Conceitos Fundamentais Da Teoria Da Elasticidade_CAP2

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Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade Joaquim Barros 2.1 2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA TEORIA DA ELASTICIDADE 2.1 - Introdução No presente capítulo são apresentados de um modo sucinto os conceitos básicos da teoria da elasticidade, nomeadamente, de elasticidade, homogeneidade, isotropia, tensão e extensão. É definido o tensor das tensões e o correspondente tensor das extensões. Com base nas equações de equilíbrio definido e indefinido são estabelecidas relações entre as componentes do tensor das tensões . As equações de compatibilidade são definidas a partir das componentes do tensor das extensões. Finalmente são estabelecidas as relações tensão-extensão (leis constitutivas do material) para os materiais com elasticidade linear, homogéneos e isotrópicos. 2.2 - Conceitos de elasticidade, homogeneidade e isotropia Um corpo tem comportamento elástico se após a retirada das acções que sobre ele actuam retomar a sua forma inicial (ver Figura 2.1). l l l l Forma inicial Forma final F=F u 1 F Deslocamento u l Força F α α u = Comp. linear Comp. não-linear 1 Figura 2.1 - Relação força-deslocamento numa barra à tracção.

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Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

Joaquim Barros 2.1

2. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA TEORIA DA ELASTICIDADE 2.1 - Introdução No presente capítulo são apresentados de um modo sucinto os conceitos básicos da teoria da elasticidade, nomeadamente, de elasticidade, homogeneidade, isotropia, tensão e extensão. É definido o tensor das tensões e o correspondente tensor das extensões. Com base nas equações de equilíbrio definido e indefinido são estabelecidas relações entre as componentes do tensor das tensões . As equações de compatibilidade são definidas a partir das componentes do tensor das extensões. Finalmente são estabelecidas as relações tensão-extensão (leis constitutivas do material) para os materiais com elasticidade linear, homogéneos e isotrópicos. 2.2 - Conceitos de elasticidade, homogeneidade e isotropia Um corpo tem comportamento elástico se após a retirada das acções que sobre ele actuam retomar a sua forma inicial (ver Figura 2.1).

ll l

∆lForma inicial Forma final

F=F

u

1F

Deslocamento u∆l

Força F

α

α

u =

Comp.linear

Comp.não-linear

1

Figura 2.1 - Relação força-deslocamento numa barra à tracção.

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Joaquim Barros 2.2

Nesta publicação a matéria que constitui um corpo considera-se sempre homogénea, de tal forma que o menor elemento retirado do corpo possui as propriedades físicas específicas desse corpo. Um corpo será também considerado isotrópico, isto é, as suas propriedades elásticas são consideradas iguais em todas as direcções. Quando as propriedades elásticas do material são diferentes em direcções distintas, de que são exemplo a maior parte dos materiais compósitos (Barros 1989), o material pode apresentar comportamento ortotrópico ou anisotrópico. Os materiais têm comportamento ortotrópico quando as propriedades num plano são iguais, mas distintas das que ocorrem numa direcção ortogonal a esse plano. Terá comportamento anisotrópico quando as propriedades diferem com a direcção considerada. 2.3 - Conceito de tensão num ponto e de tensor das tensões A noção intuitiva de tensão é a de força por unidade de área. A tensão pode variar de ponto para ponto no interior de um corpo, e ainda com a orientação do plano que passa por esse ponto. Trata-se de um conceito matemático que permite determinar se esse corpo satisfaz os critérios de segurança exigidos, isto é, se a tensão máxima instalada é inferior à que o material resiste. Se ao corpo em equilíbrio representado na Figura 2.2 for aplicado um sistema de forças exteriores iQ c/ i=1,…7 desenvolvem-se forças internas entre as possíveis partes em que o corpo se pode dividir.

3x

2x

x1

O

1Q

Q2

Q4

Q3

Q5

Q6

Q7

δA

σC2

C1

S1

Figura 2.2 - Corpo submetido a um conjunto de forças exteriores Qi .

Considere-se o corpo dividido em duas partes, C1 e C2 , por intermédio da secção S1 que contém o ponto O. Tomando-se, por exemplo, a parte C1 do corpo, pode-se afirmar que ela está em equilíbrio sob a acção das forças externas 5Q , 6Q e Q7 e das forças internas distribuídas na secção transversal S1 , que representam as acções que o material da parte C2

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Joaquim Barros 2.3

do corpo exercia sobre o material da parte C1 . Admite-se que as forças internas distribuem-se continuamente na área S1 , pelo que se trata de um conceito de tensão, isto é,

Tensão = tQA

=

em que A é a área da secção transversal S1 do corpo e Q é a resultante das forças internas distribuídas em S1 . No caso geral da Figura 2.2, a tensão não se distribui uniformemente em S1 . Admita-se que o objectivo é determinar o valor da tensão que actua numa pequena área δA , pertencente à secção transversal S1 e contendo o ponto O. As forças que actuam nessa área elementar, devidas à acção do material da parte C2 sobre o material da parte C1 , podem ser reduzidas a uma resultante δQ . Se agora se contrair continuamente a área elementar δA , o valor limite da relação δ δQ A/ dará o valor da tensão que actua na secção transversal S1 no ponto O, isto é,

t imA

QA

=→l

δδδ0 . (2.1)

A direcção de t é a direcção de δQ . No caso geral, a direcção da tensão é inclinada em relação ao plano sobre o qual actua, podendo, por isso, ser decomposta em duas componentes: uma tensão normal, σ , ortogonal ao plano, e uma tensão de corte, τ , tangencial ao plano, tal como se representa na Figura 2.3.

direcção perpendicular ao plano S1

σ

τ

χ

S1

Figura 2.3 - Decomposição da tensão t numa componente normal, σ , e numa componente tangencial, τ , ao

plano S1 . Considere-se o corpo de volume infinitesimal (muito pequeno) dV , com forma de um paralelipípedo de lados 1dx , 2dx e 3dx e em equilíbrio, representado na Figura 2.4. A tensão resultante, t , no ponto A pode ser decomposta nas tensões que actuam nas faces do referido elemento de volume e que está orientado segundo o sistema ortogonal ox x x1 2 3 . A notação para as componentes de tensão que actuam nas faces deste elemento e os sentidos tomados como positivos são os indicados na Figura 2.4.

