Teoria Das Filas 2012 2

8/10/2019 Teoria Das Filas 2012 2

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Engenharia de ProduoTeoria das Filas - 2012/2

Prof. Marcelo Sucena Pgina 1 de 32

TEORIA DAS FILAS (Queueing Theory )

1. INTRODUO

A abordagem matemtica das filas se iniciou em 1908, na cidade deCopenhague, Dinamarca. O pioneiro da investigao foi o matemtico Agner KrarupErlang (1909), quando trabalhava numa companhia telefnica, estudando o problemade redimensionamento de centrais telefnicas. Somente a partir da Segunda GuerraMundial que a teoria foi aplicada a outros problemas de filas. Seu trabalho foi difundidopor outros pesquisadores em diversos pases europeus. Na dcada de 30, dentre aspesquisas nesta rea, Andrey Kolmogorov, na Rssia, estudava um sistema comentrada de probabilidade de Poisson (Simon Denis Poisson) e sada arbitrria emnico ou mltiplo atendente.

A Teoria das Filas uma das tcnicas da Pesquisa Operacional, que trata deproblemas de congestionamentos de sistemas, onde clientes solicitam alguns tipos deservios. Esses servios so limitados por restries intrnsecas do sistema, que,devido a isso, podem causar filas.

Para melhor entendimento de um sistema de filas e seus componentes pode-sevisualizar a figura 1 a seguir.

Fig.1. Exemplo de fila com seus componentes

Existem vrios tipos de configuraes de filas. Por isso, a identificao domodelo que mais se adeque a realidade fundamental para que a anlise dodesempenho do sistema seja correta. Para Fogliatti et al. (2007), ressalta que asmedidas de desempenho tm duas abordagens: a do usurio e da gerncia do sistema.

Quanto viso do usurio, fundamental a avaliao do tamanho mdio da filae os tempos mdios na fila e no sistema. Para o gerente do sistema, compete avaliaros tempos mdios do servio prestado e de ociosidade do servidor. Sendo assim, paraque esses atores estejam sendo observados na avaliao do desempenho do sistema,deve-se inclu-los em uma nica funo, principalmente quanto ao custo daconfigurao ideal da fila.

O grfico adiante, exposto por Fogliattiet al. (2007) denota os custos associados configurao pelas vises do usurio (Cu) e do gerente (Cg).

Populao

Sistema


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O grfico da esquerda denota que o custo gerencial se eleva quando se configura um

sistema com postos de atendimento em excesso. Em contraposio, poucos postos deatendimento provoca insatisfao do usurio e, em conseqncia, aumento do seucusto. Para esta anlise em conjunto, necessita-se formalizar uma equao do custototal (Ct) que represente estes dois custos, a saber: Ct = aCu + bCg, onde a e b soconstantes representativas de cada caso. A curva que representa o Ct est exposta nogrfico da esquerda e o seu ponto de vale indica a melhor configurao para ambos osatores, ou seja, entre 3 e 4 postos de atendimento.

Existem vrios exemplos reais de sistemas de filas. Como forma de ilustrao atabela 1 lista quatro exemplos.

Tab.1. Exemplos de Sistemas de FilasSituao Processo de Entrada Processo de SadaBanco Usurios chegando ao banco Usurio atendido pelo

caixaAtendimento em Pedido para entrega de Pizzaria envia pizzaspizzaria pizza para o clienteBanco de Sangue Chegada de bolsa com sangue Bolsa usada por pacienteEstaleiro de Navio necessitando reparo Navio reparado voltaNavios enviado para o estaleiro para o mar

2. DEFINIES IMPORTANTES

A seguir sero definidos alguns componentes e variveis importantes paracompreenso sobre os sistemas de filas. Tamanho da populao - Tamanho do grupo que fornece os clientes. Para

tamanhos maiores que 30, geralmente, considera-se que a populao infinita, ouainda, que a chegada de um cliente no afetar significativamente a probabilidadeda chegada de outro cliente. Quando a populao for pequena, ou seja, menor que30, o efeito existe e pode ser considervel.

Clientes So unidades da populao que chegam para o atendimento, como porexemplo, pessoas, peas, mquinas, navios, automveis etc..

Fila (linha de espera) - Nmero de clientes esperando atendimento. No inclui ocliente que est sendo atendido;

Cg

Cu

Custo

Postos de atend. em paralelo

Cg

Cu

Custo

Postos de atend. em paralelo

Ct


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Unidade de atendimento - Processo ou sistema que realiza o atendimento docliente. Pode ser unidade nica ou mltipla;

Taxa de chegada dos clientes - Taxa (nmero de clientes / unid. tempo) segundo aqual os clientes chegam para serem atendidos. O valor mdio da taxa de chegada representado por (lambda). Como raro um processo onde taxa de chegada dosclientes seja regular, ou seja, no existe nenhuma variao entre os valores para osintervalos entre chegadas, so adotadas distribuies de frequncia (normal,Poisson, exponencial etc.) para representar o processo. O mesmo modelo comdistribuio normal pode diferir significativamente em termos de resultado do quecom uma distribuio de Poisson;

Taxa de atendimento dos clientes - Taxa (nmero de clientes / unid. tempo)segundo a qual um servidor pode efetuar o atendimento de um cliente. O valormdio da taxa de atendimento (mu). importante ressaltar que o valor destataxa considerado como se o servidor estivesse ocupado 100% do seu tempo.Como h tempo ocioso, a distribuio de frequncia (normal, Poisson, exponencialetc.) deste valor igualmente importante na determinao do grau de complexidadematemtica. O pressuposto mais comum a distribuio de Poisson, porm exigeque os eventos de chegada e atendimento sejam completamente independentes.Em todos os casos, os resultados so valores mdios ou esperados e supe-se queas taxas se mantm constantes ao longo do tempo. De fato, isto pode no serverdade, uma vez que podem ocorrer alteraes no processo to logo a fila assumaum valor muito alto;

Disciplina da Fila - Mtodo de decidir qual o prximo cliente a ser atendido.(exemplo: FIFO-primeiro a chegar/ primeiro a ser atendido).

Nmero Mdio de Clientes na Fila no Vazia (NF) - Nmero mdio de clientes queaguardam o atendimento, ou seja, o que determina o tamanho da fila. acaracterstica mais relevante ao se defrontar com a opo de escolher uma fila. Ameta no ter fila, chegar e ser atendido. Supondo que os ritmos mdios dechegada e atendimento sejam constantes, o tamanho da fila ir oscilar em torno deum valor mdio.

Nmero Mdio de Clientes no Sistema (NS) - Nmero de clientes aguardando nafila mais os que esto sendo atendidos. Pode ser entendido tambm como sendo otamanho mdio na fila mais o nmero mdio de clientes no atendimento.

Tempo Mdio que o Cliente Fica na Fila (TF) - Tempo mdio de espera pelo clientena fila esperando para ser atendido.

Tempo Mdio que o Cliente Fica no Sistema (TS) - Tempo mdio de espera pelocliente na fila esperando para ser atendido mais o tempo de atendimento. A partirdo nmero mdio de clientes no sistema ou na fila, possvel calcular o tempomdio de permanncia do cliente no sistema (TS) e na fila (TF).

A razo (rho) chamada de Fator de Utilizao do Servidor, o qual representa afrao mdia do tempo em que o servidor est ocupado. Este fator a base declculo da probabilidade de haver um nmero K de clientes no sistema, o qualdefinir o tamanho da fila e o tempo mdio que os clientes permanecem nela e nosistema ( = / . ).


