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Assunto:NOES FUNDAMENTAIS exerc. cap 1 1) Achar um inteiro positivo de dois algarismos que seja igual ao qudruplo da soma dos seus algarismos.Resoluo:I) n = ab = 10a + b II) 10a + b = 4(a + b) 10a + b = 4a + 4b 6a = 3b 2a = bi) a = 1 b = 2 ii) a = 2 b = 4 iii) a = 3 b = 6 iv) a = 4 b = 8Ento todos os nmeros de dois algarismos que so iguais ao qudruplo da soma de seus algarismos so:12, 24, 36, 482) O produto de um inteiro positivo de trs algarismos por 7 termina direita por 638. Determinar esse inteiro.Resoluo 1: I) 638 = 91.7 + 1Como:i) 1000 = 7.142 + 4 ii) 2000 = 7.285 + 5 iii) 3000 = 7.428 + 4 iv) 4000 = 7.571 + 3v) 5000 = 7.714 + 2 vi) 6000 = 7.857 + 1 vii) 7000 = 7.1000viii) 8000 = 7.1142 + 6iv) 9000 = 7.1285 + 5x = 8638 = 7.1234Resoluo 2:7x4 = 2838 28 = 107x30 = 2107x34 = 238638 238 = 4007x200 = 14007.1234 = 86383) Determinar o inteiro n > 1 de modo que a soma1! + 2! + 3! + ... + n!seja um quadrado perfeito.Resoluo: I) Para n = 2 temos:1! + 2! = 1 + 2 = 3 que no um quadrado perfeito II) Para n = 3 temos:1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9 = 32,ou seja,n = 3 confere o enunciado do problemaIII) Para n = 4 temos:1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33que no um quadrado perfeitoComo1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720 ... vemos que depois de 4! todos os demais nmeros possuem 0 como dgito da unidade, implicando que para n > 4,1! + 2! + 3! + 4! + ... + n!termine em 3. Como no existe nenhum inteiro cujo quadrado termine em 3, a nica resposta para o problema n = 3.4) A soma dos quadrados de dois inteiros 3332 e um deles o qudruplo do outro. Achar os dois inteiros.Resoluo: I) a2 + b2 = 3332 II) a = 4b 16b2 + b2 = 3332 17b2 = 3332 b2 = 196 b = 14 a = 565) Achar os cinco inteiros positivos consecutivos cuja soma dos quadrados igual a 2010.Resoluo: S = (a 2)2 + (a 1)2 + a2 + (a + 1)2 + (a + 2)2 = a2 4a + 4 + a2 2a + 1 + a2 + a2 + 2a + 1 + a2 + 4a + 4 S = 5a2 + 10 = 2010 5a2 = 2000 a2 = 400 a = 20 18, 19, 20, 21, 226) Mostrar que o produto12345679 x 9 x k,sendok 0 um algarismo, kkk.kkk.kkkResoluo: 23 4 56 78 1 2 3 4 5 6 7 9 x 91 1 1 1 1 1 1 1 1 x kk k k k k k k k k1MATERIAL DISPONVEL NO SITE www.estudanteolimpico.com