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Joaquim Barros 2.4

A

B

D

C

H

G

E

F

σ

τ

3

σ1

σ2

32τ31

τ23

τ2112τ

τ13

dx2

dx1

x3

dv = dx1 dx2 dx3× ×1σ

2σσ3

ττ31

32

21ττ23

12τ13τ

σσσ

ττ

τττ

τ

x1 1 2x x

2x

3x

1 3x x

2x x1

x x2 3

x x3 1

x x3 2

dx3

2x

1x

Figura 2.4 - Tensões que actuam num paralelepípedo de volume infinitesimal.

As tensões estão representadas por um conjunto de dois índices, em que o primeiro índice indica a direcção da normal ao plano em que actua a tensão e o segundo índice indica o eixo segundo o qual a tensão se exerce (notação de Von Karman). Assim, por exemplo, a tensão que actua perpendicularmente às faces BDHF e ACGE será indicada por σ11 (tensão segundo o eixo dos x1 actuando num plano ortogonal a esse eixo). As componentes normais, σ11 , σ22 e σ33 serão consideradas positivas quando produzem tracção e negativas quando produzem compressão. Em cada plano, além da tensão normal, também actuam duas componentes de tensão de corte. Na notação adoptada, a tensão de corte, τ ij , é a tensão na direcção de x j actuando num plano

perpendicular ao eixo dos xi . Assim, a superfície BDHF está submetida às componentes de tensão 11σ , 12τ e 13τ , enquanto as superfícies DCGH e EFHG estão submetidas às componentes 22σ , 21τ , 23τ e 33σ , 31τ , 32τ , respectivamente, pelo que o estado de tensão no ponto A pode ser obtido a partir da entidade seguinte:

σ τ ττ σ ττ τ σ

11 12 13

21 22 23

31 32 33

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

(2.2)

que se denomina de tensor das tensões. 2.4 - Equações de equilíbrio definido e indefinido

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Joaquim Barros 2.5

Considere-se o elemento de volume infinitesimal dV, de forma paralelepipédica representado na Figura 2.5. As tensões que actuam nas faces deste corpo estão ilustradas na figura. O operador genérico jij x∂∂σ representa a variação da componente de tensão ijσ com o incremento segundo o eixo jx . Para que o elemento de volume se mantenha em equilíbrio é necessário que cumpra as condições de equilíbrio de forças segundo os eixos 1x , 2x e 3x :

ΣΣΣ

Q

Q

Q

1

2

3

0

0

0

=

=

=

, (2.3)

e as equações de equilíbrio de momentos segundo os eixos x x1 2, e x3 . Assim, considerando, por exemplo, a rotação do elemento de volume em relação ao eixo baricêntrico paralelo ao eixo dos x3 e calculando o momento em relação a esse eixo obtém-se (ver Figura 2.5),

2112

2312

2

2121

23121

1321

1

1212

13212 0

2222ττ

ττττττ

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++

dxdxdxdxdxddxdxdxdxdxdxdx

dxddxdxdx

(2.4a)

tendo-se desprezado as parcelas com infinitésimos de quarta ordem em face das parcelas com infinitésimos de ordem inferior.

σ1

σ2

τ23

τ21

dx2

dx1

dx3

x3

2x

x1

τ

31τ32

3∂σ∂x3

dx33σ +

32

3+∂τ∂x

dx3

3∂x3

∂τ+ 31 dx

2∂x∂τ

+ dx232

1∂x∂τ

+ dx12112τ

3dx∂τ31∂x3

13τ +

+ 1dx∂x1

1∂σ2

21∂τ+ ∂x

dx2

+ dx∂x

2∂σ2

2

τ 13

σ1

τ12τ21

τ23

31ττ32

Figura 2.5 - Elemento de volume com dimensões infinitesimais 1dx , 2dx e dx3 .

Procedendo-se de forma análoga em relação a eixos baricêntricos paralelos aos eixos dos x2 e dos x1 obtém-se:

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Joaquim Barros 2.6

τ τ13 31= (2.4b) τ τ23 32= (2.4c)

respectivamente. Assim, das nove componentes do tensor das tensões, apenas seis componentes são distintas. As forças exteriores que actuam sobre um corpo podem ser agrupadas nas denominadas forças de superfície, QS , e nas forças de massa ou de volume QV . As forças generalizadas (forças e momentos) aplicadas em pontos do contorno corpo ou distribuídas na sua superfície fazem parte das forças de superfície. As forças exercidas por outros corpos, a pressão hidrostática e a pressão do vento são exemplos de forças de superfície actuando sobre determinado corpo. Conforme o nome sugere, as forças de massa ou de volume, QV , são proporcionais à massa ou ao volume do corpo. As forças que se exercem num determinado corpo devidas à aceleração da gravidade, as forças magnéticas e as forças de inércia (no caso do corpo estar em movimento) são exemplos de forças de massa ou de volume. Considere-se então que o elemento de volume representado na Figura 2.5 está também sujeito às forças de volume com componentes 1,VQ , 2,VQ e QV ,3 segundo os eixos 1x , 2x e x3 , respectivamente. Assim, a equação de projecção das forças exteriores na direcção do eixo x1 conduz à seguinte expressão:

03211,2131213

3

3131

31213122

21213211321

1

1111

=+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

dxdxdxQdxdxdxdxdxdxd

dxdxdxdxdxdxddxdxdxdxdx

dxd

Vτττ

τττσσσ

(2.5)

resultando:

ddx

ddx

ddx

QV

σ τ τ11

1

21

2

31

31 0+ + + =, . (2.6a)