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Observao Importante

Considerando-se que um observador esteja analisando um sistema de atendimento e

conclua que provavelmente o mesmo concluir que no deveria haver filanaquele sistema, pois a taxa mdia de atendimentos do sistema ( ) maior que a taxamdia de chegadas ( nele. Vale lembrar que este tipo de anlise seria correta se osprocessos de chegada e de atendimento fossem regulares. Mas, sabendo-se queesses processos so raros na vida real, chega-se a concluso que existe um fator dealeatoriedade no sistema. A abordagem matemtica da teoria das filas exige que exista estabilidade no sistema(chegada e atendimento), ou seja , considerando-se com isso que e devemse manter constantes em relao ao tempo. Do contrrio, devem-se utilizar modelos desimulao por computador para efetuar tais anlises do sistema.

3. CONDIES DE OPERAO DO SISTEMA

Quando essas filas ultrapassam o valor estimado ou normal, pode-se concluir queo sistema est na fase de congestionamento. Nesta fase a qualidade e a produtividadedo sistema decresce e o custo operacional tende a subir.

Existem diversos fatores que podem interferir no desempenho de um sistema, taiscomo:

a forma de atendimento aos clientes; a forma da chegada dos clientes; a disciplina da fila e a estrutura do sistema.

3.1. Forma do Atendimento aos Clientes

O primeiro passo para a anlise de um sistema de filas o levantamentoestatstico do nmero de clientes atendidos por unidade de tempo, ou do tempo gastoem cada atendimento. Este procedimento viabiliza a determinao da distribuio deprobabilidade do nmero de atendimentos ou a durao de cada atendimento.

Por exemplo, observando-se a tabela a seguir onde est expresso o tempo deatendimento a 100 clientes, em segundos, de um certo atendente, pode-se chegar aovalor de .

20 22 23 18 17 15 21 20 25 2619 20 18 17 23 22 21 21 22 2320 23 25 17 14 15 22 20 23 2125 18 18 17 17 25 26 23 25 2421 15 17 18 19 22 15 14 15 1718 20 19 18 20 22 23 24 25 2222 21 23 20 21 20 23 22 21 2024 24 25 21 23 20 19 18 17 1718 15 14 17 13 18 19 18 19 2018 20 18 22 24 14 24 24 23 25

A tabela a seguir expe alguns dados importantes para a elaborao da distribuio defrequncia.


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Dados Importantes Frmula no ExcelMenor Valor (segundos) 13 =MNIMO(Dados)Maior Valor (segundos) 26 =MXIMO(Dados)Quant. de Atendimentos 100 =CONT.VALORES(Dados)Mdia (segundos / cliente) 20,19 =MDIA(Dados)

A mdia aritmtica resulta no tempo mdio de atendimento por cliente, ou seja, 20,19segundos para cada cliente.

Convertendo para minutos 20,19 seg. 60 min. = 0,3365 min./cliente

A taxa mdia de atendimentos pode ser ento calculada: = 1 cliente / 0,3365 min. =2,97 clientes/minutos.

Os dados a seguir esto agrupados de forma que se possa avali-los em relao a suadistribuio em relao mdia. As faixas so determinadas pela Regra de Sturges.

Faixas FrequnciaAbsoluta Frmula no ExcelFrequncia

Relativa(Probabilidade)

>10 0 ={FREQUNCIA(Dados;Limite Mx.Tempo)} 011-13 1 0,0114-16 10 0,1017-19 29 0,2920-22 32 0,3223-25 26 0,2626-28 2 0,02

29> 0 0 = 100 1

Observao: Para determinar a frequncia absoluta, localiza-se a clula direita doprimeiro valor (>10) para utilizao do assistente de frmulas. Marcar todas as clulas,incluindo-se a primeira, incluindo somente o limite mximo (10,13,16,19,22,25,28,29),selecionando-se at a ltima referncia (29>). Pressionar F2 para editar a frmula e"CTRL+SHIFT+ENTER" para formao da frmula em matriz. Pressionar ENTER

para finalizar a edio.Para saber-se como os valores se distribuem em torno da mdia necessita-se plotar osdados em um grfico.


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3.2 Forma da Chegada dos Clientes

Geralmente a chegada dos clientes a um sistema ocorre de forma aleatria.Sendo assim, necessita-se realizar um levantamento estatstico para caracterizar se oprocesso de chegadas pode ser representado por uma distribuio de probabilidades.

Para efetuar-se este levantamento necessita-se identificar se o processo dechegadas est no estado estacionrio, sinalizando que o processo poder ser sempre

representado por este levantamento. Se o levantamento for efetuado no estado no-estacionrio, ele no servir como representante de uma situao normal.

Por exemplo, os usurios de uma agncia bancria utilizam-na em um processoestacionrio, mas quando da existncia de uma greve bancria prolongada, o sistemapoderia ser classificado como no-estacionrio, pois haveria uma corrida ao banco.Essas situaes seriam diferentes e influenciariam nas caractersticas da fila, o quepoderia implicar em distribuies de probabilidades diferentes.

Por exemplo, observando-se a tabela a seguir onde est expresso a quantidadede veculos que chegaram a um posto de pedgio, em perodos de 1 minuto, em uma

hora, pode-se chegar ao valor de .

2 4 5 3 3 2 1 4 4 52 2 1 3 4 3 4 2 3 41 2 4 4 3 2 2 1 1 23 2 5 6 6 6 3 3 5 55 4 5 5 2 1 1 1 2 11 2 2 1 3 3 2 1 3 1

A tabela a seguir expe alguns dados importantes para a elaborao da distribuio de

frequncia.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 5 10 15 20 25 30 35

Durao

F r e q

n c

i a R e

l a t i v a


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Dados Importantes Frmula no ExcelMenor Valor (quant.carros) 1 =MNIMO(Dados)Maior Valor (quant.carros) 6 =MXIMO(Dados)Quant. Total de Veculos 173 =CONT.VALORES(Dados)Perodo Total de Anlise (minutos) 60Quant. de Carros / minuto ( 2,88 Total Vec./ Total Tempo

Os dados a seguir esto agrupados de forma que se possa avali-los em relao a suadistribuio em relao a mdia.

Quant.de

CarrosFrequnciaAbsoluta Frmula no Excel

FrequnciaRelativa

(Probabilidade)0 0 ={FREQUNCIA(Dados;Quant.Carros)} 01 13 0,222 15 0,253 12 0,204 9 0,155 8 0,136 3 0,057 0 0

= 60 1

Para saber-se como os valores se distribuem em torno da mdia necessita-se plotar os

dados em um grfico.

Observa-se que esta distribuio se assemelha com a de Poisson.

3.3. Disciplina da Fila

um conjunto de regras que impem a ordem em que os clientes seroatendidos. O atendimento pode ser pela ordem de chegada, ou seja, o primeiro achegar o primeiro a ser atendido, pela ordem inversa de chegada, ou seja, o ltimo achegar o primeiro a ser atendido, por prioridade para certas caractersticas etc..

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 1 2 3 4 5 6 7 8Quant.de Carros

F r e q

n c

i a R e

l a t i v a


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Exemplos: FIFO (First-In-First-Out ) ou FCFS (first come, first served ): primeiro cliente a chegar

fila ser o primeiro a ser atendido. LIFO (Last-In-First-Out ) ou LCFS (last come, first served ): o ltimo cliente a chegar

fila o primeiro a ser atendido. SIRO (Service-In-Random-Order ): o atendimento dos clientes faz-se por ordem

aleatria. SPT (Shortest-Processing-Time first ): o cliente a ser atendido em primeiro lugar

ser aquele cujo tempo de atendimento menor. PR (Priority Rules ): o atendimento faz-se de acordo com as regras de prioridades

pr-estabelecidas.

