parmetro so os seguintes:

0.2 + 0.1n, para n 3 pavimentos; 0.6, para n 4 pavimentos.

13

O parmetro , calculado de acordo com a relao 2.1 e com resultados vlidos dentro do regime elstico, muito til para avaliao de estruturas concebidas em alvenaria

estrutural ou constitudas de elementos pr-moldados. Para estruturas de ns rgidos,

geralmente os valores de so elevados, no autorizando desprezar os efeitos de segunda ordem. Vasconcelos (1985) afirma que pode-se reduzir o valor de se a rigidez dos ns denominados monolticos, for considerada na anlise. Outra observao que os limites estabelecidos pelo CEB, para a estrutura de 1, 2

ou 3 andares, os valores de so tambm exagerados. Vasconcelos (1985) sugere que poderia ser substitudo em dispensar a considerao dos efeitos de segunda ordem, quando

o valor do coeficiente de instabilidade for menor que 0,5 para prticos de 1 pavimento, inferior a 0,55 para prticos de 2 pavimentos e inferior a 0,75 para prticos de 3

pavimentos.

O parmetro muito utilizado pelos projetistas de estruturas por oferecer uma resposta satisfatria acerca da rigidez da estrutura e por ser de fcil obteno. A

desvantagem do parmetro que, para estruturas de ns mveis, o projetista no tem nenhuma informao sobre a magnitude dos esforos de segunda ordem. Uma anlise de

segunda ordem mais criteriosa obrigatria nestes casos.

2.1.2 O Coeficiente z

Outro grande avano no campo da estabilidade global foi a adoo do coeficiente z, em 1991, fruto de pesquisas realizadas pelos engenheiros brasileiros Mrio Franco e

Augusto Vasconcelos. A importncia do coeficiente z reside no fato de que ele permite prever, com boa aproximao, a magnitude dos efeitos de segunda ordem na estrutura. Ele

pode ser utilizado como um fator amplificador, majorando os esforos globais e

substituindo a verificao atravs de uma anlise de segunda ordem criteriosa.

Desde o seu surgimento, o coeficiente z vem sendo utilizado com sucesso nos projetos de estruturas de edifcios altos. O procedimento para o clculo deste coeficiente o

seguinte:

a) Primeiro faz-se uma anlise de primeira ordem levando em considerao as cargas

verticais e horizontais. Uma reduo da rigidez da estrutura realizada com o

objetivo de considerar, de forma aproximada, a no linearidade fsica.

14

b) Calcula-se os acrscimos de momentos, atravs da relao :

Md = Rd . ed onde:

(2.14)

Md = acrscimos de momentos ; Rd = Valor de projeto da resultante de todas as cargas verticais ;

ed = deslocamento de primeira ordem do ponto de aplicao da

resultante Rd.

c) O coeficiente z, que faz uma relao entre os momentos de segunda ordem com os respectivos momentos de primeira ordem, encontrado, para valores pequenos de

Md, da seguinte forma :

zd

d

MM

=

1

11

onde :

(2.15)

Md = acrscimos de momentos calculados na alnea b ; M1d = Momento de primeira ordem, provocado pelas foras

horizontais.

Se o valor de z for menor ou igual a 1.1, a estrutura pode ser considerada como indeslocvel. Acima deste limite, uma anlise de segunda ordem necessria, considerando

a no linearidade na anlise. Para valores de z at 1,3, este pode ser utilizado como fator amplificador oferecendo resultados satisfatrios, dispensando assim uma anlise de

segunda ordem rigorosa.

Estudos apontam que o coeficiente z se apresenta como um excelente coeficiente amplificador pois oferece timas estimativas da magnitude dos esforos de segunda ordem

nas estruturas usuais de concreto armado (Carmo, 1995). A grande limitao deste

coeficiente que pode ser aplicado em estruturas com no mnimo 4 andares e, considerando

respostas superiores a 1,3 (z > 1,3), os valores podem diferir muito dos resultados obtidos atravs de uma anlise de segunda ordem mais rigorosa. Em geral trata-se de um

coeficiente bem aceito pelos projetistas de estruturas e est incorporado nos principais

softwares de clculo estrutural em utilizao no Brasil.

15

2.1.3 O Mtodo P-

Outro mtodo simplificado que oferece estimativas satisfatrias dos efeitos de

segunda ordem o mtodo P- (tambm conhecido como N-a). Consiste em uma anlise iterativa onde, no decorrer dos clculos, o efeito dos deslocamentos sucessivos

transformado em foras horizontais equivalentes, conhecidas na literatura como sway

forces, induzidas por momentos P-. Estas foras horizontais consistem na soma dos esforos cortantes das colunas acima e abaixo de um determinado piso, conforme

esquematizado na figura 2.4:

jhjP j

jP

jP

jh

j

HF

j+1hj+1P j+1

HF =jh

jP j j+1h

j+1P j+1

Figura 2.4 - Clculo das foras horizontais adicionais (sway forces)

A figura 2.5 apresenta um esquema da interao das foras horizontais adicionais

(sway forces) em cada nvel. Estas foras horizontais so adicionadas s aes

horizontais originais de cada pavimento e novos esforos e deslocamentos so computados

em cada ciclo de iterao.

