Teoria da Filas - Sistema de...
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Escola de Engenharia de Lorena – EEL/USPCurso de Engenharia de Produção
Prof. Fabrício Maciel Gomes
Teoria da Filas
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Por quê das Filas?
Procura por um serviço maior do que a capacidade do sistema de atender ao serviço
Inviabilidade econômica
Limitação de espaço
Teoria das Filas
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• A Teoria das Filas tenta através de análises matemáticas detalhadas encontrar um ponto de equilíbrio que satisfaça o cliente e seja viável economicamente para o provedor do serviço
• Exemplos de aplicação:• Fluxo de tráfego
• veículos, aeronaves, pessoas e comunicações
• Escalonamento• Pacientes em hospitais, processos em um computador e jobs em
máquinas
• Projetos de atendimentos a serviços• Bancos, correios, restaurantes fast-foods
Teoria das Filas
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Servidor
Servidor
ServidorPopulaçãoFila
Clientes
Atendimento*Obs:
•Servidores, atendentes ou canais de serviços
•Cliente, transação ou entidade
Elementos de uma Fila
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• Clientes e Tamanho da População• Um cliente é proveniente da população
• Quando uma população é muito grande, a chegada de um novo cliente a fila não afeta a taxa de chegada de clientes subseqüentes, taxa de chegada independente
• Quando a população é reduzida a taxa de chegada pode ser dependente• Ex: Uma mineradora que possui apenas 3 caminhões e os 3 estão
na fila
Elementos de uma Fila
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• Podemos quantificar o processo de chegada através de sua taxa média de chegadas (λ) e/ou seu intervalo médio entre chegadas (IC)
• Ex: Um posto de pedágio com 5 atendentes, onde entre 7 e 8 horas da manha chegam 20 automóveis por minuto.• λ:20 veículos por minuto• IC: 3 segundos
• λ e IC são valores médios, em um dado instante diferentes valores podem ser observados
• A fim de caracterizar ainda mais uma fila podemos definir sua distribuição de freqüências• Processos com os mesmos valores médios podem apresentar grandes
variações de seu valores individuais durante o tempo observado• Processos regulares são raros
• Existe situações onde o ritmo de chegadas sofre variações durante o dia
Processos de Chegada
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• Determina como é feito o atendimento aos clientes da fila
• Ex:• Observando um atendente, podemos constatar que ele
atende 6 veículos por minuto ou que gasta 10 segundos para atender um veículo
• Podemos quantificar o processo de chegada através de sua taxa média de atendimento (μ) e/ou seu tempo ou duração médio de serviços (TA)• μ = 6 clientes por minuto
• TA = 10 clientes por minuto
Processos de Atendimento
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• Uma fila pode possuir um ou mais servidores para atender os clientes
• A qualidade do serviço pode ser melhorada adicionando convenientemente novos servidores ao sistema• Ex: fila de supermecado
Número de Servidores
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Descreve como os clientes são escolhidos para entrar em um serviço após a fila ser formada
First-Come-First-Served (FCFS) FIFO Filas comuns onde o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido
Last-Come-First-Served(LCFS) LIFO Aplicado em sistemas de controle de estoque e em filas de prioridades
Filas com Prioridades Preemptivo
O cliente com maior prioridade é servido imediatamente Não-preemptivo
O cliente com maior prioridade entra na frente da fila, mas deve aguardar se algum cliente já estiver em atendimento
Filas Randômicas
Disciplina da Fila
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• Tamanho Médio• Característica mais visível de uma fila
• O dimensionamento adequado desta característica possibilita um atendimento satisfatório
• Tamanho Máximo• Área destinada a espera por atendimento
• Ex: número de cadeiras em uma barbearia, tamanho do buffer, etc
• Dependendo do tamanho e da demanda um cliente pode ser recusado• Ex: central telefônica
• Deve ser projetada de forma atender a demanda
Tamanho da Fila
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• Média do tempo gasto por cada cliente desde o momento em que chega na fila ao que ele é atendido
• Principal causa de irritação dos clientes
• O ideal é que não exista tempo de espera
• Ex:• Se entrarmos em uma fila com 10 pessoas à frente o tempo
de espera será igual ao somatório dos tempos de atendimento cada um dos 10 clientes ou, possivelmente, será igual a 10 vezes a duração média de atendimento
Tempo Médio de Espera
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• São utilizadas para modelar diversos aspectos de uma fila• Quando afirmamos que a duração média de atendimento
