TEORIA DAS ORIENTAÇÕES (ANALÍTICA/DIGITAL) Introdução · Restituição Fotogramétrica...
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Júlio Kiyoshi Hasegawa
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FOTOGRAMETRIA II
(notas de aulas)
TEORIA DAS ORIENTAÇÕES (ANALÍTICA/DIGITAL)
Introdução
Júlio Kiyoshi Hasegawa
Presidente Prudente
2016
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Orientação Fotogramétrica – Analítica/Digital
SUMÁRIO
1. Introdução ........................................................................................................................ 3
1.1. Câmaras fotogramétricas ..................................................................................................... 4
2. Considerações iniciais ..................................................................................................... 5
2.1. Medição das coordenadas ................................................................................................... 6
2.1.1. Observações nos comparadores ................................................................................... 6
2.2. Observações ........................................................................................................................ 7
2.3. Métodos de orientação fotogramétrica analítica/digital ......................................................... 8
3. Equações básicas utilizadas na orientação fotogramétrica ........................................... 12
3.1. As equações de colinearidade ........................................................................................... 12
3.2. A equação de Coplanaridade ............................................................................................. 18
4. Termos técnicos ............................................................................................................ 21
5. Sistemas de Coordenadas ............................................................................................. 22
5.1. Sistema de Coordenadas do espaço imagem .................................................................... 22
5.2. Sistemas de coordenadas Terrestre ................................................................................... 23
5.3. Sistemas de coordenadas arbitrários ................................................................................. 24
6. Referências Bibliográficas ............................................................................................. 27
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1. Introdução
A restituição fotogramétrica produz o primeiro esboço de um mapa, produto este
que tem como função à transferência de conhecimentos, idéias e informações acerca de
uma região, realizando a interface entre o mundo real e o homem por meios indiretos.
Dessa forma, as técnicas fotogramétricas de produção de mapas que têm a
preocupação de produzir resultados (rigorosamente) precisos dos pontos no espaço
objeto, foram desenvolvidas e popularizadas com o desenvolvimento dos restituidores
fotogramétricos.
Genericamente, podem-se classificar os instrumentos restituidores em: analógico,
analítico e digital. Os instrumentos analógicos (Figura 1.01) realizam a reconstrução da
superfície física projetando o feixe de raios perspectivos, por meio de componentes
óticos, mecânicos ou óticos-mecânicos. Os processos de reconstrução utilizado nos
instrumentos analógicos tendem a provocar erros devido ao uso, desgaste dos seus
componentes, ainda, a operação do instrumento depende exclusivamente de um técnico
especializado.
Segundo Slama (1980) uns dos primeiros restituidores desenvolvidos para
aplicações aéreas datam de 1906, com domínio de aproximadamente de 70 anos (1900 a
1970) projetado por Gasser, cujo instrumento tinha um sistema de projeção óptica. A
execução produção de mapa pelos restituidores analógicos, com passar dos tempos, tem-
se mostrado lentos e custosos, e muito limitado na hora da utilização pelos distintos
usuários. Entretanto, os instrumentos analógicos ganharam uma sobrevida com as
Figura 1.01: a) Restituidor Analógico Wild B-8; b) Modelo esquemático do Wild B-8
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adaptações dos servos-motores e encoders conectados a computadores através de
interfaces, possibilitando assim, a conexão direta com sistemas gráficos. Esta adaptação
permitiu uma melhor comodidade operacional, observando aqui que, não houve uma
transformação de instrumento analógico em analítico, pois a reconstrução do terreno se
processa mecanicamente.
Num restituidor analítico (Figura 1.02), a projeção dos feixes perspectivos na
reconstrução é realizada matematicamente, eliminando assim, os erros provocados pelos
seus componentes mecânicos ou óticos, pois são poucos. A operação do equipamento,
menos complicada, depende ainda, de um técnico (menos) especializado. Os produtos
gerados, as informações, por serem numéricas tornam-se mais flexível e maleável na sua
utilização.
1.1. Câmaras fotogramétricas
A mais simples e primitiva câmara que representa com maior fidelidade às
considerações da óptica geométrica é a de pinhole, conhecida como câmara de orifício ou
buraco de agulha, que é uma caixa hermeticamente fechada com um pequeno orifício.
Este dispositivo, teoricamente, deixa passar os raios de luz provenientes dos pontos
objeto, projetando a cena invertida no plano oposto ao do orifício, produzindo uma
imagem sem aberrações e sem distorções.
