Terceirão FTD - Matematica - Caderno de Atividades 02
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MatemáticaMódulo 2
M7 Função Exponencial 3 - 10M8 Função Logarítmica 11 - 22M9 Noções de Matemática Financeira 23 - 28M10 Progressões 29 - 36M11 Trigonometria no Ciclo 37 - 48
Matemática3
TERCEIRÃO FTDTERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO FTD
M7
TERCEIRÃO FTDFunção Exponencial Caderno de
Atividades
1 (Uniderp-MS) Se n, y 7 ς são tais que
y
3 7 3 3
2 3
n 2 n n 1
n 1=
− 9 0
9
0 0
0, então y é igual a:
a)
52 3n9
c)
56
e)
36
n 10
b)
52 3n 19 0
d)
73
y
3 7 3 3
2 3
n 2 n n 1
n 1=
− 9 0
9
0 0
0
y
9 3 7 3 3 3
6 3
n n n
n=
9 − 9 0 9
9
y
3 9 7 3
6 3
n
n=
− 0
9
( )
y
56
=
2 (FGV-SP) Num concurso que consta de duas fases, oscandidatos fizeram uma prova de múltipla escolha, com30 questões de 4 alternativas cada uma. Na segunda fase,outra prova continha 30 questões do tipo falso ou verda-deiro. Chamando de n1 o número dos diferentes modos deresponder à prova da 1a fase e de n2, o número dos diferen-tes modos de responder à prova da 2a fase, tem-se que:a) n1 = 2n2 c) n1 = 4n2 e) n1 = 430 9 n2
b) n1 = 30n2 d) n1 = 230 9 n2
X
X
Se, na 1a fase, o candidato deve escolher apenas uma das quatro alterna-tivas de cada questão, então:n1 = 4 9 4 9 4 9 ... 9 4 = 430 = 260
30 fatoresNa 2a fase, o número de maneiras de responder é:
n2 = 2 9 2 9 2 9 ... 9 2 = 230
30 fatores
Então,
n
n22
n
n 2 n 2 n1
2
60
30
1
2
301
302
= = = 9→ → .
144424443
144424443
3 (MACK-SP) Se x e y são números reais positivos, tais
que
x y 81x y 729
4 2
2 4
9 =
9 =
−
−
, então o produto x 9 y é igual a:
a) 3 c) 3 3 e) 3
b)
13
d)
19
x y 81x y 729
x y
x y81
729 x y
19
xy13
4 2
2 4
4 2
2 42 29 =
9 =
9
9= = =
−
−
−
−
→ → →
4 (UESPI) A equação exponencial dada por
3 1
x x 1
( )
0
=
admite duas soluções, x1 e x2. O valor da soma (x1 0 x2) é:a) −1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
3 1 3 3 x x 0
x x 1 x x 02
2( )[ ] → ( ) ( ) →0 0
= = 0 =
x(x 0 1) = 0
Logo:x1 0 x2 = 0 − 1 = −1
X
X
x1 = 0ou
x2 = −1
001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:053
Matemática 4
Função ExponencialM7
23
113 2
323
113 2 2
3 3
2
2
1
1
1
x
x
x
x
x
x
0 =9
0 =9 9
9
−
0
−
2x
23
12
132
3 3
2
x
x
x0 =
9
9
23
123
132
13
2
x x
0 = 9 9
23
1136
23
2
x x
0 = 9
Substituindo y, temos:
23
x
=
y y
y y2
2
1136
6 66
13
60 = 9 Θ
0=
Portanto: S = {1, −1}
Logo:
Se y x
x
= = Θ =23
23
23
1, . temos:
Se y x
x
temos: = = = Θ = −
−32
23
32
23
11
, .
7 (UESPI) O conjunto verdade da equação2x − 2−x = 5(1 − 2−x) é igual a:a) {1, 4} c) {0, 1} e) { }b) {1, 2} d) {0, 2}X
2 2 5 1 2 2
12
5 11
2x x x x
x x− = − Θ − = −− −( )
yy y
− = −1
55
2x = 4 ou 2x = 12x = 22 2x = 20
x = 2 x = 0Portanto: S = {0, 2}
y2 − 1 = 5y −5y2 − 5y 0 4 = 0
y1 = 4y2 = 1
Substituindo 2x � y, temos:
5 (UEPG-PR) A equação 52x 0 125 = 6 9 5x 0 1 admitecomo soluções os números a e b, com a . b. Então, assi-nale o que for correto:
(01) ba 1=
(02) a 9 b é um número par.(04) a . 0 e b , 0(08) a 0 b , 5
(16)
ab
é um número natural.
Em questões como a 5, a resposta é dada pela soma dosnúmeros que identificam as alternativas corretas.
y1 = 25
y2 = 5
6y2 − 13y 0 6 = 0 y
1
23
=
y
2
32
=
6 (UCDB-MS) O conjunto verdade da equação
exponencial
23
113 2
3
2
2
1
1
x
x
x
x0 =
9 −
0 é:
a)
23
32
,
c)
−23
32
,
e) {1, −1}
b)
− −23
32
,
d) {1, 0}
X
01. Incorreto52x 0 125 = 6 9 5x 0 1
52x 0 125 = 6 9 5x 9 5Substituindo 5x = y, temos:y2 0 125 = 30yy2 − 30y 0 125 = 0
Logo:5x = 25 Θ 5x = 52 Θ x = 2 = a5x = 5 Θ x = 1 = b
ba
12
=
02. Corretoab = 2 9 1 = 2
04. Incorretoa = 2 . 0 e b = 1 . 0
08. Corretoa 0 b = 2 0 1 = 3 , 5
16. Correto
ab
21
2= =
Portanto: 2 0 8 0 16 = 26
001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:054
Matemática5
M7Função Exponencial
L(t) = T(t)8 9 10t = 1 000 9 2t
10t = 125 9 2t
102
125t
t=
5t = 1255t = 53
t = 3 anos
8 (UFSM-RS) Um piscicultor construiu uma represa paracriar traíras. Inicialmente, colocou 1 000 traíras na represae, por um descuido, soltou 8 lambaris. Suponha-se que oaumento das populações de lambaris e traíras ocorra,respectivamente, segundo as leis L(t) = L010t e T(t) = T02
t,em que L0 é a população inicial de lambaris, T0, a populaçãoinicial de traíras, e t, o número de anos que se contam apartir do ano inicial.Considerando-se log 2 = 0,3, o número de lambaris seráigual ao de traíras depois de quantos anos?a) 30 b) 18 c) 12 d) 6 e) 3X
X
3−1 = 3−2t
−2t = −1
Devemos ter M(t)
M
3. Logo:0
=
M(t)
M
2t
2t
= 9
= 9
−
−
M
M
0
00
3
33
13
3 2= − t
t ou t= =
12
0,5 s
9 (UFPB) Sendo a e k constantes reais e sabendo-se queo gráfico da função f(x) = a2kx passa pelos pontos A(0, 5) eB(1, 10), o valor da expressão 2a 0 k é:a) 15 b) 13 c) 11 d) 10 e) 12X
f(x) = 32x 0 1 0 m 9 3x 0 1f(x) = 32x 9 3 0 m 9 3x 0 1f(x) = 3 9 (3x)2 0 m 9 (3x) 0 1a) m = −4 Θ f(x) = 0 Θ 3 9 (3x)2 – 4 9 (3x) 0 1 = 0
11 (Vunesp-SP) Considere a função dada porf(x) = 32x 0 1 0 m 9 3x 0 1.a) Quando m = −4, determine os valores de x para os
quais f(x) = 0.b) Determine todos os valores reais de m para os quais a
equação f(x) = m 0 1 não tem solução real x.
10 (UCDB-MS) Certa substância radioativa de massaM0, no instante t = 0, tende a se transformar em outrasubstância não radioativa.Para cada instante t > 0, dado em segundos, a massa dasubstância radioativa restante obedece à lei M(t) = M0 3
−2t.Nessas condições, o tempo necessário, em segundos, paraque a massa da substância radioativa seja reduzida a umterço da massa inicial, é igual a:a) 3 b) 2,5 c) 1,5 d) 1 e) 0,5
b) f(x) = m 0 1 Θ 3 9 (3x)2 0 m 9 (3x) 0 1 = m 0 13 9 (3x)2 0 m 9 (3x) − m = 0Fazendo 3x = y, resulta a equação: 3y2 0 m 9 y − m = 0.Essa equação não tem soluções reais se, e somente se, suas raízes y
1e y2 não forem reais ou se ambas forem reais negativas.• As raízes y
1 e y
2 não são reais Θ ∆ = m2 0 12m , 0 Θ −12 , m , 0.
• Para que as raízes y1 e y2 sejam ambas reais e negativas, devemos
ter ∆ > 0, y1 0 y2 =
−m3
< 0
e y1 . y2 =
−m3
> 0, que se verifica apenas para m = 0.
Concluímos, então, que –12 , m < 0.
3
4 26
3 1 ou 313
x 0 ou x 1x x x=±
= = = = −→ →
Como o gráfico passa pelos pontos A e B, temos:A(0, 5) Θ a 9 2k 9 0 = 5 Θ a 9 20 = 5 Θ a = 5 �B(1, 10) Θ a 9 2k 9 1 = 10 Θ a 9 2k = 10 �Substituindo a = 5 em �, vem:5 9 2k = 102k = 2k = 1Logo:2a 0 k = 2 9 5 0 1 = 11
001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:065
Matemática 6
Função ExponencialM7
15 (UFSM-RS) A solução da equação exponencial5x(5x − 1) = 20:a) pertence ao intervalo (−∞, −3[.b) pertence ao intervalo ]4, +∞).c) pertence ao intervalo ]0, 2[.d) é um número par.e) é um número irracional.
Se y = 5 Θ 5x = 5 Θ x = 1Se y = −4 Θ 5x = −4 Θ Ξ x 7 ς
Como x = 1, pertence ao intervalo ]0, 2[.
y1 = 5y2 = −4
Substituindo 5x = y, vem:y(y − 1) = 20 Θ y2 − y − 20 = 0
X
12 (UFPel-RS) A função exponencial serve de modelomatemático para resolver várias situações do cotidiano.Um exemplo é o de uma cultura de bactérias inicialmentecom 1 000 elementos, contados a partir do instante zero,na qual a população dobra a cada hora.Essa situação é representada pela função f(x) = 1 000 9 2x,em que x é o tempo decorrido.Com base na função acima, em seus conhecimentos, con-siderando ς o conjunto dos números reais, analise as afir-mativas abaixo.
I. O domínio da função é o conjunto dos números reais.II. O domínio da função é D = {x 7 ς \ x > 1 000}.
III. O domínio da função é D = {x 7 ς \ x > 0}.IV. A imagem da função é Im = {y 7 ς \ y > 1 000}.V. A imagem da função é Im = {y 7 ς \ y > 0}.
Estão corretas somente as afirmativas:a) I e IV c) II e IV e) III e IVb) III e V d) I e V f) I.R.
13 (MACK-SP) O número de indivíduos de um certo
grupo é dado por f(x) 10
110 x
= −
9 1 000, sendo x o
tempo medido em dias.Desse modo, entre o 2o e 3o dia, o número de indivíduosdo grupo:a) aumentará em exatamente 10 unidades.b) aumentará em exatamente 90 unidades.c) diminuirá em exatamente 9 unidades.d) aumentará em exatamente 9 unidades.e) diminuirá em exatamente 90 unidades.
X
Sendo y = 1 000 9 2x, temos:I. Incorreta
O domínio é D = {x 7 ς \ x > 0}, pois a população dobra a cada hora.II. Incorreta
III. CorretaIV. Correta
O gráfico de y = 1 000 9 2x é:
Im = {y 7 ς \ y > 1 000}
0
y
x1
1 000
2 000
V. Incorreta
X
Se
f(x) 10 1
10 x= −
9 1 000, sendo x o tempo medido em dias e f(x)
o número de indivíduos do grupo, então:
•
f(2) 10 1
10 1 000 10
1100
1 000 =2
= − 9 = − 9
= 10 000 − 10 = 9 990
•
f(3) 10 1
10 1 000 10
11 000
1 000 =3
= − 9 = − 9
= 10 000 − 1 = 9 999
• f(3) − f(2) = 9 999 − 9 990 = 9
• Entre o 2o e o 3o dia, o número de indivíduos do grupo aumentará emexatamente 9 unidades.
14 (UFMA) Se a curva da figura abaixo representa ográfico da função y = 2x, o valor da área sombreada é:a) 4 b) 2 c) 8 d) 6 e) 10X
Se: x = 0 Θ y = 20 Θ y = 1x = 2 Θ y = 22 Θ y = 4
A área sombreada é igual a:A = 2 9 1 0 1 9 4 Θ A = 2 0 4 = 6
y
20
y = 2x
3 x
001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:066
Matemática7
M7Função Exponencial
17 (UFF-RJ) Em um meio de cultura especial, a quan-tidade de bactérias, em bilhões, é dada pela função Q defi-nida, para t > 0, por Q(t) = k5kt, sendo t o tempo, emminuto, e k uma constante.A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com ocálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a 25Q(0).Assinale a opção que indica quantos bilhões de bactériasestão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto:a) 12,5 b) 25 c) 312,5 d) 625 e) 1 000X
Portanto: Q(8)
Q(8) 54
= 9
= 9
912
5
12
12
8
Q(8) = 312,5
Pelos dados, temos:se t = 0 Θ Q(0) = k 9 5k 90 = kse t = 4 Θ Q(4) = k 9 54k
Como Q(4) = 25 9 Q(0), vem:k 9 54k = 25 9 k54k = 2554k = 52
4k = 2
k =
12
16 (MACK-SP) O menor valor assumido pela função
g(x)
12
(2 x )2
=
−
é:
a) 8 b) 4 c)
12
d)
14
e)
18
X
A função exponencial g de base 12
é estritamente decrescente. O míni-
mo valor de g, portanto, corresponde ao máximo valor do expoente.O gráfico da função f: ς Θ ς definida por f(x) = −x2 0 2 é:
e o máximo valor de f é 2.
O mínimo valor de g é
12
2
=
14
.
f(x)
2
x− 2 2
a) Sendo x = 30 e y = 20, temos:
a) Determine o valor de k.b) Obtenha as taxas relativas aos anos de 1960 e 2020 (va-
lor estimado), usando o gráfico e a equação anterior.
19 (UNI-RIO/Ence-RJ) Conforme dados obtidos peloIBGE, relativos às taxas de analfabetismo da populaçãobrasileira de 15 anos ou mais, a partir de 1960, foi possívelajustar uma curva de equação y = 30kx 0 10, em quek . 0, representada a seguir:
y y
y
= 9 0 Θ = 9 0 Θ
= Λ
3013
10 3013
10
403
13 33
130
2
60
, %
O ano de 2020 corresponde a 2020 − 1960 = 60. Logo:
y y y= 9 0 Θ = 9 0 Θ =30
13
10 30 1 10 40
130
0
%
b) O ano de 1960 corresponde a x = 0. Logo:
20 30 10
13
13
13
30 30
130
30= 9 0 Θ = Θ = =k k k
010
20
20 30 40 50 tempo (anos)
taxa (%)
18 (MACK-SP) Dadas as funções f(x) = 2x2 − 4 eg(x) = 4x2 − 2x, se x satisfaz f(x) = g(x), então 2x é:
a)
14
b) 1 c) 8 d) 4 e)
12
X
Se f(x) = 2x2 − 4 e g(x) = 4x2 − 2x, com f(x) = g(x), temos:2x2 − 4 = 4x2 − 2x Θ 2x2 − 4 = 22x2 − 4x Θ 2x2 − 4x = x2 − 4x2 − 4x 0 4 = 0 Θ x = 2Portanto: 2x = 22 = 4.
001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:067
Matemática 8
Função ExponencialM7
Temos
f [g(x)]g(x)
=0
172 1
. Assim, quanto maior for o valor de 2g(x) 0 1, menor
será o valor de f [g(x)]. Logo, f [g(x)] assumirá um valor mínimo quando2g(x) 0 1 assumir um valor máximo, o que ocorrerá quando g(x) assumirum valor máximo. Como g(x) = 3 0 2x − x2, trata-se de uma funçãoquadrática e, como o coeficiente de x2 é negativo, seu gráfico é uma pará-bola com concavidade para baixo e, portanto, ela assumirá um valor máxi-mo, o qual ocorrerá quando o valor de x for igual à abscissa do vértice, isto
é, quando
x2
1.=−
9 −=
2 1( ) Assim g(1) é o valor máximo assumido pela
função g e, portanto, o valor mínimo da composta será:
22 (UFCE) Sejam f e g funções reais de variável real
definidas por f(x) =
0
172 1x
e g(x) = 3 0 2x − x2. O valor
mínimo de f [g(x)] é:
a)
14
b)
13
c)
12
d) 1 e) 2
f [g(1)]g(1)
=0
=0
= =17
2 117
2 11717
14
X
20 (UEPG-PR) Dadas as funções definidas por
f(x) e g(x)= =
45
54
x x
, é correto afirmar:
(01) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.(02) f(x) é crescente e g(x) é decrescente.(04) g(−2) 9 f(−1) = f(1)(08) f [g(0)] = f(1)
(16) f( 1) g(1)− 0 =
52
Fazendo o gráfico dasfunções, temos:
45
54
45
45
1
x x x x
= Θ =
−
Substituindo: y, vem:
45
x
=
y y yy
= Θ =−1 1
Se y
x
= − Θ = −145
1
01. Incorreto, pois os gráficos se interceptam em:
y2 = 1y = Σ1
Se y = Θ =1
45
1
x
45
45
0
x
=Ξ x 7 ς
x = 0
Portanto: 4 + 8 + 16 = 28
0 x
y
g(x)
1
f(x)
Os gráficos se interceptam em (0, 1).
02. Incorreto, pois f(x) é decrescente e g(x) é crescente.
04. Correto
g( )− = = =254
1
54
1625
2
2
−
f( )− = = =
−
145
145
54
1
f(1) = =
45
45
1
Logo: g( 2) f( 1) f(1)− 9 − = 9 = =
1625
54
45
08. Correto
g(0) = =
54
10
f(1) = =
45
45
1
16. Correto
g(1) = =
54
54
1
Logo:
f( 1) g(1)− 0 = 0 = =
54
54
104
52
21 (EEM-SP) A curva abaixo mostra a evolução donúmero de peças montadas em uma linha de produçãopor um operário recém-contratado.Admitindo que a curva seja descrita pela funçãoQ(t) = 500 − A 9 2−k 9 t, determine o número de peças queo operário montará em sua segunda semana de trabalho.
Se:t = 0 Θ 200 = 500 − A 9 20 Θ 200 = 500 − A Θ A = 300t = 1 Θ 350 = 500 − A 9 2−k 9 1
350 = 500 − 300 9 2−k
300 9 2−k = 150
2−k = 12
2−k = 2−1
k = 1A função é:Q(t) = 500 − 300 . 2−t
Se t = 2 semanas, temos:Q(2) = 500 − 300 9 2−2
Q(2) = 500 − 75Q(2) = 425 peças
Q
1 2 3 t (semanas)
350
200
0
001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:078
Matemática9
M7Função Exponencial
24 (UFPB) O total de indivíduos, na enésima geração,de duas populações P e Q é dado, respectivamente, por
P(n) = 4n e Q(n) = 2n. Sabe-se que, quando
P(n)Q(n)
1 024 > ,
a população Q estará ameaçada de extinção. Com basenessas informações, essa ameaça de extinção ocorrerá apartir da:a) décima geraçãob) nona geraçãoc) oitava geraçãod) sétima geraçãoe) sexta geração
26 (FGV-SP) O gerente de produção de uma indústriaconstruiu a tabela abaixo, relacionando a produção dosoperários com sua experiência.
