Figueiredo – 2010

Teoria dos GrafosAula 17

Aula passadaProblema da soma do subconjunto (subset sum)Programação dinâmicaProblema da mochila

Aula de hojeAlinhamento de sequênciasProgramação dinâmicaCaminho mais curto (abordagem via grafos)

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Sugestões do Google

Como o Google faz isto?realmente sabia o que eu procurava?

por que não sugeriu “esperando” ou “expansão”?

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Medindo Similaridade Problema: medir “semelhança” entre duas palavras

Idéia: quantidade de modificações para transformar uma palavra em outra

mais modificações, maior diferença

Ex. exparansa e esperado

exparansa

esperado-

Operações de substituição e adição ou remoção (gap)

5 operações

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Medindo Similaridade Generalização: operações podem ter custos diferentes

ex. adição é mais caro do que substituição

Custo depende da substituiçãoex. trocar vogal por consoante é mais caro do que vogal por vogal

De forma geral, para cada par de letras p, q

pq = custo de substituir p por q

= custo do “gap” (remoção/adição)

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Exemplo

pq = 1 : quando p , q são vogais

pq

= 2 : caso contrario

= 3

exparansa

esperado-

Custo?2+1+2+2+3 = 10

exparansa

esperança

Custo?2+1+2 = 5

Custo?2+2+2+2+3 = 11

exparansa

expansão-

Google sugere palavra de menor custo (maior similaridade)

Menor custo depende dos pesos

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Alinhamento de PalavrasProblema: Determinar menor custo entre duas palavras

muitas maneiras de transformar uma palavra na outra

Ex. exparansa e expansão

Custo?2+2+2+2+3 = 11

exparansa

expansão-

Custo?2+3+3+1+3 = 12

Problema do alinhamento entre palavras

exparansa-

expan--são

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Genoma: Código da VidaGenoma: conjunto de moléculas do DNA de um organismo (gens ou cromossomos)

DNA: longa sequência de apenas 4 substâncias (A,C,G,T)

humano: 6 bilhões, ao todo

Subsequências (gigantes) determinam funcionalidade

ex. resistência a uma determinada toxina, controle do metabolismo, etc.

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Alinhamento de DNA

Problema: Medir similaridade entre os gens

Objetivo: Identificar gens (parte da sequência do DNA) que são similares

entre indivíduos, entre espécies, etc.

Problema importante e atual da área de Biologia Computacional

de grande interesse na biologia molecular

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Alinhamento de DNAMedir similaridade entre longas sequências

custo de transformação das sequências

Ex. similaridade entre as sequências ACCCAACCCCAAC e ACACAAACCCCCAC

ACCCAACCCCAAC-

ACACAAACCCCCAC

ACCCAA--CCCCAAC

ACACAAACCCCCA-C

Problema: Encontrar transformação de menor custo (definição de similaridade)

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EmparelhamentoConsidere duas sequências (de tamanho m e n)

X = x1 x

2 ... x

m

Y = y1 y

2 ... y

n

Emparelhamento M: conjunto de pares ordenados (i, j) tal que cada elemento i ou j ocorre em no máximo 1 par

Exemplo

x1 x

2 x

3 x

4 x

5

y1 y

2 y

3 y

4 y

5 y

6

M = {(1, 1), (2, 4), (3, 2), (5, 6)}

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AlinhamentoConsidere duas sequências (de tamanho m e n)

X = x1 x

2 ... x

m

Y = y1 y

2 ... y

n

Emparelhamento M é um alinhamento, quando não há cruzamentos

Para todo (i, j) e (i', j') pertencente a M, se i < i', então j < j'

M (slide anterior) é alinhamento?

M = {(1, 1), (2, 4), (3, 2), (5, 6)}

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Alinhamento

Exemplo: espera e perna

esper-a

--pernaM = {(3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 5)}

-esper-a

pe---rnaM = {(1, 2), (5, 3), (6, 5)}

Emparelhamento (alinhado) define a transformação

Cada emparelhamento tem um custo

Problema: Encontrar emparelhamento que minimiza o custo (ótimo)

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Alinhamento de SequênciaAbordagem via programação dinâmica

Estudo da solução ótima MM emparelhamento de menor custo

O que podemos dizer sobre o último par (m, n)?

