Flexão em vigas

Tensões internas

Sx

y

z

F∆A∆

•Tensão média em : A∆

:

A

Ftm ∆

∆=→

•Tensão no ponto P: dA

Fd

A

Ft

A

→

→∆

→=

∆∆=

0lim

Sx

y

z

F∆A∆Decomposição segundo o referencial:

→→→→++= zyx tttt

As tensões passam a ser conhecidas pelos valores algébricos:

xxt σ=→

tensão normal, tração (+) compressão (-)

xzz

xyy

t

t

τ

τ

=

=→

→ tensões tangenciais ou de cisalhamento (de corte)Quando não houver confusão os índices podem ser abandonados.

Unidades de tensão:

Tensão é força por unidade de área (FL-2)

No sistema técnico: (mkfs): kgf/cm2

No SI: 1Pa=1N/m2

1kPa=103 Pa

1MPa=106 Pa

1GPa =109 Pa

1 kgf/cm2=0,0981 MPa e 1MPa = 10,2 kgf/cm2

L

ΔLε

A

F ==σ

FF

L

L + ∆L

A área seção transversal

Ensaio de tração

Lei de Hooke

Eε=σ

Flexão em vigas

P P

a ab

P P

+ -

P P

P P

0,0

// _ (Q)

P⋅a P⋅a(M)

A B C D

Flexão em vigas

• Mecanismo de deformação

L

M

M Comprimento < L

Comprimento > L

Flexão em vigas

M

M Comprimento < L

Comprimento > L

b

hσx

ε x

σmax

(compressão)

σmax (tração)

Os traços longitudinais dão uma idéia da deformação das fibras longitudinais e do eixo. Como eles assumem um aspecto curvo, o mesmo acontece com as fibras longitudinais e com o eixo.

Flexão em vigas

M

M Comprimento < L

Comprimento > L

Os traços transversais dão uma idéia da deformação das seções transversais. Como eles permanecem retos e perpendiculares aos longitudinais, admite-se que as seções permanecem planas e perpendiculares ao eixo. Elas sofrem rotações em torno de um eixo perpendicular ao eixo de solicitação

A tensão normal σx e a deformação específica εx variam ao longo da altura h da seção, sendo máximas nos bordos. Ao longo da dimensão b, σx e εx são constantes. Observa-se que existe uma camada de fibras que mantêm o comprimento L. Não são alongadas nem comprimidas, pois σx e εx são nulos. No estado neutro estas fibras estão em um mesmo plano horizontal conhecido como superfície neutra. A interseção da superfície com uma seção é a linha neutra (LN).

Superficie neutra

b

h

Superficie neutra

b

h

Eixo de solicitação (ES): é a interseção do plano das cargas com a seção transversal

ES

M

Flexão em vigas

M

M Comprimento < L

Comprimento > L

Hipóteses básicas:• Pequenas deformações• É válida a Lei de Hooke – comportamento elástico linear (deformações proporcionais às tensões) σ=Eε•Os traços transversais dão uma idéia da deformação das seções transversais. Como eles permanecem retos e perpendiculares aos longitudinais, admite-se que as seções permanecem planas e perpendiculares ao eixo. Elas sofrem rotações em torno de um eixo perpendicular ao plano de solicitação.

x

Posição dos eixos

b

y

h z y

J

Mσ

z

⋅=

Exercícios

3 cm 3 cm 3cm

A C D B

P P

2 cm

4 cmx z

y

1 - Calcular as tensões máximas de tração e compressão da viga, cuja seção transversal está representada ao lado. Dado P=700 kgf.

50 cm 50 cm 50 cm

Exercícios

4 tf 10 tf 10 tf 4 tf

A B C D E F

200 200 400 200 200 (cm)

a

9a

3,6a3,6a

0,8a

2 - Dimensionar a viga abaixoDados:

2

2

/600

/1000

cmkgf

cmkgf

c

t

=

=

σ

σ

3

Exercícios

Exercícios

4

Exercícios

5

Várias formas de seção transversal

• Maior eficiência• Maior economia

σσ =max

diJ

M

dsJ

M

i

s

=

=

max

max

σ

σ

di

ds

i

s =σσ

• Caso 1 forma assimétrica da distribuição das tensões em relação a LN LN mais próxima a fibra de menor

is σσ ≠

σExemplo

5,05,0

0

=⇒=

>

di

ds

M

t

C

σσ

• Caso 2 forma simétrica da distribuição das tensões em relação a LN ds=di=h/2

is σσ =

Seções simétricas a LN seções I

D

4

125,0832

2

3

DA

ADADD

w

π

π

=

===

bhA

Ahbhw

=

==66

2

b

h

Seções retangulares de mesma área maior eficiência = maior h

L

ADAL

w

DLD

LA

148,06

886,04

22

==

=→== π

3