16

FH

FH

FH

piso "k"

piso "j"

nvel "k"

nvel "j"

nvel "i"

P k. kl

P j . jl

P i . il

Figura 2.5 Atuao das Sway Forces em um Prtico

A considerao da no linearidade fsica pode ser feita, de maneira simplificada,

atravs da reduo da rigidez das vigas e pilares como sugere a NBR6118/2003. O nmero

de iteraes requeridas depende do grau de rigidez da estrutura sendo que o processo se

repete at se obter convergncia de deslocamentos, dentro de um limite especificado. Se os

deslocamentos crescerem indefinidamente, fica constatada a instabilidade da estrutura.

O mtodo P- utilizado em larga escala na avaliao dos esforos de segunda ordem em projetos de estruturas metlicas onde a esbeltez costuma ser mais evidente

comparando-se com as estruturas de concreto armado. No ACI, est contemplado na seo

10.11.4.2, onde definido pelo ndice de estabilidade Q determinado pela relao 2.16:

cu

ou

VPQ l

= onde : (2.16)

Pu : somatrio das cargas axiais em todas as colunas do pavimento; o : deslocamento de 1. ordem devido a atuao do esforo cortante Vu; Vu : esforo cortante devido s foras horizontais;

lc : altura do pavimento.

17

A relao 2.16 pode ser analisada sob o ponto de vista matemtico que define o

mtodo P- como uma srie infinita onde a soma dos termos desta srie fornece os deslocamentos de segunda ordem, . O deslocamento calculado pela relao 2.17:

cu

ou

o

VP

l

=)(

1

(2.17)

O fator de majorao denominado fator de flexibilidade e, segundo Macgregor (2005), assume um valor aproximado de 1,15 em aplicaes com prticos de concreto

armado. Os momentos de segunda ordem, M2o, so calculados pela expresso:

cu

ou

oOsO

VP

MMM

l

==)(

112

(2.18)

Duas observaes devem ser destacadas acerca do mtodo P-: - o cdigo americano ACI, seo 10.13.4.2, limita o valor de Q em 1/3, evitando-se

trabalhar com efeitos de segunda ordem de grande magnitude;

- observando a relao 2.15, que determina o z, e comparando com a relao 2.18 verifica-se que o coeficiente z deriva do mtodo P-, sendo o resultado da 1. iterao do mtodo.

2.1.4 Anlise Rigorosa de Segunda Ordem

Numa anlise de segunda ordem rigorosa so considerados os momentos devido ao

produto P-, onde consiste na diferena entre a parte deformada e indeformada de cada elemento (Figura 2.6).

m1 m2

P

V

P

V

l

m1

m2

P

V

P

V

l

Figura 2.6 Elemento Indeformado e Deformado - Prtico

18

Primeiramente uma anlise linear elstica realizada, computando os esforos nas

barras e os deslocamentos nodais . Para levar em considerao na anlise os momentos P-, em cada ciclo de iterao, a matriz de rigidez de cada elemento desconexo vai sendo

modificada utilizando-se as funes de estabilidade desenvolvidas por Livesley & Chandler

(1956)1. As funes de estabilidade assumem valores diferenciados de acordo com o

esforo normal atuante na barra. De acordo com este trabalho de Livesley & Chandler, a

matriz de rigidez do elemento desconexo fica definida como :

=

LGI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

K

x

yy

yy

zz

zz

i

00000

0000

0000

0000

0000

00000

45

54

23

32

1

(2.19)

onde 1, 2, 3, 4 e 5 assumem valores de acordo com o sinal do esforo axial no elemento. Por exemplo, para um elemento sob trao tem-se que :

2

2

LEIQ zz

= , 22

LEI

Q yy= ,

zz Q

PL = , y

y QPL = ,

2z

zL = e

2y

y

L =

)cos(coth)(' 222 zzzBAzABzz LechLLMMLM ++= )coth1(cos2)(2 2 zzBAzABzzzBAzABz LLMMLechLMM +++

=

)'(4

1

1

23

1

MLP

EA

1LIVESLEY, R. K. & CHANDLER, D. B. - Stability Functions for Structural Frameworks, Manchester Univ. Press, Manchester, England (1956) ; apud HARRISON, H. B. - Computer Methods in Structural Analysis, Prentice Hall, INC., Englewood Cliffs, New Jersey (1973) .

19

1coth)cothcoth( 2

2 +=

zz

zzzzz

,

1coth)cothcoth( 2

3 +=

zz

zzzzz

1coth)cothcoth( 2

4 +=

yy

yyyyy

,

1coth)cothcoth( 2

5 +=

yy

yyyyy

Para um elemento sob compresso temos que :

2

2

LEIQ zz

= , 22

LEI

Q yy= ,

zz Q

PL = , y

y QPL = ,

2z

zL = e

2y

y

L =

)cos(cot)( 22 zzzBAzABzz LecLLMMLM ++= )cot1(cos2)(2 2 zzBAzABzzzBAzABz LLMMLecLMM +++

=

)(4

1

1

23

1

MLP

EA

zz

zzzzz

cot1)cotcot( 2

2 += ,

zz

zzzzz

cot1)cotcot( 2

3 +=

yy

yyyyy

cot1)cotcot( 2

4 += ,

yy

yyyyy

cot1)cotcot( 2

5 +=

Os coeficientes 2 , 3, 4 e 5 mudam medida que o valor do esforo axial muda e assumem valores 4, -2, 4 e -2, respectivamente, para esforo axial nulo . Da mesma forma,

o coeficiente que altera a rigidez axial , 1 ,assume valor unitrio para momentos fletores nulos . Observa-se, portanto, que a anlise linear elstica uma particularidade da anlise

no linear. Vale ressaltar que esta anlise de segunda ordem baseada na teoria dos

deslocamentos finitos, podendo assim desprezar as pequenas diferenas nas relaes de

equilbrio e compatibilidade devido s deformaes (Harrison, 1973).