é de 10 segundos não estamos dizendo que todo atendimento é de 10 segundos
• Diferentes momentos podem registrar diferentes valores• Caso fosse coletada uma grande quantidade de dados
poderíamos deduzir que existe um padrão de atendimento expresso por uma distribuição de probabilidade• É nula a probabilidade de atender um cliente em menos de 5
segundos• A probabilidade de atender um cliente em 10 segundos é de
18%• A probabilidade de atender um cliente em 25 segundos é de
0,5%
Variáveis Randômicas
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Duração do Atendimento
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• Cenário• Fila de um banco formada por pessoas que deseja um novo
talão de cheques• Chegada
• No período de meia hora chegaram ao sistema 12 pessoas
• Onde• Intervalo – tempo entre uma chegada e outra• Momento – instante de chegada de um novo cliente
• Definir• λ • IC
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2
Momento 2 5 8 11 16 16 17 22 23 27 28 30
24 clientes por hora
2,5 minutos
Dinâmica de uma Fila
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• Atendimento• Dados anotados para cada atendimento em minutos
• Determinar
• μ
• TA
Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
30 clientes por hora
2 minutos
Dinâmica de uma Fila
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• O número de canais correspondem ao número de estações de serviços paralelos que podem servir os clientes simultaneamente
• Clientes multi-canais podem ser de:• Fila única
• Fila individual
Número de Canais de Serviço
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• Estágio único• O atendimento do cliente acontece de um vez só
• Barbearia, supermecado, etc
• Vários estágios• O cliente passa por vários estágios de atendimento, antes
de finalizar um serviço
• Durante o atendimento o cliente pode enfrentar diversas filas com características diversas
• Exame físico, atendimento serviço público
Estágios de Serviço
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Estágios de Serviço
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1.Padrão de
chegada
2.Padrão de
serviço
3.Disciplina
de filas
4.Capacidade
do sistema
5. Número de
canais de
serviço
...
6. Estágios de
serviços
n
Descrição de um Sistema de Filas
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• Proposta em 1953 por Kendall
• é descrita por um série de símbolos, tais como, A/B/m/k/M• A é a distribuição de inter-chegada de dos clientes
• B é padrão de serviço de acordo com um distribuição de probabilidade para o tempo de serviço
• m é o número de canais serviços paralelos (servidores)
• k é a capacidade do sistema
• M é a disciplina de filas
• Em muitas situações só os três primeiros símbolos são utilizados, de maneira que, é assumido que o sistema tem capacidade ilimitada e possui uma disciplina FCFS
Notação de uma Fila
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O símbolo G representa uma distribuição de probabilidade geral, isto é, resultados
nestes casos são aplicáveis para qualquer distribuição de probabilidade
Notação de uma Fila
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• Exemplo:
M/D/2/∞/FCFS
• Processo de filas com:• tempos de inter-chegada exponencial
• tempos de serviço determinístico
• dois servidores paralelos
• capacidade ilimitada
• disciplina de fila FCFS
Notação de uma Fila
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• Geralmente existem 3 tipos de respostas de interesse do sistema:• medida do tempo de espera que um cliente típico é
obrigado a esperar• Tempo gasto na fila X Tempo total no sistema
• Importância de cada tipo depende do sistema analisado. Ex: Parque de diversão x concerto de um equipamento
• medida da maneira como os clientes podem ir se acumulando• Número de clientes na fila X número de clientes no sistema
• Auxilia na definição do espaço de espera dos clientes
• medida do tempo ocioso dos servidores• Tempo em que um servidor em particular esta ocioso
• Tempo em que o sistema está desprovido de clientes
Medidas de Desempenho
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• A tarefa do analista de filas é determinar as medidas apropriadas de efetividade de um dado processo, ou projetar um sistema ótimo.• Tempo de espera X ociosidade do sistema
• Tempo de espera X custos
• Cálculo do tamanho da fila de espera
• Uso de métodos analíticos como primeira alternativa e simulações onde métodos analíticos não forem suficientes
Medidas de Desempenho
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SISTEMA
CLIENTE NA FILACLIENTE SENDO ATENDIDO
chegada fila atendimento saída
IC TF NF TA NA
sistema
TS NS
Estrutura do Sistema
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26
- taxa de chegada
- taxa de atendimento
chegada fila atendimento saída
IC TF NF c TA NA
sistema
TS NS
IC – tempo médio entre chegadas IC=
TF - tempo médio na fila