Entretanto, esta câmara deixa passar pouca luminosidade pelo pequeno orifício,
tornando-a extremamente lenta, incapacitando-a para a maioria dos trabalhos
fotográficos. Com a finalidade de eliminar este problema, usam-se lentes para aumentar a
Figura 1.02: Restituidor analítico.
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quantidade de luz que passa pelo orifício. Dessa forma, as lentes utilizadas na câmara
fotográfica têm por finalidade reunir os raios de luz que vêm do objeto e focalizá-los em
alguma posição do lado oposto à lente.
Contudo, o uso de lentes provoca imperfeições na imagem, degradando a nitidez e
produzindo aberrações (aberração esférica, astigmatismo e curvatura de campo, coma e
aberração cromática). Para diminuir estas aberrações, combinações de lentes com
diferentes índices de refração são utilizadas, procedimento este que provocam algumas
distorções.
Essas distorções (erros sistemáticos) provocam o deslocamento do ponto que
podem ser modelados, conhecida na área de Visão Computacional e Fotogrametria como
calibração dos parâmetros intrínsecos da câmara. Esses parâmetros são determinados
juntamente com os parâmetros extrínsecos de calibração durante o processamento
computacional. O processo de calibração dos parâmetros intrínsecos é de fundamental
importância no processo fotogramétrico, devido à sua especificidade não será abordada
neste trabalho (para maiores detalhes ver - Galo 1993). Existem várias formulações
matemáticas que representam com maior ou menor aproximação a condição física que
ocasionaram os erros. Dessa forma, é de grande importância a escolha adequada de um
modelo matemático. A decisão para a correção ou não do erro, deverá ser tomada para
cada caso, considerando a precisão requerida e a magnitude do erro sistemático.
2. Considerações iniciais
O mapa produzido pelo método fotogramétrico é gerado por um restituidor
fotogramétrico. O restituidor é um instrumento que possibilita a extração de informações
das imagens fotográficas, geradas por projeção perspectiva, convertendo-as em projeção
ortogonal, produzindo-se assim o material cartográfico. Algumas operações devem ser
realizadas nos restituidores para a correta produção do mapa, cuja finalidade consiste na
formação do modelo estereoscópico que são utilizados para as medidas (observações)
dos pontos a serem restituídos. Essas operações são concretizadas pelas orientações
interior e exterior. No modo analógico orientação exterior é dividida em orientação relativa
e absoluta, no modo analítico ou digital ela é realizada em um único processamento, no
entanto, devido a versatilidade, ela pode ser realizada como no modo analógico.
O processo de orientação analítica consiste basicamente em observar em um
instrumento capaz de fornecer coordenadas bidimensionais dos pontos na fotografia (com
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precisão aceitável), e aplicar um modelo matemático de transformação para determinar as
coordenadas ajustadas. O instrumento pode ser um monocomparador, estereocomparador
ou um restituidor analítico. Assim, nesse procedimento a fase instrumental somente as
observações das coordenadas x e y dos pontos nas fotos é necessária, ficando a
determinação das coordenadas tridimensionais (X, Y e Z) para o modelo matemático
(ajustamento) através das equações de colinearidade. Dessa forma, a fase instrumental e
conseqüentemente, as observações são reduzidas a um mínimo (medidas de
coordenadas bidimensionais na imagem), proporcionando a mais alta precisão entre os
métodos existentes de orientação.
No caso de utilizar estação fotogramétrica digital as observações ficam restritas as
medidas das coordenadas de tela dos pontos.
2.1. Medição das coordenadas
Definidos e identificados os pontos que descrevem as feições e os de controle no
par de fotos, inicia-se o processo de leitura das coordenadas na imagem, utilizando
instrumento fotogramétrico (estereocomparador ou restituidor analítico).
As observações necessárias em uma orientação analítica/digital são:
a) leitura de todas as marcas fiduciais dos diapositivos;
b) leitura dos pontos que definem as feições;
c) leitura de todos os pontos de apoio, altimétrico, planimétrico ou duplo apoio.
A identificação e a codificação dos pontos, corretamente, são de fundamental
importância, pois é nesta fase que a probabilidade de ocorrer erros grosseiros é maior.
Ainda, a classificação correta dos pontos de controle (altimétrico, planimétrico ou duplo
apoio) deve ser cuidadosa, para se evitar possíveis erros grosseiros.
2.1.1. Observações nos comparadores
Os instrumentos fotogramétricos analíticos utilizados na coleta de dados na
orientação podem ser: estereocomparador e restituidor analítico. Nesta consideração foram
excluídos os monocomparadores, pois este instrumento não proporciona observações
estereoscópicas, muito embora, o modelo matemático proporcione a aplicação de
observações monoscópicas, o que neste caso provocaria uma perda de precisão.
