TeoriaExp1

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Universidade Federal de Pernambuco

Centro de Ciências Exatas e da Natureza

Departamento de Física

Física Experimental 1 – 1Semestre 2011

Capítulo 1

Medidas e incertezas I

Índice

1.1 Introdução: o que é uma medição?

1.2 Medidas e incertezas

1.3 Algarismos significativos e determinação de incertezas

1.4 Regras de arredondamento

1.5 Propagação de incertezas em medições indiretas

1.6 Apêndice: instrumentos de medida

- Paquímetro

- Micrômetro

1.7 Bibliografia

Objetivo

O objetivo deste primeiro capítulo é o de apresentar regras para expressar, de forma

adequada, os resultados de medidas experimentais. Para isso precisamos discutir o conceito de

algarismos significativos e das incertezas associadas ao processo ou instrumento de medida. A forma

como uma dada incerteza se propaga ao longo de uma série de medidas também será discutida e por

fim discutiremos o manuseio de alguns instrumentos de medida.

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1.1 Introdução: O que é uma medição?

Uma medição é o processo de comparar duas quantidades (comprimentos, massas, tempos

etc) de uma mesma grandeza, sendo uma dessas quantidades previamente definida como um padrão

e a outra supostamente desconhecida. O padrão corresponde exatamente a uma unidade da grandeza.

A unidade, por definição, é o nome com o qual designamos o valor medido daquela grandeza. Esse

processo de comparação é feito utilizando-se um instrumento de medição. As figuras 1.1 e 1.2

mostram o posicionamento de uma régua para a realização de uma medição do comprimento de uma

barra. Na figura 1.1, a menor divisão é de 1 cm. Na figura 1.2 a menor divisão é de 1 mm. O

resultado da comparação é um número que representa quantas unidades de comprimento padrão, ou

seja, da menor divisão, há na extensão da barra. Essa menor divisão também é chamada de resolução

do instrumento.

Unidades

Em toda medida experimental é fundamental a colocação das unidades de medida pertinentes.

Essas unidades são padrões bem definidos e catalogados. O sistema internacional de unidades

(abreviado por SI), ou sistema métrico, é formado por um conjunto de grandezas fundamentais. A

tabela 1.1 mostra algumas das unidades fundamentais do SI.

Grandeza Nome Símbolo

Comprimento Metro m

Massa Quilograma kg

Tempo Segundo s

Corrente elétrica Ampère A

Temperatura Kelvin K

Quantidade de matéria Mol Mol

Tabela 1.1: Unidades fundamentais do SI.

A maior parte das grandezas envolvidas na descrição dos fenômenos estudados em Física Geral 1 e 2

pode ser expressa a partir de apenas três grandezas fundamentais: comprimento, massa e tempo.

Comprimento – Define-se o metro como sendo a distância percorrida pela luz no vácuo durante o

intervalo de tempo de 1/299.729.458 de um segundo.

Massa – Define-se o quilograma como sendo a massa de um corpo padrão (um cilindro de platina-

irídio) depositado no Birô Internacional de Pesos e Medidas, em Sèvres na França.

Tempo – Define-se o segundo como sendo o tempo tomado por 9.192.631.770 oscilações, da luz de

um comprimento de onda especificado, emitida pelo átomo de Césio-133.

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1.2 Medidas e incertezas

Como foi visto, medir é comparar duas quantidades da mesma grandeza. Porém, mesmo que

o operador tenha muita habilidade com o instrumento de medição e por mais preciso que seja este

instrumento de medição, sempre há incertezas nos resultados das medidas. Assim, definimos que o

resultado da medição de uma grandeza m é dada por:

, (1.1)

onde m é a expressão para o resultado da medição, M é o valor da medida feita (essencialmente a

leitura do instrumento), e é a incerteza associada à medida. é uma quantidade positiva que

expressa o intervalo de validade da medida M; ou seja, se várias medidas de M são realizadas, o valor

da medição m deve estar dentro do intervalo compreendido entre e .

1.3 Algarismos Significativos e determinação de incertezas

Quando realizamos uma medição é importante apresentar o resultado com um número de

algarismos que tenha significado, ou seja, que os algarismos dispostos como resultado da medição

sejam confiáveis, dentro da incerteza do instrumento usado para a medida.

Os instrumentos permitem a determinação exata de um certo número de algarismos e, em

geral, permitem que o operador estime mais um algarismo, além daqueles dados pelo instrumento.