Em uma anlise bem refinada leva-se em considerao as armaduras dos elementos

estruturais e a no linearidade fsica e geomtrica. Por exigir grande esforo computacional,

20

a anlise de segunda ordem rigorosa no muito utilizada. Franco (1995) adverte que, num

futuro prximo, programas de clculo j iro incluir tal anlise em um formato mais

acessvel aos projetistas de estruturas.

2.2 SOBRE A EVOLUO DAS PESQUISAS NO CAMPO DA

ESTABILIDADE GLOBAL

medida que os edifcios altos estavam sendo construdos, intensificaram os

estudos para a investigao das condies de estabilidade e de previso dos efeitos de

segunda ordem nos edifcios de andares mltiplos. Todos os trabalhos possuem igual

importncia no desenvolvimento desta linha de pesquisa sobre o estudo da estabilidade

global dos edifcios altos de concreto armado. Destacam-se abaixo algumas referncias que,

de alguma forma, contriburam para a elaborao desta tese.

Carmo (1995) faz um amplo estudo dos parmetros de instabilidade incluindo a

relao a/H, o parmetro e o coeficiente z. So apresentados resultados obtidos de anlises de edifcios reais, com a considerao da no linearidade fsica e geomtrica. As

concluses apresentadas atestam que o coeficiente z pode ser utilizado, com boa aproximao, na previso dos efeitos de segunda ordem nos edifcios de concreto armado.

O comportamento de edifcios em alvenaria estrutural sob ao do vento foi

estudado por Silva (1996), considerando a presena de paredes rgidas na anlise do

comportamento dos lintis. Pereira (1997) investigou a eficincia dos ncleos rgidos de

contraventamento atravs de modelagens numricas de prticos tridimensionais associados

a ncleos rgidos.

A influncia da flexibilidade das fundaes no comportamento das estruturas usuais

de contraventamento foi investigada por Matias Jr. (1997), atravs da elaborao de um

programa, em linguagem Fortran, considerando o efeito da no linearidade, extremidades

rgidas dos elementos estruturais e a flexibilidade das fundaes no equilbrio final do

arranjo estrutural.

A contribuio da rigidez transversal flexo das lajes na distribuio dos esforos

em estruturas de edifcios de andares mltiplos foi investigada por Martins (1998).

Utilizando um programa baseado no mtodo dos elementos finitos, foram determinados

21

esforos e deslocamentos de estruturas tridimensionais, sujeitas s aes verticais e

horizontais. A no linearidade geomtrica levada em considerao quando na verificao

do equilbrio de foras, na posio deformada.

Fiorin (1998) apresenta um estudo interessante sobre a importncia do arranjo das

armaduras no comportamento mecnico dos elementos estruturais. Este trabalho conclui

que a disposio das armaduras um item imprescindvel na anlise do comportamento das

peas estruturais e que permite uma resposta mais realista dos elementos que compem o

sistema estrutural.

Zalka (2000) apresenta um estudo amplo sobre a estabilidade global de edifcios

altos, utilizando-se de simplificaes nas anlises tridimensionais como a adoo de um

pilar equivalente que simule o comportamento tridimensional do edifcio, uma correlao

entre as condies de instabilidade e as freqncias naturais de vibrao da estrutura.

Resultados experimentais tambm so apresentados buscando estabelecer algumas

correlaes.

Uma anlise no linear e tridimensional de edifcios de andares mltiplos com a

presena de ncleos resistentes e considerando a rigidez a flexo das lajes foi abordado por

Martins (2001), atravs de um algoritmo onde implementou-se a anlise de segunda ordem.

So apresentados exemplos reais de edifcios de andares mltiplos, com a avaliao dos

parmetros de instabilidade e z . Souza Jr. (2001) apresentou resultados sobre a interao de ncleos estruturais e

lajes, em edifcios de mltiplos andares. So apresentadas caractersticas como o

empenamento do elemento do ncleo, levando-se em considerao a teoria da flexo-toro

em anlise de 1. ordem.

Utilizando o mtodo dos elementos de contorno e elementos finitos, Carmo (2001)

avaliou a rigidez de edifcios de andares mltiplos implementando na modelagem tcnicas

avanadas de acoplamento entre os elementos e outros fatores importantes, como o efeito

da excentricidade do eixo neutro das barras em relao superfcie neutra das placas.

Pinto (2002) estudou a anlise no linear de estruturas de contraventamento em

edifcios de concreto armado avaliando o comportamento de prticos planos, submetidos a

diferentes carregamentos e diferentes taxas de armadura. Os resultados obtidos permitem

estimar, com razovel preciso, os efeitos da no linearidade em prticos de concreto

armado.

Sanches Jr. (2003) abordou vrios tipos de modelos numricos para anlise de

estruturas de pavimentos de edifcios, baseando-se no mtodo dos elementos finitos.

22

Considerou-se a no linearidade fsica atravs de modelos que simulam o comportamento

mecnico do concreto e do ao.

