Teoria das Filas- Fila M/M/1Modelo amplamente usado devido a suas distribuies de probabilidades que descrevem o processo de entrada e o processo de servio de uma forma matemtica simples. Oferece um modelo mais realstico para sistemas de fila reais, pois os padres de chegada de cliente em sistemas reais seguem uma distribuio de probabilidade de Poisson.No modelo de fila M/M/1 as chegadas ocorrem de acordo com o processo de Poisson com taxa mdia (primeiro M na notao de Kendal), os tempos entre servios so exponencialmente distribudos com taxa (segundo M na notao de Kendal), h apenas um servidor (1) e o tamanho da fila infinito. A fila possui Infinitas posies de espera (clientes no so perdidos) e possui disciplina de servio do tipo FIFO ou LCFS (Primeiro a chegar, primeiro a ser servido).

Figura:Representao Esquemtica de um sistema de filas M/M/1

O tempo de servio Y de um usurio qualquer segue uma funo de densidade de probabilidade exponencial dada por:

Determinamos inicialmente a probabilidade de que um usurio que est sendo servido em um dado instante t* permanea no sistema ao fim de um intervalo de durao t. Esta probabilidade pode ser expressa por

Podemos observar que esta probabilidade independente de t*, o que traduz a chamada falta de memria da distribuio exponencial. Resulta ento que a probabilidade de que o usurio deixe logo o sistema de

O diagrama de estados desse sistema apresentado na figura abaixo,

Figura: Diagrama de estados associados a fila M/M/1Estado= quantidade total de clientes no sistemaonde n=, n=0,1,2...... (taxa de chegadas no sistema) n=, n=0,1,2...... (taxa de partidas do sistema)As 4 condies para haver n clientes no sistema em t + t: 1. Haviam n+1 pacotes no sistema em t, no intervalo t houve 1 partida e nenhuma chegada 2. Haviam n-1 pacote no sistema em t, no intervalo t houve 1 chegada e nenhuma partida 3. Haviam n pacotes no sistema em t, no intervalo t no houve partida e nem chegada 4. Haviam n pacotes no sistema em t, no intervalo t houve 1 partida e 1 chegadaA probabilidade de encontrar o sistema em um dado estado n no muda com o tempo. Se um cliente chega, o estado muda de n para n+1, enquanto que quando o cliente foi servido e parte, o estado muda de n para n 1. Para o sistema estar em equilbrio estes dois processos devem ocorrer com mesma taxa.Assim, o nmero de usurios no sistema, em um tempo muito grande, pode ser expresso em termos da vazo S, obtendo-se

o tempo de espera na fila de

Como x e yk so variveis aleatrias estatisticamente independentes, temos que

e portanto,

A curva de retardo mdio versus vazo apresentado na figura abaixo, onde podemos observar que o retardo aumenta medida que a vazo cresce.

Figura: Curva de retardo mdio versus Vazo para um sistema de filas M/M/1

Teorema de Little:Permite calcular a quantidade de clientes (itens) em qualquer Sistema de Fila. Resume-se a: quantidade mdia = taxa de chegada x tempo mdio de resposta. Esta relao se aplica a um Sistema Inteiro ou parte de um Sistema de Fila.

Figura: Ilustrao grfica do Teorema de Little

N (t) = (t) (t)Equao de Little obtida para o caso especial de servio FCFS no intervalo finito [0, t]: Nt = t T tPara o caso de equilbrio, t , assumimos que Nt , t e Tt permanecem finitos e tendem para seus valores de equilbrio N, e T.Frmula de Little:N = TO nmero mdio de clientes em um sistema de fila igual a taxa mdia de chegada de clientes ao sistema multiplicada pelo tempo mdio gasto no sistema.

Referncias:- http://www.lee.eng.uerj.br/~gil/filas/Filas.pdf- http://www.decom.fee.unicamp.br/~baldini/IE509/ParteIII.pdf- http://www.lee.eng.uerj.br/~gil/filas/Fila_mm1.pdf- http://www.inf.ufes.br/~magnos/PE/pe_files/mm1.pdf