Estabelecendo as equações de projecção das forças exteriores na direcção dos eixos x2 e x3 obtém-se,

ddx

ddx dx

QV

τ σ ∂τ12

1

22

2

32

32 0+ + + =, (2.6b)

e ddx

ddx

ddx

QV

τ τ σ13

1

23

2

33

33 0+ + + =, , (2.6c)

respectivamente. As relações (2.6) denominam-se de equações de equilíbrio indefinido do corpo, também conhecidas por equações de Cauchy, que devem ser satisfeitas em cada ponto do interior do corpo. Em notação indicial estas equações resumem-se na seguinte:

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Joaquim Barros 2.7

ddx

Qji

jV i

σ+ =, 0 (2.7)

em que iVQ , c/ i=1,…,3 representa as componentes das forças de volume por unidade de volume. Segundo a notação indicial a repetição de um índice num termo significa um somatório. Assim, em (2.7) d dx d dx d dx d dxji j i i iσ σ σ σ/ / / /= + +1 1 2 2 3 3 . Note-se que se i = 1 então σ21 e σ31 representam tensões de corte, passando a representarem-se por τ21 e τ31 , respectivamente. Na superfície de um corpo actuam forças de superfície QS com componentes QS ,1 , QS ,2 e QS ,3 segundo os eixos 1x , 2x e x3 , conforme se representa na Figura 2.6a.

x1

x

b)

2

x3

dA

τ

12τ

13τ21

τ31τ32

σ2

τ23QS,2

S,3Q

QS,1

(a)

dA

dA cosα

3

2x

x1

ndA cosβ

^

βα

γ

dA cosγ

dh

(b)

Figura 2.6 - Corpo sujeito a forças de superfície. Efectuando a projecção na direcção do eixo dos x1 das forças exteriores que actuam no tetraedro representado na Figura 2.6 obtém-se a seguinte equação:

Q dA dA dA dA dh dA QS V, ,cos cos cos .1 11 21 31 1

13

0− − − + =σ α τ β τ γ (2.8)

Diminuindo continuamente a altura dh do tetraedo obtém-se no limite ( )dh → 0 :

QS , cos cos cos1 11 21 31 0− − − =σ α τ β τ γ

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Joaquim Barros 2.8

ou

σ α τ β τ γ11 21 31 1cos cos cos .,+ + = QS (2.9a) As equações de projecção das forças exteriores (segundo os eixos 2x e 3x ) obtém-se de maneira semelhante:

2,322212 coscoscos SQ=++ γτβσατ (2.9b)

3,332313 coscoscos SQ=++ γσβτατ . (2.9c) As equações (2.9) são as de equilíbrio defenido do corpo, também conhecidas por equações de contorno. Estas equações devem ser satisfeitas em cada um dos pontos do contorno do corpo. Em notação indicial, as equações (2.8) reduzem-se à seguinte: isjji Qn ,=σ . (2.10) em que [ ]γβα coscoscos=jn define a direcção (em relação ao referencial 321 xxOx ) do versor normal à faceta em que actuam as forças exteriores de superfície .

SQ

As equações (2.7) e (2.10) definem completamente o estado de tensão do corpo. Significa isto que, conhecidas as componentes da tensão num ponto, é possível, em função delas, determinar a tensão em qualquer elemento de superfície considerado nesse ponto, seja qual for a sua orientação. 2.5 - Deslocamento correspondente e deslocamentos generalizados Os deslocamentos que ocorrem na maior parte das estruturas sob condições de serviço são pequenos quando comparados com as dimensões das estruturas. Neste trabalho considerar-se-á que as estruturas sofrem deslocamentos pequenos, i.e., infinitesimais. Na Figura 2.7 representa-se um corpo submetido a um conjunto de forças Qm . Em geral estas forças causam deslocamentos em todos os pontos do corpo, excepto nos que estão impedidos de se deslocar, por se encontrarem ligados ao exterior, como é o caso dos pontos A, B e C.

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Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

Joaquim Barros 2.9

3u

2u

u1

Q j

Q1 Q3

Q4

Q2u

2x

x3

x1

A

B

C u jQ

u j

j

α

Figura 2.7 - Deslocamentos num corpo submetido a um conjunto de forças Qm .

O deslocamento num determinado ponto i, de coordenadas ix ,1 , ix ,2 , ix ,3 denotar-se-á por iu e é constituído pelas seguintes componentes no sistema de eixos 0x1x2x3:

{ }Tiii

i

i

i

i uuuuuu

u ,3,2,1

,3

,2

,1

=⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎧= (2.11)

que é usualmente denominado de vector dos deslocamentos do ponto i. Note-se que o vector deslocamento do ponto j , ju , não tem, em geral, a direcção de Qj (força aplicada no

ponto j ). A componente de ju na direcção de Qj ( Qju ) obtém-se por intermédio da seguinte

equação:

αcosjQj uu = , (2.12)

sendo correntemente denominado de deslocamento correspondente. Em qualquer ponto do corpo existe, em geral, além dos deslocamentos u , também rotações θ . No caso de um corpo tridimensional o vector da rotação de determinado ponto tem três componentes de rotação, uma segundo cada eixo do referencial 0 1 2 3x x x :

{ }θ θ θ θ= 1 2 3

T. (2.13)

Assim, no caso geral, em determinado ponto de um corpo desenvolvem-se três deslocamentos e três rotações:

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Joaquim Barros 2.10

U u u uu

T

=

⎨⎪

⎩⎪

⎬⎪

⎭⎪

1 2 3 1 2 3124 34 124 34θ θ θ

θ (2.14)

{ }Uu

uT

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

θθ (2.15)

em que U é correntemente denominado de vector dos deslocamentos generalizados. 2.6 - Extensões 2.6.1 - Extensões normais Considere-se um corpo com comportamento unidimensional, como é o caso da barra representada na Figura 2.8.