Fernandes (2003) utiliza o mtodo dos elementos de contorno, baseando-se nas

hipteses de Kirchhoff, adaptadas a anlise de estruturas de pavimentos de edifcios,

considerando a interao entre os elementos de barra e de superfcie. Na avaliao do

comportamento mais realista das placas realizou-se uma anlise elastoplstica.

O clculo de deslocamentos levando-se em considerao o comportamento no

linear do concreto armado foi abordado por Guarda (2005). Abordou-se fatores importantes

como os efeitos da fissurao, da retrao, da fluncia, colaborao do concreto tracionado

entre as fissuras na rigidez flexo dos elementos.

Cicolin (2007) investigou algumas formas para avaliao da estabilidade de

edifcios de andares mltiplos contendo pavimentos com lajes planas. Neste trabalho

analisou-se a validade dos parmetros e z, comparando os resultados obtidos com outros provenientes de uma anlise de segunda ordem, utilizando o mtodo P-.

2.3 CONSIDERAES SOBRE OS MODELOS DE CLCULO

Algumas questes desafiam os engenheiros estruturais a cada dia acerca do

verdadeiro comportamento das estruturas. Questes como, por exemplo, o conhecimento da

real capacidade resistente de um elemento estrutural ou, o valor exato das tenses atuantes

e deformaes em um determinado ponto da estrutura sob carregamento. O grau de

preciso das respostas a estas questes vai depender do modelo de clculo utilizado e das

hipteses admitidas. Os principais modelos utilizados para a relao tenso versus

deformao do material constituinte da estrutura so: modelo elstico linear, o modelo no

linear, o modelo rgido plstico e o modelo elastoplstico. Na figura 2.7 so resumidos os

principais modelos admitidos.

23

rgido-plstico

elastoplstico

no linearlinear

Figura 2.7 Principais Modelos de Clculo Admitidos

A escolha do modelo de clculo vai depender do tipo de problema a ser analisado e

dos recursos disponveis para a avaliao estrutural. Quanto mais refinado o modelo, mais

recursos so necessrios como computadores mais modernos e softwares atualizados. O

modelo linear elstico o mais simples de todos os modelos e amplamente utilizado nos

escritrios de clculo. Este modelo admite como linear e homognea relao tenso

versus deformao e, por conseqncia, a relao momento fletor versus curvatura. Por

falar na relao momento fletor x curvatura, este parmetro ser bem enfatizado neste

trabalho, pois nos prticos de concreto armado tem-se a predominncia de esforos de

flexo que influencia significativamente nesta relao e, por este motivo, um item

importante no estudo do comportamento global da estrutura.

Durante a anlise linear elstica so mantidas constantes as caractersticas

geomtricas dos elementos estruturais considerando executados com um material

homogneo. No caso do concreto armado em que se considera a existncia de armaduras,

trabalha-se com o conceito de seo homogeneizada transformando a seo original numa

seo equivalente, com base na relao entre os mdulos de elasticidade do ao e concreto.

Este modelo oferece respostas satisfatrias quando na anlise dos estados limites de

utilizao para carregamentos iniciais e cargas de servio. Ao se analisar os estados limites

ltimos, as respostas se afastam muito das condies reais de ruptura sendo os valores

obtidos bem mais conservadores. Quando se trata de estado limite ltimo, um modelo no

linear o mais indicado.

O modelo no linear difere do anterior pela considerao da no linearidade que se

resume, na maioria dos casos, em duas: a no linearidade geomtrica e a no linearidade

24

fsica. A considerao da no linearidade geomtrica traduz as mudanas de geometria que

ocorrem na estrutura deformada tornando-se um fator importante e primordial na anlise de

estruturas esbeltas. A no linearidade fsica est intimamente ligada s caractersticas

inerentes do material estrutural sendo que o comportamento no linear do concreto armado,

representado pela relao momento fletor versus curvatura, uma conseqncia direta do

comportamento no linear dos materiais constituintes: concreto e ao. Com a considerao

da no linearidade, as rigidezes dos elementos estruturais se modificam para cada nvel de

carregamento.

No modelo rgido plstico, o comportamento elstico do material desprezado e a

seo transversal permanece rgida at que o momento fletor atuante se iguale ao momento

de plastificao. Neste instante, forma-se na seo transversal uma rtula plstica que deve

ter ductilidade suficiente para redistribuir os esforos internos. Se em uma estrutura

formam-se rtulas plsticas suficientes de forma a caracterizar um mecanismo constata-se o

colapso plstico da estrutura.

O modelo elastoplstico considera as sees transversais inicialmente em regime

elstico com proporcionalidade entre tenso e deformao. A relao linear permanece at

se atingir o momento de plastificao com as sees transversais passando a trabalhar em

modelo plstico perfeito at que se forme um nmero suficiente de rtulas plsticas que

transformam a estrutura em um mecanismo, caracterizando assim a ruptura. O modelo

elastoplstico foi adotado neste trabalho para o clculo do fator de carga de colapso plstico

e ser melhor abordado posteriormente.

2.4 A RELAO MOMENTO FLETOR x CURVATURA

Devido caracterstica no linear do concreto armado, alguns parmetros so

imprescindveis anlise e no podem ser negligenciados. Quando se trata do estudo da

estabilidade global de prticos, a relao momento fletor versus curvatura um parmetro

de grande importncia pois nos prticos de concreto armado temos a predominncia de

esforos de flexo. A figura 2.8 de autoria de Macgregor (2005) e caracteriza o diagrama

momento fletor versus curvatura em uma seo transversal de uma viga de concreto

armado, submetida flexo pura e obtida em um ensaio experimental.