Cada Sistema de Filas pode ser descrito segundo a notao de Kendall 1 por seiscaractersticas ( A / B / c / K / m / Z).

A primeira caracterstica (A) especifica a distribuio dos intervalos entre chegadase a segunda caracterstica (B) especifica a distribuio do tempo de servio. Podem-seutilizar as seguintes abreviaes padres:

M - intervalos de tempo entre chegadas so independentes, identicamentedistribudos e variveis aleatrias, seguindo o modelo Marcoviano (distribuioexponencial negativa distribuio contnua - ou distribuio de Poisson distribuio discreta);

D - intervalos de tempo entre chegadas so independentes, identicamentedistribudos e determinstico (distribuio determinstica) os tempos soconstantes;

Ek - intervalos de tempo entre chegadas so independentes, identicamentedistribudos e variveis aleatrias tendo distribuio de Erlang de ordem "k";

1 KENDALL, D.G.,Stochastic processes occurring in the Theory of Queues and their analysis by the method of imbeddedMarkov chains , p. 338-354 Ann. Math. Statist. 24, 1953.


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Observaes:* Para k = 1 adistribuio de Erlang= distribuioexponencial;* Para k muito grandese aproxima dadistribuio normal.

Hm - Hiper-exponencial de estgio "m" utiliza-se quando o tempo de servioapresentar um desvio grande em relao mdia;

G - intervalos de tempo entre chegadas so independentes, identicamentedistribudos e tendo distribuio genrica. Neste caso no especificada umadistribuio de probabilidade para os tempos de chegada e de atendimento. Osresultados so vlidos para todas as distribuies.

A terceira caracterstica (c) a quantidade de servidores em paralelo.

A quarta caracterstica (K) especifica o nmero mximo (capacidade mxima) deusurios no sistema. Se esta capacidade for finita, quando esta for atingida, osusurios que chegam at o instante da prxima liberao so rejeitados.

A quinta caracterstica (m) d o tamanho da populao que usa o sistema. A sexta caracterstica (Z) descreve a disciplina da fila.

Observaes:

1. Existe uma notao condensada, A/B/c, onde se supe que no h limite parao tamanho da fila, a populao infinita e a disciplina da fila FIFO. Para o caso decapacidade limitada, a notao utilizada A/B/c/K.

2. Os modelos Marcovianos ou de distribuio de Poisson possuem uma grandeaplicao terica uma vez que permitem desenvolver uma teoria sobre filas. Atravsdele, possvel calcular todas as principais caractersticas da fila, sem necessitarefetuar dimensionamentos e estudos financeiros com base em anlises maisdemoradas com simulao ou uma abordagem matemtica complexa. Modelos de filascom distribuies exponenciais levam a dimensionamento de sistemas com maissegurana.

Exemplos:

a) M / E2 / 8 / 10 / / FCFS (first come, first served ) - pode ser uma clnica com 8mdicos, intervalo entre chegada de clientes representado por distribuio


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...entrada sada sistema de 1 fila e 1 canal

...entrada sada sistema de 1 fila e 3 canais

exponencial, tempo de atendimento representado por distribuio de Erlang deordem 2, disciplina da fila de atendimento por ordem de chegada, comcapacidade total do sistema para 10 clientes e populao infinita.

b) M / M / 3 / 20 / 1500 / FCFS (first come, first served ) - O intervalo entre chegadassucessivas distribudo exponencialmente, os tempos de servio soexponencialmente distribudos, h trs servidores, a fila possui buffers para 20usurios, isto , 3 usurios em atendimento e 17 esperando por servio,enquanto a quantidade de usurios estiver em seu valor mximo (20) todos osusurios que chegarem sero perdidos at que o comprimento da fila diminua,h um total de 1500 usurios que podem ser atendidos, a disciplina deatendimento primeiro cliente a chegar fila ser o primeiro a ser atendido.

c) M/M/1 conhecido como modelo de Poisson. Ele mais utilizado em estudos

tericos, pois permite, facilmente, calcular todos os atributos de uma fila,facilitando, inclusive, a sua anlise financeira. Considera-se que no h limitepara o tamanho da fila, a populao infinita e a disciplina da fila FIFO

3.4. Estrutura do Sistema

Existem vrios tipos de estruturas do sistema, e por isso, necessitam-se serestudados caso a caso. A seguir esto relacionados trs exemplos de configuraes.

4. MODELO D / D / 1 / k / FIFO

Consideraes do Sistema

Neste modelo, os tempos entre chegada sucessivas so iguais a 1/ , os usurios soatendidos individualmente e na ordem de chegadas por um nico servidor em temposiguais a 1/ . O sistema est limitado quanto sua capacidade a k usurios.

...entrada sada

sistemacomplexo

...


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Neste modelo, se no haver formao de fila; para > , a limitao decapacidade do sistema dever ser imposta, caso contrrio, a fila crescer sem limite.Considerar ainda o seguinte:

o instante de tempo em que se avalia a quantidade de usurios. Entre t =0 e t = 1/ o sistema est vazio;

o instante de tempo em que acontece a primeira rejeio devido capacidade k do sistema. Entre 1/ e a quantidade mdia de clientes nosistema avaliada por:NS(t) = [qtd de chegadas entre 0 e t ] [qtd de servios completados at t ]

Onde [ x ], na expresso anterior, representa a parte inteira do contedo de x .

NS ( ) = k + 1 Entre e h chegadas de clientes no sistema com efetivo ingresso e

outras que so rejeitadas devido capacidade k .Por isso, as medidas de desempenho do sistema so:

Quantidade Mdia de Clientes no Sistema:

Quando existir m inteiro positivo tal que 1/ = m 1/ , tem-se:

NS (t) ={ Obs.: K define a capacidade do sistema.

Quando no existir m inteiro positivo tal que 1/ m 1/ , ento:

NS (t) =

{

Tempo de espera do n-simo cliente na fila :

Quando existir m inteiro positivo tal que 1/ = m 1/ , tem-se:

TF =

Quando no existir m inteiro positivo tal que 1/ m 1/ , ento:


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TF =

Sendo a ordem do primeiro usurio rejeitado, devido capacidade k do sistema.Exemplo 1 Analisar o sistema representado por D/D/1/6/FIFO com 1/ =3 segundos e 1/ = 6segundos.

m = 1/ 1/ = 6/3 = 2

NS = Como NS ( ) = k + 1 = 6 + 1 = 7 clientes ento: NS ( ) = = 7. Parase calcular , instante de tempo em que ocorre a primeira rejeio, deve-se procederde forma emprica como se segue:

60 52 36 33NS ( ) 11 9 7 6

Obs.: a coluna em negrito representa o 1 , pois para = 35s, NS ( ) = 6 clientes.Sendo assim, (cheg./seg. x seg. = chegadas) que a ordem do primeiro usuriorejeitado, : 36 x 0,333 = 12. Por isso, o tempo de espera na fila dado por:

TF = TF =

Conforme apresenta o grfico a seguir, verifica-se que o TF quando ,considerando-se, por exemplo, o 10 usurio, tem-se que TF = segundos, ou seja, ele aguarda at a sada do 9 usurio para que ele ingresse nosistema.

Exemplo 2

Analisar o sistema representado por D/D/1/6/FIFO com 1/ =3 segundos e 1/ = 5segundos.