último símbolo das duas sequências

Ou (m,n) pertence a M ou (m,n) não pertence a M

O que podemos afirmar quando (m,n) não pertence a M?

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Alinhamento de SequênciaSe (m, n) não pertence a M, então ou a posição m de X ou a posição n de Y não aparece em nenhum par

caso contrário, (se as duas aparecem em dois pares) teríamos um cruzamento

Se M é ótimo, então sabemos que(m, n) pertence a M ou

posição m de X não está emparelhada em M ou

posição n de Y não está emparelhada em M

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Analisando Solução Ótima

OPT(i, j): custo da solução ótima com as respectivas subsequências de X e Y

Variáveis para definição dos subproblemas?

número de caracteres sendo considerados da sequência X e Y (a partir do início)

i : x1

x2 ... x

i -- j : y

1 y

2 ... y

j

Três casos para considerar

1) Se (m, n) pertence a M

Custo do emparelhamento entre xm e y

n (que

pode ser zero) + custo do subproblema ótimo

OPT(m, n) = xm yn

+ OPT(m-1, n-1)

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Analisando Solução Ótima2) Se posição m de X não está emparelhada

Custo de um gap (da posição m de X) + custo da solução ótima sem a posição m de X

OPT(m, n) = + OPT(m-1, n)

3) Se posição n de Y não está emparelhada

Custo de um gap (da posição n de Y) + custo da solução ótima sem a posição n de Y

OPT(m, n) = + OPT(m, n-1)

Solução ótima considera caso de menor custo

entre as três possibilidades

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Analisando Solução Ótima

OPT(i, j) = min ( xi yj

+ OPT(i-1, j-1),

+ OPT(i-1, j), + OPT(i, j-1)

Generalizando o argumento para qualquer subsequência de tamanho i e j

Quando emparelhamento (i, j) pertence a solução ótima?

Quando primeiro caso é o mínimo

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AlgoritmoAlgoritmo para calcular OPT(n, m)?

iterativo, não recursivo (mas utilizando recursão)Alinhamento­OPT(X, Y)

Array A[0,...,m ; 0,...,n]Init A[i,0] = i*, para i = 0,...,mInit A[0,j] = j*, para j = 0,...,nInit A[0,0] = 0

For j = 1, ..., nFor i = 1, ..., m

A[i,j] = min((X[i],Y[j]) + A[i­1,j­1],  + A[i­1, j],   + A[i, j­1]) 

Retorna A[m,n]

Inicialização: “gap” em todos os caracteres quando a outra sequência é vazia

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ComplexidadeTempo de execução do algoritmo?

Número de elementos da matriz A

cada elemento da matriz A tem tempo constante O(1)

Complexidade O(m n)

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Redução para GrafosAlinhamento de sequências pode ser mapeado em problema de grafos

problema de menor caminho

Dado duas sequências X e Y, construir um grafo direcionado G

XY em um grid

Elemento (i, j) do grid corresponde aos índices (i, j) das sequências

Arestas direcionadas apenas entre vizinhos no grid (horizontal, vertical e diagonal)

Pesos correspondem ao custos de gap (horizontal e vertical) ou substituição (diagonal)

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Construindo o GrafoEx. X = x

1 x

2 x

3 Y = y

1 y

2 y

3 y

4

y1

y2

y3

y4

Mover na horizontal ou vertical, é igual a introduzir um gap

custo Mover na diagonal é igual a emparelhar (i, j)

custo xi yj

x1

x2

x3

0

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Caminho MínimoSeja c(i, j) o custo mínimo para ir do vértice (0, 0) ao vértice (i, j)

Então, para qualquer (i, j)

c(i, j) = OPT(i, j)custo do caminho mínimo é igual ao custo do emparelhamento ótimo

Prova por indução (e muito intuitiva)

Caminho de custo mínimo determina emparelhamento

c(m,n) é solução para o problema

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ComplexidadeSolução mais eficiente para o problema?

Número de vértices do grafo

(m+1)(n+1) ~ mn

Número de arestas do grafo

~ 3mn

Complexidade de Dijkstra (caminho mínimo)

O((n + m)log n), onde n é número de vértices e m número de arestas

Logo, com Dijkstra temos O(mn log mn)

Não reduz complexidade (necessariamente)

mas interpretação vem ajudando desenvolver outros algoritmos