Por definição, os algarismos significativos de uma medida são os algarismos exatos acrescidos do

último, que é estimado (inexato), também chamado de algarismo duvidoso. Alguns autores

entretanto adotam como algarismos significativos apenas os algarismos exatos. No curso de Física

experimental 1 adotaremos como expressão do valor da medida todos os algarismos exatos

acrescidos do algarismo duvidoso, quando a estimativa for possível (Veremos que alguns

instrumentos não permitem a estimativa do algarismo inexato ou duvidoso). Para medir precisamos

saber usar o instrumento de medição, o que significa saber responder a pelo menos duas questões:

a) Quantos são os algarismos significativos de uma dada medida?

b) Qual a incerteza associada a esta medida?

As figuras a seguir irão nos ajudar na ilustração de alguns exemplos que servirão para fixação de

alguns conceitos antes de iniciarmos uma abordagem formal.

Exemplo 1

Considere uma régua graduada em centímetros, como a da figura 1.1, e um bloco (retângulo

sombreado) colocado junto à régua o qual deseja-se medir o comprimento. A resolução dessa régua é

de 1 cm que é, como já definido, a menor unidade de medida da escala da régua.

A leitura correta do valor medido, também como já discutido, deve ser o número de unidades

mínimas lido na régua acrescido de uma estimativa para a quantidade extra que está no limite abaixo

da resolução do instrumento. No exemplo devemos ler para o comprimento L do bloco: , onde 3,0 cm foi lido diretamente da régua (algarismos exatos) e 0,3 cm foi estimado

pelo experimentador (algarismo inexato ou duvidoso). Vale ressaltar que um outro experimentador

poderia ter estimado um valor diferente porém não muito distante de 0,3 cm. Finalmente, precisa-se

estabelecer qual incerteza está associada a essa medida. Como veremos mais adiante, convenciona-se

para o caso no qual o experimentador estima um algarismo duvidoso, além dos algarismos exatos

fornecidos pelo instrumento, utilizar como incerteza o valor da metade da resolução do instrumento.

4

71 kg

0 1 cm

2 3 4

Fig. 1.1

0 1 cm

2 3 4

Fig. 1.2

Em nosso caso esse valor é ½ cm = 0,5 cm. Finalmente podemos escrever, utilizando o formato da

eq. (1.1), a expressão da medida como

Note que a casa decimal da incerteza é a mesma do

algarismo duvidoso.

Exemplo 2

Considere uma outra régua graduada em milímetros como a da figura 1.2 abaixo, e o mesmo

bloco (retângulo sombreado) da figura 1.1, o qual deseja-se medir o comprimento, colocado junto à

régua. A resolução dessa régua é de 1 mm, que é a menor unidade de medida da escala. A leitura

correta do valor medido, também como já discutido, deve ser o número de unidades lido na régua

acrescido de uma estimativa para a quantidade extra que está no limite abaixo da resolução do

instrumento. Neste exemplo devemos ler para o comprimento L do bloco: , onde 3,40 cm foi lido diretamente da régua (algarismos exatos) e 0,06 cm foi estimado

pelo experimentador (algarismo inexato ou duvidoso). Vale ressaltar que outro experimentador

poderia ter estimado um outro valor próximo todavia não muito distante de 0,06 cm. Finalmente

precisa-se estabelecer qual incerteza está associada a essa medida. Como veremos mais adiante

convenciona-se para o caso no qual o experimentador pode estimar um algarismo duvidoso, além dos

algarismos exatos fornecidos pelo instrumento, utilizar como incerteza o valor da metade da

resolução do instrumento. Em nosso caso esse valor é ½ mm = 0,5 mm. Finalmente podemos

escrever, utilizando o formato da eq. (1.1), a expressão da medida como

Note, mais uma vez, que a casa decimal da

incerteza é a mesma do algarismo duvidoso.

Exemplo 3

Vamos investigar o caso em que o instrumento de medida não permite ao experimentador a

estimativa do algarismo duvidoso. Nessas situações o algarismo duvidoso é dado diretamente a partir

da resolução do instrumento. Considere uma balança digital que mede o valor de uma massa (ver

figura 1.3). O leitor indica 71 kg. Neste caso não há como fazer estimativas de algarismos

adicionais além dos impressos na tela. Dessa forma a incerteza da medida será a resolução do

instrumento que, neste caso, é de 1 kg. A expressão da medida será

.

Fig. 1.3

5

71,0 kg

Fig. 1.4

71

72 73

kg

Fig. 1.5

O algarismo duvidoso neste caso será o será o último algarismo que aparece no visor do instrumento

(Fig. 1.3) sem a possibilidade de estimativas adicionais.