X
42
1 024n
n >
22
1 0242n
n >
2n > 1 0242n > 210
n > 10A ameaça de extinção ocorrerá a partir da 10a geração.
a) Supondo que A seja uma constante real e t o tempo de experiência emmeses, temos:Q(0) = 200500 − A 9 e0 = 200 Ι A = 300Q(6) = 350500 − 300 9 e−6k = 350300 9 e−6k = 150
e
12
e 26k kt
6− −−
= Ι =
Logo, Q(t) = 500 − 300 9 2t
6−
.
Com Q(t) = 425, temos:
500 − 300 9 2t
6−
= 425
300 9 2t
6−
= 75
2 =
14
= 2t
6 2−
−
− = − Ι =
t6
2 t 12 meses
b) Como
Q(t) 500300
2t6
= − , podemos afirmar que:
• quanto maior for t, tanto mais Q(t) se aproximará de 500;• Q(t) , 500.Podemos concluir, então, que a produção máxima possível é de 499unidades por hora.
Acredita o gerente que a produção Q se relaciona à expe-riência t, por meio da função Q(t) = 500 − A 9 e−k 9 t,sendo e = 2,72 e k um número real, positivo.a) Considerando que as projeções do gerente de produção
dessa indústria estejam corretas, quantos meses de ex-periência serão necessários para que os operários pos-sam produzir 425 unidades por hora?
b) Desse modo, qual será a máxima produção possível dosoperários dessa empresa?
Experiência (meses) 0 6
Produção (unidades por hora) 200 350
Devemos ter P . 31 000. Logo:32 000 (1 − 2−0,1t) . 31 00032 (1 − 2−0,1t) . 3132 − 32 9 2−0,1t . 31−32 9 2−0,1t . −132 9 2−0,1t , 1
2
132
0 1− ,, t
2−0,1t , 2−5
−0,1t , −5t . 50 dias
23 (Unipac-MG) A relação P = 32 000 9 (1 − 2−0,1t)descreve o crescimento de uma população P de bactérias,t dias após o instante 0. O valor de P é superior a 31 000se, e somente se, t satisfizer a condição:a) t . 50 c) t . 16 e) 32 , t , 64b) t , 30 d) 2 , t , 16
X
25 (FERJ-SC) A solução da inequação(0,7)x(x − 3) , (0,49)x − 2 é:a) % d) {x 7 ς\x , 2 ou x . 3}b) {x 7 ς\1 , x , 4} e) {x 7 ς\x , 1 ou x . 4}c) {x 7 ς\2 , x , 3}
X
(0,7) (0,49)
(0,7) (0,7)
x(x 3)
3x 2x
− −
− −
,
,
x
x
2
42
Logo: S = {x 7 ς\x , 1 ou x . 4}.
x2 − 3x . 2x − 4x2 − 5x 0 4 . 0
x1 = 4x2 = 1
{ {
}1 4 xx2 − 5x 0 4 = 0
Estudando o sinal, temos:
001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:079
Matemática 10
Função ExponencialM727 (ECM-AL) O conjunto de todos os valores de x para
os quais 1 4 84 2< ,x
é:a) [0, 12[ c) [0, 6[ e) [0, 3[b) [0, 8[ d) [0, 4[
S = {x 7 ς\0 < x , 12} = [0, 12[
Fazendo a intersecção, temos:
14
24
3
4 84 2x
,
4 14x
>
I
II
II
4 1
4 4
4
4 0
x
x
>
>
x4
0>
x > 0
I
4 8
2 2
4 2
2 4 3 2
x
x
,
,( ) ( )
2 22 6x
,
x2
6,
x , 12
29 (UFF-RJ)a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte
raciocínio:
“ Como 1
418
. , tem-se
12
12
2 3
. e conclui-se
que 2 . 3.”Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio,levando-o a essa conclusão absurda.
b) Sem cometer o mesmo erro que José, determine omenor número m, inteiro e positivo, que satisfaz ainequação:
12
14
41
mm
.
0
a) José cometeu o erro na última etapa de seu raciocínio, uma vez que a
função exponencial dada por
f(x) =12
x
é decrescente, ou seja, à
medida que aumentamos o valor de x, o valor de f(x) diminui.
42 2
42 2 0
mm
mm
, 0
− − ,
4 2 20
2− −,
m mm
2 2 40
2m mm
0 −.
2 1 20
( )( )m mm
− 0.
Conclui-se que o menor número inteiro e positivo m que satisfaz ainequação é 2.
Como m 0, temos 0,.
− 0. − 0 .
2 1 20 1 2
( )( )( )( )
m mm
m m→
ou seja, m , −2 ou m . 1.
X
0 12
120
I
II
III 5
b)
12
14
12
12
41
42 2
mm
mm
. Θ .
0 0
Como a base 12
é um número compreendido entre zero e um, a fun-
ção é decrescente e o sinal da desigualdade muda, ou seja:
{ {
}−2 1 x
28 (ITA-SP) Seja ε um número real, com 0 , ε , 1.Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos
os valores de x tais que ε
ε,2x
2x
1 1
2
:
a) ]−∞, 0] 6 [2, 0∞[ d) ]−∞, 0[b) ]−∞, 0[ 6 ]2, 0∞[ e) ]2, 0∞[c) ]0, 2[
Do enunciado, temos:
ε 9ε
,2x
2x
1
1
2
ε 9 ε ,
−2x
2x
12( )
ε2x 9 ε−x2
, ε0
ε2x − x2
, ε0
Se 0 , ε , 1, temos: 2x − x2 . 0.Raízes: 2x − x2 = 0 Θ x(2 − x) = 0
x1 = 0
x2 = 2ou
{
} }0 2
Portanto: 0 , x , 2 ou ]0, 2[
II
1 4 84 2< ,x
I
X
001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:0810
M8Função Logarítmica
Matemática11
TERCEIRÃO FTDTERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO FTD
M8
TERCEIRÃO FTDFunção Logarítmica
3 (UFG) Suponha que o total de sapatos produzidos poruma pequena indústria é dado, aproximadamente, pelafunção S(t) = 1 000 log2 (1 0 t), em que t é o número deanos e S o número de sapatos produzidos, contados a par-tir do início de atividade da indústria. Determine:
a) o número de sapatos produzidos no primeiro ano deatividades da indústria;
b) o tempo necessário para que a produção total seja otriplo da produção do primeiro ano.
a) Após o primeiro ano de atividade, temos que t = 1; então:S(1) = 1 000 log
2 (1 0 1) Θ S(1) = log
2 2 Θ S(1) = 1 000; portanto,
foram produzidos 1 000 pares de sapatos no primeiro ano.
b) Se no primeiro ano a produção é de 1 000 pares de sapatos, o triploserá 3 000 pares, ou seja:S(t) = 3 000 = 1 000 log2
(1 0 t) Θ log2 (1 0 t) = 3 Θ 1 0 t = 23 Θ
Θ 1 0 t = 8 Θ t = 7; então, depois de 7 anos, a produção total será otriplo da produção do primeiro ano.
1 (UEPG-PR) Sendo:
(25)
1125
p 2− =
q = log16 8
r
log 4
log 272
3
=
É correto afirmar que:(01) p , r , q(02) q . p(04) r , q(08) p . r(16) r , p , q
Em questões como a 1, a resposta é dada pela soma dosnúmeros que identificam as alternativas corretas.
01. Correto
25
1125
p 2− = → 52p − 4 = 5−3 → 2p − 4 = −3 → p
12
=
rlog 4
log 27 r
23
2
3
= =→
q = log16 8 → 16q = 8 → 24q = 23 → 4q = 3 → q
34
=
Logo:
12
23
34
, , → p , r , q.
02. Correto
34
12
. → q . p
04. Correto
23
34
, → r , q
08. Incorreto
12
23
, → p , r
16. Incorreto
23
12
, → r , p
Portanto: 1 0 2 0 4 = 7
2 (Vunesp-SP) O valor de x na equação log x
133 3
= é:
a)
13
3 3
c)
33
e) 3
log x
13
x 3 33 3
13= =→ ( )
x 3 x 3313
32
13
= =( ) →
x 3 x 312= =→
X
Caderno de
Atividades
b)
33
3d) 33
011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 20:5811
Função LogarítmicaM8
Matemática 12
4 (MACK-SP) Se
23
logb 27 0 2 logb 2 − logb 3 = −1,
0 , b ϑ 1, o valor de b é:
a) 2 c)
19
e)
18
b)
112
d) 3
8 (MACK-SP) Se a e b são números reais não-nulos, tais
que a2 + b2 = 28ab, então, adotando-se log 3
1225
= , o valor
de log
(a b)ab3
20 é:
a)
3712
b) 3 c)
2513
d)
175
e) 7
23
9 logb 27 0 2 9 log
b 2 − log
b 3 = −1
log ( )b 3323 0 logb 2
2 − logb 3 = −1
log
3 2
31
b
2 29= − Ι logb 12 = −1
b−1 = 12 Ι b
112
=
5 (Furg-RS) Sendo x a solução da equação
2
12
3 2log log ,x = o valor de x3 é:
a)
12
b) 1 c) 2 d) 4 e) 8
2 2 1
13
23 2 13 2 2
13log log log log logx x x x= Θ = − Θ = Θ =−
Assim:
x3 = = =2 2 213
3 33( )
6 (UFOP-MG) Resolva o sistema:
2x 9 8y = 32 Θ 2x 9 23y = 25 Θ x 0 3y = 5
log
8
13
13
8 2xy xy xy= Θ = Θ =
Resolvendo o sistema, obtemos:1
23
x 0 3y = 5xy = 2
x = 2 e y = 1ouΘ
x e y= =3
23
2x 9 8y = 32
142
43
log8
13
xy =
7 (MACK-SP) Se a . 0 e b . 0, considere as afirma-ções:
I. log (ab) = log a 0 log bII. log (a 0 b) = (log a) 9 (log b)
III. log 1 = 0
Então:
a) I, II e III são corretas.b) I, II e III são incorretas.c) apenas I e II são corretas.d) apenas II e III são corretas.e) apenas I e III são corretas.I. Correta. log (a 9 b) = log a 0 log b
II. Incorreta. log (a 0 b) = (log a) 9 (log b)Para a = b = 1, por exemplo, temos:log 2 = (log 1) 9 (log 1)
III. Correta. log10
1 = 0, pois 100 = 1.
Sendo dados a2 0 b2 = 28ab e log 3
1225
= , temos:
• (a 0 b)2 = a2 0 b2 0 2ab = 28ab 0 2ab = 30ab
•
log(a b)
ablog
30abab
log 303
2
3 3
0= =
log3 3 0 log
3 10 = 1 0
2512
3712
=
X
X
X
X
011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 20:5912
M8Função Logarítmica
Matemática13
9 (EEM-SP) Sendo log10 3 = a, calcule:
log log .10 1018
320
0
log10 (9 9 2) 0 log10 3 − log10 (10 9 2)
log10
9 0 log10
2 0 log10
3 − (log10
10 0 log10
2)
2 log10 3 0 log10 2 0 log10 3 − log10 10 − log10 2
3 log10 3 − log10 10
3a − 1
Usando as propriedades, temos:
log log log log log
10 10 10 10 1018
320
18 3 200 = 0 −
10 (UERJ) Segundo a lei do resfriamento de Newton, atemperatura T de um corpo colocado num ambiente cujatemperatura é T0 obedece à seguinte relação:
T = T0 0 ke−ct
Nessa relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempomedido em horas, a partir do instante em que o corpo foicolocado no ambiente, e k e c são constantes a serem de-terminadas.Considere uma xícara contendo café, inicialmente a100 )C, colocada numa sala de temperatura 20 )C. Vinteminutos depois, a temperatura do café passa a ser de40 )C.a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara
ter sido colocada na sala.b) Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1, estabeleça o
tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sidocolocada na sala, a temperatura do café se reduziu àmetade.
11 (Vunesp-SP) Numa plantação de certa espécie deárvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetrodo tronco, desde o instante em que as árvores são planta-das até completarem 10 anos, são dadas respectivamentepelas funções:altura: H(t) = 1 0 (0,8) 9 log2 (t 0 1)
diâmetro do tronco: D(t) = (0,1) 9 2t
7
com H(t) e D(t) em metros e t em anos.a) Determine as medidas aproximadas da altura, em
metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, dasárvores no momento em que são plantadas.
b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetroaproximado do tronco dessa árvore, em centímetros.
a) Substituindo os dados:
a) No momento em que elas são plantadas, t = 0. Assim:H(0) = 1 0 (0,8) 9 log2 (0 0 1)H(0) = 1 0 0,8 9 log
2 1
H(0) = 1 0 0,8 9 0H(0) = 1 m
D(0) = (0,1) 9 20
7
D(0) = (0,1) 9 20
D(0) = 0,1 mouD(0) = 10 cm
b) Se H(t) = 3,4 m, temos:1 0 0,8 9 log2 (t 0 1) = 3,40,8 9 log2 (t 0 1) = 2,4log
2 (t 0 1) = 3
t 0 1 = 8t = 7 anos
Portanto:
D(7) = 0,1 9 27
7 → D(7) = 0,1 9 2 = 0,2 m ou 20 cm
12 (Unifesp-SP) Uma droga na corrente sangüínea éeliminada lentamente pela ação dos rins. Admita que, par-tindo de uma quantidade inicial de Q0 miligramas, após thoras a quantidade da droga no sangue fique reduzida aQ(t) = Q0(0,64)t miligramas. Determine:a) a porcentagem da droga que é eliminada pelos rins em
1 hora;b) o tempo necessário para que a quantidade inicial da
droga fique reduzida à metade. Utilize log10 2 = 0,30.
a) Q(1) = Q0 9 0,641
Após 1 hora, há 64% da quantidade inicial da droga no sangue; portan-to, em 1 hora, 36% da droga é eliminada pelos rins.
b) De Q(t)
12
Q0= , temos:
Q 0,64
12
Q0t
09 = 9
log 0,64t = log 2−1
t log
210
log 26
2= −
t(6 log 2 − 2 log 10) = −log 2t(1,8 − 2) = −0,3 Ι t = 1,5 hora ou 1h 30min
T0 = 20 )C, T(0) = 100 )C e T13
= 40 )C na relação T = T0 0 ke−ct,
encontraremos:
e
14
c3
−
= → ec3 = 4
Desenvolvendo, temos: e
164
.C− =
Como queremos T56
, basta observarmos que
56
13
52
= 9 .
T56
= 20 0 80
ec
3
5
2−
= 20 0 8014
52
= 20 0 80 9 1
32= 22,5 )C
b) Pela lei do resfriamento, teremos 50 = 20 0 80e−ct, ou seja, e−ct = 38
.
Como e
164
c− = , teremos
164
38
t
= .
Usando logaritmos:
t3 ln 2 ln 3
6 ln 212
1,14,2
12
1142
21 11
421042
521
h
521
60 min 15 min
=−
= − = − =−
= = =
= 9 Λ
011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 21:0013
Função LogarítmicaM8
Matemática 14
14 (UERJ) Em uma cidade, a população que vive nossubúrbios é dez vezes a que vive nas favelas. A primeira,porém, cresce 2% a.a., enquanto a segunda cresce15% a.a.Admita que essas taxas de crescimento permaneçam cons-tantes nos próximos anos.a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios
hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes, calcule onúmero de habitantes das favelas daqui a um ano.
b) Essas duas populações serão iguais após determinadotempo t, medido em anos.
Se t
1log x
= , determine o valor de x.
15 (UFPel-RS) Um dos motivos que levam as pessoas aenfrentar o problema do desemprego é a busca, por partedas empresas, de mão-de-obra qualificada, dispensandofuncionários não habilitados e pagando a indenização aque têm direito.Um funcionário que vivenciou tal problema recebeu umaindenização de R$ 57 000,00 em três parcelas, em que a
razão da primeira para a segunda é
45
e a razão da segun-
da para a terceira,
612
.
Dados:log 1,06 = 0,0253log 1,01 = 0,0043
Com base no texto e em seus conhecimentos, determine:a) o valor de cada parcela;b) o tempo necessário para que o funcionário aplique
o valor da primeira parcela, a juro composto, a umataxa de 1% a.m., para acumular um montante deR$ 12 738,00;
c) a taxa mensal que deve ser aplicada, a juro simples, àsegunda parcela, para que o funcionário, no final de2 anos, obtenha o montante de R$ 25 800,00.
a) Primeira parcela: p1
Segunda parcela: p2
Terceira parcela: p3
p1 0 p
2 0 p
3 = 57 000 �
a) x 0 10x = 12 100 00011x = 12 100 000x = 1 100 000Logo:1 100 000 9 1,15 = 1 265 000 habitantes
b) Em t anos as populações serão:• subúrbios = 10x 9 1,02t
• favelas = x 9 1,15t
10x 9 1,02t = x 9 1,15t
10 9 1,02t = 1,15t
log (10 9 1,02t) = log (1,15t)1 0 t 9 log 1,02 = t 9 log 1,15
1 = t 9 log 1,151,02
t1
log 1,127=
x = 1,127 ano
13 (UFES) Um pesquisador constata que, em um dadoinstante, existem 400 tartarugas da espécie A e 200 tarta-rugas da espécie B em uma reserva marinha. Nessa reser-va, a população de tartarugas da espécie A diminui a umataxa de 20% a.a., enquanto a população da espécie B au-menta a uma taxa de 10% a.a.Determine, usando duas casas decimais, quanto tempo énecessário, a partir desse instante, para que as populaçõessejam iguais. (Considere: log 11 = 1,04 e log 2 = 0,30.)
Pelos dados, vem:400(0,8)t = 200(1,1)t → 2(0,8)t = (1,1)t
Aplicando logaritmo decimal em ambos os membros, vem:log 2(0,8)t = log (1,1)t
log 2 0 log (0,8)t = t 9 log 1,1log 2 0 t 9 log (0,8) = t 9 log 1,1
log 2 t log
810
t log 1110
0 9 = 9
log 2 0 t(log 8 − log 10) = t(log 11 − log 10)log 2 0 t(3 log 2 − log 10) = t(log 11 − log 10)Substituindo os valores dos logaritmos, vem:0,30 0 t(3 9 0,3 − 1) = t(1,04 − 1)0,30 − t 9 0,1 = t 9 0,04t(0,04 0 0,1) = 0,30
t0, 300,14
=
t
157
anos=
ou seja, 2 anos e 17
ano ou 2 anos, 1 mês e 21 dias aproximadamente.
De �: p
4p
51
2=
De �: p3 = 2p2
Substituindo � e � em �, temos:
4p
52
0 p2 0 2p2 = 57 000
4p2 0 5p
2 0 10p
2 = 285 000
19p2 = 285 000p
2 = 15 000
Logo: p1 = R$ 12 000,00p2 = R$ 15 000,00p
3 = R$ 30 000,00
b) M = C(1 0 i)t
12 738 = 12 000(1 0 0,01)t
1,06 = 1,01t
log 1,06 = log 1,01t
log 1,06 = t 9 log 1,010,0253 = t 9 0,0043t Λ 5,88 mesesPortanto, aproximadamente 6 meses.
c) J = M − CJ = 25 800 − 15 000J = 10 800 ou R$ 10 800,00Daí, temos:
J
C i t
100=
9 9
10 800
15 000 i 24100
=9 9
i = 3% a.m.
p
p45
1
2
=
p
p6
122
3
=� e �
011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 21:0014
M8Função Logarítmica
Matemática15
16 (UFAL) Resolva, no universo ς, a equaçãolog3 x 0 log3 (x 0 2) = 1.
x1 = 1x
2 = −3 (não serve)
Ι x . −2
Resolvendo a equação, temos:log3 x(x 0 2) = 1x(x 0 2) = 31
x2 0 2x = 3
x2 0 2x − 3 = 0
Da equação, devemos ter:
x . 0x 0 2 . 0 Θ x . −2
a) Com x − 2 . 0 e x 0 2 . 0, isto é, com x . 2, temos:log (x − 2) 0 log (x 0 2) = 2log [(x − 2)(x 0 2)] = log 100log (x2 − 4) = log 100x2 − 4 = 100x2 = 104
x ou x= = −2 26 2 26Com a condição x . 2, temos x = 2 26 .
b) Com x . 0 e log x = t(10t = x), temos:xlog x = 100x Θ (10t)t = 102 9 10t
10 102 2t t= 0
t2 = 2 0 tt2 − t − 2 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos:t = 2 ou t = −1t = 2 Θ x = 102 Θ x = 100
t = −1 Θ x = 10−1 Θ x = 1
10
18 (FGV-SP)a) Resolva a equação log (x − 2) 0 log (x 0 2) = 2.b) Quais as raízes da equação xlog x = 100x?
