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Transformação de tensões Círculo de Mohr Estados de tensão plana Tensões em reservatórios de parede fina Critérios de falha Tensões devidas a Esforços Combinados Tradução e adaptação: Victor Franco Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill (Capítulos 1 e 7) Mechanics of Materials, Hibbeler, Pearsons Education. Mecânica dos Materiais 7,8

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Transformação de tensões

Círculo de Mohr

Estados de tensão plana

Tensões em reservatórios de parede fina

Critérios de falha

Tensões devidas a Esforços Combinados

Tradução e adaptação: Victor Franco

Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill (Capítulos 1 e 7)

Mechanics of Materials, Hibbeler, Pearsons Education.

Mecânica dos Materiais

7,8

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Estado de tensões num ponto (caso geral)

• Como vimos, o estado de tensão num pontopode ser representado, no caso geral, por 6 componentes independentes:

• O mesmo estado de tensão pode ser representado por um conjunto diferente de valores das componentes de tensão se o sistema de eixos sofrer uma rotação de x-y-z

para x’-y’-z’.

xzzxzyyzyxxy

zxyzxy

zyx

τ=ττ=ττ=τ

τττ

σσσ

,, :com

corte de tensões,,

normais tensões,,

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Estado de Tensão Plana

• Tensão Plana - estado de tensão em que duasdas faces do elemento infinitésimal cúbico têmtensões nulas:

Exemplo:

.0,, xy =τ=τ=στσσ zyzxzyx

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Transformação de tensões em Tensão Plana

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) θθτθθσ

θθτθθστ

θθτθθσ

θθτθθσσ

sinsincossin

coscossincos0

cossinsinsin

sincoscoscos0

AA

AAAF

AA

AAAF

xyy

xyxyxy

xyy

xyxxx

∆+∆−

∆−∆+∆==∑

∆−∆−

∆−∆−∆==∑

′′′

′′

• Considere-se o equilibrio estático do elementoprismático representado na figura:

θτθσσ

τ

θτθσσσσ

σ

θτθσσσσ

σ

2cos2sin2

2sin2cos22

2sin2cos22

xyyx

yx

xyyxyx

y

xyyxyx

x

+−

−=

−−

−+

=

+−

++

=

′′

• As equações podem ser escritas por forma a obter-se:

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Conceito de Tensões Principais

• As equações anteriores podem ser combinadasresultando a equação paramétrica de um círculo:

( )

2

2

222

22

onde

xy

yxyx

med

yxmedx

R

R

τ+

σ−σ=

σ+σ=σ

=τ+σ−σ ′′′

• As tensões principais ocorrem nos planos

principais de tensão onde as tensões de cortesão zero – pontos B e A:

yx

xy

p

xy

yxyx

σ−σ

τ=θ

τ+

σ−σ±

σ+σ=σ

22tan

222

2

minmax,

med

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Tensão de corte máxima

A tensão de corte máxima ocorre para os pontosD ou E, quando a tensão normal é dada por:

2

22tan

22

2

max

yx

med

xy

yx

s

xy

yxR

σσσσ

τ

σσθ

τσσ

τ

+==′

−−=

+

−==med

medx σ=σ ′

pS θθ de 45º separado está ângulo o :Nota

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Exemplo 7.01

Para o estado de tensão planailustrado, determinar:

(a) A orientação do plano das tensões principais, (b) As tensõesprincipais, (c) a tensão de cortemáxima e a correspondente tensãonormal.

• Calcular a orientação das tensões principais:

yx

xyp

σσ

τθ

−=

22tan

• Calcular as tensões principais:

22

minmax, 22 xyyxyx

τσσσσ

σ +

−±

+=

• Calcular a tensão de corte máxima:

• e a tensão normal correspondente:

22

max 2 xyyx

τσσ

τ +

−=

2yx σσ

σ+

=′

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Exemplo 7.01

• Orientação das tensões principais:

( )( )

°°=

=−−

+=

−=

1.233,1.532

333.11050

40222tan

p

yx

xyp

θ

σσ

τθ

°°= 6.116,6.26pθ

• Tensões principais:

( ) ( )22

22

minmax,

403020

22

+±=

+

−±

+= xy

yxyxτ

σσσσσ

MPa30

MPa70

min

max

−=

=

σ

σ

MPa10

MPa40MPa50

−=

+=+=

x

xyx

σ

τσ

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Exemplo 7.01

MPa10

MPa40MPa50

−=

+=+=

x

xyx

σ

τσ

2

1050

2

−=

σ+σ=σ=σ′ yx

med

• Tensão normal correspondente:

MPa20=′σ

• Tensão de corte máxima:

( ) ( )22

22

max

4030

2

+=

+

−= xy

yxτ

σστ

MPa50max =τ

º45−θ=θ ps

°°−= 6.71,4.18sθ

Angulo onde ocorre a tensão de corte máxima, desfasado 45º relativamente à orientação das tensões principais max e min.