Discutindo um pouco mais o exemplo acima, suponha que a leitura no painel da balança fosse

na verdade 71,0 kg como indicado na figura 1.4. Ao contrário do que se possa

imaginar, o zero colocado após a vírgula possui significado experimental. Neste

caso ele define a resolução do instrumento de medida que passa a ser 0,1 kg.

Sendo assim, a nova expressão da medida passa a ser:

Imagine agora uma outra balança (figura 1.5) com a mesma resolução da balança anterior

mas analógica, ou seja, uma balança que indica o resultado através de um ponteiro. Neste caso, um

algarismo extra poderá ser estimado. No caso da figura, o experimentador estimou 0,3 kg. Nesta

situação o valor da incerteza será a metade da resolução da balança, ou seja, ½ kg, e a expressão da

medida será

.

A seguir vamos apresentar formalmente as regras para determinação da incerteza e as normas para o

arredondamento de algarismos significativos.

Determinação da incerteza associada a uma única medida

Como já exposto, o resultado de uma medição é composto da medida e da incerteza

associada, expresso na forma da eq. (1.1). Para estimar as incertezas adotaremos alguns critérios ou

convenções que já foram utilizados nos exemplos acima:

Critério 1 – A incerteza na medida é sempre expressa com apenas um algarismo significativo. Se a

representação possuir mais de um algarismo significativo é necessário realizar um arredondamento.

As regras de arredondamento e alguns exemplos serão vistos na próxima seção.

Critério 2 – Se o instrumento NÃO permitir a avaliação do algarismo inexato ou duvidoso, este será

considerado como sendo o último algarismo, ou algarismo mais à direita, acessível através da leitura

com o instrumento. E, nestas condições, a incerteza é de uma unidade na posição do algarismo

inexato, ou seja, da resolução do instrumento.

Critério 3 – Se o instrumento permitir a avaliação do algarismo inexato e é a menor divisão de

unidade do instrumento utilizado, a incerteza, por convenção, será 2/ .

Obs: A palavra única no título deste item significa que para uma única medida realizada para uma

dada grandeza física, a incerteza associada, como discutido nos exemplos, é aquela fornecida pelo

equipamento de medida. Veremos nas próximas práticas que em certos tipos de experimentos outros

fatores, além da incerteza do equipamento, geram incertezas. Dependendo da natureza dessas

incertezas, métodos estatísticos tornam-se necessários.

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1.4 Regras de arredondamento

Vamos adotar as normas da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) para os

arredondamentos numéricos. As normas são dadas abaixo:

Regra 1 – Quando o algarismo a ser desprezado for inferior a 5, mantém-se os anteriores, ou seja, os

algarismos à esquerda, sem alteração.

Exercício Resolvido 1.1: Nas quantidades apresentadas, despreze o algarismo sublinhado.

a) m,l 54473 Solução: m,L 473

b) s,t 831121 Solução: s,T 1121

c) kg,m 907549 Solução: kgM 9

Regra 2 – Quando o algarismo a ser desprezado for superior a 5 ou igual a 5 seguido por um

algarismo diferente de zero, acrescenta-se uma unidade ao algarismo anterior.



b) s,t 061121 Solução: s,T 1131


Regra 3 – Quando o algarismo a ser desprezado for igual a 5, sem nenhum algarismo seguinte ou

seguido de zeros, se o algarismo anterior é ímpar, acrescenta-se uma unidade. Se o algarismo anterior

é par, ele permanece inalterado.



b) s,t 51121 Solução: s,T 1121


O material visto até este momento permite fazermos um exercício completo, partindo da

realização da medição e concluindo com a apresentação do resultado da medição, no formato

definido no item 1.2.

Exercício Resolvido 1.4: Observando as figuras 1.1 e 1.2, grafe as leituras das réguas para o

comprimento da barra, na forma da eq. 1.1, com o número correto de algarismos significativos.

Solução: Na régua da figura 1.1, a leitura é cml 4,31 . Na régua da figura 1.2, a leitura é

cml 47,32 . Note que o valor das leituras também depende da perícia do operador. Visto que a

régua é um instrumento que permite estimar o algarismo inexato, o Critério 3 deve ser aplicado na

estimativa da incerteza. No caso da figura 1.1 é cml 5,01 e no caso da figura 1.2 cml 05,02 .

Finalmente, aplicando o Critério 1 junto com as regras de arredondamento obtemos

cmL 5,04,31 e cm,,Lb 050473 .