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Os estereocomparadores e os restituidores analíticos medem simultaneamente as
coordenadas dos pontos homólogos nos pares de diapositivos. Geralmente, estes
instrumentos têm dois sistemas de coordenadas distintos, uma para cada imagem. Como
eles utilizam o recurso estereoscópico, as medidas devem ser efetuadas nos pontos
homólogos, inclusive das marcas fiduciais. Esses instrumentos possuem um sistema de
coordenadas plano retangular distinto para cada projetor. Geralmente, os instrumentos
possuem um deslocamento relativo nos eixos X e Y do sistema de coordenadas do
primeiro projetor para o segundo. Assim, os estereocomparadores são dotados de 4 eixos
proporcionando coordenadas x, y, px e py (ver Figura 2.01).
X
Y
Sistema de coordenadas do instrumento
sistema de coord. fi
ducial
p
p p
X
Yp
p
sistema de coord. fiducial
Xp
pY
pX
Y
,
,
,X Y
,
Y,,
,X,
pY,,
,Xp
,
px
py
Imagem da esquerda Imagem da direita
Figura 2.01 - Sistema de coordenadas de um comparador para duas imagens.
O procedimento de produção do mapa utilizando um restituidor analítico pode ser
realizado de modo on-line, ou off-line. No modo on-line, as feições são visualizadas (na
tela graficamente) e transformadas para o sistema de coordenadas do espaço objeto na
medida em que elas são observadas, procedimento que pode ser realizado num
restituidor analítico. No caso de estereocomparadores a produção do mapa, geralmente,
se dá de forma off-line, nesse caso as observações são processadas após a etapa de
coleta de dados.
2.2. Observações
A realização da orientação está subordinada à determinação dos parâmetros de
transformação, que por sua vez dependem das observações realizadas nos
comparadores (precisão de 2 a 3 µm). Desta forma, é necessário medir as coordenadas
dos pontos (de apoio e das feições), inclusive as marcas fiduciais, de forma a possibilitar
a transformação dos pontos no sistema fotogramétrico.
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Assim, considerando que observações foram realizadas pelo operador, erros
(grosseiros, aleatórios e sistemáticos) podem ocorrer, as possíveis fontes de erros
encontrados nas coordenadas são:
1) Erros de identificação;
2) Erros de registro;
3) Erros de observação;
4) Erros do comparador;
5) Influência da distorção das lentes;
6) Deformação do filme;
7) Influência da não planaridade do filme no instante da exposição;
8) Influência da Refração atmosférica; e
9) Influência da curvatura da terra.
Os três primeiros erros podem ser detectados através de observações redundantes
(recomendado no mínimo 3), e podem ser minimizados através de uma preparação ou
planejamento adequado e cuidadoso. Os erros 4 e 5 (itens) podem ser determinados e/ou
minimizado através da calibração constante do comparador e da câmara,
respectivamente. Os erros 6 e 7 (itens) podem ser evitados e/ou minimizados utilizando-
se das placas de “reseau” na câmara. Os erros 8 e 9 (itens) podem ser minimizados
através do conhecimento da altura de vôo e de outros parâmetros.
Os erros grosseiros são, nas maiorias dos casos, eliminados com as observações
redundantes ou a partir da análise dos resultados. Os aleatórios e parte dos sistemáticos
com efeitos semelhantes aos do aleatório são eliminados no processamento dos dados
(processo de ajustamento). Dessa forma, resta corrigir somente os erros sistemáticos,
que são modelados considerando-se a sua provável causa.
2.3. Métodos de orientação fotogramétrica analítica/digital
No processo de orientação, quando realizada analiticamente, a interior é efetuada
através dos modelos matemáticos, desenvolvido na aula Orientação Interior –
analítica/Digital, que são basicamente as etapas de transformação de sistemas da
máquina (observada) para o das marcas fiduciais e as correções dos erros sistemáticos.
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A partir desta correção, dos erros sistemáticos, vários métodos de orientação podem ser
realizados, dependendo da finalidade e conseqüentemente da precisão requerida do
mapeamento.
Dentre os vários procedimentos de orientação fotogramétrica analítica que podem
ser realizados, a Figura 2.02 apresenta a que será aplicada nesta disciplina:
a) Realização da orientação relativa e absoluta separadamente (sequência “a” do
fluxograma da Figura 2.02):
a.1) A orientação relativa analítica, etapa que produz um modelo
tridimensional do terreno no sistema arbitrário, pode ser realizada com base
em duas equações a de coplanaridade e as de colinearidade.
a.2) A orientação absoluta do modelo tridimensional formado pode ser
realizada com a transformação geométrica isogonal ou afim no espaço
tridimensional, nessa etapa o modelo é orientado e escalado em relação ao
referencial do terreno adotado.