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Círculo de Mohr para Tensão Plana

• Para um estado de tensão planaconhecido, marcar os pontos X e Y e construír o círculo centrado em C: (uma tensão de corte é positiva se

provoca rotação no sentido horário e

negativa se provoca rotação anti-horária)

xyyx τσσ ,,

2

2

22 xy

yxyx

med R τ+

σ−σ=

σ+σ=σ

• As tensões principais sãoobtidas nos pontos A e B.

yx

xy

p

med R

σ−σ

τ=θ

±σ=σ

22tan

minmax,

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Círculo de Mohr para Tensão Plana

• Com o Circulo de Mohr traçado, o estado de tensão em qualquer outraorientação pode ser facilmente obtidograficamente.

• Para o estado de tensão num plano queforma um ângulo θ em relação aoseixos xy, constrói-se uma nova linhadiametral X’Y’ com um ângulo 2θ emrelação a XY.

• As tensões normal e de corte sãoobtidas através das coordenadas de X’Y’.

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Exemplo 7.02

Para o estado de tensão planailustrado, (a) desenhar o círculo deMohr, determinar (b) os planosprincipais, (c) as tensões principais,(d) a tensão de corte máxima e acorrespondente tensão normal.

( ) ( )

( ) ( ) MPa504030

MPa40MPa302050

MPa202

1050

2

22=+==

==−=

=−+

=σ+σ

CXR

FXCF

yx

med

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Exemplo 7.02

• Tensões principais:

5020max +=+== CAOCOAσ

MPa70max =σ

5020max −=−== BCOCOBσ

MPa30max −=σ

°=θ

==θ

1.53230

402tan

p

pCF

FX

°= 6.26pθ

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Exemplo 7.02

• Tensão de corte máxima

°+= 45ps θθ

°= 6.71sθ

R=maxτ

MPa 50max =τ

medσ=σ′

MPa 20 =′σ

med

Orientação da tensão de corte máxima

Orientação das tensões principais

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Círculo de Mohr (cont.)

• Círculo de Mohr para tracção uniaxial:

0, === xyyxA

Pτσσ

A

Pxyyx 2

=== τσσ

• Círculo de Mohr para Torção:

J

Tcxyyx === τσσ 0 0=== xyyx

J

Tcτσσ

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3 - 16

Falha por torção (revisão)

• Os materiais dúcteis normalmente sofrem falha por tensões de corte. Os materiais frágeis são menos resistentes em tracção que em corte.

• Quando sujeito a torção, um provete de um material dúctil, rompe ao longo de um plano de tensões de corte máximas, ie. num plano perpendicular ao eixo do veio.

• Quando sujeito a torção, um provete de um material frágil, rompe ao longo de planos perpendiculares à direcção na qual a tensão normal de tracção é máxima, ie. ao longo das superfícies que fazem 45o com o eixo longitudinal do veio.

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Exemplo – tracção uniaxial

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Cont.

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Exemplo - torção

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Problema 7.2

Para o estado de tensõesrepresentado, determinar:

a) as tensões principais e respectiva orientação,

b) as componentes de tensãoexercidas num elemento obtidorodando 30º no sentido anti-horário o elemento dado. ( ) ( ) ( ) ( ) MPa524820

MPa802

60100

22222

=+=+=

=+

=σ+σ

FXCFR

yx

med

med

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Problema 7.2

• Tensões principais:

°=

===

4.672

4.220

482tan

p

pCF

XF

θ

θ

horário sentido7.33 °=θp

5280max

+=

+== CAOCOAσ

5280max

−=

−== BCOCOAσ

MPa132max +=σ MPa28min +=σ

med

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Problema 7.2

°=′=

°+=+==

°−=−==

°=°−°−°=

′′

6.52sin52

6.52cos5280

6.52cos5280

6.524.6760180

XK

CLOCOL

KCOCOK

yx

y

x

τ

σ

σ

φ

Tensões no elemento infinitésimalrodado de 30º em relação a XY:

Os pontos X’ e Y’ no círculo de Mohr que correspondem às tensões no elemento rodado de 30º, são obtidasrodando XY no sentido anti-horário: °= 602θ

MPa3.41

MPa6.111

MPa4.48

=

+=

+=

′′

yx

y

x

τ

σ

σ

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• Reservatórios cilindricos sob pressão:σ1 = tensão circunferencialσ2 = tensão longitudinal

( ) ( )

t

pr

xrpxtFz

∆−∆σ==∑

1

1 220

• Tensão circunferencial:

( ) ( )

21

2

22

2

2

20

σ=σ

π−πσ==∑

t

pr

rprtFx

• Tensão longitudinal:

Tensões em reservatórios de pressão de paredes finas

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Reservatórios cilíndricos de paredes finas (cont.)

• Os pontos A e B correspondem às tensõescircunferenciais, σ1, e longitudinais, σ2

• Tensão de corte máxima no plano da virola(in-plane), (rotação das tensões no plano, ie. circulo AB no circulo de Mohr), ocorre numadirecção a 45º com as tensões principais:

t

pr

42

12)planeinmax( ==− στ

• A tensão de corte máxima “fora do plano da virola” (out-of-plane) corresponde a umarotação de 45º do elemento em tensão planaem torno de um eixo longitudinal do cilindro (ie. plano OA no circulo de Mohr), e o correspondente valor é:

t

pr

22max == στ

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Tensões em reservatórios de pressão de paredes finas

Tensões no reservatório esféricosob pressão:

t

pr

221 == σσ

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Reservatórios esféricos de paredes finas (cont.)

t

pr

221 == σσ

Circulo de Mohr

0

constant

plane)-max(in

21

=

===

τ

σσσ

• Tensão de corte máxima (out-of-plane)

t

pr

4121

max =σ=τ

• Tensão de corte máxima (in-plane)

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Exemplo

Considere o reservatório cilíndrico em aço, com um raio interior de 1 m e uma espessura de virola e fundos de 5 mm, representado na figura. Admita que os fundos hemisféricos são ligados às virolas cilíndricas utilizando 126 rebites em cada um.A pressão de serviço é de 10 bar.

Calcular:

a) Tensões nas virolas.b) Tensões nos fundos, desprezando os efeitos da ligação dos fundos às virolas.c) Admitindo que se usavam rebites com 10 mm de diâmetro, na ligação dos fundos à virola como se ilustra na figura, verificar a segurança ao corte dos rebites para a pressão de serviço ( τadm = 150 MPa).

e

e

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• O estado de tensão no ponto Q é definido por

zxyzxyzyx τττσσσ ,,,,,

Estado de tensão geral

Transformação de tensões resultante da rotação do elemento infinitésimal:

• Considerando o tetraedro com a face perpendicular à linha QN com cosenos directores: zyx λλλ ,,

• Impondo o equilibrio estático obtém-se∑ = 0nF

xzzxzyyzyxxy

zzyyxxn

λλτλλτλλτ

λσλσλσσ

222

222

+++

++=

• É possível encontrar uma orientação para o elementoinfinitésimal por forma que:

222ccbbaan λσλσλσσ ++=

estes são os eixos principais e os planos principais e as tensões normais são tensões principais.

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Aplicação do circulo de Mohr à análise de um estado

de tensão tridimensional

• Os 3 círculos representam as tensõesnormais e de corte para rotações emtorno de cada eixo principal.

• Eixos principais a, b,c

• Os pontos A, B, e C representam as tensões principais nos planos principais(com tensões de corte nulas) minmaxmax 2

1σστ −=

• O raio do circulo maior corresponde à tensão de corte máxima

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Aplicação do circulo de Mohr à análise de um estado

de tensão tridimensional (cont.)

• Caso em que as tensões principais são:

(tensão plana)

a) A tensão de corte máxima é igual à tensão de corte máxima no planoa,b dada pelo raio do circulo AB

• Os pontos A e B (representando os planosprincipais) estão em lados opostos emrelação à origem, então:

b) O plano da tensão de cortemáxima faz 45o com os planosprincipais AB.

0;0;0 =σ<σ>σ zba

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Aplicação do circulo de Mohr à análise de um estado

de tensão tridimensional (cont.)