12
3
17 (IBMEC-SP) Zé Munheca e João Gastão são dois ir-mãos que têm hábitos bem diferentes quando se trata dedinheiro. Zé Munheca, sempre muito econômico e atentoaos melhores investimentos, consegue duplicar, num prazode 2 anos, qualquer capital que lhe seja disponibilizado.Já João Gastão, muito esbanjador, não consegue contro-lar seus gastos, vendo seu dinheiro se reduzir à metade acada 3 anos.Ciente disso, seu pai, antes de morrer, não dividiu igual-mente sua fortuna entre os dois filhos: reservou a JoãoGastão uma quantia igual a 1 024 vezes à quantia dada aZé Munheca.Considere em seus cálculos apenas o dinheiro que os ir-mãos herdaram de seu pai.a) Quanto tempo depois de receberem suas partes na he-
rança os dois irmãos terão a mesma quantia em di-nheiro?
b) Quanto tempo depois de receber sua parte na herança,aproximadamente, Zé Munheca terá uma quantia iguala 5 vezes à quantia de João Gastão? Se necessário, uti-lize log 2 = 0,30.
a) Sendo t o tempo em anos (t = 0 hoje, t = 1 daqui a um ano etc.),podemos escrever:
Para Zé: at = x 9 2
t2
Para João: bt = 1 024 9 x 9
12
t3
at = bt Θ x 9 2t2 = 1 024 9 x 9
12
t3
Θ 2 2 2t2
t3 109 = Θ 2
5t6 = 210
t = 12 anos
b) at = 5b
t
x 9 2t2 = 5 9 1 024 9 x 9
12
t3
25t6 = 10 9 512
log 25
6
t = log 10 0 log 29
56t
9 log 2 = 1 0 9 log 2
56t
9 0,30 = 1 0 9 9 0,30
t = 14,8 anos
011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 21:0115
Função LogarítmicaM8
Matemática 16
colog3 [log5 (log2 2125)]
−log3 [log
5 (log
2 2125)]
−log3 [log5 (125 9 log2 2)]−log3 [log5 125]−log
3 [3 log
5 5]
−log3 3 = −1
20 (Fafi-BH) O valor de colog3 [log5 (log2 2125)] é:
a) 0 b) −1 c) 2 d) 3 e) 1X
19 (UEM-PR) Sobre logaritmos e exponenciais, assi-nale o que for correto.
(01) Se
110
1
10
x y
. , então x . y.
(02) Se log4 3 = a e log3 7 = b, então log2 21 = 2a(1 0 b).
(04) Se log15 3 = c, então log 15
11 c5 =
−.
(08) Se (2x)x 0 1 = 64, então a soma dos valores de x quesatisfazem essa equação é igual a 5.
(16) A função f definida por f(x) 2
x
= ( ) , x 7 ς, é cres-
cente.(32) Para analisar fraturas em construções, usam-se
raios X. Quando os raios penetram no concreto, a suaintensidade é reduzida em 10% a cada 20 cm percorri-dos no concreto. A profundidade d em que a intensi-dade dos raios será de 0,09% da intensidade inicial é
d 20
log (0, 0009)
log (0, 9)= .
21 (UFRJ) Sendo x e y números reais e y ϑ 0, expresseo logaritmo de 3x na base 2y em função de x, y e log2 3.
log 3log 3
log 2
x log 3
y log 2
x log 3
y2x 2
x
2y
2
2
2y = = =
01. Incorreto
110
1
10
x y
. Θ x , y
02. Correto
log 3 log 3
log 4 a
log 3
2 log 3 2a4
2
2
22= = =→ →
log 7 log 7
log 3 b
log 7
2a log 7 2ab3
2
2
22= = =→ →
Portanto:log2 21 = log2 (7 9 3) = log2 7 0 log2 3 = 2ab 0 2a = 2a(b 0 1)
04. Correto
log 3 c log 3
log 15 c
log 3
log 5 log 3 c15
5
5
5
5 5
= =0
=→ →
log 3
1 log 35
50= c Θ log5 3 − c log5 3 = c Θ log5 3 9 (1 − c) = c
log 3
c1 c5 =
−Daí, vem:
log5 15 = log
5 (5 9 3) = log
5 5 0 log
5 3 = 1 0
c1 c
1
1 c−=
−
08. Incorreto
(2x)x 0 1 = 64 Θ 2x2 0 x = 26
x2 0 x = 6
x2 0 x − 6 = 0
A soma é igual a:S = 2 − 3 = −1
16. Correto
Como a base 2 é maior que 1, a função f(x) 2
x= ( ) é crescente.
32. CorretoA intensidade I em função da profundidade d é dada por:
I I (1 0,1) I I (0, 9)
0
d20
0
d20= − =→
Fazendo I = 0,09% I0, vem:
0,09% I I (0, 9)
0 0
d20=
0 0009, = 0, 9d20
log 0,0009 log(0,9)d20=
log 0,0009
d20
log 0,9= 9
d 20 log 0,0009
log 0,9= 9
x’ = 2
x” = −3
Portanto: 2 0 4 0 16 0 32 = 54
011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 21:0216
M8Função Logarítmica
Matemática17
• 2n = 5 Θ log 2n = log 5 Θ n log 2 = log 5
•
logloglog
loglog ( )
loglog log log50
2
4450
22 5 5
2 22 5 5
= =9 9
=0 0
2 22 2 5
2 22 2 2
loglog log
loglog log0
=0 9
=n
2 22 1 2
21 2
loglog ( )9 0
=0n n
22 (UA-AM) Sendo 2n = 5, então log50 4 em função den é igual a:
a)
21 0 n
c)
11 0 n
e)
22 0 n
b)
11 20 n
d)
21 20 n
24 (ECM-AL) Considerando log 2 = 0,30, o valor delog4 3,2 é:
a)
53
b)
65
c)
12
d)
56
e) 20X
X
Substituindo os valores dos logaritmos, temos:
Aplicando a fórmula de mudança de base, vem:
log ,log ,log
log
loglog log
log4 23 2
3 24
32102
32 102 2
= = =−
log log
log
log log
log
2 10
2 2
5 2 10
2 2
5 −=
−
log ,,
,,,4
3 25 0 30 1
2 0 300 50 6
56
=9 −
9= =
25 (UFU-MG) Determine todos os valores de x 7 ς taisque satisfaçam a equação log4 (x − 3) = 1 0 log16 (x − 3).
A condição de existência é:x − 3 . 0 Θ x . 3
Resolvendo a equação, temos:
log ( )log ( )
log
log ( )log ( )
44
4
44
3 13
16
3 13
2
xx
xx
− = 0−
− = 0−
Como 19 . 3, o conjunto solução é S = {19}.
2 log4 (x − 3) = 2 0 log
4 (x − 3)
log4 (x − 3) = 2x − 3 = 16x = 19
26 (UFF-RJ) São dados os números reais positivos a, be x tais que a ϑ 1 e b ϑ 1.Sabe-se que loga x = 2 e logb x = 4.
Calcule a xablog .
Mas a2 = x e b4 = x. Assim, a2 = b4 e b2 = a Θ b a= .
loglog
log
log log
log log
log
logab
a
a
a a
a a
a
a
a xa x
ab
a x
a b
x
b= =
0
0=
0
0
112
1
loglogab
a
a xa
=
0 9
0=
0
0
= =
112
2
1
1 1
112
232
43
Logo:
23 (UFC) O número real x, positivo e diferente de 1,
que satisfaz a equação logx (2x) 9 log2 x = 3 − log2 x éigual a:
a) 23 d) 4
b) 2 e) 4 23
c) 2 23X
Mudando para a base 2, temos:
log (2x)
log x log x 3
log x
log 22
22
2
2
9 = −
log 2 log x
log x log x 3
12
log
log 22 2
22
2
2
09 = −
x
1 log x 3
log x
22
20 = −
2 0 2 log2 x = 6 − log
2 x
3 log2 x = 4
log x
432
=
x 2 23
=
011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 21:0317
Função LogarítmicaM8
Matemática 18
27 (Fuvest-SP) Se x é um número real,x . 2 e log2 (x − 2) − log4 x = 1, então o valor de x é:
a) 4 2 3− d) 4 2 30
b) 4 3− e) 2 4 30
c) 2 2 30
Com x . 2, temos:log2 (x − 2) − log4 x = 1
log2 (x − 2) −log
log2
2
x
4 = 1
log2 (x − 2) −
12
log2 x = 1
2 log2 (x − 2) − log2 x = 2
log
(x 2)
x2
2
2−=
(x 2)
x2
22
−=
(x − 2)2 = 4xx2 − 8x 0 4 = 0
x 4 2 3= ±
Da condição x . 2, temos x 4 2 3= 0 .
28 (UFMG) Neste plano cartesiano estão representa-dos o gráfico da função y = log2 x e o retângulo ABCD,cujos lados são paralelos aos eixos coordenados.
A abscissa de A é 14
. Logo, a abscissa de D é 14
.
y = log2 x Θ y log
14
2142
y= =→ Θ 2y = 2−2 Θ y = −2
A ordenada de D é −2.A abscissa de B é 8. Logo:y = log2 8 Θ 2y = 8 Θ 2y = 23 Θ y = 3. A ordenada de B é 3.
X
Sabe-se que:• os pontos B e D pertencem ao gráfico da função y = log2 x;
• as abscissas dos pontos A e B são, respectivamente,
14
e 8.Então, é correto afirmar que a área do retângulo ABCD é:a) 38,75 b) 38 c) 38,25 d) 38,5
x
y
AB y = log
2 x
D C
29 (FGV-SP) Considere as funções: f(x) = 3x − 3 eg(x) = log3 (x 0 1), sendo loga (b) o logaritmo de b na base a.
a) Esboce a representação gráfica das funções f(x) e g(x)num mesmo sistema cartesiano de eixos.
b) Escreva a equação das retas r e s, assíntotas das funçõesf(x) e g(x), respectivamente.
c) Determine as coordenadas dos pontos P e R, intersecçõesdas funções f(x) e g(x), respectivamente, com o eixo Oxe as coordenadas dos pontos Q e S, intersecções dasfunções f(x) e g(x), respectivamente, com o eixo Oy.
d) Determine graficamente o número de soluções da equa-ção f(x) = g(x).
a)
x
y
y = g(x)
y = f(x)
10
1
2
3
4
5
2 3−1−1
−2
−3r
s
b) As equações das retas r e s são, nessa ordem, y = −3 e x = −1.c) De 3x − 3 = 0, temos 3x = 3, ou seja, x = 1 (P).
De log3 (x 0 1) = 0, temos x 0 1 = 1, ou seja, x = 0 (R).De f(x) = 3x − 3, temos f(0) = 30 − 3 = −2 (Q).De g(x) = log3 (x 0 1), temos g(0) = log3 (0 0 1) = 0 (S).
d) As curvas y = f(x) e y = g(x) interceptam-se em apenas dois pontosdistintos.
Portanto:AD = 3 − (−2) = 5
AB 8
14
314
= − =
A área do retângulo ABCD é:
S 5
314
38, 75= 9 =
X
011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 21:0318
M8Função Logarítmica
Matemática19
30 (UENF-RJ) Um grupo de 20 ovelhas é libertado parareprodução numa área de preservação ambiental. Subme-tidas a um tratamento especial, o número N de ovelhasexistentes após t anos pode ser estimado pela seguinte fór-mula:
N
2201 10(0, 81)t
=0
Admita que a população de ovelhas seja capaz de se man-ter estável, sem esse tratamento especial, depois de atin-gido o número de 88 ovelhas.a) Calcule o número de ovelhas existentes após 6 meses.b) Considerando ln 2 = 0,7, ln 3 = 1,1 e ln 5 = 1,6, calcu-
le a partir de quantos anos não haverá mais a necessi-dade de tratamento especial do rebanho.
31 (Vunesp-SP) A função p(t) 9
81 12 3 (0,1)t
= 00 9 −
expressa, em função do tempo t (em anos), aproximada-mente, a população, em milhões de habitantes, de umpequeno país, a partir de 1950 (t = 0). Um esboço do grá-fico dessa função, para 0 < t < 80, é dado na figura.
t (em anos)
(gráfico fora de escala)
População(em milhões de hab.)
32 80
9
10
15
17
0
a) Quando a população atingiu 12 milhões de habitantes:
p(t) = 12 Θ 9 0
81 12 3 (0,1)t0 9 −
= 12
81 12 3 (0,1)t0 9 −
= 3 Θ 3 0 12 9 31 − 0,1t = 8
31 − 0,1t = 5
12 Θ 1 − 0,1t = log3
512
1 − 0,1t = log3 5 − 2 log3 2 − log3 30,1t = −1,4 0 2 9 0,6 0 2 Θ 0,1t = 1,8t = 18 anos, ou seja, em 1950 0 18 = 1968.
b) Em 1950, isto é, para t = 0 temos
p(0) = 9 0 8
13 Λ 9,61 milhões de habitantes.
Com base no gráfico, o conjunto solução de p(t) > 15 é S = [32, 80].De acordo com o gráfico, a equação p(t) = k tem soluções reais parap(0) < k < p(80) Θ 9,61 < k < 17, aproximadamente, em milhões dehabitantes.
a) De acordo com esse modelo matemático, calcule emque ano a população atingiu 12 milhões de habitantes.(Use as aproximações log3 2 = 0,6 e log3 5 = 1,4.)
b) Determine aproximadamente quantos habitantes tinhao país em 1950. Com base no gráfico, para 0 < t < 80,admitindo que p(80) = 17, dê o conjunto solução dainequação p(t) > 15 e responda, justificando sua res-posta, para quais valores de k a equação p(t) = k temsoluções reais.
a) Com 6 meses =12
ano, temos:
N220
1 10(0,81)12
=
0
Θ N = 22 ovelhas
b)
2201 10(0,81)
88 (0, 81)3
209
103
20tt
2t
0> < <→ →
2t(ln 9 − ln 10) < ln 3 − ln 20
t ln 3 ln 20
2(ln 9 ln 10)>
−
−
t
ln 3 2 ln 2 ln 54 ln 3 2 ln 2 2 ln 5
>− −
− −
t 1,1 2 0,7 1,6
4 1,1 2 0,7 2 1,6>
− 9 −
9 − 9 − 9
t > 9,5 anos
019_022_CA_Matem_2 11.10.06, 15:3719
Função LogarítmicaM8
Matemática 20
1
1
2
2
3
3
−1
−1
�
� 5 �
33 (UFSM-RS) O domínio da função
f(x) =
−
00 − 0
xx
x x11
5 6102log ( ), em ς, é o sub-
conjunto:a) ]−∞, −1[ 6 [1, 2[ 6 ]3, 0∞[b) ]−∞, 0∞[c) ]−∞, 1] 6 [2, 0∞)d) {x 7 ς\x , −1 ou x > 1}e) {x 7 ς\x , 1 ou x . 3}
X
Devemos ter:
x2 − 5x 0 6 . 0 �
14
24
3
xx
−
0>
11
0
y1 = x − 1x − 1 = 0 Θ x = 1
xx
com x−
0> ϑ −
11
0 1,
y2 = x 0 1x 0 1 = 0 Θ x = −1
Quadro de sinais
Portanto: D = {x 7 ς\x , −1 ou 1 < x , 2 ou x . 3} ouD = ]−∃, −1[ 6 [1, 2[ 6 ]3, 0∃[
� x2 − 5x 0 6 . 0
� 5 �:
1}
{
x −1}
{
x
−{ {
−1 1
1−1
y1
y2
{ {
}2 3
32 (UFBA) O número de bactérias de determinada cul-
tura varia de acordo com a lei N(t) = 9−
100 21
2 , em queo tempo t é dado em horas.Nessas condições, pode-se afirmar:(01) No instante t = 0, o número de bactérias existentes
na cultura é igual a 200.(02) Depois de 8 horas, o número de bactérias existentes
na cultura é menor que 7.(04) Em 4 horas, a quantidade de bactérias na cultura se
reduz a
14
da quantidade inicial.
(08) Na cultura, a quantidade de bactérias se reduz de
25
da quantidade inicial no tempo t = 2
532log .
(16) Em relação ao tempo, avariação da quantidadede bactérias é represen-tada pelo gráfico ao lado.
01. Incorreto. Sendo t = 0, temos:
N(0) N(0) 100= 9 Θ = 9 =−
100 2 100 202 0
02. Correto. Fazendo t = 8, obtemos:
N(8) (6,25 7)= 9 = 9 = = = ,
−−100 2 100 2
1002
10016
6 2582 4
4,
04. Correto. Se t = 4, temos:
N(4) 100= 9 = = = 9
−
100 2100
425 25
14
42
08. Incorreto. Sendo N(t) 100 40, temos:= 9 =
25
40 100 2
25
225
22 2 2= 9 Θ = Θ =− − −
t t t
log log
t = 2
522
log
16. Incorreto. Tabelando a função, temos:
Portanto: 2 0 4 = 6
N(t)
t0
100
x0 1 2 4
y
100
50
t N
0 1002 504 25
�
�
019_022_CA_Matem_2 11.10.06, 15:3720
M8Função Logarítmica
Matemática21
34 (UFBA) O gráfico representa a funçãof: ς Θ ]1, 0∞[; f(x) = a 0 b 9 2kx, sendo a, b e k constantesreais. A partir dessas informações, calcule f−1(x).
Com base no gráfico de f(x) = a 0 b 9 2kx, conclui-se que a funçãog(x) = b 9 2kx sofreu uma translação de 1 unidade, logo a = 1.Além disso, pelo gráfico tem-se que f(0) = 3 e f(−1) = 5.f(0) = 3 Θ 3 = 1 0 b Θ b = 2f(−1) = 5 Θ 5 = 1 0 2 9 2−k Θ 4 = 2 9 2−k Θ 22 = 21 − k
2 = 1 − k Θ k = −1Logo, f(x) = 1 0 2 9 2−x = 1 0 21 − x.Cálculo da função inversa f−1(x):y = 1 0 21 − x Θ y − 1 = 21 − x Θ log2 (y − 1) = 1 − x Θ x = 1 − log2 (y − 1)Portanto, f−1(x) = 1 − log
2 (x − 1).
y
x
5
3
1
0−1
35 (UFOP-MG) Resolva a inequaçãolog2 (x − 3) 0 log2 (x − 2) , 1.