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Figura 2.02 - Fluxograma das etapas de uma restituição fotogramétrica
analítica.
b) Realização da orientação exterior em uma única etapa, tendo como base as
equações de colinearidade, para a determinação dos parâmetros de orientação
exterior das câmaras e as coordenadas tridimensionais dos pontos. Nesses casos,
Restituição Fotogramétrica Analítica
Orientação
Relativa: (1)
Determinação das
coordenadas do
modelo.
Orientação Exterior: Determ. dos elementos de orientação.(3)
Determinação simultânea:(3)
elementos de orientação e
coordenadas dos pontos.
Coordenadas
3D:Interseção de
raios homólogos,
utilizando (1).
Coordenadas 3D:
Utilizando (1) e
aplicando MMQ.
Orientação
Absoluta.(2)
Coordenadas 3D dos objetos
Orientação Interior: Correção dos erros sistemáticos (reconstrução
dos feixes de raios)
Orientação separada das 2
fotos
Orientação conjunta das 2 fotos
(mesma etapa)
(1) Equação de colinearidade ou de coplanaridade.
(2) Modelo de transformação Isogonal 3D.
(3) Equação de colinearidade.
a)
b.1)
b.2)
b.3)
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pode-se realizar a orientação e restituição do objeto fotografado, segundo os três
procedimentos colocados a seguir:.
b.1) Determinação dos elementos de orientação exterior de uma foto por vez
e, posteriormente, determinação das coordenadas tridimensionais dos pontos
(definem a feição) por interseção dos pares de raios homólogos dos feixes
(dois) perspectivos. Esse procedimento é denominado de resseção espacial.
b.2) Determinação dos elementos de orientação exterior das duas fotos
somente com os pontos de apoio e, posteriormente, determinação das
coordenadas tridimensionais do ponto, de forma semelhante ao caso b1.
b.3) Determinação simultânea dos parâmetros de orientação exterior da
câmara e das coordenadas tridimensionais dos pontos (apoio e feição).
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3. Equações básicas utilizadas na orientação fotogramétrica
Diversos modelos matemáticos podem ser utilizados para realizar uma restituição
analítica. Esses modelos determinam as coordenadas tridimensionais dos pontos a partir
das fotocoordenadas (observadas nas imagens) bidimensionais dos pontos.
Na orientação relativa do modelo pode-se utilizar além das equações de
colinearidade as de coplanaridade.
3.1. As equações de colinearidade
As equações de colinearidade reproduzem, matematicamente, o processo de
formação da imagem, fazendo a ligação entre as coordenadas dos pontos no espaço
objeto (3D) e suas correspondentes coordenadas no espaço imagem (2D). As equações
de colinearidade regem a condição de que os três pontos (centro perspectivo, ponto
imagem e ponto objeto) pertencem à mesma reta. Essa condição pode ser aplicada a
todos os raios que passam pelo centro de projeção (ou ponto de vista ou ponto
perspectivo), produzindo-se analiticamente a imagem.
Seja um sistema de coordenadas cartesianas com origem no centro de projeção
(ver Figura 3.01) denominado referencial da imagem, pode-se relacionar o ponto P = (X´,
Y´, Z´)T com o ponto imagem p=(xp,yp,zp) T descritos no mesmo referencial via a equação
perspectiva.
Figura 3.01: Sistema de coordenadas cartesianas local.
O triângulo
∆COD (espaço objeto)
é semelhante ao ∆Cod (espaço
imagem)
e, similarmente,
∆COA~ ∆Coa.
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Desta forma, conforme a Figura 3.01, pode-se deduzir a equação geral da reta:
x
X
y
Y
z
Z
p p p
, , ,= = , (3.01)
que é a equação de uma reta no espaço passando pela origem do sistema referencial
cartesiano (X, Y, Z)´.