SecçãoTransversal

x1 Q1

A A' B B'

1dx u1B = u1A + 1du1dx( ) dx1

ll'

Figura 2.8 - Barra sujeita a tracção uniaxial. Esta barra tem um comprimento inicial l e está submetida a uma força Q na sua extremidade direita e encontra-se fixa na sua extremidade esquerda. Como a força Q está dirigida segundo o eixo da barra, denominado de eixo 0 1x , atribui-se a designação de Q1 à força aplicada. Devido à actuação da carga Q1 , a barra sofre um alongamento segundo o seu eixo. Por exemplo, a secção A move-se para A’ ocorrendo um deslocamento 11 uu A = e a secção B move-se para B’ desenvolvendo um deslocamento ( ) 11111 / dxdxduuu B += . Desta forma, a coordenada atribuída à secção A’ ( '1Ax ) será igual à coordenada atribuída à secção A ( Ax1 ) mais o deslocamento u1 , isto é, 11'1 uxx AA += , enquanto a coordenada atribuída à secção B’ ( '1Bx ) será igual à coordenada atribuída à secção B ( Bx1 ) mais o deslocamento que B sofre ao deslocar-se para B’, isto é, ( ) 11111'1 / dxdxduuxx BB ++= . O comprimento do elemento de barra entre A' e B' , A B' ' , será obtido efectuando a diferença entre '1Bx e '1Ax :

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Joaquim Barros 2.11

( )( ) ( )[ ] ( )

( ) 1111

11111111

'111

'1'1

//

''

dxdxdudxuxdxdxduudxx

xuxxxBA

AA

ABB

AB

+=+−+++=

−+=−=

. (2.16)

Assim, a extensão normal que a barra sofre segundo o seu eixo, ε11 , obtém-se por intermédio da seguinte relação:

( )[ ]

1

1

1

11111

11

/''dxdu

dxdxdxdxdudx

ABABBA

ABsegmentodoinicialocomprimentABsegmentodoocomprimentdeaumento

=−+

=−

=

=ε. (2.17a)

Se du dx1 1 for constante ao longo do comprimento da barra, então,

( )

l

ll

l

ll

l

−=

−−=

−=

'0'

11

1

1 fixaeextremidadnaulivreeextremidadnaudxdu

em que l' é o comprimento da barra após a sua deformação. Sendo ε11 a extensão segundo o eixo x1 , que é o eixo da barra, atribui-se a esta extensão a designação de extensão axial, longitudinal, ou normal. As componentes de extensão segundo o eixo x2 , 22ε , e segundo o eixo x3 , 33ε , determinam-se efectuando procedimento semelhante ao descrito, obtendo-se,

ε222

2=

dudx

(2.17b)

e

ε333

3=

dudx

. (2.17c)

As extensões ε ε11 22, e ε33 designam-se correntemente por extensões normais. 2.6.2 - Extensões de corte Considere-se três pontos OAB do corpo descarregado representado na Figura 2.9a. Admita-se que esses três pontos definem dois segmentos de recta ortogonais, tal como se representa na Figura 2.9a. Solicite-se agora esse corpo com um conjunto de forças exteriores. Sob estas acções o corpo deforma-se, passando os pontos OAB para O’’A’’B’’. Da configuração indeformada OAB para a configuração deformada final O’’A’’B’’ pode existir uma configuração deformada intermédia O’A’B’ (ver Figura 2.9b). Nesta configuração deformada intermédia podem ocorrer extensões dos segmentos OA e OB mas não haverão distorções, dado que o segmento O A' ' mantém-se ortogonal ao segmento O B' ' . Assim, o

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Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

Joaquim Barros 2.12

desenvolvimento de distorções ou extensões de corte realiza-se durante a passagem da configuração O’A’B’ para a configuração O’’A’’B’’.

O A

B

a)

Configuração indeformada

O

B

A

O' A'

B'

O''

B''

A''

1Q

Q3

2Q

Configuração deformada

b) Figura 2.9 - Corpo descarregado (configuração indeformada), (a), e corpo carregado (configuração deformada)

(b). Pode-se então definir como extensão de corte num ponto a variação do valor do coseno do ângulo realizado por dois segmentos de recta que, no estado do corpo indeformado, formam um ângulo recto entre si. Se os pontos O, A e B estiverem inscritos no plano x x1 2 (ver Figura 2.10), então γ 12 representa a extensão de corte no ponto O do plano x x1 2 .

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Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

Joaquim Barros 2.13

B

O A

dx 2

1dx

A'

B'

O' O''

A''

B''

θ1

θ2 π2

__ _γ 12

dudx 1

21dx

dxdudx

1

22

dx + (du / dx ) dx11u 1 1 1

dx +

(du

/ d

x )

dxu 2

2

2

2

2

X1

2X

Figura 2.10 - Extensão de corte no plano x x1 2 .

Assim,

( ) 1212 sin2

cos''''''cos γγπ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=BOA . (2.18a)

Como se admite pequenos deslocamentos e pequenas deformações então sinγ γ12 12≅ , pelo que: ( )cos ' ' ' ' ' ' .A O B ≅ γ 12 (2.18b)

Além disto sabe-se que: ( ) ''

3'3

''3

'3 cossinsincos''''''cos θθθθ +=BOA (2.19a)

e

( ) ( )

''''/sin;

''''/1cos 112'

3111'

3 AOdxxu

AOdxxu ∂∂θ∂∂θ =

+=

(2.19b)

( ) ( )

''''/1cos;

''''/sin 222''

3221''

3 BOdxxu

BOdxxu ∂∂θ∂∂θ +

==

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Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

Joaquim Barros 2.14

pelo que:

