Teoria de utilidade e seguro

introducaobreves nocoes acerca da teoria da utilidade

alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidadeelementos de seguro

1. teoria da utilidade e seguro

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1 introducao

2 breves nocoes acerca da teoria da utilidade

3 alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade

4 elementos de seguro

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Introducao

Um sistema de seguranca e, de um modo lato, um mecanismocriado com o objectivo de reduzir o impacto financeiro adversoresultante de acontecimentos aleatorios que impedem aconcretizacao de certas perspectivas razoaveis a partida.

Outro sistema que afecta pagamentos associados na ocorrencia deacontecimentos aleatorios e o JOGO.No entanto, este distingue-se do primeiro pelo facto daquele(sistema de seguranca) ser criado com vista a proteger contraoimpacto economico de riscos que existem e estao fora de controledo segurado, enquanto que no jogo o risco e”procurado”voluntariamene pelos participantes.

Efectivamente, o unico ponto comum entre estes dois sistemas e ofacto de envolverem uma redistribuicao da riqueza.

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breves nocoes acerca da teoria da utilidade

Se cada um de nos pudesse predizer as consequencias das nossas decisoesobviamente que a nossa vida seria muito simplificada, mas contudo...desinteressante!

Tudo se resumiria a tomar decisoes com base nas preferenciasrelativamente as consequencias.

No entanto, na possuimos (e ainda bem!) esse dom profetico.

O melhor que podemos fazer e seleccionar uma accao que nos iraconduzir preferencialmente a um conjunto de incertezas.

A teoria da utilidade e uma teoria elaborada no sentido de levar a um

conhecimento aprofundado acerca de como tomar decisoes face a

incerteza. Trata-se de uma teoria com importancia relevante para os

sistemas de seguranca.4 / 57



Assim, face ao problema de tomar uma decisao face aincerteza, uma solucao possıvel podera ser definir o valor deum projecto economico com resultado aleatorio atraves do seuvalor esperado. Em economia e designado este valor por ValorJusto ou Valor Actuarial.

Atraves deste princıpio, o agente de decisao encara de modoindiferente entre assumir um prejuızo aleatorio X e efectuarum pagamento de montante E [X ].

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No entanto, muitos agentes de decisao nao adoptam esteprincıpio (por vezes, designado como Princıpio do ValorJusto); para eles, o nıvel de riqueza e outros aspectos dadistribuicao dos resultados influenciam as suas decisoes. Noexemplo seguinte esta bem patente a insuficiencia do princıpioreferido.

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Exemplo 1.1. (seguro de acidentes)Considere-se P[acidente]=0.1 inalterada.

Os tres casos seguintes estao escalonados de acordo com omontante de prejuızo resultante de um acidente, eventualmente.

Prejuızos Possıveis (u.m.)1 Prejuızo Esperado (u.m.)

caso 1 0 1 0.1caso 2 0 1.000 100caso 3 0 1.000.000 100.000

No caso 1 o montante de perdas nao e relevante, pelo que oagente de decisao nao estara disposto a pagar mais do que o valoresperado dos prejuızos para efectuar o seguro.

1u.m. - unidade monetaria7 / 57



Contudo, se fixarmos a nossa atencao no caso 3, um prejuızo de1.000.000 u.m. podera revelar-se catastrofico e exceder as suasdisponibilidades financeiras.

Neste caso, possivelmente o agente de decisao podera estardisposto a pagar ”mais do que”o valor esperado do prejuızo deforma a efectuar o seguro.

Este facto sugere que o ”princıpio do valor Justo”nem sempre e omais adequado como base da decisao.

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ALTERNATIVAS?

Iremos ver uma abordagem que de certo modo explica o facto deum agente de decisao poder estar disposto a pagar mais do que ovalor esperado -

a funcao utilidade.

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Os tres exemplos seguintes situam-se na area dos JOGOS e servempara ilustrar alguns dos conceitos fundamentais na Teoria daUtilidade.

Exemplo 1.2.