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Exercício Resolvido 1.5: Escreva os dados, do problema que se segue, com as respectivas

incertezas.

Problema •1, volume 1 - Mecânica, capítulo 2, Fundamentos de Física, 7ª edição

Durante um forte espirro, seus olhos podem fechar por 0,50 s. Se você estiver dirigindo um carro a

90 km/h e espirrar tão fortemente, de quanto se desloca o carro durante o espirro?

Solução: O intervalo de tempo com olhos fechados é s,t 500 e, portanto, de acordo com o critério

3, a incerteza associada é s,t 010 . Da mesma maneira, a velocidade do carro é h/kmv 90 e a

incerteza associada é h/kmv 1 . Ou seja, a resposta final é s),,(t 010500 e

h/km)(v 190 .

Notação científica

A notação científica é uma forma de representação exponencial - , na qual m é

chamada mantissa (deve ser um número entre 1 e 10) e p a ordem de grandeza - utilizada para

acomodar números muito grandes (100000000000) ou muito pequenos (0,00000000001). Ela

também serve para representar os resultados experimentais de modo a eliminar ambiguidades ou até

equívocos relacionados ao número de algarismos significativos via representação decimal

convencional. Por exemplo, a maior distância observável do universo mede cerca de 740 000 000

000 000 000 000 000 000 m. Para valores como esses, a notação científica é mais adequada, pois

apresenta a vantagem de poder representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos. Por exemplo, a distância observável do universo, do modo que está escrito, sugere a precisão de 27

algarismos significativos. Mas isso pode não ser verdade (é pouco provável que haja 25 zeros

seguidos numa aferição).

Ex : ;

;

.

No exemplo acima demonstramos a forma compacta na qual números grandes ou pequenos podem

ser escritos usando a notação científica. Entretanto, a notação também deve observar o número de

algarismos significativos. Vejamos um exemplo de representação ambígua com respeito ao número

de algarismos significativos:

Ex: 310 (pode indicar dois ou três algarismos significativos). O zero pode ser um algarismo

significativo ou servir apenas para mostrar a posição decimal do algarismo. Em notação científica:

(três algarismos significativos),

(dois algarismos significativos),

ou seja, nessa notação, o número de algarismos do coeficiente da potência de 10 será o número de

algarismos significativos, mesmo que estes sejam zeros.

Ex: (1 algarismo significativo)

(4 algarismos significativos)

Podemos usar a notação científica também com o objetivo de escrever a incerteza com apenas um

algarismo significativo.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Algarismo_significativo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Universo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Probabilidade

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Ex:

, note que no exemplo também foi realizado

o arredondamento do último algarismo de acordo com as regras de arredondamento discutidas

anteriormente. Note que neste exemplo, na passagem intermediária, não adotamos o valor da

mantissa como estando entre 1 e 10. Essa quebra na definição será aceita no curso de Física

experimental 1.

1.5 Propagação de incertezas em medições indiretas

Em várias situações não é possível medir diretamente uma dada grandeza. Um exemplo seria:

como medir a força resultante, em uma dada direção, sobre uma partícula em movimento? Poder-se-

ia utilizar a segunda lei de Newton para solução do problema. Ou seja, medindo a massa e a

aceleração da partícula na direção de interesse, poderíamos calcular a força resultante. Contudo,

tanto a medida da massa como a medida da aceleração são afetadas pelas respectivas incertezas

associadas aos instrumentos de medida utilizados. Visto que os dados necessários para calcular a

força possuem incertezas, o valor calculado da força também é afetado por uma incerteza.

Conhecendo-se os dados originais e suas incertezas, qual o procedimento para calcular a incerteza

associada à força?

Regras para soma (subtração) e multiplicação (divisão).

Antes de apresentarmos o método de propagação de incertezas, vamos tratar rapidamente o caso em

que uma série de operações são realizadas com valores de grandezas medidas em que não se

conhece o valor das incertezas associadas nem o processo de medida utilizado. Esssas regras são

bastante úteis quando realizamos operações algébricas (soma, subtração, divisão, e multiplicação) e

necessitamos de uma estimativa do número de algarismos significativos do resultado.

Regra 1. Na multiplicação ou divisão, o número de algarismos significativos do produto ou

quociente, respectivamente, será igual ao número de algarismos significativos do elemento de menor

precisão, ou seja, com o menor número de algarismos significativos.