Assunto:NOES FUNDAMENTAIS exerc. cap 1 7) Achar o menor inteiro cujo produto por 21 um inteiro formado apenas comalgarismos 4.Resoluo:Como21 = 3.7,ento um nmero da forma444...44que divisvel por 21, tem que ser divisvel por 3 e por 7.Para ser divisvel por 3 ento o nmero de dgitos tem que ser divisvel por 3.i) 444no divisvel por 21 ii) 444.444 = 21x21164Assim, o menor inteiro 211648) Mostrar que o produto de dois fatores entre 10 e 20 o dcuplo da soma do primeiro com as unidades do segundo, mais o produto das unidades dos dois.Resoluo: n1 = 1a = 10 + a n2 = 10 + b n1xn2 = (10 + a)(10 + b) = 100 + 10(a + b) + ab = 10[(10 + a) + b) + ab n1xn2 = 10(n1 + a) + ab9) Achar o menor inteiro positivo que multiplicado por 33 d um produto cujos algarismos so todos 7.Resoluo: Como33 = 3.11,ento o nmero de dgitos de777...77tem que ser divisvel por 3 (para ser divisvel por 3) e tambm por 2 (para ser divisvel por 11), implicando que o nmero de dgitos tem que ser divisvel por 6.777.777 = 33x2356910) Demonstrar por Induo Finita:a) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6, n NResoluo:I) 12 = 1(1 + 1)(2.1 + 1)/6 = 1.2.3/6 = 6 II) Suponhamos que exista um k N tal que12 + 22 + 32 + ... + k2 = k(k + 1)(2k + 1)/6III) 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k + 1)2 = k(k + 1)(2k + 1)/6 + (k + 1)2 = (k + 1)(2k2 + k + 6k + 6)/6 = = (k + 1)(2k2 + 7k + 6)/6 = (k + 1)(k + 2)(2k + 3)/6b) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = n2(n + 1)2/4, n Nc) 12 + 32 + 52 + ... + (2n 1)2 = n(4n2 1)/3, n Nd) 13 + 33 + 53 + ... + (2n 1)3 = n2(2n2 1), n Ne) 1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3, n Nf) 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n2 2 1/n, n Ng) a + aq + aq2 + ... + aqn = a(qn 1)/(q 1), n Nh) 2n > n2, n 5Resoluo: I) 25 = 32 e (5)2 = 25 25 > (5)2 II) Suponhamos que exista um k N (k > 5), tal que2k > k2III) 2.2k > 2k2 2k + 1 > k2 + k2 > k2 + 2k + 1 2k + 1 > (k + 1)2i) 2n > n3, n 10j) 4n > n4, n 5k) n! > n2, n 4Resoluo: I) (4)! = 24 e (4)2 = 16 II) Suponhamos que exista um k N (k > 5), tal quek! > k22MATERIAL DISPONVEL NO SITE www.estudanteolimpico.com

Assunto:NOES FUNDAMENTAIS exerc. cap 1 III) (k + 1).k! > (k + 1).k2 (k + 1)! > (k + 1)(k + 1) (k + 1)! > (k + 1)2l) n! > n3, n 611) Demonstrar, usando Induo Finita, que:a) 3n 1 divisvel por 2, n NResoluo: I)1n 1 = 0divisvel por 2 II) Suponhamos que exista um k N, tal que3k 1 divisvel por2.III) 3(3k 1) = 3k + 1 3 = (3k + 1 1) 2 b) n3 n divisvel por 6, n Nc) 8n 3n divisvel por 5, n Nd) 52n 1 divisvel por 24, n NResoluo: I) n = 1 52 1 = 25 1 = 24 II) Suponhamos que exista um k N, tal que52k 1 divisvel por 24, ou seja,52k 1 = 24xIII) 52k 1 = 24x 52(52k 1) = 25(24x) 52k + 2 25 = 24.25k 52k + 2 1 = 24.25k + 24 52(k + 1) 1 = 24(25k + 1)12) Demonstre a identidade ++sen 22 sen2 cos ... 4 cos . 2 cos . cos1 n1 nn13) Prove que:n 2n1...2111n < + + + 1.14) Demonstre que2413n 21...2 n11 n1> + ++++para todo nmero natural n > 1.Resoluo: I) Paran = 2temos:1/(2 + 1) + 1/(2 + 2) = 1/3 + 1/4 = 7/12 = 14/24 > 13/24 II) Suponhamos que exista um k n (k > 1) tal queS = 1/(k + 1) + 1/(k + 2) + ... + 1/(2k) > 13/24III) S' = 1/(k + 2) + 1/(k + 3) + ... + 1/(2k) + 1/(2k + 1) + 1/(2k + 2)S' = S 1/(k + 1) + 1/(2k + 1) + 1/2(k + 1) = S + 1/(2k + 1) 1/(2k + 2) Como2k + 1 < 2k + 2 1/(2k + 1) > 1/(2k + 2) 1/(2k + 1) 1/(2k + 2) > 0 S' = S + 1/(2k + 1) 1/(2k + 2) > S > 13/24 S' > 13/2415) Para todo inteiro n > 1, prove que1 n 2n 3n1...312112 2 2+> + + + + .16) Prove que

