Teoria das filas. Introdução l Por que aparecem as filas? l Não é eficiente, nem racional, que...

Teoria das filasTeoria das filas

IntroduçãoIntrodução

Por que aparecem as filas? Não é eficiente, nem racional, que cada um

disponha de todos os recursos individualmente. Por exemplo: que cada pessoa disponha do uso exclusivo de

uma rua para se movimentar que cada pessoa tenha um supermercado para o

seu abastecimento exclusivo Recursos limitados devem ser compartilhados.

IntroduçãoIntrodução

Ao compartilhar recursos, pode acontecer que no momento em que se queira fazer uso de um recurso, este esteja ocupado, necessidade de esperar aparecem as filas

Exemplo: nos sistemas de fluxo pode acontecer a formação de filas

Sistemas de fluxoSistemas de fluxo

Um fluxo é o movimento de alguma entidade através de um ou mais canais de capacidade finita para ir de um ponto a outro.

Capacidade finita significa que o canal só pode satisfazer a demanda a uma taxa finita.

Exemplos: fluxo de automóveis (entidades) através de uma rede de

caminhos (canais) transmissão de mensagens telefônicas (entidades) através

da rede (canal)


Se dividem em duas classes: Determinísticos: sistemas no qual o comportamento

da demanda de serviço é totalmente previsível, isto é, a quantidade de demanda é exatamente conhecida sobre o intervalo de interesse.

Aleatório: não é possível predizer como vai se comportar a demanda de serviço, por exemplo, o instante de chegada de uma demanda é imprevisível.


Exemplo de fluxo determinístico: Seja r a taxa de chegada (constante) de pacotes em

uma rede de comutação a um buffer. Seja c a taxa (constante) com que esses pacotes são

processados em cada nó. Se r > c, o buffer do nó é inundado com pacotes, já

que o número de pacotes em espera de serviço crescerá indefinidamente.

Se r < c, se tem um fluxo estável, o número de pacotes em espera de serviço é finito.


Exemplo de fluxo aleatório: Um centro de computação em que as solicitações de

impressão podem chegar em instantes imprevisíveis. Quando um trabalho de impressão chega, pode ser

que o servidor esteja atendendo outro e seja necessário esperar.

Se está desocupado, pode atender imediatamente à nova solicitação de impressão até que esta fique completa.

Representação de uma fila

1

2

m

Fila

Servidores

Chegadas ao sistema

Saídas dosistema

sistema



Notação de Kendall para descrever uma fila:

A/B/C/K/m/Z


A/B/C/K/m/Z

distribuição dotempo entre chegadas

Alguns valores de A mais comuns:

M: denota distribuição exponencial equivalente (M provém de Markoviano)

G: distribuição geral

D: representa um tempo fixo (determinístico)



A/B/C/K/m/Z


distribuição dotempo de serviço

Alguns valores de B mais comuns:

M: denota distribuição exponencial equivalente (M provém de Markoviano)

G: distribuição geral

D: representa um tempo fixo (determinístico)



A/B/C/K/m/Z



número deservidores



A/B/C/K/m/Z




número máximo de clientes permitidos

no sistema

K é omitido quando:

K =



A/B/C/K/m/Z




número máximo de clientes permitidos

no sistema

tamanho da população

m se omite quando:

m =



A/B/C/K/m/Z




número máximo declientes permitidos

no sistema

tamanho da população

disciplina de serviço

Z se omite quando:

= FIFO


Notações usadas nos sistemas de filas: Ci: i-ésimo usuário que entra ao sistema.

ri: tempo de chegada de Ci

ti: tempo entre as chegadas de Ci-1 e Ci (ti = ri - ri-1)

A(t): distribuição do tempo entre chegadas = P[tit]

xi: tempo de serviço para Ci

B(x): distribuição do tempo de serviço = P[xi x]

wi: tempo de espera na fila de Ci

se: tempo no sistema (fila mais serviço) de Ci (se = wi + xi)


Notação de filas em diagrama temporal

Ci-1 Ci Ci+1 Ci+2

se

ri ri+1 ri+2

wi xi xi+1 xi+2

Ci Ci+1 Ci+2

ti+1 ti+2

Tempo

Servidor

Fila

Ci Ci+1 Ci+2


Notações usadas nos sistemas de filas (cont.) Ek: estado do sistema (normalmente

corresponde ao número de usuários no sistema) ktaxa média de chegada dos usuários ao

sistema, quando este se encontra no estado k k: taxa média de serviço quando o sistema se

encontra no estado k


Outros parâmetros de uma fila: N(t): número de usuários no sistema no instante t L = E[k]: número médio de usuários no sistema

(em estado estacionário) LQ: número médio de usuários na fila (em

estado estacionário). T = E[s]: tempo médio de permanência de um

usuário no sistema = E[k]/ (fórmula de Little)


Cadeias de Markov discretasCadeias de Markov discretas


Markov estabeleceu uma simples e útil relação entre as variáveis aleatórias que forman processos estocásticos

DefiniçõesDefinições

Estado: se Xn= i diz-se que o processo está no estado i no instante n, onde {Xn, n=0,1,2...} é um processo estocástico que passa por um número finito ou contável de possíveis estados.