25

momento

curvaturao

A

B

C

DE

M M

Figura 2.8 Relao Momento Fletor versus Curvatura (Macgregor, 2005)

Analisando a figura 2.8 percebem-se alguns trechos e pontos importantes no

entendimento do comportamento estrutural do material concreto armado. O trecho O-B

caracterizado pela inexistncia de fissurao onde o material tem o comportamento

praticamente linear. O ponto B identifica o incio das primeiras fissuras na seo

transversal, na regio tracionada. O comportamento do trecho B-D admitido linear onde

se situam os carregamentos de servio representados pelo ponto C no grfico. O ponto D

identifica o instante do escoamento do ao ou do esmagamento do concreto. A partir deste

ponto, as curvaturas aumentam com pequenos acrscimos de momento. Temos no trecho

D-E um patamar de escoamento que finalizado com o colapso do material. Outro fato

importante que, desde o aparecimento das primeiras fissuras no ponto B at a ruptura do

material, tem-se uma reduo da seo efetiva de concreto diminuindo assim, a rigidez do

elemento estrutural. Este fato representado nos modelos de clculo pela considerao da

no linearidade fsica, j comentado anteriormente.

A relao momento fletor versus curvatura extremamente til na avaliao da

ductilidade das peas de concreto armado. A diferenciao usual que utilizada para as

vigas classificando-as em sees subarmadas, normalmente armadas e superarmadas

baseada nesta relao. Observando o grfico da figura 2.9, um diagrama idealizado sobre o

26

comportamento das sees em concreto armado, percebe-se que nas peas superarmadas

no se verifica um patamar de escoamento, indicando a ruptura frgil nestas peas. Nas

peas normalmente armadas e subarmadas, a ductilidade evidente com a presena do

patamar de escoamento. Observando as figuras 2.8 e 2.9 percebe-se que o modelo

elastoplstico constitui um modelo satisfatrio para a anlise de elementos em concreto

armado.

normalmentearmada

subarmada

superarmada

momentofletor

curvatura Figura 2.9 Caractersticas da Ductilidade de Sees

em Concreto Armado sob Flexo

2.5 BASES TERICAS SOBRE A ANLISE PLSTICA

O fator de carga de colapso plstico de uma estrutura pode ser entendido como o

fator de majorao de aes que conduz a estrutura a atingir o estado limite ltimo. De

maneira geral, a estrutura ir se transformar em um mecanismo de colapso plstico aps a

formao de um nmero suficiente de rtulas plsticas e nesse instante, tm-se a capacidade

de carregamento mxima atingida e o fator de majorao de aes, nesta etapa,

corresponder ao fator de carga de colapso plstico. Admite-se, evidentemente, que no

ocorrer instabilidade anterior formao do mecanismo, pois a flambagem tambm

caracteriza um estado limite ltimo. Nas peas em concreto armado admite-se como rtulas

27

plsticas determinadas sees transversais onde so verificadas grandes curvaturas sem um

acrscimo significativo nos esforos.

Este fator de majorao, admitido como fator de carga de colapso plstico (c), pode ser encontrado com uma anlise plstica limite, que utiliza o modelo rgido plstico

ou com uma anlise elastoplstica incremental. Antes, porm, de entrar em detalhes sobre

os mtodos para o clculo do fator de carga de colapso plstico, essencial o entendimento

dos teoremas bsicos que governam o colapso plstico: teorema esttico, teorema

cinemtico e o teorema da unicidade. Estes teoremas referem-se s estruturas rgido-

plsticas, ou seja, estruturas onde o comportamento elstico pode ser desprezado at que

seja atingido o momento de plastificao. Na figura 2.10 possvel observar as

caractersticas do modelo rgido-plstico sendo e , a tenso de escoamento do material.

e

Figura 2.10 - Modelo de Material Rgido-Plstico

Segundo o teorema esttico, se, para um determinado fator de carga,, possvel encontrar uma distribuio de esforos em equilbrio com o carregamento aplicado e que

satisfaz as condies de resistncia, este fator de carga, , menor ou igual ao fator de carga de runa(Horne, 1979). Este teorema tambm conhecido como o teorema do

limite inferior ou safe theorem pois, o fator de carga determinado pelo teorema esttico

denominado seguro ou estaticamente admissvel.

J o teorema cinemtico rege que se, para algum mecanismo plstico assumido, o

trabalho externo realizado pelas cargas atuantes, correspondente a um fator de carga, , igual ao trabalho plstico interno de deformao, o fator de carga, ,neste estgio de carregamento, maior ou igual ao fator de carga de runa (Horne, 1979). Este teorema

28

tambm denominado de teorema do limite superior ou unsafe theorem pois, como a

carga de colapso real da estrutura sempre menor ou igual carga atuante,

consequentemente, os limites superiores so valores contrrios segurana.