NF – número médio de clientes na fila
TA - tempo médio de atendimento TA=
NA – número médio de clientes em atendimento
TS - tempo médio no sistema
NS – número médio de clientes no sistema
1/
1/
Estrutura do Sistema
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Sistema de 1 canal, 1 fila
com população infinita
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Pr( )
n
n
1
Pr( )
r
n r
Probabilidade de haver n clientes no sistema
Probabilidade de que o número de clientes
no sistema seja superior a um valor r
Sistema de 1 canal, 1 fila
com população infinita
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Pr( 0)n
Pr( 0)n
Probabilidade do sistema estar ocioso
Probabilidade do sistema estar ocupado
Sistema de 1 canal, 1 fila
com população infinita
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NS
2
NF
Número Médio de Clientes no Sistema
Número Médio de Clientes na Fila
Sistema de 1 canal, 1 fila
com população infinita
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( 0)NF Fila
Número Médio de Clientes na Fila
1
TF
Tempo Médio de Espera na Fila por Clientes
Sistema de 1 canal, 1 fila
com população infinita
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1
TS
Tempo Médio Gasto no Sistema por Clientes
Sistema de 1 canal, 1 fila
com população infinita
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Relações Entre TF, TS, NF e NS
TF TF 1TF TS
NS TS NF NS
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Taxa de Serviço para Mínimo Custo Total do Sistema
Unit UnitCT CE CA
* Unit
Unit
CE
CA
CT = Custo total do sistemaCEUnit = Custo de permanência unitário médio por período do cliente CAUnit = Custo de atendimento unitário médio por período do cliente
= Taxa de serviço que resulta no menor custo Total no modelo de 1 fila e 1 canal
*
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Taxa de Serviço para Mínimo Custo Total do Sistema
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Sistema de 1 canal, 1 fila
com população infinita
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Sistema de diversos canais, 1 fila
com população infinita
1
1
1Pr( 0)
! 1 !
j SS
j
n
j S S
Probabilidade do sistema estar ocioso
Sendo:
S = número de canais de atendimento
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.Pr Pr( ) Pr 0
( 1)!
S
Oc Total n S nS S
Probabilidade do todos os canais estiverem ocupados
Sistema de diversos canais, 1 fila
com população infinita
Número Médio de Clientes na Fila
.PrOc TotalNFS
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NS NF
Número Médio de Clientes no Sistema
Sistema de diversos canais, 1 fila
com população infinita
1TF NF
Tempo Médio de Espera na Fila por Clientes
1TS NS
Tempo Médio de gasto no Sistema
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A cabine telefônica:
as chegadas ocorrem de acordo com uma distribuiçãoexponencial com taxa de 0,1 pessoas/min;
a duração média dos telefonemas é de 3 minutos e tambémsegue uma distribuição exponencial.
a) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e nãoprecisar esperar?
b) Qual o tempo médio na fila?
c) Qual ritmo de chegada de pessoas determinaria um tempo médio na fila de 3 minutos?
Exercício 1
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Os operários da fábrica, para realizarem as atividades diárias,
precisam recorrer ao auxílio da ferramentaria. Observou-se
que o ritmo de chegada de solicitações à ferramentaria segue
uma distribuição exponencial com ritmo de chegada de =1
solicitação/min. O ritmo de atendimento da ferramentaria
também segue uma exponencial com =12 atendimentos/min. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de um operário chegar à ferramentaria e não precisar esperar?
b) Qual o tempo médio de espera do operário na fila?c) Qual o tempo médio de atendimento do operário?d) Qual o tempo médio do operário na ferramentaria?e) Quantos operários em média estão na fila?f) Quantos operários em média estão na ferramentaria?
Exercício 2
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Um lava rápido automático funciona com somente uma baia. Os carros chegam
conforme uma distribuição de Poisson com um tempo médio de 8 minutos e
podem esperar num estacionamento com cinco vagas disponíveis. Se o
estacionamento estiver cheio os clientes que chegam desistem e procuram outro
lava rápido. O tempo para lavar e limpar um carro segue uma distribuição
exponencial, com uma média de sete minutos e 30 segundos. O proprietário quer
determinar o impacto das vagas limitadas sobre a perda de clientes para a
concorrência. Considerando essa situação, determine:
a) A probabilidade de que um carro que chega passe imediatamente à baia de
lavagem.
b) Tempo de espera estimado até o início do serviço.
c) Número esperado de vagas vazias no estacionamento.
d) A probabilidade de todas as vagas estarem ocupadas.
e) A taxa de utilização do servidor.
Exercício 3