Desenvolvendo a equação (3.01), obtêm duas equações linearmente
independentes:
x zX
Zp p=
,
, (3.02)
y zY
Zp p=
,
, (3.03)
Considerando os sistemas de coordenadas envolvidos (ver Figura 3.02),
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Figura 3.02: Sistemas de coordenadas da imagem e do objeto.
o ponto P(XP, YP, ZP) no sistema de coordenadas do referencial geodésico pode ser
relacionado com o ponto P(X´, Y´, Z´) no sistema de coordenadas cartesianas local com a
equação ,
X
Y
Z
M
X X
Y Y
Z Z
p c
p c
p c
,
,
,
= ⋅
−
−
−
λ (3.04)
que é uma transformação de similaridade (ou isogonal), que realiza matematicamente a
transformação entre os dois sistemas de coordenadas, onde:
M = Rx(ω)Ry(φ)Rz(κ)
e
Rz(κ) =
−
100
0)cos()(
0)()cos(
κκκκ
sen
sen
, (3.05)
Ry(φ) =
− )cos(0)(
010
)(0)cos(
φφ
φφ
sen
sen
e (3.06)
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Rx(ω) =
−
)cos()(0
)()cos(0
001
ωωωω
sen
sen (3.07)
assim,
M =
m m m
m m m
m m m
11 12 13
21 22 23
31 32 33
(3.08)
com:
(3.09)
e,
X´, Y´ e Z´ são as coordenadas cartesianas de P em relação ao sistema de coordenadas
da imagem (referencial do espaço imagem),
Xp, Yp e Zp são as coordenadas cartesianas de P em relação ao sistema de coordenadas
do objeto (referencial do espaço objeto),
Xc, Yc e Zc são as coordenadas do centro perspectivo em relação ao sistema de
coordenadas do objeto,
λ é o fator de escala entre os dois sistemas de referência,
M é a matriz de rotação, determinada em função das três rotações em torno dos eixos
cartesianos e
κ, φ e ω são os ângulos de rotação em torno dos eixos Z, Y e X, respectivamente.
Assim, desenvolvendo-se as equações (3.04) têm-se:
[ ][ ][ ]
X X X m Y Y m Z Z m
Y X X m Y Y m Z Z m
Z X X m Y Y m Z Z m
p c p c p c
p c p c p c
p c p c p c
,
,
,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= ⋅ − + − + −
= ⋅ − + − + −
= ⋅ − + − + −
λ
λ
λ
11 12 13
21 22 23
31 32 33
(3.10)
+−
−−+
−
=
)cos()cos()()()cos()cos()()cos()()cos()()(
)cos()()()()()cos()cos()cos()()()()cos(
)()()cos()cos()cos(
ϕωκϕωκωκϕωκωϕωκϕωκωκϕωκω
ϕκϕκϕ
ωϕκ
sensensensensensen
sensensensensensensen
sensen
M
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substituindo X´, Y´ e Z´das equações (3.10) nas equações (3.02 e 3.03) obtém-se:
x zm X X m Y Y m Z Z
m X X m Y Y m Z Zp p
p c p c p c
p c p c p c
=− + − + −
− + − + −11 12 13
31 32 33
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (3.11)
y zm X X m Y Y m Z Z
m X X m Y Y m Z Zp p
p c p c p c
p c p c p c
=− + − + −
− + − + −21 22 12
31 32 33
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (3.12)
assumindo que zp seja igual à distância focal (-f), o sinal negativo é devido a
compatibilização de sistemas (imagem/objeto), tem-se
x fm X X m Y Y m Z Z
m X X m Y Y m Z Zp
p c p c p c
p c p c p c
= −− + − + −
− + − + −11 12 13
31 32 33
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (3.13)
y fm X X m Y Y m Z Z
m X X m Y Y m Z Zp
p c p c p c
p c p c p c
= −− + − + −
− + − + −21 22 23
31 32 33
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (3.14)
Com base nas equações (3.13) e (3.14), conhecidas como equações de
colinearidade, podem-se formalizar as várias aplicações na fotogrametria.
3.2. As equações de colinearidade inversa
Em várias aplicações fotogramétricas as equações de colinearidade inversa são
úteis, tais como na restituição estereoscópica (intersecção fotogramétrica),
monorestituição, geração de ortoimagens e outras.