Embora dois jogos distintos X e Y possam ter o mesmo ganhoesperado, uma pessoa que seja forcada a aceitar um dos dois jogos,preferira tipicamente um deles ao outro.

Por exemplo, sejam

X :

{500 −4001/2 1/2

e Y :

{60 50 40

1/3 1/3 1/3

com E [X ] = E [Y ] = 50.

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Contudo, uma pessoa que nao queira arriscar perder 400 u.m. parater a possibilidade de ganhar 500 u.m.,preferira, de um modo geral,o jogo Y , que lhe oferece a possibilidade de um ganho certo de,pelo menos, 40 u.m. .

A Teoria da Utilidade foi desenvolvida nos anos 30/40 com oobjectivo de descrever as preferencias pessoais em jogos como osque acabamos de descrever:

Uma pessoa preferira um jogo X para o qual o valor esperado deuma certa funcao u(X ), E [X ], seja um maximo (em vez de E [X ]!)

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u(.) −→ funcao utilidadex −→ u(x)

u(x), que representa o valor que a pessoa atribui ao facto deganhar o montante x .

because giving a bank note to a poor person makes more sensethan giving it to a millionaire – Rolski et al. (1999)

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E [u(X )] =1

2u(500) +

1

2u(−400)

E [u(Y )] =1

3u(60) +

1

3u(50) +

1

3u(40)

> prefere XE [u(X )] = E [u(Y )] indiferente entre X e Y

< prefere Y

u(x) e uma funcao crescente do ganho X

E uma hipotese razoavel, se pensarmos que pessoa prefere umganho maior a outro mais pequeno!

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Contudo, a forma de uma funcao utilidade u(.) varia de pessoapara pessoa e depende do balanco pessoal entre o risco assumidoreferente aos diversos montantes e a tentativa de aumentar os seusganhos.

Exemplo 1.3.

jogo 1. jogo 2.

X :

{−3 2.5 60.5 0.4 0.1

Y :

{−2 1 30.3 0.4 0.3

Qual a preferencia pessoal entre o jogo 1 e o jogo 2?

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a) Funcao utilidade linear: u(x) = ax + b, a > 0.

E [u(X )] = E [aX + b] = aE [X ] + b = aµX

+ b, donde

E [u(X )] > E [u(Y )] sse µX> µ

Y

portanto,quando a utilidade e linear o jogo escolhido e sempre aquele para oqual o ganho esperado e maximo.

E [X ] = 0.5× (−3) + 0.4× 2.5 + 0.1× 6 = 0.1

E [Y ] = 0.7

⇒ E [Y ] > E [X ]

e portanto a preferencia e pelo jogo 2.

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b) Funcao utilidade cubica: u(x) = x3

E [u(X )] = 0.5× (−3)3 + 0.4× (2.5)3 + 0.1× (6)3 = 14.35

E [u(Y )] = 6.1

E [u(X )] > E [u(Y )]

⇒ preferencia pelo jogo 1 (X )

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Exemplo 1.4. (Paradoxo de St. Petersburg)

O exemplo que se segue foi discutido por Daniel Bernoulli nosprincıpios do sec. XVIII, como exemplo ilustrativo do facto dafuncao utilidade, considerada como funcao dos lucros possıveis,podera nao ser uma funcao linear.

Suponhamos que e dada a oportunidade a uma pessoa departicipar no seguinte jogo:

Uma moeda e lancada repetidamente ate que seja obtida a face“cara”pela primeira vez.

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Se a primeira vez que a face “cara”aparece e no n−esimolancamento, entao a pessoa obtem um GANHO de 2n u.m. ,(n = 1, 2, . . .)

Questao:Qual o montante que uma pessoa esta disposta a gastar comoentrada de forma a permitir a sua participacao no jogo?

P[X = 2n] = P[obter primeira face “cara”no n-esimo lancamento] =

=

(1

2

)n−1

× 1

2=

(1

2

)n

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O ganho no jogo e descrito por

X :

{2n, n = 1, 2, . . .(

12

)n,

E [X ] =∞∑

n=1

2n

(1

2

)n

=∞

Se a funcao utilidade fosse uma funcao linear, entao a pessoaestaria disposta a pagar como entrada qualquer montantearbitrario.