Chegadasde usurios

Sadas deusurios

10 20 30

3s 6s 12s

1

1 2

2 63 4 5 7 8 129 10 11

12

t


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m = 1/ 1/ = 5/3 = 1,67

NS =

TF = Como NS ( ) = k + 1 = 6 + 1 = 7, ento: NS ( ) = = 7. Para secalcular , instante de tempo em que ocorre a primeira rejeio, deve-se proceder deforma emprica como se segue:

54 48 45 42 39 30NS ( ) 8 7 7 7 6 5

Sendo assim, que a ordem do primeiro usurio rejeitado, : 42 x 0,333 = 14.

Para se verificar a quantidade de usurios no sistema (NS) para , determinadocomo 5 ou 6, de forma mais facilitada, faz-se necessria a elaborao de um grficosimilar ao do exemplo 1.

5. MODELO M / M / 1Consideraes do Sistema

As equaes para este modelo baseiam-se nas seguintes caractersticas:

Formas da chegada fila e de atendimento seguem o modelo Marcoviano(distribuio de Poisson ou a distribuio exponencial negativa) e;

Quantidade de canais de atendimento igual a 1.

Expresses

Quantidade Mdia de Clientes no Sistema: NS = / ( - ) Quantidade Mdia de Clientes na Fila: NF = 2 / [ ( - )] Fator de Utilizao do Servidor Frao Mdia de Tempo que o Servidor est

Ocupado: = / Probabilidade de Existiremn Clientes no Sistema: P(n) = (1 - / ) ( / n

Teorema de Little: Para qualquer sistema de filas, no qual exista uma distribuio emregime constante, so vlidas as seguintes relaes:

NS = TS e NF = TF


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Vale relembrar que sistemas estveis so caracterizados por < u seja, < 1.Quanto mais o valor de se aproxima de 1 a fila tende a aumentar infinitamente.Observa-se pela expresso de NF que se = u seja, = 1, o tamanho da fila

infinito.Exemplo 1:

O nmero mdio de carros que chegam a um posto de informaes igual a 10carros/hora. Assumir que o tempo mdio de atendimento por carro seja de 4 minutos, eambas as distribuies de intervalos entre chegadas e tempo de servio sejamexponenciais.

Responder as seguintes questes:a - Qual a probabilidade do posto de informaes estar livre?b - Qual a quantidade mdia de carros esperando na fila?c - Qual o tempo mdio que um carro gasta no sistema (tempo na fila mais o tempo deatendimento) ?d - Quantos carros sero atendidos em mdia por hora?

Dados do Problema:

Chegada: 10 carros/hora. Atendimento: em mdia, 1 carro a cada 4 minutos, ou seja 15 carros/hora (60/4). Sendoassim, = 15 carros/hora.

Soluo:

a - P(0) = (1 - / ( / 0 = (1 - 10 / 15) x 1 = 1 / 3 = 33,33%b - NF = 2 / [ ( - )] = 102 / 15 ( 15 - 10 ) = 1,33 carrosc - Dado que NS = TS, ento:TS = NS / = 1 / ( - ) = 1 / 5 = 0,2 horas ou 12 minutos (Ateno) d - Se a ocupao mdia do posto fosse de 100%, ento, o nmero mdio de carrosatendidos por hora seria de 15 carros. Sendo a ocupao mdia, a 100%, igual a 1 -P(0), ou seja, igual a 2/3, ento o nmero de carros atendidos por hora seria de:

15 * 2 /3 = 10 carros por hora.Exemplo 2:

Supondo-se que a chegada de um navio ao bero porturio siga a distribuio dePoisson, com uma taxa de 6 navios por dia. A durao mdia de atendimento dosnavios de 3 horas, seguindo-se a distribuio exponencial. Calcule os seguintesvalores:

a Qual a probabilidade de um navio chegar ao porto e no esperar para atracar?b Qual a quantidade mdia de navios na fila do porto?c Qual a quantidade mdia de navios no sistema porturio?d Qual a quantidade mdia de navios utilizando o porto?


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e - Qual o tempo mdio de um navio na fila?f Qual deve ser a taxa de chegada de um navio para que o tempo mdio na fila sejade 3 horas?g Qual a probabilidade do bero porturio estar em uso?

Dados do Problema:

Chegada: 6 navios/dia. Atendimento: em mdia, 1 navio a cada 3 horas, ou seja 8 navios/dia (24/3). Sendoassim, = 8 navios/dia.

Soluo:

a - P(0) = (1 - / ( / 0 = (1 - 6 / 8) x 1 = 1 / 4 = 25%

b - NF =2

/ [ ( - )] = 62

/ [ 8 ( 8 6 ) ] = 2,25 naviosc NS = / ( - ) = 6 / ( 8 6 ) = 3 naviosd Navios no Porto = NS NF = 3 2,25 = 0,75 navioe TF = ?, como NF = TF ento TF = NF/ ou seja TF = 2,25 / 6 = 0,375 dia = 9horasf Se TF = 3 horas = 0,125 dia (3/24), mantendo-se a mesma taxa de atendimento ( ),deve-se calcular a nova taxa de chegada ( ). Sendo assim:

Sendo NF = 2 / [ ( - )] e NF = TF, ento 2 / [ ( - )] = TF TF = { 2 / [ ( - ) ] } x 1 / / [ ( - ) ] = / ( - )

TF ( - ) = TF TF TF TF TF TF TF TF

= 0,125 x 82 / (0,125 x 8 + 1) = 4 navios / diag Se a probabilidade de no ter nenhum navio no bero porturio de 25%, ento aprobabilidade de ter-se um navio atracado de 1 P(0) = 1 1 / 4 = 3 / 4 = 0,75 = 75%

Exemplo 3:

Uma distribuidora de combustveis utiliza caminhes para transportar o seu produto.Sabendo-se que esta empresa s tem um ponto de abastecimento dos caminhes, queos ritmos de chegada e de atendimento seguem as distribuies do modeloMarcoviano, que a taxa de chegada dos caminhes de 4 unidades por hora, que ataxa de atendimento de 5 unidades por hora, que os custos horrios do funcionrioque abastece o veculo de 5,00 unidades monetrias e do motorista de 12,00unidades monetrias, calcule o custo horrio do sistema e a probabilidade dofuncionrio que abastece ficar sem nenhum caminho para abastecer.

Dados do Problema:

Chegada: caminhes/hora. Atendimento: = 5 caminhes/hora.Custo do funcionrio que abastece o caminho: 5,00 unidades monetrias.Custo do motorista: 12,00 unidades monetrias.


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Soluo:

Quantidade de Caminhes no Sistema:NS = / ( - ) = 4 / (5 4) = 4 caminhesPor hora, 1 funcionrio abastece 4 caminhes, ento calcula-se o custo dosistema por:

Custo Horrio do Sistema = 5,00 + (12,00 x 4) = 53,00 unidades monetrias.

Probabilidade de no ter nenhum caminho para ser abastecido:P(0) = (1 - / ( / 0 = (1 - 4 / 5) x 1 = 20%.

Exemplo 4:

Um tcnico de laboratrio gasta 30 minutos em mdia para reparar rels. Considerarque o tempo distribui-se conforme uma distribuio exponencial negativa. Os relschegam recepo do laboratrio segundo a distribuio de Poisson a uma taxa mdiade 10 rels por dia. Considerar um turno de 8 horas de trabalho. Eles so reparados deacordo com a ordem de chegada.a) Qual a folga mdia do tcnico por dia de trabalho?b) Em mdia, quantos rels se encontram na oficina aguardando reparao?