Devemos ter:x − 3 . 0 Θ x . 3x − 2 . 0 Θ x . 2
Resolvendo a inequação, temos:log
2 (x − 3)(x − 2) , 1
(x − 3)(x − 2) , 2x2 − 5x 0 6 , 2x2 − 5x 0 4 , 0
x1 = 4x2 = 1Raízes: x2 − 5x 0 4 = 0
S = {x 7 ς\3 , x , 4}
Fazendo � 5 �, obtemos:
Θ 1 , x , 4 �{ {
}1 4 x
3
3
4
4
1�
�
� 5 �
36 (Fuvest-SP) O conjunto dos números reais x quesatisfazem a inequação log2 (2x 0 5) − log2 (3x − 1) . 1é o intervalo:
a)
− −∞, 52
d)
13
, 74
b)
74
, ∞
e)
0,
13
c)
−52
, 0
Ι x . 3 �
log2 (2x 0 5) − log2 (3x − 1) . 1
log 2x 53x 12
0
−
. 1 e 3x − 1 . 0
2x 53x 1
0
−. 2 e 3x − 1 . 0
x
74
e x 13
13
x 74
, . , ,→
37 (Vunesp-SP) Considere as funções f(x)
x2
= e
g(x) = log2 x, para x . 0.a) Represente, num mesmo sistema de coordenadas re-
tangulares, os gráficos das duas funções, colocando ospontos cujas abscissas são x = 1, x = 2, x = 4 e x = 8.
b) Baseado na representação gráfica, dê o conjunto solu-
ção da inequação
x2
, log2 x e justifique por que
π
2, log2 π.
f(x)
x2
= g(x) = log2 x
a)
b)π2
, log2 x Θ 2 , x , 4
Se 2 , π , 4, então π2
, log2 π.
x 1 2 4 8
f(x)12
1 2 4
x 1 2 4 8
g(x) 0 1 2 3
x10
1
2
4
2 4 8
12
f
g
y
X
019_022_CA_Matem_2 11.10.06, 15:3821
Função LogarítmicaM8
Matemática 22
41 (UFRJ) Ana e Bia participaram de um site de relacio-namentos. No dia 1o de abril de 2005, elas notaram queAna tinha exatamente 128 vezes o número de amigos deBia. Ana informou que, para cada amigo que tinha no fi-nal de um dia, três novos amigos entravam para sua listade amigos no dia seguinte. Já Bia disse que, para cadaamigo que tinha no final de um dia, cinco novos amigosentravam para sua lista no dia seguinte. Suponha que ne-nhum amigo deixe as listas e que o número de amigosaumente, por dia, conforme elas informaram.a) No dia 2 de abril de 2005, 20 novos amigos entraram
para a lista de Bia.Quantos amigos havia na lista de Ana em 1o de abril?
b) Determine a partir de que dia o número de amigos deBia passa a ser maior do que o número de amigosde Ana. Se precisar, use a desigualdade1,584 , log2 3 , 1,585.
a) No dia 2 de abril, entraram 20 novos amigos para a lista de Bia. Logo:5b1 = 20 Θ b1 = 4Então, Bia tinha 4 amigos em 1o de abril.No dia 1o de abril, Ana tinha:128 9 4 = 512 amigos
b) No enésimo dia, o número de amigos de cada uma é:Ana Θ a
n = 512 9 4n − 1
Bia Θ bn = 4 9 6n − 1
Portanto:b
n . a
n Θ 4 9 6n − 1 . 512 9 4n − 1
64
5124
n 1
n 1
−
−.
32
2n 1
7
−
.
n 1 7
log 3 12
− .−
n 7
log 3 1 1
2
.−
0
Sendo 1,584 , log2 3 , 1,585, vem:
70,585
7
log 3 1
70,584
11,96 7
log 3 1 11,98
2 2
,−
, ,−
,→
A partir de 13 de abril, o número de amigos de Bia supera o de Ana.
a) Devemos ter y > 1,2. Logo:y > 1,23 − 3 9 (0,95)t > 1,2−3 9 (0,95)t > −1,8(0,95)t < 0,6Tomando os logaritmos decimais do 1o e 2o membros, temos:log (0,95)t < log 0,6 Θ t 9 log 0,95 < log 0,6Como log 0,95 Λ −0,02 e log 0,6 = −0,22, obtemos:
t t t dias9 − < − Θ > Θ .( , ) ,,,
0 02 0 220 220 02
11
b) Por outro lado, quanto maior é o valor de t, tanto mais o valor de (0,95)t
aproxima-se de zero e, assim, o valor de y aproxima-se de 3.O gráfico de y em função de t é dado pelo esboço a seguir:
39 (FGV-SP) O anúncio de certo produto aparece dia-riamente num certo horário na televisão. Após t dias doinício da exposição (t exposições diárias), o número depessoas (y) que ficam conhecendo o produto é dado pory = 3 − 3 9 (0,95)t, em que y é dado em milhões de pessoas.a) Para que valores de t teremos pelo menos 1,2 milhão
de pessoas conhecendo o produto?b) Faça o gráfico de y em função de t.
40 (UFMA) A função
f(x)(2x
=
−
2
53
x
log ) possui
como domínio, no conjunto ς dos números reais, o intervalo:a) ]−3, 0∞[ c) ]3, 0∞[ e) ]−2, 0∞[
b)
52
,0∞
d)
− 0∞72
,
2x − 5 . 0 Θ 2x . 5 Θ x .
52
log3 (2x − 5) . 0 Θ log
3 (2x − 5) . log
3 1
Devemos ter:
14
24
3
De � e � vem:{x 7 ς\x . 3}, ou seja, ]3, 0∞[
2x − 5 . 12x . 6x . 3
X
0
3y
t
38 (Unicamp-SP) Um capital de R$ 12 000,00 é aplica-do a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anual-mente. Considerando que não foram feitas novas aplica-ções ou retiradas, encontre:a) o capital acumulado após 2 anos;b) o número inteiro mínimo de anos necessários para que
o capital acumulado seja maior que o dobro do capitalinicial.(Se necessário, use log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477.)
O capital acumulado após n anos é dado, em R$, por C(n) = 12 000 9 1,08n.a) C(2) = 12 000 9 1,082
C(2) = 12 000 9 1,1664 Ι C(2) = 13 996,80b) De C(n) . 12 000 9 2, temos:
12 000 9 1,08n . 12 000 9 21,08n . 2log (1,08)n . log 2n 9 log 1,08 . log 2n 9 [log (22 9 33 9 10−2)] . log 2n 9 [(2 log 2 0 3 log 3 − 2)] . log 2n 9 (0,602 0 1,431 − 2) . 0,301n 9 0,033 . 0,301
n 0,3010,033
.
n . 9,12O menor valor inteiro de n é, portanto, igual a 10.
�
�
019_022_CA_Matem_2 11.10.06, 15:3822
M9Noções de Matemática Financeira
23 Matemática
Caderno de
AtividadesTERCEIRÃO FTDTERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO FTD
M9
TERCEIRÃO FTDNoções de MatemáticaFinanceira
O faturamento será de 0,9 9 1,20 = 1,08 do faturamento anterior. Logo,aumentou em 8%.
2 (UFPE) Quando o preço da unidade de determinadoproduto diminuiu 10%, o consumo aumentou 20% du-rante certo período. No mesmo período, de que percentualaumentou o faturamento da venda deste produto?a) 8% b) 10% c) 12% d) 15% e) 30%X
90% do lucro obtido em 2002 é 0,9 9 350 000 = 315 000 (reais).Logo, o lucro em 2003 foi 90% do lucro obtido no ano anterior.
3 (ENEM) As “margarinas” e os chamados “cremes ve-getais” são produtos diferentes, comercializados em em-balagens quase idênticas. O consumidor, para diferenciarum produto do outro, deve ler com atenção os dizeres dorótulo, geralmente em letras muito pequenas. As figurasque seguem representam rótulos desses dois produtos.
As quantidades de lipídios em 200 g de creme vegetal e 200 g de marga-rina são, respectivamente, 35% 9 200 g = 70 g e 65% 9 200 g = 130 g.Uma pessoa que, inadvertidamente, utiliza creme vegetal em vez de mar-
garina estará usando
70 g
130 g7
13 0, 54% 54%= Λ = da quantidade ne-
cessária de lipídios. A melhor aproximação desse resultado é “a metade”.
X
Podemos afirmar que:a) o lucro da empresa em 2003 foi 15% superior ao lucro
de 2001.b) o lucro da empresa em 2005 foi 30% superior ao lucro
de 2001.c) o lucro da empresa em 2004 foi 10% inferior ao de 2002.d) o lucro em 2003 foi 90% do lucro obtido pela empresa
no ano anterior.d) o lucro obtido em 2005 superou em 17% o do ano an-
terior.
X
Uma função dos lipídios no preparo das massas alimentí-cias é torná-las mais macias. Uma pessoa que, pordesatenção, use 200 g de creme vegetal para preparar umamassa cuja receita pede 200 g de margarina, não obterá aconsistência desejada, pois estará utilizando uma quanti-dade de lipídios que é, em relação à recomendada, aproxi-madamente:a) o triplo d) um terçob) o dobro e) um quartoc) a metade
Peso líquido 500 gMARGARINA
65% de lipídios
valor energético por porção de 10 g: 59 kcal
Peso líquido 500 gCREME VEGETAL
35% de lipídios
valor energético por porção de 10 g: 32 kcalNão recomendado para uso culinário
0
500 000reais
300 000 300 000350 000
315 000 340 000405 000
100 000
200 000
400 000
2001 2002 2003 2004 2005ano
1 (FGV-SP) O gráfico abaixo representa os lucros anuais,em reais, de uma empresa ao longo do tempo.
023_028_CA_Matem_2 11.10.06, 15:4923
Noções de Matemática FinanceiraM9
24Matemática
Seja x o valor de lançamento.O valor atual é de x 0 4x = 5x, que representa um aumento de 400% emrelação a x.
7 (PUC-RS) O valor de um produto foi acrescido de qua-tro vezes o da época de seu lançamento no mercado. Aporcentagem que o valor atual representa, em relação aopreço inicial, é de:a) 500% b) 450% c) 400% d) 5% e) 4%X
Em questões como a 4, a resposta é dada pela soma dosnúmeros que identificam as alternativas corretas.
4 (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s):(01) Se uma pessoa A pode fazer uma peça em 9 dias de
trabalho e outra pessoa B trabalha com velocidade50% maior do que A, então B faz a mesma peça em 6dias de trabalho.
(02) Uma empresa dispunha de 144 brindes para distri-buir igualmente entre sua equipe de vendedores, mascomo no dia da distribuição faltaram 12 vendedores,a empresa distribuiu os 144 brindes igualmente en-tre os presentes, cabendo a cada vendedor um brindea mais. Logo, estavam presentes 36 vendedores nodia da distribuição.
(04) Se reduzindo o preço x em 20% se obtém y, então ydeve sofrer um acréscimo de 20% para se obter nova-mente x.
(08) A soma de dois números naturais é 29. Então o valormínimo da soma de seus quadrados é 533.
5 (UFPE/UFRPE) A população de pobres de um certo país,em 1981, era de 4 400 000, correspondendo a 22% da popu-lação total. Em 2001, esse número aumentou para5 400 000, correspondendo a 20% da população total. Indi-que a variação percentual da população do país no período.
6 (UFG) Um cliente encomendou 12 centos de quibe e5 centos de empadinha de camarão, cujo custo total erade R$ 305,00. Quando foi pagar a mercadoria, o clientepediu um desconto e o comerciante deu 10% de descontono preço do cento do quibe, mas não deu desconto nocento da empadinha de camarão. Com o desconto dado, ocliente pagou R$ 287,00 pela mercadoria. Calcule:a) o desconto obtido pelo cliente no valor da conta, em
porcentagem;b) o preço pago pelo cliente nos centos do quibe e da
empadinha de camarão.
01. CorretaDias Velocidade
9 vx 1,5v
02. Correta
144x 12
144x
1−
= 0
144x(x 12)
144(x 12) x(x 12)
x(x 12)−=
− 0 −
−
x2 − 12x − 1 728 = 0
Θ
9x
=1, 5v
v Θ x = 6 dias
A população de pobres era igual a:
1981 Θ 4400000
0,22
= 20 000 000
2001 Θ 5 000
0,20400
= 27 000 000
A variação percentual é:
(27000 000
20000 000
20000 000)−= 0,35 ou 35%
a) O desconto d é igual a:305 − d 9 305 = 287305d = 18d Λ 0,06oud Λ 6%
b) Os preços dos centos de quibe q e da empadinha de camarão c satisfa-zem o sistema:
123 , cuja solução é q = 15 e c = 25.12q 0 5c = 30512(0,9)q 0 5c = 287
x1 = 48
x2 = −36 (não serve)
Estavam presentes: 48 − 12 = 36 vendedores.
04. IncorretaSendo x o preço, temos:y = x − 20%x Θ y = x − 0,2x Θ y = 0,8xEstabelecendo uma regra de três, temos:0,8x − 100%
x − aO acréscimo deverá ser de 25%.
08. IncorretaSe x e y são números naturais tais que x 0 y = 29, temos:
x y 72 0 222 = 49 0 484 = 5330 29 82 0 212 = 64 0 441 = 5051 28 92 0 202 = 81 0 400 = 4812 27 102 0 192 = 100 0 361 = 461. . 112 0 182 = 121 0 324 = 445. . 122 0 172 = 144 0 289 = 433. . 132 0 162 = 169 0 256 = 4257 22 142 0 152 = 196 0 225 = 4218 219 20. .. .. .
O valor mínimo de x2 0 y2 não é 533 e sim 421.Portanto: 1 0 2 = 3
→ →
0, 8xx
100a
a 125%= =
Sendo 10% de 15,00 = 0,1 9 15,00 = 1,50, o cliente pagou pelo centodo quibe: 15,00 − 1,50 = R$ 13,50 e R$ 25,00 pelo cento da empadinhade camarão.
023_028_CA_Matem_2 11.10.06, 15:4924
M9Noções de Matemática Financeira
25 Matemática
80% da causa: 0,8 9 200 000 = 160 000100% − 15% = 85%: 0,85 9 160 000 = 136 000Ele receberá R$ 136 000,00.
8 (Unesp-SP) Um advogado, contratado por Marcos, con-segue receber 80% de uma causa avaliada em R$ 200 000,00e cobra 15% da quantia recebida, a título de honorários. Aquantia, em reais, que Marcos receberá, descontada a partedo advogado, será de:a) 24 000,00 c) 136 000,00 e) 184 000,00b) 30 000,00 d) 160 000,00
X
9 (MACK-SP) Numa loja, uma caixa com 5 barras dechocolate está à venda com a inscrição “Leve 5, pague 4”.O desconto aplicado ao preço de cada barra corresponde,em porcentagem, a:a) 8 d) 20b) 10 e) 25c) 12,5
10 (UFRJ) No gráfico abaixo, x representa a quantida-de de batatas, em quilogramas, vendidas na barraca de seuCustódio, em um dia de feira, e y representa o valor, emreais, arrecadado com essa venda. A partir das 12 horas, omovimento diminui e o preço do quilograma de batatastambém diminui.
X
Suponhamos que, sem desconto algum, o preço de uma barra seja x reais.Assim, sem desconto, o preço de 5 barras seria 5x reais.Com o desconto, o preço de 5 barras passa para 4x reais.Há, portanto, um desconto de x reais em cada 5x reais.
O desconto é dado por
x5x
15
= , o que corresponde a 20%.
a) Antes das 12 h, a redução é de:
7260
= 1,20 reais/kg
A partir das 12 h, a redução é de:
90 7280 60
1820
−
−= = 0,90 real/kg
a) Calcule a redução percentual do preço do quilogramade batatas a partir das 12 horas.
b) Se o preço não diminuísse, teria sido arrecadado umvalor V na venda de 80 kg.Determine o percentual de V que corresponde à perdacausada pela redução do preço.
x (kg)
y (R$)
60 80
72
90
0
11 (UFSC) Um quadro cujo preço de custo eraR$ 1 200,00 foi vendido por R$ 1 380,00. Justifique se olucro obtido na venda, sobre o preço de custo, foi de 18%.O lucro é de:1 380,00 − 1 200,00 = 180,00A porcentagem do lucro sobre o preço de custo é de:
180 001 200 00
,,
= 0,15 = 15%
A redução percentual é igual a:
1,20 0, 901,20
0, 301,20
−= = 0,25 = 25%
b) A arrecadação com preço inicial de R$ 1,20 é:80 9 1,20 = R$ 96,00Se o valor arrecadado é R$ 90,00, o percentual de perda é:
96 9096
696
−= = 0,0625 = 6,25%
Seja x o preço inicial:x(1 0 0,10)(1 0 0,20) = x 9 1,1 9 1,2 = 1,32x = x(1 0 0,32)Sofreu um aumento total de 32%.
12 (UFOP-MG) O preço de uma mercadoria sofreu doisaumentos sucessivos, de 10% e 20%. De quantos por cen-to foi o aumento total dessa mercadoria?a) 30% b) 32% c) 25% d) 22% e) 12%X
13 (PUC-SP) Em uma indústria é fabricado certo pro-duto ao custo de R$ 9,00 a unidade. O proprietário anun-cia a venda desse produto ao preço unitário de x reais,para que possa, ainda que dando ao comprador um des-conto de 10% sobre o preço anunciado, obter um lucro de40% sobre o preço unitário de custo. Nessas condições, ovalor de x é:a) 24 b) 18 c) 16 d) 14 e) 12Do enunciado, o preço de venda é 0,9 9 x, e o lucro é de 0,4 9 9.Logo:0,9x = 9 0 0,4 9 90,9x = 12,6
x = 14
X
023_028_CA_Matem_2 11.10.06, 15:5025
Noções de Matemática FinanceiraM9
26Matemática
14 (Fatec-SP) Em certo aparelho eletrônico, 20% docusto total corresponde a componentes importados.Se o preço desses componentes sofrer um acréscimo de20%, e o preço dos demais sofrer um acréscimo de 10%, ocusto total do aparelho será acrescido de:a) 30% b) 20% c) 12% d) 10% e) 8%
15 (UFES) Em uma safra, um produtor de morangostem um custo de R$ 0,50 por caixa produzida, relativo asementes, defensivos agrícolas, embalagens etc., além deuma despesa fixa de R$ 1 500,00, relativa ao aluguel doterreno onde produz, ao maquinário e aos salários deempregados. Nessa safra:a) quantas caixas de morangos poderiam ser produzidas
aplicando-se R$ 15 000,00?b) se forem produzidas 50 000 caixas, qual deverá ser o
preço de venda de cada caixa para se obter um lucrototal de R$ 10 000,00?
16 (FGV-SP)a) Um televisor, cujo preço à vista é R$ 1 000,00, está sen-
do vendido, a prazo, em 3 parcelas mensais, sucessivase iguais a R$ 350,00, sem entrada.João Augusto tem R$ 1 000,00 aplicados à taxa de2% a.m., pelo critério de juro composto, mas preferiucomprar o televisor a prazo. “Levo o televisor sem gas-tar nada agora e, ainda, mantenho o dinheiro aplicado.Pagarei as parcelas com retiradas mensais da aplica-ção”, pensou ele.João Augusto raciocinou corretamente? Haverá dinhei-ro suficiente na aplicação para saldar a última parcelado financiamento?
b) Certa loja tem como política de vendas a crédito exigir,como entrada, 20% do valor à vista da mercadoria e orestante a ser liquidado no final de 3 meses. Nesse caso,o saldo devedor é acrescido de 10% do valor à vista damercadoria, a título de “despesas administrativas”.Qual é a taxa anual de juros simples cobrada por essaloja?
17 (UESPI) Um investidor aplicou 30% do seu capitala juro simples de 1,5% a.m., durante um ano. O restantefoi aplicado a juro simples, durante um ano, à taxa de2% a.m. Se o total de juros recebidos foi R$ 1 776,00, qualera o capital do investidor?a) R$ 5 000,00 d) R$ 8 000,00b) R$ 6 000,00 e) R$ 9 000,00c) R$ 7 000,00
X
Seja c o custo total do aparelho. A tabela seguinte mostra os custos doscomponentes importados e nacionais antes e depois do acréscimo.