Transição: a transição de um estado a outro depende somente do estado atual, e não da história do processo

ObservaçõesObservações

No caso das cadeias discretas de Markov, os instantes de tempo nos quais a transição entre um estado e outro acontecem podem asumir apenas valores inteiros 0, 1, 2..., n. Em outras palavras, o tempo é discretizado.

Os processos devem permanecer num estado determinado durante um tempo que deve estar geométricamente distribuído.

0

Propriedade Markoviana:

P{Xn+1 = j | Xn = i, Xn-1= in-1,... X0 = i0}

=P{Xn+1 = j | Xn = i} = Pij 0

Interpretação (sistema sem memória):

A transição de um estado para outro só depende do estado atual, e não da história do processo.

ObservaçõesObservações


1 2 3 4 5

Curicó Rancagua Santiago Valparaíso Serena

t

Me leva?

Xn denota a cidade na qual encontra-se o turista ao meio-dia no dia n

...

X1 X2 X3 X4 X5


1 2 3 4 5


t

Me leva?

...


1 2 3 4 5


Continuarei mais aoNorte?

t

...

Da minha viagem,n posso lhes dizer que:

Nos processos de Markov, o estado atual do sistema e as probabilidades de transição entre os diversos estados caracterizam o comportamento futuro do sistema.

Já que um processo de Markov está num estado determinado, seu comportamento futuro não depende de sua história antes de chegar a esse estado.


Y i( )


Cadeias de Markov são processos estocásticos {X(t)} que satisfazem:

pij: probabilidade de transição do estado i para o estado j depende somente do estado i

P=[pij]: matriz de probabilidade de transição

: tempo em que o processo permanece no estado i, sem memória

Santiago

Valpo

Serena

1/4

3/4

1/4

1/4

1/4

3/4

1/2(0)

(2)

(1)

Considerando-se apenas o trajeto Santiago-Valparaíso-Serena, tem-se graficamente:

ExemploExemplo

Santiago

Valpo

Serena

1/4

3/4

1/4

1/4

1/4

3/4

1/2(0)

(2)

(1)

Números nos arcos dão a probabilidade pij do viajante ser recolhido por um carro

Probabilidade do viajante permanecer em Serena até o dia seguinte é 1/2

Números entre parênteses usados posteriormente

Matriz de probabilidades de transição:

Santiago

Valpo

Serena

1/4

3/4

1/4

1/4

1/4

3/4

1/2(0)

(2)

(1)

P

0 3 4 1 4

1 4 0 3 4

1 4 1 4 1 2

/ /

/ /

/ / /

1

2

3

Estados 1 e 2 são transientes


Num processo de Markov, se diz que um estado Sj é transiente se, de algum estado Sk que pode ser alcançado desde Sj, o sistema não pode voltar a Sj. A probabilidade de não voltar a si mesmo existe.

1

2

3

Estados 1, 2 e 3 são recorrentes


Se diz que um estado é recorrente se de cada estado Sk alcançável a partir de Sj, o sistema pode voltar a Sj.

Cadeias de Markov discretasCadeias de Markov discretas Exemplo 1: “predição do tempo” Dois estados possíveis:

0: chuva

1: não chuva Hipótese: o tempo amanhã só depende de hoje

(processo sem memória) Chove hoje probabilidade de chover amanhã = Não chove hoje probabilidade de chover amanhã =

P

1

1

0 10

1

Graficamente:

0 1

1 1

Cadeias de Markov discretasCadeias de Markov discretas Cadeia de Markov fica definida por:

Andar 3

Andar 2

Andar 1

Estados:

E

Cadeias de Markov discretasCadeias de Markov discretas Exemplo 2: “transformar um processo não-

Markoviano em Markoviano (às vezes é possível)”

Considere-se um elevador em um prédio de três andares:


Processo não-Markoviano, porque no estado 2 é necessária a informação do estado anterior (1 ou 3) para saber qual será a direção do elevador.