,`

.| 1.17) SeA1 + A2 + ... + An = ,0 < Ai < ,i = 1, 2, ..., n,ento nsen . n A sen ... A sen A senn 2 1 + + +3MATERIAL DISPONVEL NO SITE www.estudanteolimpico.com

Assunto:NOES FUNDAMENTAIS exerc. cap 1 18) H algo errado com a seguinte demonstrao, o que ?Teorema: Seja a um nmero positivo. Para todo inteiro positivo n ns temosan 1 = 1.Demonstrao: Se n = 1, an 1 = a1 1 = a0 = 1.E por induo, assumindo que o teorema verdadeiro para 1, 2, ..., n, ns temos111 . 1aa . aa a2 n1 n 1 nn 1 ) 1 n ( +donde o teorema verdadeiro para n + 1 tambm.19) Sea = 3.643.712.546.890.623.517eb = 179.563.128,determine o nmero de algarismos do produtoa.b.20) Um nmero inteiro escrito com trs dgitos distintos. Obtemos trs nmeros de dois dgitos cada um suprimindo o dgito das centenas, o das dezenas e o das unidades. A soma destes trs nmeros a metade do nmero de trs dgitos inicial. Determin-lo.Resoluo: n = abc = 100a + 10b + c n1 = bc = 10b + c n2 = ac = 10a + c n3 = ab = 10a + bn1 + n2 + n3 = 10b + c + 10a + c + 10a + b = 11(a + b + c) = n/2 = (100a + 10b + c)/2 22(a + b + c) = 100a + 10b + c 78a = 12b + 21c 26a = 4b + 7c c = 4 e b = 6 a = 2 n = 26421) Qual a soma dos dgitos da representao decimal do produto21999.52001?Resoluo: 21999.52001 = 21999.(25).51999 = 25.101999 a soma dos dgitos igual a 722) (Braslia-86) Determine um nmero de 4 dgitos, sabendo que seus dois primeiros dgitos so iguais, que seus dois ltimos dgitos tambm so iguais e que o nmero um quadrado perfeito.Resoluo: n = x2 = aabb Como1024 = 322 e 9801 = 992,so, respectivamente, o menor e o maior quadrado perfeito de 4 dgitos, ento x um nmero de dois dgitos e33 x 98.Comon = x2 = aabb divisvel por 11,entoxtambm , implicando que os possveis valores de x so:33, 44, 55, 66, 77, 88332 = 1089 442 = 1936 552 = 3025 662 = 4356 772 = 5929 882 = 7744Ou seja,n = 7744 = (88)223) (Minas Gerais-86) Suponhamos que voc pedisse a algum escrever dois nmeros quaisquer, um embaixo do outro e, em seguida, escrever abaixo a soma destes dois nmeros, e continuar assim escrevendo a soma dos dois nmeros imediatamente superiores, at completar 10 linhas. Voc poderia ento adivinhar a soma dos dez nmeros, olhando rapidamente a coluna e multiplicando o stimo nmero por 11. Explique por que isso sempre acontece.Resoluo: x Soma:x + y + (x + y) + (x + 2y) + ... + (21x + 34y) = x(1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21)x + y + y(1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34) = 55x + 87yx + y x + 2y 2x + 3y 3x + 5y 5x + 8y4MATERIAL DISPONVEL NO SITE www.estudanteolimpico.com