O terceiro teorema, denominado teorema da unicidade, consiste na combinao do

teorema esttico e cinemtico. Se um determinado fator de carga, , satisfaz o teorema esttico e cinemtico, conclui-se que este fator de carga, , igual ao fator de carga de colapso plstico ( =c ) (Horne, 1979). Observando o esquema mostrado na figura 2.11, apresentado por Mello (1993),

pode-se concluir, resumidamente, que se o fator de carga, inf, corresponder a um mecanismo de colapso plstico ento inf = c. Por outro lado, se o fator de carga. sup, corresponder a uma distribuio estaticamente admissvel ento sup = c .

cinf supestticoteorema

cinemticoteorema

Figura 2.11 - Teoremas da Anlise Plstica (Mello, 1993)

A anlise plstica limite constitui uma maneira para se determinar o fator de carga

de colapso plstico. Ela utiliza o modelo rgido-plstico, fundamentando-se na hiptese que

uma seo, sujeita flexo, permanece rgida at que o momento fletor atinja o momento

de plastificao. Neste momento, forma-se uma rtula plstica na seo, que deve ter

ductilidade suficiente para redistribuir os esforos internos. Pela anlise plstica limite se

ignora o histrico do carregamento e o fator de carga de colapso plstico pode ser

encontrado tratando a anlise como um problema de programao linear como sugerem

alguns pesquisadores (Smith, 1990 ; Borkowski, 1990).

A anlise elastoplstica incremental utiliza o modelo de mesmo nome, elastoplstico

(figura 2.6), e consiste em variar o fator de majorao da estrutura at que o momento

fletor, obtido em uma anlise linear elstica, em uma determinada seo, se iguale ao

momento de plastificao. Uma rtula plstica inserida nesta seo e o processo continua

com novos incrementos de carga e a formao de novas rtulas plsticas. Se a estrutura

acumular um nmero de rtulas plsticas suficiente de tal forma que a transforme em um

29

mecanismo, o fator de carga correspondente a esta etapa ser o fator de carga de colapso

plstico.

e

e

Figura 2.12 - Modelo de Material Elastoplstico

Ao contrrio da anlise plstica limite, a anlise elastoplstica considera o histrico

do carregamento e fornece a seqncia de formao e a prpria localizao das rtulas

plsticas. Este modelo oferece resultados satisfatrios para o concreto armado e o

engenheiro tem o completo domnio sobre o comportamento global da estrutura, em todos

os estgios de carregamento. O conhecimento da localizao das rtulas plsticas de

extrema importncia numa anlise dos efeitos locais de segunda ordem. Maiores detalhes

sobre a anlise plstica limite e a anlise elastoplstica incremental podem ser encontrados

em Harrison (1973), Neal (1977), Horne (1979), Smith (1990).

Neste trabalho optou-se pelo mtodo incremental na anlise numrica para o clculo

do fator de carga de colapso plstico. Os mtodos incrementais em anlises numricas

foram inicialmente utilizados por Wang (1963) e aperfeioados por Harrison (1973). So

mtodos que possibilitam reproduzir via computador as situaes que geralmente

encontram-se nos laboratrios. Em suma, a estrutura tridimensional submetida a

sucessivas anlises elsticas e os esforos so computados e concentrados nos ns da

estrutura. A cada incremento de carga, comparam-se os esforos atuantes e existentes. Se

em algum n ou elemento, os esforos resistentes forem ultrapassados se formar a

primeira rtula plstica sendo que alteraes devidas na matriz de rigidez do elemento

plastificado so necessrias antes de se proceder uma nova anlise. Repetem-se os

procedimentos descritos acima at que se atinja o colapso da estrutura identificado atravs

da singularidade da matriz de rigidez ou por deslocamentos excessivos na estrutura.

30

A anlise elastoplstica aplicada com mais freqncia em projetos de estruturas

metlicas onde, para cada perfil metlico, so conhecidos, a priori, os esforos de

plastificao. Sobretudo, importante neste instante diferenciar o momento de incio de

escoamento (My) com o momento de plastificao (Mp). O momento fletor My caracteriza o

maior momento que uma seo consegue resistir ainda na fase elstica. No caso de uma

seo de ao totalmente simtrica, a tenso de escoamento, y, atingida, ao mesmo tempo, nas fibras mais tracionadas e comprimidas da seo transversal. Com acrscimos de

momentos fletores, a seo transversal comea a plastificar-se sendo que apresenta alguns

trechos na fase elstica. Quando o momento fletor atinge um valor limite Mp, temos a

completa plastificao da seo transversal. Estes estgios esto esquematizados na figura

2.13.

y

y

y

y

y

yseotransversal

Distribuio deTenses na faseelstica

Distribuio deTenses com seoparcialmente plastificada

Distribuio deTenses com seototalmente plastificada

Figura 2.13 Distribuio de Tenses em uma Seo de Ao

No caso de estruturas de concreto armado esta anlise se torna mais difcil

por causa da natureza do material (heterogeneidade). No se conhece a princpio os valores

limites de esforos de plastificao para cada elemento (lajes, vigas e pilares) que compe o

modelo tridimensional. Os diagramas de distribuio de tenses ficam em funo de limites

sugeridos pelas normas e baseados em ensaios experimentais. Segundo a NBR 6118/2003,

o momento de plastificao no concreto atingido na situao de s = 10 %o e c = 3,5 %o, na seo crtica. O diagrama de distribuio de tenses no concreto, nas diversas fases de

carregamento, pode ser visualizado na figura 2.14.