Antes do acréscimo Depois do acréscimo
importados 20%c 1,20 9 20%c
nacionais 80%c 1,10 9 80%c
custo total 100%c 1,20 9 20%c 0 1,10 9 80%c
O custo total, após o acréscimo, passou a ser1,20 9 20%c 0 1,10 9 80%c = 0,24c 0 0,88c = 1,12c.Portanto, houve um acréscimo de 12%.
a) A função que representa o custo é:c(x) = 1 500 0 0,50n (sendo n = número de caixas)Aplicando-se R$ 15 000,00, temos:15 000 = 1 500 0 0,50n0,50n = 13 500n = 27 000 caixas
b) Se forem produzidas 50 000 caixas, o custo total de produção será0,50 9 50 000 0 1 500 = R$ 26 500,00. Para obter R$ 10 000,00 delucro, será necessário arrecadar 26 500 0 10 000 = R$ 36 500,00 e,nesse caso, o preço de venda de cada caixa deverá ser36 500 : 50 000 = R$ 0,73.
a) Mês Montante – parcela (em R$)
0 1 000,00
1 1 000,00 9 1,02 − 350,00 = 670,00
2 670,00 9 1,02 − 350,00 = 333,40
3 333,40 9 1,02 − 350,00 = −9,93
Consideramos que a primeira parcela deverá ser paga exatamente ummês após a data da compra, condição que não foi mencionada no enun-ciado.Portanto, João Augusto não raciocinou corretamente, pois não haverádinheiro suficiente na aplicação para saldar a última parcela.
b) Sendo x o valor à vista da mercadoria, o acréscimo sobre o saldo deve-dor 0,8x será igual a 0,1x.
A taxa trimestral de juros é, portanto,
0,1x0, 8x
12, 5%.=
A taxa anual de juro simples é 4 9 12,5% = 50%.
J1 = C1i1t1 Θ J1 = 0,30C 9 0,015 9 12 Θ J1 = 0,054CJ2 = C2i2t2 Θ J2 = 0,70C 9 0,02 9 12 Θ J2 = 0,168CLogo:J1 0 J2 = 1 7760,054C 0 0,168C = 1 7760,222C = 1 776C = R$ 8 000,00
X
023_028_CA_Matem_2 11.10.06, 15:5026
M9Noções de Matemática Financeira
27 Matemática
18 (UFLA-MG) João fez um empréstimo de R$ 2 000,00a juro de 5% a.m., incorporado mensalmente ao montan-te da dívida. Um mês depois João pagou R$ 500,00 e, doismeses após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual ovalor do último pagamento?Após 1 mês João devia:2 000 9 1,05 = R$ 2 100,00Pagou R$ 500,00, logo ficou devendo:2 100 − 500 = R$ 1 600,00Após 1 mês:1 600 9 1,05 = R$ 1 680,00Após 2 meses:1 680 9 1,05 = R$ 1 764,00Para liquidar o débito, João pagou R$ 1 764,00.
19 (UEM-PR) A taxa de juros de uma aplicação finan-ceira é de 2% a.m.; aplicando-se R$ 100,00 a essa taxa, éincorreto afirmar que:a) após 5 meses, haverá R$ 110,00.b) após 3 meses, haverá mais que R$ 106,00.c) depois de um mês, haverá R$ 102,00.d) se, no final de cada mês, forem retirados R$ 2,00, após
6 meses o máximo que poderá ser sacado será R$ 102,00.e) após 4 meses, o capital inicial terá sofrido um acrésci-
mo de mais de 8%.
X
a) IncorretoM = C(1 0 i)t
M = 100 9 (1 0 0,02)5
M = 100 9 1,025
M = R$ 110,40b) Correto
M = C(1 0 i)t Θ M = 100 9 (1 0 0,02)3 Θ M = R$ 106,12c) Correto
M = 100(1,02)1 Θ M = R$ 102,00d) Correto
Mês Montante (R$) Saldo (−R$ 2,00)
1 102,00 100,00
2 102,00 100,00
3 102,00 100,00
4 102,00 100,00
5 102,00 100,00
6 102,00
e) CorretoM = 100 9 1,024 Θ M = 108,24O acréscimo é de:
108 24100
,= 1,0824 Θ 8,24%
Investindo um capital x, a 7% de juros mensais, após t (meses) teremos:x 9 (1,07)t
O tempo para que o capital dobre é igual a:
20 (IBMEC) Investindo-se um capital a uma taxa dejuros mensais de 7%, em regime de capitalização com-posta, em quanto tempo o capital inicial dobrará?Considere: log 2 = 0,3; log 1,07 = 0,03.a) 10 meses c) 12 meses e) 14 mesesb) 11 meses d) 13 meses
X
x 2x9 = = = =( , ) loglog
log ,,,,
1 07 22
1 070 30 031 07
t t→
t = 10 meses
21 (UFMT) O senhor Silva planejou passar, com suafamília, as festas natalinas no Pantanal de Mato Grossoem uma pousada que cobra uma diária de R$ 450,00, in-clusos as refeições e os passeios turísticos. Fez uma reser-va por 7 dias, devendo efetuar o pagamento antecipado nodia 4/12/2003. Visando não sobrecarregar o orçamento domês de dezembro, decidiu poupar de duas maneiras:1. depositar R$ 2 000,00 no dia 3/1/2003, em uma aplica-
ção especial com taxa de juro composto de 1,5% a.m., aserem resgatados somente em 3/12/2003;
2. acumular bônus pelas compras efetuadas no cartão decrédito, podendo resgatá-los, em 3/12/2003, na formade duas diárias.
A partir dessas informações, é possível afirmar que o mon-tante reservado pelo senhor Silva com essas maneiras depoupar será:
Admita: (1,015)11 = 1,18.
a) suficiente para pagar a reserva mas não lhe sobrará paragastos extras.
b) suficiente para pagar a reserva e ainda lhe sobrarãoR$ 225,00 para gastos extras.
c) insuficiente e lhe faltarão R$ 110,00.d) suficiente para pagar a reserva e ainda lhe sobrarão
R$ 110,00 para gastos extras.e) insuficiente e lhe faltarão R$ 225,00.
X
Pelos dados, temos:1. aplicação de R$ 2 000,00 em 11 meses a juro composto de 1,5% a.m.
M = 2 000 9 (1,015)11
M = 2 000 9 1,18M = R$ 2 360,00
2. 2 diárias Θ 2 9 450,00 = R$ 900,00Valor da viagem: 7 9 450,00 = R$ 3 150,00Valor obtido pela poupança: 2 360,00 0 900,00 = R$ 3 260,00Logo, sobrarão:3 260,00 − 3 150,00 = R$ 110,00
023_028_CA_Matem_2 11.10.06, 15:5027
Noções de Matemática FinanceiraM9
28Matemática
25 (UFV-MG) Uma pessoa deposita uma quantia em di-nheiro na caderneta de poupança. Sabendo-se que o mon-tante na conta, após t meses, é dado por M(t) = C 9 20,01t, emque C é uma constante positiva, o tempo mínimo para dupli-car a quantia depositada é:a) 6 anos e 8 meses d) 9 anos e 3 mesesb) 7 anos e 6 meses e) 10 anos e 2 mesesc) 8 anos e 4 meses
Para duplicar a quantia depositada devemos ter:
C 9 20,01 9 t = 2 9 C Θ 0,01 9 t = 1 Θ t = 100 meses = 8 anos e 4 meses
22 (FGV-SP) Uma aplicação financeira rende juro de10% a.a., composto anualmente. Utilizando para os cál-culos as aproximações fornecidas na tabela, pode-se esti-mar que uma aplicação de R$ 1 000,00 seria resgatada nomontante de R$ 1 000 000,00 após:
23 (UFRJ) O senhor Feliciano contraiu, em um banco,um empréstimo de R$ 10 000,00 com juro de 3% a.m., ouseja, o saldo devedor é recalculado, a cada mês, acrescen-tando-se 3% ao antigo. Começou a pagar a dívida exata-mente um mês após tê-la contraído. Pagou, religiosamen-te, R$ 250,00 por mês, durante 10 anos.a) Calcule o saldo devedor após o primeiro pagamento.b) Indique, das opções a seguir, a que representa a situa-
ção do senhor Feliciano decorridos os 10 anos.I. A dívida foi quitada.
II. O senhor Feliciano deve ao banco menos deR$ 10 000,00.
III. O senhor Feliciano deve ao banco algo entreR$ 10 000,00 e R$ 16 000,00.
IV. O senhor Feliciano deve ao banco mais deR$ 16 000,00.
V. O banco deve dinheiro ao senhor Feliciano.
24 (Fuvest-SP) João, Maria e Antônia tinham, juntos,R$ 100 000,00. Cada um deles investiu sua parte por umano, com juro de 10% a.a. Depois de creditados seus jurosno final desse ano, Antônia passou a ter R$ 11 000,00 maiso dobro do novo capital de João. No ano seguinte, os trêsreinvestiram seus capitais, ainda com juro de 10% a.a.Depois de creditados os juros de cada um no final dessesegundo ano, o novo capital de Antônia era igual à somados novos capitais de Maria e João. Qual era o capital ini-cial de João?a) R$ 20 000,00 d) R$ 26 000,00b) R$ 22 000,00 e) R$ 28 000,00c) R$ 24 000,00
X
O montante resultante de uma aplicação de R$ 1 000,00 a juro de 10% a.a.,composto anualmente, durante t anos, é dado por:M = 1 000 9 (1 0 10%)t
Dessa forma:1 000 9 (1 0 0,10)t = 1 000 000 Θ 1,10t = 1 000
log 1,10t = log 1 000 Θ t 9 log 1110
= 3
t 9 (log 11 − log 10) = 3 Θ t 9 (1,04 − 1) = 3
t 3
0, 0434
100= = 9 anos
Portanto, t
34
= de século.
a) mais de 1 século d)
23
de século
b) 1 século e)
34
de século
c)
45
de século
x log x
2 0,30
5 0,70
11 1,04
a) O saldo devedor após o pagamento da primeira parcela é:S = 10 000 9 1,03 − 250 Θ S = R$ 10 050,00
b) O saldo devedor do senhor Feliciano crescerá mais do que R$ 50,00, acada mês. Em 10 anos, a dívida será superior a10 000 0 50 9 120 = R$ 16 000,00.Portanto, a opção IV é a correta. O senhor Feliciano deve ao bancomais de R$ 16 000,00.
X
Sejam j, m e a os capitais iniciais, em reais, de João, Maria e Antônia,respectivamente.Inicialmente, de acordo com o enunciado, tem-se:j 0 m 0 a = 100 000Após um ano, tem-se:1,1a = 11 000 0 2,2jE após dois anos, tem-se:1,21a = 1,21j 0 1,21m Θ a = j 0 mAssim:a 0 a = 100 000 Θ a = 50 000Portanto:1,1 9 50 000 = 11 000 0 2,2j Θ j = 20 000
X
X
023_028_CA_Matem_2 11.10.06, 15:5028
Progressões
29 Matemática
M10TERCEIRÃO FTDTERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO FTD
M10
TERCEIRÃO FTDProgressões
a) an = n − 3a
1 = 1 − 3 = −2
a2 = 2 − 3 = −1 (não satisfaz)
b) an = 2n2 − 4na
1 = 2 9 12 − 4 9 1 = −2
a2 = 2 9 22 − 4 9 2 = 0 (não satisfaz)
c) an = 4n − 6a
1 = 4 9 1 − 6 = −2
a2 = 4 9 2 − 6 = 2a3 = 4 9 3 − 6 = 6 (não satisfaz)
d) an = 3n2 − 5n
a1 = 3 9 12 − 5 9 1 = −2a2 = 3 9 22 − 5 9 2 = 2a
3 = 3 9 32 − 5 9 3 = 12
a4 = 3 9 42 − 5 9 4 = 28
e) an = 5n2 − 6 (não satisfaz)Logo, o termo geral é a
n = 3n2 − 5n.
1 (Unifor-CE) Considere a seqüência (an), na qualn 7 Μ − {0} e a1 = −2, a2 = 2, a3 = 12, a4 = 28 etc. Otermo geral dessa seqüência é um dos que estão dadosabaixo. Qual deles?a) an = n − 3 d) an = 3n2 − 5nb) an = 2n2 − 4n e) an = 5n2 − 6c) an = 4n − 6
X
• Os termos da seqüência an = 3n 0 2, 1 < n < 5 (n 7 Μ) são:a1 = 3 9 1 0 2 = 5a
2 = 3 9 2 0 2 = 8
a3 = 3 9 3 0 2 = 11a4 = 3 9 4 0 2 = 14a
5 = 3 9 5 0 2 = 17
• A soma dos termos que são primos é:a1 0 a3 0 a5 = 5 0 11 0 17 = 33
2 (Unifesp-SP) A soma dos termos que são números pri-mos da seqüência cujo termo geral é dado por an = 3n 0 2,para n natural, variando de 1 a 5, é:a) 10 b) 16 c) 28 d) 33 e) 36X
3 (UERN) A seqüência de números positivos(x, x 0 10, x2, ...) é uma PA, cujo 10o termo é:a) 94 b) 95 c) 101 d) 104 e) 105
PA: (5, 15, 25, ...)a1 = 5; r = 10a10 = a1 0 9r = 5 0 9 9 10 Ι a10 = 95
x’ = 5x” = −4 (não convém)
(x, x 0 10, x2, ...) Θ PA de números positivos
( )x
x xx x0 =
0− − =10
220 0
22→
x =
±1 92
a) 597 b) 600 c) 601 d) 604 e) 607
f(0) = 1f(n 0 1) = f(n) 0 3, então f(200) é:
4 (MACK-SP) Se f(n), n 7 Μ, é uma seqüência defini-da por:
12
3
X
Como a1 = f(0); a2 = f(1); a3 = f(2), temos:f(200) = a
201 Θ a
201 = a
1 0 200r
a201 = 1 0 200 9 3 = 601f(200) = 601
f(0) = 1n = 0 Θ f(1) = f(0) 0 3 = 1 0 3 = 4n = 1 Θ f(2) = f(1) 0 3 = 4 0 3 = 7n = 2 Θ f(3) = 7 0 3 = 10
(1, 4, 7, 10, ...) PAa1 = 1r = 3
X
Caderno de
Atividades
029_034_CA_Matem_2 11.09.06, 19:3729
ProgressõesM10
30Matemática
a3 − a1 = −8a4 0 a2 = −12
X
O 1o termo dessa progressão é:a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
a3 − a1 = −8a4 0 a2 = −12
5 (UFRN) Numa PA de termo geral an, tem-se que
12
31
23 Θ
a1 0 2r − a1 = −8a1 0 3r 0 a1 0 r = −12
12
3 Θ2r = −82r1 0 4r = −12
12
3
2r = −8 Θ r = −4 e 2a1 0 4(−4) = −122a1 = 4a
1 = 2
6 (PUC-SP) Considere as seqüências (1, 4, 7, 10, ..., 67)e (8, 12, 16, 20, ..., 104). O número de termos comuns aessas duas progressões é:a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9X
Admitindo que as duas seqüências são progressões aritméticas, temos:• (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58,
61, 64, 67)e• (8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, ..., 104)
Os termos comuns são: 16, 28, 40, 52 e 64.Assim, o número de termos comuns a essas duas progressões é 5.
7 (UFPE/UFRPE) Nos quilômetros 31 e 229 de uma ro-dovia estão instalados telefones de emergência. Ao longoda mesma rodovia e entre esses quilômetros, pretende-seinstalar 10 outros telefones de emergência. Se os pontosadjacentes de instalação dos telefones estão situados a umamesma distância, qual é essa distância, em quilômetros?
Devemos ter:an = a1 0 (n − 1)r229 = 31 0 (12 − 1)rr = 18Portanto, a distância é igual a 18 km.
8 (Vunesp-SP) Em 5 de junho de 2004, foi inauguradauma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da inaugura-ção, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, o núme-ro de fregueses que passaram a freqüentar a pizzaria cres-ceu em PA de razão 6, até que atingiu a cota máxima de136 pessoas, a qual tem se mantido. O número de sábadosque se passaram, excluindo-se o sábado de inauguração,para que a cota máxima de fregueses fosse atingida pelaprimeira vez, foi:a) 15 d) 18b) 16 e) 26c) 17Do enunciado, temos a PA (40, 46, ..., 136), de razão 6.Assim o número n de sábados que se passaram desde a inauguração atéatingir a cota máxima pela primeira vez pode ser obtido por:an = a1 0 (n − 1)r136 = 40 0 (n − 1) 9 6n = 17Excluindo-se o sábado da inauguração, o número de sábados que se pas-saram para que a cota máxima fosse atingida pela primeira vez foi 16.
X
9 (UEL-PR) Interpolando-se sete termos aritméticosentre os números 10 e 98, obtém-se uma PA cujo termocentral é:a) 45 b) 52 c) 54 d) 55 e) 57X
Termo central: a5
a5 = a1 0 4r = 10 0 4 9 11 Ι a5 = 54
7 termos
(10, , 98)
a1 = 10 a1 0 8r = a9
a9 = 98 10 0 8r = 98
n = 9 8r = 88r = ? r = 11
14
24
3
029_034_CA_Matem_2 11.09.06, 19:3730
Progressões
31 Matemática
M1010 (UFRJ) Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinhouma mesada de R$ 300,00 por mês. Riquinho, que é mui-to esperto, disse a seu pai que, em vez da mesada deR$ 300,00, gostaria de receber um pouquinho a cada dia:R$ 1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada dia, R$ 1,00a mais que no dia anterior. Seu Juca concordou, mas, aofinal do primeiro mês, logo percebeu que havia saído noprejuízo. Calcule quanto, em um mês com 30 dias,Riquinho receberá a mais do que receberia com a mesadade R$ 300,00.
Em 30 dias Riquinho receberá:1 0 2 0 3 0 4 0 ... 0 30 (PA de razão 1)A soma desses termos é:
S
a a n
2n
1 n=
0( )
S
(1 30) 30
230=
0 9
S30 = 465ouS
30 = R$ 465,00
Portanto, Riquinho receberá a mais:465 − 300 = R$ 165,00
11 (Fatec-SP) Dois viajantes partem juntos, a pé, deuma cidade A para uma cidade B, por uma mesma estra-da. O primeiro anda 12 quilômetros por dia. O segundoanda 10 quilômetros no 1o dia e daí acelera o passo, emmeio quilômetro a cada dia que segue.Nessas condições, é verdade que o segundo:a) alcançará o primeiro no 9o dia.b) alcançará o primeiro no 5o dia.c) nunca alcançará o primeiro.d) alcançará o primeiro antes de 8 dias.e) alcançará o primeiro no 11o dia.• O primeiro viajante anda 12 km por dia. Ao final de n dias, terá andado
(12n) km.• O segundo viajante anda, por dia, distâncias que, em km, são termos
da PA (10; 10,5; 11; ...; an; ...), em quea
n = 10 0 (n − 1) 9 0,5 Θ a
n = 0,5n 0 9,5
Ao final de n dias, terá andado:
(10 0, 5n 9, 5)n
219, 5n 0, 5n
2
20 0=
0
• O segundo alcançará o primeiro quando
19, 5n 0, 5n2
20= 12n Θ 0,5n2 − 4,5n = 0 Θ n = 9, pois n . 0.
X
12 (UFMA) Chicão, professor do DEMAT/UFMA, com-prou um computador e contraiu uma dívida no valor deR$ 4 200,00, que deverá ser paga em 24 prestações men-sais em PA. Após o pagamento de 18 prestações, há umsaldo devedor de R$ 1 590,00. Qual o valor da primeiraprestação?
S
a a 24
224
1 24=
0 9( ) Θ 4 200 = 12(a
1 0 a
24) Θ a
1 0 a
24 = 350
S
a a 18
218
1 18=
0 9( )Θ 4 200 − 1 590 = 9(a1 0 a18) Θ a1 0 a18 = 290
Daí, vem:
a
a
1
1
a 23r 350 2a 23r 350
a 17r 290 2a 17r 290
6r 60r = 10
1 1
1
1
0 0 = 0 =
0 0 =0 =
=
→
Logo:2a
1 0 23r = 350 Θ 2a
1 0 230 = 350 Θ a
1 = 60
A primeira prestação é igual a R$ 60,00.