Para que o processo seja Markoviano, se faz necessária uma redefinição dos estados.

1: Andar 2, sentido acima

Redefinição dos estados:

E

0: Andar 1, sentido acima

2: Andar 3, sentido abaixo

3: Andar 2, sentido abaixo

Cadeias de Markov discretasCadeias de Markov discretas Exemplo 2: “transformar um processo não-

Markoviano em Markoviano (às vezes é possível)”

0

111

1

0: andar 1, sentido acima 1: andar 2, sentido acima

2: andar 3, sentido abaixo 3: andar 2, sentido abaixo

1 2 3


Da redefinição obtém-se o novo diagrama de estados:


Exemplo 2.1: “transformar um processo não-Markoviano em Markoviano (às vezes é possível)”

Choveu, choveu amanhã choverá: p=0,7 Não-choveu, choveu amanhã choverá: p=0,5 Choveu, não choveu amanhã choverá: p=0,4 Não choveu, não choveu amanhã choverá: p=0,2

Usando a definição anterior NÃO é processo de Markov

Cadeias de Markov discretasCadeias de Markov discretas Exemplo 2.1: “transformar um processo não-

Markoviano em Markoviano (às vezes é possível)” Motivo: há contradição; precisa-se de informação não

só do dia presente, mas também do anterior. Redefinição de estados: se o estado depende do tempo

de ontem e hoje então SIM, pode ser Markoviano Para transformar um processo não-Markoviano em

Markoviano (se possível), devem ser redefinidos os estados de maneira adequada.


Exemplo 2.1: “transformar um processo não- Markoviano em Markoviano (às vezes é possível)”

Portanto, se são redefinidos os seguintes estados:

0: Choveu, choveu

1: Não choveu, choveu

2: Choveu, não choveu

3: Não choveu, não choveu


0: Choveu, choveu 1: Não choveu, choveu

2: Choveu, não choveu 3: Não choveu, não choveu

Estados:

P

0 7 0 0 3 0

0 5 0 0 5 0

0 0 4 0 0 6

0 0 2 0 0 8

, ,

, ,

, ,

, ,

Cadeia de Markov definida pela matriz de probabilidade de transição:


i = probabilidade estacionária de estar no estado i

i(n) = probabilidade de estar no estado I no instante

n i

(0) = probabilidade inicial de estar no estado i

=(0, 1, 2, …, n)

Por definição: ( ) ( )1 0 P

Exemplo:

Aplicando recursivamente:

ou

01

11

00

10 00 01

10 11

( ) ( ) ( ) ( )

P P

P P

( ) ( )n n P

1

( ) ( )n nP0


P

lim Pn

n( )0

DefiniçõesDefinições Se a cadeia de Markov é irredutível e ergódica,

então:

existe e é denominada a probabilidade límite de P, ou autovetor esquerdo de P.

Obtenção de :

P

0 7 0 3

0 4 0 6

. .

. .

Exemplo 3: utilizando o exemplo 1, se a probabilidade de que choverá hoje é 0.2 e

Qual é a probabilidade incondicional de que amanhã choverá?


02 0800 10. .P P

0 2 0 7 0 8 0 4 0 46. . . . .

Aplicando o teorema da probabilidade total:

seja a probabilidade incondicional de que choverá amanhã.

= P(amanhã choverá | hoje choveu) +

P(amanhã choverá | hoje não choveu)


Exemplo 4: utilizando o exemplo 1

Se e então a probabilidade límite de que choverá é

0 0 1

1 0 11 1 ( ) ( )

0 1 0 1

1

1

0 7. 0 4.

1 0 1


0 1 4 7 3 7/ /

Santiago

Valpo

Serena

1/4

3/4

1/4

1/4

1/4

3/4

1/2(0)

(2)

(1)Me leva?


Voltando ao exemplo do turista:

P

0 3 4 1 4

1 4 0 3 4

1 4 1 4 1 2

/ /

/ /

/ / /

0 1 2

Do diagrama de estados pode obter-se a matriz de probabilidades de transição

definindo-se a matriz de probabilidade como:


Considerando-se a relação

obtém-se que

com


P

0 0 1 2

1 0 1 2

2 0 1 2

01

4

1

43

40

1

41

4

3

4

1

2

1 0 1 2

Resolvendo-se as equações obtém-se as probabilidades em estado de equilíbrio:


0

1

2

1

5020

7

25028

13

25052

.

.

.