31

c

sseotransversal

Distribuio deTenses na faseelstica

Distribuio deTenses com seoparcialmente plastificada

Distribuio deTenses com seototalmente plastificada

0,85.fcd

fyd

0,85.fcd

fyd

Figura 2.14 Distribuio de Tenses em uma Seo de Concreto Armado

Para o concreto armado, a anlise elastoplstica possvel mas regrada de algumas

hipteses que neste trabalho denominou-se critrios de plastificao. Em um arranjo

tridimensional necessrio estabelecer de antemo os critrios de plastificao

individualizados para as lajes, vigas e pilares. Estes critrios de plastificao tero como

base todo o arranjo estrutural do edifcio, com dimenses de sees transversais e

armaduras previamente definidos. Uma anlise elstica necessria para se ter um

dimensionamento prvio das armaduras e sees transversais.

2.5.1 Critrio de Plastificao - Lajes

Especificamente nas lajes de concreto armado, admite-se que o colapso somente

ocorra com a formao de um conjunto de linhas de plastificao, as quais a transformam

em um sistema hiposttico. As linhas de plastificao so geradas quando, numa

determinada seo ou elemento, for atingido o momento de plastificao. Algumas

hipteses valem pena ser ressaltadas quando na utilizao deste critrio:

- admite-se o comportamento rgido plstico para a laje;

- considera-se sobre a laje a atuao de carregamentos proporcionais admitindo

como satisfatria a capacidade de rotao das charneiras plsticas, at o colapso

final da laje;

32

- despreza-se a influncia dos esforos cortantes, de foras normais, dos momentos

fletores volventes e de possveis efeitos recprocos da ao conjunta de momentos

fletores atuantes em duas direes ortogonais.

Segundo a norma brasileira NB1/2003, o clculo de lajes no regime rgido plstico

permitido desde que as cargas atuem sempre no mesmo sentido e que as deformaes das

sees da laje estejam nos domnios de deformaes 2 ou 3, conforme esquematizado nas

figuras 2.15 e 2.16:

d

d'

H

Bw

c

s

x2%o

3,5%o cd

s s

0,8x

cd

Figura 2.15 Diagrama de Tenses e Deformaes Seo Retangular

alongamento encurtamento

a b

10%o yd

0%o 2%o 3,5%o

3/7.H

Hd

d'

1

2

3

4

4a

5

Figura 2.16 Domnios de Dimensionamento

33

Considerando o dimensionamento flexo simples, o momento de plastificao, Mp,

dado por:

ZRZRM scp == (2.20)

onde:

Mp : momento de plastificao;

Rc : resultante de foras no concreto;

Rs : resultante de foras na armadura;

Z : brao de alavanca.

Portanto, Rc = Rs. Substituindo os valores de Rc e Rs tem-se:

Asfxbf ydwcd =8,085,0 (2.21)

sendo:

fcd : resistncia de clculo do concreto compresso;

bw : dimenso da base da seo transversal;

x : profundidade da linha neutra;

fyd : tenso de escoamento da armadura;

As : rea de ao utilizada.

Fazendo wcd

yd

bfAsf

x68,0

= e sendo ZRM sp = , temos:

)4,0( xdAsfM ydp = (2.22)

)])(

59,0[wcd

ydp bffydAsdAsfM = (2.23)

34

Considerando w

s bAsa = como sendo a armadura por metro linear, obtm-se o

momento fletor de plastificao por metro de laje (mpl) representado pela relao 2.24:

)59,0(cd

ydsydspl f

fadfam =

(2.24)

A expresso 2.24 ser utilizada neste trabalho para definir um momento de

plastificao para os elementos de laje (mpl) considerando a armadura por metro, as, em

cada direo.

2.5.2 Critrio de Plastificao - Vigas

Para os elementos de vigas, foram admitidas neste trabalho algumas hipteses

simplificadoras objetivando diminuir o nmero de variveis no problema sem

comprometer, de forma significativa, os resultados finais. Exemplos de calibrao e

validao que sero apresentados no captulo 3 demonstram que as hipteses admitidas

apresentam uma resposta satisfatria quando se trata do comportamento global da estrutura.

A cada incremento de carga, os elementos identificados como vigas so verificados

flexo simples, no estado limite ltimo, e algumas hipteses simplificadoras so

admitidas:

- as sees transversais permanecem planas at a ruptura (hiptese de Bernoulli);

- para valores de encurtamento mximo do concreto, c, admite-se o limite de 3,5 %o; -o alongamento mximo do ao a trao equivale a 10 %o, evitando-se deformaes

plsticas excessivas na pea;

- despreza-se a resistncia do concreto trao;

-adotou-se a distribuio de tenses de compresso no concreto segundo o diagrama

retangular simplificado com um valor de cd = 0,85.fcd. Determinando-se os momentos fletores nas vigas, em cada iterao, determina-se a

armadura longitudinal necessria atravs de um dimensionamento flexo simples.

Compara-se a armadura calculada, em cada passo de carga, com a armadura existente no

projeto. Caso seja superior, inserida uma rtula plstica na seo transversal admitindo-se

rotaes significativas nesta seo transversal especfica para pequenos incrementos de

carga. O momento de plastificao admitido para as vigas corresponde, portanto, ao

35

momento fletor correspondente fronteira 3-4, dos domnios de dimensionamento

estabelecidos pela NB1 / 2003. No se admite neste trabalho, portanto, peas superarmadas

(sees com armadura dupla).