Assunto:NOES FUNDAMENTAIS exerc. cap 1 8x + 13y13x + 21y21x + 34y24) (Rio Grande do Norte-95) A soma dos algarismos de um nmero natural N, de trs dgitos, 21. Formamos um novo nmero mudando a posio do algarismo das unidades com o das dezenas. O novo nmero 45 unidades maior que N. Ento, o produto dos algarismos de N :Resoluo: I) N = abc a + b + c = 21 II) N = acb = N + 45 100a + 10c + b = 100a + 10b + c + 45 9(c b) = 45 c b = 5 Comoa + b + c = 21,entob + c 12, implicando quec = 9eb = 4 a = 8Ento,N = 84925) (Gois-97) Determine a quantidade de nmeros naturais tais que nenhum de seus algarismos 1 e o produto de todos os seus algarismos 48.Resoluo: N = a1a2a3...an tal que a1.a2.a3...an = 48 = 24.3Ento N pode formado de:i) 4 nmeros 2 e 1 nmeros 3 5 nmeros distintos ii) 2 nmeros 2, 1 nmeros 4 e 1 nmeros 2 12 nmeros distintosiii) 2 nmeros 4 e 1 nmeros 3 3 nmeros distintosiv) 1 nmero 8, 1 nmeros 2 e 1 nmeros 3 6 nmeros distintosPortanto, temos 26 nmeros distintos26) (Gois-97) Determine a soma dos algarismos do nmero (999.......995)2, onde o nmero 999........995 tem 99 dgitos iguais a 9.Resoluo: x = (10100 5)2 = 10200 10.10100 + 25 = 10200 10101 + 25 x um nmero da forma:9999...9990000...0025,contendo99 dgitos 9e99 dgitos 0.Portanto:S = 9.(99) + 2 + 5 = 89827) (Gois-97) O matemtico Tlio fez uma diviso dos nmeros inteiros em bons e maus. Segundo Tlio: a) Se n um nmero bom,n 5e2ntambm so bons. b) 3 bom. c) 5 mau. Determine os nmeros bons e maus entre 1 e 10.Resoluo: Se3 bom, ento2.3 = 6tambm bom.Se6 bom, ento6 5 = 1tambm bom.Se1 bom, ento2.1 = 2tambm bom.Se2 bom, ento2.2 = 4tambm bom.Se4 bom, ento2.4 = 8tambm bom.Se6 bom,ento2.6 = 12tambm bom.Se12 bom, ento12 5 = 7tambm bom.Se7 bom,ento2.7 = 14tambm bom.Se14 bom, ento14 5 = 9tambm bom.28) (So Paulo-97) Prove que se o quadrado de um nmero de dois algarismos, escrito na base 10, subtrado do quadrado do nmero formado pelos mesmos algarismos em ordem inversa, ento o resultado um nmero divisvel por 11.5MATERIAL DISPONVEL NO SITE www.estudanteolimpico.com

Assunto:NOES FUNDAMENTAIS exerc. cap 1 Resoluo: N = ab = 10a + b N = ba = 10b + aN2 N2 = 100a2 + 20ab + b2 100b2 20ab a2 = 99a2 99b2 = 99(a b)(a + b) = 11.9(a b)(a + b)29) (USA Talent Search-99) Os dgitos dos inteiros de trs dgitosa, b e cso1, 2, 3, ... 9,cada um deles aparecendo exatamente uma vez. Dada que a razoa:b:c 1:3:5, determinea, b e c.Resoluo: Como a razo entrea:b:c1:3:5,ento o dgito das centenas deadeve ser 1.Comoc = 5a,ento o dgito das unidades dec 5e o dgito das unidades dea um nmero mpar. Como1e5 j foram selecionados, ento sobram3,7e9como alternativas.Comob = 3ae1j est escolhido,ano pode terminar em7,sobrando ainda3e9como alternativas.Como5b = 3c,ento o dgito das unidades debtambm mpar.Suponhamos que o dgito das unidades de seja3.a = 1xe = 100 + 10x + 3 b = 3a = 300 + 30x + 9 = 309 + 30x,ondexpode ser2, 4, 6, 7, 8, 930) (University of South Carolina-86) Qual dos seguintes nmeros abaixo o maior?a) 6100 b) 5200 c) 4300 d) 3400 e) 250031) (University of South Carolina-88) Seja N um quadrado perfeito. Qual a probabilidade que um inteiro escolhido aleatoriamente entre1, 2, 3, ..., Nseja um quadrado perfeito?a) 1/Nb) 2/Nc) 1/(N 1)d) (N 1)2/N2e)N / 1Resoluo: Entre1 e Nexistem(N)1/2quadrados perfeitos. Ento a probabilidade (N)1/2/N32) (University of South Carolina-89) O menor inteiro positivoNtal que a raiz quadrada de N menos a raiz quadrada deN 1 menor que0,01:a) 2498 b) 2499 c) 2500 d) 2501 e) 250233) (University of South Carolina-92) Dado que1025/1024 = 1,0009765625,qual a soma dos dgitos de510?a) 36 b) 40 c) 41 d) 50 e) 10234) (University of South Carolina-93) Simplificando:(1.3.5...31).216.16!obtemos:a) 30! b) 31! c) 32! d) (30!)2 e) 36!35) (University of South Carolina-97) O inteiro n obtido pela reverso da ordem dos dgitos de um nmero de 3 dgitos m. Se o produto de n e m igual a214875, ento o dgito do meio de n deve ser:a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 936) (Furman University-97) O nmero de 4 dgitos2pqr multiplicado por 4 e o resultado um nmero de 4 dgitos rqp2. Pode-se afirmar quep + q = ?a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) ndaResoluo: rqp2 = 4(2pqr) r.103 + q.102 + p.10 + 2 = 8.103 + 4p.102 + 4q.10 + 4r (8 r).103 + (4p q).102 + (4q p).10 + (4r 2) = 0i) r = 3 5.103 + (4p q).102 + (4q p + 1).10 = 0 5.102 + (4p q).10 + (4q p + 1) = 0 6MATERIAL DISPONVEL NO SITE www.estudanteolimpico.com