Ex: Suponhamos que duas grandezas foram medidas com instrumentos diferentes produzindo um

resultado que precisa ser multiplicado:

0,91 x 1,23 = 1,1193, desconsiderando momentaneamente as unidades, digamos que este foi o

resultado apresentado pela calculadora. Certamente um experimento utilizando uma única medida

feita com esses instrumentos não teria condições de produzir um resultado com um número de

algarismos significativos maior, ou seja, com uma incerteza menor, do que o de qualquer das

parcelas medidas. Com efeito, utilizando a regra 1 obtemos

Resultado correto = 1,1

pois a grandeza 0,91 possui dois algarismos significativos enquanto que 1,23 possui três algarismos

significativos.

Regra 2. Na soma ou subtração escolhemos o número de algarismos significativos para o resultado

como sendo igual ao número de algarismos significativos do elemento com o menor número de

termos após a vírgula.

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Ex: Suponhamos que duas grandezas foram medidas com instrumentos diferentes produzindo um

resultado que precisa ser subtraído:

A seta aponta para o valor da grandeza arredondado pelos critérios descritos em 2.

Propagação de incertezas através de linearização por derivadas parciais

Vamos apresentar agora um método para o cálculo da incerteza proveniente da operação

sobre várias grandezas cujas incertezas dos instrumentos e o processo de medida das grandezas

são conhecidos. Porém, vamos primeiro situar o problema do cálculo de derivadas em funções de

mais de uma variável.

Ex: Considere a função , pela regra do produto, a derivada da função com

relação à variável x é:

(1.2)

a não ser que alguma informação adicional seja fornecida, não sabemos resolver a última derivada

acima, pois não sabemos qual a dependência funcional de z com relação a x, ou mesmo se existe

alguma. Vamos agora tratar a mesma função usando o conceito de derivada parcial

(1.3)

A definição operacional de derivada parcial aplicada acima- note a diferença nos símbolos-

indica que a derivada deve ser tomada com relação a variável x, todavia considerando todas as

demais variáveis fixas, ou seja, constantes com relação àquela operação. Sendo assim

Utilizando o exemplo acima, tente imaginar o caso F = ma. Com este exemplo rápido, vamos agora a

uma definição formal: Suponha que a grandeza para a qual queremos calcular a incerteza associada

possa ser escrita como uma função das n grandezas originais, ix , das quais ela depende, na forma:

),...,,( 21 nxxxff (1.4)

Qual a variação infinitesimal em f , decorrente de variações infinitesimais das variáveis ix ?

Esta variação pode ser obtida da diferencial total da função f dada por:

n

n

dxx

fdx

x

fdx

x

fdf

...2

2

1

1

(1.5)

onde ix

f

é a derivada parcial da função f em relação a

ix .

Todavia, no mundo real, as variações não são infinitesimais, mas finitas. Supondo que as diferenças

são pequenas quando comparadas aos valores médios das grandezas ix , podemos escrever a eq. (1.5)

na forma aproximada:

10

n

n

xx

fx

x

fx

x

ff

...2

2

1

1

(1.6)

As quantidades ix

f

, na eq. (1.6), podem ser positivas, negativas ou nulas, porém, para facilitar as

operações e obter uma estimativa para a incerteza, mesmo de forma desfavorável, tomamos o valor

absoluto destas quantidades, de maneira que a eq. (1.6) torna-se:

n

n

xx

fx

x

fx

x

ff

...2

2

1

1

(1.7)

A eq. (1.7) juntamente com os critérios do item 1.3, são utilizados para calcular as incertezas

decorrentes de cálculos e conseqüentemente escrever o resultado da medição indireta, como descrito

no item 1.4, com o número correto de algarismos. Note que todos os cálculos realizados acima

supõem pequenas variações dos valores reais medidos. Do contrário, cálculos considerando

derivadas parciais em ordem superior devem ser conduzidos.

Exemplo 1: Consideremos a situação em que precisa-se calcular a área de uma superfície retangular.

A área é obtida a partir da medida dos lados L1 e L2 através do uso, por exemplo, de uma trena

métrica. Neste caso a função que queremos calcular é a função área

(1.8)

A incerteza no cálculo da área é certamente função da incerteza na medida dos lados da superfície e . Utilizando o método da diferencial total com derivadas parciais:

. (1.9)

Considera-se as incertezas em L1 e L2 dependentes do instrumento de medida, porém fixas. Note que

o sinal de igualdade acima não é válido em qualquer situação. Uma forma de verificar isso é simples.