Na fronteira 3-4, com ocd %5,3= e yds = , para o ao CA50 tem-se 628,0=xk e 749,0=zk , sendo kx a profundidade de linha neutra relativa e kz, o brao de

alavanca relativo. O momento fletor (mpv) na fronteira 3-4 que, neste trabalho especfico

ser admitido como o momento de plastificao para as vigas vale:

cdwpv fdbm = 232,0 (2.25)

onde:

mpv : momento de plastificao considerado para as vigas;

bw : base da seo transversal;

d : altura til;

fcd : resistncia de clculo compresso do concreto.

A verificao da seo com relao ao esforo cortante, no estado limite ltimo,

tambm se faz necessria. Admitiram-se neste trabalho as recomendaes da NB1/2003 que

define que a resistncia do elemento estrutural, numa dada seo transversal, deve ser

considerada satisfatria quando verificadas simultaneamente as seguintes condies:

2Rdsd VV (2.26)

swcRdsd VVVV += 3 (2.27)

onde:

Vsd : fora cortante solicitante na seo;

VRd2 : fora cortante resistente de clculo, referente runa das diagonais

comprimidas de concreto;

VRd3 : fora cortante resistente de clculo, relativa runa por trao diagonal,

sendo Vc, a parcela de fora cortante absorvida por mecanismos complementares ao

de trelia e Vsw, a parcela resistida pela armadura transversal.

36

No sendo atendidas as relaes 2.26 e 2.27, constata-se o estado limite ltimo devido ao

esforo cortante.

2.5.3 Critrio de Plastificao - Pilares

Como critrio de plastificao dos pilares optou-se pelo dimensionamento flexo

oblqua, em cada iterao, utilizando o mtodo do pilar padro com curvatura aproximada

na determinao dos esforos locais de segunda ordem, em conformidade com a NB1/2003.

Este mtodo pode ser empregado em pilares onde < 90, com seo transversal constante e armadura simtrica ao longo de seu eixo.

A no linearidade geomtrica considerada de forma aproximada supondo-se que a

deformao da barra seja senoidal. A no linearidade fsica considerada atravs de uma

expresso aproximada da curvatura na seo crtica. O momento total mximo no pilar,

considerando os efeitos de segunda ordem locais, calculado pela expresso:

rNMM edAdbtotd

1)10

(2

,1, += l (2.28)

onde:

Md,tot : momento fletor total de clculo;

ab : parmetro relacionado com as condies de contorno da coluna;

M1d,A : momento de 1. ordem de clculo;

Nd : esforo normal de clculo;

le : comprimento de flambagem;

1/r : curvatura da seo crtica.

A curvatura na seo crtica avaliada pela seguinte expresso aproximada:

hhr005,0

)5,0(005,01 +=

(2.29)

37

sendo h equivalente altura da seo transversal na direo considerada e v, a fora normal

adimensional (cdc

d

fAN= ).

Durante a anlise incremental, so determinados os esforos nas colunas Nd, Mdx e

Mdy, em cada iterao. Faz-se o dimensionamento flexo oblqua para cada seo do pilar,

determinando a armadura longitudinal compatvel com os esforos solicitantes. Esta

armadura ser comparada com a especificada em projeto que foi determinada atravs de

uma anlise linear elstica inicial.

Caso a armadura dimensionada seja superior considerada inicialmente em projeto,

ocorre nesta fase uma insero de uma rtula plstica na seo. Prossegue na anlise

incremental at que o nmero de rtulas inseridas transforme a estrutura original em um

mecanismo. No que se refere aos limites estabelecidos para armaduras transversais,

utilizou-se os mesmos critrios j discutidos para as vigas e que est em conformidade com

a NB1/2003, item 18.4.3.

Nos projetos em que as paredes estruturais estejam presentes, estas podem ter os

efeitos de segunda ordem considerados ou no, dependendo da esbeltez das lminas que

compem o pilar-parede. Segundo a NB1/2003, os efeitos de segunda ordem podem ser

negligenciados quando:

- a base e o topo de cada lmina estiverem convenientemente fixados laje do

edifcio, conferindo ao todo o efeito de diafragma horizontal;

- o ndice de esbeltez de cada lmina for inferior a 35.

Se a esbeltez de cada lmina que forma o pilar-parede for superior a 35 e menor que

90, a NB1/2003 permite um avaliao aproximada dos efeitos de segunda ordem tratando

cada lmina como se fosse um pilar isolado. Os esforos atuantes so proporcionais

largura de cada lmina. A forma como so obtidos os esforos nas paredes estruturais do

modelo numrico sero detalhados no captulo 3.

38

2.6 ANLISE DE INSTABILIDADE ELSTICA

Ao se estudar a instabilidade elstica de prticos deve-se ater a trs problemas

distintos e que so interrelacionados : problema de bifurcao de equilbrio ou comumente

chamado de flambagem, problema de segunda ordem e o problema de ponto limite. A

diferenciao entre os 3 problemas, relacionados ao equilbrio, de suma importncia para

a compreenso do comportamento estrutural de prticos, no que se refere estabilidade.

A NBR6118/2003 enfatiza o tema, em seu item 15.2, onde caracteriza como os trs

tipos de instabilidade nas estruturas:

- perda de estabilidade por bifurcao do equilbrio ou flambagem, fenmeno que

ocorre em estruturas sem imperfeies geomtricas iniciais;

- ponto limite com reverso que seria a perda de estabilidade sem que ocorra a

bifurcao de equilbrio, fenmeno que ocorre em situaes particulares como nas

estruturas abatidas;

- ponto limite sem reverso, ocorre em estruturas de material com comportamento

no linear, com imperfeies geomtricas iniciai