Cadeias de Markov de Cadeias de Markov de tempo contínuotempo contínuo

Cadeias de Markov deCadeias de Markov detempo contínuotempo contínuo

Definição: uma cadeia de Markov de tempo contínuo é um processo aleatório em que, dado o estado presente, o valor do processo no futuro não depende do passado.

É como uma cadeia de Markov discreta, com a diferença de que o tempo de permanência em um estado é uma variável aleatória com distribuição exponencial.


Evolução a partir de um estado:

i

j

k

ij

ik

ij

ik

: taxa média de saída do estado i para o estado j: taxa média de saída do estado i para o estado k: probabilidade de transitar do estado i ao estado j, no momento da transição

Pij


Definição: tij (tik): tempo de permanência no estado i antes de transitar para j (k), caso

passe para j(k). tij e tik são variáveis aleatórias com distribuição exponencial de parâmetros

ij e ik respectivamente. Seja t o tempo de permanência no estado i. Do anterior se

deduz que :

t = min { tij , tik }

t se distribui exponencialmente com parâmetro ( ij+ ik)


Propriedades:

O tempo de permanência em um estado é Markoviano (processo sem memória)

A escolha do próximo estado se efetua no instante da transição e só depende do estado atual e não do passado, portanto é Markoviano.


Dado que o tempo de permanência em qualquer estado e a escolha do próximo estado são Markovianos, então tem-se uma cadeia de Markov de parâmetro contínuo.

As variáveis aleatórias “tempo de permanência no estado i” e “próximo estado visitado” são independentes.


Definição formal:

Um processo aleatório X(t) é uma cadeia de Markov de tempo contínuo se:

suuxuXisXjstXP 0),()(,)(|)(

isXjstXP )(|)(


Exemplo : processo de Poisson

t t+s

N(t+s) = j

N(t) = i

j-i arribos

N(t): estado no instante t N(t): número de chegadas

até t

]},(){(

})(/)({

}0)()(,)(/)({

sttemchegadasijP

itNjstNP

tuuXuNitNjstNP

N( )

j-i chegadas

O que é resolver uma cadeia de O que é resolver uma cadeia de Markov?Markov?

É encontrar as probabilidades de transição de qualquer estado i a qualquer estado j em um dado instante.

Para resolver este problema se utilizará o princípio do balanço global

Princípio de balanço globalPrincípio de balanço global

i

1 1i

k ki

2 2i

i i1

i i2

i ij

. . . . . .

Definições:


k: probabilidade em regime estacionário de estar no estado k

Outra interpretação: fração de tempo que o sistema fica no estado k.

Unidad de tiempo

k

Definições:

+ +

Unidad de tiempo

k

Unidade de tempoUnidade de tempo


k(t): probabilidade de estar no estado k no

instante t

ki: taxa média de transição do estado k para o estado i

k· ki: número médio de transições do

estado k ao estado i, por unidade de tempo.

Definições:

lim tt

k k ( )


i

1 1( )t ti

k kit t( )

i it t( ) 1

i ijt t( )

. . . . . .

Número médio de entradas de qualquer estado k ao estado i em t

número médio de saídas do estado i a qualquer estado j em t


Número de entradas totais ao estado i emt:

Número de saídas totais desde o estado i em t:

k kik

t t o t( ) ( )

i ijj

t t o t( ) ( )


Balanço de fluxos

Entradas líquidas médias por unidade de tempo (EN)

número médio de entradas totais por unidade de tempo

número médio de saídas totais por unidade de tempo

= -

Considerando-se o número de entradas líquidas em um intervalo t, se tem que:

EN t t t t o tk kik i

i ijj i

( ) ( ) ( )


Unidad de tiempo

+ +

+ +

i t

i t t

EN t t t t o t

t o ti i

i

( ) ( ) ( )

( ) ( )

i t

O número de entradas líquidas em t pode ser interpretado como:

Unidade de tempo


Usando-se novamente o balanço de fluxos:

(1)

Variação do tempo de permanência no estado i, por unidade de tempo

número de entradas totais em t

número de saídas totais em t

= -

i k kik i

i ijj i

t t t t o t( ) ( ) ( ) ( )

Esta variação pode expressar-se em forma da equação de diferenças:


ik ki

k ii ij

j i

t

tt t

o t

t

( )( ) ( )

( )

Dividindo por t em (1):

Tomando-se o limite em (2):limt 0

(2)

ik ki

k ii ij

j i

t

tt t

( )( ) ( )

(3)

“ Equação de balanço global para o estado i”


ik ki

k ii ij

j i

t

tt t

( )( ) ( )

ii n

i

ijj i

ni

t

tt t t

( )( ) ... ( ) ... ( )

:

:

0

0

Equação de balanço global para um estado i qualquer:

Pode-se reescrever em forma vetorial da seguinte maneira:


( ) ( ) ... ( ) ... ( )t t t ti n 0

Q

jj

i n

i ijj i

in

n ni njj n

00

0 0

0

0

... ...