Considere uma nova área medida com o máximo de incerteza possível

(1.10)

A partir da definição de ao desprezarmos os termos não-lineares da incerteza, ,

reproduziremos a expressão (1.9) obtida a partir do método da diferencial total. Daí percebemos que,

se as incertezas e forem muito grandes, nenhum termo poderá ser desprezado.

Dada a simplicidade do exemplo acima, poderia-se implementar o método da substituição

direta dos valores de uma dada medida, acrescidos de suas incertezas, para obter o resultado final

para incerteza propagada. Apesar do resultado ficar muito próximo daquele obtido pelo método da

diferencial total, este último, como será visto a seguir, permite a obtenção de uma fórmula geral

assim como a identificação da contribuição de cada grandeza para a incerteza total propagada. Dessa

forma, grandezas e incertezas que contribuem com a maior parte da incerteza final podem ser

identificadas e eventualmente corrigidas.

Concluímos que, para uma incerteza do instrumento fixa, se os comprimentos medidos são

grandes, a incerteza na área calculada também será grande. Todavia, essa comparação fica

complicada pelo fato da área calculada variar se, por acaso, os tamanhos medidos dos lados

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mudarem. Sendo assim, para um dado instrumento de medida, o eventual aumento da incerteza no

cálculo da área causado pelo aumento do tamanho dos lados é acompanhado de um aumento da área.

Por exemplo considere um aumento do dobro no valor dos dois comprimentos medidos teremos e

.

Sendo assim a grandeza mais adequada para comparação de incertezas será a incerteza

relativa ao valor da grandeza calculada. Divindo ambos os lados da expressão acima por A

(1.11)

Essa fórmula nos dá um resultado mais interessante, ou seja, a incerteza relativa depende do inverso

das grandezas medidas. Além de ser esta uma grandeza adimensional, ela pode ser comparada a

incertezas calculadas para superfícies de outros tamanhos.

Exemplo 2: Consideremos agora uma outra situação na qual queremos obter a densidade de um

dado composto a partir da medida de seu volume V e de sua massa m e suas respectivas incertezas e . Novamente, ambas as medidas carregam alguma incerteza devido ao equipamento

utilizado e nossa tarefa é descobrir como essas incertezas são transportadas para a incerteza da

grandeza que estamos interessados em calcular:

, (1.12)

(1.13)

Notemos o sinal negativo proveniente do processo de derivação. De agora em diante, vamos

considerar um limite superior para a incerteza obtida por esse método; sendo assim, consideramos o

módulo das derivadas

(1.14)

Novamente, dividindo ambos os lados pela densidade,

(1.15)

Podemos obter uma expressão geral para a propagação de incertezas desde que o formato da função

que queremos calcular a partir dos dados experimentais seja da forma

(1.16)

Para verificar as limitações da expressão geral acima, tente, por exemplo, calcular a incerteza

associada ao cálculo da função .

Existem algumas conclusões que podem ser tiradas das expressões obtidas para as incertezas

propagadas:

a) Como esperado, todas as contribuições de incertezas são lineares e, de acordo com nossos

critérios, sempre se somam.

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b) As incertezas vêm multiplicadas por algum termo função que é função do valor de uma

grandeza medida e essa dependência varia de acordo com a forma da função.

c) Note, por exemplo, a partir das expressões eq. (1.11) e eq. (1.15), que quanto maior o valor

da grandeza medida, comparado com sua incerteza, menor a contribuição da incerteza desta

grandeza para o valor da incerteza final.

d) Uma outra questão importante é que todas as grandezas medidas são independentes, ou seja, a

medida feita em uma delas, não altera o resultado da medida feita na outra grandeza. Note

que esta é uma condição que deve ser satisfeita para que o conceito de derivada parcial tenha

efeito.

Obs: Certamente, se o valor das incertezas for muito alto, uma propagação linear não será suficiente

para estimar o valor da incerteza final.

Estimativas de Erros

Quando uma medição é realizada, o valor obtido para a grandeza é, em geral, diferente do

valor de referência adotado para a grandeza. Em alguns casos, não há consenso sobre o valor de

referência. De forma geral, o desvio do valor de referência é o erro associado à medição. Desta

forma, para definir expressões para o cálculo de diferentes erros, precisamos definir como escolher o

valor de referência que adotaremos em diferentes situações.