Soluo:

Tempo para reparao: 30 minutos, ou seja, rels/hTaxa de chegada: 10 rels/8 horas de trabalho, ou seja, 1,25 rels/h

a) P(0) = (1 - / ( / 0 = (1 1,25/2)(1,25/2)0 = 0,375 = 37,5%Como so 8 horas dirias de trabalho: 8 x 0,375 = 3 h

b) NF = 2 / [ ( - )] = 1,252 / [2 ( 2 1,25)] = 1,04 aparelhos.

Exerccio 1:

Uma loja de departamentos 24h tem um tcnico para fazer manuteno nas mquinasregistradoras. Sabe-se que na loja de Recife, quatro mquinas falham, em mdia, pordia, seguindo distribuio de Poisson. O tcnico repara, em mdia, seis mquinas pordia, seguindo-se uma distribuio exponencial. Como a loja depende da mdia dosregistros de venda, pela falta de mquina, ela deixa de registrar R$ 3.500,00 por hora.O tcnico usa materiais para manuteno que custam, em mdia por mquina, R$310,00. Por isso, determine:a) Qual o custo total de mquina parada? R$ 168.620,00b) Qual a probabilidade do tcnico no estar executando a manuteno de mquinas?33%c) Qual a quantidade mdia de mquinas na fila? 1,33 mquinad) Qual a quantidade mdia de mquinas no sistema? 2 mquinase) Qual o tempo mdio das mquinas na fila? 7,92hf) Qual o tempo mdio das mquinas no sistema? 12h


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Exerccio 2:

Considere um sistema de fila tipo M/M/1 em que navios chegam a um porto paracarregar algum produto. A seguir esto anotados os valores, para 20 navios, dosintervalos entre chegadas (em horas) e da durao de carga (em horas) de cada navio.Baseando-se neles, determine:

Aberturado Porto

(t=0)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A 10 2 13 7 2 8 8 8 10 9 1 14 14 1 10 9 9 9 8 14B 5 5 3 3 6 7 6 8 2 5 8 8 8 3 4 3 3 4 5 5 A Intervalo entre chegadasB Durao dos atendimentos

a) A taxa de chegada; 2,86 navios/diab) A taxa de atendimento; 4,76 navios/diac) O tamanho mdio da fila; 0.9 naviod) A quantidade de navios no sistema; 1,51 navioe) O tempo mdio dos navios na fila; 0,31 dia = 7,44hf) A probabilidade de existirem trs navios no sistema. 9%

Exerccio 3:

Em uma mineradora verificou-se que o tempo mdio dos caminhes junto a um sistemade carregadeiras tipo M/M/1 de 3 minutos e que, em mdia, existem 6 caminhes

neste sistema. Qual a taxa de chegada dos caminhes? Resp. 2 caminhes/minutoExerccio 4:

Um operador logstico recebe, em mdia, 4.000 itens de produtos em uma hora. Oponto de entrada desses itens nico para recebimento e avaliao crtica. Existe umnico atendente para este ponto de entrada. Ele tem capacidade para atender 4.200itens por hora, em mdia. Sabendo-se que a chegada e o atendimento podem serrepresentados por distribuio exponencial, determine:

a) Qual a frao mdia do tempo que o atendente est ocupado? 95%b) Qual a quantidade mdia dos itens na fila? NF=19 itensc) Qual a quantidade mdia dos itens no sistema? NS=20 itensd) Qual o tempo mdio dos itens na fila? TF=17,14se) Qual o tempo mdio dos itens no sistema? TS=18sf) Qual a probabilidade de no existirem itens no sistema? 5%g) Qual dever ser a taxa de chegada dos itens para uma reduo do tempo nosistema de 30%? 3914,3 itens/hh) Quantos itens sero efetivamente atendidos? 3990 itens/h


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Exerccio 5:

Numa sala de espera, com 1 mdico atendendo, h 15 clientes em mdia. A taxa dechegada de 1 cliente a cada 30 segundos. Qual o tempo mdio de espera dosclientes na sala. Os clientes so atendidos por ordem de chegada (FIFO).Resp.: 30 minutos

Exerccio 6:

Um sistema para atendimentos est associado a 100 computadores. O tempo mdiopara resposta requisio do computador ao sistema de atendimento de 0,6segundos. No horrio de pico so efetuadas 20 consultas/minuto. Qual aprobabilidade do sistema de atendimento estar livre? Resp. 80%

Exerccio 7:Uma indstria deseja contratar um especialista para manuteno de mquinas queapresentam 3 falhas/h. Para isso, a indstria possui 2 opes:- 1 Especialista lento: ritmo de manuteno de 4 falhas/h a R$ 3,00/hora- 1 Especialista rpido: ritmo de manuteno de 6 falhas/h a R$ 5,00/horaO custo de mquina parada de R$ 5,00/h. Qual a melhor contratao que deve serefetuada pela indstria de forma a minimizar o custo total? Resp. Especialista rpidoR$ 10,00/h

5.1. SISTEMA DE FILAS SEQUENCIAIS M/M/1

Em qualquer sistema estvel, o fluxo que entra igual ao fluxo que sai.

Em um sistema estvel, o fluxo de entrada se mantm nas diversas sees do sistema.

Em um sistema estvel, a juno de fluxos equivale s suas somas.


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Em um sistema estvel, o fluxo se desdobra aritmeticamente.

Exemplo 1: em um sistema de filas sequenciais, conforme figura, calcule o tamanhodas filas que se formam em cada servidor.

6. MODELO M / M / 1 / k

k: nmero mximo (capacidade mxima) de usurios no sistema.


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Expresses

Probabilidade de Existirem n Clientes no Sistema: P(n) =

[( )]

sendo P(0) = ( ) P(n) = Quantidade Mdia de Clientes no Sistema: NS = ( ) Quantidade Mdia de Clientes em Atendimento: NA = 1 - P(0) Quantidade Mdia de Clientes na Fila: NF = NS NA Tempo Mdio de Clientes no Sistema: TS =

Tempo Mdio de Clientes na Fila: TF =

Observao: e mbora a taxa de chegada de clientes ao sistema seja , a taxa declientes que permanecem no sistema [1 P( k)]

Exemplo 1:

Uma barbearia tem 1 barbeiro e um total de 10 cadeiras. O intervalo de tempo entrechegada de clientes barbearia em mdia de 20 clientes por hora. Aqueles clientesque chegam e encontram a barbearia cheia, no entram. Os barbeiros levam em mdia12 minutos para cortar o cabelo de cada cliente. Os tempos gastos nos cortes decabelo so distribudos exponencialmente.1 - Na mdia, quantos clientes no sero efetivamente atendidos (ficaro espera)?2 - Na mdia, quanto tempo cada cliente gasta na barbearia?

Soluo:

Taxa de ocupao do sistema: = / = 20 / 5 = 41 - Nmero mdio de clientes que entram por hora na barbearia:

a) probabilidade de ter menos de 10 clientes na barbearia:1 P(10) = 1 - 410 [(1 - 4) / (1 - 411)] = 0,25

b) nmero mdio de clientes que permanecem na barbearia: [1 - P(10)] = 20 x 0,25 = 5 clientes / hora

Obs.: Nmero de clientes que no sero atendidos (ficaro espera) igual a:20 - 5 = 15 clientes / hora2 - Tempo gasto por cliente na barbearia:

a ) Nmero mdio de clientes na barbearia:NS = { 4 [1 - 11(410) + 10(411) ] } / { (1- 411)(1 - 4) } = 9,67 clientes

b ) Tempo mdio gasto por cliente na barbearia:TS = 9,67 / (20 x 0,25) = 1, 93 horas

Exerccio 1:

Em um Centro de Distribuio (CD) existe a capacidade de receber, no mximo, 40caminhes. Sabe-se que se pode atender um caminho de cada vez. As taxas dechegada e de atendimento do CD seguem uma distribuio Markoviana. Dez


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caminhes so atendidos, em mdia, por hora e chegam ao CD a cada 10 minutos.Determine:

a) Qual a probabilidade do CD estar em atendimento? 1 P(0) = 60%b) Qual o tempo de espera no CD? TS = 0,25h (15 min.)c) Qual a quantidade mdia de caminhes na fila? NF = 0,89 cam.d) Qual a quantidade mdia de caminhes no sistema? NS = 1,49 cam.e) Qual o tempo mdio dos caminhes na fila? TF = 0,15h (9 min.)