As equações de colinearidade inversa pode ser deduzida, a partir das equação
3.04, reescrita para melhor compreensão:
X
Y
Z
M
X X
Y Y
Z Z
p c
p c
p c
,
,
,
= ⋅
−
−
−
λ
Substituindo as equações 3.02 e 3.03 nas 3.04, obtém-se:
−
−
−
⋅=
cp
cp
cp
p
p
p
p
ZZ
YY
XX
M
Z
yz
Z
xz
Z
λ
'
'
'
(3.15)
Aplicando a transformação inversa na 3.15, obtém-se:
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⋅=
−
−
−−−
'
'
'
1 1
Z
yz
Z
xz
Z
M
ZZ
YY
XX
p
p
p
p
cp
cp
cp
λ , readequando: (3.16)
⋅=
−
−
−−
p
p
p
p
cp
cp
cp
z
y
x
z
ZM
ZZ
YY
XX
T
'1λ , resulta em (3.17)
[ ]
[ ]
[ ]332313
'1
322212
'1
312111
'1
mzmymxz
ZZZ
mzmymxz
ZYY
mzmymxz
ZXX
ppp
p
cp
ppp
p
cp
ppp
p
cp
++⋅=−
++⋅=−
++⋅=−
−
−
−
λ
λ
λ
(3.18)
Dividindo a 1ª e a 2ª pela 3ª, resulta em:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]332313
'1
322212
'1
332313
'1
312111
'1
mzmymxz
Z
mzmymxz
Z
ZZ
YY
mzmymxz
Z
mzmymxz
Z
ZZ
XX
ppp
p
ppp
p
cp
cp
ppp
p
ppp
p
cp
cp
++⋅
++⋅
=−
−
++⋅
++⋅
=−
−
−
−
−
−
λ
λ
λ
λ
(3.19)
Simplificando e isolando os termos Xp e Yp, resulta na equação de colinearidade
inversa.
( ) [ ][ ]
( )[ ][ ]332313
322212
332313
312111
mzmymx
mzmymxZZYY
mzmymx
mzmymxZZXX
ppp
ppp
cpcp
ppp
ppp
cpcp
++
++−+=
++
++−+=
e para o caso de dispositivo, (3.20)
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( ) [ ][ ]
( )[ ][ ]332313
322212
332313
312111
fmmymx
fmmymxZZYY
fmmymx
fmmymxZZXX
pp
pp
cpcp
pp
pp
cpcp
−+
−+−+=
−+
−+−+=
(3.21)
3.3. A equação de Coplanaridade
A equação de coplanaridade impõe a condição de que os dois centros perspectivos
o ponto Pi no espaço objeto e as suas imagens nas duas fotos pertencem a um mesmo
plano (ver Figura 3.03). Da Figura 3.03, deduz-se que a condição de coplanaridade pode
ser escrita em função de um produto vetorial e um produto escalar. Na Figura 3.03, pode-
se definir basicamente três vetores:
rVeque liga o ponto Pi (espaço objeto) com o centro perspectivo Oe;
rVd que liga o ponto Pi (espaço objeto) com o centro perspectivo Od; e
rB que liga os centros perspectivos Oe e Od.
VeVd
B
x
y
y
xe
e
d
d
Oe
Od
Pi
pdi
pei
Figura: 3.03 - Condição de coplanaridade, vetores rVe ,
rVd e
rB pertencem ao mesmo plano.
Desta forma, convencionando que o vetor rVe inicia no centro perspectivo (Oe) da
foto da esquerda passa pelo ponto imagem pei e termina no ponto Pi. E o vetor rVd inicia
no centro perspectivo da foto da direita passa pelo ponto imagem pdi e termina no ponto
Pi. O vetor rB inicia no centro perspectivo Oe e termina no centro perspectivo Od.
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Para atender a condição de coplanaridade basta impor a condição de que os três
pontos estão no mesmo plano, ou os três vetores (rVe ,
rVd e
rB ). Desta forma, a condição
de coplanaridade pode ser dada pelo produto vetorial entre os dois vetores rVe e
rVd ,
resultando em um vetor normal à eles. Tomando agora o vetor resultante do produto
vetorial basta aplicar um produto escalar com o vetor rB , e considerar que este produto
seja nulo, ou seja, aplicar a condição de perpendicularidade entre dois vetores.
(rVe x
rVd ).
rB = 0. (3.22)
Expressando o vetor rVe em função de seus componentes, obtém-se:
rVe = ( ) ( ) ( )X X i Y Y j Z Z kp c
e
p c
e
p c
e− + − + −r r r
(3.23)
relacionando os componentes do vetor rVe (equação 3.23) com suas respectivas
coordenadas no espaço imagem, através de uma transformação isogonal, obtém-se:
X X m x m y m zp c
e
e p p p− = + +λ [ ]11 12 13 ;
Y Y m x m y m zp c
e
e p p p− = + +λ [ ]21 22 23 ; e (3.24)
Z Z m x m y m zp c
e
e p p p− = + +λ [ ]31 32 33 ;
onde,
mij são os elementos da matriz de rotação,
xp e yp são as coordenadas corrigidas dos erros sistemáticos da foto da esquerda, e
λ e é o fator de escala.
Fazendo,
u m x m y m ze p p p= + +[ ]11 12 13
v m x m y m ze p p p= + +[ ]21 22 23 ; e (3.25)
w m x m y m ze p p p= + +[ ]31 32 33 ;
as equações (3.24) pode ser escritas,
X X up c
e
e e− = λ
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Y Y vp c
e
e e− = λ ; e (3.26)
Z Z wp c
e
e e− = λ .