: : :

... ...

: : :

... ...

( ) ( )...

( )...

( )t

t

t

t

t

t

t

ti n

0

Definindo-se:

Equações de balanço globalEquações de balanço global

O conjunto das equações de balanço global pode expressar-se em forma matricial como:

( )

( )t

tt Q

Além disso, sempre:

ii

t( ) 1

“Equações de balanço global”


Em estado estacionário se tem que:

fluxo de entrada = fluxo de saída

Q 0

“Equações de balanço global em estado estacionário”

ii

1


Os conjuntos de equações anteriores servem

para resolver tanto a situação transiente como

estacionária da cadeia de Markov. Isto é, nos

permite encontrar as probabilidades de

transição de qualquer estado i a qualquer

estado j num intervalo t qualquer (Pij(t)).

Exemplo: Cadeia de Markov de Exemplo: Cadeia de Markov de dois estadosdois estados

Uma máquina funciona uma quantidade de tempo exponencialmente distribuída com média 1/Quando falhase repara com a mesma distribuição em um tempo médio 1/. Inicialmente, a máquina encontra-se funcionando.

Deseja-se determinar a probabilidade de que a máquina esteja funcionando em um instante t dado. Inicialmente a máquina se encontra operacional.


0 1

EnReparación

Operacional

Se tem que :

01 10

( ) ( ) ( )0 0 0 1 00 1

Condições iniciais:

Em reparo


( )( ) ( )

t

tt t

0 1

0 1 1( ) ( )t t

Equações de balanço global estabelecem que:

ik ki

k ii ij

j i

t

tt t k i j

( )( ) ( ) , , ,

0 1

Forma escalar da equação anterior é:


00 1

( )( ) ( )

t

tt t

10 1

( )( ) ( )

t

tt t

0 1 1( ) ( )t t

(4)

(5)

(6)

Portanto:


0 ( ) ( )t e t

Resolvendo (4), (5) e (6), obtém-se:

1( ) ( )t e t

Exemplo: Cadeia de Markov de Exemplo: Cadeia de Markov de dos estadosdos estados

Resolvendo em estado estacionário, obtém-se:

0 1 0( ) ( )t

t

t

t

0 1 0

0 1 0

0 1 1

(7)

(8)

(9)


Resolvendo (7), (8) e (9), obtém-se :

0

1

Também pode chegar-se a este resultado através das equações em estado transiente, fazendo tender o parâmetro t a infinito.

Observação:


=2

=5

=7

0

t

Gráfico de 0 com =4


=2

=5

=71

t



=7

=5

=21

t


Problema 1Problema 1

Seja uma cadeia de Markov de três estados como se ilustra na figura:

0

1

2

01

02

Dado que acontece uma transição do estado 0, determinar a probabilidade de que esta transição seja para o estado 1.

10

20


Define-se: t01: tempo de permanência no estado 0 antes de transitar

para o estado 1, caso transite para o estado 1 t02: tempo de permanência no estado 0 antes de transitar

para o estado 2, caso transite para o estado 2

A probabilidade pedida é equivalente à probabilidade de que a transição para o estado 1 ocorra antes da transição para o estado 2.


Portanto:

P t t P t t t s P t s ds( ) ( / ) ( )01 02 01 02 02 020

P t s P t s ds( ) ( )01 020

( )1 01 0202

0

e e dss s

01

01 02


Estendendo o resultado anterior, para qualquer número de estados, se tem que:

Pij

ij

ikk i

onde Pij: probabilidade de transitar do estado i para o

estado j, dado que acontece uma transição ik: taxa média de saída do estado i para o

estado k


Dado que aconteceu uma transição do estado i, qual é a probabilidade de que o próximo estado seja i ?

P Pii ijj i

1

Pij

ij

ikk i

Além disso:

Sabe-se que:


Portanto:

Pii

ij

ikk i

j i

1

Piiik

k i

ijj i

1

1

Pii 1 1 0


Dado que no instante zero o sistema está no estado i, qual é a probabilidade de permanecer neste estado até o instante t?

P{permanecer em estado i até t} = 1 - P{sair do estado i até t}

Dado que o tempo de permanência é exponencial:

ik

ikte

1

ik

ikte

Portanto: P{sair do estado i até t}

P{permanecer no estado i até t}

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