13 (Vunesp-SP) Uma pessoa resolve caminhar todos osfinais de tarde. No 1o dia de caminhada, ela percorre umadistância de x metros. No 2o dia, ela caminha o dobro doque caminhou no 1o dia; no 3o dia, caminha o triplo doque caminhou no 1o dia, e assim por diante. Consideran-do o período do 1o ao 25o dia, ininterruptos, ela caminhouum total de 243 750 metros.a) Encontre a distância x percorrida no 1o dia.b) Verifique quanto ela terá percorrido no 30o dia.
Do enunciado, temos a PA: (x, 2x, 3x, ...)a) a
1 = x, a
25 = 25x e S
25 = 243 750
S
a a
2
(x 25x)25
2243 75025
1 25 =
0 0=
( )→
25 Θ x = 750 m
b) No 30o dia, ela terá percorrido:a30 = 30x Θ a30 = 30(750) = 22 500 m
−
029_034_CA_Matem_2 11.09.06, 19:3831
ProgressõesM10
32Matemática
14 (Unemat-MT) Um condomínio residencial, recém-inaugurado, apresentou um consumo de água de 2 500 L(litros) em seu primeiro dia. No primeiro mês de funcio-namento, ocorreu um aumento diário de 115 L. Podemosafirmar:1 O consumo de água no 23o dia foi de 5 100 L.2 O consumo total desse mês, com 31 dias, foi de 130 975 L.3 O consumo médio diário foi de 4 275 L.4 No 10o dia do mês o consumo foi de 3 535 L.
1. FalsoA PA é: (2 500, 2 615, 2 730, ...)a23 = a1 0 22r Θ a23 = 2 500 0 22 9 115 Θ a23 = 5 030 L
2. Verdadeiroa31 = a1 0 30r Θ a31 = 2 500 0 30 9 115 Θ a31 = 5 950 L
S
a a n
2 S
(2 500 5 950) 31
231
1 31
31
=
0=
0 9( )→ Θ
S31 = 130 975 L
3. FalsoO consumo médio foi de:130 975 : 31 = 4 225 L
4. Verdadeiroa
10 = a
1 0 9r Θ a
10 = 2 500 0 9 9 115 Θ a
10 = 3 535 L
15 (UFG) Deseja-se pintar com tintas de cores preta eamarela, alternadamente, um disco no qual estão marca-dos círculos concêntricos, cujos raios estão em PA de ra-zão 1 m. Pinta-se no primeiro dia o círculo central do dis-co, de raio 1 m, usando 0,5 L de tinta preta. Nos dias se-guintes, pinta-se a região delimitada pela circunferênciaseguinte ao círculo pintado no dia anterior. Se a tinta usa-da, não importando a cor, tem sempre o mesmo rendi-mento, a quantidade total de tinta amarela gasta até o21o dia, em litros, será de:a) 100,0 d) 199,5b) 105,0 e) 220,5c) 115,5
O círculo central pintado de preto tem área igual a:P1 = πR2 Θ P1 = π 9 12 Θ P1 = π m2
Para pintar π m2 gasta-se 0,5 L de tinta.
X
1 1 1 1
A2
A1
P
P
A primeira coroa circular pintada de amarelo tem área igual a:A1 = π 9 22 − π 9 12 Θ A1 = 3π m2
Para pintar 3π m2 gasta-se 3 9 0,5 = 1,5 L de tinta.A segunda coroa circular pintada de amarelo tem área igual a:A2 = π 9 42 − π 9 32 Θ A2 = 7π m2
Para pintar 7π m2 gastam-se 7 9 0,5 = 3,5 L de tinta.Para a terceira coroa circular pintada de amarelo, temos:A3 = π 9 62 − π 9 52 Θ A3 = 11π m2
Gastam-se 11 9 0,5 = 5,5 L de tinta.Assim, temos a PA:
1,5; 3,5; 5,5; ...; ––––↓ ↓ ↓ ↓
2o dia 4o dia 6o dia 20o diaDurante 10 dias ele usou tinta amarela.Assim, temos:a
10 = a
1 0 (n − 1)r Θ a
10 = 1,5 0 (10 − 1) 9 2 Θ a
10 = 19,5 L
A quantidade total de tinta amarela gasta é igual a:
S
a a n
2 S
(1, 5 19, 5) 10
2 S 105 Ln
1 n
10 10=
0=
0 9=
( )→ →
16 (UENF-RJ) Dois corredores vão se preparar para par-ticipar de uma maratona. Um deles começará correndo8 km no primeiro dia e aumentará, a cada dia, essa distân-cia em 2 km; o outro correrá 17 km no primeiro dia eaumentará, a cada dia, essa distância em 1 km. A prepara-ção será encerrada no dia em que eles percorrerem, emquilômetros, a mesma distância.Calcule a soma, em quilômetros, das distâncias que serãopercorridas pelos dois corredores durante todos os diasdo período de preparação.
an
1442443
8 0 (n − 1) 9 2 = 17 0 (n − 1) 9 1 → n = 10Portanto, no 10o dia.
• Distância percorrida pelo corredor 1:
S km
10
8 26 10
2170=
0 9=
( )
• Distância percorrida pelo corredor 2:
S km'
( )10
17 26 10
2215=
0 9=
Logo, a soma das distâncias será:S10 0 Sδ10 = 170 0 215 = 385 km
• Corredor 1: (8 km, 10 km, 12 km, ...) PA de razão 2 e a1 = 8Corredor 2: (17 km, 18 km, 19 km, ...) PA de razão 1 e b
1 = 17
Para que a preparação seja encerrada, devemos ter:bn
144424443
029_034_CA_Matem_2 11.09.06, 19:3832
Progressões
33 Matemática
M10
21 (PUC-SP) Numa PG, a diferença entre o 2o e o 1o
termo é 9 e a diferença entre o 5o e o 4o termo é 576.O 1o termo da progressão é:a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9X
� : � Θ q3 = 64 Ι q = 4Substituindo em �, vem: a
1(4 − 1) = 9 Ι a
1 = 3.
a2 − a1 = 9a5 − a4 = 576
12
3
a1q − a1 = 9a
1q4 − a
1q3 = 576
12
3 Θa1(q − 1) = 9 �
a1q3(q − 1) = 576 �
12
3
a) A quantidade de tábuas na pilha, em função do número de vezes em quese repetiu a operação descrita, é dada pela seqüência (a
n) = (1, 2, 4, 8, ...),
uma PG de razão 2.Após a nona operação, a quantidade de tábuas na pilha é a
9 = 1 9 28 = 256.
b) A altura da pilha será de 256 9 0,5 = 128 cm = 1,28 m.
Determine, ao final de 9 dessas operações:a) quantas tábuas terá a pilha;b) a altura, em metros, da pilha.
18 (Unesp-SP) Várias tábuas iguais estão em uma ma-deireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-seuma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeiravez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas jáhouveram sido colocadas anteriormente.
Pilha na 1a vez Pilha na 2a vez Pilha na 3a vez
19 (Unicap-PE) Os números que representam, emgraus, os ângulos internos de um quadrilátero estão emPG de razão 2. Qual o valor, em graus, do menor dos ân-gulos internos?
Sejam ε, ψ, υ e τ os ângulos internos do quadrilátero. Portanto:ε 0 ψ 0 υ 0 τ = 360)
Como (ε, ψ, υ, τ) é PG de razão 2, temos:ε 0 2ε 0 4ε 0 8ε = 360)
15ε = 360) Θ ε = 24)
17 (UFPI) Os números 2, x e (12 0 x) formam nessaordem uma PG. Sendo x um número positivo, podemosafirmar que:a) x = 6 d) x = 24b) x = 10 e) x = 36c) x = 12
Devemos ter:
x2
12 xx
=0
x2 = 24 0 2xx2 − 2x − 24 = 0
X
xδ = 6ouxφ = −4 (não serve)
20 (UDESC) Numa PG, o 3o termo é igual a −4, o
5o termo igual a −1 e o 8o termo é igual a −
18
.
Encontre o 1o e o 2o termos dessa PG. Caso não for possí-vel, justifique.
Do enunciado, temos:a3 = −4 Θ a1q
2 = −4 �a
5 = −1 Θ a
1q4 = −1 �
a8 = −
18
Θ a1q7 =
−
18
�
De � e �, vem:
a q
a q41
1
q4 q
14
q 12
ou q12
12
14 2
2=−
−= = = = −→ → →
Substituindo em �, vem:
q =
12
Θ a1q2 = −4 Θ a
1 9
14
= −4 Θ a1
= −16
q
12
a 141
= − 9→ = −4 Θ a1 = −16
Se q
12
= e a1 = −16, de �, vem:
− 9 = − − = −16
1128
18
18
18
→ (Verdadeiro)
Se q
12
= − e a1 = −16, vem:
− 9 − = −−
−= − = −16
12
18
16128
18
18
18
7
→ → (Falso)
Portanto, na PG
− − − − − − − −16, 4, 2, 1, 12
14
18
...8, , , ,
a1
= −16 e a2
= −8.
029_034_CA_Matem_2 11.09.06, 19:3833
ProgressõesM10
34Matemática
22 (Cesesp-PE) Uma alga cresce de modo que a cada diaela cobre uma superfície de área igual ao dobro da cobertano dia anterior. Se essa alga cobre a superfície de um lagoem 100 dias, assinale a alternativa correspondente ao nú-mero de dias necessários para que duas algas da mesmaespécie da anterior cubram a superfície do mesmo lago.a) 50 dias c) 98 dias e) 43 diasb) 25 dias d) 99 diasX
Depois de n dias, essas duas algas cobriram uma área de:an = a1q
n − 1 = 2x 9 2n − 1 = x 9 2n
Fazendo an = a
100 Θ x 9 2n = x 9 299 Θ n = 99.
Duas algas levarão 99 dias para cobrir a superfície do lago.
1o dia: 2x2o dia: 4x3o dia: 8x... 1
44
24
43
(2x, 4x, 8x, ...) PGa1 = 2xq = 2
No 100o dia, a área coberta será: a100 = a1q99 = x 9 299.
Para duas algas, teremos:
Seja x a área coberta por uma alga no 1o dia.
a1 = x
q = 2Θ (x, 2x, 4x, 8x, ...) PGEntão: 2x — área coberta no 2o dia
4x — área coberta no 3o dia8x — área coberta no 4o dia 1
42
43
23 (Unifesp-SP) Um objeto parte do ponto A, no ins-tante t = 0, em direção ao ponto B, percorrendo, a cadaminuto, a metade da distância que o separa do ponto B,conforme figura. Considere como sendo de 800 metros adistância entre A e B.
a) Do enunciado, a distância percorrida, em metros, pelo objeto no enésimominuto é o elemento de uma PG cujo primeiro termo é 400 e a razão é12
. Assim, a distância percorrida ao final dos 10 primeiros minutos é:
S
400 1 12
1 12
800 1 0231 02410
10
=
−
−
= 9
S10
Λ 799,2Logo, a sua distância ao ponto B é inferior a 1 metro.
b) A distância percorrida após t minutos é:
d
400 1 12
1 12
t
t
=
−
−
(t 7 Μ)
d 800 800 12t
t
= −
Além disso, do enunciado, a velocidade se reduz linearmente; então, aaceleração é constante em cada período considerado. Assim, concluímos
que P P ; P P ; ...; P P ; ...0 1 1 2 t t 10
são arcos de parábolas.
Logo, o gráfico de f(t) é:
Desse modo, ao final do primeiro minuto (1o período) eledeverá se encontrar no ponto A1; ao final do segundo mi-nuto (2o período), no ponto A2; ao final do terceiro minuto(3o período), no ponto A3, e assim sucessivamente. Supo-nhamos que a velocidade se reduza linearmente em cadaperíodo considerado.
BA A1 A2 A3 A4
800 m
400 m200 m
100 m50 m
t (min)
dt (m)
1 2 3
400
P0
P1
P2
P3600700800
0
t dt0 01 4002 6003 700
a) Calcule a distância percorrida pelo objeto ao final dos10 primeiros minutos. Constate que, nesse instante, suadistância ao ponto B é inferior a 1 metro.
b) Construa o gráfico da função definida por “f(t) = distân-cia percorrida pelo objeto em t minutos”, a partir doinstante t = 0.
029_034_CA_Matem_2 11.09.06, 19:3834
Progressões
35 Matemática
M10
Como os lados dos quadrados formam uma PG de razão12
, as áreas
formam uma PG de razão14
.
a) a 4
1256
=
b)
a
a201
200
18
=
c) a1 0 a2 0 ... 0 ,a 10
13
d) O menor valor de k para o qual
a1 0 a2 0 ... 0 ak .
13
11 200
− é igual a 5
26 (UnB-DF) Na figura aolado, ak representa a área dok-ésimo quadrado sombrea-do, cujo lado é o dobro do ladodo (k 0 1)-ésimo quadrado,para k = 1, 2, 3, ...Com base na figura, julgue ositens que se seguem.
a1
a2
a3
12
12
12
12
Portanto, o menor valor de k é 5.
k = = ,514
11 024
1400
5
→
k = = .414
1256
1400
4
→
− . − ,14
1400
14
1400
→
k k
13
13
14
13
11200
− . −
k
Para que a a a a k1 2 3
13
11200
0 0 0 0 . −... ,
= − = − 9
13
114
13
13
14
k k
=−
−=
−
−
=a q
q
n
k
11
1
14
114
114
( )
d) Verdadeiro, pois a1 0 a2 0 a3 0 ... 0 ak =
=
−
−
= 9 − = − 9 ,
14
114
114
13
114
13
13
14
13
10
10 10
c) Verdadeiro, pois a1 0 a2 0 a3 0 ... 0 a10 =
a q
q1
101
1
9 −
−=
( )
b) Falso, pois
a
a
a q
aq201
200
200
200
14
= = = .
a) Verdadeiro, pois
a a q4 1
3
2 312
14
1256
= = 9 =
.
24 (FGV-SP)
a) Resolva a equação x
x x x− 0 − 0 =
4 16 648... ,em
que o 1o membro é a soma dos termos de uma PG infi-nita.
b) Numa PG infinita, a soma dos termos de ordem par
é 10
3, ao passo que a soma dos termos de ordem
ímpar é 20
3. Obtenha o 1o termo e a razão dessa
progressão.
x xx
114
854
8− −
= = =
→ → 10
b) (a1, a1q, a1q2, a1q
3, a1q4, ...) PG infinita
1o a a q a q
1 12
14 20
30 0 0 =...
a
qa1
2 11203
3 20 1−
= 9 = 9 −→ ( q )2 �
2o a q a q a q
1 13
15 10
30 0 0 =...
a q
qa q1
2 11103
3 10 1−
= 9 = 9 −→ ( q )2 �
Fazendo � : �, vem:
3
3
10 1
20 112
1
1
2
2
a q
a
q
qq=
−
−=
( )
( )→
Em �: .3 20 1
12
51
2
1a a= 9 − =
→
a) A seqüência
xx x x
, , , , ...− −4 16 64
é uma PG em que
a x e q
1
14
= = − . Logo: x
x x x− 0 − 0 =
4 16 648...
25 (MACK-SP) Na seqüência de números reais (log3 x,x, k, 3, log3 y, y), os termos de ordem ímpar formam umaPA e os de ordem par, uma PG. Então k é igual a:
a)
13
b) 2 c) 3 d) 1 e)
12
X
PG: (x, 3, y)32 = xy Θ xy = 9 �
De � e �, vem:32k = 9 Θ 32k = 32
2k = 2 Ι k = 1
PA: (log3 x, k, log
3 y)
2k = log3 (xy) Θ xy = 32k � k
x y=
0log log3 3
2 →
devemos ter:
035_036_CA_Matem_2 11.09.06, 19:4135
ProgressõesM10
36Matemática
27 (FGV-SP) A figura indica infinitos triângulosisósceles, cujas bases medem, em centímetros, 8, 4, 2, 1, ...
• d é a soma dos infinitos termos da PG (8, 4, 2, 1, ...).
Assim,
d =
−
8
1 12
Θ d = 16.
• A soma das áreas dos infinitos triângulos sombreados é igual à soma
dos termos da PG 3h, 3h2
, 3h4
, ... .
Dessa forma,
3h
1 12
51 h172
−
= =→ .
• Daí, conclui-se que a área S do retângulo de lados h e d é
S = 16 9 172
Θ S = 136.
X
Sabendo que a soma da área dos infinitos triângulos som-breados na figura é igual a 51, pode-se afirmar que a áreado retângulo de lados h e d é igual a:a) 68 d) 153b) 102 e) 192c) 136
h
d
8 4 2 1 ...
...
d
4 6 3
8 4 2 1
...
...
...
h
32
28 (Cefet-PR) Nas seqüências:
a en = log ; log , ; log ; ...1 0 001 7291
3
bn = − − −
19
13
1; ; ; ... ,
a diferença entre o 10o
termo de “an” e o 9o termo de “bn” é:
a) −756 c) 702 e) 270b) −270 d) 756
Sendo então:log ; log , ; log ,1 0 0 001 3 729 613
= = − = −
an = (0, −3, −6, ...) PA com a1 = 0 e r = −3
bn
= − − −19
13
1, , , ...
PG com b e q1
19
3= − =
a10 = a1 0 9r Θ a10 = 0 0 9 9 (−3) = −27
b9 = b1q8 Θ b9 =
− 919
38
= −36 = −729
a10 − b9 = −27 − (−729) = 702
X
29 (Fuvest-SP) Uma PA e uma PG têm, ambas, o 1o
termo igual a 4, sendo que os seus 3os termos são estrita-mente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o 2o ter-mo de PA excede o 2o termo da PG em 2. Então, o 3o termodas progressões é:a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
Substituindo � em �:4q2 = 2(4q − 2) 0 44q2 − 8q = 0q2 − 2q = 0q = 0 (não convém) ou q = 2a3 = 4q2 = 4 9 22 = 16O 3o termo da PG é 16.
PA: (4, 4 0 r, 4 0 2r, ...)PG: (4, 4q, 4q2, ...)
4 0 2r = 4q2
(4 0 r) − 4q = 2
12
3
4q2 = 2r 0 4 �
r = 4q − 2 �
12
3Θ
X
30 (IBMEC-SP) O departamento de Arqueologia daUniversidade de Oxford mantém em sua biblioteca umacoleção de aproximadamente 500 000 papiros, todos commais de 1 000 anos de idade, cujo conteúdo começou a serdesvendado a partir de 2002, utilizando-se uma técnicachamada imagem multiespectral, desenvolvida pela Nasa.Se um computador, munido de um sistema de inteligên-cia artificial, conseguir decifrar o conteúdo de cada umdesses papiros, sempre gastando a metade do tempo queprecisou para decifrar o papiro anterior e, considerandoque o primeiro papiro seja decifrado por esse computadorem 10 anos, então toda a coleção de papiros citada serádecifrada em:a) aproximadamente 20 anos.b) aproximadamente 40 anos.c) aproximadamente 50 anos.d) aproximadamente 80 anos.e) aproximadamente 100 anos.A soma dos primeiros n termos de uma PG de razão q, q ϑ 1 e 1o termo a1é dada por:
S a 1 q1 q1
n
= 9−
−
Com a 10, q
121
= = e n = 500 000, temos:
S 10 1
12
1 12
500000
= 9
−
−
Como 12
500000
Λ 0, temos:
S 10 1
1 12
S 20 anosΛ 9
−
Λ→
X
035_036_CA_Matem_2 11.09.06, 19:4136
Trigonometria no Ciclo
37 Matemática
M11TERCEIRÃO FTDTERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO
TERCEIRÃO FTD
TERCEIRÃO FTD
M11
TERCEIRÃO FTDTrigonometria no Ciclo1 (EEM-SP) Quantos radianos percorre o ponteiro dashoras de um relógio de 1h 5min até 2h 45min?