Similarmente pode-se escrever para o vetor rVd as seguintes equações:
X X up c
d
d d− = λ
Y Y vp c
d
d d− = λ ; e (3.27)
Z Z wp c
d
d d− = λ .
O vetor rB pode ser expresso em função das coordenadas tridimensionais dos dois
centros perspectivos:
rB = ( ) ( ) ( )X X i Y Y j Z Z kc
d
c
e
c
d
c
e
c
d
c
e− + − + −r r r
(3.28)
Aplicando a condição de coplanaridade imposta na equação 3.22, em forma de
determinante, obtém-se:
( ) ( ) ( )X X Y Y Z Z
u v w
u v w
c
d
c
e
c
d
c
e
c
d
c
e
e e e
d d d
− − −
= 0 (3.29)
Desenvolvendo a equação 3.29,
( )( ) ( )( ) ( )( )X X v w v w Y Y u w u w Z Z u v u vc
d
c
e
e d d e c
d
c
e
d e e d c
d
c
e
e d d e− − + − − + − − = 0 (3.30)
que é a equação de coplanaridade.
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4. Termos técnicos
Neste item serão realizadas algumas definições de termos técnicos necessários no
processo de fototriangulação analítica, verificado em Analytical Photogrammetry escrito
por Merchant (1979) e definição de alguns sistemas de coordenadas utilizados em
processamentos fotogramétricos.
Marcas fiduciais - são marcas de referencias fixadas rigidamente no corpo (cone) da
câmara métrica que são gravadas no negativo, durante a exposição. Estas marcas,
geralmente (quatro) nas laterais (Fig. B.01- a) ou nos cantos (Fig. B.01 - b), têm
como objetivo recuperar a geometria interna (orientação interior) da câmara.
Centro fiducial - é um ponto definido sobre a foto (diapositivo) pela interseção das linhas
que conectam as marcas fiduciais opostas.
Ponto principal - adotado como o ponto na qual o eixo z do sistema de coordenadas, da
foto, intercepta o plano da foto perpendicularmente. Observa-se aqui que existem
várias outras denominações para este ponto, bem como outras definições (para mais
detalhes ver Merchant 1979 Part I).
Pontos Nodais - Dois pontos relacionados ao sistema de lentes da câmara, com a
característica de produzir raios incidentes e refratados paralelos, quando estes
incidem no ponto Nodal anterior (exterior) e emergem no ponto Nodal posterior
(interior). Geralmente nos modelos matemáticos, estes pontos fisicamente
espaçados, são considerados coincidentes, conhecidos como centro perspectivo.
Distância Focal - distância entre o ponto nodal posterior e o plano focal imagem da
objetiva. Seu valor é obtido, para um sistema ótico, pela aplicação das equações da
óptica geométrica.
Distância Focal Calibrada - ou distância principal ou constante da câmara, é um valor
calculado numericamente para compensar a distorção radial. Na aerofotogrametria a
(1/f=1/c+1/o) distância focal tem o mesmo valor que a distância principal (termo
utilizado em óptica), pois para objetos distantes da lente o valor de o é "bem" maior
que c, assim, 1/o é igual a zero e f = c.
Estação de exposição - (Xc, Yc, Zc) - Posição espacial da tomada fotográfica ou posição
3D do centro perspectivo no instante da exposição.
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5. Sistemas de Coordenadas
Os sistemas de coordenadas espaciais, utilizado em fotogrametria analítica podem
ser divididos, basicamente, em dois grupos, conforme o uso do espaço físico:
• espaço imagem, quando utiliza o espaço compreendido entre o ponto nodal posterior e
o plano do negativo, associando-se assim, as informações, os sistemas de
coordenadas referenciadas às imagens.
• Espaço objeto, o espaço compreendido entre o ponto nodal anterior e todos os pontos
do espaço fotografado.
5.1. Sistema de Coordenadas do espaço imagem
Sistema de coordenadas fiducial - é um sistema de coordenadas retangular
bidimensional, com origem no centro fiducial. O eixo ox é definido como sendo a
linha que contém as marcas fiduciais opostas que estão dispostas
perpendicularmente a linha lateral aos dos registros dos relógios. O eixo ox é
convencionado positivo na direção dos relógios. O eixo oy é normal ao eixo ox no
centro fiducial, formando um sistema dextrogiro e situados no plano do diapositivo.
Nas fotografias em que as marcas fiduciais são fixadas nos cantos, o eixo x é
definido como antes, mas girado de 45 graus.
x'
Y' Y'
x'45 o
(a) (b)
Figura B.01 - Sistemas de coordenadas fiduciais.