Exerccio 2:

Um ptio ferrovirio tem capacidade para receber no mximo 30 vages de minrio,sem influenciar no trfego. Sabe-se que s existe um virador de vago paradescarregar a carga. As taxas de chegada dos vages e de atendimento seguem as

distribuies de Poisson e exponencial, respectivamente. Um vago virado a cada 10minutos. Chega ao ptio 1 vago a cada 15 minutos. Determine os seguintesparmetros do sistema:

a) Qual a probabilidade de no existir vago no ptio? P(0) = 34%b) Qual o tempo mdio gasto, por cada vago, no ptio? TS = 30 minutosc) Qual o tempo mdio do vago na fila? TF = 19,8 minutosd) Qual a probabilidade do ptio ter algum trem em atendimento? 1 P(0) = 0,66

Exerccio 3:

Um porto, com um ponto para descarga, recebe navios RO-RO. Nesse ponto pode-sedescarregar, em mdia, 5 navios/dia, acostando, no mximo, 2 navios de cada vez.Quando o porto est ocupado, os navios que chegam so desviados, acarretando R$20.000,00 por navio desviado. O navio parado no porto custa R$ 12.000,00/dia e pornavio. Sabe-se que a chegada segue uma distribuio de Poisson com taxa de 3navios/dia. Os tempos de chegada seguem uma distribuio exponencial negativa. Avalie a viabilidade econmica para ampliar o cais para receber mais um navio (3 aotodo), o que levaria o custo dirio em R$ 1.000,00, ou manter a configurao atual.Resp.: Ampliando para trs beros, a economia seria de R$ 1.220,00.

7. MODELO M / M / c

c: especifica o nmero de canais de atendimento ou nmero de servidores.

Expresses

Taxa de Ocupao do Sistema: = / c onde a taxa por canal deatendimento

Probabilidade de Existirem n Clientes no Sistema: P(n) = sendo P(0) =

P(n c) =


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Quantidade Mdia de Clientes na Fila: NF= Quantidade Mdia de Clientes no Sistema: NS = NF + NA = NF + ( / ) Tempo Mdio de Clientes no Sistema: TS = Tempo Mdio de Clientes na Fila: TF = Tempo Mdio de Clientes em Atendimento: TA = 1 /

Exemplo 1:

Considere um banco com 2 caixas para atendimento de clientes. Uma mdia de 80clientes por hora chegam ao banco e esperam em 1 nica fila para serem atendidos. Otempo mdio de atendimento por cliente de 1,2 minutos. Assumir que o intervalo detempo entre chegadas de clientes e o tempo de atendimento so exponenciais.

Determinar:1 - O nmero esperado de clientes no banco.2 - O tempo que cada cliente gasta no banco.

Dados: = 80 clientes/h= 60/1,2 = 50 clientes/h

c = 2

Soluo:

Taxa de ocupao do banco: = / c 80 / (2 x 50) = 0,801

a) Probabilidade de se ter mais de 2 clientes no banco:P(0) =[ ][ ] P(n c) =

b) Nmero de clientes esperando na fila - NF= = (0,416 x 0,80) / (1 0,8) =1,7 cliente

c) Nmero de clientes esperando no Sistema: NS = NF + ( / ) = 1,7 + (80/50) =3,3 clientes

2 TS = NS / = 3,3 / 80 = 0,041 h = 2,46 minutos

Exerccio 1:

Uma agncia de reciclagem de alumnio tem duas mquinas para extruso e funcionaem perodos de 8 h dirias. A carga chega agncia a cada 10 minutos e,descarregada e extrusada a cada 15 minutos. A empresa pretende colocar mais uma

extrusadora, mas no sabe se ser interessante quanto ao tempo da carga na fila.Verifique isso. Resp. melhor opo C = 3.


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8. MODELO M / Er / 1

Segundo Pereira (2009), o modelo de Erlang, com um servidor, as chegadas seguindoa distribuio de Poisson com parmetro e os tempos de atendimento seguindo adistribuio de Erlang de ordem r com parmetros r e , aplica-se, por exemplo, nocaso em que se tem uma atividade para passar, etapa para etapa, por uma srie de r fases de produo independentes. Cada etapa tem um tempo com distribuioexponencial com um parmetro comum . A anlise do modelo M/Er /1 similar a domodelo M/M/1.

A taxa de ocupao dada por = r / . Para que o sistema atinja o estado deequilbrio necessrio e suciente que < 1.

As expresses que fundamentam a resoluo do modelo de Erlang esto expostas na

tabela a seguir.Expresses para o Modelo de Filas de Erlang de Ordem r

Fonte: Pereira (2009)Obs.: cuidado com as variveis que so diferentes das usadas nesta apostila

9. CADEIAS DE MARKOV

9.1. Sinopse de Conceitos Associados Teoria da Probabilidade

Considerando-se experimentos em que os resultados no sejam previsveisantecipadamente, tais como lanamento de uma moeda, jogar um dado, vida til de umequipamento mecnico etc., pode-se considerar como espao amostral os resultadospossveis destes.

Para os experimentos anteriores, tem-se: uma moeda lanada, Espao Amostral ={cara, coroa}; para o dado jogado, Espao Amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; para vida til deum equipamento mecnico, Espao Amostral = [0, ).

Para tais experimentos, tem-se que o subconjunto de cada espao amostral denominado evento. Para a moeda, Evento 1 = {cara} e Evento 2 = {coroa}; para odado, considerar os resultados que so nmeros pares, ou seja, Evento 1 = {2, 4, 6};


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para um equipamento que dure ao menos 1 anos, mas no complete o segundo, tem-se Evento 1 = [1,2).

Tomando-se, ento, os resultados de um experimento que pode ser listado pelo espaoamostral (S) com os seus eventos (E), observa-se que a probabilidade P de um certoevento - P(E) compreende-se entre 0 e 1, isto : 0 P(E) 1; Alm disso, aprobabilidade deste espao amostral igual a 1 - P(S)=1.

A probabilidade condicional a probabilidade de certo evento ocorra sabendo-se daocorrncia de um anterior. Por exemplo, qual a probabilidade da soma de dois dadoslanados ter resultado 10, sabendo-se que o primeiro saiu 4? Os eventos possveis so(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) e, por isso, a probabilidade do resultado ser 10 de1/6.