• Então A e B estão do mesmo lado da origem (i.e. têm o mesmo sinal), então:

c) Os planos da tensão de corte máximafazem 45º com o plano AZ.

b) A tensão de corte máxima para o elemento infinitésimal é:

a) O círculo que define σmax, σmin, τmax

para o elemento infinitésimal não é o circulo AB mas sim o círculo AZ

• Caso em que as tensões principais são:

(tensão plana) 0;0;0 =σ>σ>σ zba

2max

max

σ=τ

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Exemplo – estado de tensão plana

Reservatório cilindrico sujeito às tensões principais indicadas.

Representação no círculo de Mohr:

MPa16max =τ

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Critérios de falha para materiais dúcteis

• A falha de um componente sujeito a tensão uniaxial pode ser prevista atravésdas propriedades mecânicas obtidasatravés do ensaio de tracção uniaxial.

• Para o caso de um componente sujeito a tensão plana, é conveniente determinaras tensões principais e utilizar um critério de falha baseado no estado de tensão biaxial correspondente.

• Os critérios de falha são baseados nosmecanismos de fractura e permitem a comparação dos estados de tensãobiaxiais com as propriedades mecânicasconhecidas através dos ensaios de tracção uniaxiais.

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Critério de falha para materiais dúcteis em tensão plana

Critério da tensão de corte máxima:

O componente estrutural está em segurançase a tensão de corte máxima é inferior à tensão de corte máxima correspondente aoensaio de tracção uniaxial no pontocorrespondente ao limite elástico:

22.0

elastico limitemaxeσ

ττ =<

Para σa e σb com o mesmo sinal,

22ou

22.0

maxeba

σ<

σσ=τ

Para σa e σb com sinais opostos,

222.0

maxeba

σ<

σ−σ=τ

2.0eY σ≡σ

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Critério de falha para materiais dúcteis em tensão plana

Critério da Máxima Energia de Distorção:

O componente estrutural está em segurançase a energia de distorção por unidade de volume é inferior à energia de distorção porunidade de volume correspondente aoensaio de tracção uniaxial no limiteelástico:

( ) ( )

2.0

2.0

22

222

222

2222 006

1

6

1

ebbaa

ebbaa

Ybbaa

YYbbaa

Yd

ou

ou

GG

uu

σ<σ+σσ−σ

σ<σ+σσ−σ

σ<σ+σσ−σ

+×σ−σ<σ+σσ−σ

<

2.0eY σ≡σ

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Tensão equivalente (Von-Mises Huber Hencky)

No caso mais geral, quando num dado ponto se combinam efeitos produzidos por várias solicitações é corrente, no caso de solicitações estáticas e materiais dúcteis, recorrer à Tensão equivalente dada pela teoria de Von-Mises Huber Hencky

(correspondente ao critério de energia de distorção), para comparar o respectivo estado de tensão com o estado de tensão uniaxial produzido por um ensaio clássico de tracção:

2.0)(3 222222

exzyzxyxzzyyxzyxeq σ<τ+τ+τ+σσ−σσ−σσ−σ+σ+σ=σ

Para o caso de tensão plana, temos , logo: 0=== xzyzz ττσ

2.0

222 3 exyyxyxeq σ<τ+σσ−σ+σ=σ

Se tivermos as tensões principais, será:

2.02122

21 eeq σ<σσ−σ+σ=σ

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Critério de falha para materiais frágeis em tensão plana

Critério da tensão normal máxima:

O componente estrutural está em segurança se a tensão normal máxima for inferior à tensãode ruptura do provete num ensaio de tracçãouniaxial:

rb

ra

σ<σ

σ<σ

Os materiais frágeis falham porque se atinge a tensão de ruptura, ou por fractura, semdeformação plástica significativa no ensaio de tracção uniaxial. A condição para o critério de falha é a tensão última, ou tensão de ruptura, σU = σr

rU σ≡σ

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Esforços combinados – veios de transmissão

Um veio de transmissão como o ilustrado na figura, fica sujeito a esforços de torção e esforços transversos.

As tensões de corte originadas pelos esforços de corte

transversal, são normalmente muito inferiores às tensões de

corte devidas ao momento torçor

e como tal podem ser desprezadas na presente análise.As tensões normais de flexão

devidas às forças transversais

podem ser muito elevadas e têm de ser combinadas com as tensões de corte devidas à torção.