Θ x = 2) 30δ Θ y = 22) 30δ
de 1 h p/ 2 h (ponteiro pequeno) = 30)
ε = 30) − x 0 y = 30) − 2) 30δ 0 22) 30δ = 50)
30) 60 minx 5 min
30) 60 miny 45 min
1211 1
10 2
9 3
8 4
76
x
y
5
180) π
50) z → z rad=
π518
2 (UFG) O mostrador do relógio de uma torre é dividi-do em 12 partes iguais (horas), cada uma das quais é sub-dividida em outras 5 partes iguais (minutos). Se o pontei-
ro das horas ( )OB mede 70 cm e o ponteiro dos minutos
( )OA mede 1 m, qual será a distância AB, em função doângulo entre os ponteiros, quando o relógio marcar 1 horae 12 minutos?
3 (UFPA) Aristarco de Samos, matemático que viveu porvolta de 300 a.C., querendo calcular as distâncias relativasda Terra ao Sol e da Terra à Lua, utilizou o seguinte racio-cínio: “No momento em que a Lua se encontra exatamen-te à meia-lua, os três astros formam um triângulo retân-gulo, com a Lua ocupando o vértice do ângulo reto. Sa-bendo a medida do ângulo que a visão da Lua forma com avisão do Sol, será possível determinar a relação entre asdistâncias da Terra à Lua e da Terra ao Sol”.Sabe-se que o ângulo formado pelas direções Terra–Lua eTerra–Sol, na situação de meia-lua, é de, aproximadamen-te, 89,85° e que a distância da Terra à Lua é de, aproxima-damente, 384 000 km. Para ângulos de medidas inferioresa 1° (um grau), uma boa aproximação para o seno doângulo é a medida do mesmo ângulo em radianos.
60 min 30°12 min x
Θ x = 6°
Portanto, med (AÔB) = 36°.
B
AO
B
AO
Aplicando a lei dos cossenos no #AOB:AB2 = OA2 0 OB2 − 2 9 OA 9 OB 9 cos (AÔB)AB2 = 12 0 (0,7)2 − 2 9 1 9 (0,7) 9 cos 36°AB2 = 1,49 − 1,4 cos 36°
AB 1, 49 1, 4 cos 36 m= − °1 m
36°0,7 m
B
O A
Utilizando esses dados e o raciocínio de Aristarco, pode-seconcluir que a distância da Terra ao Sol é de, aproximada-mente:a) 2 500 000 km d) 147 000 000 kmb) 3 800 000 km e) 7 000 000 000 kmc) 34 600 000 km
Lua Sol
Terra
90°
89,85°
X
180 —— rad0,15 ——
°°
π
ε
• ε =
9 π0,15 180
rad
• sen 0,15
384 000x ° =
0,15 180
384 000x 9 π
=
x180 384 000
0,15
=9
9 π
x Λ 147 000 000 km
384 000km
89,85°
Terra
x
LuaSol
0,15°
Caderno de
Atividades
037_042_CA_Matem_2 11.10.06, 16:3337
Trigonometria no CicloM11
38Matemática
6 (Unesp-SP) Uma máquina produz diariamente x de-zenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de pro-dução c(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximada-mente, em milhares de reais, respectivamente, pelas fun-
ções c (x) 2 cos
x6
e V(x) 3 2 sen= −π
=π
x12
,
0 < x < 6.
O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas depeças é:a) 500 c) 1 000 e) 3 000b) 750 d) 2 000Para x dezenas de certo produto, o lucro em milhares de reais é obtido por:L(x) = V(x) − c(x)
Para x = 3, resulta:
X
L sen( ) cos3 3 2312
23
6= 9 9
9 π− −
9 π
3 24
22
3 222
2 0 3 29 9π
− 0π
= 9 9 − 0 = − =sen
cos 1
Portanto, o lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas dessas pe-ças é 1 000.
7 (IBMEC) Valor monetário de uma ação é dado porV(t) = 120 0 80 cos (t), em que t é um número real positi-vo.De acordo com esse modelo, o valor monetário máximoque essa ação pode assumir é:a) 120 b) 200 c) 80 d) 40 e) 240V(t) = 120 0 80 9 cos (t)Para que o valor monetário seja máximo devemos ter cos (t) = 1, portanto:
Vmáx.
= 120 0 80 9 1 Θ Vmáx.
= 200
X
4 (UFSC) Qualquer que seja o número real x, ele obedeceà relação n < x , n 0 1, sendo n um número inteiro. Diz-seque n é a parte inteira de x e é denotada por E(x) = n.A partir dessa definição de E, calcular y na expressão:
y4E 299 2E log 127 E(sen 233 )
E78
E 2
5=
0 −
0
( ) ( ) °
( )
5 (PUC-SP) Na seqüência do termo geral
an = 5n 0 sen
n 2
9π
, com n 7 Μ*, a soma dos 20
primeiros termos de ordem ímpar é igual a:a) 1 800 d) 2 000b) 1 874 e) 2 024c) 1 896
Sendo:
•
289 299 324 17 299 18 E 299 17, , , , =→ → ( )• log
5 125 , log
5 127 , log
5 625 Θ 3 , log
5 127 , 4 Θ E(log
5 127) = 3
• −1 , sen 233° , 0 Θ E(sen 233°) = −1
•
0 78
1 E78
0, , =→
•
1 2 4 1 2 2 E 2 1, , , , =→ → ( )Então:
y4E 299 2E log 127 E(sen 233 )
E78
E 2
5=
0 −
0
( ) ( ) °
( )
y = 4 9 17 0 2 9 3 − (−1) = 75
X
Os 20 primeiros termos de ordem ímpar da seqüência são:
a1 = 5 9 1 0 sen
1 2
9π
= 5 0 sen
π
2 = 5 0 1
a3 = 5 9 3 0 sen
3 2
9π
= 15 0 sen
3π
2 = 15 − 1
a5 = 5 9 5 0 sen
5 2
9π
= 25 0 sen
5π
2 = 25 0 1
a7 = 5 9 7 0 sen
7 2
9π
= 35 0 sen
7π
2 = 35 − 1
a39
= 5 9 39 0 sen
39 2
9π
= 195 0 sen
39π
2 = 195 − 1
a1 0 a3 0 a5 0 a7 0 ... 0 a39 =
= (5 0 1) 0 (15 − 1) 0 (25 0 1) 0 (35 − 1) 0 ... 0 (195 − 1) =
=0 0 0 0
=0 9
=5 15 25 35 ... 195
Soma dos 20 termosde uma PA finita
(5 195) 20
22 0001 2444444 3444444
M M M M M M
037_042_CA_Matem_2 11.10.06, 16:3338
Trigonometria no Ciclo
39 Matemática
M1110 (UEL-PR) O gráfico que representa a função
y: ς Θ ς, y 2 cos 2x 1= 0 é:
X a)
1
2 6−2−40 x
y
2
3
−1−6 4
b)
1
2 6−2−40 x
y
2
3
−1−6 4
c)
1
2 6−2−40 x
y
2
3
−1−6 4
d)
1
26−2
−40 x
y
2
3
−1−6
4
e)
1
π−π 0 x
y
−1
• Gráfico de cos (2x)
• Gráfico de cos (2x)
1
2
π−π 0 x
y
1
π−π 0 x
y
• Gráfico de cos (2x)2
•
1
2
π−π 0 x
y
3
1
2 6−2−40 x
y
2
3
−1−6 4
8 (UEL-PR) Uma bomba-d’água aspira e expira água acada 3 segundos. O volume de água da bomba varia entreum mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. Dentre asalternativas a seguir, assinale a expressão algébrica para ovolume y de água na bomba, em função do tempo t.
a) y = 2 0 2 sen
π
3t
d) y = 3 0 sen
2π
3t
b) y = 2 0 2 sen
23
tπ
e) y = −3 0 2 sen
π
3t
c) y = 3 0 sen
π
3t
9 (FGV-SP) Um supermercado, que fica aberto 24 horaspor dia, faz a contagem do número de clientes na loja acada 3 horas. Com base nos dados observados, estima-seque o número de clientes possa ser calculado pela função
trigonométrica f(x) = 900 − 800 sen
x12
π
, em que f(x)
é o número de clientes e x, a hora da observação (x é uminteiro tal que 0 < x < 24).Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre onúmero máximo e o número mínimo de clientes dentrodo supermercado, em um dia completo, é igual a:a) 600 d) 1 500b) 800 e) 1 600c) 900
X
Seja V(t) = a 0 sen (bt) o volume de água na bomba, em função do tempo t.• Como −1 < sen a < 1 Θ 2 < 3 0 sen ε < 4.
Como 2 L < V(t) < 4 L Θ a = 3.• Como a bomba aspira e expira água a cada 3 segundos:
Período = 3 Θ
2bπ
= 3 Θ b =
23π
E V(t) = y = 3 0 sen
23
tπ
X
• Número máximo de clientes:
sen x12
1π
= −
sen x12
1x12
32
π= −
π=
π
→ 0 2kp Θ x = 18 0 24k Θ
Θ x = 18 h (0 < x < 24)
f(18) = 900 − 800 sen
1128π
= 900 0 800 = 1 700 clientes
• Número mínimo de clientes: sen
xπ
12
= 1
sen
xπ
12
= 1 Θ
x12 2
π=
π 0 2kπ Θ x = 6 0 24k Θ
Θ x = 6 h (0 < x < 24)
f(6) = 900 − 800 sen
612
π
= 900 − 800 = 100 clientes
Nmáx − Nmín = 1 700 − 100 = 1 600 clientes
Gráfico de cos (2x)y = 02 1
037_042_CA_Matem_2 11.10.06, 16:3439
Trigonometria no CicloM11
40Matemática
11 (PUCPR) A figura a seguir mostra parte de uma ondasenoidal que foi isolada para uma pesquisa:
12 (UFPR) Na figura abaixo está representado um pe-
ríodo completo do gráfico da função f(x) 3 sen
x4
=π
.
Para cada ponto B sobre o gráfico de f, fica determinadoum triângulo de vértices O, A e B, como na figura abaixo.Qual é a maior área que um triângulo obtido dessa formapode ter?
X
Seja y = a 0 b sen (cx 0 d) a função pedida.• Pelo gráfico: Im = [−1, 3]
−1 < sen ε < 1 Θ −2 < 2 sen ε < 2 Θ −1 < 1 0 2 sen ε < 3Logo, a = 1 e b = 2.
• O período da função (pelo gráfico) é:
133 3
4π
−π
= π .
2c
4 c12
π= π =→
• y = a 0 b sen (cx 0 d) = 1 0 2 sen
x2
d0
Pelo gráfico, quando x
3=
π, y = 1.
1 0 2 sen
π
0 =32
d 1
Θ 2 sen
π0
6 d
= 0
sen
π0
6 d
= 0 Θ
π
6 0 d = 0 Θ d =
−
π
6
Portanto, y = 1 0 2 sen
x2
6
−π
.
Qual das alternativas melhor representa a equação da ondapara o período apresentado?
a) y = 1 0 2 sen
x2 6
−π
d) y = 1 0 2 sen
x3
b) y = 1 0 2 sen
x2
e) y = 1 0 2 sen
x6
c) y = 1 0 2 sen
x2 3
0π
x
y
π
3
1
−1
3
0 4π
37π
3
10π
3
13π
3
X
• −1 < sen
x4
π< 1 Θ −3 < 3
sen
x4
π< 3
Logo, Im = [−3, 3].
• Período de f(x) =
2
4
π
π = 8
Logo, OA = 8.• A área do triângulo OAB será máxima quando y
B, ordenada do ponto B,
atingir seu maior valor. Portanto:
área máxima =
(OA) (y )
28 3
212B
9=
9=
a) 3π b) 6π c) 8 d) 9 e) 12
0
B
A
13 (Unifesp-SP) Considere as funções dadas por
f(x) sen
x2
=π
e g(x) = ax 0 b, sendo o gráfico de g for-
necido na figura.
O valor de f[g−1(2)] é:
a)
24
b)
12
c)
22
d)
32
e) 1
0
1
gy
x12
−
X
O gráfico da função inversa g−1(x) será uma reta simétrica à reta que re-presenta g(x), em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.
1
1
g(x)
y = x
g−1(x)
y
x
12
−
12
−
A função g−1(x) pode ser escrita na forma y = ax 0 b.
Como os pontos (1, 0) e
0, 12
−
pertencem ao gráfico de g−1(x), temos:
(1, 0) Θ 0 = a 9 1 0 b Θ a = −b
0, 12
12
− −
→ = a 9 0 0 b Θ b =
−
12
e a
12
=
Portanto, g−1(x) =
12
x 12
x 12
− =−
g−1(2) =
2 12
12
−=
f
12
sen 4
22
=
π=
037_042_CA_Matem_2 11.10.06, 16:3540
Trigonometria no Ciclo
41 Matemática
M1116 (UnB-DF) Estudando-se o fluxo de água em um pon-to do estuário de um rio, determinou-se que a água fluipara o oceano na vazão v, em milhões de litros por hora, emfunção do tempo t, em horas, de acordo com a equação
v(t) = A 0 B sen (wt),
em que A, B e w são constantes reais positivas, e t > 0. Avazão na qual a água do rio flui para o oceano varia porcausa das marés. Na maré baixa, a água flui mais rapida-mente, com vazão máxima de 20 milhões de litros porhora, e, na maré alta, ela flui mais lentamente, com vazãomínima de 4 milhões de litros por hora. Nessa região, otempo entre duas marés altas é igual a 12 horas e 24 mi-nutos. Com base nessas informações, escolha apenas umadas opções a seguir e faça o que se pede.a) Calcule o valor do coeficiente A.b) Calcule o período, em minutos, da função v.c) Determine o valor de t, em minutos, quando
10h < t < 22h, para o qual v(t) é máxima.
14 (Unesp-SP) No hemocentro de um certo hospital, onúmero de doações de sangue tem variado periodicamen-te. Admita que, nesse hospital, no ano de 2001, esse nú-mero, de janeiro (t = 0) a dezembro (t = 11), seja dado,aproximadamente, pela expressão:
S(t) = ι −
− πcos
( )t 1
6
com ι uma constante positiva, S(t) em milhares e t emmeses, 0 < t < 11. Determine:a) a constante ι, sabendo que no mês de fevereiro houve
2 mil doações de sangue;b) em quais meses houve 3 mil doações de sangue.
15 (ITA-SP) Sejam f e g duas funções definidas por
f(x) e g(x)
= =−
−
212
3 13 12
( )
sen xsen x
, x 7 ς.
A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g éigual a:
a) 0 b) 2 c)
14
d)
12
e) 1X
b) Houve 3 mil doações de sangue quando:
a) Em fevereiro, tem-se t = 1 e
S(1) 1 2 3.= ι −− π
= ι − = ι − = ι =cos( )
cos1 1
60
→
t − 1 = 3 0 6n Θ t = 4 0 6n Θ t = 4 ou t = 10, pois 0 < t < 11
cos( ) ( )
,t t
n n− π
=− π
=π
0 π 7 Β1
60
16 2
→
S(t) = ι −− π
= −− π
=cos( )
cos( )t t1
63
16
3
•
g(x) =
−
12
3 12
sen x
g(x) é mínimo para sen2 x = 1; assim:
• f(x) = =− −
2 23 1 3 1
2( ) sen x sen x
f(x) é mínimo para sen x = −1; assim:
fmín.
= = =9 − −
−2 214
3 1 1
2 2( )
gmín.
= = =
9 −12
12
14
3 1 1 2
• A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é: 14
14
12
0 = .
• k = 0 Θ t = 3,1 horas (não convém, pois 10 h < t < 22 h)• k = 1 Θ t = 15,5 horas Θ t = 930 min
a) De acordo com a equação v(t) = A 0 B sen (wt), verifica-se que:
−1 < sen (wt) < 1 Θ A − B < A 0 B sen (wt) < A 0 B4 < A 0 B sen (wt) < 20
A − B = 4A 0 B = 20
Θ A = 12 e B = 8
12
3 Θ
Θ
12
3
b) O período p da função v(t) é o tempo entre duas marés altas, isto é,p = 12 horas e 24 minutos Θ p = 744 min.
c) O período p da função v(t) = 12 0 8 sen (wt) é dado por:
p
w ww=
π π= =
π2 212 4
531
→ →,
Portanto, v(t)
v(t) será máximo quando
= 0π
12 8531
sen t
.
531
t2
2k , k tπ
=π
0 π 7 Β = 0 7 Β→ 3110
625
k k, .
037_042_CA_Matem_2 11.10.06, 16:3641
Trigonometria no CicloM11
42Matemática
I. Verdadeira. sen 40) , sen 50)
No 1o quadrante, a função seno éestritamente crescente, portanto40) , 50) Θ sen 40) , sen 50)
17 (Fatec-SP) Sobre as sentenças
I. sen 40) , sen 50)
II. cos 190) . cos 200)
III. tg 60) = tg 240)
é correto afirmar que somente:a) I é verdadeira. d) I e II são verdadeiras.b) II é verdadeira. e) I e III são verdadeiras.c) III é verdadeira.
II. Falsa. cos 190) . cos 200)
No 3o quadrante, a função cossenoé estritamente crescente, portanto190) , 200) Θ cos 190) , cos 200).
X
sen
50)40)
cos190)
200)
III. Verdadeira. tg 60) = tg 240)
tg tg tg240 60 180 60 3) = ) 0 ) = ) =( ) →
60)
tg
240)
18 (Unicamp-SP) Sejam ε, ψ e υ os ângulos internosde um triângulo.a) Mostre que as tangentes desses três ângulos não po-
dem ser, todas elas, maiores ou iguais a 2.b) Supondo que as tangentes dos três ângulos sejam nú-
meros inteiros positivos, calcule essas tangentes.
b) ε 0 ψ = 180) − υ Θ tg (ε 0 ψ) = −tg υ
Sendo ε, ψ e υ ângulos internos de um triângulo, então:
a) tem-se ε 0 ψ 0 υ = 180) �
E = (sec x − cos x) 9 (cossec x − sen x) 9 (tg x 0 cotg x)
19 (UCDB-MS) Simplificando a expressãoE = (sec x − cos x) 9 (cossec x − sen x) 9 (tg x 0 cotg x),obtém-se:a) E = sen x c) E = tg x e) E = 1b) E = cos x d) E = 0
X
tg ε > 2 Θ ε . 60)
tg ψ > 2 Θ ψ . 60) Θ ε 0 ψ 0 υ . 180)
tg υ > 2 Θ υ . 60)
se
14
24
3
o que contradiz a equação �. Logo, as tangentes dos três ângulos nãopodem ser, todas elas, maiores ou iguais a 2.
Ex
xsen x
sen xsen x
xx
sen x= − 9 − 9 0
1 1cos
coscos
cos
Ex
xsen x
sen xsen x x
sen x x=
−9
−9
01 12 2 2 2coscos
coscos
Esen x
xx
sen x sen x x= 9 9
9=
2 2 11
coscos
cos
tg ε 0 tg ψ 0 tg υ = tg ε 9 tg ψ 9 tg υ
Supondo as tangentes dos três ângulos números inteiros e positivos eque não podem ser simultaneamente maiores ou iguais a 2, então ne-cessariamente uma delas deve ser igual a 1.Assim sendo, fazendo tg ε = a, tg ψ = b e tg υ = 1,tem-se a 0 b 0 1 = ab Θ ab − a − b = 1a(b − 1) − (b − 1) = 2 Θ (a − 1) 9 (b − 1) = 2(a − 1 = 1 e b − 1 = 2) ou (a − 1 = 2 e b − 1 = 1)(a = 2 e b = 3) ou (a = 3 e b = 2), pois a,
b 7 Β ∗
0.
tg tg
tg tgtg
ε 0 ψ
− ε 9 ψ= − υ
1
20 (UFAM) Sabendo que a seqüência
cos x sen x
22
tg x9 9
é uma PG, nessa ordem, então
todos os valores de x no intervalo [0, 2π] são:
a)
π π
3 ou
23
d) −
π π
6 ou
56
b)
π π
6 ou
36
e)
π π
4 ou
34
c)
43
ou 76
π π
X
Se a seqüência (cos x, sen x, 22
tg x) é uma PG, temos:
sen2 x = cos x 9 22
9 tg x Θ sen2 x = 22
9 sen x Θ sen x = 22
,
supondo sen x ϑ 0.