Pode-se expressar a probabilidade condicional de um evento E ocorra sabendo-se queoutro evento F ocorreu, por P(E|F) = P(E F)/P(F). Por exemplo, considerar que umamoeda ser lanada 2 vezes, qual ser a probabilidade condicional de que resulte duasvezes cara (E), tomando-se que pelo menos uma cara foi observada (F)?S = {(cara, coroa), (coroa, cara), (cara, cara), (coroa, coroa)}E = {cara, cara};F= {(cara, coroa), (coroa, cara), (cara, cara)}P(E|F) = P(E F)/P(F) =P({(cara,cara)}) / P({(cara, coroa),(coroa, cara),(cara, cara)}) = / = 1/3

Nestes termos, uma varivel aleatria pode ser entendida como o resultado de umamedio de algum parmetro que pode gerar um valor diferente a cada medida, ouseja, diz respeito caracterstica do experimento que se quer estudar.Matematicamente, ela a funo que associa cada elemento de um espao amostral aum nmero real. Por exemplo, se ao lanar uma moeda trs vezes, obtm o seguinteespao amostral: S = {(ccc), (kcc), (ckc), (cck), (kkk), (kkc), (kck), (ckk)}, sendoc representando cara e k , coroa. Necessita -se avaliar a quantidade de caraspossveis. Assim, a varivel aleatria X , que representa a quantidade de caras, podeser expressa da seguinte forma:x = 0 {(kkk)}x = 1 {(kkc)(kck)(ckk)}x = 2 {(kcc)(ckc)(cck)}x = 3 {(ccc)}

Uma varivel aleatria discreta assume cada um dos seus valores com uma certaprobabilidade, conforme a seguir:

x 0 1 2 3P(X = x) 1/8 3/8 3/8 1/8

As variveis aleatrias podem ser classificadas em: Discretas (VAD) a quantidade de valores possveis, assumidos por X, for

contvel e finita (ou infinita).


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Contnua (VAC) a quantidade de valores possveis, assumidos por X, forformada por intervalos, ou seja, por valores no-contveis.

Exemplos:

1) Para VAD:a) Jogar um dado no viciado:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}X = 1 se ponto for igual a 6X = 0 caso contrrioX = {0, 1}

b) Jogar uma moeda at tirar uma cara:X assume a quantidade de jogadas at tirar uma cara (incluindo-se a cara)

X = {1, 2, 3, ...}

X assume a quantidade de coroas at tirar uma caraX = {0, 1, 2, ...}

2) Para VAC:a) X distncia entre dois pontos positivos:

X = [0,+ [b) X distncia entre dois pontos quaisquer:

X = ]- ,+ [

Quando nos depararmos com situaes em que as variveis aleatrias sodependentes umas das outras, ou suas distribuies de probabilidade mudam com otempo, ou ambas as coisas acontecem; estudam-se tais situaes baseando-se nateoria de funes aleatrias, ou seja, na teoria de processos estocsticos.

Os termos processo estocstico e processo aleatrio so sinnimos e abrangem toda ateoria de probabilidades. Na prtica, entretanto, o termo processo estocstico reservado para quando o parmetro temporal introduzido.

9.2. Processo Markoviano

Tomando-se n = 1,2,..., e qualquer sequncia de estados possveis s 1, s2,..., sn+1 ,com Xn, Xn-1,..., X1 conhecidos, tem-se para X n+1 como uma varivel aleatria discreta:

P(Xn+1 = sn+1 | X1=s1, X2=s2,..., Xn=sn) = P(Xn+1 = sn+1 | Xn=sn)

Traduzindo: as probabilidades de todos os estados futuros X j (j > n) dependemsomente do estado atual X n, mas no dependem dos estados anteriores X 1,..., Xn-1.

Um processo Markoviano um processo estocstico cuja dinmica do comportamento tal que a distribuio de probabilidade do futuro depende somente do estadopresente e no levando em considerao como o processo chegou a tal estado(passado).

Os processos markovianos so modelados formalmente pelos modelos deMarkov, que so sistemas de transies de estados, onde os estados so


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representados em termos de seus vetores probabilsticos, que podem variar noespao temporal (discreto ou contnuo), e as transies entre estados soprobabilsticas e dependem apenas do estado corrente.

Se o espao de estados discreto, o processo Markoviano conhecido como cadeiade Markov.

Em uma cadeia de Markov, o smbolo pij (probabilidade de passar do estado i para oestado j em uma fase) usado para representar a probabilidade (condicional) de que,dado que o sistema esteja no estado i em um certo momento, venha a estar noestado j no intervalo de tempo seguinte. O smbolo pij tambm pode ser denominadocomo probabilidade de transio de cadeias de Markov.

Se A o evento do sistema no estado i no tempo n e B evento do sistema no estado j

no tempo n+1 , ento p ij = P(A|B), ou seja, a probabilidade de ocorrer o evento Asabendo-se que B ocorreu.

9.3. Matriz de Transio

Considere uma cadeia de Markov com estados 1,2,...,N. Seja p ij a probabilidadede transio do estado i para o estado j . Ento a matriz NxN P=[pij] denomina-se matrizde transio de cadeia de Markov. Por exemplo, se a cadeia de Markov tem quatroestados 1, 2, 3, 4, a matriz de transio pode ser representada assim:

P =

9.4. Modelo M / M / 1

Uma fila que segue o modelo M/M/1 pode ser representada pela figura a seguir, ondeos nmeros representam os estados possveis e as setas as possveis transies.

Fonte: Pereira (2009)

No estado 0, o nmero de entradas por unidade de tempo P 1, que ocorre napassagem do estado 1 para o estado 0 por sada do sistema de um cliente atendido, eo nmero de sadas por unidade de tempo P 0, que ocorre na passagem do estado 0para o estado 1 por chegada de um cliente ao sistema.

Para que o estado de equilbrio ou estacionrio ocorra necessrio que o nmero de

entradas por unidade de tempo e o nmero de sadas por unidade de tempo sejamiguais, isto : P 1 = P 0 P1 = P 0/


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No estado 1 o nmero de entradas por unidade de tempo P 0 + P 2, que acontece napassagem do estado 0, com a chegada de um cliente ao sistema, ou na passagem doestado 2 por sada do sistema de um cliente atendido, e o nmero de sadas porunidade de tempo P 1 + P 1, que acontece na passagem para o estado 2 porchegada de um cliente ou para o estado 0 por sada do sistema de um cliente atendido.

A expresso que representa o estado de equilbrio da fila : P n = (/)n P0. Parareavaliar o desenvolvimento desta expresso, deve-se se reportar a Pereira (2009).

Sabendo-se que a taxa de ocupao ( ) igual a /, ento P n = ()n P0, para n sendoa quantidade de atendimentos aos clientes.

Para condio de equilbrio da fila, tem-se:

Taxa de ocupao: = / O nmero mdio de clientes no sistema: NS = / (1 - ). O nmero mdio de clientes na fila NF =2 / (1 - ). O nmero mdio de clientes esperando quando existe pelo menos uma pessoa

esperando (caso especial de NF) NF = 1/ (1- ) = /( - ). O tempo mdio de clientes no sistema TS = 1 / (1 - ). O tempo mdio de clientes na fila TF = / (1 - ). Probabilidade de ocorrncia do estado 0: P 0 = 1 Probabilidade de ocorrncia do estado n: Pn = n P0 Probabilidade de existirem no sistema k ou mais clientes: P(N k) = k Probabilidade de o tempo de espera na la ser zero : P(TF = 0) = P0 Probabilidade de o tempo de espera na la exceder t : P(TF > t) = / [e ( )t ] Probabilidade de o tempo gasto no sistema exceder t : P(TS > t) = e ( )t

Exemplo 1:

A Sra. Cutt possui um salo unissex. Ela no marca hora, de forma que, o atendimentoocorre numa disciplina primeiro a chegar, primeiro a ser atendido ( FCFS). Ela acreditaque est muito ocupada aos sbados pela manh, de modo que, ela est estudando apossibilidade de contratar uma assistente e possivelmente mudar-se para umestabelecimento maior. Entretanto, antes de tomar essa deciso ela deseja saber qual

o nmero mdio de clientes no salo e qual o nmero mdio de clientes esperandopara serem atendidos.