No entanto, o que acontece de facto e que cada pessoa estadisposta a pagar apenas uma quantia finita (e eventualmentereduzida), que depende da sua propria funcao utilidade.

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alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva dautilidade

A funcao utilidade, u(.), associada a um agente de decisao, podeentao ser usada com o objectivo de comparar duas perspectivaseconomicas aleatorias X e Y .

Seja w a riqueza que possui determinado agente de decisaoeconomica. Sera seleccionada a perspectiva economica X se

E [u(w + X )] > E [u(w + Y )]

e sera indiferente entre as duas perspectivas X e Y se

E [u(w + X )] = E [u(w + Y )]

quer dizer, a relacao de preferencia qualitativa ou de indiferencapode ser substituıda por uma comparacao numerica consistente.

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Vejamos como a teoria da utilidade nos pode levar a umconhecimento aprofundado no campo dos SEGUROS.

Suponhamos que um agente de decisao possui uma propriedadeque pode ser danificada ou destruıda no perıodo de temposeguinte.

Seja X a variavel aleatoria que representa o montante de prejuızos(que pode ser eventualmente zero).Consideremos tambem que a distribuicao de X e conhecida.

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X −→ montante de prejuızo

E [X ] −→ prejuızo esperado no proximo perıodo.

SEGURADOR −→ organizacao que ajuda a reduzir asconsequencias financeiras do dano ou destruicao dapropriedade.

SEGURADO −→ dono da propriedade sujeita a risco

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APOLICES −→ contratos estabelecidos entre o segurador e osegurado no sentido de ser pago um montante igual ou menordo que o prejuızo financeiro sofrido face ao dano que venha aocorrer eventualmente, no perıodo de vigencia da apolice →pagamento da indemnizacao.

PREMIO −→ pagamento efectuado pelo segurado aosegurador como retribuicao das ”promessas”contidas naapolice por parte do segurador.

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princıpio do valor justo (ou esperado)

Supondo que o segurador adopta uma funcao de utilidade linearcom o objectivo de estabelecer o premio a ser pago pelo segurado,o PRINCIPIO DO VALOR JUSTO ou ESPERADO estabelece essemontante.

µ = E [X ]→ premio puro para o perıodo da apolice em causa.

Este montante e incrementado de alguma sobrecarga (ou CARGA)de forma a cobrir despesas, impostos, lucros e alguma segurancacontra o risco.

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Premio = premio puro + carga de seguranca + carga admnistrativa

por exemplo :

P = µ(1 + θ) + c = µ+ θ · µ+ c

com θ, c > 0 e onde

θ – COEFICIENTE de CARGA DE SEGURANCA

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Princıpios de Calculo de Premio

Existem outros princıpios economicos que podem ser adoptadospelas seguradoras.Assim, e com µ := E [X ], quando:carga de seguranca=

= θ · µ – Princıpio do Valor Esperado.

= θ · VAR[X ] – Princıpio da Variancia.

= θ ·√

VAR[X ] – Princıpio do Desvio Padrao.

= θ · VAR[X ]/µ – Princıpio Modificado da Variancia.

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Vejamos agora a perspectiva do dono da propriedade sujeita a risco- segurado - em termos da teoria da utilidade - u(x).

perspectiva do segurado

A indiferenca entre pagar um montante G ao segurador e assumiro risco ele proprio pode ser estabelecido pela igualdade

u(w − G ) = E [u(w − X )] (∗)

onde

u(w − G )→ valor esperado do pagamento de G paraproteccao financeira dada pela seguradora

E [u(w − X )]→ utilidade esperada de nao comprar o seguro,quando a riqueza e w

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No entanto...

O contrato da apolice devera ser vantajoso para ambas aspartes- segurado e segurador.