( )( )γ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂12

1

1

1

2

2

1

2

2

1 21 1= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎣⎢

⎦⎥

ux

ux

ux

ux

dx dxO A O B' ' ' ' ' ' ' '

. (2.20)

Sabe-se ainda que:

1

2

1

2

2

1

1

1

11

2

11

2

2

11

11

21

''''

dx

xu

xu

xudx

dxxudx

xudxAO

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(2.21a)

dado que ∂ ∂u xi j/ « 1. Pelo mesmo raciocínio, O B dx' ' ' ' .≅ 2 (2.21b) Substituindo (2.21) em (2.20) obtém-se:

2

2

1

2

2

1

1

1

1

2

2

112 x

uxu

xu

xu

xu

xu

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂γ +++= . (2.22)

Se além dos deslocamentos u1 e u2 se se considerar também o deslocamento u3 obtém-se:

2

3

1

3

2

2

1

2

2

1

1

1

1

2

2

112 x

uxu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂γ ++++= . (2.23a)

Desenvolvendo para os planos x x1 3 e x x2 3 procedimento análogo ao acabado de realizar para o plano x x1 2 obtém-se:

3

3

1

3

3

2

1

2

3

1

1

1

1

3

3

113 x

uxu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂γ ++++= (2.23b)

para extensão de corte no ponto O no plano x x1 3 e

3

3

2

3

3

2

2

2

3

1

2

1

2

3

3

223 x

uxu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂γ ++++= (2.23c)

para extensão de corte no ponto O no plano x x2 3 . 2.6.3 - Tensor das extensões Considere-se dois pontos A e B de um corpo sólido tridimensional, sendo ds a distância entre estes dois pontos (ver Figura 2.11).

Page 15: Conceitos Fundamentais Da Teoria Da Elasticidade_CAP2

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

Joaquim Barros 2.15

X2

3X

X1

X'2

1X'X2

1X

3X

X'3

u 2

u1dx3dx2dx

ds

1u

B

Ads'

3udx'2

1dx'

dx'3

A'

B'

Sólido indeformado Sólido deformado

Figura 2.11 - Deformação de um elemento definido por dois pontos (A e B) de um corpo.

Ao corpo é aplicado um conjunto de forças que lhe induzem um estado de deformação. Como resultado, o ponto A move-se para A’ e o ponto B para B’. As coordenadas iniciais dos pontos A e B são x x x1 2 3, , e x dx x dx x dx1 1 2 2 3 3+ + +, , , respectivamente. Após a deformação as coordenadas destes pontos (A’ e B’) passam a ser x x x' , ' , '1 2 3 e x dx x dx x dx' ' , ' ' , '1 1 2 2 3 3+ + + , respectivamente, conforme se representa na Figura 2.11. O comprimento ds do segmento que une os pontos A e B, no corpo indeformado, é obtido por intermédio da seguinte relação: ds dx dx dx2

12

22

32= + + . (2.24)

Durante a deformação do corpo, este segmento varia de comprimento e de inclinação. O novo segmento, que liga os pontos A’ e B’, no corpo deformado, tem comprimento ds' obtido por ds dx dx dx' ' ' '2

12

22

32= + + . (2.25)

O deslocamento do ponto A para A’ é caracterizado pelo vector u , que tem as seguintes componentes:

u x xu x xu x x

1 1 1

2 2 2

3 3 3

= −= −= −

'''

. (2.26)

De forma similar, o deslocamento do ponto B para B’ é dado por u du+ , em que

Page 16: Conceitos Fundamentais Da Teoria Da Elasticidade_CAP2

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

Joaquim Barros 2.16

duux

dxux

dxux

dx

duux

dxux

dxux

dx

duux

dxux

dxux

dx

11

11

1

22

1

33

22

11

2

22

2

33

33

11

3

22

3

33

= + +

= + +

= + +

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(2.27)

constituem as componente do vector du . Substituindo (2.26) em (2.25) obtém-se: ds dx dx dx du dx du dx du dx du du du' .2

12

22

32

1 1 2 2 3 3 12

22

322 2 2= + + + + + + + + (2.28)

Considerando a relação (2.24), a equação (2.28) reduz-se à seguinte: ( )ds ds du dx du dx du dx du du du' .2 2

1 1 2 2 3 3 12

22

322− = + + + + + (2.29)

Substituindo (2.27) em (2.29) obtém-se:

313

3

1

3

3

2

1

2

3

1

1

1

1

3

3

1

323

3

2

3

3

2

2

2

3

1

2

1

2

3

3

2

212

3

1

3

2

2

1

2

2

1

1

1

1

2

2

1

23

2

3

3

2

3

2

2

3

1

3

3

22

2

2

3

2

2

2

2

2

1

2

2

21

2

1

3

2

1

2

2

1

1

1

122

2

2

2

212

212

212'

dxdxxu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

dxdxxu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

dxdxxu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

dxxu

xu

xu

xu

dxxu

xu

xu

xu

dxxu

xu

xu

xu

dsds

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+++++

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+++++

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+++++

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+=−

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

. (2.30a) Note-se que ds ds,2 2− é nulo se não ocorrer deslocamento relativo entre os pontos A e B quando estes se movem para A’ e B’ durante a deformação imposta pelas forças exteriores que actuam no corpo. Esta situação corresponderia a um movimento de corpo rígido. Para ds ds,2 2− diferente de valor nulo, o segmento AB mudou de comprimento, i.e., o sólido deforma-se. Assim, ds ds,2 2− pode ser escolhido como uma medida apropriada da deformação do sólido. Para definir as componentes de extensão, transforma-se a equação (2.30a) na seguinte:

Page 17: Conceitos Fundamentais Da Teoria Da Elasticidade_CAP2

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

Joaquim Barros 2.17

322331132112

2333

2222

2111

22

444222'

dxdxdxdxdxdxdxdxdxdsdsεεε

εεε++

+++=− (2.30b)

em que,

ε∂∂

∂∂

∂∂

∂∂11

1

1

1

1

22

1

23

1

212

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

ux

ux

ux

ux

(2.31a)