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Veios de transmissão sujeitos a esforços combinados

• Numa secção qualquer:

J

Tc

MMMI

Mc

m

zym

+==σ 222com

• Tensão de corte máxima:

( )

22max

222

2

max

2 ,ou tubularcircular secção uma para

22

TMJ

c

JI

J

Tc

I

Mcm

m

+=

=

+

=+

=

τ

τσ

τ

• Condição de resistência mecânica para o veio:

adm

TM

c

J

τ

+

=

max

22

min

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Exemplo 8.3 - veios de transmissão

O veio de transmissão de secção circular sólida, roda a 480 rpm e transmite umapotência de 30 kW do motor àsengrenagens G e H; A engrenagem G

absorve uma potência de 20 kW e a engrenagem H absorve 10 kW. Sabendoque σadm = 50 MPa, determinar o menordiametro admissivel para o veio.

Resolução:

• Determinar os momentostorçores e as correspondenteforças tangenciais nasengrenagens.

• Calcular as reacções em A e B.

• Identificar a secção crítica a partir dos diagramas de momentos torçores e de momentos flectores.

• Calcular o menor diametroadmissivel para o veio.

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Exemplo 8.3

• Determinar os momentos torçores T e as correspondentes forças tangenciais F nasengrenagens:

( )

( )

( )kN49.2mN199

Hz802

kW10

kN63.6mN398Hz802

kW20

kN73.3m0.16

mN597

mN597Hz802

kW30

2

=⋅==

=⋅==

=⋅

==

⋅===

DD

CC

E

EE

E

FT

FT

r

TF

f

PT

π

π

ππ

• Reacções em A e B

kN90.2kN80.2

kN22.6kN932.0

==

==

zy

zy

BB

AA

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Exemplo 8.3

• Identificar a secção crítica do veio, a partir dos diagramas de momentostorçores e dos momentos flectores:

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Exemplo 8.3

• Calcular o diâmetro mínimo admíssivel do veio:

m25.85m02585.0

m1014.272

maciça,cicular secção uma Para

m1014.27MPa50

mN 1357

363

3622

==

×=π

=

×=⋅

+=

c

cc

J

TM

c

J

adm

mm 7.512 == cd

( )

mN1357

5973731160 222

max

22

⋅=

++=

+ TM

• Para a secção D (identificada como crítica):

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Tensões devidas a esforços combinados

• Imaginemos que se pretende determinaras tensões na secção assinalada, de um elemento estrutural sujeito a carregamento arbitrário.

• Faz-se passar uma secção através do ponto de interesse. Impõe-se o equilibrio estático, para determinar as forças e os momentos necessáros paramanter o equilibrio.

• O sistema de forças internas, assimobtido, consiste em 3 componentes de forças e 3 componentes de momentos.

• Em seguida, podemos determinar a distribuíção de tensões, aplicando o principio da sobreposição.

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• A força axial e os momentos no plano transversal, contribuem paraa distribuição de tensões normaisna secção.

• As componentes da força de cortee do momento torçor contribuempara a distribuíção de tensões de corte na secção.

Tensões devidas a esforços combinados

=

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Exemplo 1 – esforços combinados

Considere-se o sistema representado na figura sujeito às forças P1 e P2 indicadas. O elemento cilíndrico BD tem um raio da secção transversal c = 20mm.Determinar:a) Tensões normais e tensões de corte no ponto K do elemento BD.

b) Tensões normais e tensões de corte no ponto H do elemento BD.

Nota: Para simplificar, desprezar as tensões de corte devidas ao esforço transverso.

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Exemplo 1 - cont.

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Exemplo 2 – esforços combinados

Considere-se o sistema representado na figura sujeito às forças indicadas. Sabendo que a secção transversal do corpo vertical é um rectângulo 40 mm x 140 mm.Determinar:a) Tensões normais no ponto H.

b) Tensões normais e tensões de corte no ponto F.

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Exemplo 2 - esforços combinados (cont.)

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Exemplo 3 – esforços combinados

Considere-se o sistema representado na figura sujeito às forças indicadas.

Determinar:

a) Tensões normais e tensões de corte no ponto H.

b) Tensões normais e tensões de corte no ponto K.

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Exemplo 4 – esforços combinados

Para o sistema representado na figura sujeito às forças indicadas, determinar:a) Tensões normais e tensões de corte no ponto a.

b) Tensões normais e tensões de corte no ponto b.

c) Tensões normais e tensões de corte no ponto c.