Sob este ponto de vista iremos ver que o dono da propriedade naopode ter uma funcao utilidade linear.

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Por absurdo, suponhamos que u(w) = aw + b, a > 0. De (∗),

a(w − G ) + b = E [a(w − X ) + b]

⇔ a(w − G ) + b = aE (w − X ) + b,

⇔ a(w − G ) + b = a(w − µ) + b,

pelo queG = µ

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O que quer dizer:

O pagamento (maximo) G que o segurado esta disposto a pagarde modo a ser indiferente fazer o seguro ou nao, e igual ao prejuızoesperado, µ.

Ora, vimos anteriormente que na perspectiva da seguradora, paraque o contrato resulte, a companhia devera cobrar um premiomaior do que os prejuızos esperados. Isto e, G > µ

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Desigualdade de Jensen:Seja u(w) uma funcao crescente, concava. Isto e, suponhamos queu′(w) > 0 e u′′(w) < 0.Entao, para toda a v.a. X , desde que os valores medios envolvidosexistam, tem-se

E [u(X )] ≤ u(E [X ])

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Dem:

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u(w) ≤ u(µ) + u′(µ)(w − µ), ∀w

pelo queE [u(X )] ≤ E [u(µ) + u′(µ)(X − µ)]

⇔ E [u(X )] ≤ u(µ) + u′(µ)E [(X − µ)]

e, consequentemente,

E [u(X )] ≤ u(µ), c.q.d.

Verifica-se a igualdade apenas se X for constante.

Observacao: Esta desigualdade e de grande aplicabilidade emMatematicas Actuariais.

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Retomamos agora o problema da funcao utilidade adoptada pelodono da propriedade, de forma a tornar vantajoso para ambas aspartes o contrato constante da apolice.

De (*) vem o seguinte quando u(.) e concava:

u(w − G ) = E [u(w − X )] ≤ u(w − µ)

a desigualdade decorre da desigualdade de Jensen e, porque u(.) ecrescente, conclui-se que

w − G ≤ w − µ

e consequentementeG ≥ µ.

Com G > µ a menos que X seja constante.

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Entao,o segurado pagara um montante maior do que o prejuızo esperadode forma a efectuar o seguro → ADVERSO AO RISCO.

Voltemos ao ponto de vista do segurador, associando uma funcaoutilidade concava u1(.). Consideremos tambem

H → premio mınimo aceitavel para assumir o prejuızoaleatorio X

w1 → riqueza corrente

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perspectiva do segurador

u1(w1) = E [u1(w1 + H − X )]

Corresponde ao

Princıpio de utilidade nula: a utilidade da riqueza corrente sejaigual ao valor esperado da riqueza final, i.e., depois de feito oseguro (recebidos os premios (H) e pagos os prejuızos ouindemnizacoes (X )).

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Entao, se u1(.) e concava (e crescente) vem H ≥ µ

apolice praticavel

Se

G ≥ H ≥ µ

entao a apolice e praticavel!

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Exemplos de funcoes utilidade

funcoes utilidade exponenciais

u(w) = −e−αw

propriedades da funcoes utilidade exponenciais

u(w) e uma f. utilidade associada a uma atitude adversa faceao risco. (u′(w) > 0 e u′′(w) < 0)

Tem-se que E [u(X )] = −MX

(−α), com MX

(r) = E [erX ] af.g.m. de X .

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propriedades da funcoes utilidade exponenciais

O premio de seguro nao depende da riqueza do agente dedecisao (segurado ou seguradora)

u(w − G ) = E [u(w − X )]⇒ −e−α(w−G) = E [−e−α(w−X )]

⇒ eαG = MX

(α)⇒ G =log M

X(α)

α

que nao depende de w .