Para tanto, a Sra. Cutt observou que os clientes chegavam ao salo de acordocom um processo de Poisson com uma taxa mdia de chegada de 5 clientes/h. Alm disso, foi observado que o tempo de atendimento era exponencialmentedistribudo e em mdia de 10 minutos. Sabe-se que a sala de espera do salo tem 4assentos, e por isso ela quer saber qual a probabilidade dos seus cliente terem queficar de p esperando pela sua vez.

Dados do problema:

= 5 clientes/h e = 60/10 = 6 clientes/h


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Taxa de ocupao ( ) = 5/6 = 0,83Nmero mdio de clientes no sistema: NS = 0,83 / (1 0,83) = 4,88 5 clientesNmero mdio de clientes na fila: NF = 0,832 / (1 0,83) = 0,69 / 0,17 = 4,06

4 clientesO nmero mdio de clientes esperando quando existe pelo menos uma pessoaesperando (caso especial de NF) NF = 1/ (1 - 0,83) = 5,88 6 clientes

Ela tambm est interessada em saber a porcentagem de tempo que os clientes soatendidos sem terem que esperar em fila, ou seja, a probabilidade que uma chegadaocorra e o sistema esteja vazio : P 0 = 1 = 1 0,83 = 0,17 = 17%

Desse modo, 17% do tempo da Sra. Cutt est ociosa, fazendo com que o prximocliente a chegar possa ser atendido sem ter que esperar. Devido ao fato doprocesso de Poisson governar sua chegada e por causa de sua

propriedade completamente aleatria, a porcentagem de clientes que entraro emservio diretamente sem ter que esperar 17% tambm. Por outro lado, 83% dosclientes devem esperar antes de serem atendidos.

A sala de espera da Sra. Cutt tem quatro assentos, de forma que, ela estinteressada em saber a probabilidade de um cliente, aps chegar, no ter lugarpara sentar.

Pr{cliente no encontrar nenhum assento disponvel} =Probabilidade de existirem no sistema k ou mais clientes = P(N k) = k Pr{N5} = 5 = 0,835 = 0,39

Isto implica que em quase 40% do tempo, os clientes no encontraro lugar parasentar.

Tempo mdio de atendimento no salo e tempo mdio na fila so:O tempo mdio de clientes no sistema TS = 1 / (1 - ) = 1 / 6(1 0,83) = 0,98

1 horaO tempo mdio de clientes na fila TF = / (1 - ) = 0,83 / 6(1 0,83) = 0,81 horas x60 minutos 49 minutos.

9.5. Modelo M / M / C

c: especifica o nmero de canais de atendimento ou nmero de servidores.

A prxima figura expressa o modelo M/M/C considerando uma cadeia de Markov.

Fonte: Adaptado de Pereira (2009)


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Expresses (Fonte: Costa, s/d)

Taxa de ocupao: = /C Probabilidade de ocorrncia do estado 0:

Sendo r = /

Probabilidade de existirem no sistema k(n) oumais clientes:

O nmero mdio de clientes na fila (Lq=NF): sendo r = /

O nmero mdio de clientes no sistema (L=NS):

O tempo mdio de clientes na fila (Wq=TF):

O tempo mdio de clientes no sistema (W=TS):

Exemplo 1:

Uma clnica de olhos da cidade oferece consultas grtis todas as quartas tarde.Existem trs oftalmologistas na clnica. Um teste oftalmolgico leva, em mdia, 20min,sendo considerado como exponencialmente distribudo ao redor desta mdia. Ospacientes chegam, por distribuio de Poisson, com mdia de 6 pacientes/h. Eles soatendidos considerando a forma FCFS. Os planejadores do hospital esto interessadosem saber:(1) Qual o nmero mdio de pessoas esperando (NF);(2) A quantidade mdia de tempo que um paciente gasta na clnica (TS);

Dados do Problema:

C = 3, = 6 pacientes/h e = 60/20min = 3 pacientes/hTaxa de Ocupao ( ) = / C = 6/(3 x 3) = 2/3 = 0,67r = / = 6/3 = 2

Da expresso de P 0 chega-se a:

n = c-1 = 2P0 =


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Da equao NF = tem-se que:

NF = [(23 2/3)/3!(1-2/3)2]1/9 = 8/9 = 0,89

TS =

TS = 1/ + NF/ = 1/3 + (8/9)/6 = 13/27h = 28,9min.

9.6. Modelo de 1 Canal e 1 Fila com Populao Infinita (M / M / ) c =

A prxima figura expressa o modelo M/M/C considerando uma cadeia de Markov.


Expresses


Obs.: cuidado com as variveis que so diferentes das usadas nesta apostila


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10. BIBLIOGRAFIA

Andrade, Eduardo Leopoldino de, Introduo pesquisa operacional, LTC - LivrosTcnicos e Cientficos, Rio de Janeiro, 2000.

Albernaz, Marco Aurlio, Teoria das Filas Apontamentos da Disciplina PesquisaOperacional II Pontifcia Universidade Catlica RJ, 2004.

Costa, Luciano Cajado Teoria das Filas Universidade Federal do Maranho, CentroTecnolgio, Disponvel emhttp://www.deinf.ufma.br/~mario/grad/filas/TeoriaFilas_Cajado.pdf, Capturadoem27/07/2010.

Costa, Renato Aurlio Castro, Determinao de Estoques, Dissertao de Mestrado,

Universidade Federal do Paran, Curitiba, 2003Fogliatti, Maria Cristina; Mattos, Neli Maria Costa. Teoria de filas. Rio de Janeiro,Intercincia, 2007.

Grigoletti, Pablo Souza Cadeias de Markov Escola de Informtica UniversidadeCatlica de Pelotas, capturado dehttp://www.assembla.com/spaces/ptfe/documents/c5dGKM7har3jj8abIlDkbG/download/02-markov.pdf, disponvel em 25/07/2010, Pelotas.

Pereira, Cludia Rossana Velosa Uma Introduo s Filas de Espera Mestrado em

Matemtica, Universidade da Madeira - Departamento de Matemtica e Engenharias,Portugal, 2009.

Prado, Darci Santos do. Teoria das Filas e da Simulao , ISBN 85-86948-12-8, INDGTecnologia e Servios LTDA, Belo Horizonte, 2004.


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ANEXO

Letras Gregas

Maisculo/Minsculo/Nome Port./Nome Ingls

lfa /Alpha Eta, taUsado como nano109

Ni, Nu Tau/Tau

Beta/Beta Teta/Theta Xi Ksi / Xicsai

psilon/ Upsilon

Gama/Gamma Iota/Iota micron/micron Fi/Phi

Delta/Delta Kapa/Kappa Pi/Pi Qui/Chi psilon/Epsilon Lmbda/Lambda R/Rho Psi/Psi

Zeta/Zeta Mi, UmUsado como micro106

Sigma/Sigma mega,mega
http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%91http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%91http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%97http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%9Dhttp://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%9Dhttp://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A4http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%92http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%98http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%9Ehttp://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%9Ehttp://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%9Ehttp://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A5http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%93http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%99http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%99http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%9Fhttp://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%9Fhttp://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A6http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%94http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%9Ahttp://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A0http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A7http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A7http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%9Bhttp://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A1http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A8http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%96http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%96http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A3http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A9http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A9http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A9http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A3http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%96http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%96http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A8http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A1http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%9Bhttp://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A7http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A0http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%9Ahttp://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%94http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A6http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%9Fhttp://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%99http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%99http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%93http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A5http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%9Ehttp://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%98http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%92http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A4http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%9Dhttp://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%97http://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%91

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