Para x 7 [0, 2π], x
4 ou x
34
=π
=π
.
037_042_CA_Matem_2 11.10.06, 16:3642
Trigonometria no Ciclo M11
43 Matemática
Em questões como a 21, a resposta é dada pela soma dosnúmeros que identificam as alternativas corretas.
21 (UFMS) A questão a seguir trata de trigonometria efunções trigonométricas. Assinale a(s) alternativa(s)correta(s):(01) sen 300° . 0(02) sen2 70° 0 sen2 160° = 1(04) Os possíveis valores reais de m para que se possa ter
cos x
5 m3
=−
são tais que 2 < m < 8.
(08) Se a figura a seguir representa o gráfico, no sistemacartesiano xOy, da função f: [0, 2p] Θ ς, definida porf(x) = a 9 cos (bx), então a = 3 e b = 6.
22 (UFSC)(01) Um poste na posição vertical, colocado num plano ho-
rizontal, encontra-se a 3 m de uma parede plana e ver-tical. Nesse instante, o Sol projeta a sombra do postena parede e essa sombra tem 17 m de altura. Se a altu-ra do poste é de 20 m, então a inclinação dos raiossolares, em relação ao plano horizontal, é de 45°.
(02) Se sen (a)
13
= , então
sen (25π 0 a) − sen (88π − a) =
23
.
(04) Os gráficos das funções f(x) = sen (4x) e
g(x)
2x3
4
= − 0π
, têm exatamente três pontos em
comum, para x no intervalo
0, 2π
.
(08) Para ser verdadeira a desigualdadetg (x) 9 sec (x) , 0, x deve estar localizado no 2o ouno 4o quadrante.
(16) No intervalo {x 7 ς |0 < x < 2π}, a equação
cos2 x
12
= |cos x| tem seis raízes.
x
y
−3
3
2π
01. Incorreta, pois sen 300° = −
32
.
02. Correta, pois sen 160° = sen 20° =
= cos 70°, portanto sen2 70° 0 cos2 160° = sen2 70° 0 cos2 70° = 1
04. Correta, pois −1 < cos x < 1 Θ −1 <
5 m3
− < 1 Θ
Θ −3 < 5 − m < 3 Θ −8 < −m < −2 Θ 2 < m < 8.08. Incorreta, pois pelo gráfico temos:
• Im = [−3, 3] Θ a = 3
• Período p
23
=π
Θ b = 3
16. Correta, pois cos2 x = 12
|cos x| Θ |cos2 x| −
12
|cos x| = 0
• |cos x| = 0 Θ x
2 ou x
32
=π
=π
• |cos x| =
12
x3
ou x3
ou x 3
ou x3
→ =π
=π
=π
=π2 4 5
Portanto: 2 0 4 0 16 = 22
Da semelhança entre os triângulos:
x17
x 320
=0
Θ x = 17 m
E no triângulo menor:
tg ε =
sombrax
1717
= = 1 Θ ε = 45°
poste
sombra
3 m x
ε
02. Incorreta, pois:
sen (25π 0 ε) = sen (88π − ε) Θ sen (25π 0 ε) − sen (88π − ε) = 0
0
25π 0 ε 88π − ε
ε
25π ≡ π
0 ≡ 2π ≡ 88π
04. Correta, pois os gráficos de f(x) e g(x) no intervalo
0, 2π
são dados
por:
08. Incorreta, pois
tg x 9 sen x , 0 Θ
sen xcos x
1
cos x 0
sen xcos x2
9 , → , 0 Θ sen x , 0,
pois cos2 x . 0 (+ x 7 ς). Logo, se sen x , 0, então x deve estar no 3o
ou 4o quadrantes.Portanto, 1 0 4 = 5
π
8
1f(x)
g(x)
−1
0 π
4π
23π
4
01. Correta, pois:
043_046_CA_Matem_2 11.10.06, 16:5843
Trigonometria no CicloM11
44Matemática
23 (Fuvest-SP) Se ε está no intervalo
02
,π
e satis-
faz sen4 ε − cos4 ε = 14
, então o valor da tangente de ε é:
a)
35
b)
53
c)
37
d)
73
e)
57
Assim:
sen4 4 1
4ε − ε =cos
( cos ) ( cos )sen sen2 2 2 2 1
4ε 0 ε 9 ε − ε =
sen2 2 1
4ε − ε =cos
Portanto: tgsen
e tg pois22
2
53
53
02
ε =ε
ε= ε = ε 7
π
cos, , .
X
sen2 2 1
4ε − ε =cos
sen2 ε 0 cos2 ε = 1
14
24
3
Θ sen2 5
8ε =
cos2 3
8ε =
14
42
44
3
24 (UFSCar-SP) Sendo sen cos ε 0 ε =
15
,
a) determine sen ε e cos ε;b) represente no círculo trigonométrico todos os ângulos
ε que satisfazem a igualdade dada.a)
Substituindo os valores em �:
Para sen ε = Θ ε = −
45
35
cos .
Para sen ε = − Θ ε =
35
45
cos .
b) Podemos ter:
sen ouε = − ε =
35
45
cos
sen2 ε 0 cos2 ε = 1 sen ε 0 ε =cos
15
cos ε = − ε15
sen �
14
24
3 sen2 ε 0 cos2 ε = 1 �
14
24
3
Θ
sen sen sen sen2
2
215
1 25 5 12 0ε 0 − ε = ε − 9 ε − =
→
sen ou senε = ε = −
45
35
sen ε
cos ε
1P1
−1
−1
1A
ε
45
35
− sen eε = ε = −
45
35
cos
ε = AP1, tal que
sen ε
cos ε
1
P2
−1
−1
1A
ε45
35
−
ε = AP2, tal que
ou
0 − sen θ 0 0 0 cos θ = 0
12
32
25 (UFCE) Sabendo que cos θ =
32
e que
θ = −12
sen , podemos afirmar corretamente que
X
cos :θ 0
π0 θ 0
π
2 2
sen é igual a
a) 0 c)
32
12
0 e) − 0
32
12
b) − −
32
12
d)
32
12
−
cos θ 0π
0 θ 0π
2 2
sen
cos cos cos cosθ 9
π− θ 9
π0 θ 9
π0
π9 θ
2 2 2 2sen sen sen sen
b)
tgsen a b
a bsen a b a sen b
a b sen a sen b(a b)0 =
0
0=
9 0 9
9 − 9
( )cos ( )
cos coscos cos
27 (FGV-SP) Conhecidas as relações trigonométricascos (a 0 b) = cos a 9 cos b − sen a 9 sen b esen (a 0 b) = sen a 9 cos b 0 sen b 9 cos a:a) obtenha, justificando, a expressão de cos 2x em função
de cos x;b) obtenha, justificando, a expressão de tg (a 0 b) em fun-
ção de tg a e tg b.a) cos (2x) = cos (x 0 x) = cos x 9 cos x − sen x 9 sen x
cos2 x − sen2 x = cos2 x − (1 − cos2 x) = 2 9 cos2 x − 1
sen aa
sen bb
sen aa
sen bb
tg a tg btg a tg b
cos cos
cos cos
0
− 9
=0
− 91
1
sen a b a sen ba b
a b sen a sen ba b
9 0 9
9
9 − 9
9
cos coscos cos
cos coscos cos
26 (UFJF-MG) Considere as expressõesM = cos a 0 cos b e N = sen a − sen b. Sendoa 0 b = 120), o valor de M2 0 N2 é:a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 10X
e 2 cos a 9 cos b − 2 sen a 9 sen b2 (cos a 9 cos b − sen a 9 sen b)= 2 cos (a 0 b)Então:M2 0 N2 = 2 0 2 cos (a 0 b)M2 0 N2 = 2 0 2 9 cos 120) = 1
M2 0 N2 = (cos a 0 cos b)2 0 (sen a − sen b)2
M2 0 N2 = cos2 a 0 2 cos a cos b 0 cos2 b 0 sen2 a − 2 sen a sen b 0 sen2 b
1
1
043_046_CA_Matem_2 11.10.06, 16:5944
Trigonometria no Ciclo M11
45 Matemática
29 (UERJ) Considere o ângulo segundo o qual um ob-servador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele seaproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproximamais 100 m, como mostra o esquema abaixo.
A altura da torre, em metros, equivale a:a) 96 b) 98 c) 100 d) 102
160 m
torre
observadorx 2x 4x
100 m
X
Os triângulos ADE e ACD são isósceles, pois 2x e 4x são, respectivamen-te, seus ângulos externos.AD = DE = 160 m e AC = CD = 100 m
• No # ABD: sen (2x) = h
160
• No # ABC: sen (4x) = h
100 Θ 2 sen (2x) 9 cos (2x) =
h100
2 9 h
160 9 cos (2x) =
h100
Θ cos (2x) = 8
10
• Da relação fundamental:sen2 (2x) 0 cos2 (2x) = 1
sen2 (2x) 0 8
10
2
= 1
sen2 (2x) = 36
100 Θ sen (2x) =
610
(2x é agudo)
Como sen (2x) = h
160, então:
610
=h
160 Θ h = 96 m
160 m
A
BCDE
h
x
x
2x
2x
4x
100 m
28 (UFPel-RS) São cada vez mais freqüentes constru-ções de praças cujos brinquedos são montados com mate-riais rústicos.A criatividade na montagem de balanços, escorregadorese gangorras de madeira vem proporcionando uma opçãode lazer para as crianças.A figura abaixo mostra um brinquedo simples que pro-porciona à criançada excelente atividade física.
a) A
75°2 2
B C
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABC:BC2 = 22 0 22 − 2 9 2 9 2 cos 75° �Sendo cos 75° = cos (30° 0 45°) = cos 30° 9 cos 45° − sen 30° 9 sen 45°
cos 75
32
22
12
22
6 2
4° = 9 − 9 =
−
Substituindo em �, vem:
BC2 = 4 0 4 − 8 9
6 24
−
= 8 − 2 6 2−( )
Fazendo 6 = 2,4 e 2 = 1,4, temos:
BC2 = 8 − 2 9 (2,4 − 1,4) = 8 − 2 = 6 Θ BC = 6 Λ 2,4 m
b) A
2 2h
B C62
62
No triângulo AHC:
h2 0 62
2
= 22
h 4
64
104
52
2 = − = =
h 52
102
3,22
1,6 m= = Λ Λ
Considerando o texto, a distância AB e AC igual a 2,0 m, oângulo BÂC igual a 75° e seus conhecimentos, determine:a) a distância de B a C.
b) a altura do triângulo ABC, relativa ao lado BC.
A
BC
043_046_CA_Matem_2 11.10.06, 17:0045
Trigonometria no CicloM11
46Matemática
31 (MACK-SP) Se sen 2x 0
π=
218
, então cos xpode ser:
a)
38
b) −
18
c)
34
d) −
14
e)
58
X
sen x22
18
0π
=
sen (2x) cos (2x)9
π0
π9 =cos
2 218
sen
cos (2x) = 9 − = =
18
2 118
916
2 2→ →cos cosx x
cos x ou x= = −
34
34
cos
Ι cos x = −acos 2x = 2 cos2 x − 1 Θ cos 2x = 2a2 − 1
30 (UCSal-BA) Sabe-se que sen x −
π=
2
a. O va-
lor de cos 2x é:a) 2a2 c) a2 − 1 e) 2a2 − 1b) 1 − a2 d) 1 − 2a2
X
sen x sen x x a−π
= −π
− = − =2 2
cos
4 9 (1 − sen2 x)(sec2 x − 1) = 3 Θ 4 9 cos2 x 9 tg2 x = 3
32 (UFSCar-SP) O valor de x, 0
2< <
πx , tal que
4 9 (1 − sen2 x) 9 (sec2 x − 1) = 3, é:
a)
π
2b)
π
3c)
π
4d)
π
6e) 0X
33 (Fuvest-SP) Na figura abaixo, O é o centro da cir-
cunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela, o ângulo
ψ mede 60° e sen ε =
34
.
Sendo x0
2 3< <
π=
π, .tem-se x
4 334
32
22
229 9 = = = Σcos
cosx
sen xx
sen x sen x→ →
Como ψ = 60° e #OCB é isósceles (OC = OB = 1), temos:
med (OCB) med (OBC)
180 60
2ˆ ˆ= =
−° ° = 60°
Portanto, o #OBC é eqüilátero.a) Aplicando a lei dos senos no #AOB (supondo ε , 60°):
ABsen
1
sen OAB
AB
34
1
sen OAB sen OAB
34ABε
= = =ˆ ˆ
ˆ→ →
b) Considere o #AOB.
Sendo med (ˆ )OBA 120 ,= ° então
med (OÂB) 0 ε = 60° Θ med (OÂB) = 60° − ε
sen OÂB = sen (60° − ε) = sen 60° 9 cos ε − sen ε 9 cos 60° = 3
4AB
Sendo sen ε = 34
, temos:
34
2
0 cos2 ε = 1 Θ cos2 ε = 1316
Θ cos ε = 134
(ε é agudo)
Substituindo em �:
32
134
34
12
34AB
9 − 9 =
3
13 18
34AB
−=
a) Determine sen OÂB em função de AB.
b) Calcule AB.
O A
B
εψ
O
1
1
1
A
B
C
ε
ψ = 60°
60°60°
�
AB2
13 1
13 1
13 1
2 13 112
13 16
=−
90
0=
0=
0( )( )
( )
043_046_CA_Matem_2 11.10.06, 17:0046
Trigonometria no Ciclo M11
47 Matemática
34 (UFBA)
Com base no gráfico acima, que representa a função realf(x) = A 0 B cos (ax), com A, B e a 7 ς, pode-se afirmar:
(01) O período de f é igual a 2π.
(02) f
π=
0
122 2
2
(04) A soma das soluções da equação f(x) =
12
, no inter-
valo
π π
232
, ,
é igual a 2π.
(08) f(x) = 2 sen2 x
(16) f x 0
π= 0 9
41 2
sen x cos x
A partir do gráfico concluímos que f(x) = 1 − cos (2x), portanto:
01. Incorreta, pois período =
π= π
22
.
02. Incorreta, pois
fπ
= − 9π
= − =−
121 2
121
32
2 32
cos .
04. Correta, pois 1
12
− =cos (2x) →
→ →
cos (2x) temos= = Σ
π0 π 7
π π12 6 2
32
x k e para x ,
x =
π5
6 x =
π7
6ou , cuja soma é igual a 2π.
08. Correta, pois f(x) = 1 − cos (2x) = 1 − (1 − 2 sen2 x).
16. Correta,
(sen x 0 cos x)2 = 1 0 2 sen x cos x
Então, f(x) = 2 sen2 x.
f x sen x
sen x x
0π
= 0π
9 9 0
42
4
222
2
2
( cos )
Portanto: 4 0 8 0 16 = 28
35 (MACK-SP) A soma de todas as soluções da equa-ção tg a 0 cotg a = 2, 0 < a < 2π, é:
a)
54π
b)
23π
c)
32π
d)
74π
e)
73π
tg a 0 cotg a = 2 Θ
sen acos a
cos asen a
20 =
sen a cos a
sen a cos a 2
2 20
9= Θ 1 = 2 sen a 9 cos a
sen (2a) = 1 Θ 2a=
π
2 0 k 9 2π (k 7 Β)
a =
π
4 0 k 9 π (k 7 Β)
Para 0 < a < 2π, temos a =
π
4 ou a =
54π
, cuja soma vale 3
2π
.
0 x
y
2
3π
2π
2π−π 2π−2π π
2−
3π
2−
36 (UFCE) Encontre as soluções da equação:
9 − 2 cos2 x = 15 sen x, no intervalo −
π π
2 2, .
sen x = 7 (não convém)
• 9 − 2 cos2 x = 15 sen x9 − 2 9 (1 − sen2 x) = 15 sen x
2 sen2 x − 15 sen x 0 7 = 0 Θ
14
24
3
•
14
42
44
3
Θ
sen x =
12
sen x =
12
x 7 −π π
2 2,
x =π
6
X
047_049_CA_Matem_2 11.09.06, 19:5247
Trigonometria no CicloM11
48Matemática
37 (Unesp-SP) A figura mostra a órbita elíptica de umsatélite S em torno do planeta Terra. Na elípse estão assi-nalados dois pontos: o ponto A (apogeu), que é o ponto daórbita mais afastado do centro da Terra, e o ponto P(perigeu), que é o ponto da órbita mais próximo do centroda Terra. O ponto O indica o centro da Terra e o ânguloPÔS tem medida ε, com 0° < ε < 360°.
38 (FGV-SP) Suponha que a temperatura (em °F) deuma cidade localizada em um país de latitude elevada dohemisfério norte, em um ano bissexto, seja modelada pelaequação
T 50 sen
2366
(d 91, 5) 25= 9π
− 0
na qual d é dado em dias e d = 0 corresponde a 1o dejaneiro.a) Esboce o gráfico de T × d para 0 < d < 366.b) Use o modelo para prever qual será o dia mais quente
do ano.c) Baseado no modelo, determine em quais dias a tempe-
ratura será 0 °F.
a) T 50 sen
2366
(d 91, 5) 25 50 send
183 225= 9
π− 0 =
π−
π0
O gráfico de T × d é:A altura h, em km, do satélite à superfície da Terra, depen-dendo do ângulo ε, é dada aproximadamente pela função
h 64
7 980100 5 cos
10 2= − 0
0 ε9
Determine:a) a altura h do satélite quando este se encontra no perigeu
e também quando se encontra no apogeu;b) os valores de ε, quando a altura h do satélite é 1 580 km.
a) No perigeu: ε = 0°
h 64 7 980
100 5 cos 0 10 64
7 980100 5 1
10
200 km
2 2= − 00
9 = − 00 9
9 =
= − 0 9 =
°
( )64 76 10 12
No apogeu: ε = 180°
h 64 7 980
100 5 cos 180 10 64
7 980100 5 ( 1)
10 2 2= − 0
09 = − 0
0 9 −9 =
°
= (−64 0 84) 9 102 = 2 000 km
b) Se h = 1 580 km:
− 0
0 ε9 = − 0
0 ε=64
7 980100 5 cos
10 1 580 64 7 980
100 5 cos
2
→
= 15,8
7 980100 5 cos
0 ε = 79,8 Θ 100 0 5 cos ε =
7 980
79 8, = 100
5 cos ε = 0 Θ cos ε = 0Como 0 < ε < 360°, então ε = 90° ou ε = 270°.
(apogeu) A
(satélite) S
P (perigeu)
Figura fora de escala
O
ε
b) Pelo gráfico, d = 183. Como d = 0 corresponde a 1o de janeiro, d = 183corresponderá ao 184o dia, que em um ano bissexto é 2 de julho.
c) 50 sen
d183 2
25 0 sen d
183 212
9π
−π
0 =π
−π
= −
→
π−
π=
π0 π
d183 2 6
2k7
ou
π−
π=
π0 π
d183 2 6
2k11
, k 7 Β
d183
12 6
2k− = 07
d183
12 6
2k− = 011
d = 305 0 366k d = 427 0 366kPara k = 0 Θ d = 305 Para k = −1 Θ d = 61(não servem outros valores (não servem outros valores de k)de k)Então:d = 61 Θ 62o dia do ano Θ 2 de marçod = 305 Θ 306o dia do ano Θ 1o de novembro
d
T (°F)
61
91,5 183 274,5
305
366
1
25
−25
−1
75
0
047_049_CA_Matem_2 11.09.06, 19:5248