Analogamente,

u1(w1) = E [u1(w1 + H − X )]⇒ H =log M

X(α1)

α1

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Exemplo de aplicacao:

Um agente de decisao tem f. utilidade u(w) = −e−5w . Face aduas perspectivas economicas X e Y , qual delas prefere quando

1 X ∼ N(5, 2) e Y ∼ N(6, 2.5)

2 X ∼ N(5, 2) e Y ∼ N(6, 2.4)

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Resolucao:

Recorde-se que X ∼ N(µ, σ2)⇒ MX

(r) = eµr+σ2r2/2

1

E [u(X )] = −MX

(−5) = −1

eE [u(Y )] = −M

Y(−5) = −e−1.25

tem-se E [u(X )] > E [u(Y )] e portanto prefere X .

Observacao: note-se que µX< µ

Y

2 Neste caso, E [u(Y )] = −1 e portanto e indiferente entre X eY .

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funcoes utilidade potencia fraccionarias

u(w) = wγ , w > 0, 0 < γ < 1

propriedades da funcoes utilidade potencia fraccionarias

atitude adversa face ao risco. (u′(w) > 0 e u′′(w) < 0)

premios dependem da riqueza do agente de decisao.

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u(w) =√

w ; considere-se w = 10 e X ∼ U(0, 10). Qual omontante maximo (G ) que o agente esta disposto a pagar para tercobertura face a um prejuızo aleatorio X ?

Resolucao:

u(10− G ) = E [u(10− X )]

⇔√

10− G =

∫ 10

0

√10− x

1

10dx

⇔ G ==2

3

√10⇔ G = 10× 5

9= 5.56

Observacao: Note-se que se verifica, tal como foi discutido atras,G > E [X ]

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funcoes utilidade quadraticas

u(w) = w − αw 2, w <1

2α, α > 0

propriedades das funcoes utilidade quadraticas

atitude adversa face ao risco. (u′(w) > 0 e u′′(w) < 0)

a decisao depende apenas do valor medio e da varianciade X, E [X ] e E [X 2].

Observacao: este tipo de funcoes utilidade pode ter comoconsequencia certas atitudes “absurdas”face ao risco. Vejamos umexemplo disso:

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Consideremos o seguinte cenario:

u(w) = w − 0.01w 2, w < 50; X :

{0 cp 1− p

Qual o montante maximo (G ) que o agente de decisao estadisposto a pagar para ter cobertura face a um prejuızo aleatorioX ? Considere c = 10 e p = 1

2 e compare os resultados para doisvalores de w , w1 = 10 e w2 = 20.

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Resolucao:

u(w − G ) = E [u(w − X )]

pelo que G devera satisfazer a seguinte equacao de segundo grau:

(w − G )− 0.01(w − G )2 = pu(w) + (1− p)u(w − c)

= p[w − 0.01w 2] +

(1− p)[(w − c)− 0.01(w − c)2]

w1 = 10 −→ G = 5.28

w1 = 20 −→ G = 5.37

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Observacoes:

1 em ambos os casos G > E [X ] = 5 (adverso ao risco);

2 a conclusao e algo absurda! O agente de decisao esta dispostoa pagar um premio superior no caso se ser, a partida, maisrico, exactamente pelo mesmo valor do dano (c = 10)!

As funcoes utilidade quadraticas nao sao convenientes paraagentes de decisao com tendencia a sofrer prejuızos que aumentamno sentido da riqueza.

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tipos de cobertura

Temos vindo a falar de seguros de cobertura total face a umpossıvel dano que afecte um agente de decisao.

Vejamos no seguinte exemplo as consequencias que advem dofacto de ser adoptada uma polıtica de cobertura parcial.

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Exemplo:

Consideremosu(w) = −e−0.005w .

A probabilidade que uma propriedade nao seja danificada, noproximo perıodo, e de 0.75; sendo sujeita a um danoconvenientemente modelado pelo modelo EXPONENCIAL de valormedio 100, caso contrario.Compare os montantes premio quando tem a sua escolha cadauma das seguintes polıticas face ao dano:

1 Cobertura total;

2 Cobertura parcial, de metade dos danos. (seguroPROPORCIONAL).

e calcule o montante de excesso face as indemnizacoes esperadas,em cada um dos casos.