Valor de Referência ou Valor Adotado

Para obter as estimativas de desvios cometidos em medições, o experimentador precisa

conhecer a priori o valor de referência da grandeza objeto da medição, chamado aqui de valor

adotado, aV . O conhecimento desse valor pode estar enquadrado em uma das três situações

relatadas a seguir:

a) O valor da grandeza é conhecido, constante, e universal. Exemplo: calor específico da água, a

velocidade da luz no vácuo, a constante de permissividade, etc. Neste caso, aV é o valor

definido para a grandeza.

b) O valor da grandeza foi medido, mais de uma vez, via técnicas mais sofisticadas que a técnica

particular que o experimentador esteja usando. Exemplo: a aceleração da gravidade, a

densidade de uma substância, o calor específico de substâncias (com exceção da água), etc.

Neste caso, a escolha do aV depende de uma pesquisa sobre os vários valores medidos bem

como as técnicas e métodos utilizados.

c) O valor da grandeza não é conhecido. Exemplo: o comprimento de uma barra, a massa de um

objeto, o período de um pêndulo simples, etc. Neste caso, o aV deve ser a média aritmética

de n medições da grandeza, com a média expressa com o número adequado de algarismos.

Esta situação será tratada em um capítulo posterior.

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Erro Absoluto, Relativo e Percentual

A partir da noção de valor adotado, Va, discutida acima, definiremos erro como a distância

entre o valor medido e o valor adotado. Essa distância pode ser aferida de diferentes maneiras:

O erro absoluto associado à i-ésima medida é definido como o desvio

ai VVE , (1.17)

onde aV é o valor adotado e

iV é o valor da i-ésima medida da grandeza.

O erro relativo, tendo como referência o valor adotado, associado à i-ésima medida é definido

como:

a

ai

relV

VVE

, (1.18)

Por sua vez, o erro percentual associado à i-ésima medida é definido com:

%E%E rel 100 . (1.19)

Atenção: Vale lembrar que a definição de erro é diferente da definição de incerteza. A primeira está

associada a desvios da medida realizada com relação a um valor adotado para a grandeza de

interesse. A incerteza é o intervalo de valores, definido pelo instrumento ou pelo método de medida,

em que uma dada grandeza pode ser encontrado.

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1.6 Apêndices

Apêndice 1

O Paquímetro

Na Figura 1 apresentamos uma ilustração de um Paquímetro. Esse instrumento é utilizado

para medir pequenas dimensões (o nosso de 6' mede até 15 cm) sendo, no entanto, sua maior

aplicação em medidas de diâmetros internos e externos, comprimentos de objetos, profundidade de

um furo ou depressão, etc. Todos esses tipos de medidas podem ser lidas em dois sistemas principais

de escala disponíveis: um localizado na base inferior do instrumento, em centímetros, e a outra na

superior, em polegadas.

Para ter uma resolução menor do que 1 mm, numa escala milimetrada, o paquímetro faz uso

de uma escala auxiliar denominada de NÔNIO ou VERNIER que pode fornecer uma resolução

menor do que 0,1 mm. Vejamos como funciona essa escala auxiliar que facilita a leitura de frações

da escala principal.

Na figura ao lado, ao ler a escala principal – ver

medida do ponto onde o zero do VERNIER toca a

escala principal - obtemos p = 87 mm. O VERNIER da

figura possui 10 divisões (se N é o número total de

traços incluindo o zero, N-1 é o número de divisões. No

caso em questão, N = 11).

Agora temos como menor unidade (ou divisão da escala principal) o milímetro, 1 mm. Pela

construção do paquímetro essa resolução da escala principal será dividida em intervalos iguais na

escala do VERNIER. Assim, cada divisão do VERNIER da figura é

mmd 1,010/1

A escala deste VERNIER, portanto, está em décimos de milímetros.

Para concluir o restante da leitura devemos contar o número de intervalos, d, para o traço do

VERNIER cuja posição coincide com algum traço da escala principal. No caso acima, o traço cuja

posição coincide com um traço da escala principal é o traço 9, que corresponde a 8 intervalos d (

Lembre-se, o número de traços inclui o zero). Sendo assim, a leitura total será o valor da escala

principal acrescido do número de intervalos referentes ao traço cuja posição coincide com algum

traço da escala principal. A leitura da medida feita pelo paquímetro será:

Mede

Pronfudidade

15

.8,87]1,0887[ mmmmdqpL

Para completar a expressão da medida precisamos saber qual a incerteza a leitura de L. Veja que a

menor variação que temos na medida de L é dado pela resolução do VERNIER, que no caso será

L=0,1mm. No paquímetro não temos como avaliar um valor menor que a resolução do VERNIER,

ou seja, não há como estimar valores entre os intervalos do VERNIER. Pelas regras de incerteza esse