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Sistema de coordenadas da foto - é um sistema retangular cartesiano dextrógiro
tridimensional com origem no centro perspectivo. Os eixos x e y são paralelos e
orientados aos seus homônimos do sistema fiducial.
x'
y'
x
y
z
pp
O
Figura B.02 - Sistema de coordenada da foto e ponto principal.
5.2. Sistemas de coordenadas Terrestre
Os modelos matemáticos empregados em processamento fotogramétrico utilizam
sistemas de coordenadas tri-retangulares. Geralmente, é um sistema Cartesiano 3-D
dextrógiro, sua origem é variável, muito embora, seja convencionado que o eixo Z é
paralelo a vertical do ponto (origem), com sentido positivo para o zênite, compondo com
os eixos X e Y um sistema de coordenadas dextrógiro.
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Figura B.03: Sistemas de coordenadas Terrestres (Fonte - Lugnani 1987).
Uma discussão mais aprofundada de sistemas de coordenadas terrestres, cujo
assunto é complexo e extenso fugindo, portanto, do assunto em questão, pode ser
encontrado com maiores detalhes em, Lugnani 1987, Blachut et al 1979.
5.3. Sistemas de coordenadas arbitrários
Os sistemas de coordenadas arbitrários, utilizados em fotogrametria podem ser
definidos tanto no espaço imagem como no espaço objeto. Estes sistemas podem ser bi
ou tri dimensional, ortogonal ou não, dependendo da definição matemática ou do
instrumento utilizado.
Como exemplo de sistemas de coordenadas bi-dimensionais pode-se citar:
• Sistema de coordenadas dos monocomparadores e estereocomparadores;
• Mesas digitalizadoras, coordenatógrafos;
• E mais recentemente, sistema de coordenadas da tela (levogiro) do computador
utilizado em fotogrametria digital;
O sistema de coordenadas tridimensionais, utilizados em restituição analítica pode
ser:
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• Sistema de coordenadas do modelo com origem na foto da esquerda.
Neste sistema, a foto da esquerda permanece fixa (inclinação nula) e realiza
(define) o sistema de coordenadas do modelo, na Figura B.04 o sistema de
coordenadas do modelo é definido pelo sistema XYZ, com origem no centro
perspectivo C1.
y´
x´
bz
by
Y
z´ x"
y" z"
C1
C2
f
f
bx = cte
P(X Y Z)
X
Z
Figura B.04: Sistemas de coordenadas do modelo estereoscópico.
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• Sistema de coordenadas com a base coincidente com o eixo x.
Neste sistema as duas câmaras são movimentadas de tal forma a proporcionar
orientação relativa sem fixar as câmaras.
Figura B.05: Sistemas de coordenadas de um modelo estereoscópico com o eixo X paralelo à
base (bx).
X
Y
Z
C2
X
y
´
x"
y"
C1
f f
bx = cte
P(X Y Z)
x
´
z
´
z"
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6. Referências Bibliográficas ANDRADE, J. B. “Refração Fotogramétrica”, Boletim da Universidade Federal do Paraná, no 24,
1980.
ANDRADE, J. B. e OLIVAS, M. A A, “Calibração de Câmeras Fotogramétricas”, Boletim da
Universidade Federal do Paraná, no 26, 1981
BLACHUT, T.J. AND CHRZANOWSK, A. AND SAASTAMOINEN, J. H. "Urban Surveying and
Mapping". Spring-Verlag, 1979.
HASEGAWA, J. K., "Fototriangulação em linha com Depuração de erros em micro-computador",
Dissertação de Mestrado, 1991.
KRAUS, K. “Photogrammetry” Ferd. Dümmlers Verlag. 397 p. 1993.
MERCHANT, D. C. “Analytical Photogrammetry - Theory and Practice - Parte I”. Ohio State
University. 1979.
MERCHANT, D. C. “Analytical Photogrammetry - Theory and Practice - Parte II”. Ohio State
University. 1979.
MOFFIT, F. H e MIKHAIL, E. M. “Photogrammetry”, Harper & Row, Inc. 1980.
LUGNANI, J. B. “Introdução à Fototriangulação” UFPR. 134 p. Curitba PR. 1987.
SLAMA, C. C. “Manual of Photogrammetry”. ASP - Falls Church. 1980.
OLIVEIRA, C. “Dicionário Cartográfico”, 4a Edição – Rio de Janeiro. IBGE, 1993.
WOLF, P. R. “Elements of Photogrammetry”. McGraw-Hill Book Company 1988.