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Resolucao:

O dano, X , e uma v.a. mista:

X :

{0 Z ∼ Exp(100)

0.75 0.25,

fZ

(z) = 0.01e−0.01z , z > 0; I (X ) := cobertura.

1 Cobertura Total, i.e., tem-se I (X ) = X .

E [I (X )] = E [X ] = 0.75×0+0.25×E [Z ] = 0.25×100 = 25u.m.

2 Cobertura Parcial de tipo Proporcional tem-se I (X ) = X2 .

E [I (X )] =25

2= 12.5u.m.

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Determinemos para ambos os casos o montante maximo que oagente esta disposto a pagar para ter a cobertura contratada, G :

caso 1: cobertura total

u(w − G ) = E [u(w − X )]

= 0.75u(w) + 0.25E [u(w − Z )]

−e−0.005(w−G) = 0.75(−e−0.005w ) + 0.25E [−e−0.005(w−Z)]

(−e−0.005w )e0.005G = 0.75(−e−0.005w )

+0.25(−e−0.005w )E [e0.005Z ]

e0.005G = 0.75 + 0.25E [e0.005Z ]

Note-se que E [e0.005Z ] = MZ

(0.005).

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Sendo MZ

(r) = 11−100r , para r < 0.01, obtemos M

Z(0.005) = 2

e portantoG = 44.63u.m.

donde o excesso face a indemnizacao esperada e

G − E [I (X )] = G − E [X ] = 44.63− 25 = 19.63u.m.

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caso 2: cobertura parcial de metade dos danos.Desta vez vamos igualar a utilidade esperada com coberturaparcial a utilidade esperada sem cobertura.

E [u(w − G − (X − I (X )))] = E [u(w − X )]

E

[u

(w − G − X

2

)]= E [u(w − X )]

0.75u(w − G ) + 0.25E

[u

(w − G − Z

2

)]=

= 0.75u(w) + 0.25E [u(w − Z )]

...

G = 28.62u.m.

G−E [I (X )] = 28.62−12.5 = 16.12 > 12.5 (perda parcial esperada)

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elementos de seguro

Uma vez identificada uma classe de situacoes sujeitas a risco (ecomo tal candidatas a seguro) podem ser obtidas informacoesacerca das utilidades esperadas, associadas ao processo deprejuızos respectivo.

As ideias acerca da teoria da utilidade que foram apresentadas temsido usadas como fundamento para uma teoria elaborada nosentido de constituir um guia para os agentes de decisao, nosentido de tomarem accoes consistentes com as suas preferencias.

Facamos um ponto da situacao nesse campo:

0 ≤ I (X ) ≤ X .(apolices admissıveis)

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Hipotese simplificadora do problema

Suponhamos que qualquer apolice admissıvel pode ser adquiridapelo montante respeitante a indemnizacao esperada

−→ E [I (X )] ≤ E [X ]

Suponhamos que a funcao utilidade e tal que o agente dedecisao e adverso ao risco (u′(w) > 0 e u′′(w) < 0)

P- premio a ser pago pelo agente de decisao.

0 < P = E [I (X )] ≤ E [X ]

E [X ] = µ

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Teorema: Arrow (1963) (seguro de saude)

De acordo com as condicoes anteriores, a utilidade de um agentede decisao adverso face ao risco e MAXIMIZADA adquirindo umaapolice de seguro tipo ”STOP-LOSS”ou ”EXCESS-OF-LOSS”

Id∗ (x) =

{0 , x < d∗

x − d∗ , x ≥ d∗

em que d∗ e solucao da equacao

P =

∫ ∞d

(x − d)f (x)dx (= E [Id∗ (X )])

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Observacoes:

Uma apolice de seguro nao pode ser adquirida simplesmentepelo valor esperado das indemnizacoes. (despesasadmnistrativas, lucro, carga de seguranca)

O teorema indica o tipo de contrato a estabelecer entre aseguradora e o segurado, mas nao estabelece o premio P a serpago. (P fixado a partida.)

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Teoria de utilidade e seguro

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