Assunto:NOES FUNDAMENTAIS exerc. cap 1 37) (ProMath Competition) Mostre que seN um produto de quatro inteiros consecutivos, entoN + 1 o quadrado de um inteiro.38) (UNCC-95) Se a, b, c e d representam dgitos no negativos na base dez, para os quais:aaaadez + bbbdez + ccdez + ddez = 1995,entoa.b.c.d = .Resoluo: x = aaaadez + bbbdez + ccdez + ddez = 1995 1000a + 100a + 10a + a + 100b + 10b + b + 10c + c + d x = 1000a + 100(a + b) + 10(a + b + c) + (a + b + c + d) = 1995a = 1 a + b + c + d = 25 a + b + c = 17 a + b = 8Ento:b = 7 c = 8 d = 9 a.b.c.d = 1.7.8.9 = 50439) (UNCC-97) Quantos inteiros n existem satisfazendo:|n3 222| < 888?40) (Noruega-95) Quantos nmeros naturais so iguais a trs vezes a soma dos seus algarismos?Resoluo: I) Suponhamos que n tenha 2 algarismos:n = ab = 10a + b10a + b = 3a + 3b 7a = 2b a = 2eb = 7 n = 27II) Suponhamos que n tenha 3 algarismos:n = abc = 100a + 10b + c100a + 10b + c = 3a + 3b + 3c 97a + 7b = 2c como o valor mximo de2c 18, ento no existem nmeros com mais de 2 dgitos que sejam iguais a soma dos seus dgitos.41) (Argentina-95) Achar todos os nmeros de 3 dgitos tais que ao elevarmos ao quadrado apresenta os trs ltimos dgitos iguais e na mesma ordem que o nmero original.Resoluo: n = 100a + 10b + cn2 n = 1000k (10000a2 + 100b2 + c2 + 2000ab + 200ac + 20bc) 100a 10b c = 1000k 10000a2 + 2000ab + 100(b2 + ac a) + 10(2bc b) + c2 c = 1000k c(c 1)acaba em 0 c = 1 ou c = 5 ou c = 6i) c = 1:10000a2 + 2000ab + 100b2 + 10b = 1000k b = 0 e a = 1 n = 100confere o enunciado ii) c = 5:10000a2 + + 2000ab + 100(b2 + 4a) + 90b + 20 = 1000k 90b + 20termina em 00 b = 2 10000a2 + 4000a + 400(a + 1) + 200 = 1000k 400(a + 1) + 200termina em 000 a = 1 e a = 6 n = 125 e n = 625conferem o enunciadoiii) c = 6:10000a2 + 2000ab + 100(b2 + 5a) + 110b + 30 = 1000k 110b + 30termina em 00 b = 7 10000a2 + 14000a + 100(58 + 5a) = 1000k 100(58 + 5a)termina em 000 58 + 5atermina em 0, porm58 + 5atermina em 8 ou 3, nunca em 0Assim, somenten = 100, n = 125 e n = 625 conferem o enunciado do problema42) (Argentina-96) Determinar todos os naturais de dois dgitos tais que ao elevarmos ao cubo obtm-se nmeros que terminam em dois dgitos iguais.Resoluo: n = ab = 10a + b n3 = 1000a3 + 300a2b + 30ab2 + b3 = 100a2(10a + 3b) + 10(3ab2) + b3Ento, os dois ltimos algarismos so definidos pelo termo10(3ab2) + b3, sendo que10(3b2)define apenas o algarismo das dezenas.i) Se b terminar em 0 implica que n tem que terminar em 00. 7MATERIAL DISPONVEL NO SITE www.estudanteolimpico.com