é o valor que devemos acrescentar na expressão da medida. Finalmente temos:

L = 87,8 0,1 mm,

que é a expressão final da medida para o caso do paquímetro da figura. Vejamos um outro exemplo a seguir:

Na figura 7, temos um VERNIER de 20 divisões, ou N = 21 traços. Da escala principal

temos, novamente, 1mm como a unidade mínima de medida. Da figura obtemos p = 76 (mm) e q =

17. Temos então:

mmd 05,020/1

.85,76]05,01776[ mmmmdqpL

Observe que há duas escalas neste VERNIER. A superior fornece o valor de q o qual é aplicado nas

equações discutidas acima para o cálculo de L. Já a

escala inferior, que tem os valores da superior

divididos por 2, facilita a leitura, pois o valor lido já

está em centésimos de milímetros. Na leitura de L

teríamos L = 76mm + 0,85mm = 76,85mm. A

incerteza de L nessa escala, da mesma forma que na

anterior, será a resolução do VERNIER, isto é,

L=0,05mm. Temos finalmente:

L = 76,85 0,05 mm.

16

Apêndice 2

O Micrômetro

O micrômetro (ou parafuso micrométrico) é constituído por um parafuso de passo constante.

Uma rotação completa do parafuso corresponde a um deslocamento de um passo, p. Ele é usado para

medidas de dimensões espaciais com resoluções da ordem de 10 µm. Apesar de apresentar uma

resolução maior do que a do paquímetro, o micrômetro mostra-se um instrumento bem menos

versátil. As dimensões medidas não podem passar de alguns centímetros e devem corresponder

sempre a diâmetros externos. A figura abaixo mostra um micrômetro com cortes, evidenciando sua

estrutura interna.

Para se fazer uma medida usando um micrômetro, coloca-se o objeto cuja dimensão se quer

medir entre o fuso e o batente e o parafuso micrométrico é deslocado até que as extremidades

toquem o objeto. A maioria dos micrômetros possui uma peça especial, denominada catraca,

localizada na extremidade do parafuso. Quando o parafuso é acionado pela catraca e as pontas

encostam no objeto, esta peça alivia a pressão excessiva que o operador possa exercer sobre o objeto.

Assim, evita-se deformar o objeto a ser medido e poupa-se o micrômetro de sofrer tensões mecânicas

internas que possam deformá-lo. Isto evita também a ocorrência de erros aleatórios instrumentais. Ao

aliviar a pressão, a catraca produz um ruído característico de uma catraca comum. Para se utilizar o

instrumento, é necessário determinar a correção do zero, avançando as suas superfícies até que as

duas pontas estejam em contato, sob a pressão determinada pela catraca. Caso o zero na escala do

tambor não coincida com o zero da escala linear, a leitura deste valor deve ser corrigida em todas as

medidas efetuadas com este micrômetro.

O deslocamento do parafuso micrométrico é observado diretamente na bainha, que apresenta

uma escala graduada em milímetros, geralmente subdividida em intervalos de 0,5 mm, com as

marcações dos milímetros para o alto e as dos meio-milímetros para baixo.

0,320mm 17mm

0,5mm

17

O tambor, que proporciona a leitura dos demais algarismos, está fixo ao movimento do

parafuso. O princípio de funcionamento do micrômetro consiste em dividir o deslocamento de um

passo do parafuso por um número N (normalmente, N = 50 ou 100) de divisões, no movimento

circular do tambor. Por exemplo, se o passo do parafuso micrométrico for de 0,5 mm e o tambor

contiver 50 divisões, cada uma destas corresponderá a um deslocamento de 0,5 mm/50 = 0,01 mm.

No detalhe do micrômetro apresentado na figura acima, a leitura a ser feita é

L = 17,00 mm + 0,50 mm + 0,320 mm = 17,820 mm

onde as leituras “17,00 mm” e “0,50 mm” foram efetuadas na bainha, enquanto que a leitura “0,320

mm” foi efetuada no tambor.

A resolução do instrumento normalmente é indicada no próprio micrômetro. Entretanto, ela

pode ser deduzida do valor de meia subdivisão do tambor, já que podemos inferir um último

algarismo inexato em sua leitura. No exemplo dado, uma subdivisão vale 0,01 mm, como já vimos,

e, portanto, L = 0,005 mm, o que significa que a medida da dimensão será expressa por L = 17,820

± 0,005 mm. Os micrômetros de maior resolução utilizam uma escala de vernier para fazer a leitura

da bainha graduada.

1.7 Bibliografia

TeoriaExp1

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