ε∂∂

∂∂

∂∂

∂∂22

2

2

1

2

22

2

23

2

212

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

ux

ux

ux

ux

(2.31b)

ε∂∂

∂∂

∂∂

∂∂33

3

3

1

3

22

3

23

3

212

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥

ux

ux

ux

ux

(2.31c)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++==

2

3

1

3

2

2

1

2

2

1

1

1

1

2

2

11212 2

121

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂γε (2.31d)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++==

3

3

2

3

3

2

2

2

3

1

2

1

2

3

3

22323 2

121

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂γε (2.31e)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++==

3

3

1

3

3

2

1

2

3

1

1

1

3

1

1

33131 2

121

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂γε (2.31f)

que em notação indicial se converte para:

( )εik i k k i i ku u u u= + +12 , , , ,l l (2.32)

em que ui k, representa a derivada de ui em relação a kx , i.e.,

uuxi k

i

k, .=

∂∂

(2.33)

Se as componentes de extensão forem conhecidas, as relações extensão-deslocamento estabelecidas em (2.31) ou (2.32) constituem um sistema de equações não lineares de derivadas parciais nas incógnitas deslocamentos. A entidade εik estabelecida em (2.32) denomina-se de tensor das extensões de Green, apesar de ser usualmente considerada como tendo sido introduzida por Green e Saint-Venant. Em engenharia utiliza-se, correntemente, em vez de ( )εik c i k/ ≠ o γ ik , em que γ εik ik p i k= ≠2 / (2.34) são as extensões de corte.

Page 18: Conceitos Fundamentais Da Teoria Da Elasticidade_CAP2

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

Joaquim Barros 2.18

Em estruturas que desenvolvam deslocamentos grandes é necessário utilizar o tensor das extensões estabelecido nas equações (2.31). No caso de estruturas que desenvolvam deslocamentos pequenos, os termos infinitesimais de segunda ordem de (2.31) podem ser desprezados face aos termos de primeira ordem, resultando

3,11,33

1

1

331

2,33,22

3

3

223

1,22,11

2

2

112

3,33

333

2,22

222

1,11

111

uuxu

xu

uuxu

xu

uuxu

xu

uxu

uxu

uxu

+=+=

+=+=

+=+=

==

==

==

∂∂

∂∂γ

∂∂

∂∂γ

∂∂

∂∂γ

∂∂ε

∂∂ε

∂∂ε

(2.35)

ou, em notação indicial,

( )εik i k k iu u= +12 , , . (2.36)

As componentes de extensão (2.31) podem ser agrupadas no denominado tensor das extensões de Cauchy que apresenta a constituição seguinte:

εε ε εε ε εε ε ε

ε ε ε ε=

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

= =11 12 13

21 22 23

31 32 33

21 12 31 13c / , e ε ε32 23= . (2.37)

sendo apenas seis as componentes independentes. Note-se que as equações (2.35) são agora lineares. 2.7 - Equações de compatibilidade Apesar de ser necessário conhecer o valor das seis componentes do tensor das extensões, (2.37), as equações (2.35) ou (2.36) contêm apenas três componentes de deslocamento: u u u1 2 3, , . Assim, este sistema de equações não possui uma solução única, pelo que as componentes independentes do tensor das extensões deverão satisfazer algumas condições adicionais. Considere-se, por exemplo, a derivada de γ 12 em relação a x1 e x2 :

∂ γ∂ ∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

212

1 2

2

1 2

1

2

2

1 2

2

1x x x xux x x

ux

= + . (2.38)

Sabe-se que se f é uma função contínua então

Page 19: Conceitos Fundamentais Da Teoria Da Elasticidade_CAP2

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

Joaquim Barros 2.19

∂∂ ∂

∂∂ ∂

2

1 2

2

2 1

fx x

fx x

= (2.39)

pelo que,

2

221

2

1

122

2

21

122

xu

xxu

xxx ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂γ∂

+= . (2.40)

Como ε ∂ ∂11 1 1= u x/ e ε ∂ ∂22 2 2= u x/ então (2.40) reduz-se à seguinte relação:

∂ γ∂ ∂

∂ ε∂

∂ ε∂

212

1 2

211

22

222

12x x x x

= + (2.41a)

o que significa que para se obter uma solução única no campo dos deslocamentos as extensões não podem ser independentes entre si. Por raciocínio semelhante obter-se-iam as seguintes restantes equações de compatibilidade:

22

332

23

222

32

232

xxxx ∂ε∂

∂ε∂

∂∂γ∂

+= (2.41b)

23

112

21

332

13

312

xxxx ∂ε∂

∂ε∂

∂∂γ∂

+= (2.41c)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=

2

31

1

23

3

12

321

332

2xxxxxx ∂γ∂

∂γ∂

∂γ∂

∂∂

∂∂ε∂

(2.41d)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

3

12

2

31

1

23

132

112

2xxxxxx ∂γ∂

∂γ∂

∂γ∂

∂∂

∂∂ε∂

(2.41e)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

1

23

3

12

2

31

213

222

2xxxxxx ∂γ∂

∂γ∂

∂γ∂

∂∂

∂∂ε∂

(2.41f)

2.8 - Relações tensão-extensão para materiais com elasticidade linear, homogéneos e isotrópicos Considere-se que a barra representada na Figura 2.12 é constituída por um material homogéneo, isotrópico, com comportamento elástico e linear.

Page 20: Conceitos Fundamentais Da Teoria Da Elasticidade_CAP2

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

Joaquim Barros 2.20

X3

X2

X1

1l

2l

3l

11

11

Figura 2.12 - Barra sob estado de tensão uniforme σ11 .