Assunto:NOES FUNDAMENTAIS exerc. cap 1 Comob3vai terminar em 000e 10(3ab2)tambm, temos como resultado um nmero que termina em pelo menos 2 nmeros iguais a 0. Desta forma, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 e 90conferem o enunciado.ii) Se b terminar em 1 implica que n tem que terminar em 11.Temos queb3termina em 1, entretanto 43) (Argentina-96) Usando os dgitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, e sem repetir, formam-se 3 nmeros de 2 dgitos cada um. Soma-se os 3 nmeros de 2 dgitos formados. Quantos resultados diferentes podem ser obtidos mediante este procedimento?Resoluo: I) n1 = ab = 10a + b n2 = cd = 10c + d n3 = ef = 10e + f II) n1 + n2 + n3 = 10(a + c + e) + (b + d + f)III) Como1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 mpar, ento impossvel separar os dgitos em 2 grupos de 3 com igual soma.Como1 + 3 + 6 = 10 e 2 + 4 + 5 = 111 + 4 + 5 = 10 e 2 + 3 + 6 = 11

x1 = 10(1 + 2 + 3) + (4 + 5 + 6) = 60 + 15 = 75x2 = 10(1 + 2 + 4) + 44) (Argentina-96) Determinar o maior nmero natural de 6 dgitos, todos distintos de zero, que mltiplo do nmero que resulta ao apagar o primeiro dgito da esquerda.Resoluo: n = abcdef = a.105 + b.104 + c.103 + d.102 + e.10 + f n/k = bcdef = b.104 + c.103 + d.102 + e.10 + f a.105 + n/k = n 510 .1 kk . nn ,`

.|i) a = 9k(b.104 + c.103 + d.102 + e.10 + f) = a.105 + b.104 + c.103 + d.102 + e.10 + fi) f = 1 no existe k tal que k.f termine em 1 ii) f = 2 k = 6iii) f = 3 no existe k tal que k.f termine em 3iv) f = 4 k = 6 v) f = 5 k = 3 ou k = 5 ou k = 7 ou k = 9vi) f = 6 k = 6 vii) f = 7 no existe k tal que k.f termine em 7viii) f = 8 k = 6ix) f = 9 no existe k tal que k.f termine em 945) (Argentina-97) Determinar todos os nmeros naturais de quatro dgitos "abcd" tais que"ab" + "cd" = "bc"eb c = dObservao: "ab" um nmero de dois dgitos, o primeiro a e o segundo b.Resoluo: ab + cd = bc 10a + b + 10c + d = 10b + c 10a 9b + 9c + d = 0b c = d 10a 9(b c) + d = 0 10a 9d + d = 0 10a = 8d 5a = 4d a = 4 e b = 510a 9b + 9c + d = 0 40 45 + 9c + d = 0 9c + d = 5b c = d c + d = 5 8c = 0 c = 0 d = 5Conferindo:ab + cd = bc 45 + 05 = 50eb c = d 5 0 = 58MATERIAL DISPONVEL NO SITE www.estudanteolimpico.com

Assunto:NOES FUNDAMENTAIS exerc. cap 1 46) (Argentina-97) Achar todos os nmeros naturais n menores que 1000 tais que n2 termina em 44, ou seja, n2 tem seus dois ltimos dgitos iguais a 4.47) (Chile-93) Demonstre que a diferena dos cubos de dois nmeros naturais consecutivos a soma do quadrado de um nmero natural mais o triplo do quadrado de outro.Resoluo: I) (2x)3 (2x 1)3 = 8x3 8x3 + 12x2 6x + 1 = 12x2 6x + 1 = 3(x 1)2 + (3x)2

II) (2x + 1)3 (2x)3 = 8x3 + 12x2 + 6x + 1 8x3 = 12x2 + 6x + 1 = 3(x + 1)2 + (3x)248) (Blgica-90) A raiz stima de( )777vale: a) 77 b) ( ) 1 777 c) ( )767 d) ( )677 e)( )77Resoluo: ( ) 6 1 7777 7 . 771. 77177 7 7 7 ]]]

49) (Belgica-90) O dgito das unidades de um nmero natural 7. Quando este dgito removido para a frente do nmero, um novo nmero 5n formado. Quantos dgitos, pelo menos, possui este nmero n?a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 10Resoluo: n = axax 1...a2a17 5n = 7axax 1...a2a1 (n 7)/10 + 7.10x = 5n n 7 + 7.10x + 1 = 50n 49n = 7(10x + 1 1) 7n = 10x + 1 1 O nmero10x + 1 1 formado apenas porx + 1dgitos iguais a 9.Assim analisando cada alternativa:x = 4:99999no divisvel por 7.x = 5:999999 divisvel por 7 o nmero de dgitos de n x + 1 = 6.50) (Blgica-91) Quantos nmeros naturais de 1 a 1000 podem ser escritos como uma potnciaabcom, a, b Nea, b > 1?a) 25 b) 39 c) 40 d) 49 e) 5051) (Blgica-96) Determine o ltimo dgito da seguinte soma: S = 1! + 2! + 3! + ... + 1995! + 1996!a) 9 b) 7 c) 5 d) 3e) 152) (Blgica-97) O nmero 1212 igual a:a) 66 b)( )123 2c) 612 d) 3 212 e) nenhum dos anterioresResoluo: (1212)1/2 = (12)(12).(1/2) = (121/2)12 = (22.3)12 = (2.31/2)1253) (Blgica-98) Quantos nmeros naturais consistindo de dois dgitos so iguais a soma dos seus dgitos mais o produto de seus dgitos?a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9Resoluo: n = ab = 10a + b 10a + b = a + b + ab 9a = ab b = 9,com a 0.Ento temos os nmeros19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89 e 99,que so 9 nmeros.9MATERIAL DISPONVEL NO SITE www.estudanteolimpico.com

Assunto:NOES FUNDAMENTAIS exerc. cap 1 54) (Noruega-97) Se adicionarmos329ao nmero de trs dgitos2x4,ns obtemos5y3. Se5y3 divisvel por 3, o maior valor possvel de x :a) 1 b) 4 c) 7 d) 8 e) 9Resoluo: I) 329 + 2x4 = 5y3 1 + x + 2 = y y = x + 3 3 y 9II) 3 | 5y3 5 + y + 3 = 3k y + 2 = 3(k 2)i) k = 3 y = 1que impossvel, pois y 3ii) k = 4 y = 4 e x = 1iii) k = 5 y = 7 e x = 4iv) k = 6 y = 10que impossvelOu seja, o maior valor possvel de x 4.55) (Irlanda-96) Para cada inteiro positivo n, seja S(n) a soma dos dgitos de n (quando n escrito em base 10). Prove que para todo inteiro positivo nS(2n) 2S(n) 10S(2n). Prove tambm que existe um inteiro positivo n comS(n) = 1996S(3n).56) (Holanda-86) O nmero(52 + 92)(122 + 172)pode ser expresso como a soma de dois quadrados de nmeros naturais. Escreva tal soma.Resoluo: (52 + 92)(122 + 172) = (5.12)2 + (5.17)2 + (9.12)2 + (9.17)2 = [(5.12) + (9.17)]2 + [(5.17) (9.12)]257) (Cone Sul-97) A cada nmero inteiro positivo n, n 99, subtrai-se a soma dos quadrados de seus dgitos. Para que valores de n, esta diferena a maior possvel?.Resoluo: n = xy = 10x + y k = 10x + y x2 y2 = (10x x2) + (y y2) Temos que k a soma de duas funes independentes, portanto o valor mximo de k vai coincidir com o valor mximo das duas funesi) f(x) = 10x x2 => xmax = 10/2 => xmax = 5 => f(x)max = f(5) => f(x)max = 25ii) g(x) = y y2 = y(1 y) => ymax = 0ou1Enton = xy => n = 50 e n = 5158) (IMO-68) Determine todos os nmeros naturais n tais que o produto de seus dgitos decimais seja igual a n2 10n 22.10