Se nas faces x1 1= l e x1 0= for aplicado um estado de tensão uniforme σ11 , sabe-se, pelas experiências realizadas por Robert Hooke, que a barra alongará de uma quantidade ∆l 1 , sofrendo assim uma extensão

ε111

1=∆ll

(2.42)

que se relaciona com a tensão σ11 por intermédio da denominada lei de Hooke: σ ε11 11= E (2.43) sendo E o módulo de elasticidade longitudinal do material. Sob o estado de tensão σ11 , além da extensão ε11 , desenvolvem-se extensões nas direcções x2 e x3 ,

2

222

l

l∆=ε ,

3

333

l

l∆=ε (2.44)

devidas à variação das dimensões da barra nas direcções x2 e x3 , conforme se representa na Figura 2.13.

Page 21: Conceitos Fundamentais Da Teoria Da Elasticidade_CAP2

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

Joaquim Barros 2.21

1x

l3

1

l2

l

x 3

2x

Figura 2.13 - Deformações na barra impostas pelo estado de tensão σ11 .

As extensões ε22 e ε33 relacionam-se com a extensão ε11 por intermédio das seguintes relações:

E

111122

συευε −=−= , E

111133

συευε −=−= (2.45)

em que υ é o coeficiente de Poisson. Para os materiais mais utilizados nas estruturas de Engenharia Civil o coeficiente de Poisson e o módulo de elasticidade longitudinal destes materiais é sensivelmente igual em tracção e em compressão. Nos betões correntes o E varia entre 25 a 40 GPa, enquanto o υ varia de 0.15 a 0.2. Por sua vez o aço apresenta um E variando de 190 a 210 GPa e um υ de aproximadamente 0.3. Se a barra representada na Figura 2.12 estiver submetida nas suas faces à acção simultânea de um campo de tensões uniforme 11σ , 22σ e σ33 , desenvolvem-se as seguintes extensões:

( )[ ]332211111 σσυσε +−=E

(2.46a)

( )[ ]113322221 σσυσε +−=E

(2.46b)

( )[ ]221133331 σσυσε +−=E

(2.46c)

em que se aplicou o princípio da sobreposição dos efeitos dado tratar-se de um material com comportamento linear e elástico. Assim, as expressões (2.46) podem ser obtidas adicionando os efeitos produzidos pela actuação separada de σ11 , σ22 e σ33 . Sob a actuação de σ11

desenvolvem-se as seguintes componentes de extensão:

εσ

ε υσ

ε υσ

1111

2211

3311= = − = −

E E E; ; . (2.47a)

Page 22: Conceitos Fundamentais Da Teoria Da Elasticidade_CAP2

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

Joaquim Barros 2.22

Sob a acção de σ22 ocorrem as seguintes componentes de extensão:

ε υσ

εσ

ε υσ

1122

2222

3322= − = = −

E E E; ; . (2.47b)

Finalmente, sob a actuação de σ33 desenvolvem-se as seguintes componentes de extensão:

ε υσ

ε υσ

εσ

1133

2233

3333= − = − =

E E E; ; . (2.47c)

Adicionando os correspondentes termos de (2.47) obtêm-se as expressões (2.46). As equações (2.46) definem completamente o estado de deformação de um corpo sujeito às tensões normais σ11 , σ22 e σ33 . Sob estas tensões o corpo sofre apenas extensões normais ε11 , ε22 e ε33 . Assim, se o corpo indeformado for um paralelepípedo, ainda o será após a deformação a que for submetido sob o estado de tensão constituído pelas componentes σ11 , σ22 e σ33 . Pode-se provar que em corpos constituídos por material isotrópico e com

comportamento linear e elástico, as componentes de tensão normal σ11 , σ22 e σ33 apenas produzem extensões normais ε11 , ε22 e ε33 . Nestes mesmos corpos as componentes de tensão de corte τ12 , τ23 e τ31 apenas induzem extensões de corte γ 12 , γ 23 e γ 31 , que se relacionam por intermédio das seguintes equações:

γτ

γτ

γτ

1212

2323

3131= = =

G G G; ; (2.48)

em que

( )GE

=+2 1 υ

(2.49)

é o módulo de elasticidade transversal do material. Se o prisma representado na Figura 2.12, além de solicitado pela tensão σ11 , estiver submetido a uma variação de temperatura ∆t desenvolvem-se as seguintes extensões:

εσ

α1111= +

Et∆ (2.50a)

ε υσ

α2211= − +

Et∆ (2.50b)

ε υσ

α3311= − +

Et∆ (2.50c)

em que α é o coeficiente de dilatação térmica do material com valor da ordem de 10-5 para os betões e para os aços. Se o corpo estiver submetido, simultaneamente, a tensões σ11 , σ22 e σ33 e à variação de temperatura ∆t desenvolver-se-ão as seguintes extensões:

Page 23: Conceitos Fundamentais Da Teoria Da Elasticidade_CAP2

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

Joaquim Barros 2.23

( )[ ] tE

∆++−= ασσυσε 332211111 , (2.51a)

( )[ ] tE

∆++−= ασσυσε 113322221 , (2.51b)

( )[ ] tE

∆++−= ασσυσε 221133331 . (2.51c)

Um corpo tridimensional submetido a tensões normais σ11 , σ22 e σ33 e tensões de corte τ12 , τ23 e τ31 desenvolve extensões normais ε11 , ε22 e ε33 e extensões de corte γ 12 , γ 23 e γ 31 que em notação matricial se relacionam por intermédio da seguinte expressão:

( )( )

( )

εεεγγγ

ν νν νν ν

νν

ν

σσστττ

11

22

33

12

23

31

11

22

33

12

23

31

1

1 0 0 01 0 0 0

1 0 0 00 0 0 2 1 0 00 0 0 0 2 1 00 0 0 0 0 2 1

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

− −− −− −

++

+

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

E (2.52a)

ou ε σ= C (2.52b) em que { }T

312312332211 γγγεεεε = (2.53) é o vector das componentes de extensão, { }T

312312332211 τττσσσσ = (2.54) é o vector das componentes de tensão e C é a matriz de flexibilidade do elemento. Se além de submetido ao estado de tensão caracterizado pelo vector σ , o corpo estiver também sujeito a uma variação de temperatura de valor ∆t , a expressão (2.52b) passará a apresentar a seguinte configuração: ε σ= +C C t (2.55) em que { }T

t tC 000111∆=α (2.56) é o vector correspondente à extensão de origem térmica. Invertendo a relação (2.52) obtém-se:

σ ε

ε==

−CD

1

(2.57)

em que D é a matriz de elasticidade do material, apresentando a seguinte constituição:

Page 24: Conceitos Fundamentais Da Teoria Da Elasticidade_CAP2

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

Joaquim Barros 2.24

( ) ( )DE

=+ −

−−

−−

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1 1 2

1 0 0 01 0 0 0

1 0 0 00 0 0

1 22

0 0

0 0 0 01 2

20

0 0 0 0 01 2

2

υ υ

υ υ υυ υ υυ υ υ

υ

υ

υ

. (2.58)

À relação (2.57) também é corrente atribuir-se a designação de lei constitutiva do material, dado que D inclui as propriedades do material, que no presente caso se admite ter comportamento linear e elástico. Se o corpo também estiver submetido a variação de temperatura ∆t , a sua lei constitutiva obtém-se invertendo a equação (2.55), resultando: σ ε= +D Dt (2.59) em que

{ }Tt

tED 00011121 υ

α−∆

−= (2.60)

é o vector que fornece as componentes de tensão de origem térmica. Existem estruturas que, pelo seu modo de funcionamento, podem ser consideradas como estando submetidas a estado plano de tensão ou a estado plano de deformação. As vigas altas e as paredes são exemplos de estruturas submetidas a estado plano de tensão, dado que é nula a tensão normal ao plano da estrutura, 033 =σ . Por sua vez, os túneis, as barragens de elevado comprimento longitudinal e os muros de suporte de terras são exemplos de estruturas que podem ser consideradas sob estado plano de deformação, dado que é nula a extensão normal ao plano da estrutura, 033 =ε . Estado Plano de Tensão Uma estrutura é considerada em estado plano de tensão se for geometricamente plana e se for nula a tensão normal ao plano da estrutura. Assim, se a estrutura estiver inscrita, por exemplo, no plano definido pelos eixos 0 1x e 0 2x , então σ τ τ33 23 31 0= = = , dado que as acções que solicitam essa estrutura actuam no plano da estrutura, isto é, no plano x x1 2 . Neste caso as relações (2.55) e (2.59) passam a apresentar a seguinte configuração:

( )

εεγ

υυ

υ

σστ

α11

22

12

11

22

12

11 0

1 00 0 2 1

110

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥=

−−

+

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥+

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥E

t∆ , (2.61)

Page 25: Conceitos Fundamentais Da Teoria Da Elasticidade_CAP2

Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

Joaquim Barros 2.25

σστ

υ

υυ

υ

εεγ

αυ

11

22

12

2

11

22

12

1

1 01 0

0 01

21

110

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥=

− −

⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥−

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

E E t∆. (2.62)

Note-se que em estado plano de tensão a extensão ε33 pode ser diferente de zero, sendo o seu valor obtido atribuindo o valor nulo a σ33 na equação (2.46c) resultando:

( )

ευ σ σ

3311 22= −+

E. (2.63)

Se a estrutura estiver submetida a uma variação de temperatura ∆t , será adicionado o termo α ∆t a (2.63). Estado Plano de Deformação Uma estrutura é considerada em estado plano de deformação se for geometricamente plana e se for nula a extensão normal ao plano da estrutura. Assim, se a estrutura estiver inscrita, por exemplo, no plano definido pelos eixos 0 1x e 0 2x , então ε γ γ33 23 31 0= = = . Neste caso, as relações (2.55) e (2.59) passam a apresentar a seguinte constituição:

( )εεγ

υυ υυ υ

σστ

υ α11

22

12

11

22

12

11 0

1 00 0 2

1110

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥=

+− −− −

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥+ +

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥E

t∆ , (2.64)

( )( )

σστ

υ υ

υ υυ υ

υ

εεγ

αυ

11

22

12

11

22

12

1 1 2

1 01 0

0 01 2

21 2

110

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥=

+ −

−−

⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥−

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

E E t∆. (2.65)

Note-se que em estado plano de deformação σ 33 pode ser não nula. O seu valor é obtido a partir da equação (2.46c) tendo em conta que agora ε33 0= , pelo que:

( )[ ]01

33 11 22= − +E

σ υ σ σ (2.66a)

resultando ( )σ υ σ σ33 11 22= + . (2.66b) Estado de tensão e de deformação unidimensional As barras de estruturas articuladas, isto é, de estruturas constituídas por barras com rótulas nas suas extremidades estão submetidas ao caso mais simples de estado de tensão e de extensão, dado que só têm uma componente de tensão e correspondente componente de

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Estruturas I Capítulo 2 - Conceitos básicos da teoria da elasticidade

Joaquim Barros 2.26

extensão. Assim, se o eixo da barra se orientar segundo o eixo x1 e se a barra tiver um comprimento muito superior às dimensões de qualquer uma das possíveis secções transversais (de forma a desprezar as extensões ε22 e ε33 ), as barras de uma estrutura articulada estarão submetidas a estado unidimensional de tensão e de extensão, dado que σ σ τ τ τ22 33 12 23 31 0= = = = = e ε ε γ γ γ22 33 12 23 31 0= = = = = . Neste caso as equações (2.55) e (2.59) passam a apresentar a seguinte configuração:

ε σ α11 11

1= +

Et∆ (2.67)

e σ ε α11 11